Φυσική Γ Λυκείου - Τεύχος Α

ΚΕ:ΦΑΛΑΙΟ 1°

Απλή αρμονική ταλάντωση

(κινηματική προσέγγιση)

.ι Περιοδικά Φαινόμενα Ονομάζονται τα φαινόμενα που επαναλαμβάνονται κατά τον ίδιο τρόπο σε ίσα χρο

νικά διαστήματα .

.ι Περίοδος (Τ) Είναι το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να ολοκληρωθεί ένα περιοδικό φαι

νόμενο. Η περίοδος έχει μονάδα μέτρησης το 1 s .

.ι Συχνότητα (f) Είναι ο αριθμός των επαναλήψεων του φαινομένου στη μονάδα του χρόνου. Η συχνό

τητα έχει μονάδα μέτρησης το 1 ΗΖ. Αν σε χρόνο t γίνονται Ν επαναλήψεις του φαινομένου, τότε ισχύουν:

t T= ~

Ν

Ν και f = ~

t

Όταν t = Τ, τότε είναι Ν = 1, οπότε προκύπτει η σχέση

I=~ Τ

Περιοδική κίvηση με συχvόΤηΤα 10 ΗΖ σημαίvει ότι σε 1 s επαvαλαμβάvΕΤαι 10

φορές και η περίοδός της είvαι 0,1 s (τ = Ί = 110 s = 0,1 s).

:-, 9

.ι Η γωνιακή συχνότητα (ω) Είναι χαρακτηριστική ποσότητα ενός περιοδικού φαινομένου και δίνεται από τη

σχέση

με μονάδα μέτρησης το 1 rαdj s .

.ι Ταλάντωση

2π ω= - = 2π!

Τ

Ονομάζεται κάθε περιοδική παλινδρομική κίνηση.

.ι Γραμμική ταλάντωση Ι \

Ονομάζεται κάθε ταλάντωση που γίνεται σε ευθεία τροχιά .

.ι Απλή αρμονική ταλάντωση Ονομάζεται κάθε γραμμική ταλάντωση στην οποία

η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορρο

πίας του είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου (η

μιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου), δηλαδή δίνε

ται από τη σχέση

χ = Αημωt

.ι Το πλάτος (Α)

Θ~ t=O : , -Α ! +Α !

Ρ , ! , · . ...... ο-----.-χ ~--. ..... ,! Ρ 11 --+,

' ..... -...... ,-----0 .... --0 ·"

Πλάτος (Α) σε μια απλή αρμονική ταλάντωση είναι η μέγιστη απομάκρυνση , δη

λαδή η μέγιστη απόσταση από τη θέση ισορροπίας στην οποία φτάνει το κινητό ,

.ι Η ταχύτητα (υ) Η ταχύτητα (υ) του σώματος που κάνει απλή

αρμονική ταλάντωση δίνεται κάθε στιγμή

από τη σχέση

υ = υmaχσυνωt , όπου V max = ωΑ

10 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓιΣΗ)

.ι Η επιτάχυνση (ο:)

Η επιτάχυνση (ο:) του σώμα

τος που κάνει απλή αρμονι

κή ταλάντωση δίνεται κάθε

στιγμή από τη σχέση

ο: = - O:max ημωt, όπου

-Α "

+Α :

,Χ<Ο i Χ>ο α α

. ==::> :-----+ <::== :

Ρ' :,- --- --0-- ------.---- -- ----e-- --', Ρ r-------/L-- -e-- - - - -- ---φ---- -- ---8- - --Δ""'--------, ακραία θέση => : <= ακραία θέση ταλάντωσης α : α ταλάντωσης

v =O, χ=-Α Ι Θ.!. Ι v =O, x =+A α=+αmax=ω:-tχ=ο,α=ο α=-αmax=-ω:-t

Οι σχέσεις χ = Αημωt , υ = ωΑσυνωt και ο: = - ω2 Αημωt ισχύουν σε κάθε απλή αρμονική ταλάντωση, με π/ν προϋπόθεση ότι τη χρονική σΤιγμή μηδέν

(t = Ο) το κινψό διέρχεΤαι από τη θέση ισορροπίας και κινείται κοτά τη θεΤική φορά .

Αν τη χρονική στιγμή t = Ο το κινητό περνά από κάποιο άλλο σημείο που βρίσκε

ται σε απόσταση d από τη θέση ισορροπίας, τότε για την απομάκρυνση, την ταχύ

τητα και την επιτάχυνσή του ισχύουν αντίστοιχα οι σχέσεις :

χ = Αημ(ωt + Φο),

υ = ωΑσυν(ωt + Φο) και

ο: = - ω2 Αημ(ωt + Φο)

Η γωνία Φο ονομάζεται αρχική φάση και βρίσκεται λαμβάνοντας υπόψη ότι για

t = Ο είναι χ = d, οπότε από τη σχέση χ = Αημ(ωt + Φο) παίρνουμε: , d η ημφο = Α

Η γωνία Φ = ωt + Φο ονομάζεται φάση της ταλάντωσης.

11

1.1 Απομάκρυνση χ στην απλή αρμονική ταλάντωση.

Όταν ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, η απομά

κρυνσή του χ από τη θέση ισορροπίας του Ο δίνεται κάθε ΧΡΟ

νική στιγμή από τη σχέση

χ = Αημωt

ή, γενικά, από τη σχέση

χ = Αημ(ωt + Φο)

όπου Α η μέγιστη απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορ

ροπίας του, δηλαδή το πλάτος της ταλάντωσης, και ω η γωνιακή

συχνότητα, η οποία δίνεται από τη σχέση

2π ω=-

Τ ω = 2π! ή

Έτσι, η εξίσωση της απομάκρυνσης χ του σώματος από τη θέση

ισορροπίας Ο γράφεται και με τη μορφή

χ = Αημ(2πjt) ή χ = Αημ( ~ . t)

με την προϋπόθεση ότι τη χρονική στιγμή t = Ο το σώμα βρί

σκεται στη θέση χ = Ο και κινείται κατά τη θετική φορά.

Το πρόσημο της απομάκρυνσης χ είναι ίδιο με το πρόσημο

της τιμής του ημιτόνου της εξίσωσης χ = Αημωt (ή της εξίσω

σης χ = Αημ(ωt + Φο)) .

χ

+Α

0,0 If---<>---~--o----p--

-Α

Από τη σχέση χ = Αημωt προκύπτει ότι, αφού το ημωt παίρ

νει τιμές μεταξύ του -1 και του + 1, η απομάκρυνση χ θα παίρνει

τιμές μεταξύ του - Α και του + Α. Όταν είναι ημωt = ± 1, τότε χ = ± Α (ακραίες θέσεις ταλάντωσης) .


Ι Χ =Αημωt Ι

i Χ : i, -A ~ +A

b~ .. ~. . . "' '':;''--'o----~ -- --e--'--.-

Θ.Ι i i

ό Θ t=O t

Η απομάκρυνση χ είναι η

μετατόπιση του σώματος

από τη Θέση ισορροπίας του

τη χρονική στιγμή t.

0,0

1.2 Αρχική φάση Φο μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης.

fτi,MOII#E8:Ι

Όταν ένα σώμα, το οποίο κάνε]. απλή αρμονική ταλάντωση, τη

χρονική στιγμή t = Ο βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του, Χ = Ο,

κινούμενο κατά τη θετική φορά, λέμε ότι η ταλάντωση δεν έχει

αρχική φάση (φα = Ο) και η απομάκρυνση δίνεται από τη σχέση

Χ = Αημωt

Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις η ταλάντωση έχει αρχική φά

ση φα και η απομάκρυνση δίνεται από τη σχέση

Χ = Αημ(ωt + φα)

Αρχική φάση φα είναι λοιπόν η φάση της ταλάντ-ωσης τη χρο

νική στιγμή t = Ο .

Η αρχική φάση παίρνει τιμές μεταξύ του Ο και του 2π rαd, δη

λαδή ισχύει

ο::; φα < 2π

1.3 Φάση Φ στην απλή αρμονική ταλάντωση.

Φάση φ OTr)V απλή αρμοvική ταλάvτωση οvομάζοuμε Tr)V ποσό

ΤηΤα ωt (ή γεvικά ωt + φα), δηλαδή τη γωvία που το ημίτοvό της πολλαπλασιοζόμεvο με το πλάτος Α της ταλάvτωσης μας δίvει

TΗV απομάκρuvση Χ του σώματος από τη Θέση ισορροπίας τη

XPOVLKr] σΤιγμή t.

φ = ωt ή φ = ωt + φα

Έτσι, για μια απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση

(Χ = Αημωt), τη χρονική στιγμή t = Ο η φάση είναι φ = ωt = Ο, ενώ τη χρονική στιγμή t = 2Τ είναι φ=ω · 2Τ= 2,; ·2T=4Krαd.

Από τη σχέση φ = ωt παρατηρούμε ότι η φάση φ είναι ανά

λογη του χρόνου t , κατά συνέπεια η γραφική παράσταση της συνάρτησης φ = f(t) θα είναι ευθεία γραμμή , όπως βλέπουμε

στο σχήμα.

13

1.4 Ταχύτητα ενός σώματος το οποίο κάνει απλή αρμονική ταλάντωση.

P·m''':fj#1

i -Α . 6 t=O

+Α : Ι . '

+υΠ1~;o.; =ωA

Η ταχύτητα του σώματος, δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής

της απομάκρυνσής του με τον χρόνο ( 1~ ), σε μια απλή αρμονική ταλάντωση δεν είναι σταθερή , αλλά

μεταβάλλεται με τον χρόνο σύμφωνα με τη σχέση : - ~ - i p,!,--e-----o-----.--------.---e ,: Ρ V = vmaχσυνωt A'o-- - --- o------ -.----e--- --o-,'~

~ - ........ - ~ - υln,lx ~-ωA όπου V max η μέγιστη τιμή της ταχύτητας (πλάτος της ταχύτητας). Ισχύει

V max = ωΑ ή 2π

V max = 2π f Α = Τ . Α

Όταν χ = Αημ(ωt + Φο), δηλαδή όταν η ταλάντωση έχει αρχική φάση, τότε η εξίσωση της ταχύτητας έχει τη μορφή

V = vmaχσυν(ωt + Φο)

ΔιαΦορά Φάσης μεταξύ ταχύτητας και απομάκρυνσης

Η σχέση V = vmaχσυνωt γράφεται:

V = V max ημ ( ωt + ; )

Συγκρίνοντάς τη με την εξίσωση της απομάκρυνσης:

χ = Αημωt

παρατηρούμε ότι η φάση της ταχύτητας (ωt + ; ) προηγείται της φάσης της απομάκρυνσης (ωt) κατά ; , δηλαδή μεταξύ της τα

χύτητας και της απομάκρυνσης υπάρχει διαφορά φάσης ; rad.

Διαφορά φάσης μεταξύ δύο μεγεθώv σημαίvει ότι τα μεγέθη αυτά

δεv παίρvουv ταυτόχροvα τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή τους, σε

αvτίθεση με τα μεγέθη που είvαι συμφασικά (έχουv την ίδια φάση).

14 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΚIΝΗΜΑΤιΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓιΣΗ)

! Θ.' ι.!

χ

+Α

0,0

-Α

υ

Η φάση της ταχύτητας υ πρorrιείται της

φάσης της απομάκρυνσης χ κατά π!2.

Θ t=O '

~ b-.------- - --O- -- - --i-.~

'·- - --- -~--- I-- ~~~:~t

• -Α .

1.5 Η σχέση υ = ±ωΥΙ Α 2 - χ2 συνδέει την ταχύτητα υ με την

απομάκρυνση χ του σώματος στην απλή αρμονική ταλάντωση.

μ,Μ,ΙilΕθ:Ι

Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση οι τιμές

της απομάκρυνσης και της ταχύτητας του σώματος δίνονται κά

θε χρονική στιγμή t από τις σχέσεις :

χ = Αημωt και υ = υmaχσυνωt

Αν υψώσουμε τις σχέσεις αυτές στο τετράγωνο, παίρνουμε:

χ2 2

ημ ωt = Α2 (1)

2 2 2 t ' υ = υmaχσυν ω η

υ2

συν2ωt = -2-V max

και

(2)

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε:

+Α : .'

2 2 χ2 υ2

ημ ωt + συν ωt = Α2 + -2 - ή V max

Αλλά ισχύει V max = ωΑ, οπότε η τελευ

ταία σχέση γράφεται:

: v>O v J +Vmi>' υ>Ο i : - ....... - :

ρ' ι---- --e--------.------ - ---e -- --, : ρ ~-~7l\--- -.----------.--------.--- - - '~'------ακραία θέση __ ..,;.- __ ακραία θέση

ταλάντωσης υ < Ο [U = -V ,11ax υ < Ο ταλάντωσης

υ = Ο, Χ=-Α ΙΘ:Ι.Ι υ=Ο, Χ=+Α Χ=Ο

υ = ±ων' Α 2 - χ2

• Όταν χ = Ο (θέση ισορροπίας), τότε υ = ±ωΑ = ±Vmax (το

πρόσημο εξαρτάται από τη φορά της κίνησης) .

• Όταν χ = ± Α, τότε υ = Ο (στις ακραίες θέσεις ταλάντωσης η ταχύτητα είναι μηδέν).

15

1.6 Επιτάχυνση ενός σώματος το οποίο κάνει απλή αρμονική ταλάντωση.

biιtΜ"#Fa:ι

Σχέση της επιτάχυνσης σ με την απομάκρυνση .Ι:

Η επιτάχυνση του σώματος κάθε χρονική στιγμή (στιγμιαία

επιτάχυνση) είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας με τον

χρόνο ( 1~ ) και η τιμή της όταν το σώμα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση δίνεται από τη σχέση

CI: = - Cl:lllax ημωt

όπου Cl:lllax η μέγιστη τιμή της επιτάχυνσης (πλάτος επιτάχυν

σης) .

Ισχύει

οπότε η εξίσωση της επιτάχυνσης γράφεται:

Cl:lllax = - ω2 Αημωt

και επειδή Αημωt = Χ, έχουμε τελικά :

σχέση που μας δίνει την επιτάχυνση CI: του σώματος όταν γνω

ρίζουμε την απομάκρυνσή του Χ από τη θέση ισορροπίας του.

ό t=O

-Α +Α , ! : : χ<Ο : χ>Ο . : α _ α:

i ==> ~<:= i Ρ ' .,------8 --- ---- -.-- ---- ---0-- ---,: ρ

,--------/L- --o----- - - ---.------- -.---~~-___, ακραία θέση ==:> : <:== ακραία θέση ταλάντωσης α : α ταλάντωσης

1) =0, χ=-Α Ι Θ: 1. Ι 1) = 0, χ = +Α α=+αmax=ω~χ=ο,α=ο α=-αmax= -ω~

Η σχέση CI: = - ω2χ μας δείχνει ότι στην απλή αρμονική τα- . λάντωση η επιτάχυνση CI: έχει πάντοτε πρόσημο αντίΘετο από

αυτό της απομάκρυνσης χ .

16 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓι ΣΗ)

Η απομάκρuvση χ είvaι διάvu

σμα με φορά προς τις ακραίες

θέσεις, εvώ η επιτάχuvση α

είvaι διάvuσμα με φορά προς

τη θέση ισορροπίας.

χ

χ

+Α

0,0 ~-<r--'!;r----o---_

-Α

α

χ

Γ

χ'

_~ .. ό , ,

t

\ Μο <!J t=O

ΔιαΦορά Φάσης μεταξύ επιτάχυνσης και απομάκρυνσης

Η σχέση

α = - IYmax ημωt = - ω2 Αημωt

επειδή ημ(ωt + π) = - ημωt , γράφεται:

α = ω2 Αημ(ωt + π)

Αν τη συγκρίνουμε με τη σχέση χ = Αημωt, παρατηρούμε ότι η

φάση της επιτάχυνσης (Φ = ωt + π) προηγείται της φάσης της απομάκρυνσης (Φ = ωt) κατά π rαd.

1.7 (Κύκλος και απλή αρμονική ταλάντωση) Να αποδείξετε ότι όταν ένα σώμα κάνει ομαλή κυκλική κίνη

ση, τότε η κίνηση της προβολής του πάνω σε μια διάμετρο της

κυκλικής τροχιάς του είναι απλή αρμονική ταλάντωση.

'4,MWiOfS#l Θεωρούμε ένα σώμα που κάνει ομαλή κυκλική κίνηση με περίο

δο Τ, όπως στο σχήμα. Έστω ότι τη χρονική στιγμή t = Ο το

σώμα βρίσκεται στη θέση Μο και μετά από χρόνο t βρίσκεται στη θέση Μ.

Επειδή ω = f ' θα έχουμε :

Φ = ωt

Τη χρονική στιγμή t η απομάκρυνση της προβολής Γ του σώματος πάνω στη διάμετρο χχ' από το κέντρο Ο του κύκλου

είναι

(οη = (ΟΜ)ημΦ ή (οη = (ΟΜ)ημωt

Η μέγιστη τιμή της απομάκρυνσης (οη είναι η ακτίνα του κύ

κλου, δηλαδή Α = R = (ΟΜ) , οπότε κάθε χρονική στιγμή t ι

σχύει

χ = Αημωt

Η σχέση αυτή μας δείχνει ότι όταν ένα σώμα κάνει ομαλή κυκλι

κή κίνηση, τότε η κίνηση της προβολής του πάνω σε μια διάμετρο

της κυκλικής τροχιάς του είναι απλή αρμονική ταλάντωση.

17

1.8 Η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας ενός σώματος που κάνει απλή αρμονική ταλάντωση δίνεται σε συνάρτηση με

τον χρόνο από τη σχέση Χ = 10ημ( ~ . t) (Χ σε cm και t σε s).

Να βρείτε:

ί) το πλάτος Α και τη συχνότητα J της απλής αρμονικής ταλάντωσης,

ii) την απομάκρυνση Xl και την ταχύτητα υι του σώματος τη χρονική στιγμή tl = 1 Β .

tji·M§"#fj#l ί) Η γενική μορφή της εξίσωσης της απομάκρυνσης του σώμα

τος από τη θέση ισορροπίας σε μια απλή αρμονική ταλάντω

ση είναι

Χ = Αημ(ωt + Φο)

Συγκρινόμενη με τη σχέση Χ = 10ημ ( ~ . t), δίνει για τη συγκεκριμένη απλή αρμονική ταλάντωση Α = 10 cm , ω = = ~ rαd/ S και Φο = Ο (ταλάντωση χωρίς αρχική φάση) . Αλλά

ισχύει ω = 2πΙ, οπότε έχουμε: π

2π! =- ή 4

1 J =- Hz

8

ίί) Τη χρονική στιγμή t 1 = 1 S η απομάκρυνση του

σώματος από τη θέση ισορροπίας θα είναι Θ ό ~ t=o t=T/~

Χ 1 = 10ημ ( : . t1 ) ή Χ1 = 10ημ ( : . 1) ή : -Α +Α ,: :- Χι :

V'2 Χ 1 = 10 . -2- cm = 5V'2 cm

Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση όπου η απομά

κρυνση από τη θέση ισορροπίας δίνεται από τη

σχέση Χ = Αημωt η ταχύτητα δίνεται κάθε χρονική

στιγμή από τη σχέση

V = vmaχσυνωt ή v = ωΑσυνωt

Στην περίπτωσή μας η σχέση αυτή γίνεται :


Ρ ,:,------- ---- -- ----~- --- ----- -~~:-,i ρ ακραία θέση

ταλάντωσης

v=O. x=+A

6 t=o

υ=: .10συν(: .t) ή υ= 52π συν(: .t) Τη χρονική στιγμή t 1 = 1 s θα έχουμε:

5π (Π ) υΙ =2συν 4·1 , 5π V2 η υ) = 2 . -2- cmj s ή

5πV2 υ) =-4- cmjs

Ι .9 Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση

χ = 10ημ (2; . t) (το χ σε m και το t σε s)

σε ποιες χρονικές στιγμές η απομάκρυνση του σώματος από τη

θέση ισορροπίας του θα είναι χ = + 5 m;

fj.i ,ψ ο .. #Ε8:Ι

Η σχέση χ = 10ημ (23Π . t) για χ = + 5 m γράφεται:

ή

Η τριγωνομετρική αυτή εξίσωση έχει γενικές λύσεις :

και

2π π -. t = 2I'\,π+-

3 6 313

ή t = 21'\, . - + - . -262

όπου Ι'\, ακέραιος (Ι'\, = Ο, 1, 2, 3, . .. ).

ή

(1)

(2)

19

• Για κ, = Ο η (1) δίνει t1 = ~ 8 = 0,258, η οποία είναι η χρο

νική στιγμή που για πρώτη φορά περνά το σώμα από τη θέση

όπου χ = + 5m .

• Για κ, = Ο η (2) δίνει t2 = ~ 8 = 1,258, η οποία είναι η χρονι

κή στιγμή που για δεύτερη φορά περνά το σώμα από τη θέση

όπου χ = +5m.

1.1 Ο Για ένα σώμα που κάνει απλή αρμονική ταλάντωση, η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας δίνεται σε συνάρτηση

με τον χρόνο από τη σχέση χ = 2ημ ( ~ . t) (Χ σε cm και t σε 8). Να βρείτε:

ί) την απομάκρυνση Χ1, την ταχύτητα V 1 και την επιτάχυνση

α1 του σώματος τη χρονική στιγμή t1 = 58, iί) την ταχύτητα V 2 και την επιτάχυνση α2 του σώματος όταν

η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας είναι Χ2 = = +lcm.

fjt.μ§I':FS:Ι

ί) Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση για

την απομάκρυνση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σώ

ματος ισχύουν αντίστοιχα:

Χ = Αημωt

V = ωΑσυνωt

ο: = - ω2 Αημωt = -ω2χ

Στη συγκεκριμένη περίπτωση έχουμε Χ = 2ημ (; . t) με Χ σε cm και t σε 8, οπότε είναι

Α = 2cm π

και ω = 3 rad/8 ή 2π

Τ

Τη χρονική στιγμή t1 = 58 θα έχουμε:

Για την απομάκρυνση:

Χ1 = Αημωt1 = 2ημ ( ; . t1) ή

π

3 ή Τ = 68

Χ1 = 2ημ ( ; . 5) = 2ημ ( 2π - ; ) = 2ημ ( - ;) ή


π J3 χι = - 2ημ 3 = - 2 . -2- cm ή χι = - J3 cm

ό ό Για την ταχύτητα:

t=o t=T/4'

-Α χι .: :' +Α :

υι = ωΑσυνωtι = ; . 2συν( ; . t l ) ή

: α ι :

Ρ' ι '--- --.;:~J---.- -------Q-------, ! Ρ -------'< 9 ~-

2π (Π ) 2π ( π ) 2π π, υι = -;3 συν 3' 5 = -;3 συν 2π - 3 = -;3 συν 3 η

···········I~:il············ 2π 1

υι =-;3'2 cm/ s , π / η υι = 3 cm s

Για την επιτάχυνση:

Από τη σχέση ο: = - ω2 χ, που δίνει την επιτάχυνση συναρτήσει της απομάκρυνσης, παίρνουμε:

, π2 νΊ 2 η 0:1= - 9- cm/s

ίί) Τη χρονική στιγμή που το σώμα βρίσκεται στη θέση στην

οποία η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του είναι

Χ2 = + 1 cm θα έχει ταχύτητα V2. Η V2 υπολογίζεται από τη σχέση που συνδέει την ταχύτητα με την απομάκρt5vση -Ci~η~απλή αρμονική ταλάντωση:

V2 = ±ωVΑ2 - x~ ή

V2=±;J22 -12cm/s ή v2 =±;J3cm/s

Το πρόσημο της ταχύτητας εξαρτάται από τη φορά της

κίνησης του σώματος (περνώντας το σώμα από μια θέση

μπορεί να απομακρύνεται από τη θέση ισορροπίας , μπο

ρεί όμως και να πλησιάζει σε αυτή) .

Η επιτάχυνση του σώματος στη θέση με απομάκρυνση

χ = Χ2 = + 1 cm είναι

2 ( Π )2 2 π2 2 0:2=- ωΧ2=- 3 (+l)cm/s =-gcm/s

(Η επιτάχυνση στην απλή αρμονική ταλάντωση έχει

πάντοτε αντίθετο πρόσημο από την απομάκρυνση.)

21

1. 11 Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α = 4 cm

και συχνότητα f = 10 ΗΖ, τη χρονική στιγμή t = Ο το σώμα βρίσκεται στη θέση χ = + Α = + 4 cm. Να γραφούν οι εξισώσεις που δίνουν την απομάκρυνση, την ταχύτητα και την επι

τάχυνση του σώματος σε συνάρτηση με τον χρόνο και να πα

ρασταθούν γραφικά.

'4,tJο .. IfS:Ι

r&I.l ~

6 t=o

Επειδή το σώμα τη χρονική στιγμή t = Ο δεν βρίσκεται

στη θέση ισορροπίας του (όπου χ = Ο) , η απλή αρμονική

ταλάντωση θα έχει αρχική φάση Φο και η εξίσωση της

απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας του

σε συνάρτηση με τον χρόνο θα είναι της μορφής

, +Α : : -Α .:

χ = Αημ(ωt + Φο) ιΙ-:·::. :+ =~:::k

: <:=J : α : : ~ i

όπου Α = 4 cm και ω = 2π! = 20πrαd/ Β. Χ '

Για t = Ο η παραπάνω σχέση γράφεται:

+Α = Αημ(20π · Ο + Φο) ή

π

ή ημΦο = ημ2

Έτσι η εξίσωση της απομάκρυνσης γίνεται:

Η εξίσωση της ταχύτητας θα είναι

V = vmaχσυν(ωt + Φο) ή V = ωΑσυν(ωt + Φο) ή

V = 20π . 4συν ( 20πt + ;) ή

V = 80πσυν( 20πt + ; )

Τέλος, η εξίσωση της επιτάχυνσης θα είναι

α = - αmaχημ(ωt + Φο) ή α = - ω2 Αημ(ωt + Φο) ή

α = - (20π) 2 . 4 ημ ( 20πt + ;) ή

22 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝ Ι ΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓιΣΗ)

α = - 1600π2ημ ( 20πt + ; )

Στις προηγούμενες σχέσεις το χ μετριέται σε cm, το v σε cm/8, το α σε cm/82 και το t σε 8.

1.1 2 Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση, στη θέση όπου η ταχύτητα του σώματος έχει μέτρο VI = 2 m/8 η επιτάχυνση έχει μέτρο αι = 20 m/ 82, ενώ στη θέση όπου το μέτρο της

ταχύτητας είναι V2 = 4 m/8 το μέτρο της επιτάχυνσης είναι α2 = 5 m / 82. Ν α βρείτε το πλάτος Α της ταλάντωσης και την περίοδό της Τ.

Η σχέση η οποία συνδέει την ταχύτητα με την απομάκρυνση σε

μια απλή αρμονική ταλάντωση είναι

και η σχέση η οποία συνδέει την επιτάχυνση α με την απομά

κρυνση χ είναι

(2)

Από τη (2) παίρνουμε χ = - 4, οπότε η (1) γράφεται: ω

Από τα δεδομένα της άσκησης έχουμε το σύστημα των εξι

σώσεων:

(3)

(4)

Αφαιρώντας τις (3) και (4) κατά μέλη παίρνουμε:

ή

23

/

5V5 ω = -2- rad/s (το ω είναι θετική ποσότητα)

Λύνοντας την (3) ως προς Α και αντικαθιστώντας τα δεδομένα έχουμε:

ή Α = 4V21 m 25

Η περίοδος της ταλάντωσης υπολογίζεται από τη σχέση

2π Τ=

ω

, 4π 'Τ = 4πV5 s η T=--s η 5V5 25

1.13 Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση, χωρίς αρχική φάση (Φο = Ο) , το πλάτος είναι Α = 10 m και η συχνότητα j =

= 0,5 ΗΖ. Να βρείτε το ελάχιστο χρονικό διάστημα που απαιτείται για να πάει το σώμα από τη θέση Β όπου Χ = Χι = + 5 m

στη θέση Γ όπου Χ = Χ2 = + 5)3 m.

Ιi,ΜRi.:Fi:Ι

lος τρόπος

"

Επειδή Φο = ο , τη χρονική στιγμή t = Ο το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του (q; = ο) , Στη θέση Β θα βρί

σκεται το σώμα μετά από χρόνο tl, ο οποίος υπολογίζεται από την εξίσωση

: Ι Α : +Α :

Λ:·, ·· Β~"q ..• ,"-Xl = Αημωtι ή Xl = Αημ(2πjtι) ή

1 +5 = 10ημπt ι ή ημπtι = 2

π

ή ημπtι = ημ β

Από την τριγωνομετρική αυτή εξίσωση παίρνουμε:

π

πtι = 2κ,π + β (1) ή π

πtι = (2κ, + l)π - β (2)

όπου κ, ακέραιος,

Από την (1) για κ, = Ο έχουμε :

π

πtι =-6

1 ή tl = 6 s

η οποία είναι η χρονική στιγμή που για πρώτη φορά το σώμα

βρίσκεται στη θέση Β ,


, _____ _ ____ __ _____ :- __ _____ :- __ ___ :- __ ί

" Χ2 i

χ

Ζ' Ζ

χ'

Στη θέση Γ θα βρίσκεται το σώμα μετά από χρόνο t2, ο οποίος

υπολογίζεται από την εξίσωση

Χ2 = Αημωt2 ή + 5/3 = lΟημπt2 ή

J3 ημπt2 = - 2-

απ' όπου παίρνουμε:

π

πt2 = 2/'i,Π+ 3 (3) ή

Θέτοντας στην (3) /'i, = Ο βρίσκουμε τη χρονική στιγμή που για

πρώτη φορά το σώμα βρίσκεται στη θέση Γ. Είναι

π, 1 πt2 = 3 η t2 = 3 s

Συνεπώς το ελάχιστο χρονικό διάστημα που απαιτείται για να

πάει το σώμα από τη θέση Β στη θέση Γ θα είναι ίσο με

20ς τρόπος

1 ή Δt = - s

6

Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε το γεγονός πως όταν ένα σώμα

κάνει ομαλή κυκλική κίνηση , η κίνηση της προβολής του πάνω

σε οποιαδήποτε διάμετρο της κυκλικής τροχιάς του είναι απλή

αρμονική ταλάντωση.

Θεωρούμε ότι η συγκεκριμένη απλή αρμονική ταλάντωση

αντιστοιχεί στην ομαλή κυκλική κίνηση που φαίνεται στο δι

πλανό σχήμα .

Τη χρονική στιγμή t = Ο το σώμα βρίσκεται πάνω στον άξο

να i Ζ και η προβολή του στον άξονα χ'χ είναι το κέντρο Ο του κύκλου . Μετά από χρόνο tl το σώμα βρίσκεται στη θέση Μι και η απομάκρυνση της προβολής του Β από το Ο είναι χι. Η γωνία

που έχει διαγράψει η ακτίνα στον χρόνο tl είναι

, 2π, f ΦΙ = ωtι η Φι = τ' t l η Φι = 2π t l (5)

Έστω ότι μετά από χρόνο t2 το σώμα βρίσκεται στη θέση Μ2 και η απομάκρυνση της προβολής του Γ από το Ο είναι Χ2. Για

τη γωνία Φ2 ισχύει

(6)

25

Από τα ορθογώνια τρίγωνα OBM1 και ΟΓΜ2 παίρνουμε αντίστοιχα:

(ΟΒ) ημΦι = (ΟΜι)

Χι

Α

5

10 ή

Π

Φι = 6 rad 1

2

Φ _ (οη _~_5J3_J3 ημ 2 - (ΟΜ2 ) - Α - 10 - 2 ή

Π

Φ2 = 3 rad

Από τις σχέσεις αυτές προκύπτει ότι η γωνία M~2 που αντιστοιχεί στο χρονικό διάστημα Δt = t 2 - tl είναι

π

Φ = Φ2 - Φι = 6 rad

Αν λάβουμε υπόψη μας και τις σχέσεις (5) και (6), έχουμε :

1 π Φ2-Φι=2πj(t2-tι) ή t 2 - t l= - -'- ή

2π! 6

1 t2 - t 1 = - s

6

που είναι το ζητούμενο χρονικό διάστημα.

1§:t!ji=fi§.i~]i"4'Aj

1.14 ί) Τι είναι η περίοδος Τ και τι η συχνότητα f ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλά

ντωση; Να αποδείξετε τη σχέση που συνδέει τα

δύο αυτά μεγέθη.

ίί) Τι είναι το 1 ΗΖ; Τι σημαίνει συχνότητα f = = 10 ΗΖ για μια απλή αρμονική ταλάντωση ;

1.15 ί) Ποια κίνηση λέγεται ταλάντωση και πότε μια ταλάντωση είναι γραμμική ;

ίί) Πότε μια ταλάντωση λέγεται απλή αρμονική ;

1.16 Το διπλανό σχήμα δείχνε ι τη μεταβολή ,

σε συνάρτηση με τον

χρόνο, της απομάκρυν

σης από τη θέση ισορ-

Χ (m)

-5 ------- ----------

ροπίας ενός σώματος που κάνει απλή αρμονική

ταλάντωση. Να γράψετε την εξίσωση της απο

μάκρυνσης σε συνάρτηση με τον χρόνο.

1.17 Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση

με τον χρόνο και να σχεδιάσετε το αντίστοιχο

διάγραμμα στις περιπτώσεις όπου:

ί) τη χρονική στιγμή t = Ο το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του και κινείται κατά

τη θετική φορά ,

ίί) τη χρονική στιγμή t = Ο το σώμα βρίσκεται

στη θέση χ = + Α.

1. 18 Στο επόμενο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης χ ενός σώματος που


εκτελεί απλή αρμονική

ταλάντωση σε συνάρ

τηση με τον χρόνο t . i) Να βρείτε την περίο

δο της ταλάντωσης.

Χ (m)

3 4

ii) Σε ποιες χρονικές στιγμές η ταχύτητα του σώ-

ματος θα είναι μηδέν; Εξετάσεις 2001

1.20 i) Ποια είναι η συνολική απόσταση που διανύει ένα σώμα, το οποίο εκτελεί απλή αρμονική

ταλάντωση πλάτους Α, σε χρονικό διάστημα ίσο

με την περίοδο της ταλάντωσής του;

ii) Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση τη χρονική

στιγμή t = Ο είναι απαραίτητα και Χ = Ο;

1.21 Στην απλή αρμονική ταλάντωση μπορούμε να πούμε ότι σε ίσα χρονικά διαστήματα έχουμε

ίσες μετατοπίσεις;

1.22 Μπορούμε να υπολογίσουμε την αρχική φάση Φο ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή , αν γνω

ρίζουμε μόνο τη θέση του τη χρονική στιγμή t = Ο;

1.23 Όταν ένα σώμα, το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, τη χρονική στιγμή t = Ο διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, πότε η αρχική

του φάση είναι μηδέν και πότε είναι πrad;

1.24 Στο ίδιο διάγραμμα να σχεδιάσετε τις απομακρύνσεις σε συνάρτηση με τον χρόνο για δύο

αρμονικές ταλαντώσεις που έχουν:

i) ίδιο πλάτος, αρχική φάση Φο = Ο και συχνότητες Λ = 212,

ii) ίδιο πλάτος, ίδια συχνότητα και αρχική φάση

ΦΟ,1 = Ο και ΦΟ,2 = ; rad.

1.25 Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση , όταν Χ = = +Α, τότε α = - αωaχ . Αυτό ισχύει πάντοτε ή

μόνο στις ταλαντώσεις χωρίς αρχική φάση ;

1.26 Για ένα σώμα που κάνει απλή αρμονική ταλάντωση η εξίσωση, σε συνάρτηση με τον χρόνο,

1.19 Ένα σώμα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση και σε χρόνο t = 4π s εκτελεί 8 πλήρεις ταλαντώσεις. Να βρείτε τη γωνιακή συχνότητα ω του σώ

ματος.

της απομάκρυνσής του Χ από τη θέση ισορροπίας

του είναι Χ = Ασυνωt. Να βρείτε τη θέση στην οποία βρισκόταν το σώμα τη ΧΡOνtκll στιγμή t = Ο.

1.27 Δύο υλικά σημεία εκτελούν απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης, ίδιας συχνότητας

και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Η διαφορά

φάσης των δύο ταλαντώσεων είναι ΔΦ = '6 rad.

Ποια είναι η διαφορά χρόνου διέλευσης των κινη

τών από τη θέση ισορροπίας τους όταν κινούνται

ομόρροπα;

1.28 Ένας μικρός μαθητής παίζει με ένα τηλεκατευθυνόμενο αυτοκινητάκι, αναγκάζοντάς το να

κινείται μπροστά του ευθύγραμμα με σταθερό μέ

τρο ταχύτητας μεταξύ δύο ακραίων θέσεων που

ισαπέχουν από αυτόν. Η κίνηση αυτή είναι αρμο

νική ταλάντωση;

1.29 Οι εξισώσεις δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων είναι:

Χι = Αημ500t και Χ2 = 2Αημ(1000t+ ;)

Να βρείτε τη διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσε

ων τη χρονική στιγμή t = Ο και τη χρονική στιγ-μή t l = 5;0 s.

1.30 Στις ακραίες θέσεις μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης η επιτάχυνση του σώματος είναι μέ

γιστη (κατά απόλυτη τιμή), ενώ η ταχύτητά του

είναι μηδέν . Πώς δικαιολογείται το γεγονός αυτό;

1.31 Δίνονται δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις

27

με εξισώσεις Xl = fι(t) και Χ2 = 12(t) αντίστοιχα. Οι γραωικές παραστάσεις των εξισώσεων αυ

τών φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα.

χ

+2Α

+Α

0,0 H --+--\-'I--++ +--+...L __

-Α

-2Α

1.33 Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές;

ί) Η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο είναι

περιοδικό φαινόμενο.

ίί) Η κίνηση της Σελήνης γύρω από τη Γη είναι

γραμμική ταλάντωση.

ίίί) Η κίνηση των εμβόλων της μηχανής ενός αυ

τοκινήτου είναι (προσεγγιστικά) ταλάντωση.

ίν) Η κίνηση των τροχών ενός αυτοκινήτου κα

θώς κινείται ομαλά είναι ταλάντωση .

1.34 Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με συχνότητα 1 = 10 ΗΖ. Αυτό σημαίνει ότι: i) σε χρόνο 10 s εκτελεί 10 πλήρεις ταλαντώσεις, ίi) σε χρόνο 10 s εκτελεί μία πλήρη ταλάντωση,

ίίί) εκτελεί 10 πλήρεις ταλαντώσεις σε χρόνο 1 s. Ποια από τις προτάσεις αυτές είναι σωστή; Να

αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

1.35 Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες;

ί) Κάθε περιοδική κίνηση είναι ταλάντωση.

ίί) Όλες οι απλές αρμονικές ταλαντώσεις είναι πε

ριοδικές κινήσεις.

ίίi) Στην απλΙ1 αρμονική ταλάντωση η ταχύτητα

έχει σταθερό μέτρο .

Αν το πλάτος της ταχύτητας της ταλάντωσης με

εξίσωση Xl = fι(t) είναι υIΠαx , να βρείτε το πλά

τος της ταχύτητας της ταλάντωσης με εξίσωση

Χ2 = 12(t).

1.32 Για δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις Α

και Β οι φάσεις μετα

βάλλονται σε συνάρτη

ση με τον χρόνο όπως

φαίνεται στο διάγραμ

μα. Να αποδείξετε ότι

1Β > 1Α.

φ

0,0

ίν) Η απλή αρμονική ταλάντωση είναι ευθύγραμ

μη περιοδική κίνηση.

1.36 Για την απλή αρμονική ταλάντωση ποια από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστll; Να αι

τιολογήσετε την απάντησή σας.

ί) Η απομάκρυνση και η ταχύτητα έχουν πάντο

τε το ίδιο πρόσημο.

ίi) Η απομάκρυνση και η επιτάχυνση έχουν πά

ντοτε αντίθετα πρόσημα.

ίίί) Η ταχύτητα και η επιτάχυνση έχουν πάντοτε

αντίθετα πρόσημα.

ίν) Όταν η απομάκρυνση είναι αρνητική , τότε η

ταχύτητα είναι θετική και η επιτάχυνση είναι

κι αυτή θετική.

1.37 Η εξίσωση της απομάκρυνσης σ' έναν απλό αρμονικό ταλαντωτή, πλάτους Α και γωνιακής συ

χνότητας ω, δίνεται από τη σχέση Χ = Αημωt. Η

εξίσωση της ταχύτητας δίνεται από τη σχέση:

ί) υ = Αωημωt ίί) υ = - Αωημωt

ίίί) υ = Αωσυνωt ίν) υ = - Αωσυνωt

Να σημειώσετε τη σωστή απάντηση.

Εξετάσεις 2001

1.38 Η εξίσωση της απομάκρυνσης σ' έναν απλό

28 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

αρμονικό ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση Χ = = Αημ(ωt + π), όπου Α το πλάτος και ω η γωνιακή συχνότητα. Η εξίσωση της επιτάχυνσης δίνε

ται από τη σχέση:

ί) α = - Αω2ημ(ωt + π) ίί) α = Αω2ημ(ωt + π) ίίί) α = - Αωημ(ωt - π)

ίν) α = Αωημ (ωt - π)

Να σημειώσετε τη σωστή απάντηση και να την

αιτιολογήσετε. Εξετάσεις 2001

1.39 Ο ωροδείκτης ενός ρολογιού έχει περίοδο σε ώρες (h): ί) 1 h ίi) 12 h ίίί) 24 h ίν) 4811

Ποια είναι η σωστή απάντηση; Εξετάσεις 2003

1.40 Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές και ποιες

λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή

σας.

ί) Για να είναι η επιτάχυνση μηδέν στη θέση ι

σορροπίας, πρέπει η αρχική φάση της ταλά

ντωσης να είναι μηδέν.

ίί) Η ταχύτητα στις ακραίες θέσεις είναι μηδέν

μόνο για τις ταλαντώσεις που έχουν αρχική

φάση Φο = ; r-ad.

ίίί) Τη χρονική στιγμή t = Ο είναι υ = V,nax μόνο

αν η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι μη

δέν.

ίν) Υπάρχει θέση όπου η απομάκρυνση και η επι

τάχυνση παίρνουν ταυτόχρονα τις μέγιστες

(κατά απόλυτη τιμή) τιμές τους.

2

ίν) Τ = 2 s ν) Τ = πs Να σημειώσετε τη σωστή απάντηση και να την

αιτιολογι1σετε.

1.42 Η γραφική παράσταση που φαίνεται

στο σχήμα δείχνει τη

μεταβολή της απομά

κρυνσης σε συνάρτη

ση με τον χρόνο για

χ

ψ)

ένα σώμα που κάνει απλή αρμονική ταλάντωση.

Ποια από τις επόμενες προτάσεις είναι λανθασμέ-

νη;

ί) Τη χρονική στιγμή t = 8 s η απομάκρυνση

του σώματος είναι μέγιστη.

ίί) Τη χρονική στιγμή t = 4 s η επιτάχυνση του σώματος είναι μέγιστη κατά απόλυτη τιμή.

ίίί) Τη χρονική στιγμή t = 4 s η ταχύτητα του σώματος είναι μέγιστη .

ίν) Τη χρονική στιγμή t = 6 s η επιτάχυνση του σώματος γίνεται μηδέν.

ν) Η περίοδος της ταλάντωσης είναι Τ = 8 s.

1.43 Αν το πλάτος Α μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης διπλασιαστεί και η περίοδος Τ της τα

λάντωσης παραμείνει σταθερή, τότε:

ί) η μέγιστη ταχύτητα παραμένει σταθερή,

ίί) η μέγιστη επιτάχυνση υποδιπλασιάζεται,

ίίί) η συχνότητα παραμένει σταθερή,

ίν) η τιμή της επιτάχυνσης στη θέση ισορροπίας

διπλασιάζεται.

Ποια από τις προτάσεις αυτές είναι σωστή; Να

αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

1.44 Ένα σώμα εκτελεί απλΙ1 αρμονική ταλάντωση και το πλάτος της ταχύτητάς του είναι υπ",. Όταν η

απόσταση του σώματος από τη θέση ισορροπίας

είναι ίση με το μισό του πλάτους της ταλάντωσής

1.41 Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράστα

ση της συνάρτησης α =

= f(x) για ένα σώμα που κάνει απλή αρμονι

ΚΙ1 ταλάντωση . Η πε

ρίοδος της ταλάντωσης

του σώματος αυτού είναι:

x(m) του, τότε το μέτρο της ταχύτητάς του είναι:

-8 ...

ί) Τ = ; s ίί) Τ = ; s ίίί) Τ =.ls π

.) V3 .. ) J5 1 υ = -2- Vmax 11 V = - 4- Vll1ax

ίίί) υ = υ~x

ν) υ - Vll1ax - 4

. ) V,ηaχ ιν υ=-2-

29

Να σημειώσετε τη σωστή απάντηση και να την

αιτιολογήσετε.

1.45 Για μια απλή αρμονική ταλάντωση ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λαν

θασμένες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

ί) Η ταχύτητα και η απομάκρυνση έχουν την ί

δια φάση.

1.46 Η απομάκρυνση ενός σώματος που πραγμα

τοποιεί απλή αρμονική ταλάντωση δίνεται από τη

σχέση Χ = 0 ,2ημπt (S.I. )

Να βρείτε :

ί) το πλάτος της απομάκρυνση ς, της ταχύτητας

και της επιτάχυνσης,

ίί) την περίοδο , τη συχνότητα και τη γωνιακή

συχνότητα.

1.47 Ένα σώμα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση

πλάτους Α = 0,5 m, περιόδου Τ = 2 s και η εξίσωση της απομάκρυνσής του είναι τη ς μορφής

Χ = Αημωt . Να γράψετε τις εξισώσεις, σε συνάρ

τηση με τον χρόνο , της απομάκρυνσης Χ, της τα-

.....χύτητας υ και της επιτάχυνσης α του σώματος.

Στη συνέχεια να κάνετε τις αντίστοιχες γραφικές

παραστάσεις .

1.48 Η απομάκρυνση ενός σώματος που πραγματοποιεί οριζόντια απλή αρμονική ταλάντωση δί

νεται σε συνάρτηση με τον χρόνο από τη σχέση

Χ = 0 , lημ (2πt ) (S.I. )

Να βρείτε την απομάκρυνση του σώματος τις χρο

νικές στιγμές

ί) t = ~ ίί) t - R - 12

1.49 Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης Χ = Αημ(ωt + Φο). Αν τη χρονική στιγμή t = Ο βρίσκεται στη θέση Χ = + ~ και κινείται κατά την αρνητική φορά,

να βρείτε την αρχική φάση Φο.

ίί) Η επιτάχυνση και η απομάκρυνση έχουν δια

φορά φάσης π rad.

ίίί) Η επιτάχυνση και η ταχύτητα έχουν διαφορά

φάσης ; rad.

ίv) Η διαφορά φάσης μεταξύ της ταχύτητας και

της απομάκρυνσης είναι ίση με την αρχική

φάση της ταλάντωση ς.

1.50 Σώμα πραγματοποιεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ = 2 s και πλάτος Α = 0,2 m. Όταν η απομάκρυνσή του είναι χι = + 0.11n, να βρείτε:

ί) την ταχύτητά του,

ίί) την επιτάχυνσή του.

1.5 Ι Η απομάκρυνση ενός σώματος που π ραγματοποιεί απλή αρμονική ταλάντωση δίνεται σε συ

νάρτηση με τον χρόνο από τη σχέση

Χ = 0 , 2ημ(2πt) (S .I. )

Να βρείτε τη χρονική στιγμή t = Ι : ί) την ταχύτητά του ,

ίί) την επιτάχυνσή του .

1.52 Ένα σωματίδιο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η εξίσωση της απομάκρυνσής του

είναι

Χ = 10συν(20πt) (Χ σε cm και t σε s)

Να υπολογιστούν:

ί) το πλάτος και η συχνότητα της ταλάντωσης,

ίί) η απομάκρυνση του σωματιδίου από τη θέση

ισορροπίας τη χρονική στιγμή t = 0.025 Β.

υ

t(s)

1.53 Η γραφική παράσταση του διπλανού

σχήματος δείχνε ι τη με

ταβολή , σε συνάρτηση

με τον χρόνο , της ταχύ

τητας ενός σώματος που

0,0 ~->r-<>-~-<4-5-

κάνει απλή αρμονική ταλάντωση .


ί) Ποια είναι η συχνότητα της ταλάντωσης;

ίί) Να βρείτε σε ποιες χρονικές στιγμές το σώμα:

α) διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του,

β) βρίσκεται στις ακραίες θέσεις της ταλά

ντωσης.

1.54 Ένα σωματίδιο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η εξίσωση της απομάκρυνσής του

είναι

Χ = lOημ(20πt) (Χ σε cm και t σε 8)

Να υπολογιστούν:

ί) το πλάτος και η συχνότητα της ταλάντωσης,

ίί) η απομάκρυνση του σωματιδίου από τη θέση

ισορροπίας τη χρονική στιγμή t = 0,0258.

1.55 Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση

Χ = 10ημ (; . t) (το Χ σε m κα ι το t σε 8)

σε ποιες χρονικές στιγμές η απομάκρυνση του

σώματος από τη θέση ισορροπίας του θα είναι

Χ = +5m;

1.56 Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλά-

-' ντωση πλάτους Α =

= 10 cm. Η φάση της

ταλάντωσης μεταβάλ

λεται με τον χρόνο ό

πως δείχνει το διπλανό

διάγραμμα.

φ (rαd)

2π/3

π/6

0,0 2 t (5)

ί) Να βρείτε την αρχική φάση Φο και την περίο

δο Τ της ταλάντωσης.

ίί) Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας σε

συνάρτηση με τον χρόνο.

ίϋ) Σε ποια χρονική στιγμή το σώμα βρίσκεται

στη θέση μέγιστης απομάκρυνσης για πρώτη

φορά;

1.57 Ένα υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με, περίοδο Τ = 38 και εξίσωση απομάκρυνσης χ = Αημωt. Τη χρονική στιγμή t = = Ο το υλικό σημείο διέρχεται από τη θέση ισορ-

ροπίας του και έχει τη μέγιστη ταχύτητα (+ vtnax ).

Σε ποια χρονική στιγμή t 1 η ταχύτητα του υλικού

σημείου θα είναι + V'2"X για πρώτη φορά;

1.58 Ένα σώμα ξεκινά από την ηρεμία με επιτάχυνση μέτρου α = 16 m/ 82 και εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση μεταξύ δύο θέσεων που απέχουν

f! = 2m. Να βρείτε :

ί) την περίοδο της ταλάντωσης,

ϋ) την ταχύτητα του σώματος όταν η απομάκρυν

σή του από τη θέση ισορροπίας του είναι Χ = = +0,8m.

1.59 Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντω

ση και η γραφική πα

ράσταση της επιτάχυν

σής του α σε συνάρτη

ση με τον χρόνο δίνεται

στο διπλανό σχήμα.

0,0 <Γ--(--<>---'ι,--<>---..... t(5)

ί) Ποια είναι η συχνότητα της ταλάντωσης;

ίί) Ποια είναι η αρχική φάση Φο της ταλάντωσης;

ίίί) Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας του

σώματος σε συνάρτηση με τον χρόνο και να

κάνετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση.

1.60 Η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας ενός σώματος που κάνει απλή αρμονική ταλάντω

ση μεταβάλλεται με τον χρόΎο σύμφωνα με τη

σχέση

χ = 5ημ(2πt + π) (Χ σε m, t σε 8)

Να βρείτε :

ί) την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σώματος

στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης,

ίί) την απομάκρυνση , την ταχύτητα και την επι

τάχυνση του σώματος τη χρονική στιγμή t =

= 1,258.

1.61 Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α = 2 cm και συχνότητας f = 0,25 ΗΖ. Τη χρονική στιγμή t = Ο το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας κινούμενο κατά την αρνητική

φορά.

31

i) Να υπολογίσετε την αρχική φάση της ταλά

ντωσης .

ίί) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης

του σώματος από τη θέση ισορροπίας σε συ

νάρτηση με τον χρόνο.

ίίί) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σώματος

τη χρονική στιγμή t = 3 s .

1.62 Η σχέση χ = 10ημ( 2; · t+ ~), με χ σε m

και t σε s, δίνει την απομάκρυνση σε συνάρτηση με τον χρόνο σε μια απλή αρμονική ταλάντωση.

Να γράψετε τις αντίστοιχες σχέσεις για την ταχύ

τητα και την επιτάχυνση και στη συνέχεια να κά

νετε τις γραφικές τους παραστάσεις.

1.63 Ένα σώμα που κάνει απλή αρμονική ταλάντωση έχει στη θέση χι = + 3 m ταχύτητα υ, = = + 8 m/ s, ενώ στη θέση Χ2 = + 4 m η ταχύτητά

ΓΘ.I.l ~

Ι '-Α .--.0-. ------------0---- 0---.0---;,.--·

Ρ ' ο - -+ Ρ υ ι v2

του είναι υ, = + 6 m/ Β. Να βρείτε το πλάτος Α και ΙΤην περίοδο Τ της ταλάντωσης του σώματος.

1.64 Η γραφική παράσταση του διπλανού

σχήματος δείχνει πώς

μεταβάλλεται σε συ

νάρτηση με τον χρόνο,

η ταχύτητα ενός σώμα

τος που κάνει απλή αρ-

V

μονική ταλάντωση. Να βρείτε σε ποιες χρονικές

στιγμές το σώμα:

ί) διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του,

ίί) βρίσκεται στις ακραίες θέσεις της ταλάντω

σης,

ίίί) έχει μέγιστη επιτάχυνση (κατά απόλυτη τιμή).

1.65 Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α = 10 cm, και περιόδου Τ = 4 Β. Τη χρο-

νική στιγμή t = Ο το σώμα βρίσκεται στη θέση Γ, όπου η ταχύτητά του έχει τιμή υ = V max · {} .

+Α :

! '-Α : ,Χ , '!

_1 _____ 01 _ ---- - -Oj -..--. '"Μ' _ ____ _____ -<>-

Ρ' Γ V Ο Ρ

ί) Να βρείτε την αρχική φάση της ταλάντωσης.

ίί) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης

του σώματος από τη θέση ισορροπίας σε συ

νάρτηση με τον χρόνο.

ίίί) Σε ποια χρονική στιγμή το σώμα βρίσκεται

στη θέση Ρ για πρώτη φορά;

1.66 Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ = 8 Β. Τη χρονική στιγμή tI = 1 s το σώμα περνάει από τη θέση ισορροπίας κινούμενο

κατά τη θετική φορά. Αν τη χρονική στιγμή t2 = = 2 s η ταχύτητα του σώματος είναι υ2 = + 2π m / Β, να βρείτε:

ί) την αρχική φάση Φο της ταλάντωσης,

ίί) το πλάτος Α της ταλάντωσης,

ίίί) την εξίσωση της ταχύτητας του σώματος σε

συνάρτηση με τον χρόνο.

1.67 Για την απλή αρμονική ταλάντωση του σχήματος το πλάτος είναι Α = 10 τπ και τη χρονική στιγμή t = Ο το σώμα βρίσκεται στη θέση χι = = - 5V3 m και κινείται προς τη θέση ισορροπίας του. Αν η περίοδος της ταλάντωσης είναι Τ = 2 Β:

ό t=o

: -Α : Ί

ΓΘ.I.l ~

• +Α : : : Xj : :

Ρι----Q~-----,- ------ ---------':~

ί) να βρείτε την αρχική φάση Φο της ταλάντω

σης,

ίί) να γράψετε τις εξισώσεις, σε συνάρτηση με

τον χρόνο , της απομάκρυνσης, της ταχύτηφς

και της επιτάχυνσης του σώματος.


1.68 Η απομάκρυνση, σε συνάρτηση με τον χρόνο, ενός υλικού σημείου που εκτελεί απλή αρμο

νική ταλάντωση δίνεται κάθε χρονΙΚ11 στιγμή από

τη σχέση Ί; = 10ημ( Ί . t) (Χ σε cm, t σε s). Να υπολογίσετε:

ί) το πλάτος Α, τη γωνιακή συχνότητα ω και την

περίοδο Τ της ταλάντωσης,

ίί) την απομάκρυνση Χι, την ταχύτητα V j και την

επιτάχυνση α1 τη χρονική στιγμή t1 = 2 s, ίίί) την ταχύτητα V 2 και την επιτάχυνση α2 στη

θέση όπου η απομάκρυνση είναι Χ2 = + 5 cm.

1.69 Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση ανάμεσα στα άκρα Ρ και Ρ ι ευθύγραμμου

τμήματος ΡΡ ι που έχει μήκος L = 0,1 m. Η συχνότητα της ταλάντωσης είναι f = 10 ΗΖ και τη χρο

νική στιγμή t = Ο το κινητό έχει τη μέγιστη θετική απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας.

! -Α +Α ! . . • • V1 !

Ρ' ι - --- ------------ -.q----------Q-~- -,! ρ ~ ς ~

···· · ··········· ι ιι·······HιΦa

ί) Να γράψετε την εξίσωση Χ = f(t) της κίνησης.

ίί) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κινητού

τη χρονική στιγμή t = Ο. Να θεωρήσετε ότι π2 ::::ό 10.

1.70 Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με συχνότητα f = 0 ,02ΗΖ. Αν τη χρονική

στιγμή t = Ο το σώμα βρίσκεται στη θέση Χ = = +Α, να βρείτε σε ποια χρονική στιγμή θα βρίσκεται για πρώτη φορά στη θέση:

ί) Χ = Ο ίί) Χ = - Α ίίί) Χ = - Α . 2

1.71 Ένα υλικό σημείο πραγματοποιεί απλή αρ-

μονική ταλάντωση με περίοδο Τ = 12 s και εξίσωση απομάκρυνσης Χ = Αημωt. Να βρείτε:

ί) τη χρονική στιγμή κατά την οποία για πρώτη

φορά διέρχεται από τη θέση Χ = + ~ , ίί) τον απαιτούμενο , ελάχιστο, χρόνο για να κι

νηθεί το υλικό σημείο από τη θέση + ~ στη θέση +Α.

1.72 Όταν ένα σώμα, το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, τη χρονική στιγμή t = Ο διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, τότε η αρχική

φάση της ταλάντωσης μπορεί να είναι Φο = Ο ή Φο = πrαd, ανάλογα με τη φορά κίνησης του σώ

ματος. Να βρείτε την αρχική φάση της ταλάντω

σης στην περίπτωση που τη χρονική στιγμή t = Ο το σώμα διέρχεται από τη θέση:

i) Χ = + Α ίί) Χ = - Α ίίί) Χ = + ~

1.73 Το επόμενο διάγραμμα παριστάνει την ταχύτητα ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική

ταλάντωση σε συνάρτηση με τον χρόνο . ί) Ποια είναι η συχνότητα της ταλάντωσης;

ίί)Ποια είναι η αρχική υ

φάση της ταλάντω-

σης; 4

ίίί) Σε ποια χρονική

στιγμή η απομά

κρυνση του σώμα-

0,0 <Γ---Ο.-'ιr--ο--γ__ ((s)

τος από τη θέση ισορροπίας είναι Χ = + Α για πρώτη φορά;

ίν) Να βρείτε τις τιμές της απομάκρυνσης, της

ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σώματος

τη χρονική στιγμή t = 3 s.

1.74 Το διπλανό διά- α

γραμμα παριστάνει την

επιτάχυνση ενός σώμα

τος που εκτελεί απλή

αρμονική ταλάντωση

σε συνάρτηση με τον

χρόνο.

33

i) Ποια είναι η γωνιακή συχνότητα ω της ταλά

ντωσης;

ίί) Ποια είναι η αρχική φάση Φο της ταλάντωσης ;

ίίί) Σε ποια χρονική στιγμή η απομάκρυνση του

σώματος από τη θέση ισορροπίας είναι Χ = = + Α για πρώτη φορά;

ίν) Να προσδιορίσετε το πρόσημο της ταχύτητας

του σώματος τη χρονική στιγμή t = 38. ν) Να κάνετε τα διαγράμματα της απομάκρυνσης

και της ταχύτητας του σώματος σε συνάρτηση

με τον χρόνο.

1.75 Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ = 2π 8 και τη χρονική στιγμή t = Ο βρίσκεται στη θέση Χ = + 5 cm έχοντας ταχύτητα V = - 5)3 cm/8. i) Ποια είναι η αρχική φάση και ποιο το πλάτος

της ταλάντωσης;

ίί) Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης,

της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σώμα

τος σε συνάρτηση με τον χρόνο και να κάνετε

τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις .

1.76 Ένα σώμα κάνε ι απλή αρμονική ταλάντωση και η εξίσωση της απομάκρυνσής του είναι Χ = = Α.ημωt. Όταν το σώμα βρίσκεται στη θέση Xl =

: -Α

ι;m- . I. χ = ο

t=o +Α. !

= + 5 m, έχει ταχύτητα V 1 = + 10)3 m/ 8 και επιτάχυνση al = - 20m/82

• Να βρείτε το πλάτος Α και την περίοδο Τ της ταλάντωσης του σώματος .

1.77 Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση περιόδου Τ, χωρίς αρχική φάση, να βρείτε το ελάχιστο χρο

νικό διάστημα που απαιτείται για να πάει το κινη-

τό από τη θέση Xl = + .~ στη θέση Χ2 = + Α.

1.78 Για ένα σώμα το οποίο κάνει απλή αρμονική

ταλάντωση οι ακραίες θέσεις της ταλάντωσης

απέχουν μεταξύ τους f! = 20 m. Τη χρονική στιγμή t = Ο το σώμα βρίσκεται στη θέση με απομάκρυνση Xl = + 5 m και η ταχύτητά του εκείνη

τη στιγμή είναι V j = + 20)3 m/ 8. Να βρείτε για την ταλάντωση αυτή :

i) το πλάτος Α,

ίί) την αρχική φάση Φο ,

iii) την περίοδο Τ.

1.79 Δύο σώματα εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση με συχνότητες Λ = 36 ΗΖ και 12 = 40 ΗΖ αντίστοιχα. Τη χρονική στιγμή t = Ο περνούν από τη θέση ισορροπίας τους με θετική κατεύθυν

ση . Μετά από πόσο χρόνο (μετρημένο σε 8) τα δύο

σώματα θα βρεθούν για πρώτη φορά ξανά στην

κατάσταση που βρίσκονταν τη χρονική στιγμή

t = Ο ;

1.80 Ένα σώμα, που κάνει απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α = 2 cm, έχει τη χρονική στιγμή t = Ο απομάκρυνση Χ = + 1 cm και θετική ταχύτητα. Αν μετά από χρόνο t = 0,1 8 περνά από την ίδια θέση με αντίθετη ταχύτητα, να βρείτε:

i) τη (ίυχνότητα της ταλάντωση ς,

ίί) την εξίσωση της απομάκρυνσης Χ του σώμα

τος σε συνάρτηση με τον χρόνο.

1.81 Δίνεται η απλή αρμονική ταλάντωση του σχήματος . Στη θέση Κ η ταχύτητα του σώματος

lΘ.I.l ~

: ,-Α : +Α . : , Χ2: Xj

~. i i : α 2 • α ] : . : ~: ~ 1'1 :

p ,>--- -----.q--.---- -----~--,,: ρ ό o----lL1- <' Ο ~ Ό ________ . Λ .----- -Ο ---- ---- Κ ----,'

είναι V 1 = +8 m /8 και η επιτάχυνσή του al = = - 5 m/ 82, ενώ στη θέση Λ η ταχύτητα του σώματος είναι V 2 = + 10 m /8 και η επιτάχυνσή του α2 = + 4 m / 82. Να βρείτε την περίοδο Τ' της ταλάντωσης .

1.82 Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση

34 Α ΠΛΗ Α ΡΜΟ ΝΙ Κ Η ΤΑΛΑΝΤΩΣ Η (Κ Ι Ν Η ΜΑΤΙΚΗ Π ΡΟΣΕ ΓΓι Σ Η )

πλάτους Α = 40 cm και συχνότητας f = 0,25 ΗΖ. Τη χρονική στιγμή t = Ο το σώμα περνά από τη θέση ισορροπίας και κινείται κατά τη θετική φο

ρά. Για πόσο χρονικό διάστημα το σώμα θα απέ

χει από τη θέση ισορροπίας του περισσότερο από

20V3 cm;

1.83 Ένα σώμα κάνει χ

απλή αρμονική ταλά- -.. -<.~ _:: .>1'~Γl ντωση με θέση ισορρο- /' Γ "\

πίας το σημείο Κ του / +Α χι \ \

σχήματος, ακραίες θέ- ι φ ι

σεις τα σημεία Ρ και Ρ' ; Κ2 \

Κ

και πλάτος Α = 10 m. \ , Τη χρονική στιγμή " t1 = 1 s το σώμα περνά Ρ ' από τη θέση Γ, όπου χ'

/ , Ι

/

ι Ι

Ι

Χ1 = + 5V3 m, κινούμενο προς την ακραία θέση Ρ. Αν τη χρονική στιγμή t2 = 4 s το σώμα περνά από τη θέση ισορροπίας Κ κινούμενο προς την

ακραία θέση Ρ', να βρείτε την αρχική φάση Φο

της ταλάντωσης.

1.84 Ένα σώμα κάνει απλή αρμονική ταλά- Ρ

χ

-- - -::;-;..-;- --.

/ ντωση με θέση ισορρο- // πίας το σημείο Κ του / f-A

, , ~_ ._. __ . __ \~ Δl

, J Χ1 \ σχήματος και ακραιες \

\

θ έ σ ε ι ς τ α σ η με ί α Ρ ;---'----Γ~.Lφ_'τ::φ-- ,'-

και ΡΌ Το πλάτος της \ ΧΙ ι'

ταλάντωσης του σώμα- \ r-·----:>t~ Γι ' ..... ~ ... ' τος είναι Α = 10m και ____ -

η περίοδός της Τ = 6 s. Ρ'

Να βρείτε το ελάχιστο χ'

χρονικό διάστημα που απαιτείται για να πάει το

σώμα από τη θέση Γ με Χ1 = - 5 m στη θέση Δ με Χ2 = +5m.

1.85 Ένα σώμα κάνει απλή αρμονική ταλά

ντωση με θέση ισο Ρ ρο

πίας το σημείο Κ του

σχήματος και ακραίες

θέσεις τα σημεία Ρ

και ΡΌ Τη χρονική

στιγμή t s το σώμα βρίσκεται στο σημείο Γ

κινούμενο προς τη θέ-

ση ισορροπίας του και

, ι

ι

Ρ

χ

Δ

\ +\-~-~~~φ-~}

\ Γ -ι] '''''''' /// Γι

χ'

τη χρονική στιγμή (t + 1) s περνά από το σημείο Δ κινούμενο με την ίδια ταχύτητα προς την α

κραία θέση Ρ . Τα σημεία Γ και Δ απέχουν μεταξύ

τους 30m. Τη χρονική στιγμή (t+3) s το σώμα ξαναπερνά από το Δ κινούμενο προς τη θέση ι

σορροπίας του. Να βρείτε το πλάτος Α και την

περίοδο Τ της ταλάντωσης.

1.86 Το διπλανό διάγραμμα μας δείχνει

πώς μεταβάλλεται , σε

συνάρτηση με τον χρό

νο, το ύψος της στάθ

μης του νερού από τον

πυθμένα της θάλασσας

σε ένα λιμάνι του Ευ

βοϊκού.

ύψος(m)

0.0 12 t(h)

i) Να γράψετε την εξίσωση του ύψους της στάθ

μης του νερού σε συνάρτηση με τον χρόνο.

ii) Για να μπει ένα πλοιάριο με ασφάλεια στο λι

μάνι, πρέπει το ύψος της στάθμης του νερού να

είναι τουλάχιστον 1,5 m. Το πλοιάριο φτάνει έξω από το λιμάνι όταν το ύψος της στάθμης

του νερού έχει την ελάχιστη τιμή του. Πόσο

χρόνο πρέπει να περιμένει το πλοίάριο, για να

μπει με ασφάλεια στο λιμάνι;

35

Ι. α) Ένα σώμα πραγματοποιεί απλή αρμονική ταλάντωση με συχνότητα f = 0.5 ΗΖ.

Με ποια συχνότητα μεταβάλλεται η ταχύτητα του σώματος και με ποια το μέτρο

της ταχύτητάς του;

β) Ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση τη χρονική στιγμή t = Ο διέρχε

ται από τη θέση ισορροπίας του. Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές

και ποιες λανθασμένες;

ί) Η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι μηδέν.

ίί) Η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι της μορφής χ = Αημωt. ίίί) Η εξίσωση της ταχύτητας είναι της μορφής v = ωΑημωΙ ίν) Η εξίσωση της επιτάχυνσης είναι της μορφής α = - ω2 Αημωt ή α = ω2 ΑημωΙ

γ) Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης, σε συνάρτηση με τον χρόνο , δύο

απλών αρμονικών ταλαντώσεων Α και Β, που έχουν αρχική φάση, με τα παρακάτω

στοιχεία:

ί) Ίδιο πλάτος, ίδια συχνότητα και διαφορά φάσης ; rαd.

ίί) Ίδιο πλάτος, ίδια συχνότητα και διαφορά φάσης πrαd.

ίίί) Πλάτος της Α διπλάσιο του πλάτους της Β, ίδια συχνότητα και διαφορά φάσης

; rαd.

ίν) Ίδιο πλάτος, ίδια φάση και συχνότητα της Α διπλάσια της συχνότητας της Β.

Στη συνέχεια να σχεδιάσετε τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις.

δ) Η εξίσωση της απομάκρυνσης ενός σώματος πόυ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντω-

~ ση δί~εται από τη σχέση χ = 3ημ (2πt + ~) (S.I.). Να αντιστοιχίσετε κάθε φυσικό μέγεθος της στήλης Α με την τιμή του που βρίσκεται στη στήλη Β.

7

Στήλη Α

ί) Πλάτος ταλάντωσης

ίί) Περίοδος

ίίί) Αρχική φάση

ίν) Γωνιακή συχνότητα

ν) Μέγιστη ταχύτητα

• • • •


• • • • • •

Στήλη Β

l. 1ΗΖ

2. 3m

3. 18

4. 2πrαd/8

5. ~rαd 3

6. 6πm/8

Eξ,ετάιrεις 2002

2. α) Για μια απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

ί) Αν τη χρονική στιγμή t 1 το σώμα βρίσκεται σε μία από τις ακραίες θέσεις, τότε

από την ίδια θέση θα ξαναπεράσει τις χρονικές στιγμές t 1 + Τ, t 1 + 2T;tl + 3Τ Κ.Ο.Κ.

ίί) Αν τη χρονική στιγμή t 1 το σώμα περνά από τη θέση ισορροπίας, τότε από την

ίδια θέση θα ξαναπεράσει τις χρονικές στιγμές tl + Ι , t 1 + Τ, t 1 + 3! ' tl + 2Τ Κ.Ο.Κ .

iii) Αν τη χρονική στιγμή t 1 οι αλγεβρικές τιμές της απομάκρυνσης και της ταχύ

τητας είναι Xl και Vl αντίστοιχα, τις ίδιες τιμές Xl και Vl θα έχουν τα μεγέθη

αυτά και τις χρονικές στιγμές tl + Τ, t 1 + 2Τ, tl + 3Τ Κ.Ο .Κ.

β) Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και σε χρόνο 8 s κάνει 16 πλήρεις

ταλαντώσεις . Η περίοδος Τ αυτής της ταλάντωσης είναι:

ί) 2 s ίί) 0,5 s ίίί) 0,5 ΗΖ

Ποια από τις παραπάνω απαντήσεις είναι σωστή; Να την αιτιολογήσετε.

γ) Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονι-ΓJΊ κή ταλάντωση και τη χρονική LJ

στιγμή t = Ο βρίσκεται στη θέση της μέγιστης θετικής απομά

κρυνσης . Σε ποιο από τα διπλανά

διαγράμματα απεικονίζεται η α

πoμ~Kρυνση, σε ποιο η ταχύτη-

τα και σε ποιο η επιτάχυνση του Ι

σωματος σε συναρτηση με τον

Cill l ι

[Β ι

, , 10'0 χρόνο; L-_________________________________ ~

ΓΘ.Y.l ~

! .-Α Ι ~ ,

+Α : ο ,

δ) Στην απλή αρμονική ταλάντωση του δι

πλανού σχήματος, με περίοδο Τ και πλά

τος Α, για να πάει το σώμα από τη θέση

ισορροπίας Ο (Χ = Ο) στην ακραία θέση

Ρ (Χ = + Α), απαιτείται χρόνος Δt = = Ι . Ποια από τις επόμενες προτάσεις, που αναφέρονται στην ταλάντωση αυτή,

i + Δ i

Ι Ρi: :! ::Άt J Ρ είναι σωστή; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

i) Για να πάει το σώμα από τη θέση Χ = Ο στη θέση Χ = + ~ ,α~αιτείται χρόνος ίσος με ~t = r .

37

ίί) Για να πάει το σώμα από τη θέση χ = + 1 στη θέση χ = + Α, απαιτείται χρόνος ίσος με ~t = ~ .

ίίί) Το διάστημα (οη το διανύει το σώμα σε μικρότερο χρόνο απ' ό,τι το διάστημα '

(ΓΡ) .

ίν) Το διάστημα (ΓΡ) το διανύει το σώμα σε χρόνο μικρότερο από Τ /8.

3. α) Ένα υλικό σημείο πραγματοποιεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ = 4 s, πλάτος Α = 5 cm και τη χρονική στιγμή t = Ο διέρχεται από τη θέση ισορροπίας κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση της απομά

κρυνσης έχει τη μορφή χ = Αημωt. Να βρείτε τις αντίστοιχες θέσεις του υλικού

σημείου τις χρονικές στιγμές 1 s, 2 s, 3 s και 4 s. β) Η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας ενός σώματος που κάνει απλή αρμονική

ταλάντωση δίνεται σε συνάρτηση με τον χρόνο από τη σχέση χ = 2ημ (; . t) (με χ σε m και t σε s). Να βρείτε την περίοδο Τ της ταλάντωσης, τη μέγιστη ταχύτητα V max και τη μέγιστη επιτάχυνση a max του σώματος.

4. Για ένα σώμα που κάνει απλή αρμονική ταλάντωση, στις θέσεις όπου μηδενίζεται η

ταχύτητά του η επιτάχυνσή του έχει μέτρο α = 5π2 m/ s2. Αν στη θέση με χ = + 4 m το μέτρο της ταχύτητας του σώματος είναι υ = 3πm/ s, να βρείτε το πλάτος Α και την περίοδο Τ της ταλάντωσης.

38 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

ΚΕ:ΦΑΛΑΙΟ ~α

Δύναμη και απλή

αρμονική ταλάντωση

.ι Όταν ένα σώμα μάζας m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και βρίσκεται σε τυχαία απομάκρυνση χ από τη θέση ισορροπίας του, δέχεται δύναμη (συνολική) που δίνεται

από τη σχέση

F = -mω2χ

Πράγματι, από τον θεμελιώδη νόμο της μηχανικής F = ma, επειδή στην απλή αρμονική ταλάντωση ισχύει α = - ω2 χ, προκύπτει:

F = -mω2χ

Το γινόμενο πιω2 (που είναι σταθερό για κάθε ταλαντωτή) το συμβολίζουμε με D, δηλαδή είναι

οπότε η σχέση που δίνει τη δύναμη γράφεται:

F=-Dx

Η δύναμη F ονομάζεται δύναμη επαναφοράς, ενώ η σταθερά αναλογίας D ονομάζεται σταθερά επαναφοράς .

.ι Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για να εκτελεί ένα σώμα απλή αρμονική ταλάντωση είναι για τη συνολική δύναμη που δέχεται να ισχύει η σχέση

F= -Dx

.ι Η περίοδος μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση

Τ = 21Γ/Ψ5

Πράγματι, από τη σχέση D = mω2 , επειδή ω = ~ , παίρνουμε:

41Γ2 τ2 -_ 41Γ2 . ~ , Γm D = m· Τ2 ή D η Τ = 21Γ ν 15

39

2.1 Δύναμη που ασκείται σ' ένα σώμα το οποίο κάνει απλή αρμονική ταλάντωση.

ti,M§"#Fj#' Στην απλή αρμονική ταλάντωση ισχύει

(1)

δηλαδή το σώμα κάνει επιταχυνόμενη κίνηση (μη ομαλή).

Από τον θεμελιώδη νόμο της μηχανικής (20ς νόμος του Νεύ

τωνα) έχουμε για τη δύναμη F που ασκείται στο σώμα:

F=mo: (2)

όπου m η μάζα του σώματος. Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι η δύναμη που ασκεί

ται σ' ένα σώμα το οποίο κάνει απλή αρμονική ταλάντωση είναι

F = -mω2χ

Η τελευταία σχέση ισχύει στην περίπτωση όπου στο σώμα

ασκείται μόνο μία δύναμη. Αν στο σώμα ασκούνται περισσότε

ρες από μία δυνάμεις, τότε θα ισχύει

Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση η συνισταμένη δύναμη

μεταβάλλεται σε συνάρτηση με την απομάκρυνση χ όπως

φαίνεται στο διάγραμμα (ί) , ενώ σε συνάρτηση με τον χρόνο

στην ταλάντωση χωρίς αρχική φάση όπως φαίνεται στο διά

γραμμα (ii). Ισχύει

ΣΡ = - mω2 Αημωt

40 ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝ Ι ΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

ΓΘ.Y.l ~ +Α :

i ~ :

: '-Α i..: .~X __ ~,-------"X~.i

: ~ gJ: -~-----e- ----Θ-- -0----.1. Ρ ' F Ο F Ρ

ΣF [JJ

+Α

-Α χ

-mω~ .............. .

χ

[ill +Α

0,0

-Α

+mω 2Α

0,0

-mω 2Α

Για κάθε ταλαντούμενο σώμα

rί σύστημα η σταθερά ΕΠανα

φοράς D ε ίναι χαρακτηριστικό

μέγεθος , ανεξάρτητο του πλά

τους της TαλάνTωσrίς του ,

'-Α

ΓΘ.J.l ~

χ ;

:, Χ Ί

: α α :

χ

+Α : "

: ~ : ~ :

2.2 Σταθερά επαναφοράς D και δύναμη επαναφοράς σε μια απλή αρμονική ταλάντωση.

Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση , η συνολική δύναμη που α

σκείται στο σώμα δίνεται από τη σχέση

F = -mw2x

Αν το σταθερό γινόμενο mw2 το συμβολίσουμε με D , δηλαδή D = m w2, η παραπάνω σχέση γράφεται:

F=-Dx

τ rι σταθερά αναλογίας D Trιv ονομάζουμε σταθερά επαναφοράς

και rι τιμή τrις σχετίζεται με τα φυσικά xαραKT rιρ ισΤΙKά του συστή

ματος που κάνει TαλάνTωσrι,

Για παράδειγμα, για κάθε σώμα δεμένο στο ελεύθερο άκρο ε

λατηρίου σταθε ράς k η σταθερά επαναφοράς D, όταν αυτό κάνει ταλάντωση , είναι D = k , ανεξάρτητη της μάζας του σώματος και

του πλάτους της ταλάντωση ς.

Από τη σχέση F = - Dx συμπεραίνουμε ότι , για να εκτελεί

ένα σώμα απλή αρμονική ταλάντωση, πρέπει η δύναμη ή η συ

νισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό κατά τη διεύθυν

ση της κίνησής του να είναι ανάλογη με την απομάκρυνσή του .

Τη δύναμη F που περιγράφεται από τη σχέση F = -Dx την ονομάζουμε δύναμη επαναφοράς, γ ιατί ασκείται στο σώμα έτσι,

ώστε να το επιταχύνει πάντα προς τη θέση ισορροπίας του.

ΣTrιv απλή αρμονική TαλάνTωσrι ενός σώματος rι συνιστα

μένrι δύναμrι σTrι δ ιεύθυνσrι TαλάνTωσrις έχει φορά συνέχεια

προς τη θέση ισορροπίας κι έτσι τείνει πάντα να επαναφέρει

το κ ινούμενο σώμα σTrι θέσrι αυτή (δύναμrι επαναφοράς),

-ό----~----c.-----~-----~ Ρ ' F Ο F Ρ

Το αρνητικό πρόσημο στη σχέση F = -Dx εκφράζει το γεγονός ότι η δύναμη επαναφοράς και η απομάκρυνση έχουν

πάντα αντίθετες φορές.

41

2.3 Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να κάνει ένα σώμα απλή αρμονική ταλάντωση.

μ,Ψ§ .. :Β:' Για να κάνει ένα σώμα απλή αρμονική ταλάντωση , πρέπει η

συνισταμένη δύναμη ΣΡ που δέχεται να συνδέεται με την απο

μάκρυνση με τη σχέση

ΣΡ = -Dx

όπου D μια σταθερά (σταθερά επαναφοράς), η οποία εξαρτάται

από τα φυσικά χαρακτηριστικά του σώματC?ς που εκτελεί ταλά

ντωση.

Όταν ισχύει ΣΡ = - Dx, τότε το σώμα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση (η σχέση είναι ικανή). Για να κάνει ένα σώμα απλή

αρμονική ταλάντωση, πρέπει υποχρεωτικά να ισχύει ΣΡ = - Dx (η σχέση είναι αναγκαία).

2.4 Περίοδος μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης.

f;.i'Ψ§"#FS:Ι

Για ένα σώμα μάζας m που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση γωνιακής συχνότητας ω η σταθερά επαναφοράς D = mω2 είναι μια σταθερή ποσότητα, η τιμή της οποίας σχετίζεται με τα φυ

σικά χαρακτηριστικά του ταλαντούμενου συστήματος.

Από τη σχέση D = mω2 , επειδή ω = Ί:; ,όπου Τ η περίοδος της ταλάντωσης, παίρνουμε :

Τ= 2Π/fs

Η σxέσrι Τ = 2π J'B μας δείχνει όΤι rι περίοδος Τ Trις ταλά

νTωσrις είναι ανεξάρτητη του πλάτους Α Trις TαλάνTωσrις και rι

τιμή Trις καθορίζΕΤαι από Trι μάζα m του σώματος και από Trι

σταθερά επαναφοράς D.

Η συχνότητα 1 της ταλάντωσης υπολογίζεται από τη σχέση

1= ~ ή 1= _1 {D 2π v-;:;;

42 ΔΥΝΑΜ Η ΚΑΙ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Επειδή οι ποσότητες m και D είναι χαρακτηριστικές για κά

Θε ταλαντούμενο σύστημα, η

περίοδος Τ και η συχνότητα f Θα ε ίναι επίσης χαρακτηριστι

κά μεγέΘη του ταλαντούμενου

συστήματος, γι' αυτόν το λόγο

ονομάζονται αντίστοιχα ιδιο

περίοδος και ιδιοουχνότψα

του συστήματος.

Πορεία εργασίας που ακολουθούμε όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι ένα σώμα

κάνει απλή αρμονική ταλάντωση

Ι . Σχεδιάζουμε το σώμα στη θέση ισορροπίας και βρίσκουμε τις δυνάμε ις που ασκού

νται σε αυτό . Από τη σχέση ΣΡ= Ο , γράφουμε τη σχέση μεταξύ των δυνάμεων που

ασκούνται στο σώμα στη θέση ισορροπίας.

2. Σχεδιάζουμε το σώμα σε μια τυχαία θέση με απομάκρυνση χ από τη θέση ισορροπίας. Η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα στη θέση αυτή

βρ ίσκεται ως εξής από τις δυνάμε ις που έχουν τη φορά της απομάκρυνσης αφαι

ρούμε τις δυνάμεις που έχουν αντίθετη φορά.

Η σχέση ΣΡ = - Dx είναι ικανή για να κάνει το σώμα απλή αρμονική ταλάντωση. Ο συντελεστής του χ αποτελεί τη σταθερά επαναφοράς D της ταλάντωσης.

3. ί) Η αρχική απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας είναι και το

πλάτος Α της ταλάντωσης.

ίί) Η περίοδος Τ της ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση

Τ = 2Hfi ίίί)Αν τη χρονική στιγμή to = Ο το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας και

κινείται κατά τη θετική φορά , τότε η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι χ=

= Αημωt. Αν ως χρονική στιγμή to = Ο πα ίρνουμε τη στιγμή όπου το σώμα

είναι στη θέση της μέγιστης θετικής απομάκρυνσης (χ = + Α), τότε η εξ ί-

σωση της απομάκρυνσης είναι χ = Αημ(ωt + ~), δηλαδή η ταλάντωση έχει αρχική φάση Φο = ~ rad.

2.5 Το σώμα μάζας m = 4 kg βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο του οριζόντιου ε

λατηρίου σταθεράς k = 100 Ν 1m. Αν απομακρύνουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του στη διεύθυνση του άξονα του ε

λατηρίου και στη συνέχεια το αφήσουμε ελεύθερο, να αποδεί

ξετε ότι η κίνησή του θα είναι απλή αρμονική ταλάντωση και

να βρείτε την περίοδο αυτής.

fjj·fJO":F#' Στη θέση ισορροπίας (Θ.Ι.) , το ελατήριο έχει το φυσικό του

μήκος Ρο (δεν ασκείται δύναμη στο ελατήριο).

43

Όταν, ασκώντας μια εξωτερική δύναμη Fεξ, απομακρύνουμε το

σώμα από τη θέση ισορροπίας του κατά Α και στη συνέχεια το

αφήσουμε ελεύθερο , αυτό θα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση.

Πράγματι, σε μια τυχαία θέση με απομάκρυνση χ ασκείται

στο σώμα, στη διεύθυνση του ελατηρίου, μόνο η δύναμη του

ελατηρίου, Fελ = kx, η οποία έχει αντίθετη φορά από την απομάκρυνση, οπότε ισχύει

ΣF = Ο - FEA ή ΣF = - kx

Δηλαδή σε μια τυχαία θέση η συνισταμένη των δυνάμεων που

ασκούνται στο σώμα είναι ανάλογη της απομάκρυνσής του από

τη θέση ισορροπίας και έχει φορά προς τη θέση ισορροπίας . . Αλλά η συνθήκη αυτή είναι ικανή για να κάνει το σώμα απλή


Η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούντοι στο σώμα σε μια

τυχαία θέση αυτού με απομάκρυνση χ βρίσκΕΤΟΙ αν από Τις δυνά

μεις που έχουν Π) φορά πις απομάκρυνσης χ αφαιρέσουμε Τις

δυνάμεις που έχουν αντίθΕΤη φορά.

Η σταθερά D της ταλάντωσης ή σταθερά επαναφοράς είναι ο συντελεστής του χ στη σχέση ΣF = -kx, δηλαδή εδώ είναι

D=k

(Η σταθερά k του ελατηρίου είναι φυσικό χαρακτηριστικό του ταλαντούμενου συστή ματος ελατή ρω - σώμα.)

Η περίοδος Τ της ταλάντωσης βρίσκεται από τη σχέση D =

= m,ω2 • Αλλά ισχύει D = k και ω = Ί:; , οπότε

4π2 (Πl k = m · Τ2 ή Τ = 2π V k ή

Τ = 2Π) 4 s ή 100

2π T= -s

5

Η τελευταία σχέση μάς δείχνει ότι η περίοδος εξαρτάται μόνο

από τη μάζα m του σώματος και από τη σταθερά k του ελατη ρίου και είναι ανεξάρτητη από το πλάτος Α της ταλάντωσης.

Το πλάτος Α της ταλάντωσης είναι ίσο με την αρχική απο

μάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας.

44 ΔΥΝΑΜΗ ΚΑ Ι Α Π Λ Η ΑΡ Μ Ο ΝΙ Κ Η ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

: ι : Ι , l/ :

Ι ~:-.= Δ-Ξ ' f=11Wff~JIb~:

, ι

~Ίrm10=σ1)~1

Ι /

/

ΓΘ.I.l ~

2.6 Σώμα μάζας m = 2 kg βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατη

ρίου σταθεράς k = 8 Ν 1m. Το απομακρύνουμε κατά Χι = 10 C111

από τη θέση ισορροπίας του στη διεύθυνση του άξονα του ε

λατηρίου και τη χρονική στιγμή t = Ο το αφήνουμε ελεύθερο. ί) Να αποδείξετε ότι το σώμα θα κάνει απλή αρμονική ταλά-

ντωση.

ίi) Να βρείτε την περίοδο Τ της ταλάντωσης που θα κάνει το

σώμα.

ίίί) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης και να βρείτε

την απομάκρυνση χι και την ταχύτητα υι του σώματος τη , , t π

χρονικη στιγμη ι = 2 s.

ί) Όταν το σώμα βρίσκεται σε μια τυχαία θέση , όπου η απομά

κρυνση από τη θέση ισορροπίας του είναι Χ , στην οριζόντια

διεύθυνση (διεύθυνση του ελατηρίου) ασκείται σε αυτό μόνο

η δύναμη του ελατη ρίου, οπότε ισχύει

ΣΡ = Ο - Ρελ = - kx

Η σχέση αυτή αποτελεί ικανή συνθήκη για να κάνει το σώμα

απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D = k και με πλάτος ταλάντωσης τη μέγιστη απομάκρυνση από τη

θέση ισορροπίας, δηλαδή Α = χι = 10 cm = 0,1 m . ίί) Η περίοδος της ταλάντωσης του σώματος δίνεται από τη σχέ

ση

Τ = 2nj% ή Τ = 2π[Ξf- ή

τ = 2nji s ή Τ = π s

ίίί) Τη χρονική στιγμή t = Ο το σώμα βρίσκεται στη θέση Χ = = + Α, οπότε η εξίσωση της απομάκρυνσής του από τη θέση

ισορροπίας θα έχει τη μορφή

Χ = Αημ(ωt + Φο)

Για t = Ο παίρνουμε:

+ Α = Α ημ (ω . Ο + Φο) ή ημΦο = 1 π

ή Φο = 2 rad

45

Συνεπώς η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι

(S.1. )

Για t = tl = ; S η σχέση αυτή γράφεται:

Xl =ο ,lημ(2.; + ;) ή

Παρατηρούμε ότι τη χρονική στιγμή tl το σώμα βρίσκεται σε μία από τις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης, συνεπώς η ταχύ

τητά του θα είναι μηδέν, Vl = Ο. Το αποτέλεσμα το περιμέναμε, διότι αφού η περίοδος είναι Τ = π s, ο χρόνος tl = ; s αντι

στοιχεί σε μισή περίοδο. Έτσι, επειδή τη χρονική στιγμή

t = Ο το σώμα βρισκόταν στη μια ακραία θέση της ταλάντω-

σης, μετά από χρόνο ~ θα βρίσκεται στην άλλη ακραία θέση.

2.7 Σώμα μάζας m = 2 kg ισορροπεί δεμένο στο ελεύθερο άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = 200 Ν 1m. Απομακρύνουμε κατακόρυφα προς τα κάτω το σώμα κατά Δχ = = 5 cm και τη χρονική στιγμή t = Ο το αφήνουμε ελεύθερο.

ί) Να αποδείξετε ότι το σώμα θα κάνει απλή αρμονική ταλά-

ντωση.

ίί) Να βρείτε το πλάτος και την περίοδο της ταλάντωσης αυ

τής.

ίiί) Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης, της ταχύτη

τας και της επιτάχυνσης του σώματος σε συνάρτηση με τον

χρόνο και να κάνετε τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις.

M,(4§":fj#' ί) Στη θέση Ο, όπου το σώμα ισορροπεί, το ελατήριο είναι επι

μηκυμένο κατά Xl. Για τη θέση ισορροπίας ισχύει

ΣΡ = Ο ή Ρελ = mg ή kXl = mg (1)

Σε μια τυχαία θέση Γ του σώματος, η οποία απέχει Χ από τη

θέση ισορροπίας, θα έχουμε:

ΣΡ = mg - P~λ = mg - k( Xl + Χ)

46 ΔΥΝΑΜΗ ΚΑ Ι Α Π Λ Η ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Η περίοδος Τ της ταλάvτω

σης εξαρτάται από τη μάζα m

του σώματος και από τα φυ

σικά χαρακτηριστικά του τα

λαvτούμεvου συστήματος, τα

οποία εκφράζοvται με τη στα

θερά επαvαφοράς D, που στην άσκησή μας είvαι ίση με τη

σταθερά k του ελατηρίου.

J ~ j k, Coi ~ ~ Ι ,-. .. ~ ~ ~ t -- - -- ------ ----- -" ~ ---- ------- ,-~--- --------χι Ε FΊ ι, C ",.",,.. -Α .............. ,

ι ,; .... ΘΙ /,

ό t=ο mg

Λόγω της (Ι) , η σχέση αυτή γράφεται:

ΣΡ = -kx

σχέση που αποτελεί ικανή συνθήκη για να κάνει το σώμα

απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς

D = k = 200N/ m

ίί) Το πλάτος Α της ταλάντωσης είναι ίσο με την αρχική απο

μάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του, δηλαδή

Α = Δχ = 5cm

Η περίοδος Τ της ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση

/fs ' ~' Τ = 2π - η Τ = 2π - η D k

Τ = 2Π) 2~0 S = ~~ S = ; S

Η περίοδος Τ, όπως φαίνεται και από τη σχέση Τ = 2π fl , είναι ανεξάρτητη από το πλάτος Α της ταλάντωσης.

ίίί) Τη χρονική στιγμΙ1 t = Ο, που αφήνουμε το σώμα ελεύθερο, αυτό βρίσκεται στη θέση με απομάκρυνση χ = + Α, οπότε η εξίσωση της απομάκρυνσης θα είναι

χ = Αημ (wt + ;) ή χ = 5ημ (lOt + ;)

(ω = 2.; = ;/5 = 10 rad/ s) . Η εξίσωση της ταχύτητας είναι

47

υ = ωΑσυν ( wt + ;) ή

υ = 50συν( 10t + ;)

και η εξίσωση της επιτάχυνσης

α = -ω2χ = -ω2Αημ(ωt + ;) ή

α = - 500ημ (10t + ;)

(όπου χ σε cm, υ σε cm/5, α σε crn/52 και t σε s). Οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις φαίνονται στα διπλανά

σχήματα.

2.8 Το σώμα μάζας m = 2 kg είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου σταθεράς k = 200 Ν / m και ισορροπεί πάνω στο

λείο κεκλιμένο επίπεδο, γωνίας κλίσης Φ = 300.

ί) Να βρείτε την αρχική επιμήκυνση του ελατηρίου.

ii) Φέρνουμε το σώμα στη θέση όπου το ελατήριο έχει το φυσι

κό του μήκος και το αφήνουμε ελεύθερο. Να αποδείξετε ότι

το σώμα θα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση και να βρείτε φ

το πλάτος και την περίοδο της ταλάντωσης αυτής.

Δίνεται: 9 = 10 τπ/ s2.

Ι4,Μ§"=Ε):Ι

ί) Το σώμα ισορροπεί στη θέση Ο δεχόμενο το βάρος mg, την

Ρελ = k . Δχ και τη δύναμη Ν του επιπέδου. Αναλύουμε το

βάρος σε δύο συνιστώσες

mgημΦ και mgσυνΦ

Στη διεύθυνση του κεκλιμένου επιπέδου, αφού το

σώμα ισορροπεί, έχουμε:

ΣΡ = Ο ή mg ημΦ = Ρελ ή

mgημΦ = k · Δχ (1) ή

Δχ = mgημΦ k

2.10 . ..l.. --2-0-0--,2=-- m = 0,05 m

48 ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Ing

ίί) Σε μια τυχαία θέση Γ, που απέχει χ από τη θέση

ισορροπίας , στο σώμα στη διεύθυνση του κεκλιμέ

νου επιπέδου ασκούνται η Ρελ = k( ΔΧ - Χ) και η

συνιστώσα του βάρους mgημΦ . Η συνισταμένη δύ

ναμη στη διεύθυνση αυτή είναι

ΣΡ = Ρελ - mgημΦ = k(Δχ - Χ) - mgημΦ ή

ΣΡ = k . ΔΧ - mg ημΦ - kx

η οποία, λόγω της (1), γράφεται:

ΣΡ = - kx

σχέση ικανή για να κάνει το σώμα απλή αρμονική

ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D = k. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι ίσο με την αρχική απομά

κρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας, δηλαδή

Α = Δχ = 0,05m

Η περίοδος της ταλάντωσης βρίσκεται από τη σχέση

Γm, Γm Γ2 τ = 2ΠVJ5 η τ = 2πντ = 2ΠV200S = 0 ,2πs

2.9 Σώμα μάζας m = 2 kg βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο και έχει συνδεθεί στα ελεύθερα άκρα δύο οριζόντιων ε

λατηρίων με σταθερές k1 = 50 Ν 1m και k2 = 150 Ν 1m. Απομακρύνουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του στη διεύ

θυνση των ελατηρίων κατά Δχ = 5 cm και στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο. Αν το σώμα κινείται πάνω στο οριζόντιο

επίπεδο χωρίς τριβές, να αποδείξετε ότι θα κάνει απλή αρμο

νική ταλάντωση, να βρείτε το πλάτος και την περίοδο της τα

λάντωσης αυτής και να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυν

σης σε συνάρτηση με τον χρόνο.

Μ'ΨΟ"#Fj;Ι Όταν το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας Ο, στην οριζόντια

διεύθυνση (διεύθυνση των ελατηρίων) ασκούνται σε αυτό μόνο

οι δυνάμεις F1 και F2 από τα ελατήρια. Επειδή το σώμα ισορρο

πεί στη θέση αυτή , ισχύει

49

(1)

Σε μια τυχαία θέση, όπου η απομάκρυνση του σώ

ματος από τη θέση ισορροπίας είναι Χ, θα ισχύει

ΣF=F{-F~ ή ΣF=kι(Χι-χ)-k2(Χ2+Χ) ή

ΣF = (k1Xl - k2X2) - (k1 + k2)x

Η τελευταία σχέση, λόγω της (1), γράφεται:

ΣF = -(k1 + k2)x (2)

Η σχέση (2) αποτελεί ικανή συνθήκη για να κάνει το

σώμα απλή αρμονική ταλάντωση.

Ο συντελεστής του Χ στη σχέση (2) είναι η σταθερά επαναφοράς D, δηλαδή

D = k1 + k2 ή D = 200 Ν Ι m

Το πλάτος της ταλάντωσης είναι ίσο με την αρχική απομά

κρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του, δηλαδή

Α = Δχ = 5cm

Η περίοδος της ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση

Γm ' (2 Τ = 2ΠΥυ η τ = 2ΠΥ2δΟ8 = 0,2Π8

Αν πάρουμε ως χρονική στιγμή to = Ο τη στιγμή που αφή

νουμε το σώμα ελεύθερο, τότε αυτή τη στιγμή θα είναι Χ = + Α,

οπότε η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με τον χρόνο

θα είναι

Χ = Ασυνωt ή Χ = 5συν10t (Χ σε cm, t σε 8)

(Είναι ω = ~ = Ο:;Π radl8 = 10rad18)

2.1 Ο Σώμα μάζας m = 2 kg ισορροπεί δεμένο στα ελεύθερα άκρα δύο κατακόρυφων ελατηρίων με σταθερές k1 = 150 Ν 1m και k2 = 50 Ν Ι m. Α ν απομακρύνουμε το σώμα κατακόρυφα από τη θέση ισορροπίας του κατά Δχ = 10- 2 m και στη συνέχεια το αφήσουμε ελεύθερο, να βρείτε το είδος της κίνησης που θα εκτε

λέσει, να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσής του από τη

θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με τον χρόνο και να κάνετε την

αντίστοιχη γραφική παράσταση.


ΓΘ.Τ1 ~

P,YOiiIFi#' Στη θέση Ο, όπου το σώμα ισορροπεί , τα ελατήρια

είναι επιμηκυμένα κατά χι και Χ2 αντίστοιχα.

Για τη θέση ισορροπίας Ο ισχύει

ΣΡ = Ο ή m g + F2 = F I ή

mg + k2x2 = klXI (1)

Στην τυχαία θέση Γ, όπου η απομάκρυνση του

σώματος από τη θέση ισορροπίας του είναι Χ , ισχύει

ΣΡ = Ρ{ - p~ - mg ή

ΣΡ = kl (Xι - Χ) - k2(X2 + Χ ) - mg ή

ΣΡ = klXI - k2X2 - mg - (kl + k2)x

Η σχέση αυτή , λόγω της (1), γράφεται :

ΣΡ = - (k1 + k2)x (2)

και αποτελεί ικανή συνθήκη για να κάνει το σώμα απλή αρμονι

κή ταλάντωση .

Η σταθερά επαναφοράς D της ταλάντωσης είναι ο συντελε~ στής του Χ στη σχέση (2), δηλαδή

D = kl + k2 ή D = 200 Ν / m

και εξαρτάται από τα φυσικά χαρακτηριστικά του ταλαντούμε

νου συστήματος, τα οποία στην άσκησή μας είναι οι σταθερές

των ελατηρίων.

Η περίοδος Τ της ταλάντωσης βρίσκεται από τη σχέση

Γm ' (2 π Τ = 2π Υ 15 η τ = 2ΠΥ Wo S = 5 S

Το πλάτος Α της ταλάντωσης είναι ίσο με την αρχική απο

μάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του, δηλαδή

Α = Δχ = 10- 2 m

Επειδή τη χρονική στιγμή to = Ο το σώμα βρίσκεται στην

ακραία θέση Χ = + Α, η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με τον χρόνο θα είναι

Χ = Ασυνωt ή Χ = 10- 2συν10t (S.I.)

51

(ισχύει ω = ~ = ;/5 rαd/ s = 10 rαd/ s) και η γραφική της παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

2.11 Ένα σώμα μάζας m ισορροπεί πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο, γωνίας κλίσης Φ, δεμένο στα ελεύθερα άκρα δύο ελατη

ρίων με σταθερές k1 και k2• Αν απομακρύνουμε το σώμα λίγο

από τη θέση ισορροπίας του στη διεύθυνση των ελατηρίων και

στη συνέχεια το αφήσουμε ελεύθερο, να αποδείξετε ότι αυτό θα

κάνει απλή αρμονική ταλάντωση και να βρείτε την περίοδό

της.

Μ·Μ§ΙΟ·Η:Ι

Στη θέση ισορροπίας του σώματος τα ελατήρια είναι

επιμηκυμένα κατά Χι και Χ2 αντίστοιχα . Στη θέση αυτή

ισχύει

ΣF = Ο ή F2 = F1 + mg ημΦ ή

(1)

Σε μια τυχαία θέση, όπου η απομάκρυνση του σώ

ματος από τη θέση ισορροπίας του είναι Χ , θα ισχύει

ΣF = F~ - F{ - mg ημΦ ή

ΣF = kΛΧ2 - Χ ) - k1(Xl + Χ) - mgημΦ ή

ΣF = k2X2 - k1Xl - mgημΦ - (k1 + k2)x (2)

Η σχέση (2) , λόγω της (1), γράφεται :

ΣF = - (k1 + k2)x

και αποτελεί ικανή συνθήκη για να κάνει το σώμα απλή αρμονι

κή ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς

D = k1 + k2

και περίοδο

Τ = 2Π[% ή

ανεξάρτητη από το πλάτος της ταλάντωσης.

52 ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝ Ι Κ Η ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Χ (m)

t(s) 0,0 9----'tr--'Γ--~-ό--..

- - -)-~A-- -- -- -- ~ ---------- - ~ -------- ---- ----

Iξ!~ ]~--------------E1-----------\ ---\ - - Ι ,

-Α ---- ------- -- -- --- ---- ------ -- .- ---- -

~\;.······· ••.• · •• ·~.···· · ·····" · · ·Iα I\_.",.~,: ':F\X

α ~ \-]?E\x! \~~-Ό\ _-------------8-------- -- - -- - - -- - - -'t.,. __ ."._."",,\

2.12 Η οριζόντια επιφάνεια του σχήματος εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερό πλάτος Α = 0,4 m, σε κατακόρυφη διεύθυνση. Πάνω στην επιφάνεια βρίσκεται το σώμα Σ.

Να βρείτε την τιμή της περιόδου Τ της ταλάντωσης για την

οποία το σώμα χάνει την επαφή του με την επιφάνεια σε μια

από τις ακραίες θέσεις.

Δίνεται: 9 = 10m/s 2•

Ιi,Μ§Ι'#fj:Ι

Η επιφάνεια κάνει, κατακόρυφα, απλή αρμονική ταλάντωση

σταθερού πλάτους Α. Όταν το σώμα Σ βρίσκεται σ' επαφή με

την επιφάνεια, κάνει και αυτό απλή αρμονική ταλάντωση ίδιου

πλάτους Α και με ίδια περίοδο Τ με την ταλάντωση που κάνει η

επιφάνεια.

Στο σώμα ασκούνται το βάρος του mg και η δύναμη F από την επιφάνεια. Το σώμα χάνει την επαφή του με την επιφάνεια τη

στιγμή που η δύναμη F μηδενίζεται. \

• Όταν η επιφάνεια βρίσκεται κάτω από τη θέση ισορροπίας

της, το σώμα δεν χάνει ποτέ την επαφή του με την επιφά

νεια.

Πράγματι, όταν η επιφάνεια βρίσκεται κάτω από τη θέση

ισορροπίας της, σε θέση με απομάκρυνση Χ, επειδή το σώ

μα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση μαζί με την επιφά

νεια, η δύναμη επαναφοράς πρέπει να έχει φορά προς τη

θέση ισορροπίας. Άρα η δύναμη F πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το βάρος mg, δηλαδή στην περίπτωση αυτή η

F αποκλείεται να γίνει μηδέν .

• Όταν η επιφάνεια βρίσκεται πάνω από τη θέση ισορροπίας

της, το σώμα μπορεί να χάσει την επαφή του με την επιφά

νεια.

Πράγματι, όταν η επιφάνεια βρίσκεται πάνω από τη θέ

ση ισορροπίας της, σε θέση με απομάκρυνση Χ, επειδή

το σώμα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση μαζί με την ε

πιφάνεια, η δύναμη επαναφοράς θα έχει φορά προς τη

θέση ισορροπίας και θα ισχύει

ΣΡ = - Dx ή F - mg = - Dx ή F = mg - Dx

Αλλά D = mω2 = m .~, οπότε

53

Όταν είναι

4π2

F=mg - m ·_· x Τ2

4π2 ~ mg - m . Τ2 . χ = Ο , δηλαδή Τ = 2π V g

τότε F = Ο , οπότε το σώμα χάνει την επαφή του με την

επιφάνεια στη θέση όπου η απομάκρυνση είναι Χ.

Στην ακραία θέση , όπου χ = Α, το σώμα χάνει την επαφή του με την επιφάνεια όταν η περίοδος ταλάντωσης είναι

fA, 2π ΤΟ = 2π ν 9 η Τ = 5" s

Για τιμές της περιόδου μεγαλύτερες από ΤΟ το σώμα δεν

χάνει την επαφή του με την επιφάνεια. Για τιμές τη ς πε

ριόδου μικρότερες από ΤΟ το σώμα χάνει την επαφή του

με την επιφάνεια σε ενδιάμεσες θέσεις , όπου χ < Α.

2.13 Ο δίσκος του σχήματος έχει μάζα Μ = 6 kg και είναι δεμένος στο ελεύθερο άκρο του κατακόρυφου ελατηρίου σταθε

ράς k = 1000 Ν 1m. Πάνω στον δίσκο ισορροπεί σώμα μάζας m = 4 kg. Απομακρύνουμε κατακόρυφα το σύστημα δίσκος - σώ

μα από τη θέση ισορροπίας του και στη συνέχεια το αφήνουμε

ελεύθερο. Να βρείτε την περίοδο Τ της ταλάντωσης που κάνει

το σύστημα καθώς και το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης ώστε

το σώμα να βρίσκεται συνεχώς σ' επαφή με τον δίσκο.

Δίνεται: 9 = 10mls2•

,+",41 .. #'8#' Το σύστημα δίσκος - σώμα θα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση

με σταθερά επαναφοράς

D = k ή D = 1000 Ν 1m Η περίοδος της ταλάντωσης θα είναι

rm;;;: , ~ (JJJ Τ = 2ΠΥΙ) η τ = 2πy~ = 2ΠΥΤοΟΟΒ = 0 ,2Π Β

Η σταθερά επαναφοράς D 2 του σώματος μάζας m είναι διαφορετική από τη σταθερά επαναφοράς D του συστήματος δίσκοςσώμα.

54 ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΑΠ Λ Η ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Όσο πιο «γρήγορο» κινείται η

επιφάνε ια (μικρή περίοδος,

μεγάλη συχνότητα) , τόσο πιο

εύκολα χάνε ι την επαφή το

σώμα με την επιφάνεια (πά

ντοτε πάνω από τη θέση ισορ

ροπ ίας) .

I :~~ f -- -

Πράγματι, το σώμα εκτελεί ταλάντωση με την ίδια περίοδο Τ

( άρα και με την ίδια γωνιακή συχνότητα ω = ~) που εκτελεί ταλάντωση και το σύστημα, οπότε θα ισχύει

D = (m + Μ)ω2 και D2 = mω2

Διαιρώντας τις σχέσεις αυτές κατά μέλη παίρνουμε :

m

m+M 4 10

ή

Για να χάσει το σώμα την επαφή του με τον δίσκο, θα πρέπει

η δύναμη F που δέχεται από αυτόν να μηδενιστεί.

• Όταν το σύστημα βρίσκεται κάτω από τη θέση ισορροπίας

του, το σώμα αποκλείεται να χάσει την επαφή του με τον

δίσκο .

Πράγματι , στην περίπτωση αυτή για το σώμα θα ισχύει

ΣΡσώμ = - D 2x ή mg - F = - D 2x ή

που σημαίνει ότι η F αποκλείεται να γίνει ποτέ μηδέν .

(Άλλωστε, το διάνυσμα τη ς ΣΡσώμ έχει πάντα φορά προς

τη θέση ισορροπίας, οπότε η F πρέπει να είναι μεγαλύ

τε ρη από το βάρος mg του σώματος και κατά συνέπεια δεν

μπορεί να γίνει μηδέν.)

• Όταν το σύστημα βρίσκεται πάνω από τη θέση ισορροπίας

του, το σώμα μπορεί να χάσει την επαφή του με τον δίσκο.

Πράγματι, στην περίπτωση αυτή για το σώμα ισχύει

Το σώμα χάνει την επαφή του με τον δi.σκο όταν

F = Ο ή mg - D2x = Ο ή

mg 4 · 10 x=- = - -m = Olm

D2 400 '

Συνεπώς , για να μην χάσει το σώμα την επαφή του με τον

δίσκο , θα πρέπει το πλάτος τη ς ταλάντωσης να είναι μι

κρότερο από 0,1 m . Άρα Α,ηaχ = 0,1 m .

55

Αν το πλάτος της ταλάντωσης είναι μεγαλύτερο από 0,1 m, τότε

το σώμα θα χάσει την επαΦrΊ του με τον δίσκο στη θέση όπου η

απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας είναι 0,1 m και πάντοτε

πάνω από τη θέση ισορροπίας.

2.14 Στο διπλανό σχήμα τα σώματα με μάζες ml και m2 είναι δεμένα στα άκρα του κατακόρυφου ελατηρίου. Να βρείτε τη

μέγιστη τιμή της κατακόρυφης δύναμης F που πρέπει να ασκήσουμε στο σώμα μάζας ml, ώστε αν στη συνέχεια το αφήσουμε ελεύθερο, αυτό, ανεβαίνοντας, μόλις να ανυψώσει το

σώμα μάζας m2.

f4·fJOi ':Fj#' Στη θέση Ο, όπου το σώμα μάζας ml ισορροπεί, θα έχουμε:

ή mιg

Χι=--k

Στη θέση Γ, όπου το σώμα μάζας ml ισορροπεί δεχό

μενο τη δύναμη Ρ, ισχύει

F + mlg = k(Xl + Χ2) ή

F + mrg = k Xl + kX2

Λόγω της (1), η σχέση αυτή γράφεται:

F Χ2=-

k ή (2)

(1)

Αν αφήσουμε το σώμα μάζας ml ελεύθερο, αυτό θα κάνει

απλή αρμονική ταλάντωση γύρω από τη θέση ισορροπίας του

Ο με πλάτος Α = Χ2.

Για να αποσπαστεί το σώμα μάζας m2 από το έδαφος, πρέπει

εκείνη τη στιγμή η δύναμη που ασκεί σε αυτό το ελατήριο να

έχει φορά προς τα πάνω και να είναι μεγαλύτερη από το βάρος

του m2g. Αλλά, για να έχει η δύναμη του ελατηρίου που ασκείται

στο σώμα μάζας m2 φορά προς τα πάνω, πρέπει το ελατήριο

εκείνη τη στιγμή να είναι επιμηκυμένο.

Έστω ότι στην ακραία θέση (ανώτερη) του σώματος μάζας ml

το ελατήριο είναι επιμηκυμένο κατά Χ3, οπότε η δύναμη του

ελατηρίου θα είναι

56 ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝ Ι ΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Fελ = kX3

Στην περίπτωση όπου μόλις που ανυψώνεται το σώμα μάζας m2 ,

θα ισχύει

(3)

Όπως φαίνεται και από το σχήμα, το πλάτος Α της ταλάντωσης

είναι

Αλλά Α = Χ2, οπότε

Η σχέση αυτή , λόγω των (1), (2) και (3), γράφεται:

F mlg m2g k=~+-k- ή

2.15 ί) Ποια είναι η αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε ένα σώμα να κάνει απλή αρμονική ταλάντω

ση;

ίi) Στην απλή αρμονική ταλάντωση να γίνει το

διάγραμμα της δύναμης επαναφοράς σε συνάρ

τηση με την απομάκρυνση (Ρ = f (χ)).

2.16 ί) Για το πρότυπο του απλού αρμονικού τα

λαντωτή να αποδείξετε τη σχέση Τ = 2π v1f . ίί) Στο ελεύθερο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθε-

ράς k στερεώνεται ένα σώμα που ταλαντώνεται με περίοδο Τ. Πόση θα γίνει η περίοδος της

ταλάντωσης αν διπλασιαστεί το πλάτος;

2.17 ί) Μπορεί ένα σώμα να κάνει απλή αρμονική

ταλάντωση χωρίς να ασκείται καμία δύναμη πάνω

του;

ίί) Η κίνηση μιας μπάλας που αναπηδά από το

πάτωμα είναι μια ταλάντωση . Να αποδείξετε

ότι ακόμη και στην περίπτωση όπου το πλάτος

της ταλάντωσης μένει σταθερό, αυτή δεν είναι

απλή αρμονική ταλάντωση.

2.18 Σώμα μάζας m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η απομάκρυνση χ του σώματος από τη θέ

ση ισορροπίας δίνεται από τη σχέση χ = Αημωt,

όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης και ω η γωνιακή

συχνότητα. Να αποδείξετε ότι η συνολική δύναμη

που δέχεται το σώμα σε τυχαία θέση της τροχιάς

του δίνεται από τη σχέση F = - m w2x .

Εξετάσεις 2003

57

2.19 Δύο σώματα με μάζες ml και m2, όπου m ,j = = 2m2, είναι ενωμένα μεταξύ τους και εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση. Να αποδείξετε ότι οι

σταθερές επαναφοράς για τα δύο σώματα συνδέ

ονται με τη σχέση D j = 2D2 .

2.20 Σε σώμα μάζας m η συνισταμένη των δυνάμεων έχει σταθερή διεύθυνση και η τιμή της συνδέ

εται με την απομάκρυνση του σώματος από τη θέση

ισορροπίας του με τη σχέση ΣΡ = - 18χ. Πώς

μπορεί να μεταβάλλεται η τιμή της ΣΡ με τον χρό-

νο;

2.21 Ένα σώμα μπορεί να κινείται χωρίς τριβές πάνω σε οριζόντιο δάπεδο, δεμένο στο ελεύθερο

άκρο οριζόντιου ελατηρίου. Να βρείτε την αρχι

κή φάση της ταλάντωσης που θα κάνει το σώμα σε

καθεμία από τις επόμενες περιπτώσεις:

ί) Τη στιγμή που το ελατήριο έχει το φυσικό του

μήκος και το σώμα ισορροπεί, δίνουμε μια γρή

γορη ώθηση στο σώμα κατά τη φορά αύξησης

του μήκους του ελατηρίου.

2.25 Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση υπό την επίδραση συνισταμένης δύναμης

F. Αν χ είναι η απομάκρυνση του σημείου από τη θέση ισορροπίας του και D θετική σταθερά, τότε

για τη δύναμη ισχύει:

ί) F=D ίίί) F = -Dx

ίί) F = Dx ίν) F = Ο

Ποια είναι η σωστή απάντηση; Εξετάσεις 2002

2.26 Ένα σώμα μάζας m είναι στερεωμένο στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k και κάνει ταλάντωση με περίοδο ΤΟ. Αν το σώμα

αντικατασταθεί από άλλο μάζας 4m, η περίοδος ταλάντωσης του σώματος μάζας 4m θα είναι ίση με: ί) 4Το ίί) ΤΟ ίίί) 2Το


ίί) Απομακρύνουμε λίγο το σώμα από τη θέση

ισορροπίας του και στη συνέχεια το αφήνουμε

ελεύθερο.

2.22 Στην απλή αρμονική ταλάντωση , ποια από τα μεγέθη απομάκρυνση, ταχύτητα, επιτάχυνση,

δύναμη επαναφοράς παίρνουν ταυτόχρονα τη μέ

γιστη ή την ελάχιστη (κατά απόλυτη τιμή) τιμή

τους;

2.23 Μ' ένα ελατήριο άγνωστης σταθεράς θέλουμε να μετρήσουμε την άγνωστη μάζα m x ενός σώ

ματος. Στη διάθεσή μας έχουμε ένα σώμα γνωστής

μάζας ml και ένα χρονόμετρο. Να υποδείξετε έναν

τρόπο με τον οποίο μπορούμε να βρούμε την ά

γνωστη μάζα.

2.24 Στη διάθεσή μας έχουμε χρονόμετρο , βαθμολογημένο κανόνα , ελατήριο άγνωστης σταθεράς

και σώμα άγνωστης μάζας. Να προτείνετε ένα πεί

ραμα που μπορούμε να κάνουμε, για να βρούμε την

επιτάχυνση της βαρύτητας.

ίν) Το /2 ν) Το /4 Ποια είναι η σωστή απάντηση;

2.27 Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση Α ενός σώματος, σε απομάκρυνση Xj η δύναμη επαναφο

ράς είναι F 1, ενώ σε μια απλή αρμονική ταλάντω

ση Β του ίδιου σώματος, σε απομάκρυνση 2Xl η

δύναμη επαναφοράς είναι πάλι F j . Οι συχνότητες

!Α και fB των δύο ταλαντώσεων συνδέονται με τη σχέση:

ί) fA = fB

ίίί) f Α = V2fB

ίί) fA = 2fB

ίν) fA = I~

Ποια είναι η σωστή απάντηση;

2.28 Η γραφική παράσταση του σχήματος

δείχνει πώς μεταβάλλε

ται η ταχύτητα ενός σώ-

ματος, το οποίο εκτελεί

απλή αρμονική ταλά-

υ

-V,na:ι:: --- -------

ντωση, σε συνάρτηση με τον χρόνο. Ποιες από

τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες

λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή

σας.

ί) Τη χρονική στιγμή t = Ι η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας είναι

μηδέν.

ίί) Τη χρονική στιγμή t = Ι η σταθερά επαναφοράς είναι μέγιστη .

ίίί) Τη χρονική στιγμή t = ~ η επιτάχυνση του σώματος είναι μηδέν .

ίν) Τη χρονική στιγμή t = 3[ η δύναμη επαναφοράς είναι μηδέν .

2.29 Η περίοδος της ταλάντωσης ενός σώματος Α κρεμασμένου στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ε

λατηρίου είναι ΤΑ = 3 s , ενώ η περίοδος της ταλάντωσης ενός σώματος Β κρεμασμένου στο

ελεύθερο άκρο του ίδιου ελατηρίου είναι TB = 4s. Όταν στο άκρο του προηγούμενου ελατηρίου είναι

κρεμασμένα και τα δύο σώματα Α και Β , τότε η

περίοδος της ταλάντωσης είναι ίση με :

i) 2 s ίί) 3 s ίίί) 4 s ίν) 5 s

Ποια είναι η σωστή απάντηση ;

2.30 Τα δύο σώματα του σχήματος με μάζες

m l και m2, όπου ml =

k, Co J1f01fδ(6'ccWI~ ~

= 2m2 , εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση δεμένα στο ελεύθερο άκρο του οριζόντιου ελατη

ρίου σταθεράς k. Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; Να αι

τιολογήσετε την απάντησή σας.

i) Η σταθερά επαναφοράς του συστήματος των

δύο σωμάτων είναι D = k. ίί) Η σταθερά επαναφοράς του σώματος μάζας ml

είναι D1 = k/ 3.

ίίί) Τα δύο σώματα έχουν διαφορετικές σταθερές

επαναφοράς, οπότε και διαφορετικές περιό

δους.

ίν) Κάθε στιγμή οι επιταχύνσεις των δύο σωμά

των είναι ίσες.

2.31 Ένα σώμα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση. Η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο

σώμα:

ί) είναι σταθερή ,

ίί) είναι ανάλογη της απομάκρυνσης χ του σώμα

τος από τη θέση ισορροπίας,

ίίί) έχει το ίδιο πρόσημο με την απομάκρυνση χ

του σώματος από τη θέση ισορροπίας,

ίν) σε κάποια χρονικά διαστήματα έχει το ίδιο

πρόσημο με την ταχύτητα του σώματος,

ν) έχει φορά πάντα προς τη θέση ισορροπίας,

νί) έχει φορά συνέχεια αντίθετη με τη φορά της

επιτάχυνσης του σώματος,

νίί) είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου.

Ποιες από τις παραπάνω προτάσεις είναι σωστές

και ποιες λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε την α

πάντησή σας.

2.32 Για μια απλή αρμονική ταλάντωση ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές και ποιες

λανθασμένες ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή

σας.

ί) Η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται

στο σώμα ονομάζεται και δύναμη επαναφοράς.

ίί) Η σταθερά επαναφοράς D σχετίζεται με τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος που κά

νει ταλάντωση.

ίίί) Η σχέση ΣΡ = - Dx αποτελεί ικανή συνθήκη για να κάνει το σώμα απλή αρμονική ταλάντω

ση .

ίν) Η σταθερά επαναφοράς εξαρτάται από την αρ

χική απομάκρυνση του σώματος από τη θέση

ισορροπίας του.

ν) Στη σχέση ΣΡ = - Dx το αρνητικό πρόσημο εκφράζει το γεγονός ότι η δύναμη επαναφοράς

και η απομάκρυνση έχουν πάντα αντίθετες φο

ρές .

59

νί) Η σταθερά επαναφοράς D έχει ίδιο πρόσημο με την απομάκρυνση Χ.

2.33 Το σώμα μάζας m του διπλανού σΧι1ματος

εί ναι δεμένο στο ελεύ

θερο άκρο του οριζό

ντιου ελατηρίου σταθεράς k και κάνει ταλάντωση πάνω στο λείο οριζόντιο επίπεδο. Ποιες από τις πα

ρακάτω προτάσεις είναι σωστές; Να αιτιολογήσετε

την απάντησή σας.

ί) Η σταθερά επαναφοράς D εξαρτάται από τη μάζα m του σώματος.

ίί) Η σταθερά επαναφοράς D εξαρτάται από το πλάτος Α της ταλάντωσης.

ίίί) Η δύναμη επαναφοράς είναι κάθε στιγμή ίση

με τη δύναμη του ελατηρίου.

ίν) Η περίοδος Τ της ταλάντωσης έχει σχέση με

τη σκληρότητα του ελατηρίου.

ν) Η συχνότητα f της ταλάντωσης υποδιπλασιάζεται όταν διπλασιάζεται το πλάτος Α της τα

λάντωσης .

νί) Η θέση ισορροπίας του σώματος είναι η θέση

όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος.

νίί)Αν το πείραμα γινόταν στο διάστημα, εκτός

πεδίου βαρύτητας, τότε το σώμα δεν θα έκανε


2.34 Το σώμα μάζας m του επόμενου σχήματος ισορροπεί δεμένο στο ελεύθερο άκρο του κατακό-

2.35 Ένα σώμα μάζας m = 0,01 kg κάνει απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α = 0,3 m. Στη θέση Χ = + O,lm η δύναμη επαναφοράς είναι ΣΡ =

= - 20 Ν. Να βρείτε: ί) τη σταθερά επαναφοράς D , ίί) τη μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά το σώμα,

ίίί) την ταχύτητα που έχει το σώμα στη θέση Χ =

= + O,lm.

2.36 Σώμα μάζας m = 2 kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση . Στις θέσεις όπου η ταχύτητα του

60 ΑΥΝΑΜΗ ΚΑ Ι ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝ Ι Κ Η ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

ρυφου ελατη ρίου στα-

θεράς k. Απομακρύνουμε το σώμα προς τα

κάτω κατά Χ2 και τη

χρονική στιγμή t= Ο

το αφήνουμε ελεύθερο.

Ποιες από τις επόμενες

προτάσεις είναι σω

στές; Να αιτιολογήσε-

τε την απάντησή σας .

ί) Το σώμα θα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση

με σταθερά επαναφοράς D = k.

ίί) Το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α = χι + Χ2. ίίί) Η περίοδος της ταλάντωσης είναι ανεξάρτητη

από την αρχική απομάκρυνση Χ2 .

ίν) Σε κάθε θέση η δύναμη επαναφοράς είναι ίση

με τη δύναμη του ελατηρίου.

ν) Μπορεί να υπάρχει θέση όπου η Ρελ = Ο, ενώ η δύναμη επαναφοράς να είναι διάφορη από το

μηδέν .

νί) Τη χρονική στιγμή t = Ο η επιτάχυνση του σώματος είναι μηδέν.

vii) Στη θέση ισορροπίας η επιτάχυνση του σώμα-

δ , , , kXI τος ινεται απο τη σχεση α = ---;;:n.

νίίί) Αν το πείραμα γινόταν στη Σελήνη , η περίο

δος της ταλάντωσης θα ήταν ίδια με την περίο

δο της ταλάντωσης στη Γη .

σώματος μηδενίζεται στιγμιαία η επιτάχυνσή του

έχει μέτρο α = 16 ml 82. Αν το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α = 4 m, να βρείτε: ί) την περίοδο της ταλάντωσης,

ίί) τη μέγιστη ταχύτητα που αποκτά το σώμα,

ίίί) τη σταθερά επαναφοράς D, ίν) τη μέγιστη δύναμη που ασκείται στο σώμα.

2.37 Στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = 100 Ν 1m ισορροπεί σώμα μάζας m= = 4 kg . Απομακρύνουμε κατακόρυφα το σώμα προς

τα κάτω κατά d = 2 cm και τη χρονική στιγμή t = = Ο το αφήνουμε ελεύθερο. ί) Να αποδείξετε ότι το σώμα θα κάνει απλή αρ

μονική ταλάντωση.

ίί) Να βρείτε τη σταθερά επαναφοράς της ταλά

ντωσης.

ίίi) Να βρείτε την αρχική φάση και τη συχνότητα

της ταλάντωσης.

ίν) Ποια είναι η μέγιστη ταχύτητα και ποια η μέ

γιστη επιτάχυνση που αποκτά το σώμα;

ν) Ποια είναι η μέγιστη δύναμη που δέχεται το

σώμα από το ελατήριο κατά τη διάρκεια της

ταλάντωσής του;

Δίνεται: 9 = 10m/s2.

2.38 Για ένα σώμα μάζας m = 10 kg, που κάνει απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α = 5 m, γνωρίζουμε ότι η μέγιστη ταχύτητά του είναι V n1ax = = 4 m/ s. Να βρείτε: ί) την περίοδο Τ της ταλάντωσης,

ίί) τη σταθερά επαναφοράς D , ίίί) τη δύναμη επαναφοράς όταν η απομάκρυνση

του σώματος από τη θέση ισορροπίας του είναι

χ = +2m.

2.39 Ένα σώμα μάζας m = 0,01 kg κάνει απλή αρμονική ταλάντωση και τη χρονική στιγμΙ1 t η απομάκρυνσή του είναι χ = + 2 ση, ενώ η επιτά

χυνσή του είναι α = - 8m/s2 . Να υπολογιστούν: i) η περίοδος της ταλάντωσης,

ίί) η δύναμη επαναφοράς τη χρονική στιγμή t.

2.40 Σώμα μάζας m = 4 kg εκτελεί απλή αρμονΙΚ11 ταλάντωση πλάτους Α = 4 cm και περιόδου Τ = = 2 s. Τη χρονική στιγμή t = Ο το σώμα βρίσκεται

στη θέση χ = - ; και κινείται κατά τη θετική φορά.

ί) Να βρείτε την αρχική φάση Φο της ταλάντω

σης.

ίi) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης

του σώματος σε συνάρτηση με τον χρόνο και

να κάνετε την αντίστοιχη γραφική παράστα

ση.

ίίi) Ποια είναι η δύναμη επαναφοράς του σώματος

στη θέση χ = - ;;

2.41 Ένα σώμα μάζας m = 2 kg κάνει απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α = 1 m και περιόδου

Τ = 2 s. Αν τη χρονική στιγμή t 1 = Ο η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας εί-

ναι Xj = + ;; m και η ταχύτητά του είναι αρνητική, να βρείτε :

i) τη σταθερά επαναφοράς D , ίί) την αρχική φάση Φο της ταλάντωσης,

ίίί) τη δύναμη επαναφοράς τη χρονική στιγμή t2 = = 3s.

2.42 Ένα σώμα μάζας m = 2 kg κάνει απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α = 8 m. Όταν το σώμα

βρίσκεται στις ακραίες θέσεις της τροχιάς του , η

δύναμη επαναφοράς έχει μέτρο F = 16 Ν. Να

βρείτε:

ί) τη σταθερά επαναφοράς D, ίί) τη μέγιστη ταχύτητα V max του σώματος,

ίίί) το μέτρο της δύναμης επαναφοράς όταν το μέ

τρο της απομάκρυνσης είναι χ = 3m.

2.43 Όταν το σώμα του σχήματος ισορροπεί, το

ελατήριο είναι επιμηκυ

μένο κατά Xj = 0,1 rn.

Α ν μετατοπίσουμε το

σώμα κατακόρυφα και

στη συνέχεια το αφή

σουμε ελεύθερο , να α

ποδείξετε ότι αυτό θα

κάνει απλή αρμονΙΚ11

~~

k ,lr~

,"o~ 9 ~

ΘΙ '~']- --- ;-;,:.-----~ ~------o ----I--~

Ing χ --------------.-.-------- --

ταλάντωση και να βρείτε την περίοδο Τ της ταλά-

ντωσης αυτής.

Δίνεται: 9 = 10 m/ s2.

2.44 Ένα σώμα μάζας m, = 0,2 kg ηρεμεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεμένο στο ελεύθερο άκρο

ελατηρίου σταθεράς k=20 Ν /m. Αν το σώμα απομακρυνθεί λίγο από τη θέση του κατά τη διεύ-

61

θυνση του άξονα του ε

λατη ρίου και αφεθεί

στη συνέχεια ελεύθερο:

i) να αποδείξετε ότι

θα εκτελέσει απλή

αρμονική ταλάντω-

ση,

ii) να βρείτε την περίοδο της ταλάντωσης αυτής.

2.45 Ένα σώμα μάζας m = 2 kg κάνει απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α = 5 m. Όταν η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας

είναι Χ = + 3 m, η δύναμη επαναφοράς έχει μέτρο F = 96 Ν. Να βρείτε: i) τη σταθερά επαναφοράς D , ii) τη συχνότητα f της ταλάντωσης,

iii) το μέτρο της ταχύτητας και της επιτάχυνσης στη θέση όπου η απομάκρυνση είναι Χ = + 3 'm.

2.46 Το οριζόντιο ελατήριο του σχήματος έχει

σταθερά k = 200 Ν 1m. Σώμα με μάζα m = 2 kg κινείται χωρίς τριβές με

οριζόντια ταχύτητα μέ

τρου υ = 10 ml8 και πέ

~ k,l'o

.~ , Α i

k~ φτει στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου.

v -Q

i) Να αποδείξετε ότι το σώμα θα κάνει απλή αρ

μονική ταλάντωση και να βρείτε τη σταθερά

επαναφοράς.

ii) Πόση είναι η μέγιστη παραμόρφωση του ελατηρίου και πόση η μέγιστη δύναμη που ασκεί

αυτό στο σώμα;

2.47 Ένα σώμα μάζας m = 10- 2 kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με συχνότητα Ι = 25 ΗΖ.

Να βρείτε την απομάκρυνση , την ταχύτητα, την

επιτάχυνση και τη δύναμη επαναφοράς τη χρονι

κή στιγμή t = 0,01 8 , όταν η εξίσωση της απομά

κρυνσης είναι (στο S.I.): i) Χ = 0,1 ημωt ii) Χ = Ο , lσυνωt

2.48 Το σώμα του σχήματος, μάζας m = 1 kg, αρχικά ηρεμεί στη θέση Ο πάνω στο λείο οριζόντιο

62 ΔΥΝΑΜ Η ΚΑΙ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝ Ι Κ Η ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

επίπεδο , δεμένο στα ελεύθερα άκρα ελατηρίων με

σταθερές k1 = 10 Ν Ιπι και k2 = 6 Ν 1m. Απομα-

κρύνουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του

στη διεύθυνση των ελατηρίων κατά ΔΧ = 0,1 m και στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο.

i) Να αποδείξετε ότι το σώμα θα εκτελέσει απλή


ii) Να βρείτε την περίοδο της ταλάντωσης. iii) Να βρείτε τη μέγιστη κινητική ενέργεια του

σώματος .

2.49 Τα σώματα του σχήματος έχουν μάζες

mI = 0,6kg και m2 = = 0,7 kg, ισορροπούν κρεμασμένα από τα

δύο όμοια ελατή ρια ,

και ισχύει Χ2 - ΧΙ = = 0,1 m. Αν ένα σώμα μάζας m 3 = 0,9 kg εί-ναι κρεμασμένο από

τρίτο όμοιο ελατήριο, να βρείτε την περίοδο Τ3 της ταλάντωσής του.

Δίνεται: 9 = 10 ml 82 .

2.50 Το ιδανικό ελατήριο του επόμενου σχήματος έχει σταθερά k = 100 Ν 1m και το σώμα μάζα m = 4 kg. Το κεκλιμένο επίπεδο με κλίση Φ = 300 είναι λείο και το σώμα είναι στερεωμένο στο ελα

τήριο. Μετακινούμε το σώμα κατά μήκος του κε

κλιμένου επιπέδου και το φέρνουμε στη θέση του

φυσικού μήκους του ελατηρίου.

i) Πόση είναι αυτή η μετατόπιση;

ίί) Αν αφήσουμε ελεύθερο το σώμα, να αποδείξε

τε ότι θα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση και

να υπολογίσετε την περίοδό της .

φ

2.51 Στο επόμενο σχήμα, το σώμα μάζας ml = = 6 kg είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο του κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = 100 Ν Ιπι.

2.52 Το σώμα του σχήματος, μάζας m = 4 kg, είναι δεμένο στα ελεύθερα άκρα των ελατηρίων με

σταθερές k1 = 100 Ν 1m και k2 = 300 Ν 1m, τα οποία έχουν το φυσικό τους μήκος. Το σώμα εκτρέ

πεται από τη θέση ισορροπίας του κατά τη διεύ

θυνση των ελατηρίων και στη συνέχεια αφήνεται

ελεύθερο. Αν το δάπεδο είναι λείο, να δικαιολο

γήσετε γιατί το σώμα εκτελεί αρμονική ταλάντω

ση και να υπολογίσετε την περίοδό της.

2 .53 Το καρότσι μάζας m = 4 kg του επόμενου σχήματος είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο του ε

λατηρίου σταθεράς kl = 300 Ν 1m και ισορροπεί. Το καρότσι απέχει από το ελεύθερο άκρο ενός άλ

λου ελατηρίου σταθεράς k2 = 100 Ν 1m απόστα-

~ \Θ!\ ....... θ·.- ... Ι ~-' ~ χ ~ ... ..... . -.

Jn , (T ~ _ c ~

'fiii!} -Γ Πάνω στο σώμα μάζας ml βρίσκεται σώμα μάζας

m2 = 4 kg. Το σύστημα των δύο σωμάτων εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Να βρείτε τη σταθερά

επαναφοράς για το σύστημα των δύο σωμάτων και

για κάθε σώμα χωριστά.

ση α = 0,4 m. Μετακινούμε οριζόντια το καρότσι και το δένουμε στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου

σταθεράς k2 . Αν στη συνέχεια αφήσουμε το κα

ρότσι ελεύθερο:

ί) να αποδείξετε ότι θα κάνει απλή αρμονική τα

λάντωση και να βρείτε τη σταθερά επαναφο

ράς D, ίί) να βρείτε την περίοδο Τ και το πλάτος Α της

ταλάντωσης που θα κάνει αυτό.

2.54 Από το σημείο Α του κεκλιμένου επιπέδου του σχήματος που ακολουθεί, γωνίας κλίσης Φ,

αφήνεται χωρίς αρχική ταχύτητα ένα σώμα μάζας

63

m , το οποίο στη συνέχεια κινείται χωρίς τριβές και συναντά το οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k.

L , Α

rrumThm; ? .... ~.. .. / . Β : :\ / s

: :,, ~ L--s-J. \.

Να αποδείξετε ότι η κίνηση του σώματος είναι

περιοδική και να υπολογίσετε την περίοδό της.

2.55 Το σώμα του επόμενου σχήματος έχει μάζα m = 2 kg και είναι στερεωμένο στο ιδανικό ελατήριο που έχει σταθερά k = 200 Ν 17n. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο στο πάτω

μα. Απομακρύνουμε το σώμα κατακόρυφα κατά Α

από τη θέση όπου αρχικά ισορροπεί.

Ίς .. ··ι ~ F;~; g.,.1 ~'::ο"'Όlm · .. ··~·I ...... ~ .... ;I.~ .~_ ...... ~ 9 _ ... .... [~1._ ............. .. ~ ~, ~ I1Ig Ι '. α ΞΙ, ~ Α 'θ' '=j ~ =/ κραια εση

Γ( l' Γr' ταλάντωσης

Ιο=Ω, Χ=+Α

ί) Να αποδείξετε ότι το σώμα, από τη στιγμή που

θα αφεθεί ελεύθερο και μετά , θα εκτελέσει α

πλή αρμονική ταλάντωση.

ίί) Να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης.

2.56 Το σώμα μάζας m του σχήματος ισορρο

πεί δεμένο στο ελεύθε

ρο άκρο του κατακόρυ

φου ελατηρίου. Απομα

κρύνουμε το σώμα κα

τακόρυφα από τη θέση

ισορροπίας του κατά

Δχ = 0,02m και στη συνέχεια το αφήνουμε

ελεύθερο. Αν τη στιγμή

που αφήνουμε το σώμα


ελεύθερο η επιτάχυνσή του έχει μέτρο ίσο με α = = 0,32 ml 8 2, να βρείτε: ί) την περίοδο Τ της ταλάντωσής του,

ίί) το μέτρο της ταχύτητάς του στη θέση ισορρο

πίας του,

ίίί) την εξίσωση της κίνησής του.

2.57 Ένα σώμα μάζας rn = 4 kg βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο

και είναι δεμένο στο ε

λεύθερο άκρο οριζό

ντιου ελατη ρίου. Απο

μακρύνουμε το σώμα

από τη θέση ισορρο

Θ t=O

πίας του κατά ΔΧ = 10 cm στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου και στη συνέχεια το αφήνου

με ελεύθερο. Αν στη θέση της μέγιστης απομά

κρυνσης η δύναμη του ελατηρίου έχει μέτρο F = = 6,4 Ν, να βρείτε:

ί) τη σταθερά k του ελατηρίου ,

ίί) τη σταθερά επαναφοράς D , ίίί) την περίοδο Τ της ταλάντωσης του σώματος,

ίν) την απομάκρυνση Χ του σώματος από τη θέση

ισορροπίας και την ταχύτητά του μετά από

χρόνο t = ~ 8 από τη στιγμή που το αφήνουμε

ελεύθερο.

2.58 Το σώμα του σχήματος, μάζας 'm = 2 kg, είναι δεμένο στα ελεύθερα άκρα των δύο ελατηρίων,

τα οποία έχουν σταθερές k) = 50 Ν 1m και k2 =

= 150 Ν 1m, και ισορροπεί πάνω στο λείο κεκλιμένο επίπεδο. Αν απομακρύνουμε το σώμα από τη

θέση ισορροπίας του κατά μήκος του κεκλιμένου

επιπέδου και στη συνέχεια το αφήσουμε ελεύθερο ,

να αποδείξετε ότι θα κάνει απλή αρμονική ταλά

ντωση και να βρείτε την περίοδό της.

2 .59 Στο διπλανό σχή-μα το σώμα μάζας m 2 = = 4 kg απέχει από το έ

δαφος h = 3,2m. Κόβουμε το νήμα που συν

δέει το σώμα μάζας m2

με το σώμα μάζας ml = = 1 kg και μέχρι το σώμα μάζας m2 να φτάσει

στο έδαφος, το σώμα μά

ζας ml έχει κάνει τέσσε-

ρις πλήρεις ταλαντώ-

h

1

σεις. Να βρείτε το πλάτος Α της ταλάντωσης του

σώματος μάζας m j . Δίνεται: π2 = 10.

2.60 Το σώμα Σ του σχήματος , μάζας m = 0,5 kg, αρχικά ηρεμεί δεμένο στο ελεύθερο άκρο ελατη

ρίου σταθεράς k = 50 Ν 1m. Είναι δεμένο επίσης ,

μέσω νήματος, με σώμα Σ' μάζας m' = 1 kg.

Αν το νήμα κοπεί , να βρείτε:

ί) την περίοδο της απλής αρμονικής ταλάντωσης

που θα εκτελέσει το σώμα Σ,

ίί) τη μέγιστη ταχύτητά του.

Δίνεται: 9 = 10 ml 82

2.61 Το σύστημα των δύο σωμάτων του σχή

ματος, με μάζες ml = = lkg και m2=3kg, εί ναι κρεμασμένο από

το ελατήριο σταθεράς

k = 400 Ν 1m. Απομα-κρύνουμε κατακόρυφα

το σώμα μάζας m2 από τη θέση ισορροπίας του

κατά ΔΧ = 0,1 m και στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο.

i) Να βρείτε τη σταθερά επαναφοράς του κάθε

σώματος χωριστά.

ίί) Ποια σχέση δίνει το μέτρο της τάσης Τ του

νήματος, το οποίο συνδέει τα δύο σώματα, σε

συνάρτηση με την απομάκρυνση των σωμάτων

από τη θέση ισορροπίας; Να κάνετε την αντί

στοιχη γραφική παράσταση.

2.62 Στο ελεύθερο κά-τω άκρο ενός κατακό

ρυφου ελατηρίου στα

θ ε Ρ ά ς k = 200 Ν 1m, που ισορροπεί , κρεμά

με σώμα μάζας m = = 2 kg και το αφήνουμε

στη συνέχεια ελεύθερο.

Να γίνουν οι γραφικές

παραστάσεις της δύναμης που ασκεί το ελατήριο

στο σώμα σε συνάρτηση:

ί) με την απομάκρυνση του σώματος από τη θέση

ισορροπίας του,

ίί) με τον χρόνο.

Δίνεται: 9 = 10 ml 82.

2.63 Το σώμα μάζας m = 0,1 kg του επόμενου σχήματος αρχικά ηρεμεί πάνω στο λείο κεκλιμένο

επίπεδο δεμένο στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου

σταθεράς k = 10 Ν 1m. Αν το απομακρύνουμε λίγο από τη θέση του κατά τη διεύθυνση του άξονα

του ελατηρίου:

65

ί) να αποδείξετε ότι θα εκτελέσει απλή αρμονική

ταλάντωση,

ίί) να βρείτε την περίοδο της ταλάντωσής του .

2.64 Το σώμα του επόμενου σχήματος, μάζας 1η = 0,1 kg, ηρεμεί στη θέση Ο πάνω στο λείο ο

ριζόντιο επίπεδο. Τα ελατήρια έχουν το φυσικό

τους μήκος και σταθερές k1 = 10 Ν 1m και k2 = = 30 Ν 1m. Το σώμα είναι δεμένο στο ελατήριο σταθεράς k1, ενώ απλά ακουμπά στο ελεύθερο άκρο

ΓΘ.T.l ~

k l ! to ι : k 2 , e02

kσ-σιfου~~~ ο

του ελατηρίου σταθεράς k2 . Δίνουμε οριζόντια τα

χύτητα στο σώμα στη διεύθυνση των αξόνων των

ελατηρίων. Να βρείτε την περίοδο της περιοδικής

κίνησης του σώματος.

2.65 Μια οριζόντια επιφάνεια κάνει κατακό

ρυφη απλή αρμονική

ταλάντωση με περίοδο

Τ = 2π s. Πάνω στην επιφάνεια βρίσκεται ένα

σώμα μάζας m.

ί) Να αποδείξετε ότι

αποκλείεται το σώ

μα να χάσει την ε-

παφή του με την επιφάνεια όσο αυτή κινείται

κάτω από τη θέση ισορροπίας της.


ίί) Να βρείτε το μέγιστο πλάτος ταλάντωσης, ώστε

το σώμα να μην χάνει την επαφή του με την

επιφάνεια.

Δίνεται: g = 10mls2.

2.66 Μια οριζόντια επιφάνεια κάνει κατακό

ρυφη απλή αρμονική

ταλάντωση με πλάτος

Α = 1 m και περίοδο Τ = π s. Πάνω στην ε

_ _ ~"......;F

ΙΆ;~,I'~ ·\~·_--o-----_··_-- --_ ..

πιφάνεια βρίσκεται σώμα μάζας m = 10 kg και τη

χρονική στιγμή t = Ο η επιφάνεια περνά από τη θέση ισορροπίας της και κινείται προς τα πάνω.

Να βρείτε πώς μεταβάλλεται η δύναμη F που ασκεί η επιφάνεια στο σώμα σε συνάρτηση με τον χρόνο

καθώς και σε συνάρτηση με την απομάκρυνση χ

από τη θέση ισορροπίας. Στη συνέχεια να κάνετε

τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων F = = f(t) και F = f(x). Δίνεται: g = 10 ml s2.

2.67 Στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ελα

τη ρίου , σταθεράς k = = 800 Ν 1m, ισορροπεί δίσκος μάζας Μ = 6 kg.

Τη χρονική στιγμή t = = Ο τοποθετούμε πάνω στον δίσκο σώμα μά

ζας m = 2kg.

ί) Να αποδείξετε ότι

--I---\a Α ~

-- --'- - - -~7=1.' __ ~_- - ----.--5.---,η Θ.Ι ~

k " """'1 χ=ο <Ο:! ,ι- rf δ~

011 a! k tj ~ [ (

το σύστημα δίσκος - σώμα θα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση και να βρείτε την περίοδό

της Τ και την αρχική της φάση Φο.

ίί) Να γράψετε τις εξισώσεις σε συνάρτηση με

τον χρόνο και τις εξισώσεις σε συνάρτηση

με την απομάκρυνση από την αρχική θέση

του δίσκου των μεγεθών:

α) ταχύτητα δίσκου,

β) επιτάχυνση σώματος,

γ) δύναμη ελατηρίου,

δ) δύναμη που ασκεί ο δίσκος στο σώμα.

Στη συνέχεια να κάνετε τις αντίστοιχες γραφι

κές παραστάσεις.

Δίνεται: 9 = 10 m/ 82.

2 .68 Όταν το σώμα είναι δεμένο στο ελατή

ριο σταθεράς k1 (σχή

μα 1), εκτελεί ταλαντώσεις με συχνότητα fι = = 3 ΗΖ. Όταν το ίδιο σώμα είναι δεμένο στα

ελεύθερα άκρα των ε

λατηρίων με σταθερές

k1 και k2 = 640 Ν /rn (σΧΙ1 μα Π) , εκτελεί τα

λαντώσεις με συχνότη

ταΙ2 = 5 ΗΖ. Να βρείτε

τη μάζα m του σώματος και τη σταθερά k1.

2.69 Το σώμα μά.ζας m = 1 kg του σχήματος αρχικά ηρεμεί πάνω στο λείο οριζόντιο επίπεδο , δε

μένο στο ελεύθερο άκρο ελατηρίου σταθεράς k = = 64N/ m. Το σώμα είναι φορτισμένο με φορτίο Q = + 6,4·10- :' C και βρίσκεται σε μια πεΡΙΟΧΙ1 όπου υπάρχει ομογενές ηλεκτρικό πεδίο έντασης

Ε -μέτρου Ε = 1000 Ν /C παράλληλης με τον άξονα του ελατηρίου. Αν το ηλεκτρικό πεδίο καταργη

θεί , να αποδείξετε ότι το σώμα θα κάνει απλή αρ

μονική ταλάντωση και να βρείτε το πλάτος και

την περίοδο της ταλάντωσης καθώς και τη μέγι

στη ταχύτητα του σώματος . Μετά από πόσο χρό

νο από τη στιγμή κατάργησης του ηλεκτρικού

πεδίου το σώμα αποκτά τη μέγιστη ταχύτητα;

2.70 Πάνω στον δίσκο του σχήματος , μάζας mΔ = = 0,1 kg, έχει τοποθετηθεί σώμα μάζας 'mσ = = 0,3 kg. Ο δίσκος είναι δεμένος στο ελεύθερο ά-

κρο κατακόρυφου ελα

τηρίου σταθεράς k= = 40N/m. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή Amax

του πλάτους της απλής

αρμονικής ταλάντωσης

που μπορεί να εκτελεί ο

δίσκος χωρίς να χάνει

το σώμα την επαφή του

με αυτόν .

Δίνεται: 9 = 10 m / 82

ΣF · f σωμ. ~

·· ;ι ,:ι '-11---i ~~~f ι ~

k~

1 2.71 Στο παρακάτω σχήμα τα σώματα με μάζες m l = 0,2 kg και m 2 = 0,8 kg ηρεμούν δεμένα στα

άκρα του κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k =

= 100 Ν /m. Να βρείτε πόσο το πολύ μπορούμε να σπρώξουμε το σώμα μάζας ml προς τα κάτω, ώ

στε , όταν το αφήσουμε ελεύθερο, να μην σηκωθεί

από το δάπεδο το σώμα μάζας m '2.

Δίνεται: 9 = 10m/82.

2.72 Σώμα μάζας Μ = 6 kg είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου, σταθεράς k =

= 1000 Ν /m, και μπορεί να κινείται χωρίς τριβές πάνω σε οριζόντιο επίπεδο . Πάνω στο σώμα μάζας

Μ υπάρχει σώμα μάζαςm = 4 kg. Απομακρύνου

με το σύστημα των σωμάτων από τη θέση ισορρο

πίας του και στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο.

i) Να βρείτε την περίοδο Τ της ταλάντωσης του

συστήματος.

67

ί ί) Αν η μέγιστη τιμή τη ς στατικής τριβή ς μεταξύ

των σωμάτων είναι Τστ. ιnaχ = 40 Ν, να βρείτε

το μέγιστο πλάτος τη ς ταλάντωση ς, ώστε το

σώμα μάζας m να μην κινε ίται σε σχέση με

το σώμα μάζας Μ.

Ι. α) Η περίοδος ταλάντωσης ενός σώματος δεμένου στο ελεύθερο άκρο ελατηρίου ε

ξαρτάται :

ί) από τη μάζα του,

ίί) από το πλάτος της ταλάντωσης,

ίίί) από τη σταθερά του ελατηρίου ,

ίν) από την επιτάχυνση της βαρύτητας.

Ποιες από τις παραπάνω προτάσεις είναι σωστές;

β) Για ένα σώμα που κάνει απλή αρμονική ταλάντωση , ποια από τις παρακάτω προ

τάσεις είναι σωστή ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας .

ί) Το πλάτος της ταλάντωσης μεταβάλλεται με τον χρόνο .

ίί) Η δύναμη επαναφοράς είναι τη ς μορφής F = - Dx . ίίί) Η συχνότητα της ταλάντωσης είναι ανάλογη της περιόδου της .

ίν) Η κίνηση του σώματος μπορεί να περιγραφεί με την εξίσωση χ = at + β .

γ) Για μια απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης χ = Αημωt ποιες

από τις επόμενες σχέσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε

την απάντησή σας.

ί) υ = ωΑημωt

ίv) ΣΡ = m a

νίί)ΣΡ = - Dx

ίί) α = - ω2 Ασυνωt

ν) ΣΡ= -mω2 Αημωt

vίίί) υ = ±ω) Α2 - χ2

δ) Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση . Η γραφι

κή παράσταση του διπλανού σχήματος δείχνει πώς με

ταβάλλεται η απομάκρυνση χ του σώματος από τη θέση

ισορροπίας του σε συνάρτηση με τον χρόνο. Ποιες από

τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθα

σμένες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας .

ίίί) D = mω2ημωt

χ

Α

( (s) 0.0 t-~-ζ>--1---<-~

ί) Τη χρονική στιγμή t = 12 s η απομάκρυνση χ είναι μέγιστη.

ίί) Τη χρονική στιγμή t = 3 s η δύναμη επαναφοράς είναι μηδέν .

ίίί) Τη χρονική στιγμή t = 6 s η ταχύτητα του σώματος είναι μέγιστη .

ίν) Τη χρονική στιγμή t = 12 s το μέτρο της επιτάχυνσης είναι μέγιστο .

68 ΔΥΝΑΜ Η ΚΑ Ι ΑΠ Λ Η ΑΡΜΟΝ Ι ΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

2. α) Για μια απλή αρμονική ταλάντωση ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

ί) Η περίοδος Τ εξαρτάται από το πλάτος Α της ταλάντωσης.

ii) Η τιμή της περιόδου Τ καθορίζεται από τη μάζα m του σώματος που κάνει ταλάντωση και από τη σταθερά επαναφοράς D.

ίίί) Κάθε ταλαντούμενο σύστημα έχει συχνότητα που δίνεται από τη σχέση f =

= 2~f*· ίν) Όταν για ένα σύστημα διπλασιάσουμε το πλάτος Α της ταλάντωσης, τότε θα

διπλασιαστεί και η περίοδό της.

β) Να αποδείξετε ότι σε μια απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης χ = = Αημωt το μέτρο της δύναμης επαναφοράς σε μια θέση όπου το μέτρο της ταχύ

τητας είναι υ δίνεται από τη σχέση

F - Ι 2 2 - mων vn1ax - υ

όπου m η μάζα του σώματος που κάνει ταλάντωση, ω η γωνιακή συχνότητα της

ταλάντωσης και vn1ax η μέγιστη ταχύτητα του σώματος.

γ) Κάποιοι αστροναύτες, που βρίσκονται στο διάστημα (εκτός πεδίου βαρύτητας),

πήραν ένα ελαφρό ελατήριο γνωστής σταθεράς k. Στο ένα άκρο του στερεώσανε ένα σώμα, ενώ το άλλο το δέσανε σε σταθερό σημείο. Στη συνέχεια θέσανε το

σύστημα σε απλή αρμονική ταλάντωση. Μετρώντας την περίοδο της ταλάντωσης

οι αστροναύτες μπορούν να υπολογίσουν:

ί) την ώρα της ημέρας που γίνεται το πείραμα,

ίί) την επιτάχυνση της βαρύτητας στη θέση ότωυ γίνεται το πείραμα,

ίίί) τη μάζα του σώματος που είναι δεμένο στο ελατήριο,

ίν) το βάρος του σώματος που είναι δεμένο στο ελατ1Ιριο.

Ποια από τις προτάσεις αυτές είναι σωστή; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

δ) Δύο σώματα Σι και Σ2 με ίσες μάζες ισορροπούν κρεμασμένα από κατακόρυφα ιδανικά ελατήρια με σταθερές k l και k2 αντίστοιχα, που συνδέονται με τη σχέση k] =

= ~2 . Απομακρύνουμε τα σώματα Σι και Σ2 από τη θέση ισQρροπίας τους κατακόρυφα προς τα κάτω κατά χ και 2Χ αντίστοιχα και τα αφήνουμε ελεύθερα την ίδια

χρονική στιγμή, οπότε εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση. Τα σώματα διέρχονται

για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας τους

ί) ταυτόχρονα,

ίί) σε διαφορετικές χρονικές στιγμές με πρώτο το Σι,

ίίί) σε διαφορετικές χρονικές στιγμές με πρώτο το Σ2 .

Ποια είναι η σωστή απάντηση; Να την αιτιολογι1σετε. Εξετάσεις 2004

69

3. Καθένα από τα δύο όμοια ελατήρια του

σχι1ματος έχει σταθερά k = 32 Ν 1m. Σώμα μάζας m = 1 kg συνδέεται με τα ελατή ρια όπως φαίνεται στο σχήμα. Απομακρύνουμε

το σώμα κατά ΔΧ = 1 cm από την αρχική του θέση στη διεύθυνση των ελατη ρίων και

στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο.

ί) Να αποδείξετε ότι το σώμα θα κάνει


ίί) Να βρείτε τη σταθερά επαναφοράς D και την περίοδο Τ της ταλάντωσης.

ίίί) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας

σε συνάρτηση με τον χρόνο.

Θεωρούμε ότι οι τριβές είναι αμελητέες.

4. Ο δίσκος του σχήματος έχει μάζα Μ = 0,6 kg και το ελατήριο έχει σταθερά k = 100 Ν 1m. Πάνω στον δίσκο βάζουμε σώμα μάζας m = 0,4 kg. Να βρείτε:

ί) την περίοδο Τ της ταλάντωσης που μπορεί να

κάνει το σύστημα,

ίί) το μέγιστο πλάτος Amax της ταλάντωσης, ώστε

το σώμα να βρίσκεται συνέχεια σ' επαφή με τον

δίσκο,

ίίί) την απομάκρυνση X l στη θέση όπου θα αποσπα

σθεί το σώμα και την ταχύτητά του Vl εκείνη τη

ΣFσώμ~N

,.""']""" '" . m χ τ

IIΙ ",~ ~

ΘΙ. d ~~~ . . . . .. . ~ ~ d: k

9 k i\

~ q r (

στιγμή, αν το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α = 0,2 m. Δίνεται : 9 = lQmls2

•


Φυσική Γ Λυκείου - Τεύχος Α

Documents

Transcript of Φυσική Γ Λυκείου - Τεύχος Α