![Transformaciones lineales - docencia.dim.uchile.cl · Definiciones básicas Semana 8 [2/62] Definición Transformación lineal U,V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo](https://static.fdocument.org/doc/165x107/5ba3297b09d3f208588d6a79/transformaciones-lineales-deniciones-basicas-semana-8-262-denicion.jpg?t=1680099361)
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Tema 2 lgebra Lineal (Espacios vectoriales)
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Espacios Vectoriales Vector: Magnitud, direccin y sentido
+= u Combinacin lineal
,v,u Vectores
, Escalares
u Multiplicacin por un escalar
+ vu Suma de vectores
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Sea ( ){ }R y, x y,xR 11112 = ( 211 R ) y,xu =
222 R ) y,(x =v
( ) ( )( ) ( )( ) 22121
2211
2211
Ryy,xx y ,xy,x
y,x y,x vu
++=
+=
+=+=
Sea
= R d ,c ,b ,a
dcba
M 111111
11
Mdcba
u11
11
= Mdc
bav
22
22
=
R, vu +=
+
=
22
22
11
11
dcba
dcba
+
=
22
22
11
11
dcba
dcba
Mddccbbaa
2121
2121
++++
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Las leyes de adicin y multiplicacin por un escalar tienen en comn un gran nmero de propiedades algebraicas. A dicha estructura se le conoce como ESPACIO VECTORIAL
Definicin: Sea V un conjunto no vaco y sea K un campo donde se definen las operaciones de suma (+) y multiplicacin por un escalar ( .) K puede ser:
enteroszo racionalesQ
naturalesNcomplejosCrealesR
V es un espacio vectorial (EV) si cumple con las siguientes axiomas:
1. La suma de dos elementos en V es cerrada
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nica es vu V y vu: V v,u ++
2. La adicin es conmutativa
uv vu: V v,u +=+
3. La adicin es asociativa
( ) ( ) wvu wvu: V w ,v,u ++=++
4. Existe en V un elemento neutro para la adicin
euu ue : V e +==+
5. Todo elemento de V tiene un inverso z
vzez v: V z V v +==+
6. La multiplicacin de un vector de V por un escalar es cerrado
V v :K V y v
7. La multiplicacin por un escalar es asociativa
( ) ( )vv :K , V y v =
8. Distributividad de la multiplicacin sobre la adicin de escalares
( ) vvv :K , V y v +=+
9. Distributividad de la multiplicacin sobre la adicin de vectores
( ) vuvu :K V y v ,u +=+
10. Existencia de la unidad de K
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vv1 : V v = Las condiciones de suma o multiplicacin por un escalar pueden ser la usual o proponerse. Ejemplo: Sea el conjunto ( ){ }R a a 1,A = definido sobre R y las condiciones de suma y multiplicacin definidas por ( ) ( ) b)a (1,b 1,a 1, +=+ ( ) Aa 1,u = ( ) Ab 1,u =
( ) a)(1,a1, = ( ) Aa 1,u = R Verifique si A es un Espacio Vectorial Sean ( ) Ac) (1,w b); (1,v ;a 1,u === y R y , ,
1) Verificar si nica es vu V y vu: A v,u ++
b) (1,a) (1, vu +=+ A b)a (1, += Cumple el axioma
2) Verificar si uv vu: A v,u +=+ uv vu +=+ a) (1,b) (1, b) (1,a) 1,( +=+ a) b (1, b)a 1,( +=+ Cumple el axioma
3) Verificar si ( ) ( ) wvu wvu: A w ,v,u ++=++ ( ) ( ) wvu wvu ++=++
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( ) ( )[ ] ( )c 1,b 1,a 1, ++ ( ) ( ) ( )[ ]c 1,b 1,a 1, ++ ( ) ( )c 1,ba 1, ++ ( ) ( )cb 1,a 1, ++ ( )cba 1, ++ = ( )cba 1, ++ Cumple el axioma
4) Verificar si euu ue : A e +==+ Sea e) (1,e = ( ) ( ) ( )b 1,b 1,e 1, =+ ( ) ( )b 1,be 1, =+ 0ebbe ==+
( )0 1,e = Cumple el axioma
5) Verificar si vzez v: A z A v +==+ Sea z) (1,z = ( ) ( ) ( )0 1,b 1,z 1, =+ ( ) ( )0 1,bz 1, =+ 0bz =+ bz = Tal que b)- (1,z = b)- (1,z : A z = Cumple el axioma
6) Verificar si A v :R A y v
( ) ( ) A a 1,a1, = Cumple el axioma 7) Verificar si ( ) ( )vv :R , A y v =
( )u ( )u
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( )[ ] =a 1, ( )( ) =a 1, ( ) =a1, ( )a1, ( )a 1, ( ) ( )uu = Cumple el axioma
8) Verificar si ( ) uuu :R , A y u +=+ ( )v + vv + ( ) a) (1, + ( )a) 1,a) (1, + ( )( )a ,1 + ( )a 1,a) (1, + ( )aa 1, + ( )aa 1, + ( ) uuu +=+ Cumple el axioma
9) Verificar si ( ) vuvu :R A y v ,u +=+ ( )vu + vu + ( ) ( )[ ]b 1,a 1, + ( ) ( )b 1,a 1, + ( )ba1, + ( ) ( )b 1,a 1, + ( )b)(a1, + ( )ba1, + ( )b)(a1, + ( )b)(a1, + ( ) vuvu +=+ Cumple el axioma
10) Verificar si uu1 : A u = ua)(1,a) 1(1,u1 === Cumple el axioma
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Por tanto el conjunto ( ){ }R a a 1,A = definido bajo las condiciones de suma y multiplicacin mostradas es un E.V. sobre R. Subespacios Vectoriales Sea V espacio vectorial sobre K y sea S un subconjunto de V s es un subespacio de v (SEV de V) si es un EV sobre K respecto a la adicin y a la multiplicacin por un escalar
Teorema Sea V un espacio vectorial sobre V y sea S un subconjunto de V. S es un subespacio vectorial de V si y slo si 1) S vu :S v ,u + Cerradura bajo la suma 2) S v :S v :K Cerradura bajo la multiplicacin por un escalar Ejemplo:
Verificar que
= R b a, b2a
baT es un SEV de las matrices de orden dos elementos
en R.
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E. V.
= R d c, b, a,
dcba
M2
= R b a, b2a
baT Subconjunto de M2
Sean:
=b2a
bau
1
11; T
b2aba
v22
22
=
R
1) Verificar que T vu :T v ,u +
( ) ( ) T b2aba
bb2aabbaa
b2aba
b2aba
vu33
33
2121
2121
22
22
11
11
=
++
++=
+
=+
T vu + Cumple el axioma
2) Verificar que u
cumpleTu
Tb2a
bab
2a
bab
2a
bau
44
44
11
11
11
11
=
=
=
Tal que el conjunto T es un Subespacio vectorial de M2
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Combinacin lineal. Conjunto generador. Base y dimensin. Coordenadas de un vector y matriz de transicin Definicin v es una combinacin lineal de 1v , 2v ,..., nv si puede expresarse como
v.......vvv nn2211 +++= Donde n21 ,...,, son escalares Considerando e) EV R2
( ){ }Ryx,yx,R2 =
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( ) ( )4 2,1 2,4 5,vvv
2 1
2211
+=
+=
Si 21 = y 211 =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )4 5,4 5,
2 1,2 4,4 5,
4 2,211 2, 24 5,
=+=
+=
v es una combinacin lineal (CL) de 21 v y v Dependencia lineal
+= v21v2v 21 Combinacin lineal
=++ 0v21v2v1 21 Ecuacin de dependencia lineal
Donde 0 es el vector cero y aparece como una combinacin lineal de 21 v y v ,v Definicin Sea { }n21 v,...,v,vS = un conjunto de vectores
1) S es linealmente dependiente (L.D.) si existen escalares n21 ..., , , , 1, no todos iguales a cero, tal que
=+++ 0v...vv nn2 21 1 Ec. De dependencia lineal
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2) S es linealmente independiente (L.I.) si la igualdad
=+++ 0v...vv nn2 211 Slo se satisface con 0... n21 ==== Ejemplo:
Sea el EV ( ){ }Rcb,a,cb,a,R3 = y
sean ( ) ( ) ( ) 321 R 0 4, 2,v ;0 1, 2,v ;1 4, 5,v === Determinar s son LD o LI
0vvv 2 21 1 =++
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
00440225
0,0,0,4,42250,0,0,0,420 , ,2 4 50 0, 0,0 4, 2,0 1, 2,1 4, 5,
21
21
2121
2211
2 1
=
=++=++
=++++=++
=++
Por tanto:
04022
21
21
=+=+
4122
~
3011
R1/2 R1(-1)+R2
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13 de 13
00000
0030
22
2
32
33
32
===+=+
===+
0 321 === ; por tanto, el conjunto { }21 v ,v ,v es el linealmente independiente Utilizando la matriz en forma escalonada cannica
042012145
~
145012042
~
160030021
~
100010021
~
100010001
( )( ) 31
21
1
R5RR2R
21R
++
( ) 32
2
R6R31R
+
( ) 12 R2R +
El conjunto es Linealmente independiente Utilizando la matriz en forma cannica escalonada, si ningn rengln se hace ceros, el conjunto es L.I. En caso de que algn(os) rengln(es) sea(n) cero, el conjunto es L.D. Teorema Si S es un conjunto L.I., entonces cualquier subconjunto de S tambin lo es
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Teorema Todo conjunto que contienen al vector cero es L.D. Conjunto generador Cuando todos los vectores de un E.V. pueden obtenerse mediante una combinacin lineal de un conjunto finito de vectores, se dice que tal c
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