Φυσική Κατεύθυνσης Β' Λυκείου - 2

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο νόµοι θερµοδυναµικής -

θερµικές µηχανές πρέπει να γνωρίζει:

Ποιες µεταβολές λέγονται αντιστρεπτές και ποιες όχι και πως παρι-στάνονται.

Τι ονοµάζουµε κατάσταση ισορροπίας αερίου.

Ποιο µέγεθος ονοµάζουµε θερµότητα και που εµφανίζεται.

Τι είναι η εσωτερική ενέργεια και από τι εξαρτάται.

Η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας δεν εξαρτάται από το είδος τηςµεταβολής αλλά µόνο από την αρχική και την τελική κατάσταση.

Tι είναι οι γραµµοµοριακές ειδικές θερµότητες και ότι το κάθε αέριοέχει τις δικές του.

Πως υπολογίζονται το έργο (W) η θερµότητα (Q) και η µεταβολή τηςεσωτερικής ενέργειας (∆U) για κάθε µεταβολή.

Το έργο για κάθε µεταβολή ισούται µε την αριθµητική τιµή του εµβαδούσε διάγραµµα P-V µεταξύ της µεταβολής και του άξονα του όγκου.

Το έργο κατά την εκτόνωση είναι θετικό ενώ κατά την συµπίεση αρ-νητικό.

Να διατυπώνει και να εφαρµόζει τον 1ο θερµοδυναµικό νόµο για κάθεµεταβολή.

Η θερµότητα και το έργο σε αντίθεση µε την µεταβολή της εσωτερικήςενέργειας εξαρτώνται από το είδος της µεταβολής.

Τι είναι η θερµική µηχανή.

Σε κυκλική µεταβολή το ∆U 0= .

Τι ονοµάζουµε απόδοση θερµικής µηχανής.

36. Νόµοι θερµοδυναµικής - θερµικές µηχανές Τύποι - Βασικές έννοιες

Πως διατυπώνεται ο 2ος θερµοδυναµικός νόµος.

Από ποιες µεταβολές αποτελείται ο κύκλος Carnot.

Η µεγαλύτερη σε απόδοση θερµική µηχανή ανάµεσα σε όλες όσεςδουλεύουν µεταξύ των ίδιων θερµοκρασιών, είναι η µηχανή Carnot.

Ποια µεταβολή ονοµάζουµε αδιαβατική.

Πότε η θερµότητα (Q) και η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας (∆U)παίρνουν θετικές και πότε αρνητικές τιµές.

Τι εκφράζει ο 1ος θερµοδυναµικός νόµος.

Γιατί οι αδιαβατικές µεταβολές είναι πιο απότοµες από τις ισόθερµες.

Γιατί δεν µπορούν να τέµνονται δύο ισόθερµες ή δύο αδιαβατικές.

Nόµοι θερµοδυναµικής: Τύποι - Βασικές έννοιες

• Έργο, θερµότητα, µεταβολή εσωτερικής ενέργειας

Ισόχωρη vnC ∆Τ 0 vnC ∆Τ

Ισόθερµη W

B A

A B

B A

nRTln V / V

nRTln P / P

PVln V / V0

Ισοβαρής pnC ∆Τ P ∆V n R ∆T⋅ = ⋅ ⋅ vnC ∆Τ

Αδιαβατική 0 2 2 1 1P V P V

1 γ

⋅ − ⋅−

vnC ∆Τ

Κυκλικές ΣQ ΣW 0

Q W ∆U

37. Τύποι - Βασικές έννοιες Νόµοι θερµοδυναµικής - θερµικές µηχανές

• 1oς Νόµος Θ/∆: Q W ∆U= +Το ποσό θερµότητας που ανταλλάσει ένα αέριο µε το περιβάλλον του είναι

ίσο µε το άθροισµα του έργου που παράγει ή καταναλώνει και τη µεταβο-

λή της εσωτερικής του ενέργειας.

• 2oς Νόµος Θ/∆: ∆ιατύπωση Kelvin - Planck

Είναι αδύνατη η κατασκευή µιας θερµικής µηχανής στην οποία ένα αέριο

εκτελώντας κυκλική µεταβολή να µετατρέπει ένα δεδοµένο ποσό θερµότη-

τας εξ’ολοκλήρου σε ωφέλιµο έργο.

∆ιατύπωση Clausius

Είναι αδύνατη η µεταφορά θερµότητας από ένα ψυχρό σε ένα θερµό σώµα

χωρίς την κατανάλωση έργου.

• Πρόσηµα

Στις εκτονώσεις ( )∆V 0> είναι W 0> ενώ στις συµπιέσεις ( )∆V 0< είναι

W 0< .

Στις θερµάνσεις ( )∆T 0> είναι ∆U 0> ενώ στις ψύξεις ( )∆T 0< είναι

∆U 0< .

Όταν ένα αέριο προσλαµβάνει θερµότητα από το περιβάλλον τότε Q 0> ,

ενώ όταν αποβάλλει θερµότητα προς το περιβάλλον τότε Q 0< .

• Θερµικές µηχανές

Απόδοση προσφ αποβ αποβΟΛ

προσφ προσφ προσφ

Q Q QWe 1

Q Q Q

−= = = −

Ειδικά στον κύκλο Carnot αποδεικνύεται ότι αποβc

h προσφ

QT

T Q= εποµένως

c

h

Te 1

T= − .

38. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο

ΘΕΩΡΙΑ 1 α. Υπολογισµός εσωτερικής ενέργειας.

β. Σχέση PC και VC .

γ. Υπολογισµός γραµµοµοριακών ειδικών θερµοτήτων

και αδιαβατικού συντελεστή (γ) στα ιδανικά αέρια.

Απόδειξη

α. A

3 R 3 3U N K N T nRT PV

2 N 2 2= ⋅ = ⋅ = =

β. Εφαρµόζουµε 1ο νόµο Θερµοδυναµικής σε ισοβαρή εκτόνωση ιδανικού

αερίου:

P VQ W ∆U n C ∆T P ∆V n C ∆T= + ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅

P Vn C ∆T n R ∆T n C ∆T⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

P VC R C⇒ = +

γ. 3 3

U nRT ∆U nR ∆Τ2 2

= ⇒ = ⋅

όµως: V∆U nC ∆Τ= εποµένως V

3C R

2=

τέλος, P V P

5C C R C R

2= + ⇒ =

39.Βήµα 1ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

ενώ P

V

5Rc 52γ γ

3c 3R2

= = → =

ΘΕΩΡΙΑ 2 Να αποδείξετε ότι το έργο που παράγει ένα αέριο όταν ο

όγκος του αυξάνεται κατά µικρή ποσότητα ∆V είναι

∆W P∆V= όπου Ρ η πίεση του.

Απόδειξη

Έστω ένα αέριο σε κύλινδρο που κλείνεται από εφαρµοστό έµβολο. Καθώς τα

µόρια του αερίου µέσα στον κύλινδρο συγκρούονται µε τα τοιχώµατά του α-

σκούν δυνάµεις σε αυτά. Για µια µικρή µετατόπιση του εµβόλου κατά ∆x το

έργο που παράγει η δύναµη που ασκεί το αέριο σε αυτό είναι: ∆W F ∆x= ⋅ όµως

F P A= ⋅ όπου F η ολική δύναµη που ασκεί το αέριο στο έµβολο. Εποµένως

∆W P A ∆x P ∆V= ⋅ ⋅ = ⋅ όπου ∆V µια µικρή µεταβολή του όγκου του αερίου.

*ΘΕΩΡΙΑ 3 Να αποδείξετε την σχέση c 2

h 1

Q Τ

Q Τ=

Απόδειξη

Ισόθερµη εκτόνωση ΑΒ (Ν. Boyle): 1 1 2 2P V P V⋅ = ⋅

Αδιαβατική εκτόνωση ΒΓ (Ν. Poisson): γ γ

2 2 3 3P V P V⋅ = ⋅

Ισόθερµη συµπίεση Γ∆ (Ν. Boyle): 3 3 4 4P V P V⋅ = ⋅

Αδιαβατική συµπίεση ΒΓ (Ν. Poisson): γ γ

4 4 1 1P V P V⋅ = ⋅

Με πολλαπλασιασµό κατά µέλη των παραπάνω σχέσεων, παίρνουµε:

( )

γ γ γ γ

1 1 2 2 3 3 4 4 2 2 3 3 4 4 1 1

γγ γ γγ 1 γ 1 γ 1 γ 13 32 4 1 2

2 4 3 12 4 3 1 1 4

P V P V P V P V P V P V P V P V

V VV V V VV V V V 1

V V V V V V− − − −

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =

40. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο

Στην ισόθερµη εκτόνωση ΑΒ:2

h 11

VQ nRT ln

V=

Στην ισόθερµη συµπίεση Γ∆:4

c 23

VQ nRT ln

V= ⇒

3c 2 4 3 c 2 3 4 c 2

4

3c 2

4

VQ nRT ln V ln V Q nRT ln V ln V Q nRT ln

V

VQ nRT ln

V

= − ⇒ = − ⇒ = ⇒

=

Άρα: ( )

32 1

c c4 2

2h h 11

1

VnRT ln

Q QV Τ

VQ Q ΤnRT lnV

= ⇒ =

Τρείς σπουδαίες “λεπτοµέρειες” στην αδιαβατική µεταβολή.

α. Υπολογισµός έργου: 2 2 1 1P V P VW

1 γ

−=−

1ος Θ.Ν. στην αδιαβατική µεταβολή ( Q = 0 )

( ) 2 2 1 1v 2 1 v

P V P VW ∆U nC T T W nC

nR nR = − = − − ⇒ = − − ⇒

( ) ( )v2 2 1 1

CW P V P V 1

R= ⋅ − ⋅

Όµως ( )v v

pp v

v

C C 1 12

CR C C γ 11

C

= = =− −

−

Από τις (1) και (2) έχουµε: ( ) 2 2 1 12 2 1 1

P V P V1W P V P V W

γ 1 1 γ

−= − − ⇒ =− −

.

β. Ο N.Poisson στην αδιαβατική µπορεί να συνδέσει ανά δύο τα P, V, T.

i. ο “κλασικός”: γ γ

1 1 2 2P V P V⋅ = ⋅ii. Σχέση V, T:

41.Βήµα 1ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

γ γ γ γ γ 1 γ 11 21 1 2 2 1 2 1 1 2 2

1 2

nRT nRTP V P V V V Τ V Τ V

V V− −⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅

iii. Σχέση P, T:

γ γ

γ γ 1 γ γ 1 γ γ1 21 1 2 2 1 2 1 1 2 2

1 2

nRT nRTP V P V P P P Τ P Τ

P P− −

⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

.

γ. Γιατί οι αδιαβατικές καµπύλες είναι πιο απότοµες από τις ισόθερµες;

Μια εξήγηση: (υπάρχουν κι άλλες)

Κατά την αδιαβατική συµπίεση Α Β→

( )Q 0= 10ς Θ.Ν W ∆U= −

Κατά την συµπίεση είναι W 0< , οπότε

∆U 0> δηλαδή το αέριο θερµαίνεται.

Άρα η αδιαβατική καµπύλη ΑΒ θα τέ-

µνει συνεχώς ισόθερµες υψηλότερης θερ-

µοκρασίας, µε συνέπεια να είναι πιο α-

πότοµη (µεγαλύτερη κλίση) από τις ισόθερµες.

42. Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά” Βήµα 2ο

Α. Από το σχολικό βιβλίο

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003.

σ.σ. 68 - 71: Ερωτήσεις 2.10, 2.11, 2.13, 2.14, 2.15, 2.16, 2.17,

2.18, 2.19, 2.27, 2.28

σ.σ 76 - 79: Προβλήµατα 2.57, 2.60, 2.63, 2.64, 2.65, 2.66, 2.70,

2.71α, β, 2.72α

Β. Από τα Βιλιοµαθήµατα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ”

σ.σ. 51 - 56: Τα παραδείγµατα 2.3, 2.4, 2.5,

2.6, 2.7, 2.8

σ.σ. 68 -75: Τα παραδείγµατα 2.9, 2.10, 2.11,

2.12, 2.13, 2.14

σ. 61: Ξεχωριστό θέµα 1

σ. 69: Ξεχωριστό θέµα 1

σ.σ. 59 - 61: Ασκήσεις 2.3, 2.4, 2.5, 2.7, 2.8,

2.9, 2.10

σ.σ. 77, 78: Ασκήσεις 2.12, 2.14

43.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

1. ∆ίνεται η κυκλική µεταβολή του σχήµατος.

Να συµπληρωθεί ο πίνακας θέτοντας το κα-

τάλληλο πρόσηµο σε κάθε τετράγωνο. Η ΓΑ

είναι αδιαβατική θέρµανση.

Λύση:

Γνωρίζουµε ότι:

• Η ∆U είναι θετική όταν αυξάνεται η θερµοκρασία (µεταβολές ΑΒ και ΓΑ) και

αρνητική στην αντίθετη περίπτωση (µεταβολή ΒΓ).

• Το W είναι θετικό όταν αυξάνεται ο όγκος (µεταβολή ΑΒ) και αρνητικό όταν

µειώνεται ο όγκος (µεταβολές ΒΓ και ΓΑ).

• Το Q είναι θετικό όταν αυξάνεται η θερµοκρασία στην ισοβαρή µεταβολή

(ΑΒ), ενώ στην αδιαβατική θέρµανση είναι µηδέν (ΓΑ).

Το πρόσηµο του Q επίσης µπορεί να εξαχθεί και από το 1ο θερµοδυναµικό

µόνο (µεταβολή ΒΓ).

Έτσι συµπληρώνουµε τον ακόλουθο πίνακα:

∆U W Q

A → B

B → Γ

Γ → Α

+ + +

- - -

+ - 0

44. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

2. Κυλινδρικό δοχείο µε αδιαβατικά τοιχώµα-

τα έχει κατακόρυφο άξονα και κλείνεται στο

πάνω µέρος του µε έµβολο επιφάνειας Α και

βάρους 1W . Το αέριο στο δοχείο περιέχει

ήλιο σε θερµοκρασία 1T και καταλαµβάνει

όγκο 1V . Προσθέτουµε σιγά-σιγά διάφορα

σταθµά συνολικού βάρους 2W πάνω στο

έµβολο. Το ήλιο συµπιέζεται και καταλαµβάνει όγκο 2V . Να υπολογί-

σετε:

α. τη νέα θερµοκρασία του αερίου

β. τη µεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας

γ. το έργο που καταναλώνεται από το αέριο.

∆ίνεται ατµ

P , V

3C R

2= .

Λύση:

Από την ισορροπία του εµβόλου πριν την τοποθέτηση των σταθµών:

( )11 ατµ

WP P 1

A= +

Από την ισορροπία του εµβόλου µετά την τοποθέτηση των σταθµών:

( )1 22 ατµ

W WP P 2

A

+= +

Από το συνδυαστικό νόµο έχουµε: 1 1 2 2 2 2 12

1 2 1 1

P V P V P V TT

T T P V

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ =⋅

Σε κάθε αντιστρεπτή µεταβολή ιδανικού αερίου ισχύει: V

3∆U nC ∆Τ nR∆Τ

2= ⋅ =

( ) ( )1 1 1 1 2 2 12 1 1 2 2 1 1

1 1 1 1

P V P V P V T3 3 3∆U T T T P V P V

2 T 2 T P V 2

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= − = − = ⋅ − ⋅ ⋅

Επειδή η µεταβολή είναι αδιαβατική ( )Q 0= ισχύει W ∆U= − εποµένως

( )2 2 1 1

3W P V P V

2= − ⋅ − ⋅ µε 1P και 2P γνωστά από τις (1) και (2).


3. Ιδανικό αέριο συµπιέζεται αντιστρεπτά ισόθερµα από την κατάσταση

Α ( )0 0 0P ,V ,T έως ότου ο όγκος του υποτριπλασιαστεί στην κατάστα-

ση Β. Κατόπιν εκτονώνεται αντιστρεπτά ισοβαρώς µέχρι την κατά-

σταση Γ, από την οποία µε ισόχωρη ψύξη θα επανέλθει στην αρχική

του κατάσταση Α.

α. Να παρασταθούν γραφικά οι µεταβολές σε άξονες πίεσης (P) - όγκου

(V).

β. Να βρεθεί το έργο που παράγεται κατά τη διάρκεια της κυκλικής

µεταβολής ΑΒΓΑ.

γ. Να βρεθεί η απόδοση του κύκλου.

∆ίνεται: n3 1,1

Λύση:

α.

β.

0

AB 0 0 0 0 0 0 00

V13W n R T ln P V ln P V ln3 1,1 P V

V 3= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅

0 0BΓ 0 0 0 0 0

V 2VW 3P V 3P 2P V

3 3 = − = = ⋅

και ΓΑ

W 0=

άρα oλ AB ΒΓ ΓΑ 0 0W W W W 0,9P V= + + =

γ. το αέριο απορροφά θερµότητα στην µεταβολή ΒΓ:

ΒΓ p 0 0 0 0 0 0

5 5 5 1Q n C ∆Τ n R ∆T 3P ∆V 3P V V 5P V

2 2 2 3 = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = − = ⋅

η απόδοση του παραπάνω κύκλου είναι:

ολ 0 0

προσφ 0 0

W 0,9P Ve 0,18 18%

Q 5P V

⋅= = = =

P

3P0

P0

0 V /30 V

0V

A

ÃÂ


4. Ορισµένη ποσότητα ιδανικού αερίου µε

V

RC 3

2= , εκτελεί την κυκλική µεταβολή που

φαίνεται στο σχήµα. Αν Γ A

V 2V= ,

5AU 4,5 10 J= ⋅ και 5

ΓU 9 10 J= ⋅ , να γίνουν τα

διαγράµµατα Τ-V, P-V, και να υπολογιστεί η

ενέργεια που απορροφά το αέριο, µε τη µορφή µηχανικού έργου, στην

παραπάνω κυκλική µεταβολή.

∆ίνεται: R 8,314= στο S.I.

Λύση:

Με δεδοµένο το γεγονός ότι η εσωτερική ενέργεια είναι ανάλογη της απόλυτης

θερµοκρασίας, το διάγραµµα Τ-V θα είναι το ακόλουθο:

Επίσης: Γ Γ ΓΓ Α Β

Α Α Α

U Τ Τ2 Τ 2Τ Τ

U Τ Τ= ⇒ = ⇒ = =

Για την ισόχωρη µεταβολή ΑΒ:

Α Β Α Β Α ΑΒ Β Α

Α Β Α Α

Ρ Ρ Ρ Τ Ρ 2ΤΡ Ρ 2Ρ

Τ Τ Τ Τ= ⇒ = = ⇒ =

Άρα το διάγραµµα Ρ-V είναι το ακόλουθο:


Τα µεγέθη της κάθε κατάστασης παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα:

Α Β Γ

ΑΡ B AP 2P=

Γ ΑP Ρ=

AV B AV V= Γ A

V 2V=

ATΒ Α

Τ 2Τ= Γ Β Α

Τ Τ 2Τ= =

ΑΒ(ισόχωρη): ABW 0=

ΒΓ(ισόθερµη): ΓBΓ B A

A

VW n R T ln 2n R T ln 2

V= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

ΓΑ(ισοβαρής): ( ) ( )ΓΑ Α A Γ Α A A A A AW Ρ V V Ρ V 2V P V n R T= − = − = − = − ⋅ ⋅

Άρα, το συνολικό έργο είναι: ( ) ( )oλ AB BΓ ΓΑ AW W W W n R T 2ln 2 1 I= + + = ⋅ ⋅ −

Όµως, ( )ΓΑ V A Γ∆U nC T T= − ⇒

( ) ( )5 5A Γ A A A

3R 3U U n T 2T 4,5 10 9 10 J n R T

2 2⇒ − = − ⇒ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⋅ ⇒

5An R T 3 10 J⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ .

Οπότε, η (Ι) γίνεται: ( )5oλW 3 10 2ln 2 1 J= ⋅ −

5. Να υπολογιστεί ο συντελεστής απόδοσης µιας µηχανής που λειτουργεί

µε τον θερµοδυναµικό κύκλο του σχήµατος.

∆ίνεται: VC 3R / 2=


Λύση:

Ο συντελεστής απόδοσης δίνεται, όπως είναι γνωστό από τη σχέση C

h

Qα 1

Q= − ,

όπου C ΒΓ Γ∆

Q Q Q= + το ποσό θερµότητας που αποβάλλει το σύστηµα προς το

περιβάλλον, και h AB ∆ΑQ Q Q= + το προσφερόµενο στο αέριο ποσό θερµότητας.

Τα επιµέρους ποσά θερµότητας υπολογίζονται ως εξής:

AB 22V

Q nRT n 2nRT n2V

= ⋅ = ⋅

( )BΓ V VQ nC T 2T nC T= − = −

Γ∆

VQ nRT n nRT n 2

2V= ⋅ = − ⋅

( )∆Α V VQ nC 2T T nC T= − =

Άρα, ( )c V c VQ nC T nRT n 2 Q nT C R n 2= − − ⋅ ⇒ = + ⋅

( )h V h VQ 2nRT n 2 nC T Q nT 2R n 2 C= ⋅ + ⇒ = ⋅ +

V

V V

C R n 2 R n 2 R n 2 n 2α 1

3RC 2R n 2 C 2R n 2 1,5 2 n 22R n 22

+ ⋅ ⋅ ⋅= − = = =+ ⋅ + ⋅ + ⋅+ ⋅

6. Ένα αέριο, µε 5

γ3

= , εκτελεί την κυκλική

µεταβολή Α Β Γ→ → του σχήµατος. Αν στη

µεταβολή ΓΑ το αέριο προσφέρει στο περι-

βάλλον του θερµότητα 6000J, να υπολογι-

στούν:

α. το έργο της κυκλική µεταβολής

Α Β Γ Α→ → →β. οι µεταβολές της εσωτερικής ενέργειας

στις µεταβολές ΑΒ και ΒΓ

γ. η ισχύς µιας µηχανής που λειτουργεί µε τον παραπάνω κύκλο, αν

εκτελεί 100 κύκλους / s.

Λύση:

α. Το έργο υπολογίζεται από το εµβαδόν που περικλείεται από την κυκλική

µεταβολή:


( ) ( )0 0 0 00 0

5P P 2V VW 2P V

2

− ⋅ −= =

Όµως ( ) ( ) ( )ΓΑ p A Γ A Γ 0 0 0 0 0 0

5 5 5Q nC T T nR T T P V 2P V P V

2 2 2= − = − = − = −

( )ΓΑ

0 0 0 0

2 6000 J2QP V P V 2400J

5 5

−⇒ = − = − ⇒ =

Άρα, W 4800J=

β. Οι µεταβολές εσωτερικής ενέργειας στις µεταβολές ΑΒ και ΒΓ είναι:

( ) ( ) ( )AB V B A B A 0 0 0 0

3 3∆U n C T T n R T T 5P V P V

2 2= ⋅ − = ⋅ − = − =

0 06P V 6 2400J 14400J= = ⋅ =

( ) ( ) ( )BΓ V Γ Β Γ Β 0 0 0 0

3 3∆U n C T T n R T T 2P V 5P V

2 2= ⋅ − = ⋅ − = − =

0 04,5P V 4,5 2400J 10800J= − = − ⋅ = −

γ. Η ισχύς σύµφωνα µε τον ορισµό είναι το πηλίκο του ωφέλιµου έργου προς το

αντίστοιχο χρονικό διάστηµα.

5OΛW NΡ W 100 4800Watt 4,8 10 Watt

t t= = = ⋅ = ⋅

7. Μία µηχανή Carnot λειτουργεί µεταξύ των θερµοκρασιών 300 Κ και

1200Κ και σε κάθε κύκλο αποδίδει ωφέλιµο έργο 4500 J. Να υπολογι-

στεί ο συντελεστής απόδοσης της µηχανής και το ποσό θερµότητας

που προσφέρεται σε κάθε κύκλο στη µηχανή.

Λύση:

Ο συντελεστής απόδοσης υπολογίζεται από τη σχέση:

2

1

Τα 1 1 0,25 0,75

Τ= − = − =

Το ποσό θερµότητας ( )προσφ. hQ Q= που προσφέρεται σε κάθε κύκλο στη µηχανή

υπολογίζεται από τον ορισµό της απόδοσης µηχανής:

h hh

W W 4500Jα Q Q 6000J

Q α 0,75= ⇒ = = ⇒ =


8. Ιδανικό αέριο εκτελεί την αντιστρεπτή κυ-

κλική µεταβολή ΑΒΓΑ, όπως φαίνεται στο

σχήµα. Αν το αέριο απορροφά θερµότητα

ABQ 60J= στην αντιστρεπτή µεταβολή ΑΒ:

α. Πόσο έργο παράγει το αέριο κατά την

παραπάνω κυκλική µεταβολή ΑΒΓΑ;

β. Πόση θερµότητα αποδίδει στην αντι-

στρεπτή µεταβολή ΓΑ;

γ. Να συγκρίνετε την απόδοση του κύκλου

µε την απόδοση µιας µηχανής Carnot που θα “λειτουργούσε” µε-

ταξύ της ανώτερης και κατώτερης θερµοκρασίας του παραπάνω

κύκλου.

∆ίνεται: VC 3R / 2= , ln2 0,7= .

Λύση:

α. Κατ’ αρχήν P V P P

3 5C C R C R R C R

2 2= + ⇒ = + ⇒ = , επίσης

P ∆V n R ∆Τ⋅ = ⋅ ⋅ και ∆P V n R ∆Τ⋅ = ⋅ ⋅ .

Για την ισοβαρή εκτόνωση ΑΒ το ποσό της θερµότητας ABQ που απορροφά

το αέριο από το περιβάλλον είναι:

( )AB P 0 0 0 0 0 0

5 5 5Q n C ∆Τ n R ∆Τ 2P ∆V 2P 2V V 5P V

2 2 2= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = − = ⋅ ⇒

AB0 0

Q 60P V J 12J

5 5⋅ = = =

άρα, ( ) ( )0 0 0 0 0 02P P 2V V P V 12J

W εµβαδόν 6J2 2 2

− ⋅ − ⋅= = = = =

β. Είναι Α A Γ Γ 0 0Ρ V P V 2Ρ V⋅ = ⋅ = ⋅ εποµένως A Γ

T T= άρα ΓΑ

∆U 0= .

Από 1ο νόµο Θ.∆.:

0ΓΑ ΓΑ ΓΑ ΓΑ 0

3ΡQ W ∆U W εµβαδόν τραπεζίου V 18J

2= + = = = − ⋅ = −

γ. η απόδοση του παραπάνω κύκλου είναι: ολ

προσφ

W 6Je 0,1 10%

Q 60J= = = = και η

απόδοση του κύκλου Carnot είναι:


µε θερµοκρασία ψυχρής δεξαµενής 0 0C A Γ

2P VT T T

n R

⋅= = =

⋅ και

µε θερµοκρασία θερµής δεξαµενής 0 0h B

4P VT T

n R

⋅= =

⋅

0 0

CC

0 0h

2P VT 1 1n Re 1 1 1 50%

4P VT 2 2n R

⋅⋅= − = − = − = =⋅⋅

.

9. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου φέρεται από την κατάσταση θερµοδυ-

ναµικής ισορροπίας Α ( 0 0P ,V ) στην κατάσταση θερµοδυναµικής ισορ-

ροπίας Β ( 0 0P / 2, 4V ) µε δύο τρόπους.

Ι. Με αντιστρεπτή ισοβαρή εκτόνωση στην ενδιάµεση κατάσταση θερ-

µοδυναµικής ισορροπίας Γ ( 0 0P , 2V ) και κατόπιν µε µια αντιστρεπτή

ισόθερµη εκτόνωση στην κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας

Β ( 0 0P / 2, 4V ).

ΙΙ. Με αντιστρεπτή ισόχωρη ψύξη στην ενδιάµεση κατάσταση θερµο-

δυναµικής ισορροπίας ∆ ( 0 0P / 2,V ) και κατόπιν µε µια αντιστρεπτή

ισοβαρή εκτόνωση στην κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας Β

( 0 0P / 2, 4V ).

α. Να παρασταθούν γραφικά οι µεταβολές σε άξονες πίεσης - όγκου.

β. Να συγκριθεί το ποσό θερµότητας που ανταλλάσσει το αέριο µε

το περιβάλλον στους δύο τρόπους.

∆ίνεται: VC 3R / 2, ln2 0,7= = .

Λύση:

α.


β. Κατ’ αρχήν p V p p

3 5C C R C R R C R

2 2= + ⇒ = + ⇒ = ,

επίσης P ∆V n R ∆Τ⋅ = ⋅ ⋅ και ∆P V n R ∆T⋅ = ⋅ ⋅ .

Για την ισοβαρή εκτόνωση ΑΓ το ποσό της θερµότητας ΑΓ

Q που απορροφά


( )ΑΓ p 0 0 0 0

5 5 5Q n C ∆T n R ∆Τ P ∆V P 2V V

2 2 2= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = − =

0 0 0 0

5P V 2,5 P V

2= ⋅ = ⋅ ⋅

Για την ισόθερµη εκτόνωση ΓΒ το ποσό της θερµότητας ΑΓ



0BΓΒ ΓΒ Γ 0 0

Γ 0

4VVQ W n R T ln P 2V ln

V 2V= = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 0 0 0 02 ln 2 P V 1,4 P V= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

(Ισχύει Γ Γ Γ 0 0 Γ

P V n R T P 2V n R T⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ )

Τελικά ΑΓΒ ΑΓ ΓΒ ΑΓΒ 0 0 0 0 0 0

Q Q Q Q 2,5 P V 1,4 P V 3,9 P V= + ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Για την ισόχωρη ψύξη Α∆ το ποσό θερµότητας Α∆

Q που αποδίδει το αέριο

στο περιβάλλον είναι:

0Α∆ Α∆ V 0 0 0

P3 3 3Q ∆U n C ∆Τ n R ∆T ∆P V P V

2 2 2 2 = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = − =

00 0 0

P3 3V P V

2 2 4 = − ⋅ = − ⋅

Για την ισοβαρή εκτόνωση ∆Β το ποσό της θερµότητας ∆Β



( )0 0∆Β p 0 0

P P5 5 5Q n C ∆Τ n R ∆Τ ∆V 4V V

2 2 2 2 2= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ − =

00 0 0

P5 153V P V

2 2 4= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Τελικά Α∆Β Α∆ ∆Β Α∆Β 0 0 0 0 0 0

3 15Q Q Q Q P V P V 3 P V

4 4= + ⇒ = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Άρα ΑΓΒ Α∆Β

Q Q> .


10. 2

n molR

= ιδανικού αερίου βρίσκονται σε κατάσταση ισορροπίας

( )3A A AA P ,V 2m ,T 200K= = και υφίστανται τις διαδοχικές αντι-

στρεπτές µεταβολές που φαίνονται στην γραφική παράσταση πίεσης

- εσωτερικής ενέργειας. Αν B AV 2V= και V

3RC

2= ( R 8,314= στο S.I.)

α. Να βρείτε το είδος της κάθε µεταβολής.

β. Να κάνετε διάγραµµα P-V.

γ. Να υπολογίσετε το λόγο AB

BΓ

∆U

∆U.

δ. Bρείτε τη µέση κινητική ενέργεια των µο-

ρίων στην κατάσταση Β αν η αντίστοιχη

τιµή για την κατάσταση Α είναι

214,157 10 J−⋅ .

ε. Να υπολογίσετε το συντελεστή απόδοσης της θερµικής µηχανής

που δουλεύει µε αυτόν τον κύκλο.

∆ίνεται: n2 0,7= .

Λύση:

α. Η µεταβολή ΑΒ επειδή είναι κάθετη στον άξονα της πίεσης είναι ισοβαρής,

ενώ επειδή αυξάνεται η εσωτερική ενέργεια θα αυξάνεται η θερµοκρασία

και ο όγκος, δηλαδή είναι ισοβαρής εκτόνωση. Η µεταβολή ΒΓ είναι ισόχω-

ρη ψύξη γιατί η πίεση είναι ανάλογη της εσωτερικής ενέργειας U άρα και

της θερµοκρασίας. Η µεταβολή ΓΑ είναι ισόθερµη συµπίεση γιατί είναι κά-

θετη στον άξονα της εσωτερικής ενέργειας, άρα θερµοκρασία = σταθ.

β.


γ. ( )( )

V B AAB

BΓ V A B

nC T T∆U1

∆U nC T T

−= = −

−

δ. Καταστατική εξίσωση στο Α: 5 2A A A A

2R 200P V n R T P 2 10 N / m

R 2

⋅⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = = ⋅⋅

Ν. Gay-Lussac στην ισοβαρή ΑΒ: A B

BA B

V VT 400K

T T= ⇒ =

Ν. Charles στην ισόχωρη ΒΓ: 5 2Β Γ

Γ

Β Γ

Ρ ΡΡ 10 N /m

Τ Τ= ⇒ = .

B B

3K kT

2= , A A

3K kT

2= άρα

B 21BB

A A

TKK 8,314 10 J

TK−= ⇒ = ⋅

ε. c BΓ ΓΑ

h ΑB

Q Q Qe 1 1

Q Q

+= − = −

( )AB p B A

2 5Q nC T T R 200 1000J

R 2= − = ⋅ ⋅ =

( ) ( )BΓ V Γ Β

2 3Q nC T T R 200 400 600J

R 2= − = ⋅ ⋅ − = −

AΓΑ A

Γ

VQ nRT n 400 n2J 280J

V= = − = − . Άρα

880Je 1 0,12 ή 12%

1000J= − =

11. Ορισµένη ποσότητα ιδανικού αερίου εκ-

τελεί κυκλική αντιστρεπτή µεταβολή ΑΒ-

Γ∆Α. Η µεταβολή της πίεσης Ρ του αερίου

σε συνάρτηση µε την πυκνότητά του ρ φαί-

νεται στο παρακάτω διάγραµµα.

Για το αέριο δίνεται ο λόγος 5

γ3

= και ότι

2 1ρ 4ρ= .

α. Να παρασταθεί η κυκλική µεταβολή σε

διάγραµµα µε άξονες P-V (ποιοτικά)

β. Να αποδείξετε ότι: B ∆P 16P=


γ. Να αποδείξετε: ( ) ( )εν Β εν ∆υ 2υ=

δ. Να υπολογίσετε την απόδοση θερµικής µηχανής που λειτουργεί

µε τον παραπάνω κύκλο.

∆ίνεται: n2 0,7= .

Λύση:

α. Από το διάγραµµα που δίνεται φαίνεται ότι κατά τη µεταβολή ΑΒ η πυκνό-

τητα του αερίου παραµένει σταθερή. Είναι m

ρV

= και m σταθ.= οπότε προ-

κύπτει ότι και V σταθ.= δηλαδή η µεταβολή ΑΒ είναι ισόχωρη. Όµοια και η

µεταβολή Γ∆ είναι ισόχωρη. Στις µεταβολές ΒΓ και ∆Α παρατηρούµε ότι η

πίεση είναι ανάλογη της πυκνότητας. Από την καταστατική εξίσωση έχουµε

ότι:

ρ R TP V n R T P

M

⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = από όπου φαίνεται ότι η πίεση είναι ανάλογη

της πυκνότητας όταν η απόλυτη θερµοκρασία παραµένει σταθερή δηλαδή οι

µεταβολές ΒΓ και ∆Α είναι ισόθερµες. Έτσι το ζητούµενο διάγραµµα έχει τη

µορφή:

β. Από τον νόµο του Boyle για τις ισόθερµες µεταβολές ΒΓ και ∆Α έχω αντί-

στοιχα: ( )B 2 0 1P V P V 1⋅ = ⋅ και ( )∆ 1 0 2P V P V 2⋅ = ⋅ . Με διαίρεση κατά µέλη

των (1) και (2) προκύπτει: ( )2

Β 1

∆ 2

Ρ V3

Ρ V

=

.

Για την κατάσταση Β έχω 22

mρ

V= ενώ για την ∆ είναι 1

1

mρ

V= . Είναι

2 1 1 22 1

m mρ 4ρ 4 V 4V

V V= ⇒ = ⇒ = οπότε η (3) γίνεται: Β

B ∆

∆

Ρ16 P 16P

Ρ= ⇒ =


γ. Για την κατάσταση Α έχουµε ( ) ( )20 2 εν Α

1Ρ ρ υ 4

3= ⋅ και για την κατάσταση Γ

( ) ( )20 1 εν Γ

1Ρ ρ υ 5

3= ⋅ . Από τις σχέσεις (4) και (5) προκύπτει:

( ) ( )2 2

2 1εν A εν Γ

1 1ρ υ ρ υ

3 3⋅ = ⋅ ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )

2 2εν Γ εν A εν Γ εν Α

υ 4 υ υ 2 υ= ⋅ ⇒ = ⋅ .

Επειδή Γ Β 2

Τ Τ Τ= = και Α ∆ 1

Τ Τ Τ= = είναι ( ) ( )εν Γ εν Βυ υ= και ( ) ( )εν Α εν ∆

υ υ= .

Έτσι τελικά έχουµε: ( ) ( )εν Β εν ∆υ 2υ= .

δ. Ισχύει ( ) ( )εν Β εν ∆υ 2υ= από όπου έχουµε ( )2 1

2 1

3kT 3kT1 T 4T 6

m m= ⇒ = .

Είναι: ( )AB V 2 1 AB V 1Q n C T T Q 3n C T= ⋅ − ⇒ = ⋅ ⋅

1 2BΓ 2 1 1

2 2

V 4VQ n R T n 4nRT n 8nRT n2

V V = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

Οπότε h AB BΓ V 1 1Q Q Q 3nC T 8nRT n2= + = ⋅ + ⋅

Επίσης: ( )Γ∆ V 1 2 Γ∆ V 1Q nC T T Q 3nC T= − ⇒ = − ⋅

2 2∆Α 1 1 1

1 2

V VQ n R T n nRT n 2nRT n2

V 4V = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = − ⋅

Οπότε: C Γ∆ ∆Α V 1 1Q Q Q 3nC T 2nRT n2= + = − ⋅ − ⋅

Έτσι η απόδοση της µηχανής που λειτουργεί σε αυτό το κύκλο είναι:

C V 1 1 V

h V 1 1 V

Q 3nC T 2nR T n2 3C 2R n2e 1 1 1

Q 3nC T 8nR T n2 3C 8R n2

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅= − = − = −

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

Με 5

γ3

= προκύπτει ότι V

3C R

2= οπότε τελικά έχουµε:

33 R 2R n2 9 4 n2 12 n22e 1 1 0,42

3 9 16 n2 9 16 n23 R 8R n22

+ ⋅ + ⋅ ⋅= − = − = ≈+ ⋅ + ⋅+ ⋅

p V

V V

C C Rγ

C C

+= = =

V

R1

C+ ⇒

V

Rγ 1

C= − ⇒

VC 1

R γ 1= ⇒

−

V

R R 3C R

5γ 1 213

= = =− −

57.Βήµα 4ο Λύνουµε µόνοι µας

1. Ιδανικό αέριο, όταν εκτελεί τη µεταβολή

1 4 3→ → του σχήµατος, απορροφά από το πε-

ριβάλλον 143Q 100J= και παράγει έργο

143W 83,6J= . Πόσο έργο παράγει κατά τη µε-

ταβολή 1 2 3→ → , αν στην ίδια µεταβολή

123Q 110J= ;

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

2. Ορισµένη ποσότητα ιδανικού αερίου υφί-

σταται την αντιστρεπτή µεταβολή ΑΒ που

φαίνεται στο σχήµα. Να υπολογίσετε τη µε-

ταβολή της εσωτερικής του ενέργειας, το

έργο και τη θερµότητα που ανταλλάσσει το

αέριο µε το περιβάλλον του, σε συνάρτηση

των P και V.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

58. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

3. Κατά τη θέρµανση ιδανικού αερίου υπό σταθερή πίεση το ποσό θερµό-

τητας Q είναι ίσο µε τα 7/2 του παραγόµενου έργου W. Να υπολογιστεί

η αδιαβατική σταθερά γ του αερίου.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

4. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται στην κατάσταση

( )A A AA P , V , T και εκτελεί τις παρακάτω διαδοχικές µεταβολές:

ΑΒ: ισόθερµη εκτόνωση ώσπου B AV 4V= .

ΒΓ: αδιαβατική συµπίεση ώσπου Γ Α

T 4Τ= .

α. Να παραστήσετε γραφικά τις µεταβολές σε διάγραµµα: P V−β. Για κάθε µεταβολή να υπολογίσετε τα Q, ∆U και W.

∆ίνονται AP , AV και 5

γ3

= .

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................


............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

5. 2R

mol He που βρίσκονται σε κατάσταση ισορροπίας Α, καταλαµβά-

νουν όγκο AV , υπό πίεση AP 2atm= και θερµοκρασία AT 300K= . Το

αέριο συµπιέζεται αντιστρεπτά υπό σταθερή θερµοκρασία, ώσπου να

τετραπλασιαστεί η πίεσή του. Αν R 8,314= (S.I.) ζητείται:

α. Να παρασταθεί η µεταβολή σε διάγραµµα P V− .

β. Να υπολογίσετε το έργο που παράγεται πάνω στο αέριο, καθώς και τη

µεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας, στην παραπάνω µεταβολή.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

6. 2

n75R

= mol ιδανικού αερίου, που βρίσκονται σε κατάσταση ισορρο-

πίας Α, καταλαµβάνουν όγκο AV 16L= , υπό πίεση AP 0,5atm= και θερ-

µοκρασία AT . Με αδιαβατική συµπίεση ΑΒ, το αέριο αποκτά όγκο

BV 2L= .

α. Να υπολογίσετε την αρχική θερµοκρασία του αερίου.

β. Να υπολογίσετε την τελική πίεση και θερµοκρασία του αερίου.

γ. Να παρασταθεί η µεταβολή σε διάγραµµα P V− .


δ. Να υπολογίσετε τη µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου

στη διαδικασία ΑΒ.

∆ίνεται: 5

γ3

= και R 8,314= (στο S.I.)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

7. Ιδανικό αέριο που καταλαµβάνει όγκο 1V 10L= , εκτονώνεται ισόθερ-

µα µέχρι να υποδιπλασιαστεί η πίεσή του. Στη συνέχεια συµπιέζεται

ισοβαρώς, απορροφώντας το µισό από το έργο που απέδωσε στην ισό-

θερµη εκτόνωση. Να υπολογιστεί ο τελικός όγκος του αερίου.

∆ίνεται: n2 0,7 .

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

8. Ιδανικό αέριο βρίσκεται στους δύο χώρους του

θερµικά µονωµένου δοχείου του σχήµατος, που

χωρίζονται µε λεπτό µονωτικό διάφραγµα. Στον


πρώτο χώρο περιέχονται 4Ν µόρια του αερίου σε πίεση Ρ, όγκο 2V και

θερµοκρασία 1T , ενώ στο δεύτερο χώρο Ν µόρια του αερίου σε πίεση

4Ρ και όγκο V. Nα βρεθεί η θερµοκρασία και η πίεση στο δοχείο όταν

ανασύρουµε το διάφραγµα.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

9. 3R

mol ιδανικού αερίου εκτελούν τη µε-

ταβολή που παριστάνεται στο ακόλου-

θο διάγραµµα.

α. Να γίνει P T− διάγραµµα της παρα-

πάνω κυκλικής µεταβολής.

β. Να υπολογιστούν οι τιµές των P, V

και Τ για κάθε κατάσταση ισορρο-

πίας, αν AP 1atm= και 3AV 0,2m=

γ. Να υπολογιστούν το συνολικό έργο που παράγεται σε ένα κύκλο,

καθώς και η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας στη µεταβολή

Β Γ ∆→ → . ∆ίνονται: R 8,314= (στο S.I.) και τα P, V.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................


10. Ιδανικό µονατοµικό αέριο βρίσκεται σε κατάσταση θερµοδυναµικής

ισορροπίας Α µε όγκο Α

V και πίεση 6Α 2

ΝΡ 10

m= . Από την κατάσταση

Α, υποβάλλεται διαδοχικά στις παρακάτω αντιστρεπτές µεταβολές:

α. Ισοβαρή εκτόνωση µέχρι την κατάσταση θερµοδυναµικής ισορ-

ροπίας Β µε όγκο B AV 4V= , κατά την οποία το αέριο παράγει έργο

3A BW 3 10 J→ = ⋅ .

β. Αδιαβατική εκτόνωση µέχρι την κατάσταση θερµοδυναµικής ι-

σορροπίας Γ µε όγκο Γ

V και πίεση Γ

Ρ .

γ. Ισόθερµη συµπίεση µέχρι την αρχική κατάσταση Α.

Ζητείται:

Α. Να παραστήσετε (ποιοτικά) τις παραπάνω µεταβολές σε διάγραµ-

µα πίεσης - όγκου ( P V− ).

Β. Να υπολογίσετε την τιµή του όγκου Α

V .

Γ. Να υπολογίσετε την τιµή του λόγου ενΒ ενΓ

υ / υ όπου ενΒ

υ και ενΓ

υ οι

ενεργές ταχύτητες των ατόµων του αερίου στις καταστάσεις Β και Γ

αντίστοιχα.

∆. Να υπολογίσετε το ποσό θερµότητας που αποδίδεται από το αέριο

στο περιβάλλον κατά την ισόθερµη συµπίεση Γ Α→ , όταν ο συ-

ντελεστής απόδοσης θερµικής µηχανής που λειτουργεί διαγράφο-

ντας τον παραπάνω κύκλο είναι e 0,538= .

∆ίνονται: p

5C R

2= και V

3C R

2= .

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

11. Oι θερµικές µηχανές του σχήµατος έχουν συντελεστές απόδοσης 1e

και 2e αντίστοιχα. Ποιος είναι ο συντελεστής απόδοσης του συστή-

µατος των δύο µηχανών;


...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

12. Μια ιδανική θερµική µηχανή λειτουρ-

γεί σύµφωνα µε τον κύκλο του σχήµα-

τος, χρησιµοποιώντας ως µέσο ένα ι-

δανικό αέριο. Ο κύκλος αποτελείται από

µια ισόθερµη εκτόνωση ΑΒ σε θερµο-

κρασία 1T 600K= µέχρι διπλασιασµού

του όγκου του αερίου, µια ισοβαρή συ-

µπίεση ΒΓ µέχρι τον αρχικό όγκο του

αερίου και µια ισόχωρη θέρµανση ΓΑ µέχρι την αρχική κατάσταση

του αερίου. Να υπολογίσετε την απόδοση του κύκλου.

∆ίνεται: n2 0,7= και 5

γ3

= .

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

13. Ιδανικό αέριο υποβάλλεται στις εξής αντιστρεπτές µεταβολές.

ΑΒ: ισοβαρή ψύξη µέχρι AB

TT

4=


ΒΓ: αδιαβατική συµπίεση µέχρι Γ Α

T Τ=ΓΑ: ισόθερµη εκτόνωση

α. Να παρασταθεί η κυκλική µεταβολή σε διάγραµµα P V− .

β. Να υπολογιστεί ο συντελεστής απόδοσης αν V

3C R

2= , n2 0,7= .

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

14. Ορισµένη ποσότητα ιδανικού µονοατοµικού αερίου βρίσκεται σε

κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας Α σε θερµοκρασία

AT 400K= , πίεση 5 2AP 4 10 N / m= ⋅ και όγκο 3 3

AV 10 m−= . Από την

κατάσταση αυτή το αέριο υποβάλλεται στις παρακάτω διαδοχικές

µεταβολές:

α. ισοβαρή θέρµανση ΑΒ, µέχρι την κατάσταση θερµοδυναµικής

ισορροπίας Β µε όγκο 3 3BV 2 10 m−= ⋅

β. αδιαβατική ψύξη ΒΓ, µέχρι την κατάσταση θερµοδυναµικής

ισορροπίας Γ µε όγκο 3 3Γ

V 3,2 10 m−= ⋅ και πίεση 5 2Γ

P 10 N / m= .

Α. Να παρασταθούν γραφικά (ποιοτικά) οι παραπάνω µεταβολές σε

διάγραµµα P V− .

Β. Να υπολογιστεί η θερµοκρασία του αερίου στην κατάσταση Β.

Γ. Να υπολογιστεί το παραγόµενο έργο κατά την ισοβαρή µεταβολή

ΑΒ.

∆. Να υπολογιστεί η συνολική µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας

του αερίου.

∆ίνονται: 5

γ3

= και V3

C R2

= .

...........................................................................................................................

.........................................................................................................................

.........................................................................................................................


.........................................................................................................................

.........................................................................................................................

.........................................................................................................................

.........................................................................................................................

15. Ιδανικό µονοατοµικό αέριο εκτελεί κυκλική θερµοδυναµική µεταβο-

λή που αποτελείται από τις εξής αντιστρεπτές µεταβολές:

α. από την κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας 1, µε5 2

1P 3 10 N / m= ⋅ και 3 31V 4 10 m−= ⋅ εκτονώνεται ισοβαρώς στην

κατάσταση 2, µε 2 1V 3V= ,

β. από την κατάσταση 2 ψύχεται ισόχωρα στην κατάσταση 3 και,

γ. από την κατάσταση 3 συµπιέζεται ισόθερµα στην θερµοκρασία 1T ,

στην αρχική κατάσταση 1.

Αν η ποσότητα του αερίου είναι 3

n molR

= , όπου R είναι η παγκό-

σµια σταθερά των ιδανικών αερίων σε ( )J / mol K⋅ , ζητείται:

Α. Να παρασταθούν γραφικά οι παραπάνω µεταβολές σε διάγραµµα

πίεσης - όγκου ( )P V− .

Β. Να βρεθεί ο λόγος 1 2

2 3

∆U

∆U

→

→

της µεταβολής της εσωτερικής ενέρ-

γειας του αερίου κατά την ισοβαρή εκτόνωση προς τη µεταβολή

της εσωτερικής του ενέργειας κατά την ισόχωρη ψύξη.

Γ. Να βρεθεί ο συντελεστής απόδοσης ιδανικής µηχανής Carnot που

θα λειτουργούσε µεταξύ των ίδιων ακραίων θερµοκρασιών της

παραπάνω κυκλικής µεταβολής.

∆. Να βρεθεί το ολικό ποσό θερµότητας που ανταλλάσσει το αέριο µε

το περιβάλλον κατά τη διάρκεια µιας τέτοιας κυκλικής µεταβο-

λής, αν το ποσό του έργου κατά την ισόθερµη συµπίεση του αερ-

ίου 3 1W 1318Joule→ = − .

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

66. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5ο

Θέµα 1ο

Α.1. Κατά την ισοβαρή εκτόνωση αερίου για το οποίο 5

γ3

= απορροφάται από

το περιβάλλον θερµότητα Q 10J= . Το έργο (W) και η µεταβολή της εσω-

τερικής ενέργειας (∆U) είναι:

α. W 6J= , ∆U 4J= ,

β. W 4J= , ∆U 6J= ,

γ. W 8J= , ∆U 2J= ,

δ. W 5J= , ∆U 5J= .

2. Σε ποια µεταβολή στην οποία το αέριο εκτονώνεται έχουµε ψύξη:

α. ισόθερµη

β. αδιαβατική

γ. ισοβαρής

δ. ισόχωρη.

3. Μια άλλη µορφή της καταστατικής εξίσωσης ιδανικού αερίου είναι:

α. 2P V 3U⋅ =β. 3P V 2U⋅ =γ. P V U⋅ =δ. P V 3U⋅ =

4. Αν µία θερµική µηχανή έχει απόδοση ίση µε το 50% της απόδοσης µιας

µηχανής Carnot που λειτουργεί µεταξύ των ίδιων θερµοκρασιών, και µε

1e

4= ( της µηχανής) ποιός ο λόγος των θερµοκρασιών µεταξύ των οποί-

ων λειτουργούν οι µηχανές:

α. c

h

T1

T= β. c

h

T 1

T 4= γ. c

h

T 1

T 2= δ. c

h

T 1

T 3=

67.Βήµα 5ο Ελέγχουµε τη γνώση µας

5. Να αντιστοιχίσετε τις αντιστρεπτές µεταβολές ενός ιδανικού αερίου της

στήλης Α µε τις σχέσεις της στήλης Β.

(Μονάδες 25)

Θέµα 20

α. Να αποδειχτεί η σχέση P VC C R= + , όπως επίσης P

5C R

2= , V

3C R

2= και

5γ

3= για ιδανικό µονοατοµικό αέριο.

β. Αποδείξτε ότι στον κύκλο Carnot ίσα ποσά θερµότη-

τας µπορεί να παράγουν το ίδιο ή διαφορετικό µη-

χανικό έργο.

γ. Να παρασταθεί ο κύκλος σε διάγραµµα P V− , V T− .

(Μονάδες 25)

Θέµα 30

∆ίνεται η παρακάτω κυκλική µεταβολή που εκτελεί ιδανικό αέριο.

ΑΒ: ισόχωρη θέρµανση

ΒΓ: εκτόνωση

ΓΑ: ισοβαρής ψύξη

Αν ΑΒΓΑ

W 300J= και ΓΑ

W 200J= − . Να βρείτε:

Α Β

α. Ισόχωρη 1. ∆U W= −

β. Ισοβαρής 2. Q ∆U W= +

γ. Αδιαβατική 3. Q ∆U=

δ. Κυκλική 4. Q W=ε. Τυχαία

68. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5ο

α. τη θερµότητα ABQ β. το έργο

ΒΓW γ. το λόγο AB

ΓA

∆U

∆U.

(Μονάδες 25)

Θέµα 40

Μια ποσότητα ιδανικού αερίου ( )5 3 32A A

NP 4 10 ,V 5 10 mm

−= ⋅ = ⋅ πραγµατοποιεί

µια κυκλική µεταβολή που αποτελείται από τις παρακάτω επιµέρους αντιστρεπτές

µεταβολές:

ΑΒ: ισόχωρη θέρµανση ( )B AP 2P=ΒΓ: ισόθερµη εκτόνωση

ΓΑ: ισοβαρής ψύξη.

∆ίνονται: n2 0,7= και 5

γ3

=

α. Να αποδοθεί η κυκλική µεταβολή σε διάγραµµα P-V.

β. Να βρεθούν η πίεση, ο όγκος και η εσωτερική ενέργεια του αερίου σε καθε-

µία από τις καταστάσεις ισορροπίας Α, Β, Γ.

γ. Να υπολογιστεί η ενέργεια που ανταλλάσει το αέριο µε το περιβάλλον του

σε κάθε µεταβολή.

δ. Να υπολογιστεί η απόδοση του κύκλου.

(Μονάδες 25)

Φυσική Κατεύθυνσης Β' Λυκείου - 2

Documents

Transcript of Φυσική Κατεύθυνσης Β' Λυκείου - 2