2ο Γενικό Λύκειο Κορυδαλλού

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2015-1016ΤΜΗΜΑ: Α1ΜΑΘΗΤΕΣ: Βατίδης Βασίλης

Γκιόκα ΝαταλίαΔοκέρη ΕιρήνηΣκαρπέλης Κων/νος

ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Φιλίππου Ιωάννης

ΙδιότητεςΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός

Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα

Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ

Ουδέτερο Στοιχείο α + 0 = α α ·1 = α

Αντίθετος/Αντίστροφος Αριθμού α + (–α) = 0

Επιμεριστική α(β + γ) = αβ + αγ

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

ΑΦΑΙΡΕΣΗ: ΔΙΑΙΡΕΣΗ: α − β = + (−β) α:β = = α ( β ≠ 0)∙

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ• (α = β και γ = δ ) α + γ = β + δ⇒• (α = β και γ = δ) αγ = βδ⇒• α = β α + γ = β + γ⇔• Αν γ ≠ 0, τότε: α = β αγ = βγ⇔• α β = 0 α = 0 ή β = 0 ∙ ⇔ ΣΥΝΕΠΕΙΑ: α β ≠ 0 α ≠ 0 και β ≠ ∙ ⇔

0

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

• (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2

• (α – β)2 = α2 – 2αβ + β2

• α2 – β2 = (α + β ) ( α – β )∙• (α + β)3 = α3 + 3α2 β + 3αβ2 + β3

• (α – β)3 = α3 – 3α2 β + 3αβ2 – β3

• α3 + β3 = (α + β ) (α∙ 2 – αβ + β2 )• α3 – β3 = (α – β ) ( α∙ 2 + αβ + β2 )• (α + β + γ)2 = α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2βγ + 2γα

Συνέχεια……

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

• α2 + β2 = (α + β)2 - 2αβ• (α + β - γ)2 = α2 + β2 + γ2 + 2αβ - 2βγ - 2αγ• αν – βν = (α - β) (α∙ ν-1 + αν-2β + … + αβν-2 + βν-1) • α3 + β3 +γ3 – 3αβγ = (α+β+γ) (α∙ 2+β2+γ2-αβ-βγ-γα)• α3+β3+γ3 –3αβγ = (α+β+γ) [(α-β)∙ 2+(β-γ)2+(γ-α)2]• Αν α + β + γ = 0 τότε α3 + β3 + γ3 = 3αβγ• Αν α = β = γ τότε α3 + β3 + γ3 = 3αβγ• α3 + β3 = (α + β)3 - 3αβ (α + β)

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ• = ⇔ αδ = βγ (εφό�σόν βδ ≠ 0)• = ⇔ = (εφό�σόν βγδ ≠ 0)• = ⇔ = (εφό�σόν βδ ≠ 0)• = ⇔ = = (εφό�σόν βδ(β + δ) ≠ 0)

ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

• (α > 0 και β > 0) ⇒ α + β > 0• (α < 0 και β < 0) ⇒ α + β < 0• α, β όμό�σημόι ⇔ α ∙ β > 0 ⇔ > 0• α, β ετερό�σημόι ⇔ α ∙ β < 0 ⇔ < 0• α2≥ 0, για κα�θε α∈ℝ (Η ισό�τητα ισχύ�ει μό�νό ό�ταν α = 0)• α2 + β2 = 0 ⇔ α = 0 και β = 0• α2 + β2 > 0 ⇔ α ≠ 0 η� β ≠ 0 

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

1. • (α > β και β > γ) α > γ⇒ 2. • α > β α + γ > β + γ ⇔ • Αν γ > 0, τότε: α > β α γ > β γ⇔ ∙ ∙ • Αν γ < 0, τότε: α > β α γ < β γ⇔ ∙ ∙ 3. • (α > β και γ > δ ) α + γ > β + δ⇒ • Για θετικούς αριθμούς α, β, γ, δ ισχύει η συνεπαγωγή: (α > β και γ > δ ) α γ > β δ⇒ ∙ ∙

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

4. •Για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία: α > β αν > β ⇔5. •Για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία: α = β α⇔ ν = βν

ΜΟΡΦΕΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Ά�ρα:• =• α2Άν θ• =θ • =

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Ορισμός της απόλυτης τιμήςΗ απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με και ορίζεται από τον τύπο:=

1. =

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Ιδιότητες των απόλυτων τιμών

Απόσταση δύο αριθμώνd(α, β)=

ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Τετραγωνική ρίζα μη αρνητικού αριθμούΟρισμός: Η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α.Μπορούμε επομένως να πούμε ότι:Αν α0, η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης x2=α.

Ιδιότητες:

• =

ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ν-οστή ρίζα μη αρνητικού αριθμούΟρισμός: Η ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στην ν, δίνει τον α.Επίσης γράφουμε και Μπορούμε επομένως να πούμε ότι:Αν α0, τότε η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης xν=α.

ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ν-οστή ρίζα μη αρνητικού αριθμούΙδιότητες: • Αν α0, τότε:(ν = α και • Αν α0 και ν άρτιος, τότε:

= .

Αν α, β0, τότε:1. = 2. (εφό�σόν β0)

ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ν-οστή ρίζα μη αρνητικού αριθμούΣχόλιο: Στην ειδική μάλιστα περίπτωση που είναι α1=α2=…=ακ= α0, ισχύει:,Οπότε, για α, β0 έχουμε

.

ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Δυνάμεις με ρητό εκθέτηΟρισμός: Αν α0, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τότε ορίζουμε: =ΕφαρμογήΑν α και β είναι μη αρνητικοί αριθμοί, να αποδειχθεί η ισοδυναμία:αβ.

ΑπόδειξηΈχουμε: )ν αβ, που ισχύει.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Η εξίσωση xν=αΗ εξίσωση xν=α, με α0 και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει ακριβώς μια λύση, την .

Η εξίσωση xν=α, με α0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό, έχει ακριβώς δύο λύσεις, την και -.

Η εξίσωση xν=α, με α0 και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει ακριβώς μια λύση, την -.

Η εξίσωση xν=α, με α0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό, είναι αδύνατη.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣΕξισώσεις 2ου βαθμούΗ εξίσωση αx2 + βx + γ = 0, α0

Δ = β - 4αγ Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0, α0

Δ > 0 Έχει δύο ρίζες άνισες τις x1,2 = .

Δ = 0 Έχει μια διπλή ρίζα τη x = - .

Δ < 0 Είναι αδύνατη στο ℝ.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣΕξισώσεις 2ου βαθμούΗ εξίσωση αx2 + βx + γ = 0, α0Αν με S συμβολίσουμε το άθροισμα x1 + x2 και με Ρ το γινόμενο x1 x2, τότε έχουμε τους τύπους: S = - και Ρ = Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0, με τη βοήθεια των τύπων του Vieta, μετασχηματίζεται ως εξής:αx2 + βx + γ = 0 x2 + x + = 0 x2 - (x1 + x2) x + x1 x2 = 0 x2 - Sx + Ρ = 0

Ανισώσεις 1ου βαθμού αx + β >

0• Αν α > 0 , τότε: χ >

• Αν α < 0 , τότε: χ <

• Αν α = 0 , τότε: 0χ > -β , η οποία αληθεύει για κάθε x ℝ, αν είναι β

> 0 ενώ είναι αδύνατη, αν είναι β ≤ 0

Ανισώσεις 2ου βαθμού

Μορφές τριωνύμουΗ παράσταση αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 λέγεται

τριώνυμο 2ου βαθμού. Το τριώνυμο αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0

μετασχηματίζεται ως εξής: • Δ > 0 , τότε: αχ2 + βχ + γ = α(χ – χ1)(χ - χ2) • Δ = 0 , τότε:αχ2 + βχ+γ = α(χ + )2

• Δ < 0 ,τότε: αχ2 + βχ +γ = α[(χ + )2 + )]

Πρόσημο τριωνύμου αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0

Δ > 0

-∞ x1 x2 +∞ Ομόσημο Ετερόσημο Ομόσημο του α του α του α

Δ = 0

-∞ x1 +∞ Ομόσημο Ομόσημο του α του α

Δ < 0

-∞ +∞ Ομόσημο του α x ℝ