Problema resolvido 4.2SOLUÇÃO:

• Baseado na geometria da seção transversal, calcular a localização do centroide e momento de inércia.

Y=∑ y A

∑ AIx '=∑ ( I+A d2 )

• Aplicar a fórmula da flexão elástica para encontrar as tensões máximas de tração e compressão.

σm=McI

• Calcular a curvatura1ρ=MEI

A peça de máquina de ferro fundido é atendida por um momento M = 3 kN m. Sabendo-se que o módulo de elasticidade E = 165 GPa e desprezando os efeitos dos adoçamentos, determine (a) as tensões máximas de tração e compressão, (b) o raio de curvatura.

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Problema resolvido 4.2SOLUÇÃO:

Baseado na geometria da seção transversal, calcular a localização do centróide e momento de inércia.

Y=∑ y A

∑ A=

114×103

3000=38 mm

Area, mm2 y , mm y A , mm3

1 20×90=1800 50 90×103

2 40×30=1200 20 24×103

∑ A=3000 ∑ y A=114×103

Ix'=∑ ( I+A d2)=∑ (1

12bh3+A d2)

=(112

90×203+1800×122)+(11230×403+1200×182 )

I=868×103 mm4= 868×10-9m4

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Problema resolvido 4.2

• Aplicar a fórmula da flexão elástica para encontrar as tensões máximas de tração e compressão.

σm=McI

σ A=M c AI

=3 kN⋅m × 0 . 022 m

868×10−9m4

σ B=−M cBI

=−3 kN⋅m× 0 .038 m

868×10−9m4

σ A=+76 .0 MPa

σ B=−131 .3 MPa

• Calcular a curvatura1ρ

=MEI

=3 kN⋅m

(165 GPa ) (868×10-9m4 )1ρ

=20 . 95×10−3m-1

ρ=47 .7 m

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Flexão de Barras Constituidas de Vários Materiais

• Deformação normal varia linearmente.

ε x=−yρ

• Tensões normais variam linearmente

σ1=E1 ε x=−E1 yρ σ2=E2 ε x=−

E2 yρ

• Eixo neutro não passa pelo centroide da sessão composta.

• As forças que atuam no elemento são:

dF1=σ 1dA=−E1 y

ρdA dF2=σ2dA=−

E2 y

ρdA

• Considere uma barra composta por dois materiais E1 e E2.

σ x=−MyI

σ1=σ x σ2=nσ x dF2=−(nE1) y

ρdA=−

E1 y

ρ(n dA ) n=

E2

E1

• Definir uma seção transformada de tal forma que:

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Problema Resolvido 4.3SOLUÇÃO:

• Transformar a barra em uma seção equivalente feita inteiramente de latão.

• Avaliar as propriedades da seção transversal da barra transformada.

• Calcular a tensão máxima na seção transformada. Esta é a tensão máxima correta para a parte de latão da barra.

• Determine a tensão máxima na parte de aço do barra, multiplicando a tensão máxima para a seção transformada pela razão entre os módulos de elasticidade.

Uma barra feita da união de duas peças de aço (Eaço = 203GPa) e latão (Elatão = 105 GPa). Determinar a tensão máxima no aço e no latão, quando um momento M= 4,5 KN.m estiver aplicado.

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Problema Resolvido 4.3

• Calcular o momento de inércia da seção trasformada.

I= 1

12bT h

3=1

12(0, 567 m ) (0,076 m )3=2 .10−6 m4

SOLUÇÃO:

• Transformar a barra em uma seção equivalente feita inteiramente de latão.

• Calcular as tensões máximas

(σ latão)max=σm

(σ aço)max=nσm=1, 933× 85,5 MPa

(σ latão )max=85 ,5 MPa

(σ aço)max=(1,933 )(85,5 MPa )

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n=Eaço

Elatão

=203GPa105GPa

=1.933

bT=19mm×(1.933)=36.7mm

σm=M cI

=(4,5 KN )(0,038m)

2×10−6m4 =85,5MPa

Vigas de Concreto Armado• Vigas de concreto submetida a momentos fletores são

reforçadas por barras de aço.

• Para determinar a localização do eixo neutro,

(bx )x2

−n A s (d−x )=0

12b x2+n As x−n A s d=0

• As barras de aço resistem à carga de tração abaixo da superfície neutra. A parte superior da viga de concreto resiste à carga de compressão.

• Na seção transformada, a área transversal do aço, As, passa a ter a área equivalente nAs onde n = Es/Ec.

• As tensão normais no concreto e no aço

σ x=−MyI

σ c=σ x σ s=nσ x

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Problema resolvido 4.4

SOLUÇÃO:

• Transformar em uma seção feita inteiramente de concreto.

• Avaliar as propriedades geométricas da seção transformada.

• Calcular as tensões máximas no concreto e no aço.

•A laje de piso de concreto é reforçada com barras de aço 16 mm de diâmetro. O módulo de elasticidade é de 205 GPa para o aço e 25 GPa para o concreto. Com um momento fletor aplicado de 4,5 KN.m a cada 300mm de largura da laje, determinar a tensão máxima no concreto e no aço.

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Problema resolvido 4.4

• Avaliar as propriedades geométricas da seção transformada.

300 x(x2 )−3296 (100−x )=0 x=37,1 mm

I=13

(300 ) (37,1 )3+3296 (100−37 ,1 )2=18 ,15 . 106 mm4

SOLUÇÃO:

• Transformar em uma seção feita inteiramente de concreto.

n=EsEc

=205 GPa25 GPa

=8,2

nA s=8,2 .(402 mm2)=3296 mm2

• Calcular as tensões máximas.

σ c=Mc1I

=4500 KN .m×37,1mm18,15×106mm4

σ s=nMc2I

=8,2(4500KN .m)(62 ,9mm )

18,15×106mm4

σ c=9,2 MPa

σ s=127 ,9 MPa

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Concentração de Tensão

Concentrações de tensão pode ocorrer :

• nas proximidades dos pontos onde as cargas são aplicadas

σm=KMcI

• nas proximidades de mudanças abruptas na seção transversal

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Deformações Plásticas

• No caso de elemento que possui planos de simetria vertical e horizontal, composto de material caracterizado pela mesma relação tensão-deformação em tração e em compressão a linha neutra coincidirá com a linha de simetria horizontal da seção.

• Para qualquer elemento submetido à flexão pura a tensão varia linearmente com a deformação:

ε x=−ycεm

• Se o elemento é feito de um material elástico linear, a linha neutra passa pelo centroide da seção e

σ x=−MyI

• Para um material com uma curva de tensão-deformação não-linear, a localização da linha neutra é encontrada através da expressão:

Fx=∫ σ x dA=0 M=∫−yσ x dA

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Deformações Plásticas• O valor máximo do momento fletor, Ml, provoca

falha do elemento. Esse valor pode ser determinado quando a tensão máxima é igual à resistência última do material.

• RB pode ser usado para determinar o limite de momento fletor, Ml, de qualquer elemento feito do mesmo material e com uma seção transversal da mesma forma, mas com dimensões diferentes.

• O módulo de ruptura em flexão, RB , é encontrado a partir de um valor determinado experimentalmente de Ml considerando uma distribuição linear fictícia de tensões.

RB=M lc

I

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Barras Constituídas de Material Elastoplástico• Barra retangular em flexão feita de um material

elastoplásticoσ x≤σ E σm=

McI

σm=σ E M E=Icσ Y= momento elástico máximo

• A medida que o momento fletor M aumenta, as zonas plásticas expandem-se até que, no limite, a deformação é totalmente plástica.

M=32ME(1−

13

yE2

c2 ) y E= metade da espessura do núcleo elástico

• A medida que yE se aproxima de zero, o momento fletor se aproxima do valor limite.

M p=32M E= momento plástico

k=M p

M E

= fator de forma (depende apenas da forma da seção)

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