ANALISIS MATEMATICO II. 20 FISICAS. 1a RELACION

1. Resolver o hallar: 1zi +2i1+i =

2 , z4 = 1 , z2 = i , (3 + i) + (7 2i) ,

(2 + i)(6 + 3i) , (1 i)(5 + i) , 3+i7i ,3+2i5+i , (1 + i)

12 .

2. Hallar el modulo y argumento principal de los complejos 2+2

3i y cos i sin, siendo < < 32 .

3. Calcular usando la formula de De Moivre cos 5 y sin 5 en terminos de cos ysin.

4. Calcular(

1i1+i

)8y

(1+i

3

1i

)40.

6. Resolvera) az2 + bz + c = 0 , a 6= 0 .b) z3 + 3z2 + 3z + 3 = 0 .c) z4 4z3 + 6z2 4z 15 = 0 .

7. Si z = x + iy hallar las partes real e imaginaria de

z2 ,1z

,z 1z + 1

y1z2

.

8. Calcular las soluciones de z2 = i , z2 = i , z2 = 1 + i y z2 = 1i

32 .

9. Comprobar que 2 + i es una de las soluciones de z3 = 2 + 11i y encontrar lasotras soluciones.

10. Indicar que representan geometricamente las siguientes ecuaciones y desigual-dades

|z 1 i| = 1 , |z 1| = |z + i| , |z 1 + i| |z 1 i| .

11. Representar los siguientes dominios

|z 2 + i| 1 , |2z + 3| > 4 , =z > 1 , =z = 1 , 0 arg z < /4

|z 4| |z| , |z| = 2 cos (arg z) .

12. Calcule las siguientes raices:

41 , 4

1 i , 3

i , 4

i , 4

1 , 3

1 + i ,

2 2

3i .

13. Calcular las siguientes sumas

sinx + sin 2x + + sinnx , cos x + cos 2x + + cos nx

sinx + sin 3x + + sin(2n 1)x , cos x + cos 3x + + cos(2n 1)x

(Sugerencia: considerar sumas geometricas de razon eix.)1

2

14. Representar graficamente los puntos del plano complejo que satisfacen lasecuaciones o desigualdades:

a) zz = 36 b) (2 + i)z + 1 = 0 c) arg z , |z| 2 d)