Κεφάλαιο3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣusers.auth.gr/gvasil/chapter3.pdf · Κεφάλαιο3...

Κεφάλαιο 3

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

3.1 Η έννοια της παραγώγου

΄Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες xκαι y. ΄Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύοαυτές ποσοτήτες είναι κατά πόσο µεταβάλλεται η εξαρτηµένη µεταβλητή y γιαγνωστή µεταβολή της ανεξάρτητης µεταβλητής.

΄Εστω ότι από x0 που ήταν αρχικά η ανεξάρτητη µεταβλητή γίνεται x.Μεταβάλλεται εποµένως κατά ∆x = x − x0. Τότε η αντίστοιχη µεταβολή τηςεξαρτηµένης µεταβλητής ϑα είναι :

∆y = f(x)− f(x0),

ή∆y = f(x0 + ∆x)− f(x0).

Το πηλίκο∆y

∆x=

f(x)− f(x0)

x− x0

=f(x0 + ∆x)− f(x0)

∆x

ονοµάζεται µέσος ϱυθµός µεταβολής της συνάρτησης στο διάστηµα (x0, x0+∆x).

Η µέση µεταβολή είναι ένα µέτρο της µεταβολής της y στο διάστηµα(x0, x0 +∆x). Αν το διάστηµα αυτό γίνει εξαιρετικά µικρό, η αντίστοιχη µέσηµεταβολή ϑα µπορεί να ϑεωρηθεί ως µέτρο της µεταβολής της y στο σηµείοx0. Αυτό πετυχαίνεται παίρνοντας το όριο του µέσου ϱυθµού µεταβολής ότανx → x0 ή ισοδύναµα όταν ∆x → 0. Το όριο αυτό συµβολίζεται µε f ′(x0) και

27

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

ονοµάζεται ϱυθµός µεταβολής ή παράγωγος αριθµός της συνάρτησης στοσηµείο x0. Είναι εποµένως

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

= lim∆x→0

f(x0 + ∆x)− f(x0)

∆x.

Η τιµή της παραγώγου της f(x) στο σηµείο x0 είναι ίση µε την εφαπτοµένητης γωνίας που σχηµατίζεται από τον άξονα των x και την εφαπτοµένη τηςκαµπύλης στο σηµείο (x0, f(x0)). ∆ηλαδή ο παράγωγος αριθµός ισούται µετο συντελεστή διεύθυνσης (κλίση) της εφαπτοµένης της καµπύλης της f(x)στο σηµείο (x0, f(x0)).

Εξίσωση εφαπτοµένης καµπύλης:

y − y0 = f ′(x0)(x− x0).

Παράδειγµα: Να ϐρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της καµπύλης y =x3 − 3x + 2 στο σηµείο x = 2.

3.2 Παράγωγος συνάρτησης

Ορισµός 3.2.1. Μία συνάρτηση y = f(x) ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [a, b]λέγεται παραγωγίσιµη στο σηµείο x0 ∈ (a, b), αν υπάρχει ο παράγωγος αριθµός

f ′(x0) = lim∆x→0

f(x0 + ∆x)− f(x0)

∆x,

και είναι πεπερασµένος. Η y = f(x) λέγεται παραγωγίσιµη στο (a, b), αν είναιπαραγωγίσιµη ∀x ∈ (a, b).

Παράδειγµα: Να δείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = 3√

x δεν είναι παρα-γωγίσιµη στο x0 = 0.

΄Εστω y = f(x) : A → R, µία συνάρτηση ορισµένη στο σύνολο A καιA′ ⊆ A το σύνολο των σηµείων στα οποία η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη.Αντιστοιχώντας σε κάθε σηµείο x0 ∈ A′ τον παράγωγο αριθµό f ′(x0), ορίζουµεµία νέα συνάρτηση. Η συνάρτηση αυτή λέγεται παράγωγος της f(x) καισυµβολίζεται µε f ′(x). Είναι δηλαδή

f ′(x) = lim∆x→0

f(x + ∆x)− f(x)

∆x.

3.2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 29

Συµβολισµοί της παραγώγου: Η παράγωγος της f στο σηµείο x0 συµ-ϐολίζεται µε

f ′(x0),

(df

dx

)

x0

,df

dx

∣∣∣∣∣x0

ενώ η παράγωγος σ΄ ένα τυχαίο σηµείο x ∈ A′ (δηλαδή η παράγωγος συνάρτηση)συµβολίζεται µε

f ′(x),df

dx.

Πλευρική παραγώγιση:Η παράγωγος από δεξιά της f(x) στο σηµείο x0 του πεδίου ορισµού της

ορίζεται από τη σχέση

f ′+(x0) = limx→x+

0

f(x)− f(x0)

x− x0

,

αν το όριο αυτό υπάρχει και είναι πραγµατικός αριθµός.Οµοίως, η παράγωγος από αριστερά της f(x) στο σηµείο x0 του πεδίου

ορισµού της ορίζεται από τη σχέση

f ′−(x0) = limx→x−0

f(x)− f(x0)

x− x0

,

αν το όριο αυτό υπάρχει και είναι πραγµατικός αριθµός.Μία συνάρτηση f(x) έχει παράγωγο στο x = x0, αν και µόνον αν υπάρ-

χουν οι πλευρικές παράγωγοι στο σηµείο αυτό και είναι ίσες µεταξύ τους.∆ηλαδή ισχύει η σχέση

f ′(x0) = f ′+(x0) = f ′−(x0).

Πρόταση 3.2.1. Αν µία συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x0,τότε ϑα είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό.

Προσοχή: Η πρόταση δεν ισχύει αντίστροφα. ∆ηλαδή, αν µία συνάρτησηf είναι συνεχής σ΄ ένα σηµείο x0, τότε δεν είναι υποχρεωτικά και παραγ-ωγίσιµη στο x0. Για παράδειγµα η συνάρτηση f(x) = |x| είναι συνεχής στοx0 = 0, ενώ δεν είναι παραγωγίσιµη σ΄ αυτό. Αν όµως δεν είναι συνεχής στοx0, τότε αναγκαία δεν είναι παραγωγίσιµη στο x0.Παράδειγµα: Να ϐρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης

f(x) =x

x2 + 1,


στο σηµείο x0 = −3.Παράδειγµα: Να ϐρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης

f(x) = sin3(x− 2),

στο σηµείο x0 = 2.Παράδειγµα: Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιµη στο x0 = 1, η συνάρτηση

f(x) =

x, 0 ≤ x ≤ 1

2x− 1, 1 < x ≤ 2

Παράδειγµα: ∆ίνεται η συνάρτηση

f(x) =

x2 + (2λ + λ2 + 2)x, x < 0

λx2 + x, x ≥ 0

Να ϐρεθεί ο λ ∈ R ώστε η f να είναι παραγωγίσιµη στο x0 = 0.

3.3 Κανόνες Παραγώγισης

Πρόταση 3.3.1. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι ορισµένες και παραγωγίσιµεςστο διάστηµα I = (a, b), τότε και η συνάρτηση f + g είναι παραγωγίσιµη στο Iκαι ισχύει

[f(x) + g(x)]′ = f ′(x) + g′(x), ∀x ∈ I.

Η παραπάνω πρόταση γενικεύται για n συναρτήσεις και ισχύει

[f1(x) + f2(x) + . . . + fn(x)]′ = f ′1(x) + f ′2(x) + . . . + f ′n(x), ∀x ∈ I.

Πρόταση 3.3.2. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι ορισµένες και παραγωγίσιµεςστο διάστηµα I = (a, b), τότε και η συνάρτηση f · g είναι παραγωγίσιµη στο Iκαι ισχύει

[f(x) · g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x), ∀x ∈ I.

Η παραπάνω πρόταση γενικεύται για n συναρτήσεις και ισχύει

[f1(x)f2(x) . . . fn(x)]′ =n∑

i=1

[f1(x) . . . fi−1(x)f ′i(x)fi+1(x) . . . fn(x)], ∀x ∈ I.

3.3. ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ 31

Πρόταση 3.3.3. Αν η συνάρτηση f είναι ορισµένη και παραγωγίσιµη στοδιάστηµα I = (a, b), τότε έχουµε

[(f(x))k

]′= k (f(x))k−1 · f ′(x), ∀x ∈ I, k ∈ N.

Πρόταση 3.3.4. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι ορισµένες και παραγωγίσιµεςστο διάστηµα I = (a, b) και ισχύει g(x) 6= 0, για κάθε x ∈ I, τότε και η

συνάρτησηf

gείναι παραγωγίσιµη στο I και ισχύει

[f(x)

g(x)

]′=

f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

g2(x), ∀x ∈ I.

Πρόταση 3.3.5. Η παράγωγος µιας σταθερής συνάρτησεις είναι ίση µε µηδέν,δηλαδή

(c)′ = 0, c σταθερά.

Χρησιµοποιώντας την προηγούµενη πρόταση και την πρόταση 3.3.2 προκύπτειότι

[cf(x)]′ = cf ′(x).

Επίσης αν στην πρόταση 3.3.4 πάρουµε f(x) = 1, τότε παίρνουµε[

1

g(x)

]′= − g′(x)

g2(x), ∀x ∈ I.

Πρόταση 3.3.6. Η συνάρτηση f(x) = xn είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει

(xn)′ = nxn−1, ∀x ∈ R.

Με τη ϐοήθεια των παραπάνω προτάσεων, εύκολα µπορεί να αποδείξεικανείς ότι :

1. (√

x)′=

1

2√

x, x > 0

2. (sin x)′ = cos x

3. (cos x)′ = − sin x

4. (tan x)′ =1

cos2 x, x 6= (2k + 1)π

2, k ∈ Z


5. (cot x)′ = − 1

sin2 x, x 6= kπ, k ∈ Z

6. (arctan x)′ =1

1 + x2

7. (arcsin x)′ =1√

1− x2

8. (ex)′ = ex

9. (ln x)′ =1

x

10. (ax)′ = ax ln a

Παράδειγµα: Να ϐρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων

f(x) = (x2 + 1)(x4 + 3), g(x) =x

x + 1.

3.4 Παραγώγιση σύνθετης, αντίστροφης και πε-πλεγµένης συνάρτησης

Θεώρηµα 3.4.1. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x0 τουπεδίου ορισµού της και η g είναι παραγωγίσιµη στο u0 = f(x0), τότε και ησύνθετη συνάρτηση h = g f είναι παραγωγίσιµη στο x0 και µάλιστα ισχύει

h′(x0) = g′(f(x0)) · f ′(x0).

Η παράγωγος εποµένως της σύνθετης συνάρτησης h(x) = g(f(x)) ϑαείναι :

h′(x) = g′(f(x)) · f ′(x).

Αν χρησιµοποιήσουµε το συµβολισµό dy

dxγια την παράγωγο η παραπάνω

σχέση γράφεταιdy

dx=

dy

du· du

dx.

Η σχέση αυτή λέγεται και κανόνας της αλυσίδας.Παράδειγµα: Να ϐρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων

f(x) = sin(x2 − 1), g(x) = ln2(ln x),

3.5. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ 33

h(x) = e3x2+x, s(x) =

√1 +

√x2 + 2x.

Πρόταση 3.4.1. Ας είναι f : [a, b] → [c, d] µία 1 − 1 και επί συνάρτηση καιf−1 : [c, d] → [a, b] η αντίστροφή της συνάρτηση. Αν η f είναι παραγωγίσιµηστο σηµείο x0 ∈ [a, b] και είναι f ′(x0) 6= 0, τότε και η f−1 είναι παραγωγίσιµηστο y0 = f(x0) και ισχύει

(f−1)′(y0) =1

f ′(x0).

Από την παραπάνω πρόταση προκύπτει ότι αν η συνάρτηση f είναι παραγ-ωγίσιµη για κάθε x ∈ [a, b], τότε και η αντίστροφή της είναι παραγωγίσιµηκαι είναι

(f−1)′(y) =1

f ′(x), y = f(x) ∈ [c, d].

Παράδειγµα: Να ϐρεθεί η παράγωγος της αντίστροφης της συνάρτησης y =sin x, δηλαδή της συνάρτησης y = arcsin x.

Ορισµός 3.4.1. Ας είναι x, y δύο µεταβλητές που συνδέονται µεταξύ τους µεµία σχέση της µορφής

F (x, y) = 0.

Τότε η συνάρτηση y = y(x) που καθορίζεται από µία τέτοια σχέση λέγεταιπεπλεγµένη συνάρτηση.

Παράδειγµα: Να ϐρεθεί η παράγωγος της πεπλεγµένης συνάρτησης πουορίζεται από τη σχέση

x3 + y3 − 3xy = 0.

3.5 Παράγωγοι ανώτερης τάξης

΄Οπως είδαµε η παράγωγος y′ µιας συνάρτησης y = f(x) είναι και αυτή µίασυνάρτηση. Αν αυτή η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη τότε την παραγωγότης τη λέµε παράγωγο δεύτερης τάξης ή δεύτερη παράγωγο της y = f(x)

και συµβολίζουµε y′′ ή f ′′(x) ή d2f

dx2.

΄Οµοια την παράγωγο της δεύτερης παραγώγου τη λέµε τρίτη παράγωγο

της y = f(x) και συµβολίζουµε y′′′ ή f ′′′(x) ή d3f

dx3.


Γενικότερα ορίζουµε σαν παράγωγο n τάξης ή n-οστή παράγωγο τηςy = f(x), την παράγωγο της (n− 1)-οστής παραγώγου και την συµβολίζουµε

y(n) ή f (n)(x) ή dnf

dxn.

Παράδειγµα: Να ϐρεθεί η δεύτερη παράγωγος των συναρτήσεων

1. y = e3x+x2

2. x3 + y3 − 3xy = 0.

3.6 ∆ιαφορικό συνάρτησης - Προσεγγίσεις

΄Εστω y = f(x) µία παραγωγίσιµη συνάρτηση. Τότε από τον ορισµό τηςπαραγώγου έχουµε

f ′(x) = lim∆x→0

∆y

∆x.

Εποµένως µπορούµε να γράψουµε ότι

∆y

∆x= f ′(x) + ε,

όπου ε τέτοιο ώστεlim

∆x→0ε = 0.

΄Ετσι έχουµε∆y = f ′(x)∆x + ε∆x.

Ορισµός 3.6.1. Η ποσότητα f ′(x)∆x, η οποία ισούται κατά προσέγγιση µε τηναντίστοιχη της ∆x µεταβολή ∆y, λέγεται διαφορικό της συνάρτησης y = f(x)στο σηµείο x και συµβολίζεται µε dy ή df(x). ΄Ετσι,

dy = f ′(x)∆x.

Το διαφορικό της συνάρτησης f(x) = x, επειδή η παράγωγός της είναιπαντού 1, ϑα είναι

dx = ∆x.

΄Ετσι το διαφορικό µιας συνάρτησης y = f(x), γράφεται

dy = f ′(x)dx.

3.7. ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 35

Το διαφορικό µιας συνάρτησης χρησιµοποιείται εκτός των άλλων και γι-α τον υπολογισµό προσεγγιστικών τιµών. Από τον ορισµό του διαφορικούέχουµε

∆y ≈ dy,

από την οποία παίρνουµε

f(x + ∆x)− f(x) ≈ f ′(x)dx,

ήf(x + ∆x) ≈ f(x) + f ′(x)dx.

Παράδειγµα: Να υπολογιστεί κατά προσέγγιση η τιµή3√

27, 2.

3.7 Βασικά ϑεωρήµατα του διαφορικού λογισ-µού

Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζουµε δύο ϐασικά ϑεωρήµατα του διαφορικούλογισµού, το Θεώρηµα Rolle και το Θεώρηµα Μέσης Τιµής.

Θεώρηµα 3.7.1. (Rolle) Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο κλειστόδιάστηµα [a, b] και παραγωγίσιµη στο ανοικτό διάστηµα (a, b) και αν f(a) =f(b), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σηµείο ξ στο διάστηµα (a, b) τέτοιο ώστε

f ′(ξ) = 0.

Γεωµετρική ερµηνεία: Αν f(x) είναι συνεχής και παραγωγίσιµη συνάρτησηη οποία παίρνει την ίδια τιµή σε δύο σηµεία του άξονα x, τότε υπάρχειανάµεσά τους τουλάχιστον ένα σηµείο στο οποίο η εφαπτοµένη είναι παράλληληπρος των άξονα των x.Παράδειγµα: Για τη συνάρτηση f : [−1, 1] → R µε

f(x) =

x2 + ax + b, x ∈ [−1, 0)

cx2 + 4x + 4, x ∈ [0, 1]

να ϐρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί a, b, c ώστε η f να ικανοποιεί τις υποθέ-σεις του Θεωρήµατος Rolle.


Πόρισµα 3.7.1. Αν η εξίσωση f(x) = 0 έχει δύο πραγµατικές ϱίζες a και b, µεa < b, και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [a, b] και παραγωγίσιµη στο (a, b),τότε

∃ξ ∈ (a, b) : f ′(ξ) = 0.

Πόρισµα 3.7.2. Για µία πολυωνυµική συνάρτηση ικανοποιούνται οι προϋπο-ϑέσεις του Θεωρήµατος Rolle, έτσι µεταξύ δύο ϱιζών a και b ενός πολυωνύµουp(x) µε πραγµατικούς συντελεστές υπάρχει τουλάχιστον µία πραγµατική ϱίζατου p′(x).

Παράδειγµα: Να δειχθεί ότι αν η εξίσωση

a0xn + a1x

n−1 + . . . + an−1x = 0, (a0, a1, . . . , an ∈ R)

έχει µία ϱίζα x = x0, τότε και η εξίσωση

na0xn−1 + (n− 1)a1x

n−2 + . . . + an−1 = 0,

έχει µία ϑετική ϱίζα µικρότερη του x0.

Θεώρηµα 3.7.2. (Θεώρηµα Μέσης Τιµής) Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχήςστο κλειστό διάστηµα [a, b] και παραγωγίσιµη στο ανοικτό διάστηµα (a, b), τότευπάρχει ένα τουλάχιστον σηµείο ξ στο διάστηµα (a, b) τέτοιο ώστε

f ′(ξ) =f(b)− f(a)

b− a.

Γεωµετρική ερµηνεία: Αν f(x) είναι συνεχής και παραγωγίσιµη συνάρτησησ΄ ένα διάστηµα [a, b] και A(a, f(a)), B(b, f(b)) τα σηµεία της καµπύλης πουαντιστοιχούν στα άκρα του διαστήµατος, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείοτης καµπύλης P (ξ, f(ξ)) µεταξύ των A, B, µε ξ ∈ (a, b), όπου η εφαπτοµένηστο σηµείο αυτό είναι παράλληλη προς τη χορδή AB.

΄Αµεση συνέπεια του Θεωρήµατος Μέσης Τιµής είναι τα επόµενα πορίσ-µατα.

Πόρισµα 3.7.3. Αν η παράγωγος µιας συνάρτησης f(x) είναι 0 σε όλα τασηµεία ενός διαστήµατος [a, b], τότε η f(x) είναι σταθερή στο διάστηµα αυτό.∆ηλαδή

f ′(x) = 0 ⇐⇒ f(x) = c, ∀x ∈ [a, b].

3.8. ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΟΥ LHOSPITAL - ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ TAY LOR 37

Πόρισµα 3.7.4. Αν f(x) και g(x) έχουν ίσες παραγώγους σε όλα τα σηµείαενός διαστήµατος [a, b], τότε η διαφορά τους είναι σταθερή στο διάστηµα αυτό.∆ηλαδή

f ′(x) = g′(x) ⇐⇒ f(x)− g(x) = c, ∀x ∈ [a, b].

Πόρισµα 3.7.5. Αν η f(x) είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα [a, b] και ισχύειf ′(x) > 0, για κάθε x ∈ (a, b) (αντίστοιχα f ′(x) < 0, για κάθε x ∈ (a, b)), τότε ηf(x) είναι γνησίως αύξουσα (αντίστοιχα γνησίως ϕθίνουσα) στο διάστηµα [a, b].

Παράδειγµα: Να δεχθεί ότι ισχύει

x

1 + x< ln(1 + x) < x, ∀x > 0.

3.8 Κανόνας του L′Hospital - Πολυώνυµο Taylor

Θεώρηµα 3.8.1. (Κανόνας του L’ Hospital) Αν f(x), g(x) δύο συνεχείς καιπαραγωγίσιµες συναρτήσεις και x0 ∈ R ∪ −∞, +∞ και

limx→x0

f(x) = limx→x0

g(x) = 0(±∞),

τότε ισχύει

limx→x0

f(x)

g(x)= lim

x→x0

f ′(x)

g′(x).

Με το κανόνα του L’ Hospital υπολογίζουµε τα όρια των απροσδιόριστωνµορφών 0

0ή ∞∞ . Ο κανόνας ισχύει και όταν x → +∞ ή x → −∞.

Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα όρια

a) limx→0

ln(cos x)

x

b) limx→1

(x

x− 1− 1

ln x).

Θεώρηµα 3.8.2. Αν η συνάρτηση f έχει παραγώγους µέχρι n-οστής τάξης,όπου n ∈ N∗, σε µία περιοχή του σηµείου x0, τότε υπάρχει ένα, και µόνο ένα,πολυώνυµο p(x) µε ϐαθµ. p(x) ≤ n που ικανοποιεί τις συνθήκες

p(x0) = f(x0), p′(x0) = f ′(x0), . . . , p

(n)(x0) = f (n)(x0).


Το πολυώνυµο αυτό είναι το

p(x) = f(x0) +(x− x0)

1!f ′(x0) +

(x− x0)2

2!f ′′(x0) + . . . +

(x− x0)n

n!f (n)(x0).

Το παραπάνω πολυώνυµο p(x) λέγεται πολυώνυµο του Taylor ή καιπροσεγγιστικό πολυώνυµο της συνάρτησης f στην περιοχή του σηµείουx0.

Το πολυώνυµο Taylor για x0 = 0, δηλαδή το πολυώνυµο

p(x) = f(0) +(x− 0)

1!f ′(0) +

(x− 0)2

2!f ′′(0) + . . . +

(x− 0)n

n!f (n)(0),

λέγεται πολυώνυµο του Mac Laurin της συνάρτησης f .΄Οταν προσεγγίζουµε την f µε το πολυώνυµο Taylor (της f ) τότε το σφάλµα

που κάνουµε είναιR(x) = f(x)− p(x).

Μπορεί να δειχθεί ότι

R(x) =(x− x0)

n+1

(n + 1)!f (n+1)(ξ),

όπου ξ κάποιος αριθµός µεταξύ του x0 και του x. Αν συµβεί το σφάλµα R(x)να τείνει στο µηδέν όταν το n τείνει στο άπειρο, τότε το πολυώνυµο Taylor ϑατείνει να ταυτιστεί µε τη συνάρτηση f(x).

Το όριο στο οποίο τείνει το πολυώνυµο Taylor λέγεται σειρά Taylor τηςf(x) ή ανάπτυγµα Taylor της f(x) στην περιοχή του σηµείου x0. ΄Ετσι, ησειρά Taylor της f(x) στο x0 είναι

f(x) = f(x0)+(x− x0)

1!f ′(x0)+

(x− x0)2

2!f ′′(x0)+. . .+

(x− x0)n

n!f (n)(x0)+. . . .

Παράδειγµα: Να ϐρεθεί το ανάπτυγµα Taylor της συνάρτησης f(x) = ex,στην περιοχή του σηµείου x0 = 0.

3.9 Ακρότατα - Σηµεία καµπής

Λέµε ότι η συνάρτηση y = f(x), που είναι ορισµένη σε ένα σύνολο A, έχειτοπικό µέγιστο (αντίστοιχα τοπικό ελάχιστο) στο σηµείο x = x0, αν γιαόλα τα σηµεία x (x 6= x0) µιας περιοχής του x0 ισχύει

3.9. ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ 39

f(x) ≤ f(x0) (αντίστοιχα f(x) ≥ f(x0)).

Ο αριθµός M (αντίστοιχα m) λέγεται ολικό µέγιστο (αντίστοιχα ολικόελάχιστο) της συνάρτησης f(x) στο A, αν υπάρχει x0 στο A, τέτοιο ώστε

f(x) ≤ f(x0) = M (αντίστοιχα f(x) ≥ f(x0) = m), ∀x ∈ A.

Λέµε ότι η y = f(x) έχει τοπικό ακρότατο στο σηµείο x = x0, αν έχει σ΄αυτό τοπικό µέγιστο ή τοπικό ελάχιστο.

Θεώρηµα 3.9.1. Αν x0 είναι σηµείου τοπικού ακροτάτου τότε ή f ′(x0) = 0 ήδεν υπάρχει η παράγωγος f ′(x0).

Τα σηµεία που µηδενίζουν την παράγωγο και εκείνα στα οποία δεν υπάρ-χει παράγωγος λέγονται στάσιµα ή κρίσιµα σηµεία της συνάρτησης.

Προσοχή: ∆εν ισχύει το αντίστροφο του ϑεωρήµατος. ∆ηλαδή ένα σηµείοόπου f ′(x0) = 0, δεν είναι υποχρεωτικά σηµεία τοπικού ακροτάτου.

Παράδειγµα: Να δείξετε ότι το σηµείο x = 0, είναι κρίσιµο σηµείο τηςσυνάρτησης f(x) = x3, όχι όµως τοπικό ακρότατο.

Κριτήριο 1ης παραγώγου για τοπικά ακρότατα:Ας είναι y = f(x) µία συνάρτηση ορισµένη στο [a, b] και x0 ∈ (a, b) ένακρίσιµο σηµείο της f . Αν υπάρχει περιοχή (x0 − ε, x0 + ε) του σηµείου x0

τέτοια ώστε να είναι :

• f ′(x) > 0, ∀x ∈ (x0 − ε, x0) και f ′(x) < 0, ∀x ∈ (x0, x0 + ε), τότε στοσηµείο x = x0 η συνάρτηση f έχει τοπικό µέγιστο

• f ′(x) < 0, ∀x ∈ (x0 − ε, x0) και f ′(x) > 0, ∀x ∈ (x0, x0 + ε), τότε στοσηµείο x = x0 η συνάρτηση f έχει τοπικό ελάχιστο

• f ′(x) < 0, ∀x ∈ (x0−ε, x0+ε), x 6= x0 ή f ′(x) > 0, ∀x ∈ (x0−ε, x0+ε),x 6= x0, τότε στο σηµείο x = x0 η συνάρτηση f δεν έχει τοπικόακρότατο.

Κριτήριο 2ης παραγώγου για τοπικά ακρότατα:Ας είναι y = f(x) µία συνάρτηση ορισµένη στο [a, b], παραγωγίσιµη στο (a, b)και x0 ένα κρίσιµο σηµείο της f , στο οποίο υπάρχει η δεύτερη παράγωγοςτης f και είναι διάφορη του µηδενός. Τότε :


• αν f ′′(x0) > 0, η f έχει τοπικό ελάχιστο στο x0

• αν f ′′(x0) < 0, η f έχει τοπικό µέγιστο στο x0.

Παράδειγµα: Να ϐρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης

f(x) = (x− 1)(x + 2)2.

Παράδειγµα: Βρείτε τα µέγιστα και τα ελάχιστα της συνάρτησης

f(x) = 4x3 − 48x2 + 144x,

χρησιµοποιώντας το κριτήριο της δεύτερης παραγώγου.

Για την καµπύλη c µιας συνάρτησης y = f(x), λέµε ότι στρέφει τακοίλα προς τα πάνω (είναι κυρτή), αν η καµπύλη ϐρίσκεται πάνω από τηνεφαπτοµένη σε κάθε σηµείο της, ενώ λέµε ότι στρέφει τα κοίλα προς τακάτω (είναι κοίλη), αν η καµπύλη ϐρίσκεται κάτω από την εφαπτοµένη σεκάθε σηµείο της.

Σηµεία καµπής µιας καµπύλης ονοµάζονται τα σηµεία στα οποία η καµ-πύλη αλλάζει κυρτότητα (από κυρτή γίνεται κοίλη ή το αντίστροφο).

Θεώρηµα 3.9.2. Ας είναι c : y = f(x), x ∈ [a, b], µία καµπύλη και x0 ∈ (a, b).Υποθέτουµε ότι υπάρχει η παράγωγος f ′(x) σε µία περιοχή (x0− ε, x0 + ε) καιη δεύτερη παράγωγος f ′′(x0) στο σηµείο x0. Τότε :

• αν f ′′(x0) > 0 η καµπύλη c στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω στο σηµείοτης P (x0, f(x0))

• αν f ′′(x0) < 0 η καµπύλη c στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο σηµείοτης P (x0, f(x0))

• αν το σηµείο P (x0, f(x0)) είναι σηµείο καµπής της καµπύλης c, τότε είναιυποχρεωτικά f ′′(x0) = 0.

Παράδειγµα: Να ϐρεθούν τα σηµεία καµπής και τα διαστήµατα σταοποία η καµπύλη

c : f(x) = x4 − 12x3 + 48x2 − 50,

στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή προς τα κάτω.

3.10. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41

3.10 Ασκήσεις

΄Ασκηση 3.1. Να ϐρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων

i) y = cos(3x) ii) y = e−x iii) y = tan(5x)

iv) y = esin x v) y = sin2(x2 + 1) vi) y = cos2[sin(3x)]

vii) y = ln2(ln x) viii) y =√

1 +√

1 + x ix) y = xsin x

΄Ασκηση 3.2. Να ϐρεθεί η παράγωγος της πεπλεγµένης συνάρτησης y = y(x)που ορίζεται από τη σχέση

xy = arctan(x

y).

΄Ασκηση 3.3. Βρείτε το διαφορικό της συνάρτησης y = ln(1+e10x)+arctan(e5x).Υπολογίστε την τιµή του διαφορικού στο x = 0 και την αύξηση ∆y της y προσ-εγγιστικά αν dx = 0.02.

΄Ασκηση 3.4. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση

f(x) =2− x2

x4,

παίρνει ίσες τιµές στα άκρα του διαστήµατος [−1, 1]. Στην συνέχεια να δειχθείότι η παράγωγός της δεν µηδενίζεται σε κανένα εσωτερικό σηµείο του διαστή-µατος αυτού και να εξηγηθεί γιατί δεν εφαρµόζεται το Θεώρηµα Rolle.

΄Ασκηση 3.5. Να ϐρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων

i) y = 3√

x +1

x2ii) y =

x2 + 1

x2 − 1iii) y =

1 + 3x

1− 3x

iv) y =ex

x2v) y = xx vi) y = sin[cos(3x)]

΄Ασκηση 3.6. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

y =arcsin x√

1− x2,

ικανοποιεί τη σχέση(1− x2)y′ − xy = 1.


΄Ασκηση 3.7. Να ϐρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

f(x) =x

1 + |x| .

΄Ασκηση 3.8. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f µε τύπο

f(x) =

x3 sin( 1

x), x 6= 0

0, x = 0

είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη.

΄Ασκηση 3.9. Να ϐρείτε a, b ∈ R ώστε η ευθεία y = 2x+5 να είναι εφαπτοµένητης γραφικής παράστασης C της συνάρτησης f µε f(x) = x2 + ax + b, στοx0 = −1.

΄Ασκηση 3.10. Βρείτε την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο της y ως προς xστο (1,−1), αν

x2 − xy + y2 = 3.

΄Ασκηση 3.11. Να υπολογιστεί κατά προσέγγιση η τετραγωνική ϱίζα√

(2.037)2 − 1

(2.037)2 + 1.

΄Ασκηση 3.12. Να ϐρεθεί το πολυώνυµο Taylor 4ου ϐαθµού της συνάρτησηςf(x) = ln x, στην περιοχή του σηµείου x0 = 1.

΄Ασκηση 3.13. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = |1− x2|. Να ϐρεθούνα) τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησηςϐ) τα σηµεία καµπήςγ) τα ολικά ακρότατα της συνάρτησης στο [0, 3].

΄Ασκηση 3.14. Βρέθηκε ότι η ταχύτητα µετάδοσης ενός σήµατος µέσω ενόςκαλωδίου είναι ανάλογη της ποσότητας ln x

x2 , όπου x (σε cm) το πάχος της µόν-ωσης του καλωδίου. Πόσο πρέπει να είναι το πάχος της µόνωσης έτσι ώστε ναεξασφαλίσουµε τη µέγιστη ταχύτητα µετάδοσης ;

΄Ασκηση 3.15. Για τον υπολογισµό τετραγωνικών ϱιζών αριθµών από 0 µέχρι1, χρησιµοποιείται ο προσεγγιστικός τύπος

√x ≈ 4

5(x +

1

3).

Ποιο είναι το µέγιστο σφάλµα του τύπου ;

Κεφάλαιο3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣusers.auth.gr/gvasil/chapter3.pdf · Κεφάλαιο3...

Documents

Transcript of Κεφάλαιο3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣusers.auth.gr/gvasil/chapter3.pdf · Κεφάλαιο3...