Mecánica de fractura lineal elástica -...

$: Mecánica de fractura lineal elástica - materias.fi.uba.armaterias.fi.uba.ar/6716/Mecanica_de_fractura_lineal_elastica.pdf · trabajo necesario para un incremento en la longitud$

Fractura ElásticaFractura Elástica

–Material Elástico lineal perfecto–No existen fisuras ni defectos–Separación es por rotura de enlaces atómicos en el

plano m-n–Fuerzas de atracción y repulsión son función de la

solicitación exterior–La deformación ε = x/d, x: variación de “d”

– σ = E ε = E x/d

Tensión Teórica de FracturaTensión Teórica de Fractura

��

��

==

===

4

00λσσ

σx

xx

teórico

� ==2

0

2sen

λ

πλσ

λπσ t

t xdxW

tt

t

x

xsendx

d

dx

d

σλπ

λπσ

λπ

λπ

λπσσ

22cos

2

12

cos

2

=

≈

=��

�=

d

E

dx

d

d

xEE === σεσ

22tt E

dW σ

πλσ ==

E

d

d

E tt

σλπσ

λπ 22

1

=�

��

�→→=−

2

1 / 2

1 / 23 2

7

2

22

.

10 / .21000 /

3 10

577 /

γ

σ γ

γσ

σ

σ

−

−

=

= =

� �= � �

� �= � �

≅ �

t

t

t

t

Energía de Superficie

dW

E

E

d

kg m m kg m m

x m m

kg m m valores norm ales

� ==2

0

2sen

λ

πλσ

λπσ t

t xdxW

Criterio de OrowanCriterio de Orowan

σσσσe, ρρρρ

a2a

σσσσ

σσσσ

Solución de Inglis - Tensión en el vértice

Fisura pasante de longitud 2a

2/1

2. ��

��

�==ρ

σσ avérticetensióne

Cuando existe separación en dossuperficies

1/ 2

2e c

c

a Ed

remota crítica

γσ σρ

σ σ

� �= =� �

�

=

2/1

4 ��

�

��

��

�=da

Ec

ργσ

5.14200

54

/21000./001.08.1

3

54

/21000./001.02/122/12

=��

�

��

��

�==��

�

��

��

�=d

d

mmx

mmkgmmkg

d

d

mmx

mmkgmmkgcc σσ

Criterio de GriffithCriterio de Griffith� La propagación ocurrirá si la energía elástica

acumulada es suficiente para proporcionar todo eltrabajo necesario para un incremento en la longitud defisura.

1._

2._

3._

U Energía Elástica Acumulada

W Trabajo para crecimiento

dU dWda dadU dWda dadU dWda da

==

<

=

>

1._ no hay propagación1._ no hay propagación2._ existe propagación estable2._ existe propagación estable3._ propagación inestable3._ propagación inestable

� La propagación ocurrirá si la relajación de energíapotencial elástica por unidad de área de extensión defisura es igual o mayor que la energía requerida para lamisma extensión de fisura.

Para un dado materialPara un dado material dWdW/da = constante/da = constante

GriffithGriffith propuso que esta disminución de energía se transformapropuso que esta disminución de energía se transformacompletamente en energía superficialcompletamente en energía superficial

2

2

γ

γ

=

=

Superficial

Superficial

W a

dW

da

Criterio de Griffith (1921)Criterio de Griffith (1921)

�� CondicionesCondiciones– Placa Infinita– Espesor unitario– Fisura elíptica– Material elástico

Lineal– Longitud fisura 2a– Control de

desplazamiento

Solución para Placa InfinitaSolución para Placa Infinita

2 22

2

σ

σ π

σ π

� ��

===

=

=

por unidad de espesor

tensión remotaE módulo de elasticidada semilongitud de fisura

Disminución de la Energía

aUE

Entonces la variación de Energía

dU aEda

� Consideraciones– Experiencias en vidrio. Toda la energía es para las nuevas superficies

– En materiales con alguna ductilidad, en el vértice de fisura hay deformaciónplástica a expensas de la energía acumulada

– Con cada incremento de fisura este mecanismo de deformación plástica serepite y vuelve a consumir energía

– Comparativamente la energía superficial es muy inferior al trabajo dedeformación plástica en el vértice de fisura

2

2σ π γ=C

Superficie

a

E

2

2. .

2 Superficie

Crítico

Crítica CCrítico C Crítica

Llamando

R Resistencia del Material

R constante

G Fuerza Impulsora Crítica Externa

aG

EEntonces si G aumenta hasta la propagación

existe un valor de crítico G

a G EG G

E

γ

σ π

σ π σ

== =

=

=

∴ = = → =aπ

Fuerza Impulsora CríticaFuerza Impulsora Crítica

– GC , trabajo por unidad de área paraextender la fisura

– GC , Fuerza Impulsora Crítica

( )

( )

( )

2

2

2

24

2

2

CSUPEFICIAL PLÁSTICO

C SUPEFICIAL PLÁSTICO


Criterio Griffith Orowan

a

EOperando

a E

De modo que a debe exceder un valor característico

EG E

σ π γ γ

σ π γ γ

σ πγ γ

−

= +

= +

= +

– KC, valor crítico del factor de intensidad detensiones que produce la propagación de la fisura

– Es un valor característico del material y sedenomina fractotenacidad

Factor de Intensidad de TensionesFactor de Intensidad de Tensiones

( )

2

2

C


C Crítico C

Primer Criterio de Fractura

a EG

Recordando que

G

se define

K a Factor Intensidad Tensiones

K a EG valor crítico

σ π

γ γ

σ π

σ π

≥

= +

= =

= = =

Tensiones en el Vértice de FisuraTensiones en el Vértice de FisuraDescripción de los Modos de FracturaDescripción de los Modos de Fractura

�� Modo IModo I, carga perpendicular al plano de fisura, carga perpendicular al plano de fisura(apertura)(apertura)

�� Modo IIModo II, carga paralela al plano de fisura,, carga paralela al plano de fisura,perpendicular al vértice (corte)perpendicular al vértice (corte)

�� Modo IIIModo III, carga paralela al plano y al vértice, carga paralela al plano y al vértice(desgarro)(desgarro)

��

��

� ��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

� ��

��

��

��

σπ

θ θ θ

σπ

θ θ θ

σπ

θ θ θ

σ ν σ σ

σ

yyI

xxI

xyI

zz xx yy

zz

K

rCos Sen Sen

K

rCos Sen Sen

K

rSen Cos Cos

= +��

��

+

= −��

��

+

= +

= +

=

2 21

232

2 21

232

2 2 232

0

1 2

1 2

1 2

� �

� �

� �

/

/

/

.....

.....

......

para deformación plana

para tensión plana

��

��

��

σπ

θijI

ij

K

rf=

21 2

� �� /

��

��

�� σσσσ��

��

�� θθθθ ��

��

��

K Y a W aI = //

� � � �σ π 1 2

��

��

��

��

� ��

Análisis del Modo IAnálisis del Modo IIndeterminación en el VérticeIndeterminación en el Vértice

�� Solución ElásticaSolución Elástica– La tensión en el vértice de fisura

tiene valor infinito

�� MaterialesMateriales– Cuando r 0r 0 , el material sufre

deformación plástica y la tensiónen el vértice tiene un valor finito.

( )2

0

yy yy

yy

af

rcuando r

σ σ θ

σ

=

� → ∞ →

Análisis del Modo IAnálisis del Modo IDeterminación del Tamaño de zona PlásticaDeterminación del Tamaño de zona Plástica

2 2*

2 2

3cos 1

2 2 220

2

2 2

Iyy I

yy ys

Iys *

p

Ip

ys ys

Tomando la tensión en la dirección" y"

K� sen sen y con K a

�r

reemplazando y

� tensión de fluencia

K

�r

o despejando el radio plástico

K ar

θ θ θ σ π

θσ

σ

σπσ σ

� �= + = � �

== =

=

= =

Evolución de la Resistencia ResidualEvolución de la Resistencia Residual

�

��

�

�a

1ación tipoIndetermin

a

KICC π

σ =

Determinación deDeterminación de KKII

Probeta ASTM C(T) StandardProbeta ASTM C(T) Standard

( )la placaespesor deBW

a/Wf�a�K

essor Ktiene espe

placaCuando la

�a�K

Infinitaara PlacaSolución p

I

I

I

2==

=

��

�

��

��

�+�

��

�−�

��

�+�

��

�−�

��

�=2/92/72/52/32/1

2/1 9.63810177.6555.1856.29W

a

W

a

W

a

W

a

W

a

BW

PKI

KKII Influencia del EspesorInfluencia del Espesor

�� Para espesores menores a BPara espesores menores a Boo se presenta un estado dese presenta un estado de TensiónTensiónPlanaPlana con un desarrollo importante de deformación plástica y el valorcon un desarrollo importante de deformación plástica y el valormáximo demáximo de KKCC

�� el espesor “Bel espesor “B11” asegura un estado de” asegura un estado de Deformación Plana,Deformación Plana, concon

plasticidad en pequeña escala, tal queplasticidad en pequeña escala, tal que KKCC aalcance su valor mínimo,lcance su valor mínimo,

KKICIC ..

�� EntoncesEntoncesKKICIC es una propiedad del material y no depende del espesores una propiedad del material y no depende del espesor

( )0 entonces 1

I

cuando a/W f a/W

K � �a

→ →

∴ →

e IrwinEcuación d

KB

KKys

ICICC

.

4.11

2/14

2��

�

�

�

��

��

�+=

σ

KKII Influencia del EspesorInfluencia del Espesor

�� Acero 4340,Acero 4340, σσysys:185kg/mm:185kg/mm22,, BBmmíínimonimo:1.7mm:1.7mm

e ValidezCriterio d

K

B

a

ys

IC

2

5.2 ��

��

�≥

��

σ

Determinación Experimental de KDeterminación Experimental de KII

Método de laMétodo de la ComplianceCompliance

1

1

2 1 2 3

2

3

3

<

aa

a a a a ia

aa

CP

aC C C C C f

P W

CP

δ

δ

δ

�= �

�� = < � =� � �

� ��=��


�

��

�−=da

dU

BG

1

ImpulsoraFuerza

IModo:Solicitado

elasticocontinuo:Material

Padebidoextensión:da

carga:P

fisuradelongituda

elásticapotencialenergíaU

espesorB

===

Propagación a desplazamientoPropagación a desplazamiento ctecte..

( )

( )

( )( )21

21

2121

2112.

a-a21

1G

diagramadelárea

a-a-daa,a

fisuradelongitudsu

endifieransoloqueidéntica,geometríadepiezas

2conG""calcularpodemosalmenteexperiment21

21

21

es,ElásticaPotencialEnergíadevariaciónLa

0,d21desdeproduceseextensiónLa

.

.

�

��

� −−=

==→

−−=−=

=�→

=

=

=

PP

B

dU

PPPPdU

cte

cte

cte

δ

δδδ

δ

δ

δ

δ

Propagación con CargaPropagación con Carga ctecte..

( )

( )

δ

δδ

δδδδ

PddU

PdU

PPPdU

cteP

cteP

cteP

21

fisuraladeda""sincrementoparaentonces

registrodelrayadaáreaaleequivalent21

21

21

es,ElásticaPotencialEnergíadevariaciónLa

cte,P21desdeproduceseextensiónLa

.

12.

1212.

−=

−−=

−−�

��

� −=

=�→

=

=

=

Propagación con CargaPropagación con Carga ctecte..

( )

( )

1 2

12

12

� cte.

P cte.

Cuando la extensión se produce desde

bajo condiciones de � cte resulta

dU área O

cuando es bajo condiciones de P cte,

dU área O

entonces para incrementos infinitesimales"da",

las áreas

=

=

→=

=

==

son iguales y la disminución de la

Energía Potencial Elástica de un cuerpo fisurado

bajo condiciones de � cte.es igual a aquella

obtenida bajo condiciones de P cte.

==


C compliancia f(a)

entonces podemos escribir el desplazamaniento

� C(a/W).P

para una extensión"da"de la fisura a P cte.

el desplazamiento resulta

C(a/W)d� P da

a

reemplazando en la ec.de la Energía

= =

==

∂� �= � �∂�

2

2

2

1 1

2 2

1 1

2

1

2

P cte

Pot. Elást.

C(a/W)dU Pd� P da

a

entonces la fuerza impulsora resulta

dU CG - P

B da B a

CG P

B a

=

∂� �= − = − � �∂�

∂� �= = � �∂�

∂� �= � �∂�


21

2

CG P

B a

el problema se reduce a determinar la compliancia

del sistema como una función de la longitud "a" y

medir la pendiente de la curva para la longitud

de fisura que corresponde a la carga

∂� �= � �∂�

I

P

del componente.

Luego

K G.E=


Tipos de Probetas StandardTipos de Probetas Standard

Denominación de las ProbetasDenominación de las Probetas


Tipos de RegistrosTipos de Registros

Méto

do

de

laS

ecante

para

determ

inar

laC

arga

de

Méto

do

de

laS

ecante

para

determ

inar

laC

arga

de

Iniciació

nIn

iciación

MÁXIMOQ5%5%MÁXIMO

5%Q5%5%

5%

0%5%

PPPaprecdequePPun valorexistesi

IIIyIITipoRegistro

PPPPsonPaprecedenquePdevaloreslostodossi

ITipoRegistro

secantelayregistroelentreóninterseccilaenPdevalor,P

vP

0.95vP

pendientedesecanterectalaTrazar

=→>

=→<

�

��

�=�

��

�

� ��

��

��

��

��

��

� ��

��

��

� ��

��

Calificación deCalificación de KKQQ comocomo KKICIC�� KKQQ es independiente de la geometría si:es independiente de la geometría si:

– Pmáximo/PQ debe ser menor que 1.10 (ASTM1820)

– 2.5(KQ/σYS)2 debe ser menor que B y b0(ASTM1820) (condición de radio plástico)

�� si se verifica, entonces Ksi se verifica, entonces KICIC = K= KQQ

�� KKICIC es la Tenacidad a la Fractura oes la Tenacidad a la Fractura oFractotenacidadFractotenacidad

�� Este parámetro define elEste parámetro define el evento de iniciaciónevento de iniciacióndel crecimiento de la fisura.del crecimiento de la fisura.

�� No informaNo informa si la propagación será inestable ysi la propagación será inestable yconduce al colapso del componenteconduce al colapso del componente

��

��

��

��

� ��

��

��

��

��

��

Perspectiva en el Diseño de IngenieríaPerspectiva en el Diseño de Ingeniería

�� S: factor de seguridadS: factor de seguridad

'

1

2

2

2

E

aG

aK

n PlanaDeformació�

E

anaTensión PlE

con E'E'

KG

I

I

II

πσπσ

=

=

��

��

�

−

==

Curva de ResistenciaCurva de Resistencia

�� Recordemos que el parámetroRecordemos que el parámetro KKII describe eldescribe elevento de iniciaciónevento de iniciación

�� Entonces para determinar que sigue al eventoEntonces para determinar que sigue al eventode iniciación usaremos el concepto de curvas dede iniciación usaremos el concepto de curvas deresistenciaresistencia

�� Las ecuaciones que conocemos sonLas ecuaciones que conocemos son

�� R es independienteR es independientede la longitud dede la longitud defisurafisura

�� G paraG para σσii == ctecte es unaes unafuncifuncióón lineal den lineal de ““aa””..

�� ConCon σσ == σσ22 y a = ay a = a11,,tenemos que G < R,tenemos que G < R,ptopto.B.B

�� ConCon σσ == σσ11 y a = ay a = a11,,tenemos que G = R.tenemos que G = R.PtoPto. A. La fisura. A. La fisurapropagarpropagaráá en formaen formaestable si seestable si semantiene G = R.mantiene G = R.

( )2

21 tanICIC

KdWR G Cons te

da EG R defecto estable

G R defecto inestable

G R equilibrio

ν= = = − =

<>=

Curva de Resistencia UniversalCurva de Resistencia Universal

( )2

21 tanICIC

KdWR G Cons te

da EG R defecto estable

G R defecto inestable

G R equilibrio

ν= = = − =

<>=

�� A la derecha del eje G,RA la derecha del eje G,Rcorresponde el incrementocorresponde el incrementoen la longitud de fisuraen la longitud de fisura

�� A la izquierda la longitudA la izquierda la longitudreal de fisura.real de fisura.

( )

ioR equilibrG

inestableR defectoG

estableR defectoG

ConstanteE

K�G

da

dWR IC

IC

=><

=−===2

21

Curva de Resistencia con CrecimientoCurva de Resistencia con Crecimiento

�� Cuando se determina laCuando se determina lainiciacióniniciación– G de iniciación tiene el

mismo valor obtenido acarga o desplazamientoconstante.

�� Cuando existe crecimientoCuando existe crecimientoestableestable– G a carga constante es

mayor que G adesplazamiento constante

– esto es que adesplazamiento cte. seproduce una disminuciónde la Tensión

Curva de Resistencia con CrecimientoCurva de Resistencia con Crecimiento

�� Cuando existeCuando existecrecimientocrecimiento– y el vértice de

fisura está endeformaciónplana, laresistencia R =GIC y esindependientede la longitud defisura

– si el vértice estaen tensiónplana, laresistencia delmaterialaumentacuando crece lafisura y R no es

Cu

rva

de

Res

iste

nci

aa

Ten

sió

nC

on

stan

teC

urv

ad

eR

esis

ten

cia

aT

ensi

ón

Co

nst

ante

�� Tamaño de defecto:Tamaño de defecto: aaii, Tensión:, Tensión: σσσσσσσσ11 ,la energ,la energíía disponible para ela disponible para elcrecimiento G que corresponde alcrecimiento G que corresponde al ptopto.A es menor que la resistencia R del.A es menor que la resistencia R delmaterialmaterial

�� Si incrementamos la tensiSi incrementamos la tensióón, xn, x ejej. hasta B, G sigue la recta B. hasta B, G sigue la recta B--H menor queH menor queRR

�� Si incrementamos la tensiSi incrementamos la tensióón y se produce un incrementon y se produce un incremento ∆∆∆∆∆∆∆∆aa22, G sigue por, G sigue porR hasta elR hasta el ptopto.C y la fisura se arresta por incremento de tenacidad con.C y la fisura se arresta por incremento de tenacidad con ∆∆∆∆∆∆∆∆aa

�� Ahora si incrementamos la tensiAhora si incrementamos la tensióón hasta lograr una longitud de fisuran hasta lograr una longitud de fisura aaccentonces el incremento de fisura da un aumento de G segentonces el incremento de fisura da un aumento de G segúún la ln la líínea Dnea D--F,F,esta lesta líínea esta por encima de R y la fisura propaga en forma inestable.nea esta por encima de R y la fisura propaga en forma inestable.

RGA

R

a

G

ciónde propagaCondición

=∂∂=

∂∂

Mecánica de FracturaMecánica de Fractura

�� Condiciones GeneralesCondiciones Generales

�� MaterialMaterial– E, νννν, n

�� Condiciones de EnsayoCondiciones de Ensayo– Carga lenta, P– Longitud caraterística, a– Temperatura constante, T.– Vértice en deformación plana, εεεεz=0– Vértice en tensión plana, σσσσz=0– Vértice combinación de ambos estados

�� Caso 1Caso 1– valores pequeños de δδδδ, comportamiento elástico lineal o plasticidad

acotada– La fractura ocurre para valores de la tensión remota por debajo de la

tensión de fluencia.– Entonces la fractura puede ser caracterizada por LEFM, K, GK, G

�� Caso 2Caso 2– Importante formación de zona plástica respecto de la longitud de fisura– Implica una tensión remota de fractura elevada– Implica alta resistencia a la fractura– Entonces la LEFM queda invalidada

δ δ

P Caso 1 Caso 2

Mecánica de FracturaMecánica de FracturaLineal ElásticaLineal Elástica

ConsideracionesConsideracionesFinalesFinales

( )( )

1 2

:

( / ,..)

: 0

: 399 1820

:

I

/

I

IC z

IC

I

K Factor de Intensidad deTensiones

K Y a W � �a

K propiedad del material �

K se obtiene en laboratorio, ASTM - E o E

K aplicado en el componente en estudio

Criterio de análisis del

=

=

I Aplicado IC

evento de propagación

Se considera que la fisura se propaga cuando

K K− >

Mecánica de fractura lineal elástica -...

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