1

Electrostatique

• Loi de Coulomb dans le vide 2 charges ponctuellesq1 et q2 placees dans le vide en des pointsM1 et M2 fixes et distants der

exercent l’une sur l’autre des forces opposees telles que la force exercee parq1 sur q2 est egale a−→f1→2 =

1

4πε0

q1q2

r2

−→u1→2 (avec

−→u1→2 =−−−−→M1M2

‖−−−−→M1M2‖

).

NB :1

4πε0

= 9 · 109 USI, ε0 s’appellepermittivite du vide(en F·m−1).

• Influence du milieu : loi de Coulomb dans un milieu On considere le cas ou les charges ne sont plus dans le vide mais dans unmilieu (isolant ou dielectrique). On doit alors prendre encompte l’action des charges considerees a travers le vide inter-atomes, ainsi quel’action de chaque charge consideree sur le milieu qui peut alors devenir polarise. On se place dans l’hypothese dumilieu dielectriqueparfait (i.e. lineaire, homogene, isotrope, remplissant tout l’espace considere).

Alors la loi de Coulomb s’ecrit−→f1→2 =

1

4πεr

q1q2

r2

−→u1→2 ou εr =ε

ε0

est lapermittivite relativedu milieu, definie par rapport aε qui

est lapermittivite absoluedu milieu.Consequences: 1) εr = 1, 0006 a 20˚C pour l’air : on peut considerer ce milieu comme etant le vide du point de vue de l’electrostatique.2) εr = 80 pour l’eau a 20˚C : dans ce milieu, la force electrostatique est tres affaiblie par rapport a l’air (d’un facteur 80).Ceci expliqueque l’eau est un solvant dissociant : les ions peuvent s’y deplacer librement.

• Comparaison des forceselectrostatique et gravitationnelle dans un atome Avec le modele sommaire de l’atome d’hydrogene(proton fixe de charge+e avec un electron de charge−e decrivant une trajectoire circulaire ar = 0, 053 nm fixe dans le vide), on a pourla force de gravitation :‖−→fp→e‖ ≃ 3, 6 · 10−47 N et pour la force de Coulomb‖−→fp→e‖ ≃ 8, 2 · 10−8 N, donc la force gravitationnelleest totalement negligeable par rapport a la force electrostatique au niveau atomique avec ce modele.

• Champ electrostatique On definit lechampelectriquecree dans le vide par une charge ponctuelleq0 placee enO comme le vecteur−→E (M) =

q0

4πε0r2

−→ur (−→ur =−−→OM

‖−−→OM‖

). La force de Coulomb qui s’exerce sur la chargeq placee enM s’ecrit−→f (M) = q

−→E (M)

NB : 1) ‖−→E ‖ est en V·m−1. 2) Dans un milieuε, on remplace bien surε0 parε = ε0εr.

• Lignes de champ Uneligne de champest une courbe qui est tangente en chacun de ses points au champ−→E . Les lignes de champ ont

pour equation :∃ k,−→E = k d

−→l , soit

dx

Ex

=dy

Ey

=dz

Ez

Les lignes de champconvergentvers les points ou se situent des chargesq < 0, etdivergent vers les points ou se situent des chargesq > 0, maisles lignes de champelectrique ne se referment pas sur elles-memes.NB : Deux lignes de champ ne peuvent se couper en un point que sile champ y est nul. On parle depoint de champ nul.On appelletube de champun ensemble de lignes de champ s’appuyant sur un contour ferme.

Calcul direct du champ electrostatique

• Symetrie des sources et consequences Soitρ une distribution de charges, qui depend de trois coordonn´ees d’espace :– Invariances encoordonnees cylindriques: ρ(r, θ, z) =

︸︷︷︸

translation

ρ(r, θ) =︸︷︷︸

rotation

ρ(r).

– Invariances encoordonnees spheriques: ρ(r, θ, ϕ) = ρ(r) ∀ θ, ϕ.

• Symetrie du champ Un champelectrique possede les proprietes d’invariance de la distribution de charges qui lui donne naissance:– Le champ en un point d’unplan de symetrie des charges estcontenudans ce plan.– Le champ en un point d’unplan d’antisymetrie des charges est perpendiculaire a ce plan.– Le champ en un point d’unaxe de symetrie d’une distribution est colineaire a cet axe.

– Le champ ensymetrie cylindrique ou ensymetrie spherique est radial et ne depend que der :−→E (M) = E(r)−→ur

• Decoupages usuels pour le calcul du champelectrostatique– Circonf erence chargee: dl = R dθ, dS = 2πr dr.– Sphere chargee en surface: sphere de rayonR, on considere une couronne spherique de largeurR dθ : dS = 2πrR dθ (avecr = R sin θ).

Potentiel electrostatique

• circulation conservative du champelectrostatique La circulation de tout champelectrostatique−→E est conservative :pour tout

contour fermeC,∮

C

−→E . d

−→l = 0

2

• Potentiel electrostatique d’une distribution finie Pour une telle distribution finie, on peut toujours supposerque le potentiel est nula l’infini, donc que la constante est nulle :

– Potentiel d’une charge unique: V (r) =q

4πε0r

– Potentiel d’une distribution de charges:

V (r) =∑

i

Vi =∑

i

qi

4πε0ri

(cas discret) ouV (r) =

∫

sources

dq

4πε0r(cas continu) avecdq = λdl ouσ dS ouρ dτ

• Relation champ-potentiel On a dC =−→E .

−→dl = − dV et CB

A =

∫ B

A

−→E .

−→dl = VA − VB , et la formulation locale

−→E = −−−→gradV

Interpretation geometrique :le champ−→E est dirige dans le sens des potentiels decroissants, il est normal aux surfacesequipotentielles

V = cte

• Equation de Poisson Le potentiel electrostatique satisfaitl’ equation de Poisson: ∆V +ρ

ε0

= 0

• Definition et discontinuite du champ en fonction des chargesOn considere une distribution de charges finie ou bornee :

– Distribution volumique :−→E etV sontdefinis et continus partout.

– Distribution surfacique : V estdefini et continu partout, la composante normale de−→E est discontinue au passage de la surface :

∆−→E =

−→E 2 −

−→E 1 =

σ

ε0

−→n 1→2

– Distribution lin eique :−→E etV sontnon definis sur la distribution.

• Calcul du champ a partir du potentiel : symetries

– Symetrie axiale : si la distribution presente un axe de symetrie(ox), alorsE etV ne dependent que dex et l’on a−→E = − dV

dx−→u x

– Symetrie radiale : si la distribution presente une symetrie cylindrique ouspherique,E et V ne dependent que der et l’on a−→E = − dV

dr−→ur

Energie potentielle

• Travail et caractere conservatif de la forceelectrostatique Une chargeq placee enM dans un champ electrostatique−→E subit la

force electrostatique−→f = q

−→E . Pour un deplacement elementaire deq, le travail elementaire de la force electrostatique vaut δW =−→

f .−→dl = q

−→E .

−→dl = −q dV , d’ou pour un deplacement fini deA aB : WA→B = q(VA − VB)

Ce travail ne depend pas du chemin suivi :la forceelectrostatique est conservative.

• Energie potentielle d’une charge dans un champelectrostatique La force electrostatique etant conservative, le travailest egal a

la variation d’une fonctionenergie potentielleEp definie par Ep = qV D’ou : WA→B = −∆EpA→B et−→f = −−−→gradEp (cette

relation equivaut a−→E = −−−→gradV ).

Interpr etation physique de Ep: lors du deplacement d’une chargeq de l’infini (ou il n’y a pas d’autre charge) en un pointM , le travaila fournir par l’operateurWop s’identifie a l’energie potentielle de la charge enM . En effet, le travail fourni par l’operateur est egal al’oppose du travail de la force electrostatiqueW−∞→M = q(V (−∞) − V (M)) = −qV (M), d’ouWop = −(−qV (M)) = qV (M) =Ep(M).Par ailleurs, un deplacement spontane d’une chargeq s’effectue dans le sens des energies potentielles decroissantes jusqu’a une positiond’equilibre stable (Ep minimale).

• Energie potentielle d’interaction de deux charges Dans une region vide de charges, un operateur amene une chargeqA de l’infinien un pointA. Il n’a a fournir aucun travail (vide de charges). Ensuite,l’operateur amene de l’infini une chargeqB au pointB. Dans

ce cas, il doit fournir le travailqBVA(B) ou VA represente le potentiel electrostatique du a la chargeA, soit VA(M) =qA

4πε0rAM

.

Ainsi le travail fourni par l’operateur vautEp = qB

qA

4πε0rAB

. On remarque que cette expression est symetrique enA et B, on l’ecrit

Ep =qAVB(A) + qBVA(B)

2(carqAVB(A) = qBVA(B)).

• Energie potentielle d’interaction den charges En generalisant le point precedent, on obtient l’energie potentielle d’interaction

d’un systeme den chargesqi placees respectivement aux pointsAi : Ep =1

2

∑

i

qiV (Ai) ouV (Ai) =∑

j 6=i

qj

4πε0rij

avecrij = AiAj .

3

Theoreme de Gauss

• Angle solide Par definition, l’angle solide vautΩ =Σ

R2ouΣ est lasurface d’intersection d’une sphere de centreR et de la portion

d’espace caracterisant l’angle solide. Son unite est lesteradiansr. L’angle solide de l’espace entier vaut doncΩ =4πR2

R2= 4π sr :

Ωespace= 4π

• Angle solideelementaire Soit une surface elementairedS centree en un pointM et orientee par−→n (normale sortante si la

surface est fermee). On poseOM = r et −→u =

−−→OM

r, et on appelleθ l’angle (−→u ,−→n ). Par projection,dΣ = cos θ dS, d’ou

dΩ =dS cos θ

r2=

dS−→n .−→ur2

• Angle solide delimit e par un cone Soit un cone d’angle au sommetα. Alors Ω = 2π(1 − cosα)

Cas particuliers :α ≪ 1 : Ω = πα2 ; α =π

2: Ω = 2π (plan infini, i.e.demi-espace) ;α = π : Ω = 4π (espace entier).

• Flux d’un champ electrostatique Le fluxelementairedu champ electrostatique traversant une surface elementaire dS centree enM

vaut dφ =−→E (M). d

−→S =

−→E (M).−→n dS Le flux total traversant une surfaceS vaut donc φ =

∫∫

S

−→E . d

−→S

• Flux du champ cree par une charge ponctuelle En appliquant ce qui precede pour une charge ponctuelleq placee en un point

P : dφ =q

4πε0

−→u .−→dS

r2avec

−→E (M) = E−→u . Or

−→u .−→dS

r2= dΩ angle solide elementaire sous lequelP voit dS. Autrement dit :

dφ =q

4πε0

dΩ i.e. le flux elementaire “envoye par la chargeq a traversdS” est proportionnel a la charge et a l’angle solide sous

lequel on voitdS.

Pour une surface finieS, on obtient en integrantφ =q

4πε0

ΩS avecΩS angle solide sous lequelP voit la surfaceS.

• Theoreme de Gauss Le flux du champelectrostatiquea travers une surface fermee estegal a la charge totale contenue dans le

volume delimite par cette surface divisee parε0 : φ =Qint

ε0

NB : Le theoreme se demontre pour une charge ponctuelle enseparant les deux cas : la charge est a l’interieur de la surface et la chargeest a l’exterieur de la surface, et en utilisant la notion d’angle solide.

• Consequences du theoreme de Gauss : conservativite du flux, extremum de potentiel– Le champ esta flux conservatif: dans une region vide de charges, le flux se conserve a travers toute section d’un tube de champ.Ainsi si la surfaceS du tube augmente, l’intensiteE du champ electrostatique decroıt necessairement de facon a avoir un fluxφ = ESconstant.– Le theoreme de l’extremum de potentielaffirme que le potentiel electrostatique ne peut presenter un extremum en un point depourvude charge.

Dipole electrostatique

• Moment dipolaire Un dipole electrostatiqueest un doublet de charges ponctuelles(A,−q), (B, +q) separees par une distancelpetite par rapport aux longueursr = OM ou l’on cherche a en determiner les effets :l = AB ≪ r = OM ouO est le milieu deAB.

Le moment dipolaireest defini par−→p = q−−→AB = q

−→l (toujours oriente de− vers+ !). p est un C·m. NB : En chimie, on note plutot−→µ

le vecteur−→p , et on utilise le Debye comme unite : 1 D≈ 10−29

3C·m.

• Notations et objectifs pour l’etude du dipole On veutdeterminer le champ et le potentiel en un pointM “ a grande distance”(i.e.

tres superieure aux dimensions du doublet) crees par undipole. Le doublet est porte par l’axe(Oz) (−→p =−−→AB = pAB−→u z) et le point

M est repere par ses coordonnees polaires :−−→OM = r−→u r, θ = (−→u z ,

−−→OM). On peut remarquer utilement que le systeme presente une

symetrie de revolution autour de l’axe(Oz).

• Potentiel a grande distance cree par un dipole Le potentiel cree enM par le doublet vautV (M) =1

4πε0

( q

BM− q

AM

)

(avec

V (M) → 0 si M → ∞). On trouve a l’ordre 1 enl/r en coordonnees polaires :V (r, θ) =ql cos θ

4πε0r2=

−→p .−→u r

4πε0r2=

−→p .−→r4πε0r3

4

Demonstration :−−→BM =

−−→OM −−−→

OB d’ou BM2 = r2

(

1 − l

rcos θ +

l2

4r2

)

. Sil

r≪ 1, on en deduit

1

BM=

1

r

(

1 − l

rcos θ +

l2

4r2

)

≃ 1

r

(

1 +l

2rcos θ

)

.

Commecos(−−→OM,

−→OA) = cos(π − θ) = − cos θ, on en deduit par un calcul identique que

1

AM≃ 1

r

(

1 +l

2rcos(π − θ)

)

=1

r

(

1 − l

2rcos θ

)

. D’ou

V (M) ≃ q

4πε0r

(

2l

2rcos θ

)

.

• Champ a grande distance cree par un dipole Le champ cree enM par le doublet vaut en coordonnees polaires

Er =2p cos θ

4πε0r3et Eθ =

p sin θ

4πε0r3De facon intrinseque, on peut ecrire

−→E (M) =

1

4πε0

(3−→p .−→r )−→r − r2−→pr5

On a‖−→E ‖ =p

4πε0r3

√

3 cos2 θ + 1 et si l’on designe parα l’angle (−→u r,−→E ), on atanα =

Eθ

Er

=tan θ

2

Demonstration :Comme−→E derive du potentielV (r, θ), on a en coordonnees spheriquesEr = −∂V

∂retEθ = −1

r

∂V

∂θ, d’ou le resultat en integrant le potentiel trouve

ci-dessus.

On peut donc ecrire−→E =

1

4πε0

2p cos θ−→u r + p sin θ−→u θ

r3. Or−→p = p cos θ−→u r − p sin θ−→u θ , d’ou l’expression intrinseque en rearrangeant.

• Equipotentielles Par symetrie, les equipotentielles sont des surfaces de revolution autour de l’axe(Oz). Dans un plan(−→u r,−→u θ) on

a comme equationr2 = K0 cos θ

• Lignes de champ Les lignes de champ sont donnees par les equationsr = K sin2 θ (une ligne par valeur deK homogene a unelongueur).

Demonstration :−→E parallele ad

−→l s’ecrit

dr

Er

=r dθ

Eθ

d’oudr

2 cos θ=

r dθ

sin θet en integrant :ln

r

K= ln(sin2 θ).

• Action d’un champ exterieur uniforme C’est uncas usuelcar la faible distance del = AB permet de considerer que la dimension

du dipole est faible devant l’ordre de grandeur des variations du champ electrique exterieur note−→E 0. L’action est caracterisee par un

moment nul et une resultante non nul, donc un moment−→F = 0

−→Γ = −→p ∧ −→

E 0

Demonstration :−→F =

−→F A→B +

−→F B→A = −q

−→E 0 + q

−→E 0 =

−→0 . Donc le torseur est un couple de moment

−→Γ =

−−→OB ∧−→

F A→B +−→OA ∧ −→

F B→A =−→AB ∧ −→

E 0.

Si l’on noteα = (−−→AB,

−→E 0), on aΓ = pE0 sin α. Donc il y a deuxpositions d’equilibrecorrespondant aΓ = 0 : α = 0 (equilibre stable)

ouα = π (equilibre instable) : un champ uniforme cree un couple qui tenda aligner le dipole dans la direction et le sens du champ.

• Action d’un champ exterieur quelconque La resultante n’est pas nulle et vaut−→F = (−→p −−→grad )

−→E

Demonstration : On a−→F = q(

−→E (B) − −→

E (A)). On introduit le milieu O de AB de coordonnees(x, y, z) et on note (∆x, ∆y, ∆z) les

coordonnees de−→AB, d’ou les coordonnees deA (x +

∆x

2, y +

∆y

2, z +

∆z

2) et de B (x − ∆x

2, y − ∆y

2, z − ∆z

2). Alors Fx =

q

[

Ex

(

x +∆x

2, y +

∆y

2, z +

∆z

2

)

− Ex

(

x − ∆x

2, y − ∆y

2, z − ∆z

2

)]

. On fait un developpement limite a l’ordre 1 en∆x, ∆y et ∆z, ce qui donne apres

simplifications :Fx = q

[

∆x∂Ex

∂x+ ∆y

∂Ex

∂y+ ∆z

∂Ex

∂z

]

= (−→p −−→grad )Ex = −→p .(−−→grad Ex). On a la meme chose avecEy etEz d’ou le resultat.

• Energie potentielle du dipole dans un champ exterieur L’energie potentielle du dipole dans le champ−→E vaut Ep = −−→p .

−→E

Demonstration :Par definition,Ep = q(Vext(B) − Vext(A)) d’ou Ep = q

∫ B

A

dVext = q

∫ B

A

−−→E.

−→dl. Or, entreA etB, le champ

−→E ne varie quasiment pas d’ou

Ep = −q−→E.

−→l = −−→p .

−→E .

• Generalisation : distribution unipolaire, dipolaire ou quadr upolaire On considere un systeme den charges ponctuellesqi placeesen des points situes au voisinage immediat d’un pointO. La distribution est dite :– unipolairesi

∑

i

qi = Q 6= 0. Dans ce cas la distribution est totalement equivalente aune charge uniqueQ, donc le potentiel est de la

formeV =Q

4πε0r.

– dipolairesi∑

i

qi = 0, et si le barycentreG+ des charges positives et celuiG− des charges negatives sont differents. Dans ce cas on

appelleQ la somme des charges positives (= l’oppose de la somme des charges negatives), et la distribution est totalement equivalente

a un dipole de moment−→p = Q−−−−→G−G+, donc le potentiel est de la formeV =

p cos θ

4πε0r2.

– quadrupolairesi∑

i

qi = 0, et si le barycentreG+ des charges positives et celuiG− des charges negatives sont confondus :G− = G+.

Dans ce cas le potentiel est en1

r3.

5

Calculs classiques

• Segmentelectrise, fil infini Un segmentAB de milieuO et longueur2a contient la densite lineiqueλ. Le champ sur l’axe de

symetrie(Ox) en un pointM d’abscissex vaut−→E (x) =

λ

2πε0

a

x√

x2 + a2

−→u x Le potentiel vautV (M) =λ

2πε0

ln

∣∣∣∣∣

1 + tan θ0

2

1 − tan θ0

2

∣∣∣∣∣

ou

θ0 est l’angle limite entreM et chaque point a l’extremite du fil.On en deduit le champ et le potentiel en un pointM situe a la distancex d’un fil infini charge par une densiteλ, respectivement

E(x) =λ

2πε0xet V (x) =

λ

2πε0

ln(x) + cte

Demonstration : Cas du segmentSoit P un point du segment de cotel tel que(−−→PM,−→ux) = θ. La symetrie du systeme impose que

−→E est colineaire a−→ux, d’ou

−→dE.−→ux =

λ cos θ dl

4πε0PM2. Par ailleurs,cos θ =

x

PMd’ou

1

PM2=

cos2 θ

x2et tan θ =

l

xd’ou dl =

xdθ

cos2 θ. On remplace et on integre enθ entre−θ0 et θ0 ou θ0 est

l’angle limite pourP = A ouB (sin θ =a

PM=

a√a2 + x2

) : E =λ

4πε0

∫ +θ0

−θ0

x

cos2dθ

cos2

x2cos θ =

λ

4πε0

2 sin θ0 =λ

2πε0

a

x√

a2 + x2.

Pour le potentiel, on obtient en utilisant les memes notations et les resultats deja trouves :V (M) =λ

4πε0

∫dl

PM=

λ

4πε0

∫ +θ0

−θ0

x dθ

cos θ

cos θ

x=

λ

4πε0

∫ +θ0

−θ0

dθ

cos θ.

Or∫

dα

cos α= ln

∣∣∣tan

( x

2+

π

4

)∣∣∣, ettan(a + b) =

tan a + tan b

1 − tan a tan b, ce qui donne le resultat apres simplifications avectan

π

4= 1.

Cas du fil infini 1eremethode pour−→E (calcul direct) : le fil infini est caracterise par l’approximationx ≪ a (soit θ0 ≃ π

2) : on trouve bien l’expression proposeeen

utilisant les resultats du calcul precedent pour le segment.

2eme methode pour−→E (Gauss): les symetries imposent que

−→E = E(r)−→ur , d’ou en utilisant un cylindre de hauteurh et rayonr, il vient avec Gauss2πrhE(r) =

hλ

ε0

,

d’ou E(r) =λ

2πε0r.

Dans les deux cas, il suffit d’integrer pour obtenir le potentiel.

• Disque uniformement charge Un disqueD de centreO, axe (oz) et rayon R est charge avec une densite surfaciqueuniforme σ. Le champ en un point d’abscissez sur l’axe (Oz) ne depend que dez, a pour direction−→uz et sa norme vaut

E(z) =σ

2ε0

(

1 − z√z2 + R2

)

si z > 0 Le potentiel vautσ

2ε0

(√

R2 + z2 − |z|)

NB : On a donc une discontinuite au niveau de l’origine.

Demonstration : 1eremethode : champ puis potentiel.La symetrie impose que−→E (z) = E(z)−→uz avecE(−z) = −E(z). On se place enz > 0. On a par ailleurs

E(z) =1

4πε0

∫∫

D

dq−→r .−→uz

r2avec dq = σ dS = σ2πρ dρ et−→r .−→uz = r cos θ, d’ou E(z) =

σ

2ε0

∫ R

0

ρ dρ cos θ

r2. Or : cos θ =

z

rsoit r =

z

cos θet tan θ =

ρ

z

soit dρ =z dθ

cos2 θ. D’ou finalementE(z) =

σ

2ε0

∫ θ0

0

sin θ dθ =σ

2ε0

(1 − cos θ0). Enfincos θ0 =z

r0

=z√

z2 + r2.

On en deduit le potentiel par integration entre 0 etz : V (z) =σ

2ε0

(

z −√

R2 + z2

)

card

dρ(√

ρ2 + z2) =2ρ

2√

ρ2 + z2.

2ememethode : potentiel puis champ.V (z) =1

4πε0

∫∫

D

dq

ravecdq = σ dS = σ2πρ dρ etr =

√

ρ2 + z2, d’ou V (z) =σ

2ε0

∫ R

0

ρ dρ√

ρ2 + z2. Il est preferable ici

de ne pas passer en variableθ car on ad√

ρ2 + z2 =ρdρ

√

ρ2 + z2. Il vient doncV (z) =

σ

2ε0

[√

ρ2 + z2

]R

0=

σ

2ε0

(√

R2 + z2 − |z|)

.

En derivant on trouve retrouve siz > 0 l’expression deE(z) trouvee ci-dessus.

NB On peut aller plus vite dans le calcul du champ en utilisantl’angle solide :dS cos θ

r2= dΩ qui represente l’angle solide elementaire sous lequel on voit dS depuis

M . En sommant, on obtient2π(1 − cos θ0) (angle solide d’un cone de demi-angle au sommetθ0).

• Sphere uniformement chargee en surface On considere une sphere de rayonR uniformement chargee en surface par la densite

σ. Le champ est radial, ne depend que der et presente une discontinuite enR :−→E (r) =

σR2

ε0r2

−→ur si r > R

0 si 0 < r < RLe potentiel ne

depend que der et est continu :V (r) =

σR2

ε0rsi r ≥ R

σR

ε0

si 0 ≤ r ≤ R(avec la conventionV (∞) = 0).

NB : 1. La discontinuite deE vautσ

2ε0

.

2. Pourr > R, tout se passe comme si l’on avait une chargeQ = 4πR2σ placee enO...Demonstration :Facile avec Gauss pour trouverE puis en integrant pour trouverV ...

6

• boule uniformement chargee en volume On considere une boule de rayonR uniformement chargee en volume par la densiteρ.

Le champ est radial, ne depend que der, et est continu :−→E (r) =

ρR3

3ε0r2

−→ur si r ≥ R

ρ

3ε0

r−→ur si 0 ≤ r ≤ RLe potentiel ne depend que der et est

continu : V (r) =

ρR3

3ε0rsi r ≥ R

ρR2

2ε0

(

1 − r2

3

)

si 0 ≤ r ≤ R(avec la conventionV (∞) = 0).

NB : Pourr > R, tout se passe comme si l’on avait une chargeQ =4

3πR3ρ placee enO...

Demonstration :Facile avec Gauss pour trouverE puis en integrant pour trouverV . La constante d’integration deV pourr ≥ R s’ecrit en posantV (∞) = 0 et pour

r ≤ R en ecrivant la continuite du potentiel enR.

Etude du conducteur enequilibre electrostatique

Notion d’ equilibre electrostatique

• Definition d’un conducteur en equilibre Un conducteur est enequilibres’il n’est le siege d’aucun courant,i.e.si−→j =

−→0 dans tout

son volume. Il est enequilibreelectrostatiquesi le champ−→E est nul dans tout son volume.

• Consequences de la definition d’un conducteur en equilibre : premi eres proprietes– La distribution des chargeselectriques dans un conducteur enequilibre ne peutetre que surfacique: d’apres l’equation de Maxwell-

Gauss,divE =ρ

ε0

, donc−→E nul implique ρ = 0

– Le volume d’un conducteur enequilibre estequipotentiel: de−→E = −−−→gradV on deduit que le gradient deV est nul, donc

V est constantPar continuite du potentiel dans la distribution volumique, on en deduit que :– La surface d’un conducteur enequilibre est uneequipotentielle.– Le champelectrostatique ne peutetre que normala sa surface: par definition, les equipotentielles sont normales au champ. Parailleurs, on peut interpreter physiquement cette propri´ete : une composante tangentielle mettrait les charges en mouvement, donc don-nerait naissance a une densite de courant surfacique

−→j .

– Le champelectrostatiquea proximite immediate d’un conducteur enequilibre vaut :−→E =

σ

ε0

−→n ou σ est la charge surfacique du

conducteur et−→n le vecteur normal oriente vers l’exterieur (theoreme de Coulomb) : cela resulte de la relation de passage au traversd’une surface chargee et du fait que le champ dans le conducteur est nul.

Conducteur creux

• Potentiel a l’int erieur d’une cavite On considere un conducteur contenant une cavite interne fermee et vide. Alorsen tout point duconducteur creux, le potentiel garde la meme valeur. En effet, il n’y a pas de charges dans la cavite donc le potentiel ne peut presenterd’extremum dans la cavite, donc reste constant dans toute la cavite. Par continuite, il a donc meme valeur que dans leconducteur plein.

• Champ a l’int erieur de la cavite On a encore−→E =

−→0 en tout point de la caviteResulte a nouveau de−−→gradV = 0.

• Charges sur la surface de la cavite interieure Dans un conducteur creux en equilibre,les charges ne peuvent pas se placer sur lasurface de la cavite interieure(elles sont obligatoirement sur la surface exterieure du conducteur).Demonstration : En appliquant le theoreme de Gauss a une surface fermee rencontrant une portion quelconque de la surface de la cavit´e, on constante que la charge

interieure a cette surface est nulle puisque le flux du champ electrique est aussi nul (le champ electrique est nul dans tout le conducteur y compris dans la cavite). Or les

charges ne peuvent etre surfaciques dans un conducteur en ´equilibre, donc necessairement, la charge surfacique surla surface interieure de la cavite est nulle.

• Equivalence entre conducteur creux et conducteur plein Du point de vue electrique,tout se passe comme si la cavite n’existaitpas : un conducteur creux se comporte comme un conducteur plein ayant exactement meme forme.

• Energie potentielle d’un conducteur

– Cas du conducteur isole qui porte la chargeQ : E.p. =1

2QV =

1

2CV 2 =

1

2

Q2

C

– Cas d’un systeme de conducteurs enequilibre: E.p. =1

2

∑

i

∑

j

CijViVj

7

Pressionelectrostatique

• Champ au voisinage d’un conducteur enequilibre Il s’agit d’etablir d’une autre facon le theoreme de Coulomb sans utiliser leresultat sur la discontinuite du champ et en detaillant ce qui se passe dans le voisinage du conducteur.Soit, sur la surfaceS1 d’un conducteur en equilibre portant la charge surfaciqueuniformeσ, un element de surfacedS et deux pointsM etM ′ infiniment voisins de part et d’autre dedS sur la normale adS orientee par−→n , M etant a l’exterieur etM ′ a l’interieur. OnnoteS2 la surfaceS1 privee dedS.On a

−→E (M) =

−→E 1(M) +

−→E 2(M) ou

−→E 1(M) (resp.

−→E 2(M)) est le champ cree enM par les charges dedS (resp. les charges sur la

surfaceS2). CommeM est infiniment proche deS, la surfacedS peut etre vue comme un plan depuisM et donc−→E 1(M) =

σ

2ε0

−→n .

Le champ cree pardS enM ′ est donc−→E 1(M

′) = −−→E 1(M).

Par ailleurs, les champs−→E 2(M) et

−→E 2(M

′) crees parS′ respectivement enM etM ′ sont approximativement egaux puisque les pointssont infiniment proches et puisque l’on ne traverse aucune surface pour passer deM a M ′ lorsqu’on considereS2. Or, le champ total

enM ′ est nul (conducteur en equilibre), donc−→E 1(M

′) +−→E 2(M

′) =−→0 , soit

−→E 2(M

′) = −−→E 1(M

′) =σ

2ε0

−→n , et donc−→E 2(M) ≈

−→E 2(M) = − σ

2ε0

−→n . Ainsi−→E (M) =

−→E 1(M) +

−→E 2(M) = 2

σ

2ε0

−→n , soit−→E (M) =

σ

ε0

−→n (theoreme de Coulomb).

• Pressionelectrostatique Soit dS un element de surface d’un conducteur en equilibre etσ sa densite surfacique. La force−−→d−→f

exercee par l’ensemble de toutes les charges du conducteurs autres que celles dedS est repulsive car les charges ont meme signe sur

dS et sur le reste du conducteur. On definit lapressionelectrostatiquepar p =df

dS(en Pa ou N·m−2).

Si−→E 2 est le champ cree par les charges du conducteur autres que celles dedS, on a vu que

−→E 2 =

σ

2ε0

−→n , d’ou l’on tire p =σ2

2ε0

Condensateur

• Definition et charge (PRECIS) Un condensateurest un ensemble de deux conducteurs dont l’un entoure compl`etement l’autre. Onparle d’armature interneet d’armateure externepour designer les conducteurs interieur et exterieur.Les conducteurs sont en equilibre donc les charges sont surfaciques. Par le theoreme de Gauss, on montre facilement que la chargeportee par la face de l’armature interne est l’opposee de la charge portee sur la face interieure de l’armature externe. Il en resultequ’al’exterieur du condensateur, le champelectrique n’est du qu’aux charges de la surface exterieure de l’armature externe.Tout se passe al’exterieur comme si l’on avait un unique conducteur de meme geometrie externe portant la charge de la surface exterieure de l’armatureexterne.

• Capacite (PRECIS) Soit un condensateur portant la chargeQ sur la surface de son armature interieure.Q est appeleechargedu condensateur. On noteV1 le potentiel de l’armature interne etV2 celui de l’armature externe. Lacapacite du condensateurest

C =Q

V1 − V2

La capaciteC ne depend que de la geometrie du condensateur.C s’exprime en Farad (F).

• Energie d’un condensateur (PRECIS) Par definition, c’est l’energie que peut recueillir le milieu exterieur lorsqu’on court-circuiteles armatures : c’est l’energie qui traverse alors le fil de liason. L’energie du condensateur de capaciteC et portant la chargeQ vaut

W =Q2

2C=

1

2CU2 =

1

2QU ouU = V1 − V2

L’energie est localisee entre les armatures dans le champelectrostatique avec la densite volumiqueEV =ε0E

2

2

• “Dualit e” entre capacite et resistance Soit un condensateur portant la chargeQ et soumis a la difference de potentielU . Comme

C =Q

U=

ε0

∫∫

S1

−→E .−→n dS

∫ 2

1

−→E .

−→dl

et R =U

I=

∫ 2

1

−→E .

−→dl

∫∫

S1

−→j .−→n dS

=

∫ 2

1

−→E .

−→dl

σ∫∫

S1

−→E .−→n dS

, on en deduit que pour des problemesgeometriquement

identiques, on a RC =ε0

σ: un calcul de capacite se ramene a un calcul de resistance et reciproquement. Cette relation est bien verifiee

pour un condensateur cylindrique de surfaceS et hauteurl : C =ε0S

letR =

l

σS.

NB : On etablit dans le cours d’E.M. que le rapportθ =ε0

σrepresente le temps de relaxation d’un conducteur de conductivite σ. Par

ailleurs, en E.C., le produitRC = τ est la constante de temps d’un circuitRC. L’identite τ = θ peut se comprendre en considerant quele condensateur qui a une resistivite propre se “decharge a travers lui-meme” en constituant a lui tout seul un circuit RC parallele...