ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 2. β) - askisopolis.gr3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ...

3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο

ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ – ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

1.1. Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας

1. Το σχήμα Α έχει μεγαλύτερο εμβαδό γιατί αποτελείται από περισσότερα στοιχειώδη τετραγωνά-κια () απ’ ότι το Β.

2. Και τα τρία σχήματα έχουν εμβαδόν ίσο με 39.

3. α)

β)

1.2. Μονάδες μέτρησης επιφανειών

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

1) 1. 6 2 6 2 100 100 620002 2 2, ,m cm cm= ⋅ ⋅ =2. 6 2 6 2 100 0 0622 2 2, , : ,mm cm cm= =

3. 6 2 6 2 10000 0 000622 2 2, , : ,cm m m= =

4. 6 2 6 2 100 6202 2 2, ,cm mm mm= ⋅ =

5. 6 2 6 2 100 6202 2 2, ,m dm dm= ⋅ =

6. 6 2 6 2 1000000 0 00000622 2 2, , : ,mm m cm= =

2) 1Α, 2Β, 3Γ, 4Β, 5Γ, 6Α, 7Β, 8Α, 9Β, 10Γ

Σωστή Απάντηση1. Γ3. Δ5. Β

2. Δ4. Α6. Α

geometria_teliko.indd 3 31/3/2008 10:29:44 πµ

4

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. 32 32 10000 0 00322 2 2cm m m= =: ,312 312 10000 0 03122 2 2cm m m= =: ,127 127 1000000 127 000 0002 2 2Km m m= ⋅ = . .710 710 100 7 12 2 2dm m m= =: ,12720 12720 1000000 0 012722 2 2mm m m= =: ,212 212 100 2 122 2 2dm m m= =: ,1280 1280 1000000 0 001282 2 2mm m m= =: ,79 79 1000000 79 000 0002 2 2Km m m= ⋅ = . .

2. 12 12 10000 120 0002 2 2m cm cm= ⋅ = .175 175 100 17 5002 2 2dm cm cm= ⋅ = .456 456 10000 4 560 0002 2 2m cm cm= ⋅ = . .136 136 10000 1 360 0002 2 2m cm cm= ⋅ = . .3 3 10000000000 30 000 000 0002 2 2Km cm cm= ⋅ = . . .1750 1750 100 17 52 2 2mm cm cm= =: ,256 256 10000000000 2 560 000 000 0002 2 2Km cm cm= ⋅ = . . . .

3. 12 12 1000000000000 12 000 000 000 0002 2 2Km mm mm= ⋅ = . . . .431 431 1000000 431 000 0002 2 2m mm mm= ⋅ = . .17 17 10000 170 0002 2 2dm mm mm= ⋅ = .236 236 100 23 6002 2 2cm mm mm= ⋅ = .

4. 7233 7233 1000000000000 0 0000000072332 2 2mm Km Km= =: ,4321 4321 10000000000 0 00000043212 2 2cm Km Km= =: ,6322 6322 100000000 0 000063222 2 2dm Km Km= =: ,14632 14632 1000000000000 0 0000000146322 2 2mm Km Km= =: ,560 560 1000000 0 0005602 2 2m Km Km= =: ,

5. α) 13850 13850 1000000 0 013852 2 2mm m m= =: ,670 670 10000 0 0672 2 2cm m m= =: ,13 7 13 7 100 0 1372 2 2, , : ,dm m m= =13850 670 13 7 0 23 0 482 2 2 2 2mm cm dm m m< < <

5

1.3. Εμβαδά επίπεδων σχημάτων


1. 1Γ, 2Γ, 3Β, 4Α, 5Γ, 6Β, 7Α, 8Β2. 1Γ, 2Γ, 3Α, 4Α, 5Α, 6Γ, 7Β, 8Α, 9Γ, 10Α, 11Γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Έστω x cm η πλευρά του τετραγώνου. Τότε η περίμετρός του είναι 4x cm και το εμβαδόν του x2 cm2.Είναι 4x=60 ή x=60:4=15. Άρα E=x2cm2=152cm2=225cm2

2. Το ένα φύλλο του τετραδίου έχει επιφάνεια: Εφύλλου=21·30cm2=630cm2

Άρα το εικοσάφυλλο τετράδιο έχει επιφάνεια: Ε=20·630cm2=12600cm2

3. Με μονάδα μέτρησης το 1, το καθένα από τα δύο σχήματα έχει εμβαδόν 48.

4. α) Το τετράγωνο ΑΒΓΔ έχει εμβαδόν: (ΑΒΓΔ)=α2.

Το τρίγωνο ΑΕΔ έχει εμβαδόν: ( )ΑΕ∆ = ⋅ ⋅ =12

2 2α α α

Άρα (ΑΒΓΔ)=(ΑΕΔ)

β) Είναι ( ) ( )ΒΓΕ ΑΕ∆= ⋅ ⋅ = ⋅ =12

12

12

2α α α

5. Το πρώτο σχήμα αποτελείται από ένα τετράγωνο εμβαδού x2 και από ένα ορθογώνιο εμβαδού 3x. Άρα E1=x

2+3x.Tο δεύτερο σχήμα αποτελείται από ένα τετράγωνο εμβαδού x2 και από ένα τρίγωνο εμβαδού:

62

3⋅ =x x . Άρα Ε2=x

2+3x=E1

6. Το εμβαδόν του τραπεζίου είναι: E cm cmτραπ =+ ⋅ =( )12 20 4

2642 2

Άρα το εμβαδόν του τετραγώνου είναι 64cm2.

7. Ο ορθογώνιος κήπος έχει εμβαδόν: Εκ=25·40m2=1000m2.

Το κάθετο δρομάκι πλάτους 0,6m έχει εμβαδόν E1=40·0,6m

2=24m2. Το κάθετο δρομάκι πλάτους 0,8m έχει εμβαδόν E2=0,8·25m

2=20m2.


6

Αν αφαιρέσουμε από την επιφάνεια του κήπου τις επιφάνειες των δύο δρόμων, τότε αφαιρούμε δύο φορές το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ. Οπότε το εμβαδόν της επιφάνειας που θα φυτευ-τεί είναι: E E E E AB m m m m

m mK= − − + = − − + ⋅ =

= +1 2

2 2 2 2

2 2

1000 24 20 0 8 0 6

956 0 48

( ) , ,

,

Γ∆

== 956 48 2, mΤο συνολικό κόστος κατασκευής του γκαζόν είναι: 12·956,48=11.477,76€.

8. Έστω x, y οι διαστάσεις των δύο ορθο-γωνίων. Το τρίγωνο ΖΒΓ έχει εμβαδόν:

(ΖΒΓ)=x y⋅2

, ενώ το ορθογώνιο ΑΒΓΔ

έχει εμβαδόν: (ΑΒΓΔ)=x·y.

Άρα (ΖΒΓ)=12

(ΑΒΓΔ), οπότε και τα δύο πράσινα τρίγωνα του ορθογωνίου ΑΒΓΔ έχουν εμβαδόν

ίσο με 12

(ΑΒΓΔ).

Για το τρίγωνο ΡΚΛ έχουμε: (ΡΚΛ)=x y⋅ =2

12

(ΚΛΜΝ).

Άρα και τα πράσινα τρίγωνα στο ορθογώνιο ΚΛΜΝ έχουν εμβαδόν ίσο με 12

(ΑΒΓΔ).

9. α) Το καθένα από τα δύο τριγωνικά οικόπεδα έχει ύψος 18m και βάση 30–x m.

Άρα: ( ) ( )( )

( ) ( )( )ΑΒΕ ΖΓ∆= = ⋅ − = − = −18 302

9 30 270 9 2x

x x m

β) Το αρχικό οικόπεδο έχει εμβαδόν: 30·18=540m2. Άρα το εμβαδόν του δρόμου είναι:E x x x mδ = − − = − + =540 2 270 9 540 540 18 18

2( ) ( )

Πρέπει Ε ΑΒΕ ΖΓ∆δ = +( )14

( ) ( ) ή

1814

2 270 9

1812

270 9

36 270 9

45 270

x x

x x

x x

x

= ⋅ ⋅ −

= −

= −=

( )

( )

άρα x cm= =27045

6


7

10. α) Έστω x η πλευρά του τετραγώνου. Τότε (ΑΒΓΔ)=x2.

Είναι (ABM)=12

12

x2

x4

2

AB AM x⋅ = ⋅ ⋅ = και ( )= 12

12

x2

x4

2

ΝΓΒ ΝΓ ΓΒ⋅ = ⋅ ⋅ =x

Άρα (ΑΒΜ)=(ΝΓΒ)

β) Είναι (ΒΜΔΝ)+(ΜΑΒ)+(ΝΓΒ)=(ΑΒΓΔ) ή

( )

( )

( )

( )

ΒΜ∆Ν

ΒΜ∆Ν

ΒΜ∆Ν

ΒΜ∆Ν

+ + =

+ ⋅ =

+ =

= −

x xx

xx

xx

xx

2 22

22

22

22

4 4

24

2

2== x

2

2

Άρα ( ) ( ) ( )ΒΜ∆Ν ΑΒΜ ΝΓΒ= + = x2

2.

11. Ε1=3·5=15cm2, Ε2=3·3+3cm

2=12cm2, E cm325 3

27 5= ⋅ = ,

E cm cm42 25 3 4

216= + ⋅ =( ) , Ε5=4·4=16cm

2

Ε6=3·3cm2+3·2cm2=15cm2, E cm cm7

2 23 62

9= ⋅ =

E826

6 22

4 42

2 62

36 6 8 6 16

= − − − =

= − ⋅ − ⋅ − ⋅ = − − − =

( ) ( ) ( ) ( )ΑΒΓ∆ ΑΕ∆ ΕΒΖ ∆ΖΓ

ccm2

E E E E9

6 66 3 3

23 22

2 12

36 13 5 3 1 18

= − − − =

= ⋅ − + ⋅ − ⋅ − ⋅ = − − − =

( )

( ), ,

ΚΛΜΝ α β γ

55 2cm

E1024

1 32

1 32

1 32

1 32

= − − − − =

= − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅( ) ( ) ( ) ( ) ( )ΑΒΓ∆ ΑΕΘ ΕΒΖ ΖΓΗ ΘΗ∆

== − ⋅ = − =16 4 32

16 6 10 2cm

E

cm11

2 25 25

5 2

= − − −

= =

= + ⋅

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )( )

ΑΒΓ∆ ΑΒΖΕ ΕΖΗ∆ ΒΓΘ

ΑΒΓ∆

ΑΒΖΕ 112

3 5

2 4 42

4 22

12 4 8

2

2

=

= − = + ⋅ − ⋅ = − =

,

( ) ( ) ( )( )

( )

cm

cmΕΖΗ∆ ΕΖΘ∆ ∆ΗΘ

ΒΓΘ == ⋅ =5 12

2 5 2, cm

Άρα 25 3,5 8 2,5 11cm11 = − − − =2


8

E K MN

cm12

24 7 2 2 2 1 28 4 2 22

= − − =

⋅ − ⋅ − ⋅ = − − =

( ) ( ) ( )ΑΒΓ∆ Λ ΕΖΗΘ

12. Είναι ( ) ,ΑΒ∆ Β∆ ΟΑ= ⋅ = ⋅ =2

5 32

7 52 2cm cm και ( )ΒΓ∆ Β∆ ΟΓ= ⋅ = ⋅ =2

5 62

152 2cm cm

Άρα ( ) , ,ΑΒΓ∆ = + =7 5 15 22 52 2 2cm cm cm

13. 4 40⋅ =x ή x cm= =40 4 10:x2 36= άρα x cm= 64

220

⋅ =x ή 2 20x = άρα x cm= =20 2 10:

x x⋅ =2

18 ή x2 36= άρα x cm= 6

1.4. Πυθαγόρειο θεώρημα


1. Γ, 2. Β, 3. Γ, 4. Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. E m mK + =9 252 2 ή E m m mK = − =25 9 16

2 2 2

E m m mK = + =5 76 1 6 762 2 2, ,

E m mK + =0 64 12 2, ή E m m mK = − =1 0 64 0 36

2 2 2, ,

2. Πρέπει: 252=242+72 ή 625=576+49 ισχύειΠρέπει: 202=122+162 ή 400=144+256 που ισχύειΠρέπει: 172=82+152 ή 289=64+225 που ισχύει

3. α) Για να είναι το τρίγωνο ορθογώνιο πρέπει να ισχύει: 102=62+82 ή 100=36+64 που είναι αληθής.

β) Έστω τώρα το τρίγωνο με μήκη πλευρών: 12cm, 16cm, 20cm.Είναι: 202=400 και 122+162=144+256=400,δηλαδή 202=122+162, οπότε και το τρίγωνο αυτό είναι ορθογώνιο.


9

4. Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ, έχουμε: ΑΔ2+ΔΓ2 = ΑΓ2 ή ΑΔ2+62 = 102

ΑΔ2+36 = 100 ΑΔ2 = 100–36=64 άρα ΑΔ = 8cmΟπότε το εμβαδόν του τετραγώνου είναι: Ε=82=64cm2.

5. Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, έχουμε:ΑΓ2=ΑΒ2+ΒΓ2=12+2,12=1+4,41=5,41m2.Άρα το εμβαδόν του τετραγώνου είναι: Ε=ΑΓ2=5,41m2.

6. Η γωνία που θα σχηματιστεί είναι ορθή γιατί στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει το πυθαγόρειο θεώρημα. Είναι ΑΒ2+ΑΓ2=ΒΓ2 ή 302+402=502 ή 900+1600=2500 αληθής.

7. Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΟΒ, έχουμε: ΑΒ2=ΟΑ2+ΟΒ2=62+82=36+64=100dm2.Άρα ΑΒ=10 dm.Η περίμετρος του ρόμβου είναι: 4·10 dm=40 dm.Επειδή ο ρόμβος αποτελείται από 4 ορθογώνια τρίγωνα ίσα με το ΑΟΒ, έχουμε:

Ε ΑΟΒροµβου = = ⋅⋅ =4 4 6 82

96( ) dm2 .

8. Είναι ΕΖ=ΒΓ=7mΟπότε ΑΕ+ΖΔ=13m–7m=6mκαι ΑΕ=ΖΔ=3m. Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΕ, έχουμε: ΑΕ2+ΒΕ2=ΑΒ2 ή 32+x2 = 52

9+x2 = 25 x2 = 25–9 x2 = 16 άρα x = 4m

9. Αρκεί να συγκρίνουμε τα μήκη ΕΒ, ΔΒ και ΑΒ.Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΕΔΒ, έχουμε: ΕΔ2+ΔΒ2=ΕΒ2 ή 82+ΔΒ2 = 172

64+ΔΒ2 = 289 ΔΒ2 = 289–64 ΔΒ2 = 225 άρα ΔΒ = 15mΑπό το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΓΒ, έχουμε;ΑΒ2=ΑΓ2+ΒΓ2=92+122=81+144=225 άρα ΑΒ=15mΠλησιέστερα στην πολη Β είναι τα σημεία Δ και Α.


10


ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ – ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

2.1. Εφαπτομένη οξείας γωνίας


1. Γ, 2. α) Β, β) Δ 3. εφθ=1, εφφ εφω εφψ= = =52

32

53

, ,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. α) εφ3012

= x ή 0 577412

, = x άρα x = ⋅ =0 5774 12 6 9288, ,

β) εφ3517

= x ή 0 717

, = x άρα x = ⋅ =0 7 17 11 9, ,

γ) εφ38 13=x

ή 0 781313

, =x

ή 0 7813 13, ⋅ =x άρα x = =130 7813

16 64,

,

δ) εφ45 10=x

ή 110=x

άρα x = 10

2. εφω = =0 7 710

, . Αρκεί να σχεδιάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευ-

ρές 7 και 10. Τότε η ω είναι η γωνία απέναντι από την πλευρά με μήκος 7.

3. Είναι εφ30 4=ΑΓ

ή 0 57744

, =ΑΓ

ή 0,5774·ΑΓ=4

άρα ΑΓ = =40 5774

6 93,

, cm.

Από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: ΒΓ ΑΓ ΑΒ2 2 2 2 26 9 4 47 61 16 63 61= + = + = + =, , ,

Άρα ΒΓ = =63 61 7 98, , .cm cm

Επίσης Β Γ + = 90ο άρα Β = 60ο .

4. εφ23 40

2

=ΚΠ

ή 0 424540

2

, =ΚΠ

ή 0,4245·ΚΠ2=40

άρα ΚΠ2=40:0,4245=94,23m


11

εφ34 40

1

=ΚΠ

ή 0 674540

1

, =ΚΠ

ή 0,6745·ΚΠ1=40

άρα ΚΠ1=40:0,6745=59,3m. Οπότε η απόσταση των δύο πλοίων είναι:Π1Π2=ΚΠ2–ΚΠ1=94,23m–59,3m=34,93m

5. εφ ο18

30 3249

9 23

=

⋅

=

∆ΓΑ∆

Α∆

0,3249=3

0,3249 =3

,, m

, εφ ο40

9 23 7 74

=

⋅ =

∆Α∆

E

m

0,8391=9,23

=0,8391 , ,

Οπότε το ύψος του πύργου είναι: h=7,74m+3m=10,74m.

6. Είναι εφ ο85 =

11,4301=hx

h=11,4301

hx

x

,

⋅

Επίσης εφ ο5580

80

=−

−⋅ −

hx

x

,

( )

1,4281=h

80 xh=1,4281

Άρα 11 4301 1 4281 80

11 4301 114 248 1 4281

11 4301

, , ( )

, , ,

,

⋅ = ⋅ −⋅ = − ⋅

⋅

x x

x x

x ++ ⋅ =⋅ ==

1 4281 114 24

12 8582 114 24

114 24 12 8582 8 88

, ,

, ,

, : , ,

x

x

x

άρα h=11,4301·8,88=101,5m.Οπότε ο χαρταετός βρίσκεται σε ύψος 101,5m+1,40m=102,90m.

7. α) B x∆ ∆Ε ΒΕ= − = −90

β) εφθ = Α∆∆Β

ή εφθ =−

2590 x

γ) εφθ = ΕΓΒΕ

ή εφθ = 35x


12

δ) Είναι 2590

35

25 35 90

25 3150 35

25 35 3150

60 3150

−=

⋅ = ⋅ −= −

+ ==

=

x xx x

x x

x x

x

x

( )

3315060

52 5= ,

2.2. Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας

1. α) Γ β) Β γ) Δ δ) Γ 2. Β 3. Β 4. Α 5. δ, στ

6. α) Σ, β) Σ, γ) Λ, δ) Λ, ε) Σ, στ) Σ, ζ) Σ, η) Λ, θ) Σ

7. α) Α∆Β Α∆Β Α∆Β∆

∆ , συν =

β) ΑΒΓ ΑΒΓ ΑΓΒΓ

∆ , ηµ =

γ) ΑΕΓ ΑΕΓ ΑΕΕΓ

∆ , συν =

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. α) Από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε:ΑΒ2+ΒΓ2=ΑΓ2 ή 32+ΒΓ2=52 ή ΒΓ2=25–9=16 άρα ΒΓ=4

Τότε: ηµ συν ηµ συνΑ Α Γ Γ= = = =45

35

35

45

, , ,

β) Από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε:ΑΓ2=ΑΒ2+ΒΓ2=1,52+42=2,25+16=18,25, άρα ΑΓ = =18 25 4 27, , cm

Τότε: ηµ συνΑ Α= = =44 27

0 93671 5

4 270 3513

,, ,

,,

, ,

ηµ και συνΓ Γ= =0 3513 0 9367, , ,

γ) Από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε:

ΒΓ2=72+92=49+81=130, άρα ΒΓ = 130 11 40 , cm

Τότε: ηµ συνΒ Β= = = =911 40

0 78947

11 400 614

,, ,

,, ,

ηµ και συνΓ Γ= = = =711 40

0 6149

11 400 7894

,, ,

,, .


13

2. Αρχικά θα κατασκευάσουμε τη γωνία ω. Έστω ορθή γωνία xAy .Με κέντρο το Α και ακτίνα 3cm γράφουμε κύκλο που τέμνει την Ay στο Β.Με κέντρο το Β και ακτίνα 5cm γράφουμε κύκλο που τέμνει την Ax στο Γ.Τότε η γωνία ω είναι η Β.Από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: ΑΒ2+ΑΓ2=ΒΓ2 ή 32+ΑΓ2=52 ή 9+ΑΓ2=25 ή ΑΓ2=25–9=16 άρα ΑΓ = =16 4cm

Τότε ηµω = =ΑΓΒΓ

45

.

3. α) Είναι ημω < 1 5ημω < 5 2+5ημω < 2+5 2+5ημω < 7

β) συνω < 1 –2συνω > –2 4–2συνω > 4–2 4–2συνω > 2

γ) Είναι ηµωσυνω

<<

1

1 άρα

5

14

2.3. Μεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης.


1. α) Γ β) Γ 2. α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Λ στ) Σ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. α) ηµ ο2815

= x ή 0 469515

, = x άρα x=0,4695·15 ή x=7,0425cm.

β) συν ο68 1=x

ή 0 37461

, =x

ή 0,3746·x=1 άρα x cm= =10 3746

2 67,

, .

γ) εφ ο50 5=x

ή 1 19185

, =x

ή 1,1918·x=5 άρα x cm= =51 1918

4 195,

, .

2. α) συν ο63 5=x

ή 0 4545

, =x

ή 0,454·x=5 άρα x = =50 454

11 013,

, .

β) ηµ ο3510

= x ή 0 573610

, = x άρα x=0,5736·10=5,736.

γ) εφ ο40 4=x

ή 0 83914

, =x

ή 0,8391·x=4 άρα x = =40 8391

4 767,

, .

δ) ηµ ο388

= x ή 0 61578

, = x άρα x=0,6157·8=4,9256.

ε) εφ ο505

= x ή 1 19185

, = x άρα x=1,1918·5=5,959.

3. ηµ ο55 8=ΑΒ

ή 0 828

, =ΑΒ

ή 0,82·ΑΒ=8 άρα ΑΒ = =80 82

9 756,

, m .

ηµ ο70 8=ΑΓ

ή 0 948

, =ΑΓ

ή 0,94·ΑΓ=8 άρα ΑΓ = =80 94

8 51,

, .

4.

ηµ ο13 2 25

0 2252 25

0 225 2 25

=

=

⋅ =

,

,,

, ,

ΑΓ

ΑΓΑΓ

εφ ο13 2 25

0 2312 25

0 231 2 25

=

=

⋅ =

,

,,

, ,

ΑΒ

ΑΒΑΒ

άρα ΑΓ = =2 250 225

10,,

m ΑΒ = =2 250 231

9 74,,

, m


15

5. α) ημ56ο>ημ37ο>ημ20ο>ημ16ο

β) συν20ο>συν25ο>συν28ο>συν36ο

γ) εφ89ο>εφ51ο>εφ22ο>εφ18ο

6. συν ο75 = ΑΒΒΓ

ή 0 25886

, = ΑΒ άρα ΑΒ = ⋅ =0 2588 6 1 5528, , .m

ηµ ο75 = ΑΓΒΓ

ή 0 96596

, = ΑΓ άρα ΑΓ = ⋅ =0 9659 6 5 7954, , .m

Άρα Γ∆ = − =7 5 7954 1 2046m m m, ,

7. ηµ ο78 = ΑHAB

ή 0 978120

, = ΑH άρα ΑH m= ⋅ =0 9781 20 19 562, , .

Στο τρίγωνο ΑΒΗ έχουμε:

78 90 180o o oBAH+ + = άρα ΒΑΗ = 12ο. Οπότε ΗΑΜ = − =70 12 58ο ο ο .

Στο τρίγωνο ΑΗΜ∆

έχουμε:

συν ο58 = ΑΗΑΜ

ή 0 5319 562

,,=ΑΜ

ή 0,53 ⋅ =ΑΜ 19 562, άρα ΑΜ = =19 5620 53

36 91,,

, m

8. συν ο89 05, = ΑΓΓΣ

ή 0 0166371

, =ΓΣ

ή 0,016 ⋅ =ΓΣ 6371 άρα ΓΣ Κ= =63710 016

398 187 5,

. , m

2.4. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 30ο, 45ο και 60ο


1. α) I, β) III, γ) I, δ) V, ε) III, στ) V. 2. B 3. α) Λ, β) Σ, γ) Σ, δ) Σ, ε) Σ.4. Οι πλευρές ΑΓ, ΑΒ, ΒΓ του τριγώνου είναι διαγώνιες των ίσων εδρών του κύβου, οπότε είναι ίσες.

Άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο και θ ο = 60 οπότε συνθ συν ο= =60 12

και σωστή απά-ντηση είναι το Α.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. α) συνα

ο305= ή 3

25=α

ή 3 10⋅ =α άρα α = =⋅10

3

10 33

cm

εφ βο305

= ή 33 5

= β ή 3 =5β 3 άρα β = ⋅5 33


16

β) συνα

ο457= ή 2

27=α

ή 2 14⋅ =α

άρα α = =⋅ =14

2

14 22

7 2

εφ βο457

= ή 1= β7

άρα β = 7

2. α) Είναι ΑΒ2+ΒΓ2=122+52=144+25=169=132=ΑΓ2

Οπότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Β.

β) ηµΑ ΒΓΑΓ

= = 513

και συνΑ ΑΒΑΓ

= = 1213

3. α) ηµ ηµ ηµο ο ο2 2 22 2 2

30 45 6012

22

32

14

+ + =

+

+

= +

224

34

64

32

+ = =

β) 2 30 2 60 2 45 212

212

22

22 2 2

2 2

ηµ συν ηµο ο ο+ − = ⋅

+ ⋅

− ⋅

=

= ⋅ + ⋅ − ⋅ = − =

2

214

214

224

44

44

0

4. α) Α = − = ⋅

− = ⋅ − = −2 30 30 2 1

23

22

14

32

1 32

22

ηµ συνο ο

β) Α = − = ⋅

− = ⋅ − =

−2 45 45 2

22

22

224

22

2 22

2

2

ηµ συνο ο

γ) Α = − = ⋅

− = ⋅ − =2 60 60 2

32

12

234

12

122

ηµ συνο ο

5. εφ ο30 = ΑΒΠΒ

ή 0 57741500

, =ΠΒ

ή 0,5774·ΠΒ=1500 άρα ΠΒ = =15000 5774

2598,

m

6. συν ο458

= ΑΒ ή 22 8

= ΑΒ ή 2 8 2ΑΒ = άρα ΑΒ = 4 2m

συν ο30 = ΑΓΑ∆

ή 3

28=Α∆

ή 3 16⋅ =Α∆ άρα Α∆ = =163

16 33

m


17

7. ηµ ο45 = ΑΖΑΒ

ή 2

23=ΑΒ

ή 2 6⋅ =ΑΒ άρα ΑΒ = = =62

6 22

3 2m

ηµ ο30 = ΓΗΒΓ

ή 12

3=ΒΓ

ή ΒΓ = 6m

ηµ ο60 = ΓΗΓ∆

ή 3

23=Γ∆

ή 3 6⋅ =Γ∆ άρα Γ∆ = = =63

6 33

2 3m

άρα ΑΒΓ∆ = + +3 2 6 2 3m

8. α) Είναι ΓΑ∆ + + =90 30 180ο ο ο άρα ΓΑ∆ = 60ο , οπότε θ ο = 30 .

β) Στο τρίγωνο ΑΓΔ είναι ηµ ο30 = ΑΓΑ∆

ή 12 6= ΑΓ ή 2ΑΓ=6 άρα ΑΓ=3cm, οπότε ΑΒ=6cm.

Στο τρίγωνο ABE είναι συν ο30 = ΑΒΑΕ

ή 3

26=ΑΕ

ή 3 12⋅ =ΑΕ άρα

ΑΕ = =123

12 33

3=4 cm.

γ) Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΕΔ έχουμε:

∆Ε ΑΕ Α∆2 2 22

24 3 6 16 3 36 48 36 84= + = ( ) + = ⋅ + = + =άρα ∆Ε = 84 9 1cm cm , .

9. Έστω ΔΚ το ύψος του τριγώνου ΕΔΓ.Επειδή ΓΕ∆ ΕΓ∆ − = 30ο , το τρίγωνο ΕΔΓ είναι ισοσκελές οπότε το ΔΚ είναι και διάμεσός του, δηλαδή ΕΚ=ΚΓ=3.

Είναι συν ο30 3=x

ή 3

23=x

ή 3 6⋅ =x άρα

x = = =63

6 33

2 3

Οπότε η περίμετρος είναι: Π = ⋅ + ⋅ = +3 6 2 2 3 18 4 3.

10. Έστω ΑΖ, ΒΕ ύψη του τραπεζίου. Τότε ΖΕ=ΑΒ=5.Στο τρίγωνο ΑΔΖ έχουμε:

συν ο60 = ∆ΖΑ∆

ή 12 4= ∆Ζ ή 2ΔΖ=4 άρα

∆Ζ = =42

2 .

Στο τρίγωνο ΒΕΓ έχουμε: συν ο45 = ΓΕΒΓ

ή 2

2 6= ΓΕ ή 2 6 2ΓΕ = άρα ΓΕ = =6 2

23 2

Οπότε ∆Γ ∆Ζ ΖΕ ΕΓ= + + = + + = +2 5 3 2 7 3 2


18

11. Στο τρίγωνο ΑΒΡ έχουμε:

συν ο60 = ΑΒΒΡ

ή 12

5=ΒΡ

άρα ΒΡ=2·5=10m

Στο τρίγωνο ΔΓΡ έχουμε:

συν ο30 = ∆Γ∆Ρ

ή 0 8669

, =∆Ρ

ή 0,866·ΔΡ=9 άρα ∆Ρ = =90 866

10 39,

, m

Επειδή ΒΡ

19

5. Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, έχουμε: ΒΓ ΑΒ ΑΓ2 2 2 2 21 3 1 9 10= + = + = + =άρα ΒΓ = 10 και α

= 10 Από το πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΔΕΖ, έχουμε:∆Ζ ∆Ε ΕΖ2 2 2 2 21 1 1 1 2= + = + = + = άρα ∆Ζ = 2 και β

= 2Από το πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΗΘΙ, έχουμε:ΗΙ ΗΘ ΘΙ2 2 2 2 23 4 9 16 25= + = + = + = άρα ΗΙ = =25 5 και δ

= 5Επίσης γ

= 4.

6. Επειδή τα διανύσματα ΑΒ

και Γ∆

είναι αντίθετα, έχουν το ίδιο μέτρο, την ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά. Άρα τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ είναι ίσα και παράλληλα οπότε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Άρα και τα τμήματα ΑΔ και ΒΓ είναι ίσα και παράλληλα. Δηλαδή τα διανύσματα ∆Α

και ΒΓ

έχουν το ίδιο μέτρο, την ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά επομένως είναι αντίθετα.

7. α) Την ίδια διεύθυνση έχουν οι δυνάμεις F3, F5, F1 καθώς και οι F4, Β, F2 γιατί βρίσκονται σε παράλληλες ευθείες.

β) F F3 1

,( ) , F F5 1

,( ) , F B2

,( ) , F F2 4

,( )γ) Αντίθετες είναι οι F4, F2 γιατί έχουν την ίδια διεύθυνση το ίδιο μέτρο και αντίθετη φορά.δ) Ίσες είναι οι F3, F5 γιατί έχουν την ίδια διεύθυνση, την ίδια φορά και το ίδιο μέτρο.ε) Ίσα μέτρα έχουν οι F3, F5 καθώς και οι F4, F1, F2

2.6. Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων


1. α) Γ β) Β γ) Γ

δ) Β ΑΒ Γ∆ ∆Β ΒΓ ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Β ΑΒ

+ + + = + + + =

ε) Α ΑΒ ΓΒ ΒΑ Β∆ ΓΒ Β∆ Γ∆

+ + + = + =

2. α) ΑΒ Β∆ Α∆

+ = β) ΒΓ Β∆ ∆Γ

= + γ) ΓΒ ΓΑ ΑΒ

− = δ) ΑΓ ΑΒ Β∆ ∆Γ

= + +

3. B. Είναι ΑΒ Α∆ ΑΒ ΒΓ ΑΓ

+ = + =

4. α) Δ, β) Γ, γ) Α, δ) Β


20

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. α) β) γ)

2. α) ΑΒ ΒΓ Γ∆ Α∆

+ + =β) ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α ΑΑ

+ + + = = 0γ) ΑΒ ΓΒ Α∆ ΑΒ Α∆ ΒΓ ∆Β ΒΓ ∆Γ

− − = − + = + =

3. α) ∆Γ Μ∆ ΑΜ ΑΜ Μ∆ ∆Γ ΑΓ

+ + = + + =β) ΓΜ ΜΒ ΒΓ Β∆ ΓΒ ΒΓ Β∆ Β∆

+ + + = + + =γ) ΒΓ ∆Μ ΑΒ ΜΑ ΑΒ ΒΓ ∆Μ ΜΑ

+ + + = + + + = ΑΑΓ ∆Α ∆Α ΑΓ ∆Γ

+ = + =

4. α) ΒΟ ΒΑ ΑΟ

− = β) ΒΓ ΒΟ ΟΓ

− = γ) ∆Ο ∆Α ΑΟ

− = δ) ∆Γ ∆Ο ΟΓ

− =όλες οι διαφορές είναι ίσες.

5. α) ΑΒ Α∆ ΑΓ

+ = β) ΕΓ ∆Α ΕΓ ΓΒ ΕΒ

+ = + =γ) ΑΒ ΒΓ ΑΓ

+ = δ) ΑΒ ΖΕ Γ∆ ΑΒ ΒΓ Γ∆ Α∆

+ + = + + =

6. Αρχικά με βάση τον κανόνα του παραλληλογράμμου βρί-σκουμε τη δύναμη F

4 που είναι συνισταμένη των F

1 και F

2 .

Στη συνέχεια και με βάση τον κανόνα του παραλληλογράμμου κατασκευάζουμε την F

ολ που είναι η συνισταμένη των F

4 , F

3 .

7. Επειδή ΑΒ ΒΓ ΓΑ ΑΑ

+ + = = 0 , είναι ΑΘ

= 0 οπότε το σημείο Θ ταυτίζεται ( )≡ με το Α

8. ΓΒ ΓΑ ΑΒ

− = και ΑΜ ΜΓ ΑΜ ΜΒ ΑΒ

− = + = , οπότε: ΓΒ ΓΑ ΑΜ ΜΓ

− = − .


21

9. β) Αν υβ

η ταχύτητα της βάρκας και υρ

η ταχύτητα του ρεύματος του ποταμού τότε η βάρκα θα κινηθεί κατά τη διεύθυνση της συνισταμένης τους που είναι η υ

.

10. Είναι: ΜΓ Μ∆ ΜΝ ΝΓ ΜΝ Ν∆ ΜΝ ΝΓ

+ = +( ) + +( ) = + + + =ΜΝ Ν∆ ΜΝ2(τα διανύσματα ΝΓ

και Ν∆

είναι αντίθετα).

Επίσης ΑΝ ΒΝ ΑΜ ΜΝ ΒΜ ΜΝ ΑΜ ΜΝ

+ = +( ) + +( ) = + + + =ΒΜ ΜΝ ΜΝ2(τα διανύσματα ΑΜ

και ΒΜ

είναι αντίθετα).

2.7. Ανάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες


1. α) Β β) Γ γ) Γ

2. Από το πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε:Γ∆ Β∆ ΒΓ2 2 2= + ή 5 42 2 2+ + ΒΓ ή 25 16 2= + ΒΓάρα ΒΓ2 25 16 9= − = και ΒΓ = =9 3 άρα F N

2 3= και σωστή απάντηση είναι η Γ.

3. Από το πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε:Γ∆ Β∆ ΒΓ2 2 2 2 212 5 144 25 169= + = + = + = άρα Γ∆ = =169 13 .Οπότε F N

= 13 και σωστό είναι το Β.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. α α α

= +1 2 ,β α β

= +1 1,γ γ γ

= +1 2 ,

δ δ δ

= +1 2 ,ε ε ε

= +1 2


22

2. συν ο45 2= ΒΒ

ή 2

2 2702= Β

ή 2 270 22Β

= ⋅ ή Β Ν

2 135 2=

3. Η δύναμη που θα πρέπει να ασκηθεί για να κινηθεί προς τα πάνω, πρέπει να είναι αντίθετη της συνιστώ-σας Β

1 του βάρους Β

.

Επειδή η γωνία των Β

και Β

2 είναι 60ο, η γωνία των

Β

και Β

1 είναι 30ο, οπότε:

συν ο30 1= ΒΒ

ή 3

2 30 0001= Β

. ή 2 30 000 31Β

= ⋅.

άρα Β Ν

1 15 000 3= .

4. Επειδή οι σανίδες σχηματίζουν ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο, οι γωνίες που σχηματίζει το βάρος Β

με τις συνιστώσες Β

1 και Β

2 είναι 45ο. Οπότε:

συν ο45 1= ΒΒ

ή 2

2 2001= Β

ή 2 200 21Β

= ⋅

άρα Β Ν Β

1 2100 2= =

5. Επειδή η γωνία που σχηματίζει η εξέδρα με τον

ορίζονται είναι 30ο, η γωνία των Β

2 και Β

εί-

ναι 30ο και η γωνία των Β

1 και Β

είναι 60ο.

Είναι συν ο60 1= ΒΒ

ή 12 800

1= Β

ή 2 8001Β

=

άρα Β Ν

1 400= .


23


ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ

1.1. Εγγεγραμμένες γωνίες


1. εγγεγραμμένες: α, η, επίκεντρες: γ, ε, θ 2. α) Β, β) Α3. α) Α, β) Β, γ) Β, δ) Γ 4. Γ 5. α) Γ, β) Γ, γ) Β, δ) Γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1.

552

ο = Æ ή

Æ= 2 55 = 110¿ ¿⋅

και É Æ= 360¿+ ή

É = − =360 110 250ο ο ο

ωο

ο= =802

40

φ ο= 30(οι γωνίες φ, 30ο βαίνουν στο ίδιο τόξο)

οι γωνίες φ, 60ο βαίνουν στο ίδιο τόξο, οπότε: φ=60ο.Είναι ω φ

ω

ω

ο

ο ο

ο ο ο

+ =

+ =

= − =

90

60 90

90 60 30

2. Η γωνία ΑΜΒ είναι εγγεγραμμένη στο τόξο Α∆ΓΒ , το οποίο αποτελείται από τα 3 από τα 4 ίσα τόξα στα οποία χωρίζει τον κύκλο το τετράγωνο.

Καθένα από τα 4 ίσα τόξα είναι 360

490

οο= .

Οπότε: Α∆ΓΒ = ⋅ =3 90 270ο ο . Άρα ΑΜΒ = =2702

135ο

ο .

3. ΜΝ ΜΒ ΒΝ ΑΒ

= + = + = − − + = + =2

602

360 170 602

602

65 30 95ο ο ο ο ο

ο ο ο

4. 2 120 2 30 90 360

4 240 360

4 360 240 120

120

φ φ

φ

φ

φ

ο ο ο ο

ο ο

ο ο ο

ο

+ + + + =

+ =

= − =

=44

30= ο.


24

5. Το τόξο AB είναι ημικύκλιο, οπότε AB = 180ο . Επειδή BO ∆ ΑΟΓ= = 45ο ως κατακορυφήν,

είναι Β∆ = 45ο , ΒΓ ΑΒ ΑΓ = − = − =180 45 135ο ο ο.

Ακόμη ΑΓ = 45ο γιατί η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία είναι 45ο .

6. Είναι ΑΓ ΒΓ + = 180ο ή 2 180ΒΓ ΒΓ + = ο ή 3 180ΒΓ = ο άρα ΒΓ = =1803

60ο

ο και

ΑΓ = 120ο .Επειδή η γωνία Α είναι εγγεγραμμένη στο τόξο ΒΓ = 60ο ισχύει ότι: Α = =60

230

οο .

Η γωνία ΑΓΒ του τριγώνου είναι εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο άρα ΑΓΒ = 90ο.Είναι Β Α ΑΓΒ + + = 180ο ή Β = − − =180 30 90 60ο ο ο ο .Επειδή τα ΟΒ, ΟΓ είναι ακτίνες του κύκλου, το τρίγωνο ΟΒΓ είναι ισοσκελές. Επειδή επιπλέον

Β = 60ο , το τρίγωνο ΟΒΓ είναι ισόπλευρο.

Άρα ΒΓ ΟΒ= = =62

3cm cm.

Είναι ηµ ο60 = ΑΓΑΒ

ή 3

2 6= ΑΓ ή 2 =6ΑΓ 3 άρα ΑΓ = =6 3

23 3cm

7. Η γωνία Α∆Γ = 100ο είναι εγγεγραμμένη στο τόξο ΑΒΓ , άρα Α∆Γ ΑΒΓ

=2

ή 1002

ο = ΑΒΓ

άρα ΑΒΓ = 200ο.

Όμως ΑΒΓ ΒΓ = +70ο άρα 70 200ο ο+ =ΒΓ άρα ΒΓ = − =200 70 130ο ο ο.

Επειδή η γωνία x είναι εγγεγραμμένη στο τόξο ΒΓ έχουμε:

x = = =ΒΓ

2130

265

οο

70 130 80 360ο ο ο ο+ + + =∆Γ άρα ∆Γ = − =360 280 80ο ο ο.

Η γωνία y είναι εγγεγραμμένη στο τόξο Α∆Γ , έχουμε:

y = = + =Α∆Γ

280 80

280

ο οο .

8. Α∆ + + + =100 160 80 360ο ο ο ο ή Α∆ + =340 360ο ο

Α∆ = − =360 340 20ο ο ο

Α ΒΓ∆ Β Α∆Γ

= = + = = = + =2

160 802

1202

20 802

50ο ο

οο ο

ο,

Γ ∆ΑΒ ∆ ΑΒΓ

= = + = = = + =2

20 1002

602

100 1602

130ο ο

οο ο

ο,


25

9. Γ Β∆ Β ΑΓ

= = = = = =2

702

352

502

25ο

οο

ο, .

Στο τρίγωνο ΡΓΒ έχουμε:

ΓΡΒ Γ Β + + = 180ο ή

ΓΡΒ

ΓΡΒ

ΓΡΒ

+ + =

+ =

= − =

35 25 180

60 180

180 60 120

ο ο ο

ο ο

ο ο ο

Άρα φ ο ο ο ο = − = − =180 180 120 60ΓΡΒ .

3.2. Κανονικά πολύγωνα


1. α) Γ, β) Β, γ) Β, δ) Β, ε) Γ 2. α) Γ, β) Α, γ) Α3. α) Β, β) Β, γ) Γ, δ) Β, ε) Β, στ) Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1.

πλήθος πλευρών

γωνία κανονικού πολυγώνου

κεντρική γωνία

3 60ο 120ο5 108ο 72ο6 120ο 60ο10 144ο 36ο

Αν ν=3 τότε ωο

ο= =3603

120 και φ ο ο ο= − =180 120 60


ο= =3605

72 και φ ο ο ο= − =180 72 108


ο= =3606

60 και φ ο ο ο= − =180 60 120


ο= =36010

36 και φ ο ο ο= − =180 36 144

Αν ω=15ο τότε φ=180ο–15ο=165ο

Αν φ=150ο τότε ω=180ο–150ο=30ο

Αν ω=72ο τότε φ=180ο–72ο=108ο

Αν φ=160ο τότε ω=180ο–160ο=20ο

Κεντρική γωνία γωνία κανονικού πολυγώνου

15ο 165ο30ο 150ο72ο 108ο20ο 160ο


26

2. Επειδή η γωνία του πολυγώνου (φ), είναι (=) τετραπλάσια της κεντρικής γωνίας του (4ω), έχουμε: φ=4ω.Όμως φ ω

ω ω

ω

ω

ο

ο

ο

οο

+ =

+ =

=

= =

180

4 180

5 180

1805

36

Όμως ων

ο

= 360 , άρα 360 36ο

ο

ν= ή 36 360ο ον⋅ = άρα ν

ο

ο= =36036

10

3. ωο

ο= =3606

60 .

Το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές

(ΟΑ=ΟΒ=ρ) και έχει ΑΟΒ = =ω ο60

Οπότε είναι ισόπλευρο και Α Β 1 1 60= = ο.

Όμοια το τρίγωνο ΟΒΓ είναι ισόπλευρο και Β Γ 2 1 60= = ο.

Είναι φ ο ο ο= = + = + =Β Β Β 1 2 60 60 120Είναι φ+ω=180ο

4. Είναι φ = = ⋅ = =53

53

90450

3150L o

oo

ω φ= − = − =180 180 150 30o o o o άρα 360 30o

o

ν= ή 30 360o o⋅ =ν άρα ν = =360

3012

o

o .

5. α) ω=16ο ή 360

16o

o

ν= ή 16 360o o⋅ =ν άρα ν = =360

1622 5

o

o , που είναι αδύνατο.

β) ω ο ο ο= − =180 130 50 ή 360 50o

o

ν= ή 50 360o o⋅ =ν άρα ν = =360

507 2

o

o ,

που είναι αδύνατο.

6. Γράφουμε κύκλο (Ο,ρ) και σχηματίζουμε μια επίκεντρη γωνία

ΑΟΒ = =3608

45o

o.

Με το διαβήτη θεωρούμε διαδοχικά τόξα ίσα με το ΑΒ . Φέρνουμε τις χορδές των προηγούμενων τόξων.

7. Πρέπει ω=φ. Όμως ω φ+ = 180o άρα 2 180ω = o ή ω = =1802

90o

o.

Οπότε: 360

90o

o

ν= ή 90 360o o⋅ =ν άρα ν = =360

904

o

o .

Άρα στο τετράγωνο η γωνία του είναι ίση με την κεντρική γωνία του.


27

8. Έστω x η πλευρά του κανονικού εξαγώνου. Τότε οι πλευρές των 6 τετραγώνων είναι ίσες με x.

Είναι Α = = − = − =φ 180 3606

180 60 120oo

o o o.

Όμως Α 1 2 90 120 360+ ⋅ + =o o o ή Α 1 300 360+ =o o άρα Α 1 60= o

Δηλαδή το τρίγωνο ΑΚΛ έχει ΑΚ=ΑΛ=x και Α 1 60= o , οπότε είναι

ισόπλευρο και έχει ΚΛ=x και Κ Λ 1 1 60= = o.Όμοια και τα τρίγωνα ΜΖΝ, ΗΕΘ, ... είναι ισόπλευρα και έχουν ΜΝ=ΗΘ= ... = x και

Μ Ν Η Θ 1 1 1 1 60= = = = =... .o

Τότε ΛΚΜ ΚΜΝ ΜΝΗ ΝΗΘ = = = = = + =... .90 60 150ο ο ο

και ΚΛ=ΜΝ=ΗΘ= ... = x.Άρα το δωδεκάγωνο είναι κανονικό γιατί έχει όλες του τις πλευρές και όλες του τις γωνίες ίσες.

3.3. Μήκος κύκλου


1. Ακτίνα ρ 5cm 6cm 4cm 3cm 2cm 9cmΜήκος κύκλου L 31,4cm 37,68cm 25,12cm 18,84cm 12,56cm

Αν ρ=5cm, τότε: L=2·3,14·5cm=31,4cmΑν L=37,68cm, τότε 37,68cm=2·3,14·ρ ή 6,28·ρ=37,68 άρα ρ = =37 68

6 286

,,

cmΑν ρ=4cm, τότε: L=2·3,14·4cm=25,12cmΑν ρ=3cm, τότε: L=2·3,14·3cm=18,84cmΑν L=12,56cm, τότε 12,56cm=2·3,14·ρ ή 6,28·ρ=12,56 άρα ρ = =12 56

6 282

,,

cmΑν ρ=9cm, τότε: L=2·3,14·9cm=56,52cm

2. Β. Αν R=3ρ τότε L =2 R=2 3` =3 (2 ` )=3L⋅ ⋅ ⋅ ⋅

3. L

L L

L L

1

2 1

3 1

2

2 2 2

2 3 3

== ⋅ == ⋅ =

πρπ ρπ ρ

LL

1

2

LL

2

3

L12ρ

L24ρ

L36ρ

12

23

π π π

LL

LL

LL

L

L

1

2

1

1

2

3

1

2

212

2 2

2 323 2

22

42 2

4

= = =⋅⋅

= = =

= ⋅ =

, ,π ρπ ρ ρ

πρρ

π

ρπ ρρ

ππρ

π ρρ

πρρ

π, L36

2 36

66

= ⋅ = =


28

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Έστω ρ1 η ακτίνα του ενός κύκλου με μήκος L1 12= πρ και ρ2 η ακτίνα του δεύτερου κύκλου με μήκος L2 22= πρΑν L L1 2 20= + , τότε 2 2 201 2πρ πρ= + ή 22

22

202

1 1πρπ

πρπ π

= + ή

ρ ρπ1 2

202

= +

ρ ρπ1 210= +

Οπότε η ακτίνα του ενός κύκλου είναι μεγαλύτερη κατά 10π

cm από την ακτίνα του άλλου.

2. Έστω ρ η ακτίνα του κορμού του δέντρου. Τότε: 2πρ=3,5 ή 6,28ρ=3,5 ή ρ = =3 56 28

0 56,,

, m

3. α) Έστω δ1, δ2 οι διάμετροι των δύο κύκλων.Τότε δ1–δ2=5cm ή2ρ1–2ρ2=522

22

52

2 5

1 2

1 2

ρ ρ

ρ ρ

− =

− = , cmΟι ακτίνες των δύο κύκλων διαφέρουν κατά 2,5cm.

β) ρ1–ρ2=2,5 ή2πρ1–2πρ2=2·π·2,5 ήL L1 2 15 7− = ,Οι περίμετροί τους διαφέρουν κατά 15 7, cm .

4. Έστω ρ1, ρ2 οι ακτίνες των δύο κύκλων τότε LL

1

2

21

2= =

α) LL

1

2

2= ή πδπδ

1

2

2= άρα δδ

1

2

2=

β) δδ

1

2

2= ή 22

212

ρρ

= άρα ρρ

1

2

2=

5. Ο λεπτοδείκτης του ρολογιού σε 1 ώρα διαγράφει μια πλήρη περιστροφή που το μήκος του κύκλου που θα διαγράψει το άκρο του είναι:L cm cm= ⋅ ⋅ =2 3 14 2 5 15 7, , ,Οπότε σε 12 ώρες το διάστημα είναι: 12 15 7 188 4⋅ =, , cm


29

6. Σε 1 στροφή η Β τραχαλία διαγράφει μήκος κύκλου ίσο με L cmB = ⋅ =2 8 16π πΤότε και η α τροχαλία θα έχει διαγράψει μήκος 16π cm.

Όμως L cm cmA = ⋅ =2 2 4π πΑν ν οι στροφές της Α τροχαλίας, τότε:

ν π π⋅ =4 16 ή ν ππ

= =164

4 .

7. Η μία στροφή του ποδηλάτη αντιστοιχεί σε μήκοςL m= ⋅ =2 30 188 4π ,Επειδή ο ποδηλάτης κινείται με 20Κmh , σε 3 ώρες θα έχει διανύσει 60Km=60.000m.Αν ν οι στροφές που θα κάνει, τότε:

ν·188,4=60000 ή ν = =60000188 4

318 47,

, στροφές.

8. Έστω ρ η ακτίνα της Γης. Τότε:L = ⋅ ⋅ =2 3 14 40 000, .ρ ή 6 28 40 000, .⋅ =ρ ή ρ = =40 000

6 286369 43

.,

, Km

3.4. Μήκος τόξου


1. 902

603

180 27032

454

360 2o o o o o o↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔π π π π π π, , , , ,

2. Α. = = ⋅ = ⋅18

2360

18

2.L πρ µ πρ ή 2

3602

18

2

2

πρ µ

πρ

πρ

πρ

⋅=

⋅ ή

µ360

18

= άρα 8 360µ = και µ = =3608

45

3. – Αν μ=30 τότε 30180

= απ

ή 16= απ

ή 6α π= άρα α π=6

.

– Αν α π=6

τότε µ

π

π1802= ή µ π

π180 212

= = ή 2 180µ = άρα µ = 90 .

– Αν α π= 34

τότε µ

π

πππ180

34 3

4= = ή µ

18034

= ή 4 3 180 540µ = ⋅ = άρα µ = =5404

135 .


30

– Αν α π= 54

τότε όμοια μ=235.

– Αν μ=100 τότε 100180

= απ

ή 59= απ

ή 9 5α π= άρα α π= 59

.

– Αν α π= 76

τότε µ

π

πππ180

76 7

676

= = = άρα 6 1260µ = άρα µ = =12606

210 .

– Αν μ=60 τότε 60180

= απ

άρα α π=3

.

– Αν μ=270 τότε 270180

= απ

άρα α π= 32

.

Τόξο σε μοίρες 30ο 90ο 135ο 235ο 100ο 210ο 60ο 270ο

Τόξο σε ακτίνιαπ6

π2

34π 5

4π 5

9π 7

6π π

332π

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Τόξο σε μοίρες 60ο 15ο 120ο 270ο 180ο

Τόξο σε ακτίνιαπ3

π12

23π 3

2π π

2. = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =2 8 90360

1614

4 4 3 14 12 54π π π , , cm

3. L = =2 188 4πρ , ή 6 28 188 4, ,⋅ =ρ άρα ρ = =188 46 28

30,

,cm

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =2 3 14 30 30360

6 28 30112

15 7, , , cm

4. Καθένα από τα 4 ίσα τόξα AB B , , ,Γ Γ∆ ∆Α είναι 3604

90ο

ο= .

Άρα = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =2 3 14 10 90360

2 3 14 1014

3 14 204

15 75

, ,,

, cm

5. = ⋅ ⋅ ⋅ =2 45360

15 7π ρ , ή 6 28 18

15 7, ,⋅ ⋅ =ρ ή 6 288

15 7,

,ρ = ή 6 28 8 15 7 125 6, , ,⋅ = ⋅ =ρ άρα

ρ = =125 66 28

20,

,cm


31

6. Έστω ρ1, ρ2 οι ακτίνες των δύο τόξων. Τότε 1 1 1= =αρ πρ και 2 2= πρ . Είναι 1 2= ή πρ πρ1 2= άρα ρ ρ1 2=Δηλαδή για να είναι ίσα πρέπει να βρίσκονται σε ίσους κύκλους ή στον ίδιο κύκλο.

7. ΑΒ

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = =2 3 14 1 45360

6 2818

6 288

0 785, ,,

, cm

Γ∆= ⋅ ⋅ ⋅ = =2 3 14 1 5 45

3609 42

81 1775, ,

,, cm

ΕΖ= ⋅ ⋅ ⋅ = =2 3 14 2 45

36012 56

81 57,

,, cm

3.5. Εμβαδόν κυκλικού δίσκου


1. Β. 2 2π ρ π ρ⋅ = ⋅ ή 22πρ

πρπ ρπρ

= ⋅ ή 2=ρ

2. Β. L = 4 ή 2 4πρ = ή 22

42

πρπ π

= ή ρπ

= 2 . Τότε Ε = ⋅

= ⋅ = =π

ππ

πππ π

2 4 4 42

2 2

3. Δ. Αν ρ η ακτίνα κύκλου με εμβαδόν Ε=πρ2. Ο κύκλος με ακτίνα 3ρ έχει εμβαδόν:Ε Ε= ⋅ = =π ρ πρ( )3 9 92 2

4. Αν ρ=5cm, τότε Ε = ⋅ = ⋅ =3 14 5 3 14 25 78 52 2, , , cm

Αν Ε=28,26cm2, τότε: 3 14 28 262, ,⋅ =ρ ή ρ2 28 263 14

9= =,,

άρα ρ = =9 3cm

Αν ρ=2,5cm, τότε: Ε = ⋅ =3 14 2 5 19 6252 2, ( , ) , cm

Αν Ε=942cm2, τότε: 3 14 9422, ⋅ =ρ ή ρ2 9423 14

300= =,

άρα ρ = =300 17 32, cm

Ακτίνα κύκλου ρ 5cm 3cm 2,5cm 17,32cmΕμβαδόν κύκλου Ε 78,5cm2 28,26cm2 19,625cm2 942cm2

5. Ακτίνα ρ Μήκος L Εμβαδόν Ε1cm 2π 92 cm 4π 4π3 cm 6π 9π4 cm 8π 16πρ cm 2πρ πρ22ρ cm 4πρ 4πρ23ρ cm 6πρ 9πρ24ρ cm 8πρ 16πρ2


32

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. 2ρ=10 ή ρ = =102

5cm

E cm= ⋅ = ⋅ =π ρ π π2 2 25 25Αν ρ1 η ακτίνα του κύκλου με εμβαδόν: 4 4 25 100

2E cm= ⋅ =π π , τότε:

π ρ π⋅ =12 100 ή

πρπ

ππ

12 100= ή ρ1

2 100= άρα ρ1 10= cm

2. Εµπλε π πρ π π π π π= − = ⋅ − ⋅ = − = = ⋅ =R cm2 2 2 2 23 2 9 4 5 5 3 14 15 7, ,

3. Η γωνία Α είνα ορθή γιατί είναι εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο.Από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε:

BΓ2 2 26 8 36 64 100= + = + = άρα ΒΓ = =100 10cmΌμως ΒΓ=2ρ άρα 2ρ=10 ή ρ=5cmL cm

E cm

= = ⋅ ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

2 2 3 14 5 31 4

3 14 25 78 52 2πρ

π ρ

, ,

, ,

4. Το εμβαδόν του κύκλου ακτίνας 10cm είναι:E cm= ⋅ = ⋅ =π 10 3 14 100 3142 2,Αν ρ η ακτίνα του κύκλου που έχει διπλάσιο εμβαδόν τότε ισχύει:

πρ

ρ

ρ

ρ

2

2

2

2

2 314

3 14 628

6283 14

200

= ⋅

⋅ =

=

=

,

,

άρα ρ = =200 14 14, cm

5. E cmτετρ. = =3 92 2

Αν ρ η ακτίνα του κυκλικού δίσκου, τότε:

πρ2 9= ή 3 14 92, ⋅ =ρ ή ρ2 93 14

2 866= =,

, άρα ρ = =2 866 1 693, , cm

6. = 1 256, m ή 2πρ=1,256 ή 6,28·ρ=1,256 άρα ρ = =1 2566 28

0 2,,

,

Άρα E m= ⋅ = ⋅ = ⋅ =π ρ2 2 23 14 0 2 3 14 0 04 0 1256, , , , ,


33

7. Είναι ΑΟ∆ = = =ωο

ο3604

90 .

Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΟΔ έχουμε: ΑΟ Ο∆ Α∆2 2 2+ = ή ρ2+ρ2 = 62

2ρ2 = 36

ρ2 2362

18= = cm

Το εμβαδόν του κύκλου είναι: E cm= ⋅ = =π ρ π2 218 56 52,

8. E = ⋅ =π ρ π2 144 ή πρπ

ππ

2 144= ή ρ2 144= άρα ρ = =144 12cm

Τότε = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =2 3 14 12 60360

6 28 1216

6 28 2 12 56, , , ,

3.6. Εμβαδόν κυκλικού τομέα


1. – Αν ρ=2cm και μ=60ο τότε: E cm= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =π π π π2 60360

416

46

23

2 2

– Αν μ=45ο και Ε=8π τότε:

845360

2π π ρ= ⋅ ⋅ ή

88

2

π πρ= ή

64π=πρ2

64 2ππ

πρ=

ρ2=64 άρα ρ=8cm

– Αν ρ=3cm και Ε=3π cm2, τότε:

π µ π⋅ ⋅ =3360

32 ή

9 3 360

99

3 3609

120

40

πµ π

πµπ

ππ

µ

= ⋅

= ⋅

=

ακτίνα κύκλου

γωνία κυκλικού

τομέα

εμβαδόν κυκλικού

τομέα

ρ=2cm μ=60ο Ε =23

2π cm

ρ=8cm μ=45ο Ε = 8 2π cm

ρ=3cm μ=120ο Ε = 3 2π cm


34

2. = 6π ή 2 120360

6πρ π⋅ = ή 23

6πρ π= ή 2πρ=18π άρα ρ π

π= =18

29

Ε = ⋅ ⋅ = =π π π9 120360

813

272 2cm

Άρα ρ=9 (cm) και Ε=27π (cm2)

3. Α. Ε = ⋅ ⋅ = ⋅ = ( )π π π12 60360

1446

242 2cm

4. Β. E = ⋅ =π ρ2 90360

12 56, ή 3 14

412 56

2,,

⋅ =ρ ή 3 14 50 242, ,⋅ =ρ άρα ρ2 50 243 14

16= =,,

και

ρ = =16 4cm

5. Δ. 12

360= πρ µ

2

2 213 360

9360

9= ⋅ = ⋅ ⋅ =π ρ µ π ρ µ( )

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. E = ⋅π ρ µ2360

και Eκ κλου π ρ= ⋅2

Πρέπει πρ µ πρ2 2360

18

= ή

πρ µ πρ

πρ µ πρ

πρ µπρ

πρπρ

µ

2 2

2 2

2

2

2

2

360 88 360

88

3608

45

⋅ =

=

=

=

2. E = =πρ2 30360

1 ή πρ2

121= ή πρ2 12= άρα ρ

π2 12 3 82= = , και ρ = =3 82 1 95, , m

3. E cm= =πρ2 21256 ή ρ2 12563 14

400= =,

άρα ρ = =400 20cm

Εκτ = ⋅ ⋅ =⋅ = ⋅ =3 14 20 36

3603 14 400

103 14 10 125 62,

,, ,

4. E = =πρ π2 45360

20 25, ή πρ π

2

820 25= , ή πρ π2 8 20 25= ⋅ , ή ρ π

π2 162 162= =

Το εμβαδόν του κύκλου είναι: E cm= = ⋅ =πρ2 3 14 162 508 68, ,


35

5. Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα του τόξου ΑΒ είναι:

ΕΑΒ

= ⋅ ⋅ = ⋅ =3 14 3 90360

3 14 94

7 0652 2,,

, cm

Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα του τόξου Γ∆ είναι:

ΕΓ∆= ⋅ ⋅ = ⋅ =3 14 4 90

3603 14 16

412 562 2,

,, cm

Άρα το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν είναι:

E cm cm cm= − =12 56 7 065 5 4952 2 2, , ,

6. Η επιφάνεια που καθαρίζει ο υαλοκαθαριστήρας ισούται με τη διαφορά των κυκλικών τομέων που έχουν ακτίνες 70cm και 15cm. Άρα

E = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − =

= = ⋅

π π π π

π

70120360

15120360

49003

2253

46753

4675 3 14

2 2

,33

4893 17 2= , cm

7. α) Καθένας από τους κυκλικούς τομείς ∆ΖΗ και ΒΜΝ έχουν ακτίνα 4cm και γωνία 90ο. Άρα το γραμμοσκιασμένο χωρίο έχει εμβαδόν:

Ε = − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ =8 2 3 14 4 90360

646 28 16

438 882 2 2,

,, cm

β) Το ημικύκλιο διαμέτρου ΑΔ έχει εμβαδόν:

E cmηµπ π= ⋅ = =4

28 25 12

22, άρα:

E A cm= − = − =( ) , ,ΒΓ∆ Εηµ 64 25 12 38 882

γ) Το γραμμοσκιασμένο χωρίο είναι κυκλικός τομέας ακτίνας 8cm και γωνίας 90ο.

Άρα: E cm= ⋅ ⋅ = ⋅ =π 8 90360

64 3 144

50 242 2,

,

δ) Το γραμμοσκιασμένο χωρίο προκύπτει από την αφαίρεση 4 ίσων κυκλικών τομέων ακτίνας 4cm από το τετράγωνο. Άρα:

E A E cm= − = − ⋅ ⋅ ⋅ = − =( ) , , ,ΒΓ∆ ∆ΚΛ4 8 4 3 14 490360

64 50 24 13 762 2 2


36

ε) Το γραμμοσκιασμένο χωρίο αποτελείται από τα ίσα τμήματα τ1 και τ2.Το (τ1) βρίσκεται αν από τον κυκλικό τομέα του τόξου ΒΔ (ακτίνας 8cm και γωνίας 90ο) αφαιρέσουμε το τρίγωνο ΒΓΔ. Είναι:

( ) ( ) , ,τ πκτ12 28

90360

12

8 8 50 24 32 18 24= − = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − =Ε ΒΓ∆ cm

άρα E cm= = ⋅ =2 2 18 24 36 4812( ) , ,τ

8. Επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο, ισχύει ότι

A B = = =Γ 60ο .Επειδή τα τρίγωνα ΒΕΔ και ΔΖΓ είναι ισοσκελή και έχουν

B = =Γ 60ο , είναι ισόπλευρα. Άρα ΕΔ=ΔΖ=3.

Στο τρίγωνο ΑΚΖ έχουμε: ηµ ηµο60 = =Ζ ΑΚΑΖ

ή

32 3

= ΑΚ ή 2 3 3ΑΚ = άρα ΑΚ = 3 32

Είναι ( ) ( )ΑΕΖ Ε∆Ζ ΕΖ ΑΚ= = ⋅ =⋅

=12

33 3

22

9 34

Το γραμμοσκιασμένο χωρίο αποτελείται από τον ρόμβο ΑΕΔΖ και από έναν κυκλικό τομέα που

προκύπτει αν από τον κύκλο αφαιρέσουμε τον κυκλικό τομέα κέντρου Α και τόξου ΕΖ .

Άρα Ε ΑΕ∆Ζ Ε Ε ΑΕΖΕΖγρ κ κλου κ τ

π π= + −( ) = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ =

⋅

( ) ( ). .

2 3 360360

29 3

2 2

449

96

9 32

932

9 32

152

9 3 152

9 1 73 15 3 142

2

+ − = + − = + =

= + = ⋅ + ⋅ =

π π π π π

πcm

, , 115 57 47 12

31 335 2, ,

,+ = cm


37


ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΤΕΡΕΩΝ

4.1. Ευθείες και επίπεδα στο χώρο


1. Σ 2. Λ 3. Σ 4. Λ 5. Σ 6. Σ 7. Σ 8. Β 9. Δ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. α) Κάθετες στην ΑΕ είναι οι ευθείες:ΔΑ, ΘΕ, ΖΕ, ΒΑ καθώς επίσης και οι ευθείες ΓΑ και ΗΕ.

β) Παράλληλες με την ΑΒ είναι οι ευθείες ΓΔ, ΗΘ, ΕΖγ) Ασύμβατες με την ΔΓ είναι οι ευθείες ΕΘ, ΖΗ, ΑΕ, ΒΖ

2. α) Παράλληλο με το επίπεδο ρ είναι το επίπεδο που ορίζουν οι ευθείες ΓΔ και ΔΖ και είναι ο πίσω τοίχος του σπιτιού.

β) Το επίπεδο ΔΖΗΕ τέμνει το ρ κατά την ευθεία ΕΗ. Το επίπεδο που ορίζουν οι ευθείες ΗΖ, ΘΗ τέμνει το ρ κατά την ευθεία ΘΗ. Το επίπεδο που ορίζουν οι ευθείες ΔΕ και ΕΑ τέμνει το ρ κατά την ευθεία ΑΕ.

3. α)

4. Φέρνουμε την ΒΚ κάθετη στην ΑΑ΄. Θα είναι ΒΚ Α Β= = 8 και ΑΚ ΑΑ Α Κ ΑΑ ΒΒ= − = − = − =20 14 6. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΚΒ θα είναι ΑΒ ΑΚ ΚΒ2 2 2 2 26 8 36 64 100= + = + = + = οπότε ΑΒ=10

5. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΕΖΗ σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα θα είναι ΕΗ ΕΖ ΖΗ2 2 2 2 212 3 144 9 153= + = + = + = . Επίσης το τρίγωνο ΑΕΗ είναι ορθογώνιο στο Ε με ΑΕ=4cm. πότε για την υποτείνουσα ΑΗ θα έχουμε:

ΑΗ ΑΕ ΕΗ2 2 2 24 153 16 153 169= + = + = + = άρα ΑΗ=13cm.


38

6. α) Η ΗΓ είναι κάθετη στις ΒΓ και ΓΔ, οπότε αφού είναι κάθετη σε δύο ευθείες του επιπέδου θα είναι κάθετη και στο επί-πεδο ΑΒΓΔ.Ομοίως η ΛΚ είναι κάθετη στο επίπεδο ΑΒΓΔ γιατί είναι κάθετη στις ευθείες ΑΓ και ΒΔ του ΑΒΓΔ.

β) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο (Β = 90ο ) και ισοσκελές οπότε σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα θα είναι ΑΓ ΑΒ ΒΓ2 2 2 2 2 212 12 2 12= + = + = ⋅ οπότε ΑΓ = 12 2. Επειδή

ΚΓ ΑΓ= =12

12

12 2 τότε ΚΓ = 6 2cm.

7. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΚΓ είναι ΑΚ=12m και ΓΚ=5m οπότεΑΓ ΑΚ ΚΓ2 2 2 2 212 5 144 25 169= + = + = + = άρα ΑΓ=13m.Οπότε τα 3 συρματόσχοινα έχουν μήκος 3·13=39m.

4.2. Στοιχεία και Εμβαδόν πρίσματος και κυλίνδρου


1. α) Γ β) Β γ) Β 2. α) Β β) Β 3. α) Γ β) Γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. (α) (β) (γ) (δ) (ε)περίμετρος βάσης 8 7 4 5 05ύψος υ 5 10 6 2,8 10Εμβαδόν Επ 40 70 24 14 5

Είναι: Ε ΠΠ Β= ⋅ υΟπότε για κάθε στήλη του παραπάνω πίνακα έχουμε:(α) Επ=8·5=40

(β) 70=7·υ άρα υ = =707

10

(γ) 24=ΠΒ·6 άρα ΠΒ = =246

4

(δ) 14=5·υ άρα υ = =145

2 8,

(ε) 5=10·υ άρα υ = =510

0 5,


39

2. Μετατρέπουμε τις πλευρές της βάσης σε cm και είναιαβγ

= == == =

3 30

5 50

6 60

dm cm

dm cm

dm cm

Η περίμετρος της τριγωνικής βάσης είναι: ΠΒ = + + =30 50 60 140cmΤο εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του τριγωνικού πρίσματος θα είναι:Ε ΠΠ Β= ⋅ = ⋅ =υ 140 0 8 112

2, cm

3. (1) (2) (3) (4) (5)α 2 3 2 3 5β 3 5 5 2 2γ 4 2 13 5 2υ 5 4 4 8 5Επ 45 40 80 80 45

(1) Είναι περίμετρος βάσης ΠΒ = + + =2 3 4 9 . Οπότε Ε ΠΠ Β= ⋅ = ⋅ =υ 9 5 452cm

(2) Είναι ΠΒ = + + =3 5 2 10 και Ε ΠΠ Β= ⋅ υ δηλαδή 40=10·υ οπότε υ = =4010

4

(3) Από τον τύπο Ε ΠΠ Β= ⋅ υ έχουμε 80 4= ⋅ΠΒ ή ΠΒ = =804

20. Οπότε α+β+γ=20 ή

2+5+γ=20 ή 7+γ=20 οπότε γ=20-7=13.

(4) Έχουμε Ε ΠΠ Β= ⋅ υ ή 80 8= ⋅ΠΒ άρα ΠΒ = =808

10. Οπότε α+β+γ=10 ή 3+β+5=10 ή

8+β=10 άρα β=10–8=2.

(5) Είναι Ε ΠΠ Β= ⋅ υ ή 45 5= ⋅ΠΒ άρα ΠΒ = =455

9. Οπότε α+β+γ=9 ή α+2+2=9 ή α+4=9

άρα α=9–4=5.

4. Η περίμετρος του δωματίου είναι 2 4 2 5 18⋅ + ⋅ = m. Οπότε το εμβαδόν των τοίχων του δωμα-τίου είναι Ε = ⋅ =18 3 54 2m .Θα χρειαστούμε 54 9 6: = κιλά χρώμα.

5. Για να βρούμε το εμβαδόν του ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ που έχει πλευ-ρές 4cm, φέρνουμε το ύψος ΑΗ οπότε ΒΗ=2cm. Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΗ έχουμε: AB AH BH2 2 2= + ή 4 22 2 2= +AH ή 16 42= +AH οπότε AH2 12= άρα AH cm= = ⋅ =12 4 3 2 3 . Το εμβαδό του τριγώνου που είναι και το εμβαδό της βάσης του

πρίσματος είναι E BH AH cmB = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =12

12

4 2 3 4 3 2

Η παράπλευρη επιφάνεια του πρίσματος έχει εμβαδόν Ε ΠΠ Β= ⋅ = ⋅ ⋅ =υ ( )3 4 20 2402cm . Το ολικό

εμβαδό της επιφάνειας του πρίσματος είναι Ε Ε ΕΠ Βολ = + = + ⋅ = +2 240 2 4 3 240 8 32cm


40

6. Η σκηνή έχει σχήμα ορθού πρίσματος με βάση πε-ντάγωνο. Η πενταγωνική βάση αποτελείται από δύο τραπέζια. Το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΗ είναι:

EAH B

m12

22 0 5 0 8

22 5 0 8

21= + ⋅ = + ⋅ = ⋅ =( ) ( , ) , , ,Γ ΓΗ

Οπότε το εμβαδόν της βάσης είναι E E mB = = ⋅ =2 2 1 212 .

Η παράπλευρη επιφάνεια έχει περίμετρο:Π ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Ε ΕΑΒ = + + + + = + + + + =1 7 0 5 1 6 0 5 1 7 6, , , , , .mΟπότε το εμβαδόν της παράπλευρης θα είναι Ε ΠΠ Β= ⋅ = ⋅ =υ 6 2 12

2mΤο ολικό εμβαδόν της σκηνής είναι Ε Ε ΕΒ Πολ = + = ⋅ + =2 2 2 12 16

2mΆρα χρειάστηκαν 16m2 ύφασμα για την κατασκευή της σκηνής.

7. α) ΕΠ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =2 2 3 14 3 5 94 22πρ υ , , cm

ΕΒ = = ⋅ =πρ2 23 14 3 28 26, ,

Οπότε Ε Ε ΕΠ Βολ = + = + ⋅ =2 94 2 2 28 26 150 722, , , cm

β) Η ακτίνα της βάσης είναι ρ=4:2=2cm.Οπότε: ΕΠ = = ⋅ ⋅ ⋅ =2 2 3 14 2 6 75 36

2πρυ , , cm

και ΕΒ = = ⋅ =πρ2 2 23 14 2 12 56, , cm

Άρα Ε Ε ΕΠ Βολ = + = + ⋅ =2 75 36 2 12 56 100 482, , , cm

γ) Είναι 2πρ=15,7 ή 2·3,14·ρ=15,7 ή 6,28·ρ=15,7 ή ρ=15 76 28

2 5,

,,= cm

ΕΠ = = ⋅ ⋅ ⋅ =2 2 3 14 2 5 32 502 42πρυ , , , cm

ΕΒ = = ⋅ =πρ2 2 23 14 2 5 19 625, , , cm

Οπότε Ε Ε ΕΠ Βολ = + = + ⋅ =2 502 4 2 19 625 541 652, , , cm

δ) Είναι πρ2=50,24 ή 3,14ρ2=50,24 ή ρ2=50 243 14

16,,

= άρα ρ=4. Οπότε για ύψος υ = =2 20dm cm

έχουμε ΕΠ = = ⋅ ⋅ ⋅ =2 2 3 14 4 20 502 42πρυ , , cm

Οπότε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας είναι Ε Ε ΕΒ Πολ = + = ⋅ + =2 2 50 24 502 4 602 88

2, , , cm

8. (1) (2) (3) (4) (5)ακτίνα βάσης (cm) 3 2 10 10 1ύψος κυλίνδρου (cm) 5 4 1 2 9εμβαδόν Επ (cm

2) 94,2 50,24 62,8 125,6 56,52Ολικό εμβαδόν (cm2) 150,72 75,36 690,8 753,6 62,8

(1) ΕΠ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =2 2 3 14 3 5 94 22πρ υ , , cm

Ε ΕΠολ πρ= + = ⋅ ⋅ + =2 2 3 14 3 94 2 150 722 2 2, , , cm


41

(2) ΕΠ = 2πρυ ή 50 4 2 3 14 2, ,= ⋅ ⋅ ⋅ υ ή 50 24 12 56, ,= ⋅ υ άρα υ = =50 2412 56

4,,

cm

Ε ΕΠολ πρ= + = ⋅ ⋅ + =2 2 3 14 2 50 24 75 362 2 2, , , cm

(3) ΕΠ = 2πρυ ή 62 8 2 3 14 1, ,= ⋅ ⋅ ⋅ρ ή 62 8 6 28, ,= ρ άρα ρ = =62 86 28

10,

,cm

Ε ΕΠολ πρ= + = ⋅ ⋅ + = + =2 2 3 14 10 62 8 628 62 8 690 82 2 2, , , , cm

(4) Ε ΕΠολ πρ= +22 ή 753 6 2 3 14 125 62, , ,= ⋅ +ρ ή 753 6 125 6 6 28 2, , ,− = ρ ή

6 28 6282, ρ = ή ρ2 6286 28

100= =,

άρα ρ = 10cm .

(5) Εολ πρυ πρ= +2 22 ή 62 8 2 3 14 1 2 3 14 12, , ,= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅υ

62 8 6 28 6 28, , ,= +υ ή 62 8 6 28 6 28, , ,− = υ ή 56 52 6 28, ,= υ ή υ = =56 526 28

9,,

cm

και ΕΠ = = ⋅ ⋅ ⋅ =2 2 3 14 1 9 56 522πρυ , , cm

9. Το εμβαδόν της βάσης του κυλινδρικού κουτιού είναι ΕΒ = = ⋅ =πρ2 2 23 14 3 28 26, , cm

Άρα 2 2 28 26 56 52 2⋅ = ⋅ =ΕΒ , , cmΟπότε τα 1000 κουτιά θα έχουν εμβαδά βάσεων 56 52 1000 56520 2, ⋅ = cm ή 5 6520 2, mΤο κόστος των βάσεων θα είναι 5,6520·0,5=2,826€.Το εμβαδό της παράπλευρης επιφάνειας του κουτιού είναι ΕΠ = = ⋅ ⋅ ⋅ =2 2 3 14 3 12 226 08

2πρυ , , cmΤα 1000 κουτιά θα έχουν συνολικό εμβαδό παράπλευρων επιφανειών 226,08·1000=226080cm2 ή 22,608m2.Το κόστος αυτών θα είναι 22,608·0,3=6,7824€. άρα το συνολικό κόστος κατασκευής των 1000 κουτιών θα είναι: 2,826+6,7824=9,6084€.

4.3. Όγκος πρίσματος και κυλίνδρου


1. (α) V = ⋅ = ⋅ =ΕΒ υ 12 3 36

(β) V = ⋅ΕΒ υ ή 56 8= ⋅ υ άρα υ = =568

7

(γ) V = ⋅ΕΒ υ ή 30 6= ⋅ΕΒ άρα ΕΒ = =306

5

2. (α) V = ⋅ = ⋅ =ΕΒ υ 22 4 88

(β) V = ⋅ΕΒ υ ή 72 9= ⋅ υ άρα υ = =729

8

(γ) V = ⋅ΕΒ υ ή 120 6= ⋅ΕΒ άρα ΕΒ = =1206

20

(α) (β) (γ)Εμβαδόν βάσης (cm) 12 8 5ύψος (cm) 3 7 6Όγκος (cm3) 36 56 30

(α) (β) (γ)Εμβαδόν βάσης (cm) 22 9 20ύψος (cm) 4 8 6Όγκος (cm3) 88 72 120


42

3.

1ος ΚύλινδροςΕΠ = = ⋅ ⋅ ⋅ =2 2 4 2 16

2πρυ π π cm

Ε ΕΠολ πρ π π π π π= + = ⋅ ⋅ + = + =2 2 4 16 32 16 482 2 2cm

V cm= = ⋅ ⋅ =πρ υ π π2 2 34 2 32

2ος ΚύλινδροςΕΠ = = ⋅ ⋅ ⋅ =2 2 4 4 32

2πρυ π π cm

Ε ΕΠολ πρ π π π π π= + = ⋅ ⋅ + = + =2 2 4 32 32 32 642 2 2cm

V cm= = ⋅ ⋅ =πρ υ π π2 2 34 4 64

3ος ΚύλινδροςΕΠ = = ⋅ ⋅ ⋅ =2 2 4 6 48

2πρυ π π cm

Ε ΕΠολ πρ π π π π π= + = ⋅ ⋅ + = + =2 2 4 48 32 48 802 2 2cm

V cm= = ⋅ ⋅ =πρ υ π π2 2 34 6 96

4ος ΚύλινδροςΕΠ = = ⋅ ⋅ ⋅ =2 2 4 8 64

2πρυ π π cm

Ε ΕΠολ πρ π π π π π= + = ⋅ ⋅ + = + =2 2 4 64 32 64 962 2 2cm

V cm= = ⋅ ⋅ =πρ υ π π2 2 34 8 128

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Η υποτείνουσα ΒΓ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ είναι:ΒΓ ΑΒ ΑΓ2 2 2 2 23 4 25= + = + = άρα ΒΓ=5cm.Οπότε και το ύψος του πρίσματος είναι υ=5cm. (α) Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του πρίσματος είναι

Ε ΠΠ Β= ⋅ = + + ⋅ = ⋅ =υ ( )3 4 5 5 12 5 602cm

(β) Το εμβαδό της βάσης ΑΒΓ του πρίσματος είναι EB AB A cm= ⋅ = ⋅ =12

12

3 4 6 2Γ . Οπότε το

εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του πρίσματος είναι: Ε Ε ΕΒ Πολ = + = ⋅ + =2 2 6 60 722cm

(γ) Ο όγκος του πρίσματος είναι: V E cmB= ⋅ = ⋅ =υ 6 5 303

1ος Κύλινδρος 2ος Κύλινδρος 3ος Κύλινδρος 4ος Κύλινδροςύψος κυλίνδρου υ

2cm 4 cm 6 cm 8 cm

εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας Επ

16π 32π 48π 64π

ολικό εμβαδόν Εολ

48π 64π 80π 96π

όγκος V 32 64π 96π 128π


43

2. Έστω ότι η πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου είναι α τότε το ύψος του πρίσματος είναι υ=4α και η περίμετρος της βάσης ΠΒ = 3α . Είναι Ε ΠΠ Β= ⋅ υ ή 432=4α·3α ή 12α2=432 ή α2=36 οπότε α=6cm.Για να βρούμε το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος αρκεί να υπολο-γίσουμε το ύψος ΑΚ του τριγώνου ΑΒΓ. Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε:ΑΓ ΑΚ ΚΓ2 2 2= + ή 6 32 2 2= +ΑΚ ή 36 9 272 2= + ⇔ =ΑΚ ΑΚ

άρα ΑΚ = = ⋅ =27 9 3 3 3cm.

Άρα Ε ΒΓ ΑΚΒ = ⋅ = ⋅ =12

12

6 3 3 9 3

Ο όγκος του πρίσματος είναι: V E cmB= ⋅ = ⋅ =υ 9 3 24 216 33

3. Ε ΕΠολ = 3 ή 2 3Ε Ε ΕΒ Π Π+ = ή 2 3Ε Ε ΕΒ Π Π= − ή 2 2Ε ΕΒ Π= άρα Ε ΕΒ Π= (1)Αν α η πλευρά της βάσης του πρίσματος που είναι τετράγωνο τότε ΕΒ = α

2 και Ε ΠΠ Β= ⋅ =υ αυ4 οπότε η (1) γίνεται:

α αυ2 4= ή α υ= 4 (διαγράφοντας το α ≠ 0 )

4. α) Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας είναι Ε ΠΠ Β= ⋅ υ

220 10= ⋅ΠΒ άρα ΠΒ = =22010

22cm

Άρα η περίμετρος του τραπεζίου ΑΒΓΔ είναι ΠΒ = 22cm .Επίσης ο όγκος του πρίσματος δίνεται από τον τύπο

V EB= ⋅ υ ή 180 10= ⋅EB άρα E cmB = =18010

18 2

β) Έστω ΔΚ και ΓΛ τα ύψη του τραπεζίου τότε τα τρίγωνα ΑΔΚ και ΓΛΒ είναι ίσα και ΚΛ=ΓΔ. Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΚ έχουμε:Α∆ ∆Κ ΑΚ2 2 2= + ή 5 32 2 2= + ΑΚ ή 25 9 2= + ΑΚ άρα ΑΚ 2 25 9 16= − = οπότε ΑΚ ΒΛ= =4Έστω ΓΔ=ΚΛ=x, τότε η περίμετρος του ΑΒΓΔ είναιΠ Α∆ Γ∆ ΒΓ ΒΛ ΚΛ ΑΚΒ = + + + + + = + + + + + = +5 5 4 4 18 2x x xΠρέπει 18 2 22+ =x ή 2 22 18x = − ή 2 4x = άρα x cm= 2 .Άρα Γ∆ = 2cm και AB AK K cm= + + = + + =Λ ΒΛ 4 2 4 10 .

5. Η παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου κατασκευάστηκε από το ορθογώνιο φύλλο του χαρ-τιού οπότε έχει εμβαδό: ΕΠ = ⋅ =21 29 609

2cm

Είναι 2 609πρ υ⋅ = ή 2 3 14 21 609⋅ ⋅ ⋅ =, ρ ή 131 88 609, ρ = άρα ρ = =609131 88

4 62,

, cm

Ο όγκος του κυλίνδρου είναι V E cmB= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =υ πρ υ2 2 33 14 4 62 21 1407 45, , ,

6. α) V cm= ⋅ = ⋅ ⋅ =πρ υ2 2 23 14 10 1 2 376 8, , ,β) Το ύψος του κυλίνδρου είναι υ = =0 2 200, m mm . Οπότε V E mmB= ⋅ = ⋅ =υ 100 200 20000

2


44

7. Ο όγκος του τσιγάρου που καπνίζει ο καπνιστής είναι V cm= ⋅ = ⋅ ⋅ =πρ υ2 2 33 14 0 4 5 2 512, , ,Ενώ το εμβαδό του χαρτιού που καίγεται κατά το κάπνισμα είναι:ΕΠ = = ⋅ ⋅ ⋅ =2 2 3 14 0 4 5 12 56

2πρυ , , , cmΗ πίσσα που εισπνέει ο καπνιστής από ένα τσιγάρο είναι:2 512 0 5 12 56 0 05 1 884, , , , ,⋅ + ⋅ = mgΆρα από τα 15 τσιγάρα ημερησίως εισπνέει συνολικά 1 884 15 28 26, , .⋅ = mg

4.4. Η πυραμίδα και τα στοιχεία της


1. Λ 2. Σ 3. Σ 4. Λ 5. Λ 6. Σ 7. Γ 8. Β 9. Γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. (α) (β) (γ)Ύψος (cm) 8 12 6πλευρά βάσης (cm) 12 8 12απόστημα (cm2) 10 12,65 8εμβαδό παράπλευρης επιφάνειας (cm2)

240 202,4 192

Όγκος (cm3) 384 256 288

(α) E cmBΠ Π= ⋅ = ⋅ ⋅ =12

12

4 12 10 240 2α ( )

V E cmB= ⋅ = ⋅ =13

13

12 8 3842 2υ

(β) V EB= ⋅13

υ άρα 256 13

8 3 256 643 256

64122= ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ = ⋅ =υ υ υ α υ2 2

2

2= +

x

όπου x η πλευρά της βάσης.

Δηλαδή α2 22

1282

144 16 160= +

= + = άρα α = =160 12 65, cm

E BΠ Π= ⋅ = ⋅ ⋅ =

12

12

4 8 12 65 202 4α ( ) , ,

(γ) E BΠ Π= ⋅12

α ή 192 12

8= ⋅ΠB ή 4 192ΠB = άρα ΠB cm= 48 άρα κάθε πλευρά της

βάσης είναι x cm= =484

12 . V EB= ⋅ = ⋅ =13

13

12 6 2882υ


45

2. V E cmB= ⋅ = ⋅ =13

13

12 10 4802 3υ

3. E cmBΠ Π= ⋅ = ⋅ ⋅ =12

12

6 9 12 324 2α ( )

4. α) E cmBΠ Π= ⋅ = ⋅ ⋅ =12

12

4 9 8 144 2α ( )

β) E E E cmολ = + = + = + =Β Π 9 144 81 144 2252 2

5. V EB= ⋅13

υ ή 700 13

17= ⋅ΕΒ ή 2100 17= ⋅ ΕΒ άρα ΕΒ = =210017

123 6,

Άρα x2 123 6= , οπότε x cm= =123 6 11 1, ,

6. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΗ είναι ΟΗ = =α 10cm και Κ ΑΒH cm= = =2

162

8Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε:ΟΗ ΟΚ ΚΗ2 2 2= + ή 10 82 2 2= +ΟΚ ή 100 642= +ΟΚ ή ΟΚ 2 100 64 36= − = άρα ΟΚ = =υ 6cm.Το εμβαδό της παράπλευρης επιφάνειας της πυραμίδας είναι:

E cmBΠ Π= ⋅ = ⋅ ⋅ =12

12

4 16 10 320 2α ( )

Ενώ ο όγκος της είναι: V E cmB= ⋅ = ⋅ =13

13

16 6 5122 3υ

7. Η μια έδρα του τετραέδρου είναι ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 6cm. Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΗ έχουμε:AB AH BH2 2 2= + ή 6 32 2 2= +AH ή 36 92= +AH ή AH2 36 9 27= − = οπότε AH cm= =27 5 2, .Το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ είναι:

E B cm= ⋅ = ⋅ =12

12

6 5 2 15 6 2Γ ΑΗ , ,

Άρα η ολική επιφάνεια του τετραέδρου έχει εμβαδόν:Ε Εολ = = ⋅ =4 4 15 6 62 4

2, , cm

8. Είναι VV

1

2

19

= ή

1313

19

1

2

Ε

Ε

⋅

⋅=

υ

υ ή

ΕΕ

1

2

19

= δηλαδή αν α1, α2 αντίστοιχα οι πλευρές των βάσεων,

τότε αα

12

2

19

= ή αα

1

2

2 213

=

άρα αα

1

2

13

= .


46

9. Ο όγκος του κύβου είναι: V cmκυβ α= = =3 3 310 1000

Ο όγκος της πυραμίδας είναι V E cmBπυρ υ= ⋅ = ⋅ =13

13

10 6 2002 3

Άρα ο συνολικός όγκος του στερεού είναι

V V V cm= + = + =κυβ πυρ 1000 200 12003

10. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΔ έχουμε: ΟΚ = =υ 8cm και Ο∆ = 10cm οπότε από το Πυθαγόρειο Θεώρημα θα έχουμε: Ο∆ ΟΚ Κ∆2 2 2= + ή 10 82 2 2= + Κ∆ ή 100 64 2= + Κ∆ ή Κ∆2 100 64 36= − = άρα Κ∆ = 6cm.Το τρίγωνο ΚΔΓ είναι ισόπλευρο πλευράς 6cm οπότε για το απόστη-μα ΟΗ στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΔΗ θα έχουμε Ο∆ ∆ Ο2 2 2= +H H ή 10 32 2 2= + ΟH ή ΟH2 100 9 91= − = άρα ΟH cm= =91 9 54, .

α) Η παράπλευρη επιφάνεια της πυραμίδας έχει εμβαδόν

E cmBΠ Π= ⋅ = ⋅ ⋅ =12

12

6 6 9 54 171 72 2α ( ) , ,

β) Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν της βάσηε της πυραμίδας αρκεί να υπολογίσουμε το

εμβαδόν του ισοπλεύρου τριγώνου Κ∆Γ . Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΗ έχουμε ΟΗ ΟΚ Κ2 2 2= + H ή 91 64 2= + ΚH άρα ΚH2 91 64 27= − = οπότε ΚH cm= =27 5 2, .

Άρα το εμβαδόν Ε του Κ∆Γ είναι: E cm= ⋅ = ⋅ =12

12

6 5 2 15 6 2∆Γ ΚΗ , ,

Το εμβαδόν της βάσης της πυραμίδας είναι Ε ΕΒ = ⋅ = ⋅ =6 6 15 6 93 62, , cm

και το εμβαδό της ολικής επιφάνειας είναι E E E cmολ = + = + =Π Β 171 72 93 6 265 322, , ,

γ) Ο όγκος της πυραμίδας είναι: V E cmBπυρ υ= ⋅ = ⋅ =13

13

93 6 8 249 6 3, ,

4.5. Ο κώνος και τα στοιχεία του


1. Λ 2. Σ 3. Σ 4. Σ 5. Β 6. Γ 7. Α 8. Β 9. Γ 10. Α


47

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. (α) (β) (γ) (δ)Ύψος (cm) 4 8 10 6,7Ακτίνα βάσης (cm) 3 6 4 6Γενέτειρα (cm2) 5 10 10,77 9Όγκος (cm3) 37,68 301,44 167,46 252,46Παράπλευρη επιφάνεια (cm2) 47,1 188,9 135,27 169,56

(α) Είναι λ ρ υ2 2 2 2 23 4 9 16 25= + = + = + = άρα λ=5.

Ο όγκος V cm= = ⋅ ⋅ =13

13

3 14 3 4 37 682 2 3πρ υ , ,

ΕΠ = = ⋅ ⋅ =πρλ 3 14 3 5 47 12, , cm

(β) λ ρ υ2 2 2= + ή 10 82 2 2= + υ ή 100 64 2= + υ άρα υ2 100 64 36= − = οπότε υ = 6cm .

V cm= = ⋅ ⋅ =13

13

3 14 6 8 301 442 2 3πρ υ , ,

ΕΠ = = ⋅ ⋅ =πρλ 3 14 6 10 188 42, , cm

(γ) λ ρ υ2 2 2 2 210 4 100 16 116= + = + = + = άρα λ = =116 10 77, cm .

ΕΠ = = ⋅ ⋅ =πρλ 3 14 4 10 8 135 272, , , cm

(δ) ΕΠ = πρλ ή 169 56 3 14 9, ,= ⋅ ⋅ρ ή 28,26ρ=169,56 άρα ρ = =169 5628 26

6,,

cm.

Επειδή λ ρ υ2 2 2= + τότε 9 62 2 2= + υ ή 81 36 2= + υ

υ2 81 36 45= − = άρα υ = =45 6 7, cm

V cm= = ⋅ ⋅ =13

13

3 14 6 6 7 252 452 2 3πρ υ , , ,

2. Είναι V m= =13

12 3πρ υ

α) Αν υ1=2υ τότε V m12

12 2 31

313

2 213

2 1 2= = ⋅ =

= ⋅ =πρ υ πρ υ πρ υ

β) Αν ρ1=2ρ τότε V m2 12 2 2 2 31

313

213

4 413

4 1 4= = = =

= ⋅ =πρ υ π ρ υ π ρ υ πρ υ( )

γ) V m3 12

12 2 2 2 31

313

2 213

4 2 4 213

8 1 8= = ⋅ = ⋅ = ⋅

= ⋅ =πρ υ π ρ υ π ρ υ πρ υ( )

3. V cmκων πρ υ= = ⋅ ⋅ =13

13

3 14 10 20 2093 332 2 3, ,

V cmκυβ α= = =3 3 320 8000

Επειδή ο κύβος έχει μεγαλύτερο όγκο το νερό δεν θα ξεχειλίσει.


48

4. V = 13

2πρ υ ή 20 13

3 14 32= ⋅ ⋅, ρ ή 3 14 202, ρ = άρα ρ2 203 14

6 37= =,

,

άρα ρ = =6 37 2 52, , mΆρα η διάμετρος της βάσης της σκηνής πρέπει να είναι τουλάχιστον 2·2,52=5,04m.

5. V cmκων πρ υ= = ⋅ ⋅ =13

13

3 14 4 6 100 482 12 3, ,

V cmκυλ πρ υ= = ⋅ ⋅ =2

22 23 14 4 4 200 96, ,

Άρα V V V cmολ κων κυλ= + = + =100 48 200 96 301 443, , ,

Η ολική επιφάνεια του στερεού αποτελείται από την παράπλευρη επιφάνεια του κώνου που έχει εμ-βαδόν ΕΠ = = ⋅ ⋅ =πρλ 3 14 4 7 2 90 432

2, , , cm αφού λ2 2 26 4 52= + = άρα λ = =52 7 2, .cmΕπίσης αποτελείται από την παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου που έχει εμβαδόΕ Π1 1

22 2 3 14 4 4 100 48= = ⋅ ⋅ ⋅ =πρυ , , cmκαι τη βάση του κυλίνδρου που έχει εμβαδόν ΕΒ = = ⋅ =πρ

2 2 23 14 4 50 24, , cmΆρα το εμβαδό της ολικής επιφάνειας του στερεού είναι:Εολ = + + =90 432 100 48 50 24 241 152

2, , , , cm

6. V V Vολ πρ υ πρ υ= + = + =

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

1 22

12

2

2 2

13

13

13

3 14 4 813

3 14 4 12 133 97, , , ++ =200 96 334 93 3, , cm

7.

α)

ΕΕ

ΑΓ ΒΓΑΒ ΒΓ

ΑΓΑΒ

1

2

1 1

2 2

= = ⋅ ⋅⋅ ⋅

=πρ λπρ λ

ππ

β) VV

1

2

12

1

22

2

2

2

2

2

1313

1313

= =⋅ ⋅

⋅ ⋅= ⋅

⋅=

πρ υ

πρ υ

π

π

ΑΓ ΑΒ

ΑΒ ΑΓ

ΑΓ ΑΒΑΒ ΑΓ

ΑΓΑΑΒ

8. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΚ είναι ΑΒ=13 και ΒΚ = =242

12cm.

Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα θα είναι Α ΑΚ ΚB B2 2 2= + ή 13 122 2 2= +ΑΚ ή 169 1442= +ΑΚ ή ΑΚ 2 25= άρα ΑΚ = 5cm.


49

α) Το σχήμα αποτελείται από δύο ίσους κώνους, και η ολική του επιφάνεια αποτελείται από τις παρά-πλευρες επιφάνειες των δύο κώνων.Ε Εολ πρλ= = = ⋅ ⋅ ⋅ =1

22 2 3 14 5 13 408 2, , cm

β) V V cmολ πρ υ= = = ⋅ ⋅ ⋅ =2 213

23

3 14 5 12 6282 2 3,

9. Η ακτίνα της βάσης είναι ρ = =402

20m ενώ η γενέτειρα του κώνου είναι

λ ρ υ2 2 2 2 220 15 400 225 625= + = + = + = οπότε λ = =625 25mΤο εμβαδό της παράπλευρης επιφάνειας του κώνου θα είναι

ΕΠ = = ⋅ ⋅ =πρλ 3 14 20 25 15702, m

10. Είναι V cm= = ⋅ ⋅ =13

13

3 14 5 9 17 239 942 2 3πρ υ , , ,

Αφού αδειάζει 4cm3 άμμο το λεπτό τότε χρειάζεται 239 94 4 59 98, : , min= για να αδειάσει.Άρα αδειάζε�

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 2. β) - askisopolis.gr3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ...

Documents

Transcript of ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 2. β) - askisopolis.gr3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ...