1.- Determina las razones trigonométricas de los siguientes ángulos, relacionándolos con algunos ángulos notables (0º, 30º, 45º,60º, 90º, 180º, 270º, 360º), indicando en qué cuadrante se encuentran:a) 240º b) 135º c) 315º d) 720º e) 750º2.- Calcula el valor de los siguientes ángulos y el resto de las razones trigonométricas, sabiendo que: a) sen α = - 2/2 y α ∈ III cuadrante b) con α = -1/2 y α ∈ II cuadrante c) tag α = 1 y α ∈ IV cuadrante3.- Calcula el seno y la tangente de un ángulo agudo, sabiendo que su coseno vale: a) 0,5541 b) 0.1852 c) 0,9457 d) 0,54.- Calcula el coseno y la tangente de un ángulo agudo, sabiendo que su seno vale:

43)

74)

61)

53) dcba

Expresa los resultados en forma de fracción.5.- Calcula el seno y la tangente de un ángulo agudo, sabiendo que su coseno vale:

57)

53)

45)

32) dcba

Expresa los resultados en forma de expresiones racionales.Tercera relación fundamental:

Al dividir los dos miembros de la primera relación fundamental por cos2 α :

αα

ααα

αα

αααα

22

22

2

2

2

22

22

cos11tan

cos1

coscos

coscos1

coscos

=+⇒=+⇒=+ sensen

A este resultado se le conoce como “Tercera relación fundamental de la Trigonometría y sirve para relacionarnos la tangentecon el coseno de un ángulo.

Al dividir los dos miembros de la primera relación fundamental por sen2 α :

ααααα

αα

αααα

2222

2

2

2

22

22 1tan

111cos1cossensensensen

sensensen

sen=+⇒=+⇒=

+

A este resultado se le conoce como “Cuarta relación fundamental de la Trigonometría” y sirve para relacionarnos la tangentecon el seno de un ángulo.

Cuarta relación fundamental

A la luz de estos resultados, realiza las actividades siguientes.6.- Calcula senα y cosα , sabiendo que la tangente de α vale: a) 0,7563 b) 1,3852 c) 8,3756 d) 5432

7.- La tangente de un ángulo agudo α vale23

. Calcula senα y cosα expresando los resultados mediante fracciones y

radicales.

8.- La tangente de un ángulo agudo α vale 2 . Calcula el senα y cosα dando los resultados mediante expresionesradicales.

9.- Si α es un ángulo agudo y senα =53

, calcula el valor de la expresión 5senα + cosα - 16tanα

10.- Halla el valor de las letras en los siguientes triángulos:

11.- La altura de los ojos de un observador es de 1,60 m. El observador ve el punto más alto de un poste con un ángulo deelevación de 33º. La distancia entre los pies del observador y el pie del poste es de 6 metros. Calcula la altura del poste.12.- Desde un punto del suelo se ve la altura de una torre con un ángulo de elevación de 48º. Si se retrocede 30m, se ve la mismatorre pero bajo un ángulo de 24º. Calcula la altura de la torre.13.- Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de 40º, y si se retrocede 4m se ve bajo un ángulo de28º. Calcula la altura del árbol y la anchura del río.

α

α6,5

7,2

a)

53º23

xb) c)

b 4

a62 x

c

15

9d)

α

14.- Dos observadores situados a 70 metros de distancia ven un globo situado entre ellos y en el mismo plano vertical bajoángulos de elevación de 25º y 70º. Halla la altura del globo y las distancias que los separan de cada uno de los dos observadores.15.- La diagonal de un rectángulo mide 7cm y forma con uno de los lados un ángulo de 39º. Calcula la medida de los lados delrectángulo, así como su área.16.- Calcula el área de un rombo sabiendo que uno de sus ángulos es de 45º y que su lado mide 2m.17.- Indica el cuadrante al que pertenece cada uno de los siguientes ángulos expresados en grados:a) 320º b) 125º c) 200º d) 15º e) 516º f) 765º g) 1295º h) 2150º18.- Indica el cuadrante al que pertenece cada uno de estos ángulos expresados en radicales:

radhradgradfraderaddradcradbrada5

38)6

49)3

16)4

11)11

)3

2)6

7)4

7) ππππππππ

19.- El coseno de un ángulo del cuarto cuadrante vale5328

. Calcula el seno y la tangente de ese mismo ángulo.

20.- La tangente de un ángulo del tercer cuadrante vale3677

. Calcula el seno y el coseno de ese mismo ángulo.

21.- Responde a las siguientes preguntas y razones la respuesta:

a) ¿Puede el coseno de un ángulo del segundo cuadrante valer21

?

b) ¿Puede el seno de un ángulo del segundo cuadrante valer1213

?

c) ¿Puede la tangente de un ángulo del tercer cuadrante valer1213

?

d) ¿Puede la tangente de un ángulo del cuarto cuadrante valer1213

?

e) ¿Puede el seno de un ángulo del segundo cuadrante valer21

?

22.- El seno de un ángulo del tercer cuadrante vale257

− . Calcula el coseno y la tangente de ese mismo ángulo.

23.- La tangente de un ángulo del segundo cuadrante vale103

− . Calcula el seno y el coseno de ese mismo ángulo.

24.- El coseno de un ángulo del cuarto cuadrante vale55

. Calcula el seno y la tangente del mismo ángulo.

25.- Sin ayuda de la calculadora, indica los valores de las siguientes razones trigonométricas:a) sen 150º b) con (-330) c) tan 315º d) sen 225º e) tan(-315º) f) tan 150ºg) sen 300º h) cos 135º i) tan 1305º j) sen (-210º) k) cos 210º l) tan 300º26.- Indica la medida de todos los ángulos x tales que se verifique que:

33tan)0cos)

23) ==−= xcxbxsena

27.- Indica la medida de todos los ángulos x menores que 360º tales que se verifique que:

33tan)

22cos)1) −==−= xcxbxsena

28.- Sin ayuda de la calculadora, halla el valor de las siguientes razones trigonométricas:

radfradsenedradcbsena3

13tan)4

3)º120cos)2

5cos)º960tan)º315) πππ

29.- Expresa las razones trigonométricas de 70º, 160º, 200º y 340º en función de las de 20º.30.- Expresa las razones trigonométricas de 33º en función de las de -33º.31.- Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Razona tu respuesta.

a) Un ángulo de 720º es un ángulo de dos vueltas y, uno de 360º, es un ángulo de una vuelta.b) El ángulo de 1200º se puede expresar así: 1200º = 3 vueltas + 120ºc) El seno de 1200º es igual al seno del ángulo de 120ºd) El ángulo de 780º tiene el mismo seno que el ángulo de 60ºe) El seno de 90º es igual a 1f) El coseno de 180º es igual a -1g) Del triángulo rectángulo isósceles de la figura se obtiene que tan 45º = 1h) El seno de un ángulo es siempre menor que 1i) Si sen α =1, el ángulo α vale 90º

c

c

1.- En un triángulo rectángulo en C , AB = 5 y BC = 3 . Hallar las razones trigonométricas de los ángulos A y B.

2.- Resuelve un triángulo ABC del que se conocen : C = 35º40' y la hipotenusa a = 44'3 m.

(S: B = 54º20', b = 35'99, c = 25'83 ).

3.- El cateto c de un triángulo rectángulo ABC mide 65 cm. y el ángulo agudo B = 38º23'. Calcula la hipotenusa y el otro cateto.

(S: 82'92 , 51'49 ).

4.- De un triángulo rectángulo se conoce un ángulo agudo, que mide 28º45' , y su cateto opuesto, 35'6 cm. Resuelve el triángulo.

(S: C = 61º15', a = 74'01, c = 64'89).

5.- Resuelve un triángulo rectángulo con los datos: un cateto 8 cm. y la hipotenusa 12.

(S: B = 41º48'37", C = 48º11'23" , c = 8'94 ).

6.- Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 5 y 12 cm. Resuélvelo.

(S: B = 22º37'11" , C = 67º22'49" , a = 13 ).

7.- Si los ángulos agudos de un triángulo rectángulo miden 30º y 60º, la hipotenusa tiene que ser el doble de un cateto. Demuéstralo.

8.- ¿Cuál es la longitud de la sombra proyectada por un edificio de 150 m. de altura cuando el Sol se ha elevado 20º sobre el horizonte?.

(S: 412'12 m. ).

9.- Un edificio de 100 m. de altura proyecta una sombra de 120 m. de longitud. Encontrar el ángulo de elevación del Sol.

(S: 39º48'20" ). 10.- Encontrar la altura de un árbol si el ángulo de elevación de su extremo superior,

crece desde 20º hasta 40º cuando un observador avanza 75 m. hacia el pie del árbol.

(S: 48'22 m. ).

11.- Demostrar las siguientes identidades trigonométricas:

a) cosec2 − cot2 = 1

b) sec2 + cosec2 = sec2 $ cosec2

c) tg + cot = sec $ cosec

d) sen2 − cos2 = sen2 − cos2

e) sec2 + cosec2 = (tg + cot )2

f) sen2 $ sec2 − sec2 = −1

g) (sen + cos )2 + (sen − cos )2 = 2

h) tg2 $ cos2 + cot2 $ sen2 = 1

i) (r $ sen $ cos )2 + (r $ sen $ sen )2 + (r $ cos )2 = r2

j) sen + cos = sen3 + sen2 $ cos + cos2 $ sen + cos3

k) tg

1 + sec −tg

1 − sec = 2cosec

l) cosec − sencot − cot

cosec = 0

m) sec4 − 1tg2 = sec2 + 1

n) 2cos2 − sen2 + 1cos = 3cos

o) sec1 − cos − sec + 1

sen2 = 0

p) cos1 − sen

− 1 + sencos = 0

1. Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo de 30º.

Solución:

La altura, y, del árbol la deducimos de la

relación siguiente:

y 10tg30 y 10 tg30 y m

10 3= ⇒ = ⋅ ⇒ =

2. Calcula x e y:

Solución:

En la figura aparecen dos triángulos rectángulos, los cuales verifican, cada uno de ellos, las dos ecuaciones que forman el siguiente sistema:

ytg45

xy

tg303 x

= = +

Operando:

( )

x tg45 y

3 x tg30 y

⋅ = ⇒ + =

( )( )

x tg45 yx tg45 3 x tg30

40 x tg30 y

⋅ = ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒ + =

( )1 3 3 3

x 3 x x23 3 1

+⇒ = + ⋅ ⇒ = =

− m

Calculemos finalmente el valor de y:

3 3x tg45 y x y

2

+⋅ = ⇒ = = m

3. Calcula x e y en la siguiente figura.

Solución:

x

30º 45º

3 m

y

Tenemos dos triángulos. De cada uno de ellos obtendremos una ecuación trigonométrica.

Resolvemos el sistema:

y 1001 100 m y x

200100 33 33 x mx y 100 3x y3 3100 100

== + ⇒ ⇒ = ⇒ = + + = =

4. Calcula el valor de y (las longitudes están expresadas en m)

Solución:

Aplicamos el teorema del coseno: 2 2 2a b c 2 b c cosA= + − ⋅ ⋅ ⋅

Entonces

2 2 2y 10 12 2 10 12 cos 45= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

y 100 124 240 cos 45 9,9 m= + − ⋅ =

5. Calcula el valor de los lados x e y, aplicando el Teorema del seno: a b c

senA senB senC= =

Solución:

Sustituimos los valores dados en la expresión del teorema del seno:

a b c

senA senB senC= = ⇒

y3 x

sen80 sen40 sen60⇒ = = ⇒

3 sen40y 1,96 m

sen803 sen60

x 2,64 msen80

⋅ = =⇒ ⋅ = =

45º

10

y 12

80º 40º

x

y z= 3m

m

100 m 30º

y

100 m 60º

x+y

ytg30

100=

x ytg60

100

+=

6. Halla la altura del cuerpo más alto

Solución:

En la figura aparecen dos triángulos rectángulos. Hay que hallar a b+ .

7. Halla la altura de la montaña

Solución:

Rehacemos el dibujo y de él extraeremos dos ecuaciones, cada una de ellas perteneciente a un triángulo

rectángulo (el �CBB´

y el �ACC´

30º

45º

c

b

45º

5 m a

c

30º

a 5sen30 a m

5 2= ⇒ =

c 5 3cos30 c m

5 2= ⇒ =

Con el anterior triángulo hemos hallado el valor de c. Observando el triángulo de la izquierda podemos obtener b:

b 5 3tg45 b m

c 2= ⇒ =

Luego la altura pedida es:

( )5 3 15 3 5a b m

2 2 2

++ = + =

Con este triángulo obtenemos a y c:

A

C

B 45º

30º

h

4000 m

Resolvamos éste sistema:

4000 h4000 h1tg45 x 4000 hxx

4000 h h 31 hh x h 3

tg30x3x

−− == = − ⇒ ⇒ ⇒ − = ⇒

= ==

4000h m 1464 m

3 1⇒ = ≈

+

8. Halla la altura de las Torres Petronas, x y también las distancias y, z.

A

C

B

45º

30º

h

4000 m

45º

4000 h−

x

B´

C´

Triángulo �CBB´ :

4000 htg45

x

−=

Triángulo �ACC´ :

htg30

x=

60º 45º 75º

678 m

x y

z

A

B

C

D

Solución:

Primeramente vamos a centrarnos en el triángulo �ABC :

y 678y z 678 sen45 sen60

z 678sen45 sen75 sen60

sen75 sen60

== = ⇒ ⇒ =

y 67822 3 y 678 m32 2

z 678 1356z sen75 msen75 3 3

2

= = ⇒ ⇒

= =

Ahora nos fijamos en el triángulo �ACD :

2 2 2x 678 sen60 678 452 m

3 3 3= ⋅ = ⋅ =

A B

C

75º 45º

60º

y z

2600 m

3

60º

x

D C

A