Formulario de Clculo II Geometra Analtica del Espacio 1. Distancia entre puntos. Si: P1 ( x1 , y1 , z1 ) ; P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) ; la distancia entre estos dos puntos es: d= 2. Cosenos directores. Si: P( x, y, z ) es un punto en el espacio y d es la distancia que existe entre el origen y el punto, entonces: cos = cos = cos = Donde: cos + cos + cos = 12 2 2

( x 2 x1 ) 2 + ( y 2 y1 ) 2 + ( z 2 z1 ) 2

x = d y = d z = d

x x2 + y2 + z2 y x2 + y2 + z2 z x2 + y2 + z2

Z z P(x,y,z)

d y Y

X

x

3. Recta. Si: P0 ( x0 , y 0 , z 0 ), P( x, y, z ), P1 , P2 y un vector A = ( a1 , a 2 , a3 ) , que es la direccin de la recta L: Ecuacin General: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 Ecuacin Vectorial: P = P0 + tAXx y0 x0 y

Zz z0

L AP0 P

Y

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Ecuacin Paramtrica: x = x 0 + ta1 y = y 0 + ta 2 z = z 0 + ta3 Ecuacin Cartesiana: x x0 y y 0 z z 0 = = =t a1 a2 a3 Ecuacin entre dos puntos P1, P2: x x1 y y1 z z1 = = x 2 x1 y 2 y1 z 2 z1 4. Vector de una Recta Bisectriz. Si: A = ( a1 , a 2 , a3 ) y B = ( b1 , b2 , b3 ) , dos vectores direccionales de dos rectas L1 y L2 respectivamente, que se interceptan entre si, y C = ( c1 , c 2 , c3 ) el vector direccional de la recta bisectriz L: Primer mtodo: AB+ C= A+ BA B

L1 L L2

A C B

Segundo mtodo: A C= + A

B B

5. Coordenadas del Baricentro. Si: P1 ( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ), P3 ( x3 , y 3 , z 3 ) , forman un tringulo cualquiera y P ( x, y, z ) el punto que representa al Baricentro: x + x 2 + x3 x= 1 3 y + y2 + y3 y= 1 3 z + z 2 + z3 z= 1 3Univ. Carlos Eduardo Reyes vila Ingeniera ElectrnicaP2

P P1 P3

6. Distancia de un punto a una recta. La distancia mnima entre un punto Pe a una recta L en el espacio que pasa por el punto P0 , cuya direccin es A , se determina por:Pe

d=

(P P ) A e

.

A

0

d

A

LP0

7. Distancia entre rectas. La distancia mnima entre dos rectas no paralelas L1 , L2 de direcciones A, B que pasan por los puntos P1 , P2 respectivamente, se determina por: A

( ( P P ) A B ) d= 1 2

P1 d B.

L1 L2

A B

P2

8. Plano. Si: P0 ( x0 , y 0 , z 0 ), P( x, y, z ) son puntos que pertenecen al plano y N = ( A, B, C ) un vector perpendicular al plano y se lo llama Vector Normal: N

Zz0.

P

P0

y x x0

y0

Y

X

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Ecuacin General:

Ax + By + Cz + D = 0

Ecuacin Vectorial:

(P P ) N = 0 0

Ecuacin Punto-Normal:

A( x x0 ) + B ( y y 0 ) + C ( z z 0 ) = 0 x y z + + =1 a b c Donde a, b y c son las intersecciones con los ejes.

Ecuacin Reducida:

Ecuacin de tres puntos: Donde P, P1 , P2 , P3

( P P ) [( P 1

2

P1 P3 P1 = 0

) (

)]

(

x x1 P P1 P2 P1 P3 P1 = x 2 x1 x3 x1

) [(

) (

)]

y y1 y 2 y1 y 3 y1

x z z1 x z 2 z1 = 1 x2 z 3 z1 x3

y y1 y2 y3

z z1 z2 z3

1 1 =0 1 1

9. Distancia de un punto a un plano. La distancia mnima, de un punto Pe a un plano de Normal N que pasa por el punto P0 , se determina por:Zd

NPe

d=

(P P ) Ne

N

0

P0

Y X

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10. Esfera. Si C ( h, k , j ) es el centro de la esfera y R el radio, entonces: Ecuacin Ordinaria:

( x h)

2

+ ( y k ) + ( z j) = R2 2

Z2

Si C ( 0,0,0 ) : x2 + y2 + z 2 = R2 Ecuacin General:

j

R

Ck

X h

Y

x 2 + y 2 + z 2 + Gx + Hy + Iz + K = 0

11. Elipsoide. Si C ( h, k , j ) es el centro del elipsoide y a, b, c son los semiejes, entonces: Ecuacin Ordinaria:

( x h) 2 + ( y k ) 2 + ( z j ) 2a2

b

2

c

2

=1

Zj a cC

Si C ( 0,0,0 ) : x2 y2 z 2 + + =1 a2 b2 c2 Ecuacin General:

b k

X h

Y

Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Gx + Hy + Iz + K = 0

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12. Hiperboloide de una hoja. Si C ( h, k , j ) es el centro del hiperboloide y a, b, c son los semiejes, entonces:

ZI)

( x h) 2 + ( y k ) 2 ( z j ) 2a2 b2 c2 Eje en Z

j=1

Ck

X h

Y

ZII)

( x h) 2 + ( y k ) 2 + ( z j ) 2a2 b2 c2

=1

j

Ck

Eje en X

X h

Y

ZIII)

( x h) 2 ( y k ) 2 + ( z j ) 2a2 b2 c2 Eje en Y

=1

j

Ck

X h

Y

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13. Hiperboloide de dos hojas. Si C ( h, k , j ) es el centro del hiperboloide y a, b, c son los semiejes, entonces:

ZI)

( x h) 2 ( y k ) 2 ( z j ) 2a2 b2 c2 Eje en X

=1

j

Ck

X h

Y

ZII)

( x h) 2 + ( y k ) 2 ( z j ) 2a2 b2 c2

=1

j

Ck

Eje en Y

X h

Y

ZIII)

( x h) 2 ( y k ) 2 + ( z j ) 2a2 b2 c2

=1

j

Ck

Eje en Z

X h

Y

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14. Paraboloide Elptico. Si C ( h, k , j ) es el centro del hiperboloide, a, b, c son los semiejes y una longitud focal F, entonces:

ZI)

( y k ) 2 + ( z j) 2b2 c2 Eje en X; F = a

= 4ax

j

Ck

X h

Y

ZII)

( x h) 2 + ( z j ) 2a2 c2 Eje en Y; F = b

= 4by

j

Ck

X h

Y

ZIII)

( x h) 2 + ( y k ) 2a2

b

2

= 4cz

j

Eje en Z; F = c

C

k

X h

Y

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15. Paraboloide Hiperblico. Si C ( h, k , j ) es el centro del hiperboloide, a, b, c son los semiejes y longitud focal F, entonces:

ZI)

( y k ) 2 ( z j) 2b2 c2 Eje en X; F = a

= 4ax

j

Ck h

Y

II)

( x h)a2

2

( z j)c2

Z2

= 4by

j

Eje en Y; F = b

Ck

X h

Y

III)

( x h)a2

2

( y k)b2

Z2

= 4cz

j

Eje en Z; F = c

Ck

X h

Y

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16. Cono. Si C ( h, k , j ) es el centro del hiperboloide y a, b, c son los semiejes, entonces:

ZI) a 2 ( x h) + ( y k ) + ( z j ) = 02 2 2

j

Eje en X

C

k

X h

Y

ZII)

( x h) 2 b 2 ( y k ) 2 + ( z j ) 2 = 0Eje en Y

j

Ck

X h

Y

ZIII)

( x h) 2 + ( y k ) 2 c 2 ( z j ) 2 = 0Eje en Z

j

Ck

X h

Y

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17. Cilindro. El cilindro debe satisfacer las ecuaciones de la forma: f ( y, z ) = 0 f ( x, z ) = 0 f ( x, y ) = 0 Ejemplos:Z

Cilindro de Eje Paralelo al Eje X Cilindro de Eje Paralelo al Eje Y Cilindro de Eje Paralelo al Eje Z

Paralelo al eje Z Con prolongacin sobre el eje ZX Y

Z

Sobre el plano XY tiene una parbola Con prolongacin sobre el eje YY

X

Z

Con prolongacin sobre el eje YX Y

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18. Observaciones. Ecuacin General: Ecuacin cudrica: Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + K = 0 Mediante rotacin de ejes: Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Gx + Hy + Iz + K = 0 Mediante traslacin de ejes: Ax 2 + By 2 + Cz 2 + K = 0 Cnicas: Esfera:A 0 ; B 0; C 0; A = B = C =1

Elipsoide: A 0 ; B 0 ; C 0; A B C Hiperboloide de una hoja:A0; B 0; C 0

Para la diferenciacin de signos, tenemos los siguientes casos: A > 0; B > 0; C < 0 A > 0; B < 0; C > 0 A < 0; B > 0; C > 0 Hiperboloide de dos hojas:A0; B 0; C 0

Para la diferenciacin de signos, tenemos los siguientes casos: A > 0; B > 0; C < 0 A > 0; B < 0; C > 0 A < 0; B > 0; C > 0Univ. Carlos Eduardo Reyes vila Ingeniera Electrnica

Paraboloide: Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Gx + Hy + Iz + K = 0 A, B, C 0 , pero su coeficiente lineal tiene que ser 0 , para esta diferenciacin de valores tenemos los siguientes casos: A = 0; B 0 ; C 0; G 0 A 0 ; B = 0; C 0; H 0 A 0; B 0; C =0; I 0 Paraboloide Circular: Los coeficientes Cuadrticos diferentes de cero, son iguales entre s. Paraboloide Elptico: Los coeficientes Cuadrticos diferentes de cero, son diferentes en valor pero iguales en signo. Paraboloide Hiperblico: Los coeficientes Cuadrticos diferentes de cero y diferentes en signo. Cono: A 0 ; B 0; C 0 Ax 2 + By 2 + Cz 2 + K = 0 Unos de los coeficientes A, B, C presenta signo negativo y que K 0. Cilindro: Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + K = 0 Si en la ecuacin cudrica, no est presente alguna de las tres variables x, y , z ; tal cudrica ser un cilindro.

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