Universidade Federal de Ouro Preto

Escola de Minas

Departamento de Engenharia Civil

Resistência dos Materiais Ι

Jaime Florencio Martins

Professor Associado – DECIV

Ouro Preto, Agosto/ 2014

ALFABETO GREGO

Nome moderno Nome clássico Minúsculas Maiúsculas

Alfa Alfa α Α Vita Beta β Β Gama Gama γ Γ Delta Delta δ ∆ Epsilo Èpsilón ε Ε Zeta Dzeta ζ Ζ Ita Eta η Η Tita Theta θ Θ Iota Iota ι Ι Capa Capa κ Κ Landa Lambda λ Λ Mi Mü µ Μ Ni Nü ν Ν Xi (csi) Xi (csi) ξ Ξ Ômicron Òmicrón ο Ο Pi Pi π Π Rô Ró ρ Ρ Sigma Sigma σ Σ Tau Tau τ Τ Ípsilon Üpsilón υ Υ Fi Fi φ Φ Khi Khi χ Χ Psi Psi ψ Ψ Ômega Omega ω Ω

1

Capítulo 1 – Generalidades

1.1 – Objetivos da Resistência dos Materiais: É a ciência que estuda as tensões e

deformações que ocorrem nos sólidos, provenientes de forças externas a eles aplicadas.

A Resistência dos Materiais também é conhecida como Mecânica dos Materiais ou

Mecânica dos Sólidos.

Sólido: é um estado da matéria que tem volume e forma definidos.

Fluido: Substância liquida ou gasosa que não tem resistência ao cisalhamento. Os fluidos

tomam a forma do recipiente em que está colocado.

1.2- Histórico da Resistência dos Materiais

Madeira: Pela sua disponibilidade e propriedades foi um dos primeiros materiais utilizados

pelo homem para construir. As primeiras pontes surgiram de forma natural pela queda de

árvores sobre os rios ou vales.

Ferro fundido: A fabricação do ferro fundido teve início na Ásia por volta de 1.500 a. C. O

ferro fundido oxida com facilidade.

Aço: Liga de ferro e carbono sendo o teor de carbono variando de 0,008% a 2,11%. Se o

teor de carbono da liga for maior do que 2,11% e menor do que 6,67% a liga é chamada

ferro fundido.

Os gregos Aristóteles e Arquimedes estabeleceram os princípios da estática. Os

romanos foram grandes construtores de templos, estradas e pontes. Usavam,

freqüentemente, arcos nas construções. Os egípcios tinham algumas regras empíricas

(baseadas na experiência) para construir templos e pirâmides.

Muito do conhecimento dos gregos, romanos e egípcios para análise de estruturas

foi perdido durante a idade média.

Leonardo da Vinci estudou a resistência de colunas experimentalmente. Galileu Galilei

foi o primeiro cientista a estudar a flexão de vigas. É considerado o pai do método

experimental e da Resistência dos Materiais.

1.3 – Definições:

a) Material dúctil: É um material que apresenta grandes deformações antes de se

romper e a resistência à tração é considerada igual à compressão. Ex.: aço doce

(aço de construção), alumínio.

2

b) Material frágil: É um material que rompe bruscamente, sem aviso prévio, com

pequena deformação. A resistência à tração é diferente da resistência à

compressão. Ex.: aço para ferramentas, vidro, concreto, giz.

c) Corpo rígido: corpo que não se deforma quando solicitado por forças ou momentos.

d) Deslocamento de corpo rígido: deslocamento sem deformação.

e) Barra - placa – bloco

Barra: quando as duas dimensões da seção transversal são pequenas quando

comparadas com o comprimento longitudinal (L>> h ; L>> b). Exemplo: vigas.

Placa: quando uma dimensão (a espessura) é muito menor do que as outras duas

dimensões (L ≅ b ; L>> h). Exemplos: lajes e cascas.

Bloco: quando: L ≅ h ≅ b

f) Eixo da barra: uma barra pode ser representada pelo seu eixo que é o conjunto de

pontos dos centróides das seções transversais.

g) Barra prismática: barra de eixo reto e seção transversal constante.

1.4 - Estrutura: É a parte mais resistente de uma construção e tem a função de resistir às

cargas aplicadas. Em um edifício a estrutura é constituída pelas vigas, pilares, lajes e

fundação. Para o dimensionamento da estrutura deve-se levar em consideração a

economia e a segurança.

1.5 – Hipótese fundamental: a estrutura está em equilíbrio estático.

• Condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um ponto material no

espaço:

∑ = 0Fx

∑ = 0Fy

∑ = 0Fz

3

• Condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido no espaço:

∑ = 0Fx ; ∑ = 0M x

∑ = 0Fy ; ∑ = 0M y

∑ = 0Fz ; ∑ = 0M z

1.6 - Apoios

Uma estrutura no espaço possui seis graus de liberdade, sendo três translações e

três rotações. A função dos apoios é retirar graus de liberdade, surgindo reações nas

direções dos movimentos impedidos.

• Apoios do primeiro gênero

• Apoios do segundo gênero (ou articulação ou rótula): Retiram dois graus de

liberdade, impedem o deslocamento em todas as direções e permitem a rotação.

• Apoios do terceiro gênero (ou engaste): Retiram três graus de liberdade, impedem o

deslocamento em todas as direções e impedem a rotação.

4

1.7 – Estaticidade e estabilidade de estruturas planas carregadas no próprio plano

Para estruturas planas carregadas no próprio plano (plano xOy) as condições

necessárias e suficientes para o equilíbrio são três:

∑ = 0Fx ; ∑ = 0Fy ; ∑ = 0MO

onde “o”, na expressão do somatório de momentos, é qualquer ponto do plano da

estrutura.

Para as estruturas planas carregadas no próprio plano três casos podem ocorrer

com relação à estabilidade e estacidade:

1o caso: O número de reações de apoio é menor que o número de equações de equilíbrio

da estática (3). A estrutura é chamada hipostática e o equilíbrio é instável.

2o caso: O número de reações de apoio é igual ao número de equações de equilíbrio da

estática (3). A estrutura é chamada isostática e o equilíbrio é estável.

3o caso: O número de reações de apoio é maior que o número de equações de equilíbrio

da estática (3). A estrutura é chamada hiperestática e o equilíbrio é estável.

São três as equações de equilíbrio e a viga acima possui cinco reações de apoio,

então, a viga é duas vezes hiperestática.

5

As três equações de equilíbrio da estática não são suficientes para calcularem-se as

reações de apoio das estruturas hiperestáticas. Além das três equações de equilíbrio são

necessárias outras equações que são obtidas conhecendo-se como a estrutura se deforma

(para impor condições de deslocamento e/ou de rotação).

Observação: Casos particulares:

A viga acima possui três reações, mas o equilíbrio é instável; a viga abaixo possui quatro

reações e o equilíbrio também é instável.

1.8 – Sistema de Unidades

Unidades básicas do Sistema Internacional

m (metro): para comprimento

quilograma (kg): para massa

segundo (s): para tempo

Unidades de força no SI (unidade derivada)

1 N = 1 kg.m/s2

Sistema inglês 1 polegada = 1 in = ||1 = 2,54 cm

1 pé (foot) = 1 ft = |1 = 12 in = 30,48 cm

1 libra = 453,59 gramas

6

1.9 – Esforços externos: São os esforços aplicados nas estruturas e podem ser:

a) Concentrados

b) Distribuídos

Observação: a carga distribuída uniforme q (N/m) é calculada multiplicando-se o peso

específico (γ) pela área da seção transversal (A).

c) Estático: quando aplicado lentamente (sem impacto) e o seu valor não varia com o

tempo. Ex.: peso próprio de vigas.

d) Dinâmico: quando aplicado com impacto e o seu valor varia com o tempo. Ex.: efeito

do vento em edifícios altos, efeito das ondas do mar em uma plataforma, pontes.

7

1.10- Esforços internos: Os esforços externos produzem esforços internos que são em

número de quatro.

• Força normal (N)

• Força cortante (V)

• Momento fletor (M)

• Momento de torção ou torque (T)

• Força normal (N) → é a força normal (perpendicular) a uma área. A força normal pode

ser de tração ou compressão.

Fazendo-se um corte imaginário na barra tracionada, tem-se:

Por considerações de equilíbrio das partes recortadas: N = N|

N = esfoço externo e N| = esforço interno

• Força cortante (V) → é a força que está contida em uma seção transversal.

8

• Momento fletor (M) → é o momento de uma força que produz flexão em uma barra.

Fazendo-se um corte imaginário na barra solicitada por um momento fletor positivo:

Por considerações de equilíbrio das partes recortadas: M = M|

M = esfoço externo e M| = esforço interno

Observação: Força vertical com o sentido para cima produz momento fletor positivo

(traciona em baixo). Força vertical com o sentido para baixo produz momento fletor

negativo (traciona em cima).

• Momento de torção ou torque (T) → é o momento de uma força que produz torção

em uma barra.

9

Não existe convenção de sinais para o momento de torção.

1.11 – Exemplos de estruturas

a) Treliças: As treliças ideais são formadas por barras, as extremidades são rotuladas

e o carregamento atua nas rótulas (chamadas nós). As barras das treliças ideais

estão solicitadas apenas por forças normais (tração ou compressão).

OBS.: O contraventamento permite que a treliça resista aos esforços horizontais como, por

exemplo, a ação do vento.

Tirante: elemento estrutural que trabalha à tração.

Escora: elemento estrutural que trabalha à compressão.

10

b) Vigas: As vigas estão solicitadas, geralmente, por momento fletor e força cortante.

Qualquer parte ou ponto de uma estrutura em equilíbrio também está em equilíbrio.

Fazendo-se um corte imaginário na viga acima, os esforços que eram internos tornam-

se externos e devem equilibrar a parte recortada.

c) Pórticos (ou quadros) planos carregados no próprio plano: Estas estruturas estão

solicitadas por força normal, força cortante e momento fletor (torção é igual a zero).

No pórtico (a) têm-se cinco (5) reações de apoio, portanto, este pórtico é duas vezes

hiperestático. O pórtico (b) também tem cinco reações de apoio, mas possui uma rótula a

11

mais. Impondo-se que o momento fletor nesta rótula é nulo, obtém-se mais uma equação.

Desta forma, o pórtico (b) é uma vez hiperestático. As rótulas transmitem força, mas não

transmitem momento fletor.

c) Grelhas: O carregamento nas grelhas é perpendicular ao seu plano. As grelhas

estão solicitadas por momento fletor, força cortante e torção (força normal é igual a

zero).

1.12 – Exemplos de vigas isostáticas

12

1.13 – Relação entre momento fletor e força cortante

de onde: Vdx

dM0VdxdM =→=+−

qdx

dV0)dVV(qdxV0FY −=→=+−−→=⊕↑ ∑

Derivando-se a relação entre M e V em relação a x, tem-se:

qdx

Md

dx

dV

dx

Md2

2

2

2

−=→=

13

Capítulo 2 – Tensão e deformação

2.1 – Tensão normal (σ):

Por definição:

σA

F= (2.1)

onde: σ : tensão normal dada em N/m2 (no Sistema Internacional) F : Força normal axial

A : área da seção transversal da barra

Por convenção: σ de tração é positiva e σ de compressão é negativa.

Fazendo ensaios de tração Galileu demonstrou que a resistência à tração de uma barra

é proporcional à área da seção transversal e independe do comprimento longitudinal.

A tensão normal no Sistema Internacional é dada em Pascais. Por definição 1 Pa = 1

N/m2. Então: 1 MegaPascal = 106 N/m2. Uma vez que 1 m = 1.000 mm ⇒ (1 m)2 = (1.000 mm)2 ⇒ 1 m2 = 106 mm2. Portanto: 226 mm/N1m/N10MPa1 ==

• Tensão admissível (__

adm ou σσ ): É a tensão que está dentro dos limites de segurança.

SCR

adm

σ=σ

onde: σR = Tensão de ruptura SC = Coeficiente de segurança ( SC > 1,0)

14

• Definição matemática de tensão normal: A definição de tensão normal dada pela

equação (2.1) somente pode ser usada se ocorre distribuição uniforme das tensões

normais na seção transversal. Uma vez que esta condição nem sempre é satisfeita deve-

se usar a definição matemática de tensão normal:

A

F

0A ∆∆=σ

→∆

dA

dF=σ→ (2.2)

2.2 – Deformação linear específica (ε):

Por definição:

L

L∆=ε (2.3)

ε é adimensional e também conhecida como deformação específica normal, deformação

específica ou deformação normal.

• Fluência: deformação lenta de um corpo submetido a uma tensão constante.

2.3 – Coeficiente de Poisson (ν): Quando uma barra é tracionada o alongamento longitudinal

é acompanhado de contrações laterais, isto é, o comprimento da barra aumenta e a seção

transversal diminui. A relação entre a deformação lateral e a deformação longitudinal é

chamada coeficiente de Poisson (ν):

allongitudindeformação

lateraldeformação=ν

x

y

εε

−=ν

O coeficiente de Poisson é adimensional e sempre positivo. O sinal negativo na

expressão acima é necessário porque se a deformação εx for positiva εy será negativa, e vice-

versa.

15

Material isotrópico: é um material que apresenta as mesmas propriedades físicas em

todas as direções. Em um material isotrópico:

x

'z

x

z

x

y

εε

−=εε

−=εε

−=ν

2.4 – Diagrama tensão - deformação

2.4.1 – Aço doce (aço usado na construção civil com baixo teor de carbono)

Em um ensaio de tração sendo a força aplicada gradualmente (sem impacto) os diversos

pares F - ∆L são anotados e podem ser colocados em um gráfico.

O diagrama tensão – deformação permite obter dados sobre o material sem considerar as suas

dimensões (área da seção transversal (A) e comprimento longitudinal (L)).

Pσ → Tensão de proporcionalidade (ou limite de proporcionalidade): É a maior tensão que

pode ser aplicada à barra sem que haja perda da proporcionalidade entre a tensão e a

deformação (ponto a).

Yσ → Tensão de escoamento (limite de escoamento): Neste ponto, a deformação aumenta

sem que haja acréscimo de tensão (ponto c).

Encruamento: endurecimento, enrijecimento (ponto d).

Uσ → Tensão última: É a maior tensão que a barra suporta. Esta tensão também é conhecida

como resistência do material (ponto e).

Rσ → Tensão de ruptura: (ponto f).

Fase elástica: Nesta fase a deformação desaparece com a retirada da tensão, não há

deformação permanente. Esta fase vai do início do carregamento até o ponto b.

Fase plástica: Descarregando-se a barra ela não retorna às suas dimensões iniciais, isto é,

surgem deformações permanentes (ou deformações plásticas). Esta fase vai do ponto b até à

proximidade da ruptura.

16

Resiliência: É a energia armazenada por unidade de volume quando uma barra se deforma até atingir o limite de proporcionalidade ( Pσ ) . A resiliência faz com que a barra retorne às suas dimensões iniciais quando descarregada. O aço usado na fabricação de molas é um material com alta resiliência. Estricção: Durante o alongamento ocorre contração lateral (estricção), portanto, a área da seção transversal diminui. A estricção somente ocorre nos materiais dúcteis.

Obs.: O diagrama tensão × deformação convencional não leva em consideração que a área da seção transversal diminui durante o alongamento da barra. 2.4.2 - Alumínio No diagrama tensão × deformação do alumínio, não existe o ponto de escoamento definido como no diagrama do aço doce. Neste caso, a tensão de escoamento σY é obtida tomando-se no eixo das deformações o valor ε = 0,2% e por este ponto traça-se uma reta paralela ao trecho linear do diagrama. Onde esta reta cortar a curva σ x ε tem-se a tensão de escoamento σY.

2.4.3 - Material frágil: Rompe-se com uma deformação relativamente pequena.

17

2.4.4 – Material elástico-plástico idealizado

2.5 - Lei de Hooke

Em 1678, Robert Hooke enunciou a lei “Ut tensio sic vis” (o estiramento é proporcional à

força ou F = Kx ). Hooke aplicou esta lei na invenção da balança de mola e do relógio sem

pêndulo.

Thomas Young, em 1807, sugeriu que a aplicação da Lei de Hooke nos sólidos deve

estabelecer a dependência linear entre tensão e deformação: “A tensão é proporcional à

deformação”, ou seja: εΕ=σ .

onde: σ → tensão normal

ε → deformação linear específica

Ε → constante de proporcionalidade e é chamado de módulo de elasticidade ou

módulo de Young e tem a mesma dimensão de tensão: N/m2

No SI o módulo de elasticidade é dado em GigaPascal: 2329 mm/N10m/N10GPa1 ==

Exemplos: Εaço = 200 GPa; Εliga de titânio = 120 GPa; Εliga de alumínio = 70 GPa.

Nota: A Lei de Hooke é válida até a tensão de proporcionalidade.

tg α = εσ → σ = tgα × ε ; então: Ε = tgα

18

Capítulo 3 - Tração e Compressão

3.1 – Alongamento de barras carregadas axialmente

A variação do comprimento (∆L) de uma barra prismática solicitada por uma força axial

constante pode ser calculada usando-se a lei de Hooke:

σ = Ε × ε

Lembrando que: A

F=σ e que: L

L∆=ε , tem-se:

L

LE

A

F ∆⋅=

de onde:

EA

FLL =∆

A expressão acima somente pode ser aplicada no regime de validade da Lei de Hooke, ou seja, para tensões menores ou iguais que σP.

Para se calcular o alongamento de barras não prismáticas e/ou solicitadas por força axial

variável tem-se que usar o conceito de integral:

)x(EA

dx)x(Fdx=∆ → ∫∫ =∆

L

0 )x(EA

dx)x(Fdx → ∫=∆

L

0 )x(EA

dx)x(FL

19

Considere-se, agora, uma barra prismática, suspensa por uma extremidade. Deseja-se

determinar a expressão do alongamento (∆L) da barra produzido pela ação de seu peso

próprio.

∫=∆→=∆L

0 )x(AE

dx)x(FL

)x(AE

dx)x(Fdx

Considerando-se o equilíbrio de forças verticais da parte recortada, tem-se:

x.A.)x(F γ=

Então:

∫∫ ⋅γ=⋅γ=⋅

⋅⋅⋅γ=∆L

0

L

0

2L

0 2

x

Edxx

EAE

dxxAL

Portanto:

E2

LL

2γ=∆

20

3.2- Princípio da superposição dos efeitos

Se em uma estrutura estão aplicadas várias forças podem-se calcular os deslocamentos

referentes a cada força, como se atuasse separadamente, e somar os resultados

correspondentes obtendo-se, assim, o resultado da ação de todas as forças.

∑=

=∆n

1i ii

ii

AE

LFL

3.3 – Sistemas estaticamente indeterminados

Para as estruturas hiperestáticas as três equações de equilíbrio não são suficientes para

calcularem-se as reações de apoio. Além das três equações de equilíbrio são necessárias

outras equações obtidas com as condições de deslocamentos da estrutura.

3.4 – Efeitos da variação da temperatura

A variação da temperatura pode provocar tensão normal nas estruturas. A tensão normal

somente ocorrerá se o deslocamento (movimentação) devido à variação da temperatura estiver

impedido.

tLL t ∆α=∆ (fórmula empírica)

onde

tL∆ : variação do comprimento da barra devida à variação da temperatura (m) α : coeficiente de dilatação térmica (1/ 0C) L : comprimento inicial (m)

t∆ : variação da temperatura ( 0C) Observação: nos problemas envolvendo variação da temperatura usam-se as fórmulas:

tLL t ∆α=∆ ; EA

FLL =∆ ;

A

F=σ

21

Capítulo 4 – Cisalhamento Puro

4.1 – Força cortante (V)

A força cortante está contida no plano da área e provoca deslizamento. A força

cortante produz tensão cisalhante, representada pela letra grega τ (tau), que tem o mesmo

sentido da força.

4.2 – Cisalhamento Puro

Se em uma área atua apenas força cortante, ela fica solicitada por cisalhamento puro.

4.3 – Teorema de Cauchy

Em um ponto, as tensões de cisalhamento são iguais nos planos perpendiculares

entre si.

22

AFA

F ×τ=→=τ

0dydx1dxdy10M xy0 =×××τ−×××τ→=∑

Portanto: yx τ=τ

4.4 – Lei de Hooke no cisalhamento

Solicitando-se um material ao cisalhamento puro, pode-se estabelecer a relação entre

a tensão e a deformação de cisalhamento.

γτ=αtg → ( ) γ×α=τ tg

Chamando de α= tgG , tem-se a lei de Hooke no cisalhamento:

τ = γ⋅G

onde: τ → tensão de cisalhamento em N/m2

G→ é conhecido como módulo de elasticidade transversal ou módulo de

elasticidade ao cisalhamento ou módulo de cisalhamento (em N/m2). γ → distorção (deformação por cisalhamento) em radianos

Relação entre E , G e ν

Na Resistência dos Materiais 2 demonstra-se que:

( )ν+=

12

EG

+

23

4.5 – Ligações parafusadas

Por hipótese, a tensão de cisalhamento é uniformemente distribuída na seção

transversal do parafuso.

Na ligação acima tem-se um parafuso que transmite a força de uma chapa para a

outra. A tensão de cisalhamento média no parafuso é dada por:

A

Fméd =τ

onde A é a área da seção transversal do parafuso.

Para uma ligação com "n" parafusos deve-se dividir a força F por n e pelo número de

áreas de corte (nA). Geralmente, nA é igual a 1 (uma área de corte) ou igual a 2 (duas

áreas de corte).

É interessante observar que a força F produz tensão normal (σ) nas chapas e tensão

cisalhante (τ) no parafuso. 4.6 – Ligações parafusadas solicitadas por força ex cêntrica

Nestas ligações os parafusos devem resistir à força vertical P e ao momento fletor M

= P.e. A força vertical produz força cortante (F1) nos parafusos dada por F1 = P/n, onde n é

o número de parafusos. O momento fletor provoca em cada parafuso a força cortante F2

que é perpendicular à reta que une o centro geométrico dos parafusos (ponto c) ao centro do

parafuso e varia linearmente com a distância ao ponto c.

24

Exercícios: 1) Calcule a tensão de cisalhamento máxima que ocorre nos parafusos

da ligação abaixo. Todos os parafusos têm diâmetro igual a 18 mm.

1875015,0F221,0F40M *22C =⋅+⋅→=∑

As forças F2 são diretamente proporcionais à distância ao ponto c, então tem-se a relação:

*22

2*2 F4,1F

21,0

F

15,0

F =→=

N3,12703F1875015,0F221,0)F4,1(4 *2

*2

*2 =→=⋅+⋅

Então: N6,17784F4,1F *22 ==

A força cortante resultante é dada pela expressão:

α++= cosFF2FFR 2122

21

Nos dois parafusos extremos do lado direito F1 = 2500 N, F2 = 17784,6 N e α = 45º,

então a força cortante resultante é:

N1,19632R45cos6,17784250026,177842500R o22 =→⋅⋅⋅++=

No parafuso central do lado direito da ligação as forças F1 e F2* têm o mesmo sentido, a

força cortante resultante neste parafuso é dada por: R = 2500 + 12703,3 = 15203,3 N.

Portanto, a maior força cortante na ligação ocorre nos dois parafusos extremos do lado

direito e a tensão de cisalhamento máxima é dada por:

22máx mm/N15,77

mm47,254

N1,19632 ==τ

25

2) Calcule a tensão de cisalhamento máxima que ocorre nos parafusos da ligação abaixo.

Todos os parafusos têm diâmetro igual a 25,4 mm.

N62504

25000

4

PF1 ===

4500014,0F40M 2C =⋅→=∑

de onde: N1,80357F2 =

Nos dois parafusos do lado direito a força cortante resultante é dada por:

N6,84891R45cos1,80357625021,803576250R o22 =→⋅⋅⋅++=

A tensão de cisalhamento máxima na ligação é:

22máx mm/N53,167

mm71,506

N6,84891 ==τ

ou:

MPa53,167máx =τ

5 - Torção

5.1. Introdução - A torção ocorre:

• Na ação do vento em edifícios altos

• Nos eixos de transmissão

• Nos chassis de ônibus, caminhão, avião.

5.2 - Momento de inércia à torção (J ) para barras com seção circular vazada

α dα

r dr

di de

Por definição: dA r J

A

2∫= onde:

dr d rdA α=

∫∫πα=

2

0

r

r

3 d dr r Je

i

πα= 20

r

r

4

. 4

rJ

e

i

( )0 - 2 . rr 4

1J

4

i4

e π

−=

( )4i

4e rr

2J −

π=

Ou em função dos diâmetros externo e interno: ( )4i

4e dd

32J −

π=

Particularizando para seções cheias: ( )0di = : ( )4d32

Jπ

=

5.3 – Hipóteses:

• As deformações são pequenas; • É válida a Lei de Hooke no cisalhamento ( γ=τ G );

• O momento de torção provoca apenas tensão de cisalhamento ( τ );

• As tensões de cisalhamento são perpendiculares e variam linearmente com o raio (esta

hipótese é válida somente para eixos de seção transversal circular).

Observações: 1) A tensão cisalhante tem o mesmo sentido do momento de torção

2) A tensão cisalhante máxima ocorre na superfície do eixo.

27 5.4 - Tensão e deformação nos eixos de seção circular solicitados por momento de torção

T

T γ

θ R B

B’

L T B

B’

R θ

Onde: θ : ângulo de torção (giro relativo entre duas seções transversais) γ : distorção (deformação por cisalhamento) na superfície do eixo

Da figura acima, têm-se as expressões:

L

BB tg

′=γ≅γ e

R

BB tg

′=θ≅θ

Portanto: γ =L

Rθ

dAdF ⋅τ= e rdA dT ⋅τ=

∫ τ=A

dA r T ou: ∫ τ=A

2

dA r

rT

Onde rτ é uma constante (por hipótese a tensão cisalhante varia linearmente com o raio),

então:

dA rr

TA

2∫

τ=

Por definição: dA rJA

2∫= , então:

J r

Tτ

=

De onde se tem a tensão de cisalhamento produzida por momento de torção em barras de seção

transversal circular:

J

r T=τ

A maior tensão de cisalhamento ocorre na superfície do eixo:

J

TRmáx =τ

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Aplicando-se a Lei de Hooke no cisalhamento ( γ=τ G ) na superfície do eixo, tem-se:

L

RG

J

TR θ=

de onde tem-se o giro relativo ( )θ entre duas seções transversais:

GJ

TL=θ

5.5 – Eixos hiperestáticos solicitados por momento de torção

5.6 – Torção de barras com seção vazada de parede fina com espessura t constante

Linha do esqueleto: linha média da espessura da seção transversal

t: espessura

Sendo a espessura t constante (não varia ao longo da linha do esqueleto e também

invariável ao longo do comprimento longitudinal), pode-se demonstrar que a tensão de cisalhamento média médτ é dada por:

At2

Tméd =τ

e o ângulo de torção (θ) é dado por:

tGA4

TLP2

=θ

onde: A: área limitada pela linha do esqueleto

P: perímetro da linha do esqueleto

L: comprimento longitudinal 5.7 - Torção de barras com seção retangular vazada de parede fina com espessura t variável

29

Para o caso particular de uma barra, com seção transversal mostrada na figura acima solicitada por um momento de torção Τ têm-se as expressões de máxτ e do ângulo de torção:

baminmin

máx tetentrevalormenoroétonde,At2

T=τ

ba

22

tt

t

b

t

aba2

J:onde,JG

TL

+==θ

5.8 – Torção de barras com seção transversal retangular

onde: a é o maior lado da seção transversal e b é o menor lado da seção transversal

L: comprimento longitudinal

Usando a “analogia da membrana” Timoshenko & Goodier (1980) demonstram que a

tensão cisalhante máxima ocorre na linha central da face maior e seu valor é dado por:

21

máx abc

T=τ

e o ângulo de torção θ é dado por:

Gabc

LT3

2

=θ

Os valores de c1 e c2 são obtidos na tabela abaixo.

a/b c1 c2

1,0 0,208 0,141

2,0 0,246 0,229

3,0 0,267 0,263

4,0 0,282 0,281

5,0 0,291 0,291

10,0 0,312 0,312

∞ 0,333 0,333

30

5.9 – Torção de barras com seção transversal aberta de parede fina com t constante

Os casos acima, com espessura t constante, podem ser entendidos da seguinte

forma:

∞==t

a

b

a →

2máx ta333,0

T=τ e Gta333,0

LT3

=θ

5.10 – Torção de barras com seção transversal aberta composta por retângulos de paredes

finas

Para estes casos máxτ e θ são dados pelas equações:

( )∑⋅

=τ3ii

máxmáx ta333,0

tT e ( )∑

=θ3ii taG333,0

LT

5.11 – Torção de vigas com seção transversal em forma de triângulo eqüilátero de lado "d"

31

6 – FLEXÃO

6.1 - Introdução

Flexão é o ato de dobrar, curvar. Quando uma estrutura fica solicitada por momento fletor ela fica curvada. Neste caso, dizemos que a estrutura está flexionada. O objetivo deste capítulo é obter as tensões e deformações que surgem nas estruturas quando estão solicitadas por momento fletor. A flexão de uma estrutura pode ser pura, simples, oblíqua ou composta.

6.2 - Flexão pura

A flexão pura ocorre quando uma estrutura ou parte de uma estrutura fica solicitada apenas por momento fletor. Este é o caso do trecho CD da viga abaixo. Neste trecho, a força cortante é nula e o momento fletor é constante, como mostram os diagramas de esforços internos. É interessante observar que para não ocorrer força cortante no trecho CD, as forças P são simétricas e desprezamos o peso próprio da estrutura na presença das forças P.

Todas as estruturas que vamos abordar neste item e no próximo (flexão simples), possuem, pelo menos, um plano de simetria longitudinal.

(a) Viga e carregamento

(b) Diagrama de momento fletor

(c) Diagrama de esforço cortante

Figura 6.1 - Viga sobre dois apoios e diagramas de esforços internos (M e V)

32

y z x

P

P

Figura 6.2 – Viga em perspectiva Hipóteses: 1- O carregamento atua em um plano de simetria longitudinal. Uma vez que queremos obter as tensões que surgem na flexão pura, deve atuar apenas momento fletor, e se o carregamento atuar fora do plano de simetria, a viga ficará solicitada também por momento de torção.

2- O carregamento é perpendicular ao eixo da viga. Se as forças P forem inclinadas teremos componentes horizontais que são forças normais.

3- Seções planas permanecem planas depois de aplicado o carregamento. Esta hipótese, formulada pelo cientista francês Navier em 1826, é chamada fundamental e deve-se ao fato que no trecho CD: .0VT == Estes dois esforços provocam a deformação distorção (γ). Uma vez que no trecho CD estes dois esforços são nulos, as seções transversais permanecem planas e perpendiculares à superfície neutra depois de aplicado o carregamento.

4- A maior tensão que surge na viga é a tensão de proporcionalidade. Portanto, podemos usar a lei de Hooke.

5- O material da viga é homogêneo e os módulos de elasticidade à tração e à compressão são iguais.

6- O carregamento é aplicado sem impacto.

Vamos analisar o trecho L - 2a, onde atua apenas momento fletor. A ação do momento fletor faz com que este trecho da viga se curve (Figura 6.4). O momento fletor é constante neste trecho, sendo assim, a curvatura é também constante.

A Figura 6.4 mostra que a parte inferior da viga aumentou de comprimento, enquanto a parte superior diminuiu. Havendo variação de comprimento ∆L, tem-se deformação linear específica ε. Portanto, pode-se afirmar que o momento fletor produz tensão normal σ. Esta tensão provoca variação de comprimento. Uma vez que uma parte aumentou e outra diminuiu de comprimento existe uma superfície que separa as duas regiões e não tem o seu comprimento alterado. Esta superfície é chamada superfície neutra e está indicada na Figura 6.4 pelo arco CD.

O arco CD é dado por:

CD r= .θ

33

a a L - 2a

P P

y x y C

E D F

Figura 6.3

y

r

E C

F D

θ

O

M M

Figura 6.4

O arco EF, que está y abaixo do arco CD, é dado por:

( )EF r y= + ⋅ θ

É interessante observar que esta variação linear de EF só é possível se a seção transversal permanecer plana.

Por definição: L L∆=ε

Então, a deformação linear específica ε de EF é:

ε EF

EF CD

CD= −

Ou ( )

εθ θθEF

r y r

r=

+ ⋅ − ⋅⋅

Simplificando-se a expressão anterior, tem-se:

r yEF =ε

O → centro da curvatura da superfície neutra.

r → raio de curvatura da superfície neutra.

34

Utilizando-se a lei de Hooke, σ ε= ⋅E , pode-se obter a tensão normal que provocou o alongamento de EF:

r

yEEF ⋅=σ (6.1)

A Figura 6.5 mostra um corte imaginário na viga da Figura 6.2. A linha neutra divide, na seção transversal, as regiões tracionada e comprimida.

y

z

P

NL

Figura 6.5

Vamos impor a condição que:

σ ⋅ =∫ dAA

0

Esta condição deve-se ao fato de não existir força normal atuando na seção transversal. Uma vez que σ ⋅ =dA dF, a soma de todas as forças elementares dF é igual a zero. Colocando-se a equação (6.1) na equação acima, tem-se:

E y

rdA

A

⋅ ⋅ =∫ 0

Por hipótese, o módulo de elasticidade E é o mesmo à tração e à compressão, portanto, não varia na área. Sendo assim, a expressão acima pode ser colocada da seguinte forma:

E

ry dA

A⋅ ⋅ =∫ 0

Como o módulo de elasticidade E não pode ser igual a zero e o raio r não pode ser infinito (neste caso não haveria flexão), tem-se que:

y dAA

⋅ =∫ 0

A integral acima é, por definição, o momento estático da área da seção transversal em relação à linha neutra. O momento estático de uma área em relação a qualquer eixo que passa pelo centróide é igual a zero. Portanto, a linha neutra passa pelo centróide da área da seção transversal. A outra condição a ser imposta é que:

σ ⋅ ⋅ =∫ y dA MA

Linha neutra → Intersecção da superfície neutra com a seção transversal

35

Esta condição deve-se ao fato que σ ⋅ ⋅ =y dA dM e somando-se o momento de todas as forças elementares tem-se o momento fletor aplicado. Ou, em outras palavras, a toda ação corresponde uma reação em sentido contrário. A reação ao momento fletor aplicado é produzida pela soma de todos os momentos das forças elementares. Colocando-se a equação (6.1) na equação acima, tem-se:

E y

ry dA M

A

⋅ ⋅ ⋅ =∫

Ou

E

ry dA M

A⋅ ⋅ =∫

2 (6.2)

Por definição:

y dA I zA

2 ⋅ =∫

O eixo y tem origem na linha neutra da área da seção transversal, sendo assim, o momento de inércia I z , calculado pela expressão acima, é o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo horizontal do centróide.

Colocando-se a expressão acima em (6.2), o momento fletor assume a forma:

ME

rI z= ⋅

Isolando-se o raio da curvatura r, tem-se:

rE I

Mz=

⋅

Substituindo-se a expressão de r na expressão (6.1), tem-se:

σ = ⋅⋅

E yE I

Mz

Ou:

zI

yM ⋅=σ (6.3)

Portanto, a tensão normal referente ao momento fletor varia linearmente em uma seção transversal.

6.3 – Flexão simples

A flexão simples ocorre quando uma estrutura ou parte de uma estrutura fica solicitada por momento fletor e força cortante. Este é o caso dos trechos AC e DB da estrutura da apresentada na Figura 6.1. Vamos admitir, a priori, que a tensão normal nos trechos AC e DB, da mesma forma que no trecho CD, varie linearmente.

36

P P

y x

C D

dx g f

g f

A B g f

dx

g f M + dM M

Figura 6.6

O momento fletor varia ao longo do comprimento dx. A tensão normal nas seções transversais f-f e g-g são, respectivamente, dadas pelas expressões:

σ = ⋅M y

I z

e ( )

σ =+ ⋅M dM y

I z

A força normal resultante na seção transversal é nula, conforme já visto. Entretanto, tem-se força resultante em uma área genérica |A . A força resultante F (Figura 6.7) é dada pela expressão:

∫ ∫⋅=⋅σ=

| |A Az

dAI

yMdAF

e a força resultante dFF+ dada por:

( )∫

⋅+=+|A

Z

dAI

ydMMdFF

NL

dx |A dx

|A.

F

F + dF

(a) (b)

Figura 6.7

Nas três faces externas do elemento da Figura 6.7(b) não ocorre nenhuma ação. Portanto, no plano de corte e no sentido da força F existem tensões cisalhantes τ que mantêm o equilíbrio de forças (Figura 6.8).

37

dx

F

F + dF

τ

dx

F + dFF

Figura 6.8

O equilíbrio de forças na direção da força F fornece a expressão:

( ) 0dFFdxbF =+−⋅⋅τ+

onde b representa a largura da seção transversal.

Colocando-se as expressões de F e de dFF+ na equação acima, tem-se:

( )0dA

I

y dMMdx b dA

I

y M|| A

zA

z

=+−τ+ ∫∫

Simplificando a expressão anterior, tem-se:

0dA I

y dMdx b

|Az

=−τ ∫

O momento fletor e o momento de inércia não variam na área, isto é, dependem apenas da coordenada x. Sendo assim, a expressão acima pode ser colocada da seguinte forma:

∫ ⋅⋅⋅⋅

=τ|A

z

dAydx

dM

Ib

1

A integral acima é, por definição, o momento estático da área |A em relação ao eixo z. A derivada do momento fletor em relação à coordenada x fornece a força cortante, então:

τ = ⋅⋅

V Q

b I z

z (6.4)

Uma vez que as tensões cisalhantes são iguais nos planos perpendiculares entre si (Teorema de Cauchy), a seção transversal também está solicitada por τ (Figura 6.9). Estas tensões τ produzem a deformação distorção (γ) fazendo com que as seções transversais inicialmente planas não permaneçam planas depois de aplicado o carregamento.

dx

b

Figura 6.9

Entretanto, em alguns casos, a força cortante desempenha um papel secundário. Sejam, por exemplo, as duas vigas da Figura 6.10. As duas vigas têm a mesma altura h e estão solicitadas pela mesma força cortante (P). Na viga da Fig. 6.10(a), onde L >> h, o momento fletor é predominante, desta forma as seções planas permanecem praticamente planas depois de aplicado o carregamento.

38

(a) (b)

Figura 6.10

Ensaios em laboratórios mostram que as expressões (6.3) e (6.4) podem ser usadas nas estruturas em que:

L

h≥ 5

Nas estruturas em que a relação acima é verificada são chamadas vigas.

OBS.: No cisalhamento puro (Fig. 6.10(b)), conforme já visto, a tensão de cisalhamento é dada por: τ = F/A. Na flexão simples (M+V) a tensão cisalhante é dada pela equação (6.4).

6.4 – Distribuição das tensões de cisalhamento

A força cortante V, o momento de inércia I z e a largura b, no caso geral variam segundo a coordenada x. Sendo assim, em uma seção transversal qualquer a tensão de cisalhamento varia apenas em função do momento estático.

6.4.1- Seção transversal retangular

Figura 6.11

O momento estático da área hachurada é dado por:

Q A y= ⋅|_

Onde:

( )y

2

y2hy_

+−=

Ou:

( ) ( )4 h2 yy_

+=

39

A área A | é dada por:

by2h

A | ⋅

−=

Então:

Qh

y by h= −

⋅ ⋅ +

2 2 4

Resultando em:

Qb h

y= ⋅ −

2 4

22

Portanto, a tensão cisalhante varia segundo uma equação do segundo grau. Nos pontos com coordenadas y = h/2 e y = −h/2 a tensão cisalhante é nula. O valor máximo da tensão cisalhante é obtido nos pontos com coordenada y = 0, isto é, a tensão cisalhante é máxima na linha neutra e seu valor é calculado da seguinte forma:

A2

V3

4

h

2

b

12

bhb

V0

4

h

2

b

bI

Vmáx

2

3

22

z

máx =τ→

⋅⋅

=

−⋅=τ

Figura 6.12 – Gráfico referente à distribuição das tensões σ e τ

6.4.2 – Seção transversal em forma de "I"e"T"

c τmáx

τ σ

c

τ

τmáx

σ

Figura 6.13 – Gráfico referente à distribuição das tensões σ e τ

6.5 - Deformações

6.5.1 - Momento Fletor

40

Figura - 6.14 - Deformação referente ao momento fletor

dxL

L δ=ε→∆=ε

Lei de Hooke: Εε=σ . , onde:

I

y.M=σ

Então:

Εθ=→Εδ=dx

yd

I

M.y

dxI

y.M

de onde:

I

dx.Md

Ε=θ

6.5.2 - Força cortante

Figura 6.15 - Deformação referente a força cortante

Lei de Hooke no cisalhamento: τ = G . γ , onde τ na flexão simples (M + V) é dado por:

Ib

Q.V=τ

A tensão cisalhante τ pode ser colocada na forma: A

Vf=τ , onde f , chamado fator de forma,

resulta da distribuição não uniforme das tensões de cisalhamento e seu valor depende da forma da seção transversal. Então:

dxGA

Vfdhdx

Gdh =→τ=

41

6.6 – Módulo elástico de resistência à flexão ( W )

Em uma viga solicitada por momento fletor a maior tensão normal é dada por:

d

IM

I

dM máxmáxmáx =

⋅=σ

onde I é o momento de inércia da seção transversal e d é a distância da linha neutra até um

ponto localizado na superfície da viga. Por definição:

d

IW =

Então: W

M máxmáx =σ

Se a seção transversal não tiver eixo de simetria horizontal é evidente que: is WW ≠ .

Dimensão do módulo elástico de resistência à flexão ( W ): [ ]3L

Para vigas com seção transversal retangular, tem-se:

2

h12

bh

WW

3

is == → 6

bhWW

2

is ==

Para vigas com seção transversal circular, tem-se:

2

D64

D

WW

4

is

π

== → 32

DWW

3

isπ==

Para uma viga com seção transversal em forma de “ T ”, com as dimensões mostradas na figura

abaixo, o momento de inércia em relação ao eixo z é igual a 6,15 x 10 − 3 m4. Então:

217,0

10x15,6W

3

s

−= 32

s m10x83,2W −=→

383,0

10x15,6W

3

i

−= 32

i m10x61,1W −=→

42

6.7 – Flexão oblíqua (flexão assimétrica)

Na flexão oblíqua a linha neutra não é perpendicular (portanto, é oblíqua ) ao plano que

contém o carregamento e o centróide.

Nos estudos precedentes demonstrou-se a expressão da tensão normal (σ) produzida

por momento fletor atuando em vigas que possuem, pelo menos, um plano de simetria. Impôs-

se também que o carregamento atuava no plano de simetria.

Considerem-se, agora, vigas nas quais os carregamentos que provocam flexão atuam

em planos que não são planos de simetria e vigas que não possuem planos de simetria (vigas

assimétricas). Para analisar estas situações impõe-se que a linha neutra coincida com o vetor

momento e determina-se em quais situações isto é possível.

∫ =σ→=σA zxzx MdA.y.dMy.dA. onde:

z

zx I

y.M=σ

∫ =σ→=σA xyx 0dA.z.dMz.dA.

∫ ∫ ∫ =→=→=A A Az

z

z

z 0yzdA0yzdAI

M0dA.z

I

y.M (1)

A integral (1) é, por definição, o produto de inércia (ΙZY) da área A em relação aos eixos Y

e Z, e será igual a zero se estes eixos forem os eixos principais de inércia. Portanto, a linha

neutra vai coincidir com o vetor momento se, e somente se, o vetor momento for dirigido

segundo um dos eixos principais de inércia da área.

Se os eixos y e z são eixos principais de inércia, tem-se a expressão para calcular a

tensão normal nas estruturas solicitadas por Mz e My:

=σx z

z

I

y.M

y

y

I

z.M+

436.8 – Flexão de vigas constituídas de dois materiais Impondo-se que os dois materiais estão unidos as seções transversais, inicialmente planas,

permanecerão planas depois de aplicado o carregamento. Para esta demonstração supõe-se que:

Ε2 > Ε1.

Uma vez que seções planas permanecem planas o diagrama de deformação é linear, como

mostra o diagrama das deformações. O gráfico das tensões tem a variação brusca na interface entre

os dois materiais (ponto d) porque, para se ter a mesma deformação neste ponto, a tensão normal no

material 2 é maior do que a tensão normal no material 1 (lembrando que Ε2 > Ε1). Usando-se a lei de

Hooke pode-se determinar as tensões nos pontos a, d e f:

a1a . εΕ=σ

d11d . εΕ=σ

d22d .εΕ=σ

f2f . εΕ=σ

A Equação (6.1) pode ser usada para vigas feitas de dois materiais:

r

yE11 =σ e

r

yE 22 =σ

Onde r é o raio de curvatura da superfície neutra.

No estudo da flexão pura foi imposta a condição que: 0dA.A

=σ∫ . Para vigas constituídas por

dois materiais a condição a ser imposta é que:

+σ∫ 1A1 dA. 0dA.

2A2 =σ∫

Colocando-se as expressão de σ1 e σ2, tem-se:

+Ε

∫ 1A

1 dA.r

y 0dA.

r

y2A

2 =Ε

∫

44 Uma vez que os módulos de elasticidades e o raio de curvatura não variam na área, pode-se fazer:

+Ε∫ 1A

1 dA.y r

0dA.yr 2A

2 =Ε∫ (a)

Ou simplificando-se a raio de curvatura r e dividindo-se por Ε1:

+∫ 1AdA.y 0dA.y

2A1

2 =ΕΕ∫

Chamando de 1

2nΕΕ

= , tem-se:

+∫ 1AdA.y 0dA.yn

2A=∫

Então, cada elemento de área dA da área A2 é multiplicado por n conservando-se a distância y

destes elementos.

A seção homogeneizada acima é constituída apenas pelo material da área 1, com módulo de

elasticidade Ε1 (método da seção equivalente).

A seção homogeneizada pode ter como referência o material 2. Neste caso, a expressão (a)

deve ser dividida pelo módulo de elasticidade do material 2 (Ε2):

+Ε∫ 1A

2

1 dA.y E

0dA.y2A

=∫ → +∫ 1AdA.y

n

10dA.y

2A=∫

Os elementos de área dA da área A1 são divididos por n conservando-se a distância y destes

elementos. Então, a base b do material 1 deve ser dividida por n , como mostra a figura abaixo.

456.9 – Flexão de vigas de concreto armado Nas vigas de concreto armado despreza-se a resistência à tração do concreto. Assim sendo, na

seção homogeneizada aparece apenas a parte de concreto acima da linha neutra (quando a viga está

solicitada por momento fletor positivo). Por definição:

c

s

E

En =

onde: sE é o módulo de elasticidade do aço e cE é o módulo de elasticidade do concreto.

• Cálculo da posição da linha neutra (colocando-se o sistema de referência na face superior):

dnA2

ybynAyb

nAyb

dnA2

yyb

y s

2____

s

2__

s

_

s

__

_

+=+→+

+=

de onde se tem a equação do segundo grau que fornece a posição da linha neutra:

0dnAynA2

ybs

__

s

2__

=−+

A raiz positiva da equação acima é dada por:

−+= 1

nA

bd21

b

nAy

s

s_

• Cálculo do momento de inércia em relação à linha neutra:

2__

sB

42__

__3__

)yd(nAnn64

D

2

yyb

12

ybI −+π+

+=

O termo nn64

DB

4π, onde Bn é o número de barras de aço, pode ser desprezado por ser muito

menor que os outros dois termos. Então, o momento de inércia em relação à linha neutra é dado por:

2__

s

3__

)yd(nA12

yb4I −+=

46

7 – Solicitações compostas

7.1 – Introdução: Nos estudos precedentes foram obtidas as expressões das tensões (σ e τ) provocadas pelos quatro esforços internos :MeT,V,N

Força normal ( N ): A

N=σ

Força cortante ( V ): A

V=τ (cisalhamento puro) ou bI

VQ=τ (flexão simples: M + V)

Momento de torção ( T ): J

Tr=τ onde ( )4i

4e DD

32J −π= (Observação: fórmula válida

para barras que têm seção transversal circular)

Momento fletor ( M ) : I

yM=σ

• Flexão pura: quando uma estrutura fica solicitada somente por momento fletor (M)

• Flexão simples: quando uma estrutura fica solicitada por M + V

• Flexão composta: quando uma estrutura fica solicitada por momento fletor + força

normal ou momento fletor + momento de torção

Flexo-tração: momento fletor + força normal de tração

Flexo-compressão: momento fletor + força normal de compressão

Flexo-torção: momento fletor + torção

A flexão composta pode ser normal ou oblíqua:

• Flexão composta normal: quando a linha neutra é perpendicular ao plano que

contém o carregamento e o centróide. A flexão composta normal ocorre quando o

carregamento atua em um dos eixos principais de inércia.

• Flexão composta oblíqua: quando a linha neutra é oblíqua ao plano que

contém o carregamento e o centróide. A flexão composta oblíqua ocorre quando o

carregamento atua em um eixo que não é eixo principal de inércia.

• Equação geral da flexão composta para vigas solicitadas por momento fletor e força

normal:

+=σA

Nx

z

z

I

y.M

y

y

I

z.M+

47

7.2 – Núcleo central

Núcleo central é a região de uma seção transversal onde ao aplicar-se uma força

normal de compressão (tração) a seção transversal ficará solicitada apenas por tensão

normal de compressão (tração).

• Núcleo central de uma seção transversal retangular

Seja um pilar solicitado por uma força de compressão P com excentricidade d em

relação ao eixo y e excentricidade a em relação ao eixo z. A tensão normal é dada por:

−−=σA

P

12

bh

y.aP3

12

hb

z.dP3−

Para determinar o núcleo central impõe-se que não existe tensão normal de tração,

então a linha neutra tangencia a seção transversal no ponto de coordenadas y = − h/2 e

z = − b/2:

−−=bh

P0

12

bh

)2/h.(aP3

−

12

hb

)2/b.(dP3

−−

ou:

=1 h

a.6

b

d.6+

48

• Núcleo central de uma seção transversal circular

Seja uma área com seção transversal circular solicitada por uma força de

compressão com excentricidade a em relação ao eixo z. A tensão normal é dada por:

−π

−=σ

4

D

P2

64

D

y.aP4π

Impondo-se que a linha neutra tangencia a seção transversal no ponto de coordenada

y = − D/2, tem-se:

−π

−=2D

4P0

4D

64)2/D.(aP

π−

Ou:

=a 8

D

49

8 - Deformações na flexão

8.1 - Linha elástica: Por definição, linha elástica é a curva na qual se transforma o

eixo da viga depois de aplicado o carregamento.

P

x

v

vd

d

d’

o

linha elástica

Onde:

dv : deflexão (flecha) do ponto d (componente vertical do deslocamento do ponto d).

A deflexão é uma função da coordenada x.

8.2 - Métodos de cálculo:

Método da integração direta

Método da energia

Métodos numéricos

Outros.

8.3 - Hipóteses

• Despreza-se a contribuição da força cortante no cálculo das deflexões;

• As deflexões são pequenas quando comparadas com as dimensões da

viga (base, altura e comprimento);

• É válida a Lei de Hooke.

8.4 - Método da integração direta

Em coordenadas cartesianas a expressão da curvatura de uma curva em um

ponto Q(x, y) é dada por:

2

32

2

2

dxdy

1

dx

yd

r1

+

=

50

A inclinação da tangente à linha elástica é muito menor que 1,0. Então, para

uma curva no plano xOv, pode-se fazer:

2

2

dx

)x(v d

r

1 =

Da flexão pura, tem-se o raio de curvatura da superfície neutra:

)x(M

EIr = →

EI

)x(M

r

1 =

Igualando-se as duas últimas expressões, tem-se:

EI

)x(M

dx

)x(vd2

2

=

Para ΕΙ constante e analisando-se o sinal da segunda derivada (considerando-

se o sentido do eixo das deflexões ( v ) positivo para baixo), tem-se:

)x(M)x(vIE || −=

Condições de contorno (ou condições de extremidades):

Nos apoios do 1o e do 2o gênero: 0v =

Nos engastes: 0vv | ==

Observação: )x(V)x(vIE|||

−=

)x(q)x(vIE VI =

8.5 – Consideração do esforço cortante no cálculo de deflexões

51

O deslizamento relativo dh, provocado pela força cortante, entre duas seções

transversais distantes dx está demonstrado no item 6.5.2:

dxGA

)x(Vfdh=

Somando-se todos os deslocamentos relativos dh tem-se a contribuição da força

cortante ( Sv ) para a deflexão:

∫∫ =→= dxGA

)x(Vfvdhv SS

Exercício: Determine a deflexão no meio da viga considerando-se a contribuição do

momento fletor e da força cortante. A viga tem seção transversal retangular ( f = 1,2)

e ΕΙ = constante.

A deflexão total (vT) é dada pela contribuição do momento fletor (vB) e pela

contribuição da força cortante (vS) :

sBT vvv +=

∫= dhv S dx)qx2

qL(

GA

fv

2/L

0S −=→ ∫

−=→

−=

8

L

4

L

GA

qfv

2

xx

2

L

GA

qfv

22

S

2/L

0

2

S

de onde:

8

L

GA

qfv

2

S ⋅=

Considerando-se a contribuição do momento fletor e da força cortante a deflexão no

meio da viga é dada por:

GA8

Lqf

EI384

Lq5v

24

T +=

52

8.6 – Vigas hiperestáticas: Método da superposição dos efeitos

As três equações de equilíbrio da estática não são suficientes para calcularem-se as reações de apoio de vigas hiperestáticas, ou seja, são vigas estaticamente indeterminadas. Além das três equações de equilíbrio são necessárias outras equações que são obtidas impondo-se condições de deslocamentos da estrutura. Neste item, o método da superposição dos efeitos é empregado para calcularem-se as reações de vigas hiperestáticas.

A deflexão de uma estrutura solicitada por várias cargas pode ser calculada somando-se a contribuição de cada carga como se atuasse separadamente. Esta constatação permite calcularem-se as reações de apoio de vigas hiperestáticas com o seguinte procedimento:

1. Retira-se um vínculo da estrutura deixando-a isostática; 2. Calcula-se o deslocamento (ou a rotação) que o vinculo retirando estava

impedindo; 3. Coloca-se a ação (força ou momento) do vínculo retirado sobre a estrutura.

Determina-se o deslocamento (ou a rotação) do ponto de aplicação desta ação como se fosse o único carregamento que atua na estrutura;

4. Impõe-se uma condição de deslocamento (geralmente, deslocamento nulo) obtendo-se a reação de apoio do vínculo retirado. As outras reações serão obtidas com as equações de equilíbrio da estática.

8.7 – Contra-flecha Durante a construção de uma viga recomenda-se provocar deslocamentos em sentido contrário aos deslocamentos que ocorrerão quando for aplicado o carregamento. Este procedimento é chamado de contra-flecha .

53

9 - FLAMBAGEM 9.1 - Introdução

Barras esbeltas solicitadas à compressão rompem por flexão quando a força atinge um valor crítico (Pcr) .

Barra esbelta: quando o comprimento longitudinal é muito maior que as dimensões da seção transversal. Para estudar-se o fenômeno da flambagem tem-se que usar a “teoria de 2a ordem”. Teoria de 1a ordem: para calcularem-se os esforços internos esta teoria permite confundir a forma inicial da estrutura com sua forma deslocada pelas cargas. Teoria de 2a ordem: tem-se que levar em consideração a posição deslocada da estrutura para calcularem-se os esforços internos.

9.2 – Carga crítica de barras bi-articuladas solicitadas por força axial (caso fundamental)

v (x)

v

x

P

P

L

Então: )x(v.P)x(EIv || −= ou: 0)x(v.P)x(EIv || =+

Dividido-se a expressão acima por IE tem-se:

0)x(vEI

P)x(v

|| =+

Chamando-se de EI

Pc

2 = tem-se:

0)x(vc)x(v2|| =+ → Equação diferencial de segunda ordem homogênea

Solução: xe.)x(v βα= onde α é uma constante e ci=β

ou: cx cos B cx sen A (x)v +=

E I v | | (x) = − M (x)

M (x) = P . v(x)

54

A equação da linha elástica cx cos B cx sen A (x)v += tem que satisfazer as

condições de extremidade:

1ª) para x = 0 → v (0) = 0 = A sen c.0 + B cos c.0; 0 = A.0 + B.1 → B = 0

2ª) para x = L → v (L) = 0 = A sen c.L;

Se A = 0 → solução trivial → não existe elástica → não existe flambagem.

Então: sen c.L = 0

A solução é: n = 1, 2, 3 ,4...

Lembrando que: →=EI

Pc

2 →=

π

EI

P

L

n2

22

2

22

L

IEnP

π=

A figura abaixo mostra os três primeiros modos de flambagem, que podem ser verificados

colocando-se n = 1, 2 e 3 na expressão de v(x):

xL

nsenA cx sen A v(x)

π==

cL = nπ

n = ...,-4,-3,-2,-1,0, 1, 2, 3 ,4,...

55

Utilizamos o menor valor de P, isto é, n = 1:

2

2

crL

IEP

π=

crP → é conhecido como carga crítica de Euler. A flambagem é um problema de equilíbrio.

Formas de equilíbrio: estável, instável, indiferente.

9.3 – Tensão crítica (σcr)

AL

EI

A

P2

2cr π

= AL

EI2

2

cr

π=σ

Por definição, o raio de giração i é dado por: AIi2 = [i = m, cm, mm]

Então:

2

22

crL

Eiπ=σ

Chamando de: i

L=λ , onde λ é conhecido como índice de esbeltez e é adimensional, tem-se:

2

2

cr

E

λ

π=σ

Obs.: No cálculo do raio de giração usa-se o menor momento de inércia. Se ocorrer flambagem,

ela acontecerá na direção perpendicular ao eixo de menor momento de inércia (condição mais

desfavorável):

AIi minmin =

9.4 – Fórmula de Euler para outros casos de vinculação A fórmula de Euler torna-se geral se considerarmos o comprimento de flambagem

LKLfl

= :

2fl

min2

rcL

EIP

π= e

2

2

rcE

λ

π=σ onde

min

fl

i

L=λ

56

K = 1,0

L

K = 2,0 K = 0,7 K = 0,5

9.5 – Validade da fórmula de Euler O maior valor que a tensão crítica pode assumir é a tensão de proporcionalidade:

pcr σ≤σ

Por exemplo: Aço CA - 25 com pσ = 210 x 106 N/m2 e AçoΕ = 200 x 109 N/m2

2

2

cr

E

λ

π=σ →

2

926 10.200.

10.210λ

π= →

6

92

10.210

10.200.π=λ 95,96=λ→

57ANEXO

ΙΙΙΙ – Propriedades de áreas planas

ΙΙΙΙ.1 – Momento estático (Q): Seja a área A situada no plano YOZ. Sendo y e z as coordenadas de um

elemento de área dA, o momento estático da área A, por definição, é dado por:

• Dimensão de Q: [ L ] 3

• O momento estático de uma área, dependendo da posição do sistema de referência, pode ser positivo, negativo ou nulo.

ΙΙΙΙ.2 – Centróide: Por definição as coordenadas do centróide (__

y;z ) de uma área são dadas por:

• Observação: o momento estático de uma área finita em relação a um eixo que passa pelo

centróide é nulo. ΙΙΙΙ.3 – Momento de inércia ( ΙΙΙΙ): Por definição:

58• O momento de inércia de uma área é sempre positivo. Dimensão de Ι : [ L ]4

Teorema dos eixos paralelos (ou teorema de Steiner): O momento de inércia de uma área em

relação a um eixo de seu plano é igual ao momento de inércia em relação a um eixo paralelo que

passa pelo seu centróide acrescido ao produto da área pelo quadrado da distância entre os dois eixos.

ΙΙΙΙ.4 – Produto de inércia ( ΙΙΙΙZY): Por definição:

O produto de inércia de uma área em relação a um par de eixos ortogonais é nulo quando um

dos eixos é um eixo de simetria.

59• Teorema dos eixos paralelos para produtos de inércia

ΙΙΙΙ.5 – Rotação de eixos

∫=A

2Z dAyI ∫=

A

2Y dAzI ∫=

AZY ydAzI

Por analogia: ∫=A

2|

ZdAyI | ⇒ ∫ θ+θ=

A

2

ZdA )ycoszsen (I |

θθ+θ+θ= cossenI2senIcosII ZY2

Y2

ZZ| (1)

∫=A

||

YZdAyzI || ⇒ ∫ θ+θθ−θ=

AYZdA )ycoszsen )(senycosz(I ||

)sen(cosIcossen)II(I 22

ZYZYYZ || θ−θ+θθ−= (2)

60ΙΙΙΙ.6 – Circunferência de Mohr para momentos de inér cia e produtos de inércia

As equações (1) e (2) formam uma equação paramétrica da circunferência, ou seja, o lugar

geométrico dos pares )I;I( ||| YZZforma uma circunferência. Para demonstrar esta propriedade deve-se

eliminar o parâmetro θ das equações (1) e (2). Da trigonometria têm-se as seguintes relações:

θ=θθ 2sencossen2 )2cos1(2

1cos2 θ+=θ )2cos1(

2

1sen 2 θ−=θ

Substituindo-se as relações trigonométricas acima nas equações (1) e (2), elevando ao

quadrado e somando-as, tem-se a seguinte equação de uma circunferência:

( ) 2ZY

2

ZY2

YZ

2

YZZ

I2

III

2

III ||| +

−=+

+−

Sem perder a generalidade, para esta demonstração, supõe-se que ZY II > .

Circunferência de Mohr para momentos e produtos de inércia

Ι1 e Ι2 são chamados momentos de inércia principais. Ι1 é o maior momento de inércia e Ι2 o menor.

2ZY

2

ZYYZ1 I

2

II

2

III +

−+

+= 2

ZY

2

ZYYZ2 I

2

II

2

III +

−−

+=

θ1 e θ2 são chamados direções principais, são marcados a partir do eixo OZ e positivo quando o giro é

realizado no sentido anti-horário. θ1 é a direção do plano onde encontra-se o maior momento de inércia

(Ι1) e θ2 é a direção do plano onde encontra-se o menor momento de inércia (Ι2).

Y1

ZY1 II

Itg

−=θ

−−=θ

2Y

ZY2 II

Itg

• 021 90=θ+θ

• Da circunferência de Mohr conclui-se que nas direções principais o produto de inércia ΙZY = 0.

61

Resumo das equações de M(x) e V(x) dos carregamentos mais usados na Engenharia

Carregamento )x(M )x(V

M−

0

xP−

P−

2

xq 2

−

xq−

L6

xq 3

−

L2

xq 2

−

L6

xq

2

xq 32

+−

L2

xqxq

2

+−

BIBLIOGRAFIA

BEER, F. P. & JOHNSTON JR, E. R. Resistência dos Materiais – McGraw-Hill.1982.

HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais 7a ed. – Prentice Hall. 2009.

PFEIL, W. & PFEIL M. Estruturas de Aço – Dimensionamento Prático – LTC Editora. 1995.

POPOV, E. P. Resistência dos Materiais – Prentice Hall. 1984.

SÜSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural – v. 1. Editora Globo. 1973.

TIMOSHENKO, S. P. & GERE, J. E. Mecânica dos Sólidos – LTC Editora. 1982.