ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣcostas/courses/prob_EYL/...ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ...

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ∆ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος

Τµ. Επιστήµης των Υλικών

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ∆ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

∆ειγµατοληψία


⟨

Με ∆ιάταξη

⟨

Χωρίς Επανατοποθέτηση (n)k

Με Επανατοποθέτηση nk

Χωρίς ∆ιάταξη

⟨

Χωρίς Επανατοποθέτηση(

n

k

)

Με Επανατοποθέτηση(

n+k−1

k

)




⟨

Με ∆ιάταξη

⟨

Χωρίς Επανατοποθέτηση (n)k

Με Επανατοποθέτηση nk

Χωρίς ∆ιάταξη

⟨

Χωρίς Επανατοποθέτηση(

n

k

)

Με Επανατοποθέτηση(

n+k−1

k

)

Επ. ∆ειγµατοληψία

⟨

∆ιακεκριµένα Σφαιρίδια

⟨

Με Περιορισµούςn!

n1!n2! . . . nk !

Χωρίς Περιορισµούς kn

Μη ∆ιακεκριµένα Σφαιρίδια

⟨

Με Περιορισµούς(

n−1

k−1

)

Χωρίς Περιορισµούς(

n+k−1

n

)


Παραδείγµατα

Παράδειγµα 1

Σύµφωνα µε τις διαθέσεις της κυβέρνησης, 118 υπάλληλοι του Π.Π.

τίθενται σε διαθεσιµότητα. Αν για αυτούς τους υπαλλήλους υπάρχουν

τρεις ισοπίθανες περιπτώσεις, είτε να υπηρετήσουν άλλες ακαδηµαϊκές

µονάδες, είτε να µετατεθούν σε άλλες υπηρεσίες του κράτους, είτε να

απολυθούν, τότε

1 υπολογίστε την πιθανότητα 52 υπάλληλοι να υπηρετήσουν σε άλλη

ακαδηµαϊκή µονάδα, 40 υπάλληλοι να µετατεθούν σε άλλη

υπηρεσία του κράτους και οι υπόλοιποι να απολυθούν.

2 Ποια είναι η πιθανότητα το πολύ 10 να απολυθούν ;


∆εσµευµένες Πιθανότητες

Ορισµός

Τα σύνολα A1,A2, . . . ,An , . . . αποτελούν µια διαµέριση του συνόλου Ω, εάν αυτά είναι

ξένα µεταξύ τους ανά δύο (δηλ. Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j) και

∪∞

j=1Aj = Ω.

Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας (Θ.Ο.Π.)

΄Εστω Aj, j = 1, 2, . . . µια διαµέριση του δειγµατοχώρου Ω, τότε για κάθε σύνολο Β του

δειγµατοχώρου ισχύει η σχέση

P(B) =∞∑

j=1

P(Aj)P(B|Aj).

Θεώρηµα Bayes

Υπό τις προϋποθέσεις του Θ.Ο.Π. και εφ’οσον P(B) > 0,

P(Aj|B) =P(Aj)P(B|Aj)

P(B), j = 1, 2, . . . ,

όπου P(Aj) ονοµάζεται εκ των προτέρων πιθανότητα

και P(Aj|B) ονοµάζεται εκ των υστέρων πιθανότητα.




Μετά το δεύτερο µεγάλο σεισµό στο Ληξούρι της Κεφαλλονιάς, το 30%των σπιτιών κρίθηκαν µη κατοικίσηµα, οπότε το 40% των κατοίκων,

όπου το σπίτι τους κρίθηκε ως µη κατοικίσηµο, έφυγαν από το νησί,

όπως έφυγαν και το 25% των κατοίκων, όπου το σπίτι τους κρίθηκε ως

κατοικίσηµο.

1 Υπολογίστε το ποσοστό των κατοίκων του Ληξουρίου που έφυγε από

το νησί.

2 Για τον κάτοικο του Ληξουρίου, ο οποίος δεν έφυγε από το νησί,

υπολογίστε την πιθανότητα, το σπίτι του να έχει κριθεί ως

κατοικίσηµο.


∆ιακριτές Κατανοµές

∆ιωνυµική κατανοµή

Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί τη διωνυµική κατανοµή ή X είναι µια

διωνυµική τυχαία µεταβλητή, εάν

f (x) = P(X = x) =

(

n

x

)

px(1 − p)n−x , x = 0, 1, . . . , n , 0 < p < 1.

Συµβολικά: X ∼ B(n, p).EX = np , VarX = np(1 − p).



∆ιωνυµική κατανοµή

Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί τη διωνυµική κατανοµή ή X είναι µια

διωνυµική τυχαία µεταβλητή, εάν

f (x) = P(X = x) =

(

n

x

)

px(1 − p)n−x , x = 0, 1, . . . , n , 0 < p < 1.

Συµβολικά: X ∼ B(n, p).EX = np , VarX = np(1 − p).

Poisson κατανοµή

Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί τη Poisson κατανοµή ή X είναι µια

Poisson τυχαία µεταβλητή, εάν

f (x) = P(X = x) = e−λ λx

x!, x = 0, 1, . . . , λ > 0.

Συµβολικά: X ∼ P(λ).

EX = VarX = λ.Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ∆ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ


Υπεργεωµετρική κατανοµή

Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί τη υπεργεωµετρική κατανοµή ή X

είναι µια υπεργεωµετρική τυχαία µεταβλητή, εάν

f (x) = P(X = x) =

(

m

x

) (

n

r−x

)

(

m+n

r

) , x = 0, 1, . . . minm, r, m, n, r ∈ Z+.

Συµβολικά: X ∼ H(x : n,m, r).



Αρνητική ∆ιωνυµική κατανοµή

Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την αρνητική διωνυµική κατανοµή ή

X είναι µια αρνητική διωνυµική τυχαία µεταβλητή, εάν

f (x) = P(X = x) =

(

r + x − 1

x

)

pr(1−p)x , x = 0, 1, . . . , 0 < p < 1.

Συµβολικά: X ∼ NB(r, p).



Αρνητική ∆ιωνυµική κατανοµή

Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την αρνητική διωνυµική κατανοµή ή

X είναι µια αρνητική διωνυµική τυχαία µεταβλητή, εάν

f (x) = P(X = x) =

(

r + x − 1

x

)

pr(1−p)x , x = 0, 1, . . . , 0 < p < 1.

Συµβολικά: X ∼ NB(r, p).

Παρατήρηση

Για r = 1, P(X = x) = p(1− p)x , x = 0, 1, 2, . . . και η κατανοµή

ονοµάζεται γεωµετρική κατανοµή ή κατανοµή του Pascal.

Συµβολικά: X ∼ Ge(p).

EX =1 − p

p, VarX =

1 − p

p2.


Συνεχείς Κατανοµές

Κανονική κατανοµή ή κατανοµή του Gauss

Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την κανονική κατανοµή ή X είναι µια

κανονική τυχαία µεταβλητή, εάν

f (x) =1√

2πσ2e− (x−µ)2

2σ2 , x ∈ R , µ ∈ R , σ > 0.

Συµβολικά: X ∼ N (µ, σ2).

EX = µ , VarX = σ2.



Κανονική κατανοµή ή κατανοµή του Gauss

Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την κανονική κατανοµή ή X είναι µια

κανονική τυχαία µεταβλητή, εάν

f (x) =1√

2πσ2e− (x−µ)2

2σ2 , x ∈ R , µ ∈ R , σ > 0.

Συµβολικά: X ∼ N (µ, σ2).

EX = µ , VarX = σ2.


Για µ = 0, σ2 = 1 f (x) =1√2π

e−x2/2, x ∈ R και η κατανοµή

ονοµάζεται τυπική κανονική κατανοµή.

Συµβολικά: X ∼ N (0, 1).



Οµοιόµορφη κατανοµή

Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την οµοιόµορφη κατανοµή ή X είναι

µια οµοιόµορφη τυχαία µεταβλητή, εάν

f (x) =

1

β − a, x ∈ [a, β]

0 , x 6= [a, β]

Συµβολικά: X ∼ U(a, β).

EX =a + β

2, VarX =

β − a)2

12.



Γάµµα κατανοµή

Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την Γάµµα κατανοµή ή X είναι µια

Γάµµα τυχαία µεταβλητή, εάν

f (x) =1

Γ(a)βaxa−1 e−x/β , x > 0 , a, β > 0.

Συµβολικά: X ∼ G(a, β).EX = aβ , VarX = aβ2.



Γάµµα κατανοµή

Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την Γάµµα κατανοµή ή X είναι µια

Γάµµα τυχαία µεταβλητή, εάν

f (x) =1

Γ(a)βaxa−1 e−x/β , x > 0 , a, β > 0.

Συµβολικά: X ∼ G(a, β).EX = aβ , VarX = aβ2.

Εκθετική κατανοµή

Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την εκθετική κατανοµή ή X είναι µια

εκθετική τυχαία µεταβλητή, εάν

f (x) = λ e−λx , x > 0 , λ > 0.

Συµβολικά: X ∼ E(λ) ≡ G(a = 1, β = 1/λ).

EX =1

λ, VarX =

1

λ2.




Θεωρούµε ότι το πλήθος των πελατών που εξυπηρετούνται από ένα

ταµείο ενός supermarket είναι µια Poisson τ.µ., µε µέση τιµή 20

πελάτες την ώρα.

1 Υπολογίστε την πιθανότητα να εξυπηρετηθούν τουλάχιστον 2

πελάτες τα επόµενα 15 λεπτά.

2 Για τις επόµενες 2 ώρες, ποια είναι η πιθανότητα για µισή ώρα (από

αυτές τις δύο ώρες) να εξυπηρετούνται από το συγκεκριµένο ταµείο

τουλάχιστον 2 πελάτες το 15λεπτο ;

3 Ο διευθυντής του supermarket καταγράφει ανά 15λεπτο, το

πλήθος των πελατών που εξυπηρετούνται από το συγκεκριµένο

ταµείο. Ποια είναι η πιθανότητα στο 60 15λεπτο αυτής της

καταγραφής να εξυπηρετούνται τουλάχιστον 2 πελάτες ;


Τυχαία ∆ιανύσµατα

Περιθώρια Πυκνότητα Πιθανότητας

fX1(x1) =

∑

x2

f (x1, x2) , X

˜= (X1,X2) διακριτό τ.δ.

∫ +∞

−∞

f (x1, x2)dx2 , X

˜= (X1,X2) συνεχές τ.δ.


Τυχαία ∆ιανύσµατα

Περιθώρια Πυκνότητα Πιθανότητας

fX1(x1) =

∑

x2

f (x1, x2) , X

˜= (X1,X2) διακριτό τ.δ.

∫ +∞

−∞

f (x1, x2)dx2 , X

˜= (X1,X2) συνεχές τ.δ.

∆εσµευµένη Πυκνότητα Πιθανότητας

fX1|X2(x1|x2) =

f (x1, x2)

fX2(x2)

ονοµάζεται δεσµευµένη π.π. της X1 δοθείσης

της X2.

fX2|X1(x2|x1) =

f (x1, x2)

fX1(x1)

ονοµάζεται δεσµευµένη π.π. της X2 δοθείσης

της X1.


Συντελεστής Συσχέτισης ∆ύο Τυχαίων Μεταβλητών

Συντελεστής Συσχέτισης

=E[(X1 − EX1)(X2 − EX2)]

√

Var(X1)Var(X2)

E[(X1 − EX1)(X2 − EX2)] = E(X1X2)− E(X1)E(X2) = Cov(X1,X2)ονοµάζεται συνδιασπορά των τ.µ. X1 και X2.


Ο συντελεστής συσχέτισης (όπως και η συνδιασπορά) µας λένε αν και

πως σχετίζονται γραµµικά µεταξύ τους οι δύο τυχαίες µεταβλητές.

−1 6 6 1

= 1, έχουµε αυστηρά ϑετική γραµµική συχέτιση ανάµεσα στις

δύο τ.µ.

= −1, έχουµε αυστηρά αρνητική γραµµική συχέτιση ανάµεσα

στις δύο τ.µ.

= 0, οι τ.µ. X1 και X2 ονοµάζονται ασυσχέτιστες.




Το τυχαίο διάνυσµα (X ,Y ) είναι οµοιόµορφο στον χώρο που

περικλείεται από τις ευθείες X − Y = 2, X = 0, Y = 0.

1 Να ϐρεθεί η πυκνότητα πιθανότητας του τ.δ. (X ,Y ).

2 Να υπολογιστούν οι περιθώριες π.π. των τ.µ. X και Y .

3 Υπολογίστε τη συνδιασπορά των τ.µ. X και Y .

4 Υπολογίστε την P(X > 1|Y < −1/2).




∆ίνεται η από κοινού πυκνότητα πιθανότητας των τ.µ. X και Y ,

fX ,Y (x, y) =

c

x3y3, x > y > 1.

0 , διαφορετικά.

1 Να προσδιοριστεί η σταθερά c.

2 Να υπολογιστούν οι περιθώριες π.π. των τ.µ. X και Y .

3 Υπολογίστε τη συνδιασπορά των τ.µ. X και Y .

4 Υπολογίστε την E(X |Y = 2).


Στοχαστική Ανεξαρτησία

Ανεξαρτησία τ.µ.

Οι τυχαίες µεταβλητές X1,X2, . . . ,Xk ονοµάζονται ανεξάρτητες ⇔

P(X1 ∈ A1,X2 ∈ A2, . . . ,Xk ∈ Ak) = P(X1 ∈ A1)P(X2 ∈ A2) . . . P(Xk ∈ Ak)

Παραγοντικό Θεώρηµα

X1,X2, . . . ,Xk ανεξ. τ.µ. ⇔ FX

˜

(x˜) = FX1

(x1) . . .FXk(xk) =

k∏

i=1

FXi(xi)

⇔ fX

˜

(x˜) = fX1

(x1) . . . fXk(xk) =

k∏

i=1

fXi(xi)


Αν X1,X2, . . . ,Xk είναι ανεξάρτητες τ.µ.

⇒ Var(X1 + X2 + . . .+ Xk) = Var(X1) + Var(X2) + . . .+ Var(Xk).


Αναπαραγωγικές Ιδιότητες

Θεωρούµε X1,X2, . . . ,Xk ανεξάρτητες τ.µ.

1 Xi ∼ B(ni , p), i = 1, 2, . . . , k ⇒k

∑

i=1

Xi ∼ B(k

∑

i=1

ni , p)

2 Xi ∼ P(λi), i = 1, 2, . . . , k ⇒k

∑

i=1

Xi ∼ P(

k∑

i=1

λi)

3 Xi ∼ N (µi , σ2i ), i = 1, 2, . . . , k ⇒

k∑

i=1

Xi ∼ N (

k∑

i=1

µi ,

k∑

i=1

σ2i )

4 Xi ∼ G(ai , β), i = 1, 2, . . . , k ⇒k

∑

i=1

Xi ∼ G(k

∑

i=1

ai , β)

5 Xi ∼ E(λ) ≡ G(1, 1/λ), i = 1, 2, . . . , k ⇒k

∑

i=1

Xi ∼ G(n, λ)


Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

Κ.Ο.Θ.

΄Εστω X1,X2, . . . ,Xn ανεξάρτητες και ισόνοµες τυχαίες µεταβλητές, µε

E(Xi) = µ και VarXi = σ2, ∀i = 1, 2, . . . , n, τότε

n∑

i=1

Xi − E(n

∑

i=1

Xi)

√

√

√

√Var(

n∑

i=1

Xi)

→ Z ∼ N (0, 1).




Υποθέτουµε ότι η πιθανότητα για έναν νέο επιστήµονα να µεταναστεύσει

στο εξωτερικό είναι 1/3.

1 Ρωτάµε 1800 νέους επιστήµονες αν πρόκειται να µεταναστεύσουν,

υπολογίστε την πιθανότητα, µέσω Κ.Ο.Θ., όπως το πολύ 640 από

αυτούς να ϕύγουν για το εξωτερικό.

2 Ρωτάµε νέους επιστήµονες αν πρόκειται να ϕύγουν για το

εξωτερικό. Ποιο ϑα είναι το αναµενόµενο πλήθος των ερωτηθέντων,

έτσι ώστε η διαδικασία αυτή να σταµατήσει όταν ϕτάσουµε στο 500

οστό άτοµο που δηλώνει ότι πρόκειται να ϕύγει για το εξωτερικό.

Χρησιµοποιήστε την 1η ταυτότητα του Wald.


Στοχαστικές ∆ιαδικασίες

Ορισµός

Μία στοχαστική διαδικασία είναι µία οικογένεια τυχαίων µεταβλητών

X(t) : t ∈ T, όπου t είναι µία παράµετρος που παίρνει τιµές σε ένα

κατάλληλα ορισµένο σύνολο T .



Ορισµός




Αν t ∈ [0, a), έχουµε στοχαστική διαδικασία σε συνεχή χρόνο.

Αν t = 0, 1, 2, ..., έχουµε στοχαστική διαδικασία σε διακριτό

χρόνο.



Ορισµός




Αν t ∈ [0, a), έχουµε στοχαστική διαδικασία σε συνεχή χρόνο.

Αν t = 0, 1, 2, ..., έχουµε στοχαστική διαδικασία σε διακριτό

χρόνο.

΄Εστω Ε το πεδίο τιµών της τ.µ. X(t) (ή Xn ), τότε το Ε ονοµάζεται χώρος

καταστάσεων.

Αν Ε είναι ένα πεπερασµένο ή αριθµήσιµο σύνολο, έχουµε

στοχαστική διαδικασία µε διακριτό χώρο καταστάσεων.

Αν Ε είναι ένα διάστηµα ή το R, έχουµε στοχαστική διαδικασία µε

συνεχή χώρο καταστάσεων.



Ταυτότητα του Wald

Αν X1,X2, . . . ανεξάρτητες και ισόνοµες τ.µ. µε EXi < ∞, ∀i = 1, 2, . . .και N είναι τ.µ. που αναπαριστά τη στιγµή τερµατισµού της ακολουθίας

των τ.µ. τότε,

E(

N∑

i=1

Xi) = (EX)(EN)

όπου X είναι τ.µ. ισόνοµη µε τις X1,X2, . . .


ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣcostas/courses/prob_EYL/...ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ...

Documents

Transcript of ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣcostas/courses/prob_EYL/...ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ...