Περιεχόµενα...

Περιεχόµενα σελίδα

Πρόλογος. 3

Το χωρίο 546 b3-c7 της Πολιτείας του Πλάτωνος. 9

Μεταγραφή του χωρίου στην νεοελληνική. 10

Κεφάλαιο 1 1.1 Η ερµηνεία του James Adam, για τον «γεωµετρικό αριθµό». 11

1.2 Κριτική της ερµηνείας του Adam. 23

1.3 H ερµηνεία του A. G. Laird, για τον «γεωµετρικό αριθµό». 34

1.4 Kριτική της ερµηνείας του Laird. 51

1.5 Eρµηνεία και κριτική του Μarsilio Ficino. 52

1.6 Η ερµηνεία του J. Dupuis για τον «γεωµετρικό αριθµό». 55

1.7 Κριτική της ερµηνείας του Dupuis. 59

1.8 Τα «τρωτά» σηµεία των παραπάνω ερµηνειών. 61

Κεφάλαιο 2

Ερµηνεία του Γεωµετρικού αριθµού από τον Πρόκλο.

2.1 Εισαγωγή. 64

2.2 Θείον γενητόν και η περίοδός του. 65

2.3 Ο «τέλειος αριθµός» του «Τίµαιου». 67

2.4 Ο «τέλειος αριθµός» της «Πολιτείας». 69

2.5 Οι δύο αυτοί τέλειοι αριθµοί είναι διαφορετικοί. 76

2.6 Ο αριθµός του ανθρωπείου γενητού είναι dittÕ j. 77

2.7 Ερµηνεία επί µέρους λέξεων-προτάσεων του χωρίου της «Πολιτείας». 82

2.8 Η αριθµητική ερµηνεία του «γεωµετρικού αριθµού» από τον Πρόκλο. 90

2.9 Η γεωµετρική ερµηνεία του Πρόκλου για τον «γεωµετρικό αριθµό». 98

Κεφάλαιο 3

3.1 Βασικά στοιχεία της ανθυφαιρετικής θεωρίας

του Καθηγητή κ. Στ. Νεγρεπόντη. 103

3.2 Πλατωνική φιλοσοφία και Μαθηµατικά-

Η ανθυφαιρετική ερµηνεία της Πλατωνικής διαλεκτικής

από τον Καθηγητή κ. Στ. Νεγρεπόντη. 107

1

Κεφάλαιο 4 Ερµηνεία του «γεωµετρικού αριθµού» µε βάση την ανθυφαιρετική θεωρία

του καθηγητή κ. Στ. Νεγρεπόντη. σελίδα

4.1 Εισαγωγή 129

4.2 Ανάλυση του χωρίου 546 b3-c7 σε µορφή πίνακα. 130

4.3 Ερµηνεία επί µέρους τµηµάτων του χωρίου. 131

4.4 Οι δύο αρµονίες του Πλάτωνος. 137

4.5 Η «ØpÕ qesh των τριών ειδών γωνιών», στην «Πολιτεία»,

και η σχέση της µε το τετράγωνο. 140

4.6 Ο ρόλος του 4ου αιτήµατος στην Πλατωνική διαλεκτική. 153

4.7 Η σχέση του αριθµού 5 µε το «πέρας»,

την περιοδικότητα και την δικαιοσύνη. 157

4.8 Τα σχόλια του Ιάµβλιχου για τον αριθµό 5 και η σχέση του µε τη

«σύµµετρη δικαιοσύνη». 159

4.9 O Pυθαγόρειος τρόπος να δείχνουµε τα «αφανή» µέσα από τα «εµφανή»-

Ο «ζυγός» σε ρόλο ανθυφαίρεσης-πλευρικών διαµετρικών αριθµών. 176

4.10 H ανθυφαιρετική ερµηνεία των δύο αρµονιών του Πλάτωνος. 180

4.11 ¡rmon…a kre…ttwn. 181

4.12 ¡rmon…a ce…rwn. 184

4.13 Τα σχόλια του Πρόκλου για τον αριθµό 5, επιβεβαιώνουν

την ανθυφαιρετική ερµηνεία

του «γεωµετρικού αριθµού» του Πλάτωνος. 193

4.14 Περιοδικές αναπαραστάσεις αριθµών. 206

4.15 Το τρίγωνο 3-4-5 και η σχέση του µε την µουσική, την αστρονοµία,

και την «βέλτιστη πολιτεία». 212

4.16. Αυτούσια τα αρχαία κείµενα της «Πολιτείας»

και των σχολίων του Πρόκλου εις «Πολιτείαν»,

σχετικά µε τον «γεωµετρικό αριθµό». 214

4.17. Τα σχόλια του Πρόκλου στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων

στον ορισµό της ορθής γωνίας και στο 4ο αίτηµα. 224

Πίνακας αρχαίων κειµένων 229

Βιβλιογραφία 235

2

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η ερµηνεία του χωρίου 546 b3-c7, της

«Πολιτείας» του Πλάτωνος. Στο χωρίο αυτό ο Πλάτων σκιαγραφεί κάποιον

«αριθµό», τον οποίο αποκαλεί «γεωµετρικό αριθµό».

Η πρώτη σοβαρή ερµηνευτική προσπάθεια, είναι αυτή του Πρόκλου στα

εκτενή σχόλιά του στην «Πολιτεία» του Πλάτωνος. Αναφορές απλές στον

«γεωµετρικό αριθµό» του Πλάτωνος, βρίσκουµε και στον ίδιο τον Αριστοτέλη, αλλά

και σε άλλους, νεοπλατωνικούς ή µη φιλοσόφους, όπως στους Ιάµβλιχο, Αλέξανδρο

Αφροδισιέα, Πλούταρχο, Αριστείδη Κοϊντιλιανό και Νικόµαχο Γερασηνό.

Η ερµηνεία του χωρίου αυτού της «Πολιτείας» απασχόλησε από παλιά

πολλούς µελετητές. Από την εποχή που µεταφράστηκαν τα αρχαία κείµενα στα

λατινικά και µετά, πολλοί µελετητές, ανάµεσά τους οι Μarsilio Ficino1, James

Adam2, F. Hultch3, A.G. Laird4, Paul Tannery5, Jean Dupuis6 και άλλοι,

προσπάθησαν να απαντήσουν στην πρόκληση να «αποκρυπτογραφήσουν» τον καλά

«κρυµένο» «γεωµετρικό αριθµό» του Πλάτωνος .

Οι προσπάθειες αυτές κατέληξαν σε ερµηνείες που, σε ορισµένες περιπτώσεις,

διαφέρουν ριζικά µεταξύ τους και οι οποίες συνολικά ουδεµία σχέση έχουν µε την

Πλατωνική φιλοσοφία. Είναι χαρακτηριστικό ότι οι ερµηνείες αυτές δεν

καταφέρνουν να συµφωνήσουν ούτε στο αν ο Πλάτων στο εν λόγω χωρίο της

«Πολιτείας» εννοεί ένα ή δύο διαφορετικούς αριθµούς.

Αναµφισβήτητα το χωρίο αυτό της «Πολιτείας» του Πλάτωνος περιέχει λέξεις

και εκφράσεις των οποίων η κατανόηση και ερµηνεία είναι εξαιρετικά δύσκολη λόγω

του ότι κάποιες από αυτές δεν συναντώνται σε άλλα κείµενά του και µερικές φορές

ούτε και σε κείµενα των σχολιαστών του. 1 “Marsilio Ficino’s Commentary on the Fatal Number in Book VIII of Plato’s Republic”, by Michael J. B. Allen. 2 James Adam, “THE REPUBLIC OF PLATO, Vol II, CAMBRIDGE AT THE UNIVERSITY PRESS 1965 3 F. Hultch, Zeitschrift fur Mathematik und Physik xxvii, Historisch-literarische Abtheilung, pp. 41 – 60, de numero Platonis a Proclo enarrato disputatio in Schoell’s Procli commentariorum in remp. Platonis partes ineditae pp. 140 – 148, and Exkurs zu Μέλισσα ΛΕ in Kroll’s Procli in Pl. remp. Comantarii ii pp.400 – 415 Rettig, Proleg. In remp. pp. 315 ff. 4 PLATO’S GEOMETRICAL NUMBER AND THE COMMENT OF PROCLUS”, Madison, Wisconsin 1918. 5 P. Tannery, “MEMOIRES SCIENTIFIQUES, Vol. III”, Sciences exactes dans lÁntiquité 1899-1913, Edit. Jacques Gabay. 6 J. Dupuis, ‘THEON DE SMYRNE, PHILOSOPHE PLATONICIEN”, exposition des Connaissances Mathematiques Utiles pour la lecture de Platon

3

Η ερµηνεία-απόδοση συγκεκριµένων λέξεων αυτού του χωρίου από πολλούς

µελετητές του Πλάτωνος, όπως θα δούµε, είναι ριζικά διαφορετική µε αποτέλεσµα oι

ερµηνείες του χωρίου να αποκλίνουν σηµαντικά. Έτσι, πολλοί µελετητές από αυτούς

που ασχολήθηκαν µε την ερµηνεία του συγκεκριµένου χωρίου, οδηγούνται σε

διαφορετικό «γεωµετρικό αριθµό» ανάλογα µε την ερµηνεία που έχουν υιοθετήσει

για τις λέξεις «κλειδιά» του χωρίου αυτού.

Στα πλαίσια της εργασίας αυτής, θα παρουσιάσουµε τις ερµηνείες των J.

Adam, Α.G. Laird και Πρόκλου για τον «γεωµετρικό αριθµό». Επίσης θα

αναφέρουµε εν συντοµία τα βασικά στοιχεία των ερµηνειών Μarsilio Fiscino, J.

Dupuis, F. Hultch και Tannery.

Η κριτική µας, όσον αφορά στις παραπάνω ερµηνείες, θα έχει ως άξονες:

α) Γλωσσικά λάθη και παρερµηνείες συγκεκριµένων λέξεων-κλειδιών αυτού του

πραγµατικά γριφώδους χωρίου της «Πολιτείας» και

β) Την µη ενασχόληση των µελετητών αυτών µε το µαθηµατικό περιεχόµενο του

χωρίου αυτού, γεγονός που είχε ως αποτέλεσµα λανθασµένες ερµηνείες.

Σύµφωνα µε την ανθυφαιρετική ερµηνεία της Πλατωνικής διαλεκτικής από

τον Kαθηγητή κ. Στ. Νεγρεπόντη, τα µαθηµατικά έχουν παίξει καταλυτικό ρόλο στη

διαµόρφωση και την εξέλιξη της πλατωνικής φιλοσοφίας.

Όσον αφορά λοιπόν στο (β), η µη ερµηνεία των µαθηµατικών πληροφοριών

που µας παρέχει ο Πλάτων στο χωρίο αυτό, οδηγεί, όπως θα δείξουµε παρακάτω σε

ερµηνείες που είναι ξένες προς την Πλατωνική φιλοσοφία.

Τα σχόλια του Πρόκλου στο 1ο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη και στα

άλλα έργα του Πλάτωνος, είναι καίρια για την κατανόηση και την σωστή ερµηνεία

της φιλοσοφίας του. Από την άποψη αυτή είναι εποµένως καθοριστικά αρνητικός

παράγων το ότι τα σχετικά µε τον γεωµετρικό αριθµό σχόλια των Πρόκλου και

Ιάµβλιχου έχουν αγνοηθεί παντελώς από την πλειοψηψία των ερµηνευτών.

Η ανακάλυψη της ασυµµετρίας από τους Πυθαγόρειους και η περαιτέρω

µελέτη των σύµµετρων–ασύµµετρων µεγεθών στα πλαίσια της Ακαδηµίας του

Πλάτωνος, υπήρξαν γεγονότα τόσο σηµαντικά για την εποχή τους ώστε οδήγησαν

στην µεταφορά τους στο επίπεδο της φιλοσοφίας.

Την εποχή κατά την οποία ανακαλύφθηκε η ασυµµετρία, θα πρέπει σταδιακά

να συνδέθηκε ο λόγος δύο µεγεθών µε την ανθυφαίρεσή τους, η σύνδεση του απείρου

ή πεπερασµένου της ανθυφαίρεσης δύο µεγεθών µε το αν τα µεγέθη αυτά είναι

σύµµετρα ή ασύµµετρα καθώς και η περιοδικότητα των πηλίκων της άπειρης

4

ανθυφαιρετικής διαδικασίας µε τα µεγέθη εκείνα που ήταν µεν ασύµµετρα αλλά τα

τετράγωνά τους ήταν σύµµετρα. Το συµπέρασµα ότι η ανθυφαίρεση ήταν περιοδική

(και εποµένως ότι τα ανθυφαιρούµενα µεγέθη ήταν δυνάµει µόνον σύµµετρα)

προέκυπτε αν ο λόγος δύο διαδοχικών πηλίκων ήταν ίσος µε το λόγο δύο επόµενων

διαδοχικών πηλίκων (κριτήριο του λόγου).

Οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν και προσεγγιστική µέθοδο υπολογισµού του

λόγου δύο µεγεθών. Η µέθοδος αυτή έχει το χαρακτηριστικό ότι είναι ανεξάρτητη

από το αν τα µεγέθη αυτά είναι δυνάµει σύµµετρα ή όχι.

Η ανακάλυψη του κριτηρίου του λόγου έδωσε λύσεις στη µελέτη της

ασυµµετρίας. Τα σηµαντικά µαθηµατικά αποτελέσµατα που προέκυψαν από τη

χρήση της ανθυφαίρεσης, οδήγησαν σε µια υπερτήµηση των δυνατοτήτων της

µεθόδου. Οι αντιλήψεις αυτές οδήγησαν στη µεταφορά της µεθόδου σε φιλοσοφικό

επίπεδο.

Η ισχύς του κριτηρίου του λόγου εξασφαλίζει, όπως είπαµε, το άπειρο της

ανθυφαιρετικής διαδικασίας αλλά και την περιοδικότητά της. Το κριτήριο του λόγου

εποµένως, από τη µια µεριά αποδεικνύει ότι η ανθυφαίρεση είναι άπειρη, ενώ από την

άλλη, εξασφαλίζοντας ότι τα πηλίκα που προκύπτουν επαναλαµβάνονται περιοδικά,

θέτει τρόπον τινά ένα πέρας στην άπειρία αυτή.

Αυτή ακριβώς η αντίληψη µεταφέρθηκε σε φιλοσοφικό επίπεδο. Η

ανθυφαίρεση που είναι άπειρη αλλά περιοδική συσχετίστηκε µε µια µορφή απείρου

που «περατώνεται». Ένα τέτοιο άπειρο, όπως το περιγράφει ο Πλάτων στον διάλογο

«Φίληβος», έχει τη µορφή «άπειρο και πέρας». Όπως ακριβώς ο λόγος δύο µεγεθών

γίνεται γνωστός όταν αποδειχθεί ότι ισχύει το κριτήριο του λόγου, έτσι και τα

Πλατωνικά όντα γίνονται γνωστά όταν συνδεθούν µε ένα «περατούµενο» άπειρο.

Μια τέτοια µεταφορά της µαθηµατικής διαδικασίας της ανθυφαίρεσης σε

φιλοσοφικό επίπεδο φαίνεται να έγινε αρκετά νωρίς. Έτσι στο Πλατωνικό

φιλοσοφικό σύστηµα τα όντα συνδέθηκαν µε το «άπειρο και πέρας», η δε γνώση τους

µε µια διαιρετική διαδικασία η οποία τερµατιζόταν όταν ανακαλυπτόταν ο «λόγος»,

δηλαδή όταν δύο διαδοχικά µέρη της διαδικασίας αυτής ήταν δυνατό να θεωρηθούν

ότι βρίσκονται σε παρόµοια σχέση µε δύο άλλα διαδοχικά µέρη. Η σχέση αυτή

µάλιστα στο «Σοφιστή» ταυτίζεται µε σαφή τρόπο µε τον µαθηµατικό λόγο της

τετµηµένης γραµµής στο γνωστό χωρίο της Πολιτείας. Η µη ύπαρξη «λόγου»

οδηγούσε σε αδυναµία γνώσης, και µε τον τρόπο αυτό η φιλοσοφικής υφής «αλογία»

συνδέθηκε µε την µαθηµατική έννοια του όρου.

5

Από τον Αριστοτέλη7 είναι γνωστό σε εµάς ότι µια βασική πυθαγόρεια

δοξασία ήταν πως ο κόσµος στηριζόταν σε δέκα αρχές τις οποίες συστοιχούσαν και

εµφάνιζαν µε την µορφή εννοιολογικών διπόλων ως εξής :

¥peiron

¥rtion

plÁqoj

¢risterÒn

qÁlu

kinoÚmenon

kampÚlon

skÒtoj

kakÒn

˜terÒmhkej

pšraj

perittÕ n

ž n

dexiÕ n

¥rren

ºremoàn

eÙqÝ

fîj

¢gaqÕ n

tetr£gwnon

Έννοιες όπως «δικαιοσύνη», «αδικία», «σωφροσύνη», «ανδρεία», «αγαθόν»,

«κακόν», κ.λπ, συσχετίστηκαν µε καθαρά µαθηµατικές έννοιες όπως «πέρας»,

«άπειρο», «περιττός αριθµός», «άρτιος αριθµός», «ίσο», «άνισο», «αναλογία»,

«συµµετρία» κ.λπ..

Ο Πλάτων στους Νόµους8 συσχετίζει την αναλογία µε την δικαιοσύνη, ενώ

κατά τους Πρόκλο και Ιάµβλιχο η δικαιοσύνη σχετίζεται µε τις έννοιες της

περιοδικότητας και τους τετράγωνους αριθµούς.

Ο πυθαγόρειος ορισµός της «δικαιοσύνης», για παράδειγµα, κατά τον

Ιάµβλιχο9, είναι: ‘dÚnamij ¢podÒsewj toà ‡sou <kaˆ > toà pros»kontoj,

™mperiecomšnh ¢riqmoà tetragènou perissoà mesÒthti’.

Θεωρούµε εποµένως ως σηµαντικό προαπαιτούµενο, την προσεκτική µελέτη

αυτής της «σύζευξης», µαθηµατικών και µη µαθηµατικών εννοιών, και γενικότερα

της µεταφοράς µαθηµατικών ιδιοτήτων σε φιλοσοφικό επίπεδο.

Η προσέγγιση των έργων του Πλάτωνος µέσα από αυτή την οπτική γωνία είναι

απαραίτητη προυπόθεση για την σωστή ερµηνεία τόσο του γεωµετρικού του αριθµού,

αλλά και γενικότερα της Πλατωνικής οντολογίας.

7 Αριστοτέλους Μεταφυσικά, 986 a 16-26 8 Νόµοι, 757 b 6-7 9 Θεολογούµενα Αριθµητικά 37,1-4

6

Η ερµηνεία που προτείνουµε για το γριφώδες αυτό χωρίο της Πολιτείας, στο

οποίο ο Πλάτων «™kfa…nei» τον «γεωµετρικό αριθµό», είναι κατά την άποψή µας η

µόνη που αξιοποιεί πλήρως τις µαθηµατικές αναφορές του Πλάτωνος στο χωρίο αυτό

της «Πολιτείας» και τις προεκτάσεις τους στην Πλατωνική φιλοσοφία, αλλά και τα

εκτενή σχόλια του Πρόκλου για το χωρίο αυτό του Πλάτωνος, στηρίζεται δε στην

ανθυφαιρετική ερµηνεία της Πλατωνικής διαλεκτικής από τον καθηγητή κ. Στ.

Νεγρεπόντη.

∆ύο σηµαντικές µαρτυρίες , σχετικά µε τον καθοριστικό ρόλο που

διαδραµάτισαν τα µαθηµατικά στην φιλοσοφία του Πλάτωνος είναι οι ακόλουθες:

«Αξίζει να σηµειωθεί ότι οι σύγχρονοι πλατωνιστές, σχεδόν χωρίς καµµία

εξαίρεση, δεν γνωρίζουν µαθηµατικά, παρά την τεράστια σηµασία που απέδιδε ο

Πλάτων στην Αριθµητική και τη Γεωµετρία, και την τεράστια επίδραση που

είχαν τα µαθηµατικά στην φιλοσοφία του.»

(Bertrant Russell, ‘‘A History of western Philosophy’’, 1945)

και

«Pl£twn d' ™pˆ toÚ toij genÒmenoj meg…sthn ™po…hsen ™p…dosin t£ te ¥lla

maq» mata kaˆ t¾ n gewmetr…an labe‹n di¦ t¾ n perˆ aÙt¦ spoud» n, Ó j pou

dÁ lÒj ™sti kaˆ t¦ suggr£mmata to‹j maqhmatiko‹j lÒgoij katapuknèsaj

kaˆ pantacoà tÕ perˆ aÙt¦ qaàma tîn filosof…aj ¢ntecomšnwn ™pege…rwn.» (Πρόκλος, εις Ευκλείδην, 66,8-14).

Τα σχόλια των Russell και Πρόκλου σχετικά µε τον κοµβικό ρόλο των

µαθηµατικών στα έργα του Πλάτωνος, επιβεβαιώνονται πλήρως από τα σχόλια δύο

γνωστών νεώτερων φιλοσόφων, του γάλλου Victor Cousin (1792-1867) και του

γερµανού Schleiermacher (1768-1834) , σχετικά µε τις ανυπέρβλητες δυσκολίες που

είχαν στην προσπάθειά τους να κατανοήσουν και να µεταφράσουν το χωρίο 546 b-c

της Πολιτείας όπου ο Πλάτων περιγράφει τον περίφηµο γεωµετρικό αριθµό του.

Ο Schleiermacher, διάσηµος γερµανός φιλόλογος, σχολιάζοντας τις

αποτυχηµένες προσπάθειές του να ερµηνεύσει τον γεωµετρικό αριθµό του Πλάτωνος,

γράφει10:

«Είναι προπάντων βέβαιο ότι ο Πλάτων επέλεξε έναν αξιοσηµείωτο ως προς την

κατασκευή του αριθµό, µέσω του οποίου ήθελε να δείξει στους γνωρίζοντες, κάτι που

10 Platons Werke, Berlin, 1817-28. Η µετάφραση στα ελληνικά έγινε από τον γράφοντα.

7

προτιµούσε να µη το δηλώσει ευθέως. ∆ιότι σε καµµία περίπτωση δεν µπορώ να

δεχτώ ότι ήθελε να µπερδέψει τους αναγνώστες του…

Θα προτιµούσα να πιστεύω πως µε την ελλειπή µας γνώση της µαθηµατικής

γλώσσας των Ελλήνων, δεν είµαστε ίσως σε θέση να καταλήξουµε σε µία ερµηνεία

βέβαιη». Λίγο πιο κάτω, και αφού προσπάθησε, χωρίς επιτυχία να ερµηνεύσει την

πρόταση µέχρι το trˆ j aÙxhqe…j, συµπληρώνει ο γερµανός φιλόλογος:

«Έτσι, το πρόβληµα παραµένει άλυτο και επαφίεται στην καλή τύχη κάποιου άλλου.

∆εν µπορώ να θεωρήσω λοιπόν ότι έλυσα το πρόβληµα µε ότι εργασίες έχω

παρουσιάσει µέχρι στιγµής, και θα ήµουν ευτυχής αν οι υποθέσεις που έχω

παρουσιάζω µέσα από την µελέτη µου, χρησιµεύσουν σε κάποια νέα προσπάθεια εκ

µέρους ενός ειδικού».

Μεταφράζουµε από τα γαλλικά στα ελληνικά ένα σχόλιο του Cousin11 , όπου

φαίνεται ότι και ο γάλλος φιλόσοφος θεωρεί ως απαραίτητη προυπόθεση για τη

ερµηνεία του γεωµετρικού αριθµού, την καλή γνώση των αρχαίων ελληνικών

µαθηµατικών:

«Η αρχαία γεωµετρική γλώσσα δεν µας είναι αρκετά γνωστή για να µπορούµε να

έχουµε µια ιδέα για την ακριβή έννοια όλων αυτών των τεχνικών λέξεων που

χρησιµοποιεί ο Πλάτων καθώς και ο Αριστοτέλης στην σύντοµη αναφορά του…

Επαφίεται εποµένως σε ανθρώπους που έχουν κάνει εξειδικευµένες µελέτες στην

αρχαία γεωµετρία να ξεπεράσουν την προκειµένη δυσκολία µε κάποια

πιθανότητα επιτυχίας…»12

11 Oevres de Platon, traduites par Victor Cousin, t. X, meme note 12 Τα γαλλικά κείµενα των σχολίων των Cousin και Schleiermacher, πάρθηκαν από το έργο του J.

Dupuis, ‘THEON DE SMYRNE, PHILOSOPHE PLATONICIEN”, exposition des Connaissances Mathematiques Utiles pour la lecture de Platon, p. 369-370. Η µετάφραση στα ελληνικά έγινε από τον γράφοντα.

8

Το χωρίο 546 b3-c7 της Πολιτείας του Πλάτωνος, η ερµηνεία του οποίου θα µας

απασχολήσει στην συνέχεια, είναι το ακόλουθο:

« œsti d qe…J mn gennhtù

per…odoj ¿n ¢riqmÕ j perilamb£nei tšleioj, ¢nqrwpe…J d

™n ú prètJ aÙx»seij dun£mena… te kaˆ dunasteuÒmenai, tre‹j

¢post£seij, tšttaraj d Ó rouj laboàsai ÐmoioÚntwn te kaˆ

¢nomoioÚntwn kaˆ aÙxÒntwn kaˆ fqinÒntwn,

p£nta pros» gora kaˆ ·ht¦ prÕ j ¥llhla ¢pšfhnan·

ïn ™p…tritoj puqm¾ n pemp£di suzugeˆ j

dÚ o ¡rmon…aj paršcetai trˆ j aÙxhqe…j,

t¾n mn ‡shn „s£ki j , ˜katÕ n tosaut£kij,

t¾n d „som»kh mn tÍ, prom»kh dš,

katÕn mn ¢r iqmîn ¢pÕ diamštrwn ·ht în pemp£doj ,

deomšnwn ˜nÕ j ˜k£stwn, ¢rr»twn d duo‹n,

katÕn d kÚbwn tri£doj . sÚmpaj d oátoj ¢r iqmÕj gew-

metrikÒj»

9

Μεταγραφή στην νεοελληνική

Για κάθε θείο-και γι’αυτό περιοδικώς κινούµενο- δηµιούργηµα υπάρχει

τέλειος αριθµός ο οποίος περιλαµβάνει την περίοδό του,

στα ανθρώπινα όµως δηµιουργήµατα , εκ των οποίων πρώτο είναι το ορθογώνιο

τρίγωνο µε κάθετες πλευρές 3, και 4, οι πολλαπλασιασµοί των αριθµών 3 και 4

οδηγούν σε αριθµούς όµοιους13 και ανόµοιους14,

που αν συνεχιστούν µέχρι να προκύψουν τέσσερις διαδοχικοί στερεοί αριθµοί,

µε τρείς αποστάσεις ανάµεσά τους, ώστε οι πρώτος και τελευταίος να είναι όµοιοι,

ενώ οι ενδιάµεσοι ανόµοιοι µε δύο παράγοντες ίσους και έναν άνισο15,

τότε οι αριθµοί αυτοί είναι ανάλογοι µεταξύ τους και ο λόγος τους είναι ρητός

αριθµός16.

Αν τον επίτριτο πυθµένα όλων των ανωτέρω, τον συσχετίσουµε µε τον αριθµό 517, θα

προκύψουν δύο αρµονίες.

Η µεν πρώτη αρµονία είναι ο τετράγωνος αριθµός 1002, ενώ η δεύτερη έχει τη µία

πλευρά ίση µε την πλευρά του τετραγώνου και την άλλη της πλευρά ίση µε το

άθροισµα δύο αριθµών, εκ των οποίων ο ένας είναι το γινόµενο του εκατό µε τον

αριθµό που υπολείπεται του τετραγώνου της ρητής διαγωνίου τετραγώνου πλευράς

πέντε κατά ένα και του τετραγώνου της αρρήτου διαγωνίου κατά δύο , ενώ ο άλλος

προκύπτει ως γινόµενο του εκατό µε τον κύβο του αριθµού τρία.

Και οι δύο αυτοί αριθµοί µαζί αποτελούν τον γεωµετρικό αριθµό.

13 Τετράγωνους ή κύβους 14 Προµήκεις 15 Πρόκειται για αριθµούς τους οποίους οι Πρόκλος και Ιάµβλιχος ονοµάζουν «δοκίδες» και «πλινθίδες», δηλαδή αντίστοιχα για αριθµούς του τύπου: 3.3.4 και 4.4.3. 16 Οι τέσσερις διαδοχικοί στερεοί αριθµοί είναι. 43, 4.4.3, 3.3.4, 33, τότε πράγµατι ο λόγος τους παραµένει σταθερός και ίσος µε τον ρητό 4/3. 17 Για τους αριθµούς 3,4,5 ισχύει το πυθαγόρειο θεώρηµα, δηλαδή: 32 +42 = 52.

10

Κεφάλαιο 1

1.1 Η ερµηνεία του James Adam για το «γεωµετρικό αριθµό»

Θα αναλύσουµε εδώ την ερµηνεία που έχει δώσει για το γεωµετρικό αριθµό

του Πλάτωνος, ο James Adam, στο βιβλίο του , “THE REPUBLIC OF PLATO”, Vol

II, CAMBRIDGE AT THE UNIVERSITY PRESS 1965

Ο James Adam, την ερµηνεία του οποίου θα συνοψίσουµε εδώ, ισχυρίζεται

ότι ο Πλάτων «περιγράφει» στο χωρίο αυτό δύο αριθµούς, σε αντίθεση µε άλλους

µελετητές οι οποίοι καταλήγουν σε ένα γεωµετρικό αριθµό.

Μερικές σηµαντικές λέξεις – εκφράσεις του χωρίου αυτού της «Πολιτείας» και την

ερµηνεία που έχει δώσει σ’αυτές ο Adam και άλλοι µελετητές του Πλάτωνος

παραθέτονται παρακάτω.

♦Η πρώτη πρόταση ολόκληρη είναι: «aÙx» seij dun£mena… te kaˆ

dunasteuÒmenai.»

Η λέξη «aÙx» seij» ερµηνεύεται από τον Αdam ως «πολλαπλασιασµός» (aÙx»seij

refers to multiplications and not to additions, Adam, vol ii, p. 272), ενώ από τον

Ηultch αντίθετα ερµηνεύεται ως πρόσθεση.

♦ «dun£menaι»

Η λέξη «dun£menaι» σύµφωνα µε την άποψη του J. Adam , σηµαίνει την

«τετραγωνική ρίζα ενός αριθµού» (the word δύνανται where it is used absolutely

means “are the roots of”. We infer that dun£menaι in our passage refers to roots and

not to squares, Adam, p. 268).

∆ύο χωρία από αυτά στα οποία στηρίζεται ο Adam, για να ερµηνεύσει τη λέξη

dun£menaι, είναι :

«kaˆ aƒ dun£menai aÙt¦ ¥logoi, e„ mn tetr£gwna e‡h, aÙtaˆ aƒ pleura…,

e„ d ›ter£ t ina eÙqÚgramma, aƒ ‡sa aÙto‹j tetr£gwna ¢nagr£fousai.18»

και

• διάλογος «Θεαίτητος» του Πλάτωνος όπου δίνονται οι ορισµοί του

τετράγωνου και του προµήκους αριθµού:

18 Στοιχεία του Ευκλείδη», Χ βιβλίο, HOR e, line 3

11

«QEAI. TÕ n ¢riqmÕ n p£nta d…ca diel£bomen· tÕn mn

dun£menon ‡son „s£kij g…gnesqai tù tetragènJ tÕ scÁma

¢peik£santej tetr£gwnÒn te kaˆ „sÒpleuron prose…pomen.

SW. Kaˆ eâ ge.

QEAI. TÕ n to…nun metaxÝ toÚtou, ïn kaˆ t¦ tr…a kaˆ

t¦ pšnte kaˆ p© j Ö j ¢dÚnatoj ‡soj „s£kij genšsqai, ¢ll' À

ple…wn ™latton£kij À ™l£ttwn pleon£kij g…gnetai, me…zwn

d kaˆ ™l £ttwn ¢eˆ pl eur¦ aÙtÕn per i l amb£nei , tù prom»kei

aâ sc»mati ¢peik£santej prom» kh ¢riqmÕ n ™kalšsamen.

SW. K£llista. ¢ll¦ t… tÕ met¦ toàto;

QEAI. “Osai mn grammaˆ tÕn „sÒpl euron kaˆ ™p…pedon

¢riqmÕ n tetragwn…zousi, mÁkoj æris£meqa, Ó sai d tÕ n ˜tero-

m»kh, dun£meij, æj m»kei mn oÙ summštrouj ™ke…naij, to‹j d'

™pipšdoij § dÚ nantai. kaˆ perˆ t¦ stere¦ ¥llo toioàton19.»

♦ δunasteuÒmenai

Με τη λέξη αυτή, κατά τον Adam, εννοούνται : τα τετράγωνα ή οι τετράγωνοι

αριθµοί (δύναται, said of a root, means δύναται τετράγωνο ποιείν. The passive of this,

said of a square number, is δύναται τετράγωνος γίγνεσθαι, see e.g dun£menon ‡son

„s£kij g…gnesqai in Theaet. 147 e. In the case of the active it was found possible to

drop τετράγωνο ποιείν : but if, in the passive, τετράγωνος γίγνεσθαι is descarded, at

least the passive must not be. For this reason δύναται becames δυναστεύεται, Adam, p.

269).

Για παράδειγµα ο αριθµός 3 είναι δυνάµενος, αφού υψούµενος στο τετράγωνο

δύναται να ποιήσει τον τετράγωνο αριθµό 9. Ο αριθµός 9 είναι δυναστευόµενος,

αφού έχει κατασκευασθεί από τον 3

Έτσι, για ολόκληρη την πρόταση έχουµε, από τον Adam, την ερµηνεία:

aÙx» seij dun£mena… te kaˆ dunasteuÒmenai : αυξήσεις ριζών και τετραγώνων

(root and square increases, Αdam, p. 270), ή χρησιµοποιώντας µαθηµατικό

συµβολισµό: πολλαπλασιασµοί του τύπου x.x2, y.y2, z.z2.

19 Θεαίτητος 157 e5-148 b2

12

Στο σηµείο αυτό ο Adam αναφέρεται στην πρόταση του Πρόκλου: tÕ g¦r

dun£menon p© n prÕ j tÕ dunasteuÒmenon ¢pod…dotai ,η οποία, κατά την άποψή

του, δείχνει την σωστή αντιστοιχία ανάµεσα στις ρίζες και τα τετράγωνα.

Η λέξη ¢pod…dotai, δηλαδή είναι αυτή που ξεκαθαρίζει, κατά τον Adam, ότι η ρίζα

x θα πολλαπλασιασθεί µε το τετράγωνο x2 και όχι µε το y2 ή το z2 (Αdam, p. 270).

Σχετικά µε την πρόταση:«tre‹j ¢post£seij, tšttaraj d Ó rouj

laboàsai », ο Adam στηριζόµενος σε χωρία των: Νικόµαχου Γερασηνού, Ιάµβλιχου,

Θέωνος του Σµυρναίου, Σιµπλίκιου , του Αριστοτέλους (Τοπ. Ζ), αλλά και του

Πλάτωνα, καταλήγει στο εξής συµπέρασµα :

Η λέξη απόσταση αποδίδεται ως διάσταση και εποµένως τρείς αποστάσεις,

κατά τον Adam σηµαίνει τις τρείς διαστάσεις ενός στερεού σώµατος (From these

passages it is clear that the three αποστάσεις of which Plato speaks are diast»mata

mn oân œcei tr…a, mÁ koj kaˆ pl£toj kaˆ b£qoj ,Adam, p. 271).

Για την ερµηνεία της λέξης “Ó ροι” ο Adam στηρίζεται στα χωρία:

• Αριστοτέλη, Μεταφυσικά 1092 b9

«oÙqn d dièr is tai oÙd Ðpotšrwj oƒ ¢r iqmoˆ a‡t ioi t în oÙs i în kaˆ toà enai, pÒteron æj Ó roi (oŒ on aƒ stigmaˆ tîn megeqîn, kaˆ æj EÜrutoj œ tatte t…j ¢riqmÕ j»

• Θεολογούµενα Αριθµητικά, 20,11-12:

«Ó ™stin ¢potšlesma tricÁ diastatÒn, ™n tšssarsin Ó roij ™st…».

Kαταλήγει λοιπόν ο Adam στο ότι η πρόταση «tre‹j ¢post£seij, tšttaraj

d Ó rouj» σηµαίνει τις τρείς διαστάσεις mÁkoj , pl£toj kaˆ b£qoj και οι τέσσερις

Ó roi είναι οι τέσσερις κορυφές Α, Β, Γ και ∆ ενός π.χ ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου

(βλέπε το παρακάτω σχήµα) που περαίνουν τις διαστάσεις του. Από τα προηγούµενα

ενισχύεται η προτεθείσα άποψη ότι µε τη λέξη aÙx»seij, σηµαίνονται

πολλαπλασιασµοί και όχι προσθέσεις (I conclude that the three αποστάσεις and four

Ó roi, are mÁkoj , pl£toj and b£qoj, with their attendant limits, that consequently

aÙx»seij refers to multiplications and not to additions (Adam, p. 272).

Α Β

Γ

∆

13

Ολόκληρη εποµένως η πρόταση «aÙx»seij dun£mena… te kaˆ

dunasteuÒmenai, tre‹j ¢pos t£sei j , tšttaraj d Ó rouj laboàsai», ερµηνεύεται

από τον Adam ως ύψωση στην τρίτη δύναµη και τίποτα περισσότερο! (“root and

square increases comprehending three distanses and four limits” means cubings and

nothing more, Adam, p. 272).

Ποιοί είναι όµως οι αριθµοί που θα υψωθούν στην τρίτη δύναµη;

Κατά την άποψη του Adam, oι αριθµοί αυτοί περιγράφονται από την πρόταση

«ÐmoioÚntwn te kaˆ ¢nomoioÚntwn (like and unlike) kaˆ aÙxÒntwn kaˆ

fqinÒntwn, (wan and wane in Adam)», (it is clear that ÐmoioÚntwn te kaˆ

¢nomoioÚntwn kaˆ aÙxÒntwn kaˆ fqinÒntwn, stands for the numbers which we

have to cube, but…the Muses are evidently teasing – Øyhlologoumšnaj-, and we

must be patient with them till they choose to tell us! Adam, p. 273).

Η λέξη «ïn», µπορεί κατά τον Adam, να αναφέρεται στα εξής:

(1) aÙx»seij dun£mena… te kaˆ dunasteuÒmenai, (2) tre‹j ¢post£seij, tšttaraj

d Ó rouj laboàsai, (3) p£nta, (4) ÐmoioÚntwn te kaˆ ¢nomoioÚntwn kaˆ

aÙxÒntwn kaˆ fqinÒntwn.

Από τις παραπάνω εκδοχές, ο Adam, υποστηρίζει ότι η έκφραση: ÐmoioÚntwn te kaˆ

¢nomoioÚntwn, έχει ως γραµµατολογικό αντίστοιχο το «ïn» της έκφρασης

™p…tritoj puqm¾ n, σχετίζεται εποµένως µε τους αριθµούς 3 και 4 (we conclude then

that the grammatical antecedent to ïn is ÐmoioÚntwn te kaˆ ¢nomoioÚntwn kaˆ

aÙxÒntwn kaˆ fqinÒntwn, and I think no one will deny that the relative is most

obviously and naturally connected with these words. It follows that ÐmoioÚntwn

..fqinÒntwn, are ‘some numbers, two of which are the numbers 4 and 3’, Adam, p.

273).

Κατόπιν, µε την έκφραση «pemp£di suzugeˆ j», στο ζεύγος 3 και 4 «προσαρτάται»

και αριθµός 5.

Οι αριθµοί 3, 4 και 5 καλούνται όµοιούντες και ανοµοιούντες επειδή συµµετέχουν

στην κατασκευή των δύο αρµονιών, η µία εκ των οποίων αντιπροσωπεύεται

γεωµετρικά από τετράγωνο αριθµό ενώ η άλλη (όπως θα δούµε παρακάτω) από

προµήκη αριθµό (Τhe numbers 3, 4 and 5 are therefore called όµοιούντες-

ανοµοιούντες in connection with the arithmetical side of the Platonic Number,because

they produce the square and the oblong which express the

14

gewmetrikÒj ¢riqmÕ j in its twofold aspect, first as an όµοιος and afterwards as an

ανόµοιος, Adam, p. 274).

Οι αριθµοί 3, 4 και 5, χαρακτηρίζονται ως δηµιουργοί οµοιότητας, γιατί το

γινόµενό τους (3 Χ 4 Χ 5 ) υψωµένο στην τέταρτη δύναµη παράγει τον τετράγωνο

(όµοιο) αριθµό 36002.

Αντίστοιχα οι ίδιοι αριθµοί 3, 4 και 5 χαρακτηρίζονται και ως ανοµοιούντες,

γιατί παράγουν τον αριθµό 4800 Χ 2700 που είναι ετεροµήκης (ανόµοιος) αριθµός.

Έτσι, οι αριθµοί οι οποίοι πρόκειται να υψωθούν στην τρίτη δύναµη είναι οι 3, 4, 5.

Εποµένως, κατά τον Adam, η περίοδος του ¢nqrwpe…J gennhtù, υπολογίζεται

προσθέτοντας τους κύβους των τριών πλευρών του ζωογωνικού τριγώνου των

Πυθαγορείων, δηλαδή 33 +43 +53 = 216. Η αιτιολόγηση για την πρόσθεση των τριών

κύβων ,κατά τον Adam : is that the numbers are said to be contained in the total (™n ú

prètJ ktl.). και επίσης ένα χωρίο του Αριστίδη Κοϊντιλιανού για το τρίγωνο µε

πλευρές 3, 4 και 5:

«¢ll' e„ kaˆ tîn pleurîn ˜k£sthn kat¦ b£qoj aÙx»saimen (b£qoj g¦r ¹

sèmatoj fÚsij), poi»saimen ¨n tÕn diakÒs ia dekax „s£r iqmon Ônta sÚnegguj

tù tîn ˜ptam»nwn20»

από το οποίο προκύπτει ότι ο αριθµός 216 προκύπτει ως 33 +43 +53.

♦ Όσον αφορά στην πρόταση «p£nta pros»gora kaˆ ·ht¦ prÕ j ¥llhla

¢pšfhnan», ο Adam, προσπαθεί να την ερµηνεύσει αναφερόµενος σε χωρία των

Πρόκλου, Censorinus από τα οποία φαίνεται ότι οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι η

ανάπτυξη του εµβρίου γίνεται σύµφωνα µε τις αναλογίες της αρµονίας (the

Pythagoreans thought the development of the embryo proceeded according to the

proportions of the harmony or octave (Adam, p. 294).


Ως «™p…tritoj puqm¾ n», θεωρείται από τον Αdam, το ζεύγος των αριθµών 3

και 4, όπως άλλωστε και από τον Πρόκλο:

«[œ stin oân oátoj] Ð ™p…tritoj puqm¾ n g kaˆ d·21»

20 Aριστίδης Κοϊντιλιανός, De Musica, 3,23,22-25 21 Πρόκλος εις Πολιτείαν 2, 37,5

15

Η λέξη «suzugeˆ j», από τον Adam ερµηνεύεται και πάλι ως

πολλαπλασιασµός, όπως άλλωστε και η λέξη «aÙx» seij» (It is therefore permissible

to hold that suzugeˆ j refers to multiplication, and as it has been asserted that ‘there is

no parallel to lead us to take suzugeˆ j to mean multiplied, I may mention that Proclus

uses the word with this meaning, Adam, p. 277).

Σχετικά µε την έννοια της έκφρασης αυτής στο χωρίο της «Πολιτείας», ο

Adam, έχει την άποψη ότι εκτός από την προφανή µεταφορική της σηµασία, η

πρόταση πρέπει να έχει και µία αριθµητική.

Η έκφραση άλλωστε του Πλάτωνα στο τέλος του χωρίου: sÚmpaj d oátoj

¢riqmÕ j gewmetrikÒj, φαίνεται να εννοεί (κατά τον Adam) ότι το αποτέλεσµα της

διαδικασίας που περιγράφεται από τον Πλάτωνα στο χωρίο αυτό είναι ένας αριθµός

και όχι µία αναλογία ή µία σειρά από αριθµούς.

Από την άποψη αυτή η έκφραση: ™p…tritoj puqm¾ n pemp£di suzugeˆ j, δεν

µπορεί να σηµαίνει ,κατά τον Αdam, τίποτε άλλο από: 4 Χ 3 Χ 5 = 60 (On this view

™p…tritoj puqm¾ n pemp£di suzugeˆ j cannot mean anything except 4 X 3 X 5 = 60.

Every other possibility is excluded, Adam, p. 277)

trˆ j aÙxhqe…j

Από την ερµηνεία της πρότασης «™p…tritoj puqm¾ n pemp£di suzugeˆ j», κατά τον

Adam, έχει προκύψει ο αριθµός 60 = 3 Χ 4 Χ 5.

Η ερµηνεία που προσδίδεται λοιπόν στην έκφραση trˆ j aÙxhqe…j είναι :

ο αριθµός 60, «πολλαπλασιάζεται µε τον εαυτό του τρεις φορές»,

έτσι, έχοντας ως βάση το 60 έχουµε: 60 Χ 60 Χ 60 Χ 60 = 604 = 12,960,000.

Από τη µελέτη διάφορων χωρίων, ο Adam, καταλήγει στα εξής συµπεράσµατα:

• ο Πλάτων θεωρεί τους αριθµούς ή γραµµές ως «πρώτη αύξη» (It is clear that

Plato regerded numbers or lines as the πρώτη αύξη, Adam, p.280)

• αριθµός τρίς αυξηθείς, σηµαίνει ύψωσή του στην τετάρτη δύναµη.

• η έκφραση tr…th aÜxh δηλώνει την τρίτη δύναµη.

• η έκφραση: αριθµός τριάδι αυξηθείς σηµαίνει αριθµός πολλαπλασιαζόµενος

επί τρία.

16

Τα παραπάνω συνάγονται, κατά τον Adam, από τα εξής χωρία της «Πολιτείας»: 528 a9-b3 «Met¦ ™p…pedon, Ãn d' ™gè, ™n perifor × n ½ dh stereÕ n labÒntej, prˆ n aÙtÕ

kaq' aØtÕ labe‹n· Ñrqîj d œcei xÁj met¦ deutšran aÜ xhn tr…thn lamb£nein. œ sti dš pou toàto

perˆ t¾ n tîn kÚbwn aÜxhn kaˆ tÕ b£qouj metšcon» 587 d 6-10 «'Ep…pedon ¥r', œ fhn, æj œ oiken, tÕ e‡dwlon kat¦ tÕ n toà m» kouj ¢riqmÕ n

¹donÁj turannikÁj ¨n e‡h.

KomidÍ ge. Kat¦ d dÚnamin kaˆ tr…thn aÜ xhn dÁlon d¾ ¢pÒstasin

Ó shn ¢festhkëj g…gnetai.» Aς δούµε τα επιχειρήµατα του Adam:

“Α point (= unity) has no ‘increase’: a line (say 3) has one : a rectangle (say 3 x 4)

has two (deutšra aÜxh) : a solid figure (say 3 x 4 x 5) has three. A solid figure is

therefore said to be or have tr…th aÜxh, because your reckoning begins from the

point, which has no increase.

The first increase (viz. of the unit or point) was Ð toà m» kouj ¢riqmÕ j, i.e. in this

case 1 X 9 = 9: by the second and third increases on the same scale we obtain 9 X 9

(second increase or δύναµις) Χ 9 (third increase ) = 729. Both in 528 b and 587 d it is

unity or the point which suffers a third increase: in Plato’s number it is not unity but

60 and that makes all the difference.” (Αdam, p. 279)

Συνολικά λοιπόν η έννοια της έκφρασης: ïn ™p…tritoj puqm¾ n pemp£di suzugeˆ j

trˆ j aÙxhqe…j είναι: 60 Χ 60 Χ 60 Χ 60 = 12,960,000.

Έχοντας ήδη από πριν τον αριθµό 12.960.000, στη συνέχεια, ας δούµε πως

ερµηνεύει ο Adam, την πρόταση:

«dÚo ¡rmon…aj paršcetai t¾n mn ‡shn „s£kij , ˜katÕ n tosaut£kij» (equal an

equal number of times, so many times 100, Adam, p. 283).

Aριθµός „s£kij ‡sος, είναι, ως γνωστόν, ο τετράγωνος αριθµός (Στοιχεία Ευκλείδη,

vii, ορσ. 2).

17

Ο αριθµός 12.960.000 = (36 Χ 100)2, paršcetai δύο αρµονίες. Η πρώτη

περιγράφεται από τον Πλάτωνα ως ‡shn „s£kij, ˜katÕ n tosaut£kij, εποµένως,

κατά τον Adam, tosaut£kij, σηµαίνει 36 φορές. (equal an equal number of times,

viz. thirty six times 100, so that tosaut£kij, means 36 times, Adam, p. 283).

Η πρώτη αρµονία λοιπόν, κατά τον Adam, είναι ο αριθµός (36 Χ 100)2.

Ένα ερώτηµα που προκύπτει είναι: γιατί ο Πλάτων προσθέτει τις λέξεις

˜katÕ n tosaut£kij, αφού και χωρίς αυτές το τετράγωνο είναι εύκολα αναγνωρίσιµο

µέσα από την έκφραση ‡shn „s£kij;

Η απάντηση του Adam στο ερώτηµα αυτό είναι ότι ο Πλάτων θέλει να επιστήσει την

προσοχή µας στο ότι κάθε πλευρά του τετραγώνου είναι πολλαπλάσιο του 100 (Plato

whishes to call our attention to the fact that each of the sides of the square is a

multiple of 100, just as each of the sides of the oblong is also a multiple of 100,

Adam, p. 283).

Για ποιο λόγο όµως ο Πλάτων θέλει να επιστήσει την προσοχή µας στο ότι κάθε

πλευρά του τετραγώνου είναι πολλαπλάσιο του 100;

Η αιτιολογία του Adam, έχει ως εξής: Είναι γνωστό από τους «Νόµους», ότι για τον

Πλάτωνα, ένας χρόνος αντιστοιχεί σε είναι 360 ηµέρες. Ο µεγάλος Ενιαυτός έχει

διάρκεια 36002 ή (360 Χ 10)2 = 3602 Χ 102 ηµέρες, ισούται δηλαδή µε το τετράγωνο

του αριθµού των ηµερών ενός χρόνου πολλαπλασιασµένου µε το τετράγωνο του κατά

του, κατά τους Πυθαγόρειους, τέλειου αριθµού 10. Η περίοδος εποµένως του

Μεγάλου Ενιαυτού είναι 000.36360

000.960.12= χρόνια = 360 Χ 100 και έχοντας ως

δεδοµένο ότι η περίοδος ζωής ενός ανθρώπου, για τον Πλάτωνα, είναι 100 χρόνια,

προκύπτει ότι µία µέρα από τη ζωή του ¢nqrwpe…ον gennhtόν, αντιστοιχεί σε έναν

αιώνα της ζωής του qe…ον gennhtόν (Adam, p. 301).

Η δεύτερη αρµονία προκύπτει από το επόµενο τµήµα του χωρίου αυτού της

«Πολιτείας»:

t¾n d „som» kh mn tÍ, prom»kh dš, katÕn mn ¢riqmîn ¢pÕ diamštrwn ·htîn

pemp£doj, deomšnwn ˜nÕ j ˜k£stwn, ¢rr»twn d duo‹n, katÕn d kÚ bwn

tri£doj»

Ο Adam συµφωνεί ότι η έκφραση «t¾n d „som»kh mn tÍ, prom»kh dš», σηµαίνει

πως η δεύτερη αρµονία εκφράζεται µε όρους ορθογωνίου παραλληλογράµµου. Στη

συνέχεια θεωρεί ότι η πρόταση „som»kh mn tÍ, αντιστοιχεί στην πρόταση «˜katÕ n

… duo‹n» και άρα η µία πλευρά του ορθογωνίου,

18

είναι ο αριθµός 4800, και ότι η πρόταση «prom»kh dš» συνδέεται γραµµατολογικά

µε την πρόταση « katÕn d kÚbwn tri£doj », που σηµαίνει ότι η άλλη πλευρά είναι

ο αριθµός 2700,

µε 2700 Χ 4800 = 12.960.000.

2700

4800

Οι δύο αρµονίες εποµένως είναι οι:

α) 36002 και

β) 2700 Χ 4800

(µε 36002 = 2700 Χ 4800 = 12.960.000).

19

Tέλος, παραθέτουµε µία περίληψη δύο µόνον σελίδων της ερµηνείας του James

Adam, πάνω το χωρίο 546 b-c της «Πολιτείας» του Πλάτωνος. Το χωρίο έχει

χωριστεί στα δύο βασικά του τµήµατα.

10 τµήµα

• œsti d qe…J mn gennhtù per …odoj ¿n ¢riqmÕ j perilamb£nei tšleioj, [κανένα σχόλιο από τον Adam]

• ¢nqrwpe…J d [Η περίοδός του υπολογίζεται ότι είναι ο αριθµός 216]

• ™n ú prètJ [O Adam αποδίδει στην πρόταση αυτή µία έννοια

αθροίσµατος].

• aÙx»seij dun£mena… te kaˆ dunasteuÒmenai,

[ερµηνεύεται ως πολ/µοί του τύπου: x.x2, y.y2, z.z2, δηλαδή ύψωση στην τρίτη

δύναµη. Ποιοι αριθµοί όµως θα υψωθούν στην τρίτη δύναµη;]

• tre‹j ¢pos t£sei j , tšttaraj d Ó rouj laboàsai

[¢post£seij ≡διαστάσεις = µήκος, πλάτος, βάθος.

Όροι κορυφές στερεού σχήµατος] ≡

• ÐmoioÚ ntwn te kaˆ ¢nomoioÚ ntwn

[Με την πρόταση αυτή νοούνται οι αριθµοί 3, 4 και 5 αφού, ο Adam, θεωρεί ότι

αντιστοιχεί γραµµατολογικά στο ïn της παρακάτω πρότασης. Καλούνται δε οι

αριθµοί 3, 4, 5 οµοιούντες και ανοµοιούντες γιατί από αυτούς παράγονται, όπως

φαίνεται, κατά τον Adam, από τις επόµενες προτάσεις, το όµοιο σχήµα τετράγωνο και

το ανόµοιο ορθογώνιο. Στο σηµείο αυτό ο Adam, χωρίς αιτιολόγιση, προσθέτει τους

κύβους των αριθµών 3, 4 και 5 για να καταλήξει έτσι τον αριθµό 33+43+53 = 216 που

θεωρεί ότι είναι η περίοδος του ανθρωπείου γενητού].

• kaˆ aÙxÒntwn kaˆ fqinÒntwn,

[Αδυνατώντας να συνδέσει ερµηνευτικά την πρόταση αυτή µε τις προηγούµενες,

καταφεύγει ο Adam, στον µύθο κοσµικής αντιστροφής του «Πολιτικού». Έτσι η λέξη

aÙxÒntwn ερµηνεύεται ως αύξηση (growth) και η λέξη fqinÒntwν ως φθίση –

παρακµή (decline), του σύµπαντος].

• p£nta pros»gora kaˆ ·ht¦ prÕ j ¥llhla ¢pšfhnan·

[Αποτέλεσµα των παραπάνω λανθασµένων ερµηνειών του Adam, η τελευταία αυτή

πρόταση του 1ου τµήµατος του χωρίου, µένει πραγµατικά χωρίς απολύτως κανένα

νόηµα].

20

2ο τµήµα

• ïn ™p…tritoj puqm¾ n pemp£di suzugeˆ j

[Θεωρώντας ότι suzugeˆ j = πολ/µός, ο Adam, ερµηνεύει συνολικά την πρόταση ως:

3 x 4 x 5 = 60].

• dÚo ¡rmon…aj paršcetai trˆ j aÙxhqe…j,

[Ερµηνεύει την λέξη trˆ j aÙxhqe…j ως ύψωση στην τέταρτη δύναµη και έτσι,

έχοντας ως βάση τον αριθµό 60, εξάγει τον αριθµό 604 = 12.960.000 = 36002].

(E) t¾n mn ‡shn „s£kij, ˜katÕ n tosaut£kij,

[Επειδή ο αριθµός 36002 γράφεται και (36 x 100)2, ο Adam θεωρεί ότι η λέξη

tosaut£kij σηµαίνει τον αριθµό 36. Η πρώτη αρµονία, ως τετράγωνος αριθµός,

είναι εποµένως ο αριθµός 36002].

(Ρ) t¾n d „som»kh mn tÍ,

(Ν) prom»kh dš,

Η πρόταση (Ρ) θεωρείται, από τον Adam

αντίστοιχη της (Σ). ¨Ετσι από τις δύο αυτές

προκύπτει ο αριθµός 48 x 100 = 4800.

katÕn mn ¢r iqmîn

¢pÕ diamštrwn ·htîn pemp£doj,

(Σ) deomšnwn ˜nÕ j ˜k£stwn,

¢rr»twn d duo‹n,

(Τ) katÕn d kÚbwn tri£doj. H (N) θεωρείται αντίστοιχη της (Τ), έτσι

προκύπτει η δεύτερη διάσταση του

ορθογωνίου, ο αριθµός 27 x 100 = 2700.

Η δεύτερη αρµονία, κατά Adam, είναι ο αριθµός 4800 x 2700 =

= 12.960.000 = 36002.

sÚmpaj d oátoj ¢riqmÕ j gewmetrikÒj.

[Ο σύµπας αριθµός είναι ο 12.960.000 και επειδή «µετρά» την περίοδο του

σύµπαντος, λέγεται γεωµετρικός αριθµός].

21

Κατά τον Adam προκύπτουν λοιπόν δύο αριθµοί, οι 216 και 12.960.000 που είναι οι

περίοδοι του ανθρωπείου και του θείου γενητού αντίστοιχα.

22

1.2 Κριτική της ερµηνείας του Adam Η πρόταση «aÙx» seij dun£mena… te kaˆ dunasteuÒmenai» αυτούσια δεν

συναντάται σε άλλα αρχαία κείµενα, παρά µόνον στην «Πολιτεία».

Προκειµένου να φωτίσουµε την έννοια της λέξης «aÙxηsη», ας δούµε τέσσερα µόνο

χωρία του ίδιου του Πλάτωνα22.

• Nόµοι 893 e6-894b1: «Kaˆ m¾ n kaˆ sugkrinÒmena mn aÙx£netai, diakrinÒmena d fq…nei tÒte, Ó tan

¹ kaqesthku‹a ˜k£stwn ›xij diamšnV,m¾ menoÚshj d aÙtÁj, di' ¢mfÒtera

¢pÒllutai. g…gnetai d¾ p£ntwn gšnesij, ¹n…k' ¨n t… p£qoj Ï; dÁlon æj ÐpÒtan

¢rc¾ laboàsa aÜ xhn e„j t¾ n deutšran œ lqV met£basin kaˆ ¢pÕ taÚ thj e„j t¾ n

plhs…on, kaˆ mšcri triîn ™lqoàsa a‡sqhsin scÍ to‹j a„sqanomšnoij.

metab£l l on mn oân oÛtw kaˆ metakinoÚmenon g…gnetai p© n· œstin d Ô ntwj

Ô n, ÐpÒtan mšnV, metabal Õn d e„j ¥l l hn ›xin dišf qar tai pantelîj. «r' oân

kin»seij p£saj e„r»kamen æj ™n e‡desin

labe‹n met' ¢riqmoà, pl»n ge, ð f…loi, duo‹n;»

• Eπινοµίς 990 b «tîn oÙk Ô ntwn d Ðmo…wn ¢l l »l oi j f Úsei ¢r iqmîn Ðmo…wsij prÕ j t¾ n tîn

™pipšdwn mo‹ran gegonu‹£ ™stin diafan»j Ö d¾ qaàma oÙk ¢nqrèpinon ¢ll¦

gegonÕ j qe‹on fanerÕ n ¨n g…gnoito tù dunamšnJ sunnoe‹n. met¦ d taÚthn

toÝj trˆ j hÙxhmšnouj kaˆ tÍ stere fÚ sei Ðmo…ouj toÝj d ¢nomo…ouj aâ

gegonÒtaj ˜tšrv tšcnV Ðmoio‹, taÚtV ¿n d¾ stereometr…an ™k£lesan oƒ

prostuce‹j aÙtÍ gegonÒtej»

• Πολιτεία 528 a9-b3 «Met¦ ™p…pedon, Ãn d' ™gè, ™n perifor × n ½ dh stereÕ n labÒntej, prˆ n aÙtÕ

kaq' aØtÕ labe‹n· Ñrqîj d œcei xÁj met¦ deutšran aÜ xhn tr…thn lamb£nein.

œ sti dš pou toàto perˆ t¾ n tîn kÚ bwn aÜ xhn kaˆ tÕ b£qouj metšcon.»

22 Άλλα χωρία του Πλάτωνα όπου εµφανίζονται οι λέξεις «αύξη-φθίση» είναι τα: Πολιτεία 497 a4, 521e4, 528 d8, Φαίδων 70-72, Τίµαιος 33a, 44b, 81b, Nόµοι 893 e6-894b1, 897 a6, Eπινοµίς 990b, Θεαίτητος 154 c, Παρµενίδης 156 b8, 157 b2, Φίληβος 42 d1, Συµπόσιο 211 a 1-2, Φαίδρος 246 e2.

23

• Φαίδων 71 a9-b5 « `Ikanîj oân, œ fh, œ comen toàto, Ó ti p£nta oÛtw g…gnetai,™x ™nant…wn

t¦ ™nant…a pr£gmata;

P£nu ge.

T… d' aâ; œ sti ti kaˆ toiÒnde ™n aÙto‹j, oŒ on metaxÝ ¢mfotšrwn p£ntwn

tîn ™nant…wn duo‹n Ô ntoin dÚ o genšseij, ¢pÕ mn toà tšrou ™pˆ tÕ ›teron, ¢pÕ d' aâ toà ˜tšrou p£lin ™pˆ tÕ ›teron· me…zonoj mn pr£gmatoj kaˆ

™l£ttonoj metaxÝ aÜ xhsij kaˆ fq…sij, kaˆ kaloàmen oÛ tw tÕ mn aÙx£nesqai,

tÕ d fq…nein;»

Από τα χωρία αυτά προκύπτει ότι η έννοια της λέξης «trˆ j aÙxhqe…j», είναι

µετατροπή ενός αριθµού σε στερεό αριθµό.

Στον διάλογο «Φαίδων» του Πλάτωνα, οι λέξεις aÜ xhsij- fq…sij, σχετίζονται

άµεσα και µε την ανθυφαιρετική διαδικασία.

H ερµηνεία εποµένως του Adam για την πρόταση «aÙx»seij dun£mena… te

kaˆ dunasteuÒmenai», ότι δηλαδή σηµαίνει πολλαπλασιασµός αριθµών και

ειδικότερα πολλαπλασιασµός ριζών και τετραγώνων, δεν επιβεβαιώνεται καθόλου

από τον Πλάτωνα ούτε από τον Πρόκλο.

Όσον αφορά στο «dun£mena… te kaˆ dunasteuÒmenai», που ακολουθεί τη

λέξη aÙx»seij, δύο σχετικά χωρία από τα σχόλια του Πρόκλου είναι τα εξής:

kaˆ g¦r sc» mata t¦ mn Ó moia

t¦ d ¢nÒmoia lšgomen

kaˆ ¢riqmoÝj æsaÚtwj

toÝj mn Ðmo…ouj toÝj d

¢nomo…ouj.

kaˆ Ó sa kat¦ t¦j dun£meij

¢nafa…netai p© sin Ðmo…wj pros»kei to‹j

maq»masi,

tîn mn dunamšnwn

24

tîn d dunasteuomšnwn23.

και

'Ek mn oân toÚtwn ¹ yuc¾ fa…netai

m…a duoeid¾ j

kat£ te tÕ enai

kaˆ tÕ zÁ n·

™k d tîn ¢r iqmîn tîn ™k toÚtwn ¢nafanšntwn

¢riqmÕ j duadikÕ j

¢me…nouj

kaˆ

ce…rouj œ cwn dun£meij,

t¦j mn dunamšnaj

t¦j d dunasteuomšnaj

¡ploustšraj kaˆ

sunqetwtšraj

dÚnantai mn g¦r oƒ pl euriko…

dunasteÚontai d oƒ ™k toÚ twn

kaˆ t¦j mn ÐmoioÚ saj

t¦j d ¢nomoioÚ saj,

t¦j mn ™pistreptik¦j aÙ[tÁ j] e„j tÕ taÙtÕn kaˆ tÕ ž n

t¦j d e„j ˜terÒthta kaˆ

tÕ m¾ ž n ¢goÚ saj,

kaˆ t¦j mn aÙxoÚ saj

T¦j d fqeiroÚsaj

23 Πρόκλος Εις Ευκλείδην, 8, 8-20

25

tÕ ptšrwma aÙtÁj·

tù mn g¦r ¢gaqù kaˆ tù kal ù kaˆ tù sofù

toàto aÜ xetai, to‹j d ™nant…oij

fq…nei kaˆ diÒllutai.

kaˆ m¾ n kaˆ tÕ cwre‹n

e„j tre‹j t¾ n aÜxhsin toà

¢riqmoà

toàde t¾ n ¢pÕ tîn nohtîn kaˆ ¢merîn

¥cri tîn sterewt£twn

aÙtÁj œ xodon perišcei·24

Από τα παραπάνω χωρία αποδυναµώνεται η ερµηνεία που δίνει ο Adam στις

λέξεις dun£menaι , dunasteuÒmenai.

Αντίθετα ενισχύεται η σύνδεση της λέξης dun£menaι, µε τις έννοιες των όµοιων

αριθµών και της περιοδικότητας -περιοδική ανθυφαίρεση- (™pistreptik¦j aÙ[tÁj]

e„j tÕ taÙtÕ n kaˆ tÕ εn), και της λέξης dunasteuÒmenai, µε ανόµοιους αριθµούς

και µη περιοδικότητα (e„j ˜terÒthta kaˆ tÕ m¾ εn ¢goÚ saj).

Επίσης ενισχύεται η άποψη ότι η λέξη «aÙx» seij» είναι πιθανό ότι σηµαίνει

πολλαπλασιασµό, όχι όµως ριζών και τετραγώνων (µια τέτοια ερµηνεία είναι

αλλωστε πιο κοντά στην σύγχρονη µαθηµατική σκέψη παρά στην αρχαία), αλλά

µετατροπή ενός αριθµού σε στερεό αριθµό, ερµηνεία που προκύπτει άλλωστε από

χωρία του ίδιου του Πλάτωνα.

Τα χωρία που δηµιουργούν την σύγχυση στην ερµηνεία της λέξης αποστάσεις, και

τα οποία χρησιµοποιεί ο Adam, είναι τα εξής:

• Αριθµητική Εισαγωγή του Νικόµαχου, 2, 24, 8, 1 – 2, 24, 11, 4

oÛtw t¦ mn stere¦ sc» mata lšgetai tricÁ diastat£, t¦ d ™p…peda dicÁ, …

taàta d tÁj o„ke…aj safhne…aj ™pil»yetai ™n tÍ PlatwnikÍ sunanagnèsei

24 Πρόκλος Εις Πολιτείαν, 2, 51, 9-22

26

kat¦ tÕ n toà legomšnou g£mou tÒpon ™n tÍ Polite…v ¢pÕ prosèpou tîn

Mousîn pareisagomšnou·

Από το παραπάνω χωρίο συνάγει λανθασµένα ο Adam, ότι η λέξη «¢post£seij» για

τις οποίες µιλάει ο Πλάτων στην «Πολιτεία» ταυτίζεται νοηµατικά µε τη λέξη

διαστάσεις.

• Ιάµβλιχου, Θεολογούµενα Αριθµητικά, 29, 4 – 12,

(Στο χωρίο αυτό ο Ιάµβλιχος µιλάει για τον αριθµό 4):

«t¦j g¦r p£saj ¢post£seij ½ toi t¦j tre‹j Øpšsth, ïn peraitšrw oÙkšti e„s…n.

™t…mwn d aÙt¾n oƒ P uqagÒreioi æj dek£doj gennhtik»n. kal e‹tai d aÙt», éj

fhsin Ð 'AnatÒlioj,dikaiosÚnh, ™peˆ tÕ tetr£gwnon tÕ ¢p' aÙtÁj, toutšsti tÕ

™mbadÒn, tÍ perimštrJ ‡son· t în mn g¦r prÕ aÙtÁj ¹ per…metroj toà ™mbadoà

toà tetragènou me…zwn, t în d met' aÙt¾ n ¹ per…metroj toà ™mbadoà ™l£ttwn,

™p' aÙtÁj d ‡sh. prèth ¹ tetr¦j œ deixe t¾ n toà stereoà fÚsin· shme‹on g£r,

eta gramm», eta ™pif£neia, eta stereÒn»

∆εν προκύπτει όµως, ούτε από το χωρίο αυτό, ότι ¢post£seij διαστάσεις. ≡

• Νόµοι, 984 α «dÁlon æj ÐpÒtan ¢rc¾ laboàsa aÜ xhn e„j t¾ n deutšran œ lqV met£basin kaˆ

¢pÕ taÚ thj e„j t¾ n plhs…on, kaˆ mšcri triîn ™lqoàsa a‡sqhsin scÍ to‹j

a„sqanomšnoij»

Στους «Νόµους» η λέξη ¢post£seij, εµφανίζεται µία φορά µόνον στο 777 c2

και πάντως δεν σχετίζεται µε τη λέξη διαστάσεις.

Από τα χωρία εποµένως που χρησιµοποιεί ο Adam δεν προκύπτει συσχέτιση των δύο

αυτών λέξεων.

Η σωστή ερµηνεία της λέξης ¢post£seij, προκύπτει από ένα άλλο χωρίο του ίδιου

του Πλάτωνα :

«éste t¦j toà diplas…ou kaˆ triplas…ou tre‹j ˜katšraj ¢post£seij

kaˆ t¦j tîn ¹miol…wn kaˆ ™pitr…twn kaˆ ™pogdÒwn mesÒthtaj kaˆ

sundšseij25 »

25 Τίµαιος d 4-7

27

O Πλάτων εποµένως στο χωρίο αυτό του «Τίµαιου» µε τη λέξη αυτή εννοεί τα

«διαστήµατα» ανάµεσα στους αριθµούς 1, 2, 4, 8 και 1, 3, 9, 27.

Από τον ίδιο τον Πλάτωνα επίσης έχουµε το χωρίο:

«ésper Ó rouj tre‹j ¡rmon…aj ¢tecnîj, ne£thj te kaˆ Øp£thj kaˆ mšshj, kaˆ e„

¥lla ¥tta metaxÝ tugc£nei Ô nta, p£nta taàta26»

που συσχετίζει άµεσα τη λέξη «Ó rouj» µε τη λέξη αρµονία.

Η ερµηνεία του Adam για ολόκληρη την πρόταση «aÙx»seij dun£mena… te

kaˆ dunasteuÒmenai, tre‹j ¢pos t£sei j , tšttaraj d Ó rouj laboàsai», είναι,

όπως είπαµε, «ύψωση στην τρίτη δύναµη». Ο Πλάτων όµως έχει χρησιµοποιήσει

πολύ πιο απλές εκφράσεις για να δηλώσει µια τέτοια πράξη, όπως π.χ:

tr…thn aÜ xhn (Πολιτεία 587 d9),

b£qouj aÜ xhj (Πολιτεία 528 d8),

kÚ bwn aÜ xhn (Πολιτεία 528 b2).

Κρίσιµο σηµείο στην ερµηνεία του Adam αποτελεί το ότι θεωρεί το «ïn» ως

γραµµατολογικό αντίστοιχο του «ÐmoioÚntwn te kaˆ ¢nomoioÚntwn» (επιλογή την

οποία ωστόσο δεν τεκµηριώνει) και όχι κάποιας άλλης από τις προηγούµενες

προτάσεις ή λέξεις του χωρίου. Το ότι η έκφραση «ÐmoioÚntwn te kaˆ

¢nomoioÚntwn kaˆ aÙxÒntwn kaˆ φqinÒntwn» αναφέρεται, κατά τον Adam, σε

επόµενες προτάσεις του χωρίου και όχι στις προηγούµενες (δηλαδή στην πρόταση:

aÙx»seij dun£mena… te kaˆ dunas teuÒmenai ,tre‹j ¢pos t£sei j , tšttaraj d

Ó rouj laboàsai), δεν είναι πιθανό και πάντως δεν τεκµηριώνεται κάτι τέτοιο από τη

συνολικότερη ερµηνεία του.

Στο σηµείο αυτό να επισηµάνουµε και πάλι ότι ο Adam δεν αιτιολογεί

ουσιαστικά πως προκύπτει από το χωρίο της «Πολιτείας» ότι οι τρείς κύβοι, 33, 43, 53,

πρέπει τελικά να προστεθούν.

Είναι επίσης δύσκολο να φανταστούµε, µε βάση την ερµηνεία του Adam, πως µέσα

στον αριθµό 216 = 63 = 33 +43 +53 γίνονται «τα p£nta pros» gora kaˆ ·ht¦ prÕ j

¥llhla».

Όσον αφορά στην ερµηνεία της πρότασης «aÙxÒntwn kaˆ fqinÒntwn», ο

Adam πιστεύει ότι οι λέξεις αυτές δεν έχουν κάποια τεχνική αριθµητική σηµασία,

αλλά ότι βασικά αναφέρονται στο κοσµικό τρίγωνο των Πυθαγορείων. Χρησιµοποιεί

µάλιστα τον µύθο της κοσµικής αντιστροφής του «Πολιτικού» και επειδή, κατά την

26 Πολιτεία 443 d

28

άποψή του, οι παράγοντες 3, 4 και 5 καθορίζουν µε την παραγωγή των αρµονιών την

πορεία του σύµπαντος, που βαδίζει από την ακµή στην παρακµή, από την αύξηση

στην ελάττωση, γι’αυτό χαρακτηρίζονται ως δηµιουργοί αύξησης και ελάττωσης.

Μιλώντας για την πρόταση «aÙxÒntwn kaˆ fqinÒntwn», λέει ο Adam :

“The words aÙxÒntwn kaˆ fqinÒntwn ‘waxing and waning’ have also a referance to

the to the two cosmic periods. We may regard the first of the circles as representing

the aÜxhsij or growth of the Whole, and the second as representing its fq…sij or

decline” (Adam, p. 300, vol ii)

Με βάση την ερµηνεία που έχει δώσει στις προηγούµενες προτάσεις του

χωρίου, ο Αdam, αδυνατεί να δώσει τώρα νόηµα στην πρόταση «aÙxÒntwn kaˆ

fqinÒntwn» και αναβάλλει την ερµηνεία της για αργότερα χρησιµοποιώντας το µύθο

της κοσµικής αντιστροφής του «Πολιτικού» (Το the same section of part ii I defer my

account of aÙxÒntwn kaˆ fqinÒntwn, because these words have no technical

arithmetical meaning, but merely describe the sides of the Pythagorean triangle mean

its cosmic and creative aspects, Adam, p. 274).

Έχουµε λοιπόν, κατά τον Adam, το εξής σχήµα:

Το τµήµα του χωρίου της «Πολιτείας» , «¢nqrwpe…J d ™n ú prètJ aÙx»seij

dun£mena… te kaˆ dunasteuÒmenai, tre‹j ¢pos t£sei j , tšttaraj d Ó rouj

laboàsai», αναφέρεται, στην περίοδο του ανθρωπείου γενητού, την οποία και

υπολογίζει στον αριθµό 216. Στη συνέχεια όµως, τις επόµενες δύο προτάσεις

αδυνατεί, ο Adam, να τις συνδέσει ερµηνευτικά µε τις προηγούµενες, δηλαδή µε την

περίοδο του ανθρωπείου γενητού, και καταφεύγει για την ερµηνεία τους σε επόµενες

προτάσεις του χωρίου καθώς και στον µύθο της κοσµικής αντιστροφής του διαλόγου

«Πολιτικός» του Πλάτωνος.

Είναι φανερό πως η ερµηνεία του Αdam για την πρόταση «aÙxÒntwn kaˆ

fqinÒntwn» σε σχέση µε την αύξηση και ελάττωση του σύµπαντος είναι µάλλον

µακριά από αυτό που εννοεί ο Πλάτων, στο συγκεκριµένο τουλάχιστον χωρίο της

«Πολιτείας».

Ο Adam, αναφέρεται εδώ στο χωρίο 2,54,2-5, των σχολίων του Πρόκλου εις

Πολιτείαν: «¹ d' oân ˜katont¦j tù ™lle…ponti ¢riqmù prÕ j aÙt¾ n kat¦ tÕ n

¢pÕ tÁj pemp£doj ¢riqmÕ n suzuge‹sa poie‹ t[¾ n] ¢pÕ genšsewj ™pˆ gšnesin

per…odon», θεωρώντας ότι ο Πρόκλος στο εν λόγω χωρίο χρησιµοποιεί τη λέξη

«suzuge‹sa» µε την έννοια του πολλαπλασιασµού. Αυτό δεν είναι αληθές, αφού η

29

έκφραση που δηλώνει τον πολλαπλασιασµό είναι η «¢pÕ tÁj pemp£doj», που

σηµαίνει 52.

Ο Hultch, και άλλοι ερµηνεύουν την έκφραση «™p…tritoj puqm¾ n pemp£di

suzugeˆ j» ως το άροισµα 3 + 4 + 5 (Those who, like Hultch, suppose that suzugeˆ j

denotes addition, and make the whole clause equivalent to 3 + 4 + 5, justly extend the

arithmetical process to the two numbers of the ™p…tritoj puqm¾ n, Adam, p. 277)

Kατά την άποψη όµως των περισσότερων αρχαίων σχολιαστών (Πρόκλος,

Αριστείδης Κοϊντιλιανός, Πλούταρχος), αλλά και του Αριστοτέλη, η πρόταση: «™p…tritoj puqm¾ n pemp£di suzugeˆ j», αναφέρεται στο πυθαγόρειο τρίγωνο µε

πλευρές 3, 4 και 5.

• Πρόκλος εις Ευκλείδην, 427,20-428,9 «toioàton g£r ™sti tÕ ™n polite…v tr…gwnon,

oá t¾ n Ñrq¾ n perišcousin Ó te tr…a kaˆ Ð tšssara.

Øpote…nei d aÙt¾ n Ð e.»

• Πλούταρχος, Περί Ίσιδος και Οσίριδος Stephanus 373 section F, line 3 «æj kaˆ Pl£twn ™n tÍ polite…v (546b)

doke‹ toÚtJ proskecrÁsqai tÕ gam»lion di£gramma sunt£ttwn. œ cei d' ™ke‹no

tÕ tr…gwnon triîn t¾ n prÕ j Ñrq…an kaˆ tett£rwn t¾ n b£sin kaˆ pšnte t¾ n

Øpote…nousan ‡son ta‹j periecoÚsaij dunamšnhn»

• Αριστίδης Κοϊντιλιανός: De musica

«aƒ d t¾n Ñrq¾n per išcousai dhl oàs i tÕn ™p…tr i ton. toÚtou d¾ kaˆ

Pl£twn fhsˆ n [Resp. VIII 546 c] ™p…triton puqmšna pent£di suzugšnta27»

• Αριστοτέλους, «Πολιτικά» 1316a5:

™n d tÍ Polite…v lšgetai mn perˆ tîn metabol în ØpÕ toà Swkr£touj , oÙ

mšntoi lšgetai kalîj. tÁj te g¦r ¢r…sthj polite…aj kaˆ prèthj oÜshj oÙ

lšgei t¾ n metabol¾ n „d…wj. f hsˆ g¦r a‡t ion enai tÕ m¾ mšnein mhqn ¢l l ' œ n

tini periÒdJ metab£llein, ¢rc¾ n d' enai toÚtwn “ïn ™p…tritoj puqm¾ n

pemp£di suzugeˆ j dÚ o ¡rmon…aj paršcetai”, lšgwn Ó tan Ð toà diagr£mmatoj

¢riqmÕ j toÚ tou gšnhtai stereÒj

Όπως είδαµε, ο Αdam ερµηνεύει τη λέξη «suzugeˆ j», ως πολλαπλασιασµό.

Στον ίδιο τον Πλάτωνα η λέξη συζυγείς – συζυγία εµφανίζεται ελάχιστες φορές

27 Αριστίδης Κοϊντιλιανός 3,23,32-35

30

(Φαίδων 71 c6, Φαίδρος 254 a1, Παρµενίδης 143 d4 ) και σε καµµία από αυτές τις

περιπτώσεις δεν σηµαίνει πολλαπλασιασµό αριθµών.

Σε λεξικά (π.χ Hesychius Lex, Liddell Scott Lex) οι λέξεις συζυγείς – συζυγία

δίνονται ως συνώνυµες των λέξεων sunduasmÒj - sun£feia- είµαι στενά ενωµένος

µε κάτι.

Άλλοι ερευνητές δίνουν διαφορετική ερµηνεία στην έκφραση trˆ j aÙxhqe…j.

Οι M .Monro and Dr Gow, ερµηνεύουν το trˆ j aÙxhqe…j, ως πολλαπλασιασµό µε

τον εαυτό του δύο φορές, δηλαδή: 1 Χ 60 Χ 60.

Σύµφωνα µε την άποψη του Μr Monro το 602, είναι τρίτη αύξη.

Η κριτική του Mr Monro στον Adam είναι ότι µοιάζει αντιφατικό να θεωρεί (o

Adam) ότι το «τρίς αυξηθείς» δηλώνει «ύψωση στην τέταρτη δύναµη», π.χ: 604, ενώ

«τρίτη αύξη» να σηµαίνει «την τρίτη δύναµη», δηλ. 603.

Κατά την άποψη του Adam όµως αυτό δεν είναι αντίφαση, αλλά κάτι προφανές αν

λάβει κανείς υπόψη του ότι την εποχή του Πλάτωνα δεν υπήρχε ειδική «ορολογία»

για την τέταρτη δύναµη 28. Στον Θεαίτητο µάλιστα η δύναµη είχε και την έννοια της

τετραγωνικής ρίζας.

Ο F. Hultcsh ερµηνεύει το trˆ j aÙxhqe…j, ως πολλαπλασιασµό µε το τρία.

Όσον αφορά στην έκφραση trˆ j aÙxhqe…j, το χωρίο 990 b2 της «Επινοµίδος» του

Πλάτωνος ξεκαθαρίζει τα πράγµατα:

met¦ d taÚ thn toÝj trˆ j hÙxhmšnouj kaˆ tÍ stere fÚ sei Ðmo…ouj

Αλλά και από τα σχόλια του Πρόκλου εις Πολιτείαν 2, 169, 13-14 έχουµε:

« ¹ d cili¦j ¢pÕ genšsewj aâqij e„j gšnesin ˜tšran ™lqoÚshj

di¦ tr…thj aÜ xhj»

Η ερµηνεία εποµένως του Adam για το trˆ j aÙxhqe…j (ότι σηµαίνει ύψωση στην

τέταρτη δύναµη) είναι λανθασµένη.

Οι δύο αρµονίες, στις οποίες αναφέρεται ο Πλάτων στο χωρίο του της

«Πολιτείας», για τον Adam ουσιαστικά είναι ο ίδιος αριθµός, ο 12.960.000, ο οποίος

τη µια φορά γράφεται ως τετράγωνος αριθµός (36002) και την άλλη ως προµήκης

(2700 Χ 4800). Είναι δύσκολο να φανταστούµε ότι ο Πλάτων αποδίδει διπλή ιδιότητα

στον ίδιο αριθµό, ότι δηλαδή θεωρεί έναν αριθµό τετράγωνο και ταυτόχρονα

προµήκη. Ένας αριθµός είτε είναι προµήκης είτε τετράγωνος, όπως άλλωστε

προκύπτει από τον ίδιο τον Πλάτωνα: 28 Σε ανώνυµα σχόλια (Anonymus de philosophia Platonica, υπάρχει η έκφραση «δυναµοδύναµις» για τον αριθµό 81, την τέταρτη δηλαδή δύναµη του αριθµού 3.

31

«kaˆ p© j Ö j ¢dÚ natoj ‡soj „s£kij genšsqai, ¢ll' À

ple…wn ™latton£kij À ™l£ttwn pleon£kij g…gnetai, me…zwn

d kaˆ ™l £ttwn ¢eˆ pl eur¦ aÙtÕn per i l amb£nei , tù prom»kei

aâ sc»mati ¢peik£santej prom» kh ¢riqmÕ n ™kalšsamen.29»

Με αυτήν την έννοια, ο αριθµός 12.960.000 του Adam, είναι τετράγωνος αριθµός και

εποµένως δεν µπορεί να αντιπροσωπεύει και τις δύο αρµονίες για τις οποίες µιλάει ο

Πλάτων.

Οι δύο αρµονίες κατά τον Πρόκλο, όπως θα δούµε σε άλλο σηµείο αυτής της

εργασίας, είναι ο τετράγωνος αριθµός 10.000 και ο προµήκης αριθµός 7.500 (που

είναι και «Γνώµων», 75 = 100 – 52).

Οι δύο αριθµοί που προέκυψαν από το χωρίο 546 b-c της πολιτείας του

Πλάτωνος, σύµφωνα µε την ερµηνεία του James Adam, είναι:

1) ο 216 = 33 + 43 + 53 = 63, ο οποίος εκαλείτο ψυχογονικός κύβος και εκφράζει τον

αριθµό, σε ηµέρες, της επτάµηνης κύησης ενός εµβρύου.

Η περίοδος των εννέα µηνών, προκύπτει από το 216 προσθέτοντας το 60 = 3 Χ 4

Χ 5, δηλαδή εννέα µήνες = 276 µέρες =216 + 60.

2) και ο 12.960.000 = 3.6002 = (3 Χ 4 Χ 5)4 = 4.800 Χ 2.700

και εκφράζει τις µέρες του Μεγάλου Ενιαυτού, ή 36.000 χρόνια των 360 ηµερών

έκαστον.

Η αριθµητική σχέση τους είναι : 60.000216

12.960.000= = 60 Χ 103.

Η πρώτη από τις δύο αρµονίες, που κατά τον Adam αντιστοιχεί στον πρώτο

κύκλο του µύθου της κοσµικής αντιστροφής του «Πολιτικού», είναι 36002,

τετράγωνος αριθµός = οµοιότης

ενώ η δεύτερη είναι η προµήκης

προϊόν δύο άνισων αριθµών: 2.700 Χ 4.800 = ανοµοιότης.

Η ερµηνεία του Adam, σύµφωνα µε την οποία το αριθµητικό αποτέλεσµα της

πρότασης «aÙx» seij dun£mena… te kaˆ dunasteuÒmenai», είναι ο αριθµός 33 + 43

+ 53 = 216, είναι λανθασµένη γιατί ακόµη και αν δεχθούµε ότι η έκφραση αυτή του

Πλάτωνα σηµαίνει τους κύβους των αριθµών 3, 4 και 5 –αν και ο Πλάτων έχει πιο

απλές εκφράσεις για να δηλώσει κάτι τέτοιο – δεν εξηγείται ποια λέξη -αν υπάρχει

κάποια- του χωρίου αυτού υπαγορεύει να προστεθούν οι αριθµοί 33 , 43 και 53.

29 Θεαίτητος 148 a1- a4

32

Η πρόσθεση εποµένως των τριών κύβων για να προκύψει ο αριθµός 216 είναι

αυθαίρετη.

H πρόταση «aÙx» seij ... ¢pšfhnan», εισάγεται µε την «™n ú prètJ».

H πρόταση «™n ú prètJ» , στην ερµηνεία του Adam, ακόµη και αν δεχθούµε την

υπόλοιπη ερµηνεία του, είναι τελείως χωρίς νόηµα και δεν προσφέρει κάποια

εξήγηση για το πως αυτός ο πρώτος αριθµός 216 κάνει «τα p£nta pros» gora kaˆ

·ht¦ prÕ j ¥llhla».

Οι λέξεις αυτές αντιµετωπίζονται τελείως επιφανειακά, όπως και η πρόταση

«pros» gora...¢pšfhnan», και παρ’όλο που µοιάζουν απλές δηµιουργούν µεγάλη

σύγχυση σε αρκετές από τις ερµηνείες που δόθηκαν στον «γεωµετρικό αριθµό».

Ο Adam παίρνει τη λέξη «¢riqmÕ j» να είναι το γραµµατολογικό αντίστοιχο του «ú»,

µε αποτέλεσµα στις επόµενες λέξεις του χωρίου να «ανακαλύπτει» έναν αριθµό.

33

1.3 Η ερµηνεία του Α. G. Laird30, για τον «γεωµετρικό αριθµό»

Το χωρίο 2,36,3-46,17, των σχολίων του Πρόκλου εις Πολιτείαν, µε την ερµηνεία

του οποίου ασχολείται αρχικά ο Laird είναι το εξής:

«TÕ n gewmetrikÕ n ¢riqmÕ n ¢riqmhtikîj te ¤ma de‹

kaˆ gewmetrikîj qewrÁsai, kaˆ prÒj ge mousikîj, e„ dun£-

meqa, kaˆ ¢stronomikîj, œ peita dialektikîj, e‡j te t¾ n ¢n-

qrwpe…an ¢napšmyai per…odon kaˆ e„j t¾ n toà pantÕ j kÒs-

mou qewr…an. ”Es t in d oátoj ....60....ona..

..... [™]n ú prè[tJ aÙx»seij] ........pr.....

natous...20... lÒgouj e‡te thsun...18... dun£menai

poioàsai tetragènouj, duna[steu]Òmenai d ¢p' ™ke…nwn tîn

dun£mewn ........ tîn tetragènwn· tÕ g¦r dun£menon

p© n prÕ j tÕ dunasteuÒmenon ¢pod…dotai. kaˆ prÕ j toÚtoij

ÐmoioÚntwn te kaˆ ¢nomoioÚntwn ¢riqmîn· ÐmoioÚntwn mn

tîn tetragwnikîn À kubikîn, ¢nomoioÚntwn d tîn ¢n…soi j

crwmšnwn pleura‹j À ™pipšdwn À stereîn. kaˆ ™pˆ toÚtoij

kaq' Øpodia…resin tîn ¢nomoioÚntwn ˜xÁj fhsin· aÙxÒntwn

te kaˆ fqinÒntwn· aÙxÒntwn mn tîn „s£ki j ‡swn meizon£-

kij, ïn ™pˆ tÕ me‹zon ¹ prÒodoj ¢pÕ tÁj „sÒthtoj, fqinÒn-

twn d tîn „s£ki j ‡swn ™l asson£ki j · ïn to‹j mn Ô noma

plinq…dej fasˆ to‹j fq…nousin, to‹j d dok…dej to‹j aÜxou-

sin. aátai d' oân aƒ aÙx»seij mšcri tett£rwn Ó rwn pro-

elqoàsai tre‹j ™cÒntwn ¢post£seij ¢ll»lwn (p£ntwn g¦r

tett£rwn Ó rwn sunecîn tre‹j e„sin ¢post£seij) p£nta ·ht¦

kaˆ pros»gora poioàsin, kaˆ toÝj dunamšnouj kaˆ toÝj

dunasteuomšnouj, kaˆ toÝj Ðmoioàntaj kaˆ toÝj ¢nomoioàn-

taj ¢ll»loij, kaˆ toÝj aÜxontaj kaˆ fq…nontaj. g…netai

g¦r di£gramma kat¦ mn t¦ pl£gia toÝj Ðmoioàntaj œcon

kaˆ ¢nomoioàntaj, aÜxont£j te kaˆ fq…nontaj, kaq' ›na

lÒgon sundeomšnouj tÕ n puqmšna tÕ n ™kteqhsÒmenon· kat¦

30 PLATO’S GEOMETRICAL NUMBER AND THE COMMENT OF PROCLUS, Madison, Wisconsin 1918.

34

d t¦ skšlh toÝj dunamšnouj kaˆ duna[steuomšnouj.

™peˆ ] d oátÒj ™stin Ð ¢r iqmÒj , ™n [ú p£nta ¢ll»loij]

sumba…nei, kalîj poiîn ....14... ïn ™p…tritoj puq-

m»n· ...16... tîn ¢riqmîn ïn aƒ aÙx»seij. [œ stin oân

oátoj] Ð ™p…tritoj puqm¾ n g kaˆ d· kaˆ [toÚtwn ˜k£]teroj

™f' ˜autÕ n kaˆ ™p' ¢ll»louj [g…gnetai] q ib i$ ™n lÒgJ

tù aÙtù. kaˆ aâqi j Ð mn g kubikîj trˆj tr…a tr…j , kaˆ

Ð d æs[aÚ ]twj tetr£kij tšssara tetr£kij· met' ¢l l »l wn d

trˆ j tr…a tetr£kij, tetr£kij tšssara tr…j· g…gnontai oân

kubikoˆ mn ¥kroi Ð kz kaˆ xd, dokˆj d Ð l$, dÚo pleu-

r¦j œ cwn tri£doj kaˆ m…an tetr£doj, pl inqˆj d Ð mh, dÚo

pleur¦j œ cwn tetr£doj kaˆ m…an tri£doj. toÚtwn d¾ tîn

tett£rwn Ô ntwn ™fexÁj ™n tù ™pitr…tJ lÒgJ Ó rwn, kz l$

mh xd, kaˆ tre‹j ¢post£seij ™cÒntwn, Ð mn kz met¦ toà

mh poie‹ tÕ n oe, Ð d l$ met¦ toà xd tÕn r ·»

35

Κοµβικό σηµείο στην ερµηνεία των δύο αυτών χωρίων, από τον Laird, είναι η

ερµηνεία της πρότασης: «aÙx»seij dun£mena… te kaˆ dunasteuÒmenai». Η λέξη «aÙx» seij» έχει και κατά τον Laird, την έννοια του πολλαπλασιασµού

(aÙx»seij means multiplications, Laird, p. 2).

Κατά την άποψη του F. Hultsch η έννοια της πρότασης «aÙx»seij

dunasteuÒmenai» είναι τετραγωνικές ρίζες (τετράγωνων αριθµών).

Kατά τον Laird όµως:

it is impossible to believe that Proclus woud have described either the root of a

square number or the process of extracting the root as an aÜxhsij (Laird, p. 2).

Hultsch και Laird συµφωνούν µόνο στο ότι η έννοια της πρότασης «aÙx» seij

dun£menai», είναι τετράγωνοι αριθµοί (πολλαπλασιασµοί οι οποίοι ποιούν

τετραγώνους).

♦Η έννοια του «aÙx» seij dunasteuÒmenai», κατά τον Laird είναι τελείως

διαφορετική, αφού η λέξη aÙx» seij πριν από την λέξη dunasteuÒmenai αποκλείει η

τελευταία να έχει την έννοια της τετραγωνικής ρίζας.

Από την µελέτη του χωρίου αυτού των σχολίων του Πρόκλου εις Πολιτείαν του

Πλάτωνος, ο Laird καταλήγει, όπως θα φανεί στη συνέχεια, πως (για τον Πρόκλο) η

ερµηνεία των επίµαχων εκφράσεων έχει ως εξής :

♦ aÙx» seij dun£menaι = τετράγωνοι αριθµοί

(Proclus definition 2,36,9: poioËsai tetrag≈nouw, leaves as in no doubt that he

took this phrase to mean squares numbers, Laird, p.2)

♦ aÙx» seij dunasteuÒmenai = είναι οι προµήκεις αριθµοί (τα ορθογώνια)

(αριθµός δυναστευόµενος is a rectangle, Laird, p. 8)

♦ Αριθµοί οµοιούντες = τετράγωνοι ή κύβοι

(ımoioÊntvn m¢n t«n tetragvnik«n µ kubik«n, Πρόκλος 2, 36, 13-14)

♦ Αριθµοί ανοµοιούντες =ορθογώνια ή στερεά µε άνισες πλευρές,

(t«n én¤soiw xrvm°nvn pleura›w µ §pip°dvn µ stere«n. Πρόκλος 2,36,13)

♦ Αριθµοί αύξοντες ή δοκίδες = αριθµοί στερεοί µε δύο ίσες πλευρές και την τρίτη

πλευρά µεγαλύτερη,

(t«n fisãkiw ‡svn meizonãkiw,œn §p‹ tÚ me›zon ≤ prÒodow épÚ t∞w fisÒthtow,

Πρόκλος 2, 36, 16-19)

36

♦ Αριθµοί φθίνοντες ή πλινθίδες = αριθµοί στερεοί µε δύο ίσες πλευρές και την

τρίτη πλευρά µικρότερη (fyinÒntvn d¢ t«n fisãkiw ‡svn §lassonãkiw·Πρόκλος

2, 36, 18).

Η έκφραση κατά τα πλάγια σηµαίνει στερεούς αριθµούς (consequently the words

κατά τα πλάγια refers to solid forms, Laird, p. 4)

Η έκφραση κατά τα σκέλη σηµαίνει επίπεδους αριθµούς (kat¦ d t¦ skšlh toÝj

dunamšnouj kaˆ duna[steuomšnouj, they are plane numbers Laird, p.5).

Το διάγραµµα για το οποίο µιλάει ο Πρόκλος (κατά τον Laird, p. 6) είναι συνεπώς το

ακόλουθο :

A D G

E

4

B C

M

3

3

LK

Αυξήσεις δυνάµεναι, στο σ

αυξήσεις δυναστευόµεναι ε

Η αναλογία AC(9)/ AH(12)

Ο αριθµός 33 = 27 είναι κυβ

Ο αριθµός ΒΜ = 3 Χ 3 Χ 4

3 = 48, είναι πλινθίς ή αριθ

Η αναλογία ΒΙ(27)/ΒΜ(36)

χήµα αυτό, είν

ίναι οι AH, ED

= ED(12)/ EG

ικός και οµοιώ

= 36, είναι δο

µός φθίνων.

= ΕΚ(48)/ΕL(

I

4 F

H

αι οι AC 32 = 9 κ.λ.π ενώ

= 3Χ4 = 12.

(16), είναι η αναλογία κατά τα σκέλη.

ν.

κίς και αριθµός αύξων, ενώ ο ΕΜ = 4 Χ 4 Χ

64) είναι αναλογία κατά τα πλάγια.

37

♦ Ο βασικός ισχυρισµός του LAIRD είναι ότι µε την έκφραση

αριθµός δυναστευόµενος εννοείται ο γεωµετρικός µέσος δύο τετραγώνων (the

mean proportional between two squares, Laird, p.6)

Την ερµηνεία του αυτή στηρίζει στα εξής χωρία :

• Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,36,10

duna[steu]Òmenai d¢ ép' §ke¤nvn t«n dunãmevn

........ t«n tetrag≈nvn·

Λείπει µία λέξη, γεγονός που δυσκολεύει την ερµηνεία του.

Η έννοια της λέξης dunãmevn είναι αυτή που δίδεται στον Θεαίτητο 147-148,

δηλαδή της τετραγωνικής ρίζας, η µετάφραση εποµένως (κατά Laird) για τη λέξη

δυναστευόµενος είναι : συνδυασµός αυτών των ριζών των τετραγώνων (since the

mean proportional between two squares is the product of their roots, I translate

δυναστευόµεναι, (a combination) fron those roots of the squares).

Προς ενίσχυση του προηγούµενου ισχυρισµού ας δούµε την επόµενη πρόταση του

Πρόκλου: tÚ går dunãmenon pçn prÚw tÚ dunasteuÒmenon épod¤dotai.

Η έννοια της λέξης épod¤dotai, φωτίζεται κάπως από τα χωρία:

• Ηρόδοτος 2,13,9

«o„kšontej t£ te ¥lla cwr…a kaˆ tÕ kaleÒmenon Dšlta,Àn oÛtw ¹ cèrh aÛth

kat¦ lÒgon ™pididù ™j Û yoj kaˆ tÕ Ó moion ¢podidù ™j aÜ xhsin,

m¾ kataklÚzontoj aÙt¾ n toà Ne…lou pe…sesqai tÕ n p£nta crÒnon tÕ n

™p…loipon A„gÚptioi tÒ kote aÙtoˆ “Ellhnaj œ fasan pe…sesqai.»

Εδώ φαίνεται η λέξη «aÜ xhsin»,να αντιδιαστέλλεται µε τη λέξη «Ûyoj» και να

σηµαίνει «έκταση σε µήκος και πλάτος».

• Πρόκλος εις Πολιτείαν 2, 48, 26

«p£ntV oân aÙta‹j ¢nisoumšnaij ¢podšdotai Tõ p£ntV ¥nison.»

Η λέξη εποµένως φαίνεται, κατά τον Laird, να σχετίζεται µε την αναλογία.

Ένα άλλο χωρίο του Πρόκλου,φωτίζει κάπως την σχέση

38

δυνάµεναι-δυναστευόµεναι

'Ek mn oân toÚtwn ¹

yuc¾ fa…netai m…a duoeid¾ j

kat£ te tÕ enai

kaˆ tÕ zÁ n·



¢me…nouj

kaˆ


t¦j mn dunamšnaj


¡ploustšraj kaˆ

sunqetwtšraj

dÚnantai mn g¦r oƒ pleuriko…

dunas teÚontai d oƒ ™k toÚtwn

kaˆ t¦j mn ÐmoioÚsaj

t¦j d ¢nomoioÚsaj ,

t¦j mn ™pistreptik¦j aÙ[tÁj]

e„j tÕ taÙtÕn kaˆ tÕ ž n t¦j d

e„j ˜terÒthta kaˆ tÕ m¾ ž n ¢goÚsaj ,

kaˆ t¦j mn aÙxoÚsaj

T¦j d fqeiroÚsaj

tÕ ptšrwma aÙtÁj·

tù mn g¦r ¢gaqù kaˆ tù kalù kaˆ tù sofù

toàto aÜxetai,

39

to‹j d ™nant…oij fq…nei kaˆ diÒllutai.

kaˆ m¾ n kaˆ tÕ cwre‹n e„j tre‹j t¾ n aÜxhsin

toà ¢riqmoà

toàde t¾ n ¢pÕ tîn nohtîn kaˆ ¢merîn

¥cri tîn sterewt£twn

aÙtÁj œ xodon perišcei·31

Οι «pleuriko…» εδώ είναι οι πλευρές των τετραγώνων (δεν είναι από µόνοι τους

τετράγωνοι αριθµοί).

Υπάρχουν δύο αριθµοί (¢riqmÕ j duadikÕ j), όπως το 3 και το 4, δυνάµενοι είναι οι 9

και 16.

Οι « ™k toÚtwn » είναι οι αριθµοί από τον συνδυασµό αυτών, δηλαδή αριθµός

δυναστευόµενος το ορθογώνιο 3 Χ 4 (οι ™k toÚtwn means the numbers of the

combination of these two. Laird p. 8).

Αυτό ενισχύεται και από το « sunqetwtšraj»

απλούστερος είναι ο 9=32, συνθετώτερος ο 12=3 Χ 4 (¡ploustšraj applies to t¦j

mn dunamšnaj, for squares are like X like, sunqetwtšraj applies to t¦j

dunasteuomšnaj, for rectangles are like x unlike. Squares, then, are more simple,

rectangles more composite. Laird, p.).

Η ερµηνεία των Adam –Hultsch, σύµφωνα µε την οποία η φράση «aÙx»seij

dun£mena… te kaˆ dunasteuÒmenai» σηµαίνει τετράγωνα και ρίζες, είναι κατά τον

Laird πιό κοντά στη µοντέρνα µαθηµατική σκέψη παρά στην αρχαία.

Η έννοια που δίνει ο Πρόκλος στην φράση αυτή του Πλάτωνα φωτίζεται, όπως θα

φανεί στη συνέχεια από την αναλογία 9/12 =12/16.

Ένα άλλο χωρίο του Πρόκλου που, κατά τον Laird, ενισχύει την άποψη ότι µε την

έκφραση «αριθµός δυναστευόµενος» εννοείται το ορθογώνιο είναι το:

«e„s ioàsa d e„j ˜aut¾n ™pipedoàtai , kaˆ mšcr i mn diano…aj ƒs tamšnh

tetragwn…zei ˜aut»n, tÕ taÙtÕ n kaˆ Ó moion ™n tÍ dianohtikÍ kin»sei tù

di£noia enai prÕ j di£noian kinoumšnh œti sèzousa, dÒxan d met¦ diano…aj

summ…xasa kine‹tai k…nhs in ™p…pedon mn æj ™k due‹n genomšnhn dun£mewn

31 Πρόκλος εις Πολιτείαν, 2,51,9-22

40

¢ll»laij summignumšnwn, ¢n…swn d oÙsîn ™ke…nwn promhk…zei aÙt¾ n ¢f'

˜autÁj· e„j d t¦ met' aÙt¾ n ·špousa baqÚnei t¦ ™p…peda, t¾n mn

tetragwnik¾ n zw¾ n kub…zousa kaˆ fantas…an gennîsa (kaˆ g¦r ¹ fantas…a

noàj t…j ™st in paqht ikÕj œndon mn ™nerge‹n ™qšlwn, ¢sqenîn d di¦ t¾n

e„j tÕ stereÕ n ptîsin), t¾n d prom»kh kat¦ t¾n ¢n£l ogon prÒodon e„j toÝj

¢nomo…ouj Øfiz£nousa stereoÝj kaˆ t¾ n a‡sqhsin gennîsa, gnîsin oâsan ™x

¢nomo…wn, sèmatoj kaˆ ¢swm£tou, kaˆ autÁj enai m¾ dunamšnhn.

mignumšnwn d tîn e„dîn tÁj zwÁj toÚtwn ™n tÍ genšsei kaˆ [sum]plekomšnwn

ceirÒnwn kaˆ ¢meinÒnwn ¢poteloàntai ¡rmon…ai duoeide‹j, ¿ mn

pokatastatik¾ kaˆ tù taÙtoà32»

Βασικά σηµεία αυτού του χωρίου είναι:

• η έκφραση «tetragwn…zei ˜aut» n» που αντιστοιχεί στην έκφραση «αριθµοί

δυνάµενοι»

• η έκφραση «tetragwnik¾ n zw¾ n kub…zousa», που αντιστοιχεί στους

κύβους, και

• η έκφραση «¢nomo…ouj stereoÝj», που αντιστοιχεί στις πλινθίδες και

δοκίδες

Στην αρχή του χωρίου του Πρόκλου διαβάζουµε:

«kaˆ prÕ j toÚtoij ÐmoioÚ ntwn te kaˆ ¢nomoioÚ ntwn ¢riqmîn· ÐmoioÚntwn mn

tîn tetragwnikîn À kubikîn, ¢nomoioÚntwn d tîn ¢n…soij crwmšnwn

pleura‹j À ™pipšdwn À stereîn33»

Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι ο αριθµός δυναστεύοµενος προκύπτει ως γινόµενο δύο

άνισων παραγόντων.

Είναι ενδιαφέρον, κατά τον Laird, να συγκρίνουµε στο σηµείο αυτό την ερµηνεία

αυτή του Πρόκλου µε αυτήν των Adam – Hultsch.

Η µία αρµονία που ο Πλάτων περιγράφει ως τετράγωνο (‡shn „s£kij), κατά τους

Adam – Hultsch είναι ο 36002 και η άλλη είναι ο 2700 Χ 4800 (προµήκης αρµονία).

Όταν όµως ένα τετράγωνο είναι ίσο µε ένα ορθογώνιο τότε η πλευρά του τετραγώνου

είναι µέση ανάλογος των πλευρών του ορθογωνίου. Εποµένως 2700/3600 =

3600/4800. Αυτή η αναλογία είναι ίδιου τύπου µε αυτή του Πρόκλου, µε τη διαφορά

32 Πρόκλος εις Πολιτείαν, 2,51,26-52,14 33 Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,36,12-15

41

ότι αυτή του Πρόκλου είναι σύµφωνη µε τον ορισµό (οι άκροι όροι δηλαδή είναι

τετράγωνα, όπως στο παράδειγµα 9/12 = 12/16).

Κατά τον ισχυρισµό του Laird, ο Πρόκλος σωστά θεώρησε ως «aÙx»seij

dun£menaι» τα τετράγωνα και ως «aÙx»seij dunasteuÒmenai τα ορθογώνια».

Αλλά στην αναλογία 9/12 = 12/16, ενώ θεώρησε τους 9 και 16 ως aÙx»seij

dun£menaι, και τον 12 να είναι η δυναστευοµένη, κατά τον Πλάτωνα και τους

Πυθαγόρειους πραγµατική δυναµένη είναι ο 122 και δυναστευοµένη ο 9 Χ 16

(Proclus was right in his view that aÙx»seij dun£menaι were squares and aÙx»seij

dunasteuÒmenai were rectangles; but that in the 9/12 = 12/16, where as he took the 9

and 16 to be the aÙx»seij dun£menaι and the 12 to be the δυναστευοµένη , the

actual δυναµένη for Plato and the Pythagoreans was 122 , the δυναστευοµένη 9 x 16

Laird, p. 11)

Επίσης, κατά τον Laird, ο αριθµός του Adam 36002=2700 Χ 4800 είναι σωστός,

αλλά είναι λάθος ο τρόπος που φθάνει σ’αυτόν, καθώς η ερµηνεία του της πρότασης:

«™n ú prètJ aÙx»seij dun£mena… te kaˆ dunasteuÒmenai, tre‹j ¢post£seij,

tšttaraj d Ó rouj laboàsai ÐmoioÚntwn te kaˆ ¢nomoioÚntwn kaˆ aÙxÒntwn

kaˆ fqinÒntwn, p£nta pros»gora kaˆ ·ht¦ prÕ j ¥llhla ¢pšfhnan.»

είναι µακριά από την αλήθεια.

Η πρόταση αυτή του χωρίου της «Πολιτείας», κατά τον Laird, δεν περιγράφει

κάποιον αριθµό, όπως ισχυρίζονται οι περισσότεροι, αλλά είναι ένας γενικός ορισµός

–δήλωση για την επόµενη πρόταση η οποία περιέχει µιά γεωµετρική αλήθεια, της

οποίας ένα παράδειγµα δίνεται µε την ισότητα 36002=2700 Χ 4800. ∆ηλώνει ότι αν

ένα τετράγωνο είναι ίσο µε ένα ορθογώνιο τότε η πλευρά του τετραγώνου είναι µέση

ανάλογος των πλευρών του ορθογωνίου, αν δηλαδή α2=βγ, τότε α/β=β/γ (Laird, p.12)

Η λέξη αυξήσεις, όπως είδαµε αποδίδεται από τον Laird ως

πολλαπλασιασµός. Μία άλλη έννοια για τη λέξη αυτή είναι επίπεδες επιφάνειες, και

αυτό προκύπτει από το χωρίο του Ηρόδοτου :

«kat¦ lÒgon ™pididù ™j Ûyoj kaˆ tÕ Ó moion ¢podidù ™j aÜxhsin»,

όπου η λέξη aÜ xhsin, αντιδιαστέλλεται µε τη λέξη Û yoj, και σηµαίνει έκταση σε

µήκος και πλάτος.

Καταλήγει λοιπόν ο Laird στο συµπέρασµα ότι µιά πιθανή ερµηνεία της λέξης

αυξήσεις, αν µιλήσουµε για αριθµούς κυρίως, είναι:

42

αύξησις = προϊόν δύο αριθµών = επίπεδες επιφάνειες (plane surfaces or products of

two numbers, Laird, p. 13).

χωρίς να αποκλείει την περίπτωση τα παραπάνω να επεκτάθηκαν και σε στερεά,

δηλαδή σε γινόµενα τριών αριθµών, αν και το υπόλοιπο κείµενο φαίνεται να µιλάει

για επιφάνειες και όχι για στερεά.34

Η µαθηµατική έννοια του δύναµαι στον Πλάτωνα είναι αρκετά καθαρή (κατά τον

Laird) από το ¨Θεαίτητο» 148 a6- b2:

“Osai mn grammaˆ tÕ n „sÒpleuron kaˆ ™p…pedon ¢riqmÕ n tetragwn…zousi,

mÁkoj æris£meqa, Ósai d tÕ n ˜terom» kh, dun£meij,

æj m»kei mn oÙ summštrouj ™ke…naij, to‹j d' ™pipšdoij § dÚ nantai. kaˆ perˆ

t¦ stere¦ ¥llo toioàton.

Επίσης από τον Αλέξανδρο τον Αφροδισιέα έχουµε:

™peˆ to…nun ¹ Øpote…nousa ‡son dÚ natai ¢mfotšraij ¤ma, di¦ toàto ¹ mn

dunamšnh kal e‹tai aƒ d dunasteuÒmenai.

Η λέξη «dÚ nantai» σηµαίνει λοιπόν «παράγουν όταν υψώνονται στο τετράγωνο ».

Η πρόταση «Kat¦ dÚ namin» αντιπαραβάλλεται µε kat¦ tÕ n toà m» kouj ¢riqmÕ n

και µε το tr…thn aÜ xhn (Πολιτεία 587 d) και σηµαίνει ύψωση στο τετράγωνο

Καταλήγουµε εποµένως, ότι ο συνδυασµός των δύο λέξεων:

aÙx» seij dun£mena…, σηµαίνει «τετράγωνα που είναι ίσα µε».

Έτσι και οι λέξεις ÐmoioÚ ntwn te kaˆ ¢nomoioÚ ntwn ταιριάζουν απόλυτα µε τους

τετράγωνους και τους ετεροµήκεις (ορθογώνιους) αριθµούς (in the rpoportion we are

dealing with, since it is assumed to be derived from a2 = b.c, a is οµοιών making a

square, and therefore means the side of the square, b and c are ανοµοιούντες making a

rectangle, and each is a side of the rectangle, Laird, p. 16).

Όσον αφορά στην πρόταση «aÙxÒntwn kaˆ fqinÒntwn»,

αρκεί στις αναλογίες 27/36 = 36/48 η 48/36 = 36/27, (Τ)

να παρατηρήσουµε ότι οι όροι στην πρώτη περίπτωση είναι αύξοντες ενώ στην

δεύτερη φθίνοντες.

34 Ο Πρόκλος, εις Πολιτείαν ΙΙ 36, 21-24 , µεταχειρίζεται τη λέξη aÙx»seij ως δυνάµεναι poioàsin… τετραγώνους.

43

Η έκφραση εποµένως του Πλάτωνα «aÙx»seij dun£mena… te kaˆ

dunasteuÒmenai», κατά τον Laird, σηµαίνει «αν ένα τετράγωνο είναι ισοδύναµο µε

ένα ορθογώνιο» (if a square is equal to a rectangle, Laird, p. 12).

♦ Κατά την άποψη του Laird είναι πιθανό η πρόταση «aÙx»seij ...¢pšfhnan», να

είναι ο πυθαγόρειος ορισµός του γεωµετρικού µέσου (here we may have the

Pythagorean definition of mean proportionals, Laird, p. 18)

Η ερµηνεία της πρότασης που κλείνει το επίµαχο τµήµα του χωρίου «p£nta

pros» gora kaˆ ·ht¦ prÕ j ¥llhla ¢pšfhnan», είναι τώρα αρκετά απλή, όπως

φαίνεται από τις αναλογίες (Τ).

Η ερµηνεία του Adam, για την πρόταση «aÙx» seij ... fqinÒntwn» , ότι δηλαδή

σηµαίνει 33 +43 +53 =63 = 216, κάνει την πρόταση «p£nta pros» gora kaˆ ·ht¦

prÕ j ¥llhla ¢pšfhnan», να µην έχει κανένα απολύτως νόηµα.

Συνοψίζοντας η ερµηνεία του Laird για το πρώτο αυτό τµήµα του χωρίου της

«Πολιτείας» είναι:

Ένα τετράγωνο και ένα ορθογώνιο είναι ίσοδύναµα , όταν οι τέσσερις όροι

τεθούν σε αναλογία µε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά.

♦ ™n ú prètJ

H πρόταση «aÙx»seij ... ¢pšfhnan», εισάγεται µε την «™n ú prètJ». Οι λέξεις

αυτές αντιµετωπίζονται κατά τον Laird, τελείως επιφανειακά, όπως και η πρόταση

«pros»gora...¢pšfhnan», και παρ’όλο που µοιάζουν απλές δηµιουργούν µεγάλη

σύγχυση σε αρκετές από τις ερµηνείες που δόθηκαν στον «γεωµετρικό αριθµό».

Ο Adam, για παράδειγµα, παίρνει τη λέξη ¢riqmÕ j να είναι το γραµµατολογικό

αντίστοιχο του ú, µε αποτέλεσµα στις επόµενες λέξεις του χωρίου να «βρίσκει» έναν

αριθµό35.

Οι λέξεις dunasteuÒmenai, tre‹j ¢post£seij, tšttaraj d Ó rouj laboàsai

αποδίδονται από τον Adam, ως ύψωση στην τρίτη δύναµη και τίποτα παραπάνω. ∆εν

επεξηγείται µάλιστα παρακάτω γιατί αυτοί οι κύβοι των αριθµών 3, 4 και 5

35 Ο Πρόκλος όπως έχουµε δεί δεν αναφέρει αριθµούς µέχρι που φθάνει στο ïn ™p…tritoj puqm¾ n. Γι’αυτόν η πρώτη πρόταση είναι µία γενική δήλωση που περιγράφει τα αποτελέσµατα του πολλαπλασιασµού µε διάφορους τρόπους tÕ n puqmšna tÕ n ™kteqhsÒmenon· ∆υστυχώς η ερµηνεία του για το ™n ú prètJ, αν είχε δώσει κάποια, έχει χαθεί.

44

προστίθενται ωστε να προκύψει ο αριθµός 216. Έτσι, κατά την ερµηνεία του Adam, ο

αριθµός 216 είναι ο πρώτος αριθµός στον οποίο εµφανίζονται οι κύβοι των 3, 4 και 5.

Στο σηµείο αυτό ο Adam προσπαθεί να «µεταφράσει» την πρόταση p£nta

pros»gora

kaˆ ·ht¦ prÕ j ¥llhla ¢pšfhnan, βοηθούµενος από ένα χωρίο του Censorinus

σχετικό µε την αρµονική ανάπτυξη του εµβρύου, αν και στο χωρίο αυτό δεν υπάρχει

τίποτα για τον αριθµό 216. Η απόδοση του Adam έχει ως εξής:

ο αριθµός 216 του ¢nqrwpe…J gennhtù είναι ο πρώτος αριθµός που στον οποίο οι

κύβοι των 3, 4 και 5 κάνουν την ανάπτυξη του εµρύου αρµονική.

Κατά τον Laird, χρειάζεται πολύ καλή διάθεση για να δεχθούµε ότι ο Πλάτων η οι

πυθαγόρειοι εννοούσαν ότι ο αριθµός 216 είναι ο πρώτος αριθµός στον οποίο

προκύπτουν οι κύβοι των 3, 4 και 5 και γι’αυτό ο 216 ελέγχει την αρµονική ανάπτυξη

του εµβρύου!

H πρόταση «™n ú prètJ» , στην ερµηνεία του Adam, ακόµη και αν δεχθούµε

την υπόλοιπη ερµηνεία του, είναι τελείως χωρίς νόηµα, αλλά και καµµία άλλη

ερµηνεία δεν προσφέρει (κατά τον Laird) κάποια εξήγηση για το πως αυτός ο πρώτος

αριθµός κάνει τα «p£nta pros» gora kaˆ ·ht¦ prÕ j ¥llhla».

Η πρόταση αυτή αναφέρεται (κατά τον Laird) σε γεωµετρικό σχήµα στο οποίο α2 και

β.γ είναι ίσα,η β/α = α/γ. Ένα ισχυρό επιχείρηµα υπέρ αυτής της άποψης είναι ότι έτσι

συνδέεται απόλυτα η πρόταση αυτή µε την επόµενη πρόταση (a stong proof that

refers to a geometrical figure cames from the fact that in this way we get a perfect

connection with the following sentence, Laird, p. 20).

Η αναφορική λέξη ïn συνδέει τις δύο προτάσεις µαζί. Ποιό είναι όµως το αντίστοιχό

της; Κατά τον Adam είναι η πρόταση «ÐmoioÚ ntwn ...fqinÒntwn».

O Laird παρατηρεί ότι, είναι κοινά αποδεκτό από αρχαίους και σύγχρονους

φιλοσόφους και σχολιαστές (ανάµεσά τους οι Αριστοτέλης, Αριστίδης Κοϊντιλιανός,

Πλούταρχος , Πρόκλος εις Ευκλείδην), ότι η πρόταση «™p…tritoj puqm¾ n pemp£di

suzugeˆ j», αναφέρεται στο πυθαγόρειο ορθογώνιο τρίγωνο µε πλευρές σε αναλογία

3-4-5.

Θεωρεί κατά συνέπεια ο Laird, ότι η πρόταση αυτή, είτε θα πρέπει να ερµηνευθεί ως

άθροισµα ή ως πολλαπλασιασµός των αριθµών 3, 4 και 5, οπότε σε αυτήν την

περίπτωση θα πρέπει να θεωρήσουµε ότι δεν αναφέρεται στο τρίγωνο 3-4-5, είτε θα

πρέπει να θεωρήσουµε ότι αναφέρεται στο τρίγωνο αυτό, οπότε σ’αυτήν την

45

περίπτωση δεν δικαιούµαστε να της δώσουµε και άλλη έννοια προσθετική ή

πολλαπλασιαστική. (Yet, while admitting the reference to the triangle, scholars have

added or multiplied the 3, 4, 5, thinking suzugeˆ j implying some such process. I do

not hesitate to affirm that we must take either one of two alternatives. Either

suzugeˆ j means that we are to add or multiply the numbers, and then there is no

reference to thw Pythagorean triangle; or if this triangle is meant, it takes the whole

phrase, ™p…tritoj puqm¾ n pemp£di suzugeˆ j , to describe it; for pemp£di suzugeˆ j

, menas that the 5 joins together the 3 and 4, and we have no right to give to it the

additioinal meaning of multiplied or increased by five, Laird, p. 21 )

Το ότι ο Πλάτων µε την πρόταση αυτή αναφερόταν στο γνωστό πυθαγόρειο τρίγωνο

3-4-5 επιβεβαιώνεται, και κατά τον Laird, από τα χωρία:

Αριστοτέλους, «πολιτικά» 1316a5:

«™n d tÍ Polite…v lšgetai mn perˆ tîn metabol în ØpÕ toà Swkr£touj , oÙ

mšntoi lšgetai kalîj. tÁj te g¦r ¢r…sthj polite…aj kaˆ prèthj oÜshj oÙ

lšgei t¾ n metabol¾ n „d…wj. f hsˆ g¦r a‡t ion enai tÕ m¾ mšnein mhqn ¢l l ' œ n

tini periÒdJ metab£llein, ¢rc¾ n d' enai toÚtwn “ïn ™p…tritoj puqm¾ n

pemp£di suzugeˆ j dÚ o ¡rmon…aj paršcetai”, lšgwn Ó tan Ð toà diagr£mmatoj

¢riqmÕ j toÚ tou gšnhtai stereÒj»

Πρόκλος εις Ευκλείδην, 427,20-428,9 «toioàton g£r ™sti tÕ ™n polite…v tr…gwnon,

oá t¾ n Ñrq¾ n perišcousin Ó te tr…a kaˆ Ð tšssara.

Øpote…nei d aÙt¾ n Ð e»

Πλούταρχος, περί Ίσιδος και Οσίριδος, Stephanus 373 section F, line 3

«æj kaˆ Pl£twn ™n tÍ polite…v (546b)

doke‹ toÚtJ proskecrÁsqai tÕ gam»lion di£gramma

sunt£ttwn. œ cei d' ™ke‹no tÕ tr…gwnon triîn t¾ n prÕ j

Ñrq…an kaˆ tett£rwn t¾ n b£sin kaˆ pšnte t¾ n Øpote…nou-

san ‡son ta‹j periecoÚsaij dunamšnhn»

46

Αριστίδης Κοϊντιλιανός :DE MUSICA «aƒ d t¾n Ñrq¾n per išcousai dhl oàs i tÕn ™p…tr i ton. toÚtou d¾ kaˆ

Pl£twn fhsˆ n [Resp. VIII 546 c] ™p…triton puqmšna

pent£di suzugšnta36»

Ήδη, κατά τον Laird, έχουµε βρεί ένα ορθογώνιο τρίγωνο στην πρόταση ™n ú

prètJ . Αυτό µας δίνει το γραµµατολογικό αντίστοιχο του « ïn».

Ο ενικός του «™n ú prètJ» και ο πληθυντικός του ïn, δεν αποτελεί πρόβληµα αφού

στο αρχικό τρίγωνο και µε την κάθετο προς την υποτείνουσα σχηµατίζονται τρία

ορθογώνια τρίγωνα. Επί πλέον η έκφραση ™n ú prètJ, αναφέρεται γενικά σε

ορθογώνια τρίγωνα κάθε είδους. Στην επόµενη πρόταση η έκφραση ïn ™p…tritoj

puqm¾ n επισηµαίνει ένα συγκεκριµένο τύπο ορθογώνιων τριγώνων, αυτών µε τις

πλευρές σε αναλογία 3-4-5.

Ο Laird εξηγεί την πρόταση του Πλάτωνα dÚ o ¡rmon…aj paršcetai trˆ j

aÙxhqe…j, µε την ισότητα 362 = 27 Χ 48, στηριζόµενος στα ακόλουθα σχήµατα, που

περιγράφει ο Πρόκλος στο χωρίο 2,40,2-2,42,10.

Α

Β Γ Z

Κ

Λ

64

48

36

27

47

36 Αριστίδης Κοϊντιλιανός 3, 23,32-35

Και

Z

Z 1 ΓB

A

Z 2

6 4

4 8

3 6

2 7

Στο σηµείο αυτό ο Laird, διαφωνεί τελείως µε τον Πρόκλο (σύµφωνα µε τον οποίο οι

δύο αρµονίες είναι οι αριθµοί 10.000 και 7.500),αφού κατά την γνώµη του η λέξη

prom» khς, έχει σαφές νόηµα στον Πλάτωνα (Θεαίτητος 148 α) και εποµένως ο

αριθµός που προκύπτει από τους 2700 και 4800 είναι το γινόµενό τους 2700 Χ 4800

και όχι το άθροισµά τους 2700 + 4800 = 7500, όπως ισχυρίζεται ο Πρόκλος.

Αν όντως είναι σωστό ότι (κατά Laird) α2 = β.γ τότε γίνεται αµέσως φανερό γιατί

χρησιµοποιείται η λέξη ¡rmon…a , αφού τότε έχουµε µία αρµονική σχέση ανάµεσα

στους λόγους β/α και α/γ.

Η σωστή ερµηνεία των λέξεων ¡rmon…a και prom» khς οδηγεί κατά την άποψη του

Laird, στους αριθµούς 36002 και 2700 Χ 4800 και όχι στους 10.000 και 7.500.

♦ Η ερµηνεία, που δίνει ο Laird, στην πρόταση «„som»kh mn tÍ», είναι ότι το

τετράγωνο είναι ισοδύναµο µε το ορθογώνιο, αφού το ορθογώνιο 27 Χ 48 έχει

(τετράγωνη) επιφάνεια 1296 = 362, το µήκος του οποίου είναι 36. Στηρίζεται δε στο

χωρίο 2, 37, 20 του Πρόκλου ¿ d „som»khj mn ™ke…nV di¦ tÕ n r, prom»khj d

di¦ tÕ n oe. (One of these ‘harmonies’ is ‡shn „s£kij, equal by equal, the other is of

the same area as the former, but rectangular (προµήκης) Laird, p.22).

Συνεπώς, 27 Χ 48 είναι „som» khς µε το 362.

48

Ο τρόπος που εξάγουν τον αριθµό 36 οι Adam, Hultsch, είναι- κατά τον

Laird- τελείως λάθος αφού δίνουν στην έκφραση pemp£di suzugeˆ j, µία αριθµητική

τιµή αντί να το συσχετίσουν µε το πυθαγόρειο τρίγωνο 3-4-5.

Το τρίγωνο του Πρόκλου όµως µας δίνει αµέσως τον αριθµό 36 και καθώς η πρώτη

πρόταση του χωρίου της «Πολιτείας» δίνει έµφαση (κατά την άποψη του Laird) στην

αναλογία β/α = α/γ τότε αν α2 = β.γ είναι 362 = 27 Χ 48 η σχέση που προκύπτει από

αυτό το τρίγωνο παρά η αναλογία του Πρόκλου 27/36 = 48/64, που προκύπτει επίσης

από το ίδιο τρίγωνο.

49

Η µετάφραση ολόκληρου του χωρίου της «Πολιτείας» από τον Laird έχει ως

εξής:

“There is for a divine creature a period which a perfect number contains; for a human

creature (there is a number) in that figure in which first products that are squares and

rectangles, equaling and being equaled, if arranged in a proportion with three intervals

and four terms, the terms being sides of the squares and sides of the rectangles, both if

they are increasing and if they are decreasing, showed all in proportion and rational to

one another; of which the 3-4-5 type, if the numbers are made solid, furnishes two

harmonies, the one a square with its side multiplied by 100, the other equal in area to

the former but oblong, one side of 100 squares of rational diameters of five, each

lacking one, or of irrational diameters, each lacking two, the other side of 100 cubes

of 3. This total, a geometric number, is in control of such a creature, of better and of

worse births.”

50

1.4 Κριτική της ερµηνείας του Laird

♦ Ο Laird δεν αναφέρεται καθόλου στο qe‹on genhtÒn και ούτε στο ¢nqrèpeiοn

genhtÒn.

♦ Θεωρεί ότι η έκφραση «™n ú prètJ», αναφέρεται σε ένα γεωµετρικό σχήµα

(ορθογώνια τρίγωνα) στο οποίο για πρώτη φορά συµβαίνει ή αποδείχθηκε ότι β/α =

α/γ, χωρίς όµως να τεκµηριώνει πως προκύπτει ο ισχυρισµός του αυτός. Το µοναδικό

του επιχείρηµα είναι ότι µε τον τρόπο αυτό συνδέεται καλά η πρόταση αυτή µε την

δεύτερη βασική πρόταση (ïn ™p…tritoj puqm¾ n…) του χωρίου της «Πολιτείας».

♦ Άλλος βασικός ισχυρισµός του Laird είναι ότι οι δύο αρµονίες για τις οποίες µιλάει

ο Πλάτων στο χωρίο αυτό της «Πολιτείας» είναι οι αριθµοί 36002 και 2700 Χ 4800

(και όχι οι αριθµοί 10000 και 7500 όπως υποστηρίζει ο Πρόκλος).

Η δεύτερη αρµονία όµως χαρακτηρίζεται από τον Πλάτωνα ως προµήκης, που

σηµαίνει , όπως µας λέει ο Πλάτων στον Θεαίτητο37, ότι είναι αδύνατο να γράφεται

ως ‡soj „s£kij. Αυτό σηµαίνει ότι η προµήκης αρµονία για την οποία µιλάει ο

Πλάτων στο χωρίο αυτό της «Πολιτείας», αποκλείεται να είναι ο αριθµός

4800Χ2700, αφού ο εν λόγω αριθµός ισούται µε τον 36002, που σηµαίνει ότι είναι

τετράγωνος αριθµός.

♦ Ο Laird ισχυρίζεται ότι στην αναλογία 9/12 = 12/16, για τον Πλάτωνα και τους

Πυθαγόρειους, αριθµός δυνάµενος είναι ο 122 και αριθµός δυναστευόµενος ο 9 Χ 16,

χωρίς και πάλι να υποστηρίζει την θέση του αυτή. Σ’αυτήν εποµένως την περίπτωση

κατά τον Laird, ισχύει ότι: αύξησις δυναµένη (δηλ. 122) = αύξησις δυναστευοµένη

(δηλ. 9 Χ 16), ενώ κάτι τέτοιο δεν προκύπτει από το ίδιο το χωρίο της «Πολιτείας»

και ούτε και του Πρόκλου.

♦ Η ερµηνεία του επίσης για την έκφραση «„som»kh mn tÍ» , ότι δηλαδή σηµαίνει

«ισοδύναµα χωρία», δεν επιβεβαιώνεται από άλλες πηγές. Κατά συνέπεια και ο

υπόλοιπος ισχυρισµός του ότι οι δύο αρµονίες είναι οι αριθµοί 36002 και 2700 Χ

4800 (ως ισοδύναµα χωρία) είναι µετέωρος.

37 Θεαίτητος 147e9-148a4

51

1.5 H ερµηνεία του γεωµετρικού αριθµού από τον Marsilio Ficino38

Το όγδοο βιβλίο της Πολιτείας του Πλάτωνος µεταφράστηκε στα λατινικά,

µε τον τίτλο argumentum, από τον Marsilio Ficino. Η µετάφραση του χωρίου 546 b-c

της Πολιτείας, που περιλαµβάνει τον γεωµετρικό αριθµό, περιέχεται σ’ένα κείµενο

που ο Ficino τιτλοφορεί Textus και το οποίο συνοδεύεται από σχόλια υπό τον τίτλο

expositio, αποτελούµενο συνολικά από δεκαεπτά κεφάλαια.

Τα παραπάνω τρία κείµενα του Ficino µεταφράστηκαν στα αγγλικά από τον

Michael J. B. Allen στο βιβλίο του µε τίτλο Marsilio Ficino’s Commentary on the

Fatal Number in Book VIII of Plato’s Republic, έκδοση University of California

Press.

Σύµφωνα µε τις πηγές του Allen39, τα εκτενή σχόλια του Πρόκλου στην

Πολιτεία του Πλάτωνος, ήταν τελείως άγνωστα στον Ficino και τους συγχρόνους του.

Από την άποψη αυτή, η προσπάθεια του Ficino να ερµηνεύσει τον γεωµετρικό

αριθµό του Πλάτωνος, δεν είχε πολλές πιθανότητες επιτυχίας.

Περιληπτικά, το κείµενο στα λατινικά του Ficino, που αφορά στον

γεωµετρικό αριθµό έχει ως εξής:

“Plato in nono de Re Publica ternarium colit quasi divinum; Item quadratum ab eo

factum, scilicet 9; Rursus solidum ab ipso conceptum, scilicet 27; Denique magnum

illum numerum et fatalem, scilicet septingenta 29, quia primam radicem habet tres,

secundam vero novem, tertiam denique 27. Fit enim partim quidem ex 9 per se ter

aucto, partim etiam ex 27 bis per se aucto, qui in ternarium resolvuntur; et solidus est

atque circularis caelestibusque conveniens ut dicemus. Sed in hoc octavo amliora fata

significaturus, numerum accipit ampliorem 1728 ex duodenario ter aucto procreatum,

in quo quidem ipsum millenarium latenter inclusum forte vult firmamentum ipsum in

stellis quodamnodo latens significare. Mox vero ex magno illo numero multiplicato

per duodenarium ter auctum, scilicet ex numero illo 1728, palam seligit imprimis

centenarium unum in decimo de Re Publica celebratum, quoniam ex denario, quasi

universo numero in se ipsum ducto, aequilaterus procreatur. Ipsumque centenarium

ducit similiter in se ipsum, multiplicans videlicet centum centis, unde conficitur

quadratus numerus aequilaterus decem millia celebratus in Phaedro’. (Allen, p. 215).

38 Μarsilio Ficino, νεοπλατωνιστής, 1433-1499 µ.Χ. 39 Βλέπε σελίδες 31, 37-40, 45, 61 του βιβλίου του.

52

H µετάφραση του Allen στα αγγλικά έχει ως εξής:

‘In the ninth book of the Republic Plato reveres the 3 as divine; Likewise the square

made from the 3, namely 9; And again the solid conceived from it, namely 27. Finally

he reveres that great and fatal number, namely 729. This is because it has the prime

root 3, the second root 9, and finally the third root 27.For it is made on the one hand

from 9 increased by itself thrice, and on the other from 27 increased by itself twice,

and both these numbers are resolved into the three. Furthermore, 729 is solid and

cisrcular and in accord, as we say, with the celestials. But in this eighth [book] Plato

is about to signify a greater destiny. He takes up the greater number 1728, which is

procreated from the 12 thrice increased. Perhaps he wishes the 1000 hidden away

in this number to signify the firmament hiding in a way in the stars. Then from that

great number which is the multiple of twelve thrice increased, namely from that

number 1728, in the first place he chooses, and he chooses openly, the 100 celebrated

in the tenth book of the Republic, because that equileteral 100 is procreated from ten,

from the universal number as it werw led to itself. Similarly, he leads the 100 to itself,

multiplying the 100 a hundred times. The result is that square equilateral number of

10,000 celebrated to the Phaedrus.’ (Allen, p. 214)

Μερικά, από τα σχόλια του Allen στις θέσεις του Ficino για τον γεωµετρικό αριθµό,

είναι τα εξής:

1) Κατά τον Ficino, ο αριθµός 1728 λέγεται από τον Πλάτωνα γεωµετρικός,

γιατί είναι ο κύβος του 12, και ο αριθµός 12 είναι µε τη σειρά του η

περίµετρος του πυθαγόρειου ορθογώνιου τριγώνου µε πλευρές 3, 4 και 5.

2) Ο Ficino πιστεύει επίσης ότι ο αριθµός 1728, που γι’αυτόν είναι ο

γεωµετρικός αριθµός, περιέχει τρία «κρυφά», τρόπον τινά, τµήµατα που

είναι τα ακόλουθα:

α) Το πρώτο από αυτά είναι ο αριθµός 1000, ο οποίος ως κύβος της πυθαγόρειας

τετρακτύος.(Allen, p.76)

β) Ο δεύτερος «κρυφός» αριθµός που περιέχεται στον αριθµό 1728 είναι ο αριθµός

700. Ο Ficino συµφωνεί πως η πρώτη αρµονία από τις δύο στις οποίες αναφέρεται ο

Πλάτων στην Πολιτεία είναι ο αριθµός 10000 = 100 Χ 100.

53

Η δεύτερη όµως αρµονία, κατά τον Ficino, είναι ο προµήκης αριθµός 700 = 100 Χ 7.

Οι δύο παράγοντες , δηλαδή ο αριθµός 100 και ο αριθµός 7, ορίζονται –κατά τον

Ficino-από τον Πλάτωνα µε την έκφραση:

«t¾n d „som»kh mn tÍ, prom»kh dš, katÕn mn ¢r iqmîn ¢pÕ diamštrwn

·htîn pemp£doj, deomšnwn ˜nÕ j ˜k£stwn, ¢rr»twn d duo‹n».

Έτσι µε µία πλευρά τον 100 και την άλλη πλευρά 7, καταλήγει ο Ficino, στην

δεύτερη αρµονία, δηλαδή στον αριθµό 700 (thus with a length of 100 and a width of 7

Ficini arrives at the second component of the geometric number, namely at the 700,

Allen, p.78). Ο αριθµός 700 αναφέρεται µάλιστα στους επτά πλανήτες (the 100X7

refers to the seven planets, the most obviously visible of heavenly beings beneath the

firmament, Allen, p. 78-79)

γ) Το τρίτο «κρυµµένο» τµήµα του γεωµετρικού αριθµού, σύµφωνα πάντα µε την

ερµηνεία του Ficino, είναι ο αριθµός 28. ο αριθµός αυτός, θεωρούµενος ως γινόµενο

7Χ4, κατά τον Ficino, σχετίζεται µε την σελήνη (that is, the number of the planets

times the number of the elements, Allen, p.790).

Κριτική στην ερµηνεία του Ficino

Κατά την άποψή µας η ερµηνεία του Ficino, όπως αυτή έχει δωθεί και µέσα

από τα σχόλια του Allen, έχοντας παρερµηνεύσει βασικά σηµεία του χωρίου του

Πλάτωνος, καµµία σχέση δεν έχει µε την πλατωνική φιλοσοφία γενικότερα και

γι’αυτό δεν θα επεκταθούµε περισσότερο.

Αρκεί να αναφέρουµε µόνο ένα παράδειγµα για να φανεί η λανθασµένη ερµηνεία

βασικών προτάσεων του χωρίου της Πολιτείας.

Η πρόταση « katÕn d kÚbwn tri£doj », ερµηνεύεται από τον Ficino ως 1003 !, και

αναφέρεται, κατά την άποψή του, στα αόρατα όσο και τα ορατά δηµιουργήµατα του

σύµπαντος (Allen, p.78-79).

54

1.6 Η ερµηνεία του J. Dupuis για τον «γεωµετρικό αριθµό»

Ο J.Dupuis, µετέφρασε, για πρώτη φορά, από τα ελληνικά στα γαλλικά το

έργο «ΤΩΝ ΚΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΧΡΗΣΙΜΩΝ ΕΙΣ ΤΗΝ ΠΛΑΤΩΝΟΣ

ΑΝΑΓΝΩΣΙΝ», του Θέωνος του Σµυρναίου.

Θα παρουσιάσουµε εν συντοµία την ερµηνεία του για τον «γεωµετρικό

αριθµό» του Πλάτωνα (Πολιτεία 546 b3-c7) και στη συνέχεια θα σταθούµε κριτικά

σ’αυτήν.

Το «Μηδείς αγεωµέτρητος εισίτω» στην είσοδο της ακαδηµίας του

επιβεβαιώνει µε τον καλύτερο τρόπο-κατά την άποψη του Dupuis- ότι ο Πλάτων δεν

πήρε φυσικά στην τύχη τα στοιχεία του αριθµού του, όντας ο ίδιος φιλόσοφος και

γεωµέτρης.

Κατά τον Dupuis, στον σχηµατισµό του αριθµού αυτού σηµαντικό ρόλο

παίζουν οι αριθµοί: 10.000 και 19. Ο αριθµός 10.000 προέρχεται από τον Φαίδρο

(248e) και αφορά στην περίοδο της ψυχής.

Ο αριθµός 19 οφείλεται στον Αθηναίο Μέτωνα, ο οποίος ανακάλυψε ότι µετά από

19 χρόνια, που αντιστοιχεί σε 235 σεληνιακούς µήνες, η γη και η σελήνη

ξαναβρίσκονται µαζί στα ίδια σηµεία του ουρανού.

Έτσι κατά τον Πλάτωνα θα έπρεπε ο «αριθµός» να είναι πολλαπλάσιο του 10.000

και του 19 και εποµένως πολλαπλάσιο του 19.000, δηλαδή του 19 µυριάδες.

O Dupuis, αναφέρεται στα γνωστά χωρία του Πλουτάρχου (Περί Ίσιδος και Οσίριδος,

56) και του Αριστίδη Κοϊντιλιανού, για να επιβεβαιώσει ότι ο Πλάτων χρησιµοποιεί

το γνωστό πυθαγόρειο ορθογώνιο τρίγωνο πλευρών 3, 4 και 5.

Όσον αφορά στο πρώτο τµήµα του χωρίου της «Πολιτείας» «œsti d qe…J ...

¢pšfhnan»

τα βασικά σηµεία στην ερµηνεία του Dupuis είναι τα εξής:

1) Η λέξη «aÙx»seij» σηµαίνει τους όρους µιάς ακολουθίας-διαδικασίας (Les

accroissements aÙx»seij sont donc certainement les termes d’une progression;

car dans les progression chaque terme, augmenté de la raison ou multiplié par la

raison, produit le terme suivant et il est produit par le terme précédent, augmenté

de la raison ou multiplié de la raison, Dupuis, p. 377).

2) Το « dun£mena… te kaˆ dunasteuÒmenai», αναφέρεται στην τετράδα 1, 2, 3, 4

(Πυθαγόρεια τετρακτύς) µε την έννοια ότι κάθε αριθµός από αυτούς παραγεται

55

από τον προηγούµενό του προσθέτοντας µία µονάδα και καθ΄’ενας παράγει τον

επόµενό του αυξανόµενος κατά ένα. (Les deux participes dun£mena… et

dunasteuÒmenai signifient donc produisant et produit, générateurs et

engendrés… Le sacré quaternaire 1, 2, 3, 4, don’t ia somme des termes est 10,

satisfait, comme nous allons le voir, á toutes les conditions du langage des Muses.

Les termes sont, en effet, générateurs et engendrés : chacun d’euxproduit le

suivant par l’addition d’une unité et est produit par le précédent augmenté d’une

unité. Dupuis, p. 377, 378).

3) H έκφραση «ÐmoioÚntwn te kaˆ ¢nomoioÚntwn», σηµαίνει τους όµοιους ή

ανόµοιους ήχους που παράγονται από τις χορδές µε µήκη 1, 2, 3, ,4 (Donc les

nombres 1, 2, 3, 4, en tant que longueur des cordes qu’ils représentent dans le

sacré quaternaire sont de ceux qui donnentdes choses semblambles ou

dissemblambles, Dupuis, p. 378).

4) Το «aÙxÒntwn kaˆ fqinÒntwn» αποδίδεται στην αύξουσα ή φθίνουσα σειρά της

τετρακτύος, δηλ. 1, 2, 3, 4 ή 4, 3, 2, 1 (Ils sont croissants et décroissants, car la

progression peut s’énoncer 1, 2, 3, 4, ou 4, 3, 2, 1 à volonté. Dupuis, p.378).

5) Στην έκφραση: «tre‹j ¢post£seij, tšttaraj d Ó rouj laboàsai», η λέξη

«¢post£seij» αποδίδεται ως διαστήµατα (intervales), εννοώντας έτσι ότι από τους

«tšttaraj Ó rouj» 1, ,2 ,3, 4 παράγονται τα τρία µουσικά διαστήµατα: 1/2, 3/2 και

4/3. (Ils [les nombres 1, 2, 3, 4] donnent trois intervales 2, 3/2, 4/3, qui représentent

les consonances d’octave de quinte,et de quatre, Dupuis, p.378).

6) Τέλος η έκφραση «p£nta pros»gora kaˆ ·ht¦ prÕ j ¥llhla ¢pšfhnan»

σηµαίνει, κατά τον Dupuis, ότι οι λόγοι των αριθµών 1, 2, 3, 4, είναι όλοι ρητοί

αριθµοί (Enfin tous les rapports des ceux nombres sont rationnels et ils ont

del’analogie, Dupuis, p.378).

Στην µετάφραση του δεύτερου τµήµατος του χωρίου της «Πολιτείας»:

«ïn ™p…tritoj puqm¾ n pemp£di suzugeˆ j ...¢riqmÕ j gewmetrikÒj»

ο Dupuis αποδίδει τη λέξη «suzugeˆ j», ως «προστεθείς» (ajouté) και την έκφραση

«™p…tritoj puqm¾ n» ως το κλάσµα 4/3, (desquels rapports le font épitrite –c.-à-d.

quatre tiers- ajouté à cinq)

Σύµφωνα µε την ερµηνεία που έδωσε στις λέξεις κλειδιά που προαναφέραµε, ο

Dupuis, µεταφράζει το «ïn ™p…tritoj puqm¾ n pemp£di suzugeˆ j », σε 34 + 5 =

319 .

56

Η έκφραση «trˆ j aÙxhqe…j» µεταφράζεται : «µετά από τρείς πολλαπλασιασµούς»,

οπότε και θα προκύψουν οι δύο αρµονίες.

Υποθέτοντας στη συνέχεια, ο Dupuis, ότι χ, y, z, είναι οι τρείς αριθµοί οι οποίοι

πρέπει να πολλαπλασιαστούν µε τον 19/3, υπολογίζει ότι (χ, y, z) = (3, 4, 10.000) (les

trois facteurs, …, sont 3, 4, 10 000, Dupuiς, p. 382)).

Ακολούθως, η πρώτη αρµονία ,κατά τον Dupuis, είναι ο αριθµός 10.000 (t¾ n

mn ‡shn „s£ki j , ˜katÕ n tosaut£kij).

Όσον αφορά στον σχηµατισµό του 48 µε δύο τρόπους, δηλαδή: 48 = 49-1 και 48 =

50-2, ο συγγραφέας τον αποδίδει στην πρόθεση του Πλάτωνα να εµφανίσει και

τον αριθµό 7 ως στοιχείο του γεωµετρικού αριθµού, εξ’αιτίας του δόγµατος των

επτά πλανητών (Ήλιος, Σελήνη, Άρης, Αφροδίτη, ∆ία, Κρόνος και Ερµής).

Η µία πλευρά της προµήκους αρµονίας είναι ο αριθµός 7.500 = 4.800 + 2.700, και

προκύπτει ως εξής:

• 2.700 = 33 Χ 100 ( katÕn d kÚbwn tri£doj . ) και

• 4.800 = 48Χ100 ( katÕn mn ¢r iqmîn ¢pÕ diamštrwn ·ht în pemp£doj ,

deomšnwn ˜nÕ j ˜k£stwn, ¢rr»twn d duo‹n)

Η δεύτερη πλευρά παράγοντας της προµήκους αρµονίας, κατά τον dupuis, είναι ο 100

(t¾n d „som»kh mn tÍ).

Η δεύτερη αρµονία εποµένως είναι ο αριθµός 7.500 Χ 100 = 750.000 (Donc le facteur

allongé de la seconde harmonie vaut 4800 + 2700 = 7500, et puisque l’autre facteur

est 100, l’harmonie elle même vaut 7500 X 100 = 750000, Dupuis, p. 381)

Κατά τον Dupuis, Ο Πλάτων µε την φράση: «sÚmpaj d oátoj ¢r iqmÕj

gewmetrikÒj», δηλώνει ότι οι δύο αρµονίες ενώνονται σε µία, έτσι ο γεωµετρικός

αριθµός του Πλάτωνος είναι: 10,000 + 750,000 = 760,000 (Le mot sÚmpaj montre

que, dans la pensée de Platon, les deux harmonies doievnt être réunies en un seule

nombre, Dupuis, p. 381)

Όµως 76 = 4 Χ 19, έτσι ο γεωµετρικός αριθµός πρέπει να θεωρηθεί ότι

παράγεται από τρείς παράγοντες:

• ο πρώτος είναι ο 4 (βλέπε τετρακτύς)

• ο δεύτερος είναι ο 19 (βλέπε κύκλο του Μέτωνος) και

• ο τρίτος είναι ο 10,000 (περίοδος της ψυχής στον Φαίδρο)

57

Οι «µούσες» µας λένε ότι το άθροισµα (κατά την άποψη του Dupuis) 4/3 + 5 = 19/3,

τρείς φορές πολλαπλασιαζόµενο µας δίνει δύο αρµονίες (dÚo ¡rmon…aj paršcetai

trˆ j aÙxhqe…j).

Έτσι η έκφραση « trˆ j aÙxhqe…j», δεν µπορεί, κατά τον συγγραφέα να σηµαίνει

πολλαπλασιασµό µε το 3, ούτε ύψωση στην τρίτη δύναµη, αφού (19/3) Χ 3=19 και

(19/3)3 = 254 + 1/27.

Με την έκραση εποµένως « trˆ j aÙxhqe…j»,πρέπει, όπως προείπαµε, να εννοήσουµε:

«µετά από τρείς διαδοχικούς πολλαπλασιασµούς» (multiplications successives).

Oι τρείς αυτοί συντελεστές, µε τους οποίους θα πολλαπλασιαστεί το κλάσµα 19/3, θα

πρέπει να είναι οι 3, 4 και 10,000, έτσι :

(19/3) Χ 3Χ 4 Χ 10,000 = 760,000, προκύπτει δηλαδή ο γεωµετρικός αριθµός.

Ο αριθµός 76 µυριάδες παράγεται εποµένως από τους αριθµούς 4, 19, 10.000. Ο

πρώτος από αυτούς συµβολίζει την πυθαγόρεια τετρακτύδα, ο δεύτερος αριθµός 19,

συµβολίζει τον κύκλο του Μέτωνος, ενώ ο 10000 συµβολίζει την περίοδο στην

κίνηση των ψυχών (Φαίδρος).

58

1.7 Κριτική στην ερµηνεία του Dupuis

Στεκόµενοι στα πιο βασικά σηµεία των παρανοήσεων και παραλήψεων του

Dupuis, ας αναφέρουµε τα εξής:

Η έννοια που αποδίδεται από τον Dupuis, στην έκφραση «aÙx»seij

dun£mena… te kaˆ dunasteuÒmenai», είναι αυθαίρετη και δεν υπάρχουν αρχαία

κείµενα που να πιστοποιούν κάτι τέτοιο. Η σύνδεση δηλαδή, των λέξεων dun£mena…,

dunasteuÒmenai και της πυθαγόρειας τετρακτύος δεν προκύπτει από αρχαία

κείµενα.

Αντιθέτως, υπάρχουν χωρία που συσχετίζουν τις λέξεις αυτές µε το πυθαγόρειο

τρίγωνο 3-4-5 αφ’ενός και µε αριθµούς όµοιους ή ανόµοιους40 αφ’ετέρου.

Ερµηνεύει λανθασµένα τη λέξη «¢post£seij» ως διαστήµατα (intervales),

όπως και ο Adam, ενώ από το χωρίο d 4-5 του Τίµαιου, ο Πλάτων µας λέει ότι:

«dišseisan, éste t¦j toà diplas…ou kaˆ triplas…ou tre‹j ˜katšraj

¢post£seij», διασαφηνίζοντας πλήρως ότι µε τη λέξη αυτή εννοεί τις αποστάσεις

ανάµεσα σε αριθµούς µε την έννοια που έχει η λέξη και σήµερα για εµάς (στο

συγκεκριµένο χωρίο εννοιεί αποστάσεις ανάµεσα στους αριθµούς 1, 3, 9, 27 αφ’ενός

και ανάµεσα στους αριθµούς 1, 2, 4, 8 αφ’ετέρου).

Ο Dupuis επίσης αποδίδει λανθασµένα στη λέξη «suzugeˆ j», έννοια

πρόσθεσης41.

Έτσι το νόηµα συνολικά για την πρόταση «™p…tritoj puqm¾ n pemp£di

suzugeˆ j» καταλήγει στο άθροισµα 34 + 5 =

319 , όµως πρόσθεση κλασµάτων δεν

υπήρχε στην αρχαιότητα! Επιπλέον υπάρχουν, όπως είδαµε στην κριτική µας της

ερµηνείας του Adam, αρκετά αρχαία κείµενα που βεβαιώνουν ότι η έκφραση αυτή

αναφέρεται στο ορθογώνιο τρίγωνο µε πλευρές 3, 4 και 5.

Η ερµηνεία που δίνεται από τον Dupuis, στην έκφραση «trˆ j aÙxhqe…j»,

καµµία σχέση δεν έχει µε την αρχαία ελληνική σκέψη, αφού υπάρχουν χωρία42 του

ίδιου του Πλάτωνα που εξασφαλίζουν ότι η εν λόγω έκφραση σηµαίνει «ύψωση στην

τρίτη δύναµη», δηλαδή µετατροπή ενός αριθµού σε στερεό αριθµό (π.χ: trˆ j

hÙxhmšnouj kaˆ tÍ stere fÚsei Ðmo…ouj).

40 Βλέπε στη σελ.82-84 και της παρούσης εργασίας 41 Βλέπε την κριτική µας στην αρµηνεία του Adam, στη σελ. 30-31 της παρούσης εργασίας. 42 Βλέπε την κριτική µας στην αρµηνεία του Adam, στη σελ. 31 της παρούσης εργασίας.

131-132

59

Η πρώτη αρµονία είναι πράγµατι ο αριθµός 10000, η δεύτερη όµως στην

οποία καταλήγει ο Dupuis είναι λάθος, αφού ανεξήγητα πολλαπλασιάζει τον αριθµό

75 µε τον 1002 αντί µε τον 100, µη ερµηνεύοντας σωστά το συγκεκριµένο τµήµα του

χωρίου.

Ο Πλάτων, στο χωρίο του γεωµετρικού αριθµού, σχηµατίζει τον αριθµό 48 µε

δύο τρόπους, 48 = 49-1 και 48 = 50-2.

Κατά την άποψη του Dupuis, ο Πλάτων το κάνει αυτό, όχι επειδή θέλει να είναι

αφηρηµένος, αλλά επειδή θέλει να εισάγει τον αριθµό 7 ανάµεσα στα στοιχεία του

γεωµετρικού αριθµού και αυτό γιατί ο 7 συµβολίζει τους επτά πλανήτες (Il ne faudrait

pas croire que Platon, en indiquant deux modes de formation du nombre 4800, ait

voulu être obscur. Il donne le premier mode 100 fois (49-1), alors que le second 100

fois (50-2) eût suffit, afin de faire figurer le nombre 7 parmi les éléments du nombre

geometrique qui ne le comprend pas comme facteur, puisque’on a 76 myriades= 4 X

19 X 10000….C’est le nombre des sept planètes, considerées commes dieux, que

naquit la superstition des nations pour le septenaire. Voilà pourquoi Platon se croit

obligé de faire entrer ce nombre sacro-saint dans la formation du nombre

geometrique, Dupuis, p. 384)

60

1.8 Τα «τρωτά» σηµεία όλων των παραπάνω ερµηνειών.

Ο Πλάτων στο χωρίο του γεωµετρικού αριθµού, αναφέρεται στην σύζευξη του

αριθµού 5 µε τον επίτριτο πυθµένα, η οποία οδηγεί στην πρώτη (κρείττονα) από τις

δύο αρµονίες που είναι ο αριθµός 10.000 = 1002 και άρα σε περιοδικότητα. Επίσης,

στην περιγραφή της δεύτερης (χείρονος) αρµονίας, ο «κακός» αριθµός 48 εξάγεται µε

διττό τρόπο:

• Από το τετράγωνο της ρητής διαµέτρου του 5 αφαιρώντας µία µονάδα, ή

• Από το τετράγωνο της άρρητης διαµέτρου αφαιρώντας δύο µονάδες.

Αυτά τα βασικά σηµεία του γεωµετρικού αριθµού του Πλάτωνος, µένουν

αναπάντητα τόσο από την ερµηνεία του Adam όσο και από όλες τις άλλες.

Μία ικανοποιητική ερµηνεία θα έπρεπε οπωσδήποτε να απαντάει σε αυτά

ακριβώς τα θεµελιώδη ερωτήµατα του γεωµετρικού αριθµού.

Θα έπρεπε δηλαδή, να δίνεται ερµηνεία του πως ακριβώς επιτυγχάνεται

περιοδικότητα από τη σύζευξη του αριθµού 5 µε τον επίτριτο πυθµένα.

Η έκφραση του Πλάτωνα «™p…tritoj puqm¾ n pemp£di suzugeˆ j» σχετίζεται

µε το ορθογώνιο τρίγωνο µε πλευρές 3, 4 και 5. Πως εποµένως οδηγούµαστε σε

περιοδικότητα µέσα από το τρίγωνο αυτό;

Επίσης θα έπρεπε να δίνεται εξήγηση, µέσω των πλευρικών –διαµετρικών

αριθµών, για την «κακή φύση» του αριθµού 48. Ο αριθµός 50 εκφράζει την ακριβή

τιµή της διαµέτρου τετραγώνου πλευράς 5, ενώ ο αριθµός 49 = 7, είναι µία ρητή

προσέγγισή της. Ο αριθµός 48 είναι τρόπον τινά «κακός» αριθµός αφού υστερεί και

από την πραγµατική τιµή της διαµέτρου κατά δύο µονάδες, αλλά και από την

προσσέγγισή της κατά µια µονάδα.

Ο Πλάτων έχει περιγράψει µέσα στο έργο του δύο τρόπους γνώσης των όντων

του. Ο ένας σχετίζεται µε την απόλυτη γνώση του όντος η οποία επιτυγχάνεται µε την

ισχύ του κριτηρίου του λόγου, ενώ ο άλλος είναι οι προσεγγίσεις. Οι προσεγγίσεις

έχουν να κάνουν µε τη γνώση στα «αισθητά-ένυλα», στα οποία η απόλυτη γνώση δεν

είναι πάντα εφικτή. Η προσέγγιση της διαµέτρου τετραγώνου µέσω των πλευρικών

και διαµετρικών αριθµών είναι µέθοδος που είχε αναπτυχθεί από τους Πυθαγόρειους.

Η εξαγωγή του αριθµού 48 µε διττό τρόπο, δεν δίνεται εποµένως από τον

Πλάτωνα χάριν «ποικιλίας», όπως ισχυρίζονται κάποιοι ερµηνευτές ή επειδή ο

61

Πλάτων είχε διάθεση να… «αστειευθεί» όπως ισχυρίζονται άλλοι. Ο στόχος του

Πλάτωνα είναι να καταδείξει ότι η οι πλευρικοί και διαµετρικοί αριθµοί είναι ο

τελευταίος τρόπος γνώσης-προσέγγισης ενός όντος.

O Πλάτων στην Πολιτεία (και µάλιστα πριν από το χωρίο του γεωµετρικού αριθµού)

αναφέρεται άλλες δύο φορές στο τετράγωνο και τη διάµετρό του, µε τον εξής τρόπο:

510 d7-8: «toà tetragènou aÙtoà ›neka toÝj lÒgouj poioÚmenoi kaˆ diamštrou

aÙtÁj» και λίγο πιο κάτω στο

527 a8-9: «poioÚmenoi lšgousin tetragwn…zein te kaˆ parate…nein kaˆ

prostiqšnai kaˆ p£nta oÛtw fqeggÒmenoi»

Στο µεν πρώτο χωρίο, όπως θα δούµε στην συνέχεια, αναφέρεται ο Πλάτων στην

ανθυφαίρεση διαµέτρου-πλευράς τετραγώνου, ενώ στο δεύτερο κάνει ευθεία

αναφορά στην πρόταση ΙΙ. 10 των «Στοιχείων» του Ευκλείδη (qeèrhma glafurÕ n

perˆ tîn diamštrwn kaˆ pleurîn, αποκαλεί την πρόταση αυτή ο Πρόκλος στα

σχόλιά του εις Πολιτείαν 2,27,12-13. Η πρόταση µάλιστα αυτή των

Στοιχείων»,αποτελεί το επαγωγικό βήµα στην απόδειξη της θεµελιώδους ιδιότητας

των πλευρικών και διαµετρικών αριθµών.

Η επόµενη αναφορά του Πλάτωνα στο τετράγωνο και τη διάµετρό του, είναι

στο χωρίο 546 c του γεωµετρικού αριθµού.

Είναι αξιοσηµείωτο εποµένως, ότι µαθηµατικές αναφορές του Πλάτωνος και

µάλιστα στην ίδια την «Πολιτεία», σχετικά µε την ανθυφαίρεση διαµέτρου-πλευράς

τετραγώνου αλλά και µε τους πλευρικούς και διαµετρικούς αριθµούς δεν

λαµβάνονται καθόλου υπόψιν από τους ερµηνευτές του Πλάτωνος, οι οποίοι στην

προσπάθειά του να ερµηνεύσουν το χωρίο του γεωµετρικού αριθµού, αναζητούν

στηρίγµατα, σε πράγµατα άσχετα µε την Πλατωνική φιλοσοφία και τα µαθηµατικά µε

τα οποία αυτή είναι διαποτισµένη (π.χ κύκλος του Μέτωνος κ.λπ).

Η ορθή γωνία του ισοσκελούς ορθογωνίου, είναι η ιδεώδης γωνία και

περιγράφεται µέσα από την ανθυφαίρεση διαµέτρου προς πλευρά τετραγώνου,

δηλαδή από την Ανθ( 2 ,1) = [1, 2 ]. Η εν λόγω ορθή γωνία σχετίζεται εποµένως µε

το πέρας µιάς περιοδικής ανθυφαίρεσης.

Η ορθή γωνία στην οποία αναφέρεται ο Πλάτων στον γεωµετρικό του αριθµό

είναι αυτή του πυθαγόρειου τριγώνου 3-4-5. Ένα ερώτηµα εποµένως είναι αν και

αυτή η γωνία σχετίζεται µε το πέρας- περιοδικότητα και µε ποιο τρόπο.

62

Στο χωρίο του γεωµετρικού αριθµού ο Πλάτων αναφέρεται και στην αναλογία µε την

έκφραση «p£nta pros»gora kaˆ ·ht¦ prÕ j ¥llhla ¢pšfhnan».

Παρά το σηµαντικό ρόλο που έχει η έννοια της αναλογίας στο πλατωνικό

έργο (στους Νόµους για παράδειγµα ονοµάζεται ∆ιός κρίσις, ενώ στον Τίµαιο 31c1-

3, η αναλογία χαρακτηρίζεται ως ο κάλλιστος των δεσµών από τον Πλάτωνα), οι

διάφορες ερµηνείες του γεωµετρικού αριθµού ελάχιστη έως µηδενική σηµασία δίνουν

στην θεµελιώδη αυτή έννοια των µαθηµατικών.

O αριθµός 48 συσχετίζεται από τον Πλάτωνα µε την ορθή γωνία του τριγώνου

3-4-5 τριγώνου καθώς και µε τους πλευρικούς και διαµετρικούς αριθµούς. Με άλλα

λόγια, η συσχέτιση αυτή δείχνει ότι ο Πλάτων, για κάποιο λόγο συσχέτιζε την γωνία

του ορθογωνίου ισοσκελούς τριγώνου µε αυτήν του τριγώνου 3-4-5. Στο κεφάλαιο 4,

της παρούσης εργασίας, όπου θα δώσουµε τη δική µας ερµηνεία για τον «γεωµετρικό

αριθµό», θα εξηγήσουµε ποια ακριβώς είναι η σχέση των δύο αυτών ορθών γωνιών,

κατά την Πλατωνική φιλοσοφία. Η σύνδεση των δύο αυτών ειδών ορθών γωνιών,

µέσω του αριθµού 48 από τον Πλάτωνα, αυτή δεν τυγχάνει καµµίας προσοχής από

τους µελετητές των οποίων έχουµε εκθέσει και απορρίψει τις ερµηνείες.

Οι προαναφερθείσες ερµηνείες του γεωµετρικού αριθµού του Πλάτωνος αφήνουν

ανέγγιχτα τα θεµελιώδη αυτά σηµεία που προετέθησαν και τα οποία έχουν άµεση

σχέση µε την Πλατωνική φιλοσοφία.

Η προµήκης αρµονία που περιγράφεται από τον Πλάτωνα στο χωρίο αυτό της

«Πολιτείας», δεν µπορεί να είναι ο αριθµός 4800Χ2700, αφού όπως δηλώνεται

σαφώς στον Θεαίτητο 147e9-a4, προµήκης αριθµός είναι «p© j Ö j ¢dÚ natoj ‡soj

„s£kij genšsqai». Εποµένως ο αριθµός 4800Χ2700 λόγω του ότι ισούται µε τον

36002, δεν θεωρείται από τον Πλάτωνα ως προµήκης. ∆εν πληρεί συνεπώς ο

αριθµός αυτός το κριτήριο που ο ίδιος ο Πλάτων έθεσε στον «Θεαίτητο», ώστε

να αποτελεί την προµήκη αρµονία της «Πολιτείας»

Ο Sir Thomas Heath, στη σελίδα 536 του έργου του “A History of Greek

Mathematics”, αναφερόµενος στα σχόλια του Πρόκλου εις Πολιτείαν, τα σχετικά µε

τον «γεωµετρικό αριθµό», τα βρίσκει απογοητευτικά (defective and disapointing).

Εξαίρεση αποτελούν, κατά την άποψη πάντα του Heath, τα σχόλια του Πρόκλου που

αναφέρονται στους πλευρικούς και διαµετρικούς αριθµούς (παράγραφοι ΚΓ και ΚΖ

των σχολίων του Πρόκλου εις Πολιτείαν) καθώς και τα σχήµατα του Πατέριου.

Κατά την άποψή µας τα σχόλια του Πρόκλου είναι πολύ σηµαντικά και συµβάλλουν

στην σωστή ερµηνεία του γεωµετρικού αριθµού.

63

Κεφάλαιο 2

Ερµηνεία του «γεωµετρικού αριθµού» του Πλάτωνος, από τον

Πρόκλο.

2.1 Εισαγωγή.

Ο Πρόκλος υπήρξε µαθηµατικός και φιλόσοφος, συνδυάζοντας έτσι δύο

κρίσιµες, για την κατανόηση της πλατωνικής φιλοσοφίας, ιδιότητες. Άλλωστε, όπως

είχε πολύ σωστά σχολιάσει και ο Russell, το πρόβληµα µε τους µελετητές-

ερµηνευτές του Πλάτωνος, υπήρξε ανέκαθεν το ότι δεν διέθεταν την µαθηµατική

ιδιότητα. Η αδυναµία τους λοιπόν να καταλάβουν τον ουσιαστικό ρόλο των

µαθηµατικών µέσα στα έργα του Πλάτωνος, οδηγούσε πολλές φορές σε

αναπόφευκτες παρερµηνείες. Ο Πρόκλος, όντας µαθηµατικός, κατενόησε σε βάθος

την πλατωνική φιλοσοφία και αξιοποίησε σε ικανοποιητικό βαθµό τα

«καταπυκνωµένα µε µαθηµατικούς λόγους συγγράµµατα» του Πλάτωνος.

Πρέπει να πούµε στο σηµείο αυτό, ότι τα σχόλια του Πρόκλου κινούνται προς

τη σωστή κατεύθυνση, αν και από µόνα τους δεν αρκούν για µια ικανοποιητική

ερµηνεία του «γεωµετρικού αριθµού» του Πλάτωνος. Αρνητικό γεγονός αποτελεί το

ότι αρκετά µεγάλα τµήµατα των σχολίων του Πρόκλου, κυρίως στην «Πολιτεία» και

µάλιστα σε κρίσιµα σηµεία, δεν έχουν σωθεί, µε αποτέλεσµα να δυσχεραίνεται η όλη

προσπάθεια.

Για ευκολία παραθέτουµε στη συνέχεια και πάλι το χωρίο του γεωµετρικού αριθµού.

Πολλά από τα αρχαία χωρία, δίνονται σε µορφή πίνακα. Ο τρόπος αυτός επινοήθηκε

από τον Καθηγητή κ. Στ. Νεγρεπόντη και βοηθά τα µέγιστα στην ανάλυση και

κατανόηση των χωρίων.

64

Πολιτεία, 546 b3-c7: « œsti d qe…J mn gennhtù

per…odoj ¿n ¢riqmÕ j perilamb£nei tšleioj, ¢nqrwpe…J d

™n ú prètJ aÙx»seij dun£mena… te kaˆ dunasteuÒmenai, tre‹j

¢post£seij, tšttaraj d Ó rouj laboàsai ÐmoioÚntwn te kaˆ

¢nomoioÚntwn kaˆ aÙxÒntwn kaˆ fqinÒntwn,




t¾n mn ‡shn „s£ki j , ˜katÕ n tosaut£kij,

t¾n d „som»kh mn tÍ, prom»kh dš,

katÕn mn ¢r iqmîn ¢pÕ diamštrwn ·ht în pemp£doj ,

deomšnwn ˜nÕ j ˜k£stwn, ¢rr»twn d duo‹n,

katÕn d kÚbwn tri£doj . sÚmpaj d oátoj ¢r iqmÕj gew-

metrikÒj»

Ξεκινώντας, και µε βάση τα σχόλια του Πρόκλου εις Πολιτείαν, θα αναλύσουµε τις

έννοιες των:

• Qe‹on genhtÕ n

• tšleioj ¢riqmÒj και

• ¢nqrèpeion genhtÒn.

2.2 Η έννοια του « Qe‹on genhtÕ n »

Κατά τον Πρόκλο, ο Πλάτων µε την έκφραση «Qe‹on genhtÕ n» εννοεί :

« p© n tÕ ¢eik…nhton kaˆ periferÒmenon e‡te ™n oÙranù e‡q' ØpÕ sel»nhn,

æj mn swmatikÕ n genhtÕ n kaloÚmenon (oÙdn g¦r sîma aÙqupÒstaton),

æj d ¢eik…nhton qe‹on43».

Ο Πλάτων στο διάλογο «Φαίδρος» αναφερόµενος στην αθανασία της ψυχής ως

περιοδικώς κινουµένης, µας λέει:

«Yuc¾ p© sa ¢q£natoj. tÕ g¦r ¢eik…nhton ¢q£naton44»

43 Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,14, 10-13

65

Το ¢eik…nhton συσχετίζεται, και από τον Πρόκλο, µε την περιοδικότητα ως εξής:

«¢pÕ tîn aÙtîn ¥ra ™pˆ t¦ aÙt¦ p£lin ¼ xei tÕ ¢eˆ kinoÚ menon, éste poiÁ sai

per…odon45»

Είναι εποµένως Qe‹on ως ¢eik…nhton και άρα περιοδικώς κινούµενο,

και genhtÕ n ως swmatikÕ n.

Στο 2,24,12 των σχολίων του εις Πολιτείαν, ο Πρόκλος αναφερόµενος στην

περίοδο του θείου γενητού σχολιάζει:

«nàn d tÕ pšraj aÙtîn ¢rc¾ ¥l l hj g…netai periÒdou· kaˆ ¹

sunapokat£stasij, oÙk oâsa st£sij ¢ll' ¢fethr…a tÁ j ˜xÁ j periÒdou, thre‹

t¾ n kosmik¾ n t£xin».

Μια σηµαντική παρατήρηση που κάνει ο Πρόκλος στα σχόλιά του εις

Πολιτείαν , είναι ότι ο Πλάτων δεν χρησιµοποίησε άρθρο πριν από τη λέξη Qe‹on,

δεν είπε δηλαδή «το Qe‹on genhtÕ n», εννοώντας µε αυτόν τον τρόπο κάθε Qe‹on

genhtÕ n και όχι κάποιο συγκεκριµένο από αυτά.

Αποκλείεται άλλωστε, κατά την άποψη του Πρόκλου, ο Πλάτων να

αντιπαρέβαλε το ανθρώπειον γενητόν προς ένα µόνο θείον γενητόν, αφού ο άνθρωπος

δεν είναι διαφορετικός µε ένα µόνο από τα θεία αλλά µε όλα. Επιπλέον ο άνθρωπος:

«per…odon œ cei ditt»n, ¢meinÒnwn kaˆ ceirÒnwn genšsewn, ¿n mhdn œcei qe‹on

genhtÒn, ¢ll' oÙcˆ ›n ti mÒnon. pantÕ j ¥ra lšgei qe…ou genhtoà kaˆ oÙcˆ

tinÒj, Ó tan lšgV· qe…J mn oân genhtù per…odÒj ™st in, ¿n ¢riqmÕ j

πerilamb£nei tšleioj [p. 546b]46»

Ο Πλάτων εποµένως εννοεί ότι η περίοδος pantÕ j qe…ou genhtoà περιλαµβάνεται σε

τέλειο αριθµό.

Τα «γενητά όντα» διακρίνονται σε αεικίνητα και «όχι αεικίνητα». Από αυτά τα

αεικίνητα ο Πλάτων τα κάλεσε Θεία.

Το ανθρωπείο γενητό το αντιδιαστέλλει µε εκείνα:

«oÙkšt i m…an œcon zw¾n kaˆ ¢r iqmù t¾n aÙt¾n oÙd ¢par£l l akton t¾n

per…odon».

Οι περίοδοι όλων των θείων γενητών περιλαµβάνονται σε ένα τέλειο αριθµό.

Ο αριθµός αυτός είναι ένας για όλα τα θεία γενητά και αποκαταστατικός όλων.

44 Φαίδρος 245 c5 45 Πρόκλος Θεολογική Στοιχείωσις 198,10-11 46 Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,14,21-26

66

2.3 Ο tšleioj ¢riqmÒj του «Τίµαιου» Σε τέλειο αριθµό αναφέρεται ο Πλάτων και στον διάλογο «Τίµαιος» και

συγκεκριµένα στο χωρίο 39 c1 – d7, σχετικά µε την δηµιουργία των πλανητών ως

µέτρων του χρόνου:

«nÝx mn oân ¹mšra te gšgonen oÛtwj kaˆ di ¦ taàta, ¹ tÁj mi© j kaˆ

fronimwt£thj kukl»sewj per…odoj· meˆ j d ™peid¦n sel»nh perielqoàsa tÕn

˜autÁj kÚklon ¼ lion ™pikatal£bV, ™niautÕ j d ÐpÒtan ¼ lioj tÕ n ˜autoà

perišlqV kÚklon. tîn d' ¥llwn t¦j periÒdouj oÙk ™nnenohkÒtej ¥nqrwpoi,

pl¾ n Ñl…goi tîn pollîn, oÜ te Ñnom£zousin oÜ te prÕ j ¥llhla summetroàntai

skopoàntej ¢riqmo‹j, éste æj œ poj e„pe‹n oÙk ‡sasin crÒnon Ô nta t¦j toÚtwn

pl£naj, pl »qeimn ¢mhc£nJ crwmšnaj, pepoiki l mšnaj d qaumastîj· œ stin

d' Ómwj oÙdn Âtton katanoÁsai dunatÕ n æj Ó ge tšleoj ¢riqmÕ j crÒnou tÕ n

tšleon ™niautÕ n plhro‹ tÒte, Ó tan ¡pasîn tîn Ñktë periÒdwn t¦ prÕ j

¥llhla sumperanqšnta t£ch scÍ kefal¾ n tù toà taÙtoà kaˆ Ðmo…wj „Òntoj

¢nametrhqšnta kÚ klJ»

Οι οκτώ περίοδοι είναι οι χρόνοι για µία πλήρη αποκατάσταση των:

• Σελήνη

• Ήλιος

• Αφροδίτη

• Ερµής

• Άρης

• ∆ίας

• Κρόνος

• Απλανείς αστέρες

Ο µέγας ή τέλεος ενιαυτός είναι πιθανότατα το χρονικό διάστηµα που

µεσολαβεί ανάµεσα σε δύο διαδοχικές πανοµοιότυπες θέσεις των ουράνιων σωµάτων

στο στερέωµα47. Αν δηλαδή υποθέσουµε ότι οι επτά πλανήτες βρίσκονται σε µία

47 Kάλφας, Τίµαιος, σχόλιο 158, σελ.395.

67

νοητή ευθεία που λειτουργεί ως αφετηρία της κίνησής τους, ο τέλειος ενιαυτός είναι

το χρονικό διάστηµα που χρειάζεται µέχρι να ξαναβρεθούν στην ίδια ακριβώς θέση.

Σε άλλο σηµείο αυτής της εργασίας αναφέραµε ότι κατά την άποψη του Adam, ο

τέλειος ενιαυτός είναι µία περίοδος µήκους 36.000 χρόνων.

Ο Πρόκλος στα σχόλιά του εις Τίµαιον 39 d, περιγράφει αναλυτικά πως,

έχοντας κάποιους αποκαταστατικούς χρόνους –οι οποίοι µπορεί να είναι πρώτοι ή µη

πρώτοι αριθµοί µεταξύ τους- βρίσκουµε

« tÕ n ›na ¢riqmÒn, kaq' Ö n metre‹tai p© sa k…nhsij, Øf' oá perišcetai p£nta t¦

¥lla mštra48» (µε σύγχρονη διατύπωση το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των

αριθµών)

και λίγο πιο κάτω στο 3, 92, 10 µιλώντας πάντα γι’αυτόν τον τέλειο αριθµό:

«kaˆ toàton proŽ Ònta te e„j tšl oj kaˆ ¢nak£mptonta ™p' ¢rc¾ n kaˆ e„j

˜autÕ n sunneÚonta kaˆ di¦ toàto kaˆ t¾ n metroumšnhn k…nhsin poioànta

kuklik»n»

Aυτός ο τέλειος αριθµός, περιγράφεται λοιπόν σαφέστατα από τον Πρόκλο ως ένας

περιοδικός αριθµός.

Τέλος, στο 3, 92, 14, ο Πρόκλος διασαφηνίζει πλήρως µε ποια έννοια ο αριθµός

αυτός αποκαλείται «tšleioj»:

«oÛtw kaˆ Ð crÒnoj metre‹ t¾ n Ó lhn k…nhsin kaˆ

tÕ tšloj aÙtÁ j ™pistršfei prÕ j t¾ n ¢rc» n. diÕ kaˆ Ð ¢riqmÕ j ™ponom£zetai kaˆ tšleioj·

¢riqmÕ j g¦r kaˆ Ð m¾ n kaˆ Ð ™niautÒj, ¢ll' oÙ tšleioj· mÒria g£r ™stin ¥llwn· Ð d tÁ j toà pantÕj periÒdou crÒnoj tšl eioj, Ó ti mÒriÒn ™stin oÙdenÒj, ¢ll' Ó loj, †na mimÁ tai tÕ n a„îna»

48 Πρόκλος εις Τίµαιον 3,91,12-14

68

2.4 Ð tšleioj ¢riqmÒj της «Πολιτείας» Σχετικά µε τον τέλειο αυτό αριθµό, ο Πρόκλος στο 2, 16, 14 των σχολίων του εις

Πολιτείαν διευκρινίζει:

« oÙk ¥ra de‹ zhte‹n, t…j Ð tšleioj ¢riqmÒj, e„j muri£daj ¢poblšpontaj tÒsaj

kaˆ tÒsaj. oÙd g¦r dunatÕ n ™pˆ toà pantÕj eØre‹n toàton, Óti mhd p£ntwn

tîn kinoumšnwn dunatÕ n t¦j periÒdouj eØre‹n »

Αυτός ο τέλειος και αποκαταστατικός του παντός αριθµός :

«™k toÚtwn ¢n£gkh metre‹sqai p£ntwn· pollù ¥ra m© llon ™ke‹non

¢dÚnaton eØre‹n» (2, 17, 3-5)

Είναι αδύνατον εποµένως να βρούµε τις περιόδους όλων των κινουµένων και

αυτό γιατί καθ’ένα από αυτά κινείται και γύρω από τον άξονά του. Ακόµη όµως και

αν µπορούσαµε να βρούµε τις περιόδους όλων των ορατών σε εµάς όντων,

« po‹oj noàj p£ntwn tîn daimon…wn kinhm£twn À tîn ¥llwn eáren ¨n toÝj

periodikoÝj ¢riqmoÚj; (2, 17, 1-2).

Αναφέρει στη συνέχεια ο Πρόκλος στο χωρίο 2,17,3, ότι ακόµη και αυτοί που

προσπάθησαν να βρούν τον τέλειο αριθµό µε βάση τις περιόδους µόνο των επτά

πλανητών, απέτυχαν. Ούτε βέβαια Ð a„èn, Ó j ™stin toà crÒnou pat»r, µπορεί να

είναι ο ζητούµενος αριθµός, διότι :

(2,17,11-15)

P er išcei mn g¦r kaˆ ™ke‹noj,

¢ll' oÙ t¾ n toà qe…ou genhtoà per…odon

¢ll',éj fhsin 'Aristotšlhj,

AÙtÕ n tÕ n ¥peiron crÒnon.

kaˆ œ ti oÙd ¢r iqmÕj

Ð a„èn, ¢ll¦ prÕ ¢riqmoà

pantÒj, ™n ˜nˆ mšnwn,éj fhsin Ð

T…maioj [p. 37d]

69

Το χωρίο του «Τίµαιου» στο οποίο αναφέρεται ο Πρόκλος είναι το ακόλουθο: «kaq£per oân aÙtÕ tugc£nei zùon ¢…dion Ô n, kaˆ tÒde tÕ p© n oÛtwj e„j

dÚnamin ™pece…rhse toioàton ¢potele‹n. ¹ mn oân toà zóou f Ús i j ™tÚgcanen

oâsa a„ènioj, kaˆ toàto mn d¾ tù gennhtù pantelîj pros£ptein oÙk Ã n

dunatÒn· e„kë d' ™penÒei kinhtÒn tina a„înoj poiÁ sai, kaˆ diakosmîn ¤ma

oÙranÕ n poie‹ mšnontoj a„înoj ™n ˜nˆ kat' ¢riqmÕ n „oàsan a„ènion e„kÒna,

toàton Ö n d¾ crÒnon çnom£kamen.49»

Στο χωρίο αυτό, ο Πλάτων δίνει τον ορισµό του χρόνου ως κινητής εικόνας του

ακινήτου- ™n ˜nˆ mšnontoj- a„înoj.

Tεκµηριώνοντας, περαιτέρω, ο Πρόκλος την άποψη ότι tšleioj ¢riqmÒj που

περιγράφει ο Πλάτων στο χωρίο αυτό της Πολιτείας, δεν µπορεί να είναι ο Ð a„èn,

αναφέρεται στο χωρίο 38 a του Τίµαιου:

«tÕ d Ãn tÒ t' œ stai perˆ t¾ n ™n crÒnJ gšnesin „oàsan pršpei lšgesqai–

kin»seij g£r ™ston, tÕ d ¢eˆ kat¦ taÙt¦ œ con ¢kin» twj oÜ te presbÚ teron

oÜ te neèteron pros»kei g…gnesqai di ¦ crÒnou oÙd genšsqai pot oÙd

gegonšnai nàn oÙd' e„j aâqij œ sesqai, tÕ par£pan te oÙdn Ó sa gšnesij to‹j

™n a„sq»sei feromšnoij prosÁyen,¢ll¦ crÒnou taàta a„îna mimoumšnou kaˆ

kat' ¢riqmÕ n kukloumšnou gšgonen e‡dh–kaˆ prÕ j toÚtoij œ ti t¦ toi£de»

Τα σχόλια του Πρόκλου σε σχέση µε το χωρίο αυτό του Τίµαιου έχουν ως εξής:

Πρόκλος εις Πολιτείαν, 2,17,17-2,18,6

¢ll' ™peˆ kat' ¢riqmÕ n

Ð crÒnoj Ð ™mfan¾ j kukle‹tai

éj fhsin Ð T…maioj [p.38a],

e‡h ¨n prÕ toÚtou Ð kuklîn ¢riqmÒj,

¢pokatastatikÕ j ín tÁj periÒdou p£shj.

kaˆ e„ mn k¢ke‹noj ™n genšsei e‡h,

p£lin œ stai kat' ¢riqmÕ n ¥llon kaˆ e„j

49 Τίµαιος 37 d

70

¥peiron e„ d ¢r iqmÕj mÒnon ¢eˆ

ín a‡tioj toà kat' ¢riqmÕ n kukloumšnou crÒnou, ¢riqmÕ j ín

aÙtÕ j noerÕ j kaˆ oÛ tw crÒnoj æj corÒnouj tij

ên, toà coreÚein a‡tioj tù

kÒsmJ (tÁj kat¦ kÚklon ¢pokatast£- sewj core…aj

leg[omšnhj]) .. ™n tù ˜bdÒmJ tÁj Polite…aj [p. 529d] ..... Swkr£thj

¢lhqinÕ n ¢riqmÕ n p[ro- seipë]n ™n aÙtù fhsin

enai tÕ aÙtot£coj kaˆ t¾ n aÙtobradutÁta, kaˆ crÁ nai tÕ n æj ¢lhqîj ¢stronomikÕ n ™ke‹non Ðr© n ¢ntˆ tîn ™mfanîn

oÙran…wn cronikîn mštrwn, perˆ

§ diatr…bousin oƒ polloˆ tîn t¦ oÙr£nia

frontistîn.

Και λίγο πιο κάτω:

kaˆ e„ prosenno»saimen, Ó ti

À Ð met' oÙranoà gegonèj ™sti crÒnoj

À prÕ ™ke…nou tij,

Ð d met' oÙranoà gegonëj genhtÒj,

oátoj d ¢lhqinÕ j ¢riqmÕ j Øp' aÙtoà

lšgetai

dÁlon æj ¢nagk£somen ™ke…nou proest£nai toà kat'

¢riqmÕ n „Òntoj tÕ n aÙtoariqmÒn, toà genhtoà tÕ n ¢lhqinÒn.

qeÕ j oân ™stin ØperkÒsmioj Ð

crÒnoj ™ke‹noj, oÛ twj ¢riqmÕ j æj

71

¢riqmîn p£saj periÒdouj tîn ™n tù kÒsmJ zèntwn, kaˆ ¢pokaqist¦j p£nta

kat¦ t¦ ˜autù sÚmfuta mštra. kaˆ

oátoj mn eŒj tšl eioj kaˆ ¢lhqinÕ j ¢riqmÒj·

Το συµπέρασµα που προκύπτει από τα σχόλια αυτά του Πρόκλου στα

αντίστοιχα χωρία του Πλάτωνα, είναι ότι ο χρόνος που γενήθηκε µαζί µε τον ουρανό

( µέτρα του οποίου είναι η ηµέρα, ο µήνας, το έτος) είναι γενητός. Πρίν από αυτόν,

υπάρχει κάποιος άλλος «αριθµός» – ο κυκλών αριθµός-ο οποίος περιέχει όλες τις

περιόδους και για τον οποίο sunag£goimen ¨n ™x ¢n£gkhj tÕ n ¢riqmÕ n ™ke‹non

crÒnon enai·

Ο «αριθµός» αυτός αναφέρεται από τον Σωκράτη στο έβδοµο βιβλίο της

Πολιτείας ως «¢lhqinÕ j ¢riqmÒj», και είναι αυτός ο αριθµός µε τον οποίο θα έπρεπε

να ασχολούνται οι αστρονόµοι, αντί να ασχολούνται µε τα εµφανή χρονικά µέτρα.

Αυτός ο αριθµός ο αληθινός είναι ένας τέλειος και αληθινός αριθµός.

Άλλα σχόλια του Πρόκλου εις Πολιτείαν, για τον τέλειο αριθµό έχουν ως εξής:

«nàn d Ð pantÕ j qe…ou genhtoà tÁj sump£shj zwÁj ¢r iqmÕj eŒ j kaˆ polÝj

ên50, æj kaˆ toà Ó lou kÒsmou koinÕ j kaˆ ˜k£stou tîn qe…wn genhtîn ‡dioj,

tšl eioj mn ¤ma legšsqw kaˆ ¢lhqinÒj, <¢lhqinÕ j> mn æj noerÒj, tšleioj

d æj telesiourgÒj· Ö j kaˆ dÁlon Ó ti kaˆ prÕ p£shj yucÁj ™stin, e‡per kaˆ

yuc¾ p© sa kat¦ crÒnon ™nerge‹ ka…, æj ™n Fa…drJ lšgei [p. 247de], di¦ crÒnou qe© tai p© n Ó per n qe© tai. noàj ¥ra t…j ™stin qe‹oj, e‡per kaˆ tÕ kat' aÙtÕ n kinoÚ menon qe‹Òn ™sti genhtÒn51»

Το χωρίο του Φαίδρου στο οποίο αναφέρεται ο Πρόκλος είναι το ακόλουθο:

50 Σχετικά µε την έκφραση: «eŒ j kaˆ polÝj ên»,βλέπε Πρόκλος εις Ευκλείδην, 54,5: «kaˆ di ¦ toàto Ð mn ™n diano…v kÚkloj eŒ j kaˆ ¡ploàj ™sti kaˆ ¢di£statoj kaˆ aÙtÕ tÕ mšgeqoj ¢mšgeqej ™ke‹–lÒgoi g¦r ¥neu Û lhj t¦ toiaàta kaˆ tÕ scÁma ¢schm£tiston –Ð d' ™n fantas…v meristÕ j ™schmatismšnoj di£statoj, oÙc eŒ j mÒnon, ¢ll' eŒ j kaˆ polÚ j, kaˆ oÙk edoj mÒnon, ¢l l ¦ katatetagmšnon edoj, Ð d' ™n to‹j a„sqhto‹j kaˆ tÁj ¢kribe…aj Û fesin œ cwn kaˆ ¢n£plewj tÁj eÙqe…aj kaˆ tÁ j kaqarÒthtoj tîn ¢älwn ¢poleipÒmenoj. 51 Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,19,9-17

72

« ¤t' oân qeoà di£noia nù te kaˆ ™pist»mV ¢khr£tJ trefomšnh, kaˆ ¡p£shj

yucÁj Ó sV ¨n mšlV tÕ prosÁkon dšxasqai, „doàsa di¦ crÒnou tÕ × n ¢gap te

kaˆ qewroàsa t¢lhqÁ tršfetai kaˆ eÙpaqe‹, ›wj ¨n kÚ klJ ¹ perifor¦ e„j

aÙtÕ n perienšgkV. ™n d tÍ periÒdJ kaqor mn aÙt¾n dikaiosÚ nhn, kaqor´ d

swfrosÚ nhn, kaqor´ d ™pist» mhn, oÙc Î gšnesij prÒsestin, oÙd' ¼ ™st…n pou

˜tšra ™n ˜tšrJ oâsa ïn ¹me‹j nàn Ô ntwn kaloàmen, ¢ll¦ t¾ n ™n tù Ó ™stin × n

Ô ntwj ™pist»mhn oâsan· kaˆ t«lla æsaÚtwj t¦ Ô nta Ô ntwj qeasamšnh kaˆ

˜stiaqe‹sa, dàsa p£lin e„j tÕ e‡sw toà oÙranoà, o‡kade Ãlqen. ™l qoÚshj d

aÙtÁj Ð ¹n…ocoj prÕ j t¾ n f£tnhn toÝj †ppouj st»saj paršbalen ¢mbros…an te

kaˆ ™p' aÙtÍ nšktar ™pÒtisen52»

Λοιπόν, αυτός ο τέλειος και αληθινός αριθµός είναι ένας και χαρακτηριστικός

για όλα τα θεία γενητά. Ο Πρόκλος τοποθετεί τον τέλειο αριθµό «prÕ p£shj yucÁj»

«tšl eioj mn ¤ma legšsqw kaˆ ¢l hqinÒj ,

<¢lhqinÕ j> mn æj noerÒj,

tšl eioj d æj telesiourgÒj· Ö j kaˆ dÁlon Ó ti kaˆ prÕ p£shj yucÁj ™stin53»

Η πρόταση «›wj ¨n kÚ klJ ¹ perifor¦ e„j taÙtÕ n perienšgkV», παραπέµπει

στην περιοδικότητα της ψυχής.

Αυτός ο τέλειος αριθµός που περιλαµβάνει την περίοδο παντός θείου γενητού, δεν

πρέπει να θεωρείται ως κάποιος συγκεκριµένος αριθµός, αλλά ποιοτικά τέλειος:

«kaq£per oân tÕ n tîn qe…wn periÒdwn ¢riqmÕ n oÙcˆ plÁ qoj ™nnooàmen

(¢peri» ghton g¦r Ã n), ¢ll' ¢pÕ tÁ j poiÒthtoj tšleion aÙtÕ n ™lšgomen æj

telesiourgÒn54»

Η περίοδος κάθε θείου γενητού είναι διαφορετική:

Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,18,18:

«oátoj mn eŒj tšl eioj kaˆ ¢l hqinÕj ¢r iqmÒj · l oipÕn d ¥l l oj kaq' ›kaston

qe‹on genhtÒn, æj m¾ n ™pˆ sel» nhj kaˆ ™niautÕ j ™pˆ ¹l…ou, kaˆ ™pˆ p£ntwn

Ðmo…wj À ™mfanîn À ¢fanîn, qe…wn Ô ntwn genhtîn kaˆ ¢eˆ æsaÚtwj zèntwn»

Όµως, αυτός ο τέλειος αριθµός, περιλαµβάνει τις περιόδους όλων των θείων γενητών:

tÕ Ó lon kaˆ prîton mštron, ú perišcei t¦j tîn ¥llwn periÒdouj· ésper g¦r tîn swm£twn tîn qe…wn e„sˆ

52 Φαίδρος 247 d-e 53 Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,19,11 54 Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,21,9-11

73

per…odo… tinej ¥llai ¥llwn, p£saj d aÙt¦j

¹ toà qe…ou genhtoà per…odoj sune…lhfe55

Αυτό «tÕ Ó lon kaˆ prîton mštron»,

Ö ¢for…zei t¾ n toà qe…ou genhtoà per…odon, aÙtÕ j ín Ð ¢lhqinÕ j ¢riqmÒj,

¢pÕ d tîn ¢f anîn toÚ twn

nÒhson loipÕ n toÝj ™mfane‹j, o‰ kat¦ tÕ ¢riqme‹sqai proasin

¢p' ™ke…nwn ¢riqme‹n

toÚ touj56

Στη συνέχεια των παραπάνω σχολίων του ο Πρόκλος57 µας λέει:

« oÙ m¾ n ¢ll¦ kaˆ aÙtÕ j Pl£twn ™n NÒmoij [X 899 B] kškragen, Ó ti taàta

p£nta qeo… e„sin, ïrai kaˆ

™niautoˆ kaˆ

mÁ nej, ésper kaˆ t¦ ¥stra kaˆ

Ð ¼ lioj, kaˆ oÙdn ¹me‹j kainÕn e„s£gomen ¢xioàntej prÕ tîn ™mf anîn noe‹n t¦j

¢fane‹j dun£meij toÚ twn »

Προ των εµφανών χρονικών µέτρων (ïrai kaˆ ™niautoˆ kaˆ mÁnej),

υπάρχουν εποµένως τα αφανή (ο τέλειος και αληθινός, νοερός αριθµός που

περιλαµβάνει τις περιόδους όλων των θείων γενητών).

Όλα τα εµφανή χρονικά µέτρα, µετέχουν εποµένως αυτού του τέλειου και

αποκαταστατικού αριθµού.

Με βάση όλα τα προαναφερθέντα σχόλια του Πρόκλου, γίνεται σαφής η

έννοια του «τέλειου αριθµού» που περιγράφεται από τον Πλάτωνα στην «Πολιτεία».

55 Πρόκλος εις Τίµαιον, 2, 289,9 56 Πρόκλος εις Τίµαιον 3,89,6-9 57 Πρόκλος εις Τίµαιον, 3, 89,28

74

Ο τέλειος αυτός «αριθµός» δεν είναι λοιπόν κάποιος συγκεκριµένος αριθµός,

αλλά η ιδέα του τέλειου- περιοδικού αριθµού, ο οποίος προσδίδει την ιδιότητα της

περιοδικότητας σε όλα τα περιοδικά -αεικίνητα όντα (θεία γενητά).

Ταυτόχρονα ο αριθµός αυτός είναι και περιληπτικός-αποκαταστατικός των περιόδων

όλων των επί µέρους θείων γενητών.

Ο τέλειος αριθµός, που αναφέρεται από τον Πλάτωνα στο χωρίο 546 b-c της

Πολιτείας, δεν θεωρείται εποµένως από τον Πρόκλο, ως ένας αριθµός µε την

κλασσική έννοια του όρου, αλλά η Πλατωνική Ιδέα της περιοδικότητας, στην οποία

µετέχουν όλα τα θεία γενητά.

Πολλοί από τους µελετητές του Πλάτωνα που προσπάθησαν να

«αποκρυπτογραφήσουν» τον «γεωµετρικό αριθµό», ερµηνεύοντας µε λανθασµένο

τρόπο το χωρίο, καταλήγουν στο να βρούν και να αντιστοιχίσουν στην περίοδο του

θείου γενητού έναν συγκεκριµένο αριθµό (κατά τον Adam, για παράδειγµα, ο

αριθµός αυτός είναι ο 12.960.000, ενώ για τον Fiscino είναι ο αριθµός 1728).

75

2.5 Οι δύο «τέλειοι αριθµοί» είναι διαφορετικοί Ο Πλάτων όπως προείπαµε, αναφέρεται σε δύο τέλειους αριθµούς. Τον έναν αριθµό

τον περιγράφει στον «Τίµαιο» 39 d 2-7 και τον άλλο στην «Πολιτεία» 546 b-c.

Οι δύο αυτοί τέλειοι αριθµοί είναι όµως διαφορετικοί, όπως διευκρινίζει ο Πρόκλος:

Ó ti toàton tÕ n tšleion ¢riqmÕ n «™ke…nou toà ™n Polite…v [VIII

546 B] ·hqšntoj, Ö j t¾ n pantÕ j toà qe…ou genhtoà perilamb£nei

per…odon, o„htšon

diafšrein,

merikèteron Ô nta kaˆ mÒnwn tîn Ñktë periÒdwn

¢pokatastatikÒn·

™ke‹noj g¦r kaˆ tîn ™n to‹j ¢planšsi kin»sewn „d…wn kaˆ

tîn ™n p© sin ¡plîj to‹j ™n oÙranù kinoumšnoij

¢fanîj À ™mfanîj, qe…oij gšnesin À met¦ qeoÚj,

kaˆ tîn ™n to‹j ØpÕ sel»nhn makroporwtšrwn À

bracuporwtšrwn periÒdwn forîn te kaˆ ¢foriîn ™sti

perilhptikÒj. diÕ kaˆ toà ¢nqrwpe…ou gšnouj tÁj periÒdou

kÚriÒj ™sti.58

Ο τέλειος αριθµός του Τίµαιου περιλαµβάνει µόνο τις οκτώ περιόδους που

προαναφέραµε και είναι εποµένως µερικότερος του τέλειου αριθµού της Πολιτείας,

ο οποίος είναι χαρακτηριστικός των περιόδων των απλανών , πλανητών και γενικά

όλων των εµφανώς ή αφανώς κινουµένων στο ουράνιο στερέωµα και παντός θείου

γενητού, αλλά και της περιόδου του ανθρωπείου γένους.

58 Πρόκλος εις Τίµαιον 3, 93, 23

76

2.6 Ο ¢riqmÒj toà ¢nqrwpe…ou genhtoà είναι dittÕ j

Σχετικά µε το Qe‹on genhtÕ n, ο Πρόκλος στο 2,14,11-13 των σχολίων του εις

Πολιτείαν µας είπε ότι :

æj mn swmatikÕ n genhtÕ n kaloÚmenon

(oÙdn g¦r sîma aÙqupÒstaton),

æj d ¢eik…nhton qe‹on·

Επίσης κατά τον Πρόκλο, όταν ο Πλάτων µιλάει για Qe‹on genhtÕ n, εννοεί p© n

qe‹on genhtÒn, η περίοδος καθ’ενός εκ των οποίων περιλαµβάνεται σ’ένα τέλειο

αριθµό.

Όσον αφορά στο ανθρώπειον γενητόν, ας δούµε κάποια από τα σχόλια του Πρόκλου: p© n ¥ra lšgei

qe‹on genhtÒn, meq' Ö tÕ ¢nqrèpeiÒn ™sti genhtÒn.

tîn oân genhtîn ¢eikin» twn Ô ntwn À oÙk ¢eikin» twn p£nta t¦ ¢eik…nhta

qe‹a kalšsaj tÕ ¢nqrèpeion ¢ntidie‹len ™ke…noij, oÙkšti m…an œ con zw¾ n kaˆ ¢riqmù t¾ n aÙt¾ n oÙd ¢par£llakton t¾ n per…odon.59

Λίγο πιο κάτω ο Πρόκλος αναφέρει:

genht¦ d kur…wj t¦ ¢pÕ crÒnou

gegonÒta, ïn tÕ ¢nqrèpeion ™n to‹j sunegnwsmšnoij

prîton.

59 Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,15,4-8

77

Ó ti g¦r kaˆ ¥lla ™stˆ n qnht¦ prÕ ¹mîn, dÁlon·

oÙ g¦r ¢pÕ tîn ¢id…wn kaˆ

logikîn e„j tÕ ¢sqenj toàto zùon kaˆ bracÚbion ¢mšswj ¹ dhmiourg…a

proÁlqen,

¢ll' œ sti kaˆ ¥lla gšnh makra…wna ™ggÝj qeîn

o„koànta, <§> e„j ™ke…nhn [t¾ n t£xin tat]tÒmeq£ pote·60

Το ανθρώπειον γενητόν, λοιπόν, προκύπτει µαζί µε το θείον γενητόν και είναι

γενητόν µε την έννοια του χρόνου.

Πρόκλος εις Πολιτείαν, 2,18,26-2,19,8

qe…ou genhtoà [t]inoj ™ke‹noj Ð toà

¢nqrwpe…ou genhtoà [¢riqm]Òj, ‡dioj ín tÁ j ¢nqrwp…nhj zwÁ j [kaˆ ] metrhtikÕ j taÚ thj kaˆ

¢pokatastatikÒj,

oÙkšti tšleiÒj ™stin ¡plîj æj ™ke…nwn ›kastoj, ¢ll£, kaq£per aÙtÒj

fhsin [p. 546c],

kÚrioj ¢meinÒnwn kaˆ ceirÒnwn genšsewn.

kaˆ g¦r oátoj prÕ tîn ¢nqrwp…nwn ™stˆ

periÒdwn, e‡per kÚrioj aÙtîn ™stin, perišcwn t¦ di£fora mštra tÁj

toà ¢nqrwpe…ou genhtoà zwÁj kaˆ tÁj eÙgon…aj

aÙtoà kaˆ dusgon…aj.

60 Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,15,18-24

78

Ο αριθµός του ανθρωπείου γενητού είναι χαρακτηριστικός της ανθρώπινης

ζωής και µετρητικός αυτής.

Στην παράγραφο ΙΖ των σχολίων του εις Πολιτείαν, ο Πρόκλος αναφέρεται

κυρίως στο ανθρωπείο γενητό και λέει:

TÕn mn tšleion ¢r iqmÕn tÁj periÒdou toà qe…ou genhtoà pantÕ j Ó ti

noerÕ n cr¾ nom…zein, e‡pomen.

tÕn d tÁ j ¢nqrwpe…aj

periÒdou po‹Òn tina ·htšon; À dÁlon Ó ti

pollostÕ n

¢p' ™ke…nou kaˆ oÙkšti tšleion ¡plîj,

dittîn Ô nta kÚrion genšsewn,

æj aÙtÒj fhsin, ¢meinÒnwn kaˆ

ceirÒnwn61,

Μιλώντας στη συνέχεια για τον αριθµό του ανθρωπείου γενητού, ο Πρόκλος µας λέει

στο 2,20,25:

œ stin oân ¢riqmÕ j zwtikÕ j

kinoÚ menoj periodikîj,

<periÒdwn> ¢meinÒnwn

À ceirÒnwn · k£sth d

duoeid¾ j oâsa

kaˆ kÚ kloj taÙtoà kaˆ qatšrou,

kat¦ mn tÕ n taÙtoà kÚ klon œ cei t¾ n ¡rmon…an t¾ n kre…ttona,

kat¦ d tÕ n qatšrou t¾ n ce…rona·

61 Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,19,18

79

Κάνοντας πιο κάτω ο Πρόκλος πιο σαφή την περιγραφή για τους δύο αριθµούς,

«θείο» και «ανθρώπειο» γράφει:

tÕ n tîn qe…wn periÒdwn ¢riqmÕ n

oÙcˆ plÁ qoj ™nnooàmen (¢peri» ghton g¦r Ã n), ¢ll' ¢pÕ tÁ j poiÒthtoj tšleion

aÙtÕ n lšgomen æj telesiourgÒn,

oÛtw d¾ kaˆ tÕ n tÁj ¢nqrwpe…aj k¨n dittÕ n poiîmen,

m¾ kat¦ tÕ posÕ n

aÙtÕ n no»swmen, ¢ll¦

kat¦ tÕ edoj tÁ j zwÁ j,

tšleion kaˆ

¢telÁ , taÙtopoiÕ n

kaˆ ˜teropoiÒn,

™pistreptikÕ n kaˆ

genesiourgÒn62

Στο χωρίο 2,31,14-21 των σχολίων του εις Πολιτείαν, ο Πρόκλος, επισηµαίνει µία

ακόµη σηµαντική διαφορά ανάµεσα στο θείο και το ανθρωπείο γενητό:

¢pÕ tîn aÙtîn ™pˆ t¦ aÙt¦ kat' edoj mÒnon periagÒmenon, toàto

mÒnwj kale‹n genhtÒn,

oÙk œ con tÕ taÙtÕ n ésper tÕ qe‹on genhtÕ n

kat' ¢riqmÒn, ¢ll' ésper e‡rhtai

kat' edoj· Ðpo‹Òn [™stin

62 Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,21,9

80

tÕ ] ¢nqrèpeiÒn [te] kaˆ tÕ tîn ¥llwn[¢lÒgw]n zówn gšnoj [kaˆ tÕ ] tîn futîn· ™n oŒ j p© s…n ™stin eÙgon…a kaˆ dusgon…a kat¦ t¦j

peritrop¦j tîn kÚklwn, æj aÙtÒj fhsin [VIII 546a], tîn oÙran…wn.

Το θείον γενητόν έχει, εποµένως «tÕ taÙtÕ n kat' ¢riqmÒn»,

ενώ το ανθρώπειον «kat' edoj» mÒnon .

81

2.7 Ερµηνεία επί µέρους λέξεων-προτάσεων του χωρίου της

«Πολιτείας».

Το τµήµα του χωρίου µε την ερµηνεία του οποίου θα ασχοληθούµε τώρα είναι το:

«™n ú prètJ aÙx»seij dun£mena… te kaˆ dunasteuÒmenai,

tre‹j ¢post£seij, tšttaraj d Ó rouj laboàsai

ÐmoioÚntwn te kaˆ ¢nomoioÚntwn

kaˆ aÙxÒntwn kaˆ fqinÒntwn,

p£nta pros»gora kaˆ ·ht¦ prÕ j ¥llhla ¢pšfhnan·63» Κρίνεται απαραίτητο να σταθούµε αρχικά στην ερµηνεία επιµέρους λέξεων του

χωρίου αυτού , από τον Πρόκλο. Από το συγκεφαλαίωµα των ερµηνειών τους θα

προκύψει το τελικό νόηµα.

Ι) aÙx» seij dun£mena… te kaˆ dunasteuÒmenai

H λέξη aÙx» seij σηµαίνει «πολλαπλασιασµοί αριθµών» όπως προκύπτει από το

παρακάτω χωρίο του Πρόκλου εις Πολιτείαν, 2,51 21-22:

«kaˆ m¾ n kaˆ tÕ cwre‹n e„j tre‹j t¾ n aÜxhsin toà ¢riqmoà

toàde t¾ n ¢pÕ tîn nohtîn kaˆ ¢merîn ¥cri tîn sterewt£twn aÙtÁj».

aÙx»seij dun£menaι, είναι οι πολλαπλασιασµοί αριθµών που οδηγούν σε

τετράγωνους ή κυβικούς αριθµούς (όµοιους), ενώ

aÙx»seij dunasteuÒmenai, είναι πολλαπλασιασµοί µε αποτέλεσµα ετεροµήκεις

αριθµούς.

Οι παραπάνω ισχυρισµοί του Πρόκλου προκύπτουν από τα χωρία:

Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,36,8-15

..... [™]n ú prè[tJ aÙx» seij] ........pr..... natous...20... lÒgouj

e‡te thsun...18...

dun£menai poioàsai tetragènouj,

duna[steu]Òmenai d ¢p'

63 Πολιτεία b5-c1

82

™ke…nwn tîn dun£mewn ........64 tîn

tetragènwn· tÕ g¦r dun£menon p© n

prÕ j tÕ dunasteuÒmenon ¢pod…dotai.

kaˆ prÕ j toÚtoij ÐmoioÚntwn te kaˆ

¢nomoioÚntwn ¢riqmîn· ÐmoioÚntwn mn

tîn tetragwnikîn À kubikîn,

¢nomoioÚntwn d tîn ¢n…soij crwmšnwn

pleura‹j À ™pipšdwn À stereîn.

2,38,17-20 « ™¦n oân ·ht¾ n ™qšlwmen di£metron eØre‹n, dunamšnhn toà ¢pÕ tÁj pemp£doj

dipl£sion, t¾ n sÚnegguj lamb£nontej t¾ n dunamšnhn oÙk aÙtÒ (toàto g¦r

¢dÚnaton), ¢ll¦ tÕ mon£di œ lasson, tÕ n z lhyÒmeqa»

2,51,10-17 'Ek mn oân toÚtwn

¹ yuc¾ fa…netai m…a duoeid¾ j

kat£ te tÕ enai

kaˆ tÕ zÁn·



¢me…nouj

kaˆ


t¦j mn dunamšnaj


64 Λείπει µία λέξη, γεγονός που δυσκολεύει την ερµηνεία.

83

¡ploustšraj kaˆ

sunqetwtšraj

dÚnantai mn g¦r oƒ pleuriko…

dunas teÚontai d oƒ ™k toÚtwn

kaˆ t¦j mn ÐmoioÚsaj

t¦j d ¢nomoioÚsaj ,

t¦j mn ™pistreptik¦j aÙ[tÁj]

e„j tÕ taÙtÕn kaˆ tÕ ž n t¦j d

e„j ˜terÒthta kaˆ tÕ m¾ ž n ¢goÚsaj ,

Οι «pleuriko…» εδώ είναι οι πλευρές των τετραγώνων (δεν είναι από µόνοι τους

τετράγωνοι αριθµοί).

Υπάρχουν δύο αριθµοί (¢riqmÕ j duadikÕ j), όπως το 3 και το 4, δυνάµενοι είναι οι 9

και 16.

Οι « ™k toÚtwn » είναι οι αριθµοί από τον συνδυασµό αυτών, δηλαδή αριθµός

δυναστευόµενος το ορθογώνιο 3Χ4. Αυτό ενισχύεται65 και από το kaˆ

sunqetwtšraj»

απλούστερος είναι ο 9=32, συνθετότερος ο 12=3 Χ 4.

Ένα άλλο χωρίο του Πρόκλου66 που ενισχύει την άποψή του, ότι µε την έκφραση

«αύξησις δυναστευοµένη» εννοείται ο ετεροµήκης αριθµός (π.χ: 3.4.5), είναι το:

«e„s ioàsa d e„j ãut¾n ™pipedoàtai , kaˆ mšcr i mn diano…aj ƒs tamšnh

tetragwn…zei ãut» n, tÕ taÙtÕ n kaˆ Ó moion ™n tÍ dianohtikÍ kin»sei tù

di£noia enai prÕ j di£noian kinoumšnh œti sèzousa, dÒxan d met¦ diano…aj

summ…xasa kine‹tai k…nhsin ™p…pedon mn æj ™k due‹n genomšnhn dun£mewn

¢ll»laij summignumšnwn, ¢n…swn d oÙsîn ™ke…nwn promhk…zei aÙt¾n ¢f '

ãutÁ j· e„j d t¦ met' aÙt¾ n ·špousa baqÚnei t¦ ™p…peda, t¾n mn

tetragwnik¾ n zw¾ n kub…zousa kaˆ fantas…an gennîsa (kaˆ g¦r ¹ fantas…a

65 H έκφραση: «oƒ ™k toÚtwn» χρησιµοποιείται από τον Πρόκλο και στα σχόλιά του εις Τίµαιον,

2,30,30 « p£ntej oƒ ™k toÚ twn ™p…pedoi gegonÒtej Ó moioi mi sundeq»sontai mesÒthti kat¦ tÕ n e„rhmšnon» µε την ίδια ακριβώς σηµασία

66 Εις Πολιτείαν, 2,51,26-52,14

84

noàj t…j ™st in paqht ikÕj œndon mn ™nerge‹n ™qšlwn, ¢sqenîn d di¦ t¾n e„j tÕ

stereÕ n ptîsin), t¾n d prom» kh kat¦ t¾n ¢n£l ogon prÒodon e„j toÝj

¢nomo…ouj Øfiz£nousa stereoÝj kaˆ t¾ n a‡sqhsin gennîsa, gnîsin oâsan ™x

¢nomo…wn, sèmatoj kaˆ ¢swm£tou, kaˆ autÁj enai m¾ dunamšnhn.

mignumšnwn d tîn e„dîn tÁj zwÁj toÚtwn ™n tÍ genšsei kaˆ [sum]plekomšnwn

ceirÒnwn kaˆ ¢meinÒnwn ¢poteloàntai ¡rmon…ai duoeide‹j, ¿ mn

¢pokatastatik¾ kaˆ tù taÙtoà»

Άλλα χωρία του Πρόκλου, τα οποία συσχετίζουν και πάλι την

δυναστευοµένη αύξηση, µε την ανοµοιότητα – ετερότητα


Πρόκλος εις Ευκλείδην, 8,5-20

kaˆ g¦r sc» mata t¦ mn Ó moia

t¦ d ¢nÒmoia lšgomen kaˆ ¢riqmoÝj æsaÚtwj

toÝj mn Ðmo…ouj toÝj d ¢nomo…ouj.

kaˆ Ó sa kat¦ t¦j dun£meij ¢nafa…netai p© sin Ðmo…wj pros»kei to‹j maq»masi, tîn mn dunamšnwn

tîn d dunasteuomšnwn.

Τη διάκριση αυτή των «dun£mewn» του αριθµού σε «δυνάµενες» και

«δυναστεύοµενες», επαναλαµβάνει ο Πρόκλος και στα σχόλιά του

εις Πολιτείαν, 2,51,12:

™k d tîn ¢r iqmîn t în ™k toÚtwn ¢nafanšntwn ¢riqmÕ j duadikÕ j ¢me…nouj kaˆ ce…rouj œ cwn dun£meij,

t¦j mn dunamšnaj

t¦j d dunasteuomšnaj,

Πρόκλος εις Τίµαιον 3, 258, 8-11

diÕ kaˆ to‹n †ppoin ™n taÚtaij

Ö mn ¢gaqÒj ,

85

Ö d ™nant…oj te kaˆ ™x ™nant…wn, æj e‡rhtai ™n

Fa…drJ [246 B], tÁ j ˜terÒthtoj

dunasteuoÚ shj.

Μία άλλη µαρτυρία σχετικά µε την έννοια της λέξης δυναστευοµένη, έχουµε από τον

Αλέξανδρο στα σχόλιά του εις Αριστοτέλους µεταφυσικά 75, 27-32:

toàto d Ó ti tîn Ñrqogwn…wn trigènwn t în ™cÒntwn ·ht¦j t¦j pl eur¦j pr îtÒn ™sti tîn periecousîn Ñrq¾ n gwn…an pleurîn

¹ mn triîn

¹ d tett£rwn, «¹ d Øpote…nousa pšnte. ™peˆ to…nun

¹ Øpote…nousa ‡son dÚnatai

¢mfotšraij ¤ma, di¦ toàto

¹ mn dunamšnh kale‹tai

aƒ d dunasteuÒmenai Η υποτείνουσα αποκαλείται δυναµένη και από τον Πρόκλο67:

tîn mn periecousîn tÕ n prîton ™n sumfwn…v lÒgon ™cousîn [4/3]

tÁ j d' ØpoteinoÚ shj À dunamšnhj ¢mfo‹n

ΙΙ) Τα σχόλια του Πρόκλου για τη δεύτερη πρόταση του (Β) τµήµατος του χωρίου

της Πολιτείας «tre‹j ¢post£seij, tšttaraj d Ó rouj laboàsai» έχουν ως εξής:

« aátai d' oân aƒ aÙx»seij mšcri tett£rwn Ó rwn proelqoàsai

tre‹j ™cÒntwn ¢post£seij ¢ll»lwn (p£ntwn g¦r tett£rwn Ó rwn sunecîn tre‹j

e„sin ¢post£seij68)»

Εννοεί ο Πρόκλος εδώ τους τέσσερις αριθµούς (33, 3.3.4, 3.4.4, 43) οι οποίοι

προκύπτουν από τον επίτριτο πυθµένα 3, 4 µε την διαδικασία των αυξήσεων-

πολλαπλασιασµών που θα περιγράψουµε αναλυτικώτερα στη συνέχεια.

67 Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,25,16-18 68 Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,36,21-23

86

ΙΙΙ) Το τελευταίο τµήµα του χωρίου (Β) είναι το εξής:

«ÐmoioÚntwn te kaˆ ¢nomoioÚntwn

kaˆ aÙxÒntwn kaˆ fqinÒntwn,

p£nta pros»gora kaˆ ·ht¦ prÕ j ¥llhla ¢pšfhnan·69»

Σχετικά µε τους οµοιούντες και ανοµοιούντες και τους αύξοντες και τους φθίνοντες

αριθµούς, έχουµε από τον Πρόκλο εις Πολιτείαν το χωρίο 2,36,12-20 : ka‹ prÚw toÊtoiw

ımoioÊntvn te ka‹ énomoioÊntvn

ériym«n· ımoioÊntvn m¢n

t«n tetragvnik«n µ kubik«n, énomoioÊntvn d¢

t«n én¤soiw xrvm°nvn pleura›w µ §pip°dvn µ stere«n.

ka‹ §p‹ toÊtoiw kay' Ípodia¤resin

t«n énomoioÊntvn •j∞w fhsin·

aÈjÒntvn te ka‹ fyinÒntvn·

aÈjÒntvn m¢n t«n fisãkiw ‡svn m

eizonãkiw, œn §p‹ tÚ me›zon ≤ prÒodow épÚ t

∞w fisÒthtow,

fyinÒntvn d¢ t«n fisãkiw ‡svn §

lassonãkiw·

œn

to›w m¢n ˆnoma pliny¤dew fas‹to›w

fy¤nousin,

to›w d¢ dok¤dew to›w aÎjousin.

69 Πολιτεία 546 b7-c1

87

Αριθµοί οµοιούντες είναι εποµένως οι τετράγωνοι ή κύβοι (π.χ: 3 , 4 ), ενώ

αριθµοί ανοµοιούντες είναι αριθµοί της µορφής 3.3.4, 4.4.3. Αριθµοί σαν τον πρώτο

λέγονται δοκίδες, ενώ οι της µορφής του δεύτερου πλινθίδες.

2 3

Η τελευταία πρόταση του τµήµατος (Β):

p£nta pros» gora kaˆ ·ht¦ prÕ j ¥llhla ¢pšfhnan,

σχολιάζεται από τον Πρόκλο ως εξής :

«aátai d' oân aƒ aÙx»seij mšcri tett£rwn Ó rwn proelqoàsai tre‹j ™cÒntwn

¢post£seij ¢ll»lwn (p£ntwn g¦rtett£rwn Ó rwn sunecîn tre‹j e„sin

¢post£seij)» pãnta =htå ka‹ prosÆgora poioËsin,

ka‹ toÁw dunam°nouw ka‹ toÁw dunasteuom°nouw,

ka‹ toÁw ımoioËntaw ka‹ toÁw énomoioËntaw éllÆloiw,

ka‹ toÁw aÎjontaw

ka‹ fy¤nontaw.

g¤netai går diãgramma katå m¢n tå plãgia toÁw ımoioËntaw ¶xon

ka‹ énomoioËntaw, aÎjontãw te ka‹ fy¤nontaw,

kay' ßna lÒgon sundeom°nouw

tÚn puym°na tÚn §kteyhsÒmenon·

katå d¢ tå sk°lh toÁw dunam°nouw

ka‹ duna[steuom°nouw.70

Άλλα χωρία σχετικά µε την έκφραση «pãnta =htå ka‹ prosÆgora poioËsin»

και τα οποία βοηθούν στην ερµηνεία της, είναι τα ακόλουθα:

«P rÕj d t¾n f us ik¾n qewr…an t¦ mšgis ta sumb£l l etai , t»n te tîn lÒgwn

eÙtax…an ¢nafa…nousa, kaq' ¿n dedhmioÚrghtai tÕ p© n, kaˆ ¢nalog…an t¾ n

p£nta t¦ ™n tù kÒsmJ sund» sasan, éj pou fhsˆ n Ð T…maioj, kaˆ f…la t¦

macÒmena kaˆ pros» gora kaˆ sumpaqÁ t¦ diestîta poi» sasan71»

και 70 Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,36,21-37,1 71 Πρόκλος εις Ευκλείδην, 22,17-22.

88

«æj Pl£twn die‹len aÙtÕ j tÒ te p© n kaˆ t¦ e‡dh t¦ panto‹a tîn zówn. lÒgouj ¥ra lÒgwn periektikoÝj kat¦ m…an ¡rmon…an sumpeplhrwmšnouj kaˆ

di¦ toÚtwn Ð Pl£twn ¹m‹n parad…dwsin, ïn ¹ yuc¾ pl»rhj oâsa kaˆ tÒnde

tÕ n ™mfanÁ kÒsmon ¢poplhro‹, p£nta ·ht¦ kaˆ pros» gora ¢ll» loij

¢pofa…nousa [rep. VIII 546 C]72.

Η έκφραση αυτή λοιπόν αυτή, δηλώνει σαφώς αναλογία, µέσω δε της αναλογίας

γίνονται τα πάντα

φίλα, συµπαθή, σύµφωνα, ρητά, προσήγορα, προσηνή, µεταξύ τους.

72 Πρόκλος εις Τίµαιον, 2,230,22-27

89

2.8 Η αριθµητική ερµηνεία του γεωµετρικού αριθµού από τον

Πρόκλο.

Η πρόταση «™p…tritoj puqm¾ n pemp£di suzugeˆ j», του χωρίου της

«Πολιτείας» αναφέρεται στο πυθαγόρειο ορθογώνιο τρίγωνο µε πλευρές 3-4-5, όπως

επιβεβαιώνεται από αρχαίους και σύγχρονους φιλοσόφους και σχολιαστές (ανάµεσά

τους οι Αριστοτέλης, Αριστίδης Κοϊντιλιανός, Πλούταρχος ,Ιάµβλιχος, Πρόκλος εις

Ευκλείδην)

Ας δούµε κάποια χαρακτηριστικά χωρία εξ’αυτών:

Πρόκλος εις Ευκλείδην, 427,20-428,9 «toioàton g£r ™sti tÕ ™n polite…v tr…gwnon, oá t¾ n Ñrq¾ n perišcousin Ó te

tr…a kaˆ Ð tšssara. Øpote…nei d aÙt¾ n Ð e.»

Πλούταρχος, Περί Ίσιδος και Οσίριδος, Stephanus 373 section F, line 3 «æj kaˆ Pl£twn ™n tÍ polite…v (546b) doke‹ toÚtJ proskecrÁsqai tÕ

gam»lion di£gramma sunt£ttwn. œ cei d' ™ke‹no tÕ tr…gwnon triîn t¾ n prÕ j

Ñrq…an kaˆ tett£rwn t¾ n b£sin kaˆ pšnte t¾ n Øpote…nousan ‡son ta‹j

periecoÚsaij dunamšnhn»

Αριστίδης Κοϊντιλιανός: de musica

«aƒ d t¾n Ñrq¾n per išcousai dhl oàs i tÕn ™p…tr i ton. toÚtou d¾ kaˆ

Pl£twn fhsˆ n [Resp. VIII 546 c] ™p…triton puqmšna pent£di suzugšnta. »

Τα σχόλια του Πρόκλου σχετικά µε την έκφραση αυτή έχουν ως εξής: ı §p¤tritow puymØn

g ka‹ d· 3 4

ka‹ [toÊtvn •kã]terow §f' •autÚn ka‹ §p' éllÆlouw

[g¤gnetai] y ib i˚

3.3 3.4 4.4 §n lÒgƒ t“ aÈt“.

ka‹ aÔyiw ı m¢n g kubik«w

tr‹w

90

tr¤a tr¤w, [3.3.3]

ka‹ ı d …s[aÊ]tvw

tetrãkiw t°ssara tetrãkiw·

[4.4.4]

met' éllÆlvn d¢ tr‹w

tr¤a tetrãkiw,

[3.3.4]

tetrãkiw t°ssara

tr¤w· [3.4.4]

g¤gnontai oÔn kubiko‹ m¢n êkro ı kz

ka‹ jd, [64]

dok‹w d¢ ı l˚,[36]

dÊo pleuråw ¶xvn

triãdow ka‹ m¤an

tetrãdow, [3x3x4]

pliny‹w d¢ ı mh,[48]

dÊo pleuråw ¶xvn

tetrãdow ka‹ m¤an triãdow. [4X4X3]

toÊtvn dØ t«n tettãrvn ˆntvn §fej∞w §n t“ §pitr¤tƒ lÒgƒ

˜rvn, kz [27] l˚[36] mh [48]

jd, [64]

[27]

91

ka‹ tre›w épostãseiw §xÒntvn, ı m¢n kz metå toË mh

poie› tÚn oe,[75] ı d¢ l˚

metå toË jd tÚn r.[100]

oÂn

ı m¢n r tetrãgvnow Ãn §k dekãdow ka‹ aÈtÚw tetragvnisye‹w

poie› tÚn mÊria· [10.000]

ı d¢ oe genÒmenow §p‹ tÚn r poie› tÚn zf. [7500]73

Από τον επίτριτο πυθµένα και την έκφραση «trˆ j aÙxhqe…j», έχουµε τους αριθµούς:

27 = 33, 36 = 32.4, 48 = 3.42, 64 = 43

Ας σηµειώσουµε εδώ ότι ο αριθµός 48 προκύπτει από τον 64 ως φθίσις και είναι

πλινθίς (Πρόκλoς εις Πολιτείαν, 2,36).

Η έκφραση «trˆ j aÙxhqe…j», σηµαίνει µε άλλα λόγια µετατροπή των αριθµών σε στερεούς. Τα σχόλια του Πρόκλου εις Πολιτείαν φωτίζουν ακόµη περισσότερο αυτές τις δύο

αρµονίες και έχουν ως εξής:

2,37,18-25

ka‹ efis‹n atai afl dÊo èrmon¤ai, ∂ m¢n fisãkiw ‡sh

(ka‹ ˜pvw, d∞lon §po¤hsen efip≈n· •katÚn tosautãkiw),

∂ d¢ fisomÆkhw m¢n §ke¤n˙ diå tÚn r, [100] promÆkhw d¢

diå tÚn oe [75] toË mÆkouw ±lassvm°nou.

73 Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,37,5-2,37-18

92

efikÒtvw oÔn e‰pen tÚn §p¤triton puym°na

tåw dÊo poie›n èrmon¤aw· m°xri går t«n stere«n proely∆n t«n tessãrvn

§k t∞w §ke¤nvn suny°sevw par°xetai tåw pleuråw t«n dÊo èrmoni«n,

tÚn •katÚn ka‹ tÚn •bdomhkontap°nte.

tr‹w aÈjhy°nta

Οι πλευρές των δύο αρµονιών είναι λοιπόν οι αριθµοί 100 και 75.

Τα 4 στερεά τα προελθέντα από tÚn §p¤triton puym°na tr‹w aÈjhy°nta,

είναι οι δύο κύβοι, δηλαδή οι 33 και 43 και

τα δύο παραλληλεπίπεδα δηλαδή 3.3.4 και 4.4.3.

Από αυτούς τους δύο αριθµούς παράγονται οι δύο αρµονίες:

t¾n mn ‡shn „s£ki j ,

˜katÕ n tosaut£kij, [100x100]

t¾n d „som»kh mn tÍ, prom»kh dš, katÕn mn [κακών] ¢riqmîn [48] [100 Χ 48] katÕn d kÚbwn tri£doj .[100 Χ 27]

Η αρµονία αυτή (ο αριθµός 10.000) συµφωνεί µε τον αριθµό «µύρια» που είναι η περίοδος της ψυχής στον Φαίδρο.

sÚmpaj d oátoj είναι ο gewmetrikÒj ¢riqmÕ j74 .

Στη συνέχεια ο Πρόκλος (2,39,3-2,40,1) αναλύει περισσότερο τις δύο èrmon¤ες (την

ταυτοµήκη και την προµήκη) και εξηγεί γιατί λέγονται èrmon¤ai.

GegÒnasi m¢n oÔn oÏtvw

afl dÊo èrmon¤ai, ≤ tautomÆkhw

ka‹ ≤ promÆkhw·

74 Πολιτεία 546 c3-7

93

kaloËntai d¢ èrmon¤ai,

diÒti sunestçsin épÚ lÒgvn èrmonik«n

êmfv, ∂ m¢n

triakosãkiw, ∂ d¢

tetrakosãkiw

lhfy°ntvn t«n puym°nvn g d ˚ ib. [3, 4, 6, 12]

ka‹ ¶stin ka‹ aÈt«n toÊtvn ı lÒgow toË triakÒsia

ka‹ toË tetrakÒsia §j érx∞w

ı §p¤tritow. toÊtvn oÔn t«n èrmoni«n

≤ m¢n promÆkhw épÚ t«n

Q, aw, av, gx, 900 1200 1800 3600 [900 + 1200 + 1800 + 3600 =

7 500] o· efisin

triakosiãkiw ı

g d ˚ ib· 3 4 6 12

≤ d¢ fisomÆkhw épÚ t«n

aw ax bu dv,

1200 1600 2400 4800

[1200 + 1600 + 2400 + 4800 =

10 000]

o· efisin

tetrakosiãkiw

ı

g d ˚ ib·

3 4 6 12

94

œn ofl êkroi

tÚn aÈtÚn ¶xousi lÒgon, ˘n ka‹

afl mesÒthtew.

[δηλαδή: 412004800

312

== και 23

16002400

46

== ]

Ka‹ oÏtv m¢n diå pleiÒnvn· suntÒmvw d¢ labÒntew tÚn §p¤triton puym°na g ka‹ d, ka‹ e, ⁄

otow sunezÊgh, poiÆsomen

pentãkiw t°ssara pentãkiw, tÚn r

[5.4.5 = 100]·

ka‹ pentãkiw tr¤a pentãkiw, tÚn oe·

[5.3.5 =75] ka‹ toÊtouw

tÚn m¢n r §f' •autÒn,

·na ı mÊria

[100.100 = 10 000] g°nhtai,

tÚn d¢ r §p‹ tÚn oe,

·na ı •ptakisx¤lia pentakÒsia·

[100.75 = 7 500] ka‹ oÏtvw

ı §p¤tritow puymØn tr‹w aÈjhye‹w

pempãdi suzuge‹w ¶stai poi«n

tåw dÊo èrmon¤aw, tÆn te tautomÆkh

ka‹ tØn promÆkh. Xre¤a d¢ ˜mvw ka‹ t∞w •t°raw §fÒdou pãntvw,

§pe¤per aÈtÚw tÚn oe die›len efiw

tÚn kz [27] ka‹ tÚn mh, [48]

genn≈shw §ke¤nouw eÈtãktvw,

95

ka‹ toÁw ..60.

aÈt«n pa..

[tr‹w tr¤a tr‹w]

tÚn kz, [27] tetrãkiw t°ss[ara tetrãkiw

tÚn] jd, [64]

tr‹w [tr¤a

tetrãkiw tÚn l˚, [36]

tetrãkiw] t°ssara

tr‹w tÚn mh. [48]

ka‹ oÏtvw [pãlin ı] §p¤tritow puymØn

tª pempãdi su[zuge‹w] par°xei tåw dÊo èrmon¤aw

tr‹w [aÈjhy]e¤w, ˜pou m¢n kubik«w,

˜pou d¢ do[kik]«w,

˜pou d¢ plinyik«w.

Οι δύο αρµονίες εποµένως είναι σαφώς οι αριθµοί 10.000 και 7.500 και λέγονται

αρµονίες75 diÒti sunestçsin épÚ lÒgvn èrmonik«n êmfv.

75 Για τη σχέση του τριγώνου 3-4-5 µε τη µουσική, βλέπε σελ. 213 της παρούσης εργασίας.

96

Ο επίτριτος πυθµήν των αριθµών

4/3 3/2 2/1 900 1200 1800 3600

4/3 4/3 4/3 4/3

4/3 3/2 2/1 1200 1600 2400 4800

είναι ο g d ˚ ib. [3, 4, 6, 12]

και εποµένως οι λόγοι τους είναι οι: 12,

23,

34

ÉAriymhtik«w m[¢n] oÍtvs‹ tÚ proke¤menon §jhght°on·

97

2.9 Η γεωµετρική ερµηνεία του Πρόκλου για τον «γεωµετρικό

αριθµό» Ο Πρόκλος µας δίνει, εκτός από την αριθµητική ερµηνεία, και γεωµετρική

ερµηνεία για το σχηµατισµό των αριθµών 27, 36, 48, 64 και µέσω αυτών, των

αριθµών 10.000 και 7.500, δηλαδή των δύο αρµονιών.

Ας δούµε πως έχουν τα σχόλιά του :

gevmetrik«w d¢ tÚn trÒpon toËton.

¶stv tr¤gvnon tÚ ABG·

ka‹

≤ m¢n AB tessãrvn,

≤ d¢ BG tri«n t«n aÈt«n,

≤ d¢ AG p°nte·

ka‹ tª AG prÚw Ùryåw ≤ AZ, §f' ∂n §kbeblÆsyv ≤ BG·

§n Ùryogvn¤ƒ goËn t“ AZG kãyetow ≤ AB _≤ AB´· m°sh êra énãlogon t«n ZB BG.

§p¤tritow d¢ ≤ AB t∞w BG, Àste ka‹ ≤ BZ t∞w BA §p¤tritow·

¶stin êra p°nte ka‹ tr¤tou. triplasiasyÆtvsan,

·na ılÒklhroi g°nvntai monãdew· ¶stai êra

≤ m¢n ZB d°ka ka‹ ßj,

≤ d¢ BA

t«n aÈt«n,

≤ d¢ BG §nn°a,

ka‹ ≤ AG

d≈deka

dekap°nte.

prÚw Ùryåw ≥xyv ≤ ZK ka‹ §p' aÈtØn §kbeblÆsyv ≤ GA ka‹ parãllhlow tª ZG ≤ AL∑

§pe‹ oÔn pãlin Ùryog≈nion tÚ ZAK ka‹ kãyetow ≤ AL, m°sh ¶stai énãlogon t«n ZL LK.

98

¶stai oÔn, §peidØ ≤ ZL d≈deka ∑n,

≤ d¢ AL d°ka ka‹ ©j t«n aÈt«n (ka‹ går afl parãllhloi aÈt«n tosoÊtvn ∑san),

ka‹ ≤ KL prÚw tØn AL §p¤tritow· Àste e‡kosi ka‹ •nÚw ka‹ tr¤tou ≤ KL,

o·vn ≤ AL d°ka ka‹ ßj.76

Το σχήµα που προκύπτει είναι :

Α

Β Γ Z

5 4

3 16\3

Ξεκινώντας λοιπόν από το πυθαγόρειο τρίγωνο 3-4-5, κατασκευάζει εξωτερικά το

ορθογώνιο τρίγωνο ΖΑΓ µε ορθή τη γωνία Α.

Με τον τρόπο αυτό προκύπτουν όµως κλάσµατα, τα οποία για να απαλοίψει

πολλαπλασιάζει επί τρία.

triplasiasyÆtvsan oÔn pãlin pçsai diå tÚ tr¤ton· g¤netai oÔn

≤ m¢n KL •jÆkonta

ka‹ tessãrvn,[64]

≤ d¢ LA tessarãkonta ka‹ Ùkt≈,[48]

≤ d¢ LZ triãkonta ka‹ ßj,[36]

loipØ d¢ ≤ BG

99

76 Πρόκλος εις Πολιτείαν, 2, 40, 1-17

e‡kosi ka‹ •ptå

t«n aÈt«n.[27] ∑san d¢ otoi ofl t°s[sarew,

§j œn §g¤]nonto ˜ te •katÚn

ka‹ [ı •bdomÆkonta p°nte]77,

Το σχήµα ολοκληρωµένο είναι το ακόλουθο:

36 + 64 = 100

Α

Β Γ Z

Κ

Λ

64

48

36

27

48 +27 = 75

Με τον τρόπο αυτό σχηµατίζονται οι πλευρές των δύο αρµονιών 100 και 75,

o‰ tåw èrmon¤aw poioËs[in

tÚn mÊria [10.000]

ka‹] tÚn •ptakisx¤lia pentak[Òsia].78

[7500]

TÚ m¢n oÔn ye≈rhma gevmetrik«w skopoËnti toioËton·

100

77 Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,40,18-22 78 Πρόκλος εις Πολιτείαν 2, 40,22-23

Εύκολα µπορούµε να διαπιστώσουµε από την οµοιότητα των ορθογωνίων

τριγώνων του σχήµατος ότι οι λόγοι των καθέτων πλευρών τους είναι ίσοι µε το λόγο

των πλευρών του αρχικού τριγώνου, δηλαδή 4/3.

Ο Πρόκλος προτείνει και ένα άλλο τρόπο µε τον οποίο µπορούµε να φτάσουµε

τους ίδιους αριθµούς (αρµονίες) που συνίσταται στην κατασκευή των ορθογωνίων

τριγώνων εσωτερικά όµως αυτή τη φορά του αρχικού ορθογωνίου τριγώνου 3-4-5.

tosoËton d¢ prosyet°on, ˜ti

≤me›w m¢n katå prÒsyesin

épÚ toË §j érx∞w trig≈nou proÆlyomen efiw toÁw zhtoum°nouw ériymoÊw, êlloi d¢

katå éfa¤resin. labÒntew går

tÚ t«n g d e tr¤gvnon ≥gagon kãyeton épÚ t∞w Ùry∞w §p‹ tØn t«n e·

ka‹ hÍrÆkasin §n lÒgoiw to›w aÈto›w •kãteron t«n prÚw tª kay°tƒ trig≈nvn,

ka‹ ¶labon toÁw ériymoÁw §n mor¤oiw tis‹ monãdvn. ¶peita pãlin ≥gagon épÚ t∞w Ùry∞w kãyeton t∞w §n to›w trig≈noiw

µ §p‹ tØn t«n d µ §p‹ tØn t«n g·

ka‹ toÁw aÈtoÁw lÒgouw toÁw §j érx∞w eÍrÒntew, §peidØ tå prÚw ta›w kay°toiw ée‹ tr¤gvna ˜moiã §sti t“ te ˜lƒ ka‹ éllÆl

oiw, ¶labon ka‹ t«n genom°nvn trig≈nvn tåw pleuråw

§n monãsi ka‹ mor¤oiw. e‰ta pollaplasiãsantew e‡kosi pentãkiw pãsaw tåw pleuråw

katÆnthsan efiw toÁw ériymoÊw,

oÓw ka‹ ofl katå prÒsyesin.

Ka‹ toËton m¢n e·leto t∞w §jhgÆsevw tÚn trÒpon Pat°riow79,

tÚn d¢ prÒteron ı m°gaw ..9..80

79 Σύµφωνα µε τον Festugière, ο Patšrioj ήταν γεωµέτρης της Πλατωνικής Ακαδηµίας. 80 Πρόκλος εις Πολιτείαν 2, 40 ,25 – 42, 10

101

Το σχήµα που περιγράφει ο Πρόκλος εδώ είναι το ακόλουθο:

Z

Z 1 ΓB

A

Z 2

6 4

4 8

3 6

2 7

Οι πλευρές ΑΒ, ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ, είναι και πάλι οι πλευρές των δύο αρµονιών,

δηλαδή οι αριθµοί 100 και 75.

102

Κεφάλαιο 3

3.1 Βασικά Στοιχεία της Ανθυφαιρετικής θεωρίας

του Καθηγητή Στ. Νεγρεπόντη.

Η κατανόηση τόσο του χωρίου 546 b-c, της «Πολιτείας» του Πλάτωνος όσο

και των σχολίων του Πρόκλου επ’αυτού, προϋποθέτουν απαραίτητα την αναφορά σε

βασικές µαθηµατικές έννοιες των αρχαίων ελληνικών µαθηµατικών, όπως αυτές

έχουν αναπτυχθεί από τον καθηγητή κ. Στ. Νεγρεπόντη.

Η έννοια της ανθυφαίρεσης δύο µεγεθών ορίζεται ως εξής:

Αν α, β είναι δύο µεγέθη µε α>β µε ακολουθία διαδοχικών πηλίκων

κ0, λ0, κ1, λ1, …, κν, λν, …,

και µε ακολουθία διαδοχικών υπολοίπων:

α>β>α1>β1>…>αν>βν>…

ορίζουµε : Ανθ(α, β) = [κ0, λ0, κ1, λ1, …, κν, λν, …] .

Η ανθυφαίρεση δύο µεγεθών α, β, µπορεί να είναι πεπερασµένη ή άπειρη (περιοδική

ή µη).

Ένας τυπικός ορισµός της τελικά περιοδικής ανθυφαίρεσης είναι ο εξής:

«Ένα ζεύγος µεγεθών α, β, έχει τελικά περιοδική ανθυφαίρεση αν:

Ανθ(α, β)=[θ1, θ2, …, ,,..., 1−µν θθ ], για κάποιους δείκτες ν<µ.»

Η περιοδικότητα στην ακολουθία των πηλίκων εξασφαλίζεται αν ισχύει η ακόλουθη

πρόταση, η οποία είναι γνωστή ως

κριτήριο του λόγου:

«Η Ανθ(α, β), µε ακολουθία διαδοχικών πηλίκων κ0, λ0, κ1, λ1, …, κν, λν, …, και µε

ακολουθία διαδοχικών υπολοίπων α>β>α1>β1>…>αν>βν>…, είναι τελικά περιοδική

αν και µόνον αν ο λόγος δύο διαδοχικών υπολοίπων είναι ίσος µε το λόγο δύο άλλων

διαδοχικών υπολοίπων»

Ο λόγος δύο µεγεθών µπορεί εποµένως να θεωρηθεί γνωστός αν είναι γνωστή η

ακολουθία των πηλίκων.

Αν τα µεγέθη είναι σύµµετρα τότε η ανθυφαίρεση είναι πεπερασµένη οπότε τα

πηλίκα των διαδοχικών διαιρέσεων µπορούν να βρεθούν µέσω πεπερασµένου

αριθµού βηµάτων.

103

Αν τα µεγέθη είναι ασύµµετρα και η ανθυφαίρεσή τους είναι άπειρη µεν αλλά

περιοδική, τότε µέσω του «κριτηρίου του λόγου» η ακολουθία των διαδοχικών

πηλίκων είναι πάλι γνωστή.

Στην περίπτωση που η ανθυφαίρεση είναι άπειρη, µη περιοδική, ο λόγος των δύο

µεγεθών δεν µπορεί να γίνει γνωστός, τα µεγέθη είναι « ¥loga».

Σύµφωνα µε την 2η πρόταση του 10ου βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη, έχουµε

ότι:

«Αν η ανθυφαίρεση δύο γραµµών είναι άπειρη, τότε τα µεγέθη είναι ασύµµετρα».

Άµεση συνέπεια αυτής είναι η πρόταση:

«Αν δύο γραµµές α, β είναι µήκει σύµµετρες, τότε η ανθυφαίρεσή τους είναι

πεπερασµένη»

Αν α, β, είναι δύο γραµµές ώστε το πηλίκο α/β να µη είναι ως αριθµός προς αριθµόν

ενώ το πηλίκο α2/β2 να είναι ως αριθµός προς αριθµόν, τότε οι γραµµές αυτές

λέγονται δυνάµει σύµµετρες.

Το 62ο ανώνυµο σχόλιο στο 10ο βιβλίο των Στοιχείων µας παρέχει µία ισχυρή ένδειξη

πως η ανθυφαίρεση των δυνάµει µόνο σύµµετρων µεγεθών είναι περιοδική και

µάλιστα παλινδροµικά περιοδική. Το σχόλιο αυτό αναφέρεται στην 9η πρόταση81 του

Χ βιβλίου, σύµφωνα µε την οποία:

«αν α, β είναι γραµµές ώστε α2 = Νβ2, όπου Ν είναι µη τετράγωνος αριθµός, τότε

τα µεγέθη α, β δεν είναι µήκει σύµµετρα (και εποµένως δεν έχουν λόγο ως

αριθµός προς αριθµόν και η ανθυφαίρεσή τους είναι άπειρη).

Έχουµε εποµένως την

πρόταση:

«Αν δύο γραµµές α, β είναι δυνάµει µόνο σύµµετρες, τότε η ανθυφαίρεσή τους θα

είναι άπειρη, τελικά περιοδική και µάλιστα παλινδροµικά περιοδική».

Ισοδύναµη διατύπωση του θεωρήµατος αυτού είναι η εξής:

Αν ο Ν είναι µη τετράγωνος αριθµός και α, β γραµµές ώστε α2 = Νβ2, τότε υπάρχουν

αριθµοί µο, κ1, κ2,…,κν, ώστε:

Ανθ(α,β) = [µο, 01231,1321 2,,,,...,,...,,, µκκκκκκκκκ ννν −− ].

81 Στο σχόλιο αυτό αναφέρεται ότι:«TÕ qeèrhma toàto Qeait»teiÒn ™stin eÛrhma”

104

Απόδειξη της πρότασης αυτής υπάρχει στο βιβλίο του D. Fowler “The

Mathematics of Plato’s Academy” σελ.326-7 ( 2η έκδοση Clarendon Press –

Oxford 1999) .

Μια ανακατασκευή της απόδειξης µε χρήση µαθηµατικών εργαλείων µόνο από

το 10ο βιβλίο των Στοιχείων , έχει γίνει από τον Kαθηγητή Στ. Νεγρεπόντη και

υπάρχει καταγεγραµµένη στην εργασία : «Ανάλυση του 10ου βιβλίου των

Στοιχείων του Ευκλείδη και τεκµηρίωση της παλινδροµικής περιοδικότητας της

ανθυφαίρεσης των τετραγωνικών αρρήτων» της Β. Κλεφτάκη (σελ. 98-116 ,

∆ιπλωµατική Εργασία Αθήνα 2004) )

Αν δεχτούµε ότι η πρόταση αυτή ήταν γνωστή, τότε µπορούµε να κατανοήσουµε

πλήρως τον ορισµό του 10ου βιβλίου του Ευκλείδη σύµφωνα µε τον οποίο όχι µόνο οι

µήκει αλλά και οι δυνάµει σύµµετρες ευθείες προς την προτεθείσα ονοµάζονται

ρητές, ενώ οι ασύµµετρες ονοµάζονται άλογες, χωρίς δηλαδή λόγο.

Πρακτικά η πρόταση αυτή µας δίνει την δυνατότητα να επιτύχουµε, µέσω του

κριτηρίου του λόγου , την «πλήρη γνώση» όλων των αρρήτων της µορφής

mn / , όπου n ή m δεν είναι τετράγωνος αριθµός .

Χαρακτηριστικό είναι το 23ο σχόλιο στο 10ο των Στοιχείων του Ευκλείδη:

”Alogon kale‹ Ð gewmštrhj t¾ n m»kei kaˆ dun£mei ¢sÚmmetron tÍ ·htÍ. Σύµφωνα µε το 1ο σχόλιο στο 100 των Στοιχείων:

« Ãl qon d t¾n ¢rc¾n ™pˆ t¾n tÁj summetr…aj z»ths in oƒ P uqagÒreioi »

Την ανακάλυψη δε αυτή την έκαναν στην προσπάθειά τους να βρούν κοινό µέτρο στα

µεγέθη (όπως στους αριθµούς υπάρχει κοινό µέτρο η µονάδα).

Η αδυναµία εύρεσης κοινού µέτρου στα µεγέθη οφειλόταν στο ότι η ανθυφαιρετική

διαδικασία συνεχιζόταν επ’άπειρον (a‡t ion d… p©n d mšgeqoj ™p' ¥peiron

diairoÚmenon m¾ katalimp£nein mÒrion).

Στην ανθυφαίρεση διαµέτρου -πλευράς τετραγώνου, το «κριτήριο του λόγου»

µας κατέστησε ικανούς να γνωρίσουµε πλήρως τον άρρητο 2 . Πράγµατι από

την αρχική σχέση α2 = 2.β2 , µέσω της ανθυφαιρετικής διαδικασίας , έχουµε τις

προσεγγίσεις :

1η ανθυφαιρετική σχέση : α = 1.β + α1 Ανθ(α , β) = [1 , . . .] →

Άρα 1η προσεγγιστική τιµή : α/β = 1 ≈ 2

2η ανθυφαιρετική σχέση : β = 2.α1 + β1 Ανθ(α , β) = [1,2 , . . .] →

105

Άρα 2η προσεγγιστική τιµή : α/β = 1+1/2 = 3/2 ≈ 2

3η ανθυφαιρετική σχέση : α1 = 2. β1 + α2 Ανθ(α , β) = [1,2,2, . . .] →

Άρα 3η προσεγγιστική τιµή : α/β = 1+ 1/(2+1/2) = 7/5≈ 2

Συνεχίζοντας κατ’αυτόν τον τρόπο , αν δεν είχε εφαρµογή το κριτήριο

του λόγου , τότε θα είχαµε άπειρες τέτοιες – όλο και καλύτερες – προσεγγίσεις ,

αλλά όχι την «γνώση» του λόγου α/β, δηλαδή τα α , β θα ήταν « άλογα » . H

εφαρµογή όµως του κριτηρίου του λόγου : β/α1 = α1/β1 , µας κατέστησε ικανούς

µέσω του «πέρατος» ( δηλαδή της πεπερασµένης περιόδου ) να συλλάβουµε

γνωστικά το «άπειρο» και τελικά να γνωρίσουµε τον λόγο α/β.

Υπό την έννοια αυτή , είναι φανερό ότι οι αριθµοί της µορφής N , µε

Ν µη τετράγωνο ακέραιο , εµπεριέχουν στην ύπαρξή τους σύµφυτα το άπειρον

και το πέρας , και η πλήρης γνώση τους καθίσταται εφικτή µέσω της

εφαρµογής του κριτηρίου του λόγου (πέρας) στην διαδικασία της άπειρης

ανθυφαίρεσης ( άπειρον) .

Το µοντέλο αυτό γνώσης των τετραγωνικων ριζών µη τετράγωνων

αριθµών , µεταφερόµενο σε φιλοσοφικό επίπεδο αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο

της θεωρίας την οποία προτείνει ο Καθηγητής Στ. Νεγρεπόντης , για να

ερµηνευθεί η διαλεκτική του Πλάτωνος . Η µεταφορά αυτή τεκµηριώνεται

βέβαια µέσα από τα ίδια τα Πλατωνικά κείµενα.

106

3.2 Πλατωνική φιλοσοφία και Μαθηµατικά-

Η ανθυφαιρετική ερµηνεία της Πλάτωνικής διαλεκτική από τον

Καθηγητή Στ. Νεγρεπόντη.

Η ανθυφαιρετική ερµηνεία της Πλατωνικής διαλεκτικής ανεκαλύφθη από τον

καθηγητή κ. Στυλιανό Νεγρεπόντη κατά το χρονικό διάστηµα Οκτώβριος-∆εκέµβριος

1996 όντας επισκέπτης καθηγητής στο Πανεπιστήµιο Κύπρου. Έκτοτε η ερµηνεία

αυτή αναπτύσσεται, µέσα από συνεχείς µελέτες και έρευνες του καθηγητή Σ.

Νεγρεπόντης, θέτοντας όλο και περισσότερα θέµατα των αρχαίων ελληνικών

µαθηµατικών «υπό την ανθυφαιρετικήν βάσανον» και ερµηνείαν.

Η πρώτη διάλεξη του κ. Νεγρεπόντη, οργανωµένη από τον Όµιλο Φιλοσοφίας

Κύπρου, εδόθη στις 2 ∆εκεµβρίου 1996, µε τίτλο «΄Ενας µαθηµατικός διαβάζει τον

Φίληβο» και περιλαµβάνεται στον τόµο «∆ιαλέξεις, ακαδηµαϊκό έτος 1996-97,

Όµιλος Φιλοσοφίας Πανεπιστηµίου Κύπρου, Εισαγωγή επιµέλεια Β. Σύρος, Α.

Κουρής, Ε. Καλοκαιρινού, Λευκωσία, 1999, µε τίτλο «Η διαλεκτική του Πλάτωνος

υπό την ανθυφαιρετικήν βάσανον», σελ. 15-58.

Μία προκαταρκτική ανάπτυξη της ανθυφαιρετικής ερµηνείας ευρίσκεται στο

χειρόγραφο:

S. Negrepontis,

The Antyphairetic phusis of Plato’s Dialectics,

Preliminery Edition, March 1997, Athens, pp.176.

∆ύο προκαταρκτικές επίσης, πιο πρόσφατες, περιγραφές της ανθυφαιρετικής

ερµηνείας της Πλατωνικής διαλεκτικής ευρίσκονται στα ακόλουθα δύο κείµενα:

Στυλιανού Νεγρεπόντη

Η Ανθυφαιρετική Φύση της ∆ιαλεκτικής του Πλάτωνος,

στον τόµο ∆ιεπιστηµονική προσέγγιση των Μαθηµατικών και της ∆ιδασκαλίας τους,

Θέµατα ∆ιδακτικής Μαθηµατικών V, Επιµέλεια Φ. Καλαβάση-Μ. Μεϊµάρη,

Εκδόσεις Αιγαίου-Gutemberg, Αθήνα 2000, σελ. 15-77 και

S. Negrepontis,

The Anthyphairetic nature of Plato’s dialectics,

Invited address in the “10th meeting on real analysis and measure theory”

Ischia, Italy, July 15-19, 2002, manuscript of 62 pages.

107

Κατά τα ακαδηµαϊκά έτη από το 1998 έως και το 2004, εδόθησαν από τον Καθ.

Νεγρεπόντη µεταπτυχιακά µαθήµατα µε τίτλους:

«Ιστορία των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηµατικών» και

«Πλάτων και Μαθηµατικά»,

αλλά και σεµινάρια µε τίτλο

«Πλάτων και Μαθηµατικά».,

όπου βαθµιαία αναπτύσσεται και τελειοποιείται τόσο η ιστορία των αρχαίων

Ελληνικών Μαθηµατικών, κυρίως όπως αναπτύχθηκε από τους Πυθαγόρειους και την

Ακαδηµία του Πλάτωνος µε επίκεντρο την ανθυφαίρεση, όσο και ανθυφαιρετική

ερµηνεία της Πλατωνικής διαλεκτικής, µε την µελέτη τόσο των Πλατωνικών

διαλόγων, όσο και των νεοπλατωνικών κειµένων (ιδίως των έργων των Πρόκλου και

Πλωτίνου.

Οι σηµειώσεις των προαναφερθέντων µαθηµάτων και σεµιναρίων έχουν

χρησιµοποιηθεί στην εκπόνιση της εργασίας αυτής.

Κατά τον Αριστοτέλη82, ο αρχαίος ορισµός της αναλογίας ήταν ο

ανθυφαιρετικός:

«t¾ n g¦r aÙt¾ n ¢ntana…resin œ cei t¦ cwr…a kaˆ aƒ gramma…· œ sti d' ÐrismÕ j

toà aÙtoà lÒgou oátoj.»

Την εποχή της ανάπτυξης της Ακαδηµίας Πλάτωνος, ο ανθυφαιρετικός ορισµός της

αναλογίας είχε προσφέρει σηµαντικά µαθηµατικά αποτελέσµατα.

Η ανακάλυψη δε του κριτηρίου του λόγου την ίδια εποχή βοήθησε τα µέγιστα στη

µελέτη της ασυµµετρίας. Η αποδοτικότητα της ανθυφαίρεσης ως µεθόδου σε

µαθηµατικό επίπεδο, συνέβαλε τελικά στην µεταφορά της και στο φιλοσοφικό

επίπεδο. Η µεταφορά αυτή έγινε µε τη χρήση µιας ποιοτικού τύπου ανθυφαιρετικής

διαδικασίας, όπου τα ανθυφαιρούµενα δεν ήταν ποσότητες, αλλά «ποιότητες».

Στο µαθηµατικό επίπεδο η συµβολή του κριτηρίου του λόγου είναι διττή αφού

από τη µια µεριά εξασφαλίζει ότι η ανθυφαίρεση είναι άπειρη και από την άλλη

αποδεικνύοντας ότι τα πηλίκα που προκύπτουν επαναλαµβάνονται περιοδικά, θέτει

τρόπον τινά ένα «πέρας» στη διαδικασία αυτή.

82 Αριστοτέλους, Τοπικά 158 b33-35.

108

Στο εδάφιο 145e8-148d7 του διαλόγου «Θεαίτητος» , ο Σωκράτης προσπαθεί

να εκµαιεύσει από τους συνοµιλητές του την απάντηση στην «απορία του» για

το «τι είναι επιστήµη ή γνώση» . Βασικός συνοµιλητής του είναι ο Θεαίτητος ,

ενώ παράλληλα συµµετέχουν ο νεαρός φίλος του (Θεαίτητου) Σωκράτης και ο

δάσκαλός τους , Μαθηµατικός Θεόδωρος ο Κυρηναίος .

Η αρχική απάντηση του Θεαίτητου στην ερώτηση του Σωκράτη ,

περιλαµβάνει την απαρίθµηση µερικών ειδών γνώσης , όπως η επιστήµη της

«σκυτοτοµικής» (δηλαδή της κατασκευής υποδηµάτων ) ή της κατεργασίας του

πηλού . Ο Σωκράτης όµως παρατηρεί , ότι αναζητά τον όρισµό της επιστήµης

ως έννοιας και όχι την καταγραφή µερι-κών συγκεκριµένων επιστηµών .

Στο σηµείο αυτό ο Θεαίτητος συµβάλλει στην εξέταση του φιλοσοφικού

αυτού ζητήµατος µέσω των Μαθηµατικών . Συγκεκριµένα στο εδάφιο 147d4-

148b4 ο Θεαίτητος αναπτύσσει την θεωρία «δυνάµει µόνον συµµέτρων»

ευθειών , η οποία όπως είδαµε είναι καταγεγραµµένη στην αρχή του 10ου

βιβλιου των Στοιχείων .Ας δούµε το σχετικό κειµενο :

«Θεαίτητος» 147d3-7

QEAI. Perˆ dun£meèn ti ¹m‹n

QeÒdwroj Ó de œ grafe, tÁj te tr…podoj

pšri kaˆ pentšpodoj [¢pofa…nwn] Ó ti

m» kei oÙ

sÚ mmetroi tÍ podia…v, kaˆ oÛtw kat¦ m…an ˜k£sthn

proairoÚmenoj mšcri tÁj

˜ptakaidek£podoj·

™n d taÚtV pwj ™nšsceto.

Μεταγραφή στην Νεοελληνική

Θεαίτ. : Ο Θεόδωρος µας δίδαξε

για τις πλευρές τετραγώνων ,

αποδεικνύοντας ότι η πλευρά

τετραγώνου µε εµβαδόν τρία

τετραγωνικά πόδια και η πλευρά

τετραγώνου µε εµβαδόν πέντε

τετραγωνικά πόδια , δεν είναι µήκει

σύµµετρες προς την µονάδα µέτρησης

(το ένα πόδι ) , και συνέχισε την

εργασία αυτή λαµβάνοντας µία προς

µία τις πλευρές τετραγώνων µε

εµβαδόν µέχρι δεκαεπτά τετραγωνικά

πόδια .

Στην πλευρά αυτή σταµάτησε .

109

Μέχρι το σηµείο αυτό ο Θεαίτητος απαριθµεί µερικές συγκεκριµέ-νες

περιπτώσεις «δυνάµει µόνον συµµέτρων» ευθειών .Συγκεκριµένα :

Αν α είναι η πλευρά τετραγώνου εµβαδού τριών τετραγωνικών ποδών και β

η ποδιαία πλευρά , δηλαδή η πλευρά τετραγώνου εµβαδού ενός τετραγωνικού

ποδός τότε : α2/ β2 = 3/1 δηλαδή τα α , β είναι µεν «δυνάµει σύµµετρα» αλλά

όχι και «µήκει σύµµετρα» . Την εργασία αυτή – όπως λέει ο Θεαίτητος - ο

δάσκαλός τους Θεόδωρος την συνέχισε µέχρι το ζεύγος µε λόγο : α2/ β2 = 17/1.

Είναι φανερό λοιπόν ότι ο Θεαίτητος δίνει µερικά παραδείγµατα «δυνάµει

µόνον συµµέτρων» ευθειών , αλλά δεν έχει δώσει ακόµη την «επιστήµη» ,

δηλαδή τον ορισµό τον οποίο απαιτεί ο Σωκράτης .

Έτσι συνεχίζει ως εξής :


¹m‹n oân e„sÁlqš ti toioàton, ™peid¾

¥peiroi tÕ plÁ qoj aƒ

dun£meij ™fa…nonto, peiraqÁnai

sullabe‹n e„j ›n, Ó tJ p£saj taÚtaj

prosagoreÚsomen t¦j dun£meij.


Μας ήρθε λοιπόν στον νού η σκέψη ,

επειδή οι πλευρές αυτού του

είδους φαινοµενικά ήταν άπειρες ,

να προσπαθήσουµε να τις συµπε-

ριλάβουµε σε ένα (γνώρισµα) , µε-σω

του οποίου σε όλες αυτές τις

πλευρές να δώσουµε λόγο.

(*«prosagoreÚsomen t¦j dun£meij»=

να εφοδιάσουµε µε λόγο τις

«δυνάµει µόνον συµµέτρους» ευθείες )

Στην συνέχεια ο Θεαίτητος κατατάσσει τους ακεραίους αριθµούς σε:

τετράγωνους όταν είναι γινόµενο δύο ίσων παραγόντων ( «dun£menon ‡son

„s£kij g…gnesqai» ) και

προµήκεις όταν δεν µπορούν να παρασταθούν ως γινόµενο δύο ίσων

παραγόντων ( «Ö j ¢dÚnatoj ‡soj „s£kij genšsqai» ).

110

Τέλος καταλήγει στα συµπεράσµατα της 9ης πρότασης του 10ου βιβλίου

χρησιµοποιώντας κατά «κεραία» την , µεταγενέστερα , εκτεθείσα Ευκλείδεια

ορολογία :

«Θεαίτητος» 148a6-b2

QEAI. “Osai mn grammaˆ tÕn

„sÒpleuron kaˆ ™p…pedon

¢riqmÕ n tetragwn…zousi, mÁkoj

æris£meqa Ósai d tÕ n ˜terom»kh,

dun£meij,

æj m»kei mn oÙ summštrouj ™ke…naij,

to‹j d' ™pipšdoij § dÚnantai.


Θεαίτ.: Όσες µεν ευθείες ( ευθύ-

γραµµα τµήµατα ) είναι πλευρές

τετραγώνου µε εµβαδόν τετράγω-νο

αριθµό τις ονοµάσαµε µήκη ,

όσες δε ευθείες είναι πλευρές τε-

τραγώνου µε εµβαδόν ετεροµήκη

(δηλαδή προµήκη = µη τετράγωνο)

αριθµό τις ονοµάσαµε δυνάµεις ,

επειδή δεν είναι µεν µήκει σύµµετρες ,

είναι όµως δυνάµει σύµµετρες (δηλαδή

είναι σύµµετρες ως προς το εµβαδά

των τετραγώνων τα οποία δύνανται να

σχηµατίσουν )

Στο σηµείο αυτό τελειώνει το καθαρά µαθηµατικό µέρος του χωρίου , µέσω

του οποίου ο Θεαίτητος κατάφερε να ορίσει πλήρως τα «δυνάµει µόνον

σύµµετρα» ευθύγραµµα τµήµατα . Κατάφερε δηλαδή να πετύχει την πλήρη

γνώση όλων των -υπό σύγχρονη ορολογία- αρ-

ρήτων της µορφής N µε Ν µη τετράγωνο ακέραιο . Κάτι τέτοιο ό-µως

επιτυγχάνεται - όπως είδαµε στην προηγούµενη παράγραφο-µέσω του κριτηρίου

του λόγου .Άρα αυτό που κατάφερε ο Θεαίτητος είναι να συνεισφέρει το

κριτήριο του λόγου ώστε : « ™peid¾ ¥peiroi tÕ plÁ qoj aƒ dun£meij ™fa…nonto,

peiraqÁ nai sullabe‹n e„j ›n ».

Στην συνέχεια όµως ο Θεαίτητος αναφέρει ότι αδυνατεί να κάνει το ίδιο

και για το φιλοσοφικό ερώτηµα που έθεσε ο Σωκράτης :

111

«Θεαίτητος» 148b5-7

QEAI. Kaˆ m»n, ð Sèkratej, Ó ge

™rwt´j perˆ ™pist»mhj oÙk ¨n

duna…mhn ¢pokr…nasqai ésper

perˆ toà m»kouj te kaˆ tÁj dun£mewj.


Όµως , Σωκράτη , για αυτό το οποίο µε

ρωτάς για την επιστήµη

( γνώση) , δεν θα µπορούσα να σου

απαντήσω όπως (απάντησα )

για τα «µήκει» και «δυνάµει»

σύµµετρα ευθύγραµµα τµήµατα.

Ο Σωκράτης κλείνει το χωρίο αυτό , κάνοντας την βαρυσήµαντη δήλωση ότι θα

προσπαθήσει να χρησιµοποιήσει την Μαθηµατική µέθοδο του Θεαίτητου , ώστε

να δώσει απάντηση στο Φιλοσοφικό ζήτηµα που έθεσε αρχικά .


peirî mimoÚmenoj t¾ n perˆ tîn

dun£mewn ¢pÒkrisin, ésper taÚtaj

poll¦j oÜsaj ˜nˆ e‡dei perišlabej, oÛtw kaˆ t¦j poll¦j ™pist»maj ˜nˆ

lÒgJ proseipe‹n.


Προσπάθησε , µιµούµενος την

απάντηση που έδωσες για τα δυνάµει

µόνον σύµµετρα ευθύγραµµα τµήµατα

( όπως δηλαδή όλα αυτά τα

χαρακτήρισες µε το

ίδιο γνώρισµα ) ,

µε τον ίδιο τρόπο και τις πολλές

επιστήµες να συµπεριλάβεις σ’ένα

λόγο .

Ας συνοψίσουµε τα συµπεράσµατα του σηµαντικού αυτού εδαφίου που

αναλύσαµε , στο σχήµα της απέναντι σελίδας :

112

Πλάτων

Μαθηµατικά Φιλοσοφία

Θεαίτητος

Πλήρης γνώση του «Μαθηµατικού

όντος» N ( µε Ν µη τετράγωνο

αριθµό) , στο οποίο ενυπάρχουν

σύµφυτα το άπειρον και το

πέρας , µέσω της ανθυφαιρετικής

διαδικασίας του κριτηρίου του λόγου .

«™peid¾ ¥peiroi tÕ plÁqoj aƒ

dun£meij ™fa…nonto,

peiraqÁ nai sullabe‹n e„j ›n»

Σωκράτης

Προσπάθεια πλήρους γνωστικής

σύλληψης ενός «φιλοσοφικού όντος» ,

χρησιµοποιώντας τον µαθηµατικό

τρόπο µε τον οποίο

ο Θεαίτητος πέτυχε την πλήρη

γνώση του N (µε Ν µη τετρά-γωνο

αριθµό)

«peirî mimoÚ menoj t¾ n perˆ tîn

dun£mewn ¢pÒkrisin (…)oÛtw kaˆ t¦j

poll¦j ™pist»maj ˜nˆ lÒgJ

proseipe‹n»

Παρατήρηση :

Είναι άξιο επισήµανσης το γεγονός ότι στους «Νόµους» (820b-d) , ο Πλάτων

θεωρεί ότι είναι απαραίτητη στους νέους η διδασκαλία («fhmˆ toÝj nšouj

de‹n manq£nein») των σύµµετρων και ασύµµετρων µεγεθών (« T¦ tîn

metrhtîn te kaˆ ¢mštrwn prÕ j ¥llhla » ) . Τονίζει µάλιστα ότι αν η

διδασκαλία γίνει συγχρόνως µε το παιχνίδι θα ωφελήσει την πόλη και δεν θα

την βλάψει σε τίποτα (« kaˆ g¦r oÜte blaber¦ oÜte calep£ ™stin, met¦ d

paidi© j ¤ma manqanÒmena çfel»sei mšn, bl £y ei d ¹m‹n t¾n pÒl in oÙdšn.»).

Σχόλιο:

Οι ανωτέρω πίνακες µε τα αρχαία κείµενα και η µεταγραφή τους στην νεοελληνική

έχουν γίνει από τον συνάδελφο Πάλλα Παρασκευά, στην διπλωµατική του εργασία

«Ανθυφαιρετική ερµηνεία του επιχειρήµατος του Τρίτου Ανθρώπου (Πλάτωνος

Παρµενίδης, 132 a1-b2)», Αθήνα 2005.

113

Το γεγονός ότι τα «µαθηµατικά όντα» µπορούν να θεωρηθούν ως µίξη πέρατος και

απειρίας αποδίδεται από τον Πλάτωνα στον Πυθαγόρα και έχει διατυπωθεί από τον

ίδιο µε σαφήνεια στο διάλογο «Φίληβος83» ως εξής:

«æj ™x ˜nÕ j mn kaˆ pol l în Ôntwn tîn ¢e l egomšnwn enai,

pšraj d kaˆ ¢peir…an ™n aØto‹j sÚ mfuton ™cÒntwn. de‹n oân ¹m© j toÚtwn

oÛtw diakekosmhmšnwn ¢eˆ m…an „dšan perˆ pantÕ j ˜k£stote qemšnouj zhte‹n–

eØr»sein g¦r ™noàsan– ™¦n oân metal£bwmen, met¦ m…an dÚo, e‡ pwj e„s…,

skope‹n, e„ d m», tre‹j ½ tina ¥llon ¢riqmÒn, kaˆ t în ž n ™ke…nwn ›kas ton

p£lin æsaÚtwj,

mšcriper ¨n tÕ kat' ¢rc¦j ž n

m¾ Óti ž n kaˆ pol l ¦ kaˆ ¥peir£ ™sti mÒnon ‡dV tij, ¢ll¦ kaˆ ÐpÒsa· t¾n d toà ¢pe…rou „dšan prÕj tÕ pl Áqoj m¾ prosf šrein

prˆ n ¥n tij tÕ n ¢riqmÕ n aÙtoà p£nta kat…dV

tÕ n metaxÝ toà ¢pe…rou te kaˆ toà ˜nÒj, tÒte d' ½dh tÕ ž n ›kaston tîn p£ntwn e„j tÕ ¥peiron meqšnta ca…rein ™© n.»

Είναι αυτή ακριβώς η αντίληψη που µεταφέρθηκε σε φιλοσοφικό επίπεδο.

Έτσι, όπως ο λόγος γίνεται γνωστός όταν η άπειρη ανθυφαιρετική διαδιακασία

«περατωθεί» µε την ανακάλυψη του κριτηρίου του λόγου, µε τον ίδιο τρόπο τα όντα

γίνονται γνωστά όταν συνδεθούν µε το «άπειρο και πέρας».

Στην Πολιτεία84 ο Πλάτωνας συνδέει τη γνώση των όντων µε την ψυχή. Η

ψυχή έχει δηµιουργηθεί από ουσία σχετιζόµενη µε το πέρας και το άπειρο85. Ο νούς,

από την άλλη, είναι που θέτει σε τάξη τον κόσµο86. Η γνώση όµως συντελείται «™n tÍ

yucÍ» και είναι γνώση των όντων87. Κατά τον Πλάτωνα η γνώση δεν σχετίζεται

άµεσα µε τον ίδιο τον νού88. Η γνώση συντελείται, µέσω του κριτηρίου του λόγου,

στην ψυχή.

Εποµένως η γνώση και η µεταφορά της ανθυφαίρεσης από το µαθηµατικό

επίπεδο στο φιλοσοφικό, σχετίζονται µε τη δεύτερη κατηγορία του νοητού γένους και

την ψυχή. Η γνώση συνεπώς τελικά, είναι γνώση των λόγων.

83 Φίληβος 16 c9-e2 84 Πολιτεία 518 c4-d5 85 Τίµαιος 35 a1-b3 86 Φαίδων 98-99 87 Μένων 86 b1-2, Πολιτεία (τετµηµένη γραµµή) και Φαίδων 65 e6-a8. 88 Φαίδων 99d4-100a7

114

Τη σχέση της γνώσης µε την ψυχή περιγράφει ο Πλάτων και στον Τίµαιο89. Η

ψυχή, περιγράφεται εδώ ως αποτελούµενη από τρείς ουσίες, πέρας, άπειρο και

«πέρας και άπειρο» και ως «¢n¦ lÒgon merisqe‹sa kaˆ sundeqe‹sa», είναι δε αυτή

στην οποία συντελείται η γνώση, για την δε διαδικασία παραγωγής της

χρησιµοποιείται από τον Πλάτωνα η έκφραση: «lšgei kinoumšnh di¦ p£shj

˜autÁj»

Η γνώση των αισθητών περιγράφεται µε τις λέξεις «dÒxai kaˆ p…steij» και

συνδέεται µέσω του «qatšrou» µε το άπειρο, ενώ η γνώση των νοητών περιγράφεται

µε τις λέξεις «noàj» και «™pist»mh» και συνδέεται µέσω του «kÚkloυ toà taÙtoà»

µε το πέρας και εποµένως µε το κριτήριο του λόγου.

Η σχέση αίσθησης-γνώσης περιγράφεται µε ακρίβεια και στον διάλογο Θεαίτητος90,

όπου ο Πλάτων µας λέει ότι η αίσθηση αφ’ενός εµφανίζεται µετά τη γέννηση,

αφ’ετέρου δεν παρέχει γνώση. Η άποψη ότι «¹ m£qhsij oÙk ¥llo ti À ¢n£mnhsij

tugc£nei oâsa», έχει εκφρασθεί µε σαφήνεια από τον ίδιο τον Πλάτωνα στον

Φαίδωνα91.

O Πρόκλος92 κάνει σαφές ότι η γνώση είναι ανάµνηση και ότι η ανάµνηση δεν είναι

παρά ανάµνηση «t¾ n yuc¾ n tîn ˜autÁj lÒgwn». Η ανάµνηση εποµένως είναι

ανάµνηση των λόγων που υπάρχουν στην ίδια την ψυχή. Ο ίδιος ο Πλάτωνας

άλλωστε στον διάλογο Σωκράτη – δούλου στον «Μένωνα», παρουσιάζει τον δούλο

να κατασκευάζει την ανθυφαίρεση ( 2 ,1), µέχρι το βήµα στο οποίο εµφανίζεται το

κριτήριο του λόγου, οπότε και συντελείται η «m£qhsij». Στα σχόλιά του στην

Πολιτεία93, αναφέρεται στις τρείς µορφές της ζωής. Η πρώτη περιγράφεται µε τις

λέξεις «sun£ptetai to‹j qeo‹j» και «ØproÙs…an», δεύτερη ως «mšsh tÍ yucÍ

tetagmšnh» και «¢n£mnhs…n te parecÒmena tîn tÁj yucÁj periÒdwn kaˆ tîn

¢Ž d…wn ™n aÙta‹j l Ògwn kaˆ t în poik…l wn dun£mewn» ,ενώ η τρίτη

«fantas…aij te kaˆ a„sq» sesin ¢lÒgoij proscrwmšnhn kaˆ p£ntV tîn

ceirÒnwn ¢napimplamšnhn».

89 Τίµαιος 37 a2-c3. 90 Θεαίτητος 186 b11-e12 91 Φαίδων 72e3-73a3 92 Πρόκλος, Σχόλια στο 1ο βιβλίο των Στοιχείων, 45, 7-21 93 Πρόκλος εις Πολιτείαν, 1,177,7-179,32

115

Αυτό που ουσιαστικά περιγράφει ο Πρόκλος εδώ είναι τα τρία βασικά

Πλατωνικά επίπεδα. Στο δεύτερο επίπεδο, η ανάµνηση συνδέεται µε τους λόγους και

εποµένως είναι φυσικό να ταυτίζεται µε την ψυχή και τη γνώση των νοητών όντων.

Στο πρώτο οντολογικό επίπεδο, των υπερουσίων, η γνώση δεν είναι δυνατή, ενώ στο

επίπεδο των αισθητών δεν σχετίζεται µε τους λόγους.

Ο Πρόκλος94 συνδέει άµεσα την ανάµνηση µε την ψυχή. Τα αισθητά, ως σχετιζόµενα

µόνο µε το άπειρο, δεν επιτρέπουν την εξεύρεση των λόγων και οι αισθήσεις

αποτελούν εµπόδιο για τη γνώση.

Ο Πλάτωνας στον Θεαίτητο περιγράφει τα αισθητά ως σχετιζόµενα µε το άπειρο και

εποµένως δεν είναι δυνατό να έχουν σχέση µε το λόγο αφού µια τέτοια σχέση θα τα

συνέδεε και µε το πέρας.

Η αδυναµία σύνδεσης των αισθητών µε το πέρας, οδηγεί, κατά τον Πρόκλο95, στην

σύνδεση αισθητών – αλογίας.

Το να δεχθούµε λοιπόν ότι για τα αισθητά δεν µπορεί να βρεθεί το κριτήριο του

λόγου σηµαίνει ότι η γνώση τους µπορεί να γίνει µόνο προσεγγιστικά.

Η µέθοδος που είναι απαραίτητη για την προσέγγιση ενός λόγου µεγεθών,

είχε αναπτυχθεί από τους Πυθαγόρειους και είναι οι πλευρικοί και διαµετρικοί

αριθµοί.

Ο Πρόκλος µας λέει:

«P roet…qesan d oƒ P uqagÒreioi toÚtou toiÒnde qeèrhma gl af urÕn perˆ t în

diamštrwn kaˆ pleurîn96»

Σύµφωνα µε αυτό το «glafurÕ n» θεώρηµα, αν (p,q) είναι ένα ζεύγος ρητών

εκ των οποίων ο p είναι πλευρά και ο q διάµετρος, τότε το ζεύγος (p+q, 2p+q) είναι

επίσης ρητό, µε p+q πλευρά και 2p+q διάµετρο. Η απόδειξη του θεωρήµατος αυτού

λέει ο Πρόκλος γίνεται µε τη βοήθεια της 10ης πρότασης του 2ου βιβλίου των

Στοιχείων, που σε σύγχρονη απόδοση έχει ως εξής:

Αν 2p είναι ευθεία και q είναι προέκτασή της, τότε: (2p+q)2 +q2 = 2[(p+q)2 + q2] ή

ισοδύναµα: q2-2p2 = 2(p+q)2 – (2p+q)2. Από τη σχέση αυτή εύκολα τώρα

αποδεικνύεται επαγωγικά η θεµελιώδης ιδιότητα των πλευρικών και διαµετρικών

αριθµών:

94 Πρόκλος Σχόλια στο 1ο βιβλίο των Στοιχείων, 45,21-46,13 95 Πρόκλος εις Πολιτείαν, 1,235,8-11 96 Πρόκλος εις Πολιτείαν, 2,27,11-13

116

qn2 = 2pn

2 + (-1)n, το δε επαγωγικό βήµα είναι το «glafurÕ n» θεώρηµα του οποίου η

απόδειξη περιγράφεται από τον Πρόκλο. Από τη θεµελιώδη αυτή ιδιότητα προκύπτει

ότι οι λόγοι n

n

qp , µε n → , προσεγγίζουν το λόγο +∞

πδ διαµέτρου προς πλευρά

τετραγώνου. Μία εικόνα των προσεγγίσεων αυτών έχουµε στο σχήµα:

1

1

qp

3

3

qp

5

5

qp

6

6

qp

4

4

qp

2

2

qp

12

Ο λόγος διαµέτρου –πλευράς , προσεγγίζεται εποµένως από διαδοχικούς

λόγους σύµµετρων γραµµών (που έχουν λόγο ως αριθµός προς αριθµόν). Η πρόταση

αυτή αποδεικνύεται ότι γενικεύεται. Ο λόγος δηλαδή δύο οποιονδήποτε µεγεθών

µπορεί να προσεγγισθεί από διαδοχικούς λόγους σύµµετρων µεγεθών, των

γενικευµένων πλευρικών-διαµετρικών αριθµών.97

Ο λόγος δύο µεγεθών µπορεί λοιπόν να βρεθεί:

α) ανθυφαιρετικά ή

β) µε τους πλευρικούς και διαµετρικούς αριθµούς.

Οι δύο αυτές µέθοδοι διαφοροποιούνται όµως σε δύο ουσιαστικά σηµεία:

Η ανθυφαιρετική µέθοδος δεν µπορεί να εφαρµοσθεί παρά µόνον στα

σύµµετρα ή δυνάµει σύµµετρα µεγέθη, για τα οποία είναι και ακριβής. Ίσως αυτή να

είναι και αιτία για την οποία τα µεγέθη που δεν είναι σύµµετρα ή δυνάµει σύµµετρα

προς την προτεθείσα ευθεία καλούνται άλογα.

Το δεύτερο σηµείο διαφοροποίησης είναι ακόµη πιο σηµαντικό για το

Πλατωνικό φιλοσοφικό σύστηµα. Στην ανθυφαιρετική µέθοδο, η διαδικασία εύρεσης

των µερών εξαρτάται από το αν τα µεγέθη είναι δυνάµει σύµµετρα ή όχι. Στην 97 Βλέπε την διπλωµατική εργασία του ∆ιονύση Λαµπρινίδη µε θέµα « Η Γεωµετρία ως µάθηµα. Η εφαρµογή της ανθυφαιρετικής ερµηνείας της Πλατωνικής διαλεκτικής στην Ευκλείδια γεωµετρία», -Αθήνα 2003, σελ. 45-51.

117

πρώτη περίπτωση καταλήγει, µε την εύρεση της ισχύος του κριτηρίου του λόγου,

στην περιοδικότητα, ενώ στην δεύτερη περίπτωση η διαδικασία είναι ατέρµονη και

δεν µπορεί να δώσει κάποιο χρήσιµο αποτέλεσµα.

Η µέθοδος των πλευρικών-διαµετρικών αριθµών είναι ανεξάρτητη από το αν

τα µεγέθη είναι δυνάµει σύµµετρα ή όχι και πάντως µία τέτοιας µορφής σχέση τους

δεν µπορεί να ανακαλυφθεί µε τη χρήση της µεθόδου αυτής.

Η µέθοδος αυτή εποµένως είναι ακατάλληλη για µία, σύµφωνη µε το

Πλατωνικό φιλοσοφικό σύστηµα γνώση των νοητών όντων, µια και η γνώση τους

προϋποθέτει την εύρεση του λόγου και τη σύνδεσή τους µε το πέρας.

Τα αισθητά, αντίθετα, επειδή σχετίζονται µε τη µορφή εκείνη του απείρου που

δεν σχετίζεται µε το πέρας, µπορούν να γνωσθούν µόνο προσεγγιστικά µε τη χρήση

πλευρικών –διαµετρικών αριθµών ή των αριθµών σύγκρισης-διάκρισης.

Η ακριβής και πλήρης γνώση µπορεί να επιτευχθεί µόνο για τα νοητά όντα και µε την

εύρεση του κριτηρίου του λόγου.

Κατά το Πλατωνικό φιλοσοφικό σύστηµα, η γνώση δεν µπορεί να είναι γνώση

µόνο των µερών αλλά και των λόγων οι οποίοι σχετίζονται µε την ψυχή. Η γνώση

(ανάµνηση) των λόγων, θα συνδέσει το άπειρο µε το πέρας µε τέτοιο τρόπο ώστε να

µπορεί να καταστεί δυνατή η γνώση του όντος.

Ο λόγος δύο µεγεθών θεωρείται γνωστός όταν η ανθυφαίρεσή τους είναι

τελικά περιοδική. Αντίστοιχα ακριβώς, η γνώση του όντος µπορεί να

πραγµατοποιηθεί αν αυτό συνδεθεί µε µια άπειρη περιοδική ανθυφαιρετική

διαδικασία ποιοτικής µορφής.

Συνεπώς, η δυνατότητα γνώσης των όντων, εξαρτάται από τη δυνατότητα

ανακάλυψης, στην ακολουθούµενη διαιρετική διαδικασία, της ισχύος του κριτηρίου

του λόγου. Στην περίπτωση ισχύος του, το ον συνδέεται ευθέως µε το άπειρο και

πέρας, το οποίο είναι µια ιδιαίτερη κατηγορία απείρου (είναι η κατηγορία αυτή που

περιγράφεται στον Φίληβο98 ως «µικτόν»).

Με αυτή λοιπόν την έννοια, κατά τον Πλάτωνα, το νοητό «όν» έχει σύµφυτο

το άπειρο και πέρας99. Το ότι το Πλατωνικό όν έχει σύµφυτο το άπειρο και πέρας

σηµαίνει ακριβώς ότι είναι σύµφυτο µε µια άπειρη περιοδική ανθυφαιρετική

διαδικασία. 98 Φίληβος 27d7-8 99 Φίληβος 16c9-10: «æj ™x ˜nÕ j mn kaˆ pol l în Ôntwn t în ¢eˆ l egomšnwn enai, pšraj d kaˆ ¢peir…an ™n aØto‹j sÚmfuton ™cÒntwn»

118

Σχετικά µε τους δύο τρόπους γνώσης των όντων (µέσω του κριτηρίου του

λόγου ή των προσεγγίσεων) ας δούµε ένα χαρακτηριστικό χωρίο του Ξενοκράτη100:

tÕ mn

di¦ toà ™pisthmonikoà lÒgou krit» rion

bšbaiÒn te Øp£rcein kaˆ ¢lhqšj,

tÕ d

di¦ tÁj a„sq»sewj ¢l hqj mšn,

oÙc oÛtw d æj

tÕ di¦ toà ™pisthmonikoà lÒgou,

tÕ d

sÚnqeton koinÕ n ¢lhqoàj te kaˆ

yeudoàj Øp£rcein·

tÁj g¦r dÒxhj

t¾ n mšn tina ¢lhqÁ enai

t¾n d yeudÁ.

Τα αντικείµενα των µαθηµατικών, κατά το Πλατωνικό φιλοσοφικό σύστηµα,

είναι και αυτά όντα, τα οποία ανήκουν στην κατώτερη κατηγορία των νοητών όντων,

και εποµένως συνδέονται µε την ψυχή. Η γνώση που συνδέεται µε αυτά ανήκει

εποµένως στην κατηγορία της διάνοιας.

Για τα µαθηµατικά όντα, ως νοητά όντα που είναι, θα πρέπει να καταδειχθεί

ότι είναι και αυτά σύµφυτα µε το πέρας και άπειρο. Την δυνατότητα και τον τρόπο

γνώσης των µαθηµατικών, εξετάζει ο Πλάτωνας στα χωρία εκείνα της Πολιτείας

όπου διαπραγµατεύεται τα µαθήµατα.

Τα µαθήµατα δεν είναι παρά η γνώση των νοητών όντων. Κατά συνέπεια, τα

µαθήµατα θα πρέπει να οδηγούν από το επίπεδο των αισθητών στο επίπεδο των

νοητών. Στα σχετικά χωρία της Πολιτείας, ο Πλάτωνας καταδεικνύει, για κάθε

100 Ξενοκράτης, Testimonia doctrina et fragmenta, 83,10-14

119

µάθηµα χωριστά, τον τρόπο µε τον οποίο, ξεκινώντας από τα αισθητά, είναι δυνατό

να καταλήξουµε στη γνώση των νοητών, δηλαδή στο πέρας και άπειρο.

Ο ρόλος των µαθηµατικών όντων στην γεωµετρία δεν είναι ισότιµος. Ο

γεωµέτρης, όπως και κάθε επιστήµονας, αρχίζει από κάποιες αρχές, που αποτελούν

και το «σηµείο εκκίνησης» της γεωµετρίας. Οι αρχές αυτές δεν είναι παρά οι

απλούστερες γεωµετρικές έννοιες, οι οποίες όµως υπόκεινται στην «πρώτη αρχή»

που είναι το «πέρας και άπειρο», και της οποίας η προσέγγιση γίνεται µόνο από την

διαλεκτική. Έργο του φιλοσόφου είναι να αποδείξει ότι οι αρχές των επιστηµών

υπόκεινται σε αυτήν την «πρώτη αρχή».

Στην «Πολιτεία», ο Πλάτων δεν αναφέρεται άµεσα σε διαίρεση, αλλά µιλάει

για µια «κίνηση» από «e‡dh» σε «e‡dh». Στον διάλογο «Πολιτικός» ο Πλάτων µιλάει

για διαίρεση «kat' e‡dh». Αν λόγου χάριν έχουµε µια διαίρεση του τύπου:

α

β γ

τότε, τα β, γ είναι τα e‡dh.

Στην «Πολιτεία», το ρόλο της διαίρεσης παίζουν οι «Øpoqšseij», αφού η

«Øpόθεση» γίνεται πάντα σε ενάντια µέρη. Οι Øpoqšseij, εποµένως είναι δύο

διαδοχικά µέρη στη διαίρεση. Αν όντως η Øpόθεση σηµαίνει διαίρεση, τότε το

«¢nupÒqeton», της «Πολιτείας» έχει την ίδια έννοια µε το «¥tmhto» του

Φαίδρου101.

Στο διάλογο «Φαίδρος» του Πλάτωνος , η κίνηση της ψυχής παρουσιάζεται µέσω της

αόριστης δυάδος (κινούν, κινούµενο).

Το συµπέρασµα που προκύπτει από την ανάλυση του χωρίου 245-249 περίπου του

Φαίδρου, είναι ότι, όταν:

κινούν εξισώνεται µε το κινούµενον, µε συνέπεια την «παύση κινήσεως και ζωής»

και άρα το «κακό άπειρο» δηλαδή, το άπειρο χωρίς πέρας.

Εποµένως η ψυχή είναι αθάνατος γιατί είναι αυτοκίνητος, και είναι αυτοκίνητος102

γιατί: κινούν εξισώνεται µε το κινούµενον, άρα έχουµε το σχήµα:

Το κινούν εξισώνεται µε το κινούµενον, που σηµαίνει αυτοκίνητος ψυχή,

δηλαδή αθάνατος ψυχή και άρα «καλό άπειρο», δηλαδή άπειρο περατούµενο.

120

101 Φαίδρος 277 b 7 «Ðris£menÒj te p£lin kat' e‡dh mšcri toà ¢tm» tou tšmnein» 102 Για την διχοτοµία : αυτοκίνηση – ετεροκίνηση, βλέπε και Νόµοι 893b1-894b5.

Έχουµε λοιπόν την αόριστη δυάδα (κινούν κινούµενο), και όταν τα µέλη της

εξισώνονται τότε έχουµε την αυτοκίνηση της ψυχής και εποµένως την αθανασία της.

Στην β΄υπόθεση του Παρµενίδη103, το θέµα είναι ο ορισµός των αριθµών.

Η ανθυφαίρεση της δυάδος (εν, ον), µε εν>ον, περιγράφεται από τον Πλάτωνα

αναλυτικά στον Παρµενίδη. Έχουµε λοιπόν:

εν = ον + εν1, εν1<ον, κ.λπ.

Σε σύγχρονη γραφή µας λέει ο Πλάτων εκεί ότι:

t1>t2>…>tk>tk+1>….

Τα µέρη του εν είναι τα t2, t3, …,

ενώ τα µέρη του ον είναι τα t3, t4,….

Ο Πλάτων µε την χαρακτηριστική έκφραση «tosaàta Ó saper», έκφραση η οποία

πάντα σηµαίνει πεπερασµένο αριθµό, δηλώνει ότι ο αριθµός των µερών του εν είναι

ίσος µε τον αριθµό των µερών του ον.

Ο αριθµός στο 142-145 του Παρµενίδη, ορίζεται ως µια πεπερασµένη ακολουθία από

κ συνεχόµενα µέρη και κ-1 «άψεις». Έχουµε δηλαδή την ακολουθία :

t1, t2, t3, t4,…,tk, tκ+1,….

Όπου t1, t2, t3, t4,…,tk, tκ+1,…., είναι οι µονάδες και «άψεις» είναι104 οι λόγοι t2/t1,

t3/t2, κ.λπ.

Οι «άψεις» δε αυτές σύµφωνα µε τον ορισµό του Πλάτωνα, πρέπει να είναι

πεπερασµένες και µάλιστα αριθµός άψεων = αριθµός µονάδων-1.( «sumba…nei t¦j

¤y ei j toà pl »qouj t în ¢r iqmîn mi´ ™l £ttouj enai»)105

Κατ’ανάγκη τότε θα πρέπει: t1*t2 = tn*tn+1 (κριτήριο του λόγου).

Το κριτήριο του λόγου στον διάλογο «Παρµενίδης» του Πλάτωνος.

Από την ανάλυση106 του διαλόγου αυτού (142-145), από τον καθηγητή Σ.

Νεγρεπόντη, προκύπτουν τα εξής:

103 S. Negrepontis, The Periodic Anthyphairetic Nature of the One in the Second Hypothesis of the Parmenides 142b1-159b1, υπό προετοιµασία.

104 Ηµερίδα «∆ιεπιστηµονική Προσέγγιση των Μαθηµατικών», Τµήµα Μαθηµατικών του Παν/µίου Αθηνών, Απρίλιος του 2005.

105 Παρµενίδης 149 b3-4 106 Για την πλήρη ανάλυση του διαλόγου αυτού, βλέπε: Πάλλας Παρασκευάς, «Ανθυφαιρετική

ερµηνεία του επιχειρήµατος του Τρίτου Ανθρώπου (Πλάτωνος Παρµενίδης, 132 a1-b2)», ∆ιπλωµατική εργασία σελ.126-136, Αθήνα 2005.

121

«›n» Ανθ(α , β) = [κο , → 0110 ,,, klkl , 0110 ,,, klkl …] (Ι) Ανθ(β , α1) Επίσης , το «× n» ως δυάδα [ ον, εν1] αντιστοιχεί στο ζεύγος (β , α1)

του οποίου η ανθυφαίρεση είναι :

«× n» Ανθ(β , α→ 1) =[ lo , κ1 , l1 , 1100 ,,, lklk , 1100 ,,, lklk , …] (ΙΙ) Ανθ(α ,β)

Η περιοδικότης είναι αυτή που καθιστά τις µονάδες ίσες.

Στον Φίληβο 56 c10-e6 έχουµε τη διχοτοµία σε δύο άπειρα, αναφέρεται δε επίσης

και η υποχρέωση ίσων µονάδων.

Περνώντας τώρα στην «Πολιτεία», να πούµε ότι ο Πλάτων περιγράφει την

αριθµητική (των «λίγων»), σε αντιδιαστολή µε την αριθµητική των πολλών (522c5-

d9). (πρβλ. Φίληβος 56d4-6: αριθµητική των πολλών, ή των φιλοσοφούντων).

Ασκεί κριτική στην αριθµητική, όσον αφορά το πως νοείται και εφαρµόζεται η

µέτρηση. Το πρόβληµα κατά την άποψη του Πλάτωνος βρίσκεται στο ότι αυτοί που

µετρούν αναφέρονται σε αριθµούς που δεν συντίθενται από όµοιες µεταξύ τους

µονάδες. Το ζήτηµα της αρίθµησης σχετίζεται µε το νόηµα του αριθµού «δύο» και

της κατασκευής του.

Από την ανάλυση του χωρίου 522-526 της Πολιτείας, όπου το θέµα είναι πάλι ο

ορισµός των αριθµών, έχουν προκύψει107 τα εξής:

• το διαλεκτικό Έν είναι αµερές, δεν έχει µέρη ή µόρια

• Οι αριθµοί εποµένως σύγκεινται εκ µονάδων, οι οποίες είναι µεταξύ τους

όµοιες, και οι οποίες είναι αµερείς, καθώς δεν έχουν κανένα µόριο µέσα

τους.

Από τον συνδιασµό των παραπάνω προκύπτει ότι το Έν είναι ένα

ανθυφαιρετικόν αυτο-όµοιον, και είναι κατάλληλο γιά τον ορισµό των αριθµών.

(Ακριβώς όπως στον Παρµενίδη 142-145).

Στον «Σοφιστή», ο Πλάτων δηλώνει ότι το «εν» δεν είναι σαν το «αυτοέν» της

πρώτης υπόθεσης του Παρµενίδη, αλλά είναι το «εν το πεπονθός», εννοώντας ότι το

«εν» αυτό έχει µέρη.

Στην β΄υπόθεση του Παρµενίδη, έχουµε λοιπόν την αόριστη δυάδα (εν, ον) και τα

µέλη της εξισώνονται µέσω της περιοδικής ανθυφαιρετικής διαδικασίας.

107 Βλέπε Φυλλάδιο 6 του Καθηγητή Σ. Νεγρεπόντη, µάθηµα «Πλάτων και Μαθηµατικά» Απρίλιος

2003, όπου ο αριθµός δύο ορίζεται, µέσω Φιλήβειων αόριστων δυάδων, από ταυτοτικά ίσες µονάδες.

122

Στον διάλογο αυτό και µάλιστα σε τρία διαφορετικά σηµεία, αναζητεί ο Πλάτων τον

ορισµό του όντος, περιγράφοντάς το µε την έκφραση :

«¢eˆ kat¦ taÙt¦ kaˆ æsaÚ twj œ cei».

Η έκφραση αυτή αλλού υπάρχει ως «αµερές» ή ως «ταυτόν εαυτόν». Η δε έκφραση

«ταυτόν εαυτόν», από πολλά σηµεία προκύπτει ότι σηµαίνει «αυτοοµοιότητα» (και

όχι κάτι τετριµµένο όπως χ=χ).

Στον Παρµενίδη είχαµε την αόριστη δυάδα (εν, ον) τα µέρη της οποίας

εξισώθηκαν µέσω της περιοδικότητας ως συνέπειας του κριτηρίου του λόγου.

Στον Σοφιστή έχουµε την δυάδα (ον, µη ον), και τον «µη ον» είναι το άλλο

µόριο του όντος. Τελικά το ον και το µη ον θα «εξισωθούν» (™x ‡sou tÒ te × n kaˆ

tÕ m¾ × n108) µέσω του λόγου όπως και στον Παρµενίδη.

Η δυνατότητα δύο πραγµάτων να «εξισωθούν», αναφέρεται από τον Πλάτωνα

και στον Πολιτικό. Στο χωρίο 306-311 του διαλόγου αυτού, ο Πλάτων περιγράφει

πως η «δύναµις κοινωνίας» επιφέρει την «εξίσωση» των µερών της αόριστης δυάδας.

Από την ανάλυση του διαλόγου αυτού προκύπτει ότι «δύναµις» είναι ένα «ον» µε

την ιδιότητα να είναι ταυτόχρονα «εν και πολλά». Στην παραγωγή των αριθµών από

ίσες µονάδες αναφέρεται ο Πλάτων και στον Τίµαιο109 ,αλλά και στην

«Επινοµίδα».110. Αναφορές στις «ισασθείσες µονάδες», έχει και ο Αριστοτέλης,

στο έργο του «Μετά τα Φυσικά», 1081a21-271083 b23-34, 1091a23-29111.

Η εµφάνιση του κριτηρίου του λόγου στον «Σοφιστή»

Όπως προαναφέραµε , στον «Θεαίτητο» ο Σωκράτης δηλώνει ότι θα

προσπαθήσει να επιλύσει το φιλοσοφικό ζήτηµα του « τι είναι επιστήµη » ,

µιµούµενος την µαθηµατική µέθοδο που χρησιµοποίησε ο Θεαίτητος .Πράγµατι

στο τέλος του διαλόγου ο Σωκράτης δηλώνει στον Θεόδωρο ότι θα

συναντηθούν πάλι το άλλο πρωί για να συνεχίσουν την συζήτηση (« ›wqen dš,

ð QeÒdwre, deàro p£lin ¢pantîmen » ) . Η συνάντησή τους αυτή , µε τους

ίδιους συνοµιλητές ( Θεόδωρο , Θεαίτητο και τον νεαρό Σωκράτη ) αλλά και τον

ξένο Ελεάτη , καταγράφεται στον διάλογο «Σοφιστής» .

108 Σοφιστής 250 e6 109 Τίµαιος 39 b2-c2, 40b-c, 47a4-b2. 110 Επινοµίς 978 b7-070a6. 111 Bλέπε Φυλλάδιο 5ε, µάθηµα «Πλάτων και Μαθηµατικά» του καθηγητή Σ. Νεγρεπόντη, Απρίλιος

2003

123

Από τον «Σοφιστή» λοιπόν θα µελετήσουµε την µέθοδο µε την οποία ο

Πλάτωνας δίνει τον ορισµό του σοφιστή στο τελευταίο µέρος του διαλόγου

(264b9-268d5) . H µέθοδος που χρησιµοποιεί είναι η συνεχής διαίρεση κάθε

προκύπτουσας έννοιας , και προσοµοιάζει πλήρως µε την ανθυφαιρετική

διαδικασία . Εδώ βέβαια τα συµµετέχοντα στις ανθυφαιρετικές σχέσεις δεν είναι

µεγέθη αλλά ποιότητες και έτσι , όπως αναφέρει ο ∆. Λαµπρινίδης : « Το

αποτέλεσµα είναι ότι οι σχέσεις που προκύπτουν δεν υπακούουν στην

αριθµητική , µια και για τις ποιότητες θα έχουµε ότι : n.β = β» (∆. Λαµπρινίδης :

« Η Γεωµετρία ως µάθηµα . Η εφαρµογή της ανθυφαιρετικής ερµηνείας της

Πλατωνικής διαλεκτικής στην Ευκλείδια γεωµετρία »∆ιπλωµατική εργασία -

Αθήνα 2003 , σελ.53) . ∆ηλαδή η γενική ανθυφαιρετική σχέση δεν θα είναι της

µορφής :

αn = κn. βn +αn+1 ,αλλά

αn = βn +αn+1

( Για παράδειγµα : Αν βn = λευκό , τότε οσεσδήποτε φορές και αν πάρουµε το

λευκό , προκύπτει πάλι λευκό . ∆ηλαδή : κn .βn = βn )

Ο ορισµός του σοφιστή ξεκινά από την διαπίστωση ότι η τέχνη που ασκεί

είναι παραγωγική («ποιητική») και όχι αποκτητική («κτητική») . Στην συνέχεια

ακολουθείται η εξής διαιρετική διαδικασία :

1.(265b4-6) : «XE. PoihtikÁj d¾ prîton dÚ ' œ stw mšrh.

QEAI. Po…w;

XE. TÕ mn qe‹on, tÕ d' ¢nqrèpinon.»

2.(266a8-10): Το «¢nqrèpinon» µέρος διαιρείται σε :

«mšroj mn ›n ¢f ' ˜katšraj tÁj mer…doj

aÙtopoihtikÒn, të d' Øpolo…pw scedÕ n m£list' ¨n

lego…sqhn e„dwlopoiikè·»

3.(266a1-8) : «XE. TÁj to…nun e„dwlourgikÁj ¢namnhsqîmen Ó ti tÕ

mn e„kastikÒn, tÕ d fantastikÕ n œmel l en enai

gšnoj»

4.(267a1-8) : «XE. TÕ to…nun fantastikÕ n aâqij dior…zwmen d…ca.

124

QEAI. PÍ;

XE. TÕ mn di' Ñrg£nwn gignÒmenon, tÕ d aÙtoà

paršcontoj ˜autÕ n Ô rganon toà poioàntoj tÕ

f£ntasma.

QEAI. Pîj fÇj; XE. “Otan omai tÕ sÕ n scÁm£ t i j tù ˜autoà

crèmenoj sèmati prosÒmoion À fwn¾ n fwnÍ

fa…nesqai poiÍ, m…mhsij toàto tÁj fantastikÁj

m£lista kšklhta… pou.»

5.(267b7-8) : « XE. Tîn mimoumšnwn oƒ mn e„dÒtej Ö mimoàntai toàto

pr£ttousin, oƒ d' oÙk e„dÒtej.»

Οι «oÙk e„dÒtej» αµέσως παρακάτω (267c3) χαρακτηρίζονται και ως

«δοξάζοντες»

6.(268a6-7) : Το µέρος των «δοξαζόντων» διαιρείται :

« XE. OÙkoàn tÕn mn ¡ploàn mimht»n tina, tÕn d

e„rwnikÕ n mimht¾ n q»somen;

QEAI. E„kÕ j goàn.» 7.(268b9-c4) : Tο µέρος του « e„rwnikού mimhtού » χωρίζεται :

«QEAI. DhmologikÒn.

XE. T… d tÕ n ›teron ™roàmen; sofÕ n À sofistikÒn;

QEAI. TÕ mšn pou sofÕ n ¢dÚnaton, ™pe…per oÙk

e„dÒta aÙtÕ n œ qemen· mimht¾ j d' ín toà sofoà

dÁlon Ó ti parwnÚmion aÙtoà ti l»yetai, kaˆ

¢lhqîj aÙtÕ n ™ke‹non tÕ n pant£pasin Ô ntwj

sofist»n.»

την διαίρεση του σοφιστή , λαµβάνοντας υπ’όψη ότι :

(264e1-3) «P£lin to…nun ™piceirîmen, sc…zontej dicÍ tÕ proteqn

scedÕ n ½ dh mem£qhka Ó ti toàton de‹ proseipe‹n

Με βάση τα παραπάνω εδάφια , θα καταγράψουµε σ’ένα διάγραµµα

125

gšnoj, poreÚ esqai kat¦ toÙpˆ dexi¦ ¢eˆ mšroj toà

tmhqšntoj »

δηλαδή , κατά την διαδικασία της διαίρεσης , θα ακολουθούµε πάντα

το δεξιό µέρος του ζεύγους που προκύπτει .

Φθάνουµε έτσι στο ακόλουθο σχήµα :

[Κτητική (τέχνη) Ποιητική (τέχνη) (α)

↓

qe‹on

(β)

¢nqrèpinon

(α1)

↓

aÙtopoihtikÒn (β1) e„dwlopoiϊkόν (α2)

↓

e„kastikÒn (β2) fantastikÕ n (α3)

↓

di' Ñrg£nwn (β3)

aÙtoà paršcontoj ˜autÕ n

Ô rganon (m…mhsij) (α4)

↓

e„dÒtej (β4) oÙk e„dÒtej – δοξάζοντες (α5)

↓

¡ploàς mimht» ς (β5) e„rwnikÕ ς mimht¾ ς (α6)

↓

δhmologikÒς (β6) sofistikÒς - sofist» ς (α7)

126

Το πρώτο που παρατηρούµε είναι ότι η διαιρετική αυτή µέθοδος , δεν είναι

τίποτε άλλο παρά µια µεταφορά σε φιλοσοφικό επίπεδο , της ανθυφαιρετικής

διαδικασίας . Πράγµατι , λαµβάνοντας υπ’όψη ότι τα αn , βn αντιπροσωπεύουν

εδώ ποιότητες και όχι µεγέθη , παρατη-ρούµε ότι σχηµατίζονται οι

ανθυφαιρετικές σχέσεις : αn = βn + αn+1 µε n = 0,1,…,6 και αο =α , βο=β .

( Πρέπει να επισηµάνουµε ότι σχηµατίζονται οι µισές ανθυφαιρετικές

σχέσεις , αφού όπως είδαµε ο Πλάτων πορεύεται πάντα «kat¦ toÙpˆ

dexi¦ ¢eˆ mšroj toà tmhqšntoj » )

Το δεύτερο που παρατηρούµε , είναι ότι οι λόγοι :

β1/α2 = aÙtopoihtikÒn/e„dwlopoiϊkόν και β4/α5 = e„dÒtej/δοξάζοντες ,

είναι ίσοι . Πράγµατι , στο εδάφιο 509 d7-511e5 της «Πολιτείας» (το

εδάφιο της «τετµηµένης γραµµής» ) ο Πλάτων βεβαιώνει ότι :

« æj tÕ doxastÕ n prÕ j tÕ gnwstÒn, oÛtw tÕ Ðmoiwqn prÕ j tÕ ú æmoièqh;

”Egwg', œ fh, kaˆ m£la.»

∆ηλαδή , doxastÕ n/gnwstÒn = Ðmoiwqn/prÕ j tÕ ú æmoièqh

ή ( από ιδιότητα «ανάπαλιν» )

gnwstÒn/doxastÕ n = prÕ j tÕ ú æmoièqh/Ðmoiwqn

↓ ↓

e„dÒtej/δοξάζοντες = aÙtopoihtikÒn/e„dwlopoiϊkόν

ή β1/α2 = β4/α5

Παρατηρούµε λοιπόν ότι ικανοποιείται το «κριτήριο του λόγου» και έτσι

« µέσω µιας φαινοµενικά πεπερασµένης διαίρεσης αλλά στην πραγµατικότητα

άπειρης (τελικώς περιοδικής ) ανθυφαίρεσης » ( Νεγρεπόντης 2000, σελ. 57) ,

ορίζεται ο σοφιστής . Το κριτήριο του λόγου προσδίδει στην άπειρη

ανθυφαίρεση περιοδικότητα η οποία µας επιτρέπει να συναγάγουµε σε ένα ( το

Θεαιτήτειο «sullabe‹n e„j ›n» )τα άπειρα µέρη της διαίρεσης ( «καλή»

διαίρεση και συναγωγή ). Ο Πλάτωνας τονίζει εµφατικά το σηµείο αυτό , στο

τέλος της διαιρετικής διαδικασίας :

(268c5-6) « XE. OÙkoàn sund»somen aÙtoà, kaq£per œ mprosqen,

toÜnoma sumplšxantej ¢pÕ teleutÁj ™p' ¢rc»n;

127

QEAI. P £nu mn oân.»

Έτσι το τελικό συµπέρασµα (268d2-5) είναι ότι ορίζουµε πλήρως τον

αληθινό σοφιστή («tÕ n Ô ntwj sofist¾ n) µέσω του κριτηρίου του λόγου

( «¢fwrismšnon ™n lÒgoij»)

Η «™k qeoà doqe‹san di¦ mšsou Promhqšwj» δεν είναι καµµιά άλλη , παρά η

βασική Πλατωνική αρχή που όπως είδαµε στον Φίληβο « ™k qeîn ™rr…fh di£

tinoj Promhqšwj » σύµφωνα µε την οποία: « ™x nÕj mn kaˆ pol l în Ôntwn tîn

¢eˆ l egomšnwn enai, pšraj d kaˆ ¢peir…an ™n aØto‹j sÚmf uton ™cÒntwn112 »

Το κριτήριο του λόγου εµφανίζεται και στο διάλογο «Πολιτικός» του

Πλάτωνος113.

112 Φίληβος 16 c9-10 113 Βλέπε ∆ιπλωµατική εργασία Μπασιάκου Αλίκης, µε θέµα «Ο «Πολιτικός» του Πλάτωνος και η παλινδροµική περιοδικότητα των τετραγωνικών αρρήτων», Αθήνα 2004.

128

Κεφάλαιο 4

4.1 Εισαγωγή

Στο µέρος αυτό της εργασίας, θα ερµηνεύσουµε το χωρίο 546 b3-c7 της

«Πολιτείας» µε βάση την ανθυφαιρετική θεωρία του καθηγητή Στ. Νεγρεπόντη.

Στοχεύοντας σε µια, κατά το δυνατόν, πλήρη ερµηνεία του δυσνόητου αυτού

χωρίου της «Πολιτείας», θα στηριχθούµε :

• Στην ανθυφαιρετική θεωρία, του καθηγητή Στ. Νεγρεπόντη και

κατ’επέκταση στην ανθυφαιρετική ερµηνεία γενικότερα της Πλατωνικής

διαλεκτικής,

• Σε χωρία του ίδιου του Πλάτωνος, µέσα από τα οποία προκύπτει η σωστή

ερµηνεία λέξεων-κλειδιών του εν λόγω χωρίου,

• Στα πολύτιµα σχόλια του Πρόκλου, κυρίως στην «Πολιτεία», αλλά και σε

άλλα έργα του Πλάτωνος,

• Σε χωρία των Αριστοτέλους, Ιάµβλιχου, Νικόµαχου Γερασηνού,

Αλεξάνδρου Αφροσιέως, Σιµπλίκιου, Αριστίδη Κοϊντιλιανού,

Πλουτάρχου, Ήρωνος Αλεξανδρέως και άλλων.

129

4.2 Ανάλυση του χωρίου 546 b3-c7 της «Πολιτείας», σε µορφή πίνακα.

œsti d qe…J mn gennhtù per…odoj ¿n ¢riqmÕ j perilamb£nei tšleioj,

¢nqrwpe…J d ™n ú prètJ

aÙx» seij dun£mena… te

kaˆ dunasteuÒmenai, tre‹j ¢post£seij,

tšttaraj d Ó rouj laboàsai

ÐmoioÚ ntwn te

kaˆ ¢nomoioÚ ntwn

kaˆ aÙxÒntwn

kaˆ fqinÒntwn,


ïn ™p…tritoj puqm¾ n

pemp£di suzugeˆ j


t¾n mn ‡shn „s£kij, ˜katÕ n tosaut£kij,

t¾n d „som»kh mn tÍ,

prom» kh dš, katÕn mn

¢riqmîn

¢pÕ diamštrwn ·htîn pemp£doj, deomšnwn ˜nÕ j

˜k£stwn, ¢rr» twn d

duo‹n,

katÕn d kÚ bwn tri£doj.

sÚmpaj d oátoj ¢riqmÕj gewmetrikÒj

130

4.3 Ερµηνεία επί µέρους τµηµάτων του χωρίου.

«œsti d qe…J mn gennhtù per…odoj ¿n ¢r iqmÕj per i l amb£nei tšl eioj ,

¢nqrwpe…J d ™n ú prètJ aÙx»sei j dun£mena… te kaˆ dunas teuÒmenai ,

tre‹j ¢post£seij, tšttaraj d Ó rouj laboàsai

ÐmoioÚntwn te kaˆ ¢nomoioÚntwn kaˆ

p£nta pros»gora kaˆ ·ht¦ prÕ j ¥llhla ¢pšfhnan114»,

Όσον αφορά στο «θείο γενητό» και τον «τέλειο αριθµό», συµφωνούµε µε την

ερµηνεία του Πρόκλου.

Το σχήµα που φαίνεται να προκύπτει από το πρώτο αυτό τµήµα του χωρίου της

Πολιτείας, είναι το ακόλουθο:

αυξήσεις

δυναστευόµενες δυνάµενες

(32, 42, 33, 43, 32.4, 42.3) (3, 4)

ανοµοιούντων (32.4, 42.3) οµοιούντων (32, 42, 33, 43)

(42.3) (32.4)

Το πρώτο τµήµα του χωρίου της Πολιτείας, είναι το:

aÙxÒntwn kaˆ fqinÒntwn,

Όσον αφορά στο «ανθρωπείο γενητό», θα δείξουµε στη συνέχεια ότι ο Πλάτων µε

την έκφραση αυτή εννοεί το πρώτο ορθογώνιο τρίγωνο µε µήκη πλευρών ρητούς

αριθµούς, δηλαδή το τρίγωνο 3-4-5.

φθινόντων αυξόντων

131

114 Πολιτεία 546 b3-c1

Ο διαχωρισµός των ανοµοιούντων αριθµών σε αύξοντες και φθίνοντες, υποστηρίζεται

και από τον Πρόκλο:

Οι αύξοντες και φθίνοντες αριθµοί είναι λοιπόν Ípodia¤resiw, των ανοµοιούντων

αριθµών. Οι αριθµοί µάλιστα αυτοί βρίσκονται σε αναλογία, αφού είναι:

43/3.42 = 3.42/32.4 = 32.4/33 (= 4/3).

énomoioÊntvn d¢ t«n én¤soiw xrvm°nvn pleura›w

µ §pip°dvn µ stere«n. ka‹ §p‹ toÊtoiw

kay' Ípodia¤resin t«n énomoioÊntvn

•j∞w fhsin·

aÈjÒntvn te ka‹ fyinÒntvn·115

Η έκφραση δε που δηλώνει σαφώς αυτήν την αναλογία, όπως είδαµε αναλυτικά στην

ερµηνεία του Πρόκλου, είναι η «p£nta pros» gora kaˆ ·ht¦ prÕ j ¥llhla

¢pšfhnan»

Να σηµειώσουµε εδώ ότι, οι αριθµοί 32.4 και 3.42, είναι οι δύο γεωµετρικοί µέσοι

που χρειάζονται για να συνδεθούν οι δύο κύβοι 33 και 43, όπως ακριβώς περιγράφει ο

Πλάτων στον «Τίµαιο».

Η έκφραση «™n ú prètJ», φαίνεται ότι αναφέρεται ακριβώς στο

ορθογώνιο τρίγωνο 3-4-5.

Ο ισχυρισµός µας αυτός προκύπτει από το ίδιο το χωρίο της Πολιτείας, καθ’όσον η

εισαγωγική έκφραση «ïn ™p…tritoj puqm¾ n», σηµαίνει «ο επίτριτος πυθµήν των

προηγουµένων».

Αυτό σηµαίνει ότι η πρόταση

« ™n ú prètJ aÙx»seij dun£mena… te kaˆ dunasteuÒmenai, tre‹j ¢post£seij, tšttaraj d Ó rouj laboàsai ÐmoioÚntwn te kaˆ ¢nomoioÚntwn kaˆ aÙxÒntwn

kaˆ fqinÒntwn, p£nta pros»gora kaˆ ·ht¦ prÕ j ¥llhla ¢pšfhnan·»,

αναφέρεται στον επίτριτο πυθµένα και συνεπώς στο τρίγωνο 3-4-5.

Ο Σιµπλίκιος στα σχόλιά του στα «Φυσικά» του Αριστοτέλη, αναφέρεται στο

έκφραση «™n ú prètJ»:

pšraj crÒnou, Ó per ‘nàn’ kaloàmen, Ó per Pl£twn ‘™xa…fnhj’ ™k£lesen. «metabšblhke tÕ metabeblhkÒj, oÙ crÒnoj ™st…n, ¢ll¦ ¥tomÒn ti

115 Πρόκλος εις Πολιτείαν, 2,36,12-20

132

™xhghs£menoj dš, t… shma…nei tÕ prîton, oÛtwj ™pˆ t¾ n ¢pÒdeixin toà prokeimšnou cwre‹. prîton g¦r kaqÒlou lšgesqa… fhsin tÒde ti À toiÒnde enai À tosÒnde kaˆ ™pˆ p£ntwn Ðmo…wj, Ö m¾ tù ›terÒn ti prÕ aÙtoà

kat' ¥llo· kat' ¥l l o d lšgetai À tÕ tù mÒr iÒn t i aÙtoà toioàton enai Ó lon toioàton legÒmenon, ésper tÕ Ðr© n Øp£rcein lšgomen tù ¢nqrèpJ oÙ prètJ, diÒti to‹j Ô mmasi prètoij· kaˆ ™n 'Aq»nai j enai legÒmeqa tù mÒrion t în 'Aqhnîn enai tÕ n ™n ú ™smen tÒpJ. ½ toi <Ö > tù tÕ gšnoj aÙtoà kaˆ ú Øpotštaktai toioàton enai kaˆ aÙtÕ toioàton l šgetai , æj tÕ

enai toioàton kaˆ aÙtÕ toioàton lšgetai. ¢nt…kei tai d tù prètJ tÕ

„sÒpleuron tr…gwnon dusˆ n Ñrqa‹j ‡saj œ cein lšgetai t¦j tre‹j gwn…aj oÙ prîton, ¢ll¦ diÒti p© n tr…gwnon. ™peˆ oân dÚnata… ti lšgesqai metabe- blhkšnai ™n crÒnJ tin…, Ó ti œ n tini tîn toÚtou metabšblhken (™n g¦r tù pšrati aÙtoà), di¦ toàto prosšqhke tÕ prètJ. de…knus i d Ó ti ¥tomon tÕ ™n ú prètJ metabšblhke tÕ metabeblhkÕ j di¦ tÁj e„j ¢dÚna- ton ¢pagwgÁj· e„ g¦r dunatÒn116». Το παράδειγµα που χρησιµοιποιεί ο Σιµπλίκιος στο χωρίο αυτό για να εξηγήσει πως

χρησιµοποιούσε ο Πλάτων την έκφραση ™n ú prètJ, είναι ότι το άθροισµα των

γωνιών ενός ισοπλεύρου τριγώνου είναι δύο ορθές, oÙ prîton, όχι δηλαδή για πρώτη

φορά, αλλά γιατί η πρόταση αυτή ισχύει αρχικά σε τυχαίο τρίγωνο.

Πιθανόν εποµένως η έκφραση ™n ú prètJ, να σηµαίνει το πρώτο ορθογώνιο

τρίγωνο µε ρητές πλευρές, για το οποίο ισχύει φυσικά το Πυθαγόρειο θεώρηµα

Ο Πρόκλος , στα σχόλιά του εις Πολιτείαν 2,43,1-3, αναφερόµενος σε αυτό ακριβώς

το τρίγωνο 3-4-5, µας λέει:

«o†tinej ™n toÚ tJ prètJ Ô ntej tù trigènJ (prÕ g¦r toÚ tou tr…gwnon

Ñrqogènion ™k ·htîn ¥llo pleurîn oÙk œ stin)».

Το τρίγωνο 3-4-5, σχολιάζεται λοιπόν ως το prîton ορθογώνιο τρίγωνο µε ρητές

πλευρές.

¹ mn tri¦j toà Ôntoj,

Ö d¾ prètwj ™stˆ n miktÕ n ™k pšratoj kaˆ ¢pe…rou·»

«kaˆ g¦r ¹ pemp¦j prîtoj kuklikÒj ™stin ¢riqmÕ j kaˆ nù sÚ zugoj»

Στο 2,45,26:

«˜xÁj oƒ ™n aÙtù ¢riqmoˆ tîn prètwn e„sˆ n a„t…wn e„kÒnej·

Επίσης στο 2,50,9-10:

Επίσης ο Ιάµβλιχος στα Θεολογούµενα της Αριθµητικής, αναφερόµενος στο τρίγωνο

3-4-5 λέει:

116 Σιµπλίκιος, εις Αριστοτέλους Φυσικά, 10, 982,5-21

133

«tÕ ¢pÕ toà e prîton tetr£gwnon ‡son dusˆ tetragènoij tù te ¢pÕ tîn triîn

kaˆ tù ¢pÕ tîn d.».

Κατά τα λεγόµενα του Ιάµβλιχου, το τετράγωνο µε πλευρά 5 είναι το prîton

τετράγωνο που ισούται µε το άθροισµα δύο άλλων τετραγώνων, µε ρητές πλευρές

εννοείται.

Η δεύτερη πρόταση του χωρίου της Πολιτείας είναι η:

tre‹j ¢post£seij, tšttaraj d Ó rouj laboàsai .

Τίµαιος 43 d 5

«éste t¦j toà diplas…ou kaˆ triplas…ou tre‹j ˜katšraj ¢post£seij

Η έννοια της λέξης ¢post£seij, φαίνεται από το χωρίο του Πλάτωνα:

kaˆ t¦j tîn ¹miol…wn kaˆ ™pitr…twn kaˆ ™pogdÒwn mesÒthtaj kaˆ sundšseij,

™peid¾ pantelîj lutaˆ oÙk Ãsan pl¾ n ØpÕ toà sund»santoj»

Τα διπλάσια και τριπλάσια διαστήµατα, για τα οποία µιλάει ο Πλάτων εδώ είναι οι

δυνάµεις του 2 και του 3, δηλαδή οι σειρές 1, 2, 4, 8 και 1, 3, 9, 27.

Σε καθεµιά από τις σειρές αυτές, έχουµε τέσσερις αριθµούς µε τρείς όντως

αποστάσεις ανάµεσά τους.

Η λέξη Ó roi συναντάται ευρέως στα αρχαία κείµενα. Ας δούµε δύο χωρία του

Πλάτωνα και ένα του Πρόκλου, διευκρινιστικά της λέξης αυτής:

Πλάτωνος Πολιτεία 443 d 4

«eâ qšmenon kaˆ ¥rxanta aÙtÕ n aØtoà kaˆ kosm»santa kaˆ f…lon genÒmenon

˜autù kaˆ sunarmÒsanta tr…a Ô nta,ésper Ó rouj tre‹j ¡rmon…aj ¢tecnîj,

ne£thj te kaˆ Øp£thj kaˆ mšshj,kaˆ e„ ¥lla ¥tta metaxÝ tugc£nei Ô nta,

p£nta taàta sund» santa kaˆ pant£pasin ›na genÒmenon ™k pollîn»

Εδώ η λέξη «όροι» σηµαίνει «τόνοι» της µουσικής κλίµακας. Τίµαιος 36 α 7

«tù toà ™pogdÒou diast» mati t¦ ™p…trita p£nta suneplhroàto, le…pwn aÙtîn

˜k£stou mÒrion, tÁj toà mor…ou taÚthj diast£sewj leifqe…shj ¢riqmoà prÕ j

¢riqmÕ n ™coÚ shj toÝj Ó rouj εx kaˆ pent»konta kaˆ diakos…wn prÕ j tr…a kaˆ

tettar£konta kaˆ diakÒsia»

134

δηλαδή: 4/3=(9/8)2. 256/243

Η λέξη «όροι» έχει, στο χωρίο αυτό, την έννοια των δύο όρων ενός κλάσµατος.

Η λέξη διάστηµα έχει την έννοια του µουσικού διαστήµατος, π.χ 9/8

« aátai d' oân aƒ aÙx»seij mšcri tett£rwn Ó rwn proelqoàsai

tre‹j ™cÒntwn ¢post£seij ¢ll»lwn

(p£ntwn g¦r tett£rwn Ó rwn sunecîn tre‹j e„sin ¢post£seij)»

Εννοεί ο Πρόκλος εδώ τους τέσσερις αριθµούς (33, 3.3.4, 3.4.4, 43) οι οποίοι

προκύπτουν από τον επίτριτο πυθµένα 3, 4 µε την διαδικασία των αυξήσεων-

πολλαπλασιασµών.

σχολιάζεται από τον Πρόκλο ως εξής :

«aátai d' oân aƒ aÙx»seij mšcri tett£rwn Ó rwn proelqoàsai tre‹j ™cÒntwn

¢post£seij ¢ll»lwn (p£ntwn g¦rtett£rwn Ó rwn sunecîn tre‹j e„sin

¢post£seij)» pãnta =htå ka‹ prosÆgora poioËsin,

Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,36,21-23:

Η πρόταση «p£nta pros» gora kaˆ ·ht¦ prÕ j ¥llhla ¢pšfhnan»

ka‹ toÁw dunam°nouw ka‹ toÁw dunasteuom°nouw,

ka‹ toÁw ımoioËntaw ka‹ toÁw énomoioËntaw éllÆloiw,

ka‹ toÁw aÎjontaw

ka‹ fy¤nontaw.

g¤netai går diãgramma katå m¢n tå plãgia toÁw ımoioËntaw ¶xon

ka‹ énomoioËntaw, aÎjontãw te ka‹ fy¤nontaw,

kay' ßna lÒgon sundeom°nouw

tÚn puym°na tÚn §kteyhsÒmenon·

katå d¢ tå sk°lh toÁw dunam°nouw

ka‹ duna[steuom°nouw.117

117 Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,36,21-37,1

135

Άλλα χωρία σχετικά µε την έκφραση «pãnta =htå ka‹ prosÆgora poioËsin»

και τα οποία βοηθούν στην ερµηνεία της, είναι τα ακόλουθα:

«P rÕj d t¾n f us ik¾n qewr…an t¦ mšgis ta sumb£l l etai , t»n te tîn lÒgwn

eÙtax…an ¢nafa…nousa, kaq' ¿n dedhmioÚrghtai tÕ p© n, kaˆ ¢nalog…an t¾ n

p£nta t¦ ™n tù kÒsmJ sund» sasan, éj pou fhsˆ n Ð T…maioj, kaˆ f…la t¦

macÒmena kaˆ pros» gora kaˆ sumpaqÁ t¦ diestîta poi» sasan118»

«æj Pl£twn die‹len aÙtÕ j tÒ te p© n kaˆ t¦ e‡dh t¦ panto‹a tîn zówn. lÒgouj ¥ra lÒgwn periektikoÝj kat¦ m…an ¡rmon…an sumpeplhrwmšnouj kaˆ

di¦ toÚtwn Ð Pl£twn ¹m‹n parad…dwsin, ïn ¹ yuc¾ pl»rhj oâsa kaˆ tÒnde

tÕ n ™mfanÁ kÒsmon ¢poplhro‹, p£nta ·ht¦ kaˆ pros» gora ¢ll» loij

¢pofa…nousa [rep. VIII 546 C]119.

Η έκφραση αυτή λοιπόν αυτή, δηλώνει σαφώς αναλογία, µέσω δε της αναλογίας

γίνονται τα πάντα φίλα, συµπαθή, σύµφωνα, ρητά, προσήγορα, προσηνή, µεταξύ

τους.

και

118 Πρόκλος εις Ευκλείδην, 22,17-22 119 Πρόκλος εις Τίµαιον, 2,230,22-27

136

Ας δούµε αναλυτικά πως προκύπτουν οι δύο αρµονίες από τον επίτριτο πυθµένα.

4.5 Οι δύο αρµονίες του Πλάτωνος.

Το χωρίο της Πολιτείας στο οποίο ο Πλάτων περιγράφει τις δύο αρµονίες είναι το

ακόλουθο:

ïn ™p…tritoj puqm¾ n

pemp£di suzugeˆ j


t¾n mn ‡shn „s£kij, ˜katÕ n tosaut£kij,

t¾n d „som»kh mn tÍ,

prom» kh dš, katÕn mn

¢riqmîn

¢pÕ diamštrwn ·htîn pemp£doj, deomšnwn ˜nÕ j

˜k£stwn, ¢rr» twn d

duo‹n,

˜katÕ n d kÚ bwn tri£doj.

sÚmpaj d oátoj ¢riqmÕj gewmetrikÒj120

Η πρόταση «™p…tritoj puqm¾ n pemp£di suzugeˆ j», αναφέρεται στο πυθαγόρειο

ορθογώνιο τρίγωνο µε πλευρές σε αναλογία 3-4-5, όπως επιβεβαιώνεται από

αρχαίους και σύγχρονους φιλοσόφους και σχολιαστές (ανάµεσά τους οι Αριστοτέλης,

Αριστίδης Κοϊντιλιανός, Πλούταρχος ,Ιάµβλιχος και Πρόκλος)121

Για τον «επίτριτο πυθµένα» έχουµε λοιπόν :

α) trˆ j aÙxhqe…j και

β) pemp£di suzugeˆ j 120 Πολιτεία 546c1-7 121 Βλέπε σελ. 90 της παρούσης εργασίας

137

Από την έκφραση (β), έχουµε ότι η τριάς 3, 4, 5, είναι η πρώτη πυθαγόρεια τριάδα

που ικανοποιεί τη σχέση 32 + 42 = 52.

Από τον επίτριτο πυθµένα και την έκφραση trˆ j aÙxhqe…j, προκύπτουν οι αριθµοί:

27 = 33, 36 = 32.4, 48 = 3.42, 64 = 43 .

Αυτό ακριβώς υποστηρίζει και ο Πρόκλος µε τα αναλυτικά του σχόλια.122

Ας σηµειώσουµε εδώ ότι ο αριθµός 48 προκύπτει από τον 64 ως φθίσις και είναι

πλινθίς (Πρόκλoς εις Πολιτείαν, 2,36)

Το γεγονός ότι η έκφραση trˆ j aÙxhqe…j, σηµαίνει µετατροπή αριθµού σε στερεό

αριθµό, υποστηρίζεται και από χωρία του ίδιου του Πλάτωνος:

• Επινοµίς 990 d6-7 «met¦ d taÚthn toÝj trˆ j hÙxhmšnouj kaˆ tÍ stere fÚ sei Ðmo…ouj»

• Νόµοι 894 a3-5

«¢rc¾ laboàsa aÜ xhn e„j t¾ n deutšran œ lqV met£basin kaˆ ¢pÕ taÚ thj e„j

t¾ n plhs…on, kaˆ mšcri triîn ™lqoàsa a‡sqhsin scÍ to‹j a„sqanomšnoij»

Η πρώτη αρµονία περιγράφεται µε σαφήνεια από την έκφραση «t¾n mn ‡shn

„s£kij, ˜katÕ n tosaut£kij» και πρόκειται για τον αριθµό

100 Χ 100 = 10.000.

Η πλευρά συνεπώς της πρώτης αρµονίας είναι ο αριθµός 100.

Ένα ερώτηµα που ανακύπτει εδώ είναι:

Γιατί να προσθέσουµε τους αριθµούς 27 και 48 και τους αριθµούς 64 και 36;

Στην πρόσθεση:

µας οδηγεί λογικά η «σύζευξις» µε την «πεµπάδα», δηλαδή το Πυθαγόρειο θεώρηµα.

Η δεύτερη αρµονία έχει, σύµφωνα µε την περιγραφή του Πλάτωνα, την µία πλευρά

ίση µε την προηγούµενη, δηλαδή 100, και την δεύτερη πλευρά ίση µε το άθροισµα 27

+ 48 = 75.

των αριθµών 27+48

και των αριθµών 36+64:

122 Βλέπε σελ.94-95 της παρούσης εργασίας

138

Έχουµε λοιπόν 27+48=3.(32+42)=75

και 36+64=4.(32+42)=100.

Οι δύο αρµονίες που προέκυψαν λοιπόν από το χωρίο 546 b3-c7, της Πολιτείας του

Πλάτωνος, είναι οι αριθµοί 10.000 και 7.500.

Στους ίδιους αριθµούς έχει καταλήξει, όπως είδαµε και ο Πρόκλος.

139

4.5 Η «ØpÕ qesh των τριών ειδών γωνιών», στην «Πολιτεία»,

και η σχέση της µε το τετράγωνο.

Η κριτική που ασκείται από τον Πλάτωνα στο διάλογο αυτό, σχετίζεται µε τον

τρόπο που οι γεωµέτρες χρησιµοποιούν τις Øpoqšseij.

510c2-511a1

Το χωρίο αυτό της Πολιτείας είναι το ακόλουθο:

omai g£r se e„dšnai Ót i

oƒ perˆ t¦j gewmetr…aj

te kaˆ logismoÝj kaˆ t¦ toiaàta pragmateuÒmenoi, Øpoqšmenoi

[1h υπόθεση]

tÒ te perittÕ n

kaˆ tÕ ¥rtion

[2η υπόθεση]

kaˆ t¦

sc» mata

[3η υπόθεση] kaˆ gwniîn

tritt¦ e‡dh

kaˆ ¥lla toÚtwn ¢delf¦ kaq' ˜k£sthn mšqodon, taàta mn æj e„dÒtej, poihs£menoi Øpoqšseij aÙt£,

oÙdšna

lÒgon

oÜ te

aØto‹j

oÜ te

¥lloij œ ti ¢xioàsi

perˆ aÙtîn

didÒnai

140

æj pantˆ fanerîn, ™k toÚtwn d' ¢rcÒmenoi t¦ loip¦ ½ dh diexiÒntej teleutîsin Ðmologoumšnwj ™pˆ toàto oá ¨n ™pˆ

skšyin Ðrm»swsi. P £nu mn oân, œ fh, toàtÒ ge oda.

OÙkoàn kaˆ Ó ti to‹j Ðrwmšnoij e‡desi

proscrîntai kaˆ toÝj lÒgouj

perˆ aÙtîn poioàntai,

oÙ

perˆ toÚtwn

dianooÚmenoi,¢ll' ™ke…nwn pšri oŒ j

taàta œ oike,

toà tetragènou aÙtoà

›neka toÝj lÒgouj

poioÚmenoi kaˆ diamštrou

aÙtÁ j,

¢ll' oÙ taÚthj ¿n

gr£fousin,

kaˆ t«lla oÛtwj, aÙt¦ mn taàta § pl £ttous…n te kaˆ gr£f ous in, ïn kaˆ skiaˆ kaˆ ™n Ûdasin

e„kÒnej e„s…n, toÚtoij mn æj e„kÒs in aâ crèmenoi , zhtoàntej d aÙt¦ ™ke‹na „de‹n § oÙk ¨n ¥l l wj ‡doi t i j À tÍ diano…v .

Ο Πλάτων στο χωρίο αυτό ασκεί κριτική στους γεωµέτρες για το ότι δεν

«δίνουν λόγο» για τις υποθέσεις τους, ωσάν όλα αυτά να ήταν πράγµατα ολοφάνερα

στον καθένα, αλλά και γιατί χρησιµοποιούν τα ορατά είδη, πάνω στα οποία κάνουν

τους συλλογισµούς των, αν και δεν τους ενδιαφέρουν αυτά τα ίδια, αλλά εκείνα των

οποία τα ορατά αποτελούν εικόνες, και τα οποία µόνο µε την διάνοια µπορεί κανείς

να προσεγγίσει.

Η κριτική του Πλάτωνα στον τρόπο που χρησιµοποιούν οι γεωµέτρες τις

υποθέσεις συνεχίζεται και στα χωρία 526d8-527c2 και 533b6-c5 της Πολιτείας.

Θα τεκµηριώσουµε στη συνέχεια, ότι οι τρείς υποθέσεις της Πολιτείας, δεν

είναι απλά «υποθέσεις» των µαθηµατικών µε την έννοια που έχει η λέξη σήµερα,

αλλά σχετίζονται άµεσα µε την διάµετρο και την πλευρά του τετραγώνου.

Ήδη από το χωρίο αυτό προκύπτει µια πρώτη τέτοια συσχέτιση.

141

Ο Πρόκλος αναφέρεται ρητά στις Øpoqšseij των γεωµετρών της Πολιτείας

στα σχόλιά του στο 1ο βιβλίο των Στοιχείων, 131,9-24:

Taàt£ ™sti t¦ tripl© tîn gwniîn e‡dh, perˆ ïn

kaˆ Ð ™n tÍ polite…v Swkr£thj fhs…n, ™x Øpoqšsewj par¦ to‹j gewmštraij lambanomšnwn

tÁj eÙqugr£mmou kat¦ t¾ n e„j t¦ e‡dh dia…resin taÚtaj Øfist£shj t¦j gwn…aj,

t¾ n Ñrq» n, t¾ n ¢mble‹an, t¾ n Ñxe‹an,

tÁj mn kat¦ tÕ ‡son kaˆ tÕ taÙtÕ n kaˆ Ó moion ¢fwrismšnhj,

t în d kat¦ tÕ me‹zon kaˆ œ lasson

kaˆ Ó lwj tÕ ¥nison

kaˆ t¾ n ˜terÒthta kaˆ tÕ m© llon kaˆ Âtton ¢or…stwj Øfistamšnwn.

oƒ mn oân polloˆ gewmštrai tÁ j diairšsewj taÚ thj oÙk œ cousin ¢podidÒnai lÒgon,

¢ll' Øpoqšsei crîntai kaˆ taÚ tV,

tre‹j enai gwn…aj. ™peid¦n d t¾n a„t…an aÙtoÝj ¢nerwt»swmen, oÙ fasˆ

crÁnai taàta par' aÙtîn ¢paite‹n. oƒ d Puqagorikoˆ

tÁ j triplÁ j dianomÁ j ™pˆ t¦j ¢rc¦j ¢nafšrontej t¾ n lÚsin oÙk ¢poroàsin

a„t…aj ¢podidÒnai kaˆ taÚthj tÁj diafor© j tîn eÙqugr£mmwn gwniîn.

Στο πρώτο από τα χωρία της Πολιτείας που προαναφέραµε, ο Πλάτωνας

αναφέρεται στη µία από τις υποθέσεις που χρησιµοποιούν οι γεωµέτρες µε την

φράση: gwniîn tritt¦ e‡dh

σε ορθές από τη µια και σε οξείες και αµβλείες από την άλλη.

Ο Πρόκλος στη συνέχεια, σχολιάζοντας αυτό ακριβώς το χωρίο του

Πλάτωνα, διευκρινίζει ότι η υπόθεση αυτή αφορά στη διαίρεση των γωνιών

142

Η κριτική του Πλάτωνα αλλά και του Πρόκλου είναι ότι οι γεωµέτρες δεν

«δίνουν λόγο» στις υποθέσεις τους, τις θεωρούν δηλαδή προφανείς, ενώ αντιθέτως θα

έπρεπε να τις βασίζουν σε κάποιο «λόγο» ώστε να µην είναι αυθαίρετες.

Οι γεωµέτρες εποµένως δεν δίνουν «λόγο» στην υπόθεση της διαίρεσης των

γωνιών σε δύο κατηγορίες (tÁj diairšsewj taÚthj oÙk œ cousin ¢podidÒnai

lÒgon).

Ο Πλάτων περιγράφει στο χωρίο 101 d3-e3 του «Φαίδωνα», το τι πρέπει να

κάνει κάποιος αν θέλει να δώσει «λόγο» στις υποθέσεις του, να φτάσει δηλαδή στο

κριτήριο του λόγου:

Σχόλια στο 1ο βιβλίο των Στοιχείων 132,8-12

Τι πρέπει να κάνει κάποιος αν θέλει να δώσει «λόγο» στις υποθέσεις του;

«e„ dš tij aÙtÁj tÁj Øpoqšsewj œ coito, ca…rein ™óhj ¨n kaˆ oÙk¢pokr…naio ›wj ¨n t¦ ¢p' ™ke…nhj Ðrmhqšnta skšyaio e‡ soi ¢ll»loijsumfwne‹ À diafwne‹· ™peid¾ d ™ke…nhj aÙtÁj dšoi se didÒnai lÒgon, æsaÚtwj ¨n dido…hj, ¥llhn aâ ØpÒqesin Øpoqšmenoj ¼ tij tîn ¥nwqen belt…sth fa…noito, ›wj ™p… ti ƒ kanÕ n œ lqoij, ¤ma d oÙk ¨n fÚroio ésper oƒ ¢ntilogikoˆ per… te tÁj ¢rcÁj dialegÒmenoj kaˆ tîn ™x ™ke…nhj ærmhmšnwn, e‡per boÚloiÒ ti tîn Ô ntwn eØre‹n;»

Στη συνέχεια ο Πρόκλος εξηγεί πως η ορθή γωνία σχετίζεται µε το πέρας:

Ð mn ¢pÕ toà pšratoj ¼ kwn

lÒgoj t¾ n Ñrq¾ n ¢petšlesen gwn…an

m…an „sÒthti kratoumšnhn kaˆ

ÐmoiÒthti prÕ j p© san Ñrq¾ n

kaˆ ærismšnhn ¢eˆ kaˆ t¾ n aÙt¾ n ˜stîsan

kaˆ m» te aÜ xhsin m» te me…wsin ™pidecomšnhn

143

Ακολούθως εξηγείται από τον Πρόκλο,

η συσχέτιση της αορίστου δυάδος (οξεία γωνία-αµβλεία γωνία)

Σχόλια στο 1ο βιβλίο των Στοιχείων 132,12-17:

Στη συνέχεια των σχολίων του στο 1ο βιβλίο των Στοιχείων 133,14-134,7, ο Πρόκλος

αναφερόµενος στην ορθή γωνία χρησιµοποιεί τις εξής εκφράσεις:

µε το άπειρο:

Ð d ¢pÕ tÁj ¢pei r…aj deÚteroj ín kaˆ duadikÕ j

kaˆ gwn…aj ¢nšfhne dipl© j perˆ t¾ n Ñrq¾ n ¢nisÒthti diVrhmšnaj kat¦ tÕ me‹zon kaˆ œ lasson kaˆ kat¦ tÕ m© llon kaˆ Âsson ¢pšranton ™coÚsaj k…nhsin tÁj mn ¢mbl unomšnhj m© llon kaˆ Âtton, tÁj d Ñxunomšnhj.

™stˆ d kaˆ mštrou qe…ou kaˆ noeroà sÚ mbolon.

di¦ g¦r kaqštwn kaˆ t¦ Ûyh tîn schm£twn ¢nametroàmen kaˆ tÍ prÕ j

t¾ n Ñrq¾ n ¢nafor t¦j ¥llaj eÙqugr£mmouj gwn…aj Ðr…zomen aÙt¦j ¢f' ˜autîn ¢or…stouj oÜ saj. ™n ØperbolÍ g¦r kaˆ ™lle…yei qewroàntai.

toÚtwn d ˜katšra kaq' aØt¾ n ¢pšrantÒj ™sti.

diÕ kaˆ t¾ n ¢ret¾ n kat¦ t¾ n ÑrqÒtht£ fasin ˜st£nai,

t¾n d kak…an123 kat¦ t¾ n ¢orist…an tÁ j ¢mble…aj kaˆ Ñxe…aj Øf…stasqai kaˆ mer…zesqai t¦j ™nde…aj kaˆ Øperbol¦j kaˆ tù m© llon kaˆ Âtton deiknÚnai t¾ n ˜autÁj ¢metr…an.

123 Βλέπε Ιάµβλιχο: «εις κακίας βαπτισµόν…», Θεολογ. Αριθµητικά 39,4.

144

teleiÒthtoj ¥ra kaˆ ¢klinoàj ™nerge…aj kaˆ Ó rou noeroà kaˆ pšratoj kaˆ tîn toÚ toij Ðmo…wn e„kÒna qhsÒmeqa t¾ n ÑrqÒthta tîn eÙqugr£mmwn gwniîn,

t¾ n d ¢mbl e‹an kaˆ Ñxe‹an ¢or…stou kin» sewj kaˆ ¢scštou proÒdou kaˆ diairšsewj kaˆ merismoà kaˆ Ó lwj ¢peir…aj.

1. Η οξεία και η αµβλεία γωνία είναι «¢f' ˜autîn ¢or…stouj», σχετίζονται

µε το άπειρο, δεν έχουν πέρατα (¢pšrantÒj ™sti), αυτό δε που τις

χαρακτηρίζει είναι η «¢metr…a». Η συσχέτισή τους µε το άπειρο γίνεται µέσω

των αόριστων δυάδων:

m© llon kaˆ Â tton

και παραπέπει στη µορφή του απείρου που περιγράφεται στον Φίληβο.

2. Η ορθή γωνία σχετίζεται µε το πέρας.

Ο Ήρων, στον 21ο ορισµό συσχετίζει την ορθή γωνία µε το «nàn» και τη µονάδα,

ενώ το ζεύγος οξεία - αµβλεία γωνία µε το χρόνο και το άπειρο:

• Ηρων, Όροι της Γεωµετρίας Ονoµάτων, 21,1,3-8

Από τα ανωτέρω σχόλια, προκύπτουν κάποια σηµαντικά συµπεράσµατα:

me‹zon kaˆ œ lasson

Άλλες αναφορές από τις οποίες προκύπτουν οι συσχετισµοί, αφ’ενός µεν της

ορθής γωνίας µε το πέρας, αφ’ετέρου δε της δυάδος οξεία-αµβλεία γωνία µε το

άπειρο, έχουµε από τούς Ηρωνα και Αλέξανδρο.

`H Ñrq¾ gwn…a kaˆ tÕ nàn kaˆ mon¦j Ðmo…wj œ cousin·

¼ te g¦r Ñrq¾ gwn…a ¢eˆ ›sthken ¹ aÙt¾ mšnousa

tÁ j Ñxe…aj kaˆ ¢mble…aj ™p' ¥peiron metakinoumšnwn,

¼ te mon¦j mn aÙt¾ ›sthken, Ð d merismÕ j perˆ aÙt¾ n kaˆ ¹ sÚnqesij, kaˆ tÕ nàn d aÙtÕ ›sthken,

Ð d parelhluqëj kaˆ Ð mšl l wn ™p' ¥peiron.

145

• Αλέξανδρος, σχόλια στα Μεταφυσικά του Αριστοτέλη 778,9-12:

Ο συσχετισµός του ζεύγους (οξεία γωνία, αµβλεία γωνία) µε το άπειρο που

περιγράφεται στον Φίληβο, παραπέµπει άµεσα στον σχηµατισµό αόριστης δυάδας.

Το πέρας όµως και το άπειρο σχετίζονται µε µια ανθυφαιρετική διαδικασία, η

οποία είναι η ίδια άπειρη, περατώνεται δε από την ύπαρξη του κριτηρίου του λόγου.

Το ερώτηµα που τίθεται είναι:

Με ποιο τρόπο η ορθή γωνία µπορεί να εµφανιστεί ως λόγος µιάς

ανθυφαιρετικής διαδικασίας, της οποίας µέρη είναι η οξεία και η αµβλεία γωνία;

Με άλλα λόγια µπορούµε να βρούµε µια περιοδική ανθυφαίρεση, όπου η ορθή

γωνία να είναι το πέρας και η δυάδα (αµβλεία γωνία, οξεία γωνία) να είναι το

άπειρο;

Ποια είναι αυτή η περιοδική ανθυφαίρεση;

Η απάντηση στο ερώτηµα αυτό θα προέλθει από την ίδια την «Πολιτεία»

αλλά και από τα σχόλια του Πρόκλου στο διάλογο αυτό του Πλάτωνος.

t¾n mn g¦r Ñrq¾ n gwn…an œ legon enai kat¦ t¾ n mon£da

Ñxe‹an d kaˆ ¢mbl e‹an kat¦ t¾n ¢Òriston du£da,

¢f' Âj aÙta‹j tÒ q' Øperšcein kaˆ Øperšcesqai

Η συσχέτιση δε της ορθής γωνίας µε το πέρας παραπέµπει στο κριτήριο του

λόγου.

Όπως θα προκύψει από τη συνέχεια, η ανθυφαίρεση αυτή δεν είναι άλλη από την

περιοδική ανθυφαίρεση διαµέτρου προς πλευρά τετραγώνου.

146

Η απάντηση

Στο δεύτερο χωρίο, στο οποίο ο Πλάτων ασκεί κριτική στους γεωµέτρες, είναι το 527

a 6-9, της Πολιτείας, όπου γράφει:

∆ύο σηµαντικά, για την απάντηση του προηγούµενου ερωτήµατος, χωρία του

Πλάτωνα από την «Πολιτεία» είναι τα ακόλουθα:

OÙkoàn kaˆ Ó ti to‹j Ðrwmšnoij e‡desi

proscrîntai kaˆ toÝj lÒgouj perˆ aÙtîn

poioàntai,

oÙ perˆ toÚtwn

dianooÚmenoi,¢ll' ™ke…nwn pšri oŒ j

taàta œ oike, toà tetragènou aÙtoà

›neka toÝj lÒgouj poioÚ menoi

kaˆ diamštrou aÙtÁ j,

¢ll' oÙ taÚthj ¿n gr£fousin,

kaˆ t«lla oÛtwj, aÙt¦ mn taàta § pl £ttous…n te kaˆ gr£f ous in, ïn kaˆ skiaˆ kaˆ ™n Ûdasin

e„kÒnej e„s…n, toÚtoi j mn æj e„kÒs in aâ crèmenoi , zhtoàntej d aÙt¦ ™ke‹na „de‹n § oÙk ¨n ¥llwj ‡doi tij À tÍ diano…v124.

Η αναφορά αυτή του Πλάτωνα στο τετράγωνο και τη διάµετρό του και

µάλιστα στο συγκεκριµένο χωρίο, παραπέµπει άµεσα στους πλευρικούς-

διαµετρικούς αριθµούς µε τους οποίους µπορεί να προσεγγισθεί ο λόγος δ/π,

πλευράς προς διάµετρο τετραγώνου.

147

124 Πολιτεία 510 d5-511a1

«æj g¦r pr£ttontšj te kaˆ pr£xewj ›neka p£ntaj toÝj lÒgouj poioÚ menoi lšgousin tetragwn…zein te kaˆ parate…nein kaˆ prostiqšnai kaˆ p£nta oÛtw fqeggÒmenoi»

Το εν λόγω χωρίο, µπορεί να θεωρηθεί, λόγω της οµοιότητας της

φρασεολογίας του, ότι παραπέµπει έµµεσα στην 10η πρόταση125του 2ου βιβλίου των

Στοιχείων, η οποία όπως είναι γνωστό αποτελεί το επαγωγικό βήµα στην απόδειξη

της θεµελιώδους ιδιότητας των πλευρικών-διαµετρικών αριθµών. Η απόδειξη δε

της ιδιότητας αυτής περιγράφεται από τον Πρόκλο στα σχόλιά του εις Πολιτείαν126.

Υπάρχουν εποµένως δύο χωρία της Πολιτείας τα οποία συνδέουν το λόγο που

πρέπει να δίνεται στις υποθέσεις της γεωµετρίας µε τους πλευρικούς και

διαµετρικούς αριθµούς.

• «›neka toÝj lÒgouj poioÚmenoi kaˆ diamštrou aÙtÁj»

• «›neka p£ntaj toÝj lÒgouj poioÚmenoi lšgousin tetragwn…zein te…»127

Η οµοιότητα αυτή ανάµεσα στα δύο χωρία είναι που µας δείχνει ότι

η υπόθεση των «τριών ειδών γωνιών» σχετίζεται µε το τετράγωνο.

Το ίδιο ισχύει και για τις άλλες δύο υποθέσεις του Πλάτωνος:

Είναι σηµαντικό να επισηµάνουµε εδώ τα κοινά τµήµατα των δύο χωρίων:

tÒ te perittÕ n kaˆ tÕ ¥rtion kaˆ t¦ sc»mata.128.

Ο Πλάτων µε τη λέξη διάµετρο, εννοεί

το λόγο δ/π (διαµέτρου προς πλευρά τετραγώνου)

και όχι για την διάµετρο ως γραµµή.

Αυτό το καθιστά σαφές στον «Μένωνα»129, όπου µας λέει ότι οι σοφιστές είναι

εκείνοι που αποκαλούν διάµετρο την γραµµή:

Kaloàsin dš ge taÚ thn di£metron oƒ sofista…

ést' e„ taÚ tV di£metroj Ô noma, ¢pÕ tÁ j diamštrou ¥n.

Επιπλέον, έχουµε και ένα χωρίο του Πρόκλου εις Πολιτείαν130, αναφερόµενο

στους πλευρικούς και διαµετρικούς αριθµούς, και το οποίο βρίσκεται λίγο πριν από

το χωρίο στο οποίο ο Πρόκλος αναλύει τον γεωµετρικό αριθµό του Πλάτωνος.

125 Ευκλείδης, Στοιχεία, βιβλίο ΙΙ, Πρόταση 10η: «'E¦n eÙqe‹a gramm¾ tmhqÍ d…ca, prosteqÍ dš tij aÙtÍ eÙqe‹a ™p' eÙqe…aj, tÕ ¢pÕ tÁj Ó lhj sÝn tÍ proskeimšnV kaˆ tÕ ¢pÕ tÁj proskeimšnhj t¦ sunamfÒtera tetr£gwna dipl£si£ ™sti toà te ¢pÕ tÁj ¹mise…aj kaˆ toà ¢pÕ tÁj sugkeimšnhj œ k te tÁj ¹mise…aj kaˆ tÁj proskeimšnhj æj ¢pÕ mi© j ¢nagrafšntoj tetragènou» 126 Πρόκλος εις Πολιτείαν, 2,27,1-2,29,4 127 Η έκφραση «p£ntaj toÝj lÒgouj», εµφανίζεται και στον Φαίδρο, 272 b7-8. 128 Για περισσότερες λεπτοµέρειες βλέπε την διπλωµατική εργασία του ∆ιονύση Λαµπρινίδη. 129 Μένων 85 b 4-5 130 Πρόκλος εις Πολιτείαν, 2,27,1-2,29,4

148

Οι προτάσεις που ακολουθούν την πρόταση ΙΙ 10 των Στοιχείων, γενικεύουν

το Πυθαγόρειο θεώρηµα και συσχετίζουν το είδος των γωνιών ενός τριγώνου (οξείες

ή αµβλείες) µε σχέσεις ανάµεσα στις πλευρές του.

Πρόταση ΙΙ, 12:

«'En to‹j ¢mblugwn…oij trigènoij tÕ ¢pÕ tÁj t¾ n ¢mble‹an gwn…an

ØpoteinoÚshj pleur© j tetr£gwnon me‹zÒn ™sti tîn ¢pÕ tîn t¾ n ¢mble‹an

gwn…an periecousîn pleurîn tetragènwn tù periecomšnJ dˆ j ØpÒ te mi© j tîn

perˆ t¾ n ¢mble‹an gwn…an, ™f' ¿n ¹ k£qetoj p…ptei, kaˆ tÁj ¢polambanomšnhj

™ktÕ j ØpÕ tÁj kaqštou prÕ j tÍ ¢mble…v gwn…v.»

Πρόταση ΙΙ, 13

«'En to‹j Ñxugwn…oij trigènoij tÕ ¢pÕ tÁj t¾ n Ñxe‹an gwn…an ØpoteinoÚshj

pleur© j tetr£gwnon œ lattÒn ™sti tîn ¢pÕ tîn t¾ n Ñxe‹an gwn…an

periecousîn pleurîn tetragènwn tù periecomšnJ dˆ j ØpÒ te mi© j tîn perˆ

t¾ n Ñxe‹an gwn…an, ™f' ¿n ¹ k£qetoj p…ptei, kaˆ tÁj ¢polambanomšnhj ™ntÕ j

ØpÕ tÁj kaqštou prÕ j tÍ Ñxe…v gwn…v.»

Η πρόταση ΙΙ, 10 είναι, όπως είδαµε, η πρόταση στην οποία βασίζεται η

απόδειξη της θεµελιώδους ιδιότητας q = 2p +(-1) , των πλευρικών-διαµετρικών

αριθµών. Οι προτάσεις 12 και 13 σχετίζονται άµεσα µε τους πλευρικούς-

διαµετρικούς αριθµούς.

2 2 nn n

Ας δούµε όµως πως ακριβώς προκύπτει η συσχέτιση αυτή:

Oι αναδροµικοί τύποι από τους οποίους προκύπτουν τα διαδοχικά ζεύγη πλευρικών-

διαµετρικών αριθµών (p , q ) είναι οι εξής: p = p +q και q = 2p +q . n n n+1 n n n+1 n n

Το 1ο ζεύγος πλευρικών-διαµετρικών

είναι το (p ,q ) = (1,1) µε q = 2p – 1 και άρα q <2p = p +p συνεπώς το

ισοσκελές τρίγωνο µε πλευρές 1 είναι οξυγώνιο.

2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1,

Το 2ο ζεύγος πλευρικών-διαµετρικών

είναι το (p ,q ) = (2,3) µε q = 2p + 1 και q >2p = p +p συνεπώς το ισοσκελές

τρίγωνο µε ίσες πλευρές p , p και βάση q είναι αµβλυγώνιο.

2 2 2 2 2 22

2 2,

2 2 2

2 2 2

Το τρίτο ζεύγος πλευρικών-διαµετρικών

είναι το (p3,q3) = (5,7), µε q32 = 2p3

2 – 1 και άρα q32 <2p3

2 = p3+p3, συνεπώς το

ισοσκελές τρίγωνο µε ίσες πλευρές p3, p3 βάση q3 = 7 είναι οξυγώνιο.

149

Για τo τέταρτο ζεύγος

(p4,q4) = (12,17), είναι q42 = 2p4

2 + 1 , συνεπώς q42 >2p4

2 = p4+p4 που σηµαίνει ότι το

ισοσκελές τρίγωνο µε ίσες πλευρές p4, p4 και βάση q4 είναι αµβλυγώνιο.

Γενικεύοντας,

για το n-οστής τάξης ζεύγος πλευρικών-διαµετρικών ισχύει ότι:

• Αν n άρτιος, το ισοσκελές τρίγωνο µε ίσες πλευρές pn, pn και βάση qn είναι

αµβλυγώνιο, ενώ

• Αν n περιττός, το ισοσκελές τρίγωνο µε ίσες πλευρές pn, pn βάση qn είναι

οξυγώνιο.

Σχηµατίζεται εποµένως µια ακολουθία διαδοχικών ισοσκελών τριγώνων, εναλλάξ

οξυγώνιων-αµβλυγώνιων, που περιγράφονται από τις τριάδες αριθµών:

(1,1,1), (2,2,3), (5,5,7), (12,12,17),…

Τα παραπάνω απεικονίζονται στο ακόλουθο σχήµα:

12 17

5 7

P2=2 3

1 q1=1

P1=1 2 5 12

150

Όταν το n → , αποδεικνύεται ότι οι γωνίες των τριγώνων αυτών τείνουν

προς την ορθή.

∞

Με άλλα λόγια έχουµε µια ακολουθία ρόµβων, των οποίων η γωνία τείνει προς την

ορθή, όταν n , που σηµαίνει ότι οι ρόµβοι τείνουν προς το τετράγωνο. ∞→

Με τον τρόπο αυτό ερµηνεύται και η ονοµασία «πλευρικοί-διαµετρικοί

αριθµοί», αφού αναφέρονται σε πλευρές και διαµέτρους ρόµβων, οι οποίοι

προσεγγίζουν σταδιακά ένα τετράγωνο. Μέσα από το σχήµα αυτό, ερµηνεύεται πολύ

καλά και το σχόλιο του Πρόκλου, σχετικά µε την οξεία και την αµβλεία γωνία:

«¢pšranton ™coÚsaj k…nhsin tÁj mn ¢mbl unomšnhj m©l l on kaˆ Âtton, tÁj d

Ñxunomšnhj131»

Η διαδικασία µέσω της οποίας δίνεται-προσεγγίζεται ο λόγος στην υπόθεση

της διχοτοµίας των γωνιών σε δύο κατηγορίες, είναι η διαδικασία των πλευρικών και

διαµετρικών αριθµών. Αυτό σηµαίνει ότι το κριτήριο του λόγου ισοδυναµεί µε την

ισότητα δ2 = 2.α2 = α2+α2, η οποία οδηγεί σε ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ή

αλλιώς σε ένα τετράγωνο µε πλευρά α και διάµετρο δ.

Συνεπώς, η διαδικασία εύρεσης του λόγου µε την βοήθεια των πλευρικών

και διαµετρικών αριθµών, είναι ισοδύναµη µε µια διαδικασία προσέγγισης της

ορθής γωνίας µέσω µιάς άπειρης ακολουθίας εναλλάξ οξειών-αµβλειών γωνιών.

Η σύνδεση της εύρεσης του λόγου µε τη διαδικασία των πλευρικών-

διαµετρικών, ενισχύεται και από το διάλογο «Μένων» του Πλάτωνος, όπου

περιγράφονται τα βήµατα της ανθυφαίρεσης ( 2 ,1) µε τη βοήθεια της πλευράς και

της διαµέτρου τετραγώνου.

131 Πρόκλος εις Ευκλείδην 14-16

151

Συνοψίζοντας:

1. Η ορθή γωνία ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου, σχετίζεται µε το

πέρας µε δύο τρόπους:

α) µέσω της περιοδικής ανθυφαίρεσης διαµέτρου – πλευράς τετραγώνου,

όπου το πέρας δίνεται µε την ισχύ του κριτηρίου του λόγου δ/α = δ1/δ-α, και

β) µέσω διαδοχικών προσεγγίσεων άπειρων ζευγών εναλλάξ οξειών-αµβλειών

γωνιών, µε τη βοήθεια των πλευρικών – διαµετρικών αριθµών.

2. Η υπόθεση των τριών ειδών γωνιών είναι η διχοτοµία των γωνιών σε ορθές

από τη µια και σε ζεύγη (αµβλεία γωνία, οξεία γωνία) από την άλλη.

Η ορθή γωνία αντιστοιχεί στο πέρας ενώ η δυάδα (αµβλεία γωνία, οξεία

γωνία) αντιστοιχεί στο άπειρο. Η κλάση εποµένως όλων των επίπεδων

ευθύγραµµων γωνιών, αντιστοιχεί στην κλάση του «µικτού απείρου» που

περιγράφει ο Πλάτων στον Φίληβο. Αυτή η κλάση απείρου, είναι της µορφής

«άπειρο και πέρας» και όπως είδαµε στον Φίληβο είναι µια υποκλάση του

απείρου.

Ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα υπάρχουν άπειρα και συνεπώς άπειρες είναι και

ορθές τους γωνίες.

∆ύο βασικά ερωτήµατα λοιπόν είναι τα εξής:

α) Πως εξασφαλίζεται η ισότητα των ορθών γωνιών των άπειρων ισοσκελών

ορθογωνίων τριγώνων;

και

β) είναι δυνατή η ισότητα µιας ορθής γωνίας ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου

µε µια ορθή γωνία σκαληνού ορθογωνίου τριγώνου;

152

4.6 Ο ρόλος του 4ου αιτήµατος στην Πλατωνική διαλεκτική.

Το τέταρτο αίτηµα: «Kaˆ p£saj t¦j Ñrq¦j gwn…aj ‡saj ¢l l »l aij enai». Ας δούµε στο σηµείο αυτό τα σχόλια του Πρόκλου εις Ευκλείδην 188,1-191,15,

σχετικά µε το αίτηµα αυτό:

Toàto e„ mn æj ™nargj kaˆ m¾ deÒmenon ¢pode…xewj sugcwroàmen, a‡thma mn oÙk œstin kat¦ tÕn Gem‹non, ¢x…wma dš. sumbebhkÕ j g£r ti kaq' aØtÕ lšgei ta‹j Ñrqa‹j, ¢ll' oÙ por…sasqa… [ti] di' ¡plÁj ™pino…aj ¢xio‹. ¢ll' oÙd kat¦ t¾n 'Ar is totšl ouj dia…res in a‡thm£ ™sti . tÕ g¦r a‡thma kat' ™ke‹non de‹tai ¢pode…xewj tinÒj. e„ d ¢podeiktÕ n aÙtÕ f a‹men enai kaˆ zhto‹men aÙtoà t¾ n ¢pÒdeixin, oÙd' æj kat¦ tÕ n Gem‹non ™n to‹j a„t»masi tacq»setai.

prof a…netai mn oân kaˆ kat¦ t¦j koin¦j ¹mîn ™pino…aj ¹ tîn Ñrqîn „sÒthj,

mon£doj d œ cousa

lÒgon À Ó ron prÕ j

t¾ n

™p' ¥peiron aÜxhsin kaˆ ™l£ttwsin tîn ™f' ˜k£tera gwniîn

‡sh ™stˆ

prÕ j p© san Ñrq» n. kaˆ g¦r t¾ n prèthn oÛ twj Øpest» samen t¾ n Ñrq» n, ‡saj t¦j ™f' ˜k£tera gwn…aj poi»santej tÁj ™festè- shj eÙqe…aj, prÕ j ¿n ™f- šsthken. e„ d de‹ kaˆ ¢pÒdeixin aÙtoà para- qšsqai grammik»n, œ stwsan dÚ o Ñrqaˆ aƒ ØpÕ abg kaˆ ØpÕ dez. lšgw d¾ Ó ti ‡sai e„s…n. e„ g¦r m», ¹ ˜tšra me…zwn. œ stw ¹ prÕ j tÕ b. ™farmozomšnhj ¥ra tÁ j de ™pˆ t¾ n ab ¹ ez ™ntÕ j pese‹tai, pisteÚw æj ¹ bh, kaˆ ™kbebl»sqw

153

¹ bg ™pˆ tÕ q. ™peˆ oân Ñrq¾ ¹ ØpÕ abg, Ñrq¾ kaˆ ¹ ØpÕ abq kaˆ ‡sai ¢ll»laij–œ comen g¦r ™n to‹j Ó roij Ó ti ¹ Ñrq¾ gwn…a ‡sh tÍ ™fexÁj–¹ ¥ra ØpÕ abq me…zwn tÁj ØpÕ abg. p£lin ™kbebl»sqw ¹ bh ™pˆ tÕ k. ™peˆ oân Ñrq¾ ¹ ØpÕ abh, kaˆ ¹ ™fexÁj Ñrq¾ di¦ taàta kaˆ ‡sh tÍ ØpÕ abh. ¹ ¥ra ØpÕ abk ‡sh tÍ ØpÕ abh, éste ¹ ØpÕ abq ™l£sswn tÁj ØpÕ abh, ¢ll¦ me…zwn, Ó per ¢dÚnaton. oÙk ¥ra ™stˆ n Ñrq¾ me…zwn ÑrqÁ j. Toàto mn oân kaˆ ¥l l oi j dšdeiktai t în ™xhghtîn kaˆ oÙ pollÁj ™de‹to pragmate…aj, Ð d P£ppoj ™pšsthsen ¹m© j Ñrqîj, Ó ti tÕ ¢nt…strofon oÙkšti ¢lhqšj, tÕ t¾n ‡shn tÍ ÑrqÍ gwn…an ™k pantÕj enai Ñrq»n, ¢ll' e„ mn eÙqÚgrammoj e‡h, p£ntwj Ñrq¾n enai, dÚnasqai d kaˆ periferÒgrammon gwn…an ‡shn ÑrqÍ deicqÁnai, kaˆ dÁlon, æj oÙkšti t¾ n toiaÚthn Ñrq¾ n (enai dÚnasqai?) prosagoreÚsomen. kat¦ g¦r t¾ n tîn eÙqugr£mmwn gwniîn tom¾ n t¾ n Ñrq¾ n ™lamb£nomen Øfist£ntej aÙt¾ n ØpÕ eÙqe…aj ™festèshj ¢klinîj prÕ j t¾ n Øpokeimšnhn, éste ¹ ‡sh tÍ ÑrqÍ oÙ p£ntwj Ñrq» ™stin, e‡per mhd eÙqÚ grammoj. neno»sqwsan oân eÙqe‹ai dÚo ‡sai aƒ ab bg poioàsai t¾ n prÕ j tÕ b Ñrq»n, kaˆ œ stwsan ‡sa kaˆ ™p' aÙtîn ¹mikÚklia kšntrJ kaˆ diast»mati grafšnta t¦ aeb, bzg. ™peˆ oân ‡sa t¦ ¹mikÚklia, ™farmÒsei ¢ll»loij, kaˆ ‡sh ¹ ØpÕ eba gwn…a tÍ ØpÕ zbg. koin¾ proske…sqw ¹ loip¾ ¹ ØpÕ abz· Ó lh ¥ra ¹ Ñrq¾ ‡sh ™stˆ tÍ mhnoeide‹ tÍ ØpÕ ebz. kaˆ Ó mwj oÙk œ stin ¹ mhnoeid¾ j Ñrq». tù d aÙtù trÒpJ kaˆ ¢mbl e…aj oÜshj À Ñxe…aj tÁj ØpÕ abg

deicq»setai aÙtÍ ‡sh gwn…a ¹ mhnoeid» j. toàto g£r ™sti tÕ edoj tîn periferogr£mmwn gwniîn

tÕ sumbibazÒmenon ta‹j eÙqugr£mmoij· pl¾ n tÒ ge tosoàton „stšon· ™pˆ mn tÁj ÑrqÁj kaˆ tÁj ¢mbl e…aj prosqe‹nai de‹ t¾ n metaxÝ gwn…an tÁj ab eÙqe…aj kaˆ bz perifere…aj, ™pˆ d tÁj Ñxe…aj ¢f el e‹n. ¹ g¦r ab eÙqe‹a tšmnei t¾ n bz perifšreian. ™kke…sqw oân ˜katšraj tîn Øpoqšsewn t¦ diagr£mmata. Taàta mn oân ¢nagegr£f qw deiknÚnta kaˆ Ó ti p© sai aƒ Ñrqaˆ ‡sai ¢ll»laij e„sˆ

kaˆ Ó ti oÙ p£ntwj ¹ tÍ ÑrqÍ ‡sh Ñrq» ™stin. e„ g¦r mhd eÙqÚ grammoj e‡h, pîj ¨n Ñrq» n tij e‡poi t¾ n toiaÚ thn;

F anerÕn d kaˆ ™k toàde toà a„t» matoj, Ó ti

154

¹ ÑrqÒthj tÁj gwn…aj

tÍ „sÒthti suggen»j ™stin,

ésper ¹ ÑxÚ thj kaˆ ¢mblÚ thj

tÍ ¢nisÒthti.

kaˆ g£r ™stin ¹ mn ÑrqÒthj aÙtÍ

tÍ „sÒthti sÚstoicoj

–¢mfÒterai g¦r

ØpÕ tÕ pšraj, ésper d¾ kaˆ

¹ ÐmoiÒthj– ¹ d ÑxÚ thj kaˆ ¢mbl Úthj

tÍ ¢nisÒthti, kaq£per kaˆ ¹ ¢nomoiÒthj·

¢peir…aj g¦r

œ kgonoi p© sai.

diÕ kaˆ oƒ mn tÕ posÕ n Ðrîntej t în gwni în

t¾ n Ñrq¾ n

‡shn tÍ ÑrqÍ lšgousin, oƒ d tÕ poiÕ n

Ðmo…an. Ó per g£r ™stin ™n poso‹j ¹ „sÒthj toàto ™n to‹j poio‹j ¹ ÐmoiÒthj.

[1] Η ορθή γωνία στο ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο είναι:

[1α] το «πέρας»

πάνω στην αόριστη δυάδα, άπειρων οξειών και αµβλειών γωνιών, και

[1β] η «µονάς» στον [Πλατωνικό] αριθµό,

(αφού και το πέρας και η µονάς στην ανθυφαίρεση διαµέτρου προς πλευρά

τετραγώνου δ/α, ορίζονται από το κριτήριο του λόγου δ/α = δ1/δ-α, το οποίο εκφράζει

το Πυθαγόρειο θεώρηµα δ2=2α2, ισοδύναµο της ορθής γωνίας. Σε αυτή µάλιστα την

ανθυφαίρεση το άπειρον εκφράζεται ισοδύναµα από τους πλευρικούς και

διαµετρικούς αριθµούς, που µε τη σειρά τους περιγράφονται ισοδύναµα µέσω οξειών

και αµβλειών γωνιών).

155

Οι Πυθαγόρειοι γενικεύοντας, πέρασαν αυθαίρετα από την ορθή γωνία του

ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου στην ορθή γωνία οποιουδήποτε τριγώνου µε τον

ισχυρισµό ότι:

[2α] σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η ορθή γωνία είναι πέρας (π.χ. τρίγωνο (3,4,5)—

γεωµετρικός αριθµός, κ.λπ., σύµφωνα µε τα σχόλια του Πρόκλου εις Πολιτείαν,

βλέπε παρ. 4.13, σελ. 184 της παρούσης), και

[2β] όλες οι ορθές γωνίες, που ανήκουν στην ίδια οντότητα (όπως τρίγωνο,

σχήµα,…) είναι µονάδες και γι’αυτό ίσες µεταξύ τους132 (τέταρτο αίτηµα, σύµφωνα

µε τα σχόλια του Πρόκλου εις Ευκλείδην).

Από την ανάλυση που προηγήθηκε για την «υπόθεση των τριών είδών

γωνιών» (βλέπε παράγραφο 4.5),τους πλευρικούς και διαµετρικούς αριθµούς (βλέπε

παράγραφο 3.2) όσο και από τα σχόλια του Πρόκλου εις Ευκλείδην, σχετικά µε το 4ο

αίτηµα, προκύπτει ότι οι αρχαίοι την ορθή γωνία την έβλεπαν ως «λόγο» και ως

«πέρας», αναδεικνύοντας έτσι µιά ανθυφαιρετική –διαλεκτική ερµηνεία για την ορθή

γωνία.

132 Σχετικά µε το ποιες νοούνται ως µονάδες σε µια ανθυφαιρετική διαδικασία και το πώς ακριβώς

«εξισώνονται» µεταξύ τους, βλέπε την παραγραφο 3.2 της παρούσης.

156

4.7 Η σχέση του αριθµού 5 µε το «πέρας», την περιοδικότητα και την

δικαιοσύνη.

Ο αριθµός 5

συσχετίζεται µε:

• την ορθή γωνία,

• το πέρας,

• την αναλογία και την συµµετρία,

• την ισότητα-απίσωση-επίσωση

• την περιοδικότητα,

• την δικαιοσύνη

Η ορθή γωνία του ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου είναι το πέρας και το

ίσον (διότι η ορθή γωνία εκφράζει το κριτήριο λόγου της ανθυφαίρεσης διαµέτρου

προς πλευρά) επιβαλλόµενο επί του απείρου και του ανίσου (µείζονος και

ελάσσονος) το οποίο εκφράζεται από την δυάδα (αµβλεία γωνία, οξεία γωνία), η

οποία εµφανίζεται στην γεωµετρική ερµηνεία των πλευρικών-διαµετρικών αριθµών,

και η οποία όντως περιγράφει το άπειρο της ανθυφαίρεσης διαµέτρου προς πλευρά.

Κατά το τέταρτο όµως αίτηµα των Στοιχείων όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες,

η δε απλούστερη και θεµελιωδέστερη, καθότι µε αριθµούς ρητούς και µάλιστα τους

µικρότερους, ορθή γωνία συγκροτείται από την τριάδα 3,4,5.

Από το 4ο αίτηµα έπεται ότι και η απλούστερη ορθή γωνία 3,4,5 πρέπει να αποτελεί

πέρας και ισότητα επιβαλλόµενη επί του απείρου και άνισου, εκφραζόµενου µε

µια δυάδα αµβλείας και οξείας γωνίας.

Η δε επιβολή ισότητος στην ανισότητα είναι ως

η επιβολή δικαιοσύνης στην αδικία,

και έτσι ο αριθµός 5, ως η απλούστερη και πρωταρχική παρουσία αυτής της επιβολής

είναι αυτή η ίδια η δικαισύνη.

157

Πως όµως µπορούµε να δούµε το 5 ως µια τέτοια επιβολή ισότητος

επί ανίσων (αµβλειών-οξειών γωνιών)?

Ως εξής:

Το 5 είναι η µεσότης του ‘δίκαιου’ πρώτου (µικρότερου, ‘πυθµένος’) περιττού

ισάκις ίσου (=τετραγώνου) αριθµού, δηλαδή του αριθµού 9. ( Η µεσότης µε την

έννοια ότι 1+9=2+8=3+7=4+6=2Χ5, να σηµειωθεί δε ότι η συνθήκη περιττότητος

είναι αναγκαία προκειµένου να υπάρχει µεσότης).

Κάθε µία δε από αυτές τις δυάδες (1,9), (2,8), (3,7), (4,6) εκφράζει το άνισο

(µείζον και έλασσον), το οποίο ‘απισώνεται’ από το 5, µε το να αφαιρέσουµε π.χ από

το µείζον 9 την διαφορά 9-5=4, και την προσθέσουµε στο έλασσον 1, ώστε αµφότερα

να ‘απισωθούν’ από το 5. Σηµειωτέον ότι 9 = 1.5 +4, εποµένως ο αριθµός 4, ο οποίος

πρέπει να αφαιρεθεί από το πλεονεκτούν 9 και να προστεθεί στο πλεονεκτούµενο 1,

ώστε να εξισωθούν, δεν είναι παρά το υπόλοιπο της διαίρεσης του 9 από τον 5, κ.ο.κ.

Έτσι επιτυγχάνεται για την πρωταρχική ορθή γωνία 3,4,5 µια περιγραφή

παραπλήσια µε την ανθυφαιρετική περιγραφή της ορθής γωνίας του ισοσκελούς

ορθογώνιου τριγώνου, ικανή να προσδώσει στον αριθµό 5 την έννοια της

δικαιοσύνης, της επιβολής της ισότητος στην ανισότητα, της απίσωσης, και άρα,

κατ΄αναλογία προς το ανθυφαιρετικό πρότυπο, και της περιοδικότητος και

κυκλικότητος.

Ανοίγει δηλαδή ο δρόµος (µε την αναλυτική περιγραφή της σχέσης του

αριθµού 5 µε την δικαιοσύνη, όπως την περιγράφει ο Ιάµβλιχος στα Θεολογούµενα

της Αριθµητικής 34,11-40,9) για την µετάβαση από την ορθή γωνία του ισοσκελούς

ορθογώνιου τριγώνου, η οποία έχει ανθυφαιρετική φύση, στην ορθή γωνία της

πυθαγόρειας τριάδας 3,4,5, και τον ορισµό του γεωµετρικού αριθµού, αριθµού µε

κατ’ έξοχήν περιοδική φύση, µε βάση την πυθαγόρεια τριάδα 3,4,5 (όπως

πραγµατοποιεί ο Πλάτων στην Πολιτεία 546b-c, και όπως επεξηγεί ο Πρόκλος στα

Σχόλια του).

158

4.9 Τα σχόλια του Ιάµβλιχου για τον αριθµό 5 και η σχέση του µε την σύµµετρη δικαιοσύνη.

IAMBLICOU TA QEOLOGOUMENA THS ARIQMHTIKHS 30,16-41,20 perˆ pent£doj. 'Anatol…ou. “Oti ¹ pent¦j prèth per išl abe tÕ toà pantÕj ¢r iqmoà edoj, ½ toi tÕ n b tÕ n prîton ¥rtion kaˆ tÕ n g tÕ n prîton perittÒn· diÕ kaˆ g£moj kale‹tai æj ™x ¥rrenoj kaˆ q» leoj. kšntron ™stˆ tÁ j dek£doj. tetragwnizomšnh ¢eˆ perišcei ˜aut» n, pent£kij g¦r pšnte ke· mhkunomšnh d aÛth kaˆ tÕn tetr£gwnon Ól on per išcei kaˆ l» gei e„j ˜aut» n, pent£kij g¦r ke rke. sc»mata stere¦ „sÒpleura kaˆ „sogènia pšnte, tetr£edron, Ó ™sti puram…j, Ñkt£edron. e„kos£edron, kÚboj, dwdek£edron· tÕ mn purÕ j scÁm£ f hs in Ð Pl£twn, tÕ d ¢šroj , tÕ d Ûdatoj, tÕ d gÁj, tÕ d pantÒj. Ó ti oƒ planèmenoi pšnte ™ktÕ j ¹l…ou kaˆ sel»nhj.

[ Πυθαγόρειο θεώρηµα ]

tÕ ¢pÕ toà e

prîton tetr£gwnon ‡son

dusˆ tetragènoij tù te ¢pÕ tîn triîn kaˆ tù ¢pÕ tîn d.

lšgetai tetr£cordoj ™k prètou ¢rt…ou enai kaˆ prètou perissoà, kat¦ tÕ n e noe‹tai sumfwn…a gewmetrik» . œ ti, ¨n kaq' Ðpoianoàn sÚnqesin tÕ n dška sunqÍj, mšsoj eØreq»setai Ð e kat¦ t¾ n ¢riqmhtik¾ n ¢nalog…an, oŒ on q kaˆ a, h kaˆ b, z kaˆ g, $ kaˆ d· ™x ˜k£sthj g¦r sunqšsewj Ð i ¢potele‹tai kaˆ mšsoj eØr…sketai Ð e kat¦ t¾ n ¢riqmhtik¾ n ¢nalog…an, æj dhlo‹ tÕ di£gramma.

159

Ó ti ¹ pent¦j prèth mesÒthtoj tÁj ¢r…sthj kaˆ fusikwt£thj ™mfantik¾ kat¦ di£zeuxin ¢mfotšroij pšrasi toà fusikoà ¢riqmoà, mon£di mn æj ¢rcÍ, dek£di d æj tšl ei , sunezeugmšnh tÍ du£di, ésper g¦r ž n prÕj b, oÛtw e prÕ j i, kaˆ ¢n£palin æj i prÕ j e, oÛtw b prÕ j a, parall£x te, æj i prÕ j b, e prÕ j a kaˆ æj b prÕ j i, a prÕ j e· tÒ te ØpÕ tîn ¥krwn ‡son tù ØpÕ tîn mšswn ¢koloÚ qwj tÍ gewmetrikÍ ¢nalog…v· tÕ g¦r dˆ j e ‡son tù ¤pax i. [Óti d ¥rcetai mn ¢pÕ mon£doj , tel eioàtai d Ð ¢r iqmÕj e„j dška, lecq»setai proioàsin.] ¢ntipeponqÒtwj ¥ra tÕ n toà ¹m…souj lÒgon ™n prwt…stV tÍ pent£di prÕ j tÕ me‹zon ¥kron œ comen „de‹n, kaq£per ™n tÍ du£di prÕ j tÕ œ latton· dipl £s ia mn g¦r toà a t¦ b, ¹m…sea d toà i t¦ e. diÒper m£lista sullhptik¾ tîn ™n kosmikÍ fÚsei fainomšnwn. Óti ¥ra kat¦ mn t¾ n dek£da Ð p© j kÒsmoj ºnÚsqai kaˆ katakekle‹sqai ™f£nh, poll£kij ¹m‹n lÒgoj. kat¦ d t¾n mon£da ™rr izîsqai , kaˆ k…nhs in mn kat¦ du£da ™schkšnai , f Ús in d zwÒthtoj kat¦ pent£da, oâsan ¥llwj kaˆ prosecest£twj kaˆ mÒnon mšroj tÁj dek£doj, e‡per aÙtÍ mn tÕ ¢nt…zugon ¢nagka…wj ¢kol ouqe‹, tÕ d Ðmènumon tÍ du£di . pšnte oân kaˆ t¦ kaqÒlou stoice‹a toà pantÒj, gÁ Û dwr ¢¾ r pàr a„q» r. pšnte d kaˆ t¦ toÚtwn sc»mata, tetr£edron ˜x£edron Ñkt£edron dwdek£edron e„kos£edron, ïn ¹ sugkorÚfwsij p£lin tîn b£sewn e„j tÕ n pent£doj diplasi£zetai lÒgon. pšnte d kaˆ oƒ par£l l hl oi kat¦ tÕn oÙranÕn kÚkl oi , „shmerinÕ j kaˆ oƒ par' ˜k£tera toÚtou tropiko…, qerinÕ j kaˆ ceimerinÒj. ¢l l »l oi j mn ‡soi, deÚteroi d tÍ toà megšqouj summetr…v , kaˆ oƒ toÚtwn ™f' ˜katšrwqen tÕ œ xarma kaˆ tÕ ¢ntšxarma Ðr…zontej, ¢rktikÒj te kaˆ ¢ntarktikÒj, mikrÒtatoi mn tù megšqei , ¢ll»loij mšntoi kaˆ aÙtoˆ ‡soi. ïn ¢nalÒgwj tÍ qšsei pšnte kaˆ ™pˆ gÁj zînai ™pinooàntai, kekaumšnh mn „shmerinù, eÜkratoi d dÚo tropiko‹j dus…n,

160

‡sai d aƒ <dÚo> ¢o…khtoi ØpÕ krÚouj tîn par' ˜k£tera pÒlwn. pšnte d mÒnoi ™ktÕ j ¹l …ou kaˆ sel »nhj oƒ pl £nhtej ¢s tšrej Øp£rcous i . kaˆ sel»nhj f£seij æj ™p…pan tosaàtai, dicÒtomoi dÚ o, ¢mf…kurtoi dÚ o, plhs…fwj m…a. t inj d ¢kr ibšs teron ¢ntˆ tîn dÚo dicotÒmwn mhnoeide‹j dÚo t£ssousi tù ¢riqmù tîn f£sewn tÕ g¦r dicÒtomon oÙc æj ¢lhqîj sumba…nein tÍ sel»nV tÒte, Ó te nom…zetai, ¢ll¦ mÒnon fa…nesqai, kat¦ grammik¾n d ¢pÒdeixin pl e‹on de‹ p£ntwj enai toà f ainomšnou tÕ pef wtismšnon, œl atton d tÕ ¢f èt is ton, e‡per tÁj ¹liakÁj sfa…raj mikrotšra ¹ selhniak», tÁj d toiaÚthj plšon ¢eˆ toà ¹m…souj l £mpetai , †na kaˆ tÕ ¢porršon aÙtÁj sk…asma kwnoeidj ¢potel Átai , tÕ d ™pˆ q£tera ¢ntekbal l Òmenon ™p' eÙqÝ tîn toà kènou eÙqeiîn kal aqoeidj scÁma Ï· koin¾n d ¢mf o‹n b£s in ¹ tÕ pef wtismšnon kaˆ ¢f èt is ton dior…zousa kuklik¾ gramm¾ perigr£fei. pšnte d kaˆ t în t¦ kosmik¦ kšntra ¢potel ous în eÙqei în y aÚsei j · dÁlon g£r, Ó ti di£metro… e„sin aátai dÚo, a†per kaˆ mšgistai, prÕ j Ñrq¦j ¢ll»laj tšmnousai· ˜autîn oân kaˆ tÁ j oÙran…aj sfa…raj pentacÁ yaÚousi, kaˆ aut în mn kat¦ kosmikÕ n kšntron, tÁj d sfa…raj kat¦ taàta t¦ Ñnomasqšnta kšntra. a„sqht»ria t¦ tîn teleiotšrwn ½ dh zèwn tosaàta, kat¦ suggšneian kaˆ Ðmo…an t£xin kaˆ ØpÒbasin to‹j stoice…oij. ¹ d fÚsij di¦ toàto pentacÁ tîn ¹metšrwn merîn ›kasta kat¦ t¦ ¥kra diškrine, podîn lšgw kaˆ ceirîn, e„j daktÚlouj. pšnte d kaˆ spl £gcnwn e‡dh, nefroˆ pneÚmwn Âpar spl¾ n kard…a. pšnte d kaˆ t în kat ' ™pif£neian Ðloscerîj Ðrwmšnwn mor…wn e‡dh, kefal¾ ce‹rej qèrax a„do‹a pÒdej. pšnte d kaˆ zèwn gšnh, ™mpÚrwn ™naer…wn ™gge…wn ™nÚdrwn ¢mfib…wn.

161

34,11-40,9

Ó ti kaˆ ¢neik…an

proshgÒreuon t¾ n pent£da,

oÙ mÒnon ™peid¾ tÕ pšmpton

kaˆ kat' aÙtÕ tetagmšnon stoice‹on Ð a„q¾ r

kat¦ taÙt¦ kaˆ æsaÚ twj œ con diatele‹,

ne…kouj kaˆ metabolÁ j ™n to‹j Øp' aÙtÕ n ØparcÒntwn

¢pÕ sel»nhj mecrˆ gÁj,

¢ll' Ó ti t¦ prètista diafšronta

kaˆ oÙc Ó moia toà ¢riqmoà dÚ o e‡dh, ¥rtion kaˆ perittÒn,

aÙtÕ j æsaneˆ ™f…lwse kaˆ sun»rthse sÚsthma

tÁj aÙtîn

genÒmenoj sunÒdou, kaq£per kaˆ Ð a„q¾ r ˜autoà te

f…loj diatele‹

sc»mati kaˆ oÙs…v kaˆ to‹j Ðmo…oij to‹j te ¥lloij ¤pasi toà toioÚtou parektikÕ j eØr…sketai,

panto…an perˆ t¦j dÚ o ¢rc¦j ™pidedeigmšnoij

™nantiÒthta.

di¦ toàto kaˆ Mšgilloj ™n tù Perˆ ¢riqmîn

oÛtwj aÙt¾ n semnÚnwn fhs…n· ‘¡ d pent¦j

¢llo…wsij, f£oj, ¢neik…a· ¢llo…wsij mšn,

Ó ti tric© diast¦n ™j tautÒthta tÁ j sfa…raj

½ meiye, kuklikîj kin» sasa

kaˆ f£oj ™nergasamšnh, diÒper

kaˆ f£oj· ¢neik…a d

par¦ t¾ n p£ntwn prodiestètwn sÚ stasin kaˆ ›nwsin

162

kaˆ di¦ t¾ n tîn dÚ o e„dšwn sÚ nodon kaˆ f…lwsin.’

Ó ti tÁ j dikaiosÚ nhj1

™mfantikwt£th ¹ pent£j,

dikaiosÚ nh2 d pasîn tîn ¢retîn periektik»·

¹ g¦r tÕ prosÁkon ¢podidoàsa ˜k£stV kaˆ

t¾ n ™n tÍ yucÍ „sÒthta kratÚnousa aÛ th ¨n e‡h,

„sÒthj d yucÁj

perˆ tÕ logikÕ n mÒnon, ¢nisÒthj d

perˆ tÕ ¥logon, Øpe‹kon d kaˆ peiqÒmenon tù lÒgJ.

¢ll¦ tÕ mn ‡son

¢po…kilon (˜nˆ g¦r trÒpJ ‡son), tÕ d ¥nison poikilètaton

(kat¦ polloÝj g¦r trÒpouj ¥nison), kaˆ t£ ge prètista aÙtoà e‡dh dÚ o

™st…, me‹zÒn te kaˆ œ latton·

kaˆ tÁj yucÁj ¥ra tÕ mn ‡son œ stai,

tÕ d ¥nison,

‡son mn tÕ qe‹on kaˆ logikÒn,

¥nison d tÕ qnhtÒn te kaˆ ¥logon, aÙtoà d toÚtou

me‹zon mn tÕ qumoeidšj (Øpšrzesij g£r ™sti

kaˆ ésper ¢poqšsewj toà peritteÚontoj œ fesij),

œ latton d tÕ ™piqumhtikÒn (™ndej g¦r tÍ toà ™l l e…pontoj

Ñršxei), ¢ll'

ØpÕ toà logikoà krathqšnta p£nta kaˆ „sÒthtoj

di' aÙtÕ metascÒnta ¢ret¦j kt© tai, tÕ mn qumoeidj ¢ndre…an,

tÕ d ™piqumhtikÕ n swfrosÚ nhn.

e‡ tij to…nun ¢riqmÕ j „s£kij ‡soj ™st…n,

163

oátoj dikaiosÚ nhj 3 e„dopoiÕ j kaˆ ™pidektikÕ j ¨n e‡h. p©j d tetr£gwnoj „s£kij ‡soj Øp£rcei, ¢ll' oÙ p© j mesÒthtoj dektikÒj, ¢ll¦ mÒnoj dhlonÒti, Ö j ¨n perissÕ j Ï· kaqÒlou g¦r ¢rt…ou ¢riqmoà mesÒthj oÙ fa…netai· perissîn d prosecšstatoj kaˆ o„keiÒtatoj ¨n e‡h Ð puqm» n, e„ kaˆ tîn aÙtoà lÒgwn ™pidektikoˆ oƒ met' aÙtÒn. ™pisthmonikaˆ d kaˆ f il Òsof oi ¢pode…xeij ¢e to‹j puqmšsin ™lac…stoij œ ti kaˆ eÙ<log…stoij kaˆ eÙ>p…stoij ™picrîntai kaˆ ™norîsin aÙto‹j æj ™n parade…gmas… tisi t¦ ÐmoiÒtata tîn Ðmogenîn, oŒ on diplas…wn mn ¢pe…rwn f Úsei Ôntwn ™n du£di m© llon prÕ j mon£da, ¹miol…wn d ™n tri£di prÕ j du£da· éste ¹ tÁ j dikaiosÚ nhj 4 œ nnoia kaˆ fÚsij ™n „s£kij ‡sJ deiknumšnh ¢riqmù, toutšstin ™n tetragènJ, ™n ¢rt…J mn oÙk Ñrqîj deicqe…h <¨n> mesÒthtoj ¢moiroànti, ¢ll' ™n perissù dhlonÒti kaˆ tîn perissîn ™n puqmenikwt£tJ kaˆ oƒ oneˆ spšrmati tîn ¥llwn di¦ tÕ ™pisthmonikÒn· ™n ¥ra prwt…stJ tù q· oátoj g¦r kaˆ ¢pÕ prètou perissoà ¢riqmoà toà g puqm¾ n tetr£gwnoj sun…statai trˆ j g ên, pleurikoà mesÒthta prètou œ contoj, tetr£gwnoj kaˆ aÙtÕ j mesÒthta prîtoj œ cwn. toÚtoij ¥ra ™piceirhtšon ¡rmÒzein tÕ n perˆ dikaiosÚ nhj5 lÒgon

164

¢koloÚqwj tù Puqagorikù perˆ dikaiosÚ nhj 6Ó rJ, Ó j ™sti· ‘dÚ namij ¢podÒsewj toà ‡sou <kaˆ > toà pros» kontoj, ™mperiecomšnh ¢riqmoà tetragènou perissoà [i.e. 9] mesÒthti. [i.e.5]’ prîton d¾ ™kqetšon stichdÕ n toÝj mšcri toÚtou ¢riqmoÝj ¢pÕ mon£doj ˜xÁj, a b g d e $ z h q, eta sugkefalaiwtšon t¾n p£ntwn Ðmoà posÒthta, kaˆ ™peˆ ™nne£cwroj Ð st…coj, tÕ œ nnaton toà sugkefalaièmatoj zhthtšon, e‡ ti fÚsei p£restin ½ dh tîn ™n tù st…cJ ¢riqmîn·

eØr»somen g¦r aÙtÍ tÍ mesÒthti toàto prosÕ n mÒnV·

pent¦j g£r ™stin ¥llo

m» te plšon

m» te œ lasson

œ cous£ ti, kaˆ to‹j loipo‹j

peripoihtik¾ toà toioÚtou aÙt¾ fan»setai,

æj ¥n tij dikaiosÚ nh 7

oâsa, kat' e„kÒna

toà Ñrg£nou toà zugikoà· e„ g¦r tÕ n st…con Øpoqo…meqa

toioàtÒn tina Øp£rcein zugikÒn, t¾n d mesÒthta tÕ n e ¢riqmÕ n

tÕ trÁ ma enai tÕ toà ¢ortoà, katarršponta mn

p£nta di¦ plÁ qoj œ stai

t¦ prÕ j tÍ ™nne£di ¢pÕ ˜x£doj mšrh,

[6,7,8,9]

¢narršponta d t¦ prÕ j tÍ mon£di

¢pÕ tetr£doj di' ÑligÒthta,

[1,2,3,4]

tr ipl £s ia d t¦ pleonektoànta

165

tîn pleonektoumšnwn

sÚnola [6+7+8+9=30]

sunÒlwn, [1+2+3+4=10]

aÙt¾ n d t¾ n e, ésper tÕ toà p» ceoj trÁ ma,

mhdetšrou metšcousan. ¢ll'

„sÒthta mÒnon kaˆ tautÒthta. kat¦ bracÝ d t¦ geitniînta aÙtÍ

kaˆ ™ggutšrw ginÒmena œ latton ¢eˆ kaˆ œ latton

pleonektoànt£ te kaˆ

pleonektoÚmena,

ésper t¾ n ¢pÕ

tîn zugikîn plast…ggwn kat¦ mikrÕ n Øpoba…nonta toà p» ceoj

æj prÕ j t¾ n ¢ort» n· m»kis ton mn g¦r ¢f šs thken

¹ ™nne¦j kaˆ mon£j,

diÕ kaˆ ple…stJ pl eonekte‹ mn

™nne£j, [9-5=4]

pl eonekte‹tai d mon£j, [5-1=4]

tetr£di Ó lV· bracÝ d toÚtwn ™ndotšrw

Ñgdo¦j kaˆ du£j,

diÕ kaˆ bracÝ ™l£ttoni pl šon mn

Ñgdo£j, [8-5=3]

œl atton d du¦j

[5-2=3]

œ cei· tri£da g£r·

eq' ˜xÁj toÚtoij

˜bdom£j te kaˆ tri£j,

di¦ toàto tÍ ˜xÁj posÒthti

166

™l attoàtai mn tri£j,

[5-3=2]

pl eon£zei d ˜bdom£j· [7-5=2]

du£di g¦r ™ndotšrw· ™ndotšrw d toÚtwn kaˆ prosecîj

tÍ pent£di, æsaneˆ tÍ ¢ortÍ,

tetr£j te [5-4=1]

kaˆ ˜x¦j tù ™lac…stJ

pleonektoàsa· [6-5=1]

™l£ttwn g¦r toÚtou ¢riqmÕ j oÙkšti noe‹tai.

¢nartJ mšnou d toà p»ceoj, t¦ mn

plšon œ conta pleonektoàsan

kaˆ t¾ n

prÕ j aÙt¾ n gwn…an

¢perg£zetai kaˆ t¾ n ˜autîn

prÕ j t¾ n ¢ort» n, t¦ d œl atton Ñligektoàsan kaq' ˜k£teron·

pleonektoàsa d gwn…a

¹ ¢mble‹£

tÕ n „sÒtaton lÒgon tÁ j ÑrqÁ j ™coÚ shj.

[αφού 32+42=52] ™peˆ d ™p…shj mn ™n ¢dik…v

o† te ¢dikoÚmenoi o† te ¢dikoàntej

æj ™n ¢nisÒthti ™p…shj tÒ te me‹zon

tÒ te œ latton, ¢dikèteroi <d>

Ó mwj oƒ ¢dikoàntej

tîn ¢dikoumšnwn (oƒ mn g¦r

167

kol£sewj, oƒ d

™pisèsewj kaˆ bohqe…aj

dšontai),

t¦ kat¦ ¢mble‹an ¥ra ¢fist£mena

gwn…an

per… te tù zugù kaˆ ™n tù ¢riqmhtikù Øpode…gmati

plšon ¢post»setai

toà mšsou, Ó per ™stˆ

tÁ j dikaiosÚ nhj 8, m© llon ¢eˆ

kaˆ m© llon, toutšsti

t¦ pleonektoànta, prosdrame‹tai d kaˆ prospel£sei œ ti kaˆ œ ti ¢eˆ

t¦ kat' Ñxe‹an, kaˆ oƒ oneˆ

¢dikoÚmena ¢eˆ ™n tù

pleonekte‹sqai

t¦ mn k£tw kaˆ e„j fqÒron kaˆ e„j kak…aj

baptismÕ n o„c»setai,

t¦ d ¥nw kaˆ æj e„j qeÕ n prosfeÚgonta

¢narršyei timwr…aj

kaˆ

¢pisèsewj deÒmena.

e„ goàn de»sei sÝn pantˆ tù p» cei kaˆ tù ¢riqmhtikù ™kqšmati toÚtJ

„sÒthta ™ggenšsqai, p£lin tÕ toioàton

kat¦ pent£doj metoc¾ n æsaneˆ dikaiosÚ nhj 9

tinÕ j oÜshj mhcanhq»setai·

168

½ toi g¦r t¦

¢pÕ tîn pleonektoÚ ntwn

tetagmšna pšmpta ¢faireqšnta

aÙtîn

e„ prosteqe…h to‹j

pleonektoumšnoij,

tÕ zhtoÚ menon ¢perg£zetai·

½ toi kat¦ diorismÕ n kaˆ ¢ntipeponqu‹an diastol¾ n t¾ n pent£da ¢pÕ mn toà

m»kiston ¢festîtoj

pleonšktou

tÕ toà ˜tšrou mšrouj ™l£ciston ¢pšcon pleonektoÚmenon <¢polabe‹n kaˆ

prosqe‹nai

tù m»kiston ¢pšconti>,

Ó ™sti tÕ ›n, prÕ j ¢p…swsin

¢polabe‹n t¦ d

[9=1.5+4]

¢pÕ <toà> q kaˆ prosqe‹nai

tù ˜n…,

¢pÕ d toà h t¦ g,

[8=1.5+3] § prosq»kh tù b

œ stai,

¢pÕ d toà z t¦ b,

§ tù g prÒskeitai,

¢pÕ d toà $ tÕ a, Ó ™sti tù d

prosq»kh

e„j ¢p…swsin, kaˆ p£nta ™p…shj

t£ te kolasqšnta æj pleonektik¦

kaˆ t¦ ™panorqwqšnta

169

¢pisèsei æj ºdikhmšna

Ðmoiwq» setai tÍ tÁj dikaiosÚ nhj10 mesÒthti·

¢n¦ e g¦r ¤panta œ stai· mÒnh g¦r aÛ th

¢nafa…retÒj te kaˆ ¢prÒsqetoj diamšnei,

æj ¨n m» te

plšon m» te

œ lasson, ¢ll¦

kaˆ tÕ prosÁkon kaˆ ™pib£llon fÚsei mÒnh œ cousa.

kaˆ tù sc»mati d oƒ toÝj t în gramm£twn caraktÁraj pr îtoi tupèsantej , ™peˆ tÕ q toà ™nnša shmantikÕ n Øp£rcei, mesÒthj d aÙtoà æj tetragènou tÕ e, tÕ d mšson ™n ˜k£s tJ scedÕn kat¦ tÕ ¼ misu Ðr©tai , ¼ misu toà q gr£mmatoj tupoàsqai tÕ e ™penÒhsan, æj dicotÒmhma toà q, kaq¦ kaˆ tÕ toà o. toÚtJ d¾ tù trÒpJ tÁ j dikaiosÚ nhj 11 tù e ¢riqmù dikaiÒtata ™nofqe…shj kaˆ tÁj toà st…cou ¢riqmhtikÁj e„kÒnoj zugù tini oÙk ¢piq£nwj e„kasqe…shj, tÕ par£ggelma to‹j gnwr…moij ™n sumbÒlou sc»mati Ð PuqagÒraj ™nepoi»sato ‘zugÕ n m¾ Øpšrbaine’, toutšsti dikaiosÚ nhn. 12 40,9 Sχόλια Ο 5 αποκαλείται ¢neik…a . Η λέξη Ne‹koj, προκύπτει από πολλά χωρία του

Εµπεδοκλή ότι έχει διαιρετική φύση. Για παράδειγµα:

dÚo d ¢rcik¦j dun£meij, Fil…an te kaˆ Ne‹koj, ïn ¹ mšn ™stin ˜nwtik» , tÕ d diairetikÒn» Η λέξη ¢neik…a ,από την άλλη, αποδίδεται στον αριθµό 5 και συνδέεται µε

εκφράσεις που τεκµηριωµένα σχετίζονται άµεσα µε την περιοδική ανθυφαίρεση και

το κριτήριο του λόγου, όπως π.χ: «kat¦ taÙt¦ kaˆ æsaÚ twj œ con», «sÚ nodon

kaˆ f…lwsin», «¢ntapÒdos…n», «„sÒthta kaˆ tautÒthta», «¢p…swsin»,

«Fil…an»

170

«˜nwtik» », «„swq» sontai» (βλέπε παρ. 3.2 σχετικά µε την «εξίσωση» δύο

εναντίων µέσω της περιοδικής ανθυφαιρετική διαδικασίας.

171

tr i în d Ô ntwn tîn zwopoihtikîn kat¦ toÝj fusikoÝj met¦ t¾n swm£tws in, futikoà yucikoà logikoà, kaˆ toà mn logikoà kat¦ mn ˜bdom£da tassomšnou, toà d yucikoà kaq' ˜x£da, tÕ futikÕ n ¢nagka…wj kat¦ t¾ n pent£da p…ptei, éste kaˆ ¢krÒthj tij ¹ ™lac…sth tÁj zwÒthtoj ¹ pent£j· genšsewn mn g¦r ·…za pasîn ¹ mon£j , k…nhs i j d ™f' ›n ti ¹ du£j, ™pˆ d deÚteron ¹ tr i£j , ™pˆ d tr…ton kaˆ tel eiÒteron ¹ tetr£j , ™pˆ d t¾n p£nth prÒsqes in kaˆ aÜxhs in ¹ pent¦j kat¦ t¾ n futik¾ n tÁj yucÁj ›xin, Î eÙqÝj kaˆ tÕ a„sqhtikÕ n genikÕ n paršspartai. Ó ti Nšmesin kaloàsi t¾ n pent£da· nšmei goàn proshkÒntwj t£ te oÙr£nia kaˆ qe‹a kaˆ fusik¦ stoice‹a to‹j pšnte, t¦ pšnte sc»mata ta‹j kÚ klJ [ta‹j] kin»sesi ta‹j te selhniaka‹j kaˆ tîn loipîn ¢stšrwn, ˜sper…v ¢natolÍ, ˜sper…v dÚsei, ˜óv ¢natolÍ, ˜óv dÚsei kaˆ tÍ ¥neu toÚtwn ¡plÍ peripol» sei· eta t¦ kat' ™p…kuklon sthrigmo‹j dusˆ n À propodismù À ¢napodismù, ÐmalÒthti mi tÍ kat¦ fÚsin· to‹j te futo‹j pentamerj aÙt în tÕ Ðloscerj sÚgkrima· ·…za g¦r kaˆ pršmnoj kaˆ floiÕ j kaˆ fÚllon kaˆ karpÒj· a† te kataforaˆ pšnte, Øetoà ciÒnoj drÒsou cal£zhj p£cnhj· ¢nafora… te pšnte, ¢tmÕ j kapnÕ j nšfoj Ðm…clh kaˆ Ð legÒmenoj tufën ¢nemèdhj, Ó n tinej strÒbilon Ñnom£zousi· di¦ toàto kaˆ pemp£da aÙt¾ n çnom£sqai, Ó ti kat' aÙt¾ n aƒ foraˆ aátai ¢napšmpontai. di¦ d tÕ „soàn t¦ ¥nisa [1] kaˆ prÒnoian Ñnom£zousi [2] kaˆ d…khn oŒ on d…chsin [3] kaˆ Boub£steian di¦ tÕ ™n Boubastù tÁj A„gÚptou tim© sqai, [4] kaˆ 'Afrod…thn di¦ tÕ ™piplškesqai ¢ll»loij ¥rrena kaˆ qÁlun ¢riqmÒn. kat¦ tÕn aÙtÕn d trÒpon [5] kaˆ gamhl…a [6] kaˆ ¢ndrogun…a [7] kaˆ ¹m…qeoj, oÙ mÒnon Ó ti toà dška qe…ou Ô ntoj ¼ misÚ ™stin, ¢ll¦ kaˆ Ó ti ™n tù „d…J diagr£mmati ™n tù kat¦ mšson ™netštakto. [8] kaˆ d…dumon, Ó ti t¾ n dek£da dic£zei ¢d…caston ˜tšrwj oâsan,

172

[9] ¥mbroton d [10] <kaˆ > Pall£da kat' œ mfasin tÁj pšmpthj oÙs…aj kaloàsi, [11] kardi© tin d kat' e„kÒna tÁj ™n to‹j zèoij kard…aj mšshj tetagmšnhj. [41,20] IAMBLICOU CALKIDEWS THS KOILHS SURIAS PERI THS NIKOMACOU ARIQMHTIKHS EISAGWGHS 16,11-20,6 k¢ke‹ d polÝ m© llon kaˆ ™nargšs teron Ótan toà q tetragènou prwt…stou met¦ tîn dun£mei Ô ntoj perissoà, ™n tÍ mesÒthti, toutšsti tù pšnte, ¢nafa…nhtai Ð tÁ j dikaiosÚ nhj lÒgoj kat' ¢riqmhtik¾ n ¢nalog…an suzÚgwj ¢meibÒmenoj kaˆ æj ¢for…zontai oƒ Puqagorikoˆ dikaiosÚ nhn lšgontej

dÚ namin ¢podÒsewj toà ‡sou kaˆ pros» kontoj ™mperiecomšnhn

¢riqmoà tetragènou perissoà mesÒthti. ™kteqšntwn g¦r stichdÕ n tîn ¢pÕ mon£doj mšcrij ™nne£doj ¢riqmîn, Ð pšnte mšsoj toÝj mn ™ntÕ j ˜autoà œl atton À prosÁkon œ contaj dior…sei, toÝj d' Øpr aÙtÕ n pleonektoàntaj kaˆ kat¦ prÒbas…n ge· toÝj g¦r m© llon tÍ ™nne£di ™gg…zontaj ¢e…, toÝj d tÍ mon£di ¢eˆ œ latton· pros»kei te ˜k£stJ kat£ ge tÕ n tÁ j „sÒthtoj lÒgon tÕ toà pentekaitessar£konta tîn Ó lwn sust» - matoj œ nnaton, Ó per aÙtÒqen tÍ mesÒthti toà plšon kaˆ œ latton mÒnV ™mfa…netai, ™peˆ kaˆ ¹ dikaiosÚ nh kaˆ ¥llai ¢retaˆ mesÒthtej toÚ twn, ¢ll' oÙc ›terÒn ti eØr…skontai oâsai. di¦ toàto Ó sJ par¦ tÕ kaqÁkon Øperšcei Ð q kaˆ pleonekte‹, tosoÚtJ le…petai Ð prî- toj· ÓsJ d Ð h, <tosoÚtJ> Ð deÚteroj· kaˆ Ó sJ Ð z, tosoÚtJ Ð g· kaˆ Ó sJ Ð $, tosoÚtJ Ð d· tÍ g¦r ™pˆ tÕ mšson bracÝ ™ggÚthti

ésper ™pˆ ¢ort¾ n zugikoà p» ceoj ¢p…swsij ØpofÚetai,

æj k¢ke‹ ÑrqÒthtoj gwniîn,

tîn te prÕ j tÕ n pÁcun tîn plast…ggwn

kaˆ tîn toà p»ceoj prÕ j aÙtÕ n tÕ n ¢ort» n.

Ð d mšsoj

Ð e tosoÚtJ le…petai Ó sJ pleon£zei· oÙdenˆ ¥ra. kaˆ m…a mn œmf as i j ¼de toà oÙdn Ó ti cr»simon ™n

173

tÍ qewr…v, kaˆ ¥l l h d eÙqÝj ¢naf a…netai . oÙ g¦r mÒnon sun® dei tÕ kaˆ tù sc»mati toà caraktÁroj enai tÕ e tÕ ¼misu toà q, ¢ll¦ kaˆ œ ti di¦ t¾ n suggšneian Ðmokat£l hkta f Úsei enai t¦ suzÚgwj ˜ka- tšrwqen aÙtoà· ™n£ki g¦r q tù ¤pax a, Ñkt£ki d Ñktë tù dˆ j dÚo, pt£ki d ˜pt¦ tù trˆj g, x£ki d ž x tù tetr£ki d, mÒnon d aÙtÕ ãutù tÕ pent£ki j pšnte. œti tÕ mn ™n£ki e tù ¤pax e, tÕ d ™n£ki $ tù ¤pax d, tÕ d ™n£ki z tù ¤pax g, tÕ d ™n£ki Ñktë tù ¤pax dÚo. kaˆ p£lin tÕ Ñkt£kij z tù dˆ j g kaˆ tÕ Ñkt£kij $ tù trˆ j d <kaˆ tÕ Ñkt£kij e tù dˆ j e> kaˆ tÕ ˜pt£kij $ tù trˆ j d <kaˆ tÕ ˜pt£kij e tù trˆ j e>. kaˆ ¥l l wj tÕ mn ˜x£ki e tù tetr£ki e, e„ kaˆ m¾ tù ÑnÒmati ¢ll£ ge tÍ dun£mei, ésper kaˆ ¢pede…xamen tÕ ¼ misu tù dÚo ¢ntiparwnume‹n dun£- mei, ¢ll' oÙk ÑnÒmati. e„ d¾ par¦ tîn pleonektoÚn- twn to‹j pleonektoumšnoij, ésper kritaˆ d…kaioi kaˆ toà ‡sou kaˆ ™pib£llontoj ¢podotiko…, lamb£nontej ¢podido‹men, oÙk e„kÍ par¦ toà tucÒntoj labÒntej tù tucÒnti ¢podèsomen, ¢ll¦ kat¦ t¾ n aÙt¾ n ¢nalog…an, gnèmoni crèmenoi kaˆ oŒ on kanÒni tù m»te pleonekt»santi m»te pleonekthqšnti, toutšsti tÍ pen- t£di· oátoj g¦r mÒnoj dika…wj tÕ ãutoà plÁrej œ cei. ¢pÕ toà oân ™nnša tÕ n ¢p' aÙtoà pšmpton labÒntej tù a dèsomen, kaˆ „swq» sontai Ð ple‹ston ¢dik»saj kaˆ Ð ple‹ston ¢dikhqe…j· pšmpton d ¢pÕ toà q t¦ tšssara· œ sti g¦r h z $ e d. p£lin ¢pÕ toà h prosq»somen tù dÚo ¢felÒntej g· ¢pÕ toà h pšm pton g¦r t¦ g. kaˆ ¢pÕ toà z ¢felÒntej tÕ n ¢p' aÙtoà pšmpton t¦ b, prosq»somen tù tr…a, kaˆ „swq» sontai. kaˆ p£lin ¢pÕ toà $ ¢felÒntej tÕ n ¢p' aÙtoà pšmpton tÕ ›n, prosq»somen tù d, kaˆ œ sontai ‡soi. ¢pÕ d toà pšnte ¢f el Òntej oÙdšn (tÕ ¢p' aÙtoà pšmpton g¦r [a] tÕ oÙdšn), prosq»somen aÙtù, kaˆ œ stai ãutù ‡soj. oÛtwj tÕ nooÚmenon œ latton, mon£doj ¢diairštou oÜshj, tÕ oÙdšn, pantacoà sózei prÕ j t¾ n mon£da t¾ n ¢nalog…an, m© llon À Ó per ™ke‹noi ™nÒmizon ¼ misu, kaˆ gšgonen ¹ mon¦j kaˆ aÙt¾ tîn par' ˜k£tera sunteqšntwn ¹m…seia· toà g¦r dÚo kaˆ toà oÙdn ¼misu tÕ ›n. aÙtÕ mšntoi tÕ toà oÙdn Ô noma ™mfantikètata ¹m‹n shma…nei fÚsei ™l£ciston enai kaˆ ¥tomon t¾ n mon£da· tÕ g¦r oÙdn ™n diai- ršsei ster…skei p£shj oÙs…aj, Ó per oÙk ¨n ™noe‹to e„ tÕ ¼ misu ØpÁrcen À tr…ton À t¦ Ó moia aÙtÁj mšrh. t… g¦r de‹ prosepiplškein Ó ti ¹ mon¦j poluplasi£- sasa ¢riqmÕ n Ðntinoàn aÙtoà ™ke…nou oÙk ™kba…nei, ÐpÒte kaˆ aÙt¾ toàto poi»sasa ãutÍ oÙk ™x…statai, æj ¨n meqÒrion toà te ¡plîj ¢r iqmoà kaˆ toà oÙdn

174

pef uku‹a; Ð mn g¦r e‡te ãutÕ n e‡te ¥l l on l £boi ™n oÙdetšrJ tÕ n lÒgon †sthsin, ¢ll¦ p£ntwj tr…ton tin¦ ¢pogenn · tÕ d oÙdn e‡te ãutÕ e‡te ¥l l o dÒxeie poluplasi£zein aÙtÕ oÙdšpote ™kb»setai· oÙden£ki g¦r oÙdšn, kaˆ oÙden£ki q, oÙdšn· ‡son g¦r tù oÙdamîj q· kaˆ ™pˆ tîn ¥llwn Ðmo…wj. ¹ d mon£j , æj ¢mfo‹n mšsh, ™¦n mn ¥l l on l £bV, ™n ™ke…nJ tÕ n lÒgon, ™¦n d ãut»n, ™n ãutÍ ¢pole…pei. kaˆ œ ti prosqetšon met¦ tîn prosemfanisqšntwn Ó ti ¢nti- peri…statai prokop¾ Øpob£sei kaˆ ØpÒbasij prokopÍ. ¤pax goàn ™nnša, ™nnša· kaˆ Ð lÒgoj œ meinen ™n ta‹j ¢krot£taij. kaˆ dˆ j q, ih· kaˆ metšbh Ð lÒgoj e„j t¦j deutšraj ¢krÒthtaj, kaˆ toàto ™fexÁj. ˜tšrou g¦r kairoà diereun© n ™piplšon pîj kaˆ tetragwnisqšntoj ¢pÕ tÁj stichdÕ n ™kqšsewj toà ¢riqmoà oÙk ™l£ttona piqan¦ ™pisumba…nei fÚsei kaˆ oÙ nÒmJ, éj fhs… pou FilÒlaoj· toà mn pšnte Ðmo…wj kaˆ ™ntaàqa mesÒthtoj eØriskomšnou kat¦ toÝj tre‹j ¥llote ¥llwj st…couj, mÒnon d tîn ™fepomšnwn aÙtoà kat£ te mÁ koj kaˆ pl£toj kaˆ œ ti diagwn…wj ¢peilhfÒtwn tÕ ™pib£llon· t în d m¾ oÛtwj ™cÒntwn pl eonektoÚntwn

perˆ dikaiosÚ nhj ‡dion, cwrîmen ™pˆ t¦ ˜xÁj. 20,6

te kaˆ pleonektoumšnwn· kaˆ oÙc æj œ tucen, ¢ll' æj kat£ tina ¢n£logon ¢ntipepÒnqhsin. ¢ll¦ nàn ge ¢napšmyantej tÕ n perˆ toÚtwn pl»rh lÒgon e„j tÕ n

Σχόλια

Η σειρά των αριθµών 1 έως 9 παροµοιάζεται από τον Ιάµβλιχο ως ζυγικός

πήχυς µε σηµείο ανάρτησης (trÁ ma) τον αριθµό 5. Οι αριθµοί δεξιά του 5 έχουν

άθροισµα 30 και γι’αυτό υπερέχοντες, ενώ οι ευρισκόµενοι αριστερά του 5 µόνον 10

και γι’αυτό υπερεχόµενοι. Αορτή είναι ο ιµάντας µε τον οποίο αναρτάται ο πήχυς.

Στην κατάσταση ισορροπίας, οι γωνίες που σχηµατίζει η αορτή µε τον πήχυ καθώς

και ο πήχυς µε τις πλάστιγγες είναι ορθές.

Όταν αναρτηθεί ο πήχυς από το 5 (το τρήµα της αορτής), τότε η πλάστιγγα θα

γύρει προς την πλευρά των πλεονεκτούντων, µε αποτέλεσµα οι γωνίες από την

πλευρά αυτή να είναι αµβλείες, ενώ από την πλευρά των πλεονεκτουµένων είναι

οξείες. Έτσι πλεονεκτούσα γωνία είναι η αµβλεία µε την ορθή να έχει

«tÕ n „sÒtaton lÒgon». Η έκφραση αυτή του Ιάµβλιχου για την ορθή γωνία είναι

αντίστοιχη της έκφρασης του Πρόκλου γι’αυτήν: «mon£doj d œcousa lÒgon»

(βλέπε σελ.153 της παρούσης).

175

Έχουµε λοιπόν εδώ από τον Ιάµβλιχο, µία ακόµη επιβεβεβαίωση για το ότι οι αρχαίοι

την ορθή γωνία την έβλεπαν ως λόγο. Η δυάς (οξεία γωνία, αµβλεία γωνία)

περιγράφεται και πάλι µέσω των Φιλήβειων αόριστων δυάδων της µορφής (œ latton,

me‹zon). Η συσχέτιση δε της οξείας και αµβλείας γωνίας, µε την δυάδα (œ latton,

me‹zon), επιβεβαιώνει την ανθυφαιρετική φύση της παραπάνω περιγραφής.

Ιάµβλιχος, Πυθαγορικός Βίος 30,179,8-180,3

boul Òmenoj d t¾ n

™n to‹j ¢n…soij

kaˆ ¢summštroij kaˆ ¢pe…roij

peperasmšnhn kaˆ ‡shn

kaˆ sÚ mmetron dikaiosÚ nhn parade‹xai,

Ó pwj de‹ aÙt¾ n ¢ske‹n Øfhg»sasqai, t¾ n dikaiosÚ nhn œ fh proseoikšnai tù sc» mati ™ke…nJ,

Ó per mÒnon tîn ™n gewmetr…v diagramm£twn

¢pe…rouj mn œ cei t¦j

tîn schm£twn sust£seij, ¢nomo…wj d

¢ll»loij diakeimšnwn ‡saj œ cei

t¦j tÁ j dun£mewj

¢pode…xeij. ™peˆ d kaˆ ™n tÍ prÕj ›teron cre…v

œ sti tij dikaiosÚ nh, kaˆ taÚ thj

toioàtÒn tina trÒpon lšgetai ØpÕ tîn Puqagore…wn

parad…dosqai.

176

4.9 O Pυθαγόρειος τρόπος

να δείχνουµε τα «αφανή» µέσα από τα «εµφανή»

Ο «ζυγός» σε ρόλο ανθυφαίρεσης-πλευρικών διαµετρικών

αριθµών. Η συσχέτιση της έννοιας της δικαιοσύνης-εποµένως και του αριθµού 5- µε

την έννοια της συµµετρίας, της αναλογίας, της ισότητος, της περιοδικότητος και

του πεπερασµένου, και η αντιδιαστολή της από την άλλη πλευρά µε τις έννοιες του

άνισου, του απείρου και της ασυµµετρίας, είναι σαφής και από το τελευταίο αυτό

χωρίο του Ιάµβλιχου.

Κατά την άποψή µας, όπως φάνηκε στην παράγραφο για τα τρία είδη

γωνιών, ο αριθµός 5 συνδέθηκε αρχικά µε τις έννοιες του πέρατος και της

περιοδικότητος-κυκλικότητος, αφού, λόγω του 4ου αιτήµατος, και η ορθή γωνία

του τριγώνου 3-4-5 αποτελεί πέρας. Στη συνέχεια αναζητήθηκαν αναπαραστάσεις

που να επιβεβαιώνουν τις παραπάνω ιδιότητες του αριθµού 5.

Ο ζυγός, όπως περιγράφεται από τον Ιάµβλιχο, είναι µια διαδικασία

αντίστοιχη µε αυτή των πλευρικών διαµετρικών αριθµών, όπου η ορθή γωνία

προσεγγίζεται από άπειρα ζεύγη εναλλάξ οξειών- αµβλειών γωνιών.

Τα εναλλάξ οξυγώνια-αµβλυγώνια τρίγωνα τα οποία σχηµατίζονται κατά το

διάστηµα ανισορροπίας του ζυγού, προσεγγίζουν σταδιακά το ορθογώνιο τρίγωνο το

οποίο σχηµατίζεται στην κατάσταση ισορροπίας.

Αξίζει µάλιστα να σηµειωθεί στο σηµείο αυτό ότι, στη περίπτωση του ζυγού,

τα ορθογώνια-αµβλυγώνια τρίγωνα, που σχηµατίζονται εκατέρωθεν της αορτής, δεν

είναι απαραίτητα ισοσκελή.

Αντίθετα, στους πλευρικούς και διαµετρικούς αριθµούς, ο εγκλεισµός της

ορθής γωνίας γινόταν από µια ακολουθία εναλλάξ οξυγώνιων-αµβλυγώνιων

ισοσκελών τριγώνων.

Είναι ήδη πολυσυζητηµένος ο ρόλος των µαθηµατικών στην εξέλιξη της

φιλοσοφίας. Παρ’όλα αυτά, το ερώτηµα του πως ακριβώς συνδέθηκαν τα µαθηµατικά

µε έννοιες εξωµαθηµατικές παραµένει ενδιαφέρον.

Κατά τους Πυθαγόρειους, η σύνδεση της «δικαιοσύνης» µε την «πεντάδα»

είναι ένας άλλος, συµβολικός τρόπος διδασκαλίας και αξιοποίησης των µαθηµατικών,

εξαρτώµενος και εκ «tÁj dun£mewj tîn manqanÒntwn».

177

Ξεκινώντας από «t¦j ¢rc¦j t¦j prètaj», προηγείται η ανακάλυψη των

µαθηµατικών θεωρηµάτων και έπεται η σύνδεσή τους και διδασκαλία τους µε άλλους

συµβολικούς τρόπους, οι οποίοι είναι οικείοι πάντως µε τους θεούς και πρόσφοροι µε

την φύση «sumbolikîj te t¦ poll¦ ™d…daskon, kaˆ ¹goànto tÕ n trÒpon toàton

to‹j qeo‹j enai o„ke‹on kaˆ tÍ f Úsei prÒs f oron.»

Ας δούµε όµως το ακόλουθο χωρίο του Ιάµβλιχου133, στο οποίο περιγράφεται

µε γλαφυρό τρόπο η σύνδεση-συσχέτιση µαθηµατικών και µη µαθηµατικών εννοιών,

προηγουµένων πάντα των µαθηµατικών θεωρηµάτων.

di¦ tîn fanerîn t¦ ¢fanÁ ™ndeiknÚ oito, oÙk œ stai Ð toioàtoj trÒpoj ¢pÒblhtoj tÁj ™fÒdou. oÛtw d toÚtwn dicÍ diVrhmšnwn, crhs tšon mn ¢mfotšroij to‹j trÒpoij, to‹j mn æj ™pisthmonikwtšroij to‹j d æj gnwrimwtšroij. kaˆ d¾ Ótan mn ¢nagka‹on Ï tù tšrJ mÒnJ crÁsqai trÒpJ , prokr…nein de‹ tÕ n o„keiÒteron aÙtîn kaˆ m© llon sumballÒmenon prÕ j tÕ proke…menon ™pisthtÒn· Ótan d ™xÍ ¢mf otšroi j crÁsqai , di' ¢mfotšrwn Ðdhge‹n cr¾ e„j t¾ n ™pist»mhn. Ó qen d¾ ™n polla‹j maqhmatika‹j qewr…aij t¦ aÙt¦ pro- bl»mata di' ¢nalÚ seèj te kaˆ sunqšsewj ¢pode…knutai. ™f' ïn oân sumfwnoàsin oƒ dÚ o trÒpoi tÁ j ™pist» mhj, ™pˆ toÚtwn crhstšon ¢mfotšroij. de‹ d kaˆ tÁj ›xewj ˜k£stou stoc£zesqai, oŒ on e„ eÙfu¾ j ÑxÝj ên tij dÚnatai ¢f' ˜nÕ j ™pˆ poll¦ ·vd…wj metišnai kaˆ ¢qrÒwj ¤ma poll¦ paradšcesqai t¦ suggšneian œ cont£ tina prÕ j ¥llhla.

k¢ke‹no d de‹ skope‹n, tÕ tšloj tÁ j ¢nafor© j

t… pot' ™stˆ tÁ j ™n maqhmatikÍ diatribÁ j,

pÒteron aÙtÕ toàto tÕ maqe‹n t¦ tÁ j ™pist» mhj

qewr» mata,

À e„j filosof…an tij aÙt¦ ¢n£gei kaˆ

prot…qetai Ðdhge‹sqai di' aÙtîn

™pˆ t¾ n toà nohtoà qšan·

tù g¦r toioÚtJ ¥llh ¨n e‡h ¹ t£xij,

133 Περί Κοινής Μαθηµατικής επιστήµης 17,18-18,50

178

™n…ote t¾ n kat¦ fÚsin ¢kolouq…an tîn maqhm£twn Øperba…nousa. p£lin to…nun ›kaston tîn ™n maqhmatikÍ qewrhm£twn t¦ mn aÙtÒqen fainÒmena kaˆ ¢telšstera Øpode…knusin æj prÒtera, oŒ on Ó ti tÕ Ñrqogènion tr…gwnon ‡son œ cei dunamšnhn t¾ n Øpote…nousan ta‹j periecoÚ saij, t¦ mšntoi teleiÒtera kaˆ perittÁj deÒmena ¢pode…xewj Ûstera parad…dotai, Ó sa perˆ toà Ñrqogwn…ou trigènou e‡j te t¾ n tîn ¥strwn for¦n kaˆ t¾ n e„j tÕ n zJdiakÕ n suntšleian kaˆ t¾ n ¹l…ou kaˆ sel»nhj for¦n sunte…nei. kaˆ t¦ perˆ ¡rmon…aj d æsaÚtwj , t¦ mn perˆ tÁj ¡plÁj prÒtera did£sketai, t¦ d perˆ tÁ j toà kÒsmou Û stera. Taàta d¾ oân toÚtou ›neka proeir»kamen, †na meqÒdJ tinˆ crèmenoi ™n tÍ t£xei tÁj maqhmatikÁj pragmate…aj due‹n stocazèmeqa, tÁ j te fÚ sewj tîn pragm£twn kaˆ tÁ j dun£mewj tîn manqanÒntwn, ˜katšrJ te crèmeqa ¡rmottÒntwj, kaˆ Ó tan sumfwnÍ taàta prÕ j ¥llhla, ¢mfotšroij ™p' ‡shj. Kaˆ m¾ n o† ge ‡dioi trÒpoi tÁj Puqagore…ou paradÒsewj t în maqhm£twn qaumast¾n econ ¢kr…beian kaˆ polÝ par» llatton t¾ n tecnik¾ n tîn ™n to‹j maq» masi diatribÒntwn didaskal…an. Øpogr£ywmen oân ™n tÚpoij aÙt»n, æj ¨n m£lista dunatÕ n Ï koinù lÒgJ perˆ aÙtÁj e„pe‹n. •En mn d¾ oân toàto diomologe…sqw, æj ¥nwqen ¢pÕ tîn prètwn ¢rcîn Ðrmèmenoi t¾ n prèthn ™poioànto tîn maqhmatikîn qewrhm£twn sÚ stasin, æj ¨n ¢p' aÙtÁ j tÁ j prèthj oÙs…aj aÙtîn poioÚ menoi tÁ j diano…aj t¦j ™piceir» seij, kaˆ ™p' aÙt¾ n ¢n£gontej teleuta…an t¾ n Ó lhn maqhmatik¾ n ™pibol» n. œ ti to…nun tùde ˜pÒmenon, ™pet» deuon tÕ katadeiknÚ nai prètaj t¦j eØršseij tîn qewrhm£twn, mhdenˆ d æj ½ dh Øp£rcont i crÁsqai , ¢ll' ™pˆ p£ntwn qewre‹n pîj ¨n e„j ØpÒstasin œ lqoi tÕ deiknÚmenon ™n to‹j maq»masin.

Ãn d kaˆ ¥l l oj trÒpoj par' aÙto‹j Ð di¦ sumbÒlwn maqhmatikÒj, oŒ on tÁj dikaiosÚnhj ¹ pent£j, diÒti [¹ pent£j] p£nta t¦ e‡dh tîn dika…wn sumbolikîj shma…nei. cr»s imon d tÕ edoj Ãn aÙto‹j e„j p© san filosof…an, ™peid¾ sumbolikîj te t¦ poll¦ ™d…daskon, kaˆ ¹goànto tÕ n trÒpon toàton to‹j qeo‹j enai o„ke‹on kaˆ tÍ fÚsei prÒsforon.

179

¢ll¦ m¾ n Ó ti ge kaˆ t¦j ¢rc¦j t¦j prètaj kaˆ t¦j eØršseij pared…dosan tîn maqhm£twn, dÁlon mšn ™sti kaˆ ¢pÕ tîn ¥llwn maqhmatikîn ™pisthmîn, f anerÕn d kaˆ ™k t în ¢r iqmhtikîn meqÒdwn. ›kaston g¦r gšnoj kaˆ edoj ¢riqmîn pîj ¢pogenn© tai prètwj kaˆ pîj Øf' ¹mîn eØr…sketai ¢nadid£skousin, æj m¾ oÜ shj ™pisthmonikÁ j tÁ j perˆ aÙt¦ qewr…aj, e„ m» tij aÙt¦ ¥nwqen Ðrmèmenoj katalamb£noi. œ ti to…nun to‹j Ô ntwj oÜsi kaˆ to‹j qe…oij p© si kaˆ ta‹j tÁj yucÁj ›xesi kaˆ dun£mesi, to‹j te ™n tù oÙranù fainomšnoij kaˆ ta‹j periÒdoij tîn ¥strwn, kaˆ to‹j ™n tÍ genšsei p© si stoice…oij te swm£twn kaˆ to‹j ¢pÕ toÚtwn sugkrinomšnoij, tÍ te ÛlV kaˆ to‹j ¢p' aÙtÁj gennwmšnoij prosJke…oun ¢eˆ t¦ qewr» mata t¦ maqhmatik£, p£nta te ¡plîj kaˆ ¢f' ˜k£stou lamb£nontej t¦ o„ke‹a mim» mata prÕ j ›kaston tîn Ô ntwn. t¦j d ¢naf or¦j ™poioànto tîn maqhm£twn ™pˆ t¦ Ônta À kat¦ koinwn…an tîn aÙtîn lÒgwn, À kat¦ œ mfas…n tina ¢mudr£n, À kat¦ ÐmoiÒthta ™ggÝj plhsi£zousan À pÒrrwqen ¢festhku‹an, À kat¦ e„dèlwn tin¦ ¢peikas…an, À kat' a„t…an prohgoumšnhn æj ™n parade…gmati, À kat' ¥llon trÒpon. kaˆ ¥l l wj d polueidîj suzeugnÚ ousi to‹j pr£gmasi t¦ maq» mata, æj kaˆ tîn pragm£twn Ðmoioàsqai to‹j maq» masi dunamšnwn kaˆ tîn maqhm£twn to‹j pr£gmasi fÚ sin ™cÒntwn ¢peik£zesqai kaˆ ¢mfotšrwn prÕ j ¥llhla ¢nqomoioumšnwn.

Είναι γνωστό από τους Πρόκλο, Ιάµβλιχο ότι το πυθαγόρειο τρίγωνο 3-4-5,

συσχετίστηκε to‹j pr£gmasi polueidîj, όπως για παράδειγµα µε την οργάνωση

της βέλτιστης πολιτείας, ή µε την επτάµηνη-οκτάµηνη-εννεάµηνη κύηση του εµβρίου

και ακόµη µε την αστρονοµία και τον ζωδιακό κύκλο. βλέπε παρ. 2.12 στη σελίδα

212 της παρούσης εργασίας.

180

4.10 Ανθυφαιρετική ερµηνεία των δύο «αρµονιών» του Πλάτωνος.

Από το χωρίο της «Πολιτείας» και τα σχόλια του Πρόκλου εις Πολιτείαν, έχει

προκύψει ότι στο ¢nqrwpe…J gennhtù, ο Πλάτων αντιστοιχεί δύο αρµονίες.

Η πρώτη αρµονία αντιπροσωπεύεται από τον «καλό» αριθµό 10.000 (muri£j) και η

δεύτερη από τον «κακό» αριθµό 7.500.

Ο Πυθαγόρειος ορισµός της αρµονίας, όπως αυτός διατυπώνεται από τον Ιάµβλιχο,

στην Αριθµητική Εισαγωγή του Νικόµαχου, 73,1-3 είναι ο εξής:

« e‡ ge ‘sunarmog£ t…j ™sti kaˆ ›nwsij tîn dicofwneÒntwn kaˆ t fÚ sei polem…wn ¡rmon…a’ kat¦ toÝj Puqagore…ouj».

Οι δύο αυτοί αριθµοί αποκαλούνται από τον Πλάτωνα αρµονίες, διότι

παράγονται από την σύζευξη του αριθµού 5 µε τον επίτριτο πυθµένα. Ο λόγος 4/3

αποτελεί ένα από τα βασικά µουσικά διαστήµατα, σχολιάζεται δε από τον Πρόκλο ως

ο «[kr£]tistoj ¡rmonikÕ j lÒgoj kaˆ ¡ploÚ statoj»134

Ο λόγος 4/3 προέρχεται από τους αριθµούς 3 και 4, οι οποίοι ως ζεύγος

αντιθέτων (άρτιος και περιττός), είναι «fÚsei πολέµιοι». Η συναρµογή µπορούµε να

θεωρήσουµε ότι γίνεται στις δυνάµεις που προκύπτουν από τους αριθµούς 3 και 4,

δηλαδή στους αριθµούς 33, 43, 4.32, 3.42, οι οποίοι διατηρούν το λόγο 4/3.

Πράγµατι αυτές οι δυνάµεις γίνονται «προσήγορες» και ρητές µέσω του επίτριτου

πυθµένος 4/3, που αποτελεί, όπως είπαµε και ένα από τα βασικά µουσικά

διαστήµατα.

Ο Πρόκλος στην ερµηνεία του (βλέπε παράγραφο 2.8, σελ. 93 της παρούσης

εργασίας) εξήγησε σαφώς γιατί οι δύο αυτοί αριθµοί λέγονται αρµονίες:

«kaloËntai d¢ èrmon¤ai, diÒti sunestçsin épÚ lÒgvn èrmonik«n êmfv135».

134 Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,174,5-6 135 Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,39,4-5

181

4.11 ¡rmon…a kre…ttwn

Η πρώτη αρµονία, δηλαδή ο αριθµός 10.000, αναφέρεται από τον Πλάτωνα

και στον «Φαίδρο», όπου ουσιαστικά το θέµα είναι η παλινδροµική περιοδικότητα

της ψυχής.

Τα θέµατα του διαλόγου αυτού είναι ο Έρως και η ψυχή.

Ο αριθµός 10.000, που είναι και η πρώτη αρµονία από τις δύο που περιγράφει ο

Πλάτων στο χωρίο αυτό της «Πολιτείας», δεν είναι φυσικά ένας τυχαίος αριθµός.

Ο Πρόκλος στα σχόλιά του στην «Πολιτεία» τον ονοµάζει

«¡rmon…a kre…ttwn»:

Πρόκλος εις Πολιτείαν, 2,21,15-19: «¹ mšn ge muri£j,

¼ tij ™stˆ n ¡rmon…a kre…ttwn, ™k tÁj triwdoumšnhj genomšnh mon£doj

™pistrafe…shj e„j ˜aut¾ n

¢pokatastatik» t…j ™stin kaˆ telesiourgÕ j tÁj yucÁj,

™pan£gousa pesoàsan aÙt¾ n e„j ™ke‹no p£lin Ó qen ¼ kei deàro, kaq£per epen Ð ™n Fa…drJ Swkr£thj [p. 248e]».

Το χωρίο 248 e, του Φαίδρου, στο οποίο αναφέρεται ο Πρόκλος είναι το: «½ tina telestikÕ n ›xousan· ›ktV poihtikÕ j À tîn perˆ

m…mhs…n tij ¥lloj ¡rmÒsei, ˜bdÒmV dhmiourgikÕ j À gewrgikÒj,

ÑgdÒV sofistikÕ j À dhmokopikÒj, ™n£tV turannikÒj. ™n d¾ toÚtoij ¤pasin Ö j

mn ¨n dika…wj diag£gV ¢me…nonoj mo…raj metal amb£nei , Ö j d' ¨n ¢d…kwj,

ce…ronoj·

e„j mn g¦r tÕ aÙtÕ Ó qen ¼kei ¹ yuc¾ k£sth oÙk ¢f ikne‹tai ™tîn mur…wn-»

Από την ανάλυση136 των διαλόγων Φαίδρος, Παρµενίδης, Φίληβος, Σοφιστής

Πολιτεία, Θεαίτητος και Πολιτικός του Πλάτωνος και των αντίστοιχων σχολίων του

Πρόκλου, προκύπτει σαφώς ότι ο αριθµός 10.000 θεωρείτο ως ¡rmon…a kre…ttwn,

λόγω της περιοδικής (και µάλιστα παλινδροµικής) υφής χαρακτηριστικών του.

136 Βλέπε παράγραφο 3.2 της παρούσης εργασίας.

182

Ο αριθµός 10.000, περιγράφεται και από τον Ιάµβλιχο µε περιοδικό τρόπο και

σχήµατα (βλέπε παρ. 4.14, σελ. 206).

Άλλες αναφορές του Πρόκλου στην µυριάδα, έχουµε στα χωρία:

2,66,26-2,67,1, και 2,68,1-4,

Ας δούµε στην συνέχεια δύο ακόµη χωρία του Πρόκλου τα οποία αναφέρονται στις

δύο αρµονίες:

«™tîn mur…wn mÒlij ¢pokaq…sthsin t¾ n yuc»n,

Η επόµενη αναφορά του Πρόκλου στην κρείττονα αρµονία, αφορά και πάλι στο

χωρίο 248e, του Φαίδρου του Πλάτωνος, και είναι στο χωρίο 2, 52,13-21 των

σχολίων του εις Πολιτείαν:

«[sum]plekomšnwn ceirÒnwn kaˆ ¢meinÒnwn ¢poteloàntai ¡rmon…ai duoeide‹j, ¿ mn ¢pokatastatik¾ kaˆ tù taÙtoà kÚ klJ f…lh, ¿ d tù qatšrou suggen¾j kaˆ genšsei f …l h· ¹ mšn ge ˜katont¦j kaˆ ¹ muri¦j ¥mfw tetragwnika…, prÕ j tÁ j tautÒthtoj oâsai kaˆ e„j tÕ Ó moion ¢n£gousai kaˆ tÕ qe‹on (dhl o‹ d kaˆ aÙtÕj ™n Fa…drJ [p. 248e] di¦ mur…wn ™tîn ¢pokaqist¦j t¾ n yuc¾ n ¢pÕ genšsewj e„j tÕ nohtÒn)·»

µε τρόπο όµοιο µε τους προηγουµένους.

• 2,170,26-2,171,6:

kaˆ met¦ taÚthn ¥lloj oÙk œ sti b…oj· [περιοδικότης]

pšraj g¦r ¹ muri£j,

p£ntwn oâsa b…wn ¢riqmÒj,

pasîn genšsewn, pasîn periÒdwn.

katabeblhmšna tù Pl£twni,

prÕ j t¾ n tîn periodikîn ¹m© j ¢riqmîn ¢nege…ronta periwp»n,

Λίγο πιο κάτω, µας λέει ο Πρόκλος :

2,173,27-2,174,12

kaˆ taàta Puqagore…wn ™stˆ lÒgwn spšrmata

™pˆ tîn daktÚlwn oÙk ™înta mšnein,

¢ll' ™pˆ t¦ parade…gmata pe…qonta ¢pÕ tîn e„kÒnwn metaba…nein»

183

“Oti d ¹ katont¦j edÒj ti zwÁ j ™stin, dhlo‹ kaˆ Ð tîn Mousîn lÒgoj [VI p. 546a ss.],

t¦j ditt¦j ¡rmon…aj tÁ j ¢nqrwp…nhj periÒdou gennîn di¦ tÁ j ˜katont£doj· .....

thn mn ginom[šnhn] ..14. toà

[te] ™pit[r…tou] p[uqmšnoj,

t¾ n ÐmoiÒthta tÁ j ¢me…nonoj [zwÁ j lam]b£nwn,

[100 Χ 100]

tÕn mn ™]x ‡swn pleurîn ˜katÕ n to[saut£kij kat¦]

tÕn d ™k tîn ¢n…swn

[100 Χ 75] kat¦ tÕ n [kr£]tiston

¡rmonikÕ n lÒgon kaˆ ¡ploÚ staton [4/3]

oÙsîn prÕ j ¢ll» laj tÁ j ce…ronoj,

diÒti p£shj tÁ j ™n genšsei zwÁ j ¹ ˜katont¦j e„kèn, ¿ mn kat¦ noàn ™stin,

¿ d

kat¦ noàn

kaˆ p£qoj

(mÒnon g¦r enai p£qoj ™pˆ yucÁj ¢nqrwp…nhj ™nergoàn kat¦

p£nta tÕ n b…on ¢dÚ naton), kaˆ ¿ mn œoiken tÍ ¢pÕ tÁj

˜katont£doj „s£kij ‡sV genomšnV zwÍ,

¿ d tÍ ¢pÕ

taÚ thj

kaˆ toà Øp' aÙt¾ n kat¦ tÕ n ™p…triton. [100Χ75]

Η muri£j είναι λοιπόν pšraj και αυτοκίνητος137, άρα περιοδικός αριθµός.

Το πέρας ως είναι γνωστό δίνεται µέσω του κριτηρίου του λόγου σε µια

ανθυφαίρεση.

137 Σχετικά µε την «αυτοκινησία» και την περιοδικότητα, βλέπε την παρ. 3.2 της παρούσης.

184

4.12 ¡rmon…a ce…rwn

Από το ίδιο το χωρίο της Πολιτείας, στο οποίο ο Πλάτων περιγράφει τον

γεωµετρικό αριθµό, προκύπτει ότι οι δύο αρµονίες, δηλαδή οι αριθµοί 10000 και

7500, αναφέρονται στο ανθρωπείω γενητό.

Αυτό επιβεβαιώνεται και από το χωρίο του Πρόκλου που εκθέσαµε στην

προηγούµενη σελίδα, όπου:

tîn ™k toÚtwn ¢nafanšntwn

«t¦j ditt¦j ¡rmon…aj tÁ j ¢nqrwp…nhj periÒdou gennîn…»

Στα σχόλιά του στην Πολιτεία, ο Πρόκλος, αναφερόµενος τώρα συγκεκριµένα

στις «δυνάµεις» του διττού αριθµού που περιγράφει ο Πλάτων, µας λέει:

™k d tîn ¢r iqmîn

¢riqmÕ j duadikÕ j ¢me…nouj

kaˆ

ce…rouj

œ cwn dun£meij,

t¦j mn dunamšnaj


¡ploustšraj kaˆ

sunqetwtšraj

dÚnantai mn g¦r oƒ pl euriko… dunasteÚontai d

oƒ ™k toÚ twn kaˆ t¦j mn ÐmoioÚ saj

t¦j d ¢nomoioÚ saj,

t¦j mn ™pistreptik¦j aÙ[tÁ j]

e„j tÕ taÙtÕ n kaˆ tÕ ž n

185

t¦j d e„j ˜terÒthta kaˆ tÕ m¾ ž n ¢goÚsaj, 138

Από όλα τα παραπάνω χωρία είναι φανερή η αντιδιαστολή του

«καλού- tetr£gwnoυ» αριθµού 10.000,

µε τον «κακό- ˜teropoiÒ - προµήκη» αριθµό 7500.

Έτσι για τις δύο αρµονίες, δηλαδή τους αριθµούς 10.000 και 7.500, έχουµε

ότι: «¿ mn ¢pokatastatik¾ kaˆ tù taÙtoà kÚkl J f …l h, ¿ d tù qatšrou suggen¾j kaˆ genšsei f …l h»

Ο λόγος για τον οποίο, κατά τον Πρόκλο139, και οι δύο αυτοί αριθµοί λέγονται

αρµονίες είναι :

diÒti kat' ¥mfw t¾ n o„ke…an oÙk ¢pÒllusin oÙs…an, ™narmÒnioj genomšnh kaˆ prÕ j ¢nÒdouj kaˆ prÕ j kaqÒdouj kaˆ toiaÚthn lacoàsa sÚstasin.

¢ll¦ t¾n mn tetragwnik¾n epen t¾n ¢pÕ toà nohtoà per…odon e„j tÕ nohtÒn

(toiaÚ th g¦r ¹ muri£j), t¾n d prom» kh t¾ n ¢pÕ genšsewj ™pˆ gšnesin

Ας δούµε όµως τώρα πιο αναλυτικά, µέσα από τα εξαιρετικά σαφή σχόλια του

Πρόκλου, πως η δεύτερη αρµονία σχετίζεται µε τον κύκλο του θατέρου και το άπειρο.

Αναφερόµενος ο Πρόκλος140 στην «τετραγωνική» και την «προµήκη»

αρµονία µας λέει:

«t¾n d prom»kh t¾n ¢pÕ genšsewj ™pˆ gšnes in, kaq' ¿n ¹ mn katont¦j p£l in

mšnei, ¢ll' oÙk e„j aut¾ n e„sioàsa ™po…ei t¾ n ¢me…nw kaˆ ¢pokatastatik¾ n

™ke…nhn per…odon, ¢ll¦ suntattomšnh prÕ j ¥llon ¢riqmÕ n ¥llo prote…nonta

zwÁj edoj, le‹pon tù ¢pÕ tÁj pemp£doj tetragènJ–

138 Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,51,11-17 139 Πρόκλος εις πολιτείαν 2,53,16-21 140 Πρόκλος εις πολιτείαν 2,53,21-29

186

toioàton d tÕ ¥l ogon, oÙ mÒnon Ó ti tÁj kuklikÁj ™pistrofÁj e„j autÕ

parÇrhtai (oŒ oj Ð ¢pÕ tÁj pemp£doj kuklikÕ j ín ¢riqmÕ j ¢f' ˜autÁj te

¢rcomšnhj kaˆ e„j ˜aut¾ n lhgoÚshj)»

Η «προµήκης αρµονία», λοιπόν, προκύπτει µεν από τον αριθµό 100 (όπως

άλλωστε και η κρείττων), είναι όµως «suntattomšnh prÕ j» τον αριθµό 75 ο οποίος

υστερεί του 100 κατά τον 25=52. Επειδή όµως, όπως είδαµε προηγούµενα, ο αριθµός

25 είναι κυκλικός αριθµός προερχόµενος από τον επίσης κυκλικό αριθµό 5, έχουµε

ως αποτέλεσµα ο αριθµός 75 να χάνει την ιδιότητα της κυκλικότητας ή µε άλλα

λόγια της ικανότητας της επιστροφής στον εαυτό του (ιδιότητα που έχει ο 100 ως

τετράγωνος και ο 5 λόγω της περιοδικότητας της ανθυφαίρεσης διαµέτρου-πλευράς

τετραγώνου).

Ο αριθµός 75, όπως αναλύει στην συνέχεια ο Πρόκλος141, προέρχεται από

µίξη «ταυτότητας» και «ετερότητας» , αυτή δε είναι η αιτία της «κακής» φύσης

του:

prosl»yei g¦r ce…ronoj zwÁj ¹ per…odoj [75]aÛth g…netai·

prÒses t i d kaˆ aÙtù tù ¢r iqmù tù tÁj toiaÚthj zwÁj tÁj tÍ genšsei

sumfÚlou kaˆ tÕ ™k due‹n enai,

toà mn kubikoà, [27]

toà d ™x ¢nomo…wn pl eurîn· [48] diÒti d¾ kaˆ tÕ ¥logon œ cei kat'

oÙs…an

tÕ mn ¥meinon kaˆ tautÒthti suggenšj,

tÕ d ce‹ron kaˆ ˜terÒthti f…lon.

Ο 75 αποτελείται από τους 27 και 48.

Ο µεν όµως 27 είναι κυβικός αριθµός και εποµένως «tÍ tautÒthti suggenήj»,

ενώ ο 48, ως συνιστάµενος ™x ¢nomo…wn pleurîn, είναι «˜terÒthti f…lon»

Στη συνέχεια, για να προλάβει κάποια «ένσταση» επ’αυτού, ο Πρόκλος142,

ξεκαθαρίζει ότι και στην περίπτωση του αριθµού 100 συνέβει µεν το ίδιο, µίξη

δηλαδή ανόµοιων, (αφού ο 100 αποτελείται από τους 64 και 36) , αλλά στην

141 Πρόκλος εις πολιτείαν 2,53,5-10 142

Εις πολιτείαν 2,54,10-13: «ka…toi kaˆ ™pˆ tÁj katont£doj Ãn tÕ mn edoj kubikÒn, tÕ d ™x ¢nomo…wn ¢ll¦ kaˆ tÕ ™x ¢nomo…wn ¥llwj Ãn tetragwnikÕ n ¢pÕ tÁj prwt…sthj tÕ tšleion deix£shj»

187

περίπτωση αυτή ο αριθµός 36 εκτός από «πλινθίς», συµβαίνει να είναι και

τετράγωνος αριθµός.

Έτσι ο 100, αποτελούµενος τελικά από αριθµούς όµοιους, είναι σαφώς αριθµός της

«αµείνονος συστοιχίας».

Οι αριθµοί 100 , 75 είναι οι πλευρές των δύο αρµονιών και είναι :

100 = 64 + 36, ενώ 75 = 48 + 27.

Τα σχόλια του Πρόκλου143 στο σηµείο αυτό επικεντρώνονται στο ότι στην περίπτωση

του 100, η οµοιότης υπερισχύει της ανοµοιότητος (αφού 64>36), σε αντίθεση µε την

περίπτωση του 75, όπου η ανοµοιότης υπερισχύει της οµοιότητος:

o„ke…a g¦r

to‹j mn kaqarîj ¢swm£toij ¹ ÐmoiÒthj,

to‹j d swm£twn ¢cwr…stoij ¹ ¢nomoiÒthj.

kaˆ g¦r Ópou mn Ð kÚ boj Øperb£llei tÕ n m¾ kÚ bon, æj tÕ taÙtÕ n ™n to‹j ¢swm£toij,

Ópou d Ð m¾ kÚboj tÕn kÚ bon,

æj tÕ ›teron ™n to‹j swmatiko‹j.

kaˆ sun® dei p£nta ¢ll» loij.

Αναφερόµενος στον κακό αριθµό 7500, ο Πρόκλος στα σχόλιά του εις Πολιτείαν

2,67,2-6 µας λέει:

met¦ toà pšnte kaˆ ˜bdom» konta ¢riqmoà, t¾ n ™x ¢nomo…wn sugkekrothmšnhn zw¾ n ƒ kanîj dhloàsa.

«¿n Ð ˜katÕ n ¢potele‹

oÙd g¦r ¢l ogoumšnhn t¾n zw¾n

¢l l ¦ summigj œcein ¢n£gkh tù kre…ttoni tÕ ce‹ron.»

¢postÁ nai lÒgou kaˆ aÙtokinhs…aj dunatÒn,

143 Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,54,20-24.

188

Αναφερόµενος πάντα στον αριθµό 7500, λίγο πιο κάτω, στο 2,67,21-2,68,5:

Ótan d met¦ tÁ j ce…ronoj ™nergÍ zwÁ j, [100 Χ 75] genn tÕ n prom» kh kaˆ genesiourgÕ n ¢riqmÒn, [7500] edoj Øfist©sa zwÁj

logikÕ n

Ðmoà kaˆ ¥logon,

æj e„j gšnesin ·špon. kaˆ g¦r ésper Ð ˜katÕ n

e„kèn ™sti tÁ j logikÁ j ¹mîn yucÁ j di' ¿n e‡pomen a„t…an,

oÛ tw kaˆ Ð pšnte kaˆ ˜bdom» konta tÁ j ¢lÒgou.

kaˆ safîj ™d» lwsen t¾ n e„kÒna dielën aÙtÕ n Ð Pl£twn e„j tÕ n

˜pt¦ kaˆ e‡kosi kaˆ tÕ n Ñktë kaˆ

tessar£konta,

tÕn d ˜katÕ n ¢dia…reton ¢fe…j· ™ndeiknÚ menoj, æj Ö mšn ™stin prÕ j

toà ˜nÕ j kaˆ tÁ j

noer© j tautÒthtoj, Ö d prÕ j tÁ j du£doj kaˆ tÁj

swmatikÁ j diairšsewj.

k£teroj mn oân ™stin ¡rmon…aj kaˆ Ð „som» khj ˜autù

¢ll' ¹ ¡rmon…a noe…sqw kaˆ Ð prom» khj,

trÒpon ›teron ™p' ¢mfo‹n· ¿ mn g£r ™stin

¡rmon…a qeoprep¾ j kaˆ t¦j yuc¦j sèzousa kaˆ ™nidrÚ ousa to‹j qeo‹j,

¿ d genesiourgÕ j kaˆ sun£ptousa aÙt¦j to‹j ™nÚ loij·

Λίγο πιο κάτω, στο χωρίο 2,69,14-25, έχουµε τα εξής σχόλια από τον Πρόκλο:

Ð d aâ pšnte kaˆ ˜bdom» konta di¦ mn

tÕ n ¢pÕ tri£doj kÚ bon

oÙd' aÙtÕ j p£ntV tÕ taÙtÕ n kaˆ Ó moion

189

¢podr© nai dedÚ nhtai

t¾ n yuc¾ n telšwj e„j

(kaˆ pîj g¦r Ã n dunatÕ n

tÕ n tÁ j ¢nomoiÒthtoj

pÒnton ™kpese‹n, kat' oÙs…an œ cousan

tÕ noerÒn;), kukl ikÁj d „diÒthtoj

tù ¢riqmù

oÙk ™norwmšnhj

tÕ ¢nep…strofon ƒ kanîj dhloàtai

tÁ j ™n toÚ tJ proÒdou·

di¦ d tÕ n ™k

tîn ¢nomo…wn ¢riqmÕ n[48] ™kpesÒnta

kaˆ tÁ j ·htÁ j kaˆ tÁ j ¢rr» tou pleur© j

noà mn tÁ j diamštrou tÁ j pemp£doj

¢pÒptwsin ™mfa…nei

Ó per ¹ pemp¦j

oâsa ·ht¾ pleur¦

¢riqmù te katšcetai

kaˆ toà noeroà pšratoj,

toà ¢f' ˜autÁ j ™neikon…zetai (tÕ g¦r ·htÕ n

kaˆ fanÒn ™sti ta‹j noera‹j ™pibola‹j),

Ο αριθµός 48 είναι «κακός» αριθµός, λόγω του ότι υπολείπεται του

τετραγώνου και της ρητής διαµέτρου του 5, δηλαδή του αριθµού 49 κατά µία

µονάδα, αλλά και της αρρήτου, δηλαδή του 50 κατά δύο µονάδες.

Η ρητή διάµετρος του 5 προκύπτει µέσα από τις προσεγγίσεις, δηλαδή τους

πλευρικούς και διαµετρικούς αριθµούς, ενώ η άρρητος διάµετρος του 5 γίνεται

γνωστή µέσα από το κριτήριο του λόγου, στην ανθυφαίρεση διαµέτρου - πλευράς

τετραγώνου.

190

Με άλλα λόγια ο 48 είναι «κακός» αριθµός, γιατί δεν προκύπτει ούτε από το

κριτήριο του λόγου, αλλά ούτε και από προσέγγιση µέσω πλευρικών και

διαµετρικών αριθµών.

Μας εφιστά εδώ, ο Πλάτων την προσοχή στους δύο τρόπους γνώσης των όντων,

δηλαδή στο κριτήριο του λόγου και τους πλευρικούς διαµετρικούς αριθµούς. Αν ένα

ον δεν µπορεί να γνωσθεί µε κανένα από τους τρόπους αυτούς, τότε «χανόµαστε» e„j

tÕ n tÁ j ¢nomoiÒthtoj pÒnton. Η έκφραση « e„j tÕ n tÁj ¢nomoiÒthtoj pÒnton», υπάρχει και στον διάλογο

«Πολιτικός» του Πλάτωνος, στο χωρίο 273d6-e4:

«dialuqeˆ j e„j tÕ n tÁ j ¢nomoiÒthtoj ¥peiron Ô nta pÒnton dÚ V, p£lin œ fedroj aÙtoà tîn phdal…wn gignÒmenoj, t¦ nos» santa kaˆ luqšnta

™n tÍ kaq' ˜autÕ n protšrv periÒdJ stršyaj, kosme‹ te kaˆ ™panorqîn ¢q£naton aÙtÕ n kaˆ

¢g» rwn ¢perg£zetai. toàto mn oân tšloj ¡p£ntwn e‡rhtai·»

Στο χωρίο αυτό ο Πλάτων αναφέρεται στον µύθο της κοσµικής αντιστροφής

και στα δύο είδη ζωής, την ∆ίϊο και την Κρόνιο.

Το θέµα του διαλόγου αυτού είναι από µαθηµατικής απόψεως η παλινδροµική

περιοδικότητα των τετραγωνικών αρρήτων.

Ο tÁj ¢nomoiÒthtoj pÒntoς έχει σχέση µε τη θεωρία των αλόγων γραµµών

που ορίζονται στο Βιβλίο Χ των Στοιχείων. Το βασικό εργαλείο που χρησιµοποιείται

στο Βιβλίο Χ είναι η ανθυφαίρεση. Eποµένως ο άπειρος πόντος της ανοµοιότητος

σχετίζεται µε την άπειρη ανθυφαίρεση των αλόγων γραµµών144.

Ο αριθµός 75 λοιπόν, σύµφωνα µε τα σχόλια του Πρόκλου δεν είναι «τόσο

κακός» αριθµός ώστε να εκπέσει e„j tÕ n tÁj ¢nomoiÒthtoj ¥peiron pÒnton, αφού

στην φύση του περιέχει και «καλά στοιχεία» προερχόµενα από τον «καλό» αριθµό

27.

Ο Πρόκλος συνεχίζει τα σχόλιά του, στο χωρίο 2,70,6-20, για την αρµονία την

χείρονα, πλευρά της οποίας είναι ο αριθµός 75, ως εξής:

144 Βλέπε Μπασιάκου Αλίκη, «Ο Πολιτικός του Πλάτωνος και η παλινδροµική περιοδικότητα των τετραγωνικών αρρήτων, ∆ιπλωµατική εργασία, σελ. 55-56, Αθήνα 2004.

191

¹ d ˜bdomhkontapent¦j œstin mn

prÕ j tÁj ¢lÒgou zwÁj kaˆ

¢nepistrÒfou, koinwnoàsa d

prÕ j t¾ n ¢me…nona

t¾n mn

prÒodon ™kfa…nei

di' ÐmoiÒthtoj

di¦ toà kubikoà tîn ¢riqmîn,[27]

t¾n d di' ¢nomoiÒthtoj

di¦ toà loipoà, [48] kaq' ¿n

kaˆ tÕ ¥logon aÙtÁ j m£lista

de…knutai kaˆ ¥moiron

noer© j aÙtokinhs…aj. diÕ kaˆ tîn ¡rmoniîn

™stin yucÁ j

e„j ˜aut¾ n ™pistrey£shj

¿ mšn

kaˆ ™n ˜autÍ staqerîj ƒ druqe…shj,

¿ d mix£shj

tÍ kat¦ lÒgon ÐmoiÒthti

t¾ n kat¦ tÕ ¥logon

¢nomoiÒthta

kaˆ tÍ aÙtokinhs…v

t¾ n e„j tÕ ˜terok…nhton

for£n. lÒgoj

[10.000/7.500=4/3]

d Ó mwj ™stˆ kaˆ toÚtwn prÕj ¥l l hl a oŒ oj kaˆ toà puqmšnoj ™p…tritoj.

192

Η κακή αρµονία, δηλαδή ο αριθµός 7.500, οφείλει την κακή του φύση στον

αριθµό 48 (αφού 75 = 27+ 48).

Ο αριθµός 48, όπως είπαµε, οφείλει την κακή του φύση στο ότι υστερεί και από την

άρρητη και από την ρητή διάµετρο του πέντε.

Η περιγραφή αυτή για τον αριθµό 48, και µάλιστα από τον ίδιο τον Πλάτωνα, τον

συνδέει άµεσα µε τον 2 και το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο.

Ο αριθµός 48 προέκυψε από το ορθογώνιο τρίγωνο 3-4-5 µε τη διαδικασία που

περιέγραψε ο Πλάτων. Το γεγονός λοιπόν, ότι ο Πλάτων συνδέει τον αριθµό 48 µε

τους πλευρικούς και διαµετρικόύς αριθµούς δείχνει ότι οι ορθή γωνία του ισοσκελούς

από τη µια και η ορθή γωνία του 3-4-5, ήταν στο µυαλό του στενά συσχετισµένες.

• είναι προµήκης

• υπολείπεται από τους πλευρικούς-διαµετρικούς αριθµούς, και

• υπολείπεται και του κριτηρίου του λόγου.

Συνοψίζοντας, ο αριθµός 7.500, είναι «κακή» αρµονία για τρείς λόγους:

193

4.13 Τα σχόλια του Πρόκλου για τον αριθµό 5 επιβεβαιώνουν την

ανθυφαιρετική ερµηνεία του γεωµετρικού αριθµού του

Πλάτωνος.

• Η ορθή γωνία, αποτελεί το «πέρας», όχι µόνο στα ισοσκελή ορθογώνια, αλλά

και σε εκείνα µε άνισες τις κάθετες πλευρές (βλέπε παρ. 4.6, σελ.153)

Κατά το τέταρτο όµως αίτηµα των Στοιχείων όλες οι ορθές γωνίες είναι

ίσες, η δε απλούστερη και θεµελιωδέστερη, καθότι µε αριθµούς ρητούς και µάλιστα

τους µικρότερους, ορθή γωνία συγκροτείται από την τριάδα 3,4,5.

Περίληψη των προηγουµένων:

• Η ορθή γωνία του ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου είναι το πέρας και το

ίσον (διότι η ορθή γωνία εκφράζει το κριτήριο λόγου της ανθυφαίρεσης

διαµέτρου προς πλευρά) επιβαλλόµενο επί του απείρου και του ανίσου

(µείζονος και ελάσσονος) το οποίο εκφράζεται από την δυάδα (αµβλεία

γωνία, οξεία γωνία), η οποία εµφανίζεται στην γεωµετρική ερµηνεία των

πλευρικών-διαµετρικών αριθµών, και η οποία όντως περιγράφει το άπειρο της

ανθυφαίρεσης διαµέτρου προς πλευρά.

Η δε επιβολή ισότητος στην ανισότητα είναι ως

η επιβολή δικαιοσύνης στην αδικία,

και έτσι το 5, ως η απλούστερη και πρωταρχική παρουσία αυτής της επιβολής είναι

αυτή η ίδια η δικαισύνη.

Η τριάς 3, 4, 5, είναι η µικρότερη πυθαγόρεια τριάδα που δίνει ορθή γωνία. Το πέρας

ουσιαστικά είναι το «άτµητον» του λόγου δ/α, όπου δ η διάµετρος τετραγώνου

πλευράς α.

Από το αίτηµα της ισότητας των ορθών γωνιών έπεται ότι και η απλούστερη

ορθή γωνία 3,4,5 πρέπει να αποτελεί πέρας και ισότητα επιβαλλόµενη επί του

απείρου και άνισου, εκφραζόµενου µε µια δυάδα αµβλείας και οξείας γωνίας.

194

Έτσι και η ορθή γωνία του τριγώνου 3-4-5 αποτελεί επίσης πέρας.

Για το λόγο αυτό ο αριθµός 5 συσχετίσθηκε µε το πέρας, την κυκλικότητα και

την περιοδικότητα.

Τα σχόλια του Πρόκλου εις Πολιτείαν για τον αριθµό 5, και τα οποία θα

ακολουθήσουµε µε την σειρά που παρουσιάζονται, ενισχύουν όλα όσα έχουµε

προαναφέρει.

Μια πρώτη συσχέτιση του αριθµού 5 µε την κατηγορία των νοητών όντων και του

πέρατος, έχουµε στο 1,94,17:

kaˆ tÕ kat¦ d…khn p£nta ¥gein t¦ deÚ tera kaˆ ™k mšsou diate…nein ™pˆ p£nta tÕ n ¢riqmÕ n

™ke‹noj [ο 75]

¢pÕ tÁ j pent£doj, ¿n

ƒ er¦n dikaiosÚ nhj

tÁ j aÙtoprag…aj e‡dei

«. toÚtwn d oƒ mn tÁ j kre…ttonoj proestîtej

(kaˆ g¦r tÕ perittÕ n kaˆ tÕ sfairikÕ n

sustoic…aj tÍ pent£di sunšcontai

o„ke‹Òn ™stin to‹j t¦ noerètera kaˆ t¦ teleiÒtera

Στη συνέχεια στο 2,22,9-14:

tù

kaˆ prÕ j toà ˜nÕ j Ô nta krate‹n ™qšlousin),

le…pwn g£r ™stin

tÁj e„j gšnesin

¢ntˆ

™xelqoÚshj zwÁj ™stin e„kèn·

¿n Ð qatšrou kÚ kloj

prob£llwn genesiourgÕ n ¢potele‹ t¾ n Ó lhn ¹mîn per…odon

e„j ˜aut» n.

oƒ PuqagÒreio… fasin· ™lle…pwn oân

tù

noer© j,

kaˆ ¢llotriopragoàsan

¢ntˆ tÁ j ™pistrefoÚ shj

195

Στο χωρίο αυτό ο Πρόκλος σχολιάζει ότι ο αριθµός 75 υπολείπεται του 100

κατά το τετράγωνο του 5. Οι Πυθαγόρειοι ονόµαζαν µάλιστα την πεµπάδα «ƒ er¦n

dikaiosÚ nhj».

«¢l l otrioprag…a d kaˆ ¢tax…a pros» kei to‹j ™pige…oij·

diasèzei t¾ n prÕ j ˜aut£.».

Έτσι ο αριθµός 5 αποκτά την ιδιότητα της αυτοπραγίας-δικαιοσύνης, λέξεις που

συνδέονται µε την αναλογία και το κριτήριο του λόγου.

Ο αριθµός 75 υστερεί του 100 κατά τον 52, µε αποτέλεσµα να χάνεται η

περιοδικότητα και να οδηγούµαστε σε µια per…odo, genesiourgÕ n και

¢llotriopragoàsan ρίς την ικανότητα της επιστροφής στον εαυτό της.

«˜xÁj oƒ ™n aÙtù ¢riqmoˆ tîn prètwn e„sˆ n a„t…wn e„kÒnej·

Ο αριθµός 5 συσχετίζεται λοιπόν µε την δικαιοσύνη και από τον Πρόκλο και

αποκαλείται «tù tÁ j aÙtoprag…aj e‡dei». Tο ίδιο επαναλαµβάνει ο Πρόκλος και

στο χωρίο 2,141,19-2,147,25 των σχολίων του εις Πολιτείαν, όπου αρχικά µας λέει

ότι:

«tÕ mn g¦r tÁ j dikaiosÚnhj edoj dhlo‹ t¾ n aÙtoprag…an

tîn yucîn kaˆ t¾ n t£xin t¾ n ™n aÙta‹j,»

Αντίθετα:

t¦ g¦r g»Žna oÙ pr£ttei t¦ autîn oÙd t¾n t£xin kaq' aØt¾ n

Οι έννοιες του «¢sÚ gcuton» και του αντιθέτου του «συγκεχυµένα», γίνονται σαφείς

από το χωρίο 522-526, της «Πολιτείας» του Πλάτωνος. Το «¢sÚgcuton»,

συνδέεται µε το άπειρο και πέρας, ενώ η λέξη «συγκεχυµένα» συνδέεται µε το άπειρο

χωρίς πέρας (βλέπε παρ. 3.2, σελ. 122-123 της παρούσης εργασίας).

Ο Πρόκλος συνδέει την έννοια της aÙtoprag…aς, µε την έννοια του «¢sÚ gcuton».

Στο χωρίο 2,45,26-2,46,11, ο Πρόκλος αναφερόµενος στο kosmikÕ n tr…gwnon 3-4-

5, συσχετίζει τον αριθµό 5 µε την ανθυφαίρεση:

¹ mn tri¦j

Ö d¾ prètwj ™stˆ n miktÕ n ™k pšratoj kaˆ ¢pe…rou·

και στη συνέχεια συνδέει την aÙtoprag…a µε την «¢sÚ gcuton prÕ j ¥llhla

t£xin» και µε τον «lÒgo kaˆ τον noà» και συνάπτει αυτά τo‹j qeo‹j.

, χω

toà Ô ntoj,

196

mon¦j g¦r pšraj,

¢peir…a d ¹ du£j,

peponqu‹a, tÕ enai ta‹j ¢rca‹j ‡sh·

aŒ j ‡sh mÒnwj ¹ tri¦j ¤te ™x ¢mfo‹n oâsa kaˆ mÒnh toàto

par' Î kaˆ ¹ k…nhsij æj duadik¾ kaˆ

¹ st£sij æj tetragwnik»

pemp¦j .... kÚ klou ..13.

th ¢f' ãutÁ j e„j ãut¾ n ..13. pent£kij pšnte, kaˆ toàto [e„j ¥peiron]· p© j g¦r noàj ¢f' ãutoà prÕ j [ãutÕ n ™]nerge‹.

P rÕ d toÚtwn aƒ ¢rcaˆ [tîn p]£ntwn, mon¦j kaˆ du£j·

¿ mn aÙtÕ tÕ [pšraj, ¿]

tÕ ž n tÕ toà pšratoj a‡tion kaˆ toà ¢pe…rou.

kaˆ [p© j] ¢riqmÕ j eŒ j ›kastoj.

noàj d ¹ pemp¦j oâsa met¦ mn t¾n tÁj prwtourgoà tri£doj»

Πως επιτυγχάνεται όµως η ισότητα και η στάσις στο τετράγωνο;

d aÙtÕ tÕ ¥peiron oâsa. kaˆ prÕ [toÚ twn]

kaˆ g¦r ¹ mon¦j ›n ti kaˆ ¹ du£j,

Στο παραπάνω χωρίο, η τετράς συσχετίζεται µέσω της δυάδος µε την

ανθυφαίρεση (κίνηση) αλλά και µε την στάση (πέρας), λόγω του τετραγώνου. Όπως

ξέρουµε, «κίνηση» στο νοητό επίπεδο σηµαίνει ανθυφαίρεση (Θεαίτητος, κ.λπ).

Μόνο µέσω του κριτηρίου του λόγου στην ανθυφαίρεση διαµέτρου προς πλευρά

τετραγώνου.

Η pemp¦j, συσχετίζεται µε τον noà, µε τον κύκλο, και µε την περιοδικότητα και

το πέρας (p© j g¦r noàj ¢f' ãutoà prÕ j [ãutÕ n ™]nerge‹).

¹ d tetr¦j tÁ j zwÁ j,

™n g¦r „sÒthti st£sij,

™n ..17. p© sa k…nhsij, ¢pÕ ..15.

Πως όµως η υποτείνουσα του κοσµικού-ορθογωνίου τριγώνου 3-4-5,

µπορεί να επιφέρει το πέρας και την περιοδικότητα και σε ποια ανθυφαιρετική

διαδικασία;

197

Τα πιο σηµαντικά ίσως χωρία του Πρόκλου, σχετικά µε το ορθογώνιο τρίγωνο 3-4-5,


2,49,6-12

tîn d e„j gšnesin kaˆ ¢pÕ genšsewj feromšnwn toàto d¾ tÕ Ñrqogènion, Ö perˆ mn t¾ n Ñrq¾ n œ cei tÕ n puqmšna tÕ n ™p…triton, kat¦ d t¾ n Øpote…nousan tÕ n tÁ j pemp£doj ¢riqmÒn. œdei mn g¦r m¾ tÕ tucÕ n

aÙtîn enai tr…gwnon kaˆ taàta p£ntV ¢nisoumšnwn,

¢ll¦

™n ta‹j kin» sesin œ cwsi tÕ ¢nisoàsqai, t¾ n oÙs…an ¢eˆ t¾ n aÙt¾ n

frouroumšnhn e„l»casin, toà m© llon kaˆ Â tton

pantacoà sunocÁ j.

tÕ Ñrqogènion· ™peid¾ k¨n

¥dekton, o†an œ cei kaˆ ¹ Ñrq¾ fÚ sin

™stˆ n e„kën

™n lÒgJ tù ™pitr…tJ, diÒti tÕ ™p…triton mšson ™stˆ n sumfènwn kaˆ ¢sumfènwn diasthm£twn.

diÕ tÁ j oÙsièdouj

toàto d aâ œdei t¦j perˆ t¾ n Ñrq¾ n œ cein

Η διαδικασία toà m© llon kaˆ Â tton, όπως είναι γνωστό, είναι αυτή µέσω

της οποίας προσεγγίζεται η ορθή γωνία του ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου από

ζεύγη γωνιών εναλλάξ οξειών-αµβλειών, στους πλευρικούς-διαµετρικούς αριθµούς.

Στο συγκεκριµένο χωρίο, η ορθή γωνία και βέβαια και η Øpote…nousa του

ορθογωνίου τριγώνου 3-4-5, ως ¥dekton toà m© llon kaˆ Â tton, συσχετίζεται

άµεσα µε το πέρας.

Τα σχόλια αυτά του Πρόκλου, είναι σε πλήρη συµφωνία, µε τα σχόλιά του στο πρώτο

βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη τα σχετικά µε το τέταρτο αίτηµα.

198

2,50,9-2,51,8 ¹ d Øpote…nousa

t¾ n Ñrq¾ n

¹ pemp¦j

¢riqmÕ j

mi©j d OÜ shj

kaˆ duoeidoàj

¹ m…a,

deiknàsa

tÒ te mÒnimon

tÁ j ÑrqÁ j

tÒ te tÁ j taÙtoà fÚ sewj oÙsiîdej kaˆ tÕ tÁ j qatšrou,

tÍ mn toà ñÕ j pršpontoj,

tÍ d toà ñÕ j ¤ma kaˆ oÙc ñÒj

(kaˆ g¦r

e„kèn ™stin tÁ j noer© j

kaˆ g¦r

™stin

di' ¿n noàj ™stin dun£mei kaˆ ™pistršfein dÚ natai

œ cei oân t¾n mn Ñrq¾n

tÁ j oÙs…aj e„kÒna

™n aÙtÍ zwÁ j Ó lhj

prîtoj kuklikÒj

kaˆ nù sÚ zugoj,

prÕ j ãut» n.

™n aÙtÍ tÁ j oÙs…aj

kaˆ m…a

Kaˆ ™n dusˆ n

tÒ te ¡ploàn

kaˆ tÕ oÙc ¡ploàn tÁ j oÙs…aj,

[kaˆ tÕ ] ..kla... [di]¦

t¾ n ¥nison tîn

[kaqš]twn dianom» n,

¹ Ñrq¾ kaq' aØt¾ n

Ð qatšrou kÚkloj ™k tîn aÙtîn,

¢ll¦ met¦ diairšsewj).

t¦j d perˆ

199

t¾ n Ñrq¾ n

perˆ

t¾ n m…an

gramm¦j tîn dun£mewn tîn zwtikîn,

sumfènwn kaˆ ¢sumfènwn,

oÙs…an

aÙtÁj

t¾n d Øpote…nousan

p© n g¦r aÙtok…nhton diplÁ n œ cei

zw¾ n

kaˆ m…an, ‡shn tÍ ™x ¢mfo‹n·

oÜshj d kaˆ tÁ j oÙs…aj

tÁj mn

ØpoteinoÚ shj

kat¦ t¾ n oÙs…an·

dittîn zwîn, ˜x ïn

¹ m…a, t¦j ™k due‹n oÙsiîn

e„j m…an sumptussomšnaj.

diŽ s tamšnwn·

tÕ n ™n tÍ zwÍ noàn kukl…zein aÙt¾ n ™qšlonta

kaˆ aÙt¾ n e„j ãut¾ n kine‹n kaˆ perˆ ãut» n,

mi© j

kaˆ ‡shj tÍ diplÍ tÁ j mi© j

kaˆ tÁ j zwÁ j

kaˆ kinoàn ™sti kaˆ kinoÚ menon

kaˆ tÕ ™x ¢mfo‹n,

kaˆ tÕ ™x ¢mfo‹n·

™neikonizomšnwn

tÍ diplÍ zwÍ

<kaˆ > diplÁ j

Ðmo…wj, dÁlon Ó pwj

kaˆ oÙsioàn kaˆ oÙsioÚmenon

kaˆ Ó pwj sumba…nei taàta ¢ll»loij,

parisoumšnhj

t¾ n ñ…zousan TÕ diploàn

tîn d

200

Η υποτείνουσα του τριγώνου 3-4-5, έχει λοιπόν τις ιδιότητες να :

ενίζει, συµπτύσσει, κυκλίζει, επιστρέφει εις εαυτήν.

Οι δύο πρώτες είναι εξισωτικού χαρακτήρα και οι άλλες δύο ενωτικού. Τελικά όµως,

µέσω της περιοδικότητας, οι δύο αυτοί χαρακτήρες της υποτείνουσας του τριγώνου 3-

4-5 µπορούµε να πούµε ότι ταυτίζονται.

Η ενυπάρχουσα στην ορθή γωνία νοερά ζωή, κάνει την πεµπάδα να είναι ο πρώτος

κυκλικός αριθµός, να έχει δηλαδή την ικανότητα να επιστρέφει στον εαυτό της,

ιδιότητα που έχει το aÙtok…nhton145

Η συσχέτιση του αριθµού 5 µε τις ιδιότητες της επιστροφής και της

αυτοκινησίας, µπορεί να γίνει κατανοητή µόνο µέσω µιάς περιοδικής ανθυφαίρεσης.

Στο ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο, το κριτήριο του λόγου είναι ισοδύναµο µε

την σχέση δ = 2α . 2 2

Στο σκαληνό ορθογώνιο τρίγωνο µε πλευρές 3, 4 και 5, σύµφωνα µε τα

σχόλια του Πρόκλου, το Πυθαγόρειο θεώρηµα είναι εκείνο που συµπτύσει τις δύο

ζωές που αντιστοιχούν στις δύο κάθετες πλευρές, σε µία, δηλαδή στην

υποτείνουσα.

Με τον τρόπο αυτό, µπορούµε να νοήσουµε τον αριθµό 5 ως πέρας, επιβαλλόµενον

επί του απείρου και δικαιολογείται και ο χαρακτηρισµός του από τους Πρόκλο και

Ιάµβλιχο ως ο prîtoj kuklikÒj ¢riqmÕ j.

Η ιδιότητα της κυκλικότητας του αριθµού 5, ερµηνεύεται µόνο µέσα από

την περιοδικότητα της ανθυφαίρεσης διαµέτρου –πλευράς τετραγώνου.

Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ο αριθµός 5 συσχετίσθηκε από τους

Πυθαγόρειους (σύµφωνα µε τις µαρτυρίες των Πρόκλου και Ιάµβλιχου) µε την

δικαιοσύνη, που κατά τον Πλάτωνα σηµαίνει αναλογία.

Στην συνέχεια αναζητήθηκαν τρόποι αναπαράστασης αυτών των καλών

ιδιοτήτων του αριθµού 5, δηλαδή της σχέσης του µε την περιοδικότητα και την

αναλογία.

145 Σχετικά µε την έννοια του «αυτοκινήτου», βλέπε την παραγ. 3.2 της παρούσης.

201

Οι επόµενες αναφορές του Πρόκλου στον αριθµό 5, γίνονται στα χωρία

2, 53, 25-2, 54, 5:

«le‹pon tù ¢pÕ tÁ j pemp£doj tetragènJ

– toioàton d tÕ ¥l ogon, oÙ mÒnon Ó ti tÁ j kuklikÁ j ™pistrofÁ j e„j ãutÕ parÇrhtai

(oŒ oj Ð ¢pÕ tÁ j pemp£doj kuklikÕ j ín ¢riqmÕ j

¢f' ãutÁ j te ¢rcomšnhj kaˆ e„j ãut¾ n lhgoÚ shj), ¢ll¦ kaˆ Ó ti dikaiosÚ nhj ƒ er¦ ¹ pemp¦j

æj ™panisoàsa mÒnh toÝj ¢pÕ mon£doj ¥crij ™nne£doj,

Âj tÕ ¥logon aÙtÕ kaq' aØtÕ ¥moiron–

¹ d' oân ˜katont¦j tù ™lle…ponti ¢riqmù prÕ j aÙt¾ n

kat¦ tÕ n ¢pÕ tÁ j pemp£doj ¢riqmÕ n suzuge‹sa

poie‹ t[¾ n] ¢pÕ genšsewj ™pˆ gšnesin per…odon.

prosl»yei g¦r ce…ronoj zwÁj ¹ per…odoj»

και 2,93,15-18:

« ¢ll' Ó ti pantacoà pros» kei to‹j dikasta‹j t¦ mšsa,

tù nÒmJ ™panisoàsi t¦ prîta kaˆ t¦ œ scata ¢ll» loij·

æj ¹ mn pemp£j, oâsa mšsh tÁj ™nne£doj kaˆ mon£doj,

ƒ er¦ lšgetai tÁ j d…khj» .

Η αφαίρεση από τον αριθµό 100 του αριθµού 5 , σηµαίνει ότι ο εναποµείνας

αριθµός χάνει την ιδιότητα της κυκλικότητας, καταλήγοντας έτσι στην «¢log…a» και

µη περιοδικότητα.

2

Στα συγκεκριµένα χωρία του Πρόκλου, αποδίδεται στον αριθµό 5 η ικανότητα

να επανισάζει τα άνισα, µε τον τρόπο που περιέγραψε ο Ιάµβλιχος, µέσω του

παραδείγµατος του ζυγού, στα Θεολογούµενα της Αριθµητικής. Σε αυτήν πάντως την

επανίσωσιν, δεν έχει καµµία θέση το «¥logon».

Ο τρόπος εποµένως που ο αριθµός 5 επανισάζει τα άνισα έχει να κάνει µε τον

λόγο και συνεπώς µε το κριτήριο του λόγου.

Όπως είναι γνωστό, µέσω του κριτηρίου του λόγου και άρα της περιοδικότητος σε

µία περιοδική ανθυφαίρεση, ισάζονται τα άνισα (βλέπε παρ. 3.2, σελ. 120-123 της

παρούσης).

202

Ένας άλλος χαρακτηρισµός του Πρόκλου, για την πεµπάδα, ο οποίος και πάλι

παραπέµπει σε περιοδικότητα – κυκλικότητα είναι ο: «¢f' ˜autÁj te ¢rcomšnhj kaˆ

e„j ˜aut¾ n lhgoÚshj». Η περιοδικότητα µε την οποία συσχετίζεται άµεσα ο

αριθµός 5 είναι, όπως είπαµε και προηγούµενα, αυτή της ανθυφαίρεσης διαµέτρου-

πλευράς τετραγώνου.

Σχετικά µε το πώς η αναλογία ισάζει τα άνισα, βλέπε παρ. 3.2 καθώς και το

ακόλουθο χωρίο του Πλάτωνα:

Τίµαιος 31 c1-32a7:

« desmÕ n g¦r ™n mšsJ de‹ tina ¢mfo‹n sunagwgÕ n g…gnesqai. desmîn d

k£llistoj Ö j ¨n

aØtÕ n kaˆ t¦ sundoÚmena Óti m£l ista ž n poiÍ, toàto d pšfuken ¢nalog…o k£llista ¢potele‹n. ÐpÒtan g¦r ¢riqmîn triîn e‡te Ô gkwn

e‡te dun£mewn æntinwnoàn Ï tÕ mšson, Ó tiper tÕ prîton prÕ j

aÙtÒ, toàto aÙtÕ prÕ j tÕ œ scaton, kaˆ p£lin aâqij, Ó ti tÕ

œ scaton prÕ j tÕ mšson, tÕ mšson prÕ j tÕ prîton,

tÒte tÕ mšson mn prîton kaˆ œ scaton gignÒmenon,

tÕ d' œ scaton kaˆ tÕ prîton aâ mšsa ¢mfÒtera, p£nq' oÛtwj ™x ¢n£gkhj

t¦ aÙt¦ enai sumb»setai,

t¦ aÙt¦ d genÒmena ¢l l »l oij ž n p£nta œstai.»

Στο χωρίο αυτό του Τίµαιου, µας λέει ο Πλάτων ότι, αν β είναι ο γεωµετρικός

µέσος των α και γ, τότε η αναλογία α/β = β/γ, οδηγεί στην «εξίσωση» των α και γ

µέσω του β. Ένα άλλο, σχετικό µε την επανίσωση, χωρίο του Πρόκλου είναι το :

Εις Τίµαιον 3,140,4-8

«Ó rouj aÙtîn kaˆ t¾ n ¢ntan…swsin t¾ n prÕ j ¢ll» laj

kaˆ t¦j aÙx» seij kaˆ t¦j ™lattèseij aÙtîn

kat¦ d» tina ¢nalog…an, diÕ d¾ kaˆ ’Isin aÙt¾ n proshgÒreus£n tinej,

æj ™panisoàsan t¾ n ¢nisÒthta

kaˆ e„j ¢nalog…an ¥gousan

t£j te aÙx» seij kaˆ t¦j meièseij ¢mfotšrwn.» Στο χωρίο 2,69,10-12 των σχολίων του εις Πολιτείαν, ο Πρόκλος αναφερόµενος στον

noà, συσχετίζει για ακόµη µία φορά τον αριθµό 5 µε τον noà:

203

«æj g¦r ™ke‹noj ¥rrhn ín di¦ pemp£doj kukl…zei ˜autÕ n

mšnwn proŽën ™pistršf wn kaˆ oÙdamoà tÁj pemp£doj ™xist£menoj».

Λίγο πιο κάτω, στο χωρίο 2,69,14-25 του Πρόκλου έχουµε τα εξής σχόλια:

Ð d aâ pšnte kaˆ ˜bdom» konta di¦ mn

tÕ n ¢pÕ tri£doj kÚ bon

oÙd' aÙtÕ j p£ntV

tÕ taÙtÕ n kaˆ Ó moion ¢podr© nai

dedÚ nhtai (kaˆ pîj g¦r Ã n

dunatÕ n t¾ n yuc¾ n telšwj

e„j tÕ n tÁ j

¢nomoiÒthtoj pÒnton ™kpese‹n,

kat' oÙs…an œ cousan

tÕ noerÒn;), kukl ikÁj d „diÒthtoj

oÙk ™norwmšnhj tù ¢riqmù

tÕ ¢nep…strofon ƒ kanîj dhloàtai

tÁ j ™n toÚ tJ proÒdou·

di¦ d tÕ n ™k

tîn ¢nomo…wn ¢riqmÕ n[48] ™kpesÒnta

kaˆ tÁ j ·htÁ j kaˆ tÁ j ¢rr» tou pleur© j

tÁ j diamštrou tÁ j pemp£doj noà mn

¢pÒptwsin ™mfa…nei

kaˆ toà noeroà pšratoj, Ó per ¹ pemp¦j

oâsa ·ht¾ pleur¦ toà ¢f' ˜autÁ j ™neikon…zetai

(tÕ g¦r ·htÕ n ¢riqmù te katšcetai

kaˆ fanÒn ™sti ta‹j noera‹j ™pibola‹j),

204

Η κυκλική ιδιότητα ενός αριθµού σχολιάζεται και στο χωρίο αυτό ως

απαραίτητη προυπόθεση επιστροφής και περιοδικότητας.

Η pemp¦j, oâsa ρητή πλευρά τετραγώνου, είναι σύστοιχη του νοερού

πέρατος, και ως τέτοιο µπορούµε να νοήσουµε µόνο το πέρας που δίνεται µέσω του

κριτηρίου του λόγου, στην ανθυφαίρεση διαµέτρου-πλευράς τετραγώνου.

Η αναλογία έχει την ικανότητα να «επανισάζει-εξισώνει» τα άνισα µέρη µιάς

αόριστης δυάδος146.

146 Αναλυτικά σχόλια σχετικά µε την «επανίσωση-εξίσωση» βλέπε στην παράγραφο 3.2 της εργασίας

αυτής.

205

4.14 Περιοδικές αναπαραστάσεις αριθµών.

Από το χωρίο της «Πολιτείας» και τα σχόλια του Πρόκλου εις Πολιτείαν, έχει

προκύψει ότι στο ¢nqrwpe…J gennhtù, ο Πλάτων αντιστοιχεί δύο αριθµούς

(αρµονίες). Ο ένας είναι ο «καλός» αριθµός 10.000 (muri£j) και ο άλλος ο «κακός»

αριθµός 7.500.

Κατά τον Πρόκλο: Η muri£j ™stˆ n ¡rmon…a kre…ttwn.

Ο µεν πρώτος αριθµός, µέσω του «Φαίδρου» σχετίζεται µε την περιοδικότητα (και

µάλιστα παλινδροµική), ο δε δεύτερος µε το άπειρο χωρίς πέρας.

Η ανακάλυψη της παλινδροµικής περιοδικότητας στην περίπτωση των

δυνάµει σύµµετρων µεγεθών, οδήγησε στην αναζήτηση αναπαραστάσεών της.

Η προσπάθεια των αρχαίων Ελλήνων να δώσουν σε συγκεκριµένους

αριθµούς αναπαραστάσεις που να παραπέµπουν σε περιοδικότητα ή παλινδροµική

περιοδικότητα, προκύπτει από διάφορα χωρία, µερικά από τα οποία είναι:

1. Πρόκλος εις Πολιτείαν, 2,173,21-27:

tont£doj, duadik¾ n aÜxhsin Øpomein£shj,

™pistrey£shj d di¦ tÁ j triadikÁ j aÙx» sewj p£lin e„j t¾ n dek£da·

proÒdwn g¦r ¹ du¦j a„t…a p© sin,

™pistrof în d ¹ tri£j,

oŒ j ™ke…nh proÒdwn· ™peˆ oân e„j

oÙranÕ n ¹ ¥nodoj, Ó qen kaˆ ¹ k£qodoj,

e„kÒtwj ¹ cili¦j k¢ke…nwn dhlo‹ t¾ n zw»n, oÙkšti kaq' Ó son kÚ boj, ¢ll¦ kaq' Ó son trˆ j hÙxhmšnoj ™pistršfei tÕ tšloj e„j t¾ n ¢rc» n.

206

Αναφέρεται εδώ ο Πρόκλος, στον διάλογο «Φαίδρος» του Πλάτωνος, όπου η

ψυχή µετά τον πρώτο βίο της ανεβαίνει στον ουρανό, απ’όπου επιστρέφει µετά από

1000 χρόνια για να διαλέξει δεύτερη ζωή. Έχουµε λοιπόν το σχήµα:

Γη → Ουρανός → Γη

Αν και ο αριθµός δεν είναι τετράγωνος αριθµός, µε τον τρόπο αυτό αποκτά µια

περιοδική υφή.

Παρατηρούµε εδώ ότι η έκφραση tr…th aÜ xh, εκτός από την έννοια του

πολλαπλασιασµού, έχει µεταφορικά και έννοια περιοδική.

2. Ιάµβλιχος, οποίος στην Αριθµητική εισαγωγή του Νικόµαχου 88,21-29

περιγράφει τον αριθµό 1000 (βλέπε σελ. 31) µέσα από το ακόλουθο σχήµα:

100

90 90

80 80

70 70

60 60

50 50

40 40

30 30 20 20

10 10

Ο Ιάµβλιχος, στο χωρίο αυτό, περιγράφει ότι ο αριθµός 1000 (τετρωδουµένη

µονάς) προκύπτει από το σχήµα ως εξής:

10 + 2 (10 +20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90) = 1000.

Ο αριθµός 1000 έχει και εδώ σαφή περιοδικό χαρακτήρα.

Ας δούµε όµως το εν λόγω χωρίο του Ιάµβλιχου147:

«dwn ¹ ™p£nodoj æj ™pˆ mon£da· œ stai g¦r ™k tÁj <dek£doj> æj ¢pÕ sunqšsewj tetr£gwnoj Ð r ¢riqmÒj, kaˆ aÙtÕ j ín ¥rqron dioristikÕ n dek£dwn kaˆ ˜katont£dwn, kaˆ mon¦j triwdoumšnh kaloÚ menoj prÕ j tîn Puqagore…wn,

ésper kaˆ¹ dek¦j deuterwdoumšnh mon¦j kaˆ cili¦j tetrwdoumšnh mon£j.

207

147 IAMBLICOU, PERI THS NIKOMACOU ARIQMHTIKHS EISAGWGHS, 88,21-89,24

pl eur¦ d œstai toà r tetragènou aÙt¾ ¹ dek£j , kaˆ dÚnamij aÙtÁj tÕ sugkefala…wma tÁ j ™pˆ taÚ tV ™piswre…aj tîn ™ntÕ j aÙtÁ j ¢riqmîn dˆ j lambanomšnwn· oÛtw g¦r kaˆ diaÚ lJ ¢peik£sqai e‡rhtai Ó te kat¦ prÒodon æj ¢pÕ Û splhgoj tÁj ¢rcÁj kaˆ Ð kat' ™p£nodon æj ¢pÕ kamptÁ roj toà tšlouj trÒpoj tÁj ™pisunqšsewj tîn ¢riqmîn. e„ d tÍ dek£di mhkšt i mn kamptÁri, Ûspl hgi d crhsa…meqa kaˆ ¢rcÍ tÁj proÒdou mšcr i j ˜katont£doj, ¢f' Âj p£lin ¹ ™p£nodoj ™pˆ t¾ n dek£da œ stai, ™k tÁj ™pisunqšsewj gen»setai Ð prîtoj ¢riq- mÕ j ¹ tetrwdoumšnh mon£j, ¥rqron kaˆ aÙtÕ j ín dioristikÕ n ˜katont£dwn te kaˆ muri£dwn. oÙkšt i d kaˆ pleur¦ œ stai tetragwnik¾ toà c…lia ¢riqmoà ¹ ˜katont£j· oÙd g¦r tetr£gwnÒj ™st in Ð c…lia, ¢ll¦ kÚboj, ¢pÕ pleur© j dek£doj. †na d' ™pipedwqÍ pro- mhkikîj pleur¦ aÙtoà, œ stai ¹ ˜katont¦j sÝn tÍ kaˆ dek£di, æj dÁlon enai Ó ti de»setai ¹ katont¦j tÁj dek£doj e„j tÕ pleurik¾ n genšsqai. p£lin e„ tÍ ˜katont£di ¢rcÍ crhsa…meqa kaˆ ¢ntˆ Ûsplhgoj, prosšl- qoimen d ™pisuntiqšntej t¦j met' aÙt¾ n ˜katont£daj mšcri cili£doj, kaˆ ¢pÕ taÚthj æj ¢pÕ kamptÁroj Ðmo…wj ™pˆ t¾ n ˜katont£da ™panšlqoimen æj ™pˆ nÚs- san, œ stai ¢riqmÕ j Ð tîn mur…wn ¹ pentwdoumšnh mon£j, pl eur¦n œcwn æj mn tetr£gwnoj t¾n katon-»

Οι λέξεις : d…auloj, kampt¾ r, Û splhγξ, nÚ ssa, έχουν ένα ιδιαίτερο µαθηµατικό

νόηµα στα αρχαία ελληνικά µαθηµατικά.

Ας δούµε όµως αρχικά την ερµηνεία τους από το λεξικό Liddell Scott.

• d…auloj: διπλούν στάδιον, διπλός δρόµος, όπου ο αγωνιζόµενος έτρεχε µέχρι

του εσχάτου άκρου του σταδίου, έκαµπτε περί την εκεί κειµένην στήλην

(kampt¾ r) του σταδίου και επανήρχετο πίσω διά της ετέρας του σταδίου

πλευράς

• Û splhγξ: σχοινίον τεταµένον οριζοντίως στην αρχή του σταδίου που

αφηνόταν να πέσει όταν οι αγωνιζόµενοι έπρεπε να εξορµήσουν, αφετηρία.

Βλέπε και Πλατ. Φαίδρ. 254 e1: «ésper ¢pÕ Ûsplhgoj ¢napesèn»

• NÚ ssa: kampt»r, tšrma, baqm…j.

208

Από την ανάλυση του παραπάνω χωρίου του Ιάµβλιχου, προκύπτουν τα εξής

σχήµατα:

καµπτήρ 10

9 9 δίαυλος

8 8

7 7

6 6

5 5

4 4

3 3 2 2 1 1 ύσπληξ και νύσσα η µονάδα Ο Ιάµβλιχος, στο χωρίο αυτό, περιγράφει πως προκύπτει ο αριθµός 100 (τριωδουµένη

µονάς) από το σχήµα:

10 + 2 (1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 100.

Η πεντωδουµένη µονάς, δηλαδή ο αριθµός 10.000, προκύπτει όµοια από το

αντίστοιχο σχήµα:

1000

900 900

800 800

700 700

600 600

500 500

400 400

300 300 200 200 100 100

Αν χρησιµοποιήσουµε λοιπόν ως ύσπληγα και νύσσα τον 100 και ως

καµπτήρα τον 1000, τότε προκύπτει ο αριθµός 10.000, ως εξής:

1000 + 2 (100 +200 + 300 + 400 + 500 + 600 + 700 + 800 + 900) = 10.000.

Η παλινδροµικότητα - περιοδικότητα στην αναπαράσταση των αριθµών είναι

εµφανής. Έτσι ερµηνεύεται πλήρως το παραπάνω χωρίο του Πρόκλου:

209

«¹ mšn ge muri£j, ¼ tij ™stˆ n ¡rmon…a kre…ttwn,

™k tÁj triwdoumšnhj genomšnh mon£doj ™pistrafe…shj e„j ˜aut¾ n »

Η επιστροφή-παλινδρόµηση- της τριωδουµένης µονάδος (η οποία προκύπτει

µε τον ίδιο τρόπο από την δευτερωδουµένη µονάδα) στον εαυτό της, οδηγεί στην

κρείττονα αρµονία που είναι ο αριθµός 10.000.

Ο αριθµός 5 περιγράφεται από τον Πρόκλο στα σχόλιά του στην Πολιτεία ως

εξής:

«¢ll' ¢nakukle‹ p£nta ™ntÕ j ˜autÁ j, dÁ lon ™k tîn legomšnwn palinwdiîn·

«dikaiosÚ nhj ƒ er¦ ¹ pemp¦j æj ™panisoàsa mÒnh toÝj ¢pÕ mon£doj ¥crij

™nne£doj148»

και στο 2,80,25, µιλώντας για τον τέλειο αριθµό των Μουσών, τον 9:

«p£nta tšleioj, e‡j te t¾ n mon£da sunelissÒmenoj, ¢f' Âj proÁlqen, kaˆ ž n

nšon enai[ο 9] kaˆ aÙtÕ j ™peigÒmenoj.»

Αλλά και ο Ιάµβλιχος, αναφερόµενος στον 9 µας λέει:

mšcr i mn g¦r aÙtÁj fusik¾ prÒbas i j , met¦ d' aÙt¾ n palimpet» j»149

Το πώς ο αριθµός 5 ισάζει τα άνισα αναπαριστάνεται και µέσα από το

µοντέλο του ζυγού, όπως αναλυτικά περιέγραψε ο Ιάµβλιχος (βλέπε σελ. 159),

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

αλλά και από ένα περιοδικής υφής σχήµα όπως:

5 4 6

3 7

2 8

1 ≡ 9

148 Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,53,29-30 149 Iάµβλιχος, Θεολογούµενα Αριθµητικής 76,16-18.

210

Ο περιοδικός (και µάλιστα) παλινδροµικός χαρακτήρας όλων των παραπάνω

σχολιάζεται και από τον Ιάµβλιχο σε διάφορα χωρία του, όπως π.χ στο:

« kaˆ to‹j terom»kesin e„j gšnesin Ûsplhga Ðmo…wj aut¾ n paršxei, oÙkšt i d

kaˆ nÚssa œ stai tÁj kaq' Øpostrof¾ n palindrom…aj kaˆ ™panÒdou150».

Η δικαιοσύνη σχολιάζεται, ως ανταποδοτική διαδικασία, από τον Πλάτωνα,

αλλά και τους Ιάµβλιχο και Πρόκλο:

Η ανθυφαίρεση είναι επίσης µια ανταποδοτική διαδικασία.

«¢moib¾ g£r tij kaˆ ¢ntapÒdosij ¹ dikaiosÚ nh,

tÕ pl eon£zon kaˆ ™l l ipj ¢ntapodidoàsa di' ¢ntisèsewj.151»

Πράγµατι, για να εξισωθεί ο αριθµός 9 µε τον 1, πρέπει να αφαιρεθεί από την

µονάδα ο πέµπτος αριθµός (από τον εννέα), δηλαδή ο 4.

Ο αριθµός 4 όµως, είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του 9 µε το 5, αφού 9=1.5 + 4.

Η ίδια η ανθυφαίρεση έχει περιγραφεί άλλωστε από τον ίδιο Πλάτωνα, στον

Φαίδωνα, ως «ανταποδοτική διαδικασία».

150 Ιάµβλιχος, Αριθµητική Εισαγωγή 77,13-14 151 Ιάµβλιχος, Προτρεπτικός 118, 1-3

211

4.15 Άλλες συσχετίσεις του τριγώνου 3-4-5 .

Το τρίγωνο 3-4-5 συσχετίστηκε και µε :

I)

II)

III)

I)

την οργάνωση της βέλτιστης Πολιτείας καθώς και

µε την διάρκεια κύησης ενός εµβρύου και τον ζωδιακό κύκλο152 και

µε την µουσική153

IV) την αστρονοµία154

Το ορθογώνιο τρίγωνο 3-4-5 και η βέλτιστη Πολιτεία,

συσχετίζονται από τον Ιάµβλιχο155.

«mšteimi oân m© llon ™p' ™ke‹na, æj Ãsan œ nioi tîn Pu- qagore…wn politikoˆ kaˆ ¢rciko…. kaˆ g¦r nÒmouj ™fÚlatton kaˆ pÒleij 'Italik¦j diókhs£n tinej, ¢pof ainÒmenoi mn kaˆ sumbouleÚontej t¦ ¥rista ïn Øpel£mbanon, ¢pecÒ- menoi d dhmos…wn prosÒdwn. pol l în d gignomšnwn kat' aÙtîn diabolîn Ó mwj ™pekr£tei mšcri tinÕ j ¹ tîn Puqa- gore…wn kalokagaq…a kaˆ ¹ tîn pÒlewn aÙtîn boÚlhsij, éste Øp' ™ke…nwn o„konome‹sqai boÚ lesqai t¦ perˆ t¦j polite…aj. ™n toÚtJ d tù crÒnJ dokoàs in aƒ k£llistai tîn politeiîn ™n 'Ital…v genšsqai kaˆ ™n Sikel…v. Carèn- daj te g¦r Ð Katana‹oj, eŒj enai dokîn tîn ¢r…stwn nomoqetîn, PuqagÒreioj Ãn, Z£leukÒj te kaˆ Tim£rhj oƒ Lokro…, Ñnomastoˆ gegenhmšnoi ™pˆ nomoqes…v, PuqagÒreioi Ãsan, o† te t¦j `Rhginik¦j polite…aj sust»santej, t»n te gumnasiarcik¾ n klhqe‹san kaˆ t¾ n ™pˆ Qeoklšouj Ñnoma- zomšnhn, P uqagÒreioi l šgontai enai, FÚtiÒj te kaˆ QeoklÁj kaˆ `Elik£wn kaˆ 'Aristokr£thj· di»negkan <d> ™pithdeÚ - mas… te kaˆ œ qesin, oŒ j kaˆ aƒ ™n ™ke…noij to‹j tÒpoij pÒleij kat' ™ke…nouj toÝj crÒnouj ™cr»santo. Ól wj d eØret¾ n aÙtÕ n genšsqai fasˆ kaˆ tÁ j politikÁ j Ó lhj paide…aj, e„pÒnta mhdn e„likrinj enai tîn Ô ntwn pragm£twn, ¢ll¦ metšcein kaˆ gÁn purÕ j kaˆ pàr Ûdatoj kaˆ pneàma toÚtwn kaˆ taàta pneÚmatoj, œ ti kalÕ n a„scroà kaˆ d…kaion ¢d…kou kaˆ t«lla kat¦ lÒgon toÚtoij (™k d taÚthj tÁj Øpoqšsewj labe‹n tÕ n lÒgon t¾ n e„j ˜k£teron mšroj Ðrm»n· dÚo d enai kin»seij kaˆ toà sèmatoj kaˆ

tÁj yucÁj, t¾n mn ¥l ogon, t¾n d proairetik» n),

152 Βλέπε Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,54,25-2,61,11 153 Βλέπε Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,42,12-2,43,19 154 Βλέπε Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,43,20-2,46,17 155 Ιάµβλιχος ,De vita phythagorica, 27,129,1-27,131,6

212

pol i tei în d gramm£j t inaj toi£sde tre‹j sus ths£menon, to‹j ¥kroij ¢ll»lwn sumyauoÚsaj, m…an Ñrq¾ n gwn…an poioÚsaj, t¾n mn ™p…triton fÚsin œcousan,

t¾n d pšnte toiaàta dunamšnhn,

t¾n d toÚtwn ¢mf otšrwn ¢n¦ mšson.

logizomšnwn d' ¹mîn t£j te tîn grammîn prÕ j ¢ll»laj

sumptèseij kaˆ t¦j tîn cwr…wn tîn ¢pÕ toÚtwn,

belt…sthn Øpotupoàsqai polite…aj e„kÒna.

sfeter…sasqai d t¾n dÒxan P l £twna,

lšgonta fanerîj ™n tÍ Polite…v

tÕ n ™p…triton ™ke‹non puqmšna tÕ n tÍ pemp£di suzeugnÚmenon kaˆ t¦j dÚo

parecÒmenon ¡rmon…aj.»

Η εικόνα της βέλτιστης Πολιτείας προέκυπτε λοιπόν, µε κάποιο τρόπο

άγνωστο σε εµάς, από το τρίγωνο 3-4-5. Ο Ιάµβλιχος στο χωρίο αυτό, µας λέει ότι τα

περί των δύο αρµονιών του, ο Πλάτων, τα σφετερίστηκε από τους Πυθαγορείους.

Το τρίγωνο 3-4-5 φαίνεται ότι έτυχε ευρύτερων χρήσεων απ’ότι ο γεωµετρικός

αριθµός.

ΙΙ) Η σύνδεση του τριγώνου 3-4-5 µε την διάρκεια κύησης ενός εµβρύου και τον

ζωδιακό κύκλο, δεν θα µας απασχολήσει στην παρούσα εργασία.

ΙΙΙ) Τα σχόλια του Πρόκλου εις Πολιτείαν που συνδέουν τρόπον τινά το τρίγωνο 3-4-

5 µε την µουσική εκτίνονται από το 2,42,12-2,43,19.

Συνοψίζοντας τα σχόλια αυτά, να αναφέρουµε τα εξής:

Η περίµετρος του τριγώνου 3-4-5 είναι 12, ενώ το εµβαδόν του είναι ίσο µε 6.

Οι αριθµοί συνεπώς που εµφανίζονται στο τρίγωνο αυτό είναι οι:

3, 4, 5, 6, 7 (4+3), 8 (5+3), 9 (4+5) και 12.

Από αυτούς προκύπτουν οι λόγοι:

2/1, 3/2, 9/8 και 4/3, εµφανίζονται δε και οι τρείς µεσότητες ως εξής:

Ο 4 είναι αριθµητικός µέσος των 3 και 5

Ο 4 είναι και αρµονικός µέσος των 3 και 6, ενώ

Ο 6 είναι ο γεωµετρικός µέσος των 3 και 12.

213

Στο τρίγωνο εποµένως 3-4-5 υπάρχουν όλοι οι αρµονικοί λόγοι (2/1, 3/2, 9/8, 4/3)

καθώς και όλες οι µεσότητες, είναι δε αυτό το πρώτο τρίγωνο µε ρητές πλευρές που

εµφανίζονται όλα αυτά µαζί.

Αυτούσια τα αρχαία κείµενα

Τέλος και για την διευκόλυνση της µελέτης, παραθέτουµε αυτούσια από την

ηλεκτρονική βάση Τ. L.G (Musaios), τα αρχαία κείµενα της «Πολιτείας» και των

αντίστοιχων σχολίων του Πρόκλου εις Πολιτείαν, που αφορούν στον γεωµετρικό

αριθµό.

Πολιτεία 546 a1-547 a5:

«‘Wdš pwj. cal epÕn mn kinhqÁnai pÒlin oÛtw sust© san· ¢ll' ™peˆ genomšnJ pantˆ fqor£ ™stin, oÙd' ¹ toiaÚth sÚstasij tÕ n ¤panta mene‹ crÒnon, ¢ll¦ luq»setai. lÚsij d ¼de· oÙ mÒnon futo‹j ™gge…oij, ¢ll¦ kaˆ ™n ™pige…oij zóoij for¦ kaˆ ¢for…a yucÁj te kaˆ swm£twn g…gnontai, Ó tan peritropaˆ ˜k£stoij kÚklwn perifor¦j sun£ptwsi, bracub…oi j mn bracupÒrouj, ™nant…oi j d ™nant…aj. gšnouj d Ømetšrou eÙgon…aj te kaˆ ¢f or…aj , ka…per Ô ntej sofo…, oÞj ¹gemÒnaj pÒlewj ™paideÚsasqe, oÙdn m© llon logismù met' a„sq»sewj teÚxontai, ¢ll¦ p£reisin aÙtoÝj kaˆ gen- n»sousi pa‹d£j pote oÙ dšon. œsti d qe…J mn gennhtù per…odoj ¿n ¢riqmÕ j perilamb£nei tšleioj, ¢nqrwpe…J d ™n ú prètJ aÙx»seij dun£mena… te kaˆ dunasteuÒmenai, tre‹j ¢post£seij, tšttaraj d Ó rouj laboàsai ÐmoioÚntwn te kaˆ

·htîn pemp£doj, deomšnwn ˜nÕ j ˜k£stwn, ¢rr»twn d duo‹n,

¢nomoioÚntwn kaˆ aÙxÒntwn kaˆ fqinÒntwn, p£nta pros»gora kaˆ ·ht¦ prÕ j ¥llhla ¢pšfhnan· ïn ™p…tritoj puqm¾ n pemp£di suzugeˆ j dÚo ¡rmon…aj paršcetai trˆ j aÙxhqe…j, t¾n mn ‡shn „s£ki j , ˜katÕ n tosaut£kij, t¾n d „som»kh mn tÍ, prom»kh dš, katÕn mn ¢r iqmîn ¢pÕ diamštrwn

˜katÕ n d kÚbwn tri£doj . sÚmpaj d oátoj ¢r iqmÕj gew- metrikÒj, toioÚtou kÚrioj, ¢meinÒnwn te kaˆ ceirÒnwn ge- nšsewn, §j Ó tan ¢gno»santej Øm‹n oƒ fÚlakej sunoik…zwsin nÚmfaj numf…oij par¦ kairÒn, oÙk eÙfue‹j oÙd' eÙtuce‹j pa‹dej œ sontai· ïn katas t»sous i mn toÝj ¢r…stouj oƒ prÒteroi, Ómwj d Ô ntej ¢n£xioi , e„j t¦j tîn patšrwn aâ dun£meij ™lqÒntej, ¹mîn prîton ¥rxontai ¢mele‹n fÚlakej Ô ntej, par' œ latton toà dšontoj ¹ghs£menoi t¦ mousikÁj, deÚteron d t¦ gumnastikÁj, Ó qen ¢mousÒteroi gen»sontai Øm‹n oƒ nšoi. ™k d toÚtwn ¥rcontej oÙ p£nu f ul akikoˆ katast»sontai prÕ j tÕ dokim£zein t¦ `HsiÒdou te kaˆ t¦ par' Øm‹n gšnh, crusoàn te kaˆ ¢rguroàn kaˆ calkoàn kaˆ sidhroàn· Ðmoà d migšntoj sidhroà ¢rgurù kaˆ cal koà crusù ¢no- moiÒthj ™ggen»setai kaˆ ¢nwmal…a ¢n£rmostoj, § genÒmena, oá ¨n ™ggšnhtai, ¢eˆ t…ktei pÒlemon kaˆ œ cqran. taÚthj toi geneÁj cr¾ f £nai enai st£s in, Ó pou ¨n g…gnhtai ¢e….»

214

Πρόκλος εις Πολιτείαν 2,36,3-2,54,24 «LE. TÕ n gewmetrikÕ n ¢riqmÕ n ¢riqmhtikîj te ¤ma de‹ kaˆ gewmetrikîj qewrÁsai, kaˆ prÒj ge mousikîj, e„ dun£- meqa, kaˆ ¢stronomikîj, œ peita dialektikîj, e‡j te t¾ n ¢n- qrwpe…an ¢napšmyai per…odon kaˆ e„j t¾ n toà pantÕ j kÒs- mou qewr…an. ”Es t in d oátoj ....60....ona.. ..... [™]n ú prè[tJ aÙx»seij] ........pr..... natous...20... lÒgouj e‡te thsun...18... dun£menai poioàsai tetragènouj, duna[steu]Òmenai d ¢p' ™ke…nwn tîn dun£mewn ........ tîn tetragènwn· tÕ g¦r dun£menon p© n prÕ j tÕ dunasteuÒmenon ¢pod…dotai. kaˆ prÕ j toÚtoij ÐmoioÚntwn te kaˆ ¢nomoioÚntwn ¢riqmîn· ÐmoioÚntwn mn tîn tetragwnikîn À kubikîn, ¢nomoioÚntwn d tîn ¢n…soi j crwmšnwn pleura‹j À ™pipšdwn À stereîn. kaˆ ™pˆ toÚtoij kaq' Øpodia…resin tîn ¢nomoioÚntwn ˜xÁj fhsin· aÙxÒntwn te kaˆ fqinÒntwn· aÙxÒntwn mn tîn „s£ki j ‡swn meizon£- kij, ïn ™pˆ tÕ me‹zon ¹ prÒodoj ¢pÕ tÁj „sÒthtoj, fqinÒn- twn d tîn „s£ki j ‡swn ™l asson£ki j · ïn to‹j mn Ô noma plinq…dej fasˆ to‹j fq…nousin, to‹j d dok…dej to‹j aÜxou- sin. aátai d' oân aƒ aÙx»seij mšcri tett£rwn Ó rwn pro- elqoàsai tre‹j ™cÒntwn ¢post£seij ¢ll»lwn (p£ntwn g¦r tett£rwn Ó rwn sunecîn tre‹j e„sin ¢post£seij) p£nta ·ht¦ kaˆ pros»gora poioàsin, kaˆ toÝj dunamšnouj kaˆ toÝj dunasteuomšnouj, kaˆ toÝj Ðmoioàntaj kaˆ toÝj ¢nomoioàn- taj ¢ll»loij, kaˆ toÝj aÜxontaj kaˆ fq…nontaj. g…netai g¦r di£gramma kat¦ mn t¦ pl£gia toÝj Ðmoioàntaj œcon kaˆ ¢nomoioàntaj, aÜxont£j te kaˆ fq…nontaj, kaq' ›na lÒgon sundeomšnouj tÕ n puqmšna tÕ n ™kteqhsÒmenon· kat¦ 2,36,29 d t¦ skšlh toÝj dunamšnouj kaˆ duna[steuomšnouj. ™peˆ ] d oátÒj ™stin Ð ¢r iqmÒj , ™n [ú p£nta ¢ll»loij] sumba…nei, kalîj poiîn ....14... ïn ™p…tritoj puq- m»n· ...16... tîn ¢riqmîn ïn aƒ aÙx»seij. [œ stin oân oátoj] Ð ™p…tritoj puqm¾ n g kaˆ d· kaˆ [toÚtwn ˜k£]teroj ™f' ˜autÕ n kaˆ ™p' ¢ll»louj [g…gnetai] q ib i$ ™n lÒgJ tù aÙtù. kaˆ aâqi j Ð mn g kubikîj trˆj tr…a tr…j , kaˆ Ð d æs[aÚ ]twj tetr£kij tšssara tetr£kij· met' ¢l l »l wn d trˆ j tr…a tetr£kij, tetr£kij tšssara tr…j· g…gnontai oân kubikoˆ mn ¥kroi Ð kz kaˆ xd, dokˆj d Ð l$, dÚo pleu- r¦j œ cwn tri£doj kaˆ m…an tetr£doj, pl inqˆj d Ð mh, dÚo pleur¦j œ cwn tetr£doj kaˆ m…an tri£doj. toÚtwn d¾ tîn tett£rwn Ô ntwn ™fexÁj ™n tù ™pitr…tJ lÒgJ Ó rwn, kz l$ mh xd, kaˆ tre‹j ¢post£seij ™cÒntwn, Ð mn kz met¦ toà mh poie‹ tÕ n oe, Ð d l$ met¦ toà xd tÕn r · oŒ n Ð mn r tetr£gwnoj ín ™k dek£doj kaˆ aÙtÕ j tetragwnisqeˆ j poie‹ tÕ n mÚria· Ð d oe genÒmenoj ™pˆ tÕn r poie‹ tÕn zf. kaˆ e„sˆ n aátai aƒ dÚo ¡rmon…ai, ¿ mn „s£ki j ‡sh (kaˆ Ó pwj, dÁlon ™po…hsen e„pèn· ˜katÕ n tosaut£kij),

215

¿ d „som»khj mn ™ke…nV di¦ tÕ n r, prom»khj d di¦ tÕ n oe toà m»kouj ºlasswmšnou. e„kÒtwj oân epen tÕ n ™p…- triton puqmšna trˆ j aÙxhqšnta t¦j dÚo poie‹n ¡rmon…aj· mšcri g¦r tîn stereîn proelqën tîn tess£rwn ™k tÁj ™ke…nwn sunqšsewj paršcetai t¦j pleur¦j tîn dÚo ¡rmo- niîn, tÕ n ˜katÕ n kaˆ tÕ n ˜bdomhkontapšnte. t¾n mn oân tautom»kh monacîj ™d»lwsen, „s£kij ‡shn Ðris£menoj kaˆ prosqeˆ j ˜katÕ n tosaut£kij· tÕ g¦r „s£kij ‡shn ºdÚnato kaˆ ¥llon poie‹n] ...15... ‡sh [m]¾ n „s£kij e„k[Òtwj 2,37,28 ¹ taut]om»khj· ‡sh mn diÒti Ð ˜katÕ n [pol]l£kij lamb£netai, „s£ki j d diÒti ºdÚnato pol l £ki j mn lhfqÁnai, kat¦ ¥l- l on d ¢r iqmÕn pol l £ki j , oŒ on tÕ n dška À tÕ n e‡k[osi], de- k£kij kaˆ e„kos£kij. t¾n d prom»kh di¦ poikilwtšrwn paršsthsen l»yewn· dielën g¦r tÕ n oe ¢riqmÕ n e„j toÝj sunteqšntaj, l šgw d tÕ n kz kaˆ tÕn mh, tÕ n r ™pˆ toÚ - touj poi»saj ¢ntˆ toà Ó lou toà oe par…sthsi pîj ™sti prom»khj. de‹n g£r fhsin ˜katont£kij poiÁsai tÕ n kz, katÕn d ¥l l ouj ¢r iqmoÚj , o†tinšj e„sin ¢pÕ diamštrou tÁj

pemp£doj æj tetragwnikÁj pleur© j lhfqe…shj, ·htÁj mn diamštrou mon£di leipÒmenoi mi , ¢rr»tou d dÚo mon£s i . di' ïn shma…nei tÕ n mh· ™¦n g¦r pleur¦n tÕ n e l£bVj tetragènou tinÒj, kaˆ ™n toÚtJ di£metron ¥rrhton p£ntwj di¦ tÕ ·ht¾n enai t¾n pl eur£n, œstai tÕ mn ¢p' aÙtoà ke, dipl £s ion d toÚtou tÕ tîn n cwr…on, oá Ãn ¥rrhtoj ¹ pleur£· oÙ g¦r œ stin ¢riqmÕ n labe‹n tetr£gwnon tetra- gènou dipl£sion. ™¦n oân ·ht¾ n ™qšlwmen di£metron eØ- re‹n, dunamšnhn toà ¢pÕ tÁj pemp£doj dipl£sion, t¾ n sÚnegguj lamb£nontej t¾ n dunamšnhn oÙk aÙtÒ (toàto g¦r ¢dÚnaton), ¢ll¦ tÕ mon£di œ lasson, tÕ n z lhyÒmeqa, kaˆ ¢pÕ toÚtou tÕ tîn mq, mon£di × n œ lasson toà n, Ö Ãn tÕ ¢pÕ tÁj ¢rr»tou diamštrou. toÚtwn d lhfqšntwn loi- pÕ n dÁlon, Ó pwj toà ¢pÕ tÁj diamštrou tÁj pemp£doj dittoà Ô ntoj, toà mn ¢pÕ ¢rr»tou, toàto d Ãn tÕ tîn ....130... mh ...36... z ™...17...somen tÕ n zf, Ö j Ãn ™k toà r [kaˆ toà oe sugke…]menoj toà sunteqšntoj œ k te toà kz kaˆ toà mh. GegÒnas i mn oân oÛtwj aƒ dÚo ¡r- mon…ai, ¹ tautom»khj kaˆ ¹ prom»khj· kal oàntai d ¡r- 2,39,4 mon…ai, diÒti sunest© sin ¢pÕ lÒgwn ¡rmonikîn ¥mfw, ¿ mn triakos£ki j , ¿ d tetrakos£ki j l hf qšntwn t în puq- mšnwn g d $ ib. kaˆ œ stin kaˆ aÙtîn toÚtwn Ð lÒgoj toà triakÒsia kaˆ toà tetrakÒsia ™x ¢rcÁj Ð ™p…tritoj. toÚtwn oân t în ¡rmoniîn ¹ mn prom»khj ¢pÕ t în " , aj, aw, gc, o† e„sin triakosi£kij Ð g d d $ ib· ¹ d „som»khj ¢pÕ tîn aj ac bu dw, o† e„sin tetrakosi£kij Ð g d $ ib· ïn oƒ ¥kroi tÕ n aÙtÕ n œ cousi lÒgon, Ö n kaˆ aƒ mesÒthtej. Kaˆ oÛtw mn di¦ pleiÒnwn· suntÒmwj d labÒntej tÕ n ™p…triton puqmšna g kaˆ d, kaˆ e, ú oátoj sunezÚgh, poi»somen pent£kij tšssara pent£kij, tÕ n r· kaˆ pent£kij tr…a pent£kij, tÕ n oe· kaˆ toÚtouj tÕn mn r

216

™f' ˜autÒn, †na Ð mÚria gšnhtai, tÕn d r ™pˆ tÕn oe, †na Ð ˜ptakisc…lia pentakÒsia· kaˆ oÛtwj Ð ™p…tritoj puq- m¾ n trˆ j aÙxhqeˆ j pemp£di suzugeˆ j œ stai poiîn t¦j dÚo ¡rmon…aj, t»n te tautom»kh kaˆ t¾ n prom»kh. Cre…a d Ó mwj kaˆ tÁj ˜tšraj ™fÒdou p£ntwj, ™pe…per aÙtÕ j tÕ n oe die‹len e„j tÕ n kz kaˆ tÕ n mh, gennèshj ™ke…nouj eÙt£ktwj, kaˆ toÝj ..60. aÙtîn pa.. [trˆ j tr…a trˆ j] tÕ n kz, tetr£kij tšss[ara tetr£kij tÕ n] xd, trˆ j [tr…a tetr£kij tÕ n l$, tetr£kij] tšssara trˆ j tÕ n mh. kaˆ oÛtwj [p£lin Ð] ™p…tritoj puqm¾ n tÍ pemp£di su[zugeˆ j] paršcei t¦j dÚo ¡rmon…aj trˆ j [aÙxhq]e…j, Ópou mn kubikîj, Ópou d do[kik]îj, Ópou d plinqikîj. 'Ariqmhtikîj m[n] oØtwsˆ tÕ proke…menon ™xhghtšon· gewmetr ikîj d tÕ n trÒpon toàton. œ stw tr…gwnon tÕ ABG· kaˆ ¹ mn AB tess£rwn, ¹ d BG triîn tîn aÙtîn, ¹ d AG pšnte· kaˆ tÍ AG prÕ j Ñrq¦j ¹ AZ, ™f' ¿n ™k- 2,40,4 bebl»sqw ¹ BG· ™n Ñrqogwn…J goàn tù AZG k£qetoj ¹ AB ¹ AB· mšsh ¥ra ¢n£logon tîn ZB BG. ™p…tritoj d ¹ AB tÁj BG, éste kaˆ ¹ BZ tÁj BA ™p…tritoj· œ stin ¥ra pšnte kaˆ tr…tou. triplasiasq»twsan, †na ÐlÒklhroi gšnwntai mon£dej· œstai ¥ra ¹ mn ZB dška kaˆ ›x, ¹ d BA dèdeka tîn aÙtîn, ¹ d BG ™nnša, kaˆ ¹ AG deka- pšnte. prÕ j Ñrq¦j ½ cqw ¹ ZK kaˆ ™p' aÙt¾ n ™kbebl»sqw ¹ GA kaˆ par£llhloj tÍ ZG ¹ AL· ™peˆ oân p£lin Ñrqo- gènion tÕ ZAK kaˆ k£qetoj ¹ AL, mšsh œ stai ¢n£logon tîn ZL LK. œ stai oân, ™peid¾ ¹ ZL dèdeka Ãn, ¹ d AL dška kaˆ ž x t în aÙtîn (kaˆ g¦r aƒ par£llhloi aÙtîn tosoÚtwn Ãsan), kaˆ ¹ KL prÕ j t¾ n AL ™p…tritoj· éste e‡kosi kaˆ ˜nÕ j kaˆ tr…tou ¹ KL, o†wn ¹ AL dška kaˆ ›x. triplasiasq»twsan oân p£lin p© sai di¦ tÕ tr…ton· g…netai oân ¹ mn KL ˜x»konta kaˆ tess£rwn, ¹ d LA tessar£konta kaˆ Ñktè, ¹ d LZ tri£konta kaˆ ›x, l oip¾ d ¹ BG e‡kos i

tîn e· kaˆ hØr»kasin ™n lÒgoij to‹j aÙto‹j ˜k£teron tîn

™peid¾ t¦ prÕ j ta‹j kaqštoij ¢eˆ tr…gwna Ó moi£ ™sti tù te

kaˆ ˜pt¦ tîn aÙtîn. Ãsan d oátoi oƒ tšs [sarej, ™x ïn ™g…]nonto Ó te ˜katÕ n kaˆ [Ð ˜bdom»konta pšnte], o‰ t¦j ¡r- mon…aj poioàs[in tÕ n mÚria kaˆ ] tÕ n ˜ptakisc…lia pentak[Òsia]. TÕ mn oân qeèrhma gewmetr ikîj skopoànti toioàton· tosoàton d prosqetšon, Óti ¹me‹j mn kat¦ prÒsqesin ¢pÕ toà ™x ¢rcÁj trigènou pro»lqomen e„j toÝj zhtoumšnouj ¢riqmoÚj, ¥l l oi d kat¦ ¢f a…res in. labÒntej g¦r tÕ tîn g d e tr…gwnon ½ gagon k£qeton ¢pÕ tÁj ÑrqÁj ™pˆ t¾ n

prÕ j tÍ kaqštJ trigènwn, kaˆ œ labon toÝj ¢riqmoÝj ™n mor…oij tisˆ mon£dwn. œ peita p£lin ½ gagon ¢pÕ tÁj ÑrqÁj k£qeton tÁj ™n to‹j trigènoij À ™pˆ t¾ n tîn d À ™pˆ t¾ n 2,42,2 tîn g· kaˆ toÝj aÙtoÝj lÒgouj toÝj ™x ¢rcÁj eØrÒntej,

Ó lJ kaˆ ¢ll»loij, œ labon kaˆ tîn genomšnwn trigènwn t¦j pleur¦j ™n mon£si kaˆ mor…oij. eta pollaplasi£santej e‡kosi pent£kij p£saj t¦j pleur¦j kat»nthsan e„j toÝj ¢riqmoÚj, oÞj kaˆ oƒ kat¦ prÒsqesin. Kaˆ toàton mn

217

e†leto tÁj ™xhg»sewj tÕ n trÒpon Patšrioj, tÕn d prÒ- teron Ð mšgaj ..9.. Kaˆ mšcri toÚtou gewmetrikîj [teqewr»sqw tÕ ] zhtoÚ - menon. œstw d toÚtwn ..12. [tÕ ] toioàton tîn ØpÕ toà quhkÒou ..11. [k]ekrimšnwn kat¦ Øfa…[resin] ....... kaˆ toÝj mousikoÝj lÒgouj, ..8.. tù ™x ¢rcÁj trigènJ tÕ n trÒpon toàton. ™peid¾ oƒ ¢riqmoˆ tîn pleurîn tri¦j tetr¦j pent£j, Ð ™k p£ntwn duwdek¦j kaˆ tÕ ™mbadÕ n ˜x£j. oÙkoàn ™p…tr i toj mn lÒgoj tri£doj kaˆ tetr£doj , ¹miÒlioj d ˜x£- doj kaˆ tetr£doj, ™pÒgdooj d ™nne£doj kaˆ Ñgdo£doj (tÁj ØpoteinoÚshj ˜katšrv tîn perˆ t¾ n Ñrq¾ n suntiqemšnhj), dipl £s ioj d ˜x£doj kaˆ tr i£doj , tr ipl £s ioj d duwdek£doj kaˆ tetr£doj, tetrapl £s ioj d duwdek£doj kaˆ tr i£doj . e„sˆ d kaˆ aƒ tre‹j ™n toÚtJ mesÒthtej, sumplhroàsai t¾ n yu- c»n· ¹ mn ¢r iqmhtik¾ ™n ta‹j pl eura‹j , tr…a tšssara pšnte· ¹ d ¡rmonik¾ ™n ta‹j perˆ t¾n Ñrq¾n kaˆ tù ™m- badù, tr…a tšssara ›x· ¹ d gewmetrik¾ ™n tù ™k pas în

prètJ Ô ntej tù trigènJ (prÕ g¦r toÚtou tr…gwnon Ñrqo-

t în pl eur în dèdeka kaˆ tù ™mbadù tù ž x kaˆ tÍ ™l ac…stV pleur tù tr…a. p© sin ¥ra katakekÒsmhtai to‹j ¡rmoniko‹j lÒgoij kaˆ to‹j tîn triîn mesot»twn· o†tinej ™n toÚtJ

gènion ™k ·htîn ¥llo pleurîn oÙk œ stin) p£ntwj e„sˆ kaˆ 2,43,3 ™n to‹j loipo‹j kat¦ tripl£sion lÒgon hÙxhmšnoij· t¦ g¦r mšrh to‹j aÙtîn pollaplas…oij tÕ n aÙtÕ n lÒgon œ cei. kaˆ Ðr´j Ópwj e„sˆn mn ¡rmonikoˆ l Ògoi kaˆ ™n toÚtJ , kaq£per ™n tù ¹mitrigènJ tù ™n Tima…J. ¢ll' ™ke‹ mn œstin t i

dial£mpousin ™n tùde tù trigè[nJ, Ð dipl£]sioj kaˆ tri-

kaˆ ¥rrhton kat¦ mÁkoj ™n ta‹j pleura‹j, ™peid¾ ..11. spšrma swm£twn, ™ntaàqa [d p£nta t¦ m»]kh ·ht£. kaˆ dÁlon Ó ti kaˆ ..13. [½ ]dh zJogonikÒn ™sti tÕ tr…gwnon k[aˆ genšsei] o„ke‹on, kaˆ Ó ti p£ntej oƒ zwogon[ikoˆ lÒgoi]

pl£sioj oƒ toÝj ˜pt¦ sh[ma…non]tej Ó rouj tÁj yucogon…aj kaˆ ¹miÒlioj k[aˆ ] ™p…tritoj kaˆ Ð ™pÒgdooj, oŒ j t¦ dipl£- sia kaˆ tripl£sia katštemen diast»mata. [kaˆ dÁlon] Ó pwj kaˆ toàto <tÕ > tr…gwnon ¹mitr…gwnÒn ™stin, ¢ll¦ trigènou À p£ntwj „soskeloàj, e‡te ¹ diplas…a tÁj me…zonoj tîn perˆ t¾ n Ñrq¾ n g…noito b£sij ™ke…nou e‡te ¹ diplas…a tÁj ™l£ssonoj, ™kblhqe…shj ˜katšraj kaˆ [™f'] ˜autÁj teqe…shj. Le…petai d¾ oân kaˆ Ó son ™stˆ n ™n aÙtù prÕ j t¦ oÙr£nia fšron „de‹n. oÙkoàn ¹ mn pemp¦j œn te tÍ ¢plane‹ toÝj pšnte kÚklouj diest»sato, tÕ n ¢rktikÕ n kaˆ ¢ntarktikÒn, tÕ n ceimerinÕ n tropikÕ n kaˆ qerinÒn, tÕ n mš- son toÚtwn <tÕ n> „shmerinÒn· kaˆ ™n to‹j planwmšnoij toÝj pšnte die‹len ¢pÕ tîn dÚo fwst»rwn, ™xairštouj œ contaj t¦j prosqafairšseij· kaˆ ™n to‹j schmatismo‹j aÙtîn tÕ ¥riston œ lace tîn schm£twn ¢for…zein tÕ tr…gwnon· tÕn d Ó lon kÒsmon ™n pšnte to‹j stoiceièdesi sc»masi kaˆ pšnte kšntroij sunepl»rwsen. ¹ d tetr¦j scÁma mn tîn kinou- mšnwn ¢perg£zetai tÕ tetr£gwnon· tÕn d zwdiakÕ n kÚklon

218

¢pšfhnen tetramerÁ· t în d planhtîn ˜k£s tJ t¦j kin»- 2,44,4 seij érisen (e„sˆ g¦r tšttarej· À perˆ tÕ o„ke‹on kšntron À kat¦ mÁkoj À kat¦ pl£toj À kat¦ b£qoj)· ..11. ¢l- l»lwn dišsthsen ˜pomšnaj ..9.. periÒdJ· kaˆ t¦j ¢nab£seij tÁj [sel»nhj] kaˆ katab£seij die‹len ¢pÕ tîn [tropi]kîn shme…wn ™pˆ t¦ bÒreia kaˆ nÒtia pš[rata. ¹ d] tri¦j tre‹j mn mÒnouj ¢l l »l ouj [tšmnon]taj kÚklouj prÕ j Ñr- q¦j érisen· t în d schm£twn œl acen tÕ x£gwnon· die‹len d tÕ n zJdiakÕ n tricÍ, to‹j tropiko‹j to‹j disèmoij to‹j stereo‹j· t¦j d qšseij tîn k[ino]umšnwn ¢petšlesen trit- t£j, kšntrwn ™panaforîn ¢poklim£twn· toÝj d tÁj sel»- nhj ¢nabatikoÝj kaˆ katabatikoÝj tÒpouj tre‹j ˜katšrouj ™po…hsen· t¦ d kin»mata tÁj ¢nwmal …aj œsthsen (œ sti g¦r ¢pÒgeia per…geia mšsa, kaˆ p£lin ¢fairšseij sthrigmoˆ prosqšseij)· kaˆ tÁj sel»nhj t¦j f£seij „d…wj t¦j metaxÝ sunÒdwn kaˆ pansel»nwn tre‹j ˜katšraj oÜsaj diest»sato, mhnoeide‹j dicotÒmouj ¢mfikÚrtouj, „d…oij ˜k£sthn sc»masin, ˜xagènJ t¦j mhnoeide‹j, tetragènJ t¦j dicotÒmouj, tri- gènJ t¦j ¢mfikÚrtouj. ¹ d ˜x¦j tÕn mn tîn zJd…wn kÚklon die‹len ¥rsesin kaˆ q»lesin, æj ¨n kaˆ aÙt¾ fÚsin ¢rrenÒqhlun œ cousa· t în d triîn kÚklwn tîn prÕ j Ñrq¦j temnÒntwn ¢ll»louj t¦j koin¦j tom¦j œ phxen ¢eˆ t¦j aÙ- t£j· ™f' aut¾n d genomšnh toÝj dekanoÝj érisen x kaˆ tri£konta toÝj p£ntaj· met¦ d tÁj tetr£doj toÝj æronÒ- mouj, e‡kosi kaˆ tšttaraj Ô ntaj· met¦ d tÁj pemp£doj t¦j mo…raj tîn zJd…wn kaq' ›na kaˆ tÕ n aÙtÕ n ¢riqmÕ n ™te- leèsato· met¦ d tÁj tri£doj Øpezwku‹a g…netai t¾ n kat¦ di£metron k…nhsin tÍ trigwnikÍ pleur tÍ ˜x ..22. oâsa t¾ n di£metron ™x ..... [¹ d duwdek¦j] loip¾ t¾ n 2,45,6 mn toà dwdeka[šdrou per…]metron sumplhro‹ to‹j duÒde[ka pentagènoij] kaˆ schmatografe‹ p£nta tÕ n [oÙranÒn, m© l]lon d diazJgrafe‹, kaq£per fhsˆ n Ð T…maioj [p. 55c]. tÕ n d tîn zJd…wn ¢r iqmÕn œsthsen ™n Ór [oij] tosoÚtoij, Ó sos- per aÙtÁj ™stin Ð ¢riqmÒj· t¾n d ¢pokat£s tas in Ðr…zei toà basilšwj tîn Ðratîn, Î fhsin Pl£twn [rep. VI 509d], kaˆ p£shj kaˆ genšsewj kaˆ trofÁj Ô ntoj a„t…ou kaˆ aÙx»- sewj perˆ [tÕ n] zJofÒron kÚklon· kaˆ di¦ taàta kaˆ ™n to‹j ¢potelšsmasi tîn oÙran…wn meg…sthn kškthtai dÚnamin, mštron oâsa tîn Ó lwn a„t…wn. Aƒ d tre‹j pleuraˆ toà tr igènou t în schm£twn e„sˆn

te ¥lloi sofoˆ kaˆ oƒ t¦ A„gupt…wn ƒ storoàntej, æj p£n-

¢rcaˆ tîn kosmikîn· Î ¹ mn tetr¦j toà tetragènou toà tÕ n kÚbon sunist£ntoj, Ó j ™sti spšrma tÁj gÁj· ¹ d tri¦j toà trigènou toà t¦ tr…a stoice‹a genn»santoj· ¹ d pem- p¦j toà tÕ dwdek£edron sumplhrèsantoj pentagènou, ú tÕ n oÙranÕ n ™mÒrfwsen Ð par¦ tù Tima…J dhmiourgÒj. e„kÒtwj ¥ra kosmikÕ n tr…gwnon e„èqasin toàto kale‹n o†

twn t¦j ¢rc¦j œ con kaˆ perišcon ™n ˜autù. kaˆ g¦r ˜xÁj oƒ ™n aÙtù ¢riqmoˆ tîn prètwn e„sˆ n a„t…wn e„kÒnej·

219

¹ mn tri¦j toà Ôntoj , Ö d¾ prètwj ™stˆ n miktÕ n ™k pš- ratoj kaˆ ¢pe…rou· mon¦j g¦r pšraj, ¢peir…a d ¹ du£j , aŒ j ‡sh mÒnwj ¹ tri¦j ¤te ™x ¢mfo‹n oâsa kaˆ mÒnh toàto

gwnik»· ™n g¦r „sÒthti st£sij, ™n ..17. p© sa k…nhsij,

peponqu‹a, tÕ enai ta‹j ¢rca‹j ‡sh· ¹ d tetr¦j tÁj zwÁj, par' Î kaˆ ¹ k…nhsij æj duadik¾ kaˆ ¹ st£sij æj tetra-

¢pÕ ..15. pemp¦j .... kÚklou ..13.th ¢f' ãutÁj e„j ãut¾ n ..13. pent£kij pšnte, kaˆ toàto [e„j ¥peiron]· p© j 2,46,5 g¦r noàj ¢f' ãutoà prÕ j [ãutÕ n ™]nerge‹. P rÕ d toÚ - twn aƒ ¢rcaˆ [tîn p]£ntwn, mon¦j kaˆ du£j· ¿ mn aÙtÕ tÕ [pšraj, ¿] d aÙtÕ tÕ ¥peiron oâsa. kaˆ prÕ [toÚtwn] tÕ ž n tÕ toà pšratoj a‡t ion kaˆ toà ¢pe…rou. kaˆ g¦r ¹ mon¦j ›n ti kaˆ ¹ du£j, kaˆ [p© j] ¢riqmÕ j eŒ j ›kastoj. noàj d ¹ pemp¦j oâsa met¦ mn t¾n tÁj prwtourgoà tr i£doj Ñkt£sfairon ™po…hsen tÕ n Ó lon oÙranÒn, met¦ d t¾n tÁj

LS. O mn kÚkloj e„kèn ™sti noà· mšnei g¦r kat¦ tÕ

proŽ oàsa , kaˆ ..14. [qew]re‹tai kaˆ kat¦ t¾ n aÙto[kinh- s…an] t¾ n ãutÁj. kaˆ æj mn e„kÒna [toà noà oâsan

tetr£doj ™nne£sfairon tÕ n Ó lon kÒsmon, prosqe‹sa tÕ ØpÕ sel»nhn æj lÁmma toà pantÒj· met¦ d ¢mf o‹n dwdek£s f ai ron. dieloàsa kaˆ tÕ ØpÕ sel»nhn e„j t¦ ™n aÙtù stoice‹a kaˆ ™x£yasa tîn dèdeka p£nta qeîn· oÞj kaˆ Ð ™n Fa…drJ Swkr£thj ¹gemÒnaj ™pšsthse p© si to‹j ™gkosm…oij [p. 246a].

™ntÕ j aÙtoà kaˆ prÒeisin kat¦ t¦j gon…mouj aÙtoà dun£- meij kaˆ ™pistršfei prÕ j ãutÕ n kat¦ t¾ n pantacÒqen aÙ- tÕ n perilamb£nousan Ðmo…wj gnîsin. kaˆ tÕ mn kšntron e„kën toà ™n aÙtù nohtoà kaˆ ¢meroàj kaˆ ™fetoà, aƒ d ™k toà kšntrou grammaˆ ™o…kasin ta‹j ¢pe…roij aÙtoà dun£- mesin, di' ïn par£gei p© n tÕ ™n ãutù plÁqoj tîn noh- tîn· ¹ d perifšreia, di' Âj sunel…ssetai p£lin e„j tÕ kšntron kaˆ periptÚssetai pantacÒqen aÙtÒ, ta‹j no»sesin ta‹j e„j tÕ ž n kaˆ tÕ nohtÕn ™pes trammšnai j · met¦ d noàn, Ö n kaˆ ..33. kine‹sqai lšgetai yuc¾ to..12. ¢pÕ noà

aÙ]t¾ n e„j kÚklon ¢n£gei Pl£twn, m[©l l on d] e„j kÚ - klouj, tÕ duadikÕ n kaˆ ¢mf..9..pon Ðmoà tù noerù sun- q»mati lacoà[san]· æj d yuc¾n aÙtok…nhton oâsan ka[ˆ 2,47,5 aÙto]fuÁ zw¾ n e„j tr…gwnon· aƒ g¦r eÙqe‹ai mimoàntai t¦j zw£j (k…nhsij g¦r zw¾ p© sa), kaqÒson zw¾ k…nhsij oâsa p£ntwj œ xodoj yucÁ[j] kaˆ ·Úsij ¢pÕ toà mšnontoj ™p… ti· kaˆ ¹ aÙtÕ zw¾ p£shj oâsa zwÁj mštron, e„ kaˆ k[…nhs…j] ™stin, ¢ll' ¢paršgklitoj k…nhsij, éste eÙqe‹a. Tripl© j oân œ cousa zw¦j ¹ yuc¾ trisˆ n eÙqe…aij éristai· tripl© j d œcei zw£j , noer¦n dianohtik¾ n doxastik»n· §j oÙc æj gnèseij de»sei skope‹n, ¢ll' æj kin»seij mÒnon zwtik£j. ¹nwmšnwn d ¢l l »l ai j toÚtwn kaˆ pas în sumf uomšnwn tÁj ñèsewj e„kën ¹ gwn…a genomšnh tÕ tr…gwnon ¢petšlesen e„kÒna yucÁj· kaˆ g¦r tù noerù sunÁptai tÕ dianohtikÒn, decÒmenon par' aÙtoà t¾ n k…nhsin· kaˆ par¦ toÚtou tÕ

220

doxastikÕ n decÒmenon æsaÚtwj t¾ n k…nhsin œ cei t¾ n prÕ j aÙtÕ sunaf»n· kaˆ d¾ kaˆ tÕ doxastikÕ n ¢pÕ toà noeroà Ó ron œ con ™pšstraptai prÕ j aÙtÒ, tšloj ¢rcÍ sun£pton. kaˆ oÛtwj t¦ p£nta ¢ll»loij sunhmmšna tr…gwnon ¢potele‹ t¾ n Ó lhn yuc¾ n e„j ãut¾ n sunneÚousan. E„ d boÚlei kaˆ taÚthj tÕ mn × n skope‹n kat¦ tÕ triadikÒn, t¾n d zw¾n kat¦ tÕ tetradikÒn, tÕ n d noàn kat¦ [tÕ pentadikÒn], kaˆ oÛtw t¾ n p© san e„kÒna ..14. d ta‹j proÒdoij tri[gwn…zei ãu]t»n (aƒ g¦r eÙqe‹ai tîn pro[Òdwn e„kÒne]j, kaq' §j tÕ tr…gwnon, ést' enai [tÕ n ¢ri]qmÕ n trigwnikÒn), taÚtV tîn [prÕ aÙtÁj] pleon£sasa. kaˆ di¦ taàta ¥ra kaˆ tÍ zwogÒnJ phgÍ kaˆ p£shj zwÁj a[„t…v tÕ ] tr…gwnÒn ™stin o„ke‹on, æj Ð kÚkloj [tù] prÕ aÙtÁj qeù tù ¢gkulom»tV, fas…n, ¢f' ïn kaˆ t¦ ¢pote- lšsmata prÒeisin. [Triss]în d Ô ntwn tîn trigènwn tÕ mn „sÒpleuron, æj kaˆ Xenokr£thj œ legen, ¢ne‹tai ta‹j 2,48,5 qe…aij p£saij yuca‹j æj tù ñˆ kekrathmšnaij· ¹ g¦r „sÒ- thj ñÒthj ™st…n· diÕ kaˆ qe‹ai kaloàntai· tÕ g¦r ž n qeÒ- thtoj ‡dion. ™peid¾ d oÙk Ãn aÙtÕ n tÕ ™n yuca‹j ›n, ¢ll¦ metecÒmenon ØpÕ toà ™n aÙta‹j pl»qouj, „sÒthj ¹ ñÒthj genomšnh ta‹j pantacÒqen ™kteqewmšnaij yuca‹j kaˆ kat¦ p£saj t¦j zw¦j tÕ pantacÒqen ‡son ¢podšdwken tr…- gwnon· di' ïn kaˆ tÒde tÕ p© n ™kqeoàsin, t¦j mn kin»- seij ta‹j eÙqe…aij, t¦j d sunoc¦j tîn kin»sewn ta‹j gw- n…aij. tÕ d „soskelj ta‹j met¦ t¦j qe…aj yuca‹j daimon…aij oÜsaij, ™n aŒ j mšsaij oÜsaij „sÒthj tš ™stin kaˆ ¢nisÒthj, ›nws…j te kaˆ poikil…a dun£mewn, tîn b£sewn ¢nomo…wn oÙsîn prÕ j t¦j ¥nwqen· diÒti d¾ kaˆ oƒ da…- monej to‹j mn ™sc£toi j aut în ™f £ptontai t în cei rÒnwn, to‹j d Øyhlotšroi j t în kreis sÒnwn, kaˆ ¹ ™paf ¾ to‹j mn ™xomoio‹ di¦ tÁj „sÒthtoj, to‹j d sun£ptei di ¦ tÁj ¢nisÒ- thtoj. tÕ d d¾ tr…ton tÕ skal hnÕn p£ntV ¢nisoÚmenon tîn yucîn ™stin ¢niousîn kaˆ katiousîn e„kèn, [to‹j kre…tto]sin ¢nisoumšnwn kaˆ to‹j c[e…rosin]. kaˆ g¦r ™ke…- nwn pot mn plš[on] ....tai kinoÚmenai, pot d œl asson, [kaˆ ] tîn ceirÒnwn, kaˆ tÕ paradoxÒtaton, Ó ti kaˆ ãutîn. p£ntV oân aÙta‹j ¢nisoumšnaij ¢podšdotai tÕ p£ntV ¥nison. ¢ll' ¡plîj mn yucîn toioÚtwn e„kën tÕ skalhnÒn· t în d e„j gšnesin kaˆ ¢pÕ genšsewj f eromšnwn toàto d¾ tÕ Ñrqogènion, Ö perˆ mn t¾n Ñrq¾n œcei tÕn puqmšna tÕ n ™p…triton, kat¦ d t¾ n Øpote…nousan tÕ n tÁj pemp£doj ¢riqmÒn. œdei mn g¦r m¾ tÕ tucÕn aÙtîn enai tr…gwnon kaˆ taàta p£ntV ¢nisoumšnwn, ¢ll¦ tÕ Ñrqogè- nion· ™peid¾ k¨n ™n ta‹j kin»sesin œ cwsi tÕ ¢nisoàsqai, 2,49,6 t¾ n oÙs…an ¢eˆ t¾ n aÙt¾ n frouroumšnhn e„l»casin, toà m© llon kaˆ Âtton ¥dekton, o†an œ cei kaˆ ¹ Ñrq¾ fÚsin· diÕ tÁj oÙsièdouj ™stˆ n e„kën pantacoà sunocÁj. toàto d aâ œdei t¦j perˆ t¾n Ñrq¾n œcein ™n l ÒgJ tù ™pitr…tJ , diÒti tÕ ™p…triton mšson ™stˆ n sumfènwn kaˆ ¢sumfènwn diasthm£twn. e„ d m¾ proãpÁrcen ™n tÍ oÙs…v tÁj y ucÁj

221

kaˆ tÁj ¢sumfwn…aj ·…za, tÁj sumfwn…aj ¢kr£tou kaˆ mÒnhj oÜshj, oÙd' ¨n ™n ta‹j zwa‹j aÙtÁj êfqh kaˆ ta‹j dun£mesin di£stasij kaˆ ¢narmost…a· dhl o‹ d kaˆ aÙtÕj

fwnon ™neikon…sato sÚstasin. ¢k»raton g¦r <tÕ > di¦ t¾ n

t¾ n oÙs…an aÙtÁj oÙk ™x ¢khr£twn pantelîj lšgwn ØpostÁ- sai tÕ n dhmiourgÒn, ésper t¾ n qe…an [Tim. 41d]. e„ d toàto, daimon…wj Ð ™p…tritoj t¾ n ¢sÚmfwnon ¤ma kaˆ sÚm-

kall…sthn prÕ j aØtÕ sumfwn…an mšnon ™pˆ tÁj o„ke…aj ¢di£fqo[ron oÙs…]aj· éste tÕ ™nant…on tÕ di' Ûfesin [tÁj] ™narmon…ou sust£sewj kinduneàon ¢[na]plhsqÁnai tîn dialutikîn khrîn, Ö kaˆ aÙtÕ p£lin Ð T…maioj dhlîn t¦j ™n ¹m‹n panto…aj tîn kÚklwn for£j fhsin m¾ pantel îj enai lut£j [p. 43d]. kaˆ m»pote kaˆ tîn sumfwniîn ¹ mn di¦ pasîn, e„ kaˆ p© sai ™n p£saij, ¢ne‹tai ta‹j qe…aij yuca‹j diaferÒntwj, Ô ntwj t¾ n katakorest£thn tîn sumfwniîn ™xa…reton ™coÚsaij, †na di¦ pasîn ™nergoàsai p£nta ·ht¦ kaˆ sÚmfwna t¦ ™n tù kÒsmJ diaful£ttwsin· ¹ d di¦ pšnte da…mosin, telewtšra mn oâsa tÁj di¦ tett£- rwn kaˆ perišcousa aÙt»n, Øfeimšnh d tÁj di¦ pasîn kaˆ periecomšnh Øp' aÙtÁj· ¹ d di¦ tess£rwn l oip¾ ta‹j me- rika‹j yuca‹j di¦ t¦j e„rhmšnaj a„t…aj, Øp' ¢mf otšrwn mn periecomšnh, met' ™ke…nwn d sumplhroàsa t¾n Ól hn ¡rmo- 2,50,4 n…an toà pantÒj· ésper kaˆ tîn yucîn aƒ zwaˆ kaˆ taàta polÝ dokoàsai tÕ ¢n£rmoston œ cein Ó mwj sunteloàsin e„j t¾ n di¦ p£ntwn ™n tù kÒsmJ sÚmfwnon t£xin. ¹ mn oân di¦ tess£rwn toiaÚthn œ cei suggšneian prÕ j t¾ n oÙs…an tÁj merikÁj yucÁj· ¹ d Øpote…nousa t¾ n Ñrq¾ n e„kèn ™stin tÁj noer© j ™n aÙtÍ zwÁj Ó lhj· kaˆ g¦r ¹ pemp¦j prîtoj kuklikÒj ™stin ¢riqmÕ j kaˆ nù sÚzugoj, di' ¿n noàj ™stin dun£mei kaˆ ™pistršfein dÚnatai prÕ j ãut»n. œ cei oân t¾ n mn Ñrq¾n tÁj oÙs…aj e„kÒna· mi©j d oÜshj kaˆ duoeidoàj ™n aÙtÍ tÁj oÙs…aj kaˆ m…a ¹ Ñrq¾ kaq' aØt¾ n kaˆ ™n dusˆ n ¹ m…a, tÒ te ¡ploàn deiknàsa kaˆ tÕ oÙc ¡ploàn tÁj oÙs…aj, tÒ te mÒnimon [kaˆ tÕ ] ..kla... [di]¦ t¾ n ¥nison tîn tÁj ÑrqÁj [kaqš]twn dianom»n, tÒ te tÁj taÙtoà fÚsewj oÙsiîdej kaˆ tÕ tÁj qatšrou, tÍ mn toà ñÕ j pršpontoj, tÍ d toà nÕj ¤ma kaˆ oÙc nÒj (kaˆ g¦r Ð qatšrou kÚkloj ™k tîn aÙtîn, ¢ll¦ met¦ diairšsewj). t¦j d perˆ t¾n Ñrq¾n gramm¦j t în dun£mewn t în zwti - kîn, sumfènwn kaˆ ¢sumfènwn, perˆ t¾ n m…an oÙs…an aÙtÁj diŽ s tamšnwn· t¾ n d Øpote…nousan tÕ n ™n tÍ zwÍ noàn kukl…zein aÙt¾ n ™qšlonta kaˆ aÙt¾ n e„j ãut¾ n kine‹n kaˆ perˆ ãut»n, æj ‡son dÚnasqai tÍ diplÍ zwÍ tÕ n zw- tikÕ n aÙtÁj toàton kÚklon. p© n g¦r aÙtok…nhton diplÁn œ cei zw¾ n kaˆ m…an, kaˆ t¾ n m…an ‡shn tÍ ™x ¢mfo‹n· oÜshj d kaˆ tÁj oÙs…aj mi© j <kaˆ > diplÁj kaˆ ‡shj tÍ diplÍ tÁj mi© j kaˆ tÁj zwÁj Ðmo…wj, dÁlon Ó pwj kaˆ kinoàn ™sti kaˆ kinoÚmenon kaˆ tÕ ™x ¢mfo‹n, kaˆ oÙsioàn kaˆ oÙsioÚmenon kaˆ tÕ ™x ¢mfo‹n· kaˆ Ó pwj sumba…nei taàta ¢ll»loij, ™nei-

222

konizomšnwn tÁj mn tÍ diplÍ zwÍ parisoumšnhj Øpotei- 2,51,5 noÚshj t¾ n ñ…zousan tÕ diploàn kat¦ t¾ n oÙs…an· t în d dittîn zwîn, ˜x ïn ¹ m…a, t¦j ™k due‹n oÙsiîn e„j m…an sumptussomšnaj. 'Ek mn oân toÚtwn ¹ y uc¾ f a…netai m…a duoeid¾j kat£ te tÕ enai kaˆ tÕ zÁn· ™k d tîn ¢r iqmîn t în ™k toÚtwn ¢nafanšntwn ¢riqmÕ j duadikÕ j ¢me…nouj kaˆ ce…rouj œ cwn dun£meij, t¦j mn dunamšnaj t¦j d dunasteuomšnaj, ¡ploustšraj kaˆ sunqetwtšraj (dÚnantai mn g¦r oƒ pl euriko…, dunas teÚontai d oƒ ™k toÚtwn), kaˆ t¦j mn ÐmoioÚ - saj t¦j d ¢nomoioÚsaj , t¦j mn ™pistreptik¦j aÙ[tÁj] e„j tÕ taÙtÕn kaˆ tÕ ž n t¦j d e„j ˜terÒthta kaˆ tÕ m¾ ž n ¢goÚsaj, kaˆ t¦j mn aÙxoÚsaj t¦j d fqeiroÚsaj tÕ ptš- rwma aÙtÁj· tù mn g¦r ¢gaqù kaˆ tù kal ù kaˆ tù sof ù toàto aÜxetai, to‹j d ™nant…oij fq…nei kaˆ diÒllutai. kaˆ m¾ n kaˆ tÕ cwre‹n e„j tre‹j t¾ n aÜxhsin toà ¢riqmoà toàde t¾ n ¢pÕ tîn nohtîn kaˆ ¢merîn ¥cri tîn sterewt£- twn aÙtÁj œ xodon perišcei· ¥nw mn g¦r oâsa kaˆ prÕj

mšnh œ ti sèzousa, dÒxan d met¦ diano…aj summ…xasa kine‹- tai k…nhs in ™p…pedon mn æj ™k due‹n genomšnhn dun£mewn

kaˆ fantas…an gennîsa (kaˆ g¦r ¹ fantas…a noàj t…j ™stin

kaˆ ¢swm£tou, kaˆ autÁj enai m¾ dunamšnhn. mignu-

noàn tetamšnh met¦ t¾ n ¢mšreian t¾ n noer¦n tÕ prîtÒn ™sti di£s thma kaˆ œstin eÙqe‹a mn di¦ t¾n prÒodon, kÚkloj d kaˆ oátoj æj gramm¾ kuklizomšnh di ¦ t¾n ™pis trof »n· e„s ioàsa d e„j ãut¾n ™pipedoàtai , kaˆ mšcr i mn diano…aj ƒ stamšnh tetragwn…zei ãut»n, tÕ taÙtÕ n kaˆ Ó moion ™n tÍ dianohtikÍ kin»sei tù di£noia enai prÕ j di£noian kinou-

¢ll»laij summignumšnwn, ¢n…swn d oÙsîn ™ke…nwn promhk…zei aÙt¾ n ¢f' ãutÁj· e„j d t¦ met' aÙt¾ n ·špousa baqÚnei t¦ ™p…peda, t¾n mn tetragwnik¾n zw¾n kub…zousa 2,52,5

paqhtikÕj œndon mn ™nerge‹n ™qšlwn, ¢sqenîn d di¦ t¾n e„j tÕ stereÕ n ptîsin), t¾n d prom»kh kat¦ t¾n ¢n£- logon prÒodon e„j toÝj ¢nomo…ouj Øfiz£nousa stereoÝj kaˆ t¾ n a‡sqhsin gennîsa, gnîsin oâsan ™x ¢nomo…wn, sèmatoj

mšnwn d tîn e„dîn tÁj zwÁj toÚtwn ™n tÍ genšsei kaˆ [sum]plekomšnwn ceirÒnwn kaˆ ¢meinÒnwn ¢poteloàntai ¡r- mon…ai duoeide‹j, ¿ mn ¢pokatas tat ik¾ kaˆ tù taÙtoà kÚklJ f…lh, ¿ d tù qatšrou suggen¾j kaˆ genšsei f …l h· ¹ mšn ge ˜katont¦j kaˆ ¹ muri¦j ¥mfw tetragwnika…, prÕ j tÁj tautÒthtoj oâsai kaˆ e„j tÕ Ó moion ¢n£gousai kaˆ tÕ qe‹on (dhl o‹ d kaˆ aÙtÕj ™n F a…drJ [p. 248e] di¦ mu- r…wn ™tîn ¢pokaqist¦j t¾ n yuc¾ n ¢pÕ genšsewj e„j tÕ nohtÒn)· ¹ d pemp¦j met¦ toà bdom»konta kaˆ oƒ toÚ- toij ¢n£logon ™n ˜katont£sin kaˆ cili£sin Ð pentakÒsia kaˆ ˜ptakisc…lia, ™k pleurîn genÒmenoi diaferousîn kaˆ ¢nomo…wn, tetragwnikîn kaˆ prom»kwn, t¾ n ˜tšran per…odon kaˆ ™nant…an ™neikon…zontai t¾ n genesiourgÒn. œ sti g¦r kaˆ ¢pÕ toà nohtoà prÕ j tÕ nohtÕ n ÐdÕ j kaˆ ¢pÕ genšsewj ™pˆ gšnesin ta‹j yuca‹j, ¿ mn to‹j ¢nagwgo‹j qeo‹j ¢nei -

223

mšnh, ¿ d to‹j genesiourgo‹j, kaˆ ¢ggšloij ¿ mn to‹j lÚ - ousin t¾ n Ûlhn, ¿ d to‹j tîn kaqÒdwn ™fÒroij· kaˆ oƒ dhlwtikoˆ toÚtwn ¢riqmoˆ ta‹j t£xesin ¢ne‹ntai taÚtaij, ésper kaˆ t în ™n ta‹j y uca‹j kÚkl wn ¿ mn tù taÙtoà prosÁken, ¿ d tù qatšrou. De‹ dš, ésper ˜katšraj e„sˆ n ¹ge- mÒnej, oÛtw kaˆ tÕ n ›na prost£thn tÁj sunamfotšraj noe‹n ¢nÒdou te kaˆ kaqÒdou kaˆ tÁj diplÁj ™n tÍ genšsei zwÁj 2,53,4 eÙgon…aj te kaˆ dusgon…aj· Ó n, e„ de‹ tÍ ™mÍ mante…v prosšcein, oÙk ¥llon À tÕ n Promhqša de‹ nom…zein, Ö n kaˆ Pl£twn ™n PrwtagÒrv tÁj ¢nqrwp…nhj zwÁj œ foron, és- per t[Õ n] 'Epimhqša tÁj ¢lÒgou fhs…n [p. 320d], kaˆ 'OrfeÝj kaˆ `Hs…odoj di¦ tÁj klopÁj toà purÕ j kaˆ tÁj e„j ¢nqrèpouj dÒsewj ™nde…knuntai t¾ n yuc¾ n ¢pÕ toà nohtoà kat£gein e„j t¾ n gšnesin, æj tÁj ¢nqrwp…nhj peri- Òdou kÚrion kaˆ tîn ¢meinÒnwn kaˆ ceirÒnwn genšsewn. dittÁj oân oÜshj, †na p£lin safÁ poi»swmen tÕ n Ó lon noàn, tÁj periÒdou tîn merikîn yucîn, tÁj mn ¢pÕ toà nohtoà prÕ j tÕ nohtÒn, tÁj d ¢pÕ genšsewj ™pˆ gšnes in, ˜katšran toÚtwn ¡rmon…an ™k£lesen, diÒti kat' ¥mfw t¾ n o„ke…an oÙk ¢pÒllusin oÙs…an, ™narmÒnioj genomšnh kaˆ prÕ j ¢nÒdouj kaˆ prÕ j kaqÒdouj kaˆ toiaÚthn lacoàsa sÚstasin. ¢l l ¦ t¾n mn tetragwnik¾n epen t¾n ¢pÕ toà nohtoà per…odon e„j tÕ nohtÒn (toiaÚth g¦r ¹ muri£j), t¾n d prom»kh t¾n ¢pÕ genšsewj ™pˆ gšnesin, kaq' ¿n ¹ mn ˜katont¦j p£l in mšnei , ¢ll' oÙk e„j ãut¾ n e„sioàsa ™po…ei t¾ n ¢me…nw kaˆ ¢pokatastatik¾ n ™ke…nhn per…odon, ¢ll¦ suntattomšnh prÕ j ¥llon ¢riqmÕ n ¥llo prote…nonta zwÁj edoj, le‹pon tù ¢pÕ tÁj pemp£doj tetragènJ– toioàton d tÕ ¥l ogon, oÙ mÒnon Ó ti tÁj kuklikÁj ™pistro- fÁj e„j ãutÕ parÇrhtai (oŒ oj Ð ¢pÕ tÁj pemp£doj kukli- kÕ j ín ¢riqmÕ j ¢f' ãutÁj te ¢rcomšnhj kaˆ e„j ãut¾ n lhgoÚshj), ¢ll¦ kaˆ Ó ti dikaiosÚnhj ƒ er¦ ¹ pemp¦j æj ™panisoàsa mÒnh toÝj ¢pÕ mon£doj ¥crij ™nne£doj, Âj tÕ ¥logon aÙtÕ kaq' aØtÕ ¥moiron–¹ d' oân ˜katont¦j tù ™lle…ponti ¢riqmù prÕ j aÙt¾ n kat¦ tÕ n ¢pÕ tÁj pem- 2,54,3 p£doj ¢riqmÕ n suzuge‹sa poie‹ t[¾ n] ¢pÕ genšsewj ™pˆ gš- nesin per…odon. prosl»yei g¦r ce…ronoj zwÁj ¹ per…odoj aÛth g…netai· prÒsesti d kaˆ aÙtù tù ¢r iqmù tù tÁj toiaÚthj zwÁj tÁj tÍ genšsei sumfÚlou kaˆ tÕ ™k due‹n enai, toà mn kubikoà, toà d ™x ¢nomo…wn pl eur în· diÒti d¾ kaˆ tÕ ¥logon œ cei kat' oÙs…an tÕ mn ¥meinon kaˆ tautÒthti suggenšj, tÕ d ce‹ron kaˆ terÒtht i f …l on. ka…- toi kaˆ ™pˆ tÁj katont£doj Ãn tÕ mn edoj kubikÒn, tÕ d ™x ¢nomo…wn· ¢ll¦ kaˆ tÕ ™x ¢nomo…wn ¥llwj Ãn tetra- gwnikÕ n ¢pÕ tÁj prwt…sthj tÕ tšleion deix£shj, kaˆ ™x ¢mfo‹n ™po…ei tÕ n Ó lon tetragwnikÒn· diÒti kaˆ tÕ ›teron ™pˆ toà logikoà prÕ j taÙtÕ sumfuÒmenon e„j m…an ÐmoiÒ- thta prÕ j ãut¾ n ™pistršfousan kat»nta, m¾ ™kba…nousan t¾ n to‹j ¢swm£toij o„ke…an fÚsin· tÕ d ™n tù ¢l ÒgJ ›teron kaˆ tÕ taÙtÕ n tÕ ™n aÙtù peri»gagen e„j t¾ n toà Ó lou

224

prÕ j ˜autÕ ¢nomoiÒthta, pršpousan ta‹j genesiourgo‹j dun£- mesin. o„ke…a g¦r to‹j mn kaqarîj ¢swm£toi j ¹ ÐmoiÒthj, to‹j d swm£twn ¢cwr…stoi j ¹ ¢nomoiÒthj . kaˆ g¦r Ó pou mn Ð kÚboj Øperb£l l ei tÕn m¾ kÚbon, æj tÕ taÙtÕ n ™n to‹j ¢swm£toij, Ópou d Ð m¾ kÚboj tÕn kÚbon, æj tÕ ›teron ™n to‹j swmatiko‹j. kaˆ sun® dei p£nta ¢ll»loij. 2,54,24

4.17 Τα σχόλια του Πρόκλου στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων

του Ευκλείδη, για τον ορισµό της ορθής γωνίας και για

το τέταρτο αίτηµα.

Σχόλια του Πρόκλου εις Ευκλείδην για την ορθή γωνία 131,3-135,23

Def. X.–XII. “Otan d eÙqe‹a ™p' eÙqe‹an 131,3 staqe‹sa t¦j ™fexÁj gwn…aj ‡saj ¢ll»laij poiÍ, Ñrq¾ ˜katšra tîn ‡swn gwniîn ™sti, kaˆ ¹ ™festhku‹a gramm¾ k£qetoj kale‹tai, ™f' ¿n ™fšsthken· ¢mble‹a gwn…a ™stˆ n ¹ me…zwn ÑrqÁj, Ñxe‹a d ¹ ™l £sswn ÑrqÁj . Taàt£ ™sti t¦ tripl© tîn gwniîn e‡dh, perˆ ïn kaˆ Ð ™n tÍ polite…v Swkr£thj fhs…n, ™x Øpoqšsewj par¦ to‹j gewmštraij lambanomšnwn tÁj eÙqugr£m- mou kat¦ t¾ n e„j t¦ e‡dh dia…resin taÚtaj Øfist£shj t¦j gwn…aj, t¾ n Ñrq»n, t¾ n ¢mble‹an, t¾ n Ñxe‹an, tÁj mn kat¦ tÕ ‡son kaˆ tÕ taÙtÕ n kaˆ Ó moion ¢fwrismš- nhj, t în d kat¦ tÕ me‹zon kaˆ œl asson kaˆ Ól wj tÕ ¥nison kaˆ t¾ n ˜terÒthta kaˆ tÕ m© llon kaˆ Âtton ¢or…stwj Øfistamšnwn. oƒ mn oân polloˆ gewmštrai tÁj diairšsewj taÚthj oÙk œ cousin ¢podidÒnai lÒgon, ¢ll' Øpoqšsei crîntai kaˆ taÚtV, tre‹j enai gwn…aj. ™peid¦n d t¾n a„t…an aÙtoÝj ¢nerwt»swmen, oÙ fasˆ crÁnai taàta par' aÙtîn ¢paite‹n. oƒ d Puqa- gorikoˆ tÁj triplÁj dianomÁj ™pˆ t¦j ¢rc¦j ¢nafš- rontej t¾ n lÚsin oÙk ¢poroàsin a„t…aj ¢podidÒnai kaˆ taÚthj tÁj diafor© j tîn eÙqugr£mmwn gwniîn. ™peid¾ g¦r t în ¢rcîn ¹ mn kat¦ tÕ pšraj Øfšs thken ka… ™stin Ó rou kaˆ tautÒthtoj a„t…a to‹j ¢potelšsmasi kaˆ „sÒthtoj kaˆ p£shj tÁj ¢me…nonoj sustoice…aj, ¹ d ¥peirÒn ™sti kaˆ d…dws i t¾n ™p' ¥peiron prÒ- odon kaˆ aÜxhsin kaˆ me…wsin kaˆ ¢nisÒthta kaˆ pan- to…an ˜terÒthta to‹j gennwmšnoij ¢f' ˜autÁj, kaˆ Ó lwj ™xhge‹tai tÁj katadeestšraj seir© j· e„kÒtwj d¾ di¦ taàta kaˆ tîn eÙqugr£mmwn gwniîn kat' ™ke…naj Øfistamšnwn Ð mn ¢pÕ toà pšratoj ¼kwn l Ògoj t¾n Ñrq¾ n ¢petšlesen gwn…an m…an „sÒthti kratoumšnhn kaˆ ÐmoiÒthti prÕ j p© san Ñrq¾ n kaˆ ærismšnhn ¢eˆ

225

kaˆ t¾ n aÙt¾ n ˜stîsan kaˆ m»te aÜxhsin m»te me…wsin 132,11 ™pidecomšnhn, Ð d ¢pÕ tÁj ¢pei r…aj deÚteroj ín kaˆ duadikÕ j kaˆ gwn…aj ¢nšfhne dipl© j perˆ t¾ n Ñrq¾ n ¢nisÒthti diVrhmšnaj kat¦ tÕ me‹zon kaˆ œ lasson kaˆ kat¦ tÕ m© llon kaˆ Âsson ¢pšranton ™coÚsaj k…nhs in tÁj mn ¢mbl unomšnhj m©l l on kaˆ Âtton, tÁj d Ñxunomšnhj. di¦ d¾ taàta kaˆ tîn qe…wn dia- kÒsmwn kaˆ t în mer ikwtšrwn dun£mewn t¦j mn Ñr- q¦j gwn…aj e„j toÝj ¢cr£ntouj ¢napšmpousin æj tÁj ¢kl…tou prono…aj tîn deutšrwn a„t…ouj–tÕ g¦r ÑrqÕn kaˆ tÕ ¢kl inj prÕ j t¦ ce…rona kaˆ ¥trepton ™ke…noij pros»kei to‹j qe…oij–t¦j d ¢mbl e…aj kaˆ Ñxe…aj to‹j tÁj proÒdou kaˆ to‹j tÁj kin»sewj kaˆ tÁj poikil…aj tîn dun£mewn corhgo‹j ¢ne‹sqai lš- gousi· tÒ te g¦r ¢mblÝ tÁj ™pˆ p© n ¡ploumšnhj tîn e„dîn ™kt£seèj ™stin e„kèn, kaˆ tÕ ÑxÝ tÁj diairetikÁj kaˆ kinhtikÁj tîn Ó lwn a„t…aj ¢fomo…wsin œ lacen. kaˆ m¾n kaˆ ™n aÙto‹j to‹j oâs in tÍ mn oÙs…v ¹ ÑrqÒthj tÕn aÙtÕn Óron toà enai ful£ttousa pros - šoike, to‹j d sumbebhkÒsin ¼ te ¢mbl e‹a kaˆ ¹ Ñxe‹a. taàta g¦r dšcetai tÕ m© llon kaˆ Âtton kaˆ ¢or…stwj metab£llonta oÙdšpote paÚetai. Ñrqîj ¥ra kaˆ tÍ yucÍ parakeleÚontai t¾ n k£qodon t¾ n e„j gšnesin poie‹sqai kat¦ tÕ ¢kl inj toàto tÁj ÑrqÁj gwn…aj edoj m¾ ·epoÚsV prÕ j t£de m© llon À t£de, mhd prospascoÚsV m© llon ¥lloij kaˆ Âtton. Ð g¦r tÁj sumpaqe…aj merismÕ j e„j t¾ n œ nulon aÙt¾ n kat£gei plhmmšleian kaˆ t¾ n ¢orist…an. sÚmbolon oân kaˆ ¹ k£qetÒj ™stin ¢rrey…aj, kaqarÒthtoj, ¢cr£ntou du- n£mewj, ¢klinoàj, p£ntwn tîn toioÚtwn. ™stˆ d kaˆ mštrou qe…ou kaˆ noeroà sÚmbolon. di¦ g¦r kaqštwn kaˆ t¦ Ûyh tîn schm£twn ¢nametroàmen kaˆ tÍ prÕ j t¾ n Ñrq¾ n ¢nafor t¦j ¥llaj eÙqugr£mmouj gwn…aj Ðr…zomen aÙt¦j ¢f' ˜autîn ¢or…stouj oÜsaj. ™n ØperbolÍ g¦r kaˆ ™lle…yei qewroàntai. toÚtwn d ˜katšra kaq' aØt¾ n ¢pšrantÒj ™sti. diÕ kaˆ t¾ n ¢re- t¾ n kat¦ t¾ n ÑrqÒtht£ fasin ˜st£nai, t¾n d kak…an kat¦ t¾ n ¢orist…an tÁj ¢mble…aj kaˆ Ñxe…aj Øf…stasqai kaˆ mer…zesqai t¦j ™nde…aj kaˆ Øperbol¦j kaˆ tù m© llon kaˆ Âtton deiknÚnai t¾ n ˜autÁj ¢metr…an. teleiÒthtoj ¥ra kaˆ ¢klinoàj ™nerge…aj kaˆ Ó rou noeroà kaˆ pšratoj kaˆ tîn toÚtoij Ðmo…wn e„kÒna qhsÒmeqa t¾ n ÑrqÒthta tîn eÙqugr£mmwn gwniîn, t¾n d ¢mbl e‹an kaˆ Ñxe‹an ¢or…stou kin»sewj kaˆ ¢scštou proÒdou kaˆ diairšsewj kaˆ merismoà kaˆ Ó lwj ¢peir…aj. 134,7 Tosaàta perˆ toÚtwn. de‹ d to‹j Ðrismo‹j tÁj te ¢mble…aj kaˆ Ñxe…aj prostiqšnai tÕ gšnoj. ™stˆ g¦r ˜katšra eÙqÚgrammoj, ¹ mn me…zwn ÑrqÁj, ¹ d ™l£sswn. ¢ll' oÙc ¡plîj ¹ ™l£sswn ÑrqÁj Ñxe‹£ ™sti.

226

kaˆ g¦r ¹ keratoeid¾ j p£shj ™stˆ n ÑrqÁj ™l£sswn, Ó pou ge kaˆ Ñxe…aj, ¢ll' oÙk Ñxe‹a, kaˆ ¹ toà ¹mi- kukl…ou p£shj ÑrqÁj æsaÚtwj ™l£sswn, ¢ll' oÙk œ stin Ñxe‹a. tÕ d a‡tion, Ó ti kaˆ mikta… e„si kaˆ oÙk eÙqÚgrammoi. kaˆ mn d¾ kaˆ t în per i f erogr£m- mwn pollaˆ me…zouj ¨n fane‹en Ñrqîn, ¢ll' oÙk e„sˆ n ¢mble‹ai di¦ toàto. de‹ g¦r eÙqÚgrammon enai t¾n ¢mble‹an. toàtÒ te oân ™pishma…nomai kaˆ Ó ti t¾ n Ñrq¾ n ¢for…sasqai proqšmenoj œ laben eÙqe‹an ™p… tinoj eÙqe…aj ˜stîsan kaˆ poioàsan ‡saj ¢ll»laij t¦j ™fexÁj, t¾n d ¢mbl e‹an kaˆ t¾n Ñxe‹an oÙkšt i labën eÙqe‹an ™pˆ q£tera keklimšnhn ¢pod…dwsin, ¢ll' ™k tÁj prÕ j t¾ n Ñrq¾ n ¢nafor© j. mštron g¦r aÛth kaˆ tîn m¾ Ñrqîn, ésper ¹ „sÒthj kaˆ tîn 134,25 ¢n…swn. aƒ d ™pˆ q£tera ™gkekl imšnai ¥pei roi Ãsan

tisin œ doxen, ¢ll' ™nde…knusqai tÕ n lÒgon tÁj ÑrqÒ-

met¦ tÁj „sÒthtoj a„t…a tÁj tîn gwniîn ÑrqÒthtoj.

kaˆ oÙ m…a mÒnon, ésper ¹ k£qetoj. ™pˆ d toÚtoij tÕ gwn…aj e„pe‹n ¢ll»laij ‡saj” tÁj gewmetrikÁj ¢kr ibe…aj enai t…qemai. dunatÕ n g¦r ¨n Ãn kaˆ ‡saj enai gwn…aij ¥l l ai j kaˆ m¾ Ñrq¦j ¢ll»laij. diÕ ‡saj oÜsaj ¢nagka‹on enai Ñrq£j . kaˆ tÕ ™fexÁj” pros- teqn oÙ fa…neta… moi paršlkein, éj ge [?] oÙ kalîj

thtoj. di¦ toàto g¦r Ñrq¾ ˜katšra tîn gwniîn, Ó ti ™fexÁj oâsai ‡sai e„s…, tÁj ™festèshj eÙqe…aj di¦ t¾ n ¢rrey…an ™pˆ q£tera tÁj „sÒthtoj ¢mfotšraij kaˆ tÁj ÑrqÒthtoj ˜katšrv genomšnhj a„t…aj. oÙc ¡plîj oân ¹ prÕ j ¢ll»laj „sÒthj ¢ll' ¹ ™fexÁj qšsij

'Epˆ p© si d¾ oân ¢xiî memnÁsqai tÁj toà stoi- 135,13 ceiwtoà k¢ntaàqa proqšsewj, Ó ti perˆ tîn ™n ˜nˆ ™pipšdJ sunistamšnwn poie‹tai tÕ n lÒgon, és te oÙd kaqštou p£shj oátoj Ð Ó roj ™st…n, ¢ll¦ tÁj ™n tù aÙtù ™pipšdJ. t¾n d stere¦n legomšnhn oÙk Ãn kairÕ j ¢for…zesqai nàn. ésper oân t¾ n ™p…pedon ær…sato gwn…an, oÛtw kaˆ k£qeton t¾ n toiaÚthn, ™peˆ ¼ ge stere¦ k£qetoj oÙ prÕ j m…an mÒnon eÙqe‹an Ñfe…lei poie‹n Ñrq¦j gwn…aj, ¢ll¦ prÕ j p£saj t¦j ¡ptomšnaj aÙtÁj kaˆ oÜsaj ™n tù ØpokeimšnJ ™pi- pšdJ. toàto g¦r ‡dion ™ke…nhj. 135,23

Σχόλια του Πρόκλου εις Ευκλείδην για το 4ο αίτηµα 188,1-191,15

Pet. IIII. Kaˆ p£saj t¦j Ñrq¦j gwn…aj ‡saj ¢l l »l ai j enai. Toàto e„ mn æj ™nargj kaˆ m¾ deÒmenon ¢pode…xewj sugcwroàmen, a‡thma mn oÙk œstin kat¦ tÕ n

227

Gem‹non, ¢x…wma dš. sumbebhkÕ j g£r ti kaq' aØtÕ lšgei ta‹j Ñrqa‹j, ¢ll' oÙ por…sasqa… [ti] di' ¡plÁj ™pino…aj ¢xio‹. ¢ll' oÙd kat¦ t¾n 'Ar is totšl ouj dia…resin a‡thm£ ™sti. tÕ g¦r a‡thma kat' ™ke‹non de‹tai ¢pode…xewj tinÒj. e„ d ¢podeiktÕn aÙtÕ fa‹men enai kaˆ zhto‹men aÙtoà t¾n ¢pÒdeixin, oÙd' æj kat¦ tÕ n Gem‹non ™n to‹j a„t»masi tacq»setai. profa…- netai mn oân kaˆ kat¦ t¦j koin¦j ¹mîn ™pino…aj ¹ tîn Ñrqîn „sÒthj, mon£doj d œcousa l Ògon À Óron

qšsqai grammik»n, œ stw-

abg kaˆ ØpÕ dez. lšgw

prÕ j t¾ n ™p' ¥peiron aÜxhsin kaˆ ™l£ttwsin tîn ™f' ˜k£tera gwniîn ‡sh ™stˆ prÕ j p© san Ñrq»n. kaˆ g¦r t¾ n prèthn oÛtwj Øpest»samen t¾ n Ñrq»n, ‡saj t¦j ™f' ˜k£tera gwn…aj poi»santej tÁj ™festè- shj eÙqe…aj, prÕ j ¿n ™f- šsthken. e„ d de‹ kaˆ ¢pÒdeixin aÙtoà para-

san dÚo Ñrqaˆ aƒ ØpÕ

d¾ Ó ti ‡sai e„s…n. e„ g¦r m», ¹ ˜tšra me…zwn. œ stw ¹ 188,25 prÕ j tÕ b. ™farmozomšnhj ¥ra tÁj de ™pˆ t¾ n ab ¹ ez ™ntÕ j pese‹tai, pisteÚw æj ¹ bh, kaˆ ™kbebl»sqw ¹ bg ™pˆ tÕ q. ™peˆ oân Ñrq¾ ¹ ØpÕ abg, Ñrq¾ kaˆ ¹ ØpÕ abq kaˆ ‡sai ¢ll»laij–œ comen g¦r ™n to‹j Ó roij Ó ti ¹ Ñrq¾ gwn…a ‡sh tÍ ™fexÁj–¹ ¥ra ØpÕ abq me…zwn tÁj ØpÕ abg. p£lin ™kbebl»sqw ¹ bh ™pˆ tÕ k. ™peˆ oân Ñrq¾ ¹ ØpÕ abh, kaˆ ¹ ™fexÁj Ñrq¾ di¦ taàta kaˆ ‡sh tÍ ØpÕ abh. ¹ ¥ra ØpÕ abk ‡sh tÍ ØpÕ abh, éste ¹ ØpÕ abq ™l£sswn tÁj ØpÕ abh, ¢ll¦ me…zwn, Ó per ¢dÚnaton. oÙk ¥ra ™stˆ n Ñrq¾ me…zwn ÑrqÁj. Toàto mn oân kaˆ ¥l l oi j dšdeiktai t în ™xhgh- tîn kaˆ oÙ pollÁj ™de‹to pragmate…aj, Ð d P£ppoj ™pšsthsen ¹m© j Ñrqîj, Ó ti tÕ ¢nt…strofon oÙkšti ¢lhqšj, tÕ t¾n ‡shn tÍ ÑrqÍ gwn…an ™k pantÕj enai Ñrq»n, ¢ll' e„ mn eÙqÚgrammoj e‡h, p£ntwj Ñrq¾ n enai, dÚnasqai d kaˆ per i f erÒgrammon gwn…an

™lamb£nomen Øfist£ntej aÙt¾ n ØpÕ eÙqe…aj ™festè-

‡shn ÑrqÍ deicqÁnai, kaˆ dÁlon, æj oÙkšti t¾ n toi- aÚthn Ñrq¾ n (enai dÚnasqai?) prosagoreÚsomen. kat¦ 189,18 g¦r t¾ n tîn eÙqugr£mmwn gwniîn tom¾ n t¾ n Ñrq¾ n

shj ¢klinîj prÕ j t¾ n Øpokeimšnhn, éste ¹ ‡sh tÍ ÑrqÍ oÙ p£ntwj Ñrq» ™stin, e‡per mhd eÙqÚgrammoj. neno»sqwsan oân eÙqe‹ai dÚo ‡sai aƒ ab bg poioàsai t¾ n prÕ j tÕ b Ñrq»n, kaˆ œ stwsan ‡sa kaˆ ™p' aÙtîn ¹mikÚklia kšntrJ kaˆ diast»mati grafšnta t¦ aeb bzg. ™peˆ oân ‡sa t¦ ¹mikÚklia,

228

™farmÒsei ¢ll»loij, kaˆ ‡sh ¹ ØpÕ eba gwn…a tÍ ØpÕ zbg. koin¾ proske…sqw ¹ loip¾ ¹ ØpÕ abz· Ó lh ¥ra ¹ Ñrq¾ ‡sh ™stˆ tÍ mhnoeide‹ tÍ ØpÕ ebz. kaˆ Ó mwj oÙk œ stin ¹ mhnoeid¾ j Ñrq». tù d aÙtù trÒpJ kaˆ ¢mble…aj oÜshj À Ñxe…aj tÁj ØpÕ abg deicq»setai aÙtÍ ‡sh gwn…a ¹ mhnoeid»j. toàto g£r ™st i tÕ edoj tîn periferogr£mmwn gwniîn tÕ sumbibazÒmenon ta‹j eÙqugr£mmoij· pl¾ n tÒ ge tosoàton „stšon· ™pˆ mn tÁj ÑrqÁj kaˆ tÁj ¢mbl e…aj pros - qe‹nai de‹ t¾ n metaxÝ gwn…an tÁj ab eÙqe…aj kaˆ bz perifere…aj, ™pˆ d tÁj Ñxe…aj ¢f el e‹n. ¹ g¦r ab eÙqe‹a tšmnei t¾ n bz perifšreian. ™kke…sqw oân ˜ka- tšraj tîn Øpoqšsewn t¦ diagr£mmata. Taàta mn oân ¢nagegr£f qw deiknÚnta kaˆ Ó ti 191,1 p© sai aƒ Ñrqaˆ ‡sai ¢ll»laij e„sˆ kaˆ Ó ti oÙ p£ntwj ¹ tÍ ÑrqÍ ‡sh Ñrq» ™stin. e„ g¦r mhd eÙqÚgrammoj e‡h, pîj ¨n Ñrq»n tij e‡poi t¾ n toiaÚthn; F anerÕn d kaˆ ™k toàde toà a„t»matoj , Ó ti ¹ ÑrqÒthj tÁj gwn…aj tÍ „sÒthti suggen»j ™stin, ésper ¹ ÑxÚthj kaˆ ¢mblÚthj tÍ ¢nisÒthti. kaˆ g£r ™stin ¹ mn ÑrqÒthj aÙtÍ tÍ „sÒthti sÚstoicoj–¢mfÒ- terai g¦r ØpÕ tÕ pšraj, ésper d¾ kaˆ ¹ ÐmoiÒthj– ¹ d ÑxÚthj kaˆ ¢mbl Úthj tÍ ¢nisÒtht i , kaq£per kaˆ ¹ ¢nomoiÒthj· ¢peir…aj g¦r œ kgonoi p© sai. diÕ kaˆ oƒ mn tÕ posÕ n Ðrîntej t în gwni în t¾n Ñrq¾n ‡shn tÍ ÑrqÍ lšgousin, oƒ d tÕ poiÕ n Ðmo…an. Ó per g£r ™stin ™n poso‹j ¹ „sÒthj toàto ™n to‹j poio‹j ¹ ÐmoiÒthj. 191,15

229

ΠΙΝΑΚΑΣ ΧΩΡΙΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ ΚΕΙΜΕΝΩΝ

Συγγραφέας Έργο Χωρίο Σελίδα

Αλέξανδρος 75, 27 - 32 86

Αλέξανδρος

Εις Αριστοτέλους Μεταφυσικά

778, 9 - 12 146

Ανώνυµο 10 σχόλιο 105

Ανώνυµο

Σχόλια στο ∆έκατο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη

230 σχόλιο 105

Αριστείδης Κοϊντιλιανός

3,23,22-25 15


3,23,32-35 30


3,23,32-35 47


De musica

3, 23, 32 - 35 90

Τοπικά 158b33-35 108 1092b9 13

1081a21-27, 1083b23-34, 1091a23-29 123 Μετά τα Φυσικά

986a16 - 26 6

Αριστοτέλης

Πολιτικά 1316a5 30 Εµπεδοκλής Testimonia Fragment 33, line 2 170

Πρόταση Χ 148 Στοιχεία, Βιβλίο ΙΙ Πρόταση ΧΙΙ - ΧΙΙΙ 149 Ευκλείδης

Στοιχεία, Χ βιβλίο ΗΟR 4, line 3 11

Ηρόδοτος Historiae 2,13,10-11 42

Ήρων Όροι της Γεωµετρίας

Ονοµάτων 26, 1, 3 - 8

76,16-18 210 77,13-14 211

16, 11 - 20, 6 172 - 174 73, 1 - 3 180

88, 21 - 29 207

Αριθµητική Εισαγωγή

88, 21 - 89, 24 207 - 208 Βίος Πυθαγορικός 27, 129, 1 - 27, 131, 6 212 - 213

Βίος Πυθαγορικός 30, 179, 8 - 180, 3 175

145

Θεολογούµενα Αριθµητικά

Ιάµβλιχος

230

20,11 - 12 13 29, 4 - 12 27

30, 16 – 41,20 159 - 172 Θεολογούµενα Αριθµητικά

37,1 - 4 6

Περί Κοινής Μαθηµατικής Επιστήµης 17, 18 - 18, 50 177 - 179

Ιάµβλιχος

Προτρεπτικός 118, 1 - 3 211

Νικόµαχος Γερασηνός Αριθµητική Εισαγωγή 2, 24, 8, 1 - 2, 24, 11, 4 26 - 27

Ξενοκράτης Testimonia doctrina et

fragmenta 83, 10 - 14 118

990b 23 978b7-979a6 123 Επινοµίς

990d6 - 7 138 147d3 - 7 109 147d7 - 9 110

147e5 - 148b2 12 147e9-a4 63 148a1 - 4 31 - 32 148a6 - b2 111 148b5 - 7 112

Θεαίτητος

148d4 - 7 112 Μένων 86b1 - 2 114

757b6 - 7 6 893b1 - 894b5 120 893e6 - 894p1 23

894a3 -5 138

Νόµοι

984a 27 Παρµενίδης 149b3 - 4 121

443d 28

509d7 - 511e5 127 510c2 - 511a1 140 - 141 510d5 - 511a1 147

518c4 - d5 114 527a6 - 9 147 528a9 - b3 17 528a9 - b3 23 546b3 - c1 131 546b3 - c7 9 546b3 - c7 65 546b3 - c7 130

Πλάτων

Πολιτεία

546b5 - c1 82

443d4 134

231

546c1 - c7 137 546c3 - c7 93 546d7 - c1 87 587d6 - 10 17 587d6 - 10 28

Πολιτικός 273d6 - e4 190 264e1 - 3 125 - 126 Σοφιστής

265b4 - 268c4 124 - 125 268c5 - 6 127 Σοφιστής 268d2 - 5 127

31c1 - 32a7 203 35a1 - b3 114

36a7 134 37a2 - c3 115

39b2-c2, 40b8-c3, 47a4-b2 123 31c1-3 63

38a 67

43d5 134

Τίµαιος

d4 - 7 27 245c5 65

247d - e

272b7 - 8 148

Φαίδρος

277b7 120 143 114 24

98 - 99 114

Φαίδων

99d4 - 100a7 114 16c9 - 10 118 16c9 - 10 128

Πλάτων

Φίληβος

114 16c9 - e2 30 46

Περί Ισιδος και Οσίριδος Stefanus 373f, 3

131, 9 - 24 142 132, 12 - 17 144 132, 14 - 16 151

Πρόκλος

Εις Ευκλείδην

132, 8 - 12 143

37d 70 70

39c1 - d7

73 248e 181

101d3 - e3 65e6 - a8 71a9 - b5

56c10-e6 122

Πλούταρχος

90

232

133, 14 - 134, 7 144 - 145 188, 1 - 191, 15 153 - 155

22, 17 - 22 88 22, 17 - 22 136

427, 20 - 428, 9 30 427, 20 - 428, 9 46 427, 20 - 428, 9 90

45, 7 - 21 115 54, 5 72

66, 8 - 14 7 8, 5, 20 85 8, 8 – 20 24

131,3-135,23 224 188,1-191,15 226

1, 177, 7 - 179, 32 115 1, 94, 17 194

2, 14, 10 - 13 65 2, 14, 11 - 13 77 2, 14, 21 - 26

195 77 - 78

2, 15, 4 - 8 77 2, 16, 14 69

2, 169, 13 - 14 31 69 69

2, 17, 17 - 2, 18, 6 70 - 72 2, 17, 3 - 5 69

2, 170, 26 - 2, 171, 6 182 2, 173, 21 - 27 206

182 - 183 2, 174, 5 - 6 180

2, 18, 18 73 2, 18, 26 – 2,19,8 78

2, 19, 11 73 2, 19, 18 79

2, 19, 9 - 17 79

2, 21, 15 - 19

73 2, 22, 9 - 22, 14 194

Πρόκλος

Εις Πολιτείαν

2, 24, 12 - ? 66

66 2, 141, 19 - 2, 147, 25

2, 15, 18-24

2, 17, 1 - 2 2, 17, 11 - 15

2, 173, 27 - 2, 174, 12

72 2, 20, 25

181 2, 21, 9 80

2, 21, 9 - 11

233

2, 25, 16 - 18 86 2, 27, 11 - 13

2, 36, 12 - 20 132

2, 36, 21 - 23 86 2, 36, 21 - 23 135

2, 36, 21 - 37, 1 88 2, 36, 21 - 37, 1 135 2, 36, 3 - 46, 17 34 - 35

2, 36, 8 - 15 82 - 83 2, 37, 18 - 25 91 - 93

2, 37, 5 - 2, 37, 18 91 - 92 83

2, 39, 3 - 2, 40, 1 93 - 96 180

2, 40, 1 - 17 97 - 98 100

2, 40, 22 - 23 100 2, 40, 25 - 42, 10

133 2, 45, 26

195 - 196

2, 50, 9 - 10 133 - 134 2, 50, 9 - 2, 51, 8

83 - 84 185

2, 51, 21 - 22 84 - 85

2, 51, 9 - 22 39 - 40 2, 51, 9 - 22 25 - 26 2, 52, 13 - 21 182 2, 53, 16 - 21

185 - 186

2, 53, 29 - 30 210 2, 53, 5 - 10 186 2, 54, 20 - 24 187 2, 67, 2 - 6 187

Πρόκλος

Εις Πολιτείαν

2, 67, 21 - 2, 68, 5 188

116

2, 31, 14 - 21 80 - 81 87

2, 36, 12 - 20

2, 38, 17 - 20

2, 39, 4 - 5

2, 40, 18 - 22

101 2, 43, 1 - 3

133 2, 45, 26 - 2, 46, 11

2, 49, 6 - 12 197

198 - 200 2, 51, 10 - 17 2, 51, 11 - 17

2, 51, 12 85 82

2, 51, 26 - 52, 14

185 2, 53, 21 - 29

2, 53, 25 - 2, 54, 5 202

234

2, 69, 10 - 12 204 2, 69, 14 - 25 188 - 189 2, 69, 14 - 25 204 - 205 2, 70, 6 - 20 191

2, 80, 25 210 2, 93, 15 - 18 202 236, 12 - 15 41

136 2, 289, 9 73 - 74

Εις Τίµαιον

3, 140, 4 - 8 203 3, 258, 8 - 11 85 - 86

3, 89 , 28 74 74

3, 91, 12 - 14 68

3, 92, 14 68

Εις Τίµαιον

3, 93, 23 76

Πρόκλος

Θεολογική Στοιχείωσις 198, 10 - 11 66 Σιµπλίκιος Εις Αριστοτέλους Φυσικά 982, 5 - 21 133

2,36,3-2,54,24 214 251, 26 - 52, 14 41 2, 230, 22 - 27 89 2, 230, 22 - 27

3, 89, 6 - 9

3, 92, 10 68

235

Βιβλιογραφία Ξενόγλωσση

1. Adam James, “THE REPUBLIC OF PLATO, Vol II, CAMBRIDGE AT THE

UNIVERSITY PRESS 1965.

2 Allen Michael, . “Marsilio’s Ficino Commentary on the Fatal Number in Book

VIII of Plato’s Republic”.

3. Cornford “The Republic of Plato”, Oxford University Press

4. Dupuis J, ‘THEON DE SMYRNE, PHILOSOPHE PLATONICIEN”, exposition

des Connaissances Mathematiques Utiles pour la lecture de Platon.

5. Festugière A. J., “Proclus Commentaire sur la République, Traduction et Notes”,

tome II, Librairie Philosophique J, Vrin, 1970.

7. Heath, Τ. «Τhe Thirteen Books of Elements, ed. Dover, N.Y 1956.

10. Laird A. G., “PLATO’S GEOMETRICAL NUMBER AND THE COMMENT

OF PROCLUS”, Madison, Wisconsin 1918.

Invited address in the “10 eeting on real analysis and measure theory”

13. Negrepontis Stylianos : ‘The Anthyphairetic Nature of the Platonic Principles of

Infinite and Finite’, Proceedings of 4th mediteranean conference on mathematics

education, Palermo, Italy, 28- 30 Jan. 2005, Cyprus Mathematical Society,

Nicosia, Cyprus, pp. 3-26.

6. Fowler D. : “The Mathematics of Plato’s Academy”, 2η έκδοση, Clarendon Press-

Oxford 1999.

8. Heath, Τ. “A History of Greek Mathematics” ed. Dover, N.Y.

9. Hultch F., Zeitschrift fur Mathematik und Physik xxvii, Historisch-literarische

Abtheilung, pp. 41 – 60, de numero Platonis a Proclo enarrato disputatio in

Schoell’s Procli commentariorum in remp. Platonis partes ineditae pp. 140 – 148,

and Exkurs zu Μέλισσα ΛΕ in Kroll’s Procli in Pl. remp. Comantarii ii pp.400 –

415 Rettig, Proleg. In remp. pp. 315 ff.

11. Morrow Glenn, Proclus, A Commentary on the First Book of Euclide’s Elements

(µετάφραση στα Αγγλικά : G. R. Morrow)

12. Negrepontis S, The Anthyphairetic nature of Plato’s dialectics, th m

Ischia, Italy, July 15-19, 2002, manuscript of 62 pages.

236

14. S. Negrepontis, The Periodic Anthyphairetic Nature of the One in the Second Hypothesis of the Parmenides 142b1-159b1, υπό προετοιµασία.

15. Taylor A. E.: «Πλάτων: ο άνθρωπος και το έργο του», ΜΙΕΤ, γ΄έκδοση, Αθήνα

2000)

16. Tannery P., “MEMOIRES SCIENTIFIQUES, Vol. III”, Sciences exactes dans l

Ántiquité 1899-1913, Edit. Jacques Gabay.

• του Καθηγητή Στ. Νεγρεπόντη για τους διαλόγους: «Παρµενίδης»,

«Σοφιστής» και «Πολιτικός» του Πλάτωνος και του

•

4. Λαµπρινίδης ∆. : « Η Γεωµετρία ως µάθηµα. Η εφαρµογή της ανθυφαιρετικής

ερµηνείας της Πλατωνικής διαλεκτικής στην Ευκλείδια γεωµετρία», ∆ιπλωµατική

εργασία-Αθήνα 2003.

7. Nεγρεπόντης Στυλιανός, «Η Ανθυφαιρετική Φύση της ∆ιαλεκτικής του

Πλάτωνος», στον τόµο ∆ιεπιστηµονική προσέγγιση των Μαθηµατικών και της

∆ιδασκαλίας τους, Θέµατα ∆ιδακτικής Μαθηµατικών V, Επιµέλεια Φ.

Καλαβάση-Μ. Μεϊµάρη, Εκδόσεις Αιγαίου-Gutemberg, Αθήνα 2000, σελ. 15-77.

Ελληνόγλωσση

1. Αναπολιτάνος ∆. : «Εισαγωγή στη Φιλοσοφία των Μαθηµατικών.»

εκδ. Νεφέλη, Αθήνα 1985.

2. Ερευνητικά σεµινάρια «Πλάτων και Μαθηµατικά», Τµήµα Μαθηµατικών του

Πανεπιστηµίου Αθηνών, 2003-2004 και 2004-2005, ιδίως οι διαλέξεις :

Περδίκη Κωνσταντίνου µε θέµα το «γεωµετρικό αριθµό» του Πλάτωνος.

3. Κλεφτάκη Βασιλική, «Ανάλυση του 10ου βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη και

τεκµηρίωση της παλινδροµικής περιοδικότητας της ανθυφαίρεσης των

τετραγωνικών αρρήτων», ∆ιπλωµατική εργασία, Αθήνα 2004.

5. Μπασιάκου Αλίκη, «Ο Πολιτικός του Πλάτωνος και η παλινδροµική

περιοδικότητα των τετραγωνικών αρρήτων, ∆ιπλωµατική εργασία, Αθήνα 2004.

6. Μπίρµπα Σοφία, «Συµβολή στην ανθυφαιρετική ερµηνεία του Πλατωνικού

πέρατος», ∆ιπλωµατική εργασία, Αθήνα 2003.

237

8. Nεγρεπόντης Στυλιανός, ∆ιάλεξη µε θέµα «Τα παράδοξα του Ζήνωνος», Ηµερίδα

µε θέµε «∆ιεπιστηµονική Προσέγγιση των Μαθηµατικών», Πανεπιστήµιο

Αθηνών, Απρίλιος 2005.

9. Πάλλας Ν. Ε. Παρασκευάς, «Ανθυφαιρετική ερµηνεία του επιχειρήµατος του

Τρίτου Ανθρώπου (Πλάτωνος Παρµενίδης, 132 a1-b2)», ∆ιπλωµατική εργασία,

Αθήνα 2005.

10. Σηµειώσεις παραδόσεων του µαθήµατος «Πλάτων και Μαθηµατικά», που δίδαξε

ο καθηγητής Στ. Νεγρεπόντης κατά την διάρκεια του εαρινού εξαµήνου 2002-

2003, στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού Προγράµµατος ∆ιδακτικής και

Μεθοδολογίας των Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Αθηνών.

11. Φυλλάδια µε αρχαία κείµενα, αναλύσεις και σχολιασµό τους από τον Καθηγητή

Σ. Νεγρεπόντη, που δόθηκαν στα πλαίσια του µαθήµατος «Πλάτων και

Μαθηµατικά» κατά το ακαδηµαϊκό έτος 2002-2003.

12. V.d.Waerden, B.L, “Science Awakening I”, Kluwer (µετάφραση στα ελληνικά:

«Η Αφύπνηση της Επιστήµης», Πανεπιστηµιακές εκδόσεις Κρήτης, 2000).

238

Πηγές Αρχαίων Ελληνικών κειµένων

Τα Αρχαία κείµενα που χρησιµοποιήθηκαν, προέρχονται από τη ηλεκτρονική βάση

δεδοµένων TLG (Θησαυρός της Ελληνικής Γλώσσας), χρησιµοποιήθηκαν επίσης οι

παρακάτω σχολιασµένες εκδόσεις των Πλατωνικών διαλόγων:

1. Σοφιστής , Εισαγωγή- Μετάφραση- Σχόλια : ∆. Γληνός (εκδ. Ζαχαρόπουλος ,

Αθήνα)

13 Πλάτωνος Πολιτεία, Γεωργούλης, Κ. ∆, εκδ. Ι. ΣΙ∆ΕΡΗΣ, Αθήνα 1963.

2. Παρµενίδης , Εισαγωγή- Μετάφραση- Σχόλια : Ηλ. Λάγιος (εκδ. Ζαχαρόπουλος ,

Αθήνα)

3. Παρµενίδης , Εισαγωγή- Μετάφραση- Σχόλια : ∆. Αναγνωστόπουλος

(εκδ. Πάπυρος )

4. Μένων , Εισαγωγή- Μετάφραση- Σχόλια : Β. Πατάκης (εκδ. Ζαχαρόπουλος ,

Αθήνα)

5. Πολιτεία , Εισαγωγή- Μετάφραση- Σχόλια : Ν.Μ. Σκουτερόπουλος

(εκδ. Πόλις ,Αθήνα 2002)

6. Νόµοι , Εισαγωγή : K. Γεωργούλης –Μετάφραση-Σχόλια :K. Φίλιππα (εκδ.

Πάπυρος Αθήνα 1975)

7. Θεαίτητος , Εισαγωγή- Μετάφραση- Σχόλια : ∆. Κολοκοντές (εκδ. Κάκτος ,

Αθήνα 1993)

8. Τίµαιος , Κάλφας, Β., εκδ. Πόλις, 1999.

9. Φαίδων , Εισαγωγή- Μετάφραση- Σχόλια : Κ.Θ. Αραπόπουλος (εκδ. Πάπυρος

Αθήνα 1975)

10. Κρατύλος , Εισαγωγή- Μετάφραση- Σχόλια : Ηλ. Λάγιος (εκδ. Ζαχαρόπουλος ,

Αθήνα)

11. Συµπόσιο , Εισαγωγή- Μετάφραση- Σχόλια : Ι. Συκουτρής (5η έκδοση

Εστία 1970)

12. Φίληβος , Εισαγωγή- Μετάφραση- Σχόλια : Μ. Ανδρόνικος (εκδ. Ζαχαρόπουλος

, Αθήνα).

239

Αριστοτέλους :

1. Τοπικά (Ζ , Η , Θ) – Περί Σοφιστικών Ελέγχων , Εισαγωγή- Μετάφραση- Σχόλια

: Η.Π. Νικολούδης (εκδ. Κάκτος , Αθήνα 1993)

2. Μετά τα Φυσικά , Εισαγωγή- Μετάφραση-Σχόλια : A-M. Kαραστάθη (εκδ.

Κάκτος , Αθήνα 1993)

3. Φυσική Ακρόασις ( Τα Φυσικά ) , Μετάφραση : K. Γεωργούλη

( εκδ. Παπαδήµα , Αθήνα 1973 , β΄ εκδ. 1992)

Πλωτίνου : Εννεάς Έκτη , Εισαγωγή- Μετάφραση-Σχόλια : Φιλολογική Οµάδα

Κάκτου (εκδ. Κάκτος , Αθήνα 2001).

Λεξικά

1. Liddell, H.G & Scott, R. Μέγα Λεξικόν της Ελληνικής Γλώσσης, µετάφραση Ξ. Π.

Μόσχου, επιµέλεια Μ. Κωνσταντινίδου, Εκδοτικός Οίκος "Ι. Σιδέρης", Αθήναι.

2. Χρησιµοποιήθηκαν και τα αρχαία εγκυκλοπαιδικά λεξικά της ηλεκτρονικής βάσης

«Μusaios» :Ηesychius Lexicogr. και Etymologia.

240

Περιεχόµενα...

Documents

Transcript of Περιεχόµενα...