Lamina - Macromecnica

O estado de tenso em um continuo geral pode ser descrito por 9 componentes de tenso ij (i,j = 1,2,3)

Material Anisotrpico Geral

Relaes Tenso-Deformao

De maneira semelhante, o estado de deformao representado por ij com 9 componentes. Em caso mais geral possvel, as componentes de tenso e deformao se relacionam por a lei de Hook generalizada.

e

ou

Cijkl = matriz de rigidez (stiffness) Sijkl = matriz de flexibilidade (flexibility, compliance) A matriz de flexibilidade a inversa da matriz de rigidez Dessa forma so necessrias 81 constantes elsticas para caracterizar um material de maneira completa.

Os tensores de tenso e deformao so simtricos.

Deste modo o numero de constantes elsticas independentes se reduz para 36.

habitual em mecnica de compsitos usar uma notao contrada para os tensores de tenso, deformao, rigidez e flexibilidade.

A deformao de cisalhamento de engenharia vs. o tensor de deformao

A relao tenso-deformao para um corpo anisotrpico, em notao contrada

Em notao com ndices

Por consideraes de energia, se pode demonstrar que as matrizes de rigidez e flexibilidade so simtricas.

Em consequencia temos 21 constantes elsticas.

Material Ortotropico

Em caso de um material ortotropico (que tem 3 planos de simetria de material, mutuamente perpendiculares), as relaes tenso-deformao so de forma (4.8) ou (4.9), mas o numero de constantes elsticas se reduz s 9. Isso se pode observar claramente quando o sistema coordenadas de referencia escolhido ao longo de planos de simetria principais (material especialmente ortotropico).

Podemos fazer 3 observaes em relao s equaes (4.17) e (4.18)

1. No existe acoplamento entre tenses normais 1, 2, 3 e deformaes de cisalhamento 4, 5, 6 ; quer dizer que tenses normais que atuam ao longo de direes principais de material causam deformaes normais s.

2. No existe acoplamento entre tenses de cisalhamento 4, 5, 6 e deformaes normais 1, 2, 3 ; quer dizer que tenses de cisalhamento que atuam ao longo de direes principais de material causam deformaes de cisalhamento s.

3. No existe acoplamento entre uma tenso de cisalhamento que atua num plano e uma deformao de cisalhamento num plano diferente; quer dizer que uma tenso de cisalhamento que atua num plano principal causa uma deformao de cisalhamento no mesmo plano s.

Material Isotrpico de modo Transversal Um material ortotropico se chama isotrpico de modo transversal (transversely isotropic) quando um dos planos principais dele um plano de isotropia, quer dizer que em qualquer ponto existe um plano no qual as propriedades mecnicas so as mesmas em todas as direes. Este o caso de carbono/epxi, aramid/epxi, vidro/epxi unidirecionais, com relativamente alta proporo de fibras.

Material ortotropico com isotropia transversal

As relaes tenso-deformao se simplificam notando que os subscritos 2 e 3 (para um plano de isotropia 2-3) nas constantes de material so trocveis em equaes (4.17) e (4.18).

Se pode mostrar tambm, que

Deste modo, a relao tenso-deformao, para um material isotrpico de modo transversal se reduz a

As relaes acima mostram que um material ortotropico com isotropia transversal caracterizado por s 5 constantes elsticas independentes.

Material Ortotropico em Estado Plano de Tenso (EPT)

Na maioria de aplicaes estruturais, materiais compsitos se usam em forma de laminas finas carregadas em plano de laminado. Deste modo, laminas compsitas (e laminados) esto em estado plano de tenso (EPT), com todas as componentes de tenso fora do plano so iguais a zero.

As relaes ortotropicas, eq. (4.17) se reduzem a

expandindo

Podemos eliminar 3 em eq. (4.30)

ou

conciso

A matriz [Q] se chama matriz de rigidez reduzida.

As componentes da matriz so

A relao invertida

ou

Em consequencia, a relao tenso-deformao em plano, para uma camada ortotropica em EPT precisa de 4 constantes elsticas independentes, as rigidezes reduzidas Q11, Q12, Q22, Q66 ou as flexibilidades S11, S12, S22, S66 .

Material Isotrpico

Um material isotrpico tem um numero infinito de planos de simetria de material em qualquer ponto. Para tal material os subscritos 1,2 e 3 em constantes de material so trocveis. As relaes tenso-deformao se reduzem a

Um material isotrpico caracterizado por s 2 constantes independentes.

Constantes elsticas independentes para diversos tipos de material

Relaes Entre Constantes Matemticas e de Engenharia

As relaes tenso-deformao apresentadas antes vo ganhar mais sentido fsico quando expressas em termos de constantes de engenharias familiares, i.e. mdulos e coeficientes de Poisson. Relaes entre constantes matemticas e de engenharia so obtidas atravs de experimentos elementares, imaginrios.

Trao longitudinal Da eq. (4.18)

Por consideraes de engenharia

Lembramos que o primeiro e segundo ndices denotam direes de tenso e de deformao respectivamente. De eq. (4.35) e (4.36), obtemos

Trao transversal em plano

De modo semelhante, executamos outros experimentos imaginrios.

Trao transversal fora de plano

Cisalhamento fora de plano

Cisalhamento fora de plano

Cisalhamento em plano

As relaes tenso-deformao em eq. (4.18) podem ser expressas em termos de constantes de engenharia

Por causa de simetria da matriz de flexibilidade

Em caso de um material com isotropia transversal do plano 2-3

Relaes Tenso-Deformao para uma Lamina Fina

Podemos assumir que uma lamina fina est em EPT. Em consequencia as relaes tenso-deformao, eq. (4.31), (4.33) so validas.

Podemos expressar as relaes acima em termos de constantes de engenharia.

Em EPT, uma lamina ortotropica ( ex. lamina unidirecional) caracterizada por 4 constantes independentes: 4 rigidezes reduzidas Q11, Q22, Q12, e Q66; ou 4 flexibilidades S11, S22, S12, e S66; ou 4 constantes de engenharia E1, E2, G12, e 12. O coeficiente de Poisson 21 no independente.

Transformao de Tenso e Deformao Em geral, os eixos principais da lamina (1,2) no coincidem com os eixos de carregamento ou referencia. Ento as componentes de tenso e deformao referidas aos eixos principais de material (1,2) podem ser expressas em termos de aquelas referidas aos eixos de carregamento (x,y) pelas transformaes seguintes:

ou conciso

e

ou conciso

A matriz de transformao

O ngulo positivo no sentido anti-horrio do eixo x to eixo 1.

Podemos inverter as relaes acima

Transformao de Parmetros Elsticos Quando a lamina carregada ao longo de eixos x e y existe acoplamento entre tenses normais e deformaes em cisalhamento, e entre tenses de cisalhamento e deformaes normais.

ou

Podemos reescrever eq. (4.63)

Introduzindo eq. (4.31) em (4.60), temos

Comparando (4.64) e (4.65) resulta

As relaes deformao-tenso transformadas podem ser obtidas por inverso direta da relao tenso-deformao em eq. (4.63) ou por transformao da relaes deformao-tenso em eq. (4.33). As relaes de deformao-tenso transformadas so

ou conciso

Podemos reescrever eq. (4.68)

Usando uma srie de transformaes, semelhante a (4.65) resulta

Comparando eq. (4.69) e (4.70) resulta em

Relaes para Transformaes de Rigidez e Flexibilidade

Transformao de Relaes Tenso-Deformao em Termos de constantes de

Engenharia

As relaes tenso-deformao com referencia aos eixos principais de material como em eq. (4.33) so expressas em termos de constantes de engenharia usando eq. (4.55).

As relaes tenso-deformao em termos de constantes de engenharia so

Por consideraes de simetria resulta

Comparando as relaes tenso-deformao equivalentes eq. (4.68) e (4.77) resulta

ou

Transformao de Relaes para Constantes de Engenharia

Usando as relaes entre constantes de engenharia e flexibilidades, eq. (4.79) e (4.80), nas relaes de transformao de flexibilidade, eq. (4.72), obtemos:

Um procedimento computacional para calculo de constates elsticas transformadas apresentado na fluxograma

A variao das constantes de engenharia transformadas apresentada abaixo para um material unidirecional de carbono/epxi (AS4/3501-6).

Mdulo Young e mdulo de cisalhamento de um compsito unidirecional em funo de orientao de fibra (carbono/epxi

AS4/3501-6).

Coeficiente de Poisson e coeficiente de acoplamento em cisalhamento de um compsito unidirecional em funo de orientao de fibra

(carbono/epxi AS4/3501-6).

A variao das constantes de engenharia transformadas apresentada abaixo para um material de carbono tecido/epxi (AGP370-5H/3501-6S).

Mdulo Young e mdulo de cisalhamento de carbono tecido/epxi em funo de orientao de urdume (AGP370-5H/3501-6S).

Coeficiente de Poisson e coeficiente de acoplamento em cisalhamento de carbono tecido/epxi em funo de orientao de urdume (AGP370-

5H/3501-6S).

Exemplo 1

Dadas as propriedades bsicas E1, E2, G12, e 12 de uma lamina unidirecional preciso determinar o mdulo Young Ex num ngulo =45 direo das fibras.

Da eq. (4.81)

Podemos simplificar a relao acima em caso de um compsito com rigidez alta para qual e . Neste caso temos a seguinte expresso aproximada:

Exemplo 2

Dadas as propriedades bsicas E1, E2, G12, e 12 de uma lamina unidirecional preciso determinar o mdulo de cisalhamento Gxy num ngulo =45 direo das fibras.

Da eq. (4.81)

Podemos simplificar a relao acima em caso de um compsito com rigidez alta para qual e . Neste caso temos a seguinte expresso aproximada:

Exemplo 3

Dadas as propriedades bsicas E1, E2, G12, e 12 de uma lamina unidirecional preciso determinar o coeficiente de Poisson xy num ngulo =45 direo das fibras.

Da eq. (4.81)

Podemos simplificar a relao acima em caso de um compsito com rigidez alta para qual e . Neste caso considerando a expresso aproximada (4.83), temos a seguinte expresso aproximada:

Exemplo 4

Dadas as propriedades bsicas E1, E2, G12, e 12 de uma lamina unidirecional preciso determinar o coeficiente de acoplamento em cisalhamento xy num ngulo =45 direo das fibras.

Da eq. (4.81)

Podemos simplificar a relao acima em caso de um compsito com rigidez alta para qual e . Neste caso temos a seguinte expresso aproximada:

Usando eq. (4.85), obtemos

Exemplo

Compare os valores exatos e aproximados de mdulo Young de um material carbono/epxi orientado fazendo um ngulo de 45 com a direo de fibras. O material tem as seguintes propriedades: E1 = 145 GPa E2 = 10,45 GPa G12 = 6,9 GPa 12 = 0,28 GPa

Exato

2 2 2 22 2 2 2

12 21

1 2 12

3 2 2

1

1 0,5 0,5 0,5 0,50,5 0,5 0,28 0,5 0,5 0,02

145 10,45 6,9

11,2414 10 1,7225 10 2,3445 10 0,06092

16,4 GPa

x

x

x

x

m n m nm n n m

E E E G

E

E

E

Aproximado

12 245

12 2

4 4 6,9 10,4516,6 GPa

6,9 10,45x

G EE

G E

Erro = (16,4 16,6 ) /16,4 x 100 = -1,2%