Ευχαριστίες - mathb∞ksgr · Κάθε επιστηµονικό, λογοτεχνικό...

Ευχαριστίες

Στον µεγάλο διαρρήκτη πάσης φύσεως προβληµάτων Παναγιώτη Οικονόµου που

µε άκουσε µε προσοχή και µε καθοδήγησε µε τον καλύτερο τρόπο.

Στην εικαστικό Καρολίνα Κρασσούλη για την εικονογράφηση και τη

σελιδοποίηση.

Στο φίλο και µαθηµατικό Γιάννη Κιουβρέκη για τις χρήσιµες ενστάσεις και

υποδείξεις.

Στους φίλους µου Γιάννο Παραµυθιώτη, ∆ηµήτρη Γερονικόλα, ∆ηµήτρη

Μπάλιο, Ιάκωβο Μέκιο, Σεραφείµ Γιαννακόπουλο, Μηνά Λιάκο, Στέλιο Προβή,

Βασίλη Σαρακίνο, Ανδρέα Μαλισιόβα, Γιώργο Παπαδηµητρίου που

χρησιµοποιήθηκαν ως πειραµατόζωα πριν καλά καλά αυτό το κείµενο πάρει

µορφή.

Στους γονείς µου Θοδωρή και Ιωάννα την αδελφή µου Αλεξία και το Στάθη

για την αγάπη τους και την παρέα τους.

Οποιαδήποτε παρατήρηση ή υπόδειξη θα χαρώ να τη συζητήσω

[email protected]

Βύρων Μ. Θεοδωρόπουλος

Χειµώνας 2011

Αθήνα

Κάθε επιστηµονικό, λογοτεχνικό ή δηµοσιογραφικό

κείµενο έχει µία δοµή ώστε να εξυπηρετεί το σκοπό του.

Ένα τρόπο, δηλαδή, ώστε οι πληροφορίες, τα µηνύµατα και

το νόηµα του κειµένου να µεταδίδονται στον αναγνώστη µε

ευκολία. Σα δοµή µπορούµε να θεωρήσουµε τον τρόπο

γραφής, τον τρόπο παρουσίασης και γενικότερα οτιδήποτε

βοηθάει τον αναγνώστη να κατανοήσει καλύτερα το κείµενο

εκτός από το ίδιο το περιεχόµενο. Για παράδειγµα τα

λογοτεχνικά βιβλία είναι χωρισµένα σε κεφάλαια, τα οποία

µε τη σειρά τους είναι χωρισµένα σε υποκεφάλαια.

Αντίστοιχα ένα δηµοσιογραφικό κείµενο έχει τίτλο,

υπότιτλους, µία είδηση, µία φωτογραφία ή ένα

σχεδιάγραµµα και κάποια σχόλια. Μία σελίδα στο internet

έχει τίτλο, φωτογραφίες, πληροφορίες, σχετικούς

συνδέσµους και διαφηµίσεις. Ένα βιβλίο ιστορίας, έχει το

κυρίως κείµενο, τίτλους, υπότιτλους, σχόλια, πηγές,

παραποµπές, φωτογραφίες, χάρτες, πίνακες στατιστικής και

άλλα.

Με παρόµοιο τρόπο µπορούµε να δοµήσουµε και

ένα µαθηµατικό κείµενο για την επίλυση ενός προβλήµατος,

µίας άσκησης ή για την απόδειξη ενός θεωρήµατος. Ένα

µαθηµατικό κείµενο πρέπει επίσης να υπακούει σε µία δοµή

ώστε να εξυπηρετεί και αυτό το σκοπό του. Βέβαια θα

παρατηρήσει κανείς ότι ένα ιστορικό κείµενο διαφέρει

αρκετά από ένα µαθηµατικό κείµενο. Σε ένα µαθηµατικό

κείµενο συναντάµε πολλά διαφορετικά σύµβολα,

παραστάσεις, πράξεις, ιδιότητες τα οποία αν και

χρησιµοποιούνται για να κάνουν το κείµενο πιο λιτό, πιο

λειτουργικό και πιο πυκνό σε νόηµα συχνά δυσκολεύουν τον

αναγνώστη. Αν όµως χρησιµοποιήσει κανείς και κυρίως αν

µάθει να αναγνωρίζει σωστά τους τίτλους, τους υπότιτλους

και τα σχήµατα τότε ένα µαθηµατικό κείµενο θα γίνει

εξίσου ευανάγνωστο µε ένα ιστορικό κείµενο. Η

αντιστοιχία αυτή είναι εφικτή γιατί τα µαθηµατικά είναι

µεταξύ άλλων µία ακόµα γραπτή γλώσσα. Τα µαθηµατικά

έχουν όπως κάθε γλώσσα λέξεις και σύµβολα, τα οποία µε

βάση κάποιους κανόνες σχηµατίζουν προτάσεις µε

συγκεκριµένο νόηµα. Με µία αλληλουχία τέτοιων

µαθηµατικών προτάσεων, οι οποίες καταλήγουν σε ένα

συµπέρασµα δηµιουργείται ένα πλήρες µαθηµατικό κείµενο.

Οι πλαγιότιτλοι ενός µαθηµατικού κειµένου

Το φυλλάδιο αυτό στηρίζεται στην παρακάτω ιδέα. Σε

κάθε πρόταση, περίοδο ή παράγραφο ενός µαθηµατικού

κειµένου µπορούµε να δώσουµε έναν πλαγιότιτλο ανάλογα µε

το περιεχόµενο, τη µορφή ή το ρόλο που επιτελεί µέσα σε

αυτό. Για παράδειγµα ένα µαθηµατικό κείµενο µπορεί να

αποτελείται από µία παρατήρηση ως αφορµή για ένα

συλλογισµό, µία καταγραφή των σχετικών ορισµών, µία

εφαρµογή ενός θεωρήµατος και τέλος έναν υπολογισµό. Ένα

άλλο παράδειγµα µαθηµατικού κειµένου µπορεί να

περιλαµβάνει αρχικά τη γεωµετρική ερµηνεία του

προβλήµατος που µελετάµε, τη µελέτη µίας ιδιότητας και

τέλος την επίλυση µίας ανίσωσης µέσω της χρήσης ενός

πίνακα προσήµου. Αν καταλάβουµε τους πλαγιότιτλους

αυτούς ως τους δοµικούς λίθους του µαθηµατικού κειµένου

τότε µπορούµε να αντιληφθούµε ένα µαθηµατικό κείµενο µε

τον ίδιο τρόπο που αντιλαµβανόµαστε ένα λογοτεχνικό,

δηµοσιογραφικό ή νοµικό κείµενο. Ως εκ τούτου στο

φυλλάδιο αυτό δίνουµε τους ορισµούς των πλαγιοτίτλων

αυτών που οικοδοµούν ένα µαθηµατικό κείµενο µαζί µε

σχετικά παραδείγµατα ως προς τη χρήση τους.

Πριν µάθουµε όµως τους πλαγιότιτλους και τη χρήση

τους, είναι σκόπιµο να διακρίνουµε τέσσερις µεγάλες

κατηγορίες των πλαγιότιτλων αυτών. Η οµαδοποίηση αυτή

φαίνεται στα ακόλουθα τέσσερα κεφάλαια. Στο πρώτο

κεφάλαιο περιέχονται οι ορισµοί των πλαγιότιτλων που

σχετίζονται µε τη Θεωρία (θεώρηµα, πόρισµα, ισότητα

κλπ.). Στο δεύτερο κεφάλαιο δίνονται οι πλαγιότιτλοι που

σχετίζονται µε την παραγωγή συµπερασµάτων (αντίφαση,

αξίωµα, ισοδυναµία, ποσοδείκτης κλπ.), στο τρίτο τα

δευτερεύοντα εργαλεία που χρησιµοποιούµε σε ένα

µαθηµατικό κείµενο (διερεύνηση, εκτίµηση, έλεγχος,

παρατήρηση κλπ.) και στο τέταρτο δίνουµε τους ορισµούς

κάποιων χαρακτηριστικών µαθηµατικών προβληµάτων ή

καλύτερα τα αντικείµενα που συνήθως εκφράζουν το στόχο

ενός µαθηµατικού κειµένου (εξίσωση, ανίσωση, ιδιότητα

κλπ.).

Με άλλα λόγια, ας θεωρήσουµε ότι γράφουµε ένα

µαθηµατικό κείµενο µε σκοπό να αποδείξουµε ότι ένα

µαθηµατικό αντικείµενο ικανοποιεί µία συγκεκριµένη

ιδιότητα. Σε αδρές γραµµές το κείµενο έχει ως εξής:

• Βασιζόµαστε στους ορισµούς, τις προτάσεις και τα

θεωρήµατα που αποδεδειγµένα ισχύουν.

• ∆ιατυπώνουµε διαδοχικούς συλλογισµούς σύµφωνα µε τους

κανόνες της λογικής.

• Ξεπερνάµε τα µικροεµπόδια που συναντάµε µε τα εργαλεία

που έχουµε αναπτύξει.

• Τέλος καταλήγουµε µε βεβαιότητα στο επιθυµητό

συµπέρασµα. Αποδεικνύουµε ότι ένα µαθηµατικό αντικείµενο

ικανοποιεί ή όχι µία ιδιότητα.

Ο µαθηµατικός και ο διαρρήκτης

Η οµαδοποίηση που περιγράψαµε παραπάνω γίνεται καλύτερα

κατανοητή αν παροµοιάσουµε έναν µαθητευόµενο µαθηµατικό

µε έναν µαθητευόµενο διαρρήκτη. Με αυτήν την αναλογία

κατά νου αντιστοιχίζουµε στην αρχή κάθε κεφαλαίου την

κάθε οµάδα πλαγιοτίτλων (Θεωρία, Λογική, Εργαλεία,

Ερωτήσεις) µε τις διάφορες κατηγορίες των εφοδίων που

αποκτά ο µαθητευόµενος διαρρήκτης κατά τη διάρκεια της

µαθητείας του.

Περιεχόµενα

Η γνώση του µεγάλου διαρρήκτη σελίδα 9

Ανισότητα Γενίκευση Θεώρηµα

Ισότητα Κριτήριο Ορισµός

Πόρισµα Πρόταση Ταυτότητα

Ο Κώδικας δεοντολογίας των µεγάλων διαρρηκτών.. σελίδα 17

Αντίφαση Αξίωµα Ισοδυναµία

Ποσοδείκτης Συµπέρασµα Συνεπαγωγή

Η εργαλείοθήκη του Μεγάλλου διαρήκτη. σελίδα 25

Αντιπαράδειγµα Γεωµετρική Ερµηνεία ∆ιερεύνηση

Εκτίµηση Έλεγχος Ισχυρισµός

Παρατήρηση Περιορισµός Πίνακας Προσήµου

Σχόλιο Υπολογισµός

Η δικαίωση του µεγάλου διαρρήκτη. σελίδα 31

Ανίσωση Γενίκευση Εξίσωση

Εξίσωση Γραµµής Ιδιότητα Μεταβλητή

Παράµετρος Φράγµα Χαρακτηρισµός

Κατά τη διάρκεια της µαθητείας του ένας µικρός και

φιλόδοξος διαρρήκτης οφείλει να διαβάζει βιβλία για τις

κλειδαριές, να µελετάει τεχνικές διάρρηξης κλπ. Οφείλει

δηλαδή να ξέρει τη «θεωρία» της διάρρηξης. Ένας µεγάλος

διαρρήκτης πρέπει να γνωρίζει σε βάθος αυτή τη «θεωρία»

ώστε να µπορεί να την εφαρµόσει. Όταν λέµε «θεωρία»

εννοούµε µία τεράστια βάση δεδοµένων, πληροφοριών που

περιλαµβάνει µεταξύ άλλων τους διάφορους τύπους

κλειδαριών, τους κατασκευαστές τους και τα υλικά που

αυτοί χρησιµοποιούν. Ακόµα είναι απαραίτητη η γνώση της

σχετικής µε το αντικείµενο ορολογίας και φυσικά η γνώση

των µέχρι τότε γνωστών και αποδοτικών µεθόδων διάρρηξης.

Κατ’ αντιστοιχία ένας διαρρήκτης µαθηµατικών

προβληµάτων πρέπει να γνωρίζει µία άλλη βάση δεδοµένων

αρχικά για να καταλάβει και εν τέλει για να ξεκλειδώσει

µαθηµατικά προβλήµατα. Η θεωρία των µαθηµατικών

περιλαµβάνει:

• Τους ορισµούς των διαφόρων µαθηµατικών αντικειµένων.

• Τα θεωρήµατα που έχουν αποδείξει άλλοι µαθηµατικοί

καθώς και τα πορίσµατα και τις προτάσεις που ισχύουν

για κάθε αντικείµενο.

• Ισότητες, ανισότητες και ταυτότητες που έχει

αποδειχθεί ότι ισχύουν.

Περιεχόµενα: Ανισότητα, Ισότητα, Θεώρηµα, Κριτήριο, Ορισµός, Πόρισµα,

Πρόταση, Ταυτότητα

Ανισότητα ονοµάζεται µία µαθηµατική πρόταση που συγκρίνει το

µέγεθος δύο µαθηµατικών αντικειµένων. Για παράδειγµα,

συγκρίνει σταθερές ή µεταβλητές ποσότητες, παραστάσεις,

συναρτήσεις κλπ. Με τον όρο ανισότητα αναφερόµαστε σε

προτάσεις που ισχύουν καθολικά για όλες τις τιµές που

µπορούν να λάβουν οι µεταβλητές της πρότασης σε αντίθεση

µε τον όρο ανίσωση.

Παραδείγµατα

• ( )2 0, ,α β α β+ ≥ ∀ ∈ℝ

• 1,x xηµ ≤ ∀ ∈ℝ

Ισότητα ονοµάζεται µία µαθηµατική πρόταση που διατυπώνει ότι τα

µεγέθη δύο µαθηµατικών αντικειµένων είναι ίσα. (σταθερές

ή µεταβλητές ποσοτήτες, παραστάσεις, συναρτήσεις κλπ).

Με τον όρο ισότητα αναφερόµαστε σε προτάσεις που ισχύουν

καθολικά για όλες τις τιµές που µπορούν να λάβουν οι

µεταβλητές της πρότασης σε αντίθεση µε τον όρο εξίσωση.


• Μία χρήση της ισότητας 2 2 1x xηµ συν+ = µπορεί να είναι η

ακόλουθη

Αν σε µία οποιαδήποτε παράσταση εµφανίζεται το άθροισµα 2 2x xηµ συν+ µπορούµε να το αντικαταστήσουµε µε τον αριθµό

1 και η παράσταση θα είναι ακριβώς η ίδια. Μία άλλη

µπορεί να είναι το ανάποδο. Να αντικαταστήσουµε δηλαδή

τον αριθµό 1 µε το άθροισµα 2 2x xηµ συν+ .

• Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα

ΑΒ = ΑΓ = ΒΓ .

• ( )2 2 22α β α αβ β+ = + +

Θεώρηµα ονοµάζεται µία αληθής και αποδεδειγµένη µαθηµατική πρόταση.

Ένα Θεώρηµα έχει 2 σκέλη. Τις προυποθέσεις και το

συµπέρασµα. Αν οι προυποθέσεις ικανοποιούνται τότε ισχύει

το συµπέρασµα. Για την απόδειξη ενός θεωρήµατος

χρησιµοποιούµε άλλα θεωρήµατα, προτάσεις και αξιώµατα. Μία

µαθηµατική πρόταση λέγεται Θεώρηµα όταν έχει µεγάλη ισχύ.

Με άλλα λόγια όταν δεν είναι µία πρόταση που αναφέρεται σε

ένα πολύ συγκεκριµένο µαθηµατικό αντικείµενο που ικανοποιεί

µία, δύο προυποθέσεις αλλά όταν είναι αρκετά γενική ώστε να

έχει ένα µεγάλο πεδίο εφαρµογής. Στην πραγµατικότητα τα

θεωρήµατα, οι προτάσεις, τα πορίσµατα, τα κριτήρια, όπως

επίσης και οι γνωστές ανισότητες και ισότητες είναι όλα

αληθείς και αποδεδειγµένες µαθηµατικές προτάσεις αλλά η

βαρύτητα της καθεµίας και µία ανάγκη οµαδοποίησής τους, µας

επιβάλει αυτή τη διάκριση στο όνοµα.


• Πυθαγόρειο θεώρηµα

Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου

είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων

πλευρών του

Η ισχύς του Πυθαγορείου Θεωρήµατος είναι ότι ισχύει σε κάθε

ορθογώνιο τρίγωνο.

• Θεώρηµα

Κάθε πολυώνυµο ( )P x µπορεί να γραφεί στη µορφή

( ) ( ) ( )P x x Q xρ υ= − + για οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό ρ .

Η παραπάνω πρόταση είναι θεώρηµα καθ’ ότι εφαρµόζεται σε

όλα τα πολυώνυµα, ανεξαρτήτως βαθµού και σε όλους τους

πραγµατικούς αριθµούς.

• Θεώρηµα µέγιστης και ελάχιστης τιµής.

Αν µία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστηµα

πραγµατικών αριθµών τότε η συνάρτηση αυτή παρουσιάζει στο

διάστηµα αυτό µέγιστη και ελάχιστη τιµή.

Παρατηρούµε ότι η προυπόθεση της συνέχειας ικανοποιείται

από πολλές συναρτήσεις µεταξύ των οποίων οι πολυωνυµικές,

οι εκθετικές, οι λογαριθµικές, οι ρητές, οι τριγωνοµετρικές

και άλλες γι’ αυτό και είναι θεώρηµα και όχι απλά µία

πρόταση.

Κριτήριο ονοµάζεται µία µαθηµατική πρόταση, η εφαρµογή της οποίας

οδηγεί σε έναν τυποποιηµένο έλεγχο. Αν ικανοποιοιούνται

οι προϋποθέσεις του κριτηρίου τότε το κριτήριο

αποφαίνεται για µία ιδιότητα ή έναν χαρακτηρισµό ή ακόµα

και για την αριθµητική τιµή του µαθηµατικού αντικειµένου

που ελέγχεται.


• Κριτήριο οµοιότητας τριγώνων

∆ύο τρίγωνα ΑΒΓ και ' ' 'Α Β Γ είναι όµοια αν έχουν δύο

πλευρές ανάλογες και οι περιεχόµενες σε αυτές γωνίες

είναι ίσες.

• Κριτήριο διαιρετότητας

Έστω ένας ακέραιος αριθµός a∈ℤ Ο a διαιρείται µε το 3 αν το άθροισµα των ψηφίων του

διαιρείται µε το 3

Ορισµός ονοµάζεται µία µαθηµατική πρόταση η οποία εισάγει σε ένα

µαθηµατικό κείµενο µία καινούρια έννοια. Στον ορισµό

περιγράφεται το κύριο χαρακτηριστικό της νέας έννοιας.

Ένας ορισµός πρέπει να είναι σαφής και συγκεκριµένος.


• Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α ονοµάζουµε την

απόσταση του αριθµού α από το 0. , 0

, 0

a aa

a a

≥ = − <

.

• Έστω ένας θετικός πραγµατικός αριθµός 0a ≥ . Ορίζουµε ως

τετραγωνική ρίζα του α , και τη συµβολίζουµε µε a να

είναι η µη αρνητική ρίζα της εξίσωσης 2x a= .

Πόρισµα (ενός θεωρήµατος) ονοµάζεται µία µαθηµατική πρόταση, η

οποία προκύπτει άµεσα από ένα θεώρηµα. Με άλλα λόγια η

απόδειξη ενός πορίσµατος είναι εφαρµογή του θεωρήµατος που

προηγείται. Η αµεσότητα αυτή είναι σχετική και εξαρτάται

από τη δυσκολία του µαθηµατικού κειµένου, το συγγραφέα και

τον αναγνώστη στον οποίο απευθύνεται.

Παράδειγµα

• ∆ιατυπώνουµε ένα γνωστό θεώρηµα από τη Θεωρία Αριθµών.

Θεώρηµα: Αν δ είναι ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των

,α β τότε υπάρχουν ακέραιοι ,κ λ τέτοιοι ώστε να ισχύει δ κα λβ= + .

Αν εφαρµόσουµε το θεώρηµα αυτό για 1δ = λαµβάνουµε το

ακόλουθο πόρισµα.

Πόρισµα: ∆ύο ακέραιοι ,α β είναι πρώτοι µεταξύ τους, αν και µόνο αν, υπάρχουν ακέραιοι ,κ λ τέτοιοι

ώστε 1 κα λβ= + .

Απόδειξη πορίσµατος

( )⇒ Έστω ότι οι φυσικοί αριθµοί ,α β είναι πρώτοι µεταξύ

τους, τότε ο ΜΚ∆ τους είναι το 1, άρα από το

προηγούµενο θεώρηµα έχουµε άµεσα: 1 κα λβ= + .

( )⇐ Έστω ότι υπάρχουν ,κ λ τέτοιοι ώστε 1 κα λβ= + και

ονοµάζουµε δ το ΜΚ∆ των ,α β . Τότε ο δ διαιρεί τον α ως ΜΚ∆, διαιρεί τον β και πάλι ως ΜΚ∆ των ,α β . Άρα ο δ διαιρεί και τον αριθµό κα λβ+ . Όµως

1κα λβ+ = , συνεπώς ο δ διαρεί το 1 οπότε είναι ίσος µε 1.

• Από τη Θεωρία πολυωνύµων γνωρίζουµε το παρακάτω Θεώρηµα

Θεώρηµα: Κάθε πολυώνυµο ( )P x µπορεί να γραφεί στη µορφή

( ) ( ) ( ) ( )P x x Q x xρ υ= − + όπου ( ) ( ),Q x xυ πολυώνυµα για

οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό ρ .

Η εφαρµογή του παραπάνω θεωρήµατος για τον πραγµατικό

αριθµό ρ δίνει άµεσα το ακόλουθο πόρισµα.

Πόρισµα: Για κάθε πραγµατικό αριθµό ρ και κάθε

πολυώνυµο ( )P x ο αριθµός ( )P ρ είναι ίσος µε το

υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου ( )P x µε

το µονώνυµο ( )x ρ− . Ισχύει δηλαδή ( )P ρ υ= .

Πρόταση (προτασιακός τύπος ή κατηγορική πρόταση.) Η έννοια της

λογικής πρότασης θεωρείται στα µαθηµατικά ως µία πρωταρχική

έννοια, δηλαδή µία έννοια η οποία δεν επιδέχεται ορισµό και

δεν µπορεί να αναχθεί σε κάποια άλλη παρεµφερή έννοια. Στα

µαθηµατικά και στη λογική µε τον όρο πρόταση εννοούµε µία

έκφραση µε πλήρες νόηµα, η οποία επιδέχεται ακριβώς έναν

χαρακτηρισµό «αληθής», «ψευδής» . Για τη διατύπωση των

µαθηµατικών προτάσεων χρησιµοποιούµε όρους, σύµβολα και λοιπά

µαθηµατικά αντικείµενα, τα οποία έχουν µία καθορισµένη και

µόνιµη σηµασία καθ’ολη την επεξεργασία ενός θέµατος όπως για

παράδειγµα «άρτιος αριθµός», «διαιρέτης», «10», «συνάρτηση»

κλπ.


• «Ο αριθµός 10 είναι άρτιος»

Το περιεχόµενο της πρότασης εκφράζει ένα πλήρες νόηµα και

είναι αληθής.

• «Ο αριθµός 3 είναι διαιρέτης του 8»

Το περιεχόµενο της πρότασης εκφράζει ένα πλήρες νόηµα και

είναι ψευδής.

• «Για περιττούς, αύριο κ ακαζού, άρα συµµετρικό Ασπροκόουπ

0α > και ενίοτε µε 12»

Το περιεχόµενο της πρότασης δεν εκφράζει απολύτως τίποτα,

συνεπώς και δεν είναι µία λογική πρόταση.

Σηµείωση: Υπάρχουν επίσης λογικές προτάσης για τις οποίες δεν έχουµε

(ακόµα;) απόδειξη ούτε για την αλήθεια τους ούτε για το

ψεύδος τους. Οι προτάσεις αυτές ονοµάζονται ανοικτά

προβλήµατα ή εικασίες.

Η εικασία τως δίδυµων πρώτων αριθµών

• «Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθµοί p τέτοιοι ώστε ο p+2 να

είναι επίσης πρώτος»

Π.χ. (1,3), (3,5) (5,7), (11,13), (15,17), (29,31)...κλπ.

Ταυτότητα ονοµάζεται µία ισότητα που περιέχει µεταβλητές και είναι

αληθής για όλες τις τιµές των µεταβλητών αυτών. Η

εφαρµογή και χρήση των ταυτοτήτων διευκολύνει

διαδικασίες, όπως οι πράξεις και η παραγοντοποίηση.


• ( )2 2 22α β α αβ β+ = + +

• ( )3 3 2 2 33 3α β α α β αβ β− = − + −

• ( )( )2 2α β α β α β− = − +

• 2 2 1x xηµ συν+ =

Σαν παράδειγµα αναφέρουµε ότι οποτεδήποτε συναντούµε µία

διαφορά τετραγώνων 2 2α β− µπορούµε να την γράψουµε στη

µορφή ( )( )α β α β− + . Το αν χρειάζεται ή όχι είναι στην

κρίση µας. Το σίγουρο είναι ότι η διαφορά τετραγώνων δύο

αριθµών/ποσοτήτων/συναρήσεων είναι (ταυτοτικά) ίση µε το

γινόµενο του αθροίσµατός τους και της διαφοράς τους.

Ο Κώδικας ∆εοντολογίας των Μεγάλων ∆ιαρρηκτών

«Στη σύναξη των µεγάλων διαρρηκτών κλέφτες, ληστές και µπουκαδόροι δεν είναι

καλεσµένοι»

Οι µεγάλοι διαρρήκτες χαρακτηρίζονται από φινέτσα

και στυλ. Το να πλουτίσουν δεν είναι το πρώτο τους

µέληµα. Ενδιαφέρονται κυρίως να ξεκλειδώσουν την πόρτα

κοµψά και γρήγορα. Οι µεγάλοι διαρρήκτες θέλουν µε

µαεστρικές και λεπτές κινήσεις να κάνουν την πόρτα να

ανοίξει από µόνη της. Μετά τη διάρρηξη η συγκοµιδή των

αγαθών είναι για αυτούς µία ανιαρή και τυπική

διαδικασία. Μάλιστα έχουν διαµορφώσει έναν κώδικα

δεοντολογίας ο οποίος οφείλει να τηρείται µε ευλάβεια

από οποιονδήποτε θέλει να λέγεται µεγάλος διαρρήκτης.

∆εν δέχτηκαν ποτέ στις τάξεις τους ανθρώπους που

χτύπαγαν την πόρτα και τη στιγµή που κάποιος τους άνοιγε

ορµούσαν για να κλεψουν, όπως για παράδειγµα τον Γάλλο

ληστή Jacques Mesrine που υπο την απειλή όπλου λήστευε

τράπεζες στα µέσα του περασµένου αιώνα. Το ζητούµενο για

τους µεγάλους διαρρήκτες είναι να ξεκλειδώσουν την

κλειδαριά και όχι να βρεθούν από την άλλη µεριά της

πόρτας µε οποιοδήποτε κόστος.

Αντίστοιχα οι µαθηµατικοί έχουν ένα σύνολο από

λογικούς κανόνες που οριοθετούν τον τρόπο µε τον οποίο

επιτρέπεται να ξεκλειδωθεί ένα µαθηµατικό πρόβληµα. Οι

κανόνες είναι προσυµφωνηµένοι και αποδεκτοί από όλους.

Στο κεφάλαιο αυτό θα δούµε τα αξιώµατα ως συµφωνηµένα

θέσφατα µεταξύ µαθηµατικών και τους επιτρεπτούς τρόπους

παραγωγής αποδείξεων και συµπερασµάτων.

Περιεχόµενα: Αξίωµα, Αντίφαση, Ισοδυναµία, Ποσοδείκτης, Συµπέρασµα,

Συνεπαγωγή

Αξίωµα ονοµάζεται µία µαθηµατική πρόταση η οποία στο πλαίσιο της

θεωρίας στην οποία ανήκει δεν επιδέχεται απόδειξη ή διάψευση.

Τα αξιώµατα είναι οι δοµικοί µας λίθοι για τη δηµιουργία

θεωριών. Όπως ένας οικοδόµος χρησιµοποιεί τούβλα για να

φτιάξει τοίχους και τοίχους για να χτίσει κτήρια έτσι και

ένας µαθηµατικός χρησιµοποιεί αξιώµατα για να φτιάξει

θεωρήµατα και θεωρήµατα για να υποστηρίξει θεωρίες. Τα

αξιώµατα είναι δύο ειδών:

1. Λογικά αξιώµατα: Τα λογικά αξιώµατα είναι µαθηµατικές

προτάσεις οι οποίες σε όποια θεωρία και να ερµηνευτούν

είναι πάντοτε αληθείς, δηλαδή είναι ταυτολογίες. Κατα µία

αφηρηµένη, έννοια τα λογικά αξιώµατα εκφράζουν τον τρόπο

που λειτουργεί το ανθρώπινο µυαλό και πώς αυτό δέχεται

έλλογα συµπεράσµατα.

2. Μη Λογικά Αξιώµατα: Τα µη λογικά αξιώµατα είναι ένα

σύνολο µαθηµατικών προτάσεων, διαφορετικό σε κάθε θεωρία,

στο οποίο απαιτούµε οι προτάσεις αυτές να είναι αληθείς, να

µην αποδεικνύονται από τα υπόλοιπα λογικά ή µη λογικά

αξιώµατα και τέλος να οδηγούν στην κατασκευή συνεπών

θεωριών. Χρειαζόµαστε τη συνέπεια µίας θεωρίας για να

αντλήσουµε χρήσιµα συµπεράσµατα. Μία θεωρία είναι συνεπής,

όταν δεν µπορούµε στο πλαίσιο αυτής να αποδείξουµε µία

πρόταση και την άρνησή της. Μία θεωρία στην οποία

αποδεικνύεται ότι µία πρόταση είναι ταυτόχρονα αληθής και

ψευδής ονοµάζεται ασυνεπής και δεν είναι καθόλου χρήσιµη.


• Η εις άτοπον απαγωγή είναι ένα λογικό αξίωµα.

Είναι ένας τρόπος παραγωγής συµπερασµάτων τον οποίο σε

όποια θεωρία και να τον εφαρµόσουµε µπορούµε να

αποδεικνύουµε προτάσεις, να επιλύουµε προβλήµατα και να

απαντάµε σε ερωτήσεις. Η λειτουργία της βασίζεται στο

ακόλουθο λογικό και µη αποδείξιµο σχήµα: Αν υποθέσουµε ότι

η πρόταση p είναι αληθής και µε χρήση αξιωµάτων και

θεωρηµάτων καταλήξουµε σε µία αντίφαση τότε η πρόταση

πρόταση p δεν µπορεί να θεωρηθεί αληθής. Αναγκαστικά θα

είναι αληθής η άρνηση της πρότασης p . Στη λογική το σχήµα

αυτό γράφεται ( )( )p q q p⇒ ∧¬ ⇒¬ . Η εις άτοπον απαγωγή είναι

λογικό αξίωµα γιατί δεν αποδεικνύεται από οτιδήποτε άλλο

και είναι αληθής σε όποια θεωρία και να την εφαρµόσουµε.

• Στο πλαίσιο της θεωρίας της Ευκλείδειας Γεωµετρίας το

αξίωµα «Από δοσµένο σηµείο εκτός ευθείας διέρχεται µοναδική

παράλληλη» γνωστό και ως το Πέµπτο Αίτηµα του Ευκλείδη

είναι ένα µη λογικό αξίωµα.

Είναι µη λογικό αξίωµα γιατί η ερµηνεία του στην Ευκλείδεια

Γεωµετρία θεωρείται αληθής µαθηµατική πρόταση. Επίσης δεν

αποδεικνύεται από τα υπόλοιπα αιτήµατα του Ευκλείδη και

τρίτον οδηγεί στην Ευκλείδεια Γεωµετρία η οποία είναι

συνεπής.

Για να κατανοήσουµε καλύτερα την έννοια του µη λογικού

αξιώµατος, ας δούµε την παρακάτω ιστορία. Πολλοί

µαθηµατικοί προσπάθησαν να αποδείξουν το Πέµπτο Αίτηµα του

Ευκλείδη χρησιµοποιόντας τα υπόλοιπα Αιτήµατα. Μία τέτοια

απόδειξη θα το καθαιρούσε από Αξίωµα και θα το µετέτρεπε σε

Θεώρηµα, πράγµα που τελικά δεν έγινε. Η απαλειφή του

Πέµπτου Αιτήµατος του Ευκλείδη από το σύνολο των αξιωµάτων

οδήγησε σε γεωµετρίες οι οποίες θεωρούν ότι από ένα σηµείο

εκτός ευθείας διέρχονται δύο, τρεις, άπειρες ή και καµία

παράλληλη. Το περίεργο και συνάµα εντυπωσιακό ήταν ότι και

αυτές οι θεωρίες είναι συνεπείς και ονοµάστηκαν µη

Ευκλείδειες Γεωµετρίες. Το συµπέρασµα είναι ότι το πέµπτο

αίτηµα του Ευκλείδη είναι ταυτόχρονα:

o Μη λογικό αξίωµα για την Ευκλείδεια Γεωµετρία

o Ψευδής πρόταση για µία µη Ευκλείδεια γεωµετρία

o Εντελώς περιττό να διατυπωθεί ως πρόταση στη θεωρία

αριθµών.

Eυκλείδειες και µη Ευκλείδειες Γεωµετρίες

Η σύνδεση των Ευκλείδειων και Μη Ευκλείδειων Γεωµετριών

αποκρυσταλλώθηκε στις αρχές του εικοστού αιώνα. Η

Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι η Γεωµετρία που µελετάει τα

σχήµατα που µπορούµε να φτιάξουµε σε ένα επίπεδο που έχει

καµπυλότητα 0 και µία µη ευκλείδεια γεωµετρία αφορά τα

σχήµατα που µπορούν να δηµιουργηθούν πάνω στην επιφάνεια ή

στο εσωτερικό µίας σφαίρας. Το ακόλουθο παράδειγµα είναι

διαφωτιστικό για τη διαφορά Ευκλείδειων και Μη Ευκλείδειων

Γεωµετριών. Ένα από τα διασηµότερα θεωρήµατα της

Ευκλείδειας Γεωµετρίας µας βεβαιώνει ότι το άθροισµα των

γωνιών ενός τριγώνου είναι πάντοτε 180 µοίρες. Αυτό όµως

δεν ισχύει για ένα τρίγωνο σχεδιασµένο στην επιφάνεια µίας

σφαίρας, όπως αυτό του σχήµατος, το οποίο έχει και τις

τρεις γωνίες του ορθές.

Αντίφαση ονοµάζεται µία ψευδής µαθηµατική πρόταση. Για παράδειγµα:

0 1> . Μία αντίφαση σε ένα µαθηµατικό κείµενο µπορεί να

προκύψει από λάθος. Συνήθως, όµως, καταλήγουµε σε µία

αντίφαση όταν χρησιµοποιούµε την εις άτοπο απαγωγή.


• Για να καταλάβουµε την αντίφαση ας δούµε ένα καθηµερινό

παράδειγµα.

Τρεις φίλοι ο Σάββας, ο Ανέστης και ο Μάρκος συζητάνε για

µπάσκετ. Ο Σάββας είπε: «ξενύχτησα χτες βλέπωντας τους

τελικούς του ΝΒΑ. Τελικά κέρδισαν οι Los Angeles Lakers». Ο

Ανέστης απάντησε: «Και εγώ ξενύχτησα. Τελικά κέρδισαν οι

Boston Celtics». Αµέσως ο Μάρκος φώναξε «Αντίφαση! Κάποιος

από τους δύο λέει ψέµατα. ∆ε γίνεται να κέρδισαν και οι

δύο!»

Ο Σάββας είχε δίκιο. Τον Ανέστη τον πήρε ο ύπνος πριν µάθει

το αποτέλεσµα του αγώνα.

• Η εις άτοπον απαγωγή µας οδηγεί σε µία αντίφαση και µας

βοηθά να αποδείξουµε ότι δύο διανύσµατα τέµνονται.

∆ίνονται τα διανύσµατα a v u= −

και 3 1

4 3b v u= −

. Για τα

διανύσµατα ,v u

ισχύει ότι τένµνονται. Να αποδείξετε ότι και

τα διανύσµατα ,a b

τέµνονται.

Απόδειξη

Θέλουµε να δείξουµε ότι τα διανύσµατα ,a b

τέµνονται.

Ας υποθέσουµε ότι δεν τέµνονται. Συνεπώς αφού δεν τέµνονται

θα είναι παράλληλα. ∆ηλαδή a b .

Από τη θεωρία διανυσµάτων γνωρίζουµε ότι υπάρχει

πραγµατικός αριθµός λ∈ℝ τέτοιος ώστε να ικανοποιείται η σχέση a bλ=

. Άρα θα πρέπει να ισχύει για κάποιο λ∈ℝ ότι

3 1

4 3v u v uλ − = −

. Με πράξεις καταλήγουµε ότι ισοδύναµα θα

πρέπει να ισχύει 3 1

04 3

v uλ λ − + − =

. Επειδή τα διανύσµατα ,v u

τέµνονται, η τελευταία ισχύει µόνο αν 3

4λ = και

1

3λ =

Αντίφαση! Ο αριθµός λ δεν µπορεί να είναι ταυτόχρονα 3

4 και

1

3. Άρα τα διανύσµατα ,a b

δεν γίνεται να είναι παράλληλα

εποµένως τέµνονται.

Ισοδυναµία ονοµάζεται ένας µαθηµατικός σύνδεσµος (που συµβολίζεται

µε:⇔ ), ο οποίος χρησιµοποιείται για να ενώσει δύο

ισοδύναµες προτάσεις. Γλωσσικά, η ισοδυναµία δηλώνεται

από τις εκφράσεις «αν και µόνο αν», «όταν και µόνον

όταν», «τότε και µόνο τότε». Ισοδύναµες θεωρούνται δύο

µαθηµατικές προτάσεις p και q (συµβολισµός p q⇔ ), όταν

ισχύουν τα εξής δύο:

Αν υποθέσουµε ότι η πρόταση p είναι αληθής, τότε και η

πρόταση q είναι αληθής.

Αν υποθέσουµε ότι η πρόταση q είναι αληθής, τότε και η

πρόταση p είναι αληθής.


• Έστω οι πραγµατικοί αριθµοί ,α β ∈ℝ . Τότε ισχύει η εξής ισοδυναµία.

0α = και 0β = , αν και µόνο αν, 2 2 0α β+ = .

( ) ( )2 20 0 0α και β α β= = ⇔ + =

• 1 1 0α α> ⇔ − >

Ποσοδείκτης ονοµάζεται µία έκφραση που αναφέρεται σε µία µαθηµατική

πρόταση ή είναι µέρος µίας µαθηµατικής πρότασης και

περιγράφει έννοιες όπως «υπάρχει τουλάχιστον ένα», για

κάθε, για κάποια, για ένα το πολύ, για ένα µοναδικό κ.α.


• Για κάθε (συµβολισµός ∀ ) Θέλουµε να διατυπώσουµε την ακόλουθη αληθή µαθηµατική

πρόταση.

«Κάθε φυσικός αριθµός είναι µικρότερος από το τετράγωνό

του». Χρησιµοποιώντας τον ποσοδείκτη ∀ , το σύµβολο της ανισότητας, το σύµβολο του περιέχεσθαι και µία µεταβλητή

η πρόταση αυτή γράφεται µαθηµατικά ως εξής:

ν∀ ∈ℕ ισχύει ότι 2ν ν<

Εναλλακτικά 2όν ν τ τε ν νΑ ∈ <ℕ .

• Υπάρχει ένα (συµβολισµός ∃) Έστω ένα τριώνυµο ( ) 2P x x xα β γ= + + µε διακρίνουσα θετική

Τότε 1 2,x x∃ ∈ℝ τέτοια ώστε ( )1 0P x = και ( )2 0P x = .

Το σύµβολο ∃ δηλώνει απλά ύπαρξη και όχι πλήθος.

Συµπέρασµα ονοµάζεται µία µαθηµατική πρόταση η οποία είναι το

αποτέλεσµα ενός συλλογισµού. Ένα συµπέρασµα προκύπτει

λογικά από την αλήθεια άλλων µαθηµατικών προτάσεων που

ονοµάζονται προκείµενες προτάσεις. (συνώνυµο της

συνεπαγωγής)


• ∆ίνονται οι ευθείες ( ) ( )1 2: 2 3 5 0, : 1 0x y x yε ε− + = − + + = .

Υπολογίζοντας το συντελεστή διεύθυνσης της κάθε ευθείας

( ) ( )1 2,ε ε βρίσκουµε 1 2

2, 13

λ λ= = αντίστοιχα. Επειδή 1 2λ λ≠

συµπεραίνουµε ότι οι ευθείες ( ) ( )1 2,ε ε δεν είναι

παράλληλες.

Συνεπαγωγή ονοµάζεται ένας µαθηµατικός σύνδεσµος (που συµβολίζεται

µε: ⇒ ), ο οποίος χρησιµοποιείται για να ενώσει δύο

προτάσεις, όπου η αλήθεια της µίας οδηγεί άµεσα στην

αλήθεια της άλλης. ( )p q⇒ . Γλωσσικά, η συνεπαγωγή

δηλώνεται από τις εκφράσεις «τότε», «όταν», «άρα». Με

άλλα λόγια η p συνεπάγεται την q όταν αποδεικνύεται το

ακόλουθο: Αν υποθέσουµε ότι η p είναι αληθής, τότε και η

q είναι αληθής. Σηµειώνουµε ότι η ταυτόχρονη ισχύς των

συνεπαγωγών p q⇒ και q p⇒ δίνει την ισοδυναµία των

προτάσεων p και q. ( p q⇔ )


• Έστω ένας πραγµατικός αριθµός α∈ℝ. Τότε ισχύει η εξής συνεπαγωγή.

Ο a είναι µεγαλύτερος του 4 άρα ο 2a είναι µεγαλύτερος

του 16. Η µαθηµατική συµβολοποίηση της παραπάνω

συνεπαγωγής είναι η εξής: 24 16a a> ⇒ >

(Γιατί αυτό δεν είναι ισοδυναµία;)

• Έστω ένας φυσικός αριθµός k. Τότε ισχύει η εξής

συνεπαγωγή.

Αν ο αριθµός n είναι ίσος µε 4k τότε ο n είναι ζυγός. Η µαθηµατική συµβολοποίηση της παραπάνω συνεπαγωγής είναι

η εξής: ( ) ( )4 2 |n k n= ⇒

Η εργαλειοθήκη του µεγάλου διαρήκτη

Η γνώση της «θεωρίας» δεν είναι αρκετή για να

καταφέρει ένας µεγάλος διαρρήκτης να ξεκλειδώσει µία

πόρτα. Είναι µεν απαραίτητη, αλλά για να πετύχει το

στόχο του, ο µεγάλος διαρρήκτης έχει πάντοτε µαζί του

µία δερµάτινη θήκη µε τα διάφορα εργαλεία που χρειάζεται

και τα χρησιµοποιεί ανάλογα µε τη δυσκολία που θα

συναντήσει. Η εργαλειοθήκη του µεγάλου διαρρήκτη

περιλαµβάνει ένα γράσσο σε µορφή σπρέι για να χαλαρώσει

η κλειδαριά, τσιµπιδάκια, συρµατάκια και γαντζάκια σε

πολλά σχήµατα και µεγέθη για να µετακινήσει τις ακίδες

µίας κλειδαριάς, στηθοσκόπιο για να ακούει τις κινήσεις

του, φακό σε περίπτωση που δεν έχει φως στο χώρο

εργασίας και πολλά άλλα.

Έτσι ακριβώς και οι µαθηµατικοί για να ξεκλειδώσουν

ένα πρόβληµα, διαθέτουν µεν ένα µεγάλο θεωρητικό

οπλοστάσιο, αλλά έχουν στη διάθεσή τους επίσης ένα

πλήθος από µικρά και χρήσιµα εργαλεία για να τους

βοηθούν να ξεπερνούν τα εµπόδια που συναντούν κατά τη

δηµιουργία µίας απόδειξης ή κατά την επίλυση µίας

άσκησης. Οι µαθηµατικοί ανάλογα µε το τι τους χρειάζεται

κάνουν µία διερεύνηση, µία εκτίµηση, έναν έλεγχο, µία

παρατήρηση, διατυπώνουν έναν ισχυρισµό ή παραθέτουν

αντιπαραδείγµατα.

Περιεχόµενα: Αντιπαράδειγµα, Γεωµετρική Ερµηνεία, ∆ιερεύνηση,

Εκτίµηση, Έλεγχος, Ισχυρισµός, Παρατήρηση, Περιορισµός,

Πίνακας Προσήµου, Σχόλιο, Υπολογισµός

Αντιπαράδειγµα ονοµάζεται ένα παράδειγµα που διαψεύδει µία

µαθηµατική υπόθεση.


• Γνωρίζουµε ότι η απόλυτη τιµή του γινοµένου δύο

πραγµατικών αριθµών είναι ίση µε το γινόµενο των

απολύτων τιµών των αριθµών αυτών. Σχηµατικά η

πρόταση αυτή γράφεται:

,α β∀ ∈ℝ ισχύει ότι α β α β⋅ = ⋅

Υποψιαζόµαστε ότι κάτι τέτοιο µπορεί να ισχύει και

για το άθροισµα δύο πραγµατικών αριθµών.

∆ιατυπώνουµε λοιπόν την ακόλουθη µαθηµατική

υπόθεση: «η απόλυτη τιµή του αθροίσµατος δύο

πραγµατικών αριθµών είναι ίση µε το άθροισµα των

απολύτων τιµών των αριθµών αυτών. Σχηµατικά:

,α β∀ ∈ℝ ισχύει α β α β+ = +

Το παρακάτω αντιπαράδειγµα µας δείχνει ότι κακώς

υποθέσαµε κάτι τέτοιο.

Για 5α = και 1β = − έχουµε ότι 5 1α β+ = − ,ισοδύναµα,

4α β+ = τη στιγµή όµως που 5 1α β+ = + − , ισοδύναµα,

6α β+ = . Το 4 δεν είναι ίσο µε το 6 άρα και το

α β+ δεν είναι ίσο µε το α β+ . Εποµένως µέσω του

αντιπαραδείγµατος η υπόθεσή µας διαψεύστηκε και

µπορούµε να προχωρήσουµε και να διατυπώσουµε µία

καινούρια υπόθεση προς απόδειξη.

Γεωµετρική Ερµηνεία µίας µαθηµατικής πρότασης ονοµάζεται µία

επεξηγηµατική σηµείωση, ένα σχόλιο ή ένα σχήµα

που επαναδιατυπώνει την πρόταση αυτή ή ένα

µέρος της µε τρόπο γραφικό/γεωµετρικό. Η

γεωµετρική ερµηνεία εµπλουτίζει ένα µαθηµατικό

κείµενο και είναι ένα χρήσιµο εργαλείο για να

κατανοήσουµε ένα πρόβληµα, να αντλήσουµε

συµπεράσµατα για ένα µαθηµατικό αντικείµενο

ακόµα και να εµπνευστούµε για µία απόδειξη ή

µία λύση.


• Η γεωµετρική ερµηνεία της ανίσωσης 2x ≥ είναι

οι πραγµατικοί αριθµοί που απέχουν από το 0

απόσταση µεγαλύτερη ή ίση µε 2

• Η γεωµετρική ερµηνεία της ανίσωσης

( )22 2 1 0 1 0x x x− + ≥ ⇔ − ≥ είναι το ότι η γραφική

παράσταση του τριωνύµου 2 2 1x x− + βρίσκεται

πάντοτε πάνω από τον άξονα 'x x και εφάπτεται

σε αυτόν στο σηµείο 1x = . (Σχήµα 1)

• ∆ίνεται ότι για κάθε θετικό αριθµό 0x > ισχύει xx eηµ < . Η γεωµετρική ερµηνεία της πρότασης

αυτής είναι ότι η γραφική παράσταση της

συνάρτησης xe βρίσκεται πάνω από τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης xηµ κατά µήκος του

θετικού ηµιάξονα 'x x . (Σχήµα 2)

Σχήµα 1 Σχήµα 2

∆ιερεύνηση ονοµάζεται η διαδικασία κατά την οποία διακρίνουµε όλες

τις δυνατές περιπτώσεις, τιµές ή µορφές ενός µαθηµατικού

αντικειµένου ως προς µία παράµετρο, µία συνθήκη µία

ιδιότητα ή ένα χαρακτηρισµό.


• Η διερεύνηση µίας δευτεροβάθµιας εξίσωσης ως προς το

πρόσηµο της διακρίνουσας της εξίσωσης µάς πληροφορεί για

το πλήθος των ριζών της.

1. Αν 0∆ > η εξίσωση έχει 2 λύσεις.

2. Αν 0∆ = η εξίσωση έχει 1 διπλή λύση.

3. Αν 0∆ < η εξίσωση δεν έχει καµία λύση.

• Έστω ότι θέλουµε να βρούµε µία ευθεία που διέρχεται από

ένα δεδοµένο σηµείο π.χ. το ( )1, 4Μ − . Η διερεύνηση που

µπορεί να γίνει βασίζεται στο αν η ζητούµενη ευθεία έχει

ή δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης. ∆ηλαδή:

1. Αν η ( )ε έχει συντελεστή διεύθυνσης θα είναι της

µορφής ( ) : y ax bε = + άρα θα πρέπει να ισχύει 4 a b= − +

Συνεπώς η ζητούµενη ευθεία είναι η:

( ) ( ): 4y ax aε = + +

2. Αν η ( )ε δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης θα είναι της

µορφής ( ) 0: x xε = άρα θα πρέπει να ισχύει 01 x− =

Συνεπώς η εξίσωση της ζητούµενης ευθείας είναι η:

( ) : 1xε = −

Εκτίµηση ονοµάζεται ένας προσεγγιστικός υπολογισµός της τιµής

µίας µεταβλητής ή σταθερής ποσότητας. Χρησιµοποιούµε την

εκτίµηση για να αποκτήσουµε µία αίσθηση της τάξης του

µεγέθους του αντικειµένου που µελετάµε. Παραδείγµατα

εκτιµήσεων είναι οι εκτιµήσεις ριζών πραγµατικών

αριθµών, τριγωνοµετρικών αριθµών, προσήµου παραστάσεων

κλπ.


• Μετά τη διαδικασία της επίλυσης µίας πολυωνυµικής

εξίσωσης 2ου βαθµού βρήκαµε δύο λύσεις 1

3 8

4x− += και

2

3 8

4x− −= .

Εκτιµούµε ότι η ρίζα του 8 είναι ένας πραγµατικός

αριθµός µεγαλύτερος του 2,5 (αφού ( )22,5 6, 25= ) και

µικρότερος του 3 που είναι η ρίζα του 9.

Συνεπώς, µέσω της εκτίµησης, µαθαίνουµε ότι αµφότερες οι

λύσεις είναι αρνητικές και µάλιστα βρίσκονται εκατέρωθεν

του -1. (µπορείτε να εκτιµήσετε γιατί;)

Έλεγχος ονοµάζεται µία διαδικασία, κατά την οποία επαληθεύεται ή

διαψεύδεται µία µαθηµατική σχέση για ένα συγκεκριµένο

µαθηµατικό αντικείµενο.


• Ο αριθµός 2x = είναι ρίζα της εξίσωσης 2 5 6 0x x− + =

Έλεγχος:

(αντικαθιστούµε στην εξίσωση όπου x τον αριθµό 2)22 5 2 6 0 0 0− ⋅ + = ⇔ =

Άρα όντως ο αριθµός 2x = είναι ρίζα της εξίσωσης 2 5 6 0x x− + =

• Το σηµείο ( )2,1Μ ανήκει στην ευθεία ( ) : 2 2 0x yε − − =

Έλεγχος:

(αντικαθιστούµε στην εξίσωση της ευθείας όπου x τον

αριθµό 2 και όπου y τον αριθµό 1 )

2 2 1 2 0 1 0⋅ − − = ⇔ =

Άρα, το σηµείο ( )2,1Μ δεν ανήκει στην ευθεία ( )ε , δηλαδή

( )εΜ∉

Ισχυρισµός ονοµάζεται µία µαθηµατική πρόταση που αποτελεί ενδιάµεσο

βήµα της απόδειξης ή της λύσης µίας άσκησης ή ενός

προβλήµατος. Η απόδειξη ενός ισχυρισµού πρέπει να

ακολουθεί τη διατύπωσή του και µαζί διαµορφώνουν ένα

αυτόνοµο κοµµάτι µέσα στη γενική απόδειξη ή λύση. Ο

ισχυρισµός έχει έναν τεχνικό – βοηθητικό χαρακτήρα και

λειτουργεί σαν στήριγµα της απόδειξης. Αποδεικνύεται

σύντοµα -κατά προτίµηση- µε σκοπό να κάνει µία απόδειξη

ευανάγνωστη ή και να µας διευκολύνει σε κάποιο σηµείο

της απόδειξης.


Ας υποθέσουµε ότι έχουµε να ξεκλειδώσουµε το παρακάτω

µαθηµατικό πρόβληµα:

Να αποδείξετε ότι ισχύει 1 1 1

4x x

x x x xa b

a b a b+ + + ≥

για κάθε x∈ℝ

και για κάθε , 0a b >

Απόδειξη:

Παραγοντοποιούµε τη σχέση που θέλουµε να αποδείξουµε

1 1 1 14 4

x xx x x x x

x x x x x x x

b aa b a b b

a b a b b a b

+ + + ≥ ⇔ + + + ≥ ⇔

1 14x x

x xa b

a b

⇔ + + ≥

. Συνεπώς, αρκεί να δείξουµε την

τελευταία για κάθε x∈ℝ.

Ισχυρισµός: Για κάθε 0p > ισχύει ότι 1

2pp+ ≥

Πράγµατι ( )22 11 1 1 2

2 2 0 0 0pp p

p pp p p p

−+ −+ ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥

Το οποίο όντως ισχύει για κάθε θετικό αριθµό 0p >

(ο ισχυρισµός αποδείχθηκε)

Παρατηρούµε ότι για κάθε πραγµατικό αριθµό x∈ℝ και για τους θετικούς , 0a b > οι αριθµοί

xa και xb είναι επίσης

θετικοί. Άρα µπορούµε να εφαρµόσουµε τον ισχυρισµό σε

κάθε έναν από αυτούς. Εποµένως ισχύουν οι σχέσεις

12x

xa

a+ ≥ και

12x

xb

b+ ≥ για κάθε x∈ℝ. Με πολλαπλασιασµό

κατα µέλη παίρνουµε ότι ισχύει 1 1

4x x

x xa b

a b

+ + ≥

για κάθε

x∈ℝ, το οποίο ήταν και το ζητούµενο.

Παρατήρηση ονοµάζεται µία αληθής µαθηµατική πρόταση, ένας έλεγχος ή

µία σηµείωση που λειτουργεί ως αφορµή για τη διατύπωση

ενός συλλογισµού κατά τη διάρκεια µίας απόδειξης ή ως

επεξήγηση ενός µέρους µίας απόδειξης.


• Το παρακάτω παράδειγµα είναι διαφωτιστικό για τη χρήση

των παρατηρήσεων σε ένα µαθηµατικό κείµενο.

∆ίνεται το ακόλουθο µαθηµατικό πρόβληµα:

Να αποδείξετε την ανισότητα

2 2 2 2 1 1, , 0 (1)

αγ βδα γ

α β γ δ

+− ≤ ≤ ≠

+ ⋅ +

Απόδειξη:

Παρατήρηση (ως αφορµή):

Αν θεωρήσουµε τα διανύσµατα ( ) ( ), , ,u vα β γ δ= =

τότε

παρατηρούµε ότι ο αριθµητής της ποσότητας που θέλουµε να

εγκλωβίσουµε ανάµεσα στο 1 και το 1− δεν είναι τίποτε

άλλο από το εσωτερικό γινόµενο των u v⋅

.

Επιπλέον, παρατηρούµε ότι ο παρονοµαστής είναι το

γινόµενο των µέτρων των διανυσµάτων που µόλις θεωρήσαµε.

2 2 2 2,u vα β γ δ= + = +

Με βάση αυτήν την παρατήρηση η ( )1 είναι ισοδύναµη µε την

1 1u v

u v

⋅− ≤ ≤

⋅

( )2 οπότε αρκεί να αποδείξουµε την ( )2 .

Από τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου u v u v συνϕ⋅ = ⋅ ⋅

∆ιαιρώντας µε το γινόµενο των µέτρων, έχουµε u v

u vσυνϕ

⋅=⋅

Τέλος η ( )2 γράφεται ισοδύναµα 1 1συνϕ− ≤ ≤ η οποία και

ισχύει. Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Παρατήρηση (ως επεξήγηση):

∆ίνεται ότι , 0α γ ≠ άρα 0u ≠

και 0v ≠

οπότε η διαίρεση

που κάναµε στο προηγούµενο βήµα είναι δόκιµη.

• Μία άλλη προσεκτική παρατήρηση µας βοηθάει να

ξεκλειδώσουµε και το ακόλουθο µαθηµατικό πρόβληµα:

Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί , ,x y z∈ℝ που

ικανοποιούν ταυτόχρονα τις παρακάτω σχέσεις:

(1)3 5 12

x y z= = και 100 (2)x y z+ + =

Απόδειξη

Παρατήρηση (ως αφορµή):

Επειδή για τους πραγµατικού αριθµούς , ,3 5 12

x y z δίνεται ότι

είναι ίσοι µεταξύ τους τότε µπορούµε να θεωρήσουµε ότι

είναι και ίσοι µε έναν πραγµατικό αριθµό, έστω τον k.

∆ηλαδή: 3 5 12

x y zk= = = .

Με βάση την παρατήρηση έχουµε: 3 , 5 , 12x k y k z k= = = .

Οπότε: η ( )2 είναι ισοδύναµη µε 3 5 12 100k k k+ + = , την οποία

και λύνουµε ως προς k και βρίσκουµε ότι 5k = . Τέλος µε

αντικατάσταση 5k = προκύπτει ότι 15, 25, 60x y z= = =

Περιορισµός ονοµάζεται µία µαθηµατική πρόταση, η οποία

περιστέλλει τις επιτρεπόµενες τιµές µίας µεταβλητής

κατά τη µελέτη ενός θέµατος ή της επίλυσης µίας

άσκησης κλπ.


Η χρήση του περιορισµού είναι απαραίτητη για να

επιλύσουµε το παρακάτω µαθηµατικό πρόβληµα.

Να λυθεί η εξίσωση

2 11 (1)

1 1

x

x x− =

− − στους

πραγµατικούς αριθµούς x∈ℝ.

Λύση

Η προς επίλυση εξίσωση έχει νόηµα µόνο για τους

πραγµατικούς αριθµούς 1x ≠ . Σε περίπτωση που η

µεταβλητή x πάρει την τιµή 1, τα κλάσµατα που

παρουσιάζονται στην ( )1 δεν έχουν νόηµα, άρα ούτε

και η εξίσωση ( )1 .

∆ηλαδή, η µεταβλητή υπόκειται στον περιορισµό 1x ≠ .

Πολλαπλασιάζουµε την ( )1 µε ( )1x − και λύνουµε ως

προς x : ( ) ( )21 1 1 ... 0 1x x x ή x⇔ − − = ⇔ ⇔ = =

Η λύση 1x = απορρίπτεται λόγω του περιορισµού, άρα η

εξίσωση ( )1 έχει µοναδική λύση τον αριθµό 0x =

Πίνακας Προσήµου ονοµάζεται ένας πίνακας, στον οποίο παρουσιάζεται

µε πρακτικό τρόπο το πρόσηµο µίας εξαρτηµένης

µεταβλητής ποσότητας σε συνάρτηση µε την τιµή της

ανεξάρτητης µεταβλητής της.


Πίνακας προσήµου για το γινόµενο του πολυωνύµου 1ου

βαθµού 4x− + και του πολυωνύµου 2ου βαθµού 2 5 6x x− +

x −∞ 2 3 4 +∞

( )4x− + + + + −

( )2 5 6x x− + + − + +

( ) ( )24 5 6x x x− + ⋅ − + + − + −

Σχόλιο ονοµάζεται οποιαδήποτε σύντοµη ερµηνευτική ή κριτική σηµείωση

µιας απόδειξης ή µίας λύσης. Ένα σχόλιο δεν αποτελεί βασικό

στοιχείο µιας απόδειξης, αλλά έχει επεξηγηµατικό χαρακτήρα.


• Έστω 2 τεµνόµενοι κύκλοι µε κέντρα 1 2,Κ Κ και ακτίνες

1 2,ρ ρ

αντίστοιχα. Από την ευκλείδεια γεωµετρία γνωρίζουµε ότι για

την απόσταση των κέντρων τους d ισχύει 1 2 1 2

dρ ρ ρ ρ− ≤ ≤ +

Σχόλιο: Η ισότητα στην παραπάνω σχέση 1 2

d ρ ρ= +

ικανοποιείται, όταν οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά

και η ισότητα 1 2

d ρ ρ= − , όταν οι κύκλοι εφάπτονται

εσωτερικά.

Υπολογισµός ονοµάζεται η διαδικασία κατά την οποία θέλουµε να

µετρήσουµε, να προσδιορίσουµε µε ακρίβεια ένα µαθηµατικό

αντικείµενο.


• Μπορούµε να υπολογίσουµε την τιµή µίας παράστασης, το

µήκος ενός διανύσµατος, το τόξο µίας γωνίας, ένα όριο

µίας συνάρτησης κλπ...

Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης 1

12

12

122

Α =−−−

.

1

12

12

122

Α =−−−

⇔1

12

124 1

2 2

Α =−−−

1

12

123

2

⇔Α = ⇔−−

1 1 1 1 1

1 1 1 3 8 32 2 2 2

2 6 2 4 4 4 423 3 3 3

⇔ Α = ⇔ Α = ⇔ Α = ⇔ Α = ⇔ Α = ⇔− − − − −− −

1 4

5 5

4

⇔ Α = ⇔ Α = .

Υπολογίσαµε την τιµή της παράστασης Α και βρήκαµε τον

πραγµατικό αριθµό 4

5.

Η δικαίωση του µεγάλου διαρρήκτη

Είδαµε στα προηγούµενα κεφάλαια τι πρέπει να

γνωρίζει ένας µεγάλος διαρρήκτης, µε ποιούς κανόνες

λειτουργεί και τι εργαλεία χρησιµοποιεί ώστε να πετύχει

το στόχο του. Ναι, αλλά ποιός ακριβώς είναι ο στόχος

του; Βασικός στόχος του είναι να απαντήσει στις παρακάτω

ερωτήσεις που αφορούν µία κλειδαριά: τί κλειδαριά είναι

αυτή, πώς ξεκλειδώνεται, µήπως δεν ανοίγει, αν δεν

ανοίγει γιατί δεν ανοίγει, πόσο γρήγορα µπορεί να την

ξεκλειδώσει, ποιες άλλες κλειδαριές δουλεύον αντίστοιχα

και πολλά άλλα. Το που βρίσκονται οι κλειδαριές

ποικίλει. Οι κλειδαριές που ανοίγει ένας µεγάλος

διαρρήκτης βρίσκονται σε ρολλά, παντζούρια, παράθυρα,

γκαραζόπορτες, εξώπορτες, χρηµατοκιβώτια, συρτάρια,

ντουλάπες, σεντούκια κλπ.

Στο ίδιο ύφος κινείται και η λογική ενός διαρρήκτη

µαθηµατικών προβληµάτων. Ο µαθηµατικός όταν

αντιµετωπίζει ένα πρόβληµα αναρωτιέται, τί πρόβληµα

είναι αυτό, πώς λύνεται, µήπως δε λύνεται, αν δεν

λύνεται γιατί δε λύνεται κοκ. Τα προβλήµατα που καλείται

να λύσει ένας µαθηµατικός είναι διαφόρων ειδών. Μεταξύ

άλλων είναι η επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων όπως και η

εύρεση γεωµετρικών τόπων δηλαδή εξισώσεων γραµµής.

Επίσης ένας µαθηµατικός ενδιαφέρεται να χαρακτηρίσει και

να οµαδοποιήσει τα µαθηµατικά αντικείµενα ανάλογα µε τις

ιδιότητές τους, να βρει φράγµατα για µεταβλητές ή

σταθερές ποσότητες και να µελετήσει τη δράση µεταβλητών

και παραµέτρων σε κάποιο µαθηµατικό αντικείµενο.

Περιεχόµενα: Ανίσωση, Γενίκευση, Εξίσωση, Εξίσωση Γραµµής, Ιδιότητα,

Μεταβλητή, Παράµετρος, Φράγµα, Χαρακτηρισµός,

Ανίσωση ονοµάζεται µία ανισότητα που αποτελείται από γνωστούς και

άγνωστους παράγοντες, όρους και επαληθεύεται µόνο µε

ορισµένες τιµές των άγνωστων παραγόντων της.


• Η ανίσωση 5 4 0x + > είναι αληθής µόνο για τους πραγµατικούς

αριθµούς 4

5x > −

• Η ανίσωση 2 1 0x − ≤ είναι αληθής µόνο για τους πραγµατικούς

αριθµούς [ ]1,1x∈ −

• Η ανίσωση 2x < − είναι αδύνατη.

Η απόλυτη τιµή από τον ορισµό της εκφράζει απόσταση από ένα

σηµείο αναφοράς. Άρα δε γίνεται να υπάρχει κάτι που να απέχει

από κάτι άλλο αρνητική απόσταση. Έχει δηµοσιευτεί ποτέ

αγγελία σπιτιού «ζητείται διαµπερές τριάρι 2ου ορόφου εµβαδού

µείον 40 τετραγωνικών µέτρων» ; Όχι.

Γενίκευση ονοµάζεται µία µαθηµατική υπόθεση, ένα συµπέρασµα ή µία

διαδικασία σχηµατισµού µίας ευρύτερης ενοιολογικά

πρότασης που βασίζεται σε µία άλλη γνωστή µαθηµατική

πρόταση. ∆ηλαδή δοθείσης µίας µαθηµατικής πρότασης η

γενίκευσή της είναι η επέκταση αυτής σε ένα πιο

αφηρηµένο µαθηµατικό περιβάλλον. Σηµειώνουµε ότι µία

γενίκευση µπορεί να είναι αληθής, ψευδής ή να είναι

ανοικτό πρόβληµα.


• Από το Πυθαγόρειο Θεώρηµα γνωρίζουµε ότι σε ένα

ορθογώνιο τρίγωνο µε πλευρές , ,α β γ ισχύει ότι 2 2 2γ α β= + .

Μία τριάδα φυσικών αριθµών που ικανοποιεί την παραπάνω

σχέση ονοµάζεται Πυθαγόρεια Τριάδα. Για παράδειγµα οι

αριθµοί 6,8,10. Η γενίκευση που προκύπτει (εύλογα;) είναι

αν αντί για 2 στον εκθέτη έχουµε 3, ή 4 ή n ;

∆ηλαδή υπάρχουν φυσικοί αριθµοί , ,α β γ οι οποίοι

ικανοποιούν τη σχέση 3 3 3γ α β= + ή τη σχέση

n n nγ α β= + ; Μία

τόσο απλή γενίκευση περίµενε 450 χρόνια για να απαντήθεί

είτε θετικά είτε αρνητικά.

∆ιατυπώθηκε από το Pierre de Fermat το 1637 και

αποδείχτηκε τελικά το 1995 από τον Andrew Wiles. Στο

µεσοδιάστηµα η προσπάθεια να απαντηθεί αυτή ερώτηση-

γενίκευση οδήγησε στη δηµιουργία ενός ολόκληρου νέου

πεδίου στα Μαθηµατικά που ονοµάστηκε Αλγεβρική Θεωρία

Αριθµών.

Η απάντηση ήταν αρνητική. ∆εν υπάρχουν φυσικοί αριθµοί

, ,α β γ τέτοιοι ώστε να ικανοποιούν τη σχέση n n nγ α β= + για

οποιοδήποτε φυσικό αριθµό n µεγαλύτερο του 2

Εξίσωση ονοµάζεται µία ισότητα που αποτελείται από γνωστούς και

άγνωστους παράγοντες – όρους και επαληθεύεται µόνο µε

ορισµένες τιµές των αγνώστων παραγόντων της. Οι τιµές των

αγνώστων όρων για τις οποίες η ισότητα αυτή επαληθεύεται

λέγονται λύσεις ή «ρίζες» της εξίσωσης. Αναφορικά µε τις

εξισώσεις µελετάµε συνήθως την ύπαρξη λύσεων, το πλήθος των

λύσεων αυτών και βεβαίως τις αριθµητικές τους τιµές. Πολλές

φορές για να λύσουµε µία εξίσωση χρησιµοποιούµε

µετασχηµατισµούς και ιδιότητες ώστε να αναγάγουµε τη λύση

µίας εξίσωσης στη λύση µίας ισοδύναµης εξίσωσης.


• Εξίσωση πρώτου βαθµού 2 1 0x− + =

• Εξίσωση δευτέρου βαθµού 2 4 12 0x x+ − =

• Τριγωνοµετρική εξίσωση 2 1 0xηµ + =

Η χρησιµότητα ενός µετασχηµατισµού φαίνεται καθαρά στο

επόµενο πρόβληµα:

Να λυθεί η εξίσωση 22 3 2 0x xσυν συν− − = ( )1

Λύση:

Παρατηρούµε ότι το πρώτο µέλος της ( )1 θυµίζει πολυώνυµο

δευτέρου βαθµού. Θεωρούµε το µετασχηµατισµό ( )u xσυν= .

Επειδή ισχύει ( )1 1xσυν− ≤ ≤ για κάθε x∈ℝ,

θα ισχύει αντίστοιχα 1 1u− ≤ ≤ (περιορισµός).

Με βάση το µετασχηµατισµό, η αρχική εξίσωση ( )1 είναι

ισοδύναµη µε την εξίσωση 22 3 2 0u u− − = .

Η τελευταία λύνεται κανονικά σαν εξίσωση δευτέρου βαθµού

και έχει δύο λύσεις:

Την 12u = η οποία και απορρίπτεται λόγω του περιορισµού που

προέκυψε από τον µετασχηµατισµό, και την 2

1

2u = − η οποία

είναι δεκτή.

Άρα κάθε x∈ℝ για τον οποίο ισχύει 1

2xσυν = − είναι λύση της

εξίσωσης ( )1 . ∆ηλαδή, όλοι οι πραγµατικοί αριθµοί 2

23

x kπ

π= ±

όπου k∈ℤ είναι λύσεις της εξίσωσης ( )1 .

Εξίσωση Γραµµής ονοµάζεται οποιαδήποτε εξίσωση δύο µεταβλητών µε

πραγµατικούς συντελεστές. Οι λύσεις της εξίσωσης

αυτής σχηµατίζουν ένα διατεταγµένο ζεύγος, εποµένως

µπορούν να αναπαρασταθούν γραφικά στο επίπεδο. Το

σύνολο των σηµείων σχηµατίζει µία γραµµή.


• Η εξίσωση 4y x= παριστάνει µία ευθεία που διέρχεται

από την αρχή των αξόνων (Σχήµα 1)

• Η εξίσωση ( )22 1 4x y+ − = παριστάνει κύκλο µε κέντρο το

σηµείο και ( )0,1 ακτίνα 2(Σχήµα 2)

Ιδιότητα ονοµάζεται ένα µαθηµατικό φαινόµενο που εµφανίζεται ως

κοινό άλλα όχι αποκλειστικό γνώρισµα κάποιων µαθηµατικών

αντικειµένων και εκφράζεται από µία µαθηµατική πρόταση,

µία ισότητα, µία ανισότητα, έναν ορισµό, ένα

χαρακτηρισµό, έναν περιορισµό και πολλά άλλα.


• Οι πραγµατικοί αριθµοί ικανοποιούν την µεταβατική

ιδιότητα.

Αν ο α είναι µεγαλύτερος από τον β και ο β µε τη σειρά του είναι µεγαλύτερος από τον γ τότε ο α θα είναι

µεγαλύτερος από τον γ . Η µεταβατική ιδιότητα των

πραγµατικών αριθµών µας βοηθάει να συγκρίνουµε τους

αριθµούς ,α γ µέσω της σύγκρισής τους µε έναν τρίτο

αριθµό β .α β

α γβ γ>

⇒ > >

• Έστω ν ένας φυσικός αριθµός. Αποδεικνύεται ότι ο αριθµός 3 23 2v vµ ν= + + είναι πολλαπλάσιο του 3. Άρα, ο αριθµός µ

έχει την ιδιότητα της διαιρετότητας µε τον αριθµό 3.

Αυτό εκφράζεται από τη µαθηµατική πρόταση:

«Υπάρχει φυσικός αριθµός ρ ώστε να ισχύει 3µ ρ= .»

• ∆ίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε ορθή γωνία τη Β . Συµπεραίνουµε άµεσα ότι οι πλευρές ΒΑ και ΒΓ είναι

κάθετες. Θεωρούµε τις ευθείες ( ) ( )1 2,ε ε που περιέχουν τα

ευθύγραµµα τµήµατα ΒΑ και ΒΓ αντίστοιχα. Οι ( ) ( )1 2,ε ε

έχουν την ιδιότητα της καθετότητας και αυτή εκφράζεται

από την ισότητα 1 2

1ε ελ λ⋅ = − , αν οι συντελεστές διεύθυνσης

των ευθειών ( ) ( )1 2,ε ε ορίζονται. Αν δεν ορίζονται, η

ιδιότητα της καθετότητας εκφράζεται από την πρόταση:

«Υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί 0 0,x y τέτοιοι ώστε

( ) ( )1 0 2 0: , :x x y yε ε= = .»

• Έστω µία γνησίως φθίνουσα πραγµατική συνάρτηση f . Η

συνάρτηση f έχει την ιδιότητα της γνησίως αύξουσας

µονοτονίας, δηλαδή για κάθε πραγµατικό αριθµό 1 fx D∈

µικρότερο από έναν πραγµατικό αριθµό 2 fx D∈ ισχύει ότι ο

αριθµός ( )1f x είναι µεγαλύτερος από τον αριθµό ( )2f x . Η

ιδιότητα της γνησίως αύξουσας µονοτονίας είναι κοινό

αλλά όχι αποκλειστικό χαρακτηριστικό πολλών συναρτήσεων.

Με µαθηµατικά σύµβολα η ιδιότητα αυτή εκφράζεται από την

ισοδυναµία: « ( ) ( )1 2 1 2 1 2, , fx x f x f x x x D< ⇔ > ∀ ∈ .»

Μεταβλητή (πραγµατική) µεταβλητή ποσότητα ονοµάζεται η ποσότητα

που µπορεί να πάρει διάφορες τιµές από ένα σύνολο

πραγµατικών αριθµών A⊆ ℝ . Οι µεταβλητές µπορούν να

χαρακτηριστούν είτε ως ανεξάρτητες µεταβλητές ποσότητες

είτε ως εξαρτηµένες. Ανεξάρτητη ονοµάζεται µία ποσότητα

που δύναται να λάβει ελεύθερα τιµές από ένα σύνολο A⊆ ℝ ενώ εξαρτηµένη αν η τιµή της εξαρτάται από µία

ανεξάρτητη µεταβλητή.


• Η επιφάνεια Ε µίας σφαίρας µε ακτίνα ρ δίνεται από τον

µαθηµατικό τύπο 2πρΕ = Η ακτίνα ρ είναι µία ανεξάρτητη

µεταβλητή ποσότητα, η επιφάνεια Ε µία εξαρτηµένη

µεταβλητή ποσότητα και το π είναι µία σταθερή ποσότητα

• Θεωρούµε την ποσότητα 2 2,x x xηµΜ = + − ∈ℤ . Το x είναι µία

ανεξάρτητη µεταβλητή ποσότητα που παίρνει αυθαίρετα

τιµές στο σύνολο των ακεραίων και το Μ είναι µία

εξαρτηµένη µεταβλητή ποσότητα. Είναι σηµαντικό να

παρατηρήσουµε το εξής: Ενώ η ανεξάρτητη µεταβλητή x παίρνει ακέραιες τιµές η εξαρτηµένη µεταβλητή ποσότητα

Μ δεν παίρνει τιµές µόνο στο σύνολο των ακεραίων.

Παράµετρος ονοµάζεται µία σταθερή ποσότητα που µεταβάλλεται.

Παράµετρος λ είναι, δηλαδή, ένας όρος, ένας

συντελεστής ή ένας παράγοντας µίας µεταβλητής

ποσότητας Α , η οποία όµως εξαρτάται από µία

µεταβλητή x. Για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου

γεννάται µία διαφορετική µεταβλητή ποσότητα Α ,η οποία εξαρτάται µεν από τη µεταβλητή x, αλλά τα

χαρακτηριστικά και η συµπεριφορά της εξαρτώνται από

την τιµή της παραµέτρου.


• Θεωρούµε το πολυώνυµο ( ) ( )2 1 4P x xλ= + +

Για 0λ = έχουµε ( ) 4P x x= + , για 1λ = έχουµε ( ) 2 4P x x= +

Για 3λ = − έχουµε ( ) 10 4P x x= + κοκ.

Για κάθε τιµή της παραµέτρου λ έχουµε και ένα

διαφορετικό πολυώνυµο το οποίο όµως είναι πάντοτε

πρώτου βαθµού. Η ποσότητα 2 1λ + δεν µηδενίζεται ως

άθροισµα τετραγώνων. Οπότε τα πρώτου βαθµού

πολυώνυµα που παράγονται για τις διαφορετικές τιµές

της παραµέτρου λ έχουν πάντοτε µοναδική ρίζα.

Η ρίζα αυτή είναι ο πραγµατικός αριθµός 2

4

1x

λ= −

+, ο

οποίος όπως φαίνεται εξαρτάται και αυτός από την

παράµετρο λ .

• Έστω η συνάρτηση ( ) xf x eλ= .

Για 1λ = έχουµε ( ) xf x e= , για 2λ = − έχουµε ( ) 2xf x e−=

Για 4λ = έχουµε ( ) 4 xf x e= κοκ.

Για κάθε τιµή της παραµέτρου λ η f είναι µία

εκθετική συνάρτηση.

Για τα θετικά 0λ > είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο

ορισµού της και για τα αρνητικά 0λ < είναι γνησίως

φθίνουσα.

Επίσης παρουσιάζεται µία ειδική περίπτωση για 0λ =

όπου η συνάρτηση είναι η σταθερή ( ) 1f x = .

Φράγµα ονοµάζεται κάθε σταθερή ή µεταβλητή ποσότητα που λειτουργεί

ως ανώτατο ή κατώτατο όριο για την τιµή µίας άλλης σταθερής ή

µεταβλητής ποσότητας. Σηµειώνουµε ότι κάποιες ποσότητες δεν

είναι φραγµένες, όπως η λογαριθµική συνάρτηση, τα περιττού

βαθµού πολυώνυµα και πολλά άλλα. Η ύπαρξη βέλτιστου φράγµατος

δεν είναι δεδοµένη πάντοτε, η δε εύρεση του µπορεί να είναι

ιδιαιτέρως δύσκολη.


• Το ηµίτονο κάθε πραγµατικού αριθµού αποδεικνύεται ότι έχει ως

φράγµα το 1.

∆ηλαδή, ισχύει 1,x xηµ ≤ ∀ ∈ℝ. Ένα άλλο φράγµα είναι η απόλυτη

τιµή του τόξου x . ∆ηλαδή ισχύει ,x x xηµ ≤ ∀ ∈ℝ

• Η ανισότητα 2 2 2a b ab+ ≥ δίνει ένα φράγµα για το άθροισµα δύο

τετραγώνων. Το άθροισµα δύο τετραγώνων αριθµών, ποσοτήτων ή

συναρτήσεων είναι πάντοτε µεγαλύτερο από το διπλάσιο γινόµενο

αυτών. Ένα άλλο φράγµα δίνεται από την ανισότητα 2 2 2a b ab+ ≥ −

• Για τη µεταβλητή ποσότητα 2 11x + γνωρίζουµε ότι έχει «κάτω

φράγµα» το 0 από τον ορισµό της έννοιας της ρίζας, δηλαδή

ισχύει για κάθε x∈ℝ ότι 2 11 0x + > . Με απλές πράξεις

διαπιστώνουµε ότι το 11 είναι επίσης κάτω φράγµα της ίδιας

ποσότητας. ∆ηλαδή ισχύει 2 11 11x + ≥ , x∀ ∈ℝ .

Χαρακτηρισµός ονοµάζεται οποιοσδήποτε όρος που καλείται να

περιγράψει µία ποιοτική πτυχή – ιδιότητα ενός

µαθηµατικού αντικειµένου. Σηµειώνουµε ότι ένα

µαθηµατικό αντικείµενο επιδέχεται πολλών

διαφορετικών χαρακτηρισµών.


• Ένα τρίγωνο µπορεί να χαρακτηριστεί ως ορθογώνιο,

ισοσκελές, αµβλυγώνιο κλπ.

• Μία συνάρτηση µπορεί να χαρακτηριστεί ως µονότονη,

ένα προς ένα, περιοδική κλπ.

• Η εξίσωση 2 1 0x + = χαρακτηρίζεται ως αδύνατη στους

πραγµατικούς αριθµούς.

Παράρτηµα: Βασικά µαθηµατικά σύµβολα

Σύµβολο Χρήση Εκφράσεις

= α β= Ο αριθµός α είναι ίσος µε τον αριθµό β . Η ποσότητα α είναι ίση µε την ποσότητα β . Οι ,α β είναι ίσοι µεταξύ τους.

≠ α β≠ Ο αριθµός α είναι διάφορος του αριθµού β . Η ποσότητα α είναι διάφορη της ποσότητας β .

≥ α β≥ Ο αριθµός α είναι µεγαλύτερος/ίσος από τον αριθµό β . Ο αριθµός β είναι µικρότερος/ίσος από τον αριθµό α .

∈ x∈Α Ο αριθµός x ανήκει στο σύνολο Α . Το σύνολο Α περιέχει τον αριθµό x.

⇒ p q⇒ Αν ισχύει ότι p τότε ισχύει και q.

Επειδή ισχύει p συµπεραίνουµε ότι ισχύει και q.

Από την ισχύ της p παίρνουµε ότι αναγκαστικά ισχύει

και q.

⇔ p q⇔ Οι προτάσεις p και q είναι ισοδύναµες.

Η p ισχύει όταν και µόνον όταν ισχύει η q.

Η qισχύει όταν και µόνον όταν ισχύει η p .

Η p ισχύει αν και µόνο αν ισχύει η q.

Αν ισχύει η p τότε ισχύει η q και αντιστρόφως

Ευχαριστίες - mathb∞ksgr · Κάθε επιστηµονικό, λογοτεχνικό...

Documents

Transcript of Ευχαριστίες - mathb∞ksgr · Κάθε επιστηµονικό, λογοτεχνικό...