2 INTEGRAL DEFINIDA - MATESVALDEMORA · PDF fileCalcula las siguientes integrales definidas:...
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INTEGRAL DEFINIDA 1 1. Calcula las siguientes integrales definidas: a) ∫ - - + - 3 1 2 3 ) 1 2 3 4 ( dx x x x b) ∫ ⋅ 2 0 3 cos π dx x x sen c) ∫ - + 1 0 1 ) 1 ln( e dx x x d) ∫ ⋅ 3 0 2 dx e x x e) ∫ - + - 3 1 2 ) 2 3 ( dx x x f) ∫ - - + 1 4 3 dx x g) ∫ - - 1 1 2 4 dx x h) ∫ - - 1 1 2 2 dx x x i) ∫ - - 4 2 2 2 dx x x 2. a) Estudia la derivabilidad de ≥ - < < ≤ = 2 si 3 2 2 0 si 1 0 si ) ( x x x x e x f x b) Representa gráficamente ) ( x f c) Halla el valor de ∫ - 1 1 ) ( dx x f 3. a) Estudia la derivabilidad de ≥ + - < < - - - - ≤ = 2 si 4 6 2 1 si 2 1 si 1 ) ( 2 x x x x x x x x f b) Representa gráficamente ) ( x f c) Halla el valor de ∫ - 1 1 ) ( dx x f 4. Calcula el área de la región del plano limitada por: a) La curva 2 x y = , el eje OX y las rectas 1 = x y 3 = x b) El eje OX y la curva 2 4 x x y - = c) La curva 6 7 2 + - = x x y , el eje OX y las rectas 2 = x y 6 = x d) La curva x x x y 8 6 2 3 + - = y el eje OX e) La gráfica de las funciones 2 6 x x y - = e x x y 2 2 - = f) La gráfica de las funciones x x y 4 2 - = e 5 2 - = x y g) La gráfica de las funciones 2 4 4 x x y - = e 2 4 x y = SOLUCIONES a) 3 26 2 u b) 3 32 2 u c) 3 56 2 u d) 8 2 u e) 3 64 2 u f) 3 32 2 u g) 15 2 512 2 u
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INTEGRAL DEFINIDA
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1. Calcula las siguientes integrales definidas:
a) ∫− −+−3
1
23 )1234( dxxxx
b) ∫ ⋅2
0
3 cosπ
dxxxsen
c) ∫−
++1
0
1
)1ln(edx
x
x
d) ∫ ⋅3
0
2
dxex x
e) ∫− +−3
1
2 )23( dxxx
f) ∫−
−+
1
4 3 dxx
g) ∫− −1
1 24 dxx
h) ∫− −1
1
2 2 dxxx
i) ∫− −4
2
2 2 dxxx
2.
a) Estudia la derivabilidad de
≥−<<
≤=
2 si 32
20 si 1
0 si
)(
xx
x
xe
xf
x
b) Representa gráficamente )(xf
c) Halla el valor de ∫−1
1 )( dxxf
3.
a) Estudia la derivabilidad de
≥+−
<<−−−
−≤
=
2 si 46
21 si 2
1 si 1
)(2 xxx
xx
xx
xf
b) Representa gráficamente )(xf
c) Halla el valor de ∫−1
1 )( dxxf
4. Calcula el área de la región del plano limitada por:
a) La curva 2xy = , el eje OX y las rectas 1=x y 3=x
b) El eje OX y la curva 24 xxy −=
c) La curva 672 +−= xxy , el eje OX y las rectas 2=x y 6=x
d) La curva xxxy 86 23 +−= y el eje OX
e) La gráfica de las funciones 26 xxy −= e xxy 22 −=
f) La gráfica de las funciones xxy 42 −= e 52 −= xy
g) La gráfica de las funciones 24 4xxy −= e 24xy = SOLUCIONES
a) 3
26 2u
b) 3
32 2u
c) 3
56 2u
d) 8 2u
e) 3
64 2u
f) 3
32 2u
g) 15
2 512 2u
INTEGRALES
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5. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación xxy 33 −= en el punto de abscisa 1−=x . Calcula el área del recinto limitado por la recta tangente y la curva dada.
6. Por el punto de abscisa 1=x de la parábola de ecuación 2xxy −= se traza una recta r perpendicular a la tangente a la curva en dicho punto. Halla el área del recinto limitado por la recta r y la parábola.
7. Halla el área del recinto limitado por las parábolas 2xy = , 2
2xy = y la recta xy 2= .
8. Calcular el área del recinto limitado por las curvas 12 −= xy , xy −= 11 y el eje OX en la zona del plano donde 0≥x . Dibujar el recinto.
9. Se considera la función real de variable real definida por 3
1)(
2 +=
xxf
a) Representa gráficamente )(xf b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de )(xf en el punto de inflexión de
abscisa positiva. c) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de )(xf , la recta anterior
y el eje 0=x .
10. Las gráficas de las funciones 2
1)(
xxf = ,
8)(
xxg = y xxh =)( delimitan una región acotada en
la zona del plano donde 0>x . a) Dibuja un esquema de dicha región. b) Calcula el área de la región.
11. Dada la función dcxbxaxxf +++= 23)( se sabe que tiene un máximo relativo en 1=x , un
punto de inflexión en ( )0,0 y que ∫ =1
0 4
5)( dxxf . Calcula a, b, c y d.
12. Dibujar el recinto limitado por las curvas de ecuación 24 2xxy −= e 22xy = . Calcular su área.
13. Dibujando las gráficas de las funciones xexf =)( , xexg 2)( = y 2)( exh = calcula el área del recinto limitado por las mismas.
14. Sea α+= 2xy Calcula el valor de α para el que las rectas tangentes a la curva en los puntos de abscisa de valor absoluto uno, pasan por el origen de coordenadas. Halla el área del recinto limitado por la curva y las dos tangentes.
15. Dibuja el recinto limitado por las curvas 2+= xey , xey −= y las rectas 0=x y 3−=x . Halla el área de dicho recinto.
16. Dada la función 25)( xxxf −⋅= , se pide: a) Dominio y puntos de corte con los ejes. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Calcular el área encerrada entre la gráfica de )(xf y el eje de abscisas.
17. Calcular el área de la región limitada por las curvas 2
2xy = e
1
12 +
=x
y .
18. Determine el área de la región comprendida entre las curvas 2xy = e xy = y la recta que
pasa por los puntos ( )4,2 y ( )2,4 .
19. Dibuja el recinto limitado por 4
12 +
=x
y , 16
xy = y el eje OY. Calcular el área de dicho
recinto.
INTEGRALES
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20. Representa gráficamente la función 21
)(x
xxf
+= . Halla el área del recinto limitado por la
gráfica de )(xf y las rectas xy = , 1=x y 1−=x .
21. Determina, razonadamente, la expresión de una función )(xf tal que 2
)( xexxf −⋅=′ y
2
1)0( =f .
22. Dibuja el recinto limitado por las gráficas de las funciones 2
1)(
xxf = , xy = e xy 8= . Halla el
área de ese recinto. 23. En la figura aparece una curva que representa a una función polinómica de grado 2. los puntos
de intersección de la curva con el eje OX son el ( )0,1 y el ( )0,3 . Además, el área limitada por la
curva y los dos ejes de coordenadas vale 3
4. Hallar la expresión de la función polinómica.
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