ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ

ΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ

Η ιστορία του…Το Θ.Μ.Τ στη σύγχρονη μορφή διατυπώθηκε από τους Γάλλους μαθηματικούς Caushy και Lagrange. Είναι ένα από τα πιο σημαντικά θεωρήματα στη μαθηματική ανάλυση αφού με τη βοήθειά του αποδεικνύονται πολλά άλλα θεωρήματα. Tο Θ.Μ.Τ είναι επακόλουθο του θεωρήματος Rolle με τη βοήθεια του οποίου και αποδεικνύεται.

Θεώρημα Μέσης Τιμής Αν η συνάρτηση f είναι• συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] και •παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β), τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον αριθμός ξ ε(α,β) τέτοιος ώστε :

f ( ) f ( )f ( )

Γεωμετρική ερμηνεία… ανοίξτε το αρχείο: ΘΜΤ.ggb

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2• Ανοίξτε το αρχείο. ΘΜΤ1.ggb

• Φαίνεται η γραφική παράσταση της f(χ) = aχ4 +bχ3+cχ2+dχ+e•Τις τιμές των παραμέτρων a, b, c, d, e μπορείτε να τις μεταβάλετε από τους δείκτες πάνω αριστερά έτσι μπορείτε να δοκιμάσετε πολλές διαφορετικές συναρτήσεις.

• Μετακινήσετε την τιμή του ξ ώστε η εφαπτόμενη ευθεία της Cf να γίνει παράλληλη με το τμήμα ΑΒ.

•Πόσες τέτοιες τιμές του ξ έχετε βρει ?

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ:Το θεώρημα δεν εφαρμόζεται αν κάποια από τις δυο προϋποθέσεις του δεν ισχύει.

Συμπληρώστε το φύλλο εργασίας με τις δυο περιπτώσεις

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

ΑΝΟΙΞΤΕ: ΕΦΑΡΜΟΓΗ.ggb

•Πως αλλιώς το χρησιμοποιούμε;

1.Για την απόδειξη ανισοτικών σχέσεων (ΑΣΚΗΣΗ 1) 2.Για να βρίσκουμε ρίζες εξίσωσης σε διάστημα (ΑΣΚΗΣΗ 2)

ΑΣΚΗΣΗ 1 Αν μία συνάρτηση f είναι δύο φορές

παραγωγίσιμη στους πραγματικούς αριθμούς και Α(α,f(α)), Β(β,f(β)), Γ(γ,f(γ)) συνευθειακά

σημεία με α<β<γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ στο (α,γ), ώστε

f''(ξ) = 0.

Υπόδειξη λύσης… Από 2 ΘΜΤ βρίσκουμε

f΄(χ1) = f΄(χ2) και με Rolle για την ψ =f΄΄(χ) στο [χ1,χ2] αποδεικνύεται ότι

f΄΄(ξ)=0 ΛΥΣΗ

Ανοίξτε το αρχείο ΑΣΚΗΣΗ 1.ggb

ΑΣΚΗΣΗ 2 Αν μία συνάρτηση f είναι δύο φορές

παραγωγίσιμη στους πραγματικούς αριθμούς και Α(α,f(α)), Β(β,f(β)), Γ(γ,f(γ)) συνευθειακά

σημεία με α<β<γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ στο (α,γ), ώστε

f''(ξ) = 0.

ΑΣΚΗΣΗ 2…

Να αποδείξετε ότι:

1/x < ln(x) – ln(x-1) < 1/(x-1) για κάθε χ>1

ΛΥΣΗ:

ανοίξτε διαδοχικά τα αρχεία: ΑΣΚΗΣΗ 2α.ggb και ΑΣΚΗΣΗ 2β.ggb

ΤΕΛΟΣ

15