ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ...

ΤΕΙ ∆ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ∆ΟΝΙΑΣΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ

ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

Επιµέλεια Σηµειώσεων: Βασιλειάδης Γεώργιος

Καστοριά, ∆εκέµβριος 2006

Περιεχόµενα

1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ 51.1 Η έννοια της ακολουθίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Σύγκλιση ακολουθιών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Η έννοια της σειράς . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Κριτήρια σύγκλισης σειρών µε ϑετικούς όρους . . . . . . . . . 111.5 Σειρές εναλλασσοµένου προσήµου . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 ∆υναµοσειρές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 172.1 Συνάρτηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Βασικές έννοιες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 ΄Οριο και συνέχεια συνάρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 273.1 Η έννοια της παραγώγου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Παράγωγος συνάρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 Κανόνες Παραγώγισης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 Παραγώγιση σύνθετης, αντίστροφης και πεπλεγµένης συνάρτησης 323.5 Παράγωγοι ανώτερης τάξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.6 ∆ιαφορικό συνάρτησης - Προσεγγίσεις . . . . . . . . . . . . . . 343.7 Βασικά ϑεωρήµατα του διαφορικού λογισµού . . . . . . . . . . 353.8 Ακρότατα - Σηµεία καµπής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.9 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 434.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώµατα . . . . . . . . 43

3

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

4.2 Κανόνες ολοκλήρωσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3 Ολοκλήρωση µε αντικατάσταση - Αλλαγή µεταβλητής . . . . . 464.4 Ολοκλήρωση κατά παράγοντες . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.5 Ολοκλήρωση ϱητών συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . 484.6 Ολοκλήρωση των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων . . . . . . . . 514.7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.8 Εµβαδά επίπεδων χωρίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.9 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 615.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών . . . . . . . . . . 615.2 Συστήµατα συντεταγµένων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.3 ΄Οριο συνάρτησης δύο µεταβλητών . . . . . . . . . . . . . . . . 635.4 Μερική παράγωγος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.5 Παραγώγιση σύνθετων συναρτήσεων, ολικό διαφόρικο . . . . . 665.6 Ακρότατα συναρτήσεων δύο µεταβλητών . . . . . . . . . . . . . 675.7 ∆ιπλό ολοκλήρωµα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.8 Πολλαπλό ολοκλήρωµα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Κεφάλαιο 1

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ

1.1 Η έννοια της ακολουθίας

Ορισµός 1.1.1. Η απεικόνιση των ϕυσικών αριθµών N στους πραγµατικούςαριθµούς R, δηλαδή ϕ : N→ R, καλείται πραγµατική ακολουθία.

Στην ουσία πρόκειται για µία διαδοχή άπειρου πλήθους αριθµών a1, a2, a3, . . . , an, . . .και συµβολίζεται µε (an), n ∈ N.

Παραδείγµατα ακολουθιών:1) (an) = ( 1

n), n ∈ N.

Αποτελείται από τους διαδοχικούς όρους :Για n = 1: a1 =

1

1

Για n = 2: a2 =1

2

Για n = 3: a3 =1

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Για n = n: an =

1

n

Για n = n + 1: an+1 =1

n + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(Οι όροι της ακολουθίας είναι άπειροι)

2) (an) = (1− 1n), n ∈ N.

Αποτελείται από τους διαδοχικούς όρους :

5

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ

Για n = 1: a1 = 1− 1

1= 0

Για n = 2: a2 = 1− 1

2= 1

2

Για n = 3: a3 = 1− 1

3= 2

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Για n = n: an = 1− 1

n

Για n = n + 1: an+1 = 1− 1

n + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3) (an) = (n), n ∈ N.Αποτελείται από τους διαδοχικούς όρους :Για n = 1: a1 = 1Για n = 2: a2 = 2Για n = 3: a3 = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Για n = n: an = nΓια n = n + 1: an+1 = n + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ορισµός 1.1.2. Μία ακολουθία (an), n ∈ N, καλείται άνω ϕραγµένη, (αντίσ-τοιχα κάτω ϕραγµένη), αν και µόνο αν, υπάρχει πραγµατικός αριθµός L τέτοιοςώστε :

an ≤ L, ∀n ∈ N, (an ≥ L,∀n ∈ N).

Ο αριθµός αυτός καλείται άνω ϕράγµα (αντίστοιχα κάτω ϕράγµα).

Μία ακολουθία (an), n ∈ N, ϑα ονοµάζεται ϕραγµένη αν και µόνο αν είναισυγχρόνως άνω και κάτω ϕραγµένη.Παράδειγµα: Να εξετάσετε αν οι ακολουθίες :

i) an =1

nn, n ∈ N,

ii) an = (−1)n, n ∈ Nείναι ϕραγµένες.Ορισµός 1.1.3. Μία ακολουθία (an), n ∈ N, καλείται αύξουσα (αντίστοιχαϕθίνουσα), αν και µόνο αν :

an ≤ an+1, (an ≥ an+1), ∀n ∈ N,

1.2. ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ 7

ενώ καλείται αυστηρώς ή γνησίως αύξουσα (αντίστοιχα αυστηρώς ή γνησίωςϕθίνουσα), αν και µόνο αν :

an < an+1, (an > an+1), ∀n ∈ N.

Παράδειγµα: Να εξετάσετε αν οι ακολουθίες :

i) an =1

n2, n ∈ N,

ii) an = n3 + 1, n ∈ N

είναι γνησίως αύξουσες ή ϕθίνουσες.

1.2 Σύγκλιση ακολουθιών

Από τα ϐασικότερα ενδιαφέροντα µας σε µια ακολουθία ϑεωρείται η σύγκλισηή απόκλιση αυτής.

Σύγκλιση ακολουθίας:Μία ακολουθία λέµε ότι συγκλίνει όταν το όριο του n-οστού όρου της

συγκεκριµένης ακολουθίας ισούται µε έναν πραγµατικό αριθµό. ∆ηλαδήόταν

limn→∞

an = k,

όπου k ∈ R.

Απόκλιση ακολουθίας:Μία ακολουθία λέµε ότι αποκλίνει (ή συγκλίνει στο ±∞) όταν το όριο του

n-οστού όρου της συγκεκριµένης ακολουθίας ισούται µε ±∞. ∆ηλαδή όταν

limn→∞

an = ±∞.

Για να αντιληφθούµε τις έννοιες ϑα εξετάσουµε τις ακολουθίες των παραδειγµάτωνπου παρουσιάστηκαν στην πρώτη παράγραφο.

1) (an) = ( 1n), n ∈ N.

΄Οπως είδαµε ο n-οστός όρος της ακολουθίας είναι ο

an =1

n.


Στην συνέχεια πρέπει να υπολογίσουµε το όριο µε n να τείνει στο ∞ τουn-οστού όρου. Είναι

limn→∞

an = limn→∞

1

n= 0.

Αφού το όριο υπάρχει και είναι πραγµατικός αριθµός συνεπάγεται ότι ηακολουθία (an) = ( 1

n), n ∈ N συγκλίνει.

2) (an) = (1− 1n), n ∈ N.

Ο n-οστός όρος της ακολουθίας είναι

an = 1− 1

n.

Τότεlim

n→∞an = lim

n→∞(1− 1

n) = 1− 0 = 1.

Συνεπώς η ακολουθία αυτή συγκλίνει.3) (an) = (n), n ∈ N.Ο n-οστός όρος της ακολουθίας είναι

an = n.

Τότεlim

n→∞an = lim

n→∞n = ∞.

΄Αρα η ακολουθία αυτή αποκλίνει.

1.3 Η έννοια της σειράς

Θεωρούµε µία ακολουθία (an), n ∈ N. ΄Εστω ότι αυτή απαρτίζεται από τουςόρους a1, a2, a3, . . . , an, . . .. Για κάθε n σχηµατίζω µε τη σειρά τα ακόλουθααθροίσµατα:Για n = 1: s1 = a1

Για n = 2: s2 = a1 + a2

Για n = 3: s3 = a1 + a2 + a3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Για n = n: sn = a1 + a2 + . . . + an

Για n = n + 1: sn+1 = a1 + a2 + . . . + an + an+1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΕΙΡΑΣ 9

Αν στο σηµείο αυτό ϕέρουµε στο µυαλό µας την έννοια της ακολουθίαςµπορούµε εύκολα να αντιληφθούµε ότι µε τη διαδικασία των αθροισµάτωνστη ουσία έχουµε κατασκευάσει µία καινούργια ακολουθία (sn), n ∈ N µεόρους τους s1, s2, s3, . . . , sn, . . ..

Ορισµός 1.3.1. Μία ακολουθία (sn), n ∈ N, καλείται σειρά µε όρους an καισυµβολίζεται

∑∞n=1 an. Τα αθροίσµατα sn λέγονται µερικά αθροίσµατα της

σειράς. Συνηθίζουµε να γράφουµε∑∞

n=1 an = a1 + a2 + . . . + an + . . ..

΄Οσον αφορά τη σύγκλιση και την απόκλιση των σειρών ισχύει ότι έχουµεαναφέρει για τις ακολουθίες, αφού κάθε σειρά είναι µία ακολουθία.

Παράδειγµα: ΄Εστω η σειρά∞∑

n=1

ωn−1.

Η σειρά αυτή είναι γνωστή ως γεωµετρική σειρά. Θα εξετάσουµε τη σειράαυτή ως προς τη σύγκλιση. Ο n-οστός όρος αυτής είναι

sn = 1 + ω + ω2 + . . . + ωn−1. (1.1)

Αν πολλαπλασιάσουµε και τα δύο µέλη της (1.1) µε ω έχουµε

ωsn = ω + ω2 + ω3 + . . . + ωn−1 + ωn. (1.2)

Αφαιρώντας στη συνέχεια κατά µέλη τις (1.1), (1.2) προκύπτει

sn − ωsn = 1− ωn

ήsn =

1− ωn

1− ω.

Για να εξετάσουµε αν η σειρά συγκλίνει ή αποκλίνει πρέπει να υπολογίσουµετο όριο

limn→∞

sn = limn→∞

1− ωn

1− ω. (1.3)

Επειδή δεν γνωρίζουµε ποιες τιµές παίρνει το ω διακρίνουµε περιπτώσεις.1η περίπτωση: |ω| < 1.

Τότεlim

n→∞ωn = 0,


οπότε από την (1.3) ϑα έχουµε

limn→∞

sn =1

1− ω,

δηλαδή η σειρά συγκλίνει.2η περίπτωση: ω > 1.

Τότεlim

n→∞ωn = ∞,

οπότε από την (1.3) ϑα έχουµε

limn→∞

sn = −∞,

δηλαδή η σειρά αποκλίνει.3η περίπτωση: ω = 1.

Τότεsn = n.

Εποµένως ϑα έχουµεlim

n→∞sn = +∞,

δηλαδή η σειρά αποκλίνει.4η περίπτωση: ω ≤ −1.

Τότε limn→∞ sn δεν υπάρχει, άρα η σειρά αποκλίνει αόριστα.Εποµένως η γεωµετρική σειρά συγκλίνει µόνο για |ω| < 1.

Εκτός από την γεωµετρική σειρά, στη συνέχεια ϑα χρησιµοποιήσουµε καιτη σειρά

∞∑n=1

1

np.

Η σειρά αυτή είναι γνωστή ως αρµονική σειρά p-τάξης. Γι΄ αυτήν αποδεικνύε-ται ότι συγκλίνει για p > 1 και αποκλίνει για p ≤ 1.

Πριν προχωρήσουµε στη διατύπωση µίας πρότασης για τη σύγκλιση τωνσειρών, παραθέτουµε κάποια γνωστά όρια :

1. limn→∞(1 +1

n)n = e

2. limn→∞ n√

n = 1

1.4. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ ΣΕΙΡΩΝ ΜΕ ΘΕΤΙΚΟΥΣ ΟΡΟΥΣ 11

3. limn→∞ n√

a = 1, a ∈ R+

4. limn→∞ |a|n = +∞, |a| > 1

5. limn→∞ an = 0, |a| < 1.

Πρόταση 1.3.1. Αν µία σειρά∑∞

n=1 an συγκλίνει, τότε ο γενικός της όροςτείνει στο µηδέν, δηλαδή τότε είναι

limn→∞

an = 0.

Από την πρόταση αυτή προκύπτει ένα χρήσιµο πόρισµα.

Πόρισµα 1.3.1. Αν δεν υπάρχει το όριο limn→∞ an ή αν υπάρχει και είναιlimn→∞ an 6= 0, τότε η σειρά αποκλίνει.

Προσοχή δεν ισχύει το αντίστροφο. Για παράδειγµα η σειρά∑∞

n=1

1

n(αρµονική σειρά) αποκλίνει και είναι

limn→∞

an = limn→∞

1

n= 0.

Παράδειγµα: Χρησιµοποιώντας το Πόρισµα 1.3.1 να δείξετε ότι οι σειρές

i)∞∑

n=1

n2,

ii)∞∑

n=1

n + 1

n

αποκλίνουν.

1.4 Κριτήρια σύγκλισης σειρών µε ϑετικούς όρους

1ο κριτήριο σύγκλισης (κριτήριο σύγκρισης): Ας είναι∑∞

n=1 an και∑∞

n=1 βn

δύο σειρές µε ϑετικούς όρους τέτοιες ώστε να είναι

an ≤ βn,∀n ∈ N.

α) Αν η σειρά∑∞

n=1 βn συγκλίνει, τότε συγκλίνει και η∑∞

n=1 an.ϐ) Αν η σειρά

∑∞n=1 an αποκλίνει, τότε αποκλίνει και η

∑∞n=1 βn.


Παρατήρηση: Η σύγκριση µιας σειράς γίνεται µε γνωστή σειρά, δηλαδήµε σειρά για την οποία γνωρίζουµε ότι συγκλίνει ή αποκλινει. Συχνά σανγνωστή σειρά χρησιµοποιούµε :

• τη γεωµετρική σειρά ϑετικών όρων∑∞

n=1 ωn−1, για την οποία γνωρί-Ϲουµε ότι συγκλίνει για 0 < ω < 1 και αποκλίνει για ω ≥ 1,

• την αρµονική σειρά p-τάξης∑∞

n=1

1

np, η οποία συγκλίνει για p > 1 και

αποκλίνει για p ≤ 1.

Παράδειγµα: Να εξεταστεί αν συγκλίνει ή αποκλίνει η σειρά∞∑

n=1

1

n(n + 2)(n + 3).

2ο κριτήριο σύγκλισης (κριτήριο D’Alembert): Ας είναι∑∞

n=1 an µίασειρά µε ϑετικούς όρους τέτοια ώστε η ακολουθία (an+1

an), n ∈ N να συγκ-

λίνει στο λ ∈ R, δηλαδή

limn→∞

(an+1

an

)= λ ∈ R.

Τότε :

1. αν λ < 1, η σειρά∑∞

n=1 an συγκλίνει

2. αν λ > 1, η σειρά∑∞

n=1 an αποκλίνει

3. αν λ = 1, η σειρά∑∞

n=1 an µπορεί να συγκλίνει αλλά και να αποκλίνει(δεν µπορούµε να ϐγάλουµε συµπέρασµα).


n=1

nn

n!.

3ο κριτήριο σύγκλισης (κριτήριο Cauchy): Ας είναι∑∞

n=1 an µία σειρά µεϑετικούς όρους τέτοια ώστε η ακολουθία της n-οστής ϱίζας του γενικού τηςόρου να συγκλίνει στο λ ∈ R, δηλαδή

limn→∞

n√

an = λ ∈ R.

Τότε :

1.5. ΣΕΙΡΕΣ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟΥ 13

1. αν λ < 1, η σειρά∑∞

n=1 an συγκλίνει

2. αν λ > 1, η σειρά∑∞

n=1 an αποκλίνει

3. αν λ = 1, η σειρά∑∞

n=1 an µπορεί να συγκλίνει αλλά και να αποκλίνει(δεν µπορούµε να ϐγάλουµε συµπέρασµα).


n=1

n

(3

7

)n

.

1.5 Σειρές εναλλασσοµένου προσήµου

Ορισµός 1.5.1. Μία σειρά της µορφής∑∞

n=1(−1)n+1an, όπου an > 0, ∀n ∈ N,λέγεται σειρά εναλλασσοµένου προσήµου ή εναλλασσοµένου σηµείου.

Λέµε ότι µία σειρά∑∞

n=1 an συγκλίνει απολύτως αν συγκλίνει η σειρά∑∞n=1 |an|.Αν µία σειρά συγκλίνει απολύτως, τότε συγκλίνει και απλά, δηλαδή αν∑∞

n=1 |an| συγκλίνει τότε και∑∞

n=1 an συγκλίνει.

Θεώρηµα 1.5.1. (Leibnitz) Αν η ακολουθία ϑετικών όρων an, n ∈ N είναιϕθίνουσα και µηδενική, δηλαδή αν an > an+1, ∀n ∈ N και limn→∞ an = 0,τότε η σειρά εναλλασσοµένου προσήµου

∑∞n=1(−1)n+1an συγκλίνει.

Παράδειγµα: Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά∞∑

n=1

(−1)n+1 1

n.

1.6 ∆υναµοσειρές

Ορισµός 1.6.1. Μία σειρά της µορφής∑∞

n=1 an−1(x− x0)n−1 = a0 + a1(x−

x0) + a2(x− x0)2 + . . ., όπου x0, ai ∈ R,∀i = 0, 1, 2, . . ., λέγεται δυναµοσειρά

η σειρά δυνάµεων.

Για κάθε τιµή της µεταβλητής x, η δυναµοσειρά ταυτίζεται µε µια αρι-ϑµητική σειρά. Αν η σειρά αυτή συγκλίνει, το x ϑα λέγεται σηµείο σύγκλισηςτης δυναµοσειράς.

Για κάθε δυναµοσειρά, µία από τις τρεις παρακάτω προτάσεις ισχύει :


• Η δυναµοσειρά συγκλίνει µόνο για x = x0. (Τότε λέµε ότι η δυναµο-σειρά έχει ακτίνα σύγκλισης ίση µε µηδέν)

• Η δυναµοσειρά συγκλίνει ∀x ∈ R. (Τότε λέµε ότι η δυναµοσειρά έχειακτίνα σύγκλισης ίση µε +∞)

• Υπάρχει ρ ∈ R, ρ > 0, τέτοιος ώστε η δυναµοσειρά συγκλίνει απολύτωςγια κάθε x ∈ R µε |x − x0| < ρ και αποκλίνει για κάθε x ∈ R µε|x−x0| > ρ.(Τότε λέµε ότι η δυναµοσειρά έχει ακτίνα σύγκλισης ίση µερ)

Θεώρηµα 1.6.1. Αν υπάρχει το όριο limn→∞ n√|an|, τότε η ακτίνα σύγλισης ρ

της δυναµοσειράς∑∞

n=0 an(x− x0)n δίνεται από τον τύπο

ρ =1

limn→∞ n√|an|

.

Αν limn→∞ n√|an| = 0 τότε ρ = +∞ και αν limn→∞ n

√|an| = +∞ τότε ρ = 0.

Παρατήρηση: Αφού

limn→∞

|an+1

an

| = λ =⇒ limn→∞

n√|an| = λ,

στο παραπάνω ϑεώρηµα αντί του limn→∞ n√|an| µπορούµε να χρησιµοποιή-

σουµε το limn→∞ |an+1

an|.

Παράδειγµα: Να ϐρεθεί το διάστηµα σύγκλισης της δυναµοσειράς∞∑

n=1

(−1)n−1xn

n.

1.7 Ασκήσεις

΄Ασκηση 1.1. Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση τις παρακάτω σειρές, χρησι-µοποιώντας το κριτήριο της σύγκρισης :

1.∑∞

n=1

1

n2n,

2.∑∞

n=1

1

n(n + 1),

1.7. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 15

3.∑∞

n=1

1

n!.

΄Ασκηση 1.2. ΄Οµοια, χρησιµοποιώντας το κριτήριο του Cauchy:

1.∑∞

n=1

1

nn,

2.∑∞

n=1

(1 +

1

n

)n

an,

3.∑∞

n=1 n

(2

3

)n

,

4.∑∞

n=1

(n

3n− 1

)2n

.

΄Ασκηση 1.3. ΄Οµοια, χρησιµοποιώντας το κριτήριο του D’Alembert:

1.∑∞

n=1

nn

2nn!,

2.∑∞

n=1

n!

10n,

3.∑∞

n=1 2n sin( π

3n

),

4.∑∞

n=1

2n + 3

5n.

΄Ασκηση 1.4. Να ϐρεθεί το διάστηµα σύγκλισης των δυναµοσειρών

1.∑∞

n=1

3n

√n

xn,

2.∑∞

n=1

xn

n25n.

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ...

Documents

Transcript of ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ...