Universidad Catolica del NorteFacultad de Ciencias

Departamento de Matematicas

GUÍA DE ÁLGEBRA 1 MA − 190PRIMERA UNIDAD: TRIGONOMETRÍA

1 SISTEMAS DE MEDIDAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉ-TRICAS

1. a) Exprese en radianes: 45◦, 210◦, 110◦450.

b) Exprese en grados:π

3rad,

2π

5rad,

2

5rad.

2. Una curva de una carretera corresponde a un arco de circunferencia de 450 metros de radio, sub-tendida por un ángulo del centro de 36o. ¿Cuánto tiempo empleará un automóvil en recorrer la

curva, si su velocidad es de 100∙Km

h

¸?

3. Si sen θ = −5/13, calcule cos θ sabiendo que éste es negativo.

4. El lado final de un ángulo α pasa por el punto (12,−5). Calcule el seno y el coseno en α.

5. El lado final de un ángulo en la posición estándar pasa por el punto:

a) (3, 4)

b) (−5/12)c) (−4, 3)d) (24,−7)e) (−8,−15)f) (10,−8)Bosqueje la figura respectiva y obtenga los valores de las funciones trigono- métricas en dichoángulo.

6. Determine los valores de las funciones trigonométricas restantes en θ, bajo las siguientes condiciones:

a) sen θ = 5/13 , θ en cuadrante I

b) cos θ = −4/5 , θ en cuadrante IIIc) sen θ = 2/3 , θ no en cuadrante I

d) sen θ − 3/5 , cos θ < 0e) cos θ = −7/9 , sen θ > 0

7. Dibuje el gráfico de :a) y = |senx| b) y = |cosx| c) y = (cosx) + 1

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2 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS1. Demuestre:

sec2 θ + sec2(π/2− θ) = (1 + tg2θ) sec2(π/2− θ)

2. Pruebe la siguiente identidad:1 + sen 2θcos θ + sen θ

=cos 2θ

cos θ − sen θ

3. Demuestre que : sen 3θ = 3 senθ − 4 sen3θ

4. Demuestre:cos θ

1− tg θ +sen θ

1− cotg θ = sen θ + cos θ

5. Demuestre que: cos2 z + cos2(2π/3 + z) + cos2(2π/3− z), no depende de z.

6. Demuestre que:sec θ − 1sec θ

= 2 sen2µθ

2

¶7. Demuestre que si 0 < θ <

π

4, entonces

sec θ =2q

2 +p2 + 2 cos (4θ)

8. Demuestre que:

a)cos θ − cos 3θsen 3θ − sen θ = tg 2θ

b)sen 4θ cos θ − cos 4θ sen 2θ

cos2 θ − sen2θ = tg 2θ

9. Demuestre que:1

2Arccos θ = Arcsen

r1− θ

2

10. Si Arctgx+Arctg y+Arctg z = π. Demuestre que:

x+ y + z = xyz

11. Demuestre que:Arccosx+ 2 Arcsenx = Arccos (−x) ; con x > 0.

12. Si µ = Arccotg√cosα− Arctg√cosα , Demuestre que:

senµ = tg2(α

2)

13. Demuestre las siguientes identidades:

a) Arccosx = 2Arcsen

r1− x

2

b) Arctgx+Arctg y = Arctgµ

x+ y

1− xy

¶c) sec (Arctgx ) =

√1 + x2

d) Arctgµ

x√1− x2

¶=Arcsenx , |x| < 1

2

3 PROBLEMAS DE PLANTEO1. Determine el valor, en radianes, del ángulo que forman las manecillas de un reloj que marca las 5.

2. Un tren se mueve sobre sobre un arco de circunferencia de medio kilómetro de radio a la velocidadde 20 kilómetros por hora .Halle el ángulo que recorre en 10 segundos .

3. Una escalera de 13, 5 metros de longitud llega justamente hasta la parte superiorde un muro. Si laescalera forma un ángulo de 60◦ con el muro, hálle la altura de éste y la distancia a él del pie de laescalera.

4. El palo central de una tienda de campaña de forma de cono circular tiene una elevación de 6m. ysu parte superior está sostenida por cuerdas de 12m. de largo amarradas a estacas clavadas en latierra .¿ A qué distancia están las estacas del pie del mástil central ? ¿Cuál es la inclinación de las cuerdascon la tierra ? .

5. Un observador nota que el ángulo de elevación de un punto de referencia en la cumbre de un cerroes de 15◦30

0. El mismo camina 98.8 metros sobre un terreno horizontal rumbo a dicho punto y

mide de nuevo su ángulo de elevación como 33◦100. Se desea saber la distancia del observador, al

efectuar su primera medición, al punto de referencia .

6. Algunos habitantes de Antofagasta observan un O.V.N.I. volando en dirección N 68◦400E. Al mismo

tiempo unos observadores de Calama determinan la dirección del OVNI como N 10◦200O. Medido

sobre el mapa, Calama está a 2, 34 pulgadas al N 75◦200E de Antofagasta. Si se mide sobre el

mismo mapa. ¿a qué distancia está el objeto de Antofagasta? .

7. Una torre de altura h, se encuentra al norte de un punto A y al este de un puntoB. En A yen B los ángulos de elevación a la parte más alta de la torre son α y β respectivamente. SiAB = c, demuestre que:

h =cp

cotg 2α+ cotg 2β

8. Dos estaciones A y B , situadas en lados opuestos de una montaña , son vistas desde una terceraestación C .Se conocen las distancias AC = 11, 5 km. y BC = 9, 4 km. , y el ángulo ACB = 59◦30

0.

Halle la distancia entre A y B .

9. Un hombre está de pie en un punto X en la ribera XY de un río de orillas rectas y paralelas, yobserva que las rectas que une X con un punto Z de la ribera opuesta forma con XY un ángulode 30◦. Camina entonces 200 metros por la ribera hasta Y , y observa que Y Z forma con Y X unángulo de 60◦. Halle el ancho del río.

10. Se va cavar una trinchera cuya sección mida en su parte superior 4, 5 metros y 2, 7 metros en elfondo, y de una profundidad uniforme de 2, 40 metros. Si un lado debe estar inclinado 12◦ respectoa la vertical, ¿cuál debe ser la inclinación del otro lado?.

11. Para ir de las poblaciones Gran Vía a Villa Azul es necesario viajar 60 kilómetros al Este y 25kilómetros en Dirección N 23◦30

0E. Cuán separadas están las dos poblaciones?

12. Desde un barco que se halla en el mar, el ángulo que subtienden dos puertos A y B es de 30 grados.El barco navega 4 km. en dirección de A y el ángulo es entonces de 48 grados. Compruebe que ladistancia de B al segundo lugar de observación es de aproximadamente 6.472 metros.

13. Un hombre que está en un globo, observa que dos iglesias que él sabe que están separadas unkilómetro subtienden un ángulo de 11◦24

0,cuando está exactamente sobre el punto medio entre

ellas. Halle la altura del globo en kilómetros.

14. Dos boyas son observadas en la dirección Sur desde lo alto de un acantilado cuya parte superiorestá 312 m. sobre el nivel del mar . Halle la distancia entre las boyas si sus ángulos de depresiónmedidos desde la punta del acantilado son 46◦18

0y 27◦15

0, respectivamente.

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15. La elevación de un campanario desde un lugar A al sur de él es 45◦, y desde un lugar B, hacia eloeste del campanario, su elevación es de 15◦. Si AB = 2a demuéstrese que la altura del campanarioes: a

p2−√3.

4 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS1. Resuelva la ecuación para 0 ≤ x < 2π

a) 2 sen x −√3 = 0

b) tg x −√3 = 0

c) 2 cos2 x−√3 cos x = 0

2. Resuelva la ecuación: senx+ cosx = 1

3. Resuelva las ecuaciones para x tal que 0 ≤ x < 2π .

a) 2 sen2x−sen x− 1 = 0b) 2 tg x senx−tg x = 0c) senx − cos x = −1d) senx cos x = 1

2

e) sen³x2

´+ cos x = 1

f) sen 3x+sen x = 0

4. Resuelva la ecuación para x tal que 0 ≤ x < 2π :

senx+ sen 3x = cos x+ cos 3x

5. Resuelva la ecuación:1− cosx√3 sen (x2 )

=1 + cosx

cos (x2 )

6. Resuelva la ecuación: 1 + 2 tgx senx−tgx− 2 senx = 0

7. Resuelva : tgx−√3 cotgx+ 1 =

√3

8. Encuentre todos los ángulos x, x ∈ [0, π],tales que satisfagan la ecuación: tg2x−(√3+1) tgx+

√3 =

0

9. Resuelva: cos 2x = cosx+ senx

10. Resuelva: sen 5x− sen 3x−√2 cos 4x = 0

11. Resuelva: sen4x+ cos4 x = 0, 5

12. Resuelva Arcsen (5/x)+Arcsen (12/x) = π/2

13. Resuelva: 2 Arctg (cosx) =Arctg (2 cosecx)

14. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones :

a) Arctg 2x+ Arctgx =π

4

b) Arcsenx+ Arctgx =π

2

c) Arccosx+ Arctgx =π

2

4

15. Resuelva el sistema:

(tgx+ tg y = 1

tg (x+ y) =4

3

16. Demuestre que en todo triángulo se verifica que:

2(bc cosα+ ac cosβ + ab cos γ) = a2 + b2 + c2

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