ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 10 + 2 ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΕ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ

ΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

• Αν και το θεώρημα σήμερα φέρει το όνομα του Έλληνα μαθηματικού Πυθαγόρα (570 π.Χ.- 495 π.Χ.), από ιστορικές έρευνες φαίνεται ότι είχε διατυπωθεί και νωρίτερα (ως εμπειρική παρατήρηση).

• Υπάρχουν αποδείξεις ότι Βαβυλώνιοι μαθηματικοί είχαν κατανοήσει τον τρόπο λειτουργίας του θεωρήματος. Μαθηματικοί από την Μεσοποταμία, την Ινδία και την Κίνα είναι επίσης γνωστοί για το ότι είχαν ανακαλύψει το αποτέλεσμα του θεωρήματος.

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

• «Εν τοις ορθογωνίοις τριγώνοις το από της την ορθήν γωνίαν υποτεινούσης πλευράς τετράγωνον ίσον εστί τοις από των την ορθήν γωνίαν περιεχουσών πλευρών τετραγώνοις».

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

• Τη παραπάνω αρχαία διατύπωση της πρότασης του εν λόγω θεωρήματος παρέχει ο Ευκλείδης στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων Γεωμετρίας του (47η πρόταση) με σχετική απόδειξη,

• Υπάρχουν πάνω από 370 αποδείξεις του θεωρήματος περισσότερες από κάθε άλλο θεώρημα

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1η (ΕΥΚΛΕΙΔΗ)

• Η σχετική απόδειξη που παρέχει ο Ευκλείδης στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων Γεωμετρίας του (47η πρόταση).

• ΑΝΟΙΞΤΕ: ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1 (ΕΥΚΛΕΙΔΗ).ggb

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 2η (ΠΡΟΚΛΟΥ)

• Η πολύ απλή αυτή απόδειξη (ονομάζεται απόδειξη με ανακατανομή) αναφέρεται σε συγγράμματα του μεταγενέστερου Έλληνα φιλόσοφου και μαθηματικού, Πρόκλου (412-485 μ.Χ) και αποδίδεται στον Πυθαγόρα.

• ΑΝΟΙΞΤΕ: ΑΠΟΔΕΙΞΗ 2 (ΠΡΟΚΛΟΥ).ggb

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 3η (BHASKARA)• Την απόδειξη που έδωσε στο

Πυθαγόρειο θεώρημα , γύρω στο 1150 ο Ινδός μαθηματικός και αστρονόμος Bhaskara.

• Χώρισε το τετράγωνο της υποτείνουσας , σε τέσσερα τρίγωνα ίσα με το αρχικό και ένα μικρό τετράγωνο ,όπως φαίνεται στο σχήμα.

• ΑΝΟΙΞΤΕ: ΑΠΟΔΕΙΞΗ 3 (BHASKARA).ggb

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 4η (ΔΥΝΑΜΗ ΣΗΜΕΙΟΥ)

• Χρησιμοποιώντας την έννοια της δύναμης σημείου ως προς κύκλο σχηματίζοντας κύκλους με διάμετρο τις κάθετες πλευρές.

• ΑΝΟΙΞΤΕ: ΑΠΟΔΕΙΞΗ 4 (δυναμη σημειου).ggb

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 5η (GARFIELD)

• Μία απόδειξη είχε εκδώσει ο μετέπειτα πρόεδρος των ΗΠΑ, James Abram Garfield. Χρησιμοποίησε ένα τραπέζιο, το οποίο μπορεί να κατασκευαστεί από το τετράγωνο της υποτείνουσας φέρνοντας τη διαγώνιο ώστε να κατασκευαστεί το τραπέζιο που φαίνεται στο σχήμα.

• ΑΝΟΙΞΤΕ: ΑΠΟΔΕΙΞΗ 5 (GARFIELD).ggb

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 6η (LEONARDO DA VINCI)

• Μια απόδειξη του Leonardo da Vinci που στηρίζεται στην ισοδυναμία τεσσάρων εξαγώνων.

• ΑΝΟΙΞΤΕ: ΑΠΟΔΕΙΞΗ 6 (LEONARDO DA VINCI).ggb

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 7η (ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ)

• Μια άλλη απόδειξη του θεωρήματος γίνεται με την βοήθεια διανυσμάτων.

• ΑΝΟΙΞΤΕ: ΑΠΟΔΕΙΞΗ 7 (διανυσματα).ggb

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 8η (ME ΧΡΗΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ)

• Μπορεί κανείς να καταλήξει στο πυθαγόρειο θεώρημα μελετώντας πώς αλλαγές σε μία πλευρά του τριγώνου επηρεάζουν την υποτείνουσα, και εμπλέκοντας τον διαφορικό λογισμό.

• ΑΝΟΙΞΤΕ: ΑΠΟΔΕΙΞΗ 8 (ΜΕ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ).ggb

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 9η (EINSTEIN)

• H απόδειξη αυτή δόθηκε από τον Einstein σε ηλικία 12 ετών.

• ΑΝΟΙΞΤΕ: ΑΠΟΔΕΙΞΗ 9 (EINSTEIN).ggb

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 10η (ΜΕ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ)

Η απόδειξη αυτή βασίζεται στην ομοιότητα των τριών ορθογωνίων τριγώνων που σχηματίζονται αν φέρουμε το ύψος προς την υποτείνουσα και το θεώρημα λόγου εμβαδών αυτών.

ΑΝΟΙΞΤΕ: ΑΠΟΔΕΙΞΗ 10 (OMOIOTHTA).ggb

ΑΠΟΔΕΙΞEIΣ 11η και 12η

• Οι αποδείξεις αυτές γίνονται με απλή ανακατανομή των

εμβαδών των δυο μικρότερων τετραγώνων στο μεγαλύτερο

και υλοποιούνται με το λογισμικό SKETCHPAD

• ΑΝΟΙΞΕ: ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ.gsp

ΤΕΛΟΣ