Κεφάλαιο4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑusers.auth.gr/gvasil/chapter4.pdf · 48 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ4....

Κεφάλαιο 4

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-µατα

Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησηςf(x), x ∈ [a, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει την ισότητα

F ′(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b].

Είναι ϕανερό ότι αν µία συνάρτηση F (x) είναι αρχική της f(x), τότε ϑαείναι αρχική και η F (x) + c για κάθε σταθερά c, αφού

(F (x) + c)′ = F ′(x) = f(x).

Επίσης, αν G(x) µία άλλη αντιπαράγωγος της f(x) στο [a, b], τότε από τιςισότητες F ′(x) = f(x) και G′(x) = f(x) έχουµε

F ′(x) = G′(x),

για κάθε x ∈ [a, b] και άρα ∃c ∈ R τέτοιο ώστε

G(x) = F (x) + c, ∀x ∈ [a, b].

΄Ετσι, το σύνολο όλων των αρχικών της f(x) συναρτήσεων είναι το

F (x) + c, c ∈ R.

43

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Ορισµός 4.1.2. Αόριστο ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης f(x), λέγεται καισυµβολίζεται µε ∫

f(x)dx,

το σύνολο όλων των αρχικών της f συναρτήσεων. Είναι δηλαδή

∫f(x)dx = F (x) + c, (4.1)

όπου F (x) είναι µία αρχική της f και c µία αυθαίρετη σταθερά.

Η διαδικασία υπολογισµού του αόριστου ολοκληρώµατος, δηλαδή η δι-αδικασία εύρεσης µιας συνάρτησης F (x) για την οποία F ′(x) = f(x), λέγεταιολοκλήρωση της συνάρτησης f(x). Στο συµβολισµό, το διαφορικό dx δηλώνειτην ανεξάρτητη µεταβλητή ως προς την οποία γίνεται η ολοκλήρωση.

Παρατήρηση: Αν στο πρώτο µέλος της ισότητας (4.1) ϑέσουµε όπου f(x)τη συνάρτηση F ′(x) έχουµε

∫F ′(x)dx = F (x) + c,

ή ∫dF (x) = F (x) + c.

Βασικά ολοκληρώµατα

1.∫

xndx =xn+1

n + 1+ c, n 6= −1

2.∫ 1

xdx = ln |x|+ c

3.∫

sin xdx = − cos x + c

4.∫

cos xdx = sin x + c

5.∫ 1

cos2 xdx = tan x + c

6.∫ 1

sin2 xdx = − cot x + c

4.2. ΚΑΝΟΝΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ 45

7.∫

exdx = ex + c

8.∫ 1

1 + x2dx = arctan x + c

9.∫ 1√

1− x2dx = arcsin x + c

Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα

i)∫

dx ii)∫ 1

x2dx iii)

∫ 1

x10dx

iv)∫ √

xdx v)∫

x 3√

xdx.

4.2 Κανόνες ολοκλήρωσης

Οπώς είδαµε στο κεφάλαιο των παραγώγων, αν k είναι ένα σταθερό στοιχείοτου R, τότε έχουµε

[kf(x)]′ = kf ′(x),

δηλαδη οι σταθεροί παράγοντες ϐγαίνουν έξω από το σύµβολο της παραγώγισης.Επειδή η ολοκλήρωση είναι διαδικασία αντίστροφη της παραγώγισης, η παρα-πάνω ιδιότητα µεταβιβάζεται και στην ολοκλήρωση. Εποµένως ισχύει

∫kf(x)dx = k

∫f(x)dx,

για κάθε συνάρτηση f(x) και k ∈ R.Επίσης, όπως γνωρίζουµε, η παράγωγος του αθροίσµατος κάποιων συναρτή-

σεων ισούται µε το άθροισµα των παραγώγων τους, δηλαδή

[f1(x) + f2(x) + . . . + fn(x)]′ = f ′1(x) + f ′2(x) + . . . + f ′n(x).

Η ιδιότητα αυτή µεταβιβάζεται και στην ολοκλήρωση. ∆ηλαδή ισχύει∫

[f1(x)+f2(x)+ . . .+fn(x)]dx =

∫f1(x)dx+

∫f2(x)dx+ . . .+

∫fn(x)dx.

Συνδυάζοντας τους δύο παραπάνω τύπους προκύπτει ότι∫

[k1f1(x) + k2f2(x) + . . . + knfn(x)]dx = k1

∫f1(x)dx + k2

∫f2(x)dx +

+ . . . + kn

∫fn(x)dx


για όλα τα ki ∈ R και όλες τις συναρτήσεις fi(x), i = 1, 2, . . . , n.Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα

i)∫ ax3 + bx + c

x7dx ii)

∫(1− x3)2dx iii)

∫(2 sin x− 3 cos x)dx

iv)∫

(2

1 + x2− 3√

1− x2)dx v)

∫(3ex − 7

x+

4

1 + x2− 1

cos2 x)dx.

4.3 Ολοκλήρωση µε αντικατάσταση - Αλλαγή µεταβλ-ητής

Ας είναι ∫f(x)dx,

το αόριστο ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης f(x) το οποίο ϑέλουµε να υπ-ολογίσουµε. Υποθέτουµε ότι η µεταβλητή x είναι παραγωγίσιµη συνάρτησηµιας άλλης µεταβλητής t, δηλαδή

x = g(t).

Τότε επειδήdx = d[g(t)] = g′(t)dt,

το αρχικό ολοκλήρωµα µετασχηµατίζεται στο ολοκλήρωµα∫

f [g(t)]g′(t)dt.

΄Εστω ότι το ολοκλήρωµα αυτό είναι γνωστό, δηλαδή∫

f [g(t)]g′(t)dt = G(t) + c.

Αν υποθέσουµε ότι η συνάρτηση g είναι αντιστρέψιµη και η αντιστροφή τηςείναι η

t = g−1(x),

τότε ϑα ισχύει∫

f(x)dx =

∫f [g(t)]g′(t)dt = G(g−1(x)) + c.

4.4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ 47

Η µέθοδος υπολογισµού του αόριστου ολοκληρώµατος που περιγράψαµεπαραπάνω λέγεται ολοκλήρωση µε αλλαγή µεταβλητής ή µε αντικατάσ-ταση. Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται όταν το προς υπολογισµό ολοκλήρωµαανάγεται µε την αλλαγή µεταβλητής σε κάποιο από τα ϐασικά ολοκληρώµαταή τουλάχιστον σε ολοκλήρωµα του οποίου ο υπολογισµός είναι ευκολότεροςαπό τον υπολογισµού του αρχικού.

Σε ολοκληρώµατα της µορφής∫

f [g(x)]g′(x)dx,

η αλλαγή µεταβλητής g(x) = t είναι συχνά η κατάλληλη. Με την αντικατάσ-ταση αυτή το ολοκλήρωµα µετασχηµατίζεται στο

∫f(t)dt.

Παράδειγµα: Να υπολογιστεί το αόριστο ολοκλήρωµα

I =

∫f ′(x)

f(x)dx.


i) I =∫

(2x + 3)10dx ii) I =∫ 1

(3u + 1)11du iii) I =

∫ 13√

1− 3ydy

iv) I =∫

e5x+2dx v) I =∫

sin(3x + 2)dx vi) I =∫

tan xdx

vii) I =∫ 1

x ln xdx viii) I =

∫ 1

(1 + x2) arctan xdx ix) I =

∫ 1√4− x2

dx

x) I =∫ 1√

1− 16x2dx xi) I =

∫ 1

9 + x2dx. xii) I =

∫ 1

x2 − 2x + 2dx

4.4 Ολοκλήρωση κατά παράγοντες

΄Εστω f(x) και g(x) δύο παραγωγίσιµες συναρτήσεις. Είναι γνωστό ότι

[f(x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).


΄Αρα η συνάρτηση f(x)g(x) είναι αρχική για τη συνάρτηση που εµφανίζεταιστο δεύτερο µέλος της παραπάνω εξίσωσης. Εποµένως ϑα έχουµε

∫[f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)]dx = f(x)g(x) + c,

ή ∫f ′(x)g(x)dx = f(x)g(x)−

∫f(x)g′(x)dx.

Η τελευταία σχέση εκφράζει ένα ολοκλήρωµα µ΄ ένα άλλο, γι΄ αυτό και δεχρειάζεται η σταθερά στο δεύτερο µέλος. Αν σ΄ αυτή τη σχέση το ολοκλήρωµατου δεύτερου µέλους είναι γνωστό ή πιο απλό απ΄ αυτό του πρώτου µέλους,τότε έχουµε κάνει ένα ϐήµα για τον υπολογισµού του ολοκληρώµατος τουπρώτου µέλους. Αυτή η µέθοδος ολοκλήρωσης είναι γνωστή σαν ολοκλήρω-ση κατά παράγοντες.


i) I =∫

ln xdx ii) I =∫

ln(x2 + 1)dx iii) I =∫

xexdx

iv) I =∫

x sin xdx v) I =∫

x cos(2x)dx vi) I =∫

x2e−xdx

vii) I =∫

sin2 xdx viii) I =∫

ex sin xdx ix) I =∫

(x2 − 3x + 1)e2xdx

x) I =∫

x ln(1 +1

x)dx

4.5 Ολοκλήρωση ϱητών συναρτήσεων

Μία συνάρτηση της µορφήςp(x)

q(x),

όπου p(x) και q(x) είναι πολυώνυµα του x µε ϐαθµός q(x) ≥ 1, λέγεται ϱητήσυνάρτηση του x.

Για τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος µιας ϱητής συνάρτησης, δηλαδήενός ολοκληρώµατος της µορφής

∫p(x)

q(x)dx

4.5. ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 49

αναλύουµε τη συνάρτηση σε αθροίσµα απλών κλασµάτων και εφαρµόζουµετον κανόνα της ολοκλήρωσης αθροίσµατος. Για τη διαδικασία αυτή διακρί-νουµε δύο περιπτώσεις :

Περίπτωση Ι. Αν ο ϐαθµός του αριθµητή είναι µεγαλύτερος ή ίσος απότο ϐαθµό του παρονοµαστή (ϐαθµός p(x) ≥ϐαθµός q(x)) τότε εκτελούµε τηδιαίρεση p(x) : q(x). Σύµφωνα µε τον αλγόριθµο διαίρεσης πολυωνύµων,υπάρχουν δύο πολυώνυµα π(x) (πηλίκο) και u(x) (υπόλοιπο) τέτοιο ώστε ναείναι p(x) = π(x)q(x) + u(x) και ϐαθµός u(x) <ϐαθµός q(x).

Τότε, έχουµε

p(x)

q(x)=

π(x)q(x) + u(x)

q(x)= π(x) +

u(x)

q(x)

και ∫p(x)

q(x)dx =

∫π(x)dx +

∫u(x)

q(x)dx.

Η συνάρτηση π(x) είναι πολυωνυµική και το ολοκλήρωµά της υπολογίζεταικατά τα γνωστά. Για τον υπολογισµό του δεύτερου ολοκληρώµατος ακολου-ϑούµε τα ϐήµατα που παρουσιάζονται στην περίπτωση ΙΙ.

Περίπτωση ΙΙ. Αν ο ϐαθµός του αριθµητή είναι µικρότερος από το ϐα-ϑµό του παρονοµαστή (ϐαθµός p(x) <ϐαθµός q(x)) τότε το κλάσµα p(x)/q(x)επιδέχεται ανάλυση σε άθροισµα απλών κλασµάτων, η οποία ανάλυση εξαρτάταιαπό τις ϱίζες του παρονοµαστή q(x).

1. Αν το q(x) έχει k απλές ϱίζες a1, a2, . . . , ak, τότε

q(x) = (x− a1)(x− a2) . . . (x− ak)

και το το κλάσµα p(x)/q(x) αναλύεται

p(x)

q(x)=

A1

x− a1

+A2

x− a2

+ . . . +Ak

x− ak

,

όπου A1, A2, . . . , Ak σταθερές που µπορούν να προσδιοριστούν. ΄Ετσιγια το ολοκλήρωµα της ϱητής συνάρτησης ϑα έχουµε

∫p(x)

q(x)dx =

∫A1

x− a1

dx +

∫A2

x− a2

dx + . . . +

∫Ak

x− ak

dx.


2. Αν το q(x) έχει k ϱίζες a1, a2, . . . , ak µε πολλαπλότητα r1, r2, . . . , rk αν-τίστοιχα, τότε

q(x) = (x− a1)r1(x− a2)

r2 . . . (x− ak)rk

και το το κλάσµα p(x)/q(x) αναλύεται

p(x)

q(x)=

A1

x− a1

+A2

(x− a1)2+ . . . +

Ar1

(x− a1)r1+

+B1

x− a2

+B2

(x− a2)2+ . . . +

Br2

(x− a2)r2+

+ . . . +K1

x− ak

+K2

(x− ak)2+ . . . +

Krk

(x− ak)rk,

όπου A1, A2, . . . , Ar1 , B1, B2, . . . , Br2 , . . . , K1, K2, . . . , Krkσταθερές που

µπορούν να προσδιοριστούν.

3. Αν το q(x) έχει µιγαδικές ϱίζες, τότε σε κάθε Ϲεύγος απλών συζυγώνµιγαδικών ϱιζών x1,2 = λ± iµ του q(x) αντιστοιχούµε ένα απλό κλάσµατης µορφής

Bx + Γ

(x− λ)2 + µ2,

ενώ σε κάθε Ϲεύγος πολλαπλών συζυγών µιγαδικών ϱιζών x1,2 = λ± iµτου q(x) πολλαπλότητας r αντιστοιχούµε ένα άθροισµα απλών κλασ-µάτων της µορφής

B1x + Γ1

(x− λ)2 + µ2+

B2x + Γ2

[(x− λ)2 + µ2]2+ . . . +

Brx + Γr

[(x− λ)2 + µ2]r.


i) I =∫ x2 − x + 5

x− 1dx ii) I =

∫ x

x− 2dx


i) I =∫ 1

x2 − 1dx ii) I =

∫ 7x + 4

2x2 − 3x− 2dx iii) I =

∫ 4x2 − 3x + 5

(x + 2)(x− 1)2dx

iv) I =∫ x + 1

x3 + x2 − 6xdx v) I =

∫ 1

x3 + x2dx.

4.6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 51

4.6 Ολοκλήρωση των τριγωνοµετρικών συναρτή-σεων

Υπενθυµίζουµε ότι γνωστά ολοκληρώµατα τριγωνοµετρικών συναρτήσεων εί-ναι τα

1.∫

sin xdx = − cos x + c

2.∫

cos xdx = sin x + c

3.∫ 1

cos2 xdx = tan x + c

4.∫ 1

sin2 xdx = − cot x + c

Ολοκληρώµατα της µορφής

i)∫

sin(ax + b)dx ii)∫

cos(ax + b)dx

iii)∫ 1

cos2(ax + b)dx iv)

∫ 1

sin2(ax + b)dx

ανάγονται στα παραπάνω ϐασικά ολοκληρώµατα µε την αλλαγή µεταβλητήςax + b = t.


i) I =∫

sin(2x + 5)dx ii) I =∫ 1

cos2(3x− 2)dx

Ολοκληρώµατα της µορφής∫

sin(ax) sin(bx)dx,

∫sin(ax) cos(bx)dx,

∫cos(ax) cos(bx)dx,

όπου a, b ∈ R, a 6= b, υπολογίζονται αφού πρώτα µετατραπεί η ολοκληρωτέασυνάρτηση σε άθροισµα ή διαφορά ηµιτόνων ή συνιµητόνων σύµφωνα µε τουςτύπους :

1. sin(ax) sin(bx) =1

2[cos(ax− bx)− cos(ax + bx)],


2. sin(ax) cos(bx) =1

2[sin(ax− bx) + sin(ax + bx)],

3. cos(ax) cos(bx) =1

2[cos(ax− bx) + cos(ax + bx)].


i) I =∫

sin(x) cos(7x)dx ii) I =∫

sin(x) sin(4x)dx

iii) I =∫

cos(2x) cos(3x)dx iv) I =∫ 1

sin xdx v) I =

∫ 1

cos xdx.

΄Οταν η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι ϱητή συνάρτηση των sin x και cos xκαι το ολοκλήρωµα δεν µπορεί να υπολογιστεί µε κάποια από τις µεθόδουςπου αναφέραµε µέχρι τώρα, τότε κάνουµε την αλλαγή µεταβλητής

tan(x

2) = t.

Με την αντικατάσταση αυτή έχουµε

x = 2 arctan t, dx =2

1 + t2dt

sin x =2 tan(x

2)

1 + tan2(x2)

=2t

1 + t2, cos x =

1− tan2(x2)

1 + tan2(x2)

=1− t2

1 + t2

και το ολοκλήρωµα µετασχηµατίζεται σε ολοκλήρωµα ϱητής συνάρτησης τουt, το οποίο υπολογίζεται κατά τα γνωστά.


i) I =∫ 1

1 + sin xdx ii) I =

∫ 1

sin x + cos x + 1dx

4.7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα

΄Εστω η συνάρτηση y = f(x) ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [a, b]. ∆ι-αµερίζουµε (χωρίζουµε) το [a, b] σε n υποδιαστήµατα µε τα σηµεία διαίρεσηςx0, x1, x2, . . . , xn όπου

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b.

4.7. ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 53

Παίρνουµε τυχαία κάποιο σηµείο ξk σε κάθε υποδιάστηµα [xk−1, xk] και υπ-ολογίζουµε στη συνέχεια το εµβαδό του ορθογωνίου µε ϐάση το υποδιάστηµααυτό και ύψος την τιµή της συνάρτησης στο ξk (σχήµα 4.1). Σχηµατίζουµε τοάθροισµα

Sn =n∑

k=1

f(ξk)(xk − xk−1), (4.2)

το οποίο εκφράζει το συνολικό εµβαδό των n ορθογωνίων που σχηµατίζονται.

Σχήµα 4.1:

΄Εστω τώρα ότι το πλήθος των υποδιαιρέσεων n αυξάνει απεριόριστα έτσιώστε η µεγαλύτερη από τις διαφορές ∆xk = xk − xk−1 να τείνει στο µηδέν.Τότε το άθροισµα (4.2) τείνει σ΄ ένα όριο, που είναι ανεξάρτητο από τον τρόποτης υποδιαίρεσης και το συµβολίζουµε µε

∫ b

a

f(x)dx,

ονοµάζεται δε, ορισµένο ολοκλήρωµα της f(x) από a εώς b. Τα όρια aκαι b ονοµάζονται όρια ολοκλήρωσης, κάτω και άνω αντίστοιχα.


΄Ετσι γράφουµε

lim∆xk→0

n∑

k=1

f(ξk)(∆xk) =

∫ b

a

f(x)dx.

Το όριο αυτό υπάρχει όταν η f(x) είναι συνεχής ή τµηµατικά συνεχής στο[a, b]. ΄Οταν το όριο αυτό υπάρχει, λέµε ότι η f(x) είναι ολοκληρώσιµη στο[a, b].

Η τιµή του ολοκληρώµατος εκφράζει γεωµετρικά, το εµβαδό του χωρίουπου περιορίζεται από τη καµπύλη y = f(x), τον άξονα x και τις κάθετεςευθείες x = a και x = b.

Από τον ορισµό του ορισµένου ολοκληρώµατος προκύπτουν οι επόµενεςιδιότητες.

1.∫ b

akf(x)dx = k

∫ b

af(x)dx, ∀k ∈ R

2.∫ b

a[f(x)± g(x)]dx =

∫ b

af(x)dx± ∫ b

ag(x)dx

3. Αν a < b < c ⇒ ∫ c

af(x)dx =

∫ b

af(x)dx +

∫ c

bf(x)dx

4. Αν b < a ⇒ ∫ b

af(x)dx = − ∫ a

bf(x)dx

5.∫ a

af(x)dx = 0

6. Αν f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] ⇒ ∫ b

af(x)dx ≤ ∫ b

ag(x)dx

Θεώρηµα 4.7.1. (Θεµελιώδες ϑεώρηµα του ολοκληρωτικού λογισµού). Αν ησυνάρτηση y = f(x) είναι ολοκληρώσιµη στο [a, b], και η συνάρτηση F (x) είναιµία αρχική της f στο διάστηµα αυτό, δηλαδή είναι F ′(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b],τότε ισχύει ∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a).

Συµβολικά γράφουµε∫ b

a

f(x)dx = [F (x)]ba = F (b)− F (a).

Εποµένως, για να υπολογίσουµε το ορισµένο ολοκλήρωµα µιας συνάρτησηςσ΄ ένα διάστηµα στο οποίο η συνάρτηση είναι ολοκληρώσιµη, αρκεί να είναι

4.8. ΕΜΒΑ∆Α ΕΠΙΠΕ∆ΩΝ ΧΩΡΙΩΝ 55

γνωστό το αόριστο ολοκλήρωµα της ολοκληρωτέας συνάρτησης.

Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα ορισµένα ολοκληρώµατα:

i) I =∫ 4

1

√xdx ii) I =

∫ 1

−11

1+y2 dy iii) I =∫ 0

−1e1−5xdx

Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα ορισµένα ολοκληρώµατα:

i) I =∫ 3

01

x2+3dx ii) I =

∫ 4

11√

8+2x−x2 dx iii) I =∫ 1

01√

3−2xdx

Παράδειγµα: Να δειχθεί ότι ισχύει η ισότητα∫ 1

0

xµ(1− x)νdx =

∫ 1

0

(1− x)µxνdx.

4.8 Εµβαδά επίπεδων χωρίων

Με τη ϐοήθεια του ορισµένου ολοκληρώµατος µπορούµε να υπολογίσουµεεµβαδά επίπεδων χωρίων. Για το σκοπό αυτό χρησιµοποιούµε τις παρακάτωπροτάσεις.

Πρόταση 4.8.1. Αν y = f(x) είναι µία συνάρτηση ολοκληρώσιµη και µηαρνητική (f(x) ≥ 0) στο διάστηµα [a, b] (σχήµα 4.2), τότε το εµβαδόν E(D) τουεπίπεδου χωρίου D, το οποίο περικλείεται από την καµπύλη c : y = f(x), τονάξονα x και τις κατακόρυφες ευθείες x = a και x = b ισούται µε το ορισµένοολοκλήρωµα της f(x) στο [a, b], δηλαδή ισχύει

E(D) =

∫ b

a

f(x)dx.

Παράδειγµα: Να ϐρεθεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικ-λείεται από την καµπύλη c : y = x3, τον άξονα x και τις ευθείες x = 1 καιx = 2.

Αν στον υπολογισµό ενός εµβαδού επίπεδου χωρίου D, έχουµε µία ολοκληρώσιµησυνάρτηση µε αρνητικές τιµές, δηλαδή f(x) ≤ 0, ∀x ∈ [a, b] (σχήµα 4.2), τότε

E(D) =

∫ b

a

[−f(x)]dx = −∫ b

a

[f(x)]dx.


Σχήµα 4.2:

Σχήµα 4.3:

Γενικά, αν έχουµε µία ολοκληρώσιµη συνάρτηση y = f(x) για την οποίαυπάρχει c ∈ [a, b], τέτοιο ώστε f(x) < 0, ∀x ∈ [a, c] και f(x) > 0, ∀x ∈ [c, b](σχήµα 4.3), τότε

E(D) =

∫ b

a

|f(x)|dx =

∫ c

a

[−f(x)]dx +

∫ b

c

[f(x)]dx.

4.8. ΕΜΒΑ∆Α ΕΠΙΠΕ∆ΩΝ ΧΩΡΙΩΝ 57

Παράδειγµα: Να ϐρεθεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικ-λείεται από την καµπύλη c : y = x3 − 4x2 + 3x και τον άξονα x.

Παρατήρηση: Στην παραπάνω πρόταση, µε αναλλαγή των ϱόλων των xκαι y (η καµπύλη είναι c : x = g(y), ορισµένη στο [c, d]), ϑα έχουµε

E(D) =

∫ d

c

g(y)dy.

Παράδειγµα: Να ϐρεθεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικ-λείεται από την καµπύλη c : y2 = 2x, τον άξονα y και την ευθεία y = 2.

Σχήµα 4.4:

Πρόταση 4.8.2. Αν έχουµε δύο συναρτήσεις y = f(x), y = g(x) ολοκληρώσιµεςστο [a, b] µε f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a, b] (σχήµα 4.4), τότε το εµβαδόν E(D) τουεπίπεδου χωρίου D, το οποίο περικλείεται από τις καµπύλες c1 : y = f(x) καιc2 : y = g(x) και τις ευθείες x = a, x = b δίνεται από τον τύπο

E(D) =

∫ b

a

[f(x)− g(x)]dx.

Παράδειγµα: Να ϐρεθεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικ-λείεται από τις καµπύλες c1 : y2 = 4x και c2 : x2 = 4y.


4.9 Ασκήσεις

΄Ασκηση 4.1. Να ϐρεθούν οι συναρτήσεις g(y) και h(s) για τις οποίες γνωρί-Ϲουµε ότι

i) g′(y) =2

y− 6y, g(1) = 2

ii) h′(s) = 3s2 − 1

s2, h(−1) = 2.

΄Ασκηση 4.2. Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώµατα

i) I =∫ 1

x ln2(3x)dx ii) I =

∫ 2x + 1

x2 + x− 1dx iii) I =

∫ cos x + sin x

cos x− sin xdx

iv) I =∫ x3

√1− x8

dx v) I =∫

xe1−x2dx.

΄Ασκηση 4.3. Να υπολογιστούν τα ορισµένα ολοκληρώµατα

i) I =∫ 3

−3

1

x2 + 9dx ii) I =

∫ 5

2

1

6 + 3xdx iii) I =

∫ π/4

0

sin x√cos x

dx

iv) I =∫ π/2

0sin x cos2 xdx v) I =

∫ π/4

−π/4x sin xdx.

΄Ασκηση 4.4. Να υπολογιστούν τα ορισµένα ολοκληρώµατα

i) I =∫ 5

3

1

x2 − 3x + 2dx ii) I =

∫ 1

0xe−2xdx

iii) I =∫ π/2

0(3 sin(2x) + 5 cos(3x))dx iv) I =

∫ π/2

0ex sin xdx

v) I =∫ π/2

0cos2 xdx.

΄Ασκηση 4.5. Να υπολογιστεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικ-λείεται µεταξύ της καµπύλης c : y = x2 − 7x + 10 και τον άξονα x.

΄Ασκηση 4.6. Να υπολογιστεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικ-λείεται µεταξύ των καµπυλών c1 : y = x2 − 1 και c2 : 2x + y = 2.

΄Ασκηση 4.7. Να υπολογιστεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικ-λείεται από την παραβολή y2 = x και την ευθεία y = x− 6.

4.9. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 59

΄Ασκηση 4.8. Να υπολογιστεί το εµβαδόν του επίπεδου χωρίου D που περικ-λείεται απόα) την καµπύλη c : y = x2, την ευθεία x = 3 και τον άξονα x,ϐ) την καµπύλη c : y = x2 και την ευθεία y = x.

Κεφάλαιο4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑusers.auth.gr/gvasil/chapter4.pdf · 48 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ4....

Documents

Transcript of Κεφάλαιο4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑusers.auth.gr/gvasil/chapter4.pdf · 48 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ4....