EISAGWGH STHN ALGEBRA KAI JEWRIA SUNOLWN

Exèta� QeimerinoÔ Exam nou 2011 - 2012

Sunoptikès lÔ�is jem�twn

Jèma 1 (1 mon�da). 'E�w S to ×nolo twn ex s te��rwn upojè�wn gia tous apantaqoÔ dr�koules:

'Opoios dr�koulas jèlei na me dagk¸�i kai mporeÐ na me dagk¸�i ja me dagk¸�i. 'Opoios dr�koulas de

jèlei na me dagk¸�i eÐnai �mpajè�atos. 'Opoios dr�koulas den mporeÐ na me dagk¸�i eÐnai xedontia ènos.

Kanènas dr�koulas den mporeÐ na eÐnai �mpajè�atos   xedontia ènos.

(a) DeÐxte ìti h parak�tw prìta� eÐnai logik  �nèpeia tou �nìlou upojè�wn S:Ja me dagk¸�un ìloi oi dr�koules.

(b) 'E�w ìti gnwrÐzoume epiplèon pws h parak�tw prìta� den eÐnai logik  �nèpeia tou �nìlou upojè�wn S:Ja me dagk¸�i k�poios dr�koulas.

Pì�i dr�koules up�rqoun?

LÔ�.(a) Apì thn tètarth upìje�, kanènas dr�koulas den eÐnai xedontia ènos kai kanènas dr�koulas den eÐnai

�mpajè�atos. 'Ara apì th deÔterh kai thn trÐth upìje�, ìloi oi dr�koules jèloun na me dagk¸�un kai

mporoÔn na me dagk¸�un. 'Ara apì thn pr¸th upìje�, ìloi oi dr�koules ja me dagk¸�un.

(b) An up rqe è�w kai ènas dr�koulas, h prìta� tou mèrous (b) ja  tan logik  �nèpeia ths prìta�s tou

mèrous (a), �ra ja  tan logik  �nèpeia tou �nìlou upojè�wn S. Efì�n autì den i�Ôei, èpetai ìti den

up�rqei kanènas dr�koulas.

Jèma 2 (1 mon�da). 'E�w n ∈ N tètoio ¸�e√n ∈ N kai 3

√n ∈ N. DeÐxte ìti 6

√n ∈ N.

LÔ�. H prìta� i�Ôei profan¸s gia n = 0 kai n = 1. An t¸ra n ≥ 2, gr�foume ton n ws ginìmeno pr¸twn

paragìntwn:

n = p1a1 · · · pk

ak ,

ìpou oi arijmoÐ pi eÐnai an� dÔo diaforetikoÐ pr¸toi kai oi fukoÐ arijmoÐ ai eÐnai ìloi megalÔteroi   Ð�i tou

1. AfoÔ o√n eÐnai fukìs, èpetai ìti o n eÐnai tèleio tetr�gwno, dhlad  2|ai gia k�je i. 'Omoia, afoÔ o 3

√n

eÐnai fukìs, èpetai ìti 3|ai, gia k�je i. Epomènws 6|ai, gia k�je i, �nep¸s o 6√n eÐnai fukìs.

Jèma 3 (1 mon�da). JewroÔme thn ex s prìta� P :Gia k�je �n�rth� f : N −→ N up�rqei α ∈ N tètoio ¸�e 100 ≤ a < 200 kai {f(α)} ∩ f−1({α}) 6= ∅.(a) Diatup¸�e thn �rnh� ths P .(b) DeÐxte ìti h P eÐnai yeud s.

LÔ�.(a) H �rnh� ths P eÐnai h ex s:

Up�rqei �n�rth� f : N −→ N tètoia ¸�e gia k�je α ∈ N na i�Ôei aparaÐthta ìti a < 100   a ≥ 200  

{f(α)} ∩ f−1({α}) = ∅.(b) ArkeÐ na deÐxoume ìti h �rnh� ths P eÐnai alhj s. JewroÔme th �n�rth� f : N −→ N pou dÐnetai apì

ton tÔpo f(α) = α+ 1, gia k�je α ∈ N. An α ≥ 1, tìte {f(α)} = {a+ 1} kai f−1({α}) = {a− 1}, �ra{f(α)} ∩ f−1({α}) = ∅. An α = 0, tìte f−1({α}) = ∅, �ra kai {f(α)} ∩ f−1({α}) = ∅. Epomènws, �k�je perÐptw�, to �mpèra a ths ¬P eÐnai alhjès.

1

Jèma 4 (1.5 mon�da). 'E�w α o pragmatikìs arijmìs me periodik  dekadik  anapar��a� 2.01515151515....(a) BreÐte jetikoÔs akèraious x kai y tètoious ¸�e αy = x.(b) D¸�e par�deigma rhtoÔ arijmoÔ β tètoiou ¸�e 2 < β < α.(g) D¸�e par�deigma �rrhtou arijmoÔ γ tètoiou ¸�e 2 < γ < α.

LÔ�.(a) 'Eqoume

100α = 201.51515151...

10000α = 20151.51515151...

Afair¸ntas kat� mèlh thn pr¸th iïthta apì th deÔterh, paÐrnoume 9900α = 19950, �ra mporoÔme na p�roumex = 19950 kai y = 9900.(b) 0 arijmìs β = 2.01 = 201

100eÐnai rhtìs kai ikanopoieÐ th �è� 2 < β < α.

(g) 'E�w γ = 2.01001000100001000001... o arijmìs tou opoÐou h dekadik  anapar��a� �hmatÐzetai

parajètontas �h �ir� mÐa oloèna auxanìmenou m kous akoloujÐa 0 mazÐ me èna monadikì 1. O γ eÐnai �rrhtos

(diìti h dekadik  tou anapar��a� den eÐnai telik� periodik ) kai ikanopoieÐ th �è� 2 < γ < α.

Jèma 5 (2 mon�des). OrÐzoume �o ×nolo A = {n ∈ N : n ≥ 2} thn ex s �è� di�taxhs R:

xRy an kai mìno an o x diaireÐ ton y.

(a) BreÐte ìla ta minimal kai ìla ta maximal �oiqeÐa tou A.(b) 'E�w B mh kenì pepera èno upo×nolo tou A. EÐnai aparaÐthta to B k�tw (antÐ�oiqa, �nw) fragmèno

�o A? An nai, up�rqei aparaÐthta to inf(B) (antÐ�oiqa, sup(B)) �o A?

LÔ�.(a) To x ∈ A eÐnai minimal ìtan kai mìno ìtan den diareÐtai apì kanèna �llo fukì �o A, dhlad  ìtankai mìno ìtan to x eÐnai pr¸tos. To x ∈ A eÐnai maximal ìtan kai mìno ìtan den diaireÐ kanèna �llo fukì

�o A. AfoÔ x|2x gia k�je x, èpetai ìti maximal �oiqeÐa den up�rqoun �o A.(b) To B den eÐnai aparaÐthta k�tw fragmèno. Gia par�deigma to B = {2, 3} den èqei k�tw fr�gma �o A,diìti den up�rqei koinìs diairèths twn 2 kai 3 �o A. K�je B eÐnai ìmws �nw fragmèno diìti to el�qi�o koinì

pollapl�o twn �oiqeÐwn tou B apoteleÐ �nw fr�gma tou B �o A. Apì ton ori ì, epÐ�s prokÔptei ìti to

el�qi�o koinì pollapl�o twn �oiqeÐwn tou B eÐnai to sup(B) �o A.

Jèma 6 (1 mon�da). OrÐzoume �o ×nolo R thn ex s �è� i�dunamÐas S:

xSy an kai mìno an x− y ∈ Q.

'E�w C to ×nolo twn kl��wn i�dunamÐas. 'E�w D to dunamo×nolo tou C × N. Up�rqei 1-1 �n�rth�

apì to D �o R?

LÔ�. AfoÔ ta N kai Q eÐnai i�plhjik�, to Ðdio i�Ôei gia ta C × N kai C × Q. EpÐ�s, afoÔ h �è�

i�dunamÐas S diamerÐzei to R � kl��is i�dunamÐas k�je mÐa apì tis opoÐes eÐnai i�plhjik  me to Q, èpetai

ìti to C × Q èqei ton plhj�rijmo tou R. Dhlad  to C × N èqei ton plhj�rijmo tou R. Epomènws, apì toje¸rhma tou Cantor , den up�rqei 1-1 �n�rth� apì to D �o R.

Jèma 7 (1.5 mon�da).

2

(a) 'E�w x ∈ Z. DeÐxte ìti x4 ≡ 0 (mod 16)   x4 ≡ 1 (mod 16).(b) DeÐxte ìti den up�rqoun x, y ∈ Z èt ¸�e (22011 + 5) x4 + (22011 + 3) y4 = 1.(g) BreÐte x, y ∈ Z èt ¸�e (22011 + 5) x+ (22011 + 3) y = 1.

LÔ�.(a) An x �rtios, tìte 2|x, �ra 24|x4, dhladh x4 ≡ 0 (mod 16). An x perittìs, tote x = 2k + 1, gia k�poiok ∈ Z, �ra x2 = 4k(k+1)+1. Epeid  to k(k+1) eÐnai p�nta �rtios, èpetai ìti x2 = 8m+1, ìpoum ∈ Z.Epomènws, x4 = (8m+ 1)2 = 16(4m2 +m) + 1, dhladh x4 ≡ 1 (mod 16).(b) AfoÔ 22011 ≡ 0 (mod 16), èpetai apì to (a) ìti to upìloipo ths par��a�s (22011+5) x4+(22011+3) y4

ìtan diairejeÐ me to 16 i�Ôtai me 0, 3 , 5   8, �ra den eÐnai dunatìn h parap�nw par��a� me i�Ôtai me 1.

(g) Efarmìzoume ton algìrijmo tou EukleÐdh:

22011 + 5 = 1 · (22011 + 3) + 2

22011 + 3 = (22010 + 1) · 2 + 1.

'Ara, 1 = −(22010 + 1)(22011 + 5) + (22010 + 2)(22011 + 3), dhlad  mporoÔme na p�roume x = −(22010 + 1)kai y = 22010 + 2.

Jèma 8 (1 mon�da). 'E�w α, β, γ oi rÐzes tou poluwnÔmou x3 − 10x2 + 6x − 1 �o C. DeÐxte ìti

αn + βn + γn ∈ Z, gia k�je n ∈ N.

LÔ�. 'E�w sn = αn + βn + γn, gia n ∈ N. 'Eqoume

α3 = 10α2 − 6α + 1

β3 = 10β2 − 6β + 1

γ3 = 10γ2 − 6γ + 1.

Epomènws,

αn+3 = 10αn+2 − 6αn+1 + αn

βn+3 = 10βn+2 − 6βn+1 + βn

γn+3 = 10γn+2 − 6γn+1 + γn.

Proètontas kat� mèlh, paÐrnoume sn+3 = 10sn+2 − 6sn+1 + sn, gia k�je n. AfoÔ t¸ra, apì tous tÔpoustou Viete, èqoume s0 = 3, s1 = 10, s2 = (α + β + γ)2 − 2(αβ + βγ + γα) = 102 − 2 · 6 = 88 eÐnai

ìloi akèraioi, to zhtoÔmeno prokÔptei me i�ur  epagwg .

3