5- ZONE PLASTIQUE FOND DE FISSURE

r

Re = Y

Modle dIrwin.

Considrons une fissure longueur 2a dans une plaque infinie en contrainte plane. La contrainte lastique y est donne par: r

K Iy

pi

2=

Kpour

r

K

I

Iy

pi

0

23

sin2

sin12

cos2

==

+=

y Profil lastique

yry rO

2

21

=

Y

Iy

Kr

pi

La premire ide qui vient lesprit est de dire: y > Y le vrai profil de

2

r

x

K

x

Iy

y

pi =

>

Si y la limite dlasticit en monoaxial et soit ry Labscisse pour laquelle y = Y

r

Kpour Iypi

2

0 ==2a

Re0

Yy

yrx

==

ry rO

Re = Yr

K Iy

pi

2=

2a

Cependant, dans ce cas, la force correspondant laire hachure, nest plus transmise, cest--dire: dx

x

Kyr

20 pi

Par consquent le profil de contrainte y ne peut pas tre celui de la figure prcdente. La zone plastique doit tre suprieure ry.

2a

Kyr

Re = YD

F

X

A

G

2a

O

r

K Iy

pi

2=

R

Cependant, dans ce cas, la force correspondant laire hachure, cest--dire: nest plus transmise.

dxx

Kyr

20 pi

Par consquent le profil de contrainte y ne peut pas tre celui de la figure prcdente. La zone plastique doit tre suprieure ry.

ERe = Y BD

C

F

X

A

G

2a

O

ry OR

y

zone plastique relle a une longueur R

D( )'2 ooxK I

y

=

pi

Supposons que la zone plastique relle a une longueur R et supposons de plus, comme le fait Irwin que la contrainte lastique (pour x > R) est obtenue par translation du profil lastique initial (BE )

le vecteur translation BC = OR - Ory tant pour le moment inconnu. Le profil de contrainte y est maintenant.

Rpour xoox

K

Rpour x

Iy

Yy

>

=

00 est dtermin en crivant que laire sous-tendue par ADCF (nouveau profil) est gale celle sous-tendue par GBE (profil de la thorie lastique). On peut crire les galits suivantes:

BErAireRCFAire y =

Re = Y

E

Re = Y BD

C

F

A

G

O

y

D r

K Iy

pi

2=

ACROAireOGBrAire y =Il faut crire que:

Comme ABryO est commune ces aires, Il suffit dcrire que

y BCRrAireGBAAire =Ces deux aires sont hachures

zone plastique relle a une longueur R

X

2a

ry OR

Re = Re = B D C

G

)( 2

0yYyY

r

IrRrdx

x

Ky= pi

RrK

YyI pi

=22

=

Y

Iy

Kr

pi21

y22 r RR r YyY ==

2

21

=I

yK

rpi

or

Avec r

K Iy

pi

2=

ACROAireOGBrAire y = y BCRrAireGBAAire =

Re = YRe = Y BD

C

E F

X

A

2a

O

ryR

2

=

Yyr pi

Le vecteur translation : R - ry = ry. Cela donne le schma ci-dessus. Le profil de contrainte est alors celui qui correspond une fissure fictive de demi longueur a + ry. Tronqu la valeur y = Y

Fissure relle

Fissure Fictive Zone plastique

rpi2

Une large plaque en alliage dAluminium a une fissure centre de 25mm de longueur. Si la contrainte de rupture de cet chantillon est max = 200 Mpa et la limite lastique y = 400 Mpa

Calculer la tnacit du matriau en utilisant :- Le concept de la mcanique lastique linaire de la rupture (MELR),

Application

- Le concept de la mcanique lastique linaire de la rupture (MELR),- En introduisant la correction de la zone plastique autour de la fissure.

Une large plaque en alliage dAluminium a une fissure centre de 25mm de longueur. Si la contrainte de rupture de cet chantillon est max = 200 Mpa et la limite lastique y = 400 Mpa

Calculer la tnacit du matriau en utilisant :- Le concept de la mcanique lastique linaire de la rupture (MELR),- En introduisant la correction de la zone plastique autour de la fissure.

En utilisant le concept de la mcanique linaire de la rupture :Sans correction

Distribution lastique de contrainte

Re = y

Fissure rellenominale

a0

2

21

=

Y

Iy

Kr

pi

r

K Ipi

2max

=

Une large plaque en alliage dAluminium a une fissure centre de 25mm de longueur. Si la contrainte de rupture de cet chantillon est max = 200 Mpa et la limite lastique y = 400 Mpa

Calculer la tnacit du matriau en utilisant :- Le concept de la mcanique lastique linaire de la rupture (MELR),- En introduisant la correction de la zone plastique autour de la fissure.

En utilisant le concept de la mcanique linaire de la rupture :Sans correction

Distribution lastique de contrainteRe = y

Fissure rellenominale

a0

2

21

=

Y

Iy

Kr

pi

Distribution lastique

Avec correction de la zone plastique :2

21

=

Y

Iy

Kr

pi

a0

Fissure fictive

Distribution lastique de contrainte

Distribution aprs dformation plastique locale

Re = y

Fissure rellenominale

a0 rp

A retenir :

Pour assurer des rsultats fiables de la correction de KIC en introduisant le rayon de la zone plastique, il est ncessaire daugmenter les dimensions de lprouvette avec sa ductilit. La diffrence entre KIC calcul sans correction et en tenant compte de la zone plastique augmente avec le rapport

Remarque :

Lapplication des critres de Tresca et Von Mises donne, pour les quations en coordonnes polaires des zones plastiques en contraintes planes et en dformation planes

Critre de TRESCA

Critre de VON MISES

= 90

CONTRAINTES PLANES

(((( ))))222y sin12cosrr ++++====

(((( ))))22r ++==

= 0

DEFORMATIONS PLANES

Critre de VON MISES

Critre de TRESCA

(((( ))))222y sin312cosrr ++++====2

yy

K21

r

pipipipi====

(((( ))))2

2y 2

sin212

cosr

r

++++

====

(((( ))))2

222y 2

sin3212

cosr

r

++++

====

La distribution des contraintes la pointe dune fissure en coordonnes polaires en mode I est donne par la relation suivante :

+=

23

sin41

2sin

41

2

pi

r

K Ir

1- calculer r, pour = 45 et 90.

2- Si r est le rayon de la zone plastique, calculer la taille de la zone plastique en cisaillement maximal avec :

: Limite dlasticit en cisaillement

: Amplitude du facteur dintensit de contraintes

Mpar 210=

mMpaKI 21=

1- Calcul de r, pour = 45 et 90.

45 90

0,33 0,35

Ir K

rpi

2,

Si r est le rayon de la zone plastique, la taille de la zone plastique en Si r est le rayon de la zone plastique, la taille de la zone plastique en cisaillement maximal, correspondant = 90

La taille de la zone plastique R = 2r

Mpar 210= mMpaKI 21=

m

NAK

r

Ir

4-22

.10 9,3210210,352r

.

235,0

=

=

=

pi

pi

Modle de Dugdale-Barenblatt.

Z est la fonction de Westergaard correspondant une charge ponctuelle P.

THEOREME soit une fonction de Westergaard)()(

zgzfZ =

fissuredefrondleaz = = azposons

2/1)(

hZ =

Soit

= azposons2/1Z =

ZK 2/101 2lim pi =

2/12/122 )2()()( ,

a

aZaz

zZ

+

+=

=

On montre que :

Cas dune plaque plane infinie, o :

aa

aK pi

pi =+

+= 2/101 )2(

)(2lim

Ce rsultat t dj trouv

Soit une plaque infinie, contenant une fissure de longueur 2a soumise deux forces ponctuelles P, une abscisse x0. La fonction de Westergaard est :

y

x

PX0

P

aa

) (azxz

xaPZ 23

)( 220

20

2

=

pi

)2()(2lim 2/12/120

22/1

axa

xaPK I ++

= pipi

) (xaa

xaPK I 24

0

0

+=

pi

Si les forces P sont exerces au milieu de la fissure (x0 = 0)

a

PK Ipi

=

)2()(2lim 2/12/10 axaK I ++

= pipi

Une prouvette soumise une force P constante verra son coefficient KI diminuer mesure que a augmente.

Supposons que lon veuille trouver le facteur KI correspondant une pression P uniforme sexerant sur les deux lvres de la fissure, sur une longueur RD , La fonction correspondante scrit partir de (23) :

dxaxa

xaxaPZa

Ra D

++

+= 2/12/1

2/12/1

)2()()()(

piO

- P

RD

XPosons a x = b X

bx

a

Posons a x = b

Sachant que

+=

++=

)( 2lim)(2lim

0

02/1

0)2(

+== DR

I bdbbPZK pipi

Calculons le facteur KI correspondant, Soit

[ ] 22 2

00

)2(I bPb

dbPKD

D

RR pipi

== )( R P

K D)(

I 25 222

=

)2(IK

Dugdale suppose que la zone plastique une longueur RD sur laquelle sexercerait une contrainte P la limite lastique Y du matriau.

Cette fissure, soumise au champ de contrainte linfini et y sur la longueur RD donnerait naissance deux facteurs dintensit de contrainte qui sajoutent

aK I pi=)1(

R

K YD)(

I 222

=et

Comme il ne peut pas y avoir de contrainte infinie fond de fissure,

la taille RD de la zone plastique est telle que :

Ce qui suprime la singularit en , on obtient :

0)2()1( =+ II KK

r

1

8

2)1(

=

Y

ID

KR

pi

REMARQUE : Si lon compare la zone plastique dIrwin (2ry):

2)1(12

=

Y

Iy

Kr

pi

Contrainte plane

dformation plane

fissure

Surface

dformations planesmi-paisseur contraintes planes

Surface

dformations planes

Autres modles

100

n = 0,05

n = 0,2 n = coefficient de consolidation

RICE ET ROSENGREN

LIU

45

r

BILBY SWINDEN

IRWIN

EXEMPLES

Ecartement critique de fissure (COD) Cette valeur est une approximation au premier ordre. Pour avoir la valeur exacte, il faut prendre en compte la fonction Z(z) globale qui est :

avec :

= 2

21

2

1cot

2kaz

z

kgArcZ Ypi

==

Ya

ak

pi

2cos

1

a et a1 sont dfinies sur la figure ci-contre. On montre que :

1ln8

=Y

Ea

pipi

O

Y

RD

X

a

a1

+

+= .......

241

222

yyEa

pi

pi

On vrifie bien RD

Critre de propagation.

Lorsque (cartement fond de fissure) atteint une valeur critique c caractristique du matriau.

Cette relation permet den tirer la contrainte critique c de rupture dans le cas dune plaque infinie.

yEa

pi2

=

y

O

Y

RD

X

a

a1

Acier E36

Re = 380 Mpa

Rm = 522 MpaRm = 522 Mpa