ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ … · Web viewΘΕΜΑ 1Ο Α . Έστω...

ΛΟΥΒΕΡΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (2104903576) ΤΑΞΗ...........................Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ.............................… ΜΑΘΗΜΑ....................ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ.......................

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2015

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑ Α

Α . Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών Μονάδες 10

Β . Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Βolzano ; Μονάδες 4

Γ . Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο xo του πεδίου ορισμού της .

Μονάδες 3

Δ . Να χαρακτηρίσετε Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : 1 . Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σημείο xο τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό . 2 . Έστω μια συνάρτηση . Αν η f είναι συνεχής και γνησίως

φθίνουσα τότε

3 . Αν οι συναρτήσεις f και f+g είναι παραγωγίσιμες στο σημείο xo τότε και η g είναι παραγωγίσιμη στο xο .

4 . Αν υπάρχει το τότε η f είναι παραγωγίσισμη .

Μονάδες 2*4=8

ΘΕΜΑ Β

Α . Για τις διάφορες τιμές του , να υπολογίσετε το όριο

Μονάδες 10

Β . Αν για τη συνάρτηση f ισχύει για κάθε , να δείξετε ότι : α) Αν η f είναι συνεχής στο 0 , θα είναι συνεχής στο R β) Αν η f είναι συνεχής στο , θα είναι συνεχής στο R

Μονάδες 15

ΘΕΜΑ Γ

Α . Έστω η συνεχής συνάρτηση η οποία ικανοποιεί τις συνθήκες :

και για κάθε .

Αν , να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τη

γραφική παράσταση της g σε ένα τουλάχιστον σημείο M( ) με .Μονάδες 15

Β . Αν η συνάρτηση είναι συνεχής και , να αποδείξετε

ότι υπάρχει ξ τέτοιο , ώστε .

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Δ

Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσισμη στο xο , να αποδείξετε ότι

Μονάδες 10

Β . Αν οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες στο xο =1 , και για

κάθε ισχύει , να αποδείξετε ότι

Μονάδες 15

ΚΑΘΕ ΕΠΙΤΥΧΙA

ΛΟΥΒΕΡΔΗΣΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΑμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576)

ΤΑΞΗ............. Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ..........................................ΜΑΘΗΜΑ.......ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ..............................

ΘΕΜΑ 1o

Α . Πότε μια συνάρτηση λέγεται 1-1 ;Μονάδες 5

Β . Ποια η γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Bolzano ; Μονάδες 5

Γ . Έστω μια συνάρτηση . Πότε η f λέγεται γνησίως αύξουσα ; Μονάδες 5

Δ . Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών . Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 2o

Α . Να προσδιορίσετε το αR ώστε η συνάρτηση f με

να είναι συνεχής .

Μονάδες 6 Β . Για τις διάφορες τιμές του να υπολογίσετε το όριο

Α =

Μονάδες 7

Γ . Αν για την f ισχύει για κάθε , να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 .

Μονάδες 12

ΘΕΜΑ 3o

Α . Δίνονται οι συναρτήσεις και

α) να δείξετε ότι η f αντιστρέφεταιΜονάδες 5

β) να βρεθεί η αντίστροφη της fΜονάδες 5

γ) να βρεθεί η συνάρτηση Μονάδες 5

Β . Αν η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [1 , e ] και , να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μια μόνο ρίζα στο (1 , e) .

Μονάδες 10



ΜΑΡΤΙΟΣ 2015

ΘΕΜΑ 1Ο

Α . Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ . Αν α) η f είναι συνεχής στο Δ και β) f ΄ (x) = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ , τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ .

μονάδες 12 Β . Πότε η ευθεία y = l , λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο ;

μονάδες 5Γ . Να χαρακτηρίσετε ως σωστό ή λάθος τις παρακάτω προτάσεις : α . Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [α , β] και γνησίως αύξουσα , τότε υπάρχει xο τέτοιο , ώστε f ΄ (xo) > 0 .

μονάδες 2 β . Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο (ολικό) ελάχιστο , το , όταν για κάθε

μονάδες 2 γ . Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο xo , τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσισμη στο xo .

μονάδες 2 δ . Αν η f είναι παραγωγίσισμη στο R και ισχύει το θεώρημα Rolle στο [α , β] , τότε η γραφική της παράσταση έχει σε ένα τουλάχιστον σημείο της οριζόντια εφαπτομένη .

μονάδες 2

ΘΕΜΑ 2Ο

α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση , x > 0 ως προς τη μονοτονίαμονάδες 8

β) Έστω , x >0 . Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και

να δείξετε ότι η y= x είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο . μονάδες 10

γ) Να δείξετε ότι η Cf τέμνει τον x΄x ακριβώς σε ένα σημείο στο

μονάδες 7

ΘΕΜΑ 3 ο

Δίνεται η συνάρτηση . α) Να βρείτε τα α , β R , ώστε το σημείο Α(1,3) να είναι σημείο καμπής της Cf .

μονάδες 6β) Για α = 4 και β = -1 i) Να βρείτε τα διαστήματα που η Cf είναι κυρτή ή κοίλη

μονάδες 6 ii) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο σημείο καμπής της .

μονάδες 6 iii) Να δείξετε ότι για κάθε x 1 .

μονάδες 7

ΘΕΜΑ 4Ο

α . Έστω η συνάρτηση . Να βρείτε την τιμή του α >0 , ώστε για κάθε .

μονάδες 8

β . Έστω μια συνεχής συνάρτηση f : [α , β] με f ΄(x) για κάθε και . Να δείξετε ότι i) υπάρχει τέτοιο ώστε

μονάδες 8 ii) υπάρχουν ξ1 , ξ2 τέτοια , ώστε

μονάδες 9

ΚΑΘΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!!



ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2014ΘΕΜΑ Α

Α . i) Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα Δ . Πότε η f θα λέγεται γνησίως αύξουσα ;

μονάδες 3 ii) Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α και .

Πότε θα λέμε ότι η f παρουσιάζει στο μέγιστο το ;μονάδες 3

iii) Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α . Πότε θα λέμε ότι η f είναι 1-1 ;

μονάδες 3 iv) Nα διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής

μονάδες 6

Β . Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί ή λανθασμένοι .

1 . Κάθε συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα 2 . Το άθροισμα δυο γνησίως μονότονων συναρτήσεων με το ίδιο είδος μονοτονίας είναι γνησίως μονότονη συνάρτηση . 3 . Αν η f έχει μέγιστο στο xο , τότε η -f έχει ελάχιστο στο xο . 4 . Μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη και . Τότε η f είναι γνησίως αύξουσα . 5 . Αν η f είναι γνησίως μονότονη , τότε είναι και 1-1 6 . Η έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών της f .

7 . Οι και είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα x΄x .

8 . Αν , τότε για κάθε

9 . Αν κοντά στο xο και , τότε

10 . Αν , τότε .

μονάδες 10

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(3 , 2) και Β(5 , 9) . α) Να βρεθεί το είδος της μονοτονίας της f

μονάδες 5

β) Να λυθεί η εξίσωση

μονάδες 10

γ) Να λυθεί η ανίσωση

μονάδες 10

ΘΕΜΑ Γ

A . Να βρεθούν , εφόσον υπάρχουν τα όρια :

i)

ii)

iii)

μονάδες 15

B . Αν οι συναρτήσεις f , g είναι ορισμένες στο R με και

, να βρεθεί το .

μονάδες 10

ΘΕΜΑ Δ

Α . Δίνεται η συνάρτηση . Να βρεθούν τα α, β ώστε

.

μονάδες 10

Β . Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει για κάθε .

Να υπολογιστεί το όριο .

μονάδες 15

ΚΑΘΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ



ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2014 (ΘΕΡΙΝΗ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ)

ΘΕΜΑ 1ο

Α . i) Πότε δυο συναρτήσεις f , g λέγονται ίσες ; μονάδες7

ii) Έστω δυο συναρτήσεις f , g με πεδίο ορισμού Α , Β αντίστοιχα . Τι ονομάζουμε σύνθεση της f με την g ;

μονάδες 8

Β . Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων :

i)

ii)

iii)

iv)

v)

μονάδες 10

ΘΕΜΑ 2ο

Α . Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι ίσες

και

μονάδες 7

Β . Δίνονται οι συναρτήσεις και .

Να βρείτε τις συναρτήσεις : i) ii) iii) μονάδες 18

ΘΕΜΑ 3Ο

Α. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) τις παρακάτω προτάσεις:

α) Για κάθε ισχύει: μονάδες 2β) Ισχύει μονάδες 2γ) Για κάθε ισχύει: μονάδες 2δ) Ισχύει μονάδες 2Β. Δίνονται οι μιγαδικοί : και με Αν ισχύει να βρείτε:

α) την τιμή του x μονάδες 10β) τον μιγαδικό μονάδες 7

ΘΕΜΑ 4ο

Δίνονται οι μιγαδικοί και

α) Να γράψετε τον αριθμό στη μορφή με μονάδες 5

β) Αν η εξίσωση με έχει λύση τον αριθμό να βρείτε τις τιμές των α, β.

μονάδες 10

γ) Να λύσετε την εξίσωση: μονάδες

10



ΜΑΡΤΙΟΣ 2014ΘΕΜΑ Α

Α . 1 . Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ . Πότε θα λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ ;

2 . Πότε η ευθεία y = λx + β , λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο ;

3 . Να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος Μέσης Τιμής . μονάδες 6

Β . Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ .Αν η f είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ ,

τότε , να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ . μονάδες 11

Γ . Να χαρακτηριστούν Σωστό ή Λάθος

1 . Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ , δυο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ και είναι κυρτή , τότε για κάθε x εσωτερικό του Δ .

2 . Αν μια συνάρτηση είναι κοίλη σε ένα διάστημα Δ , τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ δεν βρίσκεται κάτω από τη Cf .

3 . Αν , τότε η ευθεία λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο .

4 . Αν η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο και η f είναι συνεχής στο xο , τότε το δεν είναι τοπικό ακρότατο .

μονάδες 8

ΘΕΜΑ Β

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση με για την οποία ισχύει για κάθε x > 0 ,

.

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι σταθερή στο

μονάδες 5β) Να βρείτε τον τύπο της f

μονάδες 7γ) Να βρείτε τα διαστήματα που η f είναι κυρτή ή κοίλη και τα σημεία καμπής της .

μονάδες 8

δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι =

μονάδες 5

ΘΕΜΑ Γ

Α . Έστω μια συνάρτηση , παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει ότι

για κάθε x > -1 . Να δείξετε ότι μονάδες 8

Β . Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι γνησίως μονότονη και συνεχής με

για κάθε x . Να αποδείξετε ότι :

α) Η εξίσωση έχει μόνο μια ρίζα

μονάδες 9 β) Υπάρχουν ξ1 , ξ2 τέτοια ώστε

μονάδες 8

ΘΕΜΑ Δ

Α . Να δείξετε ότι για κάθε x > 0 ισχύει

μονάδες 8

Β . Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης μονάδες 10

Γ . Έστω μια συνάρτηση f με f ΄΄ συνεχή για την οποία ισχύει

. Αν , να υπολογίσετε το .

μονάδες7

ΚΑΘΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ



ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2014

ΘΕΜΑ 1

Α . Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη στο xο ;Μονάδες 2

Β . Τι σημαίνει γεωμετρικά το θεώρημα Rolle ;

Μονάδες 3

Γ . Να αποδείξετε ότι ΄ = Μονάδες 8

Δ . Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ τότε η f σταθερή σε όλο το διάστημα Δ .

Μονάδες 8

Ε . 1 . Αν οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες στο xο , τότε η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο xο και ισχύει

2 . Αν , τότε η γραφική παράσταση της f έχει οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο Μ 3 . Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σημείο xο , τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό .

4 . Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σημείο xο είναι μονάδες 4

ΘΕΜΑ 2

α) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R ® R και η συνάρτηση .

Αν η ευθεία ε : y = 2x + 1 εφάπτεται της Cf στο x1 = 1 , να βρείτε την εφαπτομένη της Cg στο x2 = -1 .Μονάδες 5

β) Nα βρείτε τα α , β R ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της

στο σημείο Α(1 , 1) να εφάπτεται στη γραφική παράσταση της

Μονάδες 5

γ) Έστω οι συναρτήσεις οι οποίες είναι παραγωγίσιμες και ισχύουν και

για κάθε χ . Αν η διέρχεται από το σημείο Α (0 , 1) , να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες

των και στο τέμνονται κάθετα .Μονάδες 8

δ) Να λύσετε την ανίσωση

Μονάδες 7

ΘΕΜΑ 3

α) Έστω ότι η συνάρτηση (0 <α < β ) είναι παραγωγίσιμη και ισχύει για κάθε .

Αν να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε

μονάδες 10β) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (1 , e) . Αν f (e) = 0 , να δείξετε ότι

υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε μονάδες 15

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση με και

α) Να δείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε μονάδες 10

β) Αν η είναι παραγωγίσιμη στο (α , β) , να δείξετε ότι υπάρχουν

τέτοια ώστε μονάδες 15



ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2013

1 0 ΘΕΜΑ

Α . Πότε μια συνάρτηση λέγεται 1-1 ;Μονάδες 5

Β . Ποια η γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Bolzano ; Μονάδες 5

Γ . Έστω μια συνάρτηση . Πότε η f λέγεται γνησίως αύξουσα ; Μονάδες 5

Δ . Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών . Μονάδες 10

2 0 ΘΕΜΑ

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z και η συνάρτηση

α) Αν να αποδείξετε ότι Μονάδες 5

β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z, για τους οποίους ισχύει Μονάδες 5

γ) Αν να βρείτε τον αριθμό . Μονάδες 5

δ) Αν ισχύει να βρείτε:i) τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z, Μονάδες 5ii) την ελάχιστη τιμή του . Μονάδες 5

3 0 ΘΕΜΑ

Α . Να προσδιορίσετε το αR ώστε η συνάρτηση f με

να είναι συνεχής .

Μονάδες 6 Β . Για τις διάφορες τιμές του να υπολογίσετε το όριο

Α =

Μονάδες 7

Γ . Αν για την f ισχύει για κάθε , να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 .

Μονάδες 12

4 0 ΘΕΜΑ

Α . Δίνονται οι συναρτήσεις και

α) να δείξετε ότι η f αντιστρέφεταιΜονάδες 5

β) να βρεθεί η αντίστροφη της fΜονάδες 5

γ) να βρεθεί η συνάρτηση Μονάδες 5

Β . Αν η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [1 , e ] και , να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μια μόνο ρίζα στο (1 , e) .

Μονάδες 10

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣΑμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576)



ΘΕΜΑ 1

Α . Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη στο xο ;(Μονάδες 5)

Β . Τι σημαίνει γεωμετρικά το θεώρημα Rolle ;

(Μονάδες 6)

Γ . Να αποδείξετε ότι ΄ = (Μονάδες 10)

Δ . 1 . Αν οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες στο xο , τότε η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο xο και ισχύει

2 . Αν , τότε η γραφική παράσταση της f έχει οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο Μ 3 . Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σημείο xο , τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό .

4 . Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σημείο xο είναι

(Μονάδες 4)

ΘΕΜΑ 2

α) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R ® R και η συνάρτηση .

Αν η ευθεία ε : y = 2x + 1 εφάπτεται της Cf στο x1 = 1 , να βρείτε την εφαπτομένη της Cg στο x2 = -1 .

(Μονάδες 10)

β) Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε οι γραφικές παραστάσεις των και να έχουν κοινή εφαπτομένη σε κοινό τους σημείο το οποίο βρίσκεται στην ευθεία

με εξίσωση .(Μονάδες 15)

ΘΕΜΑ 3

α) Έστω ότι η συνάρτηση (0 <α < β ) είναι παραγωγίσιμη και ισχύει

για κάθε . Αν να δείξετε ότι υπαρχει ένα τουλάχιστον

τέτοιο ώστε (Μονάδες 10)

β) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (1 , e) . Αν f (e) = 0 , να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε

(Μονάδες 15)

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση με και

α) Να δείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε (Μονάδες 10)

β) Αν η είναι παραγωγίσιμη στο (α , β) , να δείξετε ότι υπάρχουν

τέτοια ώστε

(Μονάδες 15)



ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2012

ΘΕΜΑ 1Ο

Α. Έστω μια συνάρτηση

α) Πότε η λέγεται γνησίως αύξουσα;

β) Πότε η λέγεται 1-1;

γ) Πότε η παρουσιάζει μέγιστο;

δ) Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano.

Μονάδες 12

Β. Δίνεται η συνάρτηση

α) Να αποδειχθεί ότι η είναι 1-1.

Μονάδες 7β) Να βρεθεί η

Μονάδες 6

ΘΕΜΑ 2Ο

Α. Να υπολογιστούν τα όρια:

α)

Μονάδες 5

β)

Μονάδες 5

γ)

Μονάδες 5

Β. Για τη συνάρτηση ισχύει για κάθε Να υπολογιστούν:

i)

Μονάδες 5

ii)

Μονάδες 5

ΘΕΜΑ 3Ο

Α. Δίνεται η συνάρτηση

Να βρείτε τα α, β έτσι ώστε

Μονάδες 15

Β. Να βρεθούν τα α, β ώστε η συνάρτηση

να είναι συνεχής.

Μονάδες 10ΘΕΜΑ 4Ο

Α. Αν οι συναρτήσεις είναι συνεχείς στο να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε

Μονάδες 10

Β. Έστω η συνεχής συνάρτηση Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μια

τουλάχιστον ρίζα στο (0,1).

Μονάδες 15ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣΑμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576)


ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2012

ΘΕΜΑ 1Ο

Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z και w ισχύουν

τότε να βρείτε:

α. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z.

β. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w.

γ. την ελάχιστη τιμή του

δ. την ελάχιστη τιμή του

ΘΕΜΑ 2Ο

Δίνεται η εξίσωση όπου

α. Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης.

β. Να αποδείξετε ότι:

γ. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο.

δ. Για τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος γ, να αποδείξετε ότι

ΘΕΜΑ 3Ο

Οι μιγαδικοί αριθμοί z, w συνδέονται με τη σχέση και η εικόνα του w ανήκει στον

κύκλο με κέντρο Κ(-1,0) και ακτίνα ρ=1.

α. Να δείξετε ότι η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα p=1.

β. Αν οι εικόνες τριών μιγαδικών αριθμών για τους οποίους ισχύει η σχέση (1) να δείξετε ότι:

i. ο αριθμός είναι πραγματικός.

ii. Αν επιπλέον τότε να αποδείξετε ότι:

γ. Δίνεται η ευθεία (ε): Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη απόσταση των εικόνων του μιγαδικού w από την ευθεία (ε).




ΘΕΜΑ 1

Α . Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ . Αν α) η f είναι συνεχής στο Δ και β) f ΄ (x) = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ , τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ .

μονάδες 11

Β . 1 . Να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Μέσης Τιμής 2 . Να ορίσετε πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της .

μονάδες 6

Γ . Να χαρακτηρίσετε ως σωστό ή λάθος τις παρακάτω προτάσεις :

α . Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [α , β] και γνησίως αύξουσα , τότε υπάρχει xο τέτοιο , ώστε f ΄ (xo) > 0 .

μονάδες 2 β . Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο (ολικό) ελάχιστο , το , όταν για κάθε

μονάδες 2 γ . Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο xo , τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσισμη στο xo .

μονάδες 2 δ . Αν η f είναι παραγωγίσισμη στο R και ισχύει το θεώρημα Rolle στο [α , β] , τότε η γραφική της παράσταση έχει σε ένα τουλάχιστον σημείο της οριζόντια εφαπτομένη .

μονάδες 2

ΘΕΜΑ 2

Α . Έστω η συνάρτηση η οποία μηδενίζεται στο x1 =1 και παρουσιάζει

ακρότατο στο x2 = 2 . α. Να βρείτε τα α , β

μονάδες 8 β. Να βρείτε το είδος του ακρότατου

μονάδες 5

Β . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της οι

οποίες είναι προς την ευθεία 3y –2χ =0 μονάδες 12

ΘΕΜΑ 3

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει το πολύ μια ρίζα στο διάστημα (-1 , 1)μονάδες 10

β) Δίνεται συνάρτηση i) Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης

μονάδες 10 ii) Nα αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο

μονάδες 5

ΘΕΜΑ 4

α . Έστω η συνάρτηση . Να βρείτε την τιμή του α >0 , ώστε για κάθε .

μονάδες 8

β . Έστω μια συνεχής συνάρτηση f : [α , β] με f ΄(x) για κάθε και . Να δείξετε ότι i) υπάρχει τέτοιο ώστε

μονάδες 8 ii) υπάρχουν ξ1 , ξ2 τέτοια , ώστε

μονάδες 9

ΚΑΘΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!!




ΘΕΜΑ 1Ο

Α . α) Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο xο του πεδίουορισμού της ;β) Να αποδείξετε ότι : ΄ = γ) Να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Rolle

Β . Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με την ένδειξη Σ (σωστό) ή Λ (λάθος)

α) Αν η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο xο τότε δεν υπάρχει εφαπτομένη της καμπύλης y = f(x) στο σημείο xο . β) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [α , β] με f(α) = f(β) , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ(α , β) τέτοιο ώστε f ΄(ξ) = 0.

γ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και δεν είναι 1-1 τότε η γραφική παράσταση της f ΄(x) τέμνει τον xx ΄ τουλάχιστον σε ένα σημείο. δ) Αν η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο xo (α , β) , τότε η f δεν παρουσιάζει ακρότατο στο xο.

ΘΕΜΑ 2Ο

Έστω η συνάρτηση Να δείξετε ότι:

α. Υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε

β. Η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο .

γ. Αν τότε υπάρχει τέτοιο ώστε

ΘΕΜΑ 3Ο

Έστω η συνάρτηση

i. Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο διάστημα ii. Να βρεθεί η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο .iii. Να αποδείξετε ότι για κάθε .

ΘΕΜΑ 4Ο

α. Να δείξετε ότι

β. Έστω η συνάρτηση η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύει για κάθε

i. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.ii. Αν η τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο να δείξετε ότι το Μ είναι σημείο

καμπής της .

Καλή Επιτυχία!!!



ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2011

ΘΕΜΑ 1Ο

1.Τη σχέση την επαληθεύουν μόνο οι μιγαδικοί

ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

2. Αν τότε ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

3. Αν ισχύει τότε η εικόνα του ανήκει στην ευθεία


4. Αν η εικόνα του ανήκει στον κύκλο τότε η ελάχιστη τιμή του είναι 0.


5. Η εξίσωση παριστάνει κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.


ΘΕΜΑ 2Ο

Έστω οι μιγαδικοί z και w

α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z, για τον οποίο ισχύει

β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του w, για τον οποίο ισχύει

γ. Να δείξετε ότι .

ΘΕΜΑ 3Ο

Έστω οι μιγαδικοί

α. Αν να δείξετε ότι

β. Αν να βρείτε:

i. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των zii. τη μέγιστη τιμή του και την ελάχιστη τιμή του

ΘΕΜΑ 4Ο

Α. Αν ο z είναι μιγαδικός αριθμός και ισχύει η σχέση

(z+2)ν=zν ,νεΝ* να αποδείξετε ότι Re(z)=-1

Β) i) Αν w1=(x+yi)v +(xi-y)v και w2=(x+yi)v(1+iv) x,y να δειχθεί ότι w1= w2

ii)Nα υπολογίσετε το ώστε (x+yi)v +(xi-y)v - (x+yi)v(2+iv) =8 αν οι

εικόνες Μ(z) των μιγαδικών z=x+yi βρίσκονται στον κύκλο (Ο, ).

Γ. Δίνεται η συνάρτηση

i) Να βρείτε το σύνολο των σημείων Μ(z), όταν ii) Αν να βρείτε το iii) Να δείξετε ότι αν τα σημεία Μ(z) ανήκουν στον κύκλο C με κέντρο Κ(i) και

ακτίνα ρ, τα σημεία Ν (f (z)) ανήκουν σε κύκλο C΄ με το ίδιο κέντρο και ακτίνα που πρέπει να βρείτε. Πότε οι κύκλοι αυτοί συμπίπτουν;




ΘΕΜΑ 1ο

Α . Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ . Αν : α) η f είναι σταθερή στο Δ και β) f ΄(x) = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ ,να δείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Β . Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα Δ και σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

Γ)Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ).

1) Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f ΄(x) 0 για κάθε xR* , τότε η f είναι σταθερή στο R* .

2) Αν η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο xo (α , β) , τότε η f δεν παρουσιάζει ακρότατο στο xο.

3) Αν για μια συνάρτηση ισχύει όπου για κάθε τότε το κ είναι η μέγιστη τιμή της f.

ΘΕΜΑ 2Ο

Να αποδείξετε ότι:

α) για κάθε

β) Δίνεται η συνάρτηση i) Να βρείτε το σύνολο τιμών

ii)Να λύσετε την εξίσωση

ΘΕΜΑ 3Ο

Δίνεται η συνάρτηση:

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς δυο ρίζες στο πεδίο ορισμού της.



ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2010

ΘΕΜΑ 1Ο

Α.

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα[α, β]. Αν

• η f είναι συνεχής στο [α, β] και

• f(α) ≠ f(β) δείξτε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον τέτοιος, ώστε f( ) = η .

Β . i) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη στο xο ;

ii) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ΄ ένα σημείο , τότε δείξτε ότι είναι συνεχής στο σημείο αυτό.

Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. Nα δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

i) Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] με f(α) < 0 και υπάρχει ξ (α, β) ώστε f(ξ)=0, τότε κατ’ ανάγκη f(β) > 0.

ii) H εφαπτομένη της y=lnx στο xo=e, διέρχεται από την αρχή των αξόνων

ΘΕΜΑ 2 ο

A Δίνονται μιγαδικοί αριθμοί z και w για τους οποίους ισχύει και

Να βρείτε:

α) τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του zβ) τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του wγ) την ελάχιστη τιμή του

Β. Θεωρούμε τον μιγαδικό αριθμό με και

i. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος με εξίσωση

ii. Αν είναι να αποδείξετε ότι ή iii. Αν είναι ένας μιγαδικός που η εικόνα του είναι πάνω στον κύκλο του ερωτήματος να

βρείτε τη μέγιστη τιμή του μέτρου του μιγαδικού

ΘΕΜΑ 3 ο

Α) η συνάρτηση f(x)=x2+ax+b. Η εφαπτομένη της Cf στο σημειό της Α(-3,f(-3)) εχει εξίσωση y=-4x-8.Nα βρείτε i) τα a και bii) τις εφαπτομενες της Cf που διέρχονται από το σημείο Γ(-1,-1)

Β) Δινεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f(x) .Η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α(1,f(1)) εχει εξίσωση y=x+2.Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)= x2 f(x)+ f(x3).Nα βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Α(1,g(1))

ΘΕΜΑ 4 Ο

Η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και για κάθε ισχύει

i. α) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της στο σημείο της είναι παράλληλη στον .

β) Να βρείτε την

γ) Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας ε της στο σημείο με τετμημένη =3.ii. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο της Α(1,1) έχει

συντελεστή διεύθυνσης ίσο με .

iii. Αν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση g για κάθε ισχύει ότι να

αποδείξετε ότι η ευθεία ε είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της .



ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2010

ΘΕΜΑ 1Ο

AA. . Έστω Έστω ff μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα [α, β]. Αν μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα [α, β]. Αν GG είναι μια παράγουσα της είναι μια παράγουσα της

ff στο [α, β], τότε να δείξετε ότι στο [α, β], τότε να δείξετε ότι

Β. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό Σωστό ή ή ΛάθοςΛάθος

δίπλα στο γράμμαδίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. Για κάθε συνάρτηση α. Για κάθε συνάρτηση ff, παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, ισχύει , παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, ισχύει , , cc IRIR . .

β. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο , τότε

γ. Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε ισχύει

, για κάθε x Δ.

δ. Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα ∆ και α είναι ένα σημείο του ∆, τότε

ΘΕΜΑ 2Ο

Δίνεται συνάρτηση με συνεχή δεύτερη παράγωγο, για την οποία ισχύει:

και .

A) Να βρείτε: την τιμή f ΄ (0),

B) Αν για μια συνάρτηση f είναι συνεχής για κάθε να αποδείξετε ότι

ΘΕΜΑ 3Ο

Α) Δίνεται η συνάρτηση:

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή.

β) Να υπολογίστε το ολοκλήρωμα:

Β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση:

Γ) Δίνεται η συνάρτηση : .

Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα.

ΘΕΜΑ 4Ο

Έστω μία συνάρτηση η οποία είναι συνεχής και ισχύει:

α) Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο

β) Να δείξετε

γ) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

Β) Να υπολογίσετε το όριο:



ΘΕΜΑ 1Ο

Έστω η συνάρτηση

i. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

ii. Να βρείτε το σύνολο των τιμών της f.

iii. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της f.

ΘΕΜΑ 2Ο

Δίνεται η συνάρτηση

α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία, την κυρτότητα και να βρείτε τα ακρότατα αυτής.

β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

γ. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης για

ΘΕΜΑ 3Ο

Α. Έστω η συνάρτηση Να λύσετε την εξίσωση και να βρείτε το πρόσημο της f.

B. Δίνεται η συνάρτηση

i) Να μελετήσετε τη g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.ii) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η g είναι κυρτή ή κοίλη και τα σημεία καμπής της Cg.



ΘΕΜΑ 1Ο

A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα ∆. Αν

η f είναι συνεχής στο ∆ και

f ΄(x) = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του ∆, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε

όλο το διάστημα ∆.

Β.Β. Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού;Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού;

Γ.Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την λέξη Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την λέξη ΣωστόΣωστό ή ή

ΛάθοςΛάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο Δ και f

΄(x) = g΄(x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε ισχύει f(x) = g(x) για κάθε x∈Δ.

β. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ’ αυτό, τότε αυτή ή

είναι θετική για κάθε x Δ ή είναι αρνητική για κάθε x Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο

διάστημα Δ.

γ. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει

κλειστό διάστημα [α, β] , στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle.

δ. Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι

διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

ΘΕΜΑ 2Ο

Α. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει Να αποδείξετε ότι:

α) υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο, ώστε:

β) υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο, ώστε:

Β. Αν να αποδείξετε ότι:

ΘΕΜΑ 3Ο

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση με Να αποδείξετε ότι:

α) υπάρχουν με ώστε

β) ισχύει ότι

γ) η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον λύση στο (0,3).

ΘΕΜΑ 4Ο

Δίνεται συνάρτηση με συνεχή πρώτη παράγωγο και ο μιγαδικός αριθμός :

για τον οποίο ο αριθμός είναι πραγματικός. Να αποδείξετε ότι:

α)

β) υπάρχουν

γ) υπάρχει

δ) υπάρχουν



ΘΕΜΑ 1Ο

Α.1 Έστω η συνάρτηση Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο IR και ισχύει

Α.2 Έστω η συνάρτηση f με Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και

ισχύει:

Α.3 Πότε μια συνάρτηση λέγεται

Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

α. Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο [α, β] και συνεχής στο (α ,β], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [α, β] μία μέγιστη τιμή.

β. Αν z ένας μιγαδικός αριθμός και ο συζυγής του, τότε ισχύει

ΘΕΜΑ 2Ο

Δίνονται μιγαδικοί αριθμοί z και w για τους οποίους ισχύει και

Να βρείτε:

α) τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του zβ) τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του wγ) την ελάχιστη τιμή του

ΘΕΜΑ 3Ο

A) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και να βρεθεί η τιμή της f στο

.

B) Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει: για κάθε .

Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α(1,1) να βρείτε:

α) το σημείο τομής της Cf με τον άξονα y΄y

β) την f ΄(0)

γ) το

ΘΕΜΑ 4Ο

A) Δίνεται συνάρτηση Να αποδείξετε ότι υπάρχει:

α) ένα τουλάχιστον σημείο Α της Cf με τετμημένη έτσι ώστε η εφαπτομένη της Cf στο Α να είναι παράλληλη στην ευθεία

β) ένα τουλάχιστον σημείο Β της Cf με τετμημένη (1,2) ώστε η εφαπτομένη της Cf στο Β να τέμνει τον άξονα y΄y στο -16.

B) Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση η οποία για κάθε ικανοποιεί τη σχέση

α) Να αποδειχθεί ότι β) Να βρεθεί ο τύπος της f.γ) Να αποδειχθεί ότι η Cf εφάπτεται της Cg, όπου :



ΘΕΜΑ 1Ο

Α.

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα[α, β]. Αν

• η f είναι συνεχής στο [α, β] και

• f(α) ≠ f(β)

δείξτε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον τέτοιος, ώστε f( ) = η .

Β . i) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη στο xο ;

ii) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ΄ ένα σημείο , τότε δείξτε ότι είναι συνεχής στο σημείο αυτό.

Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. Nα δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

ii) Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] με f(α) < 0 και υπάρχει ξ (α, β) ώστε f(ξ) = 0, τότε κατ’ ανάγκη

iii) f(β) > 0.

ii) H εφαπτομένη της y=lnx στο xo=e, διέρχεται από την αρχή των αξόνων

ΘΕΜΑ 2Ο

α) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και για κάθε να βρεθεί η

τιμή

β) Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα με για κάθε Αν

και να αποδειχθεί ότι: υπάρχει τέτοιο, ώστε

ΘΕΜΑ 3Ο

α) Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει: για κάθε Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων, τότε:

i) να βρείτε την τιμή του ii) να βρείτε την

β) Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει: για κάθε . Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση

εφάπτεται στη και να βρείτε το σημείο επαφής.

ΘΕΜΑ 4Ο

Δίνεται συνεχής συνάρτηση και οι μιγαδικοί αριθμοί: και

για τους οποίους ισχύει

α) Να αποδείξετε ότι

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα γ)Δίνεται η συνάρτηση:

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g.ii) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της g τέμνει τον άξονα x΄x σε ένα τουλάχιστον

σημείο.



ΘΕΜΑ 1Ο

Α. α) Τι ονομάζουμε συζυγή και τι μέτρο του μιγαδικού αριθμού ;

β) Αν να αποδείξετε ότι

Β. Τι παριστάνουν οι εξισώσεις όπου είναι σταθεροί μιγαδικοί αριθμοί και

Γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ).

α) Αν =α, τότε

β) Αν

ΘΕΜΑ 2Ο

Δίνεται ο μιγαδικός:

α) Να βρείτε τα όταν και να υπολογίσετε τον

β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της εικόνας Μ του z, αν:

i)

ii)

γ) Να αποδείξετε ότι

ΘΕΜΑ 3Ο

A) Δίνεται η συνάρτηση f: για την οποία ισχύει:

για κάθε

α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι

β) να βρεθεί ο τύπος της

B)Δίνεται η συνάρτηση


β) Να οριστεί η

ΘΕΜΑ 4Ο

Α) Αν z μιγαδικός αριθμός με z=α+βi να αποδείξετε ότι ισχύουν:

και

Β)

Αν για τους μιγαδικούς ισχύει:

να αποδείξετε ότι:α. Κανένας από τους δεν είναι πραγματικός.

β.



ΘΕΜΑ 1Ο

Α. α) Τι ονομάζουμε συζυγή και τι μέτρο του μιγαδικού αριθμού ;

β) Αν να αποδείξετε ότι

Β. α) Τι παριστάνουν οι εξισώσεις όπου είναι σταθεροί μιγαδικοί αριθμοί και

β) Να συμπληρώσετε τις προτάσεις:

i) ii) όπου I συμβολίζει το σύνολο των φανταστικών αριθμών.

Γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ).

α) Αν =α, τότε

β) Αν

γ) Ο αριθμός παριστάνει την απόσταση των εικόνων των μιγαδικών z και w.

δ) Για κάθε ισχύει ότι

ΘΕΜΑ 2Ο

Δίνεται ο μιγαδικός:

α) Να βρείτε τα όταν και να υπολογίσετε τον

β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της εικόνας Μ του z, αν:i)

ii)

γ) Να αποδείξετε ότι

ΘΕΜΑ 3Ο



β) Να οριστεί η

ΘΕΜΑ 4Ο

Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς και

α) Αποδείξτε ότι:

i) ii)

iii)

β) Να γράψετε στη μορφή τους και



ΘΕΜΑ 1 Ο

Α. α) Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα στο Α;

β) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα Δ και σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

ΘΕΜΑ 2 Ο

Δίνεται η συνάρτηση i. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία.

ii. Να μελετήσετε την ως προς τα κοίλα.iii. Να βρείτε τα και iv. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.v. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης

ΘΕΜΑ 3 Ο


i. Να βρείτε την f΄.ii. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία.

iii. Να βρείτε το πλήθος των οριζόντιων εφαπτομένων της .iv. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της .

ΘΕΜΑ 4 Ο

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο για κάθε

i) Να βρείτε τα όρια και

ii) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.iii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες.



ΘΕΜΑ 1Ο

A. α) Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat.B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη Σωστό ή Λάθος.

α) Αν για μια συνάρτηση ισχύει όπου για κάθε τότε το κ είναι η μέγιστη τιμή της f.

β) Αν για δύο συναρτήσεις f, g συνεχείς στο διάστημα Δ ισχύει για κάθε εσωτερικό

σημείο του Δ, τότε για κάθε

ΘΕΜΑ 2Ο

Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα το σύνολο τιμών και τις ασύμπτωτες:

.

ΘΕΜΑ 3Ο


i) Nα τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.ii) Να βρείτε το πρόσημό της.iii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα

iv) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει

ΘΕΜΑ 4Ο

Για μια συνάρτηση που είναι παραγωγίσιμη στο ισχύει για κάθε , όπου α,β,γ με Να

αποδείξετε ότι:i) η f δεν έχει ακρότατα,ii) η f είναι γνησίως αύξουσα,

iii) υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης στο διάστημα

ΠΡΟΑΙΡΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

1) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα το σύνολο τιμών και τις ασύμπτωτες.

2) Έστω η συνάρτηση Αν η ευθεία εφάπτεται στη γραφική παράσταση της στο σημείο Μ (0,f(0) τότε:

α) Να αποδείξετε ότι:α=2β) Να μελετήσετε τη μονοτονία της f.γ) Να υπολογίσετε τα όρια:

i.

ii.

δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση στο R.

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ … · Web viewΘΕΜΑ 1Ο Α . Έστω...

Documents

Transcript of ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ … · Web viewΘΕΜΑ 1Ο Α . Έστω...