Apostila 002 geometria plana espacial
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MATEMÁTICA
Editora Exato 21
CILINDRO E CONE 1. CILINDRO CIRCULAR
1.1. Definição Considere dois planos paralelos ( ) e α β , uma
reta t incidente em α e uma região circular contida em β. Observe a figura abaixo.
α
β
t
Define-se como cilindro o sólido formado por todos os segmentos paralelos a t e extremos na região circular e no plano α. Observe a ilustração abaixo.
α
β
1.2. Elementos Considere o cilindro a seguir.
AB
CD
centro
altura
t
� Eixo do cilindro: reta t, que passa no centro das bases.
� Base: regiões circulares. � Geratrizes: segmentos com extremos na
circunferência das bases e paralelos ao eixo. � Secção meridiana: intersecção do plano que
contém o eixo com o cilindro. Observe a fi-gura a seguir.
1.3. Áreas importantes do cilindro reto � Área da base ( )bA
bA
base
RR2= =π
� Área lateral ( )LA
LA
R
RH= =
π
π
superfícielateral
2
2H
� Área total 2
t b L tA 2A A A 2 R 2 RH= + ⇒ = π + π ( )tA 2 R R H⇒ = π +
1.4. Volume Observe que o cilindro é um sólido de secção
constante. Logo, seu volume pode ser determinado pela relação bV A H= ⋅ , em que bA representa a área da base e H representa a altura do cilindro. 1.5. Classificação
� Cilindro reto O cilindro reto possui o eixo perpendicular ao
plano da base. Neste cilindro, encontramos: I) a geratriz perpendicular ao plano da base. II) a medida da altura igual à medida da gera-
triz. III) a secção meridiana retangular. � Cilindro eqüilátero O cilindro circular reto cujas secções meridia-
nas são quadradas é chamado de cilindro eqüilátero. No cilindro eqüilátero, encontramos a altura igual ao diâmetro da base ( )H 2R= .
2. CONE
2.1. Definição Considere um plano α, uma região circular
contida nesse plano e um ponto V não pertencente a α. Observe a ilustração a seguir.
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α
V
Define-se como cone o sólido formado por to-dos os segmentos com extremos na região circular e no ponto V. Observe a figura abaixo.
α
V
2.2. Elementos Considere o cone abaixo.
V
t
centro
� Eixo do cilindro: reta t, que passa no vértice e no centro da base do cone.
� Base: região circular. � Geratrizes: segmentos com extremos na
circunferência da base e no vértice do cone. � Secção meridiana: intersecção do plano que
contém o eixo com o cone. Observe a figu-ra.
2.3.Áreas importantes no cone reto � Área da base ( )bA .
bA
base
RR2
= =π
� Área lateral ( )LA .
LA Rg= = π
superfícielateral
(setor circular)
Rπ2
θg
� A medida do ângulo θ da superfície lateral
é obtida por 2 Rrad
g
πθ = ou 360ºR
gθ = .
2.4. Volume O volume do cone pode ser determinado pela
relação b
1V A H
3= ⋅ , em que Ab representa a área da
base e H representa a altura do cone. 2.5. Classificação
� Cone reto O cone reto possui o eixo perpendicular ao
plano da base. Neste cone, encontramos a relação a-baixo:
H
R
g
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângu-lo.
2 2 2g H R= + � Cone eqüilátero O cone reto cujas secções meridianas são tri-
ângulos eqüiláteros é chamado de cone eqüilátero. No cone eqüilátero encontramos a medida da geratriz igual ao diâmetro da base ( )g 2R= .
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 (UFV-MG) Para se construir uma lata cilíndrica de base circular, sem tampa, com 20cm de diâme-tros de base e 25cm de altura, são gastos x cm2 de material. O valor de x é:
2 2
10
10 . 100
2 2. .10.25 500
Ab R Ab Ab
A Rh A A
π
π π π
π π π
=
= → = → =
= → = → =l l l
600Ab A π+ =l
EXERCÍCIOS
1 A altura de um cilindro é o triplo do raio de sua base. Sabendo que a área de uma secção meridia-na desse cilindro é 216cm2, calcule o volume do cilindro:
R
h=3R
a) 648πdm3 b) 64,8πdm3 c) 6,48πdm3 d) 0,648πdm3 e) 0,0648πdm3
2 A figura mostra uma peça cilíndrica transpassada por um furo circular do centro de uma base ao centro da outra. Qual é o volume dessa peça?
25cm
6cm
14cm
a) 2000π. b) 1000π. c) 500π. d) 300π. e) Nenhuma.
3 Corta-se um cilindro circular reto ao meio. Sa-bendo-se que o corte origina, em cada uma das partes resultantes, uma face quadrada com área igual a 16cm2. Determinar o volume do cilindro original. a) 8πcm3. b) 16πcm3. c) 32πcm3. d) 48πcm3. e) 96πcm3.
4 (UFGO) Para encher de água um reservatório que tem a forma de um cilindro circular reto são necessárias 5 horas. Se o raio da base é 3m e a al-tura 10m, o reservatório recebe água à razão de: a) 18 π m3 por hora. b) 30 π m3 por hora. c) 6 π m3 por hora. d) 20 π m3 por hora. e) Nenhuma.
5 (U.C.DOM BOSCO-DF) Um cilindro reto, cuja base é um círculo de raio R=3m, tem 108 π m3 de volume. Então, a área total desse cilindro é: a) 126 π m2. b) 81 π m2. c) 72 π m2. d) 90 π m2. e) 108 π m2.
6 (UFPA) O reservatório “tubinho de tinta” de uma caneta esferográfica tem 4mm de diâmetro e 10cm de comprimento. Se você gasta 5 π mm3 de tinta por dia, a tinta de sua esferográfica durará: a) 20 dias b) 40 dias c) 50 dias d) 80 dias e) 100 dias
(Dica: 10cm=100mm)
7 (PUCC-SP) Numa indústria, deseja-se utilizar tambores cilíndricos para a armazenagem de um certo tipo de óleo. As dimensões dos tambores serão 30cm para o raio da base e 80cm para a al-tura. O material utilizado na tampa e na lateral custa R$100,00 o metro quadrado. Devido à ne-cessidade de um material mais resistente no fun-do, o preço do material para a base inferior é de R$200,00 o metro quadrado. Qual o custo de ma-terial para a confecção de um desses tambores sem contar as perdas de material? (Em seus cál-culos, considere 3,14π = .) a) R$235,50.
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b) R$24250. c) R$247,20. d) R$249,20. e) R$250,00.
8 (EU-CE) Um cone circular reto de altura 3 2cm tem volume igual a 318 2 cmπ . O raio da base desse cone, em centímetros, mede: a) 2. b) 2 2 . c) 3. d) 3 2 .
9 (MATEMÁTICA-SANTO ANDRÉ) Calcular a área lateral do cone cujo volume é 312 mπ e cujo perímetro da base é 6 m.π a) 10 2mπ . b) 15 2mπ . c) 18 2mπ . d) 20 2mπ . e) nenhuma.
10 (UEPG-PR) A área lateral de um cone de revo-lução é 600 2cmπ e sua geratriz te 25cm. O raio de sua base é: a) 20cm. b) 25cm. c) 24cm. d) 27cm. e) nenhuma.
11 (UFPA) Num cone reto, a altura é 3m e o diâme-tro da base é 8m. Então, a área total, em metros quadrados, vale: a) 52 π b) 36 π c) 20 π d) 16 π e) 12 π
12 (FUVEST-SP) O diâmetro da base de um cone é igual a geratriz. A razão da área total para a área lateral do cone é:
a) 32
.
b) 12
.
c) 23
.
d) 34
.
e) 2
3.
GABARITO
1 D
2 B
3 B
4 A
5 D
6 D
7 A
8 D
9 B
10 C
11 B
12 C