SISTEMAS DE 1 GRAU DE LIBERDADE Problema 1

( )tPukum eq =+&& Situação 1: 21eq kkk +=

Situação 2:

21

eq

k1

k1

1k+

=

Situação 3:

213

eq

kk1

k1

1k

++

=

Problema 2

21n m3m

k343

+=ω

Problema 3

( )22n baaekb3+γ

=ω (com efeito de peso ( )22n baae2abeg3kb6+γγ−

=ω )

Problema 4

222

211

n mmk

ll +=ω θ

Problema 5 1. 0g =θ+θ&&l

2. s/rad2gn ==ω

l

Problema 6

2est

n mcosmgk

ll θ−

=ω θ

Problema 7 a) kg293,0mC = b) mm4,8uest = c) s/m13,0v Cmax, = Problema 8 a) 03,0gm8,0k~2,0cI E

2eq

2B =θ⋅+θ⋅+θ⋅+θ &&&

b) kg66,1mE = c) mm49uest = d) s/rad4,12a =ω e) Deslocamento do ponto D:

( ) ( )409,1t4,12sine0203,0tu t644,0D +−= − (considerando o sentido positivo para cima)

( ) mm1,75,0uD −=

Problema 9 ( ) ( )t76,9sin293,0tu = (considerando o sentido positivo para esquerda)

Problema 10 a) s/rad91,7n =ω b) m/sN98,252ccr ⋅= c) %8,13138,0 ==ζ d) s/rad83,7a =ω e) m336,0Au = f) rad296,0−=φ g) ( ) s/m175,046,2v −= (considerando o sentido positivo para cima) Deslocamento ( ) ( )296,0t83,7sine336,0tu t094,1 −−= −

Problema 11 s/rad26,18n =ω

Problema 12

hg3

n =ω

Problema 13

hg2

n =ω

Problema 14

2OA kgm479,0I =

Problema 15

kgf40Pmesa = m/kN32,6klateral =

Problema 16

N3,326F max,mola = T=22,2s

Deslocamento na parte transiente usando a formula exacta e simplificada

Deslocamento após 22s usando a formula exacta e simplificada

Deslocamento usando somente a formula estacionária

Problema 17 1. s/rad5,60n =ω 2. mm63,7umax = 3. kNm95,20Mmax = Problema 18 1. s/rad27,10n =ω 2. kNm35,44Mmax = Problema 19 1. s/rad6n =ω 2. m037,0umax = , s/m149,0vmax = , 2

max s/m596,0a = 3. kN7,44Nmax = Problema 20 1. s/rad57,124a =π=ω , s/rad58,12n =ω 2. 05,0=ζ 3. m20,0umax = , s/m52,2vmax = , 2

max s/m65,31a = Problema 21 1. cm04,7umax = 2. h/km66,144v =

Problema 22 1. mm19,4u relmax, = 2. mm82,16u absmax, = Problema 23 Para 1ue = , 1n =ω , 5td = e 2td =

Problema 24

1. s/rad4n =ω , designando kFu 0

e = ,

( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )11110

1

211

011

201

t4t4sint2cos2t2t4sint2sin32Ftt2

t2sint2t4sint2sin32Ft2tt

t2sin16Ftt

−+−<

+−≤<

≤

2. 0emax F0183,0u171,1u == 3. 0emax F0188,0u200,1u == , erro=2,48% Comparação: aproximada versus exacta

s1t1 =( )

eutu

s1,0t1 =

( )eutu

Problema 25 ( ) 0

3e F1097,8u574,04u −⋅==

Problema 26 1. ( )s1,0tmm93,3u rmax == , ( )s2tmm08,2u rmax ==

2. impulso triangular: cheio: mm627,1umax = , kN7,40Vmax = , kNm7,813Mmax = vazio: mm819,2umax = , kN5,70Vmax = , kNm4,1409Mmax = outros 2 impulsos: cheio: mm340,4umax = , kN5,108Vmax = , kNm2170Mmax = vazio: mm517,7umax = , kN9,187Vmax = , kNm3759Mmax = Problema 27 1. pilares rotulados

mm68,17umax = kNm2,123Mmax =

2. pilares encastrados mm38,5umax = kNm0,75Mmax =

( )eutu s1,0tr =

s2tr =

[ ]mmurotulados

sencastrado

Problema 28 1. ue=16,5mm, ωn=7,78rad/s

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ω=≤

2tsinu2tus2,0t n

2e - ( )⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

ω− tsin

2,01

2,0tu n

ne

( ) => tus2,0t ( ) ( )( )[ ]1,0tcos902,0tcosu nne −ω+ω− 2. umax=12,0mm, Mmax=54,56kNm 3. umax=12,85mm, erro=7% Espectro de resposta (acção periódica: )t2sin(ub π= )

( )eutu

exacta

aproximada

nT

u 01,0=ζ05,0=ζ

1,0=ζ

3,0=ζ

8,0=ζ

5,0=ζ

nT

totu 01,0=ζ05,0=ζ

1,0=ζ

3,0=ζ

8,0=ζ

5,0=ζ

Problema 29 1. pilares rotulados: umax=9,75cm, Mmax=679kNm 2. pilares encastrados: umax=2,65cm, Mmax=369kNm Problema 30 Mmax=109kNm Problema 31 1. umax=6,52mm, Vmax=163,1kNm, Mmax=3262kNm 2. umax=3,77mm, Vmax=282,5kNm, Mmax=5649kNm 3. umax=2,01mm, Vmax=151,1kNm, Mmax=3022kNm

MÉTODO DE RAYLEIGH Problema 1 c.f. cinemáticas (bege)

%2,27EIL472,4

2n μ=ω

c.f. cinemáticas e estáticas (verde)

%4,0EIL530,3

2n μ=ω

trigonométrica (violeta)

%62EIL70,52n μ

=ω

simplificada contínua (verde)

%4,0EIL530,3

2n μ=ω

simplificada discreta (azul)

%30EIL449,2

2n −μ

=ω

exacta (vermelha) Nota: as deformadas foram normalizadas para todas terem o deslocamento na extremidade unitário. Problema 2 cúbica (vermelha)

%00,4EIL826,5

2n μ=ω

polinómio de 4º (verde)

%88,0EIL651,5

2n μ=ω

Problema 3 (metade da deformada) polinómio de 4º (vermelha)

%00,4EIL826,5

2n μ=ω

polinómio de 4º (verde)

%66,0EIL717,5

2n μ=ω

sinusoidal (violeta)

%33,0EIL698,5

2n μ=ω

método simplificado aproximação contínua (azul)

%025,0EIL681,5

2n μ=ω

método simplificado modelo discretizado em 1 massa

μ=ω

EIL657,5

2n

modelo discretizado em 3 massas

μ=ω

EIL679,5

2n

2º modo, sinusoidal

)exacta(EIL

42

2

n μπ

=ω

2º modo, método simplificado modelo discretizado em 3 massas

μ=ω

EIL192,392n

Problema 4

3n mhEI762,2=ω

SISTEMAS DE VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE  Problema 1

a) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡00

uu

1113

hEI24

uu

2001

m2

13

2

1

&&

&&

b) ( )3

1n mh

EI745,2=ω , ( )3

2n mh

EI745,8=ω ,

( ) ( )T1 684,0;255,0m1

=Φ , ( ) ( )T2 180,0;967,0m1

−=Φ

Problema 2

1. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2500000300

M ton, ton m2, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2L/3L/3L/6

LEI2 2

K kN/m, kN, kNm

2. ( ) s/rad08,61n =ω , ( ) s/rad41,232

n =ω , Normalização feita deixando a matriz de massa nas unidades acima mencionadas

( ) ( )T321 10836,3;10590,4 −− ⋅−⋅=Φ , ( ) ( )T322 10028,5;10502,3 −− ⋅⋅=Φ 3. s/rad50,7n =ω Problema 3

1. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

10000100

M ton, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

115368000800024000

K kN/m

2. ( ) s/rad73,81n =ω , ( ) s/rad71,162

n =ω , Normalização feita deixando a matriz de massa nas unidades acima mencionadas

( ) ( )T1 090,0;044,0=Φ , ( ) ( )T2 044,0;090,0 −=Φ Método de Stodola para o primeiro modo

1  0.610485 0.520784  0.497316 0.490977 0.48925 0.488778  0.48865  0.488614 0.4886051  1 1  1 1 1 1  1  1 1

‐1  ‐0.22097  0.245184  0.417092 0.468651 0.483118 0.4871  0.488191  0.488489 0.488571  1  1  1 1 1 1  1  1 1

Problema 4 Opção 1 (graus de liberdade de acordo com o enunciado do problema)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

36,6948184836,6918

18189

EI1F , kg

5,20001005,20010

10101000

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=M

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

087,14804,9174,19804,9087,14174,19

699,3699,3360,9

50001D s2

( ) rad/s79,12ω 1n = , ( ) s/rad17,342

n =ω , ( ) s/rad24,433n =ω

Normalização feita usando a matriz de massa em kg ( ) ( )T21 317,4;317,4;505,110 −= −Φ , ( ) ( )T2 05,0;05,0;0=Φ , ( ) ( )T23 515,2;515,2;782,210 −= −Φ

Opção 2 (graus de liberdade u2 e u3 perpendicularmente às barras)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

36,7194,4947,1894,4936,7147,18

47,1847,189

EI1F , kg

200000200000999

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=M

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

271,14988,9453,18988,9271,14453,18

694,3694,3991,8

50001D s2

( ) rad/s79,12ω 1n = , ( ) s/rad17,342

n =ω , ( ) s/rad24,433n =ω

Método de Stodola usando nas matrizes de opção 1 1º modo (9 iterações)

1  0.39904  0.349846 0.348274  0.348583 0.348673 0.34869 0.348692  0.348693  0.3486931  ‐0.63484  ‐0.94407 ‐0.99203  ‐0.99888 ‐0.99984 ‐0.99998 ‐1  ‐1  ‐11  1  1 1  1 1 1 1  1  1

2º modo (19 iterações)

1  0.332251  0.233842 0.15861  0.104678 0.067774 0.043317 0.027453  0.017304  0.0108691  1  1 1  1 1 1 1  1  11  0.399479  0.577347 0.713324  0.810801 0.877504 0.921707 0.950381  0.968724  0.980354

0.006812  0.004264  0.002666  0.001667  0.001041 0.00065 0.000406 0.000254  0.000158 9.89E‐05

1  1  1  1  1 1 1 1  1 10.987687  0.992293  0.995181  0.996988  0.998118 0.998824 0.999266 0.999541  0.999714 0.999821

3º modo (9 iterações)

1  1  1 1  1 1 1 1  1  11  0.903717  0.903717 0.903717  0.903717 0.903717 0.903717 0.903717  0.903717  0.9037171  ‐0.90372  ‐0.90372 ‐0.90372  ‐0.90372 ‐0.90372 ‐0.90372 ‐0.90372  ‐0.90372  ‐0.90372

Problema 5

( )kN/m

360617

18491

1849

3601651

23

123

32

10001

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=F , ton400020

00449

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=M

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

856,6444,5250,12889,10172,9375,1843167,8

10001D s2

( ) rad/s61,6ω 1n = , ( ) s/rad40,282

n =ω , ( ) s/rad74,1093n =ω

Normalização feita usando a matriz de massa em ton ( ) ( )T1 272,0;435,0;163,0=Φ , ( ) ( )T2 043,0;449,0;219,0 −−=Φ , ( ) ( )T3 417,0;330,0;084,0 −=Φ

Problema 6

( ) rad/s69,21ω 1n = , ( ) Hz45,3f 1

n = , ( ) s/rad73,3452n =ω , ( ) Hz02,55f 2

n = ( ) ( )T1 332,0;542,1

m1

=Φ , ( ) ( )T2 972,1;274,1m1

−=Φ

Problema 7

a)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=

24.sim2472h6h6h6h6h6hh6h6h6h20h16h6h60h2h2h16

hEI

2

22

22

222

3K

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

607,11508,17508,17885,54

hEI

708106810683348

h61EI

33condK , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2001

mM

b) ( )3

1n mh

EI690,1=ω , ( )3

2n mh

EI605,7=ω

( ) ( )T1 688,0;231,0m1

=Φ , ( ) ( )T2 164,0;973,0m1

−=Φ

c) ( )3

1n mh

EI697,1=ω , ( ) ( )T1 685,0;251,0m1

=Φ

Problema 8 Nota: no cálculo foram utilizadas as unidades básicas de SI a) ( )401,1t752,11sine303,0q t1811,1

1 += − ( )489,1t442,37sine025,0q t7631,3

2 −−= −

( )401,1t752,11sine10722,7u t1811,141 +⋅= −− ( )489,1t442,37sine10397,2 t7631,34 −⋅− −−

( )401,1t752,11sine10742,20u t1811,142 +⋅= −− ( )489,1t442,37sine10446,0 t7631,34 −⋅+ −−

Deslocamentos em coordenadas modais em coordenadas da estrutura b) ( )025,0t50sin0108,0q1 +−= , ( )172,0t50sin0879,0q2 +−=

( ) ( )172,0t50sin10006,85025,0t50sin10745,2u 551 +⋅−+⋅−= −−

( ) ( )172,0t50sin10823,15025,0t50sin10372,7u 552 +⋅++⋅−= −−

Deslocamentos em coordenadas modais em coordenadas da estrutura

1q 2u

1u

2q

1q 2u

1u2q

aceleração em coordenadas da estrutura 2

max,1 s/m193,2a = , 2max,2 s/m215,0a =

Problema 9 Nota: no cálculo foram utilizadas as unidades ton, kN, m e s

( )0180,0t50sin10811,1q 41 +⋅−= − , ( )0526,0t50sin10040,4q 4

2 +⋅−= − ( ) ( )0526,0t50sin1030,360180,0t50sin1095,7u 66

1 +⋅−+⋅−= −− ( ) ( )0526,0t50sin1074,170180,0t50sin1027,16u 66

2 +⋅−+⋅−= −− Deslocamentos em coordenadas modais em coordenadas da estrutura

2a

1a

1q

2u

1u2q

m1058,1u 6max,2

−⋅= , pré-esforço necessário=3,94N Problema 10 Nota: no cálculo foram utilizadas as unidades ton, kN, m e s

( )t306,3sin1990,0q 21 = , ( )t198,14sin0111,0q 2

2 −= , ( )t869,54sin0005,0q 23 −=

( ) ( ) ( )( ) 32221 10t869,54sin05,0t198,14sin44,2t306,3sin40,32u −⋅+−=

( ) ( ) ( )( ) 32222 10t869,54sin18,0t198,14sin01,5t306,3sin53,86u −⋅++=

( ) ( ) ( )( ) 32223 10t869,54sin23,0t198,14sin48,0t306,3sin20,54u −⋅−+=

Deslocamentos em coordenadas modais em coordenadas da estrutura

mm46,91u max,2 ≅ para t=1.43s mm72,91u max,2 ≤

Problema 11 Fb=66,197kN F1=10,39kN (13,24kN), F2=55,81kN (52,96kN)

( )mm45,7mm45,7u max,1 = , ( )mm36,19mm00,20u max,2 = Mmax=41,86kNm(39,72kNm) pilares inferiores

( ) ton920,1;130,5 Tx =P , ( ) tonm00637,0;08115,0 T

max =q ( ) ( ) mm55,17;53,6 T1 =u , ( ) ( ) mm36,0;95,1 T2 −=u

mm82,6u max,1 = , mm55,17u max,2 = M1,max=43,55kNm, M2,max=12,98kNm, Mmax=45,44kNm pilares inferiores

1q

2u

1u

2q

3q

3u

Problema 12 Fb=326,32kN F1=107,11kN (108,77kN), F2=212,21kN (217,55kN)

( )mm07,14mm04,14u max,1 = , ( )mm62,28mm74,28u max,2 = Mmax=117,59kNm(116,37kNm) pilares superiores no meio Vmax=78,39kN(77,58kN) pilares superiores no meio Pré-esforço necessário=71,86kN(71,54kN)

( ) ton59,4;37,13 Tx =P , ( ) tonm0514,0;2861,0 T

max =q ( ) ( ) mm71,25;56,12 T1 =u , ( ) ( ) mm26,2;62,4 T2 −=u

mm38,13u max,1 = , mm81,25u max,2 = M1,max=105,18kNm, M2,max=-54,98kNm, Mmax=118,68kNm superiores no meio V1,max=70,12kN, V2,max=-36,65kN, Vmax=79,12kN superiores no meio Pré-esforço1=64,27kN, Pré-esforço2=5,64kN, Pré-esforço necessário=64,52kN Problema 13

( ) ton028,1;686,2;995,1 Tx =P , ( ) tonm00030,0;01564,0;05636,0 TH

max =q ( )mm025,0;43,3;18,9H

1 =u , mm80,9uHmax,1 = ,

( )mm099,0;03,7;51,24H2 −=u , mm50,25uH

max,2 =

Matriz das forças da acção horizontal kN052,6156,2685,2

395,2333,11144,2728,3878,33916,4

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

( )kNm41,1;40,45;09,48Henc =M , kNm15,66H

max,enc =M

( ) ton008,1;070,1;960,1 Ty −−=P , ( ) tonm00029,0;00312,0;02451,0 TV

max −−=q

( )mm024,0;68,0;99,3V1 −−=u , mm05,4uV

max,1 = ,

( )mm096,0;40,1;66,10V2 −=u , mm75,10uV

max,2 =

Matriz das forças da acção vertical kN828,5429,0168,1306,2257,2932,0589,3748,6138,2

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−

( )kNm36,1;04,9;92,20Venc −−=M , kNm83,22V

max,enc =M mm87,9u max,1 = , mm70,25u max,2 = , kNm51,66max,enc =M

SISTEMAS CONTÍNUOUS Problema 1 Condições de fronteira: ( ) 00u = , ( ) ( ) 0LNLma =+

Equação característica: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω=

ωμ c

LancotcL

Lm

( ) s/rad13,41n =ω , ( ) s/rad82,202

n =ω , ( ) s/rad23,403n =ω

( ) ( )x0653,0sin480,01 =Φ ton/1 , ( ) ( )x3292,0sin619,02 =Φ ton/1 ,

( ) ( )x6362,0sin628,03 =Φ ton/1

Problema 2 Condições de fronteira: ( ) ( ) 00N0ma =+− , ( ) ( ) 0LNLku =+

( ) s/rad27,31n =ω , ( ) s/rad53,152

n =ω , ( ) s/rad74,323n =ω

( ) ( ) ( )x0516,0cos282,0x0516,0sin291,01 −=Φ ton/1 ,

( )3Φ( )2Φ

( )1Φ

( )3Φ( )2Φ

( )1Φ

( ) ( ) ( )x2455,0cos112,0x2455,0sin548,02 −=Φ ton/1 , ( ) ( ) ( )x5177,0cos058,0x5177,0sin605,03 −=Φ ton/1 ,

Nmax=629,17 2s/ton

Problema 3 Condições de fronteira: ( ) 00w = , ( ) ( ) 0LkwLwS =+′

( ) s/rad57,11n =ω , ( ) s/rad13,32

n =ω , ( ) s/rad70,43n =ω

( ) ( )x157,0sin1062246,70 31 −⋅=Φ kg/1 , ( ) ( )x313,0sin1062248,70 32 −⋅=Φ kg/1 , ( ) ( )x470,0sin1062250,70 31 −⋅=Φ kg/1

3max 1062250,70w −⋅= kg/1 , 376,66F max,e = 2s/kg

Condições de fronteira: ( ) ( ) 00kw0wS =−′ , ( ) ( ) 0LkwLwS =+′

( ) s/rad56,11n =ω , ( ) s/rad13,32

n =ω , ( ) s/rad69,43n =ω

( ) ( ) ( )x156,0cos0006,0x156,0sin0705,01 +=Φ kg/1 , ( ) ( ) ( )x313,0cos0011,0x313,0sin0705,02 −=Φ kg/1 , ( ) ( ) ( )x469,0cos0017,0x469,0sin0705,03 −=Φ kg/1

0705,0wmax = kg/1 , 13,66F max,e = 2s/kg

( )3Φ ( )2Φ

( )1Φ

Problema 4

Condições de fronteira: ( ) 00w = , ( ) ( )0wk0M ′= , ( ) 0LM = , ( ) ( ) tt,Ltwmt,LV 2

2

∀∂∂

= ( ) s/rad74,21n =ω , ( ) s/rad99,442

n =ω , ( ) s/rad62,1623n =ω

( )3Φ ( )2Φ

( )1Φ

( )3Φ

( )2Φ

( )1Φ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x0417,0sin1483,0x0417,0cos0690,0x0417,0sinh0333,0x0417,0cosh0690,01 +−−=Φ ton/1 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x1687,0sin2157,0x1687,0cos0276,0x1687,0sinh0293,0x1687,0cosh0276,02 +−−=Φ ton/1 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x3207,0sin2209,0x3207,0cos0160,0x3207,0sinh0159,0x3207,0cosh0160,03 +−−=Φ ton/1 ,

Deslocamento máximo ao longo da estrutura

Momento flector máximo ao longo da estrutura

( )1maxmax ww ≈

( )2maxw

( ) 0w 3max ≈

( )1maxM

( )2maxM

( )3maxM

maxM

d) Condições de fronteira: ( ) 00w = , ( ) ( )0wk0M ′= , ( ) ( ) tt,Lxt

wIt,LM 2

3

0 ∀∂∂

∂−= ,

( ) ( ) tt,Ltwmt,LV 2

2

∀∂∂

=

R=0,5m, ( ) s/rad74,21n =ω , ( ) s/rad80,442

n =ω , ( ) s/rad29,1603n =ω

( ) mm70,65Lwmax = , ( ) kNm69,6250Mmax = , ( ) kNm37,3LMmax =

R=2m, ( ) s/rad74,21

n =ω , ( ) s/rad08,422n =ω , ( ) s/rad04,1273

n =ω ( ) mm45,65Lwmax = , ( ) kNm06,6590Mmax = , ( ) kNm22,142LMmax =

( )1maxM

( )2maxM

( )3maxM

maxM

( )1maxM

( )2maxM

( )3maxM

maxM