Teoria do Perfil Fino 1. Formulação do Problema X Y α.

Teoria do Perfil Fino1. Formulação do Problema

X

Y

α

Equações Fundamentais

Hipóteses:1. Escoamento incompressível (ρ= cte.) e propriedades constantes (ν = cte. ; K = cte.)2. Fluido ideal (ν = 0 )3. Escoamento irrotacional ( )0ω

V0 Vx

0)(

Vt

)(21)( VPgVV

t

V

)()( TKVpeVt

e

Eq. Navier - Stokes

02

cteP

gZV

t

2

2

Modelo c/ hipóteses simplificadoras

Equações: 5 (escalares)

Incógnitas: TPVVV zyX e , ,,

Equações: 1 (escalar)

Incógnitas:



X

Y

α

02

cteP

gZV

t

2

2

Eq. diferencial parcial linear

Condições de Contorno:

Vn

0nV

Na superficie do corpo

Afastado do corpo ( ∞ ) VV

Equações que descrevem o modelo:


Condições de Contorno:0nV

Na superficie do corpo

Afastado do corpo ( ∞ ) VV

Condições de Contorno no Corpo:

X

Y )(xy u

)(xy l

0nV

0nV

V

?n


Condições de Contorno no Corpo:X

Y )(xy u

)(xy l

Fn

X

θ1

Y θ2

dx

dtg

1

y

xtg

2

12 tgtg

dx

d

y

x

1dx

dx

1 ySe

jyixn

jidx

dn

1

n

jy

Fi

x

FF

)(xyF

jidx

dF

1

)(, xyyxF

0 F

0nV


Potencial de Perturbação:

V

VV

Potencial de velocidades

Potencial de perturbação

V 22

qVelocidade de perturbação

yv

xu

jviuq

02 02

V

q

0 F

0 FV

Potencial de velocidades Potencial de perturbação

VV


Potencial de Perturbação:

0sincos

y

FvV

x

FuV

02

0 FV

X

Y)(xy u

)(xy l

)(, xyyxF

V

jidx

dF

1

01sincos vVdx

duV

sincos, Vdx

duVyxv

Cond contorno no corpo:


Linearização das condições de contorno:

0 FV X

Y)(xy u

)(xy l

)(, xyyxF

V

sincos, Vdx

duVyxv

Hipótese de pequenas perturbações:

Perfil fino e alongado

Ângulo de ataque pequeno

1cos

sin

cos

sin

Vu

Vv

V

dx

dVyxv ,CC linearizada:

CC não linearizada:


Transferencia da CC p/ o eixo X:X

Y)(xy u

)(xy l

)(, xyyxF

V



V

dx

dVyxv ,

CC na superficie:

22

2

0,, ydy

vdy

dy

dvxvyxv

Expansão em série de Taylor:

0,, xvyxv

V

dx

dVxv 0,

CC no Eixo X:


X

Y

V

)(xy t

)(xy c

)(xy l

)(xy u

luc 2

1

lut 2

1

tcu

tcl

Forma do aerofólio em termos de arqueamento e espessura


V

dx

dVxv 0,

tcu

tcl

Cond de Contorno em termos de arqueamento e espessura

Vdx

dVxv u0,

Vdx

dVxv l0,

Sup. Superior

Sup. Inferior

Vdx

dV

dx

dVxv tc0,

Vdx

dV

dx

dVxv tc0,

Sup. Superior

Sup. Inferior

Vdx

dV

dx

dVxv tc0,


Visão Geral da Formulação do Problema

02

V

0 F

Potencial de velocidades

VV

02

q

0 FV


Condição de ContornoCondição de Contorno



02

q

0 FV

Potencial de perturbação Potencial de perturbação

02

jviuq

sincos, Vdx

duVyxv

Condição de ContornoCondição de Contorno

jidx

dF

1



02

q

Potencial de perturbaçãoPotencial de perturbação

02

jviuq

sincos, Vdx

duVyxv

Condição de Contorno LinearizadaCondição de Contorno

V

dx

dVxv 0,

Hipótese de pequenas perturbações:Perfil fino e alongado




02

q


Condição de Contorno Linearizada

02

q



V

dx

dVxv 0,

V

dx

dV

dx

dVxv tc0,

tcu

tcl Forma do aerofólio em termos de arqueamento e espessura


Divisão em sub-problemas mais simples

02

q



Vdx

dV

dx

dVxv tc0,

012

11

q

Problema 1

Condição de Contorno

dx

dVxv c

0,1

022

22

q

Problema 2


dx

dVxv t

0,2

032

33

q

Problema 3


Vxv 0,3

321


Interpretação física do problema 1

012

11

q

Problema 1


dx

dVxv c

0,1

X

Y)(xy c

V

111 0, xdx

dVxv c

221 0, xdx

dVxv c

2x1x



X

Y)(xy t

V

112 0, xdx

dVxv t

2x1x

022

22

q

Problema 2


dx

dVxv t

0,2

112 0, xdx

dVxv t



X

Y

V

032

33

q

Problema 3


Vxv 0,3

Vxv 0,3


Determinação do Coeficiente de Pressão (Cp)

qVV

jviuq

2

21

V

PPCp

2

2

1

V

VCp

VVV

2

qVqVV

2 222 2 qVqVV

jViVV

sin cos

222 2 qVqVV

2222 sincos2 vuvVuVVV

2

22

sincos2

V

vu

V

v

V

uCp


Determinação do Coeficiente de Pressão (Cp) Linearizado

2

2

1

V

VCp

Hipótese de pequenas perturbações:



1cos

sin

cos

sin

Vu

Vv

V

uCp 2

2

22

sincos2

V

vu

V

v

V

uCp

Coeficiente de Pressão (Cp) Linearizado

Teoria do Perfil Fino2. Escomento sobre Perfil Simétrico

Definição do tipo de solução deve ser usada p/ modelar o escoamento de perturbação

X

Y)(xy t

V

112 0, xdx

dVxv t

2x1x

022

22

q

Problema 2


dx

dVxv t

0,2

112 0, xdx

dVxv t

Questão fundamental:

Qual é o tipo de solução simples da eq de Laplace que induz um campo de velocidades compativel com ? 0,2 xv


Campo de velocidade gerado por uma fonte (Q)

X, x

y

x x

Y, h

h

rV

u

v

r

Q

r

QVr

1

2

cosrVu

sinrVv

r

x cos

r

y sin

222 yxr

222

yx

xQu

222

yx

yQv


Campo de velocidade gerado por uma fonte (dQ), localizada no eixo X

222 yx

xdQdu

222 yx

ydQdv

X, x

y

x

x

Y, hrdV

du

dv

r

dQ

222

yx

xQu

222

yx

yQv


Campo de velocidade gerado por uma fonte (dQ), localizada no eixo X

222 yx

xdQdu

222 yx

ydQdv

X, x

y

x

x

Y, hrdV

du

dv

r

dQ

d

dqdQ

q

222 yx

xdqdu

222 yx

ydqdv


Campo de velocidade induzido por todas as fontes (dQ), localizada no eixo X

X, x

y

x

x

Y, h

V

u

v

d

q

222 yx

xdqdu

222 yx

ydqdv

dyx

xqyxu

c

0

222,

d

yx

yqyxv

c

0222

,

Somando as contribuições de todas as fontes ao longo do eixo X


Implementação da condição de contorno – Determinação de q(x)

d

yx

yqyxv

c

0222 2

,

A condição de contorno é implementada no eixo X

X, x

y

x

x

Y, h

V

u

v

d

q

V


dx

dVxv t

0,2

d

yx

yqoxv

c

y 022

02 2

, lim


Implementação da condição de contorno – Determinação de q(x)

X, x

y

x

x

Y, h

V

u

v

d

q

V

Condição de Contorno dx

dVxv t

0,2

d

yx

yqoxv

c

y 022

02 2

, lim 2

,2

xqoxv

dx

dVxq t

2


Campo de velocidade de perturbação em um ponto genérico (x,y)

X, x

y

x

x

Y, hV

u

v

d

q

dyx

xqyxu

c

0

222,

d

yx

yqyxv

c

0222

,

d

yx

x

d

dVyxu

ct

022,

dx

dVxq t

2

d

yx

y

d

dVyxv

ct

022,


Coeficiente de pressão (Cp) na superfície do aerofólio

X, x

y

x

x

Y, h

V

u

v

d

q

V

Ponto (x,y) genérico do escoamento

d

yx

x

d

dVyxu

ct

022,

V

yxuyxCp

,2,

Coef de Pressão (Cp) Linearizado

d

xd

dVxu

ct

0

10,

V

xuxCp

0,20,

Ponto (x,0) na superfície do aerofólio



Fórmula integral de Poisson

d

xd

dVxu

ct

0

10,

V

xuxCp

0,20,

Mudança de variáveis

X, x

Y, h

r

x x

θ f

cos12

c

x

cos12

c

dd

dVu t

0 coscos

sin




V

xuxCp

0,20,

X, x

Y, h

r

x x

θ f

cos12

c

x

dd

dVu t

0 coscos

sin

Solução da Fórmula integral de Poisson

1

sinn

nt nA

d

d

dnd

dA t

n 0

sin2

1

cosn

n nAV

u



V

xuxCp

0,20,

cos12

c

x

dnd

dA t

n 0

sin2

1

cosn

n nAV

u

dnd

dA t

n 0

sin2

1

cosn

n nAV

u

V

xuxCp

0,20,

dnd

dA t

n 0

sin2

1

cosn

n nAV

u

Teoria do Perfil Fino3. Escomento sobre uma placa arqueada

Definição do tipo de solução usada p/ modelar o escoamento de perturbação



012

11

q

Problema 1


dx

dVxv c

0,1

X

Y)(xy c

V

111 0, xdx

dVxv c

221 0, xdx

dVxv c

2x1x

Teoria do Perfil Fino

Campo de velocidade gerado por um vórtice ()

rV

1

2

sinVu

cosVv

r

x cos

r

y sin

222 yxr

222

yx

yu

222

yx

xv

3. Escomento sobre uma placa arqueada

X, x

y

x x

Y, h

h

V

u

v

r

vórtice c/ sentido anti-horário ()


Campo de velocidade gerado por um vórtice (d), localizado no eixo X

X, x

y

x

x

Y, hdV

du

dv

r

d

222

yx

yu

222

yx

xv

222 yx

yddu

222 yx

xddv

vórtice c/ sentido horário ()Todos os vórtice são posicionados no eixo X


Campo de velocidade gerado por um vórtice (d), localizada no eixo X

dd

d

X, x

y

x

x

Y, hdV

du

dv

r

d

222 yx

yddu

222 yx

xddv

222 yx

yddu

222 yx

xddv


Campo de velocidade induzido por todos os vórtices (d), localizada no eixo X

Somando as contribuições de todos os vórtices ao longo do eixo X

d

X, x

y

x

x

Y, hV

u

v

r

d

d

yx

yyxu

c

0222

,

dyx

xyxv

c

0

222,

222 yx

yddu

222 yx

xddv


Implementação da condição de contorno – Determinação de (x)


d

X, x

y

x

x

Y, h

V

u

v

V

dyx

xyxv

c

0

222,

dx

xvc

0

1

20,


dx

dVxv c

0,1




2

,2

xqoxv

dx

dVxq t

2

d

X, xy

x

x

Y, h

V

u

v

V

dx

xvc

0

1

20,

X, x

Y, h

r

x x

θ f

cos12

c

x

cos12

c

dx

dVxv c

0,1

dx

dVd c

0 coscos

sin

2

1

Veloc induzida pelos vortices distribuidos no eixo X

xdx

dVd

xc

c

0

1

2



Distribuição de circulação ao longo da corda

X, x

Y, h

r

x x

θ f

cos12

c

x


1

0 cos2 n

nc nB

B

dx

d

dndx

dB c

n 0

cos2

dx

dVd c

0 coscos

sin

2

1

1

0 sin2cossin n

n nBVBV


No bordo de fuga


1

0 sin2cossin n

n nBVBV

cos12

c

X, x

Y, h

r

x x

θ f

c0

Velocidade no bordo

de fuga é infinita

NOTA: Teorema de Stokes

SC

dsnldV

Válido somente para regiões simplesmente conexas

n


Condição de Kutta

Condição de Kutta

dI

0 coscos

sin

1

0 sin2cossinsin n

n nBVBVK

0coscos0

d

sin

k0I se

Distribuição de circulação é indeterminada

00

1

0 sin21cossin n

n nBVBV

Escoamento não contorna o bordo de fuga

Identidade matemática



d

X, x

y

x

x

Y, hV

u

v

r

d

d

yx

yyxu

c

0222

,

dyx

xyxv

c

0

222,

1

0 sin21cossin n

n nBVBV

cos12

c




V

yxuyxCp

,2,


V

xuxCp

0,20,


d

X, x

y

x

x

Y, h

V

u

v

V

d

yx

yyxu

c

0222

,

d

yx

yxu

c

yLim

022

0 20,



Distribuição de Cp nas superficies superior e

inferior da placa arqueada

V

xuxCp

0,20,

cos12

c

x

22

0,0

220

xd

yx

yxu

c

yLim

V

xxCp

0,

1

0 sin21cossin n

n nBVBV

d

X, x

y

x

x

Y, hV

u

v

V

22

0,0

220

xd

yx

yxu

c

yLim

V

xxCp

0,


Força de Sustentação na superfície da Placa Arqueada

dxxpxpLc

0

0,0,

X, x

y

x

Y, h

V u

0,xp

0,xp

dx

dxxCpxCpVLc

0

2 0,0,2

1

V

xxCp

0,

dx

V

x

V

xVL

c

0

2

2

1

dxxVLc

0

2

21

V

PPCp

VL


Momento de Arfagem na Placa Arqueada

xdxxpxpMc

0

0,0,

X, x

y

x

Y, h

V u

0,xp

0,xp

dx

xdxxCpxCpVMc

0

2 0,0,2

1

V

xxCp

0,

xdx

V

x

V

xVM

c

0

2

2

1

xdxxVMc

0

2

21

V

PPCp

Momento em relação a X=0


Coeficientes de Sustentação e Momento de Arfagem na Placa Arqueada

xdxxVMc

0


dxxVLc

0

dxxcV

Clc

0

2

xdxxcV

Cmc

0

2

2

cos12

c

x

1

0 sin21cossin n

n nBVBV

10 BBCl

44 2110

BBBBCm

44 21

BB

ClCm

10 BBCl

44 2110

BBBBCm

44 21

BB

ClCm

10 BBCl

44 2110

BBBBCm

Teoria do Perfil Fino4. Escomento sobre uma placa plana com angulo de ataque α

Definição do tipo de solução usada p/ modelar o escoamento de perturbação



X

Y

V

032

33

q

Problema 3


Vxv 0,3

Vxv 0,3


Campo de velocidade gerado por um vórtice (d), localizado no eixo X

222

yx

yu

222

yx

xv

222 yx

yddu

222 yx

xddv

vórtice c/ sentido horário ()Todos os vórtice são posicionados no eixo X

X, x

y

x

x

Y, hdV

du

dv

r

d


Campo de velocidade gerado por um vórtice (d), localizada no eixo X

dd 222 yx

yddu

222 yx

xddv

222 yx

yddu

222 yx

xddv

d

X, x

y

x

x

Y, hdV

du

dv

r

d


Campo de velocidade induzido por todos os vórtices (d), localizada no eixo X

Somando as contribuições de todos os vórtices ao longo do eixo X

d

yx

yyxu

c

0222

,

dyx

xyxv

c

0

222,

222 yx

yddu

222 yx

xddv

d

X, x

y

x

x

Y, hV

u

v

r

d




dyx

xyxv

c

0

222,

dx

xvc

0

1

20,

d

X, x

x

x

Y, h

V

v

V


Vxv 0,3

V




d

xxv

c

0

1

20,

X, x

Y, h

r

x x

θ f

cos12

c

x

cos12

c

Vd

0 coscos

sin

2

1

Veloc induzida pelos vortices distribuidos no eixo X

Vd

x

c

0

1

2


d

X, xx

x

Y, h

V

v

V

V

Vxv 0,3




Vd

0 coscos

sin

2

1

1coscos

cos1

0

dIdentidade matemática

sin

cos2 V

Solução da formula integral de Poisson


No bordo de fuga


cos12

c

X, x

Y, h

r

x x

θ f

c0

Velocidade no bordo

de fuga é infinita

NOTA: Teorema de Stokes

SC

dsnldV

Válido somente para regiões simplesmente conexas

n

sin

cos2 V


Condição de Kutta

Condição de Kutta

dI

0 coscos

sin

0coscos0

d

sin

k0I se

Distribuição de circulação é indeterminada

00

Escoamento não contorna o bordo de fuga

sinsin

cos2

kV

Identidade matemática

sin

cos12

V

Distribuição de circulação na placa plana

2

2 tgV



d

yx

yyxu

c

0222

,

dyx

xyxv

c

0

222,

cos12

c

d

X, x

y

x

x

Y, h V

u

v

r

d

com

sin

cos12

V


Coeficiente de pressão (Cp) na superfície da Placa Plana


V

yxuyxCp

,2,


V

xuxCp

0,20,


d

yx

yyxu

c

0222

,

d

yx

yxu

c

yLim

022

0 20,

d

X, xx

x

Y, h

V

v

V


Vxv 0,3

V


Coeficiente de pressão (Cp) na superfície da Placa Plana

Distribuição de Cp nas superficies superior e

inferior da placa plana

V

xuxCp

0,20,

cos12

c

x

22

0,0

220

xd

yx

yxu

c

yLim

V

xxCp

0,

d

X, xx

x

Y, h

V

v

V

V

sin

cos12

V


Força de Sustentação na superfície da Placa Plana

dxxpxpLc

0

0,0,

dxxCpxCpVLc

0

2 0,0,2

1

V

xxCp

0,

dx

V

x

V

xVL

c

0

2

2

1

dxxVLc

0

2

21

V

PPCp

VL X, x

y

x

Y, h

cosV u

0,xp

0,xpdx

2

0,x

xu


Momento de Arfagem na Placa Plana

xdxxpxpMc

0

0,0,

xdxxCpxCpVMc

0

2 0,0,2

1

V

xxCp

0,

xdx

V

x

V

xVM

c

0

2

2

1

xdxxVMc

0

2

21

V

PPCp


X, x

y

x

Y, h

cosV u

0,xp

0,xpdx


Coeficientes de Sustentação e Momento de Arfagem na Placa Plana

xdxxVMc

0


dxxVLc

0

dxxcV

Clc

0

2

xdxxcV

Cmc

0

2

2

cos12

c

x

2Cl

2

Cm

4

ClCm

sin

cos12

V

Teoria do Perfil Fino5. Escomento sobre um aerofólio – Superposição das soluções

Coeficientes de Sustentação e Momento de Aerofólio

2Cl

2

Cm

4

ClCm

sin

cos12

V

1

0 sin21cossin n

n nBVBV

44 21

BB

ClCm

10 BBCl

44 2110

BBBBCm

0Cl

0Cm

0Cm

0

Espessura Arqueamento Placa Plana

102 BBCl

442 2110

BBBBCm

2

2 10 BBCl

44 21

BB

ClCm


Campo de velocidade u(x,0) e Cp de Aerofólio

sin

cos12

V

1

0 sin21cossin n

n nBVBV

Espessura Arqueamento Placa Plana

V

xuxCp

0,20,

dnd

dA t

n 0

sin2

1

cosn

n nAV

u 2

0,x

xu

V

xxCp

0,

2

0,x

xu

V

xxCp

0,

cos12

c

x cos12

c


20,0/1015,02843,03516,0126,02969,0432

max

c

x

c

x

c

x

c

x

c

x

c

y

c

y tt

cos12

c

2

max

2

maxmaxmax

1/221

c

x

c

x

c

x

c

x

c

x

c

y

c

y cc

2

max

2

maxmax

/2

c

x

c

x

c

x

c

x

c

y

c

y cc

Para

Para

max

c

x

c

x

max

c

x

c

x

Espessura em aerofólios NACA 4 digitos

Arqueamento em aerofólios NACA 4 digitos

NACA 1408


cos12

c

0

sinsin dmn

0

coscos dmn

0

sincos dmn

nm se 2

nm se 0

nm se nm

2

nm se 0

22

m

nm se 2

nm se 0

Teoria do Perfil Fino 1. Formulação do Problema X Y α.

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