Formulario matematico - .Iperbole x2 a2 y2 b2 = 1 Iperbole equilatera x2 y2 = a2 Parabola y

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Formulario matematico

di Simone Camosso

1

Formulario matematico (di Simone Camosso)

0.1 Costanti matematiche

costante valore approssimatoe 2.7182818285 3.1415926536 log10(2) 0.3010299957 log10(e) 0.4342944819 loge(2) 0.6931471806 loge() 0.1.1447298858 loge(10) 2.3025850930

2 1.4142135624 e 1.6487212707 3 1.7320508076 1.7724538509 5 2.2360679775 10 3.1622776602

1 0.0174532925 radianti1 radiante 571744.806

0.2 Algebra

Regola dei segni

+ + + +

Operazioni con le frazioni

x

y zw

=x zy w

x

y z

w=

w x y zy w

x

y:

t

w=

xytw

=x

y w

t

(x

y

) zt

=x

zt

yzt

condizioni di esistenzax x 0

log x x > 01

P (x) P (x) polinomio P (x) 6= 0arcsinx 1 x 1arccosx 1 x 1

Potenzea0 = 1

(a)n ={

an n pari(an) n dispari

10 = 1

Definizione di modulo

|x| ={

x x 0x x < 0

Proprieta valore assoluto|x + y| |x| + |y| |x y| ||x| |y|| |x| y y x yxy

= |x||y| |x y| = |x| |y| |x| = 0 se x = 0

Potenze Logaritmi Radicaliam an = an+m loga(a) = 1 n

xm = ( n

x)m = x

mn

am

an = amn logb(a) =

1loga(b)

n

m

x = nm

x

(am)n = amn logb(x y) = logb(x) + logb(y) n

xy =

nxn

y

(a b)n = an bn logb(

xy

)= logb(x) logb(y)

xy =

x+

x2+y2

x

x2+y2(

ab

)n = anbn logb (xy) = y logb(x) n

x y = nx ny

Teoremi sui logaritmiloga(b) = logan (bn), loga(b) =

logc(b)logc(a)

, loga(

n

b)

= 1n loga(b), log x2 = 2 log |x|.

Prodotti notevoli Prodotti notevoli(x + y)2 = x2 + 2x y + y2 (x + y + z) (x + y z) = x2 + y2 z2 + 2x y(x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3x y2 + y3 (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2x y + 2x z + 2y z(x y)2 = x2 2x y + y2 (x + y) (x2 x y + y2) = x3 + y3(x y)3 = x3 3x2 y + 3x y2 y3 (x y) (x2 + x y + y2) = x3 y3(x + y) (x y) = x2 y2 (x + y + z) (x y z) = x2 (y + z)2

2

Formula del binomio di Newton

(x + y)n =n

k=0

(nk

)xnkyk

Formula risolutiva per equazioni di secondo grado ax2 + bx + c = 0

x1,2 =bb2 4ac

2aDeterminante di una matrice (2, 2)

det A =

x yz w

= x w y z

Determinante di una generica matrice A = (aij)

det A =n

j=1

(1)i+jaij det Aij

con Aij minore dellelemento aij .Inversa di una matrice ASe il determinante di A non e nullo allora esiste la matrice inversa e indicando

con ij = (1)i+j det Aij il cofattore dellelemento aij si ha che

A1 =1

det A(ji)

Teorema di Binet

detA B = det A det B

Disposizioni Formulacon ripetizione Rn,k = nk

Disposizioni semplici Dn,k = n (n 1) (n k + 1)Permutazioni Dn,n = n!

Combinazioni Cn,k =Dn,k

k! =n!

k!(nk)! =(

nk

)

proprieta di i =1

i2 = 1 i4k = 1 i4k+1 = ii4k+2 = 1 i4k+3 = i x = ix

z complessoz = a + i b,a, b R z = (cos + i sin ) e = a2 + b2, = arctan ( ba

)z = ei

3

0.3 Geometria

Formula per la distanza tra due punti P1(x1, y1), P2(x2, y2)

d(P1, P2) =

(x2 x1)2 + (y2 y1)2Similitudine

La similitudine e una particolare trasformazione geometrica, contenuta nel piano onello spazio, che conserva i rapporti tra le distanze. Questo vuol dire che, per ognisimilitudine f , esiste un numero reale positivo k tale che

d(f(A), f(B)) = kd(A,B)

per ogni coppia di punti (A,B).

Criteri di congruenza per triangoli1)Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e langolo compresotra essi equivalente.2)Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti un lato e i due angoli a essoadiacenti (ALA).3)Due triangoli sono congruenti se hanno tutti i lati ordinatamentecongruenti (LLL).Criteri di similitudine per triangoli1)Se un triangolo ha gli angoli congruenti agli angoli di un altro triangolo,allora i lati di del primo sono in proporzione con i lati del secondo.2)Se un triangolo ha un angolo congruente ad un angolo di un secondo triangoloe i due lati di questo triangolo proporzionali ai lati corrispondenti del secondo triangolo,allora i triangoli sono simili.3)Se un triangolo ha i lati in proporzione con i lati di un secondo triangolo, allora itriangoli sono simili.

Oggetto SuperficieParallelogramma S = b hTriangolo S = bh2Cerchio S = r2Trapezio S = (a+b)h2Parallelepipedo rettangolare S = 2(a b + b c + a c)Sfera S = 4 r2Cilindro retto S = 2 r (r + h)Cono retto S = r (r +h2 + r2)Piramide retta S = Sbase +

ap2

Tronco di Cono S = a (r + r) + r2 + r2

4

Oggetto VolumeParallelepipedo rettangolare V = a b cSfera V = 43 r3Cilindro retto V = r2 hCono retto S = 13 r2 hPiramide retta V = 13 Sbase hTronco di Cono V = 13 h (r2 + r2 + r r)

Formula di Erone per larea di un triangolo con semiperimetro p

S =

p (p a) (p b) (p c)Teorema di Euclide per un triangolo rettangolo con cateti a, b, ipotenusa c e al-

tezza h

Afferma che laltezza del triangolo e media proporzionale alle proiezioni dei due catetisullipotenusa. Cioe indicando con n e m le proiezioni dei cateti sullipotenusa si ha

m : h = h : n

Teorema di Pitagora per un triangolo rettangolo con cateti a, b e ipotenusa c

c2 = a2 + b2

Formula di Eulero

Dato un poliedro convesso con f facce, v vertici e a spigoli si ha

f + v a = 2Raggio della circonferenza inscritta e circoscritta ad un triangolor = Sp r =

abc4S =

abc4

p(pa)(pb)(pc)Area di un triangolo di vertici P1(x1, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3)

A = 12

x3 x1 y3 y1x2 x1 y2 y1

Formula di Brahmagupta per larea di un quadrilatero convesso di lati a, b, c, d e

semiperimetro p

A =

(p a)(p b)(p c)(p d)Definizione di modulo per un vettore ~x = (x1, , xn)

|~x| =

n

i=1

x2i

5

Prodotto scalare~x ~y = |~x| |~y| cos ~x ~y = 0 se x, y perpendicolari|~x| =

~x ~x (a~x + b~y) ~z = a~x ~z + b~y ~z

~x ~y = ~y ~x~x ~x 0

Prodotto vettoriale|~x ~y| = |~x| |~y| | sin | ~x ~y = ~0 per x, y paralleli

|~x ~y|2 = |~x|2 |~y|2 (~x ~y)2 ~x ~y = det

~i ~j ~kx1 x2 x3y1 y2 y3

~x ~y = ~y ~x ~x (~y ~z) = (~x ~y)~y (~x ~y)~z~x (a~y + b~z) = a~x ~y + b~x ~z ~x (~y ~z) + ~y (~z ~x) + ~z (~x ~y) = ~0

Oggetto del piano EquazioneRetta ax + by + c = 0 y = mx + qCirconferenza x2 + y2 + ax + by + c = 0

Ellisse x2

a2+ y

2

b2= 1

Iperbole x2

a2 y2

b2= 1

Iperbole equilatera x2 y2 = a2Parabola y = ax2 + bx + c

Oggetto del piano Valori notevoliRetta m = ab q =

cb

Circonferenza C =(a2 , b2

)e r =

a2

4 +b2

4 cEllisse C = (0, 0), F1 = (c, 0), F2 = (c, 0) con c2 = a2 b2Iperbole C = (0, 0), F1 = (c, 0), F2 = (c, 0) con c2 = a2 + b2, asintoti y = baxIperbole equilatera C = (0, 0), F1 = (c, 0), F2 = (c, 0) con c2 = 2a2Parabola V =

(b2a ,4a

), F

(b2a ,

14a 4a

), d : y = 14a 4a

6

0.4 Trigonometria

Radianti Gradi sin cos tan0 0 0 1 06 30

12

3

2

3

34 45

2

2

2

2 13 60

3

212

3

2 90 1 0 non definita23 120

3

2 12

334 135

2

2

22 1

56 150

12

3

2

33

180 0 1 076 210 12

3

2

3

354 225

2

2

22 1

43 240

3

2 12

332 270 1 0 non definita53 300

3

212

3

74 315

2

2

2

2 1116 330 12

3

2

33

2 360 0 1 0

Identita Relazioni tra angoli Relazioni tra angoli Funzioni iperbolichecsc = 1sin cos

(2

)= sin cos () = cos sinh = ee2

sec = 1cos sin(

2

)= cos tan () = tan cosh = e+e2

cot = 1tan tan(

2

)= cot cot () = cot tanh = sinh cosh

tan = sin cos cot(

2

)= tan sec () = sec coth = cosh sinh

cot = cos sin sin () = sin csc () = csc

Relazioni di Pitagora Formule di duplicazione Formule di bisezionecos2() + sin2() = 1 sin (2) = 2 sin cos cos2

(2

)= 1+cos 2

cosh2() sinh2() = 1 cos (2) = cos2() sin2() sin2 (2)

= 1cos 21 + tan2() = sec2() tan (2) = 2 tan

1tan2() tan2(

2

)= 1cos 1+cos

1 + cot2() = csc2()

7

Formule di addizione Formule di Wernersin ( ) = sin cos sin cos sin cos = 12 [sin ( + ) + sin ( )cos ( ) = cos cos sin sin cos sin = 12 [sin ( + ) sin ( )tan ( ) = tan tan 1tan tan cos cos = 12 [cos ( + ) + cos ( )

sin cos = 12 [cos ( ) cos ( + )

Formule di prostaferesi Formule di Eulerosin + sin = 2 sin

(12( + )

)cos

(12( )

)ei = cos + i sin

sin sin = 2 cos (12( + ))sin

(12( )

)ei = cos i sin

cos + cos = 2 cos(

12( + )

)cos

(12( )

)cos = e

i+ei2

cos cos = 2 sin (12( + ))sin

(12( )

)sin = e

iei2i

Teorema sei seni Teorema del cosenosin

a =sin

b =sin