ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - users.auth.grusers.auth.gr/gvasil/par2.pdf ·...

1

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ2o ΜΑΘΗΜΑ

∆Ι∆ΑΣΚΩΝ: Email: [email protected]

ΒΑΣΙΛΕΙΑ∆ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Ιστοσελίδες Μαθήματος:users.auth.gr/gvasilkastoria.teikoz.gr/elearn

1

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ

ΜΕΤΡΑ

2

2

Περιγραφή στατιστικών δεδομένων

Κοιτάζοντας μία λίστα δεδομένων είναιΚοιτάζοντας μία λίστα δεδομένων είναι δύσκολο να σχηματίσουμε μια πρώτη εντύπωση για τα χαρακτηριστικά των δεδομένων που μας ενδιαφέρουν. Οι στατιστικοί πίνακες και οι γραφικές παραστάσεις αποτελούν χρήσιμα μέσα για να

3

παρουσιάσουμε τα δεδομένα καθαρά, σύντομα και με σαφήνεια.

Χαρακτηριστικά 20 μαθητών Γ΄ Τάξης Λυκείου.

A/A ΦΥΛΟ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗAΡΙΘΜΟΣAΔΕΛΦΩΝ

ΒAΘΜΟΣΜAΘ/KΩΝ ΥΨΟΣ ΒAΡΟΣ

1 K 4 1 15 170 60

2 A 1 0 17 180 68

3 K 4 2 12 178 62 1= Υπολογιστές

4 K 5 1 18 165 47 2= Αθλητισμός

5 K 5 0 15 170 54 3= Διασκέδαση5 K 5 0 15 170 54 3 Διασκέδαση

6 K 4 3 16 168 56 4= Μουσική

7 K 4 2 15 175 58 5= Τηλεόραση

8 A 4 1 15 175 72 6= Διάβασμα

9 A 2 3 13 173 67 7= Άλλο

10 K 3 1 15 162 50

11 K 4 1 16 160 51

12 A 2 1 11 170 58

13 K 7 3 20 167 50

4

14 A 1 1 18 177 81

15 A 1 0 17 180 70

16 K 2 2 19 170 63

17 A 2 0 14 182 71

18 A 7 2 17 178 73

19 Α 4 1 14 165 58

20 A 5 1 16 178 74

3

1) Περιγραφή Ποιοτικών Δεδομένων

Πίνακας συχνοτήτων

5

ς χ ή

Ραβδόγραμμα, Κυκλικό διάγραμμα


Μεταβλητή Χ vi fi fi%Κατηγορία 1 v f f %

Συχνότητα: Συχνότητα μίας κατηγορίας της μεταβλητής Χ λέγεται ο φυσικός αριθμός vi ο οποίος φανερώνει πόσες φορές παρουσιάζεται στο δείγμα η συγκεκριμένη κατηγορία.

Κατηγορία 1 v1 f1 f1%Κατηγορία 2 v2 f2 f2%

………Κατηγορία k vk fk fk%Σύνολα v 1 100

Σχετική Συχνότητα: Σχετική συχνότητα μίας κατηγορίας της μεταβλητής Χ λέγεται το πηλίκο της διαίρεσης της συχνότητας προς το πλήθος των παρατηρήσεων, δηλαδή: v

vf ii =

6

Σχετική Συχνότητα επί τοις εκατό :

fi% = 100fi

4

Παρατηρήσεις:

1) Το άθροισμα των συχνοτήτων κάθε κατηγορίας δίνει το συνολικό πλήθος παρατηρήσεωνδίνει το συνολικό πλήθος παρατηρήσεων

vvvvv k

k

ii =+++=∑

=

L211

2) Το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων κάθε κατηγορίας ισούται με τη μονάδα και 1f0 ≤≤

vvvvv k

k

ii =+++=∑

=

L211

7

κατηγορίας ισούται με τη μονάδα και .

3) Το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων % κάθε κατηγορίας ισούται 100 και .

1f0 i ≤≤

100%f0 i ≤≤

Παράδειγμα: Να γίνει ο πίνακας συχνοτήτων για τη μεταβλητή Απασχόληση Μαθητών

Απασχόληση Κωδικός

Υ λ έ 1

iv if %fi

Υπολογιστές 1

Αθλητισμός 2

Διασκέδαση 3

Μουσική 4

Τηλεόραση 5

8

Διάβασμα 6

Άλλο 7

ΣΥΝΟΛΑ

5

iv if %fiΑπασχόληση Κωδικός

Υπολογιστές 1 3 15,0203

vvf 1

1 ===

Αθλητισμός 2 4

Διασκέδαση 3 1

Μουσική 4 5

Τηλεόραση 5 3

Δ άβ 6 2

20,0204f 2 ==

05,0201f 3 ==

9

Διάβασμα 6 2

Άλλο 7 2

ΣΥΝΟΛΑ 20

Όμοια υπολογίζουμε και τα υπόλοιπα if

iv if %fiΑπασχόληση Κωδικός

Υπολογιστές 1 3 0 15 15

Πίνακας συχνοτήτων της μεταβλητής Απασχόληση Μαθητών

Υπολογιστές 1 3 0,15 15Αθλητισμός 2 4 0,20 20Διασκέδαση 3 1 0,05 5Μουσική 4 5 0,25 25Τηλεόραση 5 3 0,15 15Διάβασμα 6 2 0,10 10λλ

10

Άλλο 7 2 0,10 10

ΣΥΝΟΛΑ 20 1,00 100

6

ΡΑΒΔΟΓΡΑΜΜΑ

Ραβδόγραμμα Συχνοτήτων Μεταβλητής Απασχόληση Μαθητών

2

3

4

5

6

Συχνότητες

11

0

1

Υπολογιστές Αθλητισμός ∆ιασκέδαση Μουσική Τηλεόραση ∆ιάβασμα Άλλο

Απασχόληση

Ραβδόγραμμα Συχνοτήτων Μεταβλητής Απασχόληση Μαθητών

Άλλο

Αθλητισμός

∆ιασκέδαση

Μουσική

Τηλεόραση

∆ιάβασμα

Απασ

χόληση

12

0 1 2 3 4 5 6

Υπολογιστές

Αθλητισμός


7

Ραβδόγραμμα Σχετικών % Συχνοτήτων της Μεταβλητής Απασχόληση Μαθητών

30

10

15

20

25

Σχετικές

% Συχ

νότητες

13

0

5


Απασχόληση

ΚΥΚΛΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ

Κυκλικό ∆ιάγραμμα Συχνοτήτων Μεταβλητής Απασχόληση Μαθητών

Υπολογιστές

ΑθλητισμόςΤηλεόραση

∆ιάβασμα

Άλλο

α1o

αio = 360ofi

Π.χ.

α1o = 360of1= 360o0,15=54ο

14

∆ιασκέδαση

Μουσική

8

Ταυτόχρονη παρουσίαση δύο ποιοτικών μεταβλητών

Γί β ήθ ό ί δ λήΓίνεται με τη βοήθεια ενός πίνακα διπλής εισόδου

Παράδειγμα: Φύλο - Απασχόληση

15


Α ό 3 3 0 1 1 1 1Αγόρι 3 3 0 1 1 1 1

Κορίτσι 0 1 1 4 2 1 1

Συχνότητα Κελιού

16

Συχνότητα Κελιού3 άτομα του δείγματος μας

είναι αγόρια και έχουν ως απασχόλησητους υπολογιστές

9

Απασχόληση Μαθητών ανά Φύλο

4

Γραφική ΠαρουσίασηΟμαδοποιημένο Ραβδόγραμμα

1

2

3


ΑΓΟΡΙΑ ΚΟΡΙΤΣΙΑ

17

0Υπολογιστές Αθλητισμός ∆ιασκέδαση Μουσική Τηλεόραση ∆ιάβασμα Άλλο

Συσσωρευμένο Ραβδόγραμμα

6

2

3

4

5

Αγόρι Κορίτσι

18

0

1


10

2) Περιγραφή Διακριτών Ποσοτικών Δεδομένων

Για να περιγράψουμε διακριτά ποσοτικά δεδομένα με λίγες τιμές ( σε περίπτωση πολλών


δεδομένα με λίγες τιμές ( σε περίπτωση πολλών τιμών τα θεωρούμε ως συνεχή) κάνουμε:

19

Ραβδόγραμμα, Κυκλικό διάγραμμα

Παράδειγμα: Να γίνει ο πίνακας συχνοτήτωνκαι τα κατάλληλα γραφήματα για τη μεταβλητήΑριθμός Αδελφών

ΑριθμόςΑδελφών

1 0 2 1 0 3 2 1 3 1 1 1 3 1 0 2 0 2 1 1

1 1 2 1 2 0 1 1 0 1 0 1 2 1 1 1 1 1 0 1

20

11

Πίνακας Συχνοτήτων Μεταβλητής Αριθμός Αδελφών

ix ivif %fi iN iF %Fi

Αριθμός Αδελφών

Σχετική Αθροιστική Συχνότηταεπί τοις εκατό :

ii F100%F =

0 8 0,200 20,01 22 0,550 55,02 7 0,175 17,5

3 3 0,075 7,5

40 1,00 100

21

i1ii2i vNvvvN 1 +−=+++= L

Αθροιστική σχετική συχνότητα Fi:Ονομάζεται το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων των τιμών που είναι μικρότερες ή ίσες από αυτή, δηλαδή:

i1ii2i fFfffF 1 +−=+++= L

Αθροιστική Συχνότητα Νi: Ονομάζεται το άθροισματων συχνοτήτων των τιμών που είναι

μικρότερες ή ίσες με την τιμή αυτή, δηλαδή:


ix iv if %fi iN iF %FiΑριθμός Αδελφών

0 8 0,200 20,01 22 0,550 55,01 , ,2 7 0,175 17,5

3 3 0,075 7,5

40 1,00 100

8vN 11 == 200,0fF 11 ==

22

30228vNN 212 =+== +

37730vNN 323 =+== +

40337vNN 434 =+== +

750,0550,0200,0fFF 212 =+== +

925,0175,0750,0fFF 323 =+== +

000,1075,0925,0fFF 434 =+== +

12


ix iv if %fi iN iF %FiΑριθμός Αδελφών

0 8 0,200 20,0 8 0,200 20,01 22 0,550 55,0 30 0,750 75,01 , , , ,2 7 0,175 17,5 37 0,925 92,5

3 3 0,075 7,5 40 1,000 100,0

40 1,00 100

23

ΡΑΒΔΟΓΡΑΜΜΑΤΑ

Ραβδόγραμμα Συχνοτήτων μεταβλητής ¨Αριθμός Αδελφών¨

10

15

20

25


24

0

5

0 1 2 3

Αριθμός Αδελφών

13

Όμοια δημιουργούμε και τα ραβδογράμματα

Σχετικών συχνοτήτων

Αθροιστικών συχνοτήτων

Σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων

25

Σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων

ΚΥΚΛΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ

Κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων

0 1 2 3

26

14

Άσκηση: Χρησιμοποιώντας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων, που δίνει την κατανομή του αριθμού των απουσιών των σπουδαστών σε κάποιο εργαστήριο, να βρεθεί ο αριθμός και το ποσοστό των σπουδαστών που πήραν: α) τουλάχιστον μία απουσία) χ μβ) πάνω από δύο απουσίεςγ) το πολύ δύο απουσίες

Αριθμόςαπουσιών

Συχνότητα

0 30

27

1 15

2 9

3 6

3) Περιγραφή συνεχών ΠοσοτικώνΔεδομένων

Πίνακας συχνοτήτωνΠίνακας συχνοτήτων

Γραφήματα• Ιστόγραμμα• Πολύγωνο συχνοτήτων και αθροιστικών

ή

28

συχνοτήτων• Θηκόγραμμα

Στατιστικά μέτρα

15

Στην περίπτωση των συνεχών μεταβλητών είναι δύσκολο να κατασκευαστούν οι πίνακες συχνοτήτων αλλά και τα

ά ή ό ί


διαγράμματα συχνοτήτων με τον τρόπο που είδαμε στην περίπτωση των διακριτών μεταβλητών. Για να κατασκευάσουμε τον πίνακα συχνοτήτων κάνουμε

ομαδοποίηση παρατηρήσεων σε κλάσεις ίσου πλάτους(διαστήματα) ώστε κάθε τιμή να ανήκει σε μια και μόνο μια κλάση. Τις κλάσεις τις συμβολίζουμε με διαστήματα της μορφής [α,β) , δηλ. κλειστό από αριστερά και ανοιχτό από δεξιά Τα άκρα των κλάσεων τα ονομάζουμε όρια

29

δεξιά. Τα άκρα των κλάσεων τα ονομάζουμε όρια.

Ομαδοποίηση ΠαρατηρήσεωνΓια να κάνουμε ομαδοποίηση παρατηρήσεων σε κλάσεις ίσου πλάτους ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα.

1. Βρίσκουμε το πλήθος των κλάσεων χρησιμοποιώντας τον τύπο vlog231+κ

ο οποίος όπως παρατηρούμε εξαρτάται από το μέγεθος του δείγματος (Ο αριθμός κλάσεων μπορεί να δίνεται στην εκφώνηση της άσκησης).

2. Από τα δεδομένα της άσκησης βρίσκουμε =maxx μεγαλύτερη τιμή,

vlog2,31+=κ

30

=minx3. Βρίσκουμε το εύρος των παρατηρήσεων

minmax xxR −=

μικρότερη τιμή

16

4. Βρίσκουμε το πλάτος c κάθε κλάσης (αν δεν είναι φυσικός αριθμός στρογγυλοποιούμε πάντα προς τα πάνω)

κRc =

5. Γράφουμε τις κλάσεις, ξεκινώντας από το xmin καιπροσθέτοντας κάθε φορά το πλάτος c σε διαστήματα

31

προσθέτοντας κάθε φορά το πλάτος c, σε διαστήματατης μορφής [α,β) .

6. Βρίσκουμε τα κέντρα των κλάσεων. Αυτά θα είναι στην περίπτωση των συνεχών μεταβλητών τα γνωστά μας xi. Προφανώς το κέντρο της κλάσης είναι τομας xi. Προφανώς το κέντρο της κλάσης είναι το

Αφού βρούμε το πρώτο κέντρο τότε προσθέτοντας κάθε

2axi

β+=

32

φ βρ μ ρ ρ ρ ςφορά το πλάτος της κλάσης c βρίσκουμε τα επόμενα κέντρα.

17

7. Προσέχουμε πάντα ώστε καμία παρατήρηση να μην μείνει έξω από κάποια κλάση και καμία παρατήρηση να μην βρίσκεται σε δύο διαφορετικές κλάσεις. βρ φ ρ ς ς

8. Τέλος βρίσκουμε την συχνότητα της κάθε κλάσης με τον γνωστό τρόπο της διαλογής και κάνουμε τον πίνακα συχνοτήτων με τον τρόπο που έχουμε δει και στην περίπτωση των διακριτών ποσοτικών δεδομένων

33

των διακριτών ποσοτικών δεδομένων.

Παράδειγμα: Να γίνει ομαδοποίηση τωνπαρατηρήσεων σε κλάσεις ίσου πλάτους για τηνμεταβλητή Ύψος Μαθητών παρατηρήσεις τηςοποίας δίνονται στον παρακάτω πίνακα και να

ΎψοςΜαθητών

170 180 178 165 170 168 175 175 173 162

160 170 167 177 180 170 182 178 165 178

156 175 172 173 167 187 170 180 178 191

ς ρσχηματιστεί ο πίνακας συχνοτήτων.

34

176 169 167 166 179 178 180 164 170 173

18

Λύση:Πλήθος δείγματος 40v =

Πλήθος κλάσεων 6, αφού

Μέγιστη τιμήΕλάχιστη τιμήύ

12,6vlog2,31 =+=κ

191xmax =156xmin =

31 6191

35

Εύρος

Πλάτος κλάσης

35156191xxR minmax =−=−=

6833,56

35Rc ≅===κ

Έτσι οι κλάσεις θα είναι[156,162)[162,168)[168,174)[ , )[174,180)[180,186)[186,192)

Τα κέντρα των κλάσεων θα είναι

162156

36

1592

162156=

+1656159 =+ 171 177 183 189, , , , ,

19

Πίνακας Συχνοτήτων Μεταβλητής Ύψος Μαθητών

iv %fi iN %Fi

162)156[

κλάσεις κέντρα κλάσεων

2 5 00 2 5 00162) ,156[ 159

168) ,162[ 165

174) ,168[ 171

180) ,174[ 177

186) ,180[ 183

2 5,00 2 5,00

8 20,00 10 25,00

12 30,00 22 55,00

11 27,50 33 82,50

5 12,50 38 95,00

37

192) ,186[ 189 2 5,00 40 100,00

Σύνολο 40 100,00

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - users.auth.grusers.auth.gr/gvasil/par2.pdf ·...

Documents

Transcript of ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - users.auth.grusers.auth.gr/gvasil/par2.pdf ·...