()a2 2 ae a2 - Departamento de Engenharia Problema 11 ωn =18,26rad/s Problema 12 h 3g ωn...

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  • SISTEMAS DE 1 GRAU DE LIBERDADE Problema 1

    ( )tPukum eq =+&& Situação 1: 21eq kkk +=

    Situação 2:

    21

    eq

    k 1

    k 1

    1k +

    =

    Situação 3:

    213

    eq

    kk 1

    k 1

    1k

    + +

    =

    Problema 2

    21 n m3m

    k3 4 3

    + =ω

    Problema 3

    ( )22n baae kb3 +γ

    =ω (com efeito de peso ( )22n baae2 abeg3kb6 +γ γ−

    =ω )

    Problema 4

    2 22

    2 11

    n mm k

    ll + =ω θ

    Problema 5 1. 0g =θ+θ&&l

    2. s/rad2gn ==ω l

    Problema 6

    2 est

    n m cosmgk

    l l θ−

    =ω θ

    Problema 7 a) kg293,0mC = b) mm4,8uest = c) s/m13,0v Cmax, = Problema 8 a) 03,0gm8,0k~2,0cI E

    2 eq

    2 B =θ⋅+θ⋅+θ⋅+θ &&&

  • b) kg66,1mE = c) mm49uest = d) s/rad4,12a =ω e) Deslocamento do ponto D:

    ( ) ( )409,1t4,12sine0203,0tu t644,0D +−= − (considerando o sentido positivo para cima)

    ( ) mm1,75,0uD −=

    Problema 9 ( ) ( )t76,9sin293,0tu = (considerando o sentido positivo para esquerda)

    Problema 10 a) s/rad91,7n =ω b) m/sN98,252ccr ⋅= c) %8,13138,0 ==ζ d) s/rad83,7a =ω e) m336,0Au = f) rad296,0−=φ g) ( ) s/m175,046,2v −= (considerando o sentido positivo para cima) Deslocamento ( ) ( )296,0t83,7sine336,0tu t094,1 −−= −

  • Problema 11 s/rad26,18n =ω

    Problema 12

    h g3

    n =ω

    Problema 13

    h g2

    n =ω

    Problema 14

    2 OA kgm479,0I =

    Problema 15

    kgf40Pmesa = m/kN32,6klateral =

    Problema 16

    N3,326F max,mola = T=22,2s

  • Deslocamento na parte transiente usando a formula exacta e simplificada

    Deslocamento após 22s usando a formula exacta e simplificada

  • Deslocamento usando somente a formula estacionária

    Problema 17 1. s/rad5,60n =ω 2. mm63,7umax = 3. kNm95,20Mmax = Problema 18 1. s/rad27,10n =ω 2. kNm35,44Mmax = Problema 19 1. s/rad6n =ω 2. m037,0umax = , s/m149,0vmax = ,

    2 max s/m596,0a =

    3. kN7,44Nmax = Problema 20 1. s/rad57,124a =π=ω , s/rad58,12n =ω 2. 05,0=ζ 3. m20,0umax = , s/m52,2vmax = ,

    2 max s/m65,31a =

    Problema 21 1. cm04,7umax = 2. h/km66,144v =

  • Problema 22 1. mm19,4u relmax, = 2. mm82,16u absmax, = Problema 23 Para 1ue = , 1n =ω , 5td = e 2td =

  • Problema 24

    1. s/rad4n =ω , designando k Fu 0e = ,

    ( )

    ( ) ( ) ( )( )

    ( ) ( ) ( ) ( )( )111101

    2 11

    0 11

    20 1

    t4t4sint2cos2t2t4sint2sin 32 Ftt2

    t2sint2t4sint2sin 32 Ft2tt

    t2sin 16 Ftt

    −+−<

    +−≤<

    2. 0emax F0183,0u171,1u == 3. 0emax F0188,0u200,1u == , erro=2,48% Comparação: aproximada versus exacta

    s1t1 = ( )

    eu tu

    s1,0t1 =

    ( ) eu tu

  • Problema 25 ( ) 03e F1097,8u574,04u −⋅==

    Problema 26 1. ( )s1,0tmm93,3u rmax == , ( )s2tmm08,2u rmax ==

    2. impulso triangular: cheio: mm627,1umax = , kN7,40Vmax = , kNm7,813Mmax = vazio: mm819,2umax = , kN5,70Vmax = , kNm4,1409Mmax = outros 2 impulsos: cheio: mm340,4umax = , kN5,108Vmax = , kNm2170Mmax = vazio: mm517,7umax = , kN9,187Vmax = , kNm3759Mmax = Problema 27 1. pilares rotulados

    mm68,17umax = kNm2,123Mmax =

    2. pilares encastrados mm38,5umax = kNm0,75Mmax =

    ( ) eu tu s1,0tr =

    s2tr =

    [ ]mmu rotulados

    sencastrado

  • Problema 28 1. ue=16,5mm, ωn=7,78rad/s

    ( ) ⎟ ⎠ ⎞

    ⎜ ⎝ ⎛ω=≤

    2 tsinu2tus2,0t n

    2 e - ( )⎟⎟

    ⎞ ⎜⎜ ⎝

    ⎛ ω

    ω − tsin

    2,0 1

    2,0 tu n

    n e

    ( ) => tus2,0t ( ) ( )( )[ ]1,0tcos902,0tcosu nne −ω+ω− 2. umax=12,0mm, Mmax=54,56kNm 3. umax=12,85mm, erro=7% Espectro de resposta (acção periódica: )t2sin(ub π= )

    ( ) eu tu

    exacta

    aproximada

    nT

    u 01,0=ζ 05,0=ζ

    1,0=ζ

    3,0=ζ

    8,0=ζ

    5,0=ζ

    nT

    totu 01,0=ζ 05,0=ζ

    1,0=ζ

    3,0=ζ

    8,0=ζ

    5,0=ζ

  • Problema 29 1. pilares rotulados: umax=9,75cm, Mmax=679kNm 2. pilares encastrados: umax=2,65cm, Mmax=369kNm Problema 30 Mmax=109kNm Problema 31 1. umax=6,52mm, Vmax=163,1kNm, Mmax=3262kNm 2. umax=3,77mm, Vmax=282,5kNm, Mmax=5649kNm 3. umax=2,01mm, Vmax=151,1kNm, Mmax=3022kNm

    MÉTODO DE RAYLEIGH Problema 1 c.f. cinemáticas (bege)

    %2,27EI L 472,4

    2n μ =ω

    c.f. cinemáticas e estáticas (verde)

    %4,0EI L 530,3

    2n μ =ω

    trigonométrica (violeta)

    %62EI L 70,5 2n μ

    simplificada contínua (verde)

    %4,0EI L 530,3

    2n μ =ω

    simplificada discreta (azul)

    %30EI L 449,2

    2n −μ =ω

    exacta (vermelha) Nota: as deformadas foram normalizadas para todas terem o deslocamento na extremidade unitário. Problema 2 cúbica (vermelha)

    %00,4EI L 826,5

    2n μ =ω

    polinómio de 4º (verde)

    %88,0EI L 651,5

    2n μ =ω

  • Problema 3 (metade da deformada) polinómio de 4º (vermelha)

    %00,4EI L 826,5

    2n μ =ω

    polinómio de 4º (verde)

    %66,0EI L 717,5

    2n μ =ω

    sinusoidal (violeta)

    %33,0EI L 698,5

    2n μ =ω

    método simplificado aproximação contínua (azul)

    %025,0EI L 681,5

    2n μ =ω

    método simplificado modelo discretizado em 1 massa

    μ =ω

    EI L 657,5

    2n

    modelo discretizado em 3 massas

    μ =ω

    EI L 679,5

    2n

    2º modo, sinusoidal

    )exacta(EI L

    4 2

    2

    n μ π

    2º modo, método simplificado modelo discretizado em 3 massas

    μ =ω

    EI L 192,39 2n

    Problema 4

    3n mh EI762,2=ω

  • SISTEMAS DE VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE  Problema 1

    a) ⎭ ⎬ ⎫

    ⎩ ⎨ ⎧

    = ⎭ ⎬ ⎫

    ⎩ ⎨ ⎧ ⋅⎥ ⎦

    ⎤ ⎢ ⎣

    ⎡ −

    − +

    ⎭ ⎬ ⎫

    ⎩ ⎨ ⎧ ⋅⎥ ⎦

    ⎤ ⎢ ⎣

    ⎡ 0 0

    u u

    11 13

    h EI24

    u u

    20 01

    m 2

    1 3

    2

    1

    &&

    &&

    b) ( ) 3 1

    n mh EI745,2=ω , ( ) 3

    2 n mh

    EI745,8=ω ,

    ( ) ( )T1 684,0;255,0 m 1

    =Φ , ( ) ( )T2 180,0;967,0 m 1

    −=Φ

    Problema 2

    1. ⎥ ⎦

    ⎤ ⎢ ⎣

    ⎡ =

    250000 0300

    M ton, ton m2, ⎥ ⎦

    ⎤ ⎢ ⎣

    ⎡ =

    2L/3 L/3L/6

    L EI2 2K kN/m, kN, kNm

    2. ( ) s/rad08,61n =ω , ( ) s/rad41,232n =ω ,

    Normalização feita deixando a matriz de massa nas unidades acima mencionadas ( ) ( )T321 10836,3;10590,4 −− ⋅−⋅=Φ , ( ) ( )T322 10028,5;10502,3 −− ⋅⋅=Φ

    3. s/rad50,7n =ω Problema 3

    1. ⎥ ⎦

    ⎤ ⎢ ⎣

    ⎡ =

    1000 0100

    M ton, ⎥ ⎦

    ⎤ ⎢ ⎣

    ⎡ −

    − =

    115368000 800024000

    K kN/m

    2. ( ) s/rad73,81n =ω , ( ) s/rad71,162n =ω ,

    Normalização feita deixando a matriz de massa nas unidades acima mencionadas ( ) ( )T1 090,0;044,0=Φ , ( ) ( )T2 044,0;090,0 −=Φ

    Método de Stodola para o primeiro modo

    1  0.610485 0.520784  0.497316 0.490977 0.48925 0.488778  0.48865  0.488614 0.488605 1  1 1  1 1 1 1  1  1 1

    ‐1  ‐0.22097  0.245184  0.417092 0.468651 0.483118 0.4871  0.488191  0.488489 0.48857 1  1  1  1 1 1 1  1  1 1

    Problema 4 Opção 1 (graus de liberdade de acordo com o enunciado do problema)

    ⎥ ⎥ ⎥

    ⎢ ⎢ ⎢

    − −−

    − =

    36,694818 4836,6918

    18189

    EI 1F , kg

    5,200010 05,20010

    10101000

    ⎥ ⎥ ⎥

    ⎢ ⎢ ⎢

    ⎡ −

    − =M

  • ⎥ ⎥ ⎥

    ⎢ ⎢ ⎢

    − −−

    − =

    087,14804,9174,19 804,9087,14174,19

    699,3699,3360,9

    5000 1D s2

    ( ) rad/s79,12ω 1n = , ( ) s/rad17,342n =ω ,

    ( ) s/rad24,433n =ω Normalização feita usando a matriz de massa em kg

    ( ) ( )T21 317,4;317,4;505,110 −= −Φ , ( ) ( )T2 05,0;05,0;0=Φ , ( ) ( )T23 515,2;515,2;782,210 −= −Φ Opção 2 (graus de liberdade u2 e u3 perpendicularmente às barras)

    ⎥ ⎥ ⎥

    ⎢ ⎢ ⎢

    − −−

    − =

    36,7194,4947,18 94,4936,7147,18

    47,1847,189

    EI 1F , kg

    20000 02000 00999

    ⎥ ⎥ ⎥

    ⎢ ⎢ ⎢

    ⎡ =M

    ⎥ ⎥ ⎥

    ⎢ ⎢ ⎢

    − −−

    − =

    271,14988,9453,18 988,9271,144