Problemas de Algebra Lineal´ - ... Problemas de Algebra Lineal´ Jos´eM .Gamboa...

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  • Problemas de Álgebra Lineal

    José M. Gamboa & Jesús M. Ruiz

    1989*

    Número 1. Demostrar que el conjunto C(R,R) de las funciones reales continuas de variable real con las operaciones naturales es un espacio vectorial real. Se consideran los subconjuntos

    H = {f ∈ C(R,R) : f(0) = λ}, λ ∈ R.

    ¿Para qué valores de λ es H un subespacio vectorial?

    Número 2. Sea V = C[t] el conjunto de los polinomios en una indeterminada t con coeficientes complejos. Probar que V es un espacio vectorial (con las operaciones naturales). Distinguir cuáles de los subconjuntos siguientes son subespacios vectoriales de V :

    H = {f ∈ V : grado(f) ≤ n} ∪ {0}, L = {f ∈ V : grado(f) = n} ∪ {0},

    donde n es un entero ≥ 1.

    Número 3. Estudiar la dependencia lineal de los vectores: (1) (1, 2, 1, 0), (−1, 3, 4, 1), (3, 1, 0, 4), (5, 1, 2, 1) en R4. (2) t3, t2 + t3, 2 + t + t3, 6 + 3t + t2 + 6t3 en C[t].

    Número 4. Sean u1, . . . , un vectores de Kn. Probar que las siguientes condiciones son equi- valentes:

    (1) u1, . . . , un son linealmente independientes. (2) u1, . . . , un forman un sistema de generadores. (3) u1, . . . , un forman una base.

    Número 5. Estudiar si los vectores (1, 0,−1, 2), (2, 3, 1, 1), (1, 3, 2,−1), (1, 1, 0, 1) son lineal- mente independientes en R4. Extraer de ellos el mayor número posible que lo sean, y construir una base de R4 que contenga a esos vectores elegidos.

    Número 6. Sean u1, u2, u3 y u4 vectores de Kn tales que los conjuntos

    {u1, u2, u3}, {u1, u2, u4}, {u1, u3, u4} y {u2, u3, u4}

    son libres. ¿Se puede asegurar que también es libre el conjunto {u1, u2, u3, u4}?

    Número 7. Calcular la dimensión de los siguientes subespacios vectoriales de R4: (1) H = {(x, y, z, t) ∈ R4 : 3x− y − z = x + y − z = 0}. (2) H = L[(1, 2, 1, 0), (−1, 3, 4, 1), (3, 1, 0, 4), (5, 1, 2, 1)].

    *Revisión 2005

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  • José M. Gamboa & Jesús M. Ruiz, 1989

    Número 8. ¿Es el conjunto S = {(x, y, z) ∈ R3 : 3x2 + y2 − z2 = 0} un subespacio vectorial de R3? ¿Qué subespacios de R3 contienen a S?

    Número 9. (1) Probar que H = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x + y = z + t = 0} es un subespacio vectorial de R4. Encontrar una base y calcular la dimensión de H.

    (2) Sea L el subespacio vectorial de R4 generado por (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0) y (1, 0, 0, 1). Hallar una base de L y calcular la dimensión de H ∩ L y de H + L.

    Número 10. Sea E un espacio vectorial de dimensión finita y sean V1, V2 dos subespacios suyos distintos y de la misma dimensión. Demostrar que:

    (1) La unión V1 ∪ V2 no coincide con E. (2) Existe un subespacio vectorial W de E tal que E = Vi ⊕W = V2 ⊕W .

    Número 11. Sea E el espacio vectorial formado por los polinomios de grado ≤ n con coe- ficientes en un cuerpo K. Para cada a ∈ K se denota Va el subespacio de E formado por los polinomios de los que a es ráız. Se pide:

    (1) Hallar una base y unas ecuaciones impĺıcitas de Va. ¿Depende de a la dimensión de Va? (2) Calcular la dimensión de Va ∩ Vb y determinar Va + Vb para cualesquiera dos escalares

    a, b distintos.

    Número 12. (1) Demostrar que existe una única aplicación lineal f : R3 → R4 tal que

    f(1, 0, 0) = (2,−1, 3, 2), f(0, 1, 0) = (1, 1, 0, 1), f(0, 0, 1) = (1, 0, 1, 1).

    y calcular su matriz respecto de las bases estándar de R3 y R4. (2) Encontrar bases y calcular las dimensiones de ker(f) e im(f).

    Número 13. ¿Existe alguna aplicación lineal f : R2 → R2 tal que f(1, 0) = (1, 1), f(3, 2) = (1,−1) y f(3, 3) = (2, 2)?

    Número 14. Demostrar que una aplicación lineal f : Kn → Kn es inyectiva si y sólo si es suprayectiva.

    Número 15. Demostrar que dos espacios vectoriales de tipo finito de la misma dimensión (y definidos sobre el mismo cuerpo) son isomorfos.

    Número 16.∗ ¿Existe alguna aplicación lineal Q3157 → Q3157 cuya imagen coincida con su núcleo?

    Número 17. Sea f un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita. Si se cumple im(f) = ker(f2), ¿se cumple también ker(f) = im(f2)?

    Número 18. Sean n un entero positivo y A una matriz cuadrada con coeficientes reales, cuya potencia (n + 1)-ésima es nula. Para cada escalar t consideramos la matriz

    Mt = n∑

    k=0

    tk

    k! Ak,

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  • José M. Gamboa & Jesús M. Ruiz, 1989

    y el conjunto E = {Mt : t ∈ R}. Demostrar que E , con el producto de matrices, es un grupo.

    Número 19. Se consideran los siguientes vectores de R4: los de la base estándar e1, e2, e3, e4, u1 = (1, 0, 1, 0) y u2 = (0, 1, 0, 1). Se pide:

    (1) Construir un subespacio vectorial H de R4 tal que R4 = H ⊕ L[u1, u2]. (2) Construir una aplicación lineal f : R4 → R4 cuyo núcleo sea L[u1, u2] y cuya imagen sea

    H. (3) Obtener la factorización canónica de f . (4) Decidir si existe alguna aplicación lineal g : R4 → R4 cuyo núcleo sea L[e1, e4] y cuya

    imagen sea L[e2, e3, u2].

    Número 20. Se llama traspuesta de una matriz A =

    a11 · · · a1n... ... am1 · · · amn

    , y se denota At, la matriz At =

    a11 · · · am1... ... a1n · · · amn

    . ¿Existe alguna matriz X no nula tal que se cumpla XA = BXt, con A =

    ( 1 −1 2 2 1 3

    ) y B =

    1 00 −1 2 1

    ? Número 21. Sea V el espacio vectorial de las matrices 2 × 3 con coeficientes en R. Probar que el subconjunto H ⊂ V formado por las matrices del tipo

    ( a b c 3c a− 3c b

    ) , a, b, c ∈ R, es un

    subespacio vectorial de V . Determinar una base de H.

    Número 22. Demostrar que para cualesquiera dos matrices A,B (de tamaños adecuados) se cumple (AB)t = BtAt.

    Número 23. Se llama traza de una matriz cuadrada de orden n, A =

    a11 · · · a1n... ... an1 · · · ann

    , a la suma de los elementos de la diagonal principal: tr(A) = a11 + · · · + ann. Demostrar que se verifica tr(AB) = tr(BA).

    Número 24. Una matriz A de orden n se llama simétrica si A = At, y antisimétrica si A = −At. Se pide:

    (1) Mostrar que el conjunto S de las matrices simétricas y el conjunto T de las antisimétricas son dos subespacios vectoriales del espacio M de todas las matrices cuadradas de orden n.

    (2) Encontrar bases y calcular las dimensiones de S y T . (3) Demostrar que M = S ⊕ T . (4) Construir una aplicación lineal f : M → M cuyo núcleo sea T y cuya imagen sea S. (5) Construir una aplicación lineal g : M → M cuyo núcleo sea S y cuya imagen sea T .

    Número 25. Se considera la matriz A = (

    2 1 −2 0

    ) y el conjunto H = {X ∈ M : XA = AX}.

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  • José M. Gamboa & Jesús M. Ruiz, 1989

    Probar que H es un subespacio vectorial del espacio M de las matrices de orden 2, y calcular su dimensión.

    Número 26. Se considera la forma lineal

    f : R4 → R : (x, y, z, t) → 3x− 5y + 4z + t.

    ¿Cuáles son sus coordenadas respecto de la base dual de la estándar? Probar que los vectores (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0) y (1, 0, 0, 0) forman una base B de R4 y calcular las coordenadas de f respecto de B∗. ¿Cuál es la matriz de f respecto de B y la base estándar de R?

    Número 27.∗ ¿Existen dos aplicaciones lineales f : E → F y g : F → G tales que: f sea inyectiva, g sea suprayectiva, e im(f) = ker(g), con E isomorfo a G y dim(F ) = 357?

    Número 28. Sea f : E → E′ una aplicación lineal entre espacios vectoriales, F un subespacio vectorial de E y F ′ uno de E′. Dı́gase cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles falsas, razonando la respuesta:

    (1) f(f−1(F ′)) = F ′. (2) f−1(f(F )) = F si y sólo si F contiene el núcleo de f .

    Número 29. Sean f : E → E un endomorfismo de un espacio vectorial, y v ∈ E un vector que no está en su núcleo. Se consideran las siguientes afirmaciones:

    (i) im(f) = L[f(v)]; (ii) E = L[v] ⊕ ker(f).

    ¿Es cierto que la primera implica la segunda? ¿Y el rećıproco?

    Número 30. Sean B = {e1, e2, e3, e4} la base estándar de C4, y f : C4 → C3 la apli- cación lineal determinada por f(e1) = (2, 1,−1), f(e2) = (1,−1,−2), f(e3) = (2,−2, 4) y f(e4) = (1, 0,−1). Sea B′ = {�1, �2, �3} la base estándar de C3. Comprobar que los vectores u1 = (2, 1,−1), u2 = (1,−1,−2), u3 = (2,−2, 4) forman una base B′′ de C3 y calcular las matri- ces de f respecto de: (1) B y B′, (2) B y B′′. Calcular también la matriz del cambio de base de B′ a B′′, y comprobar qué relación cumplen las tres matrices obtenidas.

    Número 31. Se consideran el espacio vectorial M de las matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes complejos, y el espacio vectorial E formado por todas las matrices(

    a b + d c + d a + b− d a + c− d b + c

    ) con a, b, c, d ∈ C.

    (1) Encontrar bases del núcleo y de la imagen de la aplicación lineal f :E→M : A → AP t, para P =

    ( 1 1 −2 1 0 −1

    ) .

    (2) Hallar una base de un subespacio vectorial H de E cuya dimensión sea mayor que la de f(H) y menor que la de f−1(f(H)).

    Número 32.∗ Sea f : C4 → C3 la aplicación lineal f(x, y, z, t) = (x − y, 2y − z, 2z − t). Se pide:

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  • José M. Gamboa & Jesús M. Ruiz, 1989

    (1) Encontrar una base B de C4/ker(f) y otra B′ de im(f), respecto de las cuales la matriz de la aplicación lineal f̄ :