1

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ — ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ — ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

2019 — 2020

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

2Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

Στοιχεία επικοινωνίας

Mail: cev16ua@gmail.com για όλες τις ερωτήσεις και εργασίες

Κώστας Βελλίδης: ΙΕΣΕ, β’ όροφος, τηλ. 210 727 6895

Τομέας Πυρηνικής & Σωματιδιακής Φυσικής,

β’ όροφος, γραφείο νβ3, τηλ. 210 727 6946

mailto:cev16ua@gmail.com

3

ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

4

Πολυωνυμική παρεμβολή Lagrange

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

Δίνονται οι τιμές μιας συνάρτησης στα διαφορετικά μεταξύ τους σημεία . Ζητάμε να βρούμε ένα πολυώνυμο , το πολύ βαθμού , το οποίο να παίρνει τις ίδιες τιμές με τη συνάρτηση στα σημεία παρεμβολής : . Υπό προϋποθέσεις για την ομαλότητα της στο διάστημα , το πολυώνυμο παρεμβολής προσεγγίζει τη συνάρτηση σε όλο αυτό το διάστημα.

fi = f(xi), i = 0(1)n f(x) xi pn(x) n

f(x) xi pn(xi) = fi f(x) [x0, xn]

pn(x)

Οι συνθήκες για το πολυώνυμο οδηγούν σε ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων με αγνώστους . Η λύση του, ακόμη και για μικρό , είναι πολύ ασταθής λόγω των μεγάλων σφαλμάτων στρογγύλευσης που αναπτύσσονται. Το προσδιορίζεται πολύ πιο εύκολα από την έκφραση:

pn(xi) = fi pn(x) = anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0 n + 1 n + 1 ai

n pn(x)

pn(x) = n

∑ i=0

fiLi(x) όπου Li(xj) = δij i, j = 0(1)n

αν και αν είναι το σύμβολο του Kronecker. Το πολυώνυμο που δίνεται από αυτήν την έκφραση λέγεται πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange. Τα πολυώνυμα λέγονται συντελεστές παρεμβολής Lagrange και έχουν τη μορφή:

δij = 1 i = j 0 i ≠ j pn(x)

Li(x)

Li(x) = (x − x0)…(x − xi−1)(x − xi+1)…(x − xn)

(xi − x0)…(xi − xi−1)(xi − xi+1)…(xi − xn)

5

Πεπερασμένες διαφορές

Προς τα εμπρός: Δfm = f(xm+1) − f(xm) = fm+1 − fm

Δkfm = Δ(Δk−1fm) = Δk−1fm+1 − Δk−1fm

Προς τα πίσω: ∇fm = f(xm) − f(xm−1) = fm − fm−1

∇kfm = ∇(∇k−1fm) = ∇k−1fm − ∇k−1fm−1

Δkfm = ∇kfm+k

Δnf (x) = f (x + nh) + (−1)1(n1) f (x + (n − 1)h) + … + (−1)n(nn) f (x) (nk) = n!

k!(n − k)!

Πηλίκα διαφορών: f(x0x1) = f0 − f1 x0 − x1

f(x0x1…xk−1xk) = f(x0x1…xk−1) − f(x1…xk−1xk)

x0 − xk =

k

∑ i=0

fi ∏kj=0, j≠i (xi − xj)

f(x0x1…xm) = Δmf0 m!hm

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

6

Πολυωνυμική παρεμβολή Newton

Πολυώνυμο παρεμβολής Newton: pn(x) = f0 + f(x0x1)(x − x0) + … + f(x0x1…xn)(x − x0)…(x − xn−1)

Για ισαπέχοντα σημεία :xi = x0 + ih, i = 0(1)n pn(x) = f0 + (θ1) Δf0 + … + (θn) Δnf0

θ = x − x0

h

Με διαφορές προς τα πίσω: pn(x) = f0 − (θ1)∇f0 + (θ2)∇2f0 − … + (−1)n(θn)∇nf0

Διόρθωση στην παρεμβολή: Rn+1 = f(x) − pn(x) = f (n+1)(ξ) (n + 1)!

n

∏ i=0

(x − xi)

ξ ∈ I = [min{x, x0, x1, …, xn}, max{x, x0, x1, …, xn}]

f(x) ∈ Cn+1(I ) δηλ. έχει συνεχείς τις πρώτες παραγώγους της στο διάστημα .

n + 1 I

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

7

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

8

Παραγώγιση Newton-Gregory

Προσεγγίζοντας τη συνάρτηση με κάποιο πολυώνυμο παρεμβολής: f (k)(x) ≈ p(k)(x)

Π.χ., επιλέγοντας ένα πολυώνυμο Newton , η πρώτη παράγωγος προσεγγίζεται από την παράγωγο του πολυωνύμου:

pn(x) = f0 + (θ1) Δf0 + … + (θn) Δnf0

f′�(x) ≈ 1 h [Δf0 + (θ − 12 ) Δ2f0 + … + ddθ (θn) Δnf0]

f′�(x0) ≈ 1 h [Δf0 − 12 Δ2f0 + … + ddθ (θn) |θ=0 Δnf0]

Η τάξη παραγώγισης πρέπει να μην υπερβαίνει το βαθμό παρεμβολής, π.χ.:

n = 1 ⇒ f′�(x0) ≈ 1 h

Δf0 = f1 − f0

h

n = 2 ⇒ f′�(x0) ≈ 1 h (Δf0 − 12 Δ2f0) = − f2 − 4f1 + 3f02h

f′�′�(x0) ≈ d2p2(x)

dx2 |x=x0 =

1 h2

d2p2(x) dθ2

|θ=0 = 1 h2

Δ2f0 = f2 − 2f1 + f0

2h2

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

9

Η μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών

• Αντί να χρησιμοποιήσουμε έτοιμο τύπο παρεμβολής, φτιάχνουμε έναν τύπο παραγώγισης εξειδικευμένο στο πρόβλημα, προσεγγίζοντας την παράγωγο με γραμμικό συνδυασμό γνωστών τιμών της συνάρτησης σε κάποια σημεία. Προσδιορίζουμε τους συντελεστές του συνδυασμού απαιτώντας μέγιστη ακρίβεια της προσέγγισης για μια σειρά στοιχειωδών συναρτήσεων που αντικαθιστούμε στη θέση της συνάρτησης.

• Η πρακτικότερη επιλογή στοιχειωδών συναρτήσεων είναι τα μονώνυμα .1, x, x2, …

• Αν χρησιμοποιήσουμε ένα συνδυασμό με παραμέτρους, τότε χρειαζόμαστε όλα τα μονώνυμα με . Επειδή ο τελεστής παραγώγισης είναι γραμμικός, ο τελικός τύπος παραγώγισης θα είναι ακριβής για πολυώνυμα βαθμού μέχρι και .

n xk | k = 0(1)m m ≥ n − 1

i ≥ m

• Οι ανισότητες (αντί για αυστηρά ισότητες) στους βαθμούς και προκύπτουν γιατί ανάμεσα στις εξισώσεις που δημιουργούνται αντικαθιστώντας τη συνάρτηση με μονώνυμα είναι πιθανό να υπάρχουν και ταυτότητες, οπότε αυξάνεται ο βαθμός των μονωνύμων που απαιτούνται για τον προσδιορισμό όλων των συντελεστών και ο βαθμός των πολυωνύμων για τα οποία ο τελικός τύπος είναι ακριβής.

m i

Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

10

Η μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών: Παράγωγος σε δοσμένο σημείο της συνάρτησης

Αναζητούμε τους συντελεστές και έτσι ώστε ο τύπος , με και την προϋπόθεση , να έχει τη μέγιστη δυνατή ακρίβεια.

α β f′�(x) ≈ αf(x) + βf(x − h) h > 0 f(x) ∈ C2 ([x − h, x])

Θέτουμε και , οπότε ο ζητούμενος τύπος απαιτεί .A = f′�(x) B = αf(x) + βf(x − h) A = B

f(x) = 1 ⇒ A = 0, B = α + β ⇒ α + β = 0

f(x) = x ⇒ A = 1, B = (α + β)x − βh = − βh ⇒ − βh = 1 } ⇒ α = 1h , β = − 1h ⇒ f′�(x) ≈

f(x) − f(x − h) h

f(x) = x2 ⇒ A = 2x, B = 2x − h ⇒ A ≠ B Παραγώγιση ακρίβειας πρώτου βαθμού.

Σφάλμα αποκοπής: E = f(x) − f(x − h)

h − f′�(x)

Taylor: f(x − h) = f(x) − hf′�(x) + h 2

2! f′�′�(ξ), ξ ∈ (x − h, x)

} ⇒ E = − h2 f′�′�(ξ) Υπολογιστική Φυσική, ΕΚΠΑ 2019-20 Κώστας Βελλίδης

11

Η μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών: Παράγωγος στο μέσο δύο δοσμένων σημείων της συνάρτησης