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La risoluzione

delle equazioni di terzo grado

I regoli di Bombelli

La risoluzione delle equazioni di terzo grado: le varie tappe

• Già i Babilonesi sapevano risolvere, oltre alle equazioni di 2 grado con Δ ̲> ̲ 0,

anche le equazioni di terzo grado in forma

x3 + x2 = a risolte attraverso delle tavole che registravano i

valori della combinazione n3+n2 con n=1,…30

Erano in grado di risolvere anche le equazioni in forma ax3 + bx2 = c, riducendole alla forma precedente moltiplicando entrambi i membri dell’equazione per a2/b3 e così ottenendo

equazione di terzo grado nell’incognita ax/b

x3 = a risolte consultando direttamente le tavole dei cubi e

delle radici cubiche. Quando il valore cercato non

risultava nelle tavole il risultato era interpolato

3

223

b

ca

b

ax

b

ax


• L’algebra del ‘500

Nel febbraio del 1535 vi fu una disfida tra Antonio Maria Del Fiore e

Niccolò Fontana da Brescia (1499-1557), meglio noto come Tartaglia,

per risolvere trenta equazioni cubiche, del tipo x3 + px = q.


Del Fiore si faceva forte della formula risolutiva trasmessagli dal suo maestro, Scipione dal Ferro, mentre Tartaglia si mise a cercare

autonomamente la soluzione ai problemi proposti, giungendo a conoscere il metodo generale di risoluzione di queste equazioni e vincendo la gara.

Scipione Dal Ferro

(1465-1526), trovata nel

1515 la formula risolu-

tiva delle equazioni di

terzo grado mancanti del

termine di secondo grado

(ax3+cx+d=0), decise di

non pubblicarla e la

trasmise ai suoi allievi

(tra i quali Fiore).

Dal Ferro giunse alla

conclusione che

un’equazione di terzo

grado potesse avere

soluzioni esprimibili

tramite radicali cubici (e

non qua-dratici, come si

credeva fino alla fine del

Quattrocento).

Niccolò Tartaglia* (Brescia

1499 - Venezia 1557),

raggiunse presto grande fama

per la sua notevole cultura

algebrica. Celebre è il

‘Triangolo di Tartaglia’, che

fornisce una regola pratica

per il calcolo dei coefficienti

delle potenze successive di un binomio.

* il suo vero cognome era “Fontana”. Gli fu

attribuito il soprannome di “Tartaglia” poiché *

divenne balbuziente in seguito alle ferite al *

volto riportate durante il saccheggio di Brescia.


Gli echi della disputa giunsero fino a Milano a Gerolamo Cardano,

Gerolamo Cardano

(Pavia 1501 - Roma 1576),

conseguì a Padova i gradi di

maestro di arti e dottore in

medicina. Esercitò la

professione di medico

raggiungendo molta fama,

finché nel 1534 ottenne la

cattedra di matematica presso le

Scuole Palatine di Milano. Si dedicò allo studio delle

equazioni algebriche di qualsiasi grado e pubblicò

alcune opere relative a tale argomento tra le quali

l’Ars Magna, dove vi è enunciata anche la formula

risolutiva delle equazioni di terzo grado, dovuta a

Scipione dal Ferro e riottenuta da Tartaglia.

che inizialmente intercedette con Tartaglia per mezzo del suo libraio di fiducia, chiedendo di rivelargli la regola scoperta. In cambio Cardano la avrebbe pubblicata nel Practica ed avrebbe citato Tartaglia.


Solo dopo avergli fatto credere che avrebbe potuto intercedere per lui presso il Governatore di Milano, Cardano riuscì a convincere il matematico bresciano.

Così Tartaglia, ancora diffidente, gli comunicò la regola, seppure vincolando Cardano alla promessa di mantenerla segreta e sotto forma di…

… poesia


I caso: x3 + px = q

3

3

p

Quando che cubo con le cose appresso

Se agguaglia à qualche numero discreto

trouan dui altri differenti in esso

Dapoi terrai questo per consueto

che’l lor producto sempre sia eguale

al terzo cubo delle cose

el residuo poi suo genere

delli lor lati cubi ben sottratti

varrà la sua cosa principale

x3 + px = q

3 u – 3 v = x

u - v = q

u v =


27

3puv

qvu

27)(

3pvqv

vqu

027

32 p

qvv

vqu

2

27

4 32

2,1

pqq

v

27422

27

432

32

2

pqq

pqq

v

27422

27

432

32

1

pqq

pqq

v

2742

32

1

pqqu

2742

32

2

pqqu

3

32

3

32

27422742

pqqpqqx

Sostituendo i valori ottenuti nell’equazione

33 vux


In el secondo de cotesti atti

Quando che'l cubo restasse lui solo

Tu osservarai quest'altri contratti

Del numero farai due tal part'a volo

Che l'una in l'altra si produca schietto

El terzo cubo delle cose in stolo

Delle qual poi, per comun precetto

Terrai li lati cubi insieme gionti

Et cotal somma sara il tuo concetto

x3 = px + q

II caso: x3 + px = q

u + v = q

3

3

pu v =

3 u + 3 v = x


Procedendo in modo analogo al primo caso si ottiene che

3

32

3

32

27422742

pqqpqqx

Tartaglia, osservando il terzo caso x3 + q = px, conclude che esso dipende dal secondo caso. Cambiano però i segni.


Cardano si rese però conto che nel secondo e nel terzo caso la formula risolutiva non funziona quando (p^3)/27 > (q^2)/4 . In tal caso si dovrebbe estrarre la radice quadrata di un numero negativo. Ma ciò non era ritenuto possibile. Da qui l’espressione CASO IRRIDUCIBILE.

Del Fiore, umiliato da Tartaglia, rivela a Cardano che in realtà la formula di Tartaglia era stata precedentemente scoperta da Scipione Dal Ferro. Ricevuta conferma dal suo allievo, Ludovico Ferrari, che aveva avuto modo di vedere un quadernino di Dal Ferro nel quale era riportata la formula, Cardano si considerò libero dall’obbligo di segretezza. Ampliata e generalizzata, inserì la formula nell’Ars Magna.

Intanto…


Ars Magna Volume che avrebbe dovuto far parte dell’enciclopedia Opus Perfectum, ma che poi fu l’unico ad essere stampato.

Capitoli XI, XII, XIII: dedicati alla risoluzione delle equazioni di terzo grado

Capitolo XXXIX: de regula qua pluribus positionibus invenimus ignotam quantitatem è introdotta la formula risolutiva delle equazioni di quarto grado (attribuendo la paternità di essa a Ludovico Ferrari)

Per trovare la formula generale in grado di risolvere qualsiasi equazione di terzo e quarto grado bisognava affrontare il cosiddetto “caso irriducibile” e stabilire perciò delle regole per manipolare le radices sophisticae (=le radici quadrate dei numeri negativi)


A trovare una soluzione a questo problema sarà…

Rafael Bombelli

(Bologna 1526 – Roma 1572)


Le notizie riguardo la Vita di Bombelli non sono sufficienti e sicure

Secondo lo storico della matematica Ettore Bortolotti…

la famiglia Mazzoli (che in seguito cambiò il suo cognome in Bombelli),

appartenente alla nobiltà contadina bolognese, giunse a Bologna agli inizi

del XIII secolo.

I Mazzoli, ghibellini, erano schierati dalla parte dei signori della città, i

Bentivoglio, che governarono Bologna dal 1443. Quando papa Giulio II, nel

1506, riprese il controllo della città, i Bentivoglio furono isolati.

Gli stessi Mazzoli videro confiscate le loro proprietà (che in seguito

riottennero).

Ritornato a Bologna, qualche anno dopo la cacciata dei Bentivoglio, Antonio

Mazzoli sposò Diamante Scudieri, figlia di un sarto, e si dedicò al

commercio della lana.

I due ebbero sei figli, di cui Rafael fu il più grande.


Nel corso del ‘500 vissero Domenico e Filippo Bombelli, due giuristi, di

cui il secondo capostipite di una grande famiglia di notai, proveniente da

Borgo Panigale.

Da questo Ettore Bortolotti ipotizzò anche l’appartenenza di Bombelli a

questa famiglia.

Ciò spiegherebbe il motivo per il quale il suo nome e quello della sua

famiglia non sono presenti negli archivi; infatti quelli di Borgo Panigale

furono distrutti da un incendio.

Secondo altre documentazioni…


Nella prefazione dell’Algebra Bombelli stesso ci informa di aver avuto come precettore Francesco Maria Clementi da Corinaldo, ingegnere idraulico che bonificò le paludi di Foligno in Umbria e che istruì Bombelli riguardo le problematiche idrauliche, tanto che il vescovo Ruffini affidò al matematico di lavorare alla bonifica delle paludi della Chiana in Toscana.

Ed è proprio attorno al 1550, durante un’interruzione dei lavori di bonifica, che Bombelli si dedicò alla stesura della sua opera in volgare italiano; la composizione dell’Algebra, come lui stesso riporta, avvenne

“… all’hora che quasi era abbandonata l’impresa della essicatione della palude…”


L’Algebra Il manoscritto è un volume composto da 260 carte.

1. 16 carte contengono il frontespizio e l’indice

2. 212 carte di testo numerate

3. 32 carte di testo non numerate

• Per suddividere i capitoli o i libri differenti tra loro sono presenti delle carte totalmente bianche


I primi tre libri dell’Algebra furono fatti stampare da Bombelli nel 1575. La sezione di algebra geometrica - quarto e quinto libro – si ritenne perduta fino a quando Bortolotti la rinvenne nella biblioteca comunale dell’Archiginnasio di Bologna nel 1929. L’intera opera fu pubblicata nel 1966.

Nella prefazione dell’Algebra lo stesso Bombelli dichiara lo scopo dell’opera: riordinare il materiale già esistente nel campo dell’algebra in modo che chiunque potesse usufruirne facilmente, evitando così equivoci, che si sarebbero potuti creare a causa della difficoltà della disciplina o degli scritti troppo caotici già esistenti.


Bombelli, durante la scrittura, si avvale di alcuni lavori anteriori: • Il libretto dello scienziato persiano Muhammad ibn Musa, dal

quale riprende degli elementi per stabilire l’etimologia del vocabolo “algebra”

• La “Summa” di Pacioli • Scritti di Cardano, Tartaglia e Ferrari

I primi cinque libri dell’ “Aritmetica” di Diofanto, che Bombelli ebbe modo di studiare e tradurre durante un viaggio a Roma. Portò così alla luce le opere del matematico greco, riportando alcuni suoi problemi tradotti in italiano nel terzo libro dell’Algebra.


Bombelli prevede una costruzione “in linea” corrispondente a quella attribuita a Platone. Questa prevede l’uso di “squadri materiali”.

Si tracci il segmento unitario cd perpendicolarmente al segmento dato de (del quale si deve trovare il lato cubico). Si disponga il primo squadro in

modo che uno dei lati passi per il punto c ed il vertice appartenga al prolungamento di de e il secondo squadro tale che un lato passi per e ed il vertice giaccia sul prolungamento di cd. Si ottengono così due triangoli rettangoli gfc e gfe. Osserviamo che gd e df sono medi proporzionali tra cd e de.

fd rappresenta il lato cubico di de

Nel libro primo per quanto riguarda l’estrazione di radice cubica…


Nell’ambito dei binomi e dei residui cubici, espressioni del tipo , compaiono le radici cubiche di numeri complessi, allora definite da Bombelli “un’altra sorte di radici cubiche legate”. Bombelli non specifica la natura delle radici cubiche legate con b>0 , ma osserva che per i radicandi non possono valere le usuali regole di calcolo, perché radici quadrate di quantità negative che non possono dirsi né positive né negative, ma “un terzo genere di cosa”, come definite da Cardano

33 )()( ba

,3 ba ba


Bombelli necessita dunque, di inventare dei nuovi segni e di sta-bilire delle appropriate leggi di composizione per essi, al fine di manipolare le radici cubiche complesse e risolvere il caso irridu-cibile, come si può ben vedere dal seguente passo:

…la qual sorte di Radici quadrate ha nel suo Algorismo diversa

operatione dall’altre e diverso nome; perché quando il cubato del

terzo de li tanti è maggiore del quadrato della metà del numero…

esempio: x3= px + q se

…lo eccesso loro non si può chiamare né più né meno,però lo

chiamerò più di meno quando egli si dovrà aggiongere, e quando

si doverà cavare lo chiamerò men di meno […] e prima tratterò

del moltiplicare ponendo la regola del più e del meno

23

23

qp


Più via più di meno, fa più di meno; [(+ 1 ) (+ i) = + i]

Meno via più di meno, fa meno di meno; [(-1 ) (+ i) = - i]

Più via meno di meno, fa meno di meno; [(+ 1 ) (- i) = - i]

Meno via meno di meno, fa più di meno; [(-1 ) (- i) = + i]

Più di meno via più di meno, fa meno; [(+ i ) (+ i) = - 1]

Più di meno via men di meno, fa più; [(+ i ) (- i) = + 1]

Meno di meno via più di meno, fa più; [(- i ) (+ i) = + 1]

Meno di meno via men di meno, fa meno. [(- i ) (- i) = - 1]


Al fine di ridurre il caso irriducibile, Bombelli deve però ridurre le redices sophisticae ad espressioni manipolabili facilmente.

Per prima cosa nota che purchè siano soddisfatte le condizioni sottoriportate:

bayx

23

223 22

3xyxa

yxba


Da queste condizioni preliminari Bombelli introduce la trattazione

vera e propria delle equazioni di terzo grado nel libro secondo,

sviluppata secondo lo schema espositivo:

• Esposizione della regola in forma retorica

• Esempi numerici

• Costruzione geometrica della soluzione

Già Cardano, nell’Ars Magna, seguì questo schema: visibile questo

nella rilettura dell’algoritmo risolutivo di Tartaglia attraverso la

decomposizione delle equazioni cubiche in cubi e parallelepipedi


Dovendo affrontare il problema della rappresentazione geometrica, Bombelli prende come spunto l’Ars Magna e realizza due costruzioni fornite per il caso x3+px=q

• prima costruzione: ricalca il metodo cardaniano di ++decomposizione in cubi e parallelepipedi, utilizzando anche ++lo stesso esempio guida x3+6x=20

• seconda costruzione (proposta qui di seguito): riprende il ++metodo grafico precedentemente proposto per l’estrazione ++della radice cubica ed è dunque anch’esso “in linea” ed ++utilizza due squadri materiali che vengono disposti per ++tentativi


Data l’equazione x3+6x=20 si costruisce il quadrato lhi di lato hi= ed il segmento hc di lunghezza 6 (con hc hi). Fissato il segmento dc come unità di misura, si posizionano gli squadri e

in modo tale che il vertice di uno “squadro” scorra sul segmento hi e l’altro sul segmento ac (ac dc) ed in modo tale che bc = mh. Tramite teoremi euclidei si dimostra che bc e mh rappresentano la soluzione della cubica data.

20


La trattazione del secondo caso (irriducibile), con equazione px + q = x3 inizia con l’enunciazione della regola scritta seguita dall’esempio numerico x3 = 12x + 9 alla quale era applicabile la regola esposta da Cardano; infatti aggiungendo ad entrambi i membri 27 essi risultano divisibili per x + 3. Ciò porta all’equazione di secondo grado x2 – 3x – 3 = 0. In questi casi è possibile elaborare una rappresentazione geometrica di un’equazione cubica attraverso cubi e parallelepipedi.


“… Et benché a molti parerà questa cosa stravagante, perché di

questa opinione fui ancho già un tempo, parendomi più tosto fosse

sofistica che vera, nondimeno tanto cercai che trovai la soluzione,

la quale sarà qui sotto notata, sì che questa ancora si può mostrare

in linea…”

Nel caso in cui non sia possibile fare una manipolazione per giungere ad un’equazione di secondo grado, Bombelli afferma che è comunque possibile elaborare una rappresentazione grafica “in linea”, come dice nel seguente estratto:


Data l’equazione x3 = 6x + 4, assunto ml come segmento unitario e lf = 6, costruisco il rettangolo abfl di area uguale a 4. Dispongo uno squadro con il vertice vincolato a scorrere su li e a passare

per il punto m. L’altro in modo tale che un braccio possa scorrere sulla retta ad. Quando i due bracci si intersecano nel punto g li rappresenta la radice dell’equazione cubica data.

Grazie a questa tipologia di costruzioni Bombelli viene convinto dell’utilità delle radices sophisticae cardaniane, sollecitandolo alla costruzione di opportune regole di calcolo.


Tuttavia …

la diffusione dell’Algebra nella comunità scientifica fu molto limitata e i “nuovi segni” inventati da Bombelli, nonché le particolari radici cubiche legate, non videro uno sviluppo reale.

I numeri complessi vengono concepiti come una sorta di soluzioni di problemi. Dovranno dunque imporsi altri problemi per portare i numeri complessi all’attenzione dei matematici, e renderli così oggetto di studio, acquistando un’oggettiva “esistenza matematica”.


Presentazione e strumento a cura di:

Anna Attanasio

Arianna Galanti

Morgana Magalotti

Sofia Santilli

... e dopo tanto lavoro, fatica, inconvenienti, api e divertimento…

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