guias 3er AÑO

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año

Trigonometría 1


TEMA: R. T. DE UN ÁNGULO DOBLE

Ejemplos:

Sen80° = 2Sen40°Cos40° 2Sen3xCos3x = Sen6x Cos72° = Cos236° – Sen236° Cos10x = 2Cos25x – 1

Cos5x = 1 – 2Sen2

2Cos2 – 1 = Cos

1 – 2Sen225° = Cos50°

TRIÁNGULO RECTÁNGULO DEL ÁNGULO DOBLESi consideramos a 2 (agudo), en forma práctica se tiene:

2

2Tg1

Tg2 2Tg1

Del cual obtenemos:

Trigonometría 2


Ejemplos:

Sen18° =

Cos8x =

OTRAS IDENTIDADES DEL ARCO DOBLE:

Trigonometría 3


Ejemplos:

- 2Sen43x = 1 – Cos 6x

- 2Cos2 = 1 + Cos

- 1 – Cos60° = 2Sen230°- 1 + Cos74° = 2Cos237°- Cot15° + Tg15° = 2Csc30°- Cot3x – Tg3x = 2Cot6x

- Sen415° + Cos415° = Cos60°

- Sen6 + Cos6 =

IDENTIDADES DEL ARCO MITAD

NOTA: El signo del segundo miembro se elige según el cuadrante del arco

y de la razón trigonométrica que le afecta.

Otras Identidades del Arco Mitad

Trigonometría 4


PROBLEMAS PARA LA CLASE

01) Siendo: Senx – Cosx = ;

. Calcular: Cos2x

Rpta.:

02) Si Sen20° = a, hallar el equivalente de: Cos2140° + Cos240° – 2 en términos de a.

Rpta.:

03) Simplificar la expresión:

Rpta.:

04) Simplificar:

Rpta.:

05) Reducir:

Rpta.:

06) Reducir:

Rpta.:

07) Si: Sen6x+Cos6x = m + nCos4x

Calcular:

Rpta.:

08) Reducir:

Rpta.:

09) Reducir:

Rpta.:

10) Reducir:

M = 8SenxCosxCos2xCos4x

Rpta.:

Trigonometría 5


11) Reducir:

Rpta.:

12) Reducir:

Rpta.:

13) Reducir:

Rpta.:

14) Simplificar:

P = (Secx – Cosx)(Cscx – Senx)

Rpta.:

15) Simplificar:

Rpta.:

16) Sabiendo que:

¿A qué es igual:?

Rpta.:

17) Reducir:

Rpta.:

18) Si: Sen2x = Cos2x

Calcular: Cos4x

Rpta.:

19) Reducir:

E = (1 – 6Tg2a + Tg4a)Cos4a

Rpta.:

20) Si:

Reducir:E = mSen2 + nCos2

Rpta.:

Trigonometría 6


PROBLEMAS PARA LA CASA

01) Reducir:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

02) Si:

Hallar: Sen2

a) -4/9 b) -3/9 c) -8/9d) -5/9 e) N.A.

03) Si:

Calcular: Sen2

a) 5/8 b) 6/8 c) 7/8d) 8/9 e) 9/8

04) Calcular: A . B, si:

1+Sen2 + Cos2 =ACosCos(B – )

a) b) c)

d) c)

05) Calcular:

a) 1/7 b) 3/7 c) 1/8d) 1/16 e) 1/4

06) Señale el mayor valor que puede tomar:

S = TgxCos2x + CotxSen2x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

* En los siguientes ejercicios, señalar verdadero (V) o falso (F), según corresponda

07) Senx + Cosx = n

Sen2x = n2 – 1

a) F b) V

08) Cos4x – Sen4x = Cos2x

a) V b) F

09) Cot18° – Tg18° = 2Cot2x

x = 18°a) F b) V

Trigonometría 7


10) Reducir:

a) b) c)

d)

11) Sabiendo que:

Sen6x + Cos6x = A + BCos4xSen4x + Cos4x = C + DCos4x

Calcular:

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

12) Del gráfico, hallar: Tgx

6 3x

x

2

A

B C

D

a) b) c)

d) e)

Trigonometría 8


13) De la ecuación:

Calcular: Csc22

a) b) c)

d) e)

14) Siendo 2x e y las medidas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo.Calcular: 2Cos2x – Seny

a) 1 b) 2 c) 3d) -1 e) 0

15) Del gráfico mostrado, hallar Cot, sabiendo que: ,

45°

H

P

C

B

A

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

Trigonometría 9


TEMA: R. T. DE UN ÁNGULO TRIPLE

Fórmulas Especiales:

Fórmulas de Degradación:

Propiedades:

Observación:

Trigonometría 10



01) Simplificar:

Rpta.:

02) Simplificar:

R = 36Sen3x + 12Sen33x + 4Sen39x + Sen27x

Rpta.:

03) Reducir:

Rpta.:

04) Calcular el valor de:

Rpta.:

05) Reducir:

P = (4Cos211° – 1)Sen11°Cos33°

Rpta.:

06) Reducir:

Rpta.:

07) Reducir:

Rpta.:

08) Si se cumple:

Rpta.:

09) Reducir:

M = Cos10° – 2Sen10°Cos70°

Rpta.:

10) Siendo:

Calcular: Cot3x

Rpta.:

Trigonometría 11


11) Simplificar:

Rpta.:

12) Del gráfico, calcular la longitud de

2

B

A C

6

2

M

Rpta.:

13) Simplificar:

Rpta.:

14) Reducir:

Rpta.:

15) Hallar A y B, de la siguiente identidad:

SenAx = 3Senx –Bsen3x

Rpta.:

16) Simplificar:

Rpta.:

17) Simplificar:

Rpta.:

18) Si: Tg3 = x + 1 ; Tg = 2

Calcular: el valor de x.

Rpta.:

19) Hallar el valor de:

M = 8Cos340° – 6Cos40° + 1

Rpta.:

20) Hallar el valor de k en:

Cot18° = kCot36°

Trigonometría 12


Rpta.:

Trigonometría 13



01) Simplificar:

R = 36Sen3x + 12Sen33x + 4Sen39x + Sen27x

a) 27Senx b) 40Senxc) 30Senx d) 21Senxe) N.A.

02) Calcular el valor de:M = Cos5°Cos55°Sen25°

a) b)

c) d)

e)

03) Indicar el valor de M . N en la siguiente identidad:

SenxCos2x = MSenx + NSen3x

a) 1/2 b) 1/4c) 1/16 d) 1/8e) 2/19

04) Reducir:E = 16Sen18°Sen42°Sen78° – 1

a) b)

c) d)

e)

05) Hallar el valor de:

E = Sen9° + Cos9°

a) b)

c) d)

e) N.A.

06) Si: ,

Calcular: Sen3x

a) b)

c) d)

e) N.A.

07) Calcular:P = 8Cos320° – 6Cos20°

a) 0 b) 2

c) d) 1

e)

08) Simplificar:

Trigonometría 14


a)

b)

c)

d)

e) N.A.

09) Si: Cosx + Cosy + Coz = 0Calcular:

a) 6 b) 12c) -12 d) -6e) 9

10) Si: Sen3x = nSenxHallar: Cos2x

a) n – 1 b)

c) d)

e) n + 1

11) Calcular:

a) 1/4 b) 2/4c) 2/5 d) 3/4e) 3/7

12) Reducir:

a) Senx b) Cos

c) 2Senx d)

e)

13) Calcular:B = Cos20° + Cos40°Cos80°

a) b)

c) d)

e)

14) Simplificar:Y = Sen3Csc – Cos3Sec

a) 0 b) 1c) 2 d) 3e) 4

15) Hallar el valor de k, en la siguiente, igualdad:

a) 0 b) 1c) 2 d) 3e) 4

Trigonometría 15


TEMA: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

NOCIONES PREVIAS

Concepto de Función: Dados dos conjuntos numéricos A y B, diferentes del vacío, se llama función al conjunto de pares ordenados (x ; y) tales que para cada x A, existe uno y sólo un elemento y B.

Dominio de una Función: Es el conjunto conformado por todas las primeras componentes de los pares ordenados que define a la función, y se denota por:

Domf = {x A / (x ; y) f}

Rango de una Función: Es el conjunto conformado por todas las segundas componentes de los pares ordenados que definen la función, y se denota por:

Ranf = {y B / (x ; y) f}

A la notación y = f(x) se el llama regla de correspondencia; y se lee: “y igual a f de x”.

Función AcotadaSe dice que una funciones f, es acotada, si M R. tal que: |f(x)| M ; x Domf

Ejemplo:La función f(x) = Senx es acotada, ya que |Senx| 1, x R (M = 1)

InferioresCotasdeConjunto

SuperioresCotasdeConjunto-1 1

FUNCIÓN PARUna función f es par si:

Ejemplo de funciones pares:

Trigonometría 16


y = f(x) = x2 – 1, probando: f(-x) = (-x)2 – 1 = x2 - 1= f(x)

Graficando:

-1

-1 1

y

x

FUNCIÓN IMPAR

Una función f es impar si:

Ejemplos de funciones impares:

y = f(x) = x3, probando: f(-x) = (-x)3

= -x3

= -f(x)

Graficando:

Trigonometría 17

Observación: El gráfico de una función par es simétrica al eje y


y

x0

FUNCIÓN CRECIENTEUna función f es creciente en un intervalo I de su dominio, si para todo par de números x1 y x2 de dicho intervalo se cumple que:

Ejemplo:La función y = x2 – 1, es creciente x 0 ;

FUNCIÓN DECRECIENTEUna función f es decreciente en un intervalo I de su dominio, si para todo par de número x1 y x2 de dicho intervalo se cumple que:

Ejemplo:La función: y = x2 – 1, es decreciente x - ; 0

FUNCIÓN PERIÓDICAUna función f es periódica, si existe un número real T 0; tal que para cualquier x de su dominio se cumple:

Observación: El número T se denomina periodo principal, si es positivo y mínimo entre todos los periodos positivos.

Ejemplo: Sea: f(x) = Senx f(x + T) = Sen(x + t)Luego; Sen(x + T) = Senx

Trigonometría 18


SenxCosT + CosxSenT = SenxHacemos: CosT = 1 SenT = 0

T = 2k ; k Z+

T = 2 ; 4 ; 6 ; … El periodo principal de la función: y = Senx es 2.

ESTUDIO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIÓN SENOf = {(x ; y) R2 / y = Senx ; x R}

y

x

y = Senx(Senoide)

-1

1

0 22

32

Luego: Ranf = [-1 ; 1], es decir: -1 Sen 1, periodo de f es 2

FUNCIÓN COSENO

f = {(x ; y) R2 / y = Cosx ; x R}

Trigonometría 19


y

x

y = Cosx

-1

1

0 22

32

Luego: Ranf = [-1 ; 1], es decir: -1 Cos 1, periodo de f es 2

Trigonometría 20


FUNCIÓN TANGENTE

f = {(x ; y) R2 / y = Tgx ; x R – ; n Z}

y

x

y = Tgx(tangentoide)

02

32

2

Luego: Ranf = RPeriodo de f es

FUNCIÓN COTANGENTEf = {(x ; y) R2 / y = Cotx ; x R – {n} ; n Z}

y

x

y = Cotx(cotangentoide)

02

32 2

Luego: Ranf = RPeriodo de f es

Trigonometría 21


FUNCIÓN SECANTE

y

x

y = Secx(Secantoide)

02

32 2

-1

1

Luego: Ranf = R – -1 ; 1Periodo de f: 2

FUNCIÓN COSECANTEf = {(x ; y) R2 / y = Cscx ; x R – {n} ; n Z}

y

x

y = Cscx(cosecantoide)

02

32 2

1

-1

Luego: Ranf = R – -1 ; 1Periodo de f: 2


Trigonometría 22


01) Hallar el dominio de la función:

02) Dada la función:f(x) = Cos2x – 2Cosx

Hallar su rango

03) Hallar el máximo, valor de:f(x) = Senx(Senx – 6) + 4

04) Hallar el rango de la función:

05) Hallar el dominio y rango de la función f definida por:

06) Dada la función:

Halle su dominio y su rango

* Hallar el periodo de las siguientes funciones:

07) f(x) = 2Sen3x + 1

08)

09) h(x) = 2Cos4x – 3

10) Hallar el rango de la siguiente función:

11) La función: f(x) = Csc2x ; tiene como dominio el intervalo:

. Determinar su rango


f(x) = Senx + CotxCosx – 1

13) Halla el rango de la siguiente función, si su dominio es:

h(x) = Tg2x + 2x + 2Secx + 2

14) Hallar el periodo de la siguiente función:

15) Si: f(Senx) = Cosx

Evaluar: f(Cos3480°)

16) Hallar el dominio y rango de la función:

17) Hallar el periodo de:

18) Halle el rango de la función:F(x) = Cot2x + Tg2x

Si:

19) Hallar el dominio de la siguiente función:

Trigonometría 23



Trigonometría 24



01) Hallar el rango de f, si:

Rpta.:

02) Hallar el dominio de la función g:

Rpta.:

03) Hallar el rango de la función f:

f(x) = Sec22x + |2Sec2x| + |Cot2x – Csc2x|

Rpta.:

04) Hallar el rango de la función:

Si:

Rpta.:

05) Hallar el rango de la siguiente función:f(x) = 2|Cosx| + 3 ; x R

a) [3 ; 5] b) 3 ; 5 c) 2 ; 5} d) 3 ; 6e) 3 ; 7

06) Si: y

Determine el conjunto de valores de “a”

a) 1 < a < 3 b) 2 < a < 4c) 2 < a < 3 d) 1 < a < 4e) N.A.

07) Hallar el rango de f si:

f() = Cos ;

a) b)

c) d)

e) N.A.

08) Hallar el rango de:

para

a)

Trigonometría 25


b)

c)

d)

e)


f(x) = |Senx + Cosx| + |Senx - Cosx|

a) [0 ; ] b) [ ; 2]c) [0 ; 2] d) [0; ]e) N.A.


f(x) = (Tgx + Cotx)Sen2x

a) b) /3c) /2 d) 2

e)

11) Señalar el valor máximo de:f(x) = Tg(Senx + Cosx)

a) b) Tg1c) d) e) 1

12) Halle el dominio de la siguiente función:

g(x) = Sec(Cosx)

a) Z+ b) R

c)

d) e) N.A.

13) Del problema anterior, indicar el rango.

a) 1 ; Cos2 b) 1;Sen2c) 1 ; Sec1 d) 1;Cos2e) 1 ; Sec1

14) Halle el dominio de la función:

a)

b)

c)

15) Halle el periodo de:

a) b)

c) d)

e)

Trigonometría 26


TEMA: GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Uno de los conceptos más importantes en la trigonometría es el de “curva senoidal”. Esta curva se presenta en diversas partes de las ciencias matemáticas y ciencias naturales (Física). Esta curva es la grafica de la función: y = Asen (BX + C), siendo A, B y C constantes.

Iniciaremos el presente capítulo comparando las gráficas de:y = SenXy = ASenX A

-A

Y

X

1

-1

y=ASenX

y= SenX

2

Ambas gráficas se encuentran superpuestas sobre los mismos ejes y con las mismas escalas.

Como todos sabemos, el máximo valor que puede tener Sen X es 1, y se da

para: x = .

Análogamente, el máximo valor de es A.La constante “A” recibe el nombre de AMPLITUD DE LA CURVA SENO (curva senoidal)

El periodo (T) de: y = SenX; y = Asen X es T = 2

Ahora, vamos a comparar las graficas de: y = Sen X y = Sen BXAnalizando:

Trigonometría 27


Por lo tanto, vemos que el periodo de y = Sen BX es ver figura.

Y

X

1

-1

y= BSen X

y= SenX

2

2B

Ahora veamos como seria la grafica de y = ASenBX, teniendo como base la grafica anterior.

Y

X

1

-1

y=ASen X

y =SenX

2

2B

-A

AB

Analicemos ahora la gráfica de: y = Sen(x + c). Cuando x + C = 0 x = - CCuando x + C= 2 x = 2 -C

Trigonometría 28


Entonces, la gráfica que se muestra a continuación es por tanto, una curva senoidal desplazada a ala izquierda en C.

Y

X-C

1

-1

2

y=Sen(x+C)

y=Sen x

La constante C se llama CAMBIO DE FASE O ÁNGULO DE FASE.

Luego, en la curva: y = Sen (BX + C), vemos que:

Cuando BX + C = 0 x =

Cuando BX + C = 2 x = (2 - C)/B

Por eso decimos que el cambio de fase venga dado por el número

(ver figura)

Y

X-C/B

1

-1

2

y=Sen( x+c)

y=Sen x

B

Por último, representamos a la curva senoidal más general:

Trigonometría 29


Donde:

Amplitud

Periodo

Cambio de fase

y=Sen( x+c)B

y=Sen x

Y

X-C/B

21

-1

-A

A

1

Nota:De manera análoga se procede para la construcción de la grafica de la función y = ACos (BX + C), que es una curva cosenoidal.

Reglas para la Construcción de Gráficas de Funciones

Desplazamiento Vertical.

Dada la gráfica de la función y = f(x), para construir la gráfica de la función y = f(x) + C es necesario desplazar la gráfica de f a lo largo del eje de ordenadas:

Si C > 0 la gráfica va hacia arriba en C

Trigonometría 30


Si C < 0 la gráfica va hacia abajo en C

Ejemplo:

1

2

3

0

-1

2 32

2

Y

X

y=2+Senx

y=Senx

Desplazamiento Horizontal

Dada la gráfica de la función y = f(x), para construir la grafica de la función y = f(x-c) es necesario desplazar a la grafica de f a lo largo del eje de abscisas.

Si C > 0 La grafica se mueve hacia la derecha. Si C > 0 La grafica se mueve hacia la izquierda.

Ejemplo:

4

2

2

4

-1

1

0

y =SenX4

Sen(x- )y=

Y

X

Opuesto de una Función.

Dada la gráfica de la función y = f(x), para construir la gráfica de la función y = -f(x), se debe reflejar en forma simétrica a la gráfica de f con respecto al eje de abscisas.

Trigonometría 31


-1

1

Y

X

2

y=-Cosx y=Cosx

Valor Absoluto de una Función

Si tenemos la gráfica de la función y = f(x), para construir la gráfica de la función y = f(x)no debemos cambiar los tramos de la grafica de f que están por encima del eje x y debemos reflejar simétricamente a los tramos de la gráfica de f que están por debajo del eje X.

Ejemplo:

-1

1

Y

X2

y= Cosx //

0 2

y=Cosx


Trigonometría 32


01) Indicar la regla de correspondencia dado el siguiente gráfico:y

x

3;

3;2

02) Indicar la regla de correspondencia e la función “f” que genera la siguiente gráfica:

y

x

2

-3

23

03) En la siguiente grafica, se muestran un senoide y un cosenoide. Calcular el área del triángulo sombreado.

Senxg )x(

Coxf )x(

04) Indicar la gráfica de la función “f”, si:f(x) = Sen2xCotx + Cos2x Tgx

05) Indicar la grafica de la función “f”, si:f(x) = Sen2x(Tgx + Cotx)

06) Indicar la grafica de la función “f”, si:

07) ¿En cuantos puntos del intervalo 0 ; 4, la función:

, interseca al eje x?

08) En el siguiente gráfico se ha representado la curva: y = aCos(2x + ) + 2. Calcular el área de la región sombreada.

y

x

6

09) Si el periodo de: f(x) = 2|Sec4x| es la mitad del periodo de: g(x) =

Sen(nx)Csc . ¿Cuál es el

periodo de: h(x) = |Tg(3n + 1)x|?

10) Halle el periodo de: y = f(x) = Cos(Cosx)

11) Graficar la función:

12) Dada la grafica:y

2 2 O

Una regla de correspondencia de la curva mostrada, será:

13) Graficar la siguiente función:f(x) = 2Senx

Trigonometría 33




16) Del gráfico, calcular: a – b y

x

y = 2Sen2x

b;8

7Q

a;6

P

17) Calcular las coordenadas del punto P.

y

x

4

-1

1P

18) Hallar la suma de ordenadas de los puntos P y Q.

y = Senx

x

y

43

4

7

P

Q

19) Del gráfico mostrado, calcular el área de la región triangular AOB.

y

x

y = 2Senx

B A

O

20) Dada la gráfica, calcular el área de la región sombreada

y

x4

4

2

2

y = tgx

Trigonometría 34



01) Al esbozar la gráfica de la función f, donde:

indicar el rango de

f.a) R – {0} b) Rc) Z+ d) R– e) N.A.

02) Hallar el área de la región sombreada en términos de r.

y

x

Circunferencia

2xrSeny

a) b)

c) r(1 – 2r) d) r(1 – 3r)e) N.A.

03) Dada la función:f(x) = |x| - |3senx| x [-2; 2]

a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5

04) Calcular el área del rectángulo sombreado, si es paralelo al eje x y su longitud es 2

y y = Sen(-x)

M N-1

a) 2Cos1 b) Cos2c) 2Cos0 d) 2Cose) N.A.

05) De la figura mostrada, hallar x2 – x1

y

x

y = |Sen3x|

y = Cosx

2x1x

a) b)

c) d)

e)

Trigonometría 35


06) Construir el gráfico de la siguiente función:

a)

y

O

2

2

)x(f

x

b)

y

-2

)x(f

2

x

07) Graficar:

f(x) = Secx . Cosx

a)

y

Ox2

-1

b) y

Ox

2

23

2

1

08) Graficar:

f(x) = 1 – 2Cosx

a) y

x

-1

1

2

2

b) y

x

-1

1

2 2

Trigonometría 36


09) Graficar:

a)y

x2

O

b) y

2Ox

1

10) Hallar los valores de x para los cuales el valor de la función f no está definida.

a) 3 b) k–1; k Zc) k ; k Z d) k2 - 1 d) (n – 1) ; n N

11) Si: F(x) = 3Sen22x + 2

G(x) = 4Cos37x – 1Hallar los rangos de F y G. Dar como respuesta la intersección:

a) [2 ; 3] b) [1 ; 4]c) [2 ; 3 d) 2 ; 3e) 1 ; 2

12) De la figura, calcular el área de la región triangular UNI

y

x

O

y = Cot(bx) + 1

y = Cot(bx)

U

N I

2

a) b) c)

d) e)

13) Hallar el gráfico de:

a)

Trigonometría 37


y

Ox

3

2

6

b)

y

x

O 3 6

c) y

xO 62

14) Determinar el número de intersecciones de:

f(x) = Sen2x – Tgx

Con el eje de abscisas, si

a) 5 b) 6c) 7 d) 8e) 9

Trigonometría 38


15) Graficar:

f(x) = Sen(5x – 2|x|) ;

a)

4

4

b)

y

x

-1

1

4

6

c)

y

Ox

6

4

1

-1

Trigonometría 39


TEMA: TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS

CASO I

DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO

Ejemplos:

Transforme a producto las siguientes expresiones:

Sen40° + Sen20° = 2Sen30°Cos10° Sen8x – Sen4x = 2Cos6xSen2x Sen40° – Sen52° = 2Cos46°Sen(-6°) = -2Cos46°Sen6° Cos62° + Cos10° = 2Cos36°Cos26°

Cos7x – Cos2x = -2Sen Sen

Sen(20° + x) + Senx = 2Sen(10° + x)Cos10° Cos(40° + ) + Cos(40° – ) = 2Cos40°Cos

PROPIEDAD:

Trigonometría 40


Si A + B + C = 180°, se cumple:

CASO II

DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA

Trigonometría 41



01) Simplificar:

Rpta.:

02) Hallar “x” en:

Rpta.:

03) Reducir la expresión:

Sen80° + Cos250° – Sen40°

Rpta.:

04) Calcule “k”, a partir de la identidad:

Sen20° +Cos50° + Cos10° = kCos10°

Rpta.:

05) Transformar a producto:

1 + Cos12° + Cos24° + Cos36°

Rpta.:

06) Calcular “k”, de la siguiente igualdad:

kCos50° = Csc50° – Csc10°

Rpta.:

07) Siendo: Cos110° = k, halle: Sen225° – Sen25°, en términos de k

Rpta.:

08) Calcule el valor de:

Rpta.:


Rpta.:


M = 4Sen290° + Sec280

Rpta.:

11) A partir de:

Sen7Sen5 – Sen3Sen =

Calcule: Cos4

Rpta.:

Trigonometría 42


12) Halle el mínimo valor de:

P = Sen(x + 20°)Cos(x – 10°)

Rpta.:

13) Reducir:

E = Sen7xSen2x – Sen6xSen3x + Cos6xCos3x

Rpta.:

14) Calcular:

E = Cos2x + Cos2(120° – x) + Cos2(120° + x)

Rpta.:

15) Simplificar:

E = 2(Cos5°+Cos3°)(Sen3°–Sen1°)

Rpta.:

16) Calcular:

para x = 5°

Rpta.:

17) Factorizar:

E = Sen1° + Sen3° – Sen5° + Sen9°

Rpta.:

18) Si A + B +C = , hallar “x”

SenA + SenB + SenC =

Rpta.:

19) Calcular:

M = Sen410° + Sen450° + Sen470°

Rpta.:

20) Calcular “x”

Rpta.:

Trigonometría 43



01) Calcular:

P = Sen24° . Cos6º

a) b)

c)

02) Calcular:

E = Cos2 + Cos2 + Cos2

a) b)

c) d)

e)

03) Calcular:

M = Sec80° – 2Sen70°

a) 0 b) -1c) 2 d) 1e) 3

04) Calcular:

P = Cot20° – 4Cos20°

a) 1 b) 0c) -1 d) 2e) 3

05) Calcular:

E = Cos . Cos . Cos

a) b)

c) d) e) 0

06) Calcular:

E = Sen + Sen + Sen

a) b)

c) d) e) N.A.

07) Calcular:

P = Tg – Tg – Tg

a) b) 7c) d) e)

08) Simplificar:

Trigonometría 44


a) Sen3 b) Sec3

c) Csc3 d) Sen3

e) Csc

09) Calcular el valor de:

E = Cos81°Sec42° – Cos78°Sec9°

Si: Sen18° = y

Cos36° =

a) 0 b) 1c) -1 d) 2e) -2

10) Reducir la siguiente expresión:

M = 2Sen8Sen5-2Sen3Sen

a) Sen28Cos4b) Sen24Sec4c) Sen24Sec8d) Sen28Csc4e) N.A.

11) Reducir la expresión:

Csc10° – 2Cos20°

a) 0 b) -1c) 1 d) 2e) -2

12) Calcular:

P = Sec41°Sec4°(Cos37° + Sec45°Sen30°)

a) 0 b) -1c) 1 d) 2e) 3

13) Si se cumple:Cos10°Sen140° = a

Halle el valor de:4a – 2Sen130°

a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 0

14) Transformar a producto la siguiente expresión:

N = 1 – Sen20°

a) Tg40°Sen20°b) Cot40°Sen20°c) Tg40°Cot20°d) Cot40°Sen20°e) N.A.

15) Simplificar:

a) 2Sen b) Tgc) 2Cos d) 2Tge) Cos2

Trigonometría 45


Trigonometría 46


TEMA: ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Definición: Son igualdades condicionales que presentan funciones trigonométricas ligadas a una variable angular y se cumplen para un conjunto de valores angulares que hace posible la igualdad original.

Ejemplos de ecuaciones trigonométricas:

Senx =

Cos3x –Senx = 1

Sen2 =

Cos2x + Tgx = Senx Tgx + Tg2x = 0 1 + Tgx + Sec2x = Cosx

Sec2x + Cos3x =

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTALES:Son ecuaciones de la forma:

Donde:F. T. : Funciones Trigonométricas x : Variable angular

Además : A, B, N son constantes y A 0 N : Valor Admisible

Ejemplos de ecuaciones trigonométricas elementales:

Senx =

Cos = 1

Trigonometría 47


Tg =

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICAEs un número real (ángulo expresado en radianes) que satisface la ecuación trigonométrica dada.

VALOR PRINCIPAL DE UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAL (V.P.)

Sea la ecuación trigonométrica elemental:

F.T.(Ax + B) = N

Donde:

Expresiones generales de todos los arco que tiene una misma función trigonométrica

1) Para el SENO:

2) Para el COSENO:

3) Para la TANGENTE:

Donde: k Z

Trigonometría 48



01) Calcule la menor solución positiva de la ecuación:

Cscx – Senx = Cosx

Rpta.:

02) Hallar la menor solución positiva en:

Cos2 + Sen2 = 0

Rpta.:

03) Halle la menor solución positiva de la ecuación:

tgxTg3x = 1

Rpta.:

04) Calcule la menor solución de la ecuación:

Senx +Sen3x + Sen5x + Sen7x = 0

Rpta.:

05) Resolver:5 – 4Sen2x – 4Cosx = 0

Para x - ;

Rpta.:

06) Determine la solución general de la ecuación:

3 – 5Tgx = -5 +

Rpta.:

07) Resolver;

Rpta.:

08) Resolver:4Sen4x + 2Sen2xCos2x = 1

Rpta.:

09) Resolver:Cos6x + 2Sen3x + 3 = 0

Rpta.:

10) Calcule la suma de soluciones de la ecuación:

Sen2x – Cosx = 0Si x 0 ;

Rpta.:

11) Indicar una solución de:2Tg2xSecx = 1

Rpta.:

12) Resolver la ecuación:

Indicar la suma de soluciones

en el intervalo:

Rpta.:

Trigonometría 49


13) Hallar una solución de la ecuación:

Rpta.:

14) Hallar el valor principal de:

Rpta.:

15) Resolver:

Rpta.:

16) Resolver:

Rpta.:

17) Resolver:Cos3x = -1

Rpta.:

18) Resolver:

Rpta.:

19) Resolver:

Indicar el número de soluciones comprendidas en [-2 ; 5]

Rpta.:

20) Resolver: 2Cos2x– Cos – 1 = 0 e indicar las soluciones en 0 ; 2

Rpta.:

Trigonometría 50


Trigonometría 51



01) Resolver: Cotx = -1

a) b)

c) d) e) N.A.

02) Resolver: Cosx =

a)

b)

c)

d) 2k + 3/9

e)

03) Resolver:

a) b) n /6c) 2k /6 d) n + (-1)n/3e) N.A.

04) Resolver:

a)

b)

d) c) (2n – 1) ; n Ze) N.A.

05) Resolver:Sen + Cos =

a) k + /4 ; k Zb) k - /4 ; k Zc) 2k + /4 ; k Zd) 3k + (-1)k/4 ; k Ze) N.A.

06) Resolver:

a) b)

c) k /4 d) k /3e) N.A.

07) Resolver:

a) b)

c) e)

e) N.A.

08) Resolver: 3Senx = =2Cos2x

Trigonometría 52


a)

b)

c)

d) e) N.A.

09) Resolver:1 – Tgx = Cos2x(x k k Z)

a) b)

c) d)

e) N.A.

10) Resolver:

a) b)

c) d) k e) N.A.

11) Resolver

Cotx . Sen3x – 2Cosx =

Dar como respuesta la mayor solución negativa.

a) b) c)

d) e) N.A.

12) Calcular la suma de las 3 primeras soluciones positivas de la ecuación:

2Cos2x = -4Cosx – 3

a) 320° b) 460° c) 840°d) 480° e) 180°

13) En la ecuación:

Hallar la menor solución positiva.

a) b) d)

d) e)

14) Resolver:(Cot2x – Cot2x)2 + Sec2x = 3

a) b)

c) d)

e)

15) Resolver:

Senx + Sen3x + Sen5x = Cosx + Cos3x + Cos5x

Trigonometría 53


a) b)

c) d)

e)

Trigonometría 54


MISCELÁNEA

01) La medida de un ángulo en el sistema sexagesimal es (20 + x)° y en el sistema centesimal es (20 – x)g. Calcular la medida de dicho ángulo en radianes.

Rpta.:

02) Sabiendo que “S”, “C” y “R” son las medidas de los 3 sistemas para un ángulo, se cumple:

. Calcular la

medida del ángulo en radianes.

Rpta.:

03) Dos ángulos y son coterminales y además complementarios. Hallar la medida del ángulo , si: 200° < < 300°

Rpta.:

04) El número de grados sexagesimales que mide un ángulo más el número de grados centesimales que mide otro ángulo e 196. calcular la medida del menor ángulo en radianes, sabiendo que son complementarios.

Rpta.:

05) El perímetro de un triángulo es 330m. Si la tangente de uno de los ángulos agudos vale 2,4. ¿Cuánto mide el cateto menor?

Rpta.:

06) Si: Sec = Csc2. Hallar:

Rpta.:

07) De la figura, expresar h en términos de , y x

x

h

Rpta.:

08) En la figura, MNPQ es cuadrado. B es punto medio y AB = MN. Calcular: Sen

A

M

N

Q

B

P

Rpta.:09) El perímetro de un triángulo

rectángulo ABC (B = 90°) es 180. Calcular su área si la

Trigonometría 55


secante de su mayor ángulo agudo es 2 , 6.

Rpta.:

10) Se tiene un triángulo ABC, tal que AB = 6,5 y AC = 12. Calcular el área de dicho

triángulo si

Rpta.:

11) ¿A qué cuadrante pertenece ?

Rpta.:

12) ¿A que cuadrante pertenece ?

Rpta.:

13) Si es un ángulo en posición normal, tal que en un punto de su lado final es (-5 ; -12). Hallar la Csc

Rpta.:

14) Si: ; IVC.

Calcular: Sen – Cos

Rpta.:

15) Si , además:

IIIC. Hallar: N = Csc + Cot

Rpta.:

16) Sabiendo que:

Calcular: F() + F(2)

Rpta.:

17) Si y son ángulo positivos menores de una vuelta, tal que; IVC y IIC.¿A que cuadrante pertenece:

?

Rpta.:

18) Calcular el valor de “ + ”, sabiendo que se cumple: Sen – Cos2 = 0 …….. (1)SenCsc4 = 1 …….. (2)Además, y son ángulos agudos.

Rpta.:

19) Si . Calcular: Tg2x + Cot2x

Rpta.:

Trigonometría 56


20) Si: Sen2 + Sen = 1Calcular:

Rpta.:

21) Del gráfico mostrado calcular: “aTg”

y

x

3;2a

(-2 ; -a)

Rpta.:

22) En un triángulo ABC, se cumple:

TgC = 2TgB = 3TgA

Calcular: Cos2A

Rpta.:

23) Calcular: Sen2, si:

Rpta.:24) Calcular el valor de:

M = Cos40°Cos20° + Cos120°.Sen70°

Rpta.:

25) Hallar el valor de “k”, a partir de:

KSen40° = Sec40° + Sec100°

Rpta.:

26) Reducir:

Rpta.:

27) Si: = 72° y = 63°. Calcular:

Rpta.:

28) Sabiendo que se cumple la identidad:

Indicar un valor de: m – n

Rpta.:29) Simplificar:

Trigonometría 57


Rpta.:

30) Hallar el valor de: P = A + B, si además:

A = Sen210° + Sen250° + Sen280°B = Cos220° + Cos240° + Cos280°

Rpta.:

31) Hallar el mínimo valor de la expresión:

R = Sen2x + 9Cos2x + 6SenxCosx

Rpta.:

32) Hallar P:

Para:

Rpta.:

33) En un triángulo ABC, se tiene que: , mA = 135°, mC = 15°. Calcular la longitud del lado “C”.

Rpta.:

Trigonometría 58

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