StoriaStoriaEuclideEuclide (Ευκλείδης), nato ad Alessandria d'Egitto (Ευκλείδης), nato ad Alessandria d'Egittointorno al 365 a.C., fu un matematico greco.intorno al 365 a.C., fu un matematico greco.Euclide di Alessandria (da non confondere conEuclide di Alessandria (da non confondere conEuclide di Megara che visse un secolo prima eEuclide di Megara che visse un secolo prima eche era un filosofo) è menzionato in un brano che era un filosofo) è menzionato in un brano Di Pappo, ma la testimonianza più importanteDi Pappo, ma la testimonianza più importanteviene da Proclo, che lo colloca tra i pù giovani viene da Proclo, che lo colloca tra i pù giovani discepoli di Platone.discepoli di Platone.Della sua vita si conosce ben poco e taluni mettonoDella sua vita si conosce ben poco e taluni mettonoindubbio che questo nome denoti una persona reale,indubbio che questo nome denoti una persona reale,indicando bensì un gruppo di studiosi che si siano impegnati nella stesura indicando bensì un gruppo di studiosi che si siano impegnati nella stesura di un trattato rigoroso e relativamente completo. L'opinione prevalente,di un trattato rigoroso e relativamente completo. L'opinione prevalente,però, considera Euclide una persona reale. Si dice sia stato discepoloperò, considera Euclide una persona reale. Si dice sia stato discepolodi Platone ad Atene. Trasferitosi in seguito ad Alessandria d'Egitto all'epocadi Platone ad Atene. Trasferitosi in seguito ad Alessandria d'Egitto all'epocadi Tolomeo I, vi fondò una scuola di matematica che rimase illustre per di Tolomeo I, vi fondò una scuola di matematica che rimase illustre per

secoli.secoli.

AneddotiAneddoti

Su Euclide esistono un paio di aneddoti, i quali pur nonSu Euclide esistono un paio di aneddoti, i quali pur nonavendo un fondamento storico, si avvicinano bene alavendo un fondamento storico, si avvicinano bene alcarattere dell’autore de “Gli Elementi”. carattere dell’autore de “Gli Elementi”. Nel primo viene detto che il re Tolomeo I chiese adNel primo viene detto che il re Tolomeo I chiese adEuclide se non vi fosse un mezzo più breve per imparareEuclide se non vi fosse un mezzo più breve per impararela geometria ed egli rispose che “la geometria ed egli rispose che “non esistono vienon esistono vieregie in geometria”regie in geometria”..Questa storia sottolinea il grande rigore che permeaQuesta storia sottolinea il grande rigore che permeatutta l’opera di Euclide . tutta l’opera di Euclide . Nel secondo si narra di un discepolo che dopo averNel secondo si narra di un discepolo che dopo averimparato i primi teoremi chiese ad Euclide: “Quale utileimparato i primi teoremi chiese ad Euclide: “Quale utilericaverò imparando queste cose?”. Euclide diede ordine ad un servo diricaverò imparando queste cose?”. Euclide diede ordine ad un servo didare le monete al discepolo perché quest’ultimo voleva trarre profittodare le monete al discepolo perché quest’ultimo voleva trarre profittoda quel che imparava. da quel che imparava. Quest’ultimo aneddoto allude invece al carattere teorico dell’opera Quest’ultimo aneddoto allude invece al carattere teorico dell’opera infatti Euclide non presenta le applicazioni pratiche delle sue teorie. infatti Euclide non presenta le applicazioni pratiche delle sue teorie.

OpereOpere

Gli Gli ElementiElementi (in greco Στοιχεῖα) di Euclide sono la (in greco Στοιχεῖα) di Euclide sono lapiù importante opera sulla matematica giuntacipiù importante opera sulla matematica giuntacidalla cultura greca antica. Composti tra il IV e ildalla cultura greca antica. Composti tra il IV e ilIII secolo a.c., rappresentano un quadro completoIII secolo a.c., rappresentano un quadro completoe definito dei principi della geometria noti al tempo.e definito dei principi della geometria noti al tempo.La geometria che si studia nelle scuole ancora oggiLa geometria che si studia nelle scuole ancora oggiè la geometria euclidea perché questa è il miglioreè la geometria euclidea perché questa è il migliorestrumento che abbiamo a disposizione per interpretarestrumento che abbiamo a disposizione per interpretarela realtà che ci circonda, visto che essa nasce propriola realtà che ci circonda, visto che essa nasce propriodall’osservazione della realtà.dall’osservazione della realtà.L'opera consiste in 13 libri: i primi 6 riguardanti laL'opera consiste in 13 libri: i primi 6 riguardanti lageometria piana, tre sulla teoria dei numeri, ilgeometria piana, tre sulla teoria dei numeri, ildecimo libro sulla teoria degli incommensurabilidecimo libro sulla teoria degli incommensurabilie gli ultimi tre sulla geometria solida.e gli ultimi tre sulla geometria solida.Alcune edizioni più antiche attribuiscono ad EuclideAlcune edizioni più antiche attribuiscono ad Euclideanche due ulteriori libri che la critica moderna assegnaanche due ulteriori libri che la critica moderna assegna

però ad altri due autori. I diversi libri sono però ad altri due autori. I diversi libri sono

strutturati in definizioni proposizionistrutturati in definizioni proposizioni (enunciati (enunciati

che potremmo anche chiamare teoremi). che potremmo anche chiamare teoremi).

Delle proposizioni vengono fornite Delle proposizioni vengono fornite

e dimostrazioni. L'arte del calcolo non e dimostrazioni. L'arte del calcolo non

è inclusa: questa, infatti, non è inclusa: questa, infatti, non

faceva parte dell’educazione superiore. faceva parte dell’educazione superiore.

E neppure lo studio neppure lo studio E neppure lo studio neppure lo studio

delle coniche o delle curve piane superiori delle coniche o delle curve piane superiori

fa parte dell’opera, poiché costituiva fa parte dell’opera, poiché costituiva

una branca più avanzata della matematica.una branca più avanzata della matematica.

Particolarmente importante è quest’opera per Particolarmente importante è quest’opera per

lo studio, basato su un metodo che attraverso lo studio, basato su un metodo che attraverso

il ragionamento logico deduttivo va alla il ragionamento logico deduttivo va alla ricercaricerca

di regole generali, degli assiomi e dei di regole generali, degli assiomi e dei postulati. postulati.

Gli assiomi sono proposizioni che enunciano proprietàGli assiomi sono proposizioni che enunciano proprietà

Che non si possono dimostrare, ma di solito Che non si possono dimostrare, ma di solito

sono così evidenti che nessuno si metterebbesono così evidenti che nessuno si metterebbe

a discutere la loro veridicità. Senza di essi nona discutere la loro veridicità. Senza di essi non

si potrebbe dimostrare niente, saremmo costrettisi potrebbe dimostrare niente, saremmo costretti

ad accettare le proprietà affermate dai teoremiad accettare le proprietà affermate dai teoremi

credendoci finché ci sostiene l’evidenza, ma senzacredendoci finché ci sostiene l’evidenza, ma senza

poterne garantire una volta per tutte la veridicitàpoterne garantire una volta per tutte la veridicità

in modo inattaccabile e inconfutabile.in modo inattaccabile e inconfutabile.

Essi perciò sono come una vera e propriaEssi perciò sono come una vera e propria

impalcatura di sostegno per tutto il sistema impalcatura di sostegno per tutto il sistema

della geometria.della geometria.

Un assioma che viene considerato indispensabile viene chiamato Un assioma che viene considerato indispensabile viene chiamato postulato.postulato.

Sicuramente il postulato più famoso è il V, detto anche postulato delleSicuramente il postulato più famoso è il V, detto anche postulato dellerette parallele (anche se l'enunciato non le cita).rette parallele (anche se l'enunciato non le cita).La negazione di questo postulato ha portato, nel XIX secolo, allo La negazione di questo postulato ha portato, nel XIX secolo, allo

svilupposviluppodelle geometrie non euclidee.delle geometrie non euclidee.Legata al V postulato è la definizione XXXIX del libro I:Legata al V postulato è la definizione XXXIX del libro I:In un piano, una retta che intersechi due rette parallele forma con In un piano, una retta che intersechi due rette parallele forma con

esse esse angoli alterni uguali fra loro, angoli esterni uguali agli angoli interni e angoli alterni uguali fra loro, angoli esterni uguali agli angoli interni e

opposti,opposti,e dalla stessa parte angoli interni la cui somma è uguale a due rettie dalla stessa parte angoli interni la cui somma è uguale a due retti.. Euclide scrisse anche altre opere come i “Dati” e la

“Divisione della figura”, “L’ottica” e la “Catottrica” però deve la sua celebrità a “Gli Elementi”, che è un’opera davvero importante e che a buon diritto tramanda attraverso i secoli il suo nome.

Per saperne di più sui postulati Per saperne di più sui postulati sulle rette parallelesulle rette paralleleIn figura 1 la retta r è fissa mentre la retta s può ruotare in In figura 1 la retta r è fissa mentre la retta s può ruotare in

senso antiorario attorno al punto P. Indichiamo con Q il punto senso antiorario attorno al punto P. Indichiamo con Q il punto in cui in cui

r ed s si incontrano. r ed s si incontrano.

Man mano che s ruota si vede che il punto Q si allontana verso est

sulla retta r (fig. 2).

Il punto Q si muove con continuità su r: piccole rotazioni di Il punto Q si muove con continuità su r: piccole rotazioni di

s determinano piccoli spostamenti di Q (e viceversa). Q s determinano piccoli spostamenti di Q (e viceversa). Q assume via assume via

via tutte le posizioni possibili su r, "passa" per tutti i punti di r. via tutte le posizioni possibili su r, "passa" per tutti i punti di r.

Il punto Q dunque si allontana sempre più sulla retta r. Si Il punto Q dunque si allontana sempre più sulla retta r. Si intuisce intuisce

però che esiste una (e una sola) situazione in cui sembra però che esiste una (e una sola) situazione in cui sembra proprio che proprio che

le due rette non si intersechino e quindi Q non esista. In le due rette non si intersechino e quindi Q non esista. In

questa situazione le due rette si dicono parallele (fig. 3). questa situazione le due rette si dicono parallele (fig. 3).

Continuando a ruotare s ci accorgiamo che il punto Q Continuando a ruotare s ci accorgiamo che il punto Q ricompare su ricompare su

r, questa volta però Q è a ovest.r, questa volta però Q è a ovest.

Eccoci arrivati a un punto cruciale. Nella geometria euclidea si assume, assecondando l'intuizione, che per un punto P non appartenente alla retta r passi una e una sola retta s parallela a r (tale cioè che r e s non si incontrino). Tale assunzione non è altro che il quinto postulato di Euclide.

Dimostrazione dell’infinità dei Dimostrazione dell’infinità dei numeri priminumeri primiUn numero maggiore dell'unità si diceUn numero maggiore dell'unità si diceprimo se ha solo due divisori distinti:primo se ha solo due divisori distinti:1 e se stesso. 1 e se stesso. Tra 1 e 10 ci sono 5 numeri primi;Tra 1 e 10 ci sono 5 numeri primi;Tra 10 e 100 ce ne sono 21;Tra 10 e 100 ce ne sono 21;Tra 9.999.900 e 10.000.000 ce ne sono 9;Tra 9.999.900 e 10.000.000 ce ne sono 9;Tra 10.000.000 e 10.000.100 ce ne sono 3.Tra 10.000.000 e 10.000.100 ce ne sono 3.Questa è la legge di rarefazione deiQuesta è la legge di rarefazione deinumeri primi. Secondo questa legge sinumeri primi. Secondo questa legge sipuò pensare che i numeri primi siano inpuò pensare che i numeri primi siano innumero finito, ma non è così, infatti,numero finito, ma non è così, infatti,Euclide dimostrò che i numeri primi Euclide dimostrò che i numeri primi sono infiniti.sono infiniti.

Dimostrazione (metodo indiretto):Dimostrazione (metodo indiretto):Si suppone che i numeri primi siano in numero finito.Si suppone che i numeri primi siano in numero finito.Esiste allora il numero primo più grande di tutti (MAX).Esiste allora il numero primo più grande di tutti (MAX).Se si esegue il prodotto tra MAX e tutti i numeri primi che Se si esegue il prodotto tra MAX e tutti i numeri primi che lo precedono e si aumenta di 1 il risultato, si ottiene un nuovo lo precedono e si aumenta di 1 il risultato, si ottiene un nuovo numero primo N più grande di MAX: infatti dividendo N per numero primo N più grande di MAX: infatti dividendo N per ciascun numero primo si ottiene sempre resto 1.ciascun numero primo si ottiene sempre resto 1.Questa è un’assurdità perché è in contrasto con il fatto che Questa è un’assurdità perché è in contrasto con il fatto che

MAX sia MAX sia il più grande numero primo. Perciò si conclude che i numeri il più grande numero primo. Perciò si conclude che i numeri

primi primi sono infinitisono infiniti..  

TeoremiTeoremi

Primo teorema di EuclidePrimo teorema di Euclide

In ogni triangolo rettangolo,In ogni triangolo rettangolo,il quadrato costruito su unil quadrato costruito su uncateto è equivalentecateto è equivalenteal rettangolo che ha per al rettangolo che ha per lati l'ipotenusa e la proiezione lati l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa.del cateto sull'ipotenusa.Nel disegno il quadrato Nel disegno il quadrato QQ è è equivalente,ossia ha la stessa area,equivalente,ossia ha la stessa area,del rettangolo del rettangolo RRIn formula  si ha: AB2 = BC · BHIn formula  si ha: AB2 = BC · BH

DimostrazioneDimostrazionePrima dimostriamo che il triangolo ABCPrima dimostriamo che il triangolo ABCè uguale al triangolo EBT.è uguale al triangolo EBT. Facendo Facendoriferimento alla figura, i due triangoli hannoriferimento alla figura, i due triangoli hannoAB=BE, l'angolo ABC uguale all'angolo TBE AB=BE, l'angolo ABC uguale all'angolo TBE (perché complementari dello stesso angolo ABT).(perché complementari dello stesso angolo ABT).Per il criterio di congruenza dei triangoliPer il criterio di congruenza dei triangolirettangoli i due triangoli sono uguali.rettangoli i due triangoli sono uguali.Se ne deduce che BC=BT.Se ne deduce che BC=BT.Il quadrato Q e il parallelogrammo P hannoIl quadrato Q e il parallelogrammo P hannola stessa base AB e la stessa altezza AD,la stessa base AB e la stessa altezza AD,che è la distanza tra le rette parallele AB e EL,che è la distanza tra le rette parallele AB e EL,quindi Q e P sono equivalenti.quindi Q e P sono equivalenti.Il parallelogrammo P e il rettangolo R hanno le basi BT e BM uguali e Il parallelogrammo P e il rettangolo R hanno le basi BT e BM uguali e l'altezza BH in comune, perché distanza tra le rette parallele TM e LK.l'altezza BH in comune, perché distanza tra le rette parallele TM e LK.Per la proprietà transitiva dell'equivalenza si ha che Per la proprietà transitiva dell'equivalenza si ha che QQ è equivalente a è equivalente a

RR. .

   

Secondo teorema di EuclideSecondo teorema di Euclide

In ogni triangolo rettangolo, il quadratoIn ogni triangolo rettangolo, il quadrato

costruito sull'altezza relativacostruito sull'altezza relativa

all'ipotenusa è equivalente al rettangoloall'ipotenusa è equivalente al rettangolo

che ha per lati le proiezioni dei catetiche ha per lati le proiezioni dei cateti

sull'ipotenusasull'ipotenusaNel disegno Nel disegno Q1 Q1 è equivalenteè equivalente

a a RR

In formula AH2 = BH · HCIn formula AH2 = BH · HC

Descrizione della figuraDescrizione della figura

Il triangolo ABC è rettangolo in A.Il triangolo ABC è rettangolo in A.

Q1 è il quadrato costruito sull'altezzaQ1 è il quadrato costruito sull'altezza

AH relativa all'ipotenusa.AH relativa all'ipotenusa.

Q2 è il quadrato costruito sulla proiezioneQ2 è il quadrato costruito sulla proiezione

BH del cateto AB.BH del cateto AB.

Q3 è il quadrato costruito sul cateto AB.Q3 è il quadrato costruito sul cateto AB.

Il rettangolo BHKM ha come lati la proiezioneIl rettangolo BHKM ha come lati la proiezione

BH del cateto AB sull'ipotenusa e BM=BC.BH del cateto AB sull'ipotenusa e BM=BC.

Il rettangolo R ha come lati le proiezioni Il rettangolo R ha come lati le proiezioni

dei cateti sull'ipotenusa.dei cateti sull'ipotenusa.

LM = BM - BL = BC - BH = HC.LM = BM - BL = BC - BH = HC.

DimostrazioneDimostrazione

Per il primo teorema di Euclide applicatoPer il primo teorema di Euclide applicato

al triangolo rettangolo ABCal triangolo rettangolo ABCQ3 è equivalenteQ3 è equivalente

a Q2 + R.a Q2 + R.Per il teorema di Pitagora applicatoPer il teorema di Pitagora applicato

al triangolo rettangolo ABHal triangolo rettangolo ABHQ3 è equivalenteQ3 è equivalente

a Q2+Q1a Q2+Q1Per la proprietà transitivaPer la proprietà transitiva

dell'equivalenza si ottienedell'equivalenza si ottieneQ2+Q1 è equivalenteQ2+Q1 è equivalente

a Q2+Ra Q2+RSe ne conclude cheSe ne conclude cheQ1 è equivalente a RQ1 è equivalente a R

Della morte di EuclideDella morte di Euclide

si sa ben poco si sa ben poco

si presume che morì si presume che morì

attorno al 275 a.c.attorno al 275 a.c.