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Transfert de chaleur Chap 12 - 1 Chapitre 12 Après la conduction et la convection, le troisième mode de transfert de la chaleur: Le rayonnement thermique Tout corps à une température supérieure à 0 Kelvin émet un rayonnement thermique Rayonnement thermique; onde électromagnétique définie par - une longueur d’onde λ - ou une fréquence ν = c/ λ c = vitesse de la lumière = 3 . 10 8 m/s Rayonnement: approche ondulatoire vs approche corpusculaire (photon) 34 6.626 10 (.) E h constante de Planck Js

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Transfert de chaleur Chap 12 - 1

Chapitre 12

Après la conduction et la convection, le troisième mode de transfert de la

chaleur:

Le rayonnement thermique

Tout corps à une température supérieure à 0 Kelvin émet un rayonnement thermique

Rayonnement thermique; onde électromagnétique définie par- une longueur d’onde λ

- ou une fréquence ν = c/ λc = vitesse de la lumière = 3 . 108 m/s

Rayonnement: approche ondulatoire vs approche corpusculaire (photon)

346.626 10 ( . )

E h

constante de Planck J s

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Transfert de chaleur Chap 12 - 2

Rayonnement thermique: de 0.1 à 100 µm

domaine qui inclut lerayonnement visible:

de 0.4 à 0.7 µm

Système idéal: le corps noir

Propriétés:

- il absorbe toute radiation de toutes fréquences et de toutes directions qui atteint sa surface (si on l’éclaire, le rayonnement sera absorbé et le corps sera noir);

- pour une température et longueur d'onde données aucun corps ne peut émettre plus d'énergie qu'un corps noir

- le corps noir émet de façon diffuse (pas de direction préférentielle).

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Transfert de chaleur Chap 12 - 3

Exemple d’un système proche du corps noir

Émittance spectrale: loi de Planck

L'émittance spectrale (en anglais: spectral emissive power) Eb,λ qui a pour unité des W/(m2.µm), caractérise la puissance émise à une température donnée T par unité de surface et par unité de longueur d'onde.

La loi de Planck s'exprime par:

2/( . )2

1b, C5

T

C= W m mE[ -1]e

Max Planck 1858 -1947

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Transfert de chaleur Chap 12 - 4

Émittance spectrale:loi de Plancket loi de Wien (lieux des maximums)

1]-e[

C=ET

C5

1b,

2

m.K)( 2898 = T max

Loi de Wien:

Wilhelm Wien1864 -1928

Loi de Stefan - Boltzman

Pour déterminer l'énergie totale, Eb, (émittance totale,total emissive power,) émise par un corps noir ayant une température T donnée, il faut donc faire la somme de toutes les émittances spectrales pour toutes les longueurs d'ondes possibles (c'est l'aire sous la courbe de l'émittance spectrale Eb,λ).

avec σ=5.67 10-8 W/m2.K4 , constante de Stefan-Boltzman

b b,0

24b

= d E E

= (W/ )mE T

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Transfert de chaleur Chap 12 - 5

Énergie émise dans une gamme de longueur d’onde

En pratique, on ne s'intéresse souvent qu'à une fraction de l'énergie totale émise dans une gamme choisie de longueurs d'onde (comme le visible par exemple). On définit le facteur F(0-λ), comme étant la fraction de l'énergie totale émise dans la gamme de longueur d'onde variant de 0 à λ:

T

dE=dE

dE=F 4

b,0

b,0

b,0-0

F(0-λ) fonction uniquement du produit λ.T

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Transfert de chaleur Chap 12 - 6

en utilisant les propriétés des intégrales:

F-F=F 1221-

0

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )b a b b

a a

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

La fraction de l'énergie entre deux longueurs d'onde λ1 et λ2 s‘exprime par

Exemple d’utilisation de F(λ1-λ2) Considérons une ampoule électrique munie d'un

filament de tungstène dont on estime la température à environ 2500 K. Pour déterminer la fraction de l'énergie émise dans le visible il suffit de calculer F0.4-0.7.

Les valeurs F0-0.4 et F0-0.7 sont obtenues dans le tableauλT=.7x2500=1750 et λT=0.4x2500=1000)

F0.4-0.7=0.03392 - 0.00032 = 0.0336.

On trouve donc qu'il n'y a que 3.36 % de l'énergie totale émise par le filament qui sert à éclairer! Le reste est dissipé sous forme de chaleur.

On comprend alors tout l'intérêt des lampes halogènes dont une plus grande fraction de l'énergie sert à éclairer.

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Transfert de chaleur Chap 12 - 7

Facteur de forme (ou facteur d’angle)

Facteur de forme entre deux surfaces élémentaires:on appelle facteur de forme de dA1 vers dA2, dFdA1-dA2, la fraction de l'énergie radiative totale émise par dA1 qui va rencontrer la surface dA2 (le facteur de forme est un nombre compris entre 0 et 1

θ

θr

dA =Fd

2

221dA-dA 21

coscos

r

dA =Fd

2

121dA-dA 12

coscos

dFdA=dFdA dA-dA2dA-dA1 1221

Facteur de forme (ou facteur d’angle)

Facteur de forme entre deux surfaces finies

AddAr

A

1=F 122

21

AA1

A-A 2121 coscos

1

cos cos2 1 2

1 2- 21A A A A 2

2

1 = ddAF A

A r

FA=FA A-A2A-A1 1221

D’où la relation de réciprocité:

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Transfert de chaleur Chap 12 - 8

Propriétés des facteurs de formes: relation de réciprocité entre des surfaces Ai et Aj:

Pour une enceinte fermée:Pour une enceinte fermée pour laquelle N surfaces "se regardent", toute l'énergie émise par une surface, i, va tomber sur les autres surfaces de l'enceinte (ou elle-même si surface concave exemple surface no 5):

FA=FA A-AjA-Ai ijji

1

N

i kk

= 1F

i i j j j i=A F A F

Propriétés des facteurs de forme (suite)

Dans le cas où une surface complexe A j peut être décomposée en la somme de P surfaces simples A k, on a la relation:

1 1

P P

j k i kk ki- j

si F = F A A

Multiplions les deux membres par Ai:

1

P

i i i ki- jk

A F = A F

1 1

P P

k jj k k ij-ik k

A F A F si =A A

1

P

k k ik

A F

1

P

i i kk

A F

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Transfert de chaleur Chap 12 - 9

Facteurs de forme pour différentes

géométries

Facteurs de forme pour différentes géométrie

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Transfert de chaleur Chap 12 - 10

Facteurs de forme pour différentes géométrie

2 1F

2 2F

1 1

1 2

0

1

F

F

Échange thermique entre deux surfaces de corps noirs Ai et Aj :

pour faire le calcul, il faut tenir compte du fait que chaque surface est à la fois récepteur et émetteur:

i b,i i- j j b, j j-ii j j i= = q qA E F A E F

4 4i i- j b,i b, j i i ji- j i- j= [ - ] = [ - ]Fq A F E E A T T

i i- j b,i j j-i b, ji- j i j j i

j j-i i i- j

l échange net de i vers j est donc :

= - = -q q q A F E A F E

mais A F A F

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Transfert de chaleur Chap 12 - 11

Propriétés des surfaces de corps gris

1) Un corps gris n'absorbe pas toute l'énergie des rayons incidents qui tombent sur sa surface: il en réfléchit une fraction. On définit ainsi la réflectivité, ρi, comme la fraction de l'énergie totale incidente qui est réfléchie.

E=E ib,ii

2) Un corps gris n'émet pas le maximum d'énergie à une température donnée. On définit l'émissivité, εi, comme la fraction de l'énergie qui serait émise si le corps était noir.

Propriétés des surfaces de corps gris

Énergie incidente

Partie absorbée

Partie réfléchieÉnergie émise

par la surface à T

(cas d’un matériau opaque, pas de transmission)

E=E ib,ii

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Transfert de chaleur Chap 12 - 12

Émissivité de différentes surfaces

Propriétés des surfaces de corps gris

On appelle la radiosité, J, d'une surface, i, le flux total émis par cette surface. Ce flux total résulte:

a) de la réflexion d'une partie du flux incident, G, qui tombe sur cette surface (éclairement)

b) et d'autre part du flux émis en propre par la surface à cause de sa température:

G+E=J iiii

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Transfert de chaleur Chap 12 - 13

Propriétés des surfaces de corps gris

Énergie incidenteGi éclairement

Partie absorbée = αi Gi

énergie réfléchie ρ Gi + énergie Ei émise = Ji radiositépar la surface

cas d’un matériau opaque (pas de transmission): absorptivité

ii -1=

ii ii= +J GE

Propriétés des surfaces de corps gris

Le flux net émis par la surface est la différence entre ce qu'elle émet moins ce qu'elle reçoit:

cette dernière équation indique simplement que dans le cas d'une surface opaque, le bilan net d'énergie sur la surface correspond à la différence entre ce que la surface émet en propre moins ce qu'elle absorbe.

i i ii = ( - )q J GA

i i i ii i ii ii = ( + - ) = ( - [1- ] )q G G GA E A E

i i ii iq A ( - )GE

ii ii= +J GE

i

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Transfert de chaleur Chap 12 - 14

Remarque: Pour simplifier la compréhension, seule l'émissivité totale hémisphérique et la réflectivité totale hémisphérique ont été utilisées dans les relations précédentes

Propriétés des surfaces de corps gris

Il faut savoir que ces propriétés peuvent varier avec:- la longueur d'onde: émissivité spectrale ou monochromatique) - la direction: émissivité directionnelle.

Loi de Kirchhoff

Cette loi indique simplement que l'émissivité monochromatique et directionnelle d'une surface est égale à son absorptivité monochromatique et directionnelle.

Pour de nombreuses applications, cette égalité entraîne aussi l'égalité des grandeurs totales et hémisphériques :

ii =

Gustav Kirchhoff (1824-1887)

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Transfert de chaleur Chap 12 - 15

Pourquoi une flaque d’eau sur le sol gèle la nuit (avec un ciel dégagé) même si Tair > 0 oC ?

Hypothèse: Tciel = -15 oC (Tciel de - 40 à +10oC selon météo)Tair = 10 oC hair-eau= 5 w/m2.Kpour l’eau (ou la glace) α = ε = 0.96

Partie absorbée

Énergie émise par la surface à T

Isolant

Énergie perdue par convection avec l’air

GCIEL

Bilan sur l’eau en régime permanent: Ein – Eout = 0

α Gciel – ε Esurface eau - h (Teau – T air) = 0α σ T 4ciel – ε σ T4

eau - h (Teau – T air) = 0

par itération sur Teau on trouve Teau = - 1.19 o C ( … l’eau gèle !)

Concept de résistance thermiqueRésistance d’une surface:

Pour une surface opaque:

En utilisant la loi de Kirchof:

εε

i b,ii i i i ii= + = +(1- )J G GE E b,ii i

ii

-J E=G1-

i i ii = ( - )q J GAi i

b,i iii

A= ( - )q JE1-

Par analogie avec la loi d'Ohm,

b,i ii

i

- JE= qR

ii

i i

1-avec =R

A

1i i

i i 1i i

b,ii ii i

i

-J E= ( - )JA1-

radiosité éclairement

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Transfert de chaleur Chap 12 - 16

Concept de résistance thermique

Résistance spatiale entre deux surfaces

i i- j j j-ii ji- j = -q J JA F A F

i i- j j j-imais =A F A F i i- j i ji- j = ( - )q J JA F

i ji- j

i- j

-J J= q

R

i- ji i- j

1avec =R

A F

Échange radiatif dans une enceinte fermée composée de N surfaces

Mais l'éclairement Gi qui tombe sur la surface i provient des surfaces de l'enceinte, on a donc:

ε

A

)-(1)J-E(

=q

ii

i

iib,i

Pour chaque surface:

et en utilisant la propriété des facteurs de forme: i i- j j j-i=A F A F

1

N

i j-i ji jj

= G JA F A

1 1

N N

i j-i j i- j ii j jj j

= G J JA F A F A

1

N

i i- j jj

JA F

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Transfert de chaleur Chap 12 - 17

Échange radiatif dans une

enceinte fermée (suite)

.

Cette dernière équation caractérise donc le bilan radiatif de la surface i en regard des autres surfaces. Dans le cas où les températures des N surfaces sont connues, il sera possible d'écrire et de résoudre un système de N équations à N inconnues (les N radiosités Ji). Il sera possible ensuite de calculer les flux nets échangés par chacune des surfaces.

ε

Pour une enceinte fermée on a :

1

N

i- j ii iij

A J A JF

i i ii = ( - )q J GA

1

Ni j

i -1j i i- j

-J J= q

( )A F

1

N

i i i- ji jj

= G JA A F

1

N

i- jj

1= F

1

N

i- ji ij

J J F

1

N

i- ji ij

J JF

1

N

i i- j i- ji jj

= J JA F F

,b i i

i

i i

- JE= 1-

A

1

N

i i- j i jj

= J JA F

Écran thermique

b,1 b,21

1 1-2 2

A( - )E E=q+ +R R R

11

1

1-21-2

22

2

1-= R

A

1= R

AF1-

=RA

4 41 2

1

1 2

A ( - )T T=q1 1

+ - 1

b,1 b,21

1 1-3 3a 3b 3-2 2

A( - )E E=q+ + + + +R R R R R R

11 1-3

1-31

3a 3b3a 3b

3a 3b

23-2 2

3-2 2

1- 1= = R R

A AF1- 1-

= = R RA A

1 1-= =R R

A AF

4 41 2

1

1 2 3a 3b

A ( - )T T=q1 1 1 1

( + -1)+( + -1)

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Transfert de chaleur Chap 12 - 18

Écran thermique

application numérique

Si les surfaces 1 et 2 ont des émissivités respectivesde 0.8 et 0.4, sans écran on obtient:

4 41 2sans écran =0.36A ( - )q T T

et si l'écran est en aluminium, ε3=0.05,on aura comme échange:

4 4avec écran 1 2=0.024 A ( - )T Tq

La réduction de l'échange thermique grâce à l'écran est donc de (0.36-0.024)/0.36=0.934: on réduit l'échange de 93.4 % !

Cas d’un matériau (semi) transparent au rayonnement

1=++

Partie absorbée

Partie réfléchie Énergie émise

par la surface à T

Partie transmise

Énergie incidente

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Transfert de chaleur Chap 12 - 19

Rayonnement thermique ….

…exercices avec solutionnaires