ω= u +β Combinación lineal u,v Vectores Escalares ... · PDF fileTema 2...

of 33 /33
Tema 2 Álgebra Lineal (Espacios vectoriales) 1 de 1 Espacios Vectoriales Vector: Magnitud, dirección y sentido + = ν β u α ω Combinación lineal ω , v , u Vectores β α, Escalares u α Multiplicación por un escalar + v β u α Suma de vectores

Embed Size (px)

Transcript of ω= u +β Combinación lineal u,v Vectores Escalares ... · PDF fileTema 2...

  • Tema 2 lgebra Lineal (Espacios vectoriales)

    1 de 1

    Espacios Vectoriales Vector: Magnitud, direccin y sentido

    += u Combinacin lineal

    ,v,u Vectores

    , Escalares

    u Multiplicacin por un escalar

    + vu Suma de vectores

  • Tema 2 lgebra Lineal (Espacios vectoriales)

    2 de 2

    Sea ( ){ }R y, x y,xR 11112 = ( 211 R ) y,xu =

    222 R ) y,(x =v

    ( ) ( )( ) ( )( ) 22121

    2211

    2211

    Ryy,xx y ,xy,x

    y,x y,x vu

    ++=

    +=

    +=+=

    Sea

    = R d ,c ,b ,a

    dcba

    M 111111

    11

    Mdcba

    u11

    11

    = Mdc

    bav

    22

    22

    =

    R, vu +=

    +

    =

    22

    22

    11

    11

    dcba

    dcba

    +

    =

    22

    22

    11

    11

    dcba

    dcba

    Mddccbbaa

    2121

    2121

    ++++

  • Tema 2 lgebra Lineal (Espacios vectoriales)

    3 de 3

    Las leyes de adicin y multiplicacin por un escalar tienen en comn un gran nmero de propiedades algebraicas. A dicha estructura se le conoce como ESPACIO VECTORIAL

    Definicin: Sea V un conjunto no vaco y sea K un campo donde se definen las operaciones de suma (+) y multiplicacin por un escalar ( .) K puede ser:

    enteroszo racionalesQ

    naturalesNcomplejosCrealesR

    V es un espacio vectorial (EV) si cumple con las siguientes axiomas:

    1. La suma de dos elementos en V es cerrada

  • Tema 2 lgebra Lineal (Espacios vectoriales)

    4 de 4

    nica es vu V y vu: V v,u ++

    2. La adicin es conmutativa

    uv vu: V v,u +=+

    3. La adicin es asociativa

    ( ) ( ) wvu wvu: V w ,v,u ++=++

    4. Existe en V un elemento neutro para la adicin

    euu ue : V e +==+

    5. Todo elemento de V tiene un inverso z

    vzez v: V z V v +==+

    6. La multiplicacin de un vector de V por un escalar es cerrado

    V v :K V y v

    7. La multiplicacin por un escalar es asociativa

    ( ) ( )vv :K , V y v =

    8. Distributividad de la multiplicacin sobre la adicin de escalares

    ( ) vvv :K , V y v +=+

    9. Distributividad de la multiplicacin sobre la adicin de vectores

    ( ) vuvu :K V y v ,u +=+

    10. Existencia de la unidad de K

  • Tema 2 lgebra Lineal (Espacios vectoriales)

    5 de 5

    vv1 : V v = Las condiciones de suma o multiplicacin por un escalar pueden ser la usual o proponerse. Ejemplo: Sea el conjunto ( ){ }R a a 1,A = definido sobre R y las condiciones de suma y multiplicacin definidas por ( ) ( ) b)a (1,b 1,a 1, +=+ ( ) Aa 1,u = ( ) Ab 1,u =

    ( ) a)(1,a1, = ( ) Aa 1,u = R Verifique si A es un Espacio Vectorial Sean ( ) Ac) (1,w b); (1,v ;a 1,u === y R y , ,

    1) Verificar si nica es vu V y vu: A v,u ++

    b) (1,a) (1, vu +=+ A b)a (1, += Cumple el axioma

    2) Verificar si uv vu: A v,u +=+ uv vu +=+ a) (1,b) (1, b) (1,a) 1,( +=+ a) b (1, b)a 1,( +=+ Cumple el axioma

    3) Verificar si ( ) ( ) wvu wvu: A w ,v,u ++=++ ( ) ( ) wvu wvu ++=++

  • Tema 2 lgebra Lineal (Espacios vectoriales)

    6 de 6

    ( ) ( )[ ] ( )c 1,b 1,a 1, ++ ( ) ( ) ( )[ ]c 1,b 1,a 1, ++ ( ) ( )c 1,ba 1, ++ ( ) ( )cb 1,a 1, ++ ( )cba 1, ++ = ( )cba 1, ++ Cumple el axioma

    4) Verificar si euu ue : A e +==+ Sea e) (1,e = ( ) ( ) ( )b 1,b 1,e 1, =+ ( ) ( )b 1,be 1, =+ 0ebbe ==+

    ( )0 1,e = Cumple el axioma

    5) Verificar si vzez v: A z A v +==+ Sea z) (1,z = ( ) ( ) ( )0 1,b 1,z 1, =+ ( ) ( )0 1,bz 1, =+ 0bz =+ bz = Tal que b)- (1,z = b)- (1,z : A z = Cumple el axioma

    6) Verificar si A v :R A y v

    ( ) ( ) A a 1,a1, = Cumple el axioma 7) Verificar si ( ) ( )vv :R , A y v =

    ( )u ( )u

  • Tema 2 lgebra Lineal (Espacios vectoriales)

    7 de 7

    ( )[ ] =a 1, ( )( ) =a 1, ( ) =a1, ( )a1, ( )a 1, ( ) ( )uu = Cumple el axioma

    8) Verificar si ( ) uuu :R , A y u +=+ ( )v + vv + ( ) a) (1, + ( )a) 1,a) (1, + ( )( )a ,1 + ( )a 1,a) (1, + ( )aa 1, + ( )aa 1, + ( ) uuu +=+ Cumple el axioma

    9) Verificar si ( ) vuvu :R A y v ,u +=+ ( )vu + vu + ( ) ( )[ ]b 1,a 1, + ( ) ( )b 1,a 1, + ( )ba1, + ( ) ( )b 1,a 1, + ( )b)(a1, + ( )ba1, + ( )b)(a1, + ( )b)(a1, + ( ) vuvu +=+ Cumple el axioma

    10) Verificar si uu1 : A u = ua)(1,a) 1(1,u1 === Cumple el axioma

  • Tema 2 lgebra Lineal (Espacios vectoriales)

    8 de 8

    Por tanto el conjunto ( ){ }R a a 1,A = definido bajo las condiciones de suma y multiplicacin mostradas es un E.V. sobre R. Subespacios Vectoriales Sea V espacio vectorial sobre K y sea S un subconjunto de V s es un subespacio de v (SEV de V) si es un EV sobre K respecto a la adicin y a la multiplicacin por un escalar

    Teorema Sea V un espacio vectorial sobre V y sea S un subconjunto de V. S es un subespacio vectorial de V si y slo si 1) S vu :S v ,u + Cerradura bajo la suma 2) S v :S v :K Cerradura bajo la multiplicacin por un escalar Ejemplo:

    Verificar que

    = R b a, b2a

    baT es un SEV de las matrices de orden dos elementos

    en R.

  • Tema 2 lgebra Lineal (Espacios vectoriales)

    9 de 9

    E. V.

    = R d c, b, a,

    dcba

    M2

    = R b a, b2a

    baT Subconjunto de M2

    Sean:

    =b2a

    bau

    1

    11; T

    b2aba

    v22

    22

    =

    R

    1) Verificar que T vu :T v ,u +

    ( ) ( ) T b2aba

    bb2aabbaa

    b2aba

    b2aba

    vu33

    33

    2121

    2121

    22

    22

    11

    11

    =

    ++

    ++=

    +

    =+

    T vu + Cumple el axioma

    2) Verificar que u

    cumpleTu

    Tb2a

    bab

    2a

    bab

    2a

    bau

    44

    44

    11

    11

    11

    11

    =

    =

    =

    Tal que el conjunto T es un Subespacio vectorial de M2

  • Tema 2 lgebra Lineal (Espacios vectoriales)

    10 de 10

    Combinacin lineal. Conjunto generador. Base y dimensin. Coordenadas de un vector y matriz de transicin Definicin v es una combinacin lineal de 1v , 2v ,..., nv si puede expresarse como

    v.......vvv nn2211 +++= Donde n21 ,...,, son escalares Considerando e) EV R2

    ( ){ }Ryx,yx,R2 =

  • Tema 2 lgebra Lineal (Espacios vectoriales)

    11 de 11

    ( ) ( )4 2,1 2,4 5,vvv

    2 1

    2211

    +=

    +=

    Si 21 = y 211 =

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )( ) ( )4 5,4 5,

    2 1,2 4,4 5,

    4 2,211 2, 24 5,

    =+=

    +=

    v es una combinacin lineal (CL) de 21 v y v Dependencia lineal

    += v21v2v 21 Combinacin lineal

    =++ 0v21v2v1 21 Ecuacin de dependencia lineal

    Donde 0 es el vector cero y aparece como una combinacin lineal de 21 v y v ,v Definicin Sea { }n21 v,...,v,vS = un conjunto de vectores

    1) S es linealmente dependiente (L.D.) si existen escalares n21 ..., , , , 1, no todos iguales a cero, tal que

    =+++ 0v...vv nn2 21 1 Ec. De dependencia lineal

  • Tema 2 lgebra Lineal (Espacios vectoriales)

    12 de 12

    2) S es linealmente independiente (L.I.) si la igualdad

    =+++ 0v...vv nn2 211 Slo se satisface con 0... n21 ==== Ejemplo:

    Sea el EV ( ){ }Rcb,a,cb,a,R3 = y

    sean ( ) ( ) ( ) 321 R 0 4, 2,v ;0 1, 2,v ;1 4, 5,v === Determinar s son LD o LI

    0vvv 2 21 1 =++

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

    00440225

    0,0,0,4,42250,0,0,0,420 , ,2 4 50 0, 0,0 4, 2,0 1, 2,1 4, 5,

    21

    21

    2121

    2211

    2 1

    =

    =++=++

    =++++=++

    =++

    Por tanto:

    04022

    21

    21

    =+=+

    4122

    ~

    3011

    R1/2 R1(-1)+R2

  • Tema 2 lgebra Lineal (Espacios vectoriales)

    13 de 13

    00000

    0030

    22

    2

    32

    33

    32

    ===+=+

    ===+

    0 321 === ; por tanto, el conjunto { }21 v ,v ,v es el linealmente independiente Utilizando la matriz en forma escalonada cannica

    042012145

    ~

    145012042

    ~

    160030021

    ~

    100010021

    ~

    100010001

    ( )( ) 31

    21

    1

    R5RR2R

    21R

    ++

    ( ) 32

    2

    R6R31R

    +

    ( ) 12 R2R +

    El conjunto es Linealmente independiente Utilizando la matriz en forma cannica escalonada, si ningn rengln se hace ceros, el conjunto es L.I. En caso de que algn(os) rengln(es) sea(n) cero, el conjunto es L.D. Teorema Si S es un conjunto L.I., entonces cualquier subconjunto de S tambin lo es

  • Tema 2 lgebra Lineal (Espacios vectoriales)

    14 de 14

    Teorema Todo conjunto que contienen al vector cero es L.D. Conjunto generador Cuando todos los vectores de un E.V. pueden obtenerse mediante una combinacin lineal de un conjunto finito de vectores, se dice que tal c