Algebra lineal

26 de marzo de 2015

2

Captulo 1

Transformaciones lineales

1.1. Introduccion

Fijamos k =

RCDonde V,W son espacios vectoriales sobre k.

Una Transformacion lineal es una aplicacion T : V W que satisface:a. T (v + w) = T (v) + T (w) 3 (v, w V )b. T (v) = T (v) 3 (v V, R)

Observacion. T respeta las operaciones de espacio vectorial.

Observacion. Se puede notar lo siguiente acerca de las transformaciones lineales:

1. La transformacion cero:

T 0 : V W7 0w

2. La transformacion identidad es lineal

I Id id : V V, v v

Propiedades. Sea T : V W lineal.

1. T (0v) = 0W

2. T es lineal si y solo si T (v + w) = T (v) + T (w), k, u, w V ).

Ejemplo 1.1.1. C(R) = {f : R R : f es infinitamente diferenciable }.3

4 CAPITULO 1. TRANSFORMACIONES LINEALES

Definimos:

T :C(R) = {f : R R| f es infinitamente diferenciable }f 7 f

T es lineal:

T (f + g) = f + g

= T (f) + C(g)

Ejemplo 1.1.2. C(R) = {f : RR : f es continua } es R-espacio vectorial.Definimos :

I : (R) C(R)f 7

f

I(f(x)) =f(x)dx .

I es lineal:

I(f + g) =

f + g

=

f +

g

=

f +

g

= I(f) + I(g)

Ejemplo 1.1.3. T : P2(R) R3a0 + a1x+ a2x

2 7 (a0, a1, a2).T es lineal.

Ejemplo 1.1.4. Sea T : R2 R2 dada por T (x, y) := (x, y), donde , R.Para esto existen ciertos subcasos:

1. = = 1 = T = idR2

2. = 0, = 1 = T (x, y) = (x, 0).

INSERTAR GRAFICO 1 AQUI

1.1. INTRODUCCION 5

T se llama una proyeccion en la primera componente. Se denota por:

P P1P2(x, y) := (0, y)

INSERTAR GRAFICO 2 AQUI

3. T (x, y) = (x,y)INSERTAR GRAFICO 3 AQUI

Observacion. Los ejes son invariantes bajo T .

el eje x es invariante punto por punto.

(Rx) = Rx

(Ry) = Ry

INSERTAR GRAFICO 4 AQUI

T es una reflexion con respecto del eje x.

Observacion. Se puede dar una expresion para una reflexion con respecto de cualquier

subespacio de R2?

Rotacion?

INSERTAR GRAFICO 5 AQUI

4. T (x, y) = (y, x).INSERTAR GRAFICOS 6, 7 Y 8 AQUI

Sea F = { Familia de subespcaios unidimensionales en R2. }.Entonces, F es invariante como familia bajo T .La familia G de circunferencias concentricas es invariante bajo F elemento por elemento.INSERTAR GRAFICO 9 AQUI

1.1.1. El espacio de transformaciones

L(V,W ) := {T : V W : T lineal}.Suma: L(V,W ) L(V,W ) L(V,W ), (T, S) 7 T + S[(T + S)(v) = T (v) + S(v)].Multiplicacion: k L(V,W ) L(V,W ), (, T ) 7 T [(T )(v) := T (v)].L(V,W ) es k-espacio vectorial.

6 CAPITULO 1. TRANSFORMACIONES LINEALES

Cero: 0 : V W , T := (1)T .W = V,L(V,W ) = End(V )

Producto: S T = S T .Distributivo, asociativo, id : V V , NO es conmutativo.A (End(V ),+, 0, k, , id) se le llama un algebra.La funcion cumple lo siguiente:

Propiedades. 1. T (0) = 0.

2. T lineal T (v + v) = T (v) + T (v)(v, v V, a k).

3. T (v v) = T (v) T (v)

4. Si v1, , vn V y 1, , n k, entonces

T (v1 + + nvn) = 1T (v1) + + nT (vn)

El kernel o nucleo de T se define de la siguiente manera

(kerT N(T ))

kerT V subespacio:Si v, v kerT , entonces

T (v + v) = T (v) + T (v) = 0

i.e., v + v kerT .Si v kerT y a k, entonces

T (v) = T (v) = 0

Por lo tanto, v kerT .

Definicion 1.1.5. La imagen o rango de T: La imagen o rango de T :

Im(T ) R(T ) := {w W : w = T (v), p.a.v V }

1.1. INTRODUCCION 7

Im(T ) W es un subespacio:

w,w Im(T )= w = T (v), p.a.v V

w = T (v), p.a.v V= w + w = T (v + T (v) = T (v + vv), v + v Vw + w Im(T )

Ejemplo 1.1.6 (Transformaciones Cero e Identidad). .

Transformacion Cero: 0 : V V, v 7 0.ker(0) = V, Im(0) = 0.

Transformacion Identidad: id I : V V, v 7 v.ker(id) = 0, Im(id) = V .

Ejemplo 1.1.7 (Proyecciones). .

1. Sea Px : R2 R, (x, y 7 x y ademas Py : R2 R, (x, y) 7 y

Px((x1, y1) + (x2, y2))

= Px(x1 + x2, y1 + y2)

= x1 + x2

= Px(x1, y1) + Px(x2, y2)

ker(Px) = {(0, y) R2 : y R}.Im(Px) = R .

2. Px : R3 R3, (x, y, z) 7 x.Py,Pz definidos de manera similar.

P(x,y) : R3 R3, (x, y, z) 7 (x, y).ker(Px) = {(x, y, z) R3 : x = 0}.Im(Px) = {(x, y, z) R3 : y = z = 0}.ker(P(x,y) = eje z ).

Im(P(x,y)) = (x, y).

Ejemplo 1.1.8 (Inclusiones). .

8 CAPITULO 1. TRANSFORMACIONES LINEALES

1. ix : R R2, x 7 (x, 0) y ix : R R2, y 7 (0, y).ker(ix) = 0, Im(ix) = R

ker() = 0, textIm() = L0.

2. ix : R R3, x 7 (x, 0, 0)i(x,y) : R2 R3(x, y) 7 (x, y, 0).

Ejemplo 1.1.9 (Operadores diferencial e integral). .

1. Operador diferencial: D : C(R) C(R), f 7 Df := f .ker(D) = {f C(R) : Df = 0} = R.Im(D) = {g C(R) : Df = g} = {g C(R) : f = g}.

2. Operador integral : a R fijo.Ia : C(R) C(R), f 7 Iaf .

(Iaf)(x) :=

xa

f(t)dt

3. Sea b R tal que a < b.Iba : C(R) R, f 7 Iaf :=

baf(x)dx.

ker(Iba) = {f C(R) : ba

f(x)dx = 0}.

Ejemplo 1.1.10 (Reflexiones). .

Rx : R2 R2, (x, y) 7 (x,y)

.

Ry : R2 R2, (x, y) 7 (x, y).

R(x,y) : R3 R3, (x, y, z) 7 (x, y,z).

Ejemplo 1.1.11 (Rotaciones). . Sea 0 < 2pi fijo.Sea R : R2 R2 la rotacion por un angulo .

1.1. INTRODUCCION 9

Sea el angulo que determina (x, y) con respecto del eje x. Escribimos:

x = r cos

y = r sin

lo que implica que

R(x, y) = (r cos( + ), r sin( + ))

= (r cos cos r sin sin, r sin cos + r cos sin)= (cos x sin y, sin x+ cos y)

Ejemplo 1.1.12 (Trnasformaciones de C). . Transformacion C-lineal: (TL(iz) = iTL(z)).Transformacion C-antilineal: TA(z) = bz(TA(iz) = b(iz) = b(iz) = iTa(z)).Transformacion R-lineal: T (z) = az + bz.

Definicion 1.1.13 (El espacio de transformaciones). Sea L(u,w) = {T : v W : T lineal }.

Suma :L(v, w) L(u,w) L(u,w)(T, S) 7 T + S[(T + S)(v) = T (v) + S(v)]

Multiplicacion : k L(v, w) L(u,w) L(u,w)(, T ) 7 T [(T )(v) = T (v)]

Se puede ver que L(v, w) es un k espacio vectorial ya que:

Cero: 0 : v w.T := (1)T .w = v, L(u,w) = End = Espacios de endomorfismos de v .

Producto: S T := S T .Distributivo, Asociativo, id : v v.NO es conmutativo.

A (End(v),+, 0, k, , id) se le llama un algebra.

10 CAPITULO 1. TRANSFORMACIONES LINEALES

Captulo 2

La categora de espacios vectoriales

En la categora de espacios vectoriales vect, los objetos son espacios vectoriales V,W, y morfismos entre objetos que se llaman transformaciones lineales.

Dados dos objetos V y W en Vect, un morfismo es una transformacion T : V W quees lineal.

Se cumple lo siguiente:

1. Para cada objeto V Wect , existe un morfismo identidad: id : V V, v 7 v

2. Para cada par de morfismo

T : V WS : W Z

existe un morfismo llamado composicion

V T W S Z

S T : V Z.

3. Propiedad asociativa:

V T W S X R YR (S T ) = (R S) T

En particular,

End(V ) = {T : V V : T lineal }

es el algebra de endomorfismos de V .

11

12 CAPITULO 2. LA CATEGORIA DE ESPACIOS VECTORIALES

Si W = k, entonces L(V, k) = {T : V k : T lineal } se llama el espacio dual de V y sedenota por V .

Como L(V,W ) es un espacio vectorial, se sigue que

V = L(V, k)

es un espacio vectorial.

Entonces,

V = L(V , k) = L(L(V, k), k)

se le llama el doble dual de V y es espacio vectorial.

Teorema 2.0.1 ( de la dimension ). . Sea V un espacio vectorial de dimension finita y

T : V W una transformacion lineal. Entonces,

dim(V ) = dim(kerT ) + dim Im(T )

Demostracion. Sea {v1, , vn} de imension finita y T : V W una base

{v1, , vr7, vr+1, , vn}

una base de V .

Entonces,

Im(T ) = T (V )

= T (G(V1, , vn))= T (G(V1, , vbbbnbbbb)= G(Tv1, T vn)

Esto, {Tvk+1, Tvk} geenran a Im(T ).Si ak+1Tvk+1 + + anTvn = 0, entonces (T (ak+1vk+1 + + anvn) = 0.

T (ak+1vk+1 + + anvn) = 0i.e.,

ak+1vk+1 + anvn = a1v1 + akvky

(1)v1 + + (1)akvk + ak+1vk+1 + anvn = 0, lo que implica que a1 = a2 = = an = 0.

2.1. EXTENSION LINEAL 13

Por lo tanto,

{Tvk+1, tvn}

es linealmente independiente y en consecuencia es una base de Im(T ). Por lo tanto,

dimV = dim kerT + dim Im(T )

.

2.1. Extension lineal

Sea V un espacio vectorial real y {v1, , vn} coleccion de vectores en V .Sea e1, , en base canonica de Rn.Queremos definir una transformacion lineal T : Rn V .Si x =

(x1xn

)= x1e1 + + xnen, entonces

T (x) := x1v1 + + xnvn

Entonces, T (ej) = vj (j = 1, , n).T es la extension lineal de T (ej) = vj (j = 1, , n).T (ej) = vj(j = 1, n).T es unica: Si S : Rn V lineal es tal que S(ej) = vj(j = 1 , n) entonces

S(x) = S

(nj=1

xjej

)

=nj=1

xjS(ej) =nj=1

xjvj = T (x).

Ejemplo 2.1.1.

T : R2 R2, e1 7(1

1

), e2 7

(0

1)

x = xe1 + ye2

T (x) = x

(11

)+ y

(0

1)

Sean V,W vecto .Decimos ue T : V W es un isomorfismo si existe

S : W V

14 CAPITULO 2. LA CATEGORIA DE ESPACIOS VECTORIALES

tal que

S T = idvT S = idw

En este caso se dice que V y W son isomorfos y se escribe V = W .Ejemplo 2.1.2.

T : Pn(R) Rn + 1

(R) Rn + 1

a0 + a1x+ + anxn 7T (a0, a1, , an)

(a0, a1, , an) 7T a0 + a1x+ + anxn

Proposicion 2.1.1. T : V W lineal es uno a uno si y solo si kerT = {0}.Demostracion. ( = ) Sea v kerT .

Entonces, T (v) = 0 = T (0).

Como T es inyectiva, se sigue que v = 0 y por lo tanto, kerT = {0}.() Supongamos que

T (v) = T (w)

.

Luego,

T (v) T (w) = 0implica que

T (v w) = 0.

Luego, v w kerT = {0} y por lo tanto v = w.Proposicion 2.1.2. Sean {v1, , vn} vectores en V y T : Rn V la extension lineal deT (ej) = vj (j = 1, , n).

1. {v1, vn} es linealmente independiente si y solo si kerT = {0}.2. G({v1, vn}) = V Im(T ) = V .

Categoras de espacios vectoriales:

2.1. EXTENSION LINEAL 15

Objetos: Espacios vectoriales V,W .

Morfismos: Transformaciones lineales T, S

L(V,W ) = {Transformaciones lineales} VectEnd(V ) = {Endomorfismos de V Vect }

V := L(V, k) el espacio dual de V

V := (V , k) es espacio doble dual

Proposicion 2.1.3. Sea T : Rn V la extension lineal de T (ej) = vj(1 j n).Entonces,

1. {v1, , vn} es linealmente nidependiente si y solo si ker(T ) = {0}2. G({v1, vn}) = Im (T ).

Demostracion. ( = ) {v1, , vn} linealmente independiente.Sea x ker(T ).Entonces,

T (x) = 0

y

T (x) =nj=1

xjvj

.

Esto es,

x1v1 + + xnvn = 0

Por hipotesis conclumos que

x1 = x2 = = xn = 0. Por lo tanto,

x = 0

y

ker(T ) = {0}.

( ) Supongamos quex1v1 + + xnvn = 0

16 CAPITULO 2. LA CATEGORIA DE ESPACIOS VECTORIALES

.

Esto es,

T

(nj=1

xjej

)= 0

y

T (x) = 0

.

Esto implica que

x ker(T ) = {0}. Luego, x = 0.

Esto es, x1 = x2 = = xn = 0. Por lo tanto, {v1 vn} es linealmente independiente.

Demostracion. Sean V con base {v1, , vn} y W un conjunto de vectores {w1, , wn},entonces se puede definir la extension T : V W de T (vj) = wj(1 j n).Proposicion 2.1.4. T : V W es uno a uno si y solo si ker(T ) = {0}.Definicion 2.1.3. V y W son isomorfos si existe T : V W lineal con inversa S : W Vtal que S T = idv T S = idw.Teorema 2.1.1. Sea T : V W lineal. Entonces, T es isomorfismo si y solo si ker(T ) ={0}yIm = W .Demostracion. Supongamos que T es isomorfismo y por lo tanto v = 0. Entonces, existe su

inversa S.

Sea v ker(T ). Entonces, T (v) = 0. Luego,

S(T (v)) = S(0)

y por lo tanto v = 0 .

Para cada w W existe un unico v V tal que

T (v) = W.

Reciprocamente, supongamos que ker(T ) = {0} y Im(T ) = W .Para cada w W existe un unico v V tal que T (v) = w.Definimos:

S :W Vw 7 v

2.2. EL ESPACIO DE MATRICES 17

S es lineal: w1, w1 W = existen v1, v2 V tal que T (v1) = w1 y T (v2 = w2.Entonces, S(w1 + w2) = S(w1) + S(w2).

Similarmente, S(w) = S(w).

Ademas, S T = idv y T S = idw.

Teorema 2.1.2. Sean V y W espacos vectoriales de dimension finita. Entonces,

dim(V ) = dim(W )

si y solo si V = W .

Demostracion. Supongamos que dimV = dimW .

Sean {v1, , vn} base de V y {w1, , wn} base de W .Definimos

T :V Wnj=1

ajvj 7nj=1

ajwj

Aplicando los resultados anteriores concluimos que T es un isomorfismo.

Reciprocamente, uspongamos que T : V W es un isomorfismo.Sea {v1, vn} una base de V .Entonces,

=(T ) = T (V )= T (G{v1, vn})= G({T (v1), , T (vn)})= W

Ademas, {T (v1), , T (vn)} es linealmente independiente. Por lo tanto, {T (v1), , T (vn)}es una base de W y dimV = dimW .

2.2. El espacio de matrices

Una matriz de m n con coeficientes en R es un arregloa11 a12 a1n...

. . ....

am1 am2 amn

18 CAPITULO 2. LA CATEGORIA DE ESPACIOS VECTORIALES

donde a11, , amn R.m dice el numero de renglones y n el numero de columnas.

aij es el coeficiente que aparece en el renglon i y la columna j.

Ejemplo 2.2.1. Si es tiene la matriz(2 1 0 31 0 1 2

)

entonces a22 = 0 y a21 = 2.

Definicion 2.2.2. Una matriz cuadrada es una matriz de de n n.Ejemplo 2.2.3. Las matrices 0 tiene la forma

0 0...

. . ....

0 0

Ejemplo 2.2.4. Las matrices cuadradas tiene la forma

0 0...

. . ....

0 0

Definicion 2.2.5. Operaciones:

1. Suma: A = (aij), B = (bij) cuadradas.

Entonces, (A+B)ijaij + bij.

2. Multiplicacion por escalar: (A)ij = aij.

Observacion. El espacio de matrices Mnn(R) es un R-espacio vectorial.

Definicion 2.2.6. La transpuesta de una matriz A de n n es la matriz que resulta decambiar renglones por columnas de A. La denotamos por Ate

Ejemplo 2.2.7. Si

A =

(2 1

1 0

)entonces

AT =

(2 11 0

)

2.3. LA MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEAL 19

Una matriz A es simetrica si At = A.

Observacion.

Mnn(R) R2a11 a1n...

. . ....

an1 ann

7 (a11, , a1n, a21, , a2n, , a2n, a2n, , an1, , ann)V,W espacios vectoriales de dimension finita.

n y m, respectivamente, sobre k = R o k = C .T : V W transformaciones lineales.ker(T ) V subespacio vectorial.Im(T ) W subespacio vectorial.

2.3. La matriz asociada a una transformacion lineal

Sean V y W espacios vectoriales de dimension finita con bases Bv = {V1, , vn} yBw = {w1, , wn} y T L(V,W ).

Entonces, existen escalares a1j, a2j, , amj k :

T (Vj) =mi=1

aijwi 3 (1 j n)

Organizamos a los vectores T (vj) 3 (1 j n) en un arreglo rectangular:

T (v1) T (v2) T (vn)w1 a11 a12 a2n...

......

...

Wm am1 am2 amnSe define la matriz de m n :

AT :=

a11 a1n...

...

am1 amn

AT Mnn(k).[T ]BwBv .

Ejemplo 2.3.1. Sea T (x, y) = (x, y).

20 CAPITULO 2. LA CATEGORIA DE ESPACIOS VECTORIALES

Sea {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} base canonica en R2 y R2. Entonces,

T (1, 0) = (1, 0)

T (0, 1) = (0, 1)

= At =(

1 0

0 1

)

Sea {W1 = (1, 1),W2 = (1,1)} base de R2.

T (e1) = (1, 0) =1

2(1, 1) +

1

2(1,1)

T (e2) = (0, 1) =1

2(1, 1) +

1

2(1,1)

= AT =(

1/2 1/2

1/2 1/2

)=

1

2

(1 1

1 1

)

Sean T, S L(V,W ), k.Entonces,

S + T L(V,W )y

AS+T = AS + AT

.

Si AS = (aij) y AT = (bij), entonces

AS+T = (aij + bij)

.

Ademas,

AT = AT

AT = (bij)

Como Mmn(k) es un k-espacio vectorial, se sigue que la asignacion

L(V,W )MMn(k)T 7 AT

es una transformacion lineal.

Sean T L(V,W ) y S L(W,Z).

2.3. LA MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEAL 21

Entonces,

S T L(V, Z)

Sean {v1, , vn}, {w1, , wn}, {z1, , zn} bases de V,W y Z, respectivamente. Luego,

S(T (vj)) = S

(mk=1

akjwk

)

=mk=1

akjS(Wk)

=mk=1

bik

li=1

akjZi

=l

i=1

(mk=1

bikakj

)zi

Sea

Cij =mk=1

bikakj

Entonces,

AST = (Cij)

Si B Mmn(k) y A Mnl(k), entonces.

B A Mml(k)

(bij)mn(aij)nl = (cij)ml.

Multiplicamos al nenglno i-esimo de B por la columna j-esima de A.

b11 b1n...

...

b11 b1n...

...

bm1 bmn

a11 a1j a1l...

......

an1 anj anl

= (bi1a1j + + binanj) (2.1)

22 CAPITULO 2. LA CATEGORIA DE ESPACIOS VECTORIALES

Ejemplo 2.3.2. Sean A =

(1 2

1 0

)y B =

(2 11 3

). Entonces,

AB =

(1 2

1 0

)(2 11 3

)=

(4 5

2 1

)

BA =

(2 11 3

)(1 2

1 0

)=

(3 4

2 2

)= AB 6= BA

Ejemplo 2.3.3. A = (120) , B =

1 1 00 2 1

2 1 0

Entonces, AB = (132) mientras que BA no esta definido.

Sea T L(V,W ).Entonces, T es inversible si existen S L(W,V ) , S L(W,V ).S T = idv, T S = idw.V A W A V CON TRANSFORMACION DE V A W Y TRANSFORMACION

DE W A V CON MULTIPLICACION DE S POR T

y S = S .

Sean T L(V, V ), S L(V, V ) tales que S es la inversa de T .Entonces,

AS AT = id = At AS (2.2)

Proposicion 2.3.1. Sea A =

(a b

c d

)M22(k).

Entonces, A es inverntible ( no es singular ) si y solo si ab cd 6= 0.

Demostracion. La ecuacion se hara en dos partes:

( = ) Supongamos que A no es singular.Entonces, existe A1 M22(k) :

A1A = I = AA1

.

Sea B =

(d bc a

).

2.3. LA MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEAL 23

Entonces,

BA = (ad bc)id = 0

Luego,

B = B id = B(AA1) = BA A1 = 0

Esto es, a = b = c = d = 0 , i.e. A = 0.

Luego, I = AA1 = 0 A1 = 0, lo cual claramente no es cierto.(= ).

Si A =

(a d

c d

)y ad bc 6= 0 entonces

A1 =1

ad bc

(d bc a

).

Definicion 2.3.4. El determinante de A M22(k)

Propiedades. Sean A,B M22(k). Entonces,

det(A+B) =.

det(A) =.

det(AB) =.

det(A1) =. ( A invertible )

Definimos

det :M22(R) R7 det(A) = ad bc

Si R, entonces {A M22(R) : det(A) = }

Teorema 2.3.1. Si dimk(V ) = n, entonces

V kn

.

24 CAPITULO 2. LA CATEGORIA DE ESPACIOS VECTORIALES

L(V,W ) espacio vectorial de dimension mn tal que

L(V,W )Mmn(k)L 7AT

AT (aij), i = 1, ,m, j = 1, , n.BV = {v1, , vn} base de V .BW = {w1, , wm} base de W .T (vj) = a1jw1 + a2j + + amjwm para (j = 1, , n).

AT =

a11 a12 a1na21 a12 a1na31 a12 a1n...

.... . .

...

am1 am2 amn

.

T + s 7 AT+S = AT + AST 7 AT = AT

0 7 A0 = 0id 7 Aid = id

Extension lineal de TA(vj) TA 7 A

Teorema 2.3.2. L(V,W ) Mmn(k)

Corolario 2.3.2.1.

dimL(V,W ) = (dimV )(dimW )

= mn

Corolario 2.3.2.2. T es un isomorfismo (invertible) si y solo si AT es invertible ( no-

singular ).

Matrices:

Identidad: id =

1 0 00 1 00 0 00 0 1

.

2.3. LA MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEAL 25

Cero: id =

0 0 00 0 00 0 00 0 0

Triangular superior id =

a11 a12 a1n0 a22 a2n...

.... . .

...

0 0 ann

Triangular inferior: id =

a11 0 0a21 a22 0...

.... . .

...

an1 an2 ann

.Nilpotente: Existe k > 0 : Ak = 0

Simetrica: A = At.

Antisimetrica A = At.Definicion 2.3.5 ( Programa de Erlangen ). Una geometra es el estudio de las propiedades

de un espacio que permanecen invariantes bajo grupos de transformaciones

Definicion 2.3.6. Sea V espacio vectorial de dimension finita.

End(V ) es un espacio vectorial en V .

End(V ) V V(T, v) 7 T (v)

aoeun

GL(V ) := {T End(V ) : T es invertible .GL es el grupo general lineal

GL(V ) V V(T, v) 7 T (v)