1

2.1.4. Sistemas Forçados com Excitação Periódica

F(t) =

x(t) = ?

F(t)=F01 cos 1t+ F02 cos 2t01

cos( )n

i ii

F t

Ex:

Se (1/2) formarem um número racional, então a soma das duas funções harmônicas resulta em uma função

periódica.

Sistema Linear

M , C , K

F1(t) x1(t)

Sistema Linear

M , C , K

F2(t) x2(t)

Sistema Linear

M , C , K

F1(t)+F2(t) x1(t)+x2(t)

* Princípio da Superposição Linear

Para determinar x(t) devemos conhecer o princípio da superposição modal:

Sistemas Lineares obedecem ao princípio da superposição linear

2

De forma geral:

x1(t)+x2(t)+x3(t)+...+xn(t)F1(t)+F2(t)+F3(t)+...+Fn(t) Sistema Linear

M , C , K

De acordo com o princípio da superposição linear, a resposta de um sistema linear, excitado por várias forças, pode ser determinada calculando-se a resposta a cada uma força excitadora e somando-se os resultados.

Exemplo: Calcular a resposta em regime permanente x(t) de um sistema linear de 1 GDL submetido a uma força periódica do tipo:

F(t) = F01 cos 1t+ F02 cos 2t

Solução:Se F(t) = F1(t)+ F2(t), então: x(t) = x1(t)+ x2(t)

x1(t) resposta do sistema devido à ação de F1(t)

x2(t) resposta do sistema devido à ação de F2(t)

3

Logo:

1 1 1( ) cos( )x t X t

1 2

2arctan

1

n

n

011

22 2

/

1 4n n

F kX

2 2 2( ) cos(2 )x t X t

022

22 2

/

1 4 16n n

F kX

2 2

4arctan

1 4

n

n

x(t) = x1(t)+ x2(t)

4

No caso da força periódica ser dada por uma função que não esteja explicitada por uma soma de funções harmônicas, ainda pode-se reescrever a função como sendo um somatório de funções harmônicas. Isto é feito através da Série de Fourier.

Exemplo:

Qualquer função periódica pode ser representada por uma série de funções harmônicas cujas freqüências são múltiplos inteiros da freqüência fundamental . Esta série de funções harmônicas é conhecida como a Série de Fourier, e pode ser escrita da seguinte forma:

10 sencos

2

1)(

nnn tnbtnaatF

T=2/

=2/T

Período

Freqüência Fundamental

TttT

FtF 0 ,)( 0

5

sendo:

nn ba ,

T/2

Tnn /2

, )(cos)(2

0dttntF

Ta

Tn

, )sen()(2

0dttntF

Tb

Tn

Coeficientes de Fourier

n=0,1,2,...

n=1,2,...

Freqüência fundamental

Freqüência do n-ésimo harmônico

Exemplo: Determine a série de Fourier da função mostrada abaixo:

TttT

FtF 0 ,)( 0

Resposta:

10 )sen(

11

2

1)(

n

tnn

FtF

6

Série com 4 termos

Série com 8 termos

Série com 16 termos

7

Conclusão:

Desde que uma força periódica qualquer pode ser representada como uma soma de senos e co-senos, e desde que o sistema (submetido a esta força) seja linear, a resposta deste sistema de 1 GDL é determinada calculando a resposta devido aos termos individuais da série de Fourier

e adicionando os resultados

)()()()( tFtkxtxctxm

Sendo que a força de excitação é dada por:

Logo, a resposta em regime permanente é dada por:

10 sencos

2

1)(

nnn tnbtnaatF

11 )()()()(

nsncn txtxtxtx

8

Em que a solução x1(t) satisfaz a seguinte equação:

2/)()()( 0111 atkxtxctxm

e é expressa por: katx 2/)( 01

De forma análoga:

,..2,1 ),cos()()()( ntnatkxtxctxm ncncncn

,..2,1 ),sen()()()( ntnbtkxtxctxm nsnsnsn

,..2,1 ),cos()2()1(

/)(

2222

ntn

nrrn

katx n

ncn

e:

,..2,1 ),sen()2()1(

/)(

2222

ntn

nrrn

kbtx n

nsn

2

2arctg

1 ( )n

nr

nr

9

Exemplo:

Um came atuando sobre um sistema massa-mola é

mostrado na figura ao lado. O gráfico do deslocamento

do came é mostrado na figura abaixo, cuja amplitude

máxima é 25,4 mm. A velocidade do came é 60 rpm.

Assumir m=20kg, k1=k=3,5 kN/m, e c=0,2kNs/m.

Encontrar a resposta em regime permanente.

TttT

tT

Yty 0 ,

0254,0)(

10

Solução:

)( )( 2)( )( tyktxktxctxm Equação do Movimento:

sendo: TtT

tty 0 ,

0254,0)(

Escrevendo y(t) como uma série de funções harmônicas (Série de Fourier):

10 sencos

2

1)(

nnn tnbtnaaty

?,,0 nn baa

, )(cos)(2

0dttnty

Ta

Tn n=0,1,2,...

, )sen()(2

0dttnty

Tb

Tn n=1,2,...

0254,02

0508,0

0254,02 )(

2

0

2

2000

TTT t

Tdt

T

t

Tdtty

Ta

0na

n

bn0254,0

Pode-se mostrar que:

11

Então:

1

sen0254,0

2

0254,0)(

n

tnn

ty

Logo, a equação do movimento torna-se:

1

sen0254,0

0127,02n

tnn

kkxxcxm

E a resposta em regime permanente será dada por:

11

11 )()( )()()()(

nsn

nsncn txtxtxtxtxtx (neste caso)

Determinação de x1(t): (resposta devido a uma força constante)

kkxxcxm 0127,02 111

kkkFx eq 2/0127,0/01

m 00635,01 x

12

Determinação de xsn (t):

1

sen0254,0

2n

snsnsn tnkn

kxxcxm

)sen()2())(1(

/)(

222

0n

eqnsn tn

nrnr

kFtx

)sen()2())(1(

2/0254,0

)(222

nsn tnnrnr

knk

tx

rad/s 71,1820

)105,3(2 3

m

keqn

107,071,18

)1(2

nr

267,020)105,3(22

102,0

22 3

3

mk

c

m

c

eqn

13

)2sen()057,0())107,0(1(

0127,0)(

222nsn nt

nn

ntx

Logo, a resposta total em regime permanente é dada por:

)2sen()057,0())107,0(1(

110127,000635,0)(

2221

nn

ntnnn

tx

Sendo:

22 )107,0(1

057,0arctg

)(1

2arctg

n

n

nr

nrn

Determinação da resposta para os 3 primeiros harmônicos:

21)107,0(1

057,0arctg o

1 4,11

14

22)2107,0(1

2057,0arctg o

2 13,33

23)3107,0(1

3057,0arctg o

3 30,88

2221

)057,0())107,0(1(

0127,0

sX mm 6,4m 0046,01 sX

2222

)2057,0())2107,0(1(

20127,0

sX mm 1,3m 0031,02 sX

2223

)3057,0())3107,0(1(

30127,0

sX mm 5,2m 0025,03 sX

15

Portanto, a resposta para os 3 primeiros harmônicos é igual a:

)3,886sen(5,2)13,334sen(1,3)4,112sen(5,435,6)( ooo ttttx

Cujo gráfico no domínio do tempo é dado por::

16

Espectros de Freqüências:

O gráfico das magnitudes das amplitude em função da freqüência é denominado de espectro de freqüências da amplitude. O mesmo pode-ser obtido para a fase:

17

1) Os sinais periódicos quando visualizados no domínio da freqüência, possuem o espectro discreto, ou seja, composto por raias.

OBSERVAÇÕES: