Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου...

28

description

Δείγμα από τον πρώτο τόμο του δίτομου -ανανεωμένου!- έργου του Γιώργου Μαυρίδη.

Transcript of Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου...

Page 1: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

ISBN: 978-618-80214-8-8

Page 2: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

nȍȨȦ ȰȪȵȦȨ�ȩȨȮ�ȚȯȢȞȪȷȦȞȭȞ�ȭȷȪȚ� ȜȢȚ�ȦȚ ȣȚȭȚȦȨȗȬȞȭȞ�ȭȢȫ�țȚȬȢȣȖȫ�ȖȦȦȨȢȞȫ� ȣȚȢ�ȦȚ�ȞȥțȚȡȶȦȞȭȞ�ȬȭȨȦ�ȭȪȵȩȨ�ȬȣȖȱȠȫ� ȣȚȢ ȞȪȜȚȬȘȚȫ��ȡȚ�ȭȨȦ�ȣȞȪȝȘȬȞȭȞ� ȩȨȤȤȚȩȤȕȬȢȨ�ȚȪȜȵȭȞȪȚ.»

ȁȞȵȝȲȪȨȫ�Ȇ��ȃȚȟȚȦȭȟȗȫ

Page 3: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

ƲƳƱƭƱƥƱƴ

ĬĮ� ȝʌȠȡȠȪıĮȞ� IJĮ� ȂĮșȘȝĮIJȚțȐ� ȞĮ� ĮʌȠIJİȜȑıȠȣȞ� ȝȑȡȠȢ� IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ� IJȘȢ�ĮʌȐȞIJȘıȘȢ�ıIJȠȞ�ȚįİȫįȘ�țȩıȝȠ�IJȠȣ��ȥȑȝĮIJȠȢ�ȩʌȠȣ�IJĮ�ʌȐȞIJĮ�įȘȜȫȞȠȣȞ�țĮȚ�įȘȜȫ�ȞȠȞIJĮȚ�ȦȢ�ĮȜȘșȚȞȐ��

ĬĮ�ȝʌȠȡȠȪıĮȞ� IJĮ�ȂĮșȘȝĮIJȚțȐ�ȞĮ�ĮʌȠIJİȜȑıȠȣȞ� IJȘȞ�țĮȪıȚȝȘ�ȪȜȘ�Ș�ȠʌȠȓĮ�șĮ�İȞİȡȖȠʌȠȚȠȪıİ�IJȠȞ�ȞĮȡțȦȝȑȞȠ�ȖȓȖĮȞIJĮ�IJȘȢ�ıȣȞİȓįȘıȘȢ��

ĬĮ� ȝʌȠȡȠȪıĮȞ� IJĮ� ȂĮșȘȝĮIJȚțȐ�� ȦȢ� ȖȜȫııĮ� IJȘȢ� ȜȠȖȚțȒȢ�� ȞĮ� ıȣȞįȡȐȝȠȣȞ�ĮʌȠijĮıȚıIJȚțȐ�IJȚȢ�ıIJȡȚȝȦȖȝȑȞİȢ�įȣȞȐȝİȚȢ�IJȘȢ�ıȪȞİıȘȢ��IJȘȢ�IJĮʌİȚȞȩIJȘIJĮȢ��IJȘȢ�ȖȞȫ�ıȘȢ�țĮȚ�IJȘȢ�ĮȜȒșİȚĮȢ��Įʌȩ�IJĮ�ȝĮȞȚĮıȝȑȞĮ�ıIJȓijȘ�IJȠȣ�©șȑȜȦª��IJȠȣ�©ijĮȓȞȠȝĮȚª��IJȠȣ�©ȑȤȦª��IJȠȣ�©ȖȡȒȖȠȡĮª��IJȠȣ�©țĮIJĮȞĮȜȫȞȦª��IJȠȣ�©İȞIJȣʌȦıȚĮțȠȪª��IJȠȣ�©İȖȫª�

ȅ�țĮșȑȞĮȢ�Įʌ¶�ȩıȠȣȢ�ȕȡȓıțȠȣȞ�ȗȦȠȖȩȞȠ�IJȠ�ȞĮ�ĮıȤȠȜȠȪȞIJĮȚ�ıİ�ȕȐșȠȢ�ȝİ�IJȘ�ȗȦȒ��șĮ�ȑįȚȞİ�IJȘ�įȚțȒ�IJȠȣ�ĮʌȐȞIJȘıȘ�

ǻȪıțȠȜĮ�ʌȐȞIJȦȢ�șĮ�ȣʌȒȡȤĮȞ�įȚĮijȦȞȓİȢ��ıIJȠ�ȩIJȚ�șĮ�ȒIJĮȞ��ĮįȪȞĮIJȠȞ��ĮțȩȝȘ�țĮȚ�ȖȚĮ�IJĮ�ȂĮșȘȝĮIJȚțȐ�ȞĮ�İʌȚIJİȜȑıȠȣȞ�ȑȡȖȠ�ıİ�țȐʌȠȚȠ�Įʌȩ�IJĮ�ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞĮ��ĮȞ�țȐIJȚ�IJĮ�ĮʌȑțȠʌIJİ�Įʌȩ�IJȘȞ�ȑȞȞȠȚĮ�IJȡȠijȩ�IJȠȣȢ��Įʌȩ�IJȘȞ�ȑȞȞȠȚĮ�IJȠȣ�ĮʌİȓȡȠȣ�

ǻİȞ�ȞȠȝȓȗȦ�ȩIJȚ�ȤȡİȚȐȗİIJĮȚ�Ș�ıȣȞįȡȠȝȒ�IJȘȢ�țȕĮȞIJȠȝȘȤĮȞȚțȒȢ�� IJȘȢ�İȟİȜȚțIJȚ�țȒȢ�ȕȚȠȜȠȖȓĮȢ�Ȓ�IJȘȢ�șİȦȡȓĮȢ�IJȠȣ�ȤȐȠȣȢ��ȫıIJİ�ȞĮ ȠȡȚıIJİȓ�ȦȢ ȜȠȖȚțȒ�ĮȞĮțȠȜȠȣșȓĮ���Ș�ıȪȞįİıȘ�IJȠȣ�ĮʌİȓȡȠȣ�IJȦȞ�įȣȞĮIJȫȞ�ʌİȡȚʌIJȫıİȦȞ��ȝİ�IJȘȞ�IJȣȤȠįȚȦțIJȚțȠȪ�IJȪʌȠȣ��İʌȚȜȠȖȒ�țȐʌȠȚȦȞ�Įʌȩ�ĮȣIJȑȢ�

Ȃ¶�ĮȣIJȒ� ĮțȡȚȕȫȢ� IJȘȞ� ʌİʌȠȓșȘıȘ� ĮʌȑijȣȖĮ� İʌȚȝİȜȫȢ�� țȐșİ� ȠȜȠțȜȘȡȦIJȚțȠȪ�IJȪʌȠȣ�ȠȝĮįȠʌȠȓȘıȘ�IJȦȞ�ĮıțȒıİȦȞ��ǹȣIJȩ�įȘȜĮįȒ�ʌȠȣ�IJȩıȠ�İȪıIJȠȤĮ�Ƞ�ĮȟȑȤĮıIJȠȢ�įȐıțĮȜȠȢ�ĬİȩįȦȡȠȢ�ȀĮȗĮȞIJȗȒȢ�ȤĮȡĮțIJȒȡȚȗİ�ȦȢ�©ʌİȡȚʌIJȦıȚȠȜȠȖȓĮª�

ǻİȞ�ȑȤİȚ�ȞȩȘȝĮ�ȞĮ�ĮȞĮȗȘIJȒıİȚ�țĮȞİȓȢ�IJȚȢ�ĮȚIJȓİȢ�ĮȣIJȒȢ�IJȘȢ�İȝȝȠȞȒȢ��İȐȞ�įȘ�ȜĮįȒ�ȠijİȓȜİIJĮȚ�ıİ� ȑȜȜİȚȝȝĮ�ȜȠȖȚțȒȢ�Ȓ� İȞIJȚȝȩIJȘIJĮȢ��ȆȐȞIJȦȢ�� ȝȠȣ� İȓȞĮȚ� ȚįȚĮȓIJİȡĮ�įȪıțȠȜȠ�ȞĮ�ĮʌȠijȪȖȦ�IJȠȞ�ʌİȚȡĮıȝȩ�țȐʌȠȚȦȞ�İȞȠȤȜȘIJȚțȫȞ�ĮȜȜȐ�ȝȐȜȜȠȞ�ʌȡĮȖȝĮIJȚ�țȫȞ� ıțȑȥİȦȞ��ȦȢ� ʌȡȠȢ� IJĮ� ĮʌȠIJİȜȑıȝĮIJĮ� ĮȣIJȫȞ� IJȦȞ� ĮȞIJȚȜȒȥİȦȞ� Ȓ� ȓıȦȢ� “ȠȡijĮ�ȞȫȞ” ʌȡĮțIJȚțȫȞ�

Page 4: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

ȀȐșİ�ȥİȣįĮȓıșȘıȘ�țĮȚ�ȝȚĮ�ijȣȜĮțȒ���ȀȐʌȦȢ�ȑIJıȚ�țȚ�İįȫ�Ș�ȥİȣįĮȓıșȘıȘ�IJȘȢ�ıȣıIJȘȝĮIJȚțȒȢ�ȠȡȖȐȞȦıȘȢ�țĮȚ�ȝİȜȑIJȘȢ�ijȣȜĮțȓȗİȚ�IJȠ�įȡȠıİȡȩ�ʌȞİȪȝĮ�IJȦȞ�ȝĮșȘIJȫȞ��ıIJİȡȫȞIJĮȢ�Įʌ¶�ĮȣIJȠȪȢ�IJȘ�ȝĮșȘIJİȓĮ�IJȘȢ�İȟİȡİȪȞȘıȘȢ��IJȘȞ�ĮȞİȝİȜȚȐ�IJȘȢ�ʌİȡȚʌȜȐȞȘ�ıȘȢ�țĮȚ�IJȘ�ȤĮȡȐ�IJȘȢ�ĮȞĮțȐȜȣȥȘȢ��ȈIJİȡȫȞIJĮȢ�ijȣıȚțȐ�ıIJȘ�ıȣȞȑȤİȚĮ�ıIJȠ�ȕĮșȝȩ�ʌȠȣ�IJĮ�İʌȘȡİȐȗȠȣȞ��IJĮ�ȝĮșȘȝĮIJȚțȐ�ĮȜȜȐ�țȣȡȓȦȢ�IJȘȞ�țȠȚȞȦȞȓĮ��Įʌȩ�ȝȣĮȜȐ�İȟİȡİȣȞȘȝȑ�ȞĮ�țĮȚ�ȐȡĮ�İȟİȡİȣȞȘIJȚțȐ��ȝİ� IJİȜȚțȩ�ĮʌȠIJȑȜİıȝĮ�IJȘȞ�ȤȦȡȓȢ�ĮȞIJȓʌĮȜȠ�İʌȚțȡȐIJȘıȘ�IJȘȢ�ȝȓȝȘıȘȢ��IJȘȢ�ijĮȚįȡȩIJȘIJĮȢ�țĮȚ�IJȘȢ�İʌĮȞȐȜȘȥȘȢ��ȅȚ�ĮʌȠįİȓȟİȚȢ�ȩȜȦȞ�IJȦȞ�ʌȡȠȘ�ȖȠȪȝİȞȦȞ��ʌȡȠijĮȞȫȢ�įİȞ�ȤȡİȚȐȗİIJĮȚ�ȞĮ�ĮȞĮȗȘIJȘșȠȪȞ ıİ�ıțȠȞȚıȝȑȞĮ�ȝĮșȘȝĮIJȚțȐ�ȕȚȕȜȓĮ��ǹȞ�IJİȜȚțȐ�ijȠȕȓȗİȚ�IJȩıȠ�ʌȠȜȪ�ȝȚĮ�ȝĮIJȚȐ�ȝȑıĮ�ȝĮȢ��IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ�IJȫȡĮ�İȓȞĮȚ�ĮȡțİIJȒ�ȝȚĮ�ȝĮIJȚȐ�įȓʌȜĮ�ȝĮȢ�

ĬİııĮȜȠȞȓțȘ��ǿȠȪȞȚȠȢ 2013 īȚȫȡȖȠȢ ȁ��ȂĮȣȡȓįȘȢ

Page 5: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

ƲƧƳƫƧƸƱƮƧƯƣ ƣƘ�ƵƱƮƱƶ

ȆȡȩȜȠȖȠȢ�

ȂȚȖĮįȚțȠȓ�ĮȡȚșȝȠȓ ........................................................................................ 11 � ȁȣȝȑȞĮ�șȑȝĮIJĮ ........................................................................................ 13 ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞĮ�șȑȝĮIJĮ .............................................................................. 113 ǻȚĮȖȦȞȓıȝĮIJĮ .......................................................................................... 141 ǵȡȚȠ�–�ȈȣȞȑȤİȚĮ�ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ ....................................................................... 151� ȁȣȝȑȞĮ�șȑȝĮIJĮ ........................................................................................ 153 ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞĮ�șȑȝĮIJĮ .............................................................................. 347 ǻȚĮȖȦȞȓıȝĮIJĮ .......................................................................................... 391 �ǻȚĮijȠȡȚțȩȢ�ȁȠȖȚıȝȩȢ��ǹǯ�ȂȑȡȠȢ� ............................................................... 401 ȁȣȝȑȞĮ�șȑȝĮIJĮ ........................................................................................ 403 ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞĮ�șȑȝĮIJĮ .............................................................................. 477 ǻȚĮȖȦȞȓıȝĮIJĮ .......................................................................................... 501 ǹʌĮȞIJȒıİȚȢ .................................................................................................... 507 �ǺȚȕȜȚȠȖȡĮijȓĮ ................................................................................................ 569

Page 6: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

ƮNJDŽǂDžNJNjǐǀ�ƣǒNJljǍǐǀ� � 101�

ƪƾǍǂ�63�

DzıIJȦ�ȝȚȖĮįȚțȩȢ�ĮȡȚșȝȩȢ�z�IJȑIJȠȚȠȢ��ȫıIJİ�� � � � �4Ȟ �Ȟz i z i� � ȩʌȠȣ� *Ȟ ��` ��

i)� ȃĮ�ĮʌȠįİȓȟİIJİ�ȩIJȚ�Ș�İȚțȩȞĮ�IJȠȣ�z�ıIJȠ�ȝȚȖĮįȚțȩ�İʌȓʌİįȠ�İȓȞĮȚ�ıȘȝİȓȠ�IJȠȣ�ȐȟȠȞĮ�x xc ��

ii)� ȃĮ�ȕȡİȓIJİ�IJȘȞ�İȜȐȤȚıIJȘ�IJȚȝȒ�IJȘȢ�ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ�6 ] L ] � �L � � � � �

��

ƭǞǔLj��i)� DzıIJȦ� z x yi � țĮȚ� � �M x, y Ș� İȚțȩȞĮ� IJȠȣ� ıIJȠ�

ȝȚȖĮįȚțȩ�İʌȓʌİįȠ���DzȤȠȣȝİ

� � � �4Ȟ �Ȟz i z i� �

DZȡĮ�

� � � �4Ȟ �Ȟz i z i� � 4Ȟ �Ȟz i z i� � �

] L ] L �� � �

ǻȘȜĮįȒ�

� � � �

� � � �

� � � �

2 22 2

2 22 2

2 2

x y 1 i x y 1 i

x y 1 x y 1

x y 1 x y 1

y 2y 1 y 2y 1

4y 0

\ ��

� � � �

� � � � �

� � � � �

� � � � �

� �

ǼʌȠȝȑȞȦȢ��IJȠ�ıȘȝİȓȠ�Ȃ�ĮȞȒțİȚ�ıIJȘȞ�İȣșİȓĮ� y 0, įȘȜĮįȒ�ıIJȠȞ�ȐȟȠȞĮ� [ [�c

����

ȆǹȇǹȉǾȇǾȈǾ�H įȠșİȓıĮ�ıȣȞșȒțȘ

� � � �4Ȟ �Ȟz i z i� � �

ıȣȞİʌȐȖİIJĮȚ IJȘ�ıȣȞșȒțȘ z i z i� �

țĮȚ� įİȞ� İȓȞĮȚ� ȚıȠįȪȞĮȝȘ�ȝİ� ĮȣIJȒ�� ǼʌȠȝȑȞȦȢ�� Ƞ�ȖİȦȝİIJȡȚțȩȢ� IJȩʌȠȢ� IJȦȞ�İȚțȩȞȦȞ� � �M z İȓȞĮȚ�ȑȞĮ�

ȖȞȒıȚȠ� ȣʌȠıȪȞȠȜȠ� IJȠȣ�ȐȟȠȞĮ� x xc țĮȚ� ȩȤȚ� Ƞ� ȐȟȠȞĮȢ� x xc �

Page 7: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

102� � ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ�ƥƘ�ƭǖNjdžǀǐǖ�

ii)� DzȤȠȣȝİ

� � � �

S z i z 3 2i

z i z 3 2i

MB Mī

� � � �

� � � �

i)|

ȩʌȠȣ�Ȃ��Ǻ�țĮȚ�ī�ȠȚ�İȚțȩȞİȢ�IJȦȞ�ȝȚȖĮįȚțȫȞ�z, i� țĮȚ� 3 2i� ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ��ǵȝȦȢ��ȝİ�ȕȐ�ıȘ�IJȘȞ�IJȡȚȖȦȞȚțȒ�ĮȞȚıȩIJȘIJĮ�ȚıȤȪİȚ

� � � � � �� �

2 2

MB Mī Ǻī

3 2i i

3 3i

3 3

� ��

� t

� � �

Ǿ�ȚıȩIJȘIJĮ�ȚıȤȪİȚ�ĮȞ�țĮȚ�ȝȩȞȠ�ĮȞ�IJĮ�ıȘȝİȓĮ�Ȃ��Ǻ�țĮȚ�ī�İȓȞĮȚ�ıȣȞİȣșİȚĮțȐ� ǻȘȜĮįȒ��ĮȞ�țĮȚ� ȝȩȞȠ� ĮȞ� IJȠ� ıȘȝİȓȠ�Ȃ�ıȣȝʌȑıİȚ� ȝİ� IJȠ�ıȘȝİȓȠ� ıIJȠ ȠʌȠȓȠ� Ș� İȣșİȓĮ� Ǻī� IJȑȝȞİȚ� IJȠȞ�ȐȟȠȞĮ� x xc �� Ǿ� İȣșİȓĮ� Ǻī� ȑȤİȚ� ıȣȞIJİȜİıIJȒ�įȚİȪșȣȞıȘȢ

� �2 1Ȝ �

3 0� �

țĮȚ�İȟȓıȦıȘ

� � � �\ � � [ � \ [ ��� � � � �

ǼʌȠȝȑȞȦȢ��Ș�İȣșİȓĮ�Ǻī�IJȑȝȞİȚ�IJȠȞ�ȐȟȠȞĮ� x xc ıIJȠ�ıȘȝİȓȠ� � �ǻ ��� ʌȠȣ�İȓȞĮȚ�Ș�İȚ�

țȩȞĮ�IJȠȣ�ȝȚȖĮįȚțȠȪ�ĮȡȚșȝȠȪ� 1z 1 0i � � ȈIJȘ�ıȣȞȑȤİȚĮ��ʌĮȡĮIJȘȡȠȪȝİ�ȩIJȚ�Ƞ�ȝȚȖĮįȚ�țȩȢ�ĮȡȚșȝȩȢ� 1z ȚțĮȞȠʌȠȚİȓ�IJȘ�įȠșİȓıĮ�ȚıȩIJȘIJĮ��ȆȡȐȖȝĮIJȚ

� � � �4Ȟ �Ȟ1 i 1 i� � � � � �2Ȟ �Ȟ2 21 i 1 iª º ª º� � �¬ ¼ ¬ ¼

� � � �2Ȟ �Ȟ2 2 2 21 i 2i 1 i 2i� � � � �

� � � �2Ȟ �Ȟ2i 2i ,� � ʌȠȣ�ȚıȤȪİȚ� ǹʌȩ�IJĮ�ʌĮȡĮʌȐȞȦ�ıȣȝʌİȡĮȓȞȠȣȝİ�ȩIJȚ

S 3 2t țĮȚ�Ș�ȚıȩIJȘIJĮ�ȚıȤȪİȚ�ȖȚĮ� ] �� DZȡĮ, Ș�İȜȐȤȚıIJȘ�IJȚȝȒ�IJȘȢ�ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ�S İȓȞĮȚ�ȓıȘ�

ȝİ� � ��

Ȉȋȅȁǿȅ�ǿıȤȪİȚ

� � � � � �S MB Mī Ǻī � � � t �ȀĮȚ�Ș�ȚıȩIJȘIJĮ�ȚıȤȪİȚ�ĮȞ�țĮȚ�ȝȩȞȠ�ĮȞ� IJĮ� ıȘȝİȓĮ� Ȃ�� Ǻ� țĮȚ� ī� İȓȞĮȚ�ıȣȞİȣșİȚĮțȐ��ǻȘȜĮįȒ��ĮȞ�țĮȚ�ȝȩ�ȞȠ� ĮȞ� IJȠ� ıȘȝİȓȠ� Ȃ� ıȣȝʌȑıİȚ� ȝİ�IJȘȞ�İȚțȩȞĮ�IJȠȣ�ȝȚȖĮįȚțȠȪ�ĮȡȚșȝȠȪ�

1] �� ǵȝȦȢ�� Ƞ� ȖİȦȝİIJȡȚțȩȢ� IJȩ�ʌȠȢ� IJȦȞ� ıȘȝİȓȦȞ� Ȃ� İȓȞĮȚ� ȑȞĮ�ȖȞȒıȚȠ�ȣʌȠıȪȞȠȜȠ�IJȠȣ�ȐȟȠȞĮ� x xc țĮȚ�ȩȤȚ�Ƞ�ȐȟȠȞĮȢ� x xc � ǹʌȠįİȚțȞȪȠȞIJĮȢ� ȜȠȚʌȩȞ� ȩIJȚ� Ƞ� ȝȚ�ȖĮįȚțȩȢ� 1z 1 İʌĮȜȘșİȪİȚ� IJȘ� įȠ�șİȓıĮ�ȚıȩIJȘIJĮ�İȟĮıijĮȜȓȗȠȣȝİ�ȩIJȚ

PLQ6 � ��

y

x ȅ � �Ǻ L�

� �ǹ L

� �M z

� �ī � �L�

Page 8: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

ƮNJDŽǂDžNJNjǐǀ�ƣǒNJljǍǐǀ� � 103�

ƪƾǍǂ�64�

DzıIJȦ�ȠȚ�ȝȚȖĮįȚțȠȓ�ĮȡȚșȝȠȓ�z�ȖȚĮ�IJȠȣȢ�ȠʌȠȓȠȣȢ�ȚıȤȪİȚ�Ș�ıȤȑıȘ�4z 3i 1� d

ȃĮ�ȕȡİȓIJİ��i)� IJȠ�ȖİȦȝİIJȡȚțȩ�IJȩʌȠ�IJȦȞ�İȚțȩȞȦȞ�IJȦȞ�ȝȚȖĮįȚțȫȞ�ĮȡȚșȝȫȞ�z�ii)� IJȘ�ȝȑȖȚıIJȘ�IJȚȝȒ�IJȠȣ�ȝȑIJȡȠȣ�IJȠȣ�ȝȚȖĮįȚțȠȪ�ĮȡȚșȝȠȪ�z�iii)� IJȘȞ�İȜȐȤȚıIJȘ�IJȚȝȒ�IJȠȣ�ȝȑIJȡȠȣ�IJȠȣ�ȝȚȖĮįȚțȠȪ�ĮȡȚșȝȠȪ�

1Z ] �z

� ��

ƭǞǔLj�

i)� DzȤȠȣȝİ�

34z 3i 1 4 z i 14

§ ·� d � � d¨ ¸© ¹

34 z i 14

� � d3 1z i4 4

� � d

� � 10. �4

� d

ȩʌȠȣ�Ȃ��Ȁ�ȠȚ�İȚțȩȞİȢ�IJȦȞ�ȝȚȖĮįȚțȫȞ�ĮȡȚșȝȫȞ� z țĮȚ� 3 i4

ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ�ıIJȠ�ȝȚȖĮįȚțȩ�

İʌȓʌİįȠ��DZȡĮ��Ƞ�ȗȘIJȠȪȝİȞȠȢ�ȖİȦȝİIJȡȚțȩȢ�IJȩʌȠȢ�İȓȞĮȚ�IJȠ�ıȪȞȠȜȠ�IJȦȞ�ıȘȝİȓȦȞ�IJȠȣ�

țȣțȜȚțȠȪ�įȓıțȠȣ�ȝİ�țȑȞIJȡȠ�IJȠ�ıȘȝİȓȠ� 3K 0,4

§ ·¨ ¸© ¹

țĮȚ�ĮțIJȓȞĮ� 1ȡ �4

�ii)� DzȤȠȣȝİ

� �z OM ȩʌȠȣ�ȅ�Ș�ĮȡȤȒ�IJȦȞ�ĮȟȩȞȦȞ��ǹʌȩ�IJȘ�īİȦȝİIJȡȓĮ�ȖȞȦ�

ȡȓȗȠȣȝİ�ȩIJȚ� � � � �OM OAd

ȩʌȠȣ� ǹ� IJȠ� ʌȚȠ� ĮʌȠȝĮțȡȣıȝȑȞȠ� Įʌȩ� IJȘȞ� ĮȡȤȒ� IJȦȞ�ĮȟȩȞȦȞ� ıȘȝİȓȠ� IJȠȝȒȢ� IJȘȢ� įȚĮțİȞIJȡȚțȒȢ� İȣșİȓĮȢ�ȅȀ�ȝİ� IJȠȞ� țȪțȜȠ� ʌȠȣ� ȠȡȓȗİIJĮȚ� Įʌȩ� IJȠȞ� țȣțȜȚțȩ� įȓıțȠ�ʌȠȣ� ȕȡȘțĮȝİ� ıIJȠ� İȡȫIJȘȝĮ� i)� ǼȓȞĮȚ� ijĮȞİȡȩ� ȩIJȚ� IJȠ�ıȘȝİȓȠ�ǹ�ȑȤİȚ�ıȣȞIJİIJĮȖȝȑȞİȢ� � �0,1 țĮȚ�İȓȞĮȚ�Ș�İȚțȩȞĮ

� IJȠȣ�ȝȚȖĮįȚțȠȪ�ĮȡȚșȝȠȪ� ] L� ǼʌȠȝȑȞȦȢ��Ș�ȝȑȖȚıIJȘ�IJȚȝȒ�IJȠȣ� z İȓȞĮȚ�ȓıȘ�ȝİ���țĮȚ�İʌȚIJȣȖȤȐȞİIJĮȚ�ȖȚĮ� ] L�

O

K

y

x

� �ǹ ���

� �M z

O

K

y

x

z

Page 9: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

104� � ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ�ƥƘ�ƭǖNjdžǀǐǖ�

iii)� DzȤȠȣȝİ 2z 11 zz 1Z ] �

z z z��

ȅʌȩIJİ� 2 2

2

z 1 z 1w

z z

z 1 1zz z z

� �

� �

ǵȝȦȢ� ȖȞȦȡȓȗȠȣȝİ�ȩIJȚ�

1x 2x

� t ȖȚĮ�țȐșİ� x 0!

țĮȚ� Ș� � ȚıȩIJȘIJĮ� ȚıȤȪİȚ� ĮȞ� țĮȚ� ȝȩȞȠ� ĮȞ� [ �� ǼʌȠȝȑȞȦȢ��

1Z ] ��z

� t

ȀĮȚ�Ș�ȚıȩIJȘIJĮ�ȚıȤȪİȚ�ĮȞ�țĮȚ�ȝȩȞȠ�ĮȞ� z 1 įȘ�

ȜĮįȒ�� ĮȞ� țĮȚ� ȝȩȞȠ� ĮȞ� z i, ȩʌȦȢ� ʌȡȠțȪʌIJİȚ� Įʌȩ�IJȠ�İȡȫIJȘȝĮ� ii)� DZȡĮ��Ș�İȜȐȤȚıIJȘ�IJȚȝȒ�IJȠȣ�w İȓȞĮȚ�ȓıȘ�ȝİ� 2 țĮȚ�İʌȚIJȣȖȤȐȞİIJĮȚ�ȩIJĮȞ� İȓȞĮȚ

z i įȘȜĮįȒ� ȩIJĮȞ

1Z L L L �L�i

� � � �

ȈǾȂǼǿȍȈǾ�īȞȦȡȓȗȠȣȝİ�ȩIJȚ

1x 2x

� t �ȖȚĮ�țȐșİ� x 0! �

Ǿ�ȚıȩIJȘIJĮ�ȚıȤȪİȚ�ȝȩȞȠ�ȖȚĮ� [ �� �

ȆǹȇǹȉǾȇǾȈǾ�ǹʌȩ� ȩȜĮ� IJĮ� ıȘȝİȓĮ� IJȠȣ�țȣțȜȚțȠȪ� įȓıțȠȣ� IJȠȣ����İȡȦIJȒȝĮIJȠȢ� i) ȝȩȞȠ� IJȠ�ıȘȝİȓȠ� � �A 0,1 įȘȜĮįȒ����Ș� İȚțȩȞĮ� IJȠȣ� ȝȚȖĮįȚțȠȪ�z i ĮʌȑȤİȚ�Įʌȩ�IJȘȞ�ĮȡȤȒ�IJȦȞ� ĮȟȩȞȦȞ� � �O 0,0 ĮʌȩıIJĮıȘ�ȓıȘ�ȝİ���

z

� �ǹ ���

� �M z

O

K

y

x

Page 10: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

ƮNJDŽǂDžNJNjǐǀ�ƣǒNJljǍǐǀ� � 105�

ƪƾǍǂ�65�

DzıIJȦ�ȝȚȖĮįȚțȠȓ�ĮȡȚșȝȠȓ�z��w�IJȑIJȠȚȠȚ��ȫıIJİ�z 1 ��țĮȚ�� � �w 2 i z 4i � � ��

i)� ȃĮ�ĮʌȠįİȓȟİIJİ�ȩIJȚ�Ș�İȚțȩȞĮ�IJȠȣ�w�ıIJȠ�ȝȚȖĮįȚțȩ�İʌȓʌİįȠ��ĮȞȒțİȚ�ıİ�țȐ�ʌȠȚȠȞ�țȪțȜȠ��ȆȠȚȠ�İȓȞĮȚ�IJȠ�țȑȞIJȡȠ�țĮȚ�ʌȠȚĮ�Ș�ĮțIJȓȞĮ�ĮȣIJȠȪ�IJȠȣ�țȪțȜȠȣ���

ii)� ȃĮ�ȕȡİȓIJİ�IJȘȞ�İȜȐȤȚıIJȘ�țĮȚ�IJȘ�ȝȑȖȚıIJȘ�IJȚȝȒ�IJȠȣ� Z ] �� ���

ƭǞǔLj�

i)� ǹʌȩ�IJȘ�ıȤȑıȘ� � �w 2 i z 4i � �

ȑȤȠȣȝİ � �w 4i 2 i z� �

țĮȚ�ıȣȞİʌȫȢ w 4i] �2 i�

ǵȝȦȢ�

z 1 �w 4i 12 i�

w 4i1

2 i�

� �

2 2w 4i 2 1� � �

� �Z �L ��� � �

DZȡĮ��Ș�İȚțȩȞĮ�IJȠȣ�w ıIJȠ�ȝȚȖĮįȚțȩ�İʌȓʌİįȠ�ĮȞȒțİȚ�ıIJȠȞ țȪțȜȠ�ȝİ�țȑȞIJȡȠ�IJȘȞ�İȚțȩȞĮ�IJȠȣ�ȝȚȖĮįȚțȠȪ�ĮȡȚșȝȠȪ� 4i� įȘȜĮįȒ��IJȠ�ıȘȝİȓȠ� � �K 0, 4� țĮȚ�ĮțIJȓȞĮ� ȡ ��

��

ii)� DzȤȠȣȝİ

� � � � ����� � �w z 2 i z 4i z� � � � � �1 i z 4i � � �

� � � 4i1 i z1 i

§ · � � �¨ ¸�© ¹

� �2 2

4i 1 i1 i z

1 i�

� � ��

� � �� �

22 2

4 i i1 1 z 2 z 2 i 1

2

� � � � � � � �

� � � �2 z 2 2i 2 MN , � � �

y

� �Ȁ �� ��

5

� �Ȃ ]

� �P w

1

Page 11: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

106� � ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ�ƥƘ�ƭǖNjdžǀǐǖ�

ȩʌȠȣ�Ȃ�țĮȚ�ȃ�ȠȚ�İȚțȩȞİȢ�IJȦȞ�ȝȚȖĮįȚțȫȞ�ĮȡȚșȝȫȞ�z țĮȚ� 2 i� ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ��ȅʌȩIJİ��Ș�İȪȡİıȘ�IJȘȢ�İȜȐȤȚıIJȘȢ�țĮȚ� IJȘȢ�ȝȑȖȚıIJȘȢ�IJȚȝȒȢ�IJȠȣ� w z� ĮȞȐȖİIJĮȚ�ıIJȘȞ�İȪȡİıȘ�IJȘȢ�İȜȐȤȚıIJȘȢ�țĮȚ�IJȘȢ�ȝȑȖȚıIJȘȢ�IJȚȝȒȢ�IJȠȣ� � �MN ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ���

ǹʌȩ�IJȘ�īİȦȝİIJȡȓĮ��ȖȞȦȡȓȗȠȣȝİ�ȩIJȚ� � � � � � � �AN MN BNd d �

ȩʌȠȣ�ǹ țĮȚ�Ǻ�IJĮ�ıȘȝİȓĮ�ıIJĮ�ȠʌȠȓĮ�Ș�įȚĮțİȞIJȡȚ�țȒ�İȣșİȓĮ�ȅȃ�IJȑȝȞİȚ�IJȠȞ�țȪțȜȠ

2 2c : x y 1�

ʌȠȣ�İȓȞĮȚ�Ƞ�ȖİȦȝİIJȡȚțȩȢ�IJȩʌȠȢ�IJȦȞ�İȚțȩȞȦȞ�IJȠȣ�z ıIJȠ�ȝȚȖĮįȚțȩ�İʌȓʌİįȠ��ǼʌȠȝȑȞȦȢ�

� � � � � � � �

2 2

min MN AN ON OA

2 2 1 2 2 1

� � �

țĮȚ

� � � � � � � �

2 2

max MN BN ON OB

� � � � � ��

� � �

ǹʌȩ�IJĮ�ʌĮȡĮʌȐȞȦ��ıȣȝʌİȡĮȓȞȠȣȝİ�ȩIJȚ

� �� �

� �

min w z min 2 MN

2 min MN

2 2 2 1

4 2

țĮȚ

� �� �

� �

max w z max 2 MN

2 max MN

2 2 2 1

� ��

�����

x

y

A

� �M z

� �N 2,2

� �z 2 2i� �

B

O

Ȉȋȅȁǿȅ��ȆĮȡĮIJȘȡȠȪȝİ� ȩIJȚ� įİȞ� ȚıȤȪȠȣȞ� ȠȚ� Țıȩ�IJȘIJİȢ

� �min w z ǻǼ � �� � țĮȚ

� �max w z ī= � ��� � ǹȣIJȩ� ıȣȝȕĮȓȞİȚ� įȚȩIJȚ� Ƞ� ȝȚȖĮįȚțȩȢ� w İȓȞĮȚ� İȟĮȡIJȘȝȑȞȠȢ� Įʌȩ� IJȠȞ� ȝȚȖĮįȚțȩ� z țĮȚ�ıȣȞİʌȫȢ�Ș�İȚțȩȞĮ�IJȠȣ�įİȞ�țȚȞİȓIJĮȚ�ĮȞİȟȐȡIJȘIJĮ� Įʌȩ� IJȘȞ� İȚțȩȞĮ� IJȠȣ� z�� DzIJıȚ��ĮȞ�Ș�İȚțȩȞĮ�IJȠȣ�z ıȣȝʌȑıİȚ�ȝİ�IJȠ�ıȘȝİȓȠ�ǻ��IJȩIJİ�Ș�İȚțȩȞĮ�IJȠȣ�w įİȞ�șĮ�ıȣȝʌȑıİȚ� ĮʌĮȡĮȓIJȘIJĮ� ȝİ� IJȠ� ıȘȝİȓȠ�Ǽ��ȅȝȠȓȦȢ��ĮȞ�Ș�İȚțȩȞĮ�IJȠȣ�z ıȣȝʌȑıİȚ�ȝİ�IJȠ�ıȘȝİȓȠ�ī�� IJȩIJİ�Ș� İȚțȩȞĮ� IJȠȣ�w įİȞ�șĮ�ıȣȝʌȑıİȚ�țĮIJ¶�ĮȞȐȖțȘ�ȝİ�IJȠ�ıȘȝİȓȠ�ǽ��ȩʌȦȢ�șĮ�“İʌȚșȣȝȠȪıĮȝİ”!

y

x

ī

ǻǼ

ȅ

� �Ȁ �� ��

5

ǽ

� �Ȃ ]

� �P w

w z�

1

Page 12: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

ƮNJDŽǂDžNJNjǐǀ�ƣǒNJljǍǐǀ� � 107�

ƪƾǍǂ�66�

ǻȓȞȠȞIJĮȚ�ȠȚ�ȝȚȖĮįȚțȠȓ�ĮȡȚșȝȠȓ�z�țĮȚ�w�IJȑIJȠȚȠȚ��ȫıIJİ�3z 9iZ � ȝİ ] �L] �L�

z ��

��

ǹȞ�Ș�İȚțȩȞĮ�IJȠȣ�z�ıIJȠ�ȝȚȖĮįȚțȩ�İʌȓʌİįȠ�įȚĮȖȡȐijİȚ�IJȠȞ�țȪțȜȠ�

� �221F � [ \ � ��� � �

ȞĮ�ĮʌȠįİȓȟİIJİ�ȩIJȚ���i)� � �2z 4 z z i 7 0� � � �ii)� Ș�İȚțȩȞĮ�IJȠȣ�w�ıIJȠ�ȝȚȖĮįȚțȩ�İʌȓʌİįȠ�ĮȞȒțİȚ�ıIJȠȞ�țȪțȜȠ��

2 22F � [ \ ��� �

iii)� � ] Z ��� � � ��

ƭǞǔLj�

i)� īȞȦȡȓȗȠȣȝİ�ȩIJȚ�Ș�İȚțȩȞĮ�IJȠȣ�z ıIJȠ�ȝȚȖĮįȚțȩ�İʌȓʌİįȠ�įȚĮȖȡȐijİȚ�IJȠȞ�țȪțȜȠ � �22

1c : x y 4 9� � Ƞ�ȠʌȠȓȠȢ�ȑȤİȚ�țȑȞIJȡȠ�IJȠ�ıȘȝİȓȠ� � �K 0, 4 ʌȠȣ�İȓȞĮȚ İȚțȩȞĮ�IJȠȣ�ȝȚȖĮįȚțȠȪ�ĮȡȚșȝȠȪ�

4i, țĮȚ�ĮțIJȓȞĮ� 1ȡ �� ǻȘȜĮįȒ�

2z 4i 3 z 4i 9� � �

� � � �

� �2

z 4i z 4i 9zz 4zi 4zi 16 9

z 4 z z i 7 0

� � �

� � � �

� � � �

ii)� ǹȡțİȓ�ȞĮ�ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ�ȩIJȚ Z �� ǻȘȜĮįȒ�

3z 9i3z 9i 1 1

z 5i z 5i��

� � �

� � � � � � � �

� �� �

2 2

2

2

3z 9i z 5i

3z 9i 3z 9i z 5i z 5i9zz 27zi 27zi 81 zz 5zi 5zi 258zz 32zi 32zi 56 0

8 z 32 z z i 56 0

z 4 z z i 7 0, ʌȠȣ ȚıȤȪİȚ�

� � �

� � � � �

� � � � � � �� � � �

� � � �

� � � �

ȆǹȇǹȉǾȇǾȈǾ�Ǿ�ȗȘIJȠȪȝİȞȘ�ıȣȞșȒțȘ�

w 1

İȓȞĮȚ� ȚıȠįȪȞĮȝȘ� ȝİ� IJȘ�ıȣȞșȒțȘ�ʌȠȣ�ĮʌȠįİȓȟĮȝİ�ıIJȠ� İȡȫIJȘȝĮ� ii) țĮȚ� Ș�ȠʌȠȓĮ� İȓȞĮȚ� İʌȓıȘȢ� ȚıȠ�įȪȞĮȝȘ�ȝİ�IJȘ�ıȣȞșȒțȘ�

] �L ���

Page 13: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

108� � ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ�ƥƘ�ƭǖNjdžǀǐǖ�

iii)� DzȤȠȣȝİ � �z w MN�

ȩʌȠȣ�Ȃ��ȃ�ȠȚ�İȚțȩȞİȢ�IJȦȞ�ȝȚȖĮįȚțȫȞ�ĮȡȚșȝȫȞ�z țĮȚ� w ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ�� ǵȝȦȢ�� ȠȚ� țȪțȜȠȚ� � �1c țĮȚ�

� �2c İijȐʌIJȠȞIJĮȚ�İȟȦIJİȡȚțȐ�ıIJȠ�ıȘȝİȓȠ� � �A 0,1

țĮȚ� IJȑȝȞȠȣȞ� IJȘ� įȚĮțİȞIJȡȚțȒ� IJȠȣȢ� İȣșİȓĮ� ȅȀ�������ȐȟȠȞĮȢ� y y)c İʌȚʌȜȑȠȞ�ıIJĮ�ıȘȝİȓĮ� � �B 0,7 țĮȚ�

� �ī �� �� ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ��ǼʌȠȝȑȞȦȢ���

� � � �0 MN Bī �d d

įȘȜĮįȒ 0 z w 8d � d �

Ǿ�ȚıȩIJȘIJĮ�ʌȡȠȢ�IJĮ�ĮȡȚıIJİȡȐ�ȚıȤȪİȚ�ĮȞ�țĮȚ�ȝȩȞȠ�ĮȞ� z i țĮȚ��w i (1)�

Ǿ�ȚıȩIJȘIJĮ�ʌȡȠȢ�IJĮ�įİȟȚȐ�ȚıȤȪİȚ�ĮȞ�țĮȚ�ȝȩȞȠ�ĮȞ z 7i țĮȚ���w i � (2)�

ǵȝȦȢ� ȖȚĮ� z i İȓȞĮȚ

3i 9i 6iw 1 ii 5i 6i� �

� z�

İȞȫ�ȖȚĮ� z 7i İȓȞĮȚ 21i 9i 12iw 1 i7i 5i 12i

� z �

��

DZȡĮ�� țĮȝȓĮ� Įʌȩ� IJȚȢ� ıȣȞșȒțİȢ� (1) țĮȚ� (2)� � įİȞ�İȓȞĮȚ�ĮȜȘșȒȢ��ȈȣȝʌİȡĮȓȞȠȣȝİ�ȜȠȚʌȩȞ�ȩIJȚ�

� �� 01 � � ] Z ��� � � � � �

Ȉȋȅȁǿȅ�ȅȚ� İȚțȩȞİȢ� IJȦȞ� ȝȚȖĮįȚțȫȞ� z țĮȚ� w țȚȞȠȪȞIJĮȚ� ıIJȠȣȢ� țȪ�țȜȠȣȢ� � �1c țĮȚ� � �2c ĮȞIJȓ�

ıIJȠȚȤĮ�� ȩȝȦȢ� ȩȤȚ� ĮȞİȟȐȡIJȘ�IJĮ� Ș� ȝȓĮ� Įʌȩ� IJȘ� ȐȜȜȘ�� ȀĮȚ�ĮȣIJȩ� ıȣȝȕĮȓȞİȚ� ȖȚĮIJȓ� Ƞ� w İȓȞĮȚ�İȟĮȡIJȘȝȑȞȠȢ�Įʌȩ�IJȠȞ�z� DzIJıȚ�� ȩIJĮȞ� Ș� İȚțȩȞĮ� IJȠȣ� z ıȣȝʌȑıİȚ� ȝİ� țȐʌȠȚȠ� ıȘȝİȓȠ�IJȠȣ� țȪțȜȠȣ� � �1c �� Ș� İȚțȩȞĮ�

IJȠȣ� w șĮ ıȣȝʌȑıİȚ� ȝİ� țȐ�ʌȠȚȠ� ıȘȝİȓȠ� IJȠȣ� țȪțȜȠȣ�� �2c ��IJȠ�ȠʌȠȓȠ�İȓȞĮȚ�ȝȠȞĮįȚ�

țȩ� țĮȚ� ȩȤȚ� țĮIJ¶� ĮȞȐȖțȘ� IJȘȢ�ĮȡİıțİȓĮȢ�ȝĮȢ�

� �A 0,1

� �N w x

y

� �ī �� ��

� �B 0,7

� �M z

� �K 0,4

Page 14: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

ƮNJDŽǂDžNJNjǐǀ�ƣǒNJljǍǐǀ� � 109�

ƪƾǍǂ�67�

DzıIJȦ�ȠȚ�ȝȚȖĮįȚțȠȓ�ĮȡȚșȝȠȓ�z�țĮȚ�w �IJȑIJȠȚȠȚ��ȫıIJİ��

z 1 ���țĮȚ���� 2z 1Z �z 2�

i)� NĮ� ĮʌȠįİȓȟİIJİ� ȩIJȚ� ȠȚ� İȚțȩȞİȢ� IJȦȞ� z � țĮȚ� w � ıIJȠ� ȝȚȖĮįȚțȩ� İʌȓʌİįȠ���������ĮȞȒțȠȣȞ� ıIJȠȞ� țȪțȜȠ� � �c � ȝİ� țȑȞIJȡȠ� IJȠ� ıȘȝİȓȠ� � �2 �� � � țĮȚ� ĮțIJȓȞĮ�ȡ �� �

ii)� NĮ�ȜȪıİIJİ�ȦȢ�ʌȡȠȢ�z�IJȘȞ�İȟȓıȦıȘ�w z � �iii)� NĮ�ȕȡİȓIJİ�IJȘ�ȝȑȖȚıIJȘ�IJȚȝȒ�IJȠȣ� w z� �

iv)� NĮ�ĮʌȠįİȓȟİIJİ�ȩIJȚ� Z ] ��� � ���

ƭǞǔLj�

i)� ǹȡțİȓ�ȞĮ�ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ�ȩIJȚ� z 1 țĮȚ���� Z ��

Ǿ�ʌȡȫIJȘ�ȚıȩIJȘIJĮ�İȪțȠȜĮ�įȚĮʌȚıIJȫȞȠȣȝİ�ȩIJȚ�ȚıȤȪİȚ�ĮijȠȪ ] ] ��

Ǿ�įİȪIJİȡȘ�ȚıȩIJȘIJĮ�ȚıȠįȪȞĮȝĮ�ȖȡȐijİIJĮȚ

2z 12z 1 1 1

z 2 z 2��

� � �

2 22z 1 z 2 2z 1 z 2� � � � � �

� �� � � �� �2z 1 2z 1 z 2 z 2� � � � �

� �� � � �� �2z 1 2z 1 z 2 z 2� � � � �

4zz 2z 2z 1 zz 2z 2z 4� � � � � � � 3zz 3�

2z 1�

z 1,� ʌȠȣ�ȚıȤȪİȚ�

Page 15: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

110� � ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ�ƥƘ�ƭǖNjdžǀǐǖ�

ii) DzȤȠȣȝİ 2 1] � ] � ]] � ] �

z � � � �

ȅʌȩIJİ��Ș�İȟȓıȦıȘ w z � ȚıȠįȪȞĮȝĮ�ȖȡȐijİIJĮȚ

1wz

�2z 1 1z 2 z�

� ��

� � � �z 2z 1 z 2� � � �

22z z z 2� � � � 22z 2z 2 0� � � 2] ] � ��� � �

ȆȡȩțİȚIJĮȚ�ȖȚĮ�İȟȓıȦıȘ��Ƞȣ�ȕĮșȝȠȪ�ȝİ�įȚĮțȡȓȞȠȣıĮ ǻ � � � � � ǼʌȠȝȑȞȦȢ��ȑȤİȚ�įȪȠ�ȡȓȗİȢ

1,21 3iz

2� r

įȘȜĮįȒ

11 3z i2 2

� � țĮȚ���� 21 3] L�2 2

� �

ȀĮȚ� İʌİȚįȒ 1 2z z 1 ıȣȝʌİȡĮȓȞȠȣȝİ�ȩIJȚ�ȠȚ� ȝȚȖĮįȚțȠȓ�ĮȡȚșȝȠȓ� 1 2z , z İȓȞĮȚ�ȠȚ�ȡȓȗİȢ�IJȘȢ�İȟȓıȦıȘȢ� Z ]� �

iii)� ȆĮȡĮIJȘȡȠȪȝİ�ȩIJȚ � �w z MN�

ȩʌȠȣ� Ȃ�� ȃ� ȠȚ� ĮȞIJȓıIJȠȚȤİȢ� İȚțȩȞİȢ� IJȦȞ� w, z ıIJȠ�ȝȚȖĮįȚțȩ�İʌȓʌİįȠ��ǼʌȓıȘȢ�

� �MN 2ȡ �d �

ȀĮȚ�Ș� ȚıȩIJȘIJĮ�ȚıȤȪİȚ�ĮȞ�țĮȚ�ȝȩȞȠ�ĮȞ�IJĮ�ıȘȝİȓĮ�Ȃ�țĮȚ�ȃ�İȓȞĮȚ�ĮȞIJȚįȚĮȝİIJȡȚțȐ�ıȘȝİȓĮ�IJȠȣ�țȪțȜȠȣ� � �c

ıIJȠȞ� ȠʌȠȓȠ� țĮȚ� ĮȞȒțȠȣȞ��ǻȘȜĮįȒ�� ĮȞ� țĮȚ� ȝȩȞȠ�ĮȞ�ȣʌȐȡȤİȚ�ȝȚȖĮįȚțȩȢ�ĮȡȚșȝȩȢ�z IJȑIJȠȚȠȢ��ȫıIJİ

w z � țĮȚ����� z 1

ǵȝȦȢ��ıIJȠ�İȡȫIJȘȝĮ� ii) ĮʌȠįİȓȟĮȝİ� ȩIJȚ� ȣʌȐȡȤȠȣȞ�ĮțȡȚȕȫȢ�įȪȠ�IJȑIJȠȚȠȚ�ȝȚȖĮįȚțȠȓ

ĮȡȚșȝȠȓ�� 1,21 3] L�2 2

� r

y

x

� �N z

� �M w

O

Page 16: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

ƮNJDŽǂDžNJNjǐǀ�ƣǒNJljǍǐǀ� � 111�

ǹʌȩ�IJĮ�ʌĮȡĮʌȐȞȦ�ıȣȝʌİȡĮȓȞȠȣȝİ�ȩIJȚ w z 2� d țĮȚ� Ș� ȚıȩIJȘIJĮ� ȚıȤȪİȚ� ĮȞ� țĮȚ�

ȝȩȞȠ�ĮȞ� 1 3] L�2 2

� r ǼʌȠȝȑȞȦȢ�

PD[ Z ] ���

iii)� DzȤȠȣȝİ � �w z MK�

ȩʌȠȣ� Ȃ�� Ȁ� ȠȚ� İȚțȩȞİȢ� IJȦȞ� w, z ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ�� ıIJȠ�ȝȚȖĮįȚțȩ�İʌȓʌİįȠ��ǼʌȓıȘȢ�

� �MK 2ȡ �d �

Ǿ�ȚıȩIJȘIJĮ�ȚıȤȪİȚ�ĮȞ�țĮȚ�ȝȩȞȠ�ĮȞ�IJĮ�ıȘȝİȓĮ�Ȃ�țĮȚ�Ȁ� İȓȞĮȚ� ĮȞIJȚįȚĮȝİIJȡȚțȐ� ıȘȝİȓĮ� IJȠȣ� țȪțȜȠȣ� � �F �

ǻȘȜĮįȒ��ĮȞ�țĮȚ�ȝȩȞȠ�ĮȞ�ȣʌȐȡȤİȚ�ȝȚȖĮįȚțȩȢ�ĮȡȚșȝȩȢ�z IJȑIJȠȚȠȢ��ȫıIJİ

w z � țĮȚ��� ] �� (1)�

Ǿ�İȟȓıȦıȘ w z � ȚıȠįȪȞĮȝĮ�ȖȡȐijİIJĮȚ�

� �2z 1 z 2z 1 z z 2z 2�

� � � � ��

22z 1 z 2z� � � � 2] �] � ��� � � ȆȡȩțİȚIJĮȚ�ȖȚĮ�İȟȓıȦıȘ��Ƞȣ�ȕĮșȝȠȪ�ȝİ�įȚĮțȡȓȞȠȣıĮ� ǻ �� � �� � � ! � ǼʌȠȝȑ�

ȞȦȢ��ȑȤİȚ�įȪȠ�ȡȓȗİȢ�ʌȡĮȖȝĮIJȚțȑȢ�țĮȚ�ȐȞȚıİȢ

1,24 12z 2 3

2� r

� r

Įʌȩ�IJȚȢ�ȠʌȠȓİȢ�ȠȪIJİ�ȝȓĮ�İʌĮȜȘșİȪİȚ�IJȘ�ıȤȑıȘ� ] �� DZȡĮ��įİȞ�ȣʌȐȡȤİȚ�ȝȚȖĮįȚțȩȢ�

ĮȡȚșȝȩȢ�z ʌȠȣ�ȞĮ�ȚțĮȞȠʌȠȚİȓ�IJȚȢ�ıȣȞșȒțİȢ�(1) țĮȚ�ıȣȞİʌȫȢ�Ș�ȚıȩIJȘIJĮ� � �MK 2

İȓȞĮȚ�ĮįȪȞĮIJȘ��ǼʌȠȝȑȞȦȢ�

� �Z ] 0. ��� � �

ȈǾȂǼǿȍȈǾ�Ȉİ� ʌȡȩȕȜȘȝĮ� IJȠȣ� Ǻǯ� IJȩ�ȝȠȣ�șĮ�ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ�ȤȡȘ�ıȚȝȠʌȠȚȫȞIJĮȢ� ȝİșȩįȠȣȢ�IJȘȢ� ȂĮșȘȝĮIJȚțȒȢ� ǹȞȐ�ȜȣıȘȢ�ȩIJȚ�

PD[ Z ] ���

y

x

� �M wO

� �K z

Page 17: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

112� � ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ�ƥƘ�ƭǖNjdžǀǐǖ�

ȆǹȇǹȉǾȇǾȈǾ�

ȉȠ� ʌȡȫIJȠ� ȝȑȜȠȢ� IJȘȢ� ȗȘIJȠȪ�ȝİȞȘȢ� ĮȞȚıȩIJȘIJĮȢ� İȓȞĮȚ� Ș� ʌİȡȓȝİIJȡȠȢ� IJȠȣ� ǹǺīǻ�� IJȠ� ȠʌȠȓȠ�İȓȞĮȚ�İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ�ıIJȠȞ�țȪțȜȠ� ȝİ� țȑȞIJȡȠ� � �0,02 țĮȚ�ĮțIJȓȞĮ� ���U

ƪƾǍǂ�68�

ǻȓȞİIJĮȚ�țȣȡIJȩ�IJİIJȡȐʌȜİȣȡȠ�ǹǺīǻ��ȩʌȠȣ�ǹ��Ǻ��ī��ǻ�ȠȚ�ĮȞIJȓıIJȠȚȤİȢ�İȚțȩȞİȢ�IJȦȞ�ȝȚȖĮįȚțȫȞ�ĮȡȚșȝȫȞ� 1 2 3 4] � ] � ] � ] ��$Ȟ�ȚıȤȪȠȣȞ�ȠȚ�ıȤȑıİȚȢ�

1 2 3 4z z z z 10 ��

ȞĮ�ĮʌȠįİȓȟİIJİ�ȩIJȚ��

1 2 2 3 3 4 4 1] ] ] ] ] ] ] ] �� �� � � � � � � � S

������

ƭǞǔLj�

ȅȚ�ıȤȑıİȚȢ

1 2 3 4z z z z 10

ȝĮȡIJȣȡȠȪȞ� ȩIJȚ� ȠȚ� İȚțȩȞİȢ� IJȦȞ� ȝȚȖĮįȚțȫȞ

1 2 3 4z , z , z , z , įȘȜĮįȒ�IJĮ�ıȘȝİȓĮ�ǹ� Ǻ� ī� ǻ� ĮȞȒ�

țȠȣȞ� ıIJȠȞ� țȪțȜȠ� ȝİ� țȑȞIJȡȠ� IJȠ� ıȘȝİȓȠ� � �O 0,0

țĮȚ�ĮțIJȓȞĮ 10U � ǻȘȜĮįȒ, IJȠ�țȣȡIJȩ�IJİIJȡȐʌȜİȣ�

ȡȠ� ǹǺīǻ� İȓȞĮȚ� İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ� ıIJȠȞ� ʌĮȡĮʌȐȞȦ�

țȪțȜȠ� țĮȚ� ıȣȞİʌȫȢ� ȑȤİȚ� ʌİȡȓȝİIJȡȠ� A ȝȚțȡȩIJİȡȘ�

Įʌȩ�IJȠ�ȝȒțȠȢ�/�IJȠȣ�țȪțȜȠȣ��ǵȝȦȢ,

A 1 2 2 3 3 4 4 1z z z z z z z z � � � � � � �

țĮȚ�

/ �ʌȡ ��ʌ�

DZȡĮ,

1 2 2 3 3 4 4 1] ] ] ] ] ] ] ] �� �� � � � � � � � S

ȉȠ� ʌȡȫIJȠ� ȝȑȜȠȢ� IJȘȢ� ȗȘIJȠȪȝİ�ȞȘȢ�ĮȞȚıȩIJȘIJĮȢ�İȓȞĮȚ�Ș�ʌİȡȓȝİ�IJȡȠȢ�IJȠȣ�ǹǺīǻ��IJȠ�ȠʌȠȓȠ�İȓȞĮȚ�İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ� ıIJȠȞ� țȪțȜȠ� ȝİ�țȑȞIJȡȠ� � �0,02 țĮȚ� ĮțIJȓȞĮ�

���U

y

B A

x

ǻ ī

ȅ

Page 18: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

ƟǒNJǐ-ƴǖǎƾǘdžNJǂ�ƴǖǎƽǒǕLjǔLjǓ� � 335�

ƪƾǍǂ�136�

DzıIJȦ�ıȣȞȐȡIJȘıȘ� f : o\ \ �Ș�ȠʌȠȓĮ�İȓȞĮȚ�ȖȞȘıȓȦȢ�ȝȠȞȩIJȠȞȘ�țĮȚ�ıȣȞİȤȒȢ�țĮȚ�IJȑIJȠȚĮ��ȫıIJİ�

� �x 1

f x 1lim 1.

x 1o

��

i)� ȃĮ�ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ�IJȠ�ȩȡȚȠ��� �� � 2x 0

f x Șȝ[lim

f x xo

��

ii)� ȃĮ�ĮʌȠįİȓȟİIJİ�ȩIJȚ�Ș�ıȣȞȐȡIJȘıȘ�f�İȓȞĮȚ�ȖȞȘıȓȦȢ�ĮȪȟȠȣıĮ��iii)� ȃĮ�ȕȡİȓIJİ�IJȠ�ʌȡȩıȘȝȠ�IJȘȢ�ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ�f.�iv)� ǹȞ�İʌȚʌȜȑȠȞ�Ș�ıȣȞȐȡIJȘıȘ�f�İȓȞĮȚ�ʌİȡȚIJIJȒ�țĮȚ�ȚıȤȪİȚ�Ș�ıȤȑıȘ�

� �xlim f x 4o�f

� ȞĮ�ȕȡİȓIJİ�IJȠ�ıȪȞȠȜȠ�IJȚȝȫȞ�IJȘȢ����

ƭǞǔLj�

i)� ȈȤİIJȚțȐ�ȝİ�IJȠ�įȠșȑȞ�ȩȡȚȠ�șȑIJȠȣȝİ u x 1. � ȅʌȩIJİ��ȩIJĮȞ�IJȠ�x IJİȓȞİȚ�ıIJȠ����IJȩIJİ�IJȠ�u IJİȓȞİȚ�ıIJȠ�����ǼʌȠ�ȝȑȞȦȢ��Ș�įȠșİȓıĮ�ȚıȩIJȘIJĮ�ȖȡȐijİIJĮȚ

� �X �

f ulim 1

uo

Ȓ�ȚıȠįȪȞĮȝĮ��ĮȜȜȐȗȠȞIJĮȢ�ĮʌȜȐ�IJȘ�ȝİIJĮȕȜȘIJȒ

� �[ �

f xlim 1.

xo

DzȤȠȣȝİ�ȜȠȚʌȩȞ

� �� �

� �

� �2[ � [ �

f x Șȝ[f x Șȝ[ x xlim lim

f xf x x xx

o o

��

��

� �

� �[ � [ �

[ � [ �

f x Șȝ[lim limx xf x

lim lim xx

o o

o o

1 1 2.� ��

ȂǼĬȅǻȅȁȅīǿǹ�ȈIJȠ įİįȠȝȑȞȠ� ȩȡȚȠ� IJȠ�x IJİȓȞİȚ� ıIJȠ� ��� İȞȫ�ıIJȠ�ȗȘIJȠȪȝİȞȠ�ȩȡȚȠ�IJȠ�x IJİȓȞİȚ� ıIJȠ� ��� � ǻİȞ��������ȣʌȐȡȤİȚ�ĮȝijȚȕȠȜȓĮ�ȩIJȚ�ıİ�țȐʌȠȚȠ�Įʌȩ�IJĮ�įȪȠ�ȩȡȚĮ� ȤȡİȚȐȗİIJĮȚ� ȞĮ�țȐȞȠȣȝİ� ĮȞIJȚțĮIJȐıIJĮ�ıȘ�� ȫıIJİ� IJȠ� x ȞĮ� IJİȓ�ȞİȚ� ıIJȠȞ� ȓįȚȠ� ĮȡȚșȝȩ�țĮȚ�ıIJĮ�įȪȠ�ȩȡȚĮ�

Page 19: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

336� � ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ�ƥƘ�ƭǖNjdžǀǐǖ�

ii)� DzȤȠȣȝİ

� �[ �

f xOLP � �

xo ! .

ȅʌȩIJİ�

� �f x�

x! țȠȞIJȐ�ıIJȠ���

ǻȘȜĮįȒ��ȠȚ�ĮȡȚșȝȠȓ� � �f x țĮȚ�x İȓȞĮȚ�ȠȝȩıȘ�ȝȠȚ� țȠȞIJȐ� ıIJȠ� ��� � ǼʌȠȝȑȞȦȢ�� ȣʌȐȡȤȠȣȞ�

1 2[ � [ �\ ȝİ�

1 2[ � [� �

IJȑIJȠȚȠȚ�ȫıIJİ

� � � �1 2I [ � I [ �� �

ȀĮȚ�İʌİȚįȒ�Ș�ıȣȞȐȡIJȘıȘ�f İȓȞĮȚ�ȖȞȘıȓȦȢ�ȝȠ�ȞȩIJȠȞȘ�� ıȣȝʌİȡĮȓȞȠȣȝİ� ȩIJȚ� İȓȞĮȚ� ȖȞȘıȓȦȢ�ĮȪȟȠȣıĮ�

iii)� DzȤȠȣȝİ

� � � �[ � [ �

f xlimf x lim x

xo o �

� �[ � [ �

f xlim lim x

xo o �

� � �� �

ǼʌȓıȘȢ��Ș�ıȣȞȐȡIJȘıȘ�f İȓȞĮȚ�ıȣȞİȤȒȢ��DZȡĮ�

� � � �[ �

I � OLPI [ ��o

ǼʌȠȝȑȞȦȢ��Įʌȩ�IJȠ�ȖİȖȠȞȩȢ�ȩIJȚ�Ș�f İȓȞĮȚ�ȖȞȘıȓȦȢ�ĮȪȟȠȣıĮ�ʌȡȠțȪʌIJİȚ�ȩIJȚ x ȖȚĮ�țȐșİ� [ �! ȚıȤȪİȚ�

� � � �I [ I � �!

țĮȚ

x ȖȚĮ�țȐșİ� [ �� ȚıȤȪİȚ�

� � � �I [ I � ���

ȂǼĬȅǻȅȁȅīǿǹ�īȞȦȡȓȗȠȣȝİ� ȩIJȚ� Ș� ıȣ�ȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ�ȖȞȘıȓȦȢ�ȝȠȞȩIJȠȞȘ��ȅʌȩIJİ��ȖȚĮ�ȞĮ�ȕȡȠȪȝİ� IJȠ� İȓįȠȢ� IJȘȢ�ȝȠ�ȞȠIJȠȞȓĮȢ� IJȘȢ�� Įȡțİȓ� ȞĮ�ıȣȖțȡȓȞȠȣȝİ� įȪȠ� IJȚȝȑȢ�IJȘȢ� � �1f x țĮȚ� � �2f x ȝİ� 1 2x x .�

Ȉȋȅȁǿȅ�ǹʌȠįİȓȟĮȝİ ȩIJȚ� Ș� ıȣ�ȞȐȡIJȘıȘ�f İȓȞĮȚ�ȖȞȘıȓȦȢ�ĮȪȟȠȣıĮ��ǹȞ� ȝʌȠȡȑıȠȣ�ȝİ� ȞĮ� ȕȡȠȪȝİ� țĮȚ� ıİ�ʌȠȚȠ�ıȘȝİȓȠ�ȝȘįİȞȓȗİIJĮȚ��IJȩIJİ� İȪțȠȜĮ� șĮ� ȝʌȠȡȑ�ıȠȣȝİ� ȞĮ� ȕȡȠȪȝİ� IJȠ�ʌȡȩıȘȝȩ�IJȘȢ�

Page 20: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

ƟǒNJǐ-ƴǖǎƾǘdžNJǂ�ƴǖǎƽǒǕLjǔLjǓ� � 337�

iv)� H ıȣȞȐȡIJȘıȘ�f İȓȞĮȚ�ʌİȡȚIJIJȒ��ǻȘȜĮįȒ� � � � �f x f x� � ȖȚĮ�țȐșİ�� x .�\

ǼʌȠȝȑȞȦȢ�

� � � �x xlim f x lim f xo�f o�f

� �ª º¬ ¼

� �xlim f x 4.o�f

� �

ǹȞ� șȑıȠȣȝİ� u x � � ʌĮȡĮIJȘȡȠȪȝİ� ȩIJȚ�

ȩIJĮȞ�IJȠ�x IJİȓȞİȚ�ıIJȠ� ��f IJȩIJİ�IJȠ�u IJİȓ�

ȞİȚ�ıIJȠ� .�f ȅʌȩIJİ��Ș�ȚıȩIJȘIJĮ

� �xlim f x 4o�f

� �

ȖȡȐijİIJĮȚ

� �ulim f u 4o�f

įȘȜĮįȒ�

� �xlim f x 4.o�f

Ǿ�ıȣȞȐȡIJȘıȘ�f İȓȞĮȚ�ıȣȞİȤȒȢ�țĮȚ�ȖȞȘıȓȦȢ�ĮȪȟȠȣıĮ�ıIJȠ� .\ ǼʌȠȝȑȞȦȢ�

� � � � � �� �x xI OLP I [ � OLP I [

o�f o�f \ � ��� � � �

ȈǾȂǼǿȍȈǾ�Ǿ�ıȣȞȐȡIJȘıȘ� f İȓȞĮȚ�ıȣȞİȤȒȢ�țĮȚ�ȖȞȘıȓȦȢ� ĮȪȟȠȣıĮ� ıIJȠ įȚȐıIJȘȝĮ

� �� � �f � f\ ǼʌȠȝȑȞȦȢ�

� � � � � �� �x xI OLP I [ � OLP I [ �

o�f o�f \

DZȡĮ�� Ș� İȪȡİıȘ� IJȠȣ� ıȣȞȩȜȠȣ� IJȚ�ȝȫȞ� IJȘȢ� � �f \ ĮȞȐȖİIJĮȚ� ıIJȠȞ�

ȣʌȠȜȠȖȚıȝȩ�IJȠȣ�ȠȡȓȠȣ� � �xlim f xo�f

ĮijȠȪ� IJȠ� ȩȡȚȠ� � �xlim f xo�f

İȓȞĮȚ�

ȖȞȦıIJȩ�

Page 21: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

338� � ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ�ƥƘ�ƭǖNjdžǀǐǖ�

ƪƾǍǂ�137�

ǻȓȞİIJĮȚ� IJȡȓȖȦȞȠ�ǹȅǺ�ȝİ� � � � �$ �� � � 2 �� � � țĮȚ� � � �% �� � � � � ȃĮ� ĮʌȠįİȓȟİIJİ�ȩIJȚ�ȣʌȐȡȤİȚ�ıȘȝİȓȠ�Ȃ�ıIJȠ�İıȦIJİȡȚțȩ�IJȠȣ�ȪȥȠȣȢ�IJȠȣ�Ǻǻ�IJȑIJȠȚȠ��ȫıIJİ�

� � � � � �02 0$ 0% � � ��ƭǞǔLj� Ǿ� İȣșİȓĮ� Ǻǻ� įȚȑȡȤİIJĮȚ� Įʌȩ� IJȠ� ıȘȝİȓȠ�� �% �� � țĮȚ� İȓȞĮȚ� țȐșİIJȘ� ıIJȘȞ� İȣșİȓĮ� ȅǹ�

įȘȜĮįȒ��ıIJȠȞ�ȐȟȠȞĮ� y y.c DZȡĮ��ȑȤİȚ�İȟȓıȦıȘ y 2. � ȅʌȩIJİ�� Įȡțİȓ ȞĮ� ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ� ȩIJȚ� ȣʌȐȡȤİȚ� � ��[ �� �� IJȑIJȠȚȠȢ��ȫıIJİ�IJȠ�ıȘȝİȓȠ�

� ��0 [ � � ȞĮ�İʌĮȜȘșİȪİȚ�IJȘ�ıȤȑıȘ

� � � � � �MO MA MB �

įȘȜĮįȒ

� � � �222 2 2 2� � �[ � [ � [ � �� � � � � �

Ȓ�ȚıȠįȪȞĮȝĮ

2 2� � �[ � [ � [ � ��� � � � �

ȆȡȠȢ�IJȠȪIJȠ��șİȦȡȠȪȝİ�IJȘ�ıȣȞȐȡIJȘıȘ

� � 2 2I [ [ � [ � [ � � � � � � � > @[ �� ��

țĮȚ�ʌĮȡĮIJȘȡȠȪȝİ�ȩIJȚ� � Ǿ��f İȓȞĮȚ�ıȣȞİȤȒȢ�ıIJȠ�įȚȐıIJȘȝĮ� > @�� � ȦȢ�ĮʌȠIJȑȜİıȝĮ�ʌȡȐȟİȦȞ�ȝİIJĮȟȪ�ıȣȞİȤȫȞ�

ıȣȞĮȡIJȒıİȦȞ � � �I � � � � � � � � � � � țĮȚ�� � �I � �� �� � �� �� � � � � ! .

ȅʌȩIJİ���ıȪȝijȦȞĮ�ȝİ�IJȠ�șİȫȡȘȝĮ�IJȠȣ�Bolzano� ȣʌȐȡȤİȚ� � ��[ �� �� IJȑIJȠȚȠȢ��ȫıIJİ�

� ��I [ � � 2 2� � �[ � [ � [ � ��� � � � �

Ȉȋȅȁǿȅ�Ǿ�įȣıțȠȜȓĮ�IJȠȣ�ʌȡȠȕȜȒȝĮIJȠȢ�İıIJȚȐ�ȗİIJĮȚ� ıIJȘȞ� ĮțȡȚȕȒ� ȝİIJȐijȡĮıȒ� IJȠȣ�Įʌȩ� IJȘ� ȖȜȫııĮ� IJȘȢ� īİȦȝİIJȡȓĮȢ� ıIJȘ�ȖȜȫııĮ�IJȘȢ�ǹȞȐȜȣıȘȢ�

y

� �ǻ ���

� �ǹ ���

� �Ǻ ���

� ��Ȃ [ ��

� �2 ��� 4 x

Page 22: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

ƟǒNJǐ-ƴǖǎƾǘdžNJǂ�ƴǖǎƽǒǕLjǔLjǓ� � 339�

ƪƾǍǂ�138�

DzıIJȦ�ıȣȞȐȡIJȘıȘ� f : o\ \ � Ș� ȠʌȠȓĮ� İȓȞĮȚ� 1 1� � țĮȚ� ıȣȞİȤȒȢ��ǹȞ� ȖȚĮ� țȐ�ʌȠȚȠȞ�ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩ�ĮȡȚșȝȩ�Ȝ�ȚıȤȪȠȣȞ�ȠȚ�ıȤȑıİȚȢ�

� � � �ȜI � I � �� �����țĮȚ����

��� � � � � � �2Ȝ � I � ȜI � ��� � �IJȩIJİ��i)� ȞĮ�ȕȡİȓIJİ�IJȘȞ�IJȚȝȒ�IJȠȣ�Ȝ�ii)� ȞĮ�ĮʌȠįİȓȟİIJİ�ȩIJȚ�Ș�İȟȓıȦıȘ� � �f x 0 �ȑȤİȚ�ĮțȡȚȕȫȢ�ȝȓĮ�ȡȓȗĮ�Ș�ȠʌȠȓĮ�

ȝȐȜȚıIJĮ�įİȞ�İȓȞĮȚ�ĮțȑȡĮȚȠȢ�ĮȡȚșȝȩȢ����ƭǞǔLj� i)� ȆĮȡĮIJȘȡȠȪȝİ�ȩIJȚ�IJȠ�ȗİȪȖȠȢ

� � � � � �� �[� \ I � � I �

ĮʌȠIJİȜİȓ�ȜȪıȘ�IJȠȣ�ȖȡĮȝȝȚțȠȪ�ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ

� �Ȝ[ \ �2Ȝ � [ Ȝ\ �� Ȝ �� ­

® � � �¯ \

ǵȝȦȢ�� IJȠ� ıȪıIJȘȝĮ� ĮȣIJȩ� ȑȤİȚ� İʌȓıȘȢ�� ȦȢ� ȜȪıȘ�țĮȚ�IJȠ�ȗİȪȖȠȢ

� � � �[� \ �� � �

ȀĮȚ�İʌİȚįȒ

� � � �� � � �I � � I � �� �z

ĮijȠȪ�Ș�ıȣȞȐȡIJȘıȘ�f İȓȞĮȚ�1 1� ıȣȝʌİȡĮȓȞȠȣȝİ�ȩIJȚ� IJȠ� ʌĮȡĮʌȐȞȦ�ıȪıIJȘȝĮ� ȑȤİȚ� ȐʌİȚȡİȢ� ȜȪıİȚȢ��ǻȘȜĮįȒ�

Ȝ �

' � �2Ȝ � Ȝ

� �

Ȓ�ȚıȠįȪȞĮȝĮ

� � � �22Ȝ �Ȝ � � Ȝ � � Ȝ ��� � � � �

ȈǾȂǼǿȍȈǾ�ǹȞ ȠȚ� ıIJĮșİȡȠȓ� ȩȡȠȚ�İȞȩȢ� ȖȡĮȝȝȚțȠȪ� ıȣıIJȒ�ȝĮIJȠȢ� 2 2u İȓȞĮȚ�țĮȚ�ȠȚ�įȪȠ� ȝȘįȑȞ�� IJȩIJİ� IJȠ� ıȪ�ıIJȘȝĮ�įİȞ� İȓȞĮȚ�ĮįȪȞĮ�IJȠȞ� ĮijȠȪ� ȑȤİȚ� ȝȓĮ� IJȠȣ�ȜȐȤȚıIJȠȞ� ʌȡȠijĮȞȒ� ȜȪ�ıȘ�IJȘȞ�

� � � �[� \ �� � �

ǼʌȠȝȑȞȦȢ�� șĮ� ȑȤİȚ� Ȓ�ȝȠȞĮįȚțȒ�ȜȪıȘ�IJȘȞ�

� � � �[� \ �� �

ȠʌȩIJİ� ' ��z

Ȓ�ȐʌİȚȡİȢ�ȜȪıİȚȢ�ȠʌȩIJİ� ' ��

Page 23: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

340� � ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ�ƥƘ�ƭǖNjdžǀǐǖ�

ii)� ǹȞIJȚțĮșȚıIJȫȞIJĮȢ�IJȘȞ�IJȚȝȒ�IJȠȣ�Ȝ�ʌȠȣ ȕȡȒțĮȝİ�ʌĮȡĮʌȐȞȦ�ıİ�țȐʌȠȚĮ�Įʌȩ�IJȚȢ�įȠ�

șİȓıİȢ�ıȤȑıİȚȢ�ȑȤȠȣȝİ

� � � �I � I � �� � � � � �f 1 f 2 . �

ȈIJȘ�ıȣȞȑȤİȚĮ��ʌĮȡĮIJȘȡȠȪȝİ�ȩIJȚ�Ș�ıȣȞȐȡIJȘıȘ�f İȓȞĮȚ�ıȣȞİȤȒȢ�ıIJȠ�įȚȐıIJȘȝĮ� > @�� �

țĮȚ�ȚıȤȪİȚ�

� � � � � � � � � �2I � I � I � I � I � � � � � .

ȆȡȐȖȝĮIJȚ�� ĮȞ� İȓȞĮȚ � �I � �� IJȩIJİ� șĮ� ȑȤȠȣȝİ� țĮȚ � �I � � �� ʌȡȐȖȝĮ� ĮįȪȞĮIJȠȞ�

ĮijȠȪ�Ș�ıȣȞȐȡIJȘıȘ�f İȓȞĮȚ�1 1.� DZȡĮ��ıȪȝijȦȞĮ�ȝİ�IJȠ�șİȫȡȘȝĮ�IJȠȣ�Bolzano Ș�İ�

ȟȓıȦıȘ � �I [ � ȑȤİȚ� ȝȓĮ� IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ� ȡȓȗĮ� ıIJȠ� įȚȐıIJȘȝĮ� � ��� � � Ǿ� ȡȓȗĮ� ĮȣIJȒ�

ʌȡȠijĮȞȫȢ�įİȞ�İȓȞĮȚ�ĮțȑȡĮȚȠȢ�ĮȡȚșȝȩȢ�țĮȚ�ijȣıȚțȐ�İȓȞĮȚ�ȝȠȞĮįȚțȒ��ĮijȠȪ�Ș�ıȣȞȐȡ�

IJȘıȘ�f İȓȞĮȚ�1 1.�

�����������

Page 24: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

ƟǒNJǐ-ƴǖǎƾǘdžNJǂ�ƴǖǎƽǒǕLjǔLjǓ� � 341�

ƪƾǍǂ�139�

DzıIJȦ�ȠȚ�ȝȚȖĮįȚțȠȓ�ĮȡȚșȝȠȓ��z��țĮȚ���w��ȖȚĮ�IJȠȣȢ�ȠʌȠȓȠȣȢ�ȚıȤȪȠȣȞ�ȠȚ�ıȤȑıİȚȢ�2 2

2 z zz z z2�

� � �

țĮȚ��2w z z i. � � �

i)� ȃĮ� ȕȡİȓIJİ� IJȠȞ� ȖİȦȝİIJȡȚțȩ� IJȩʌȠ� IJȦȞ� İȚțȩȞȦȞ� IJȠȣ� z� ıIJȠ� ȝȚȖĮįȚțȩ���������İʌȓʌİįȠ��

ii)� ȃĮ�ĮʌȠįİȓȟİIJİ�ȩIJȚ�ȣʌȐȡȤİȚ�ȝȠȞĮįȚțȩȢ�ĮȡȚșȝȩȢ�z�IJȑIJȠȚȠȢ��ȫıIJİ�� �0 Im z 1� � ����țĮȚ��� � �Im w 0 .�

iii)� AȞ�Ƞ��w�İȓȞĮȚ�ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩȢ��ȞĮ�ĮʌȠįİȓȟİIJİ�ȩIJȚ� z 2.� ���

ƭǞǔLj� i)� DzıIJȦ� z x yi � țĮȚ� � �0 [� \ Ș� İȚțȩȞĮ� IJȠȣ� ıIJȠ� ȝȚȖĮįȚțȩ� İʌȓʌİįȠ�� Ǿ� įȠșİȓıĮ�

ıȤȑıȘ

2 2

2 z zz z z2�

� �

ȚıȠįȪȞĮȝĮ�ȖȡȐijİIJĮȚ

� � � � � �2 222 2 x yi x yi

x y x yi x yi2

� � �� � � � �

2 2 2 2

2 2 x y 2xyi x y 2xyix y 2x2

� � � � �� � �

2 2

2 2 2x 2yx y 2x2�

� � � 2 2 2 2x y x y 2x� � � �

22y 2x� 2y x.�

DZȡĮ��Ƞ�ȗȘIJȠȪȝİȞȠȢ�ȖİȦȝİIJȡȚțȩȢ�IJȩʌȠȢ�İȓȞĮȚ�Ș�ʌĮȡĮȕȠȜȒ 2F � \ [�

Page 25: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

342� � ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ�ƥƘ�ƭǖNjdžǀǐǖ�

ii)� DzȤȠȣȝİ � � � �22w z z i x yi x yi i � � � � � �

� � � �

2 2

2 2

x y 2xyi x yi i

x y x 2xy y 1 i.

� � � � �

� � � � �

ǵȝȦȢ� ĮʌȠįİȓȟĮȝİ�ȩIJȚ 2y x . ȅʌȩIJİ�

� � � � � �� � � � � �w y y y 2y y y 1 i y 2y y 1 i ȝİ \ � � � � � � � � � �\

ǹȡțİȓ�ȜȠȚʌȩȞ�ȞĮ�ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ�ȩIJȚ�Ș�İȟȓıȦıȘ ��\ \ � �� �

ȑȤİȚ�ȝȠȞĮįȚțȒ�ʌȡĮȖȝĮIJȚțȒ�ȡȓȗĮ��Ș�ȠʌȠȓĮ�ĮȞȒțİȚ�ıIJȠ�įȚȐıIJȘȝĮ� � ���� � ȆȡȠȢ�IJȠȪ�

IJȠ��șİȦȡȠȪȝİ�IJȘ�ıȣȞȐȡIJȘıȘ � � �I \ �\ \ �� \ � � �\

țĮȚ� ʌĮȡĮIJȘȡȠȪȝİ� ȩIJȚ� İȓȞĮȚ� ȖȞȘıȓȦȢ� ĮȪȟȠȣıĮ�� ȆȡȐȖȝĮIJȚ�� ȖȚĮ� țȐșİ� 1 2\ � \ �\

ȝİ� 1 2y y� ȑȤȠȣȝİ � �1 22y 2y .� ȅʌȩIJİ��

� �1 1 2 22y y 1 2y y 1� � � � �

įȘȜĮįȒ�� � � � �1 2f y f y .�

ǼʌȓıȘȢ��Ș�ıȣȞȐȡIJȘıȘ�f İȓȞĮȚ�ıȣȞİȤȒȢ�ıIJȠ�\ ȐȡĮ�țĮȚ�ıIJȠ�įȚȐıIJȘȝĮ� > @��� ȝİ�

� � � �I � I � � �� � �

ǼʌȠȝȑȞȦȢ��ıȪȝijȦȞĮ�ȝİ�IJȠ�șİȫȡȘȝĮ�IJȠȣ�Bolzano Ș�İȟȓıȦıȘ�

� � �I \ � �\ \ � � � � �

ȑȤİȚ�ȡȓȗĮ�ıIJȠ�įȚȐıIJȘȝĮ� � ���� � Ǿ�ȡȓȗĮ�ĮȣIJȒ�İȓȞĮȚ�Ș�ȝȠȞĮįȚțȒ�ʌȡĮȖȝĮIJȚțȒ�ȡȓȗĮ�IJȘȢ�

ʌĮȡĮʌȐȞȦ�İȟȓıȦıȘȢ��ȜȩȖȦ�IJȘȢ�ȝȠȞȠIJȠȞȓĮȢ�IJȘȢ�ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ�f. iii)� ǹȞ�Ƞ�w İȓȞĮȚ�ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩȢ��IJȩIJİ�ȑȤȠȣȝİ � �z x y i � ȩʌȠȣ� �y Ș�ȝȠȞĮįȚțȒ�ȡȓȗĮ�

IJȘȢ�İȟȓıȦıȘȢ� ��\ \ � �� �

Ș�ȠʌȠȓĮ��ȩʌȦȢ�ĮʌȠįİȓȟĮȝİ�ıIJȠ�İȡȫIJȘȝĮ� ii) ȕȡȓıțİIJĮȚ�ıIJȠ�įȚȐıIJȘȝĮ� � ���� � Ǽʌȓ�

ıȘȢ��ıȪȝijȦȞĮ�ȝİ�IJȠ�İȡȫIJȘȝĮ�i) ȚıȤȪİȚ� 2� �y x . ȅʌȩIJİ�� 2

� �z y y i � țĮȚ�ıȣȞİʌȫȢ�

4 2� �z y y 1 1 2. � � �

Page 26: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

ƟǒNJǐ-ƴǖǎƾǘdžNJǂ�ƴǖǎƽǒǕLjǔLjǓ� � 343�

ƪƾǍǂ�140�

DzıIJȦ�ȝȚȖĮįȚțȩȢ�ĮȡȚșȝȩȢ�z��IJȑIJȠȚȠȢ��ȫıIJİ�

�2 2

2 z zz .2i�

i)� ȃĮ�ȕȡİȓIJİ�IJȠȞ�ȖİȦȝİIJȡȚțȩ�IJȩʌȠ�IJȦȞ�İȚțȩȞȦȞ�IJȠȣ�z�ıIJȠ�ȝȚȖĮįȚțȩ�İʌȓʌİįȠ��

ii)� ȃĮ�ĮʌȠįİȓȟİIJİ�ȩIJȚ�ȣʌȐȡȤİȚ�ȝȚȖĮįȚțȩȢ�ĮȡȚșȝȩȢ�z�ȖȚĮ�IJȠȞ�ȠʌȠȓȠ�ȚıȤȪȠȣȞ�

� �0 Re z 1� � �

� țĮȚ�] ] � ] L ��� � � � �

��

ƭǞǔLj� i)� DzıIJȦ� z x yi � țĮȚ� � �0 [� \ Ș�İȚțȩȞĮ�IJȠȣ�ıIJȠ�ȝȚȖĮįȚțȩ�İʌȓʌİįȠ��DzȤȠȣȝİ

� � � � � �

� �

2 22 2 22 2 2

2 2 2 22 2

2 2 2 2

22 2

x yi x yiz zz x y2i 2i

x y 2xyi x y 2xyix y2i

4xyix y x y 2xy2i

[ \ �[\ � [ \ �

[ \ � \ [�

� � �� � �

� � � � �� �

� � � �

� � � � �

� � �

DZȡĮ��Ƞ�ȗȘIJȠȪȝİȞȠȢ�ȖİȦȝİIJȡȚțȩȢ�IJȩʌȠȢ�İȓȞĮȚ�Ș�İȣșİȓĮ İ� \ [� ���

Page 27: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

344� � ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ�ƥƘ�ƭǖNjdžǀǐǖ�

ii)� ȈȪȝijȦȞĮ�ȝİ�IJȠ�İȡȫIJȘȝĮ�i) Įȡțİȓ�ȞĮ�ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ�ȩIJȚ�ȣʌȐȡȤİȚ�ȝȚȖĮįȚțȩȢ�ĮȡȚșȝȩȢ z x xi � ȖȚĮ�IJȠȞ�ȠʌȠȓȠ�ȚıȤȪȠȣȞ

� �� 5H ] � � [ �� � � � �

țĮȚ�

� � � �

� � � �

� �

� �

2 22 2 2 2

22 2

2 2

] ] � ] L � [ [L [ � [L [ [ � L �

[ [ [ � [ [ [ � �

�[ � [ � [ �

� [ � [ � [ � ��

� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � �

� � � �

� � � � �

ǻȘȜĮįȒ��ȝİ�ȐȜȜĮ�ȜȩȖȚĮ��Įȡțİȓ�ȞĮ�ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ�ȩIJȚ�Ș�IJİȜİȣIJĮȓĮ�İȟȓıȦıȘ�ȑȤİȚ�ȝȓĮ�IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ�ȡȓȗĮ�ıIJȠ�įȚȐıIJȘȝĮ� � ���� � ĬİȦȡȠȪȝİ�ȜȠȚʌȩȞ�IJȘ�ıȣȞȐȡIJȘıȘ

� � � � > @2 2I [ � [ � [ � [ �� [ ��� � � � � �

țĮȚ�ʌĮȡĮIJȘȡȠȪȝİ�ȩIJȚ�

� Ǿ�ıȣȞȐȡIJȘıȘ�f İȓȞĮȚ�ıȣȞİȤȒȢ�ıIJȠ�įȚȐıIJȘȝĮ� > @��� ȦȢ�ĮʌȠIJȑȜİıȝĮ�ʌȡȐȟİȦȞ�

ȝİIJĮȟȪ�ıȣȞİȤȫȞ�ıȣȞĮȡIJȒıİȦȞ�

� � �I � � � � � țĮȚ�� � �I � � � �� � !

DZȡĮ��ıȪȝijȦȞĮ�ȝİ�IJȠ�șİȫȡȘȝĮ�IJȠȣ�Bolzano��Ș�İȟȓıȦıȘ� � �I [ � įȘȜĮįȒ�Ș�İȟȓ�

ıȦıȘ�

� �2 2� [ � [ � [ � �� � � �

ȑȤİȚ�ȝȚĮ�IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ�ȡȓȗĮ�ıIJȠ�įȚȐıIJȘȝĮ� � ���� �

Page 28: Γιώργος Μαυρίδης - Απόσπασμα Α τόμου βιβλίου Γ Λυκείου κατεύθυνσης

ƟǒNJǐ-ƴǖǎƾǘdžNJǂ�ƴǖǎƽǒǕLjǔLjǓ� � 345�

ƪƾǍǂ�141�

DzıIJȦ� ıȣȞȐȡIJȘıȘ� f : o\ \ � Ș� ȠʌȠȓĮ� İȓȞĮȚ� ıȣȞİȤȒȢ� țĮȚ� IJȑIJȠȚĮ� ȫıIJİ�� �f 0 2. �ȃĮ�ĮʌȠįİȓȟİIJİ�ȩIJȚ�ȣʌȐȡȤİȚ�ȝȚȖĮįȚțȩȢ�ĮȡȚșȝȩȢ�z�ʌȠȣ�Ș�İȚțȩȞĮ�IJȠȣ�

ıIJȠ�ȝȚȖĮįȚțȩ�İʌȓʌİįȠ�İȓȞĮȚ�ıȘȝİȓȠ�IJȘȢ� fC �țĮȚ�ȚțĮȞȠʌȠȚİȓ�IJȘ�ıȤȑıȘ�

� �2Im z z 1.� �

ƭǞǔLj�

ȉĮ� ıȘȝİȓĮ� IJȘȢ� fC İȓȞĮȚ� IJȘȢ� ȝȠȡijȒȢ� � �� �0 [� I [

ȝİ [�\ . ǼʌȠȝȑȞȦȢ��țȐșİ�ȝȚȖĮįȚțȩȢ�ĮȡȚșȝȩȢ�ʌȠȣ�Ș�İȚțȩȞĮ� IJȠȣ� İȓȞĮȚ� ıȘȝİȓȠ� IJȘȢ� fC ȑȤİȚ� IJȘ� ȝȠȡijȒ

� �[ I [ L� ȝİ [ �� �\ ǹȡțİȓ� ȜȠȚʌȩȞ� ȞĮ� ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ�

ȩIJȚ� ȣʌȐȡȤİȚ� �x �\ IJȑIJȠȚȠȢ�� ȫıIJİ� Ƞ� ȝȚȖĮįȚțȩȢ

� �� �z x f x i � ȞĮ�ȚțĮȞȠʌȠȚİȓ�IJȘ�ıȤȑıȘ

� �2Im z z 1� �� (1)

ǵȝȦȢ�

� �� � � �� �� � � � � �

� � � � � �

22� � � �

2 2� � � � � �

2 2� � � � �

z z x f x i x f x i

x f x 2x f x i x f x i

x x f x 2x 1 f x i.

� � � �

� � � �

ª º � � � �¬ ¼

ȅʌȩIJİ��Ș�ıȤȑıȘ�(1) ȖȡȐijİIJĮȚ � � � � � � � �� � � ��[ � I [ � �[ � I [ � �� � � �

ĬİȦȡȠȪȝİ�ȜȠȚʌȩȞ�IJȘ�ıȣȞȐȡIJȘıȘ � � � � � �J [ �[ � I [ �� [ � � �\

țĮȚ�ʌĮȡĮIJȘȡȠȪȝİ�ȩIJȚ�İȓȞĮȚ�ıȣȞİȤȒȢ�ıIJȠ� \ ��ȐȡĮ�țĮȚ�ıIJȠ�įȚȐıIJȘȝĮ� 1 � �2

ª º�« »¬ ¼ ȦȢ�ĮʌȠIJȑ�

ȜİıȝĮ�ʌȡȐȟİȦȞ�ȝİIJĮȟȪ�ıȣȞİȤȫȞ�ıȣȞĮȡIJȒıİȦȞ��ǼʌȓıȘȢ� 1 1J � I � � �2 2

§ · § ·� � � � � �¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹

țĮȚ � � � �J � � I � � � � � � � � � ! .

DZȡĮ��ıȪȝijȦȞĮ�ȝİ�IJȠ�șİȫȡȘȝĮ�IJȠȣ�Bolzano ȣʌȐȡȤİȚ� �1[ � �2

§ ·� �¨ ¸© ¹

IJȑIJȠȚȠȢ��ȫıIJİ

� ��J [ � � � � � �� ��[ � I [ � �� � � � � � � �2� �2x 1 f x 1 Im z z 1.� � � �

ȂǼĬȅǻȅȁȅīǿǹ�ȀȐșİ�ȝȚȖĮįȚțȩȢ�ĮȡȚșȝȩȢ�ʌȠȣ�Ș� İȚțȩȞĮ� IJȠȣ� İȓȞĮȚ� ıȘȝİȓȠ�IJȘȢ� fC ȑȤİȚ�IJȘ�ȝȠȡijȒ

� �[ I [ L� [ �� �\

ǼʌȠȝȑȞȦȢ�� Ș� ĮʌȩįİȚȟȘ� IJȘȢ�ȪʌĮȡȟȘȢ� İȞȩȢ� IJȑIJȠȚȠȣ� ȝȚȖĮ�įȚțȠȪ�ʌȠȣ�ȚțĮȞȠʌȠȚİȓ�țȐʌȠȚĮ�ıȣȞșȒțȘ� ĮȞȐȖİIJĮȚ�ıIJȘȞ�Įʌȩ�įİȚȟȘ�IJȘȢ�ȪʌĮȡȟȘȢ�IJȠȣ�ʌȡĮȖ�ȝĮIJȚțȠȪ� ĮȡȚșȝȠȪ� [ ʌȠȣ� ȚțĮ�ȞȠʌȠȚİȓ� IJȘȞ� ĮȞIJȓıIJȠȚȤȘ� ıȣȞ�șȒțȘ�