Equipo α-pulpo

Ernesto Benítez RodríguezAlma Elena Piceno Martínez

Luke Goodman

Introducción

Es bien sabido que cuando un metal es calentado a altas temperaturas emite electrones, como en el caso de un filamento en un tubo electrónico.La emisión termoiónica es el flujo de partículas cargadas llamadas termoiones desde una superficie de metal, causada por una energía termal vibracional que provoca una fuerza electrostática que empuja a los electrones hacia la superficie.

El fenómeno fue inicialmente reportado en 1873 por Frederick Guthrie en Bretaña. Mientras realizaba experimentos con objetos cargados, Guthrie descubrió que calentando al rojo vivo una esfera de hierro con carga negativa, esta perdía su carga. El efecto fue redescubierto en 1880, mientras trataba de descubrir la razón por la cual se rompían los filamentos y por qué se oscurecía el cristal de sus lámparas incandescentes. Owen Williams Richardson recibió un premio Nobel en 1928 por su trabajo en el fenómeno y especialmente por el descubrimiento que posteriormente llevaría su nombre.

En cualquier metal existen uno o dos electrones por átomo que son libres de moverse de un átomo a otro. Su velocidad se modela por una distribución estadística, y ocasionalmente un electrón tendrá la velocidad suficiente para escapar del metal. La cantidad de energía necesaria para que un electrón escape de la superficie se llama función de trabajo. Esta función de trabajo es característica del material, y para la mayoría de los metales es del orden de varios electron-volts.

Para observar corriente termoiónica, tanto el emisor como el detector se deben encontrar en un contenedor evacuado y una aceleración de campo eléctrico ha de ser proveída. Sin embargo, los campos eléctricos presentes y la configuración geométrica del filamento y el cátodo complican la interpretación del proceso de emisión en sí mismo.

En 1901 Richardson publicó los resultados de sus experimentos: la corriente procedente de un alambre, bajo calentamiento controlado, depende exclusivamente de la temperatura del alambre. La forma moderna de esta ley, demostrada en 1923 por Saul Dushman, y por lo tanto llamada la ecuación de Richardson-Dushman, establece que la densidad de corriente emitida J está relacionada con la temperatura T por la ecuación:

J=A0T2 exp [−eϕ

kT] (1)

con la constante de Richardson

A0=4 πme k2

h3 =1.2×106 Am2K2

y ϕ es la función de trabajo en volts.

La ecuación de Richardson muestra que la emisión termoiónica es dominada por una dependencia exponencial de la temperatura. Esta dependencia es tan fuerte que el factor T2 es completamente enmascarado y no puede ser verificando experimentalmente. Aún más, la constante A0 observada experimentalmente rara vez concuerda con el valor teórico. Esto se debe a las simples suposiciones usadas en la derivación y la negligencia de efectos como:

1. Dependencia de la temperatura en variaciones de ϕ. Ya que siϕ=ϕ0+aT

entonces

J=A0e−aek T 2 exp[−eϕ0

kT ]donde la exponencial puede fácilmente alterar el valor de A0 por factores de 2, o mayores.

2. Reflexiones mecánico cuánticas de los electrones en la superficie. Estas equivalen a modificaciones en la barrera de potencial asumida.

3. No-uniformeidad en la superficie emisora, ya que en realidad medimos

J=A0T2∑i

exp[−eϕikT ]Considerando las modificaciones a la densidad de corriente emitida J0 debida a la aplicación de campos externos.Para un campo retardador, el potencial de barrera que el electrón debe sobrepasar se ve incrementado por el potencial retardador V0, así

J '=AT 2exp ¿ (2)tenemos una reducción exponencial de la corriente con un potencial retardador incrementante.

Un campo acelerante, por otro lado puede bajar la barrera de potencial en únicamente una pequeña cantidad. Para una geometría plana tenemos

Js=J 0 exp [ 0.44(E12 )

T ] (3)

donde E es el campo eléctrico en volts por metro y Js es la corriente de saturación. Debido al factor 0.44/T, el incremento en la corriente emitida es muy pequeño; en una gráfica semilogarítmica es proporcional a la raíz cuadrada del potencial acelerador aplicado.

Se encuentra que los valores medidos de la corriente termoiónica son afectados por efectos de carga espacial; esto es, los electrones emitidos forman una capa de carga negativa en las vecindades del cátodo, inhibiendo emsión posterior. Es necesario aplicar un potencial positivo para acelerar el electrón hacia el ánodo y así reducir esta capa.Resolviendo la ecuación de Poisson en el espacio entre el cátodo y el ánodo y tomando en cuenta el equilibrio dinámico, obtenemos expresiones para las densidades de corriente contra el voltaje cuando campos acelerantes son aplicados.Estas expresiones dependen de la geometría y son, para un diodo plano

J=4 ε0

9 √ 2emV 0

32d−2 (4)

y para un diodo cilíndrico

Ja=4 ε 0

9 √ 2emV 0

32 r a

−2β−2 (5)donde se usan las unidades MKS y J o Ja es la densidad de corriente en el ánodo. Aquí V0 es el potencial aplicado, d la separación entre el ánodo y el cátodo para el diodo plano, y ra el radio del ánodo para el diodo cilíndrico; β es un coeficiente de corrección que es una función de (rc=ra) y puede ser encontrado en la literatura. Estas ecuaciones son conocidas como la ley de Child.Mientras el voltaje es incrementado posteriormente, J tiende a aumentar y finalmente alcanza el valor de saturación de corriente dado en la ecuación 3.

Ahora podemos ver cuáles son las cantidades medibles y el procedimiento experimental a seguir.

1. A una temperatura del filamento fija, la corriente en el ánodo es medidacontra el pozo de potencial acelarador en la región de saturación. De la

región de espacio-carga podemos verificar en las ecuaciones 4 y 5 la dependencia de V 0

32 , y obtener un valor para e/m.

De la región de saturación podemos verificar la dependencia de E12 en la

ecuación 3 de la densidad de corriente, y obtener la densidad del campo cero J0(T). Es entonces posible verificar la ecuación de Richardson y encontrar un valor para el coeficiente de la exponencial (y así la función de trabajo), y para el coeficiente A0.

2. A una temperatura del filamento fija la corriente en el ánodo es medida como una función del potencial decelerador. Se puede verificar la dependencia exponencial de J0 y determinar el coeficiente de la exponencial. En principio, uno puede determinar nuevamente J0(T), pero los valores obtenidos de la corriente de saturación son más precisos.

Como es claro ahora, un conocimiento de la temperatura del filamento es necesario; la región de interés para el tungsteno puro es en la región de 2000K donde las corrientes de emisión termoiónica pueden ser rasonablemente detectadas. La medición de la temperatura no puede ser hecha muy exactamente y es basada en el cambio en la resistencia del tungsteno, o usando un pirómetro óptico.

Con los datos obtenidos del experimento de la emisión termoiónica, es posible verificar la ley de Stefan-Boltzmann. Esta ley, que puede ser derivada de argumentos termodinámicos, enuncia que la energía total radiada por segundo por unidad de área por un cuerpo negro es proporcional a la temperatura a la cuarta potencia.

E=σ T 4

donde E es la potencia total radiada por unidad de área, T la temperatura en grados Kelvin, y σ es la constante de Stefan.Se encuentra

σ= c4

8 π5 k4

15h3 c3 T4

Si se asume que la pérdida de energía del filamento a través de la conducción en los cables espequeña, la potencia radiada está dada como

P=I 2R f

Objetivos

Medición de la corriente termoiónica en función de los voltajes aplicados y la temperatura del filamento; análisis basado en los hechos vistos anteriormente.

Desarrollo

Materiales

Pentodo 6AV5GA Voltímetros Amperímetros Fuente de voltaje de 12V Batería de 9V Fuente de voltaje de hasta 150V Caimanes Resistencias

Montaje experimental

Se armó el experimento según se muestra en el siguiente circuito:

Procedimiento experimental

Con una resistencia constante y manteniendo también constantes el voltaje y, por tanto, la corriente del filamento, se midió la corriente del ánodo en función del voltaje aplicado; después cambiamos el valor de la resistencia y volvimos a tomar medidas varias veces.

Una vez hecho esto se invirtió la polaridad del circuito, al intercambiar las terminales hacia la fuente de voltaje variable.

Resultados

A continuación mostramos los resultados obtenidos, siendo VA el voltaje del ánodo e IA la corriente del ánodo.

Resistencia (R): 30 Ω Resistencia (R): 20 Ω Resistencia (R): 10 Ω Resistencia (R): 0 ΩCorriente Filamento

(IF): 149.7 mACorriente Filamento

(IF): 175 mACorriente Filamento

(IF): 220 mACorriente Filamento

(IF): 282 mAVoltaje Filamento

(VF): 6.47 VVoltaje Filamento

(VF): 6.4 VVoltaje Filamento (VF):

6.28 VVoltaje Filamento

(VF): 6.11 VVA [V] IA [µA] VA [V] IA [µA] VA [V] IA [µA] VA [V] IA [µA]

0.1 0 0.1 0 0 9.1 0 188.60.2 0 0.2 0.3 0.1 22.1 0.1 282

0.3 0 0.3 2.1 0.2 48 0.2 4040.4 0.1 0.4 7.4 0.3 91 0.3 5400.5 0.8 0.5 21.3 0.4 162.8 0.4 6860.6 2.8 0.6 58.7 0.5 246 0.5 8390.7 7.9 0.7 107.9 0.6 328 0.6 987

0.81 20.5 0.8 156.3 0.7 431 0.7 11380.9 32.8 0.9 223 0.8 547 0.8 13161 44.4 1 299.5 0.9 672 0.9 1487

1.1 48.5 1.3 530 1 805 1 16681.3 51.7 1.6 762 1.3 1193 1.3 22421.6 54.1 1.9 1012 1.6 1610 1.6 2807

1.92 56.1 2.5 1430 1.9 2074 1.9 34132.5 58.9 2.78 159.3 2.5 3012 2.5 5940

2.78 60.4 3 1712 2.78 3459 2.78 67303 60.9 3.14 1776 3 3854 3 7410

3.14 61.6 3.14 7820

En la tabla siguiente se muestran los datos obtenidos después de cambiar la polaridad del circuito.

Resistencia (R): 10 Ω Resistencia (R): 0 ΩCorriente Filamento (IF): 219.2 mA Corriente Filamento (IF): 278.8 mA

Voltaje Filamento (VF): 6.3 V Voltaje Filamento (VF): 6.13 VVA [V] IA [µA] VA [V] IA [µA]

0 11.3 0 1750.5 6.9 0.1 110.3

0.08 5 0.15 780.11 3.4 0.2 55.10.13 2.5 0.25 390.15 2 0.3 250.17 1.8 0.35 160.19 1.3 0.4 10.80.2 1.1 0.45 6.2

0.21 1 0.5 4.10.23 0.7 0.55 2.30.24 0.7 0.58 1.80.26 0.5 0.6 1.40.28 0.3 0.64 0.90.3 0.3 0.67 0.6

0.32 0.2 0.71 0.40.34 0.1 0.74 0.30.39 0 0.81 0.1

Análisis

A continuación se muestran las gráficas obtenidas para los datos obtenidos anteriormente:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

20406080

30 Ω

VA [V]

IA [µ

A]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

500

1000

1500

2000

20 Ω

VA [V]

IA [µ

A]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

50010001500200025003000350040004500

10 Ω

VA [V]

IA [µ

A]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

100020003000400050006000700080009000

0 Ω

VA [V]

IA [µ

A]

Para la polaridad invertida:

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450

2

4

6

8

10

12

10 Ω

VA [V]

IA [µ

A]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

20406080

100120140160180200

0 Ω

VA [V]

IA [µ

A]

Estas gráficas indican claramente una dependencia exponencial de la corriente del ánodo al voltaje aplicado, además, tenemos que cuando se tiene una polaridad positiva el exponente ha de ser positivo, mientras que con la polaridad invertida se tiene un exponente negativo; esto concuerda con lo analizado en la ecuación de Richardson.

Veamos ahora las gráficas del logaritmo de la corriente en función del voltaje para la polaridad invertida:

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

-3

-2

-1

0

1

2

3

f(x) = − 10.7623962602475 x + 2.29448428724287R² = 0.805471456788875

10 Ω

VA

ln (I

A)

Notamos que esta gráfica es prácticamente lineal, dándonos una ecuación:

ln IA=−10.762VA+2.2945

que podemos convertir en la ecuación de Richardson

IA=6.2371 e−10.762VA µA

de donde podemos obtener la temperatura del filamento: T= eK (10.762)

=1078 .28K

y un valor para la constante de Richardson: A0=2.2945T2 =1.9734×10−6 µA

K2 .

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-3-2-10123456

f(x) = − 9.27293471395355 x + 5.80030933353496R² = 0.98584800335036

0 Ω

VA

ln (I

A)

De aquí obtenemos: IA=15.766 e−9.2729VA μA

de donde: T= eK (9.2729 )

=1251.4429K

y A0=15.766T2 =1.0067×10−5 μA

K2 .

Referencias

Experiments in Modern Physics. Adrian C. Melissinos. Emisión Termoiónica. Wikipedia.

http://es.wikipedia.org/wiki/Emisi%C3%B3n_termoi%C3%B3nica