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Tema 2 Álgebra Lineal (Espacios vectoriales)

1 de 1

Espacios Vectoriales Vector: Magnitud, dirección y sentido

→+= νβuαω Combinación lineal

→ω,v,u Vectores

→β α, Escalares

→uα Multiplicación por un escalar

→+ vβuα Suma de vectores

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2 de 2

Sea ( ){ }R y, x y,xR 11112 ∈=

( 211 R ) y,xu ∈=

222 R ) y,(x ∈=v

( ) ( )( ) ( )( ) 2

2121

2211

2211

Rβyαy,βxαx βy ,βxαy,αx

y,xβ y,xα vβuαω

∈++=

+=

+=+=

Sea

= R d ,c ,b ,a

dcba

M 111111

11

Mdcba

u11

11 ∈

= M

dcba

v22

22 ∈

=

Rβα, ∈ vβuα +=ϖ

+

=

22

22

11

11

dcba

βdcba

α

+

=

22

22

11

11

βdβcβbβa

αdαcαbαa

Mβdαdβcαcβbαbβaαa

2121

2121∈

++++

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3 de 3

Las leyes de adición y multiplicación por un escalar tienen en común un gran número de propiedades algebraicas. A dicha estructura se le conoce como “ESPACIO VECTORIAL”

Definición: Sea V un conjunto no vacío y sea K un campo donde se definen las operaciones de suma (+) y multiplicación por un escalar ( .) K puede ser:

enteroszo racionalesQ

naturalesNcomplejosCrealesR

→→→→→

V es un espacio vectorial (EV) si cumple con las siguientes axiomas:

1. La suma de dos elementos en V es cerrada

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4 de 4

única es vu V y vu: V v,u +∈+∈∀

2. La adición es conmutativa

uv vu: V v,u +=+∈∀

3. La adición es asociativa

( ) ( ) wvu wvu: V w ,v,u ++=++∈∀

4. Existe en V un elemento neutro para la adición

euu ue : V e +==+∈∃

5. Todo elemento de V tiene un inverso z

vzez v: V z V v +==+∈∃∈∀

6. La multiplicación de un vector de V por un escalar es cerrado

V vα :K α V y v ∈∈∀∈∀

7. La multiplicación por un escalar es asociativa

( ) ( )vαβvβα :K β α, V y v =∈∈∀

8. Distributividad de la multiplicación sobre la adición de escalares

( ) vβvαvβα :K β α, V y v +=+∈∈∀

9. Distributividad de la multiplicación sobre la adición de vectores

( ) vαuαvuα :K α V y v ,u +=+∈∈∀

10. Existencia de la unidad de K

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5 de 5

vv1 : V v =∈∀ Las condiciones de suma o multiplicación por un escalar pueden ser la usual o proponerse. Ejemplo: Sea el conjunto ( ){ }R a a 1,A ∈= definido sobre R y las condiciones de suma y multiplicación definidas por ( ) ( ) b)a (1,b 1,a 1, +=+ ( ) Aa 1,u ∈=∀

( ) Ab 1,u ∈=∀ ( ) αa)(1,a1,α =

( ) Aa 1,u ∈=∀ R α ∈∀ Verifique si A es un Espacio Vectorial Sean ( ) Ac) (1,w b); (1,v ;a 1,u ∈=== y R γ y β, α, ∈

1) Verificar si única es vu V y vu: A v,u +∈+∈∀

b) (1,a) (1, vu +=+

A b)a (1, ∈+= ∴ Cumple el axioma

2) Verificar si uv vu: A v,u +=+∈∀ uv vu +=+ a) (1,b) (1, b) (1,a) 1,( +=+

a) b (1, b)a 1,( +=+ ∴ Cumple el axioma

3) Verificar si ( ) ( ) wvu wvu: A w ,v,u ++=++∈∀ ( ) ( ) wvu wvu ++=++

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6 de 6

( ) ( )[ ] ( )c 1,b 1,a 1, ++ ( ) ( ) ( )[ ]c 1,b 1,a 1, ++

( ) ( )c 1,ba 1, ++ ( ) ( )cb 1,a 1, ++

( )cba 1, ++ = ( )cba 1, ++ ∴ Cumple el axioma

4) Verificar si euu ue : A e +==+∈∃ Sea e) (1,e = ( ) ( ) ( )b 1,b 1,e 1, =+ ( ) ( )b 1,be 1, =+ ∴ 0ebbe =→=+

( )0 1,e = ∴ Cumple el axioma

5) Verificar si vzez v: A z A v +==+∈∃∈∀ Sea z) (1,z = ( ) ( ) ( )0 1,b 1,z 1, =+ ( ) ( )0 1,bz 1, =+ 0bz =+ bz −= Tal que b)- (1,z = ∴ b)- (1,z : A z =∈∃ ∴ Cumple el axioma

6) Verificar si A vα :R α A y v ∈∈∀∈∀

( ) ( ) A αa 1,a1,α ∈= ∴ Cumple el axioma

7) Verificar si ( ) ( )vαβvβα :R β α, A y v =∈∈∀ ( )uβα ( )uαβ

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7 de 7

( )[ ] =a 1,βα ( )( ) =a 1,αβ ( ) =βa1,α ( )αβa1, ( )αβa 1, ∴ ( ) ( )uαβuβα = ∴ Cumple el axioma

8) Verificar si ( ) uβuαuβα :R β α, A y u +=+∈∈∀ ( )vβα + vβvα +

( ) a) (1,βα + ( )a) 1,βa) α(1, +

( )( )aβα ,1 + ( )βa 1,αa) (1, +

( )βaαa 1, + ( )βaαa 1, + ∴ ( ) uβuαuβα +=+ ∴ Cumple el axioma

9) Verificar si ( ) vαuαvuα :R α A y v ,u +=+∈∈∀ ( )vuα + vαuα + ( ) ( )[ ]b 1,a 1,α + ( ) ( )b 1,αa 1,α +

( )ba1,α + ( ) ( )αb 1,αa 1, + ( )b)α(a1, + ( )αbαa1, + ( )b)α(a1, + ( )b)α(a1, + ∴ ( ) vαuαvuα +=+ ∴ Cumple el axioma

10) Verificar si uu1 : A u =∈∀ ua)(1,a) 1(1,u1 === ∴ Cumple el axioma

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8 de 8

Por tanto el conjunto ( ){ }R a a 1,A ∈= definido bajo las condiciones de suma y multiplicación mostradas es un E.V. sobre R. Subespacios Vectoriales Sea V espacio vectorial sobre K y sea S un subconjunto de V s es un subespacio de v (SEV de V) si es un EV sobre K respecto a la adición y a la multiplicación por un escalar

Teorema Sea V un espacio vectorial sobre V y sea S un subconjunto de V. S es un subespacio vectorial de V si y sólo si 1) S vu :S v ,u ∈+∈∀ Cerradura bajo la suma 2) S vα :S v :K α ∈∈∀∈∀ Cerradura bajo la multiplicación por un escalar Ejemplo:

Verificar que

= R b a, b2a

baT es un SEV de las matrices de orden dos elementos

en R.

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9 de 9

E. V.

= R d c, b, a,

dcba

M2

= R b a, b2a

baT Subconjunto de M2

Sean:

=b2a

bau

1

11; T

b2aba

v22

22∈

=

Rα∈

1) Verificar que T vu :T v ,u ∈+∈∀

( ) ( ) T b2a

babb2aa

bbaab2a

bab2a

bavu

33

33

2121

2121

22

22

11

11∈

=

+−+

++=

+

=+

T vu ∈+ ∴ Cumple el axioma

2) Verificar que ∏∈uα

cumpleTuα

Tb2a

baαb

2αa

αbαab

2a

baαuα

44

44

11

11

11

11

⇒∈∴

−=

=

−=

Tal que el conjunto T es un Subespacio vectorial de M2

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10 de 10

Combinación lineal. Conjunto generador. Base y dimensión. Coordenadas de un vector y matriz de transición Definición v es una combinación lineal de 1v , 2v ,..., nv si puede expresarse como

vα.......vαvαv nn2211 +++= Donde n21 α,...,α,α son escalares Considerando e) EV R2

( ){ }Ryx,yx,R2 ∈=

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11 de 11

( ) ( )4 2,α1 2,α4 5,vαvαv

2 1

2211

+=

+=

Si 2α1 = y 21α1 =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )4 5,4 5,

2 1,2 4,4 5,

4 2,211 2, 24 5,

=+=

+=

∴v es una combinación lineal (CL) de 21 v y v

Dependencia lineal

→+= v21v2v 21 Combinación lineal

→=++− 0v21v2v1 21 Ecuación de dependencia lineal

Donde 0 es el vector cero y aparece como una combinación lineal de 21 v y v ,v Definición Sea { }n21 v,...,v,vS = un conjunto de vectores

1) S es linealmente dependiente (L.D.) si existen escalares n21 α ..., ,α ,α α, 1, no todos iguales a cero, tal que

→=+++ 0vα...vαvα nn2 21 1 Ec. De dependencia lineal

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12 de 12

2) S es linealmente independiente (L.I.) si la igualdad

→=+++ 0vα...vαvα nn2 211 Sólo se satisface con 0α...αα n21 ==== Ejemplo:

Sea el EV ( ){ }Rcb,a,cb,a,R3 ∈= y

sean ( ) ( ) ( ) 321 R 0 4, 2,v ;0 1, 2,v ;1 4, 5,v ∈===

Determinar sí son LD o LI

0vαvαv α 2 21 1 =++

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0α04αα4α02α2α5α

0,0,0α,4αα,4α2α2α5α0,0,0,0,4α2α0 ,α ,2αα 4αα 5αα0 0, 0,0 4, 2,α0 1, 2,α1 4, 5, α

21

21

2121

2211

2 1

=

=++=++

=++++=++

=++

Por tanto:

04αα02α2α

21

21

=+=+

4122

~

3011

R1/2

R1(-1)+R2

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13 de 13

0α0α00α0αα

0α03α0αα

22

2

32

33

32

=⇒==+=+

=⇒==+

0ααα 321 === ; por tanto, el conjunto { }21 v ,v ,v es el linealmente independiente Utilizando la matriz en forma escalonada canónica

042012145

~

145012042

~

−−

160030021

~

100010021

~

100010001

( )( ) 31

21

1

R5RR2R

21R

+−+−

( ) 32

2

R6R31R

+

− ( ) 12 R2R +−

∴ El conjunto es Linealmente independiente Utilizando la matriz en forma canónica escalonada, si ningún renglón se hace ceros, el conjunto es L.I. En caso de que algún(os) renglón(es) sea(n) cero, el conjunto es L.D. Teorema Si S es un conjunto L.I., entonces cualquier subconjunto de S también lo es

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14 de 14

Teorema Todo conjunto que contienen al vector cero es L.D. Conjunto generador Cuando todos los vectores de un E.V. pueden obtenerse mediante una combinación lineal de un conjunto finito de vectores, se dice que tal conjunto es generador del espacio EV V

mm2211

mm2211

uβ...uβuβvuα...uαuαv

+++=

+++=

. . . . .

. . . . .

. . . . . mm2211n uγ...uγuγv +++=

Definición Sea V un EV sobre K y sea { }m21 u ,...,u ,uB = un conjunto finito de vectores de V. Se

dice que B es generador de V si para todo vector Vv ∈ existen escalares m21 α,...,α,α tales que m m2 21 1 uα...uαuαv +++=

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15 de 15

En general cuando un conjunto es generador (CG) es LD, podemos suprimir alguno de sus vectores y obtener de ello otro conjunto generador del mismo EV, el cual es LI, denominado BASE Definición Se llama base de un EV a un CG de V que es LI Teorema Sea V un EV de K. Si { }m21 u ,...,u ,uB = es una base de V, entonces cualquier otra base de dicho espacio está formada por m vectores. Definición Sea V un EV sobre K. Si { }m21 u ,...,u ,uB = es una base de V, se dice que V es de dimensión m. dim V=m Teorema Si V es un EV de dimensión m, cualquier conjunto LI formado por m vectores es una base de dicho EV Teorema Si V es un EV de dimensión m y W un SEV V, entonces dim mW ≤ . En particula si dem W=m entonces W=V

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16 de 16

Ejemplo

Sea

−−

+= Rba,

2babbaba

V

Un E.V. sobre R

{ }

−−−==

050505

,834743

w ,wA 21 determinar si A es una base de V

Verificamos si A genera a V Sea:

V2bab

babav ∈

−−

+=

2211 ωα,ω,αv +=

=−

+−−−−

=−−

+

050505

α834743

α2bab

baba21

−−

+−−+−1211

21121

8α5α3α4α5α7α4α5α3α

ba5α7αb4α

a5α3α

21

1

21

+=+−=−

=+−

4bα1 =

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17 de 17

203b4a

5

b43a

α2−

=

−−

= ∴A genera a V

Para verificar si A es base de V se determina su dependencia lineal

0ωβωβ 2211 =+

=

+

−−−−

000000

050505

β834743

β 21

07β7β0β 04β

05β3β

21

1 1

21

=−−=→=−

=+−

0β 05β0β

22

1

=∴=−=

{ }2121 ω,ω A 0ββ =∴== es Linealmente independiente. A es base de V.

Coordenadas de un vector respecto a una base ordenada Si consideramos el espacio

= Rba, a0

baΜ

Para el cual el conjunto

=0010

,10

01B es una base

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18 de 18

{ }21 w,wB =

Para Μ7037

u ∈

−−

=

U puede expresarse como:

+

=

−−

0010

α10

01α

7037

21 3α7α

2

1

−==

A los escalares 7 y -3 se les llama “Coordenadas de u en la base B, y se representa

[ ]

=3

7u B vector de coordenadas de u en la base B

Definición Sea { }n21 v ,...,v ,vB = una base del espacio vectorial V sobre K, y sea Vx ∈ . Si

nn2211 vα...vαvαx +++= . Los escalares nα,...,α,α 21 se llaman coordenadas de x

en la base B y el vector ( ) T321B )α ,α ,(αx = se llama vector de coordenadas de x en la

base B

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19 de 19

Matriz de transición

A y B son bases de V Sea Vv ∈ Vv ∈

( ) ( )T

A

321

cb,a,v

ucubuav

=

++=

( ) ( )TB

321

fe,d,v

wfwewdv

=

++=

Como VA ∈ , entonces los vectores del conjunto A se pueden expresar como una combinación lineal de los vectores de la base B

( ) ( )( ) ( )( ) ( )T

321B33322113

T321B23322112

T321B3322111

γ,γ,γuwγwγwγu

β,β,βuwβwβwβu

α,α,αuwαwαwαu

=→++=

=→++=

=→++=

Podemos definir una matriz

=

333

222

111

AB

γβαγβαγβα

Μ

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20 de 20

Tal que

( ) ( )AABB vΜv =

=

=

fed

cba

γβαγβαγβα

333

222

111

[ ] 1BA

AB ΜΜ −

=

( ) ( )BABA vΜv =

Ejemplo:

Sea ( ){ }Rz y, x,0;zxz z y,x,V ∈=−= un EV sobre R y los conjuntos

( ) ( ){ } ( )( ){ }4 1, 2,6 0, 3,B y 0 1, 0,,2 0, 1,A == dos bases de V

a) determinar ABM

b) expresar ( )8 1, 4,z = como una C.L. de los vectores de la base B, utilizando la matriz de transición

( ) ( ){ } { }( )( ){ } { }21

21

w ,w4 1, 2,6 0, 3,Bu ,u0 1, 0,,2 0, 1,A

==

==

ωβωβuωαωαu

22112

22111

+=

+=

22

11AB βα

βαM

( ) ( ) ( )2,1,4α3,0,6α1,0,2 21 += (1) ( ) ( ) ( )2,1,4β3,0,6β0,1,0 21 += (2)

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21 de 21

De (1)

0α 2α4α63

1α 12α3α

221

121

=→=+

=→=+

De 2

04β6β

1β 1β 3

2β 02β3β

21

22

121

=+=→=

−=→=+

−=∴

103

23

1M A

B

b) ( )4,1,8z = ( ) ( )A

ABB zMz =

21 ubuaz += ( ) ( )TA ba,u =

( ) ( ) ( )0 1, 0,b2 0, 1,a8 1, 4, += a= 4

b=1 ( ) ( )TA 4,1z⇒

( )

=

−=13

214

113

23

1z B

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22 de 22

Tal que

( )

( ) ( )( )8 1, 4,z

4 1, 2,4 0, 2,z

4) 1, 1(2,6 0, 3,32z

=

+=

+=

Producto Interno

• Conjunto de escalares • Conjunto de vectores • Operación de suma y multiplicación por un escalar • Operaciones de naturaleza algebraica

• Magnitud • Distancia Conceptos métricos • Ángulo

El producto interno se generaliza a un E.V. cualquiera del producto escalar R (llamado también “producto interno”) Definición Sea V un E.V. sobre C. Un producto interno (p.i.) en V es una función de VxV en C que

asigna a cada pareja ordenada ( )v,u de vectores de V un escalar ( ) C vu ∈ , llamado

producto u por v , que satisface las siguientes propiedades:

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23 de 23

1) ( ) ( )uvvu = Simetría

2) ( ) ( ) ( )ωuvuωvu +=+ Aditividad

3) ( ) ( )vuαvuα = Homogeneidad

4) ( ) 0u si 0 uu ≠⟩ Positividad

Donde ( )vu representa el conjugado del número complejo ( )uv

Si

baα

biaαbiaα

22 +=

−=

+=∈

aaα

aαaαRα

2 ==

=

=∈

Ejemplo: En el E.V. 2P≤ , de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales se define la función

( ) ( ) ( ) 2

1

0iΡq ,p iqipqp ≤

=∈∀∑= verificar si es un producto interno

{ }Rc b, a, c bxaxΡ 2

2 ∈++=≤ Sea

2332

3

2222

2

2112

1

Ρ cxbxarΡ cxbxaqΡ cxbxap

∈++=

∈++=

∈++=

1) Verificar si ( ) ( )pqqp =

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Tema 2 Álgebra Lineal (Espacios vectoriales)

24 de 24

( ) ( ) ( )( )[ ]( ) ( ) ( )( )[ ]

( ) ( )pqqp

cbacbaccpq

cbacbaccqp

11122212

32211121

=∴

+++++=

+++++=

2) Verificar si ( ) ( ) ( )rpqprqp +=+

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]( )( )

( )

( )( )( )

44444 344444 21

444444 3444444 21

rp

33311131

qp

22211121

3332221113121

323232111321

32322

32

cbacbacc

cbacbacccbacbacbacccc

ccbbaacbacccrqpccxbbxaarq

+++++

++++++=+++++++++=

+++++++=+

+++++=+

3) Verificar si ( ) ( )qpαqpα =

( ) ( )( )

( )( )[ ]( )qpα

cbacbaccαcbacαbαaαccαqpα

cαxbαxaαpα

22211121

22211121

112

1

=

+++++=

+++++=

++=

4) Verificar si ( ) 0 pp ⟩ para 0p ≠

( ) ( )( )( )

( ) 0 pp0p si

cbac

cbacbaccpp2

11121

11111111

⟩→=∴

+++=

+++++=

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25 de 25

Entonces ( ) ( ) ( )iq ipqp1

0i∑==

es producto interno.

Teorema Sea V un E.V. sobre C y sea (-1) un producto interno en V entonces Vv,u ∈∀

( ) ( ) ( )vv vuvu 2 ≤ donde ( )vu es el módulo de ( )vu . La igualdad se cumple si

v y u son L.D.

( ) ( )( )( ) ( )( ) L.I. son v y u vvuu vu

L.D. son v y uvvuuvu2

2

→⟨

→=

Definición Sea V un EV sobre R y sea .. un p.i. en V. Se llama norma de v en V y se representa

con v al número real no negativo definido por ( )1/2vvv = . La desigualdad de Cauchy-

Schwarz (C-S) puede ser expresada como

( )( ) v uvu

v uvu222

Producto de vectores

Producto de escalares

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26 de 26

Propiedades que satisface toda norma Si V es un EV con p.i., entonces C αV y v,u ∈∈∀

vu vu 4)

u αuα 3)

ou0u 2)

0u 1)

+≤+

=

=⇔=

Se dice que un vector es unitario cuando 1u = . Para cualquier vector u u1e

= es

unitario. Definición Se llama distancia de u a v se representa ( )v,ud , al número real definido por:

( ) ( )([ ] 21

vuvuvuv,ud −−=−=

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )ω,vdv,udω,ud 4)

u,vdv,ud 3)0u0v,ud 2)

0v,ud 1)

+≤

=

=⇔=

Definición Sea V en EV con producto interno real y sean u y v dos vectores no nulos de V. Se llama ángulo entre u y v al número real θ , en el intervalo Πθ0 ≤≤

Desigualdad del triángulo

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27 de 27

( )

vuvu

θ cos =

( ) biavusi +=

( )vuvuR

θ cos ≅

La desigualdad de C-S se expresa

( ) vuvu ≤

( )

1vuvu

( )1

vuvu

1 ≤≤−

Existe uno y sólo un θ con intervalo Πθ0 ≤≤ cuyo coseno es igual al cociente. Ejemplo: Sea el p.i. en C2 definido como ( ) y2xyxyx 1221 += , ( ) ( ) 2

2121 C y,yy ,x,xx ∈==∀ ,

donde 21 y y y son los conjugados de 21 y yy . Para los vectores ( )ii,2x −= y ( )21,1y +−=

a) Obtener el ángulo θ que forman los vectores y y x .

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28 de 28

Solución: ( ) ( )( )[ ]

( ) ( )( )( )( )

( ) 0yxR11i

410i4i4i2i8i4i

2i12i4i2i1i221i

21,1ii,2yx

2

i

=∴

−=−−+−=

+−−+−=

−−+−=−−+−=

+−−=

( )( )[ ]( )

( )( )( )

11101

4i2i2i421i2i221

i1,2i1,2xxx

2

2

=+=

−−++=

+−+=

−−==

( ) ( )( )[ ]( )( )( )( )

( )

90ºθ

0

11110

yxyx

Cosθ

11y11

41214i2i2i121

2i12i121

2i1,12i1,1yyy

11x

2

2

≅∴

=ℜ

≅∴

=

=++=

−+−+=

−++=

+−+−==

=

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Ortogonalidad En un EV con producto interno dos vectores V v , u ∈ son ortogonales si ( ) 0vu =

como 0v ,0u ≠≠

( )

90º2Πθ

vu0

vuvu

θ cos

==

==

Definición Sea V un EV con p.i. y sea { }v ,...,v ,vS n21= un conjutno de vectores de V. Se dice que S es ORTOGONAL cuando ( ) ji 0vv ji ≠∀= , si además 1vi = el conjunto es

ORTONORMAL. Teorema Sea V un EV con p.i. y sea { }n21 e ,...,e ,eB = una base ortogonal. Entonces

Vu ∈∀

( ) αv iB = donde ( )( )ee

evα

ii

ii =

Si B es una base ortonormal ( )ii evα =

Proceso de Gram-Schmit Sea ( )v ...,v vG 32,1,= un conjunto que genera a V. El procedimiento construye

( )w ..., wwG 32,1,o = que también genera a V. La idea es formar uno a uno los vectores de Go

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Tema 2 Álgebra Lineal (Espacios vectoriales)

30 de 30

( )( )

( )( )

( )( )

n1,2....,iparawwwv

vw

wwwwv

vw

wwwv

α

wαvvαvwwvαv

vw

1i

1K KK

K1ii

111

1222

11

121

1121122

2112

11

=

∑−=

−=

−=

−=−=+=

=

=

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Tema 2 Álgebra Lineal (Espacios vectoriales)

31 de 31

Ejemplo: Obtener una base ortonormal del EV V generado por los vectores

{ } ( ) ( ) ( ){ }0 1, 1,,1 1, 2,,1 0, 1,v v ,vA 32,1 −−−== Solución

1) Obtener ( )w ...,w wG 32,1,=

( )( )( )

( ) ( )( )( )[ ]312

11,0,12wv

wwwwv

vw

11,0,wvw

12

111

1222

1

11

=−−=

−−=

−=

−==

( ) ( )( )[ ]

( ) ( )

( ) ( )( )2

11,2,1

23,0,2

32,1,1

11,0,232,1,1w

21111,0,11,0,ww

2

11

−−=

+−=

−−

−−=

=+=

−−=

( )( )

( )( )

( ) ( )( )[ ]

( ) ( )

2301

21

21,1,

211,1,0wv

100111,0,1,1,0wv

wwwwv

wwwwv

vw

33

13

222

231

11

1333

=++=

−−

−=

−=++−=

−−=

−−=

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Tema 2 Álgebra Lineal (Espacios vectoriales)

32 de 32

( )

23

411

41

21,1,

21

21,1,

21

ww 33

=++=

−−

−−

=

( ) ( )( ) ( )

( )( )

−−−−

−−=2

12,1,1

23

23

11,0,211,1,0w3

( )

( ) ( )( )0,0,0

1,01,1,1,0211,,

21

21,1,

211,1,0

=−+−=

−+

+−=

( ) ( )

( )

−−

−=

−−

−=

21,1,

21,11,0,B

0,0,0,21,1,

21,11,0,Go

( )

( )

( )23

ww

11,0,21

e

2w

2ww

ww1

e ww1

e

22

1

2

11

22

211

1

=

−=

=

==

Base ortogonal

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33 de 33

{ }

−−

==

−−=

−−=

=

61,

32,

61,

21,0,

21

eeB

61,

32,

61

e

21,1,

21

32

e

23

w

21,1

2

2

2

BASE ORTONORMAL