Relation entre G1 et KI

En mode I, la contrainte y dans le plan de la fissure est de la forme

Y

rr

4- RELATION ENTRE GI ET KI (CRITRES DE PROPAGATION)

y

O

A MA

X, r, r

(14) 2

0)(r, r

K Iy

pi ==

et

Supposons maintenant que la fissure avance de la position

x = a

la position x = a + a. (de A A)

Pointe de la fissure

aaOrigine de x en OOrigine de r en AOrigine de r en A

[ ] (15) 1 2

2

2/1

) ,( +

=

=

pi pi

rK Ir

Appliquons aux lvres frachement formes des forces telles quelles se referment. On est ramen ltat prcdent.

Jusque l, lnergie totale na pas varie.

Supposons maintenant que les forces se relaxent jusqu sannuler. Ceci veut dire que, en tout point M dabscisse xavec

aaxa +

Le travail dissip pendant ta relaxation est:

(16) 2/12- )'()(+

=

aa

a

rr dxW

axravecr 0 )( =xaar ' +=

21

2

21212

+

++

=

aa

a

//K

dx (x-a)a - x) (a

W

I

1 1/2

+

=

aa

a

dx x-a

aI

Posons

Soit :

21

2

21212

+

++

=

aa

a

//K

dx (x-a)a - x) (a

W

I

Posons

=+=

====

1X aaX a

et

2

x

xdX

XadxX

ax

a

( )

2 1

X1-X

1

1 1

1/2

2

aXArctgdXX

X - aI pi =

+==

(17) 22

12

2 aKW I pi

pi

+=Do :

a

WG

=1 (18) 421 2

1IKG

+

=

Comme :

plane formation )43( D= plane ontrainte

13 C

v

v

+

=

)2(1E

+=

aWG

=1 (18) 421 2

1IKG

+

=Comme :

plane ontrainte 13

plane formation )43(C

v

v

D

+

=

=

)2(1E

+=

do les formule classiques

)-(1 22

1 n plane dformatioEKG I =

e planecontraE

KG I int 2

1 =

(17) 2

141 2

+= IaKW

Do :

a

WG

=1(18)

421 2

1IKG

+

=

Comme :

do les formule classiques )-(1 2

2

n plane dformatioKG I =do les formule classiques )-(1 21 n plane dformatioEGI =

e planecontraE

KG I int 2

1 =

Dans le cas gnral, on a :

11 2222 K

E

)K (KEG IIIIII

+++

=

On ralise un essai de tnacit dynamique en rampant un barreau Charpy prfissur laide dun pendule instrument

Cv = mg (h0-h)

Matriau peu tenace h0 h

Matriau trs tenace: h

Calcul de la limite de GIC

Rsultat Rsultat

Calcul de la tnacit KIC

Rsultat

Thorie de Griffith.

Soit le facteur dintensit de contrainte. est un facteur de forme.

La diminution dnergie potentielle se partage entre variation dnergie lastique et travail des forces extrieures,

entranant fond fissure la disponibilit dune nergie Ga (2Ga si la fissure crot des deux cots) de 2a

Lhypothse de Griffith concernant des corps fragiles est la

aKI pipipipi====

Lhypothse de Griffith concernant des corps fragiles est la suivante: la fissure pourra progresser si lnergie:

aaG IcI 22

sIc 2=)1( 2

2

=E

KG II

nergie de surface

2 surfaces cres sachant que :

2a

2a

a a

IcK 22

2

a a

2a sIc 2=)1( 2

2

=E

KG II

nergie de surface des

2 surfaces cres sachant que :

En dformation plane on obtient s

Ic

EK 2)1( 2

a

Espi

)1(

22

Pour = 1, on retrouve la forme originale de Griffith.

Ce critre sapplique bien dans le cas des corps trs fragiles comme le verre.

Critre de Griffith-Orwan.

Contrairement au cas du verre, la rupture des mtaux se produit avec une forte dformation plastique fond de fissure. On aura donc,

propagation si :

psIcG + 2

Volume de la zone plastifie

dVV

ijijij

p 21

r0 r1

dVV

y

Y tant la limite dlasticit du matriau.

On voit donc que la ductilit du matriau joue un rle prpondrant sur sa tnacit. En effet, prenons deux matriaux ayant mme Y mais des ductilits diffrentes.

BO

A

0

A

epWpl .

RmRO,2

[ ] [ ]mtalductilenonp

mtalductilep

>

[ ] [ ]mtalductilenonIcmtalductileIc KK >Ce qui entrane

p (1000 2000) s

ep

C

B

A

Tnacit de B > tnacit de A

Verre (fragile brutal) Bton (endommagement progressif)

Compression

Traction

(Mpa)

(Domaine de linarit)

0

(Mpa)

0,001

(Domaine non linaire)

100

Acier doux

(%)

200

5

(Mpa)

0,1

Acier inox

Exercice

Pour un solide semi-infini, le facteur dintensit de contraint critique KIC est donn par la relation suivante :

La propagation brutale de fissure se produit lorsque la longueur a atteint 5 cm (a = 5 cm), lnergie GIC ncessaire pour provoquer linstabilit en traction est de 26650 j.m-2 (GIC= 26650 j.m-2), si le module de young E = 42.104 MPa et le

aKIC pi=

= 26650 j.m ), si le module de young E = 42.10 MPa et le coefficient de poisson = 0,3, quelle est approximativement la contrainte en traction en dformation plane, qui peut tre applique au matriau fissur sans provoquer une rupture instable ?

Calcul des facteurs dintensit de contrainte critique du

Des essais de rsistance la propagation de fissures effectus sur de prouvettes en tle 2024 T3 considre comme plaque infinie, ont donn les rsultats suivants :

Longueurs de fissure ac = 4,95; 4,725; 4,325; cmContrainte la rupture = 245; 250,6; 261,8 MPa

Calculez le facteur dintensit de contrainte critique du matriau pour ces diffrentes longueurs de fissures ?Que peut-on conclure ?

a, 10-2 4,95 4,725 4,325, MPa 245 250,6 261,8

KIC = , Mpa

Calcul des facteurs dintensit de contrainte critique du matriau pour :

ConclusionLe facteur dintensit de contrainte reste constant pour ces diffrentes longueurs de fissures

Donc cest une caractristique du matriau.

Calcul des facteurs dintensit de contrainte critique du

Des essais de rsistance la propagation de fissures effectus sur de prouvettes en tle 2024 T3 considre comme plaque infinie, ont donn les rsultats suivants :

Longueurs de fissure ac = 4,95; 4,725; 4,325; cmContrainte la rupture = 245; 250,6; 261,8 MPa

Calculez le facteur dintensit de contrainte critique du matriau pour ces diffrentes longueurs de fissures ?Que peut-on conclure ?

a, 10-2 4,95 4,725 4,325, MPa 245 250,6 261,8

KIC = , Mpa 96,6 96,5 96,5

Calcul des facteurs dintensit de contrainte critique du matriau pour :

ConclusionLe facteur dintensit de contrainte reste constant pour ces diffrentes longueurs de fissures

Donc cest une caractristique du matriau.

Exercice

Le facteur dintensit de contrainte en pointe de fissure est donn par la relation suivante

Questions :

1 - Calculer la charge P applique pour un FIC en mode I de propagation et pour une longueur de fissure a = 18 mm.

*)/( WaFaK gI pi=

P

mMpaK I 20=

W = 60 mmB = 24 mm

a0 = 15 mm

432* )/(6,14)/(2,14)/(2,8)/(73,109,1)/( WaWaWaWaWaF ++=

W

2W

B

a0

2W

fonction de calibration

prouvette de flexion 3 points