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a t e’ PROBLEMAS DE CALCULO II

1o Ings. Industrial y de TelecomunicacionCURSO 2009–2010

5 Transformada de Laplace y ecuaciones diferenciales

5.1 Transformada de Laplace.

Problema 5.1 Demuestra las siguientes propiedades de la funcion gamma, definida como

Γ(x) =

∫

∞

0

tx−1e−tdt, x > 0.

i) Γ(1) = Γ(2) = 1; Γ(1/2) =√

π.

ii) Γ(x + 1) = xΓ(x).

iii) Deduce de lo anterior que limx→0+

Γ(x) = +∞.

iv) Si n ∈ IN , Γ(n + 1) = n!.

v) Si n ∈ IN , Γ

(

n +1

2

)

=(2n)!

22nn!

√π.

Problema 5.2 Si f : [0,∞) −→ IR es integrable, y tiene crecimiento a lo sumo exponencial(es decir, |f(t)| ≤ c eαt, para todo t > T , donde c, α, T son ciertas constantes que dependen def), la transformada de Laplace de f se define mediante

L(f)(s) =

∫

∞

0

e−stf(t) dt .

i) Prueba que L(f)(s) converge para s ∈ (α,∞).

ii) Prueba que si |f(t)| ≤ c eαt, para todo t > 0, entonces

∣

∣L(f)(s)∣

∣ ≤ c

s − α, s > α.

Problema 5.3

i) Prueba que si f(t) ≡ 1, entonces L(f)(s) = 1/s, para s > 0.

ii) Integrando por partes, prueba que si f(t) = tn, (n ∈ IN), entonces

L(f)(s) =n!

sn+1, s > 0 .

iii) Usando la funcion gamma, prueba que si f(t) = t−1/2, entonces

L(f)(s) =

√

π

s.

¿Contradice esto el ultimo apartado del ejercicio anterior?

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iv) Usando la funcion gamma, prueba que si f(t) = tb, con b > −1, entonces

L(f)(s) =Γ(b + 1)

sb+1.

Problema 5.4 Prueba las siguientes propiedades de la transformada de Laplace:

i) L(αf + βg) = α L(f) + β L(g), α, β ∈ IR.

ii) Si se define f = 0 para t < 0, entonces si a > 0 se tiene,

L(f(t − a))(s) = e−asL(f)(s) .

iii) L(e−atf(t))(s) = L(f)(s + a), a ∈ IR.

iv) L(f(at))(s) =1

aL(f(t))

( s

a

)

, a > 0.

Problema 5.5 Usando las propiedades anteriores calcula la transformada de Laplace de lasfunciones siguientes, indicando en cada caso su dominio.

i) f(x) = eax, (a ∈ IR),

ii) f(x) = x eax, (a ∈ IR),

iii) f(x) = ex/√

x ,

iv) f(x) = xbeax, (a ∈ IR, b > −1),

v) f(x) = sen(ax), (a ∈ IR),

vi) f(x) = cos(ax), (a ∈ IR),

vii) f(x) = e−ax cos(bx), (a, b ∈ IR),

viii) f(x) = e−ax sen(bx), (a, b ∈ IR),

ix) f(x) = sen2x,

x) f(x) = cos2x.

Solucion: i) 1/(s−a), s > a; ii) 1/(s−a)2, s > a; iii)√

π/(s − 1) , s > 1; iv) Γ(b+1)/(s−a)b+1,s > a; v) a/(s2 + a2), s > 0; vi) s/(s2 + a2), s > 0; vii) (s + a)/(b2 + (s + a)2), s > −a;viii) b/(b2 + (s + a)2), s > −a; ix) 2/[s(s2 + 4)], s > 0; x) (s2 + 2)/[s(s2 + 4)], s > 0.

Problema 5.6 Sea f una funcion continua en [0,∞) con crecimiento a lo sumo exponencial.

i) Prueba que si f es derivable en (0,∞) y f ′ es continua, entonces

L(f ′)(s) = sL(f)(s) − f(0) .

ii) Deduce a partir de i) que si f ′′ es continua, entonces

L(f ′′)(s) = s2 L(f)(s) − s f(0) − f ′(0) .

iii) Suponiendo que se puede derivar bajo el signo integral, prueba que L(f) es derivable yque

d

ds[L(f)(s)] = −L(t f(t))(s) .

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iv) Mas aun, suponiendo que se puede derivar bajo el signo integral, prueba que L(f) tienederivadas de todos los ordenes y que

dn

dsn[L(f)(s)] = (−1)nL(tnf(t))(s) .

Problema 5.7 Usando el ejercicio anterior si es necesario, halla la transformada de Laplacede las siguientes funciones, indicando en cada caso su dominio:

i) f(x) = x cos(ax) (a ∈ IR),

ii) f(x) = x2 sen(ax) (a ∈ IR),

iii) f(x) = sen3x ,

iv) f(x) = cos3x .

Indicacion: iii) 4 sen3x = 3 sen x − sen 3x; iv) 4 cos3x = 3 cos x + cos 3xSolucion: i) (s2 − a2)/(s2 + a2)2, s > 0; ii) (6as2 − 2a3)/(s2 + a2)3, s > 0;iii) 6/[(s2 + 1)(s2 + 9)], s > 0; iv) (s3 + 7s)/[(s2 + 1)(s2 + 9)], s > 0.

Problema 5.8 Halla la funcion cuya transformada de Laplace es

i)1

s2 − 1ii)

1

(s + 1)2

iii)1

s(s + 1)2iv)

1

sn(n ∈ IN)

v)1

(s − 1)2(s2 + 1)vi)

4s + 12

s2 + 8s + 16

vii)s e−πs/2

s2 + a2viii)

1√s.

Solucion: i) senh x = (ex − e−x)/2; ii) x e−x; iii) 1 − (x + 1) e−x; iv) xn−1/(n − 1)!;v) 1

2((x − 1)ex + cos x); vi) 4(1 − x)e−4x; vii) cos(a(x − π/2)) si x ≥ π/2, 0 si x < π/2;

viii) 1/√

πx.

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5.2 Ecuaciones diferenciales.

Problema 5.9 Resuelve los siguientes problemas de valor inicial

i)

{

y′ − 3y = e2t

y(0) = 1ii)

{

y′ + 3y = sen 2ty(0) = 0

iii)

{

y′ − 5y = cos 3ty(0) = 1/2

iv)

{

y′ − 5y = e5t

y(0) = 1/2

v)

{

y′′ + 2y′ + y = e−t

y(0) = 0, y′(0) = 1vi)

{

y′′ − y = e2t

y(0) = 0, y′(0) = 1

vii)

{

y′′ + 16y = cos 4ty(0) = 0, y′(0) = 1

viii)

{

y′′ + 2y′ + y = e−3t

y(0) = 1, y′(0) = 0

ix)

{

y′′ − 6y′ + 9y = t2e3t

y(0) = 2, y′(0) = 6x)

{

y′′ + 4y′ + 6y = 1 + e−t

y(0) = 0, y′(0) = 0

Solucion: i) y(t) = 2e3t − e2t; ii) y(t) = (2e−3t − 2 cos 2t + 3 sen 2t)/13;iii) y(t) = (22e5t − 5 cos 3t + 3 sen 3t)/34; iv) y(t) = (t + 1/2)e5t;v) y(t) = (t + t2/2)e−t; vi) y(t) = (e2t − e−t)/3;vii) y(t) = [(2 + t) sen 4t]/8; viii) y(t) = (e−3t + 3e−t + 6te−t)/4;ix) y(t) = (24 + t4)e3t/12; x) y(t) = (1 + 2e−t − 3e−2t cos(

√2 t) − 2

√2 e−2t sen(

√2 t))/6.

Problema 5.10 Resuelve los siguientes problemas de valor inicial, para t > 0:

i)

{

y′′′(t) − 4y′′(t) − 5y′(t) = 3y(0) = y′′(0) = 0, y′(0) = 1.

ii)

{

x′′′(t) + x′′(t) − 6x′(t) = 0x(0) = x′(0) = 0, x′′(0) = 1.

Solucion: i) y(t) = 4e5t/75 − 4e−t/3 + 96/75 − 3t/5; ii) x(t) = e2t/10 + e−3t/15 − 1/6.

Problema 5.11 Resuelve, para ω 6= ω0, el problema de valores iniciales

x′′ + ω20 x = k sen ωt, t > 0

x(0) = x′(0) = 0

que describe las oscilaciones forzadas de una masa en un resorte no amortiguado. ¿Que pasa siω = ω0?Indicacion: L

−1{ 1(s2+a

2)2} = 1

2a3 (sen at − at cos at).

Solucion: x(t) = kω0

· ω0 sen ωt−ω sen ω0tω2

0−ω2 si ω 6= ω0; x(t) = k2ω2

0(sen ω0t − ω0t cos ω0t) si ω = ω0.

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