a b Teorema de Pitágoras “La suma de cuadrados de los ... · PDF fileANGULOS...

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  • T R I G O N O M E T R A

    25U N F V C E P R E V I

    Razones Trigonomtricas de ngulos Agudos I

    Son aquellos nmeros que resultan de dividir dos lados de un tringulo rectngulo.

    Razn Trigonomtrica

    CatetoHipote

    nusa

    Cateto

    c

    b

    a

    B

    CA

    Teorema de PitgorasLa suma de cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa

    a2 + b2 = c2

    TeoremaLos ngulos agudos de un tringulo rectngulo son complementarios

    A B 90+ =

    Definicin de las razones trigonomtricas para un ngulo agudoDado el tringulo ABC, recto en C, segn la figura (1), se establecen las siguientes definiciones:

    Sen = HipotenusaOpuestoCateto =

    ca

    Cos = Hipotenusa

    AdyacenteCateto = cb

    Tan = AdyacenteCatetoOpuestoCateto =

    ba

    Cot = OpuestoCateto

    AdyacenteCateto = ab

    Sec = AdyacenteCateto

    Hipotenusa = bc

    Csc = OpuestoCatetoHipotenusa

    = ac

    UNIDAD 3

    c

    b

    a

    B

    CA

    Fig. (1)

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  • 26 U N F V C E P R E V I

    T R I G O N O M E T R A

    EjemploEn un tringulo rectngulo ABC (C= 90), se sabe que la suma de catetos es igual k veces la hipotenusa. Calcular la suma de los senos de los ngulos agudos del tringulo.

    ResolucinNtese que en el enunciado del problema tenemos:

    a + b = k cNos piden calcular:

    Sen + Sen =cb

    ca

    + =c

    ba +

    Luego: Sen + Sen =c

    ck= K

    EjemploLos tres lados de un tringulo rectngulo se hallan en progresin artmetica, hallar la tangente del mayor ngulo agudo de dicho tringulo.

    ResolucinNtese que dado el enunciado, los lados del tringulo estn en progresin aritmetica, de razn r asumamos entonces:

    Cateto menor = x - rCateto mayor = xHipotenusa = x + r

    Teorema de Pitgoras (x - r)2 + x2 = (x + r)2 x2 + 2xr + r2 + x2 = x2 +2xr + r2 x2 - 2xr = 2xr x2 = 4xr x = 4r

    ImportanteA mayor cateto, se opone mayor ngulo agudo; luego, reemplazando en la figura (A), tenemos:

    Nos piden calcular: Tan = r3r4

    = 34

    B

    CA b

    ac

    x + r

    x - r

    x

    Fig. (A)

    5r

    3r

    4r

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  • T R I G O N O M E T R A

    27U N F V C E P R E V I

    EjemploCalcular el cateto menor de un tringulo rectngulo de 330 m de permetro, si la tangente de uno de sus ngulos agudos es 2,4.

    Resolucin1 Sea un ngulo agudo del tringulo que cumpla con la condicin:

    Tan = 2,4 = 24 1210 5=

    Ubicamos en un tringulo rectngulo, cuya relacin de catetos guardan la relacin de 12 a 5.La hipotenusa se calcula por pitgoras

    Tringulo Rectngulo Particular Tringulo Rectngulo General

    13

    5

    12

    5K

    12K13K

    2 El permetro del tringulo rectngulo es: Segn la figura: 5K + 12K + 13K = 30 K Segn dato del enunciado: = 330 m Luego: 30K = 330 K = 11

    3 La pregunta es calcular la longitud del menor cateto es decir: Cateto = 5K = 5 11 m = 55 m

    Propiedades de las Razones TrigonomtricasRazones Trigonomtricas RecprocasAl comparar las seis razones trigonomtricas de un mismo ngulo agudo, notamos que tres pares de ellas al multiplicarse nos producen la unidad.La parejas de las R.T. recprocas son entonces: Seno y Cosecante: Sen Csc = 1 Coseno y Secante: Cos Sec = 1 Tangente y Cotangente: Tan Cot = 1

    Ntese: ngulos iguales

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  • 28 U N F V C E P R E V I

    T R I G O N O M E T R A

    EjemploIndicar la verdad de las siguientes proposiciones:I. Sen20 Csc10 = 1II. Tan35 Cot50 = 1III. Cos40 Sec40 = 1

    ResolucinNtese que en las parejas de razones trigonomtricas recprocas el producto es 1; siempre que sean ngulos iguales.Luego: Sen20 Csc10 1; sus ngulos NO son iguales Tan30 Cot50 1; sus ngulos NO son iguales Cos40 Sec40 = 1; sus ngulos SI son iguales I) F II) F III) V

    EjemploResolver x. ngulo agudo que verifique:

    Tan(3x + 10 + ) Cot(x + 70 + ) = 1

    ResolucinNtese que en la ecuacin intervienen, razones trigonomtricas recprocas; luego los ngulos son iguales. Tan(3x + 10 + )Cot(x + 70 + ) = 1

    ANGULOS IGUALES3x + 10 + = x + 70 +

    2x = 60 x = 30

    Ejemplo

    Se sabe: Sen Cos Tan Cot Sec =73

    Calcular:E = Cos Tan Cot Sec Csc

    ResolucinRecordar: Cos Sec = 1 Tan Cot = 1 Sec Csc = 1Luego, reemplazando en la condicin del problema:

    Sen Cos Tan Cot Sec = 73

    Sen =73

    ... (I)1

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  • T R I G O N O M E T R A

    29U N F V C E P R E V I

    Nos piden calcular:E = Cos Tan Cot Sec Csc

    E = Csc =Sen

    1, pero de (I) tenemos: Sen =

    73

    E =37

    Razones trigonomtricas de ngulos complementariosAl comparar las seis razones trigonomtricas de ngulos agudos, notamos que tres pares de ellas producen el mismo nmero, siempre que su ngulos sean complementarios.

    NOTA:Una razn trigonomtrica de un ngulo es igual a la co-razn del ngulo complementario.

    RAZN CO-RAZNSeno Coseno

    Tangente CotangenteSecante Cosecante

    Dado: + = 90, entonces se verifica:Sen = CosTan = CotSec = Csc

    As por ejemplo:A) Sen20 = Cos70

    B) Tan50 = Cot40

    C) Sec80 = Csc10

    EjemploIndicar el valor de verdad segn las proposiciones:I. Sen80 = Cos20II. Tan45 = Cot45III. Sec(80 x) = Csc (10 + x)

    1

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  • 30 U N F V C E P R E V I

    T R I G O N O M E T R A

    ResolucinNtese que dada una funcin y cofuncin sern iguales al evaluar que sus ngulos sean complementarios.I. Sen80 Cos20; Sin embargo: Sen80 = Cos10

    Porque suman 100 Suman 90II. Tan45 = Cot45

    Suman 90

    III. Sec(80 x) = Csc (10 + x)

    Suman 90

    EjemploResolver el menor valor positivo de x que verifique:

    Sen5x = Cosx

    ResolucinDada la ecuacin sen5x = Cosx; luego los ngulos deben sumar 90 entonces: 5x + x = 90 6x = 90 x = 15

    EjemploResolver x el menor positivo que verifique: Sen3x Cosy = 0 Tan2y Cot30 1 = 0

    ResolucinNtese que el sistema planteado es equivalente a:Sen3x = Cosy 3x + y = 90 (R.T. ngulos complementarios)Tan2y Cot30 = 1 2y = 30 (R.T. recprocas)De la segunda igualdad: y = 15Reemplazando en la primera igualdad: 3x + 15 = 90 3x = 75 x = 25

    EjemploSe sabe que x e y son ngulos complementarios, adems: Senx = 2t + 3 Cosy = 3t + 4,1Hallar: Tan x

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  • T R I G O N O M E T R A

    31U N F V C E P R E V I

    ResolucinDado: x + y = 90 Senx = CosyReemplazando: 2t + 3 = 2t + 4,1 1,1 = tConocido t, calcularemos: Senx = 2(1, 1) + 3 Senx = 0,8

    Senx =54

    ... (I)

    Nota:Conocida una razn trigonomtrica, luego hallaremos las restantes; graficando la condicin (I) en un tringulo rectngulo, tenemos:

    3

    45

    x

    Por Pitgoras

    34

    AdyacenteCatetoOpuestoCatetoTanx ==

    Razones trigonomtricas en ngulos notablesI. Tringulos rectngulos notables exactos * 30 y 60

    * 45 y 45

    3

    12

    30

    60

    k3

    1k2k

    30

    60

    2

    1

    1

    45

    45

    k 2

    k

    k

    45

    45

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  • 32 U N F V C E P R E V I

    T R I G O N O M E T R A

    II. Tringulos rectngulos notables aproximados * 37 y 53

    * 16 y 74

    Tabla de las razones trigonomtricas de ngulos notables

    30 60 45 37 53 16 74

    Sen )