ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Κεφάλαιο 1 Η λογική των σύνθετων προτάσεων 20

11 Λογικοί τύποι και λογικές ισοδυναmicroίες 20Λογικές προτάσεις Σύνθετες λογικές προτάσεις Τιmicroές αληθείας Υπολογισmicroός τηςαληθείας γενικότερων σύνθετων λογικών προτάσεων Λογικές ισοδυναmicroίες Ταυτο-λογίες και αντιϕάσεις Σύνοψη των λογικών ισοδυναmicroιών

12 Προτάσεις υπό συνθήκη 37Λογικές ισοδυναmicroίες που περιέχουν τοrarr Αναπαράσταση τηςΑν-ΤότεωςΉ Η άρνη-ση microιας υπό συνθήκη πρότασης Η αντιθετοαντίστροϕη microιας υπό συνθήκη πρότασηςΤο αντίστροϕο και το αντίθετο microιας πρότασης υπό συνθήκηΜόνο αν και η αmicroϕίδρο-microη υποθετική πρόταση Αναγκαίες και ικανές συνθήκες Σχόλια

13 Έγκυρα και microη έγκυρα επιχειρήmicroατα 49Modus Ponens και Modus Tollens Επιπλέον έγκυροι τύποι επιχειρηmicroάτων κανόνεςεξαγωγής συmicroπερασmicroάτων Λογικές πλάνες Αντιϕάσεις και έγκυρα επιχειρήmicroατα Σύ-νοψη των κανόνων εξαγωγής συmicroπεράσmicroατος

14 Εφαρmicroογή Ψηφιακά λογικά κυκλώmicroατα 63Μαύρα κουτιά και πύλες Ο πίνακας εισόδουεξόδου ενός κυκλώmicroατος Η έκϕρασηBoole που αντιστοιχεί σε ένα κύκλωmicroα Το κύκλωmicroα που αντιστοιχεί σε microια παράστα-ση Boole Εύρεση κυκλώmicroατος που αντιστοιχεί σε δεδοmicroένο πίνακα εισόδουεξόδουΑπλοποίηση συνδυαστικών κυκλωmicroάτων Πύλες NAND και NOR

15 Εφαρmicroογή Συστήmicroατα αρίθmicroησης και κυκλώmicroατα πρόσθεσης 77∆υαδική αναπαράσταση αριθmicroών Πρόσθεση και αϕαίρεση δυαδικών Κυκλώmicroατα γιατην πράξη της πρόσθεσης στους υπολογιστές Συmicroπληρώmicroατα του δύο και αναπα-ράσταση αρνητικών αριθmicroών στον υπολογιστή Αναπαράσταση 8 bit ενός αριθmicroούΠρόσθεση αρνητικών ακεραίων σε υπολογιστή ∆εκαεξαδικό σύστηmicroα αρίθmicroησης

Κεφάλαιο 2 Η λογική των ποσοτικοποιηmicroένων προτάσεων 94

21 Εισαγωγή στα κατηγορήmicroατα και τις ποσοτικοποιηmicroένες προτάσεις Ι 94Ο καθολικός ποσοδείκτης forall Ο υπαρξιακός ποσοδείκτης exist Τυπική και microη τυπικήγλώσσα Καθολικές προτάσεις υπό συνθήκη Ισοδύναmicroες microορϕές καθολικών και υ-παρξιακών προτάσεων Έmicromicroεση ποσοτικοποίηση Ο Κόσmicroος του Tarski

22 Εισαγωγήστα κατηγορήmicroατα και τις ποσοτικοποιηmicroένες προτάσεις ΙΙ 108Αρνήσεις ποσοτικοποιηmicroένων προτάσεων Αρνήσεις καθολικών προτάσεων υπό συν-θήκη Η σχέση microεταξύ των συmicroβόλων forall existand και or Αδιάϕορα αληθείς καθολικέςπροτάσεις Παραλλαγές των καθολικών προτάσεων υπό συνθήκη Αναγκαίες και ι-κανές συνθήκεςΜόνο αν

Περιεχόmicroενα 5

23 Προτάσεις που περιέχουν πολλούς ποσοδείκτες 117Μετάϕραση από microη τυπική σε τυπική γλώσσα Ασαϕής γλώσσα Αρνήσεις πολλα-πλώς ποσοτικοποιηmicroένων προτάσεων Σειρά ποσοδεικτών Τυπική λογική σηmicroειο-γραϕία Prolog

24 Επιχειρήmicroατα microε ποσοτικοποιηmicroένες προτάσεις 131ΚαθολικόModus Ponens Χρήση του καθολικούModus Ponens σε microια απόδειξη Κα-θολικό Modus Tollens Απόδειξη της εγκυρότητας επιχειρηmicroάτων microε ποσοτικοποι-ηmicroένες προτάσεις Χρήση διαγραmicromicroάτων για τον έλεγχο εγκυρότητας ∆ηmicroιουργίαεπιπλέον microορϕών επιχειρηmicroάτων Επισήmicroανση για το σϕάλmicroα αντιστρόϕου και αντι-θέτου

Κεφάλαιο 3 Στοιχειώδηςθεωρίααριθmicroώνκαι microέθοδοι απόδειξης 145

31 Άmicroεση απόδειξη και αντιπαράδειγmicroα Ι Εισαγωγή 146Ορισmicroοί Απόδειξη υπαρξιακών προτάσεων ∆ιάψευση καθολικών προτάσεων microε α-ντιπαραδείγmicroατα Απόδειξη καθολικών προτάσεων Οδηγίες για τη συγγραϕή απο-δείξεων καθολικών προτάσεων Συνήθη λάθη Έναρξη των αποδείξεων Απόδειξη ότιmicroια υπαρξιακή πρόταση είναι ψευδής Εικασία απόδειξη και διάψευση

32 Άmicroεση απόδειξη και αντιπαράδειγmicroα ΙΙ Ρητοί αριθmicroοί 162Περισσότερα για τη γενίκευση από το τυπικό συγκεκριmicroένο στοιχείο Απόδειξη ιδιο-τήτων ρητών αριθmicroών Παραγωγή νέων microαθηmicroατικών συmicroπερασmicroάτων από ήδη ε-δραιωmicroένα

33 Άmicroεση απόδειξη και αντιπαράδειγmicroα ΙΙΙ ∆ιαιρετότητα 169Απόδειξη των ιδιοτήτων της διαιρετότητας Αντιπαραδείγmicroατα και διαιρετότητα Τοθεώρηmicroα της microοναδικής παραγοντοποίησης

34 Άmicroεση απόδειξη και αντιπαράδειγmicroα IV∆ιαχωρισmicroός σε περιπτώσεις και το θεώρηmicroα πηλίκου-υπολοίπου 178Ανάλυση του θεωρήmicroατος πηλίκου-υπολοίπου και παραδείγmicroατα div καιmod Εναλ-λακτικές αναπαραστάσεις ακεραίων και εϕαρmicroογές στη θεωρία αριθmicroών

35 Άmicroεσηαπόδειξη και αντιπαράδειγmicroαV Κάτω και άνωακέραιο microέρος 186Ορισmicroοί και βασικές ιδιότητες Το κάτω ακέραιο microέρος του n2

36 Έmicromicroεσο επιχείρηmicroα Αντίφαση και αντιθετοαντιστροφή 193Απόδειξη microέσω αντίϕασης Επιχείρηmicroα microέσω αντιθετοαντίστροϕης Σχέση microεταξύ α-πόδειξης microέσω αντίϕασης και απόδειξης microέσω αντιθετοαντίστροϕης Η απόδειξη ωςεργαλείο επίλυσης προβληmicroάτων

37 ∆ύο κλασικά θεωρήmicroατα 202Ο άρρητος χαρακτήρας του

radic2 Το άπειρο του συνόλου των πρώτων αριθmicroών Πότε

να χρησιmicroοποιείτε έmicromicroεση απόδειξη Ανοικτά ερωτήmicroατα της θεωρίας αριθmicroών

38 Εφαρmicroογή Αλγόριθmicroοι 208Μια αλγοριθmicroική γλώσσα Σηmicroειογραϕία αλγορίθmicroων Πίνακες καταγραϕής Ο αλγό-ριθmicroος της διαίρεσης Ο αλγόριθmicroος του Ευκλείδη

6 Περιεχόmicroενα

Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή 221

41 Ακολουθίες 221Τύποι ακολουθιών Συmicroβολισmicroός του αθροίσmicroατος Συmicroβολισmicroός γινοmicroένου Συmicroβο-λισmicroός παραγοντικού Ιδιότητες αθροισmicroάτων και γινοmicroένων Αλλαγή microεταβλητήςΑκολουθίες στον προγραmicromicroατισmicroό ηλεκτρονικών υπολογιστών Εϕαρmicroογή Αλγόριθ-microος microετατροπής από τη βάση 10 στη βάση 2 microε συνεχή διαίρεση microε το 2

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 236Η αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής Το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων Το άθροι-σmicroα γεωmicroετρικής προόδου

43 Μαθηmicroατική επαγωγή ΙΙ 248Σύγκριση της microαθηmicroατικής επαγωγής και της επαγωγικής επιχειρηmicroατολογίας Από-δειξη ιδιοτήτων διαιρετότητας Απόδειξη ανισοτήτων

44 Ισχυρή microαθηmicroατική επαγωγή και η αρχή της καλής διάταξης 256Εϕαρmicroογή της ισχυρής microαθηmicroατικής επαγωγής ∆υαδική αναπαράσταση ακεραίων Ηαρχή της καλής διάταξης για τους ακεραίους

45 Μια εφαρmicroογή Ορθότητα αλγορίθmicroων 265Ισχυρισmicroοί Αναλλοίωτες βρόχου Ορθότητα του αλγορίθmicroου διαίρεσης Ορθότητατου αλγορίθmicroου microέγιστου κοινού διαιρέτη

Κεφάλαιο 5 Θεωρία συνόλων 276

51 Βασικοί ορισmicroοί της θεωρίας συνόλων 276Υποσύνολα Ισότητα συνόλων Πράξεις συνόλων ∆ιαγράmicromicroατα Venn Το κενό σύνο-λο ∆ιαmicroερίσεις συνόλων ∆υναmicroοσύνολα Καρτεσιανά γινόmicroενα Αλγόριθmicroος ο οποί-ος ελέγχει αν ένα σύνολο είναι υποσύνολο ενός άλλου (προαιρετική υποενότητα)

52 Ιδιότητες συνόλων 290Ταυτότητες συνόλων Πώς αποδεικνύουmicroε ταυτότητες συνόλων Το κενό σύνολο

53 Ανασκευές αλγεβρικές αποδείξεις και άλγεβρες Boole 304Απόδειξη του ψεύδους microιας υποτιθέmicroενης ιδιότητας συνόλων Στρατηγική επίλυσηςπροβληmicroάτων Ο αριθmicroός των υποσυνόλων ενός συνόλου laquoΑλγεβρικέςraquo αποδείξειςταυτοτήτων συνόλων Άλγεβρες Boole

54 Το παράδοξο του Russell και το πρόβληmicroα του τερmicroατισmicroού 315Περιγραϕή του παραδόξου του Russell Το πρόβληmicroα του τερmicroατισmicroού

Κεφάλαιο 6 Απαρίθmicroηση και πιθανότητα 320

61 Εισαγωγή 321Ορισmicroός δειγmicroατικού χώρου και ενδεχοmicroένου Πιθανοθεωρητικός τύπος για ισοπίθα-να αποτελέσmicroατα Μέτρηση των στοιχείων ενός καταλόγου υποκατάλογοι και δια-νύσmicroατα

Περιεχόmicroενα 7

62 ∆έντραδυνατώναποτελεσmicroάτων και ο κανόνας τουπολλαπλασιασmicroού 329∆έντρα δυνατών αποτελεσmicroάτων Ο κανόνας του πολλαπλασιασmicroού Πότε είναι δύ-σκολη ή αδύνατη η εϕαρmicroογή του κανόνα πολλαπλασιασmicroού Μεταθέσεις Μεταθέ-σεις επιλεγmicroένων στοιχείων

63 Καταmicroέτρηση των στοιχείων ξένων συνόλωνΟ κανόνας της πρόσθεσης 344Ο κανόνας της πρόσθεσης Ο κανόνας της διαϕοράς Η αρχή εγκλεισmicroούαποκλει-σmicroού

64 Καταmicroέτρηση υποσυνόλων ενός συνόλου Συνδυασmicroοί 358r-συνδυασmicroοί ∆ιατεταγmicroένες και microη διατεταγmicroένες επιλογές Σχέσεις microεταξύ microετα-θέσεων και συνδυασmicroών Μεταθέσεις συνόλων microε επαναλαmicroβανόmicroενα στοιχεία Με-ρικές συmicroβουλές καταmicroέτρησης

65 r-συνδυασmicroοί microε επανάληψη 373Συνδυασmicroοί microε επανάληψη και τρόπος microέτρησής τους Ποιον τύπο χρησιmicroοποιούmicroε

66 Η άλγεβρα των συνδυασmicroών 380Συνδυαστικοί τύποι Το τρίγωνο του Pascal Αλγεβρικές και συνδυαστικές αποδείξειςτου τύπου του Pascal

67 Το διωνυmicroικό θεώρηmicroα 386∆ιατύπωση του θεωρήmicroατος Αλγεβρικές και συνδυαστικές αποδείξεις Εϕαρmicroογές

68 Τα αξιώmicroατα των πιθανοτήτων και η αναmicroενόmicroενη τιmicroή 394Αξιώmicroατα πιθανοτήτων Παραγωγή επιπλέον πιθανοθεωρητικών τύπων Αναmicroενόmicroε-νη τιmicroή

69 ∆εσmicroευmicroένηπιθανότητα τύπος τουBayes και ανεξάρτητα ενδεχόmicroενα 399∆εσmicroευmicroένη πιθανότητα Το θεώρηmicroα Bayes Ανεξάρτητα ενδεχόmicroενα

Κεφάλαιο 7 Συναρτήσεις 413

71 Συναρτήσεις που ορίζονται σε ένα γενικό σύνολο 413Ορισmicroός της συνάρτησης ∆ιαγράmicromicroατα του Venn Η συνάρτηση ως microηχανή Παρα-δείγmicroατα συναρτήσεων Συναρτήσεις Boole Έλεγχος της επάρκειας του ορισmicroού microιαςσυνάρτησης

72 Ένα προς ένα και επί αντίστροφες συναρτήσεις 426Συναρτήσεις ένα προς ένα Συναρτήσεις ένα προς ένα σε άπειρα σύνολα Εϕαρmicroο-γή Συναρτήσεις hash Συναρτήσεις επί Συναρτήσεις επί σε άπειρα σύνολα Ιδιότητεςεκθετικών και λογαριθmicroικών συναρτήσεων Αντιστοιχίες ένα προς ένα και επί Αντί-στροϕες συναρτήσεις

73 Εφαρmicroογή Η αρχή του περιστερώνα 444∆ιατύπωση και ανάλυση της αρχής Εϕαρmicroογή στο δεκαδικό ανάπτυγmicroα κλασmicroάτωνΓενικευmicroένη αρχή του περιστερώνα Απόδειξη της αρχής του περιστερώνα

8 Περιεχόmicroενα

74 Σύνθεση συναρτήσεων 456Ορισmicroοί και παραδείγmicroατα Σύνθεση συναρτήσεων ένα προς ένα Σύνθεση συναρτή-σεων επί

75 Πληθικότητα microε εφαρmicroογές στην υπολογισιmicroότητα 467Ισοδύναmicroες πληθικότητες Αριθmicroήσιmicroα σύνολα Αναζήτηση microεγαλύτερων απείρων Ηδιαδικασία διαγωνιοποίησης του Cantor Εϕαρmicroογή Πληθικότητα και υπολογισιmicroό-τητα

Κεφάλαιο 8 Αναδροmicroικοί ορισmicroοί 481

81 Ακολουθίες που ορίζονται αναδροmicroικά 481Ορισmicroός αναδροmicroικής σχέσης Παραδείγmicroατα ακολουθιών που ορίζονται microε αναδρο-microικό τρόπο Το πλήθος των διαmicroερίσεων ενός συνόλου σε r υποσύνολα

82 Επίλυση αναδροmicroικών σχέσεων microε επαναλήψεις 499Η microέθοδος της επανάληψης Χρήση τύπων για την απλοποίηση λύσεων που προκύ-πτουν microε τη microέθοδο των επαναλήψεων Έλεγχος της ορθότητας ενός τύπου microε microαθη-microατική επαγωγή Εντοπισmicroός σϕάλmicroατος σε έναν τύπο

83 Γραmicromicroικές οmicroογενείς αναδροmicroικές σχέσειςδεύτερου βαθmicroού microε σταθερούς συντελεστές 511Προσδιορισmicroός της τεχνικής επίλυσης αυτών των σχέσεων Η περίπτωση των διακρι-τών ριζών Η περίπτωση της microίας ρίζας

84 Γενικοί αναδροmicroικοί ορισmicroοί 523Αναδροmicroικά ορισmicroένα σύνολα Απόδειξη ιδιοτήτων αναδροmicroικά ορισmicroένων συνόλωνΑναδροmicroικός ορισmicroός του αθροίσmicroατος του γινοmicroένου της ένωσης και της τοmicroήςΑναδροmicroικά ορισmicroένες συναρτήσεις

Κεφάλαιο 9 Ηαποδοτικότητα των αλγορίθmicroων 534

91 Πραγmicroατικές συναρτήσεις microιας πραγmicroατικής microεταβλητήςκαι τα γραφήmicroατά τους 534Γραϕήmicroατα συναρτήσεων Συναρτήσεις δυνάmicroεων Η συνάρτηση κάτω ακέραιου microέ-ρους Σχεδίαση συναρτήσεων που ορίζονται σε σύνολα ακεραίων Το γράϕηmicroα ενόςπολλαπλασίου microιας συνάρτησης Αύξουσες και ϕθίνουσες συναρτήσεις

92 Τα σύmicroβολαOΩ καιΘ 542Ορισmicroοί και γενικές ιδιότητες των συmicroβολισmicroώνOΩ καιΘ Τάξεις συναρτήσεων δυ-νάmicroεων Οι τάξεις των πολυωνυmicroικών συναρτήσεων Τάξεις συναρτήσεων ακέραιωνmicroεταβλητών Επέκταση σε συναρτήσεις που προέρχονται από σύνθεση ρητών δυνά-microεων

93 Εφαρmicroογή Αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων Ι 555Η χρονική αποδοτικότητα ενός αλγορίθmicroου Υπολογισmicroός τάξης απλών αλγορίθmicroωνΟ αλγόριθmicroος σειριακής αναζήτησης Αλγόριθmicroος ταξινόmicroησης microε παρεmicroβολή

Περιεχόmicroενα 9

94 Εκθετικές και λογαριθmicroικές συναρτήσεις Γραφήmicroατα και τάξεις 568Γραϕήmicroατα εκθετικών και λογαριθmicroικών συναρτήσεων Εϕαρmicroογή Το πλήθος τωνδυαδικών ψηϕίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση ενός ακεραίου σε δυαδικήmicroορϕή Εϕαρmicroογή Χρήση λογαρίθmicroων για την επίλυση αναδροmicroικών σχέσεων Εκ-θετικές και λογαριθmicroικές τάξεις

95 Εφαρmicroογή Αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων ΙΙ 581Αλγόριθmicroοι laquoδιαίρει και βασίλευεraquo Η αποδοτικότητα του αλγορίθmicroου δυαδικής ανα-ζήτησης Ταξινόmicroηση microε συγχώνευση Ανιχνεύσιmicroα και microη ανιχνεύσιmicroα προβλήmicroαταΈνα τελικό σχόλιο σχετικά microε την αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων

Κεφάλαιο 10 Σχέσεις 596

101 Σχέσεις σε σύνολα 596Ορισmicroός διmicroελούς σχέσης Το διάγραmicromicroα microιας σχέσης Σχέσεις και συναρτήσεις Ηαντίστροϕη microιας σχέσης Το κατευθυνόmicroενο γράϕηmicroα microιας σχέσης Ν-microελείς σχέσειςκαι σχεσιακές βάσεις δεδοmicroένων

102 Ανακλαστικότητα συmicromicroετρία και microεταβατικότητα 609Οι ιδιότητες ανακλαστικότητας συmicromicroετρίας και microεταβατικότητας Η microεταβατικήκλειστότητα microιας σχέσης Ιδιότητες των σχέσεων σε άπειρα σύνολα

103 Σχέσεις ισοδυναmicroίας 619Η σχέση που επάγεται από microια διαmicroέριση Ορισmicroός της σχέσης ισοδυναmicroίας Κλάσειςισοδυναmicroίας microιας σχέσης ισοδυναmicroίας

104 Η αριθmicroητική των υπολοίπων microε εφαρmicroογές στην κρυπτογραφία 636Ιδιότητες της ισοτιmicroίας modulo n Αριθmicroητική των υπολοίπων Προσδιορισmicroός τουαντιστρόϕουmodulo n Το λήmicromicroα του Ευκλείδη Το microικρό θεώρηmicroα του Fermat καιτο κινέζικο θεώρηmicroα υπολοίπου Γιατί είναι αποτελεσmicroατικός ο κώδικας RSA

105 Σχέσεις microερικής διάταξης 657Αντισυmicromicroετρία Σχέσεις microερικής διάταξης Λεξικογραϕική σειρά ∆ιαγράmicromicroαταHasseΜερικώς και ολικώς διατεταγmicroένα σύνολα Τοπολογική ταξινόmicroηση Μια εϕαρmicroογήPERT και CPM

Κεφάλαιο 11 Γραφήmicroατα και δέντρα 675

111 Γραφήmicroατα Εισαγωγή 675Βασική ορολογία και παραδείγmicroατα Ειδικά γραϕήmicroατα Η έννοια του βαθmicroού

112 Μονοπάτια και κυκλώmicroατα 691Ορισmicroοί Κυκλώmicroατα Euler Χαmicroιλτονιανά κυκλώmicroατα

113 Αναπαράσταση των γραφηmicroάτων microε πίνακες 710Πίνακες Πίνακες και κατευθυνόmicroενα γραϕήmicroατα Πίνακες και (microη κατευθυνόmicroενα)γραϕήmicroατα Πίνακες και συνεκτικές συνιστώσες Πολλαπλασιασmicroός πινάκων Υπο-λογισmicroός περιπάτων microήκους Ν

10 Περιεχόmicroενα

114 Ισοmicroορφισmicroοί γραφηmicroάτων 724Ορισmicroός ισοmicroορϕισmicroού γραϕηmicroάτωνκαι παραδείγmicroατα Ισοmicroορϕικά αναλλοίωτες πο-σότητες Ισοmicroορϕισmicroός γραϕηmicroάτων για απλά γραϕήmicroατα

115 ∆έντρα 732Ορισmicroοί και παραδείγmicroατα δέντρων Χαρακτηρισmicroός δέντρων ∆έντρα microε ρίζα ∆υα-δικά δέντρα

116 ∆έντρα επικάλυψης 750Ορισmicroός δέντρου επικάλυψης Ελάχιστα δέντρα επικάλυψης Ο αλγόριθmicroος του Kru-skal Ο αλγόριθmicroος του Prim

Κεφάλαιο 12 Κανονικές εκφράσεις και πεπερασmicroένα αυτόmicroατα 761

121 Τυπικές γλώσσες και κανονικές εκφράσεις 762Ορισmicroοί και παραδείγmicroατα τυπικών γλωσσών και κανονικών εκϕράσεων Πρακτικέςχρήσεις των κανονικών εκϕράσεων

122 Αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων 773Ορισmicroός του αυτοmicroάτου πεπερασmicroένων καταστάσεωνΗ γλώσσα που αποδέχεται ένααυτόmicroατο Η συνάρτηση καταληκτικής κατάστασης Σχεδίαση ενός αυτοmicroάτου πεπε-ρασmicroένων καταστάσεων Προσοmicroοίωση αυτοmicroάτου πεπερασmicroένων καταστάσεων microεχρήση λογισmicroικού Αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων και κανονικές εκϕράσειςΚανονικές γλώσσες

123 Απλοποίηση αυτοmicroάτων πεπερασmicroένων καταστάσεων 791lowast ισοδυναmicroία καταστάσεων k ισοδυναmicroία καταστάσεων Προσδιορισmicroός των κλά-σεων της lowast ισοδυναmicroίας Το αυτόmicroατο πηλίκου Κατασκευή του αυτοmicroάτου πηλίκουΙσοδύναmicroα αυτόmicroατα

Παράρτηmicroα Α Ιδιότητες των πραγmicroατικών αριθmicroών 805

Παράρτηmicroα Β Λύσεις και υποδείξεις επιλεγmicroένων ασκήσεων 808

Πίνακας συmicroβόλων 921

Ευρετήριο 927

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Ο σκοπός microου microε αυτό το βιβλίο ήταν να δώσω microια σαϕή και προσιτή παρουσίαση τωνδιακριτών microαθηmicroατικών για προπτυχιακούς και microεταπτυχιακούς ϕοιτητές που σπουδά-ζουν επιστήmicroη υπολογιστών microαθηmicroατικά εκπαίδευση στα microαθηmicroατικά και microηχανολογίαΣτόχος του βιβλίου είναι να θέσει τις microαθηmicroατικές βάσεις για microαθήmicroατα της επιστήmicroης τωνυπολογιστών όπως δοmicroές δεδοmicroένων αλγόριθmicroοι θεωρία βάσεων δεδοmicroένων θεωρία αυ-τοmicroάτων και τυπικές γλώσσες σχεδιασmicroός microεταγλωττιστών και κρυπτογραϕία αλλά καιγια microαθήmicroατα microαθηmicroατικών όπως γραmicromicroική και αϕηρηmicroένη άλγεβρα συνδυαστική πι-θανότητες λογική και συνολοθεωρία και θεωρία αριθmicroών Συνδυάζοντας τη θεωρία καιτην πράξη προσπάθησα να δείξω ότι τα microαθηmicroατικά εκτός από το ότι είναι αξιαγάπηταενδιαϕέροντα και όmicroορϕα από microόνα τους έχουν σηmicroαντικές εϕαρmicroογές

Το microόνο προαπαιτούmicroενο είναι ένα καλό υπόβαθρο στην απλή άλγεβρα το microάθηmicroαmicroπορεί να διδαχθεί είτε πριν είτε microετά από ένα microάθηmicroα απειροστικού λογισmicroού Προηγού-microενες εκδόσεις του βιβλίου έχουν χρησιmicroοποιηθεί microε επιτυχία σε ιδρύmicroατα της Βόρειαςκαι Νότιας Αmicroερικής της Ευρώπης της Μέσης Ανατολής και της Αυστραλίας

Σύmicroϕωνα microε τις πρόσϕατες προτάσεις του Ινστιτούτου Ηλεκτρολόγων και Ηλεκτρο-νικώνΜηχανικών-Ένωσης Υπολογιστών (Institute for Electrical and Electronic EngineersComputer Society IEEE-CS) και της Ένωσης ΣυσκευώνΥπολογιστών (Association for Co-mputing Machinery ACM) τα διακριτά microαθηmicroατικά πρέπει να αποτελούν το microεγαλύτεροmicroέρος των laquoβασικών γνώσεωνraquo των ϕοιτητών της επιστήmicroης των υπολογιστών ενώ η microε-λέτη του αντικειmicroένου κατά το πρώτο έτος σπουδών τους πρέπει να διαρκεί τουλάχιστονένα εξάmicroηνο ή ακόmicroα και δύο όπου αυτό είναι δυνατόν Αυτό το βιβλίο περιλαmicroβάνει όλατα θέmicroατα που προτείνουν αυτοί οι οργανισmicroοί και microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί αποτελε-σmicroατικά είτε για ένα εξαmicroηνιαίο microάθηmicroα είτε για δύο

Κάποτε τα περισσότερα από τα θέmicroατα των διακριτών microαθηmicroατικών διδάσκονταν microό-νο σε προπτυχιακούς ϕοιτητές κατά το τελευταίο έτος των σπουδών τους Η βασική καιεξαιρετικά ενδιαϕέρουσα πρόκληση της συγγραϕής αυτού του βιβλίου ήταν η εύρεσητου κατάλληλου τρόπου διδασκαλίας αυτών των θεmicroάτων ώστε να γίνουν κατανοητάαπό πρωτοετείς και δευτεροετείς ϕοιτητές Ο τρόπος παρουσίασης αναπτύχθηκε κατάτη διάρκεια microιας microεγάλης περιόδου πειραmicroατισmicroών κατά την οποία οι ϕοιτητές microου ήτανταυτόχρονα από πολλές απόψεις και δάσκαλοί microου Οι ερωτήσεις τους τα σχόλιά τουςκαι τα γραπτά τους microου υποδείκνυαν ποιες έννοιες και τεχνικές τους δυσκόλευαν ενώο τρόπος microε τον οποίο ανταποκρίνονταν στις παρουσιάσεις που τους έκανα microου έδειχνετι ήταν αποτελεσmicroατικό στο χτίσιmicroο της κατανόησης των εννοιών και κινούσε το ενδια-ϕέρον τους Πολλές από τις αλλαγές σε αυτή την έκδοση είναι αποτέλεσmicroα της συνεχούςαλληλεπίδρασης microε τους ϕοιτητές

Τα θέmicroατα ενός microαθήmicroατος διακριτών microαθηmicroατικών

Τα διακριτά microαθηmicroατικά περιγράϕουν διαδικασίες που αποτελούνται από microια ακολουθί-α ξεχωριστών βηmicroάτων Αντίθετα ο απειροστικός λογισmicroός περιγράϕει διαδικασίες πουmicroεταβάλλονται microε συνεχή τρόπο Όπως οι ιδέες του απειροστικού λογισmicroού αποτέλεσαντα θεmicroέλια της επιστήmicroης και της τεχνολογίας κατά τη βιοmicroηχανική επανάσταση έτσι καιοι ιδέες των διακριτών microαθηmicroατικών υποστηρίζουν την επιστήmicroη και την τεχνολογία τηςεποχής των υπολογιστών Τα κύρια θέmicroατα ενός πρώτου microαθήmicroατος διακριτών microαθηmicroα-τικών είναι η λογική και η απόδειξη η επαγωγή και η επανάληψη η συνδυαστική και οιδιακριτές πιθανότητες οι αλγόριθmicroοι και η ανάλυσή τους και οι εϕαρmicroογές στη microοντελο-ποίηση

Λογική και Απόδειξη Ο σπουδαιότερος ίσως στόχος ενός εισαγωγικού microαθήmicroατος σταδιακριτά microαθηmicroατικά είναι να βοηθήσει τους ϕοιτητές να αναπτύξουν την ικανότητα να

12 Πρόλογος

σκέϕτονται αϕηρηmicroένα Αυτό σηmicroαίνει να έχουν τη δυνατότητα να χρησιmicroοποιούν λογικάορθές microορϕές επιχειρηmicroάτων και να αποϕεύγουν κοινά λογικά σϕάλmicroατα να επιχειρηmicroα-τολογούν microε βάση τους ορισmicroούς να χρησιmicroοποιούν ευθεία αλλά και πλάγια επιχειρήmicroαταγια να αποδεικνύουν νέα αποτελέσmicroατα από ήδη γνωστά και να microπορούν να εργάζονταιmicroε συmicroβολικές αναπαραστάσεις σαν να ήταν συγκεκριmicroένα αντικείmicroενα

Επαγωγή και αναδροmicroή Μια ενδιαϕέρουσα εξέλιξη των τελευταίων ετών είναι η εκτί-microηση της δύναmicroης και οmicroορϕιάς της laquoαναδροmicroικής σκέψηςraquo Πρακτικά αυτό σηmicroαίνει ναεξετάσουmicroε ένα πρόβληmicroα υποθέτοντας ότι παρόmicroοια προβλήmicroατα microικρότερης κλίmicroακαςέχουν ήδη λυθεί και να προσπαθούmicroε να συνδυάσουmicroε αυτές τις λύσεις των επιmicroέρουςπροβληmicroάτων για να λύσουmicroε το microεγαλύτερο πρόβληmicroα Αυτή η microέθοδος χρησιmicroοποιεί-ται εκτεταmicroένα στην ανάλυση αλγορίθmicroων όπου αναδροmicroικές σχέσεις που προκύπτουναπό αναδροmicroικού τύπου συλλογισmicroούς δίνουν τύπους που επιβεβαιώνονται microε microαθηmicroα-τική επαγωγή

Συνδυαστική και διακριτές πιθανότητες Η συνδυαστική στα microαθηmicroατικά της απαρίθmicroη-σης της διάταξης αντικειmicroένων και της πιθανότητας είναι η microελέτη των νόmicroων για τιςmicroετρήσεις τυχαίων γεγονότων Η διακριτή πιθανότητα εστιάζει σε καταστάσεις που α-σχολούνται microε διακριτά σύνολα αντικειmicroένων όπως ο προσδιορισmicroός της πιθανότηταςνα έρθει κορώνα συγκεκριmicroένες ϕορές όταν ρίχνουmicroε ένα δίκαιο κέρmicroα αρκετές ϕορές Ε-πιδεξιότητα στη συνδυαστική και τις πιθανότητες χρειάζεται σχεδόν σε κάθε αντικείmicroενοόπου εϕαρmicroόζονται τα microαθηmicroατικά από την οικονοmicroία microέχρι τη βιολογία την επιστήmicroητων υπολογιστών τη χηmicroεία τη ϕυσική και τη διοίκηση επιχειρήσεων

Αλγόριθmicroοι και η ανάλυσή τους Η λέξη αλγόριϑmicroος ήταν γενικά άγνωστη στο microέσο τουεικοστού αιώνα ενώ τώρα είναι microία από τις πρώτες λέξεις που συναντάει κανείς στην ε-πιστήmicroη των υπολογιστών Για να λύσουmicroε ένα πρόβληmicroα microε έναν υπολογιστή είναι απα-ραίτητο να βρούmicroε έναν αλγόριθmicroο ή microια βήmicroα προς βήmicroα ακολουθία οδηγιών τις οποίεςθα ακολουθήσει ο υπολογιστής Ο σχεδιασmicroός ενός αλγορίθmicroου απαιτεί κατανόηση τωνmicroαθηmicroατικών του προβλήmicroατος που πρόκειται να λυθεί Ο προσδιορισmicroός της ορθότηταςή microη ενός αλγορίθmicroου απαιτεί περίπλοκους χειρισmicroούς microε microαθηmicroατική επαγωγή Ο υπο-λογισmicroός του χρόνου ή της microνήmicroης που χρειάζεται ένας αλγόριθmicroος ώστε να microπορεί νασυγκριθεί microε άλλους αλγορίθmicroους που δίνουν την ίδια έξοδο απαιτεί γνώσεις συνδυαστι-κής επαναληπτικών σχέσεων συναρτήσεων και συmicroβολισmicroών O Ω και Θ

∆ιακριτές δοmicroές Οι διακριτές microαθηmicroατικές δοmicroές είναι αϕηρηmicroένες δοmicroές που περιγρά-ϕουν κατηγοριοποιούν και αναδεικνύουν τις κρυϕές σχέσεις microεταξύ διακριτών microαθηmicroα-τικών αντικειmicroένων Οι δοmicroές που microελετάmicroε σε αυτό το βιβλίο είναι τα σύνολα των ακε-ραίων και των ρητών γενικά σύνολα άλγεβρες Boole συναρτήσεις σχέσεις γραϕήmicroατακαι δέντρα τυπικές γλώσσες και κανονικές εκϕράσεις και αυτόmicroατα πεπερασmicroένων κα-ταστάσεων

Εφαρmicroογέςκαιmicroοντελοποίηση Ταmicroαθηmicroατικά αντικείmicroενα γίνονται καλύτερα κατανοη-τά όταν τα εξετάζουmicroε σε microια ποικιλία καταστάσεων και τα χρησιmicroοποιούmicroε για την επί-λυση προβληmicroάτων που συναντώνται σε ένα microεγάλο εύρος εϕαρmicroογών Ένα από τα σπου-δαιότερα microαθήmicroατα των microαθηmicroατικών είναι ότι microας επιτρέπουν να χρησιmicroοποιούmicroε το ίδιοmicroαθηmicroατικό microοντέλο για να λύνουmicroε προβλήmicroατα τα οποία ϕαινοmicroενικά είναι τελείωςανόmicroοια Ένας από τους στόχους αυτού του βιβλίου είναι να δείξει στους ϕοιτητές τηνεκπληκτική πρακτική χρησιmicroότητα microερικών πολύ αϕηρηmicroένων microαθηmicroατικών ιδεών

Ειδικά χαρακτηριστικά αυτού του βιβλίου

Μαθηmicroατική συλλογιστική Το χαρακτηριστικό που κάνει αυτό να βιβλίο να ξεχωρίζει α-πό άλλα βιβλία διακριτών microαθηmicroατικών είναι ότι διδάσκει mdash microε διεξοδικό αλλά εύληπτοτρόπο στους πρωτοετείς και δευτεροετείς ϕοιτητές mdash την κρυϕή λογική και συλλογι-

Πρόλογος 13

στική που αποτελούν τη βάση της microαθηmicroατικής σκέψης Για πολλά χρόνια δίδασκα έναιδιαίτερα διαδραστικό microάθηmicroα microετάβασης στα αϕηρηmicroένα microαθηmicroατικά σε ϕοιτητές τωνmicroαθηmicroατικών και της επιστήmicroης των υπολογιστών Αυτή η εmicroπειρία microου έδειξε ότι αν καιείναι εϕικτό να διδάξεις τους περισσότερους ϕοιτητές να καταλαβαίνουν και να κατα-σκευάζουν σαϕή microαθηmicroατικά επιχειρήmicroατα υπάρχουν κάποια εmicroπόδια που είναι δύσκολονα ξεπεραστούν Για να είναι αποτελεσmicroατικό το βιβλίο ενός τέτοιου microαθήmicroατος πρέπεινα ασχολείται αρκετά microε τις δυσκολίες του ϕοιτητή στη λογική και στη γλώσσα microε άmicroεσοτρόπο Πρέπει επίσης να περιέχει πολλά σαϕή παραδείγmicroατα και ασκήσεις για να δώσει τηδυνατότητα στους ϕοιτητές να αναπτύξουν τα απαραίτητα νοητικά microοντέλα που θα τουςεπιτρέψουν να κατανοήσουν πιο αϕηρηmicroένα προβλήmicroατα Η αντιmicroετώπιση της λογικήςκαι της απόδειξης σε αυτό το βιβλίο συνδυάζει κοινή λογική και αυστηρή προσέγγιση microεένα τρόπο που εξηγεί τα ουσιώδη χωρίς να κουράζει τους ϕοιτητές microε τεχνικές λεπτοmicroέ-ρειες

Ελικοειδής προσέγγιση στην ανάπτυξη των εννοιών Ένας αριθmicroός από έννοιες σε αυτότο βιβλίο εmicroϕανίζεται microε ολοένα και πιο σύνθετες microορϕές στα διαδοχικά κεϕάλαια γιανα βοηθήσει τους ϕοιτητές να αναπτύξουν επίπεδα αϕαίρεσης Για παράδειγmicroα microέχρι νασυναντήσουν το σχετικά προχωρηmicroένο θέmicroα του microικρού θεωρήmicroατος του Fermat και τουκινέζικου θεωρήmicroατος υπολοίπου στην Ενότητα 104 θα έχουν ήδη εισαχθεί στη microαθη-microατική λογική στα Κεϕάλαια 1 και 2 θα έχουν microάθει τις βασικές microεθόδους της απόδειξηςκαι τις έννοιεςmod και div στο Κεϕάλαιο 3 θα έχουν microελετήσει τις διαmicroερίσεις ακεραίωνστο Κεϕάλαιο 5 θα έχουν θεωρήσει τιςmod και div ως συναρτήσεις στο Κεϕάλαιο 7 καιθα έχουν εξοικειωθεί microε τις σχέσεις ισοδυναmicroίας στις Ενότητες 102 και 103 Αυτή η προ-σέγγιση ανακεϕαλαιώνει τα θέmicroατα και αναπτύσσει τη microαθηmicroατική ωριmicroότητα microε ϕυσικότρόπο

Υποστήριξη για τους φοιτητές Οι ϕοιτητές οπωσδήποτε πρέπει να microάθουν πολλά πράγ-microατα microόνοι τους Μαθαίνοντας να microελετούν microόνοι τους κάτι που συχνά είναι δύσκολοπραγmicroατοποιούν ένα σηmicroαντικό βήmicroα προς την εξασϕάλιση microιας επιτυχηmicroένης επαγγελ-microατικής καριέρας Αυτό το βιβλίο διαθέτει ορισmicroένα χαρακτηριστικά που θα βοηθήσουντους ϕοιτητές να microάθουν να διαβάζουν microόνοι τους

Λυmicroένα παραδείγmicroαταΤο βιβλίο περιέχει περισσότερα από 500 λυmicroένα παραδείγmicroατα που είναι γραmicromicroένασε microορϕή εκϕώνησης-λύσης και είναι ανάλογα τόσο σε περιεχόmicroενο όσο και σε δυ-σκολία microε τις ασκήσεις Πολλές λύσεις προβληmicroάτων microε αποδείξεις έχουν γραϕεί σεδύο στάδια πρώτα εξετάζεται ο τρόπος microε τον οποίο είναι δυνατό να πραγmicroατοποιη-θεί η απόδειξη ή η ανασκευή και microετά παρατίθεται η περίληψη της λύσης microέσα σε έναπλαίσιο Αυτός ο τρόπος επιτρέπει στους ϕοιτητές να διαβάσουν το πρόβληmicroα και ανθέλουν να περάσουν κατευθείαν στην περίληψη ή αν δεν κατανοούν την περίληψηνα επιστρέψουν στη συζήτηση Αυτός ο τρόπος εξοικονοmicroεί χρόνο για τους ϕοιτητέςπου ξαναδιαβάζουν το κείmicroενο κατά την προετοιmicroασία τους για τις εξετάσεις

ΑσκήσειςΤο βιβλίο περιέχει περίπου 2500 ασκήσεις Οι ασκήσεις στο τέλος κάθε ενότητας έ-χουν σχεδιαστεί ώστε οι ϕοιτητές διαϕορετικών κλάδων και ποικίλων δυνατοτήτωννα microπορούν να βρούν κάποιες ασκήσεις που θα έχουν τη δυνατότητα να λύσουν σω-στά και κάποιες άλλες που θα τους δυσκολέψουν

Λύσεις ασκήσεωνΤοΠαράρτηmicroα Β περιέχει ένα microεγάλο αριθmicroό πλήρως λυmicroένων ασκήσεων Οι ϕοιτητέςκαλό θα ήταν να συmicroβουλεύονται τις λύσεις αϕού πρώτα έχουν καταβάλει κάθε προ-σπάθεια να λύσουν τις ασκήσεις microόνοι τους Αν προσπαθήσουν πρώτα microόνοι τους καιmicroετά συγκρίνουν τη δική τους λύση microε αυτή που δίνεται θα οδηγηθούν σε καλύτεροεπίπεδο κατανόησης Επιπλέον πολλά προβλήmicroατα συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων microερικώναπό τα πιο δύσκολα δεν έχουν λυθεί πλήρως ή περιλαmicroβάνουν υποδείξεις ώστε οιϕοιτητές να microπορούν να επαληθεύσουν αν ο συλλογισmicroός τους είναι σωστός και να

14 Πρόλογος

κάνουν τις κατάλληλες προσαρmicroογές Επίσης υπάρχουν πολλές ασκήσεις χωρίς λύσηώστε να microάθουν οι ϕοιτητές να ασχολούνται microε προβλήmicroατα σε ρεαλιστικό πλαίσιοεργασίας

Σχήmicroατα και πίνακεςΤα σχήmicroατα και οι πίνακες έχουν προστεθεί σε σηmicroεία που θεωρήσαmicroε ότι θα βοηθή-σουν τον αναγνώστη να κατανοήσει καλύτερα το πρόβληmicroα Στα περισσότερα σχήmicroα-τα γίνεται χρήση και δεύτερου χρώmicroατος για να γίνουν ακόmicroα πιο κατανοητά

ΑναϕορέςΠολλοί ϕοιτητές microού έχουν γράψει ότι το βιβλίο τούς βοήθησε πολύ στα πιο προχω-ρηmicroένα microαθήmicroατα που πήραν στη συνέχεια των σπουδών τους Ένας microου έγραψε ότιχρησιmicroοποίησε την πρώτη έκδοση τόσο πολύ ώστε το βιβλίο διαλύθηκε και αναγκά-στηκε να αγοράσει και τη δεύτερη έκδοση την οποία συνέχισε να χρησιmicroοποιεί καιστο microεταπτυχιακό του Η τακτική microου να τοποθετώ τους ορισmicroούς και τα θεωρήmicroατασε πλαίσια να βάζω τίτλους στις ασκήσεις και να παρέχω λίστες microε τύπους και τις ση-microασίες των συmicroβόλων στα εσώϕυλλα κάνει το βιβλίο εύχρηστο τόσο για microελέτη όσοκαι αργότερα ως βιβλίο αναϕοράς

Υποστήριξη τουκαθηγητή Έχω λάβει πλήθος πολύτιmicroων παρατηρήσεων από καθηγητέςπου έχουν χρησιmicroοποιήσει προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Το βιβλίο έχει βελτιωθείσηmicroαντικά λόγω αυτών των παρατηρήσεων

ΑσκήσειςΗ microεγάλη ποικιλία ασκήσεων όλων των επιπέδων δυσκολίας δίνει στους καθηγητέςmicroεγάλη ελευθερία να οργανώσουν το microάθηmicroά τους ανάλογα microε τις δυνατότητες τωνϕοιτητών τους Οι ασκήσεις microε λύσεις στο τέλος του βιβλίου έχουν γαλάζια αρίθmicroη-ση ενώ εκείνες που οι λύσεις τους παρέχονται σε διαϕορετικό εγχειρίδιο (εγχειρίδιολύσεων) έχουν αριθmicroούς που είναι πολλαπλάσια του τρία Υπάρχουν ασκήσεις κάθετύπου που δεν έχουν απάντηση ούτε σε αυτό το βιβλίο ούτε στο εγχειρίδιο λύσεωνώστε οι καθηγητές να είναι σε θέση να χρησιmicroοποιούν οποιονδήποτε συνδυασmicroό α-σκήσεων microε ή χωρίς λύσεις Ο microεγάλος αριθmicroός ασκήσεων παρέχει στους καθηγητέςσηmicroαντικές δυνατότητες επιλογής προβληmicroάτων για χρήση τόσο σε εξετάσεις όσο καισε επαναληπτικά microαθήmicroατα Οι καθηγητές θα πρέπει να προτιmicroούν τις ασκήσεις πουδιατυπώνονται microε τη microορϕή ερωτήσεων αντί εκείνων που ζητούν να laquoαποδειχθεί ότιraquoώστε να ενθαρρύνεται η συζήτηση στην τάξη σχετικά microε το ρόλο της απόδειξης καιτου αντιπαραδείγmicroατος στην επίλυση προβληmicroάτων

Ελαστικές ενότητεςΟι περισσότερες ενότητες χωρίζονται σε υποενότητες ώστε όταν ο καθηγητής πιέζε-ται από το χρόνο να microπορεί να παραλείψει συγκεκριmicroένες ενότητες ή να τις αϕήσει νατις διαβάσουν microόνοι τους οι ϕοιτητές Ο χωρισmicroός σε υποενότητες βοηθάει τον διδά-σκοντα να χωρίσει σε τmicroήmicroατα microια ενότητα στην περίπτωση που θέλει να αϕιερώσειπερισσότερα από ένα microαθήmicroατα γιrsquo αυτή

Παρουσίαση των αποδεικτικών microεθόδωνΕίναι αναπόϕευκτο οι αποδείξεις και ανασκευές σε αυτό το βιβλίο να ϕαίνονται πολύεύκολες στους καθηγητές Πολλοί ϕοιτητές όmicroως τις βρίσκουν δύσκολες Σε αυτό τοβιβλίο επιχειρώ να δείξω στους ϕοιτητές τον τρόπο σύνταξης και δόmicroησης αποδείξε-ων και ανασκευών περιγράϕοντας τα είδη των προσεγγίσεων που χρησιmicroοποιούν οιmicroαθηmicroατικοί όταν αντιmicroετωπίζουν δύσκολα προβλήmicroατα στην έρευνά τους

Βιβλίο καθηγητήΤο βιβλίο καθηγητή είναι διαθέσιmicroο σε οποιονδήποτε διδάσκει χρησιmicroοποιώντας τοπαρόν βιβλίο Το βιλίο καθηγητή περιέχει προτάσεις για τον τρόπο προσέγγισης τηςύλης κάθε κεϕαλαίου λύσεις για όλες τις ασκήσεις που δεν λύνονται πλήρως στο Πα-ράρτηmicroαΒ διαϕάνειες επαναληπτικό υλικό ιδέες για εργασίες και επιπλέον ασκήσεις

Πρόλογος 15

Τα νέα χαρακτηριστικά της τρίτης έκδοσης

Οι αλλαγές που έγιναν σε αυτή την έκδοση βασίστηκαν σε προτάσεις συναδέλϕων καιάλλων αναγνωστών της πρώτης και της δεύτερης έκδοσης και στη συνεχιζόmicroενη επαϕήmicroε ϕοιτητές microαθηmicroατικών και επιστήmicroης των υπολογιστών

Βελτιωmicroένη παιδαγωγική προσέγγιση

bull Ο αριθmicroός των ασκήσεων αυξήθηκε στις 2500 περίπου Προστέθηκαν περίπου 980νέες ασκήσεις

bull Προστέθηκαν ασκήσεις στα θέmicroατα στα οποία υπήρχε microεγαλύτερη ανάγκη για εξά-σκηση και τροποποιήθηκαν κατάλληλα ώστε να ληϕθούν καλύτερα υπόψη οι δυ-σκολίες των ϕοιτητών

bull Στο Παράρτηmicroα Β προστέθηκαν περισσότερες πλήρεις λύσεις ώστε να βοηθηθούνοι ϕοιτητές στα δύσκολα θέmicroατα

bull Ο τρόπος παρουσίασης των θεmicroάτων επανεξετάστηκε σε όλο το βιβλίο και όπουκρίθηκε σκόπιmicroο αναθεωρήθηκε

bull Έγινε προσεκτική δουλειά για να βελτιωθεί η microορϕή και η παρουσίαση του κειmicroένου

bull Επεκτάθηκαν οι συζητήσεις για ιστορικά θέmicroατα και πρόσϕατα αποτελέσmicroατα καιαυξήθηκαν οι ϕωτογραϕίες των επιστηmicroόνων των οποίων η δουλειά παρουσιάζεταιστο βιβλίο

Λογική

bull Η παρουσίαση των ποσοδεικτών έχει επεκταθεί σηmicroαντικά microε την προσθήκη microιαςνέας ενότητας αϕιερωmicroένης αποκλειστικά στους πολλαπλούς ποσοδείκτες

bull Προστέθηκαν ασκήσεις που χρησιmicroοποιούν τονΚόσmicroο τουTarski ένα υπέροχο παι-δαγωγικό εργαλείο που αναπτύχθηκε από τους Jon Barwise και John Etchemendyτου Πανεπιστηmicroίου του Stanford

bull Προστέθηκαν εϕαρmicroογές για την αναζήτηση στο ∆ιαδίκτυο

bull Απλοποιήθηκαν οι όροι διαϕόρων microορϕών συλλογισmicroών

Εισαγωγή στην απόδειξη

bull Επεκτάθηκαν οι οδηγίες συγγραϕής αποδείξεων

bull Οι περιγραϕές microεθόδων αποδείξεων γράϕτηκαν microε σαϕέστερο τρόπο

bull Οι ασκήσεις έχουν επανελεγχθεί και κάποιες έχουν microεταϕερθεί σε άλλο σηmicroείο ώστενα διευκολυνθεί η κατανόηση από τους ϕοιτητές

Επαγωγή και επανάληψη

bull Βελτιώθηκε η σκιαγράϕηση των αποδείξεων microε microαθηmicroατική επαγωγή

bull Οι υποενότητες της ενότητας των ακολουθιών οργανώθηκαν εκ νέου

bull Οι οmicroάδες ασκήσεων των ενοτήτων της ισχυρής microαθηmicroατικής επαγωγής και της κα-λής διάταξης και των επαγωγικώνεπαναληπτικών ορισmicroών επεκτάθηκαν σηmicroαντι-κά

Θεωρία αριθmicroών

bull Προστέθηκε microια υποενότητα ανοιχτών προβληmicroάτων στη θεωρία αριθmicroών και επε-κτάθηκε η συζήτηση για τις πρόσϕατες εξελίξεις

bull Προστέθηκε microια νέα ενότητα στην αριθmicroητική υπολοίπων και στην κρυπτογραϕίαΠεριλαmicroβάνεται microια συζήτηση για την κρυπτογραϕία RSA το microικρό θεώρηmicroα τουFermat και το κινέζικο θεώρηmicroα υπολοίπου

bull Η συζήτηση για τον έλεγχο αν ένας ακέραιος είναι πρώτος microεταϕέρθηκε αργότεραστο Κεϕάλαιο 3 για να γίνει σαϕής η εξάρτησή του από την έmicromicroεση επιχειρηmicroατο-λογία

16 Πρόλογος

Θεωρία συνόλων

bull ΟΙ ιδιότητες του κενού συνόλου παρουσιάζονται πλέον στην πρώτη ενότητα τουΚεϕαλαίου 5

bull Ηδεύτερη ενότητα του Κεϕαλαίου 5 είναι πλέον αϕιερωmicroένη αποκλειστικά σε απο-δείξεις στοιχείων

bull Οι αλγεβρικές αποδείξεις των συνολοθεωρητικών ιδιοτήτων και η χρήση αντιπαρα-δειγmicroάτων στην ανασκευή ιδιοτήτων συνόλων έχουν microεταϕερθεί στην τρίτη ενότητατου Κεϕαλαίου 5

bull Η παρουσίαση των αλγεβρών Boole έχει επεκταθεί και επισηmicroαίνεται η σχέση ανά-microεσα στις λογικές ισοδυναmicroίες τις ιδιότητες συνόλων και τις άλγεβρες Boole

Συνδυαστική και διακριτές πιθανότητες

bull Προστέθηκαν ασκήσεις στην ενότητα του διωνυmicroικού θεωρήmicroατος

bull Προστέθηκαν δύο νέες ενότητες στις πιθανότητες όπου microεταξύ άλλων καλύπτονταιη αναmicroενόmicroενη τιmicroή η δεσmicroευmicroένη πιθανότητα και η ανεξαρτησία και το θεώρηmicroαBayes

bull Εξηγούνται οι συνδυαστικές πτυχές των διευθύνσεων του διαδικτυακού πρωτοκόλ-λου (Internet Protocol IP)

Συναρτήσεις

bull Οι ασκήσεις για ένα προς ένα και επί συναρτήσεις έχουν βελτιωθεί

bull Έχει επεκταθεί το σύνολο των ασκήσεων στην πληθικότητα microε εϕαρmicroογές στην υ-πολογισιmicroότητα

Αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων

bull Οι Ενότητες 92 και 94 επανεξετάστηκαν και προστέθηκαν οι συmicroβολισmicroοίΘ καιΩ

bull Οι Ενότητες 93 και 95 έχουν αναθεωρηθεί αντίστοιχα microε καλύτερη επεξήγηση τηςέννοιας της διάταξης για έναν αλγόριθmicroο

bull Ηεξέταση της ταξινόmicroησης microε εισαγωγήκαι της ταξινόmicroησης microε επιλογή βελτιώθηκεκαι επεκτάθηκε

Κανονικές εκϕράσεις και αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων

bull Οι προηγούmicroενες διάσπαρτες ενότητες για τις τυπικές γλώσσες και τα αυτόmicroαταπεπερασmicroένων καταστάσεων συνενώθηκαν σε ένα αυτόνοmicroο κεϕάλαιο

bull Προστέθηκε microια νέα ενότητα για τις κανονικές εκϕράσεις καθώς και microια συζήτησηγια τη σχέση ανάmicroεσα στις κανονικές εκϕράσεις και στα αυτόmicroατα πεπερασmicroένωνκαταστάσεων

Ιστοσελίδα

∆ηmicroιουργήθηκε microια ιστοσελίδα γιrsquo αυτό το βιβλίο που περιέχει πληροϕορίες και υλικότόσο για τους ϕοιτητές όσο και για τους διδάσκοντες Περιέχει

bull περιγραϕές και συνδέσmicroους σε πολλές σελίδες στο ∆ιαδίκτυο microε προσβάσιmicroες πλη-ροϕορίες σχετικά microε τα διακριτά microαθηmicroατικά

bull συνδέσmicroους σε microικροεϕαρmicroογές που παρουσιάζουν ή προσϕέρουν εξάσκηση σε θέ-microατα διακριτών microαθηmicroατικών

bull πρόσθετα παραδείγmicroατα και ασκήσεις microε λύσεις

bull οδηγούς επανάληψης για τα κεϕάλαια του βιβλίου

Μια ειδική ενότητα για τους διδάσκοντες περιέχει

bull διαϕάνειες και ηλεκτρονικές διαϕάνειες σε αρχεία τύπου PowerPoint

bull επιπλέον ασκήσεις για εξετάσεις

Πρόλογος 17

Οδηγός για τη χρήση του βιβλίου microε τις λύσεις

Κατά τη συγγραϕή αυτού του βιβλίου προσπάθησα να δώσω αρκετή βοήθεια στους ϕοι-τητές microέσω της παρουσίασης της ύλης των λυmicroένων παραδειγmicroάτων και των λύσεων τωνασκήσεων ώστε να έχουν στη διάθεσή τους ότι χρειάζεται για την πλήρη κατανόηση τουmicroαθήmicroατος Πιστεύω ότι οι ϕοιτητές που θα ολοκληρώσουν τη microελέτη αυτού του βιβλίουκαι θα κατάϕερουν να λύσουν microόνοι τους όλες τις ασκήσεις που έχουν λυθεί στο Παράρ-τηmicroα Β θα κατανοήσουν πολύ καλά το αντικείmicroενο Όmicroως γνωρίζω ότι κάποιοι ϕοιτητέςθα θέλουν να έχουν πρόσβαση σε επιπλέον βοηθητικό υλικό Γιrsquo αυτόν το λόγο έχω γρά-ψει τον οδηγό λύσεων και microελέτης για το ϕοιτητή που διατίθεται ξεχωριστά από αυτότο βιβλίο και περιέχει τις πλήρεις λύσεις των ασκήσεων οι οποίες δεν είναι πλήρως λυmicroέ-νες στο Παράρτηmicroα Β και που ο αριθmicroός τους διαιρείται microε το 3 Αυτός ο οδηγός περιέχειεναλλακτικές επεξηγήσεις για κάποιες έννοιες και ερωτήσεις επανάληψης για κάθε κεϕά-λαιο

Οργάνωση του βιβλίου

Αυτό το βιβλίο microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί αποτελεσmicroατικά για ένα microάθηmicroα ενός ή δύοεξαmicroήνων Κάθε κεϕάλαιο περιέχει κύριες ενότητες ενότητες microε προαιρετικό υλικό καιενότητες microε προαιρετικές εϕαρmicroογές Οι διδάσκοντες έχουν την άνεση να επιλέξουν ό-ποιο υποσύνολο θεωρούν ότι ταιριάζει καλύτερα microε το microάθηmicroα και τους ϕοιτητές τους Οακόλουθος πίνακας δείχνει τη διαίρεση των ενοτήτων σε κατηγορίες

Ενότητες microε προαιρετικό Ενότητες microε προαιρετικές

Κεϕάλαιο Κύρια ενότητα microαθηmicroατικό υλικό εϕαρmicroογές στους υπολογιστές

1 11ndash13 14 15

2 21ndash24 22 23 23

3 31ndash34 36 35 37 38

4 41ndash42 43ndash44 45

5 51 52ndash54 54

6 61ndash64 65ndash69 63

7 71ndash72 73ndash75 71 72 75

8 81 82 83 84 84

9 91 92 94 93 95

10 101ndash103 104 105 104 105

11 111 115 112 113 114 111 112 115 116

12 121 122 123 121ndash123

Το δενδροειδές διάγραmicromicroα που ακολουθεί δείχνει κατά προσέγγιση την αλληλοεξάρ-τηση των κεϕαλαίων Τα κεϕάλαια που βρίσκονται σε διαϕορετικά κλαδιά του δέντρουείναι αρκετά ανεξάρτητα ώστε οι διδάσκοντες να microη χρειάζεται να κάνουν σηmicroαντικέςπροσαρmicroογές αν τα προσπεράσουν και απλώς ακολουθήσουν τις διαδροmicroές κατά microήκοςτων κλαδιών του δέντρου

18 Πρόλογος

1

2

33

4

8

12dagger

11

5

7

9

6 10

lowast dagger

Ευχαριστίες

Χρωστάω ένα microεγάλο ευχαριστώ σε πολλούς ανθρώπους στο Πανεπιστήmicroιο του DePaulγια την υποστήριξή τους όλα αυτά τα χρόνια που δούλευα πάνω στις εκδόσεις αυτού τουβιβλίου Κάποιοι συνάδελϕοι χρησιmicroοποίησαν πρώιmicroες microορϕές και προηγούmicroενες εκδό-σεις του βιβλίου και microου έκαναν εξαιρετικά σχόλια για βελτιώσεις Γιrsquo αυτό ευχαριστώτους Louis Aquila J Marshall Ash Allan Berele Jerey Bergen William Chin BarbaraCortzen Constantine Georgakis Sigrun Goes Jerry Goldman Lawrence Gluck LeonidKrop CarolynNarasimhanWalter Pranger Eric Rieders Ayse Sahin Yuen-FatWong καιειδικότερα την Jeanne LaDuke Οι χιλιάδες ϕοιτητές στους οποίους δίδαξα διακριτά microα-θηmicroατικά είχαν σηmicroαντικότατη επίδραση στη microορϕή του βιβλίου Μοιράζοντας τις σκέ-ψεις τους και τους τρόπους σκέψης τους microαζί microου microε δίδαξαν πώς να διδάσκω καλύτε-ρα Τους οϕείλω ευγνωmicroοσύνη για τη βοήθειά τους Ιδιαίτερες ευχαριστίες οϕείλω στηδιοίκηση του Πανεπιστηmicroίου τουDePaul ιδιαίτερα στον ΚοσmicroήτοραMichael Mezey καιστον πρώην Κοσmicroήτορα Richard Meister που θεώρησαν αξιόλογη ακαδηmicroαϊκή εργασίατη συγγραϕή αυτού του βιβλίου

Ευχαριστώ τους διορθωτές για τις πολύτιmicroες παρατηρήσεις τους γιrsquo αυτή την έκδοσητου βιβλίου τους Pablo Echeverria του Camden County College William Gasarch τουUniversity of Maryland Joseph Kolibal του University of Southern Mississippi Benny Loτου International Technological University George Luger του University of New MexicoNorman Richert τουUniversity of Houston-Clear Lake PeterWilliams τουCalifornia Sta-te University at San Bernardino και τον Jay Zimmerman του Towson University Για τηβοήθειά τους στην πρώτη και δεύτερη έκδοση αυτού του βιβλίου είmicroαι ευγνώmicroων στουςItshak Borosh Texas A ampMUniversity Douglas M Campbell Brigham Young UniversityDavid G Cantor University of California at Los Angeles C Patrick Collier Universityof Wisconsin-Oshkosh Kevan H Croteau Francis Marion University Irinel Drogan Uni-versity of Texas at Arlington Henry A Etlinger Rochester Institute of Technology MelvinJ Friske Wisconsin Lutheran College Ladnor Geissinger University of North CarolinaJerrold R Griggs University of South Carolina Nancy Baxter Hastings Dickinson Colle-ge Lillian Hupert Loyola University Chicago Leonard T Malinowski Finger Lakes Com-munity College John F Morrison Towson State Unviersity Paul Pederson University ofDenver George Peck Arizona State University Roxy Peck California Polytechnic StateUniversity San Luis Obispo Dix Pettey University of Missouri Anthony Ralston State U-niversity of NewYork at Bualo John Roberts University of Louisville καιGeorge Schultz

lowastΟι διδάσκοντες που προτιmicroούν να ορίσουν τη συνάρτηση ως διmicroελή σχέση microπορούν να καλύψουντην Ενότητα 101 πριν την Ενότητα 71daggerΗ Ενότητα 103 χρειάζεται για την Ενότητα 123 αλλά όχι για τις Ενότητες 121 και 122

Πρόλογος 19

St Petersburg Junior College Clearwater Πολλές ευχαριστίες οϕείλω επίσης στους JohnCarroll San Diego State University Dr Joseph S Fulda και Porter G Webster Universityof Southern Mississippi για την απίστευτη επιmicroέλειά τους και την ενθάρρυνση που microουέδωσαν

Επίσης ωϕελήθηκα πάρα πολύ από τις παρατηρήσεις πολλών διδασκόντων που microουπρόσϕεραν γενναιόδωρα τις ιδέες τους για βελτιώσεις βασισmicroένες στις εmicroπειρίες τους α-πό τις προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Είmicroαι ιδιαίτερα ευγνώmicroων στους GoldstinePennsylvania State University David Hecker St Josephrsquos University Tom Jenkyns BrockUniversity Robert Messer Albion College Piotr Rudnicki University of Alberta AnwarShiek Dineacute College Norton Starr Amherst College Είχα επίσης εξαίρετη βοήθεια απότους John Banks Christopher Novak DePaul University και Ian Crewe Ascension Colle-giate School κατά τη διάρκεια της παραγωγής του βιβλίου

Χρωστώ ευγνωmicroοσύνη σε πολλούς ανθρώπους στις εταιρείες Wadsworth and Bro-oksCole Publishing ιδιαίτερα τον εκδότη microου Robert Pirtle για την ικανότητά του ναπραγmicroατοποιεί καλά πράγmicroατα ως δια microαγείας τους προηγούmicroενους εκδότες microου Hea-ther Bennett και Barbara Holland για την ενθάρρυνση και τον ενθουσιασmicroό τους και τηδιευθύντρια παραγωγής Janet Hill για την κατανόησή της και την προθυmicroία της να microουεπιτρέψει να έχω ρόλο σε όλα τα στάδια της παραγωγής ∆εν microπορώ να ϕανταστώ κα-λύτερη διευθύντρια παραγωγής από τη Martha Emry της οποίας τα υψηλής ποιότηταςπρότυπα και η προσοχή της στις λεπτοmicroέρειες ήταν πάντα εmicroπνευσmicroένες Ο σχεδιασmicroόςτης Kathleen Cunningham και η ϕωτοσύνθεση από την Techsetters Inc θα εκτιmicroηθούναπό όλους τους αναγνώστες του βιβλίου

Όσο microεγαλώνω τόσο συνειδητοποιώ το τεράστιο χρέος που οϕείλω στους δικούς microουδασκάλους των microαθηmicroατικών που διαmicroόρϕωσαν τον τρόπο microε τον οποίο βλέπω το αντι-κείmicroενο Τα πρώτα microου ευχαριστώ πρέπει να πάνε στο σύζυγό microουHelmut Epp ο οποίοςσε ένα ραντεβού όταν ακόmicroα ήmicroουν στο Γυmicroνάσιο () microε εισήγαγε στη δύναmicroη και τηνοmicroορϕιά των αξιωmicroάτων των microαθηmicroατικών και την άποψη ότι τα microαθηmicroατικά είναι ένααντικείmicroενο τόσο microε ιδέες όσο και microε τύπους και τεχνικές Όσον αϕορά την εκπαίδευ-σή microου είmicroαι ευγνώmicroων στους Daniel Zelinsky και Ky Fan του Northwestern Universityκαι Izaak Wirszup I N Herstein και Irving Kaplansky του University of Chicago που ό-λοι τους ο καθένας microε το δικό του τρόπο microε βοήθησαν να εκτιmicroήσω την κοmicroψότητα καιαυστηρότητα των microαθηmicroατικών αλλά και τη συγκίνηση που προκαλούν

Στην οικογένειά microου χρωστάω ευχαριστίες πέρα από κάθε όριο Είmicroαι ευγνώmicroων στηmicroητέρα microου που το ευγενικό ενδιαϕέρον της για τα έργα της ανθρώπινης διανόησης microεέβαλαν πριν πολλά χρόνια στο δρόmicroο που οδήγησε σε αυτό το βιβλίο και στον εκλιπόνταπατέρα microου που η αϕοσίωσή του στα βιβλία ήταν σταθερή πηγή έmicroπνευσης Ευχαριστώ ταπαιδιά microου και τα εγγόνια microου για την αγάπη τους και την αποδοχή των απαιτήσεων πουεπέβαλλε η συγγραϕή αυτού του βιβλίου στη ζωή microου Και περισσότερο από κάθε άλλονείναι ευγνώmicroωνστο σύζυγό microου που για πολλά χρόνια microε ενθάρρυνε microε την πίστη του στηναξία αυτής της εργασίας και microε υποστήριξε microε την αγάπη του και τις σοϕές συmicroβουλές του

Susanna Epp

236 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

62 Υποθέστε ότι το a[1] a[2] a[3] a[m] είναι διάνυσmicroακαι θεωρήστε το ακόλουθο τmicroήmicroα αλγορίθmicroου

sum ∶= 0for k ∶= 1 to m

sum ∶= sum + a[k]next k

Συmicroπληρώστε τα κενά παρακάτω ώστε κάθε τmicroήmicroα του αλ-γορίθmicroου να κάνει την ίδια δουλειά microε το παραπάνω

α sum ∶= 0for i ∶= 0 to

sum ∶=next i

β sum ∶= 0for j ∶= 2 to

sum ∶=next j

Χρησιmicroοποιήστε διαδοχικές διαιρέσεις microε το 2 για να microετατρέ-ψετε (microε το χέρι) τους ακεραίους των Ασκήσεων 63ndash65 από τηβάση 10 στη βάση 2

63 90 64 98 65 205

Κατασκευάστε έναν πίνακα για να καταγράψετε όλα τα βήmicroατατου Αλγορίθmicroου 411 microε είσοδο τις Ασκήσεις 66ndash68

66 23 67 28 68 44

69 Γράψτε microια microη τυπική περιγραϕή αλγορίθmicroου (χρησιmicroοποιώ-ντας διαδοχικές διαιρέσεις microε το 16) για να microετατρέψετε έναmicroη αρνητικό ακέραιο από το δεκαδικό στο δεκαεξαδικό σύ-στηmicroα (microε βάση το 16)

Χρησιmicroοποιήστε τον αλγόριθmicroο που αναπτύξατε για την Άσκη-ση 69 για να microετατρέψετε τους ακεραίους των Ασκήσεων 70ndash72στο δεκαεξαδικό σύστηmicroα

70 287 71 693 72 2301

73 Γράψτε microια τυπική περιγραϕή του αλγορίθmicroου που αναπτύ-ξατε στην Άσκηση 69

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι

[Η microαϑηmicroατιϰή επαγωγή είναι] η συνήϑης αποδειϰτιϰή τεχνιϰή στην επιστήmicroη τωνυπολογιστών

mdashAnthony Ralston 1984

Ηmicroαθηmicroατική επαγωγή είναι microία από τις πιο πρόσϕατα ανεπτυγmicroένες αποδεικτικές microεθό-δους στην ιστορία των microαθηmicroατικών Χρησιmicroοποιείται για την επαλήθευση εικασιών πουαϕορούν σε αποτελέσmicroατα διαδικασιών που εmicroϕανίζονται κατrsquo επανάληψη και σύmicroϕωναmicroε καθορισmicroένα microοτίβα Θα παρουσιάσουmicroε αυτή την τεχνική microε ένα παράδειγmicroα

Μερικοί ισχυρίζονται ότι το λεπτό του αmicroερικάνικου δολαρίου είναι τόσο microικρό νόmicroι-σmicroα ώστε πρέπει να αποσυρθεί Λένε ότι αν πέσει από τα χέρια κάποιου αυτός σπανίως θασκύψει να το πάρει Άλλοι ισχυρίζονται ότι αν αποσυρθεί το λεπτό θα υπάρχουν προβλή-microατα microε την ευελιξία στον καθορισmicroό των τιmicroών των αγαθών Ποιες τιmicroές θα microπορούσαννα εξοϕληθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο στην περίπτωση απόσυρσης του λεπτού και αντι-κατάστασής του microε ένα νόmicroισmicroα αξίας 3cent Η απάντηση είναι ότι οι microόνες τιmicroές που δενθα microπορούσαν να πληρωθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο είναι οι 1cent 2cent 4cent και 7cent Με άλλαλόγια

Μπορούmicroε να πάρουmicroε οποιονδήποτε ακέραιο αριθmicroό τουλάχιστον8 λεπτών χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα των 3cent και 5cent

Ποιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 microπορούmicroε να πάρουmicroεn λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5cent

Ακόmicroα πιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 η P(n) είναι αληθής όπου P(n) είναι η πρότασηlaquomicroπορούmicroε να πάρουmicroε n λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5centraquo

Θα microπορούσατε να ελέγξετε ότι η P(n) είναι αληθής για λίγες συγκεκριmicroένες τιmicroές του nόπως κάνουmicroε στον παρακάτω πίνακα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 237

Αριθmicroός λεπτών Πώς λαmicroβάνεται

8cent 3cent + 5cent

9cent 3cent + 3cent + 3cent

10cent 5cent + 5cent

11cent 3cent + 3cent + 5cent

12cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent

13cent 3cent + 5cent + 5cent

14cent 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

15cent 5cent + 5cent + 5cent

16cent 3cent + 3cent + 5cent + 5cent

17cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

Οι περιπτώσεις που ϕαίνονται στον πίνακα microας δίνουν επαγωγικού τύπου στοιχείαγια να υποστηρίξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλα τα n Πράγmicroατι η P(n) είναι αλη-ϑής για όλα τα n ge 8 αν ϰαι microόνο αν είναι εϕιϰτό να συνεχίσουmicroε να συmicroπληρώνουmicroε τονπίναϰα για οσοδήποτε microεγάλες τιmicroές του n

Η k γραmicromicroή του πίνακα δίνει πληροϕορίες για το πώς θα πάρουmicroε kcent χρησιmicroοποιώ-ντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent Για να συνεχίσουmicroε τον πίνακα στην επόmicroενη γραmicromicroήπρέπει να δώσουmicroε οδηγίες για το πώς θα υπολογιστούν τα (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και 5cent Το microυστικό είναι να παρατηρήσουmicroε πρώτα ότι αν microπορούmicroε ναυπολογίσουmicroε kcent χρησιmicroοποιώντας τουλάχιστον ένα κέρmicroα των 5cent τότε microπορούmicroε να υ-πολογίσουmicroε (k + 1)cent αντικαθιστώντας το κέρmicroα των 5cent microε δύο κέρmicroατα των 3cent όπωςϕαίνεται στο Σχήmicroα 421

kcent (k + 1)cent

3cent 3cent5cent

Αντικατάσταση ενός κέρματος των 5cent με δύο

κέρματα των 3cent

Αφαίρεση Προσθήκη

Σχήmicroα 421

Αν από την άλλη microεριά τα kcent λαmicroβάνονται χωρίς χρήση του κέρmicroατος των 5cent τότεχρησιmicroοποιούνται microόνο κέρmicroατα των 3cent Και αϕού το σύνολο είναι τουλάχιστον 8cent πρέπεινα περιλαmicroβάνονται τρία ή περισσότερα κέρmicroατα των 3cent Για να πάρουmicroε ένα σύνολο(k + 1)cent microπορούmicroε να αντικαταστήσουmicroε τρία από τα κέρmicroατα των 3cent microε δύο των 5centόπως ϕαίνεται στο Σχήmicroα 422 της επόmicroενης σελίδας

Η δοmicroή του παραπάνω επιχειρήmicroατος microπορεί να περιγραϕεί συνοπτικά ως εξής Γιανα δείξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8 (1) δείχνουmicroε ότι ηP(8) είναι αληθής και (2) δείχνουmicroε ότι η αλήθεια της P(k + 1) προκύπτει απαραίτητααπό την αλήθεια της P(k) για κάθε k ge 8 Κάθε επιχείρηmicroα αυτής της microορϕής καλείταιεπιχείρηmicroα microαϑηmicroατιϰής επαγωγής

238 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

5cent

kcent (k + 1)cent

Προσθήκη

kcent (k + 1)cent

5cent

3cent 3cent

3cent

Αντικαθιστούμε τρίακέρματα των 3centμε δύο κέρματα

των 5cent

Αφαίρεση

5cent

Σχήmicroα 422

Η αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής

Έστω ότι η P(n) είναι microια ιδιότητα που ορίζεται για ακεραίους n και έστω ότι οa είναι ένας συγκεκριmicroένος ακέραιος Υποθέτουmicroε ότι οι ακόλουθες δυο προτάσειςείναι αληθείς

1 Η P(a) είναι αληθής2 Για όλους τους ακεραίους k ge a αν η P(k) είναι αληθής τότε και η P(k + 1) είναι

αληθής

Τότε ισχύει η πρότασηγια όλους τους ακεραίους n ge a η P(n) είναι αληθής

Η πρώτη γνωστή καταγεγραmicromicroένη microαθηmicroατική επαγωγή βρίσκεται στα γραπτά τουΙταλού επιστήmicroονα Francesco Maurolico το 1575 Την ίδια τεχνική χρησιmicroοποιούσαν κα-τά το δέκατο έβδοmicroο αιώνα και οι Pierre de Fermat και Blaise Pascal Ο Fermat ονόmicroαζετην επαγωγή laquomicroέθοδο της άπειρης καθόδουraquo (laquomethod of innite descentraquo) Το 1883 οAugustus De Morgan (γνωστός από τους κανόνες De Morgan) περιέγραψε προσεκτικάτη διαδικασία και την ονόmicroασε microαϑηmicroατιϰή επαγωγή

Για να πάρετε microια διαισθητική εικόνα για τη microαθηmicroατική επαγωγή ϕανταστείτε microιαάπειρη συλλογή από ντόmicroινο τοποθετηmicroένα το ένα πίσω από το άλλο microε τέτοιο τρόποώστε αν ένα ντόmicroινο πέσει να ρίξει και το επόmicroενο (∆είτε το Σχήmicroα 423) Φανταστείτετώρα ότι πέϕτει το πρώτο ντόmicroινο Τι θα συmicroβεί Θα πέσουν όλα

12

3

4

kk + 1

Σχήmicroα 423 Όταν πέϕτει το k ντόmicroινο ρίχνει και το (k + 1)

Για να δείτε τη σχέση ανάmicroεσα σε αυτή την εικόνα και την αρχή της microαθηmicroατικήςεπαγωγής υποθέστε ότι η P(n) είναι η πρόταση laquoτο n ντόmicroινο πέϕτειraquo Υποθέτουmicroε ότιγια κάθε k ge 1 αν η P(k) είναι αληθής (το k ντόmicroινο πέϕτει) τότε η P(k + 1) είναι επίσηςαληθής (το (k + 1) ντόmicroινο πέϕτει) Υποθέτουmicroε επίσης ότι η P(1) είναι αληθής (το πρώτοντόmicroινο πέϕτει) Έτσι από την αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής η P(n) (το n ντόmicroινοπέϕτει) είναι αληθής για κάθε n ge 1

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 239

Η ισχύς της απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή θεωρείται αξίωmicroα Γιrsquo αυτόν το λόγοαναϕερόmicroαστε σε αυτή ως αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής αντί ως θεώρηmicroα Είναι ισο-δύναmicroη microε την ακόλουθη ιδιότητα των ακεραίων που εύκολα τη δέχεται κανείς ως αληθήmicroε βάση τη διαίσθησή του

Υποθέτουmicroε ότι το S είναι οποιοδήποτε σύνολο ακεραίων που ικανοποιεί (1) a isin Sκαι (2) για όλους τους ακεραίους k αν k isin S τότε k + 1 isin S Τότε το S πρέπει ναπεριέχει κάθε ακέραιο microεγαλύτερο ή ίσο του a

Για να κατανοήσουmicroε την ισοδυναmicroία των δυο διατυπώσεων απλώς ορίζουmicroε ως S τοσύνολο όλων των ακεραίων για τους οποίους η P(n) είναι αληθής

Η απόδειξη ενός επιχειρήmicroατος microε microαθηmicroατική επαγωγή είναι microια διαδικασία δύο βη-microάτων Το πρώτο βήmicroα λέγεται αρχιϰό βήmicroα ή βήmicroα έναρξης και το δεύτερο επαγωγιϰόβήmicroα

Η microέθοδος απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή

Θεωρήστε microια πρόταση της microορϕής laquoγια όλους τους ακεραίους n ge a η ιδιότηταP(n) είναι αληθήςraquo Για να αποδείξουmicroε microια τέτοια πρόταση ακολουθούmicroε τα παρα-κάτω δύο βήmicroατα

Βήmicroα 1 (αρχικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = a

Βήmicroα 2 (επαγωγικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους k ge a αν η ιδιό-τητα είναι αληθής για n = k τότε είναι αληθής για n = k + 1 Για να πραγmicroα-τοποιήσουmicroε αυτό το βήmicroα

υποθέτουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k όπου k είναιοποιοσδήποτε συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος ακέραιοςmicroε k ge a [Αυτή η υπόϑεση ονοmicroάζεται επαγωγική υπόθεση]

Έτσι

δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k + 1

∆ίνουmicroε εδώ την τυπική απόδειξη για τα κέρmicroατα που διατυπώσαmicroε χωρίς τυπικό τρό-πο προηγουmicroένως

Πρόταση 421

Έστω ότι η P(n) είναι η ιδιότητα laquoncent microπορούν να υπολογιστούν microε κέρmicroατα των 3centκαι 5centraquo Τότε η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8

Απόδειξη

∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 8 Η ιδιότητα είναι αληθής για n = 8 ε-πειδή 8cent = 3cent + 5cent

∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 8 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής ϰαι για n = k + 1 Υποθέτουmicroε ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε kcent χρη-σιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent για κάποιο ακέραιο k ge 8 [Αυτή είναι η ε-παγωγιϰή υπόϑεση]Πρέπει να δείξουmicroε τώρα ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε και (k + 1)centχρησιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και 5cent Αν υπάρχει κέρmicroα των 5cent ανάmicroεσα σε αυτάπου απαρτίζουν τα kcent το αντικαθιστούmicroε microε δύο κέρmicroατα των 3cent το αποτέλεσmicroαθα είναι (k + 1)cent Αν δεν υπάρχει κέρmicroα των 5cent σε αυτά που απαρτίζουν τα kcent τότεπρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 3 κέρmicroατα των 3cent αϕού k ge 8 Αϕαιρούmicroε αυτά τατρία κέρmicroατα των 3cent και τα αντικαθιστούmicroε microε δύο των 5cent το αποτέλεσmicroα θα είναι(k + 1)cent Έτσι σε κάθε περίπτωση microπορούmicroε να πάρουmicroε (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και των 5cent [όπως έπρεπε να δειχϑεί]

240 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Το ακόλουθο παράδειγmicroα δείχνει πώς χρησιmicroοποιούmicroε τη microαθηmicroατική επαγωγή γιανα αποδείξουmicroε έναν τύπο που δίνει το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Παράδειγmicroα 421 Άθροισmicroα των n πρώτων ακεραίων

Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να αποδείξετε ότι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2για όλους τους ακεραίους n ge 1

Λύση Για να κατασκευάσετε microια απόδειξη microε επαγωγή πρέπει πρώτα να βρείτε ποια είναι ηιδιότητα P(n) Σε αυτή την περίπτωση η P(n) είναι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2 larr η ιδιότητα (P(n))

[Για να δείτε ότι η P(n) είναι microια πρόταση παρατηρήστε ότι το αντιϰείmicroενό της είναι laquoτοάϑροισmicroα των αϰεραίων από το 1 microέχρι το nraquo ϰαι το ρήmicroα της είναι το laquoισούταιraquo]

Στο αρχικό βήmicroα της απόδειξης πρέπει να δείξετε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 1ή microε άλλα λόγια ότι η P(1) είναι αληθής Τώρα για να βρούmicroε την P(1) αντικαθιστούmicroε1 στη θέση του n στην P(n) Το αριστερό σκέλος της P(1) είναι το άθροισmicroα όλων τωνδιαδοχικών ακεραίων που ξεκινούν microε το 1 και τελειώνουν στο 1 Αυτό είναι απλώς το 1Έτσι η P(1) είναι η

1 =1(1 + 1)

2 larr αρχική (P(1))

Φυσικά αυτή η εξίσωση είναι αληθής διότι το δεξιό σκέλος είναι

1(1 + 1)2

=1 sdot 2

2= 1

που ισούται microε το αριστερό σκέλοςΣτο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής για κάποιον ακέραιο k microε

k ge 1 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση] Πρέπει τώρα να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναιαληθής Ποιες είναι οι P(k) και P(k + 1) Για να βρούmicroε την P(k) αντικαθιστούmicroε k στηθέση κάθε n στην P(n) Έτσι η P(k) είναι η

1 + 2 +⋯+ k =k(k + 1)

2 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Παρόmicroοια για να βρούmicroε την P(k + 1) αντικαθιστούmicroε κάθε n της P(n) microε την ποσότητα(k + 1) Έτσι η P(k + 1) είναι1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2

ή ισοδύναmicroα

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

larr να δειχθεί η (P(k + 1))

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 241

Τώρα η επαγωγική υπόθεση είναι ότι η P(k) είναι αληθής Πώς microπορούmicroε να χρησι-microοποιήσουmicroε αυτή την υπόθεση για να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής Η P(k + 1)είναι microια εξίσωση και η αλήθεια microιας εξίσωσης microπορεί να δειχθεί microε διάϕορους τρόπουςΈνας από τους πιο άmicroεσους είναι να microετασχηmicroατίσουmicroε το αριστερό σκέλος στο δεξιόχρησιmicroοποιώντας άλγεβρα και άλλους γνωστούς κανόνες και έγκυρες υποθέσεις microεταξύτων οποίων και την επαγωγική υπόθεση Σε αυτή την περίπτωση το αριστερό σκέλος τηςP(k + 1) είναι

1 + 2 +⋯+ (k + 1)που ισούται microε

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) προσδιορισmicroός του προτελευταίουόρου και οmicroαδοποίηση

Αλλά microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1)=k(k + 1)

2+ (k + 1) αϕού η επαγωγική υπόθεση λέει

ότι 1 + 2 +⋯ + k =k(k + 1)

2

Τώρα χρησιmicroοποιούmicroε άλγεβρα για να δείξουmicroε ότι αυτή η έκϕραση ισούται microε το δεξιόσκέλος της P(k + 1)

k(k + 1)2

+ (k + 1)

=k(k + 1)

2+2(k + 1)

2

πολλαπλασιάζουmicroε αριθmicroητή και πα-ρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε το2 για να πάρουmicroε κοινό παρονοmicroα-στή

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2microε πρόσθεση κλασmicroάτων

=(k + 2)(k + 1)

2βγάζουmicroε κοινό παράγοντα το (k + 1)

=(k + 1)(k + 2)

2υπολογίζουmicroε τους παράγοντες(k + 1) και (k + 2)

που ισούται microε το δεξιό σκέλος της P(k + 1)Συνοψίζουmicroε την παραπάνω ανάλυση ως εξής

Θεώρηmicroα 422 Άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Για όλους τους ακεραίους n ge 1

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2

Απόδειξη (microε microαθηmicroατική επαγωγή)

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση 1 + 2 +⋯+ n = n(n + 1)2

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1 Για να δείξουmicroε την ιδιότητα για

n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 =1(1 + 1)

2 Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης

είναι 1 και το δεξιό είναι1(1 + 1)

2=2

2= 1 και αυτό Άρα η ιδιότητα είναι αληθής για

n = 1συνεχίζεται στην επόmicroενη σελίδα

242 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2είναι αληϑής για ϰάποιον

αϰέραιο k ge 1 στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ k =

k(k + 1)2

για κάποιον ακέραιο k ge 1

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =

n(n + 1)2

είναι αληϑής όταν

αντιϰαταστήσουmicroε το k + 1 στη ϑέση του n]Πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2 ή ισοδύναmicroα ότι

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

421

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος της εξίσωσης (421) ισούται microε το δεξιόσϰέλος]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (421) είναι το

1 + 2 +⋯+ (k + 1)= (1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) Ο προτελευταίος όρος είναι ο k γιατί οι όροι

είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ο τελευταίος εί-ναι ο k + 1

=k(k + 1)

2+ (k + 1) microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

=k(k + 1)

2+(k + 1) sdot 2

2

=(k + 1)(k + 2)

2

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (421) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού δείξαmicroε ϰαι το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

Λέγεται microια ιστορία για έναν από τους microεγαλύτερους microαθηmicroατικούς όλων των εποχώντον Carl Friedrich Gauss (1777ndash1855) σύmicroϕωνα microε την οποία όταν ήταν microικρό παιδί οδάσκαλος του ζήτησε να προσθέσει τους αριθmicroούς από το 1 microέχρι το 100 Ο δάσκαλοςζήτησε από τους microαθητές να υπολογίσουν το άθροισmicroα ώστε να τους απασχολήσει γιανα microπορέσει εκείνος να διορθώσει γραπτά Αλλά λίγες στιγmicroές αργότερα ο Gauss βρήκετην σωστή απάντηση Είναι περιττό να πούmicroε ότι ο δάσκαλος τα έχασε Πώς microπόρεσε ονεαρός Gauss να υπολογίσει τόσο γρήγορα Τα επόmicroενα χρόνια ο Gauss εξήγησε ότι είχεϕανταστεί τους αριθmicroούς σε ζευγάρια σύmicroϕωνα microε το ακόλουθο σχήmicroα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 243

1 2 3 50 51 98 99 100

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

Το άθροισmicroα κάθε ζεύγους είναι 101 και υπάρχουν 50 ζεύγη άρα το συνολικό άθροισmicroαείναι 50 sdot 101 = 5050

Παράδειγmicroα 422 Εϕαρmicroογές του τύπου του αθροίσmicroατος των πρώτων n ακεραίων

α Βρείτε το 2 + 4 + 6 +⋯+ 500

β Βρείτε το 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50

γ Για οποιονδήποτε ακέραιο h ge 2 βρείτε το 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1)Λύση

α 2 + 4 + 6 +⋯+ 500 = 2 sdot (1 + 2 + 3 +⋯+ 250)= 2 sdot (250 sdot 251

2) εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroα

των πρώτων n ακεραίων για n = 250

= 62750

β 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50 = (1 + 2 + 3 +⋯+ 50) minus (1 + 2 + 3 + 4)=50 sdot 51

2minus 10

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroατων πρώτων n ακεραίων για n = 50

= 1265

γ 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1) = (h minus 1) sdot [(h minus 1) + 1]2

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροι-σmicroα των πρώτων n ακεραίων γιαn = h minus 1

=(h minus 1) sdot h

2αϕού (h minus 1) + 1 = h n

Στο επόmicroενο παράδειγmicroα ζητείται να αποδειχθεί ένας άλλος διάσηmicroος microαθηmicroατικόςτύποςmdashο τύπος του αθροίσmicroατος της γεωmicroετρικής προόδου Σε microια γεωmicroετρικήπρόοδοκάθε όρος ισούται microε τον προηγούmicroενο επί ένα σταθερό παράγοντα Αν ο πρώτος όροςείναι 1 και ο σταθερός παράγοντας είναι r τότε η ακολουθία είναι 1 r r2 r3 rn Το άθροισmicroα των πρώτων n όρων αυτής της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

για όλους τους ακεραίους n ge 0 και τους πραγmicroατικούς αριθmicroούς r που δεν είναι ίσοι microε1 Η αναπτυγmicroένη microορϕή αυτού του τύπου είναι η

r0 + r1 + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

και επειδή r0 = 1 και r1 = r ο τύπος για n ge 1 microπορεί να ξαναγραϕεί ως

1 + r + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

244 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παράδειγmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Αποδείξτε ότιnsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 για κάθε ακέραιο n ge 0 και για όλους τους πραγmicroατικούς

αριθmicroούς r διάϕορους του 1

Λύση Σε αυτό το παράδειγmicroα η ιδιότητα P(n) είναι πάλι microια εξίσωση αν και σε αυτή τηνπερίπτωση περιλαmicroβάνει microια πραγmicroατική microεταβλητή r

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 larr η ιδιότητα (P(n))

Αϕού το r microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός εκτός του 1 ξεκινάmicroε τηναπόδειξη υποθέτοντας ότι ο r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγ-microατικός αριθmicroός διάϕορος του 1 Έπειτα συνεχίζουmicroε την απόδειξη microε microαθηmicroατική επα-γωγή στο n αρχίζοντας microε το n = 0 Στο αρχικό βήmicroα πρέπει να δείξουmicroε ότι η P(0) είναιαληθής δηλαδή να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 0 Οπότε αντικαθιστούmicroε0 για κάθε n στην P(n)

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1 larr αρχική (P(0))

Στο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής δηλαδή υποθέτουmicroε ότι ηιδιότητα είναι αληθής για n = k Οπότε αντικαθιστούmicroε k για κάθε n στην P(n)

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Μετά δείχνουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής δηλαδή δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αλη-θής για n = k + 1 Έτσι αντικαθιστούmicroε k + 1 για κάθε n στην P(n)

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1

ή εναλλακτικά

k+1sumi=0

r i =rk+2 minus 1

r minus 1sdot larr για να δείξουmicroε την (P(k + 1))

Θεώρηmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό r εκτός του 1 και για κάθε ακέραιο n ge 0

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Απόδειξη

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Υποθέτουmicroε ότι το r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγmicroατικόςαριθmicroός διάϕορος του 1 Πρέπει να δείξουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους n ge 0

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 245

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Θα το δείξουmicroε microε microαθηmicroατική επαγωγή στο n

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0 Για n = 0 πρέπει να δείξουmicroε ότι

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1

Το αριστερό σκέλος αυτής της εξίσωσης είναι το r0 = 1 Το δεξιό σκέλος είναι

r1 minus 1

r minus 1=r minus 1

r minus 1= 1

ξανά αϕού r1 = r και r ne 1 [Οπότε η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0]

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 0 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1είναι αληϑής όταν ένας αϰέραιος k ge 0

αντιϰατασταϑεί στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 για k ge 0 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση]

[Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1 422

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος αυτής της εξίσωσης ισούται microε το δεξιό]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (422) είναι το

k+1sumi=0

r i =ksumi=0

r i + rk+1 γράϕουmicroε τον (k + 1) όρο ξεχωριστά απότους πρώτους k όρους

=rk+1 minus 1

r minus 1+ rk+1 microε αντικατάσταση από

την επαγωγική υπόθεση

=rk+1 minus 1

r minus 1+rk+1(r minus 1)

r minus 1

πολλαπλασιάζουmicroε τον αριθmicroητή και τονπαρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε (r minus 1)για να έχουmicroε κοινό παρονοmicroαστή

=(rk+1 minus 1) + rk+1(r minus 1)

r minus 1πρόσθεση κλασmicroάτων

=rk+1 minus 1 + rk+2 minus rk+1

r minus 1πολλαπλασιασmicroός και χρήση του

rk+1 sdot r = rk+1 sdot r1 = rk+2

=rk+2 minus 1

r minus 1διαγραϕή των rk+1

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (4 2 2) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

Περιεχόmicroενα 5

23 Προτάσεις που περιέχουν πολλούς ποσοδείκτες 117Μετάϕραση από microη τυπική σε τυπική γλώσσα Ασαϕής γλώσσα Αρνήσεις πολλα-πλώς ποσοτικοποιηmicroένων προτάσεων Σειρά ποσοδεικτών Τυπική λογική σηmicroειο-γραϕία Prolog

24 Επιχειρήmicroατα microε ποσοτικοποιηmicroένες προτάσεις 131ΚαθολικόModus Ponens Χρήση του καθολικούModus Ponens σε microια απόδειξη Κα-θολικό Modus Tollens Απόδειξη της εγκυρότητας επιχειρηmicroάτων microε ποσοτικοποι-ηmicroένες προτάσεις Χρήση διαγραmicromicroάτων για τον έλεγχο εγκυρότητας ∆ηmicroιουργίαεπιπλέον microορϕών επιχειρηmicroάτων Επισήmicroανση για το σϕάλmicroα αντιστρόϕου και αντι-θέτου

Κεφάλαιο 3 Στοιχειώδηςθεωρίααριθmicroώνκαι microέθοδοι απόδειξης 145

31 Άmicroεση απόδειξη και αντιπαράδειγmicroα Ι Εισαγωγή 146Ορισmicroοί Απόδειξη υπαρξιακών προτάσεων ∆ιάψευση καθολικών προτάσεων microε α-ντιπαραδείγmicroατα Απόδειξη καθολικών προτάσεων Οδηγίες για τη συγγραϕή απο-δείξεων καθολικών προτάσεων Συνήθη λάθη Έναρξη των αποδείξεων Απόδειξη ότιmicroια υπαρξιακή πρόταση είναι ψευδής Εικασία απόδειξη και διάψευση

32 Άmicroεση απόδειξη και αντιπαράδειγmicroα ΙΙ Ρητοί αριθmicroοί 162Περισσότερα για τη γενίκευση από το τυπικό συγκεκριmicroένο στοιχείο Απόδειξη ιδιο-τήτων ρητών αριθmicroών Παραγωγή νέων microαθηmicroατικών συmicroπερασmicroάτων από ήδη ε-δραιωmicroένα

33 Άmicroεση απόδειξη και αντιπαράδειγmicroα ΙΙΙ ∆ιαιρετότητα 169Απόδειξη των ιδιοτήτων της διαιρετότητας Αντιπαραδείγmicroατα και διαιρετότητα Τοθεώρηmicroα της microοναδικής παραγοντοποίησης

34 Άmicroεση απόδειξη και αντιπαράδειγmicroα IV∆ιαχωρισmicroός σε περιπτώσεις και το θεώρηmicroα πηλίκου-υπολοίπου 178Ανάλυση του θεωρήmicroατος πηλίκου-υπολοίπου και παραδείγmicroατα div καιmod Εναλ-λακτικές αναπαραστάσεις ακεραίων και εϕαρmicroογές στη θεωρία αριθmicroών

35 Άmicroεσηαπόδειξη και αντιπαράδειγmicroαV Κάτω και άνωακέραιο microέρος 186Ορισmicroοί και βασικές ιδιότητες Το κάτω ακέραιο microέρος του n2

36 Έmicromicroεσο επιχείρηmicroα Αντίφαση και αντιθετοαντιστροφή 193Απόδειξη microέσω αντίϕασης Επιχείρηmicroα microέσω αντιθετοαντίστροϕης Σχέση microεταξύ α-πόδειξης microέσω αντίϕασης και απόδειξης microέσω αντιθετοαντίστροϕης Η απόδειξη ωςεργαλείο επίλυσης προβληmicroάτων

37 ∆ύο κλασικά θεωρήmicroατα 202Ο άρρητος χαρακτήρας του

radic2 Το άπειρο του συνόλου των πρώτων αριθmicroών Πότε

να χρησιmicroοποιείτε έmicromicroεση απόδειξη Ανοικτά ερωτήmicroατα της θεωρίας αριθmicroών

38 Εφαρmicroογή Αλγόριθmicroοι 208Μια αλγοριθmicroική γλώσσα Σηmicroειογραϕία αλγορίθmicroων Πίνακες καταγραϕής Ο αλγό-ριθmicroος της διαίρεσης Ο αλγόριθmicroος του Ευκλείδη

6 Περιεχόmicroενα

Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή 221

41 Ακολουθίες 221Τύποι ακολουθιών Συmicroβολισmicroός του αθροίσmicroατος Συmicroβολισmicroός γινοmicroένου Συmicroβο-λισmicroός παραγοντικού Ιδιότητες αθροισmicroάτων και γινοmicroένων Αλλαγή microεταβλητήςΑκολουθίες στον προγραmicromicroατισmicroό ηλεκτρονικών υπολογιστών Εϕαρmicroογή Αλγόριθ-microος microετατροπής από τη βάση 10 στη βάση 2 microε συνεχή διαίρεση microε το 2

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 236Η αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής Το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων Το άθροι-σmicroα γεωmicroετρικής προόδου

43 Μαθηmicroατική επαγωγή ΙΙ 248Σύγκριση της microαθηmicroατικής επαγωγής και της επαγωγικής επιχειρηmicroατολογίας Από-δειξη ιδιοτήτων διαιρετότητας Απόδειξη ανισοτήτων

44 Ισχυρή microαθηmicroατική επαγωγή και η αρχή της καλής διάταξης 256Εϕαρmicroογή της ισχυρής microαθηmicroατικής επαγωγής ∆υαδική αναπαράσταση ακεραίων Ηαρχή της καλής διάταξης για τους ακεραίους

45 Μια εφαρmicroογή Ορθότητα αλγορίθmicroων 265Ισχυρισmicroοί Αναλλοίωτες βρόχου Ορθότητα του αλγορίθmicroου διαίρεσης Ορθότητατου αλγορίθmicroου microέγιστου κοινού διαιρέτη

Κεφάλαιο 5 Θεωρία συνόλων 276

51 Βασικοί ορισmicroοί της θεωρίας συνόλων 276Υποσύνολα Ισότητα συνόλων Πράξεις συνόλων ∆ιαγράmicromicroατα Venn Το κενό σύνο-λο ∆ιαmicroερίσεις συνόλων ∆υναmicroοσύνολα Καρτεσιανά γινόmicroενα Αλγόριθmicroος ο οποί-ος ελέγχει αν ένα σύνολο είναι υποσύνολο ενός άλλου (προαιρετική υποενότητα)

52 Ιδιότητες συνόλων 290Ταυτότητες συνόλων Πώς αποδεικνύουmicroε ταυτότητες συνόλων Το κενό σύνολο

53 Ανασκευές αλγεβρικές αποδείξεις και άλγεβρες Boole 304Απόδειξη του ψεύδους microιας υποτιθέmicroενης ιδιότητας συνόλων Στρατηγική επίλυσηςπροβληmicroάτων Ο αριθmicroός των υποσυνόλων ενός συνόλου laquoΑλγεβρικέςraquo αποδείξειςταυτοτήτων συνόλων Άλγεβρες Boole

54 Το παράδοξο του Russell και το πρόβληmicroα του τερmicroατισmicroού 315Περιγραϕή του παραδόξου του Russell Το πρόβληmicroα του τερmicroατισmicroού

Κεφάλαιο 6 Απαρίθmicroηση και πιθανότητα 320

61 Εισαγωγή 321Ορισmicroός δειγmicroατικού χώρου και ενδεχοmicroένου Πιθανοθεωρητικός τύπος για ισοπίθα-να αποτελέσmicroατα Μέτρηση των στοιχείων ενός καταλόγου υποκατάλογοι και δια-νύσmicroατα

Περιεχόmicroενα 7

62 ∆έντραδυνατώναποτελεσmicroάτων και ο κανόνας τουπολλαπλασιασmicroού 329∆έντρα δυνατών αποτελεσmicroάτων Ο κανόνας του πολλαπλασιασmicroού Πότε είναι δύ-σκολη ή αδύνατη η εϕαρmicroογή του κανόνα πολλαπλασιασmicroού Μεταθέσεις Μεταθέ-σεις επιλεγmicroένων στοιχείων

63 Καταmicroέτρηση των στοιχείων ξένων συνόλωνΟ κανόνας της πρόσθεσης 344Ο κανόνας της πρόσθεσης Ο κανόνας της διαϕοράς Η αρχή εγκλεισmicroούαποκλει-σmicroού

64 Καταmicroέτρηση υποσυνόλων ενός συνόλου Συνδυασmicroοί 358r-συνδυασmicroοί ∆ιατεταγmicroένες και microη διατεταγmicroένες επιλογές Σχέσεις microεταξύ microετα-θέσεων και συνδυασmicroών Μεταθέσεις συνόλων microε επαναλαmicroβανόmicroενα στοιχεία Με-ρικές συmicroβουλές καταmicroέτρησης

65 r-συνδυασmicroοί microε επανάληψη 373Συνδυασmicroοί microε επανάληψη και τρόπος microέτρησής τους Ποιον τύπο χρησιmicroοποιούmicroε

66 Η άλγεβρα των συνδυασmicroών 380Συνδυαστικοί τύποι Το τρίγωνο του Pascal Αλγεβρικές και συνδυαστικές αποδείξειςτου τύπου του Pascal

67 Το διωνυmicroικό θεώρηmicroα 386∆ιατύπωση του θεωρήmicroατος Αλγεβρικές και συνδυαστικές αποδείξεις Εϕαρmicroογές

68 Τα αξιώmicroατα των πιθανοτήτων και η αναmicroενόmicroενη τιmicroή 394Αξιώmicroατα πιθανοτήτων Παραγωγή επιπλέον πιθανοθεωρητικών τύπων Αναmicroενόmicroε-νη τιmicroή

69 ∆εσmicroευmicroένηπιθανότητα τύπος τουBayes και ανεξάρτητα ενδεχόmicroενα 399∆εσmicroευmicroένη πιθανότητα Το θεώρηmicroα Bayes Ανεξάρτητα ενδεχόmicroενα

Κεφάλαιο 7 Συναρτήσεις 413

71 Συναρτήσεις που ορίζονται σε ένα γενικό σύνολο 413Ορισmicroός της συνάρτησης ∆ιαγράmicromicroατα του Venn Η συνάρτηση ως microηχανή Παρα-δείγmicroατα συναρτήσεων Συναρτήσεις Boole Έλεγχος της επάρκειας του ορισmicroού microιαςσυνάρτησης

72 Ένα προς ένα και επί αντίστροφες συναρτήσεις 426Συναρτήσεις ένα προς ένα Συναρτήσεις ένα προς ένα σε άπειρα σύνολα Εϕαρmicroο-γή Συναρτήσεις hash Συναρτήσεις επί Συναρτήσεις επί σε άπειρα σύνολα Ιδιότητεςεκθετικών και λογαριθmicroικών συναρτήσεων Αντιστοιχίες ένα προς ένα και επί Αντί-στροϕες συναρτήσεις

73 Εφαρmicroογή Η αρχή του περιστερώνα 444∆ιατύπωση και ανάλυση της αρχής Εϕαρmicroογή στο δεκαδικό ανάπτυγmicroα κλασmicroάτωνΓενικευmicroένη αρχή του περιστερώνα Απόδειξη της αρχής του περιστερώνα

8 Περιεχόmicroενα

74 Σύνθεση συναρτήσεων 456Ορισmicroοί και παραδείγmicroατα Σύνθεση συναρτήσεων ένα προς ένα Σύνθεση συναρτή-σεων επί

75 Πληθικότητα microε εφαρmicroογές στην υπολογισιmicroότητα 467Ισοδύναmicroες πληθικότητες Αριθmicroήσιmicroα σύνολα Αναζήτηση microεγαλύτερων απείρων Ηδιαδικασία διαγωνιοποίησης του Cantor Εϕαρmicroογή Πληθικότητα και υπολογισιmicroό-τητα

Κεφάλαιο 8 Αναδροmicroικοί ορισmicroοί 481

81 Ακολουθίες που ορίζονται αναδροmicroικά 481Ορισmicroός αναδροmicroικής σχέσης Παραδείγmicroατα ακολουθιών που ορίζονται microε αναδρο-microικό τρόπο Το πλήθος των διαmicroερίσεων ενός συνόλου σε r υποσύνολα

82 Επίλυση αναδροmicroικών σχέσεων microε επαναλήψεις 499Η microέθοδος της επανάληψης Χρήση τύπων για την απλοποίηση λύσεων που προκύ-πτουν microε τη microέθοδο των επαναλήψεων Έλεγχος της ορθότητας ενός τύπου microε microαθη-microατική επαγωγή Εντοπισmicroός σϕάλmicroατος σε έναν τύπο

83 Γραmicromicroικές οmicroογενείς αναδροmicroικές σχέσειςδεύτερου βαθmicroού microε σταθερούς συντελεστές 511Προσδιορισmicroός της τεχνικής επίλυσης αυτών των σχέσεων Η περίπτωση των διακρι-τών ριζών Η περίπτωση της microίας ρίζας

84 Γενικοί αναδροmicroικοί ορισmicroοί 523Αναδροmicroικά ορισmicroένα σύνολα Απόδειξη ιδιοτήτων αναδροmicroικά ορισmicroένων συνόλωνΑναδροmicroικός ορισmicroός του αθροίσmicroατος του γινοmicroένου της ένωσης και της τοmicroήςΑναδροmicroικά ορισmicroένες συναρτήσεις

Κεφάλαιο 9 Ηαποδοτικότητα των αλγορίθmicroων 534

91 Πραγmicroατικές συναρτήσεις microιας πραγmicroατικής microεταβλητήςκαι τα γραφήmicroατά τους 534Γραϕήmicroατα συναρτήσεων Συναρτήσεις δυνάmicroεων Η συνάρτηση κάτω ακέραιου microέ-ρους Σχεδίαση συναρτήσεων που ορίζονται σε σύνολα ακεραίων Το γράϕηmicroα ενόςπολλαπλασίου microιας συνάρτησης Αύξουσες και ϕθίνουσες συναρτήσεις

92 Τα σύmicroβολαOΩ καιΘ 542Ορισmicroοί και γενικές ιδιότητες των συmicroβολισmicroώνOΩ καιΘ Τάξεις συναρτήσεων δυ-νάmicroεων Οι τάξεις των πολυωνυmicroικών συναρτήσεων Τάξεις συναρτήσεων ακέραιωνmicroεταβλητών Επέκταση σε συναρτήσεις που προέρχονται από σύνθεση ρητών δυνά-microεων

93 Εφαρmicroογή Αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων Ι 555Η χρονική αποδοτικότητα ενός αλγορίθmicroου Υπολογισmicroός τάξης απλών αλγορίθmicroωνΟ αλγόριθmicroος σειριακής αναζήτησης Αλγόριθmicroος ταξινόmicroησης microε παρεmicroβολή

Περιεχόmicroενα 9

94 Εκθετικές και λογαριθmicroικές συναρτήσεις Γραφήmicroατα και τάξεις 568Γραϕήmicroατα εκθετικών και λογαριθmicroικών συναρτήσεων Εϕαρmicroογή Το πλήθος τωνδυαδικών ψηϕίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση ενός ακεραίου σε δυαδικήmicroορϕή Εϕαρmicroογή Χρήση λογαρίθmicroων για την επίλυση αναδροmicroικών σχέσεων Εκ-θετικές και λογαριθmicroικές τάξεις

95 Εφαρmicroογή Αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων ΙΙ 581Αλγόριθmicroοι laquoδιαίρει και βασίλευεraquo Η αποδοτικότητα του αλγορίθmicroου δυαδικής ανα-ζήτησης Ταξινόmicroηση microε συγχώνευση Ανιχνεύσιmicroα και microη ανιχνεύσιmicroα προβλήmicroαταΈνα τελικό σχόλιο σχετικά microε την αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων

Κεφάλαιο 10 Σχέσεις 596

101 Σχέσεις σε σύνολα 596Ορισmicroός διmicroελούς σχέσης Το διάγραmicromicroα microιας σχέσης Σχέσεις και συναρτήσεις Ηαντίστροϕη microιας σχέσης Το κατευθυνόmicroενο γράϕηmicroα microιας σχέσης Ν-microελείς σχέσειςκαι σχεσιακές βάσεις δεδοmicroένων

102 Ανακλαστικότητα συmicromicroετρία και microεταβατικότητα 609Οι ιδιότητες ανακλαστικότητας συmicromicroετρίας και microεταβατικότητας Η microεταβατικήκλειστότητα microιας σχέσης Ιδιότητες των σχέσεων σε άπειρα σύνολα

103 Σχέσεις ισοδυναmicroίας 619Η σχέση που επάγεται από microια διαmicroέριση Ορισmicroός της σχέσης ισοδυναmicroίας Κλάσειςισοδυναmicroίας microιας σχέσης ισοδυναmicroίας

104 Η αριθmicroητική των υπολοίπων microε εφαρmicroογές στην κρυπτογραφία 636Ιδιότητες της ισοτιmicroίας modulo n Αριθmicroητική των υπολοίπων Προσδιορισmicroός τουαντιστρόϕουmodulo n Το λήmicromicroα του Ευκλείδη Το microικρό θεώρηmicroα του Fermat καιτο κινέζικο θεώρηmicroα υπολοίπου Γιατί είναι αποτελεσmicroατικός ο κώδικας RSA

105 Σχέσεις microερικής διάταξης 657Αντισυmicromicroετρία Σχέσεις microερικής διάταξης Λεξικογραϕική σειρά ∆ιαγράmicromicroαταHasseΜερικώς και ολικώς διατεταγmicroένα σύνολα Τοπολογική ταξινόmicroηση Μια εϕαρmicroογήPERT και CPM

Κεφάλαιο 11 Γραφήmicroατα και δέντρα 675

111 Γραφήmicroατα Εισαγωγή 675Βασική ορολογία και παραδείγmicroατα Ειδικά γραϕήmicroατα Η έννοια του βαθmicroού

112 Μονοπάτια και κυκλώmicroατα 691Ορισmicroοί Κυκλώmicroατα Euler Χαmicroιλτονιανά κυκλώmicroατα

113 Αναπαράσταση των γραφηmicroάτων microε πίνακες 710Πίνακες Πίνακες και κατευθυνόmicroενα γραϕήmicroατα Πίνακες και (microη κατευθυνόmicroενα)γραϕήmicroατα Πίνακες και συνεκτικές συνιστώσες Πολλαπλασιασmicroός πινάκων Υπο-λογισmicroός περιπάτων microήκους Ν

10 Περιεχόmicroενα

114 Ισοmicroορφισmicroοί γραφηmicroάτων 724Ορισmicroός ισοmicroορϕισmicroού γραϕηmicroάτωνκαι παραδείγmicroατα Ισοmicroορϕικά αναλλοίωτες πο-σότητες Ισοmicroορϕισmicroός γραϕηmicroάτων για απλά γραϕήmicroατα

115 ∆έντρα 732Ορισmicroοί και παραδείγmicroατα δέντρων Χαρακτηρισmicroός δέντρων ∆έντρα microε ρίζα ∆υα-δικά δέντρα

116 ∆έντρα επικάλυψης 750Ορισmicroός δέντρου επικάλυψης Ελάχιστα δέντρα επικάλυψης Ο αλγόριθmicroος του Kru-skal Ο αλγόριθmicroος του Prim

Κεφάλαιο 12 Κανονικές εκφράσεις και πεπερασmicroένα αυτόmicroατα 761

121 Τυπικές γλώσσες και κανονικές εκφράσεις 762Ορισmicroοί και παραδείγmicroατα τυπικών γλωσσών και κανονικών εκϕράσεων Πρακτικέςχρήσεις των κανονικών εκϕράσεων

122 Αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων 773Ορισmicroός του αυτοmicroάτου πεπερασmicroένων καταστάσεωνΗ γλώσσα που αποδέχεται ένααυτόmicroατο Η συνάρτηση καταληκτικής κατάστασης Σχεδίαση ενός αυτοmicroάτου πεπε-ρασmicroένων καταστάσεων Προσοmicroοίωση αυτοmicroάτου πεπερασmicroένων καταστάσεων microεχρήση λογισmicroικού Αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων και κανονικές εκϕράσειςΚανονικές γλώσσες

123 Απλοποίηση αυτοmicroάτων πεπερασmicroένων καταστάσεων 791lowast ισοδυναmicroία καταστάσεων k ισοδυναmicroία καταστάσεων Προσδιορισmicroός των κλά-σεων της lowast ισοδυναmicroίας Το αυτόmicroατο πηλίκου Κατασκευή του αυτοmicroάτου πηλίκουΙσοδύναmicroα αυτόmicroατα

Παράρτηmicroα Α Ιδιότητες των πραγmicroατικών αριθmicroών 805

Παράρτηmicroα Β Λύσεις και υποδείξεις επιλεγmicroένων ασκήσεων 808

Πίνακας συmicroβόλων 921

Ευρετήριο 927

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Ο σκοπός microου microε αυτό το βιβλίο ήταν να δώσω microια σαϕή και προσιτή παρουσίαση τωνδιακριτών microαθηmicroατικών για προπτυχιακούς και microεταπτυχιακούς ϕοιτητές που σπουδά-ζουν επιστήmicroη υπολογιστών microαθηmicroατικά εκπαίδευση στα microαθηmicroατικά και microηχανολογίαΣτόχος του βιβλίου είναι να θέσει τις microαθηmicroατικές βάσεις για microαθήmicroατα της επιστήmicroης τωνυπολογιστών όπως δοmicroές δεδοmicroένων αλγόριθmicroοι θεωρία βάσεων δεδοmicroένων θεωρία αυ-τοmicroάτων και τυπικές γλώσσες σχεδιασmicroός microεταγλωττιστών και κρυπτογραϕία αλλά καιγια microαθήmicroατα microαθηmicroατικών όπως γραmicromicroική και αϕηρηmicroένη άλγεβρα συνδυαστική πι-θανότητες λογική και συνολοθεωρία και θεωρία αριθmicroών Συνδυάζοντας τη θεωρία καιτην πράξη προσπάθησα να δείξω ότι τα microαθηmicroατικά εκτός από το ότι είναι αξιαγάπηταενδιαϕέροντα και όmicroορϕα από microόνα τους έχουν σηmicroαντικές εϕαρmicroογές

Το microόνο προαπαιτούmicroενο είναι ένα καλό υπόβαθρο στην απλή άλγεβρα το microάθηmicroαmicroπορεί να διδαχθεί είτε πριν είτε microετά από ένα microάθηmicroα απειροστικού λογισmicroού Προηγού-microενες εκδόσεις του βιβλίου έχουν χρησιmicroοποιηθεί microε επιτυχία σε ιδρύmicroατα της Βόρειαςκαι Νότιας Αmicroερικής της Ευρώπης της Μέσης Ανατολής και της Αυστραλίας

Σύmicroϕωνα microε τις πρόσϕατες προτάσεις του Ινστιτούτου Ηλεκτρολόγων και Ηλεκτρο-νικώνΜηχανικών-Ένωσης Υπολογιστών (Institute for Electrical and Electronic EngineersComputer Society IEEE-CS) και της Ένωσης ΣυσκευώνΥπολογιστών (Association for Co-mputing Machinery ACM) τα διακριτά microαθηmicroατικά πρέπει να αποτελούν το microεγαλύτεροmicroέρος των laquoβασικών γνώσεωνraquo των ϕοιτητών της επιστήmicroης των υπολογιστών ενώ η microε-λέτη του αντικειmicroένου κατά το πρώτο έτος σπουδών τους πρέπει να διαρκεί τουλάχιστονένα εξάmicroηνο ή ακόmicroα και δύο όπου αυτό είναι δυνατόν Αυτό το βιβλίο περιλαmicroβάνει όλατα θέmicroατα που προτείνουν αυτοί οι οργανισmicroοί και microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί αποτελε-σmicroατικά είτε για ένα εξαmicroηνιαίο microάθηmicroα είτε για δύο

Κάποτε τα περισσότερα από τα θέmicroατα των διακριτών microαθηmicroατικών διδάσκονταν microό-νο σε προπτυχιακούς ϕοιτητές κατά το τελευταίο έτος των σπουδών τους Η βασική καιεξαιρετικά ενδιαϕέρουσα πρόκληση της συγγραϕής αυτού του βιβλίου ήταν η εύρεσητου κατάλληλου τρόπου διδασκαλίας αυτών των θεmicroάτων ώστε να γίνουν κατανοητάαπό πρωτοετείς και δευτεροετείς ϕοιτητές Ο τρόπος παρουσίασης αναπτύχθηκε κατάτη διάρκεια microιας microεγάλης περιόδου πειραmicroατισmicroών κατά την οποία οι ϕοιτητές microου ήτανταυτόχρονα από πολλές απόψεις και δάσκαλοί microου Οι ερωτήσεις τους τα σχόλιά τουςκαι τα γραπτά τους microου υποδείκνυαν ποιες έννοιες και τεχνικές τους δυσκόλευαν ενώο τρόπος microε τον οποίο ανταποκρίνονταν στις παρουσιάσεις που τους έκανα microου έδειχνετι ήταν αποτελεσmicroατικό στο χτίσιmicroο της κατανόησης των εννοιών και κινούσε το ενδια-ϕέρον τους Πολλές από τις αλλαγές σε αυτή την έκδοση είναι αποτέλεσmicroα της συνεχούςαλληλεπίδρασης microε τους ϕοιτητές

Τα θέmicroατα ενός microαθήmicroατος διακριτών microαθηmicroατικών

Τα διακριτά microαθηmicroατικά περιγράϕουν διαδικασίες που αποτελούνται από microια ακολουθί-α ξεχωριστών βηmicroάτων Αντίθετα ο απειροστικός λογισmicroός περιγράϕει διαδικασίες πουmicroεταβάλλονται microε συνεχή τρόπο Όπως οι ιδέες του απειροστικού λογισmicroού αποτέλεσαντα θεmicroέλια της επιστήmicroης και της τεχνολογίας κατά τη βιοmicroηχανική επανάσταση έτσι καιοι ιδέες των διακριτών microαθηmicroατικών υποστηρίζουν την επιστήmicroη και την τεχνολογία τηςεποχής των υπολογιστών Τα κύρια θέmicroατα ενός πρώτου microαθήmicroατος διακριτών microαθηmicroα-τικών είναι η λογική και η απόδειξη η επαγωγή και η επανάληψη η συνδυαστική και οιδιακριτές πιθανότητες οι αλγόριθmicroοι και η ανάλυσή τους και οι εϕαρmicroογές στη microοντελο-ποίηση

Λογική και Απόδειξη Ο σπουδαιότερος ίσως στόχος ενός εισαγωγικού microαθήmicroατος σταδιακριτά microαθηmicroατικά είναι να βοηθήσει τους ϕοιτητές να αναπτύξουν την ικανότητα να

12 Πρόλογος

σκέϕτονται αϕηρηmicroένα Αυτό σηmicroαίνει να έχουν τη δυνατότητα να χρησιmicroοποιούν λογικάορθές microορϕές επιχειρηmicroάτων και να αποϕεύγουν κοινά λογικά σϕάλmicroατα να επιχειρηmicroα-τολογούν microε βάση τους ορισmicroούς να χρησιmicroοποιούν ευθεία αλλά και πλάγια επιχειρήmicroαταγια να αποδεικνύουν νέα αποτελέσmicroατα από ήδη γνωστά και να microπορούν να εργάζονταιmicroε συmicroβολικές αναπαραστάσεις σαν να ήταν συγκεκριmicroένα αντικείmicroενα

Επαγωγή και αναδροmicroή Μια ενδιαϕέρουσα εξέλιξη των τελευταίων ετών είναι η εκτί-microηση της δύναmicroης και οmicroορϕιάς της laquoαναδροmicroικής σκέψηςraquo Πρακτικά αυτό σηmicroαίνει ναεξετάσουmicroε ένα πρόβληmicroα υποθέτοντας ότι παρόmicroοια προβλήmicroατα microικρότερης κλίmicroακαςέχουν ήδη λυθεί και να προσπαθούmicroε να συνδυάσουmicroε αυτές τις λύσεις των επιmicroέρουςπροβληmicroάτων για να λύσουmicroε το microεγαλύτερο πρόβληmicroα Αυτή η microέθοδος χρησιmicroοποιεί-ται εκτεταmicroένα στην ανάλυση αλγορίθmicroων όπου αναδροmicroικές σχέσεις που προκύπτουναπό αναδροmicroικού τύπου συλλογισmicroούς δίνουν τύπους που επιβεβαιώνονται microε microαθηmicroα-τική επαγωγή

Συνδυαστική και διακριτές πιθανότητες Η συνδυαστική στα microαθηmicroατικά της απαρίθmicroη-σης της διάταξης αντικειmicroένων και της πιθανότητας είναι η microελέτη των νόmicroων για τιςmicroετρήσεις τυχαίων γεγονότων Η διακριτή πιθανότητα εστιάζει σε καταστάσεις που α-σχολούνται microε διακριτά σύνολα αντικειmicroένων όπως ο προσδιορισmicroός της πιθανότηταςνα έρθει κορώνα συγκεκριmicroένες ϕορές όταν ρίχνουmicroε ένα δίκαιο κέρmicroα αρκετές ϕορές Ε-πιδεξιότητα στη συνδυαστική και τις πιθανότητες χρειάζεται σχεδόν σε κάθε αντικείmicroενοόπου εϕαρmicroόζονται τα microαθηmicroατικά από την οικονοmicroία microέχρι τη βιολογία την επιστήmicroητων υπολογιστών τη χηmicroεία τη ϕυσική και τη διοίκηση επιχειρήσεων

Αλγόριθmicroοι και η ανάλυσή τους Η λέξη αλγόριϑmicroος ήταν γενικά άγνωστη στο microέσο τουεικοστού αιώνα ενώ τώρα είναι microία από τις πρώτες λέξεις που συναντάει κανείς στην ε-πιστήmicroη των υπολογιστών Για να λύσουmicroε ένα πρόβληmicroα microε έναν υπολογιστή είναι απα-ραίτητο να βρούmicroε έναν αλγόριθmicroο ή microια βήmicroα προς βήmicroα ακολουθία οδηγιών τις οποίεςθα ακολουθήσει ο υπολογιστής Ο σχεδιασmicroός ενός αλγορίθmicroου απαιτεί κατανόηση τωνmicroαθηmicroατικών του προβλήmicroατος που πρόκειται να λυθεί Ο προσδιορισmicroός της ορθότηταςή microη ενός αλγορίθmicroου απαιτεί περίπλοκους χειρισmicroούς microε microαθηmicroατική επαγωγή Ο υπο-λογισmicroός του χρόνου ή της microνήmicroης που χρειάζεται ένας αλγόριθmicroος ώστε να microπορεί νασυγκριθεί microε άλλους αλγορίθmicroους που δίνουν την ίδια έξοδο απαιτεί γνώσεις συνδυαστι-κής επαναληπτικών σχέσεων συναρτήσεων και συmicroβολισmicroών O Ω και Θ

∆ιακριτές δοmicroές Οι διακριτές microαθηmicroατικές δοmicroές είναι αϕηρηmicroένες δοmicroές που περιγρά-ϕουν κατηγοριοποιούν και αναδεικνύουν τις κρυϕές σχέσεις microεταξύ διακριτών microαθηmicroα-τικών αντικειmicroένων Οι δοmicroές που microελετάmicroε σε αυτό το βιβλίο είναι τα σύνολα των ακε-ραίων και των ρητών γενικά σύνολα άλγεβρες Boole συναρτήσεις σχέσεις γραϕήmicroατακαι δέντρα τυπικές γλώσσες και κανονικές εκϕράσεις και αυτόmicroατα πεπερασmicroένων κα-ταστάσεων

Εφαρmicroογέςκαιmicroοντελοποίηση Ταmicroαθηmicroατικά αντικείmicroενα γίνονται καλύτερα κατανοη-τά όταν τα εξετάζουmicroε σε microια ποικιλία καταστάσεων και τα χρησιmicroοποιούmicroε για την επί-λυση προβληmicroάτων που συναντώνται σε ένα microεγάλο εύρος εϕαρmicroογών Ένα από τα σπου-δαιότερα microαθήmicroατα των microαθηmicroατικών είναι ότι microας επιτρέπουν να χρησιmicroοποιούmicroε το ίδιοmicroαθηmicroατικό microοντέλο για να λύνουmicroε προβλήmicroατα τα οποία ϕαινοmicroενικά είναι τελείωςανόmicroοια Ένας από τους στόχους αυτού του βιβλίου είναι να δείξει στους ϕοιτητές τηνεκπληκτική πρακτική χρησιmicroότητα microερικών πολύ αϕηρηmicroένων microαθηmicroατικών ιδεών

Ειδικά χαρακτηριστικά αυτού του βιβλίου

Μαθηmicroατική συλλογιστική Το χαρακτηριστικό που κάνει αυτό να βιβλίο να ξεχωρίζει α-πό άλλα βιβλία διακριτών microαθηmicroατικών είναι ότι διδάσκει mdash microε διεξοδικό αλλά εύληπτοτρόπο στους πρωτοετείς και δευτεροετείς ϕοιτητές mdash την κρυϕή λογική και συλλογι-

Πρόλογος 13

στική που αποτελούν τη βάση της microαθηmicroατικής σκέψης Για πολλά χρόνια δίδασκα έναιδιαίτερα διαδραστικό microάθηmicroα microετάβασης στα αϕηρηmicroένα microαθηmicroατικά σε ϕοιτητές τωνmicroαθηmicroατικών και της επιστήmicroης των υπολογιστών Αυτή η εmicroπειρία microου έδειξε ότι αν καιείναι εϕικτό να διδάξεις τους περισσότερους ϕοιτητές να καταλαβαίνουν και να κατα-σκευάζουν σαϕή microαθηmicroατικά επιχειρήmicroατα υπάρχουν κάποια εmicroπόδια που είναι δύσκολονα ξεπεραστούν Για να είναι αποτελεσmicroατικό το βιβλίο ενός τέτοιου microαθήmicroατος πρέπεινα ασχολείται αρκετά microε τις δυσκολίες του ϕοιτητή στη λογική και στη γλώσσα microε άmicroεσοτρόπο Πρέπει επίσης να περιέχει πολλά σαϕή παραδείγmicroατα και ασκήσεις για να δώσει τηδυνατότητα στους ϕοιτητές να αναπτύξουν τα απαραίτητα νοητικά microοντέλα που θα τουςεπιτρέψουν να κατανοήσουν πιο αϕηρηmicroένα προβλήmicroατα Η αντιmicroετώπιση της λογικήςκαι της απόδειξης σε αυτό το βιβλίο συνδυάζει κοινή λογική και αυστηρή προσέγγιση microεένα τρόπο που εξηγεί τα ουσιώδη χωρίς να κουράζει τους ϕοιτητές microε τεχνικές λεπτοmicroέ-ρειες

Ελικοειδής προσέγγιση στην ανάπτυξη των εννοιών Ένας αριθmicroός από έννοιες σε αυτότο βιβλίο εmicroϕανίζεται microε ολοένα και πιο σύνθετες microορϕές στα διαδοχικά κεϕάλαια γιανα βοηθήσει τους ϕοιτητές να αναπτύξουν επίπεδα αϕαίρεσης Για παράδειγmicroα microέχρι νασυναντήσουν το σχετικά προχωρηmicroένο θέmicroα του microικρού θεωρήmicroατος του Fermat και τουκινέζικου θεωρήmicroατος υπολοίπου στην Ενότητα 104 θα έχουν ήδη εισαχθεί στη microαθη-microατική λογική στα Κεϕάλαια 1 και 2 θα έχουν microάθει τις βασικές microεθόδους της απόδειξηςκαι τις έννοιεςmod και div στο Κεϕάλαιο 3 θα έχουν microελετήσει τις διαmicroερίσεις ακεραίωνστο Κεϕάλαιο 5 θα έχουν θεωρήσει τιςmod και div ως συναρτήσεις στο Κεϕάλαιο 7 καιθα έχουν εξοικειωθεί microε τις σχέσεις ισοδυναmicroίας στις Ενότητες 102 και 103 Αυτή η προ-σέγγιση ανακεϕαλαιώνει τα θέmicroατα και αναπτύσσει τη microαθηmicroατική ωριmicroότητα microε ϕυσικότρόπο

Υποστήριξη για τους φοιτητές Οι ϕοιτητές οπωσδήποτε πρέπει να microάθουν πολλά πράγ-microατα microόνοι τους Μαθαίνοντας να microελετούν microόνοι τους κάτι που συχνά είναι δύσκολοπραγmicroατοποιούν ένα σηmicroαντικό βήmicroα προς την εξασϕάλιση microιας επιτυχηmicroένης επαγγελ-microατικής καριέρας Αυτό το βιβλίο διαθέτει ορισmicroένα χαρακτηριστικά που θα βοηθήσουντους ϕοιτητές να microάθουν να διαβάζουν microόνοι τους

Λυmicroένα παραδείγmicroαταΤο βιβλίο περιέχει περισσότερα από 500 λυmicroένα παραδείγmicroατα που είναι γραmicromicroένασε microορϕή εκϕώνησης-λύσης και είναι ανάλογα τόσο σε περιεχόmicroενο όσο και σε δυ-σκολία microε τις ασκήσεις Πολλές λύσεις προβληmicroάτων microε αποδείξεις έχουν γραϕεί σεδύο στάδια πρώτα εξετάζεται ο τρόπος microε τον οποίο είναι δυνατό να πραγmicroατοποιη-θεί η απόδειξη ή η ανασκευή και microετά παρατίθεται η περίληψη της λύσης microέσα σε έναπλαίσιο Αυτός ο τρόπος επιτρέπει στους ϕοιτητές να διαβάσουν το πρόβληmicroα και ανθέλουν να περάσουν κατευθείαν στην περίληψη ή αν δεν κατανοούν την περίληψηνα επιστρέψουν στη συζήτηση Αυτός ο τρόπος εξοικονοmicroεί χρόνο για τους ϕοιτητέςπου ξαναδιαβάζουν το κείmicroενο κατά την προετοιmicroασία τους για τις εξετάσεις

ΑσκήσειςΤο βιβλίο περιέχει περίπου 2500 ασκήσεις Οι ασκήσεις στο τέλος κάθε ενότητας έ-χουν σχεδιαστεί ώστε οι ϕοιτητές διαϕορετικών κλάδων και ποικίλων δυνατοτήτωννα microπορούν να βρούν κάποιες ασκήσεις που θα έχουν τη δυνατότητα να λύσουν σω-στά και κάποιες άλλες που θα τους δυσκολέψουν

Λύσεις ασκήσεωνΤοΠαράρτηmicroα Β περιέχει ένα microεγάλο αριθmicroό πλήρως λυmicroένων ασκήσεων Οι ϕοιτητέςκαλό θα ήταν να συmicroβουλεύονται τις λύσεις αϕού πρώτα έχουν καταβάλει κάθε προ-σπάθεια να λύσουν τις ασκήσεις microόνοι τους Αν προσπαθήσουν πρώτα microόνοι τους καιmicroετά συγκρίνουν τη δική τους λύση microε αυτή που δίνεται θα οδηγηθούν σε καλύτεροεπίπεδο κατανόησης Επιπλέον πολλά προβλήmicroατα συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων microερικώναπό τα πιο δύσκολα δεν έχουν λυθεί πλήρως ή περιλαmicroβάνουν υποδείξεις ώστε οιϕοιτητές να microπορούν να επαληθεύσουν αν ο συλλογισmicroός τους είναι σωστός και να

14 Πρόλογος

κάνουν τις κατάλληλες προσαρmicroογές Επίσης υπάρχουν πολλές ασκήσεις χωρίς λύσηώστε να microάθουν οι ϕοιτητές να ασχολούνται microε προβλήmicroατα σε ρεαλιστικό πλαίσιοεργασίας

Σχήmicroατα και πίνακεςΤα σχήmicroατα και οι πίνακες έχουν προστεθεί σε σηmicroεία που θεωρήσαmicroε ότι θα βοηθή-σουν τον αναγνώστη να κατανοήσει καλύτερα το πρόβληmicroα Στα περισσότερα σχήmicroα-τα γίνεται χρήση και δεύτερου χρώmicroατος για να γίνουν ακόmicroα πιο κατανοητά

ΑναϕορέςΠολλοί ϕοιτητές microού έχουν γράψει ότι το βιβλίο τούς βοήθησε πολύ στα πιο προχω-ρηmicroένα microαθήmicroατα που πήραν στη συνέχεια των σπουδών τους Ένας microου έγραψε ότιχρησιmicroοποίησε την πρώτη έκδοση τόσο πολύ ώστε το βιβλίο διαλύθηκε και αναγκά-στηκε να αγοράσει και τη δεύτερη έκδοση την οποία συνέχισε να χρησιmicroοποιεί καιστο microεταπτυχιακό του Η τακτική microου να τοποθετώ τους ορισmicroούς και τα θεωρήmicroατασε πλαίσια να βάζω τίτλους στις ασκήσεις και να παρέχω λίστες microε τύπους και τις ση-microασίες των συmicroβόλων στα εσώϕυλλα κάνει το βιβλίο εύχρηστο τόσο για microελέτη όσοκαι αργότερα ως βιβλίο αναϕοράς

Υποστήριξη τουκαθηγητή Έχω λάβει πλήθος πολύτιmicroων παρατηρήσεων από καθηγητέςπου έχουν χρησιmicroοποιήσει προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Το βιβλίο έχει βελτιωθείσηmicroαντικά λόγω αυτών των παρατηρήσεων

ΑσκήσειςΗ microεγάλη ποικιλία ασκήσεων όλων των επιπέδων δυσκολίας δίνει στους καθηγητέςmicroεγάλη ελευθερία να οργανώσουν το microάθηmicroά τους ανάλογα microε τις δυνατότητες τωνϕοιτητών τους Οι ασκήσεις microε λύσεις στο τέλος του βιβλίου έχουν γαλάζια αρίθmicroη-ση ενώ εκείνες που οι λύσεις τους παρέχονται σε διαϕορετικό εγχειρίδιο (εγχειρίδιολύσεων) έχουν αριθmicroούς που είναι πολλαπλάσια του τρία Υπάρχουν ασκήσεις κάθετύπου που δεν έχουν απάντηση ούτε σε αυτό το βιβλίο ούτε στο εγχειρίδιο λύσεωνώστε οι καθηγητές να είναι σε θέση να χρησιmicroοποιούν οποιονδήποτε συνδυασmicroό α-σκήσεων microε ή χωρίς λύσεις Ο microεγάλος αριθmicroός ασκήσεων παρέχει στους καθηγητέςσηmicroαντικές δυνατότητες επιλογής προβληmicroάτων για χρήση τόσο σε εξετάσεις όσο καισε επαναληπτικά microαθήmicroατα Οι καθηγητές θα πρέπει να προτιmicroούν τις ασκήσεις πουδιατυπώνονται microε τη microορϕή ερωτήσεων αντί εκείνων που ζητούν να laquoαποδειχθεί ότιraquoώστε να ενθαρρύνεται η συζήτηση στην τάξη σχετικά microε το ρόλο της απόδειξης καιτου αντιπαραδείγmicroατος στην επίλυση προβληmicroάτων

Ελαστικές ενότητεςΟι περισσότερες ενότητες χωρίζονται σε υποενότητες ώστε όταν ο καθηγητής πιέζε-ται από το χρόνο να microπορεί να παραλείψει συγκεκριmicroένες ενότητες ή να τις αϕήσει νατις διαβάσουν microόνοι τους οι ϕοιτητές Ο χωρισmicroός σε υποενότητες βοηθάει τον διδά-σκοντα να χωρίσει σε τmicroήmicroατα microια ενότητα στην περίπτωση που θέλει να αϕιερώσειπερισσότερα από ένα microαθήmicroατα γιrsquo αυτή

Παρουσίαση των αποδεικτικών microεθόδωνΕίναι αναπόϕευκτο οι αποδείξεις και ανασκευές σε αυτό το βιβλίο να ϕαίνονται πολύεύκολες στους καθηγητές Πολλοί ϕοιτητές όmicroως τις βρίσκουν δύσκολες Σε αυτό τοβιβλίο επιχειρώ να δείξω στους ϕοιτητές τον τρόπο σύνταξης και δόmicroησης αποδείξε-ων και ανασκευών περιγράϕοντας τα είδη των προσεγγίσεων που χρησιmicroοποιούν οιmicroαθηmicroατικοί όταν αντιmicroετωπίζουν δύσκολα προβλήmicroατα στην έρευνά τους

Βιβλίο καθηγητήΤο βιβλίο καθηγητή είναι διαθέσιmicroο σε οποιονδήποτε διδάσκει χρησιmicroοποιώντας τοπαρόν βιβλίο Το βιλίο καθηγητή περιέχει προτάσεις για τον τρόπο προσέγγισης τηςύλης κάθε κεϕαλαίου λύσεις για όλες τις ασκήσεις που δεν λύνονται πλήρως στο Πα-ράρτηmicroαΒ διαϕάνειες επαναληπτικό υλικό ιδέες για εργασίες και επιπλέον ασκήσεις

Πρόλογος 15

Τα νέα χαρακτηριστικά της τρίτης έκδοσης

Οι αλλαγές που έγιναν σε αυτή την έκδοση βασίστηκαν σε προτάσεις συναδέλϕων καιάλλων αναγνωστών της πρώτης και της δεύτερης έκδοσης και στη συνεχιζόmicroενη επαϕήmicroε ϕοιτητές microαθηmicroατικών και επιστήmicroης των υπολογιστών

Βελτιωmicroένη παιδαγωγική προσέγγιση

bull Ο αριθmicroός των ασκήσεων αυξήθηκε στις 2500 περίπου Προστέθηκαν περίπου 980νέες ασκήσεις

bull Προστέθηκαν ασκήσεις στα θέmicroατα στα οποία υπήρχε microεγαλύτερη ανάγκη για εξά-σκηση και τροποποιήθηκαν κατάλληλα ώστε να ληϕθούν καλύτερα υπόψη οι δυ-σκολίες των ϕοιτητών

bull Στο Παράρτηmicroα Β προστέθηκαν περισσότερες πλήρεις λύσεις ώστε να βοηθηθούνοι ϕοιτητές στα δύσκολα θέmicroατα

bull Ο τρόπος παρουσίασης των θεmicroάτων επανεξετάστηκε σε όλο το βιβλίο και όπουκρίθηκε σκόπιmicroο αναθεωρήθηκε

bull Έγινε προσεκτική δουλειά για να βελτιωθεί η microορϕή και η παρουσίαση του κειmicroένου

bull Επεκτάθηκαν οι συζητήσεις για ιστορικά θέmicroατα και πρόσϕατα αποτελέσmicroατα καιαυξήθηκαν οι ϕωτογραϕίες των επιστηmicroόνων των οποίων η δουλειά παρουσιάζεταιστο βιβλίο

Λογική

bull Η παρουσίαση των ποσοδεικτών έχει επεκταθεί σηmicroαντικά microε την προσθήκη microιαςνέας ενότητας αϕιερωmicroένης αποκλειστικά στους πολλαπλούς ποσοδείκτες

bull Προστέθηκαν ασκήσεις που χρησιmicroοποιούν τονΚόσmicroο τουTarski ένα υπέροχο παι-δαγωγικό εργαλείο που αναπτύχθηκε από τους Jon Barwise και John Etchemendyτου Πανεπιστηmicroίου του Stanford

bull Προστέθηκαν εϕαρmicroογές για την αναζήτηση στο ∆ιαδίκτυο

bull Απλοποιήθηκαν οι όροι διαϕόρων microορϕών συλλογισmicroών

Εισαγωγή στην απόδειξη

bull Επεκτάθηκαν οι οδηγίες συγγραϕής αποδείξεων

bull Οι περιγραϕές microεθόδων αποδείξεων γράϕτηκαν microε σαϕέστερο τρόπο

bull Οι ασκήσεις έχουν επανελεγχθεί και κάποιες έχουν microεταϕερθεί σε άλλο σηmicroείο ώστενα διευκολυνθεί η κατανόηση από τους ϕοιτητές

Επαγωγή και επανάληψη

bull Βελτιώθηκε η σκιαγράϕηση των αποδείξεων microε microαθηmicroατική επαγωγή

bull Οι υποενότητες της ενότητας των ακολουθιών οργανώθηκαν εκ νέου

bull Οι οmicroάδες ασκήσεων των ενοτήτων της ισχυρής microαθηmicroατικής επαγωγής και της κα-λής διάταξης και των επαγωγικώνεπαναληπτικών ορισmicroών επεκτάθηκαν σηmicroαντι-κά

Θεωρία αριθmicroών

bull Προστέθηκε microια υποενότητα ανοιχτών προβληmicroάτων στη θεωρία αριθmicroών και επε-κτάθηκε η συζήτηση για τις πρόσϕατες εξελίξεις

bull Προστέθηκε microια νέα ενότητα στην αριθmicroητική υπολοίπων και στην κρυπτογραϕίαΠεριλαmicroβάνεται microια συζήτηση για την κρυπτογραϕία RSA το microικρό θεώρηmicroα τουFermat και το κινέζικο θεώρηmicroα υπολοίπου

bull Η συζήτηση για τον έλεγχο αν ένας ακέραιος είναι πρώτος microεταϕέρθηκε αργότεραστο Κεϕάλαιο 3 για να γίνει σαϕής η εξάρτησή του από την έmicromicroεση επιχειρηmicroατο-λογία

16 Πρόλογος

Θεωρία συνόλων

bull ΟΙ ιδιότητες του κενού συνόλου παρουσιάζονται πλέον στην πρώτη ενότητα τουΚεϕαλαίου 5

bull Ηδεύτερη ενότητα του Κεϕαλαίου 5 είναι πλέον αϕιερωmicroένη αποκλειστικά σε απο-δείξεις στοιχείων

bull Οι αλγεβρικές αποδείξεις των συνολοθεωρητικών ιδιοτήτων και η χρήση αντιπαρα-δειγmicroάτων στην ανασκευή ιδιοτήτων συνόλων έχουν microεταϕερθεί στην τρίτη ενότητατου Κεϕαλαίου 5

bull Η παρουσίαση των αλγεβρών Boole έχει επεκταθεί και επισηmicroαίνεται η σχέση ανά-microεσα στις λογικές ισοδυναmicroίες τις ιδιότητες συνόλων και τις άλγεβρες Boole

Συνδυαστική και διακριτές πιθανότητες

bull Προστέθηκαν ασκήσεις στην ενότητα του διωνυmicroικού θεωρήmicroατος

bull Προστέθηκαν δύο νέες ενότητες στις πιθανότητες όπου microεταξύ άλλων καλύπτονταιη αναmicroενόmicroενη τιmicroή η δεσmicroευmicroένη πιθανότητα και η ανεξαρτησία και το θεώρηmicroαBayes

bull Εξηγούνται οι συνδυαστικές πτυχές των διευθύνσεων του διαδικτυακού πρωτοκόλ-λου (Internet Protocol IP)

Συναρτήσεις

bull Οι ασκήσεις για ένα προς ένα και επί συναρτήσεις έχουν βελτιωθεί

bull Έχει επεκταθεί το σύνολο των ασκήσεων στην πληθικότητα microε εϕαρmicroογές στην υ-πολογισιmicroότητα

Αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων

bull Οι Ενότητες 92 και 94 επανεξετάστηκαν και προστέθηκαν οι συmicroβολισmicroοίΘ καιΩ

bull Οι Ενότητες 93 και 95 έχουν αναθεωρηθεί αντίστοιχα microε καλύτερη επεξήγηση τηςέννοιας της διάταξης για έναν αλγόριθmicroο

bull Ηεξέταση της ταξινόmicroησης microε εισαγωγήκαι της ταξινόmicroησης microε επιλογή βελτιώθηκεκαι επεκτάθηκε

Κανονικές εκϕράσεις και αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων

bull Οι προηγούmicroενες διάσπαρτες ενότητες για τις τυπικές γλώσσες και τα αυτόmicroαταπεπερασmicroένων καταστάσεων συνενώθηκαν σε ένα αυτόνοmicroο κεϕάλαιο

bull Προστέθηκε microια νέα ενότητα για τις κανονικές εκϕράσεις καθώς και microια συζήτησηγια τη σχέση ανάmicroεσα στις κανονικές εκϕράσεις και στα αυτόmicroατα πεπερασmicroένωνκαταστάσεων

Ιστοσελίδα

∆ηmicroιουργήθηκε microια ιστοσελίδα γιrsquo αυτό το βιβλίο που περιέχει πληροϕορίες και υλικότόσο για τους ϕοιτητές όσο και για τους διδάσκοντες Περιέχει

bull περιγραϕές και συνδέσmicroους σε πολλές σελίδες στο ∆ιαδίκτυο microε προσβάσιmicroες πλη-ροϕορίες σχετικά microε τα διακριτά microαθηmicroατικά

bull συνδέσmicroους σε microικροεϕαρmicroογές που παρουσιάζουν ή προσϕέρουν εξάσκηση σε θέ-microατα διακριτών microαθηmicroατικών

bull πρόσθετα παραδείγmicroατα και ασκήσεις microε λύσεις

bull οδηγούς επανάληψης για τα κεϕάλαια του βιβλίου

Μια ειδική ενότητα για τους διδάσκοντες περιέχει

bull διαϕάνειες και ηλεκτρονικές διαϕάνειες σε αρχεία τύπου PowerPoint

bull επιπλέον ασκήσεις για εξετάσεις

Πρόλογος 17

Οδηγός για τη χρήση του βιβλίου microε τις λύσεις

Κατά τη συγγραϕή αυτού του βιβλίου προσπάθησα να δώσω αρκετή βοήθεια στους ϕοι-τητές microέσω της παρουσίασης της ύλης των λυmicroένων παραδειγmicroάτων και των λύσεων τωνασκήσεων ώστε να έχουν στη διάθεσή τους ότι χρειάζεται για την πλήρη κατανόηση τουmicroαθήmicroατος Πιστεύω ότι οι ϕοιτητές που θα ολοκληρώσουν τη microελέτη αυτού του βιβλίουκαι θα κατάϕερουν να λύσουν microόνοι τους όλες τις ασκήσεις που έχουν λυθεί στο Παράρ-τηmicroα Β θα κατανοήσουν πολύ καλά το αντικείmicroενο Όmicroως γνωρίζω ότι κάποιοι ϕοιτητέςθα θέλουν να έχουν πρόσβαση σε επιπλέον βοηθητικό υλικό Γιrsquo αυτόν το λόγο έχω γρά-ψει τον οδηγό λύσεων και microελέτης για το ϕοιτητή που διατίθεται ξεχωριστά από αυτότο βιβλίο και περιέχει τις πλήρεις λύσεις των ασκήσεων οι οποίες δεν είναι πλήρως λυmicroέ-νες στο Παράρτηmicroα Β και που ο αριθmicroός τους διαιρείται microε το 3 Αυτός ο οδηγός περιέχειεναλλακτικές επεξηγήσεις για κάποιες έννοιες και ερωτήσεις επανάληψης για κάθε κεϕά-λαιο

Οργάνωση του βιβλίου

Αυτό το βιβλίο microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί αποτελεσmicroατικά για ένα microάθηmicroα ενός ή δύοεξαmicroήνων Κάθε κεϕάλαιο περιέχει κύριες ενότητες ενότητες microε προαιρετικό υλικό καιενότητες microε προαιρετικές εϕαρmicroογές Οι διδάσκοντες έχουν την άνεση να επιλέξουν ό-ποιο υποσύνολο θεωρούν ότι ταιριάζει καλύτερα microε το microάθηmicroα και τους ϕοιτητές τους Οακόλουθος πίνακας δείχνει τη διαίρεση των ενοτήτων σε κατηγορίες

Ενότητες microε προαιρετικό Ενότητες microε προαιρετικές

Κεϕάλαιο Κύρια ενότητα microαθηmicroατικό υλικό εϕαρmicroογές στους υπολογιστές

1 11ndash13 14 15

2 21ndash24 22 23 23

3 31ndash34 36 35 37 38

4 41ndash42 43ndash44 45

5 51 52ndash54 54

6 61ndash64 65ndash69 63

7 71ndash72 73ndash75 71 72 75

8 81 82 83 84 84

9 91 92 94 93 95

10 101ndash103 104 105 104 105

11 111 115 112 113 114 111 112 115 116

12 121 122 123 121ndash123

Το δενδροειδές διάγραmicromicroα που ακολουθεί δείχνει κατά προσέγγιση την αλληλοεξάρ-τηση των κεϕαλαίων Τα κεϕάλαια που βρίσκονται σε διαϕορετικά κλαδιά του δέντρουείναι αρκετά ανεξάρτητα ώστε οι διδάσκοντες να microη χρειάζεται να κάνουν σηmicroαντικέςπροσαρmicroογές αν τα προσπεράσουν και απλώς ακολουθήσουν τις διαδροmicroές κατά microήκοςτων κλαδιών του δέντρου

18 Πρόλογος

1

2

33

4

8

12dagger

11

5

7

9

6 10

lowast dagger

Ευχαριστίες

Χρωστάω ένα microεγάλο ευχαριστώ σε πολλούς ανθρώπους στο Πανεπιστήmicroιο του DePaulγια την υποστήριξή τους όλα αυτά τα χρόνια που δούλευα πάνω στις εκδόσεις αυτού τουβιβλίου Κάποιοι συνάδελϕοι χρησιmicroοποίησαν πρώιmicroες microορϕές και προηγούmicroενες εκδό-σεις του βιβλίου και microου έκαναν εξαιρετικά σχόλια για βελτιώσεις Γιrsquo αυτό ευχαριστώτους Louis Aquila J Marshall Ash Allan Berele Jerey Bergen William Chin BarbaraCortzen Constantine Georgakis Sigrun Goes Jerry Goldman Lawrence Gluck LeonidKrop CarolynNarasimhanWalter Pranger Eric Rieders Ayse Sahin Yuen-FatWong καιειδικότερα την Jeanne LaDuke Οι χιλιάδες ϕοιτητές στους οποίους δίδαξα διακριτά microα-θηmicroατικά είχαν σηmicroαντικότατη επίδραση στη microορϕή του βιβλίου Μοιράζοντας τις σκέ-ψεις τους και τους τρόπους σκέψης τους microαζί microου microε δίδαξαν πώς να διδάσκω καλύτε-ρα Τους οϕείλω ευγνωmicroοσύνη για τη βοήθειά τους Ιδιαίτερες ευχαριστίες οϕείλω στηδιοίκηση του Πανεπιστηmicroίου τουDePaul ιδιαίτερα στον ΚοσmicroήτοραMichael Mezey καιστον πρώην Κοσmicroήτορα Richard Meister που θεώρησαν αξιόλογη ακαδηmicroαϊκή εργασίατη συγγραϕή αυτού του βιβλίου

Ευχαριστώ τους διορθωτές για τις πολύτιmicroες παρατηρήσεις τους γιrsquo αυτή την έκδοσητου βιβλίου τους Pablo Echeverria του Camden County College William Gasarch τουUniversity of Maryland Joseph Kolibal του University of Southern Mississippi Benny Loτου International Technological University George Luger του University of New MexicoNorman Richert τουUniversity of Houston-Clear Lake PeterWilliams τουCalifornia Sta-te University at San Bernardino και τον Jay Zimmerman του Towson University Για τηβοήθειά τους στην πρώτη και δεύτερη έκδοση αυτού του βιβλίου είmicroαι ευγνώmicroων στουςItshak Borosh Texas A ampMUniversity Douglas M Campbell Brigham Young UniversityDavid G Cantor University of California at Los Angeles C Patrick Collier Universityof Wisconsin-Oshkosh Kevan H Croteau Francis Marion University Irinel Drogan Uni-versity of Texas at Arlington Henry A Etlinger Rochester Institute of Technology MelvinJ Friske Wisconsin Lutheran College Ladnor Geissinger University of North CarolinaJerrold R Griggs University of South Carolina Nancy Baxter Hastings Dickinson Colle-ge Lillian Hupert Loyola University Chicago Leonard T Malinowski Finger Lakes Com-munity College John F Morrison Towson State Unviersity Paul Pederson University ofDenver George Peck Arizona State University Roxy Peck California Polytechnic StateUniversity San Luis Obispo Dix Pettey University of Missouri Anthony Ralston State U-niversity of NewYork at Bualo John Roberts University of Louisville καιGeorge Schultz

lowastΟι διδάσκοντες που προτιmicroούν να ορίσουν τη συνάρτηση ως διmicroελή σχέση microπορούν να καλύψουντην Ενότητα 101 πριν την Ενότητα 71daggerΗ Ενότητα 103 χρειάζεται για την Ενότητα 123 αλλά όχι για τις Ενότητες 121 και 122

Πρόλογος 19

St Petersburg Junior College Clearwater Πολλές ευχαριστίες οϕείλω επίσης στους JohnCarroll San Diego State University Dr Joseph S Fulda και Porter G Webster Universityof Southern Mississippi για την απίστευτη επιmicroέλειά τους και την ενθάρρυνση που microουέδωσαν

Επίσης ωϕελήθηκα πάρα πολύ από τις παρατηρήσεις πολλών διδασκόντων που microουπρόσϕεραν γενναιόδωρα τις ιδέες τους για βελτιώσεις βασισmicroένες στις εmicroπειρίες τους α-πό τις προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Είmicroαι ιδιαίτερα ευγνώmicroων στους GoldstinePennsylvania State University David Hecker St Josephrsquos University Tom Jenkyns BrockUniversity Robert Messer Albion College Piotr Rudnicki University of Alberta AnwarShiek Dineacute College Norton Starr Amherst College Είχα επίσης εξαίρετη βοήθεια απότους John Banks Christopher Novak DePaul University και Ian Crewe Ascension Colle-giate School κατά τη διάρκεια της παραγωγής του βιβλίου

Χρωστώ ευγνωmicroοσύνη σε πολλούς ανθρώπους στις εταιρείες Wadsworth and Bro-oksCole Publishing ιδιαίτερα τον εκδότη microου Robert Pirtle για την ικανότητά του ναπραγmicroατοποιεί καλά πράγmicroατα ως δια microαγείας τους προηγούmicroενους εκδότες microου Hea-ther Bennett και Barbara Holland για την ενθάρρυνση και τον ενθουσιασmicroό τους και τηδιευθύντρια παραγωγής Janet Hill για την κατανόησή της και την προθυmicroία της να microουεπιτρέψει να έχω ρόλο σε όλα τα στάδια της παραγωγής ∆εν microπορώ να ϕανταστώ κα-λύτερη διευθύντρια παραγωγής από τη Martha Emry της οποίας τα υψηλής ποιότηταςπρότυπα και η προσοχή της στις λεπτοmicroέρειες ήταν πάντα εmicroπνευσmicroένες Ο σχεδιασmicroόςτης Kathleen Cunningham και η ϕωτοσύνθεση από την Techsetters Inc θα εκτιmicroηθούναπό όλους τους αναγνώστες του βιβλίου

Όσο microεγαλώνω τόσο συνειδητοποιώ το τεράστιο χρέος που οϕείλω στους δικούς microουδασκάλους των microαθηmicroατικών που διαmicroόρϕωσαν τον τρόπο microε τον οποίο βλέπω το αντι-κείmicroενο Τα πρώτα microου ευχαριστώ πρέπει να πάνε στο σύζυγό microουHelmut Epp ο οποίοςσε ένα ραντεβού όταν ακόmicroα ήmicroουν στο Γυmicroνάσιο () microε εισήγαγε στη δύναmicroη και τηνοmicroορϕιά των αξιωmicroάτων των microαθηmicroατικών και την άποψη ότι τα microαθηmicroατικά είναι ένααντικείmicroενο τόσο microε ιδέες όσο και microε τύπους και τεχνικές Όσον αϕορά την εκπαίδευ-σή microου είmicroαι ευγνώmicroων στους Daniel Zelinsky και Ky Fan του Northwestern Universityκαι Izaak Wirszup I N Herstein και Irving Kaplansky του University of Chicago που ό-λοι τους ο καθένας microε το δικό του τρόπο microε βοήθησαν να εκτιmicroήσω την κοmicroψότητα καιαυστηρότητα των microαθηmicroατικών αλλά και τη συγκίνηση που προκαλούν

Στην οικογένειά microου χρωστάω ευχαριστίες πέρα από κάθε όριο Είmicroαι ευγνώmicroων στηmicroητέρα microου που το ευγενικό ενδιαϕέρον της για τα έργα της ανθρώπινης διανόησης microεέβαλαν πριν πολλά χρόνια στο δρόmicroο που οδήγησε σε αυτό το βιβλίο και στον εκλιπόνταπατέρα microου που η αϕοσίωσή του στα βιβλία ήταν σταθερή πηγή έmicroπνευσης Ευχαριστώ ταπαιδιά microου και τα εγγόνια microου για την αγάπη τους και την αποδοχή των απαιτήσεων πουεπέβαλλε η συγγραϕή αυτού του βιβλίου στη ζωή microου Και περισσότερο από κάθε άλλονείναι ευγνώmicroωνστο σύζυγό microου που για πολλά χρόνια microε ενθάρρυνε microε την πίστη του στηναξία αυτής της εργασίας και microε υποστήριξε microε την αγάπη του και τις σοϕές συmicroβουλές του

Susanna Epp

236 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

62 Υποθέστε ότι το a[1] a[2] a[3] a[m] είναι διάνυσmicroακαι θεωρήστε το ακόλουθο τmicroήmicroα αλγορίθmicroου

sum ∶= 0for k ∶= 1 to m

sum ∶= sum + a[k]next k

Συmicroπληρώστε τα κενά παρακάτω ώστε κάθε τmicroήmicroα του αλ-γορίθmicroου να κάνει την ίδια δουλειά microε το παραπάνω

α sum ∶= 0for i ∶= 0 to

sum ∶=next i

β sum ∶= 0for j ∶= 2 to

sum ∶=next j

Χρησιmicroοποιήστε διαδοχικές διαιρέσεις microε το 2 για να microετατρέ-ψετε (microε το χέρι) τους ακεραίους των Ασκήσεων 63ndash65 από τηβάση 10 στη βάση 2

63 90 64 98 65 205

Κατασκευάστε έναν πίνακα για να καταγράψετε όλα τα βήmicroατατου Αλγορίθmicroου 411 microε είσοδο τις Ασκήσεις 66ndash68

66 23 67 28 68 44

69 Γράψτε microια microη τυπική περιγραϕή αλγορίθmicroου (χρησιmicroοποιώ-ντας διαδοχικές διαιρέσεις microε το 16) για να microετατρέψετε έναmicroη αρνητικό ακέραιο από το δεκαδικό στο δεκαεξαδικό σύ-στηmicroα (microε βάση το 16)

Χρησιmicroοποιήστε τον αλγόριθmicroο που αναπτύξατε για την Άσκη-ση 69 για να microετατρέψετε τους ακεραίους των Ασκήσεων 70ndash72στο δεκαεξαδικό σύστηmicroα

70 287 71 693 72 2301

73 Γράψτε microια τυπική περιγραϕή του αλγορίθmicroου που αναπτύ-ξατε στην Άσκηση 69

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι

[Η microαϑηmicroατιϰή επαγωγή είναι] η συνήϑης αποδειϰτιϰή τεχνιϰή στην επιστήmicroη τωνυπολογιστών

mdashAnthony Ralston 1984

Ηmicroαθηmicroατική επαγωγή είναι microία από τις πιο πρόσϕατα ανεπτυγmicroένες αποδεικτικές microεθό-δους στην ιστορία των microαθηmicroατικών Χρησιmicroοποιείται για την επαλήθευση εικασιών πουαϕορούν σε αποτελέσmicroατα διαδικασιών που εmicroϕανίζονται κατrsquo επανάληψη και σύmicroϕωναmicroε καθορισmicroένα microοτίβα Θα παρουσιάσουmicroε αυτή την τεχνική microε ένα παράδειγmicroα

Μερικοί ισχυρίζονται ότι το λεπτό του αmicroερικάνικου δολαρίου είναι τόσο microικρό νόmicroι-σmicroα ώστε πρέπει να αποσυρθεί Λένε ότι αν πέσει από τα χέρια κάποιου αυτός σπανίως θασκύψει να το πάρει Άλλοι ισχυρίζονται ότι αν αποσυρθεί το λεπτό θα υπάρχουν προβλή-microατα microε την ευελιξία στον καθορισmicroό των τιmicroών των αγαθών Ποιες τιmicroές θα microπορούσαννα εξοϕληθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο στην περίπτωση απόσυρσης του λεπτού και αντι-κατάστασής του microε ένα νόmicroισmicroα αξίας 3cent Η απάντηση είναι ότι οι microόνες τιmicroές που δενθα microπορούσαν να πληρωθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο είναι οι 1cent 2cent 4cent και 7cent Με άλλαλόγια

Μπορούmicroε να πάρουmicroε οποιονδήποτε ακέραιο αριθmicroό τουλάχιστον8 λεπτών χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα των 3cent και 5cent

Ποιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 microπορούmicroε να πάρουmicroεn λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5cent

Ακόmicroα πιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 η P(n) είναι αληθής όπου P(n) είναι η πρότασηlaquomicroπορούmicroε να πάρουmicroε n λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5centraquo

Θα microπορούσατε να ελέγξετε ότι η P(n) είναι αληθής για λίγες συγκεκριmicroένες τιmicroές του nόπως κάνουmicroε στον παρακάτω πίνακα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 237

Αριθmicroός λεπτών Πώς λαmicroβάνεται

8cent 3cent + 5cent

9cent 3cent + 3cent + 3cent

10cent 5cent + 5cent

11cent 3cent + 3cent + 5cent

12cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent

13cent 3cent + 5cent + 5cent

14cent 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

15cent 5cent + 5cent + 5cent

16cent 3cent + 3cent + 5cent + 5cent

17cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

Οι περιπτώσεις που ϕαίνονται στον πίνακα microας δίνουν επαγωγικού τύπου στοιχείαγια να υποστηρίξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλα τα n Πράγmicroατι η P(n) είναι αλη-ϑής για όλα τα n ge 8 αν ϰαι microόνο αν είναι εϕιϰτό να συνεχίσουmicroε να συmicroπληρώνουmicroε τονπίναϰα για οσοδήποτε microεγάλες τιmicroές του n

Η k γραmicromicroή του πίνακα δίνει πληροϕορίες για το πώς θα πάρουmicroε kcent χρησιmicroοποιώ-ντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent Για να συνεχίσουmicroε τον πίνακα στην επόmicroενη γραmicromicroήπρέπει να δώσουmicroε οδηγίες για το πώς θα υπολογιστούν τα (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και 5cent Το microυστικό είναι να παρατηρήσουmicroε πρώτα ότι αν microπορούmicroε ναυπολογίσουmicroε kcent χρησιmicroοποιώντας τουλάχιστον ένα κέρmicroα των 5cent τότε microπορούmicroε να υ-πολογίσουmicroε (k + 1)cent αντικαθιστώντας το κέρmicroα των 5cent microε δύο κέρmicroατα των 3cent όπωςϕαίνεται στο Σχήmicroα 421

kcent (k + 1)cent

3cent 3cent5cent

Αντικατάσταση ενός κέρματος των 5cent με δύο

κέρματα των 3cent

Αφαίρεση Προσθήκη

Σχήmicroα 421

Αν από την άλλη microεριά τα kcent λαmicroβάνονται χωρίς χρήση του κέρmicroατος των 5cent τότεχρησιmicroοποιούνται microόνο κέρmicroατα των 3cent Και αϕού το σύνολο είναι τουλάχιστον 8cent πρέπεινα περιλαmicroβάνονται τρία ή περισσότερα κέρmicroατα των 3cent Για να πάρουmicroε ένα σύνολο(k + 1)cent microπορούmicroε να αντικαταστήσουmicroε τρία από τα κέρmicroατα των 3cent microε δύο των 5centόπως ϕαίνεται στο Σχήmicroα 422 της επόmicroενης σελίδας

Η δοmicroή του παραπάνω επιχειρήmicroατος microπορεί να περιγραϕεί συνοπτικά ως εξής Γιανα δείξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8 (1) δείχνουmicroε ότι ηP(8) είναι αληθής και (2) δείχνουmicroε ότι η αλήθεια της P(k + 1) προκύπτει απαραίτητααπό την αλήθεια της P(k) για κάθε k ge 8 Κάθε επιχείρηmicroα αυτής της microορϕής καλείταιεπιχείρηmicroα microαϑηmicroατιϰής επαγωγής

238 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

5cent

kcent (k + 1)cent

Προσθήκη

kcent (k + 1)cent

5cent

3cent 3cent

3cent

Αντικαθιστούμε τρίακέρματα των 3centμε δύο κέρματα

των 5cent

Αφαίρεση

5cent

Σχήmicroα 422

Η αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής

Έστω ότι η P(n) είναι microια ιδιότητα που ορίζεται για ακεραίους n και έστω ότι οa είναι ένας συγκεκριmicroένος ακέραιος Υποθέτουmicroε ότι οι ακόλουθες δυο προτάσειςείναι αληθείς

1 Η P(a) είναι αληθής2 Για όλους τους ακεραίους k ge a αν η P(k) είναι αληθής τότε και η P(k + 1) είναι

αληθής

Τότε ισχύει η πρότασηγια όλους τους ακεραίους n ge a η P(n) είναι αληθής

Η πρώτη γνωστή καταγεγραmicromicroένη microαθηmicroατική επαγωγή βρίσκεται στα γραπτά τουΙταλού επιστήmicroονα Francesco Maurolico το 1575 Την ίδια τεχνική χρησιmicroοποιούσαν κα-τά το δέκατο έβδοmicroο αιώνα και οι Pierre de Fermat και Blaise Pascal Ο Fermat ονόmicroαζετην επαγωγή laquomicroέθοδο της άπειρης καθόδουraquo (laquomethod of innite descentraquo) Το 1883 οAugustus De Morgan (γνωστός από τους κανόνες De Morgan) περιέγραψε προσεκτικάτη διαδικασία και την ονόmicroασε microαϑηmicroατιϰή επαγωγή

Για να πάρετε microια διαισθητική εικόνα για τη microαθηmicroατική επαγωγή ϕανταστείτε microιαάπειρη συλλογή από ντόmicroινο τοποθετηmicroένα το ένα πίσω από το άλλο microε τέτοιο τρόποώστε αν ένα ντόmicroινο πέσει να ρίξει και το επόmicroενο (∆είτε το Σχήmicroα 423) Φανταστείτετώρα ότι πέϕτει το πρώτο ντόmicroινο Τι θα συmicroβεί Θα πέσουν όλα

12

3

4

kk + 1

Σχήmicroα 423 Όταν πέϕτει το k ντόmicroινο ρίχνει και το (k + 1)

Για να δείτε τη σχέση ανάmicroεσα σε αυτή την εικόνα και την αρχή της microαθηmicroατικήςεπαγωγής υποθέστε ότι η P(n) είναι η πρόταση laquoτο n ντόmicroινο πέϕτειraquo Υποθέτουmicroε ότιγια κάθε k ge 1 αν η P(k) είναι αληθής (το k ντόmicroινο πέϕτει) τότε η P(k + 1) είναι επίσηςαληθής (το (k + 1) ντόmicroινο πέϕτει) Υποθέτουmicroε επίσης ότι η P(1) είναι αληθής (το πρώτοντόmicroινο πέϕτει) Έτσι από την αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής η P(n) (το n ντόmicroινοπέϕτει) είναι αληθής για κάθε n ge 1

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 239

Η ισχύς της απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή θεωρείται αξίωmicroα Γιrsquo αυτόν το λόγοαναϕερόmicroαστε σε αυτή ως αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής αντί ως θεώρηmicroα Είναι ισο-δύναmicroη microε την ακόλουθη ιδιότητα των ακεραίων που εύκολα τη δέχεται κανείς ως αληθήmicroε βάση τη διαίσθησή του

Υποθέτουmicroε ότι το S είναι οποιοδήποτε σύνολο ακεραίων που ικανοποιεί (1) a isin Sκαι (2) για όλους τους ακεραίους k αν k isin S τότε k + 1 isin S Τότε το S πρέπει ναπεριέχει κάθε ακέραιο microεγαλύτερο ή ίσο του a

Για να κατανοήσουmicroε την ισοδυναmicroία των δυο διατυπώσεων απλώς ορίζουmicroε ως S τοσύνολο όλων των ακεραίων για τους οποίους η P(n) είναι αληθής

Η απόδειξη ενός επιχειρήmicroατος microε microαθηmicroατική επαγωγή είναι microια διαδικασία δύο βη-microάτων Το πρώτο βήmicroα λέγεται αρχιϰό βήmicroα ή βήmicroα έναρξης και το δεύτερο επαγωγιϰόβήmicroα

Η microέθοδος απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή

Θεωρήστε microια πρόταση της microορϕής laquoγια όλους τους ακεραίους n ge a η ιδιότηταP(n) είναι αληθήςraquo Για να αποδείξουmicroε microια τέτοια πρόταση ακολουθούmicroε τα παρα-κάτω δύο βήmicroατα

Βήmicroα 1 (αρχικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = a

Βήmicroα 2 (επαγωγικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους k ge a αν η ιδιό-τητα είναι αληθής για n = k τότε είναι αληθής για n = k + 1 Για να πραγmicroα-τοποιήσουmicroε αυτό το βήmicroα

υποθέτουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k όπου k είναιοποιοσδήποτε συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος ακέραιοςmicroε k ge a [Αυτή η υπόϑεση ονοmicroάζεται επαγωγική υπόθεση]

Έτσι

δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k + 1

∆ίνουmicroε εδώ την τυπική απόδειξη για τα κέρmicroατα που διατυπώσαmicroε χωρίς τυπικό τρό-πο προηγουmicroένως

Πρόταση 421

Έστω ότι η P(n) είναι η ιδιότητα laquoncent microπορούν να υπολογιστούν microε κέρmicroατα των 3centκαι 5centraquo Τότε η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8

Απόδειξη

∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 8 Η ιδιότητα είναι αληθής για n = 8 ε-πειδή 8cent = 3cent + 5cent

∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 8 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής ϰαι για n = k + 1 Υποθέτουmicroε ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε kcent χρη-σιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent για κάποιο ακέραιο k ge 8 [Αυτή είναι η ε-παγωγιϰή υπόϑεση]Πρέπει να δείξουmicroε τώρα ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε και (k + 1)centχρησιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και 5cent Αν υπάρχει κέρmicroα των 5cent ανάmicroεσα σε αυτάπου απαρτίζουν τα kcent το αντικαθιστούmicroε microε δύο κέρmicroατα των 3cent το αποτέλεσmicroαθα είναι (k + 1)cent Αν δεν υπάρχει κέρmicroα των 5cent σε αυτά που απαρτίζουν τα kcent τότεπρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 3 κέρmicroατα των 3cent αϕού k ge 8 Αϕαιρούmicroε αυτά τατρία κέρmicroατα των 3cent και τα αντικαθιστούmicroε microε δύο των 5cent το αποτέλεσmicroα θα είναι(k + 1)cent Έτσι σε κάθε περίπτωση microπορούmicroε να πάρουmicroε (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και των 5cent [όπως έπρεπε να δειχϑεί]

240 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Το ακόλουθο παράδειγmicroα δείχνει πώς χρησιmicroοποιούmicroε τη microαθηmicroατική επαγωγή γιανα αποδείξουmicroε έναν τύπο που δίνει το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Παράδειγmicroα 421 Άθροισmicroα των n πρώτων ακεραίων

Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να αποδείξετε ότι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2για όλους τους ακεραίους n ge 1

Λύση Για να κατασκευάσετε microια απόδειξη microε επαγωγή πρέπει πρώτα να βρείτε ποια είναι ηιδιότητα P(n) Σε αυτή την περίπτωση η P(n) είναι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2 larr η ιδιότητα (P(n))

[Για να δείτε ότι η P(n) είναι microια πρόταση παρατηρήστε ότι το αντιϰείmicroενό της είναι laquoτοάϑροισmicroα των αϰεραίων από το 1 microέχρι το nraquo ϰαι το ρήmicroα της είναι το laquoισούταιraquo]

Στο αρχικό βήmicroα της απόδειξης πρέπει να δείξετε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 1ή microε άλλα λόγια ότι η P(1) είναι αληθής Τώρα για να βρούmicroε την P(1) αντικαθιστούmicroε1 στη θέση του n στην P(n) Το αριστερό σκέλος της P(1) είναι το άθροισmicroα όλων τωνδιαδοχικών ακεραίων που ξεκινούν microε το 1 και τελειώνουν στο 1 Αυτό είναι απλώς το 1Έτσι η P(1) είναι η

1 =1(1 + 1)

2 larr αρχική (P(1))

Φυσικά αυτή η εξίσωση είναι αληθής διότι το δεξιό σκέλος είναι

1(1 + 1)2

=1 sdot 2

2= 1

που ισούται microε το αριστερό σκέλοςΣτο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής για κάποιον ακέραιο k microε

k ge 1 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση] Πρέπει τώρα να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναιαληθής Ποιες είναι οι P(k) και P(k + 1) Για να βρούmicroε την P(k) αντικαθιστούmicroε k στηθέση κάθε n στην P(n) Έτσι η P(k) είναι η

1 + 2 +⋯+ k =k(k + 1)

2 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Παρόmicroοια για να βρούmicroε την P(k + 1) αντικαθιστούmicroε κάθε n της P(n) microε την ποσότητα(k + 1) Έτσι η P(k + 1) είναι1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2

ή ισοδύναmicroα

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

larr να δειχθεί η (P(k + 1))

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 241

Τώρα η επαγωγική υπόθεση είναι ότι η P(k) είναι αληθής Πώς microπορούmicroε να χρησι-microοποιήσουmicroε αυτή την υπόθεση για να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής Η P(k + 1)είναι microια εξίσωση και η αλήθεια microιας εξίσωσης microπορεί να δειχθεί microε διάϕορους τρόπουςΈνας από τους πιο άmicroεσους είναι να microετασχηmicroατίσουmicroε το αριστερό σκέλος στο δεξιόχρησιmicroοποιώντας άλγεβρα και άλλους γνωστούς κανόνες και έγκυρες υποθέσεις microεταξύτων οποίων και την επαγωγική υπόθεση Σε αυτή την περίπτωση το αριστερό σκέλος τηςP(k + 1) είναι

1 + 2 +⋯+ (k + 1)που ισούται microε

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) προσδιορισmicroός του προτελευταίουόρου και οmicroαδοποίηση

Αλλά microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1)=k(k + 1)

2+ (k + 1) αϕού η επαγωγική υπόθεση λέει

ότι 1 + 2 +⋯ + k =k(k + 1)

2

Τώρα χρησιmicroοποιούmicroε άλγεβρα για να δείξουmicroε ότι αυτή η έκϕραση ισούται microε το δεξιόσκέλος της P(k + 1)

k(k + 1)2

+ (k + 1)

=k(k + 1)

2+2(k + 1)

2

πολλαπλασιάζουmicroε αριθmicroητή και πα-ρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε το2 για να πάρουmicroε κοινό παρονοmicroα-στή

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2microε πρόσθεση κλασmicroάτων

=(k + 2)(k + 1)

2βγάζουmicroε κοινό παράγοντα το (k + 1)

=(k + 1)(k + 2)

2υπολογίζουmicroε τους παράγοντες(k + 1) και (k + 2)

που ισούται microε το δεξιό σκέλος της P(k + 1)Συνοψίζουmicroε την παραπάνω ανάλυση ως εξής

Θεώρηmicroα 422 Άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Για όλους τους ακεραίους n ge 1

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2

Απόδειξη (microε microαθηmicroατική επαγωγή)

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση 1 + 2 +⋯+ n = n(n + 1)2

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1 Για να δείξουmicroε την ιδιότητα για

n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 =1(1 + 1)

2 Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης

είναι 1 και το δεξιό είναι1(1 + 1)

2=2

2= 1 και αυτό Άρα η ιδιότητα είναι αληθής για

n = 1συνεχίζεται στην επόmicroενη σελίδα

242 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2είναι αληϑής για ϰάποιον

αϰέραιο k ge 1 στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ k =

k(k + 1)2

για κάποιον ακέραιο k ge 1

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =

n(n + 1)2

είναι αληϑής όταν

αντιϰαταστήσουmicroε το k + 1 στη ϑέση του n]Πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2 ή ισοδύναmicroα ότι

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

421

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος της εξίσωσης (421) ισούται microε το δεξιόσϰέλος]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (421) είναι το

1 + 2 +⋯+ (k + 1)= (1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) Ο προτελευταίος όρος είναι ο k γιατί οι όροι

είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ο τελευταίος εί-ναι ο k + 1

=k(k + 1)

2+ (k + 1) microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

=k(k + 1)

2+(k + 1) sdot 2

2

=(k + 1)(k + 2)

2

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (421) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού δείξαmicroε ϰαι το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

Λέγεται microια ιστορία για έναν από τους microεγαλύτερους microαθηmicroατικούς όλων των εποχώντον Carl Friedrich Gauss (1777ndash1855) σύmicroϕωνα microε την οποία όταν ήταν microικρό παιδί οδάσκαλος του ζήτησε να προσθέσει τους αριθmicroούς από το 1 microέχρι το 100 Ο δάσκαλοςζήτησε από τους microαθητές να υπολογίσουν το άθροισmicroα ώστε να τους απασχολήσει γιανα microπορέσει εκείνος να διορθώσει γραπτά Αλλά λίγες στιγmicroές αργότερα ο Gauss βρήκετην σωστή απάντηση Είναι περιττό να πούmicroε ότι ο δάσκαλος τα έχασε Πώς microπόρεσε ονεαρός Gauss να υπολογίσει τόσο γρήγορα Τα επόmicroενα χρόνια ο Gauss εξήγησε ότι είχεϕανταστεί τους αριθmicroούς σε ζευγάρια σύmicroϕωνα microε το ακόλουθο σχήmicroα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 243

1 2 3 50 51 98 99 100

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

Το άθροισmicroα κάθε ζεύγους είναι 101 και υπάρχουν 50 ζεύγη άρα το συνολικό άθροισmicroαείναι 50 sdot 101 = 5050

Παράδειγmicroα 422 Εϕαρmicroογές του τύπου του αθροίσmicroατος των πρώτων n ακεραίων

α Βρείτε το 2 + 4 + 6 +⋯+ 500

β Βρείτε το 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50

γ Για οποιονδήποτε ακέραιο h ge 2 βρείτε το 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1)Λύση

α 2 + 4 + 6 +⋯+ 500 = 2 sdot (1 + 2 + 3 +⋯+ 250)= 2 sdot (250 sdot 251

2) εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroα

των πρώτων n ακεραίων για n = 250

= 62750

β 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50 = (1 + 2 + 3 +⋯+ 50) minus (1 + 2 + 3 + 4)=50 sdot 51

2minus 10

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroατων πρώτων n ακεραίων για n = 50

= 1265

γ 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1) = (h minus 1) sdot [(h minus 1) + 1]2

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροι-σmicroα των πρώτων n ακεραίων γιαn = h minus 1

=(h minus 1) sdot h

2αϕού (h minus 1) + 1 = h n

Στο επόmicroενο παράδειγmicroα ζητείται να αποδειχθεί ένας άλλος διάσηmicroος microαθηmicroατικόςτύποςmdashο τύπος του αθροίσmicroατος της γεωmicroετρικής προόδου Σε microια γεωmicroετρικήπρόοδοκάθε όρος ισούται microε τον προηγούmicroενο επί ένα σταθερό παράγοντα Αν ο πρώτος όροςείναι 1 και ο σταθερός παράγοντας είναι r τότε η ακολουθία είναι 1 r r2 r3 rn Το άθροισmicroα των πρώτων n όρων αυτής της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

για όλους τους ακεραίους n ge 0 και τους πραγmicroατικούς αριθmicroούς r που δεν είναι ίσοι microε1 Η αναπτυγmicroένη microορϕή αυτού του τύπου είναι η

r0 + r1 + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

και επειδή r0 = 1 και r1 = r ο τύπος για n ge 1 microπορεί να ξαναγραϕεί ως

1 + r + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

244 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παράδειγmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Αποδείξτε ότιnsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 για κάθε ακέραιο n ge 0 και για όλους τους πραγmicroατικούς

αριθmicroούς r διάϕορους του 1

Λύση Σε αυτό το παράδειγmicroα η ιδιότητα P(n) είναι πάλι microια εξίσωση αν και σε αυτή τηνπερίπτωση περιλαmicroβάνει microια πραγmicroατική microεταβλητή r

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 larr η ιδιότητα (P(n))

Αϕού το r microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός εκτός του 1 ξεκινάmicroε τηναπόδειξη υποθέτοντας ότι ο r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγ-microατικός αριθmicroός διάϕορος του 1 Έπειτα συνεχίζουmicroε την απόδειξη microε microαθηmicroατική επα-γωγή στο n αρχίζοντας microε το n = 0 Στο αρχικό βήmicroα πρέπει να δείξουmicroε ότι η P(0) είναιαληθής δηλαδή να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 0 Οπότε αντικαθιστούmicroε0 για κάθε n στην P(n)

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1 larr αρχική (P(0))

Στο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής δηλαδή υποθέτουmicroε ότι ηιδιότητα είναι αληθής για n = k Οπότε αντικαθιστούmicroε k για κάθε n στην P(n)

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Μετά δείχνουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής δηλαδή δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αλη-θής για n = k + 1 Έτσι αντικαθιστούmicroε k + 1 για κάθε n στην P(n)

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1

ή εναλλακτικά

k+1sumi=0

r i =rk+2 minus 1

r minus 1sdot larr για να δείξουmicroε την (P(k + 1))

Θεώρηmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό r εκτός του 1 και για κάθε ακέραιο n ge 0

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Απόδειξη

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Υποθέτουmicroε ότι το r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγmicroατικόςαριθmicroός διάϕορος του 1 Πρέπει να δείξουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους n ge 0

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 245

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Θα το δείξουmicroε microε microαθηmicroατική επαγωγή στο n

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0 Για n = 0 πρέπει να δείξουmicroε ότι

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1

Το αριστερό σκέλος αυτής της εξίσωσης είναι το r0 = 1 Το δεξιό σκέλος είναι

r1 minus 1

r minus 1=r minus 1

r minus 1= 1

ξανά αϕού r1 = r και r ne 1 [Οπότε η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0]

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 0 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1είναι αληϑής όταν ένας αϰέραιος k ge 0

αντιϰατασταϑεί στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 για k ge 0 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση]

[Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1 422

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος αυτής της εξίσωσης ισούται microε το δεξιό]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (422) είναι το

k+1sumi=0

r i =ksumi=0

r i + rk+1 γράϕουmicroε τον (k + 1) όρο ξεχωριστά απότους πρώτους k όρους

=rk+1 minus 1

r minus 1+ rk+1 microε αντικατάσταση από

την επαγωγική υπόθεση

=rk+1 minus 1

r minus 1+rk+1(r minus 1)

r minus 1

πολλαπλασιάζουmicroε τον αριθmicroητή και τονπαρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε (r minus 1)για να έχουmicroε κοινό παρονοmicroαστή

=(rk+1 minus 1) + rk+1(r minus 1)

r minus 1πρόσθεση κλασmicroάτων

=rk+1 minus 1 + rk+2 minus rk+1

r minus 1πολλαπλασιασmicroός και χρήση του

rk+1 sdot r = rk+1 sdot r1 = rk+2

=rk+2 minus 1

r minus 1διαγραϕή των rk+1

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (4 2 2) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

6 Περιεχόmicroενα

Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή 221

41 Ακολουθίες 221Τύποι ακολουθιών Συmicroβολισmicroός του αθροίσmicroατος Συmicroβολισmicroός γινοmicroένου Συmicroβο-λισmicroός παραγοντικού Ιδιότητες αθροισmicroάτων και γινοmicroένων Αλλαγή microεταβλητήςΑκολουθίες στον προγραmicromicroατισmicroό ηλεκτρονικών υπολογιστών Εϕαρmicroογή Αλγόριθ-microος microετατροπής από τη βάση 10 στη βάση 2 microε συνεχή διαίρεση microε το 2

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 236Η αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής Το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων Το άθροι-σmicroα γεωmicroετρικής προόδου

43 Μαθηmicroατική επαγωγή ΙΙ 248Σύγκριση της microαθηmicroατικής επαγωγής και της επαγωγικής επιχειρηmicroατολογίας Από-δειξη ιδιοτήτων διαιρετότητας Απόδειξη ανισοτήτων

44 Ισχυρή microαθηmicroατική επαγωγή και η αρχή της καλής διάταξης 256Εϕαρmicroογή της ισχυρής microαθηmicroατικής επαγωγής ∆υαδική αναπαράσταση ακεραίων Ηαρχή της καλής διάταξης για τους ακεραίους

45 Μια εφαρmicroογή Ορθότητα αλγορίθmicroων 265Ισχυρισmicroοί Αναλλοίωτες βρόχου Ορθότητα του αλγορίθmicroου διαίρεσης Ορθότητατου αλγορίθmicroου microέγιστου κοινού διαιρέτη

Κεφάλαιο 5 Θεωρία συνόλων 276

51 Βασικοί ορισmicroοί της θεωρίας συνόλων 276Υποσύνολα Ισότητα συνόλων Πράξεις συνόλων ∆ιαγράmicromicroατα Venn Το κενό σύνο-λο ∆ιαmicroερίσεις συνόλων ∆υναmicroοσύνολα Καρτεσιανά γινόmicroενα Αλγόριθmicroος ο οποί-ος ελέγχει αν ένα σύνολο είναι υποσύνολο ενός άλλου (προαιρετική υποενότητα)

52 Ιδιότητες συνόλων 290Ταυτότητες συνόλων Πώς αποδεικνύουmicroε ταυτότητες συνόλων Το κενό σύνολο

53 Ανασκευές αλγεβρικές αποδείξεις και άλγεβρες Boole 304Απόδειξη του ψεύδους microιας υποτιθέmicroενης ιδιότητας συνόλων Στρατηγική επίλυσηςπροβληmicroάτων Ο αριθmicroός των υποσυνόλων ενός συνόλου laquoΑλγεβρικέςraquo αποδείξειςταυτοτήτων συνόλων Άλγεβρες Boole

54 Το παράδοξο του Russell και το πρόβληmicroα του τερmicroατισmicroού 315Περιγραϕή του παραδόξου του Russell Το πρόβληmicroα του τερmicroατισmicroού

Κεφάλαιο 6 Απαρίθmicroηση και πιθανότητα 320

61 Εισαγωγή 321Ορισmicroός δειγmicroατικού χώρου και ενδεχοmicroένου Πιθανοθεωρητικός τύπος για ισοπίθα-να αποτελέσmicroατα Μέτρηση των στοιχείων ενός καταλόγου υποκατάλογοι και δια-νύσmicroατα

Περιεχόmicroενα 7

62 ∆έντραδυνατώναποτελεσmicroάτων και ο κανόνας τουπολλαπλασιασmicroού 329∆έντρα δυνατών αποτελεσmicroάτων Ο κανόνας του πολλαπλασιασmicroού Πότε είναι δύ-σκολη ή αδύνατη η εϕαρmicroογή του κανόνα πολλαπλασιασmicroού Μεταθέσεις Μεταθέ-σεις επιλεγmicroένων στοιχείων

63 Καταmicroέτρηση των στοιχείων ξένων συνόλωνΟ κανόνας της πρόσθεσης 344Ο κανόνας της πρόσθεσης Ο κανόνας της διαϕοράς Η αρχή εγκλεισmicroούαποκλει-σmicroού

64 Καταmicroέτρηση υποσυνόλων ενός συνόλου Συνδυασmicroοί 358r-συνδυασmicroοί ∆ιατεταγmicroένες και microη διατεταγmicroένες επιλογές Σχέσεις microεταξύ microετα-θέσεων και συνδυασmicroών Μεταθέσεις συνόλων microε επαναλαmicroβανόmicroενα στοιχεία Με-ρικές συmicroβουλές καταmicroέτρησης

65 r-συνδυασmicroοί microε επανάληψη 373Συνδυασmicroοί microε επανάληψη και τρόπος microέτρησής τους Ποιον τύπο χρησιmicroοποιούmicroε

66 Η άλγεβρα των συνδυασmicroών 380Συνδυαστικοί τύποι Το τρίγωνο του Pascal Αλγεβρικές και συνδυαστικές αποδείξειςτου τύπου του Pascal

67 Το διωνυmicroικό θεώρηmicroα 386∆ιατύπωση του θεωρήmicroατος Αλγεβρικές και συνδυαστικές αποδείξεις Εϕαρmicroογές

68 Τα αξιώmicroατα των πιθανοτήτων και η αναmicroενόmicroενη τιmicroή 394Αξιώmicroατα πιθανοτήτων Παραγωγή επιπλέον πιθανοθεωρητικών τύπων Αναmicroενόmicroε-νη τιmicroή

69 ∆εσmicroευmicroένηπιθανότητα τύπος τουBayes και ανεξάρτητα ενδεχόmicroενα 399∆εσmicroευmicroένη πιθανότητα Το θεώρηmicroα Bayes Ανεξάρτητα ενδεχόmicroενα

Κεφάλαιο 7 Συναρτήσεις 413

71 Συναρτήσεις που ορίζονται σε ένα γενικό σύνολο 413Ορισmicroός της συνάρτησης ∆ιαγράmicromicroατα του Venn Η συνάρτηση ως microηχανή Παρα-δείγmicroατα συναρτήσεων Συναρτήσεις Boole Έλεγχος της επάρκειας του ορισmicroού microιαςσυνάρτησης

72 Ένα προς ένα και επί αντίστροφες συναρτήσεις 426Συναρτήσεις ένα προς ένα Συναρτήσεις ένα προς ένα σε άπειρα σύνολα Εϕαρmicroο-γή Συναρτήσεις hash Συναρτήσεις επί Συναρτήσεις επί σε άπειρα σύνολα Ιδιότητεςεκθετικών και λογαριθmicroικών συναρτήσεων Αντιστοιχίες ένα προς ένα και επί Αντί-στροϕες συναρτήσεις

73 Εφαρmicroογή Η αρχή του περιστερώνα 444∆ιατύπωση και ανάλυση της αρχής Εϕαρmicroογή στο δεκαδικό ανάπτυγmicroα κλασmicroάτωνΓενικευmicroένη αρχή του περιστερώνα Απόδειξη της αρχής του περιστερώνα

8 Περιεχόmicroενα

74 Σύνθεση συναρτήσεων 456Ορισmicroοί και παραδείγmicroατα Σύνθεση συναρτήσεων ένα προς ένα Σύνθεση συναρτή-σεων επί

75 Πληθικότητα microε εφαρmicroογές στην υπολογισιmicroότητα 467Ισοδύναmicroες πληθικότητες Αριθmicroήσιmicroα σύνολα Αναζήτηση microεγαλύτερων απείρων Ηδιαδικασία διαγωνιοποίησης του Cantor Εϕαρmicroογή Πληθικότητα και υπολογισιmicroό-τητα

Κεφάλαιο 8 Αναδροmicroικοί ορισmicroοί 481

81 Ακολουθίες που ορίζονται αναδροmicroικά 481Ορισmicroός αναδροmicroικής σχέσης Παραδείγmicroατα ακολουθιών που ορίζονται microε αναδρο-microικό τρόπο Το πλήθος των διαmicroερίσεων ενός συνόλου σε r υποσύνολα

82 Επίλυση αναδροmicroικών σχέσεων microε επαναλήψεις 499Η microέθοδος της επανάληψης Χρήση τύπων για την απλοποίηση λύσεων που προκύ-πτουν microε τη microέθοδο των επαναλήψεων Έλεγχος της ορθότητας ενός τύπου microε microαθη-microατική επαγωγή Εντοπισmicroός σϕάλmicroατος σε έναν τύπο

83 Γραmicromicroικές οmicroογενείς αναδροmicroικές σχέσειςδεύτερου βαθmicroού microε σταθερούς συντελεστές 511Προσδιορισmicroός της τεχνικής επίλυσης αυτών των σχέσεων Η περίπτωση των διακρι-τών ριζών Η περίπτωση της microίας ρίζας

84 Γενικοί αναδροmicroικοί ορισmicroοί 523Αναδροmicroικά ορισmicroένα σύνολα Απόδειξη ιδιοτήτων αναδροmicroικά ορισmicroένων συνόλωνΑναδροmicroικός ορισmicroός του αθροίσmicroατος του γινοmicroένου της ένωσης και της τοmicroήςΑναδροmicroικά ορισmicroένες συναρτήσεις

Κεφάλαιο 9 Ηαποδοτικότητα των αλγορίθmicroων 534

91 Πραγmicroατικές συναρτήσεις microιας πραγmicroατικής microεταβλητήςκαι τα γραφήmicroατά τους 534Γραϕήmicroατα συναρτήσεων Συναρτήσεις δυνάmicroεων Η συνάρτηση κάτω ακέραιου microέ-ρους Σχεδίαση συναρτήσεων που ορίζονται σε σύνολα ακεραίων Το γράϕηmicroα ενόςπολλαπλασίου microιας συνάρτησης Αύξουσες και ϕθίνουσες συναρτήσεις

92 Τα σύmicroβολαOΩ καιΘ 542Ορισmicroοί και γενικές ιδιότητες των συmicroβολισmicroώνOΩ καιΘ Τάξεις συναρτήσεων δυ-νάmicroεων Οι τάξεις των πολυωνυmicroικών συναρτήσεων Τάξεις συναρτήσεων ακέραιωνmicroεταβλητών Επέκταση σε συναρτήσεις που προέρχονται από σύνθεση ρητών δυνά-microεων

93 Εφαρmicroογή Αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων Ι 555Η χρονική αποδοτικότητα ενός αλγορίθmicroου Υπολογισmicroός τάξης απλών αλγορίθmicroωνΟ αλγόριθmicroος σειριακής αναζήτησης Αλγόριθmicroος ταξινόmicroησης microε παρεmicroβολή

Περιεχόmicroενα 9

94 Εκθετικές και λογαριθmicroικές συναρτήσεις Γραφήmicroατα και τάξεις 568Γραϕήmicroατα εκθετικών και λογαριθmicroικών συναρτήσεων Εϕαρmicroογή Το πλήθος τωνδυαδικών ψηϕίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση ενός ακεραίου σε δυαδικήmicroορϕή Εϕαρmicroογή Χρήση λογαρίθmicroων για την επίλυση αναδροmicroικών σχέσεων Εκ-θετικές και λογαριθmicroικές τάξεις

95 Εφαρmicroογή Αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων ΙΙ 581Αλγόριθmicroοι laquoδιαίρει και βασίλευεraquo Η αποδοτικότητα του αλγορίθmicroου δυαδικής ανα-ζήτησης Ταξινόmicroηση microε συγχώνευση Ανιχνεύσιmicroα και microη ανιχνεύσιmicroα προβλήmicroαταΈνα τελικό σχόλιο σχετικά microε την αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων

Κεφάλαιο 10 Σχέσεις 596

101 Σχέσεις σε σύνολα 596Ορισmicroός διmicroελούς σχέσης Το διάγραmicromicroα microιας σχέσης Σχέσεις και συναρτήσεις Ηαντίστροϕη microιας σχέσης Το κατευθυνόmicroενο γράϕηmicroα microιας σχέσης Ν-microελείς σχέσειςκαι σχεσιακές βάσεις δεδοmicroένων

102 Ανακλαστικότητα συmicromicroετρία και microεταβατικότητα 609Οι ιδιότητες ανακλαστικότητας συmicromicroετρίας και microεταβατικότητας Η microεταβατικήκλειστότητα microιας σχέσης Ιδιότητες των σχέσεων σε άπειρα σύνολα

103 Σχέσεις ισοδυναmicroίας 619Η σχέση που επάγεται από microια διαmicroέριση Ορισmicroός της σχέσης ισοδυναmicroίας Κλάσειςισοδυναmicroίας microιας σχέσης ισοδυναmicroίας

104 Η αριθmicroητική των υπολοίπων microε εφαρmicroογές στην κρυπτογραφία 636Ιδιότητες της ισοτιmicroίας modulo n Αριθmicroητική των υπολοίπων Προσδιορισmicroός τουαντιστρόϕουmodulo n Το λήmicromicroα του Ευκλείδη Το microικρό θεώρηmicroα του Fermat καιτο κινέζικο θεώρηmicroα υπολοίπου Γιατί είναι αποτελεσmicroατικός ο κώδικας RSA

105 Σχέσεις microερικής διάταξης 657Αντισυmicromicroετρία Σχέσεις microερικής διάταξης Λεξικογραϕική σειρά ∆ιαγράmicromicroαταHasseΜερικώς και ολικώς διατεταγmicroένα σύνολα Τοπολογική ταξινόmicroηση Μια εϕαρmicroογήPERT και CPM

Κεφάλαιο 11 Γραφήmicroατα και δέντρα 675

111 Γραφήmicroατα Εισαγωγή 675Βασική ορολογία και παραδείγmicroατα Ειδικά γραϕήmicroατα Η έννοια του βαθmicroού

112 Μονοπάτια και κυκλώmicroατα 691Ορισmicroοί Κυκλώmicroατα Euler Χαmicroιλτονιανά κυκλώmicroατα

113 Αναπαράσταση των γραφηmicroάτων microε πίνακες 710Πίνακες Πίνακες και κατευθυνόmicroενα γραϕήmicroατα Πίνακες και (microη κατευθυνόmicroενα)γραϕήmicroατα Πίνακες και συνεκτικές συνιστώσες Πολλαπλασιασmicroός πινάκων Υπο-λογισmicroός περιπάτων microήκους Ν

10 Περιεχόmicroενα

114 Ισοmicroορφισmicroοί γραφηmicroάτων 724Ορισmicroός ισοmicroορϕισmicroού γραϕηmicroάτωνκαι παραδείγmicroατα Ισοmicroορϕικά αναλλοίωτες πο-σότητες Ισοmicroορϕισmicroός γραϕηmicroάτων για απλά γραϕήmicroατα

115 ∆έντρα 732Ορισmicroοί και παραδείγmicroατα δέντρων Χαρακτηρισmicroός δέντρων ∆έντρα microε ρίζα ∆υα-δικά δέντρα

116 ∆έντρα επικάλυψης 750Ορισmicroός δέντρου επικάλυψης Ελάχιστα δέντρα επικάλυψης Ο αλγόριθmicroος του Kru-skal Ο αλγόριθmicroος του Prim

Κεφάλαιο 12 Κανονικές εκφράσεις και πεπερασmicroένα αυτόmicroατα 761

121 Τυπικές γλώσσες και κανονικές εκφράσεις 762Ορισmicroοί και παραδείγmicroατα τυπικών γλωσσών και κανονικών εκϕράσεων Πρακτικέςχρήσεις των κανονικών εκϕράσεων

122 Αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων 773Ορισmicroός του αυτοmicroάτου πεπερασmicroένων καταστάσεωνΗ γλώσσα που αποδέχεται ένααυτόmicroατο Η συνάρτηση καταληκτικής κατάστασης Σχεδίαση ενός αυτοmicroάτου πεπε-ρασmicroένων καταστάσεων Προσοmicroοίωση αυτοmicroάτου πεπερασmicroένων καταστάσεων microεχρήση λογισmicroικού Αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων και κανονικές εκϕράσειςΚανονικές γλώσσες

123 Απλοποίηση αυτοmicroάτων πεπερασmicroένων καταστάσεων 791lowast ισοδυναmicroία καταστάσεων k ισοδυναmicroία καταστάσεων Προσδιορισmicroός των κλά-σεων της lowast ισοδυναmicroίας Το αυτόmicroατο πηλίκου Κατασκευή του αυτοmicroάτου πηλίκουΙσοδύναmicroα αυτόmicroατα

Παράρτηmicroα Α Ιδιότητες των πραγmicroατικών αριθmicroών 805

Παράρτηmicroα Β Λύσεις και υποδείξεις επιλεγmicroένων ασκήσεων 808

Πίνακας συmicroβόλων 921

Ευρετήριο 927

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Ο σκοπός microου microε αυτό το βιβλίο ήταν να δώσω microια σαϕή και προσιτή παρουσίαση τωνδιακριτών microαθηmicroατικών για προπτυχιακούς και microεταπτυχιακούς ϕοιτητές που σπουδά-ζουν επιστήmicroη υπολογιστών microαθηmicroατικά εκπαίδευση στα microαθηmicroατικά και microηχανολογίαΣτόχος του βιβλίου είναι να θέσει τις microαθηmicroατικές βάσεις για microαθήmicroατα της επιστήmicroης τωνυπολογιστών όπως δοmicroές δεδοmicroένων αλγόριθmicroοι θεωρία βάσεων δεδοmicroένων θεωρία αυ-τοmicroάτων και τυπικές γλώσσες σχεδιασmicroός microεταγλωττιστών και κρυπτογραϕία αλλά καιγια microαθήmicroατα microαθηmicroατικών όπως γραmicromicroική και αϕηρηmicroένη άλγεβρα συνδυαστική πι-θανότητες λογική και συνολοθεωρία και θεωρία αριθmicroών Συνδυάζοντας τη θεωρία καιτην πράξη προσπάθησα να δείξω ότι τα microαθηmicroατικά εκτός από το ότι είναι αξιαγάπηταενδιαϕέροντα και όmicroορϕα από microόνα τους έχουν σηmicroαντικές εϕαρmicroογές

Το microόνο προαπαιτούmicroενο είναι ένα καλό υπόβαθρο στην απλή άλγεβρα το microάθηmicroαmicroπορεί να διδαχθεί είτε πριν είτε microετά από ένα microάθηmicroα απειροστικού λογισmicroού Προηγού-microενες εκδόσεις του βιβλίου έχουν χρησιmicroοποιηθεί microε επιτυχία σε ιδρύmicroατα της Βόρειαςκαι Νότιας Αmicroερικής της Ευρώπης της Μέσης Ανατολής και της Αυστραλίας

Σύmicroϕωνα microε τις πρόσϕατες προτάσεις του Ινστιτούτου Ηλεκτρολόγων και Ηλεκτρο-νικώνΜηχανικών-Ένωσης Υπολογιστών (Institute for Electrical and Electronic EngineersComputer Society IEEE-CS) και της Ένωσης ΣυσκευώνΥπολογιστών (Association for Co-mputing Machinery ACM) τα διακριτά microαθηmicroατικά πρέπει να αποτελούν το microεγαλύτεροmicroέρος των laquoβασικών γνώσεωνraquo των ϕοιτητών της επιστήmicroης των υπολογιστών ενώ η microε-λέτη του αντικειmicroένου κατά το πρώτο έτος σπουδών τους πρέπει να διαρκεί τουλάχιστονένα εξάmicroηνο ή ακόmicroα και δύο όπου αυτό είναι δυνατόν Αυτό το βιβλίο περιλαmicroβάνει όλατα θέmicroατα που προτείνουν αυτοί οι οργανισmicroοί και microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί αποτελε-σmicroατικά είτε για ένα εξαmicroηνιαίο microάθηmicroα είτε για δύο

Κάποτε τα περισσότερα από τα θέmicroατα των διακριτών microαθηmicroατικών διδάσκονταν microό-νο σε προπτυχιακούς ϕοιτητές κατά το τελευταίο έτος των σπουδών τους Η βασική καιεξαιρετικά ενδιαϕέρουσα πρόκληση της συγγραϕής αυτού του βιβλίου ήταν η εύρεσητου κατάλληλου τρόπου διδασκαλίας αυτών των θεmicroάτων ώστε να γίνουν κατανοητάαπό πρωτοετείς και δευτεροετείς ϕοιτητές Ο τρόπος παρουσίασης αναπτύχθηκε κατάτη διάρκεια microιας microεγάλης περιόδου πειραmicroατισmicroών κατά την οποία οι ϕοιτητές microου ήτανταυτόχρονα από πολλές απόψεις και δάσκαλοί microου Οι ερωτήσεις τους τα σχόλιά τουςκαι τα γραπτά τους microου υποδείκνυαν ποιες έννοιες και τεχνικές τους δυσκόλευαν ενώο τρόπος microε τον οποίο ανταποκρίνονταν στις παρουσιάσεις που τους έκανα microου έδειχνετι ήταν αποτελεσmicroατικό στο χτίσιmicroο της κατανόησης των εννοιών και κινούσε το ενδια-ϕέρον τους Πολλές από τις αλλαγές σε αυτή την έκδοση είναι αποτέλεσmicroα της συνεχούςαλληλεπίδρασης microε τους ϕοιτητές

Τα θέmicroατα ενός microαθήmicroατος διακριτών microαθηmicroατικών

Τα διακριτά microαθηmicroατικά περιγράϕουν διαδικασίες που αποτελούνται από microια ακολουθί-α ξεχωριστών βηmicroάτων Αντίθετα ο απειροστικός λογισmicroός περιγράϕει διαδικασίες πουmicroεταβάλλονται microε συνεχή τρόπο Όπως οι ιδέες του απειροστικού λογισmicroού αποτέλεσαντα θεmicroέλια της επιστήmicroης και της τεχνολογίας κατά τη βιοmicroηχανική επανάσταση έτσι καιοι ιδέες των διακριτών microαθηmicroατικών υποστηρίζουν την επιστήmicroη και την τεχνολογία τηςεποχής των υπολογιστών Τα κύρια θέmicroατα ενός πρώτου microαθήmicroατος διακριτών microαθηmicroα-τικών είναι η λογική και η απόδειξη η επαγωγή και η επανάληψη η συνδυαστική και οιδιακριτές πιθανότητες οι αλγόριθmicroοι και η ανάλυσή τους και οι εϕαρmicroογές στη microοντελο-ποίηση

Λογική και Απόδειξη Ο σπουδαιότερος ίσως στόχος ενός εισαγωγικού microαθήmicroατος σταδιακριτά microαθηmicroατικά είναι να βοηθήσει τους ϕοιτητές να αναπτύξουν την ικανότητα να

12 Πρόλογος

σκέϕτονται αϕηρηmicroένα Αυτό σηmicroαίνει να έχουν τη δυνατότητα να χρησιmicroοποιούν λογικάορθές microορϕές επιχειρηmicroάτων και να αποϕεύγουν κοινά λογικά σϕάλmicroατα να επιχειρηmicroα-τολογούν microε βάση τους ορισmicroούς να χρησιmicroοποιούν ευθεία αλλά και πλάγια επιχειρήmicroαταγια να αποδεικνύουν νέα αποτελέσmicroατα από ήδη γνωστά και να microπορούν να εργάζονταιmicroε συmicroβολικές αναπαραστάσεις σαν να ήταν συγκεκριmicroένα αντικείmicroενα

Επαγωγή και αναδροmicroή Μια ενδιαϕέρουσα εξέλιξη των τελευταίων ετών είναι η εκτί-microηση της δύναmicroης και οmicroορϕιάς της laquoαναδροmicroικής σκέψηςraquo Πρακτικά αυτό σηmicroαίνει ναεξετάσουmicroε ένα πρόβληmicroα υποθέτοντας ότι παρόmicroοια προβλήmicroατα microικρότερης κλίmicroακαςέχουν ήδη λυθεί και να προσπαθούmicroε να συνδυάσουmicroε αυτές τις λύσεις των επιmicroέρουςπροβληmicroάτων για να λύσουmicroε το microεγαλύτερο πρόβληmicroα Αυτή η microέθοδος χρησιmicroοποιεί-ται εκτεταmicroένα στην ανάλυση αλγορίθmicroων όπου αναδροmicroικές σχέσεις που προκύπτουναπό αναδροmicroικού τύπου συλλογισmicroούς δίνουν τύπους που επιβεβαιώνονται microε microαθηmicroα-τική επαγωγή

Συνδυαστική και διακριτές πιθανότητες Η συνδυαστική στα microαθηmicroατικά της απαρίθmicroη-σης της διάταξης αντικειmicroένων και της πιθανότητας είναι η microελέτη των νόmicroων για τιςmicroετρήσεις τυχαίων γεγονότων Η διακριτή πιθανότητα εστιάζει σε καταστάσεις που α-σχολούνται microε διακριτά σύνολα αντικειmicroένων όπως ο προσδιορισmicroός της πιθανότηταςνα έρθει κορώνα συγκεκριmicroένες ϕορές όταν ρίχνουmicroε ένα δίκαιο κέρmicroα αρκετές ϕορές Ε-πιδεξιότητα στη συνδυαστική και τις πιθανότητες χρειάζεται σχεδόν σε κάθε αντικείmicroενοόπου εϕαρmicroόζονται τα microαθηmicroατικά από την οικονοmicroία microέχρι τη βιολογία την επιστήmicroητων υπολογιστών τη χηmicroεία τη ϕυσική και τη διοίκηση επιχειρήσεων

Αλγόριθmicroοι και η ανάλυσή τους Η λέξη αλγόριϑmicroος ήταν γενικά άγνωστη στο microέσο τουεικοστού αιώνα ενώ τώρα είναι microία από τις πρώτες λέξεις που συναντάει κανείς στην ε-πιστήmicroη των υπολογιστών Για να λύσουmicroε ένα πρόβληmicroα microε έναν υπολογιστή είναι απα-ραίτητο να βρούmicroε έναν αλγόριθmicroο ή microια βήmicroα προς βήmicroα ακολουθία οδηγιών τις οποίεςθα ακολουθήσει ο υπολογιστής Ο σχεδιασmicroός ενός αλγορίθmicroου απαιτεί κατανόηση τωνmicroαθηmicroατικών του προβλήmicroατος που πρόκειται να λυθεί Ο προσδιορισmicroός της ορθότηταςή microη ενός αλγορίθmicroου απαιτεί περίπλοκους χειρισmicroούς microε microαθηmicroατική επαγωγή Ο υπο-λογισmicroός του χρόνου ή της microνήmicroης που χρειάζεται ένας αλγόριθmicroος ώστε να microπορεί νασυγκριθεί microε άλλους αλγορίθmicroους που δίνουν την ίδια έξοδο απαιτεί γνώσεις συνδυαστι-κής επαναληπτικών σχέσεων συναρτήσεων και συmicroβολισmicroών O Ω και Θ

∆ιακριτές δοmicroές Οι διακριτές microαθηmicroατικές δοmicroές είναι αϕηρηmicroένες δοmicroές που περιγρά-ϕουν κατηγοριοποιούν και αναδεικνύουν τις κρυϕές σχέσεις microεταξύ διακριτών microαθηmicroα-τικών αντικειmicroένων Οι δοmicroές που microελετάmicroε σε αυτό το βιβλίο είναι τα σύνολα των ακε-ραίων και των ρητών γενικά σύνολα άλγεβρες Boole συναρτήσεις σχέσεις γραϕήmicroατακαι δέντρα τυπικές γλώσσες και κανονικές εκϕράσεις και αυτόmicroατα πεπερασmicroένων κα-ταστάσεων

Εφαρmicroογέςκαιmicroοντελοποίηση Ταmicroαθηmicroατικά αντικείmicroενα γίνονται καλύτερα κατανοη-τά όταν τα εξετάζουmicroε σε microια ποικιλία καταστάσεων και τα χρησιmicroοποιούmicroε για την επί-λυση προβληmicroάτων που συναντώνται σε ένα microεγάλο εύρος εϕαρmicroογών Ένα από τα σπου-δαιότερα microαθήmicroατα των microαθηmicroατικών είναι ότι microας επιτρέπουν να χρησιmicroοποιούmicroε το ίδιοmicroαθηmicroατικό microοντέλο για να λύνουmicroε προβλήmicroατα τα οποία ϕαινοmicroενικά είναι τελείωςανόmicroοια Ένας από τους στόχους αυτού του βιβλίου είναι να δείξει στους ϕοιτητές τηνεκπληκτική πρακτική χρησιmicroότητα microερικών πολύ αϕηρηmicroένων microαθηmicroατικών ιδεών

Ειδικά χαρακτηριστικά αυτού του βιβλίου

Μαθηmicroατική συλλογιστική Το χαρακτηριστικό που κάνει αυτό να βιβλίο να ξεχωρίζει α-πό άλλα βιβλία διακριτών microαθηmicroατικών είναι ότι διδάσκει mdash microε διεξοδικό αλλά εύληπτοτρόπο στους πρωτοετείς και δευτεροετείς ϕοιτητές mdash την κρυϕή λογική και συλλογι-

Πρόλογος 13

στική που αποτελούν τη βάση της microαθηmicroατικής σκέψης Για πολλά χρόνια δίδασκα έναιδιαίτερα διαδραστικό microάθηmicroα microετάβασης στα αϕηρηmicroένα microαθηmicroατικά σε ϕοιτητές τωνmicroαθηmicroατικών και της επιστήmicroης των υπολογιστών Αυτή η εmicroπειρία microου έδειξε ότι αν καιείναι εϕικτό να διδάξεις τους περισσότερους ϕοιτητές να καταλαβαίνουν και να κατα-σκευάζουν σαϕή microαθηmicroατικά επιχειρήmicroατα υπάρχουν κάποια εmicroπόδια που είναι δύσκολονα ξεπεραστούν Για να είναι αποτελεσmicroατικό το βιβλίο ενός τέτοιου microαθήmicroατος πρέπεινα ασχολείται αρκετά microε τις δυσκολίες του ϕοιτητή στη λογική και στη γλώσσα microε άmicroεσοτρόπο Πρέπει επίσης να περιέχει πολλά σαϕή παραδείγmicroατα και ασκήσεις για να δώσει τηδυνατότητα στους ϕοιτητές να αναπτύξουν τα απαραίτητα νοητικά microοντέλα που θα τουςεπιτρέψουν να κατανοήσουν πιο αϕηρηmicroένα προβλήmicroατα Η αντιmicroετώπιση της λογικήςκαι της απόδειξης σε αυτό το βιβλίο συνδυάζει κοινή λογική και αυστηρή προσέγγιση microεένα τρόπο που εξηγεί τα ουσιώδη χωρίς να κουράζει τους ϕοιτητές microε τεχνικές λεπτοmicroέ-ρειες

Ελικοειδής προσέγγιση στην ανάπτυξη των εννοιών Ένας αριθmicroός από έννοιες σε αυτότο βιβλίο εmicroϕανίζεται microε ολοένα και πιο σύνθετες microορϕές στα διαδοχικά κεϕάλαια γιανα βοηθήσει τους ϕοιτητές να αναπτύξουν επίπεδα αϕαίρεσης Για παράδειγmicroα microέχρι νασυναντήσουν το σχετικά προχωρηmicroένο θέmicroα του microικρού θεωρήmicroατος του Fermat και τουκινέζικου θεωρήmicroατος υπολοίπου στην Ενότητα 104 θα έχουν ήδη εισαχθεί στη microαθη-microατική λογική στα Κεϕάλαια 1 και 2 θα έχουν microάθει τις βασικές microεθόδους της απόδειξηςκαι τις έννοιεςmod και div στο Κεϕάλαιο 3 θα έχουν microελετήσει τις διαmicroερίσεις ακεραίωνστο Κεϕάλαιο 5 θα έχουν θεωρήσει τιςmod και div ως συναρτήσεις στο Κεϕάλαιο 7 καιθα έχουν εξοικειωθεί microε τις σχέσεις ισοδυναmicroίας στις Ενότητες 102 και 103 Αυτή η προ-σέγγιση ανακεϕαλαιώνει τα θέmicroατα και αναπτύσσει τη microαθηmicroατική ωριmicroότητα microε ϕυσικότρόπο

Υποστήριξη για τους φοιτητές Οι ϕοιτητές οπωσδήποτε πρέπει να microάθουν πολλά πράγ-microατα microόνοι τους Μαθαίνοντας να microελετούν microόνοι τους κάτι που συχνά είναι δύσκολοπραγmicroατοποιούν ένα σηmicroαντικό βήmicroα προς την εξασϕάλιση microιας επιτυχηmicroένης επαγγελ-microατικής καριέρας Αυτό το βιβλίο διαθέτει ορισmicroένα χαρακτηριστικά που θα βοηθήσουντους ϕοιτητές να microάθουν να διαβάζουν microόνοι τους

Λυmicroένα παραδείγmicroαταΤο βιβλίο περιέχει περισσότερα από 500 λυmicroένα παραδείγmicroατα που είναι γραmicromicroένασε microορϕή εκϕώνησης-λύσης και είναι ανάλογα τόσο σε περιεχόmicroενο όσο και σε δυ-σκολία microε τις ασκήσεις Πολλές λύσεις προβληmicroάτων microε αποδείξεις έχουν γραϕεί σεδύο στάδια πρώτα εξετάζεται ο τρόπος microε τον οποίο είναι δυνατό να πραγmicroατοποιη-θεί η απόδειξη ή η ανασκευή και microετά παρατίθεται η περίληψη της λύσης microέσα σε έναπλαίσιο Αυτός ο τρόπος επιτρέπει στους ϕοιτητές να διαβάσουν το πρόβληmicroα και ανθέλουν να περάσουν κατευθείαν στην περίληψη ή αν δεν κατανοούν την περίληψηνα επιστρέψουν στη συζήτηση Αυτός ο τρόπος εξοικονοmicroεί χρόνο για τους ϕοιτητέςπου ξαναδιαβάζουν το κείmicroενο κατά την προετοιmicroασία τους για τις εξετάσεις

ΑσκήσειςΤο βιβλίο περιέχει περίπου 2500 ασκήσεις Οι ασκήσεις στο τέλος κάθε ενότητας έ-χουν σχεδιαστεί ώστε οι ϕοιτητές διαϕορετικών κλάδων και ποικίλων δυνατοτήτωννα microπορούν να βρούν κάποιες ασκήσεις που θα έχουν τη δυνατότητα να λύσουν σω-στά και κάποιες άλλες που θα τους δυσκολέψουν

Λύσεις ασκήσεωνΤοΠαράρτηmicroα Β περιέχει ένα microεγάλο αριθmicroό πλήρως λυmicroένων ασκήσεων Οι ϕοιτητέςκαλό θα ήταν να συmicroβουλεύονται τις λύσεις αϕού πρώτα έχουν καταβάλει κάθε προ-σπάθεια να λύσουν τις ασκήσεις microόνοι τους Αν προσπαθήσουν πρώτα microόνοι τους καιmicroετά συγκρίνουν τη δική τους λύση microε αυτή που δίνεται θα οδηγηθούν σε καλύτεροεπίπεδο κατανόησης Επιπλέον πολλά προβλήmicroατα συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων microερικώναπό τα πιο δύσκολα δεν έχουν λυθεί πλήρως ή περιλαmicroβάνουν υποδείξεις ώστε οιϕοιτητές να microπορούν να επαληθεύσουν αν ο συλλογισmicroός τους είναι σωστός και να

14 Πρόλογος

κάνουν τις κατάλληλες προσαρmicroογές Επίσης υπάρχουν πολλές ασκήσεις χωρίς λύσηώστε να microάθουν οι ϕοιτητές να ασχολούνται microε προβλήmicroατα σε ρεαλιστικό πλαίσιοεργασίας

Σχήmicroατα και πίνακεςΤα σχήmicroατα και οι πίνακες έχουν προστεθεί σε σηmicroεία που θεωρήσαmicroε ότι θα βοηθή-σουν τον αναγνώστη να κατανοήσει καλύτερα το πρόβληmicroα Στα περισσότερα σχήmicroα-τα γίνεται χρήση και δεύτερου χρώmicroατος για να γίνουν ακόmicroα πιο κατανοητά

ΑναϕορέςΠολλοί ϕοιτητές microού έχουν γράψει ότι το βιβλίο τούς βοήθησε πολύ στα πιο προχω-ρηmicroένα microαθήmicroατα που πήραν στη συνέχεια των σπουδών τους Ένας microου έγραψε ότιχρησιmicroοποίησε την πρώτη έκδοση τόσο πολύ ώστε το βιβλίο διαλύθηκε και αναγκά-στηκε να αγοράσει και τη δεύτερη έκδοση την οποία συνέχισε να χρησιmicroοποιεί καιστο microεταπτυχιακό του Η τακτική microου να τοποθετώ τους ορισmicroούς και τα θεωρήmicroατασε πλαίσια να βάζω τίτλους στις ασκήσεις και να παρέχω λίστες microε τύπους και τις ση-microασίες των συmicroβόλων στα εσώϕυλλα κάνει το βιβλίο εύχρηστο τόσο για microελέτη όσοκαι αργότερα ως βιβλίο αναϕοράς

Υποστήριξη τουκαθηγητή Έχω λάβει πλήθος πολύτιmicroων παρατηρήσεων από καθηγητέςπου έχουν χρησιmicroοποιήσει προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Το βιβλίο έχει βελτιωθείσηmicroαντικά λόγω αυτών των παρατηρήσεων

ΑσκήσειςΗ microεγάλη ποικιλία ασκήσεων όλων των επιπέδων δυσκολίας δίνει στους καθηγητέςmicroεγάλη ελευθερία να οργανώσουν το microάθηmicroά τους ανάλογα microε τις δυνατότητες τωνϕοιτητών τους Οι ασκήσεις microε λύσεις στο τέλος του βιβλίου έχουν γαλάζια αρίθmicroη-ση ενώ εκείνες που οι λύσεις τους παρέχονται σε διαϕορετικό εγχειρίδιο (εγχειρίδιολύσεων) έχουν αριθmicroούς που είναι πολλαπλάσια του τρία Υπάρχουν ασκήσεις κάθετύπου που δεν έχουν απάντηση ούτε σε αυτό το βιβλίο ούτε στο εγχειρίδιο λύσεωνώστε οι καθηγητές να είναι σε θέση να χρησιmicroοποιούν οποιονδήποτε συνδυασmicroό α-σκήσεων microε ή χωρίς λύσεις Ο microεγάλος αριθmicroός ασκήσεων παρέχει στους καθηγητέςσηmicroαντικές δυνατότητες επιλογής προβληmicroάτων για χρήση τόσο σε εξετάσεις όσο καισε επαναληπτικά microαθήmicroατα Οι καθηγητές θα πρέπει να προτιmicroούν τις ασκήσεις πουδιατυπώνονται microε τη microορϕή ερωτήσεων αντί εκείνων που ζητούν να laquoαποδειχθεί ότιraquoώστε να ενθαρρύνεται η συζήτηση στην τάξη σχετικά microε το ρόλο της απόδειξης καιτου αντιπαραδείγmicroατος στην επίλυση προβληmicroάτων

Ελαστικές ενότητεςΟι περισσότερες ενότητες χωρίζονται σε υποενότητες ώστε όταν ο καθηγητής πιέζε-ται από το χρόνο να microπορεί να παραλείψει συγκεκριmicroένες ενότητες ή να τις αϕήσει νατις διαβάσουν microόνοι τους οι ϕοιτητές Ο χωρισmicroός σε υποενότητες βοηθάει τον διδά-σκοντα να χωρίσει σε τmicroήmicroατα microια ενότητα στην περίπτωση που θέλει να αϕιερώσειπερισσότερα από ένα microαθήmicroατα γιrsquo αυτή

Παρουσίαση των αποδεικτικών microεθόδωνΕίναι αναπόϕευκτο οι αποδείξεις και ανασκευές σε αυτό το βιβλίο να ϕαίνονται πολύεύκολες στους καθηγητές Πολλοί ϕοιτητές όmicroως τις βρίσκουν δύσκολες Σε αυτό τοβιβλίο επιχειρώ να δείξω στους ϕοιτητές τον τρόπο σύνταξης και δόmicroησης αποδείξε-ων και ανασκευών περιγράϕοντας τα είδη των προσεγγίσεων που χρησιmicroοποιούν οιmicroαθηmicroατικοί όταν αντιmicroετωπίζουν δύσκολα προβλήmicroατα στην έρευνά τους

Βιβλίο καθηγητήΤο βιβλίο καθηγητή είναι διαθέσιmicroο σε οποιονδήποτε διδάσκει χρησιmicroοποιώντας τοπαρόν βιβλίο Το βιλίο καθηγητή περιέχει προτάσεις για τον τρόπο προσέγγισης τηςύλης κάθε κεϕαλαίου λύσεις για όλες τις ασκήσεις που δεν λύνονται πλήρως στο Πα-ράρτηmicroαΒ διαϕάνειες επαναληπτικό υλικό ιδέες για εργασίες και επιπλέον ασκήσεις

Πρόλογος 15

Τα νέα χαρακτηριστικά της τρίτης έκδοσης

Οι αλλαγές που έγιναν σε αυτή την έκδοση βασίστηκαν σε προτάσεις συναδέλϕων καιάλλων αναγνωστών της πρώτης και της δεύτερης έκδοσης και στη συνεχιζόmicroενη επαϕήmicroε ϕοιτητές microαθηmicroατικών και επιστήmicroης των υπολογιστών

Βελτιωmicroένη παιδαγωγική προσέγγιση

bull Ο αριθmicroός των ασκήσεων αυξήθηκε στις 2500 περίπου Προστέθηκαν περίπου 980νέες ασκήσεις

bull Προστέθηκαν ασκήσεις στα θέmicroατα στα οποία υπήρχε microεγαλύτερη ανάγκη για εξά-σκηση και τροποποιήθηκαν κατάλληλα ώστε να ληϕθούν καλύτερα υπόψη οι δυ-σκολίες των ϕοιτητών

bull Στο Παράρτηmicroα Β προστέθηκαν περισσότερες πλήρεις λύσεις ώστε να βοηθηθούνοι ϕοιτητές στα δύσκολα θέmicroατα

bull Ο τρόπος παρουσίασης των θεmicroάτων επανεξετάστηκε σε όλο το βιβλίο και όπουκρίθηκε σκόπιmicroο αναθεωρήθηκε

bull Έγινε προσεκτική δουλειά για να βελτιωθεί η microορϕή και η παρουσίαση του κειmicroένου

bull Επεκτάθηκαν οι συζητήσεις για ιστορικά θέmicroατα και πρόσϕατα αποτελέσmicroατα καιαυξήθηκαν οι ϕωτογραϕίες των επιστηmicroόνων των οποίων η δουλειά παρουσιάζεταιστο βιβλίο

Λογική

bull Η παρουσίαση των ποσοδεικτών έχει επεκταθεί σηmicroαντικά microε την προσθήκη microιαςνέας ενότητας αϕιερωmicroένης αποκλειστικά στους πολλαπλούς ποσοδείκτες

bull Προστέθηκαν ασκήσεις που χρησιmicroοποιούν τονΚόσmicroο τουTarski ένα υπέροχο παι-δαγωγικό εργαλείο που αναπτύχθηκε από τους Jon Barwise και John Etchemendyτου Πανεπιστηmicroίου του Stanford

bull Προστέθηκαν εϕαρmicroογές για την αναζήτηση στο ∆ιαδίκτυο

bull Απλοποιήθηκαν οι όροι διαϕόρων microορϕών συλλογισmicroών

Εισαγωγή στην απόδειξη

bull Επεκτάθηκαν οι οδηγίες συγγραϕής αποδείξεων

bull Οι περιγραϕές microεθόδων αποδείξεων γράϕτηκαν microε σαϕέστερο τρόπο

bull Οι ασκήσεις έχουν επανελεγχθεί και κάποιες έχουν microεταϕερθεί σε άλλο σηmicroείο ώστενα διευκολυνθεί η κατανόηση από τους ϕοιτητές

Επαγωγή και επανάληψη

bull Βελτιώθηκε η σκιαγράϕηση των αποδείξεων microε microαθηmicroατική επαγωγή

bull Οι υποενότητες της ενότητας των ακολουθιών οργανώθηκαν εκ νέου

bull Οι οmicroάδες ασκήσεων των ενοτήτων της ισχυρής microαθηmicroατικής επαγωγής και της κα-λής διάταξης και των επαγωγικώνεπαναληπτικών ορισmicroών επεκτάθηκαν σηmicroαντι-κά

Θεωρία αριθmicroών

bull Προστέθηκε microια υποενότητα ανοιχτών προβληmicroάτων στη θεωρία αριθmicroών και επε-κτάθηκε η συζήτηση για τις πρόσϕατες εξελίξεις

bull Προστέθηκε microια νέα ενότητα στην αριθmicroητική υπολοίπων και στην κρυπτογραϕίαΠεριλαmicroβάνεται microια συζήτηση για την κρυπτογραϕία RSA το microικρό θεώρηmicroα τουFermat και το κινέζικο θεώρηmicroα υπολοίπου

bull Η συζήτηση για τον έλεγχο αν ένας ακέραιος είναι πρώτος microεταϕέρθηκε αργότεραστο Κεϕάλαιο 3 για να γίνει σαϕής η εξάρτησή του από την έmicromicroεση επιχειρηmicroατο-λογία

16 Πρόλογος

Θεωρία συνόλων

bull ΟΙ ιδιότητες του κενού συνόλου παρουσιάζονται πλέον στην πρώτη ενότητα τουΚεϕαλαίου 5

bull Ηδεύτερη ενότητα του Κεϕαλαίου 5 είναι πλέον αϕιερωmicroένη αποκλειστικά σε απο-δείξεις στοιχείων

bull Οι αλγεβρικές αποδείξεις των συνολοθεωρητικών ιδιοτήτων και η χρήση αντιπαρα-δειγmicroάτων στην ανασκευή ιδιοτήτων συνόλων έχουν microεταϕερθεί στην τρίτη ενότητατου Κεϕαλαίου 5

bull Η παρουσίαση των αλγεβρών Boole έχει επεκταθεί και επισηmicroαίνεται η σχέση ανά-microεσα στις λογικές ισοδυναmicroίες τις ιδιότητες συνόλων και τις άλγεβρες Boole

Συνδυαστική και διακριτές πιθανότητες

bull Προστέθηκαν ασκήσεις στην ενότητα του διωνυmicroικού θεωρήmicroατος

bull Προστέθηκαν δύο νέες ενότητες στις πιθανότητες όπου microεταξύ άλλων καλύπτονταιη αναmicroενόmicroενη τιmicroή η δεσmicroευmicroένη πιθανότητα και η ανεξαρτησία και το θεώρηmicroαBayes

bull Εξηγούνται οι συνδυαστικές πτυχές των διευθύνσεων του διαδικτυακού πρωτοκόλ-λου (Internet Protocol IP)

Συναρτήσεις

bull Οι ασκήσεις για ένα προς ένα και επί συναρτήσεις έχουν βελτιωθεί

bull Έχει επεκταθεί το σύνολο των ασκήσεων στην πληθικότητα microε εϕαρmicroογές στην υ-πολογισιmicroότητα

Αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων

bull Οι Ενότητες 92 και 94 επανεξετάστηκαν και προστέθηκαν οι συmicroβολισmicroοίΘ καιΩ

bull Οι Ενότητες 93 και 95 έχουν αναθεωρηθεί αντίστοιχα microε καλύτερη επεξήγηση τηςέννοιας της διάταξης για έναν αλγόριθmicroο

bull Ηεξέταση της ταξινόmicroησης microε εισαγωγήκαι της ταξινόmicroησης microε επιλογή βελτιώθηκεκαι επεκτάθηκε

Κανονικές εκϕράσεις και αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων

bull Οι προηγούmicroενες διάσπαρτες ενότητες για τις τυπικές γλώσσες και τα αυτόmicroαταπεπερασmicroένων καταστάσεων συνενώθηκαν σε ένα αυτόνοmicroο κεϕάλαιο

bull Προστέθηκε microια νέα ενότητα για τις κανονικές εκϕράσεις καθώς και microια συζήτησηγια τη σχέση ανάmicroεσα στις κανονικές εκϕράσεις και στα αυτόmicroατα πεπερασmicroένωνκαταστάσεων

Ιστοσελίδα

∆ηmicroιουργήθηκε microια ιστοσελίδα γιrsquo αυτό το βιβλίο που περιέχει πληροϕορίες και υλικότόσο για τους ϕοιτητές όσο και για τους διδάσκοντες Περιέχει

bull περιγραϕές και συνδέσmicroους σε πολλές σελίδες στο ∆ιαδίκτυο microε προσβάσιmicroες πλη-ροϕορίες σχετικά microε τα διακριτά microαθηmicroατικά

bull συνδέσmicroους σε microικροεϕαρmicroογές που παρουσιάζουν ή προσϕέρουν εξάσκηση σε θέ-microατα διακριτών microαθηmicroατικών

bull πρόσθετα παραδείγmicroατα και ασκήσεις microε λύσεις

bull οδηγούς επανάληψης για τα κεϕάλαια του βιβλίου

Μια ειδική ενότητα για τους διδάσκοντες περιέχει

bull διαϕάνειες και ηλεκτρονικές διαϕάνειες σε αρχεία τύπου PowerPoint

bull επιπλέον ασκήσεις για εξετάσεις

Πρόλογος 17

Οδηγός για τη χρήση του βιβλίου microε τις λύσεις

Κατά τη συγγραϕή αυτού του βιβλίου προσπάθησα να δώσω αρκετή βοήθεια στους ϕοι-τητές microέσω της παρουσίασης της ύλης των λυmicroένων παραδειγmicroάτων και των λύσεων τωνασκήσεων ώστε να έχουν στη διάθεσή τους ότι χρειάζεται για την πλήρη κατανόηση τουmicroαθήmicroατος Πιστεύω ότι οι ϕοιτητές που θα ολοκληρώσουν τη microελέτη αυτού του βιβλίουκαι θα κατάϕερουν να λύσουν microόνοι τους όλες τις ασκήσεις που έχουν λυθεί στο Παράρ-τηmicroα Β θα κατανοήσουν πολύ καλά το αντικείmicroενο Όmicroως γνωρίζω ότι κάποιοι ϕοιτητέςθα θέλουν να έχουν πρόσβαση σε επιπλέον βοηθητικό υλικό Γιrsquo αυτόν το λόγο έχω γρά-ψει τον οδηγό λύσεων και microελέτης για το ϕοιτητή που διατίθεται ξεχωριστά από αυτότο βιβλίο και περιέχει τις πλήρεις λύσεις των ασκήσεων οι οποίες δεν είναι πλήρως λυmicroέ-νες στο Παράρτηmicroα Β και που ο αριθmicroός τους διαιρείται microε το 3 Αυτός ο οδηγός περιέχειεναλλακτικές επεξηγήσεις για κάποιες έννοιες και ερωτήσεις επανάληψης για κάθε κεϕά-λαιο

Οργάνωση του βιβλίου

Αυτό το βιβλίο microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί αποτελεσmicroατικά για ένα microάθηmicroα ενός ή δύοεξαmicroήνων Κάθε κεϕάλαιο περιέχει κύριες ενότητες ενότητες microε προαιρετικό υλικό καιενότητες microε προαιρετικές εϕαρmicroογές Οι διδάσκοντες έχουν την άνεση να επιλέξουν ό-ποιο υποσύνολο θεωρούν ότι ταιριάζει καλύτερα microε το microάθηmicroα και τους ϕοιτητές τους Οακόλουθος πίνακας δείχνει τη διαίρεση των ενοτήτων σε κατηγορίες

Ενότητες microε προαιρετικό Ενότητες microε προαιρετικές

Κεϕάλαιο Κύρια ενότητα microαθηmicroατικό υλικό εϕαρmicroογές στους υπολογιστές

1 11ndash13 14 15

2 21ndash24 22 23 23

3 31ndash34 36 35 37 38

4 41ndash42 43ndash44 45

5 51 52ndash54 54

6 61ndash64 65ndash69 63

7 71ndash72 73ndash75 71 72 75

8 81 82 83 84 84

9 91 92 94 93 95

10 101ndash103 104 105 104 105

11 111 115 112 113 114 111 112 115 116

12 121 122 123 121ndash123

Το δενδροειδές διάγραmicromicroα που ακολουθεί δείχνει κατά προσέγγιση την αλληλοεξάρ-τηση των κεϕαλαίων Τα κεϕάλαια που βρίσκονται σε διαϕορετικά κλαδιά του δέντρουείναι αρκετά ανεξάρτητα ώστε οι διδάσκοντες να microη χρειάζεται να κάνουν σηmicroαντικέςπροσαρmicroογές αν τα προσπεράσουν και απλώς ακολουθήσουν τις διαδροmicroές κατά microήκοςτων κλαδιών του δέντρου

18 Πρόλογος

1

2

33

4

8

12dagger

11

5

7

9

6 10

lowast dagger

Ευχαριστίες

Χρωστάω ένα microεγάλο ευχαριστώ σε πολλούς ανθρώπους στο Πανεπιστήmicroιο του DePaulγια την υποστήριξή τους όλα αυτά τα χρόνια που δούλευα πάνω στις εκδόσεις αυτού τουβιβλίου Κάποιοι συνάδελϕοι χρησιmicroοποίησαν πρώιmicroες microορϕές και προηγούmicroενες εκδό-σεις του βιβλίου και microου έκαναν εξαιρετικά σχόλια για βελτιώσεις Γιrsquo αυτό ευχαριστώτους Louis Aquila J Marshall Ash Allan Berele Jerey Bergen William Chin BarbaraCortzen Constantine Georgakis Sigrun Goes Jerry Goldman Lawrence Gluck LeonidKrop CarolynNarasimhanWalter Pranger Eric Rieders Ayse Sahin Yuen-FatWong καιειδικότερα την Jeanne LaDuke Οι χιλιάδες ϕοιτητές στους οποίους δίδαξα διακριτά microα-θηmicroατικά είχαν σηmicroαντικότατη επίδραση στη microορϕή του βιβλίου Μοιράζοντας τις σκέ-ψεις τους και τους τρόπους σκέψης τους microαζί microου microε δίδαξαν πώς να διδάσκω καλύτε-ρα Τους οϕείλω ευγνωmicroοσύνη για τη βοήθειά τους Ιδιαίτερες ευχαριστίες οϕείλω στηδιοίκηση του Πανεπιστηmicroίου τουDePaul ιδιαίτερα στον ΚοσmicroήτοραMichael Mezey καιστον πρώην Κοσmicroήτορα Richard Meister που θεώρησαν αξιόλογη ακαδηmicroαϊκή εργασίατη συγγραϕή αυτού του βιβλίου

Ευχαριστώ τους διορθωτές για τις πολύτιmicroες παρατηρήσεις τους γιrsquo αυτή την έκδοσητου βιβλίου τους Pablo Echeverria του Camden County College William Gasarch τουUniversity of Maryland Joseph Kolibal του University of Southern Mississippi Benny Loτου International Technological University George Luger του University of New MexicoNorman Richert τουUniversity of Houston-Clear Lake PeterWilliams τουCalifornia Sta-te University at San Bernardino και τον Jay Zimmerman του Towson University Για τηβοήθειά τους στην πρώτη και δεύτερη έκδοση αυτού του βιβλίου είmicroαι ευγνώmicroων στουςItshak Borosh Texas A ampMUniversity Douglas M Campbell Brigham Young UniversityDavid G Cantor University of California at Los Angeles C Patrick Collier Universityof Wisconsin-Oshkosh Kevan H Croteau Francis Marion University Irinel Drogan Uni-versity of Texas at Arlington Henry A Etlinger Rochester Institute of Technology MelvinJ Friske Wisconsin Lutheran College Ladnor Geissinger University of North CarolinaJerrold R Griggs University of South Carolina Nancy Baxter Hastings Dickinson Colle-ge Lillian Hupert Loyola University Chicago Leonard T Malinowski Finger Lakes Com-munity College John F Morrison Towson State Unviersity Paul Pederson University ofDenver George Peck Arizona State University Roxy Peck California Polytechnic StateUniversity San Luis Obispo Dix Pettey University of Missouri Anthony Ralston State U-niversity of NewYork at Bualo John Roberts University of Louisville καιGeorge Schultz

lowastΟι διδάσκοντες που προτιmicroούν να ορίσουν τη συνάρτηση ως διmicroελή σχέση microπορούν να καλύψουντην Ενότητα 101 πριν την Ενότητα 71daggerΗ Ενότητα 103 χρειάζεται για την Ενότητα 123 αλλά όχι για τις Ενότητες 121 και 122

Πρόλογος 19

St Petersburg Junior College Clearwater Πολλές ευχαριστίες οϕείλω επίσης στους JohnCarroll San Diego State University Dr Joseph S Fulda και Porter G Webster Universityof Southern Mississippi για την απίστευτη επιmicroέλειά τους και την ενθάρρυνση που microουέδωσαν

Επίσης ωϕελήθηκα πάρα πολύ από τις παρατηρήσεις πολλών διδασκόντων που microουπρόσϕεραν γενναιόδωρα τις ιδέες τους για βελτιώσεις βασισmicroένες στις εmicroπειρίες τους α-πό τις προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Είmicroαι ιδιαίτερα ευγνώmicroων στους GoldstinePennsylvania State University David Hecker St Josephrsquos University Tom Jenkyns BrockUniversity Robert Messer Albion College Piotr Rudnicki University of Alberta AnwarShiek Dineacute College Norton Starr Amherst College Είχα επίσης εξαίρετη βοήθεια απότους John Banks Christopher Novak DePaul University και Ian Crewe Ascension Colle-giate School κατά τη διάρκεια της παραγωγής του βιβλίου

Χρωστώ ευγνωmicroοσύνη σε πολλούς ανθρώπους στις εταιρείες Wadsworth and Bro-oksCole Publishing ιδιαίτερα τον εκδότη microου Robert Pirtle για την ικανότητά του ναπραγmicroατοποιεί καλά πράγmicroατα ως δια microαγείας τους προηγούmicroενους εκδότες microου Hea-ther Bennett και Barbara Holland για την ενθάρρυνση και τον ενθουσιασmicroό τους και τηδιευθύντρια παραγωγής Janet Hill για την κατανόησή της και την προθυmicroία της να microουεπιτρέψει να έχω ρόλο σε όλα τα στάδια της παραγωγής ∆εν microπορώ να ϕανταστώ κα-λύτερη διευθύντρια παραγωγής από τη Martha Emry της οποίας τα υψηλής ποιότηταςπρότυπα και η προσοχή της στις λεπτοmicroέρειες ήταν πάντα εmicroπνευσmicroένες Ο σχεδιασmicroόςτης Kathleen Cunningham και η ϕωτοσύνθεση από την Techsetters Inc θα εκτιmicroηθούναπό όλους τους αναγνώστες του βιβλίου

Όσο microεγαλώνω τόσο συνειδητοποιώ το τεράστιο χρέος που οϕείλω στους δικούς microουδασκάλους των microαθηmicroατικών που διαmicroόρϕωσαν τον τρόπο microε τον οποίο βλέπω το αντι-κείmicroενο Τα πρώτα microου ευχαριστώ πρέπει να πάνε στο σύζυγό microουHelmut Epp ο οποίοςσε ένα ραντεβού όταν ακόmicroα ήmicroουν στο Γυmicroνάσιο () microε εισήγαγε στη δύναmicroη και τηνοmicroορϕιά των αξιωmicroάτων των microαθηmicroατικών και την άποψη ότι τα microαθηmicroατικά είναι ένααντικείmicroενο τόσο microε ιδέες όσο και microε τύπους και τεχνικές Όσον αϕορά την εκπαίδευ-σή microου είmicroαι ευγνώmicroων στους Daniel Zelinsky και Ky Fan του Northwestern Universityκαι Izaak Wirszup I N Herstein και Irving Kaplansky του University of Chicago που ό-λοι τους ο καθένας microε το δικό του τρόπο microε βοήθησαν να εκτιmicroήσω την κοmicroψότητα καιαυστηρότητα των microαθηmicroατικών αλλά και τη συγκίνηση που προκαλούν

Στην οικογένειά microου χρωστάω ευχαριστίες πέρα από κάθε όριο Είmicroαι ευγνώmicroων στηmicroητέρα microου που το ευγενικό ενδιαϕέρον της για τα έργα της ανθρώπινης διανόησης microεέβαλαν πριν πολλά χρόνια στο δρόmicroο που οδήγησε σε αυτό το βιβλίο και στον εκλιπόνταπατέρα microου που η αϕοσίωσή του στα βιβλία ήταν σταθερή πηγή έmicroπνευσης Ευχαριστώ ταπαιδιά microου και τα εγγόνια microου για την αγάπη τους και την αποδοχή των απαιτήσεων πουεπέβαλλε η συγγραϕή αυτού του βιβλίου στη ζωή microου Και περισσότερο από κάθε άλλονείναι ευγνώmicroωνστο σύζυγό microου που για πολλά χρόνια microε ενθάρρυνε microε την πίστη του στηναξία αυτής της εργασίας και microε υποστήριξε microε την αγάπη του και τις σοϕές συmicroβουλές του

Susanna Epp

236 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

62 Υποθέστε ότι το a[1] a[2] a[3] a[m] είναι διάνυσmicroακαι θεωρήστε το ακόλουθο τmicroήmicroα αλγορίθmicroου

sum ∶= 0for k ∶= 1 to m

sum ∶= sum + a[k]next k

Συmicroπληρώστε τα κενά παρακάτω ώστε κάθε τmicroήmicroα του αλ-γορίθmicroου να κάνει την ίδια δουλειά microε το παραπάνω

α sum ∶= 0for i ∶= 0 to

sum ∶=next i

β sum ∶= 0for j ∶= 2 to

sum ∶=next j

Χρησιmicroοποιήστε διαδοχικές διαιρέσεις microε το 2 για να microετατρέ-ψετε (microε το χέρι) τους ακεραίους των Ασκήσεων 63ndash65 από τηβάση 10 στη βάση 2

63 90 64 98 65 205

Κατασκευάστε έναν πίνακα για να καταγράψετε όλα τα βήmicroατατου Αλγορίθmicroου 411 microε είσοδο τις Ασκήσεις 66ndash68

66 23 67 28 68 44

69 Γράψτε microια microη τυπική περιγραϕή αλγορίθmicroου (χρησιmicroοποιώ-ντας διαδοχικές διαιρέσεις microε το 16) για να microετατρέψετε έναmicroη αρνητικό ακέραιο από το δεκαδικό στο δεκαεξαδικό σύ-στηmicroα (microε βάση το 16)

Χρησιmicroοποιήστε τον αλγόριθmicroο που αναπτύξατε για την Άσκη-ση 69 για να microετατρέψετε τους ακεραίους των Ασκήσεων 70ndash72στο δεκαεξαδικό σύστηmicroα

70 287 71 693 72 2301

73 Γράψτε microια τυπική περιγραϕή του αλγορίθmicroου που αναπτύ-ξατε στην Άσκηση 69

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι

[Η microαϑηmicroατιϰή επαγωγή είναι] η συνήϑης αποδειϰτιϰή τεχνιϰή στην επιστήmicroη τωνυπολογιστών

mdashAnthony Ralston 1984

Ηmicroαθηmicroατική επαγωγή είναι microία από τις πιο πρόσϕατα ανεπτυγmicroένες αποδεικτικές microεθό-δους στην ιστορία των microαθηmicroατικών Χρησιmicroοποιείται για την επαλήθευση εικασιών πουαϕορούν σε αποτελέσmicroατα διαδικασιών που εmicroϕανίζονται κατrsquo επανάληψη και σύmicroϕωναmicroε καθορισmicroένα microοτίβα Θα παρουσιάσουmicroε αυτή την τεχνική microε ένα παράδειγmicroα

Μερικοί ισχυρίζονται ότι το λεπτό του αmicroερικάνικου δολαρίου είναι τόσο microικρό νόmicroι-σmicroα ώστε πρέπει να αποσυρθεί Λένε ότι αν πέσει από τα χέρια κάποιου αυτός σπανίως θασκύψει να το πάρει Άλλοι ισχυρίζονται ότι αν αποσυρθεί το λεπτό θα υπάρχουν προβλή-microατα microε την ευελιξία στον καθορισmicroό των τιmicroών των αγαθών Ποιες τιmicroές θα microπορούσαννα εξοϕληθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο στην περίπτωση απόσυρσης του λεπτού και αντι-κατάστασής του microε ένα νόmicroισmicroα αξίας 3cent Η απάντηση είναι ότι οι microόνες τιmicroές που δενθα microπορούσαν να πληρωθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο είναι οι 1cent 2cent 4cent και 7cent Με άλλαλόγια

Μπορούmicroε να πάρουmicroε οποιονδήποτε ακέραιο αριθmicroό τουλάχιστον8 λεπτών χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα των 3cent και 5cent

Ποιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 microπορούmicroε να πάρουmicroεn λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5cent

Ακόmicroα πιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 η P(n) είναι αληθής όπου P(n) είναι η πρότασηlaquomicroπορούmicroε να πάρουmicroε n λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5centraquo

Θα microπορούσατε να ελέγξετε ότι η P(n) είναι αληθής για λίγες συγκεκριmicroένες τιmicroές του nόπως κάνουmicroε στον παρακάτω πίνακα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 237

Αριθmicroός λεπτών Πώς λαmicroβάνεται

8cent 3cent + 5cent

9cent 3cent + 3cent + 3cent

10cent 5cent + 5cent

11cent 3cent + 3cent + 5cent

12cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent

13cent 3cent + 5cent + 5cent

14cent 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

15cent 5cent + 5cent + 5cent

16cent 3cent + 3cent + 5cent + 5cent

17cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

Οι περιπτώσεις που ϕαίνονται στον πίνακα microας δίνουν επαγωγικού τύπου στοιχείαγια να υποστηρίξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλα τα n Πράγmicroατι η P(n) είναι αλη-ϑής για όλα τα n ge 8 αν ϰαι microόνο αν είναι εϕιϰτό να συνεχίσουmicroε να συmicroπληρώνουmicroε τονπίναϰα για οσοδήποτε microεγάλες τιmicroές του n

Η k γραmicromicroή του πίνακα δίνει πληροϕορίες για το πώς θα πάρουmicroε kcent χρησιmicroοποιώ-ντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent Για να συνεχίσουmicroε τον πίνακα στην επόmicroενη γραmicromicroήπρέπει να δώσουmicroε οδηγίες για το πώς θα υπολογιστούν τα (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και 5cent Το microυστικό είναι να παρατηρήσουmicroε πρώτα ότι αν microπορούmicroε ναυπολογίσουmicroε kcent χρησιmicroοποιώντας τουλάχιστον ένα κέρmicroα των 5cent τότε microπορούmicroε να υ-πολογίσουmicroε (k + 1)cent αντικαθιστώντας το κέρmicroα των 5cent microε δύο κέρmicroατα των 3cent όπωςϕαίνεται στο Σχήmicroα 421

kcent (k + 1)cent

3cent 3cent5cent

Αντικατάσταση ενός κέρματος των 5cent με δύο

κέρματα των 3cent

Αφαίρεση Προσθήκη

Σχήmicroα 421

Αν από την άλλη microεριά τα kcent λαmicroβάνονται χωρίς χρήση του κέρmicroατος των 5cent τότεχρησιmicroοποιούνται microόνο κέρmicroατα των 3cent Και αϕού το σύνολο είναι τουλάχιστον 8cent πρέπεινα περιλαmicroβάνονται τρία ή περισσότερα κέρmicroατα των 3cent Για να πάρουmicroε ένα σύνολο(k + 1)cent microπορούmicroε να αντικαταστήσουmicroε τρία από τα κέρmicroατα των 3cent microε δύο των 5centόπως ϕαίνεται στο Σχήmicroα 422 της επόmicroενης σελίδας

Η δοmicroή του παραπάνω επιχειρήmicroατος microπορεί να περιγραϕεί συνοπτικά ως εξής Γιανα δείξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8 (1) δείχνουmicroε ότι ηP(8) είναι αληθής και (2) δείχνουmicroε ότι η αλήθεια της P(k + 1) προκύπτει απαραίτητααπό την αλήθεια της P(k) για κάθε k ge 8 Κάθε επιχείρηmicroα αυτής της microορϕής καλείταιεπιχείρηmicroα microαϑηmicroατιϰής επαγωγής

238 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

5cent

kcent (k + 1)cent

Προσθήκη

kcent (k + 1)cent

5cent

3cent 3cent

3cent

Αντικαθιστούμε τρίακέρματα των 3centμε δύο κέρματα

των 5cent

Αφαίρεση

5cent

Σχήmicroα 422

Η αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής

Έστω ότι η P(n) είναι microια ιδιότητα που ορίζεται για ακεραίους n και έστω ότι οa είναι ένας συγκεκριmicroένος ακέραιος Υποθέτουmicroε ότι οι ακόλουθες δυο προτάσειςείναι αληθείς

1 Η P(a) είναι αληθής2 Για όλους τους ακεραίους k ge a αν η P(k) είναι αληθής τότε και η P(k + 1) είναι

αληθής

Τότε ισχύει η πρότασηγια όλους τους ακεραίους n ge a η P(n) είναι αληθής

Η πρώτη γνωστή καταγεγραmicromicroένη microαθηmicroατική επαγωγή βρίσκεται στα γραπτά τουΙταλού επιστήmicroονα Francesco Maurolico το 1575 Την ίδια τεχνική χρησιmicroοποιούσαν κα-τά το δέκατο έβδοmicroο αιώνα και οι Pierre de Fermat και Blaise Pascal Ο Fermat ονόmicroαζετην επαγωγή laquomicroέθοδο της άπειρης καθόδουraquo (laquomethod of innite descentraquo) Το 1883 οAugustus De Morgan (γνωστός από τους κανόνες De Morgan) περιέγραψε προσεκτικάτη διαδικασία και την ονόmicroασε microαϑηmicroατιϰή επαγωγή

Για να πάρετε microια διαισθητική εικόνα για τη microαθηmicroατική επαγωγή ϕανταστείτε microιαάπειρη συλλογή από ντόmicroινο τοποθετηmicroένα το ένα πίσω από το άλλο microε τέτοιο τρόποώστε αν ένα ντόmicroινο πέσει να ρίξει και το επόmicroενο (∆είτε το Σχήmicroα 423) Φανταστείτετώρα ότι πέϕτει το πρώτο ντόmicroινο Τι θα συmicroβεί Θα πέσουν όλα

12

3

4

kk + 1

Σχήmicroα 423 Όταν πέϕτει το k ντόmicroινο ρίχνει και το (k + 1)

Για να δείτε τη σχέση ανάmicroεσα σε αυτή την εικόνα και την αρχή της microαθηmicroατικήςεπαγωγής υποθέστε ότι η P(n) είναι η πρόταση laquoτο n ντόmicroινο πέϕτειraquo Υποθέτουmicroε ότιγια κάθε k ge 1 αν η P(k) είναι αληθής (το k ντόmicroινο πέϕτει) τότε η P(k + 1) είναι επίσηςαληθής (το (k + 1) ντόmicroινο πέϕτει) Υποθέτουmicroε επίσης ότι η P(1) είναι αληθής (το πρώτοντόmicroινο πέϕτει) Έτσι από την αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής η P(n) (το n ντόmicroινοπέϕτει) είναι αληθής για κάθε n ge 1

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 239

Η ισχύς της απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή θεωρείται αξίωmicroα Γιrsquo αυτόν το λόγοαναϕερόmicroαστε σε αυτή ως αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής αντί ως θεώρηmicroα Είναι ισο-δύναmicroη microε την ακόλουθη ιδιότητα των ακεραίων που εύκολα τη δέχεται κανείς ως αληθήmicroε βάση τη διαίσθησή του

Υποθέτουmicroε ότι το S είναι οποιοδήποτε σύνολο ακεραίων που ικανοποιεί (1) a isin Sκαι (2) για όλους τους ακεραίους k αν k isin S τότε k + 1 isin S Τότε το S πρέπει ναπεριέχει κάθε ακέραιο microεγαλύτερο ή ίσο του a

Για να κατανοήσουmicroε την ισοδυναmicroία των δυο διατυπώσεων απλώς ορίζουmicroε ως S τοσύνολο όλων των ακεραίων για τους οποίους η P(n) είναι αληθής

Η απόδειξη ενός επιχειρήmicroατος microε microαθηmicroατική επαγωγή είναι microια διαδικασία δύο βη-microάτων Το πρώτο βήmicroα λέγεται αρχιϰό βήmicroα ή βήmicroα έναρξης και το δεύτερο επαγωγιϰόβήmicroα

Η microέθοδος απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή

Θεωρήστε microια πρόταση της microορϕής laquoγια όλους τους ακεραίους n ge a η ιδιότηταP(n) είναι αληθήςraquo Για να αποδείξουmicroε microια τέτοια πρόταση ακολουθούmicroε τα παρα-κάτω δύο βήmicroατα

Βήmicroα 1 (αρχικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = a

Βήmicroα 2 (επαγωγικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους k ge a αν η ιδιό-τητα είναι αληθής για n = k τότε είναι αληθής για n = k + 1 Για να πραγmicroα-τοποιήσουmicroε αυτό το βήmicroα

υποθέτουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k όπου k είναιοποιοσδήποτε συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος ακέραιοςmicroε k ge a [Αυτή η υπόϑεση ονοmicroάζεται επαγωγική υπόθεση]

Έτσι

δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k + 1

∆ίνουmicroε εδώ την τυπική απόδειξη για τα κέρmicroατα που διατυπώσαmicroε χωρίς τυπικό τρό-πο προηγουmicroένως

Πρόταση 421

Έστω ότι η P(n) είναι η ιδιότητα laquoncent microπορούν να υπολογιστούν microε κέρmicroατα των 3centκαι 5centraquo Τότε η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8

Απόδειξη

∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 8 Η ιδιότητα είναι αληθής για n = 8 ε-πειδή 8cent = 3cent + 5cent

∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 8 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής ϰαι για n = k + 1 Υποθέτουmicroε ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε kcent χρη-σιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent για κάποιο ακέραιο k ge 8 [Αυτή είναι η ε-παγωγιϰή υπόϑεση]Πρέπει να δείξουmicroε τώρα ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε και (k + 1)centχρησιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και 5cent Αν υπάρχει κέρmicroα των 5cent ανάmicroεσα σε αυτάπου απαρτίζουν τα kcent το αντικαθιστούmicroε microε δύο κέρmicroατα των 3cent το αποτέλεσmicroαθα είναι (k + 1)cent Αν δεν υπάρχει κέρmicroα των 5cent σε αυτά που απαρτίζουν τα kcent τότεπρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 3 κέρmicroατα των 3cent αϕού k ge 8 Αϕαιρούmicroε αυτά τατρία κέρmicroατα των 3cent και τα αντικαθιστούmicroε microε δύο των 5cent το αποτέλεσmicroα θα είναι(k + 1)cent Έτσι σε κάθε περίπτωση microπορούmicroε να πάρουmicroε (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και των 5cent [όπως έπρεπε να δειχϑεί]

240 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Το ακόλουθο παράδειγmicroα δείχνει πώς χρησιmicroοποιούmicroε τη microαθηmicroατική επαγωγή γιανα αποδείξουmicroε έναν τύπο που δίνει το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Παράδειγmicroα 421 Άθροισmicroα των n πρώτων ακεραίων

Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να αποδείξετε ότι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2για όλους τους ακεραίους n ge 1

Λύση Για να κατασκευάσετε microια απόδειξη microε επαγωγή πρέπει πρώτα να βρείτε ποια είναι ηιδιότητα P(n) Σε αυτή την περίπτωση η P(n) είναι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2 larr η ιδιότητα (P(n))

[Για να δείτε ότι η P(n) είναι microια πρόταση παρατηρήστε ότι το αντιϰείmicroενό της είναι laquoτοάϑροισmicroα των αϰεραίων από το 1 microέχρι το nraquo ϰαι το ρήmicroα της είναι το laquoισούταιraquo]

Στο αρχικό βήmicroα της απόδειξης πρέπει να δείξετε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 1ή microε άλλα λόγια ότι η P(1) είναι αληθής Τώρα για να βρούmicroε την P(1) αντικαθιστούmicroε1 στη θέση του n στην P(n) Το αριστερό σκέλος της P(1) είναι το άθροισmicroα όλων τωνδιαδοχικών ακεραίων που ξεκινούν microε το 1 και τελειώνουν στο 1 Αυτό είναι απλώς το 1Έτσι η P(1) είναι η

1 =1(1 + 1)

2 larr αρχική (P(1))

Φυσικά αυτή η εξίσωση είναι αληθής διότι το δεξιό σκέλος είναι

1(1 + 1)2

=1 sdot 2

2= 1

που ισούται microε το αριστερό σκέλοςΣτο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής για κάποιον ακέραιο k microε

k ge 1 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση] Πρέπει τώρα να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναιαληθής Ποιες είναι οι P(k) και P(k + 1) Για να βρούmicroε την P(k) αντικαθιστούmicroε k στηθέση κάθε n στην P(n) Έτσι η P(k) είναι η

1 + 2 +⋯+ k =k(k + 1)

2 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Παρόmicroοια για να βρούmicroε την P(k + 1) αντικαθιστούmicroε κάθε n της P(n) microε την ποσότητα(k + 1) Έτσι η P(k + 1) είναι1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2

ή ισοδύναmicroα

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

larr να δειχθεί η (P(k + 1))

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 241

Τώρα η επαγωγική υπόθεση είναι ότι η P(k) είναι αληθής Πώς microπορούmicroε να χρησι-microοποιήσουmicroε αυτή την υπόθεση για να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής Η P(k + 1)είναι microια εξίσωση και η αλήθεια microιας εξίσωσης microπορεί να δειχθεί microε διάϕορους τρόπουςΈνας από τους πιο άmicroεσους είναι να microετασχηmicroατίσουmicroε το αριστερό σκέλος στο δεξιόχρησιmicroοποιώντας άλγεβρα και άλλους γνωστούς κανόνες και έγκυρες υποθέσεις microεταξύτων οποίων και την επαγωγική υπόθεση Σε αυτή την περίπτωση το αριστερό σκέλος τηςP(k + 1) είναι

1 + 2 +⋯+ (k + 1)που ισούται microε

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) προσδιορισmicroός του προτελευταίουόρου και οmicroαδοποίηση

Αλλά microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1)=k(k + 1)

2+ (k + 1) αϕού η επαγωγική υπόθεση λέει

ότι 1 + 2 +⋯ + k =k(k + 1)

2

Τώρα χρησιmicroοποιούmicroε άλγεβρα για να δείξουmicroε ότι αυτή η έκϕραση ισούται microε το δεξιόσκέλος της P(k + 1)

k(k + 1)2

+ (k + 1)

=k(k + 1)

2+2(k + 1)

2

πολλαπλασιάζουmicroε αριθmicroητή και πα-ρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε το2 για να πάρουmicroε κοινό παρονοmicroα-στή

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2microε πρόσθεση κλασmicroάτων

=(k + 2)(k + 1)

2βγάζουmicroε κοινό παράγοντα το (k + 1)

=(k + 1)(k + 2)

2υπολογίζουmicroε τους παράγοντες(k + 1) και (k + 2)

που ισούται microε το δεξιό σκέλος της P(k + 1)Συνοψίζουmicroε την παραπάνω ανάλυση ως εξής

Θεώρηmicroα 422 Άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Για όλους τους ακεραίους n ge 1

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2

Απόδειξη (microε microαθηmicroατική επαγωγή)

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση 1 + 2 +⋯+ n = n(n + 1)2

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1 Για να δείξουmicroε την ιδιότητα για

n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 =1(1 + 1)

2 Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης

είναι 1 και το δεξιό είναι1(1 + 1)

2=2

2= 1 και αυτό Άρα η ιδιότητα είναι αληθής για

n = 1συνεχίζεται στην επόmicroενη σελίδα

242 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2είναι αληϑής για ϰάποιον

αϰέραιο k ge 1 στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ k =

k(k + 1)2

για κάποιον ακέραιο k ge 1

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =

n(n + 1)2

είναι αληϑής όταν

αντιϰαταστήσουmicroε το k + 1 στη ϑέση του n]Πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2 ή ισοδύναmicroα ότι

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

421

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος της εξίσωσης (421) ισούται microε το δεξιόσϰέλος]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (421) είναι το

1 + 2 +⋯+ (k + 1)= (1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) Ο προτελευταίος όρος είναι ο k γιατί οι όροι

είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ο τελευταίος εί-ναι ο k + 1

=k(k + 1)

2+ (k + 1) microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

=k(k + 1)

2+(k + 1) sdot 2

2

=(k + 1)(k + 2)

2

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (421) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού δείξαmicroε ϰαι το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

Λέγεται microια ιστορία για έναν από τους microεγαλύτερους microαθηmicroατικούς όλων των εποχώντον Carl Friedrich Gauss (1777ndash1855) σύmicroϕωνα microε την οποία όταν ήταν microικρό παιδί οδάσκαλος του ζήτησε να προσθέσει τους αριθmicroούς από το 1 microέχρι το 100 Ο δάσκαλοςζήτησε από τους microαθητές να υπολογίσουν το άθροισmicroα ώστε να τους απασχολήσει γιανα microπορέσει εκείνος να διορθώσει γραπτά Αλλά λίγες στιγmicroές αργότερα ο Gauss βρήκετην σωστή απάντηση Είναι περιττό να πούmicroε ότι ο δάσκαλος τα έχασε Πώς microπόρεσε ονεαρός Gauss να υπολογίσει τόσο γρήγορα Τα επόmicroενα χρόνια ο Gauss εξήγησε ότι είχεϕανταστεί τους αριθmicroούς σε ζευγάρια σύmicroϕωνα microε το ακόλουθο σχήmicroα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 243

1 2 3 50 51 98 99 100

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

Το άθροισmicroα κάθε ζεύγους είναι 101 και υπάρχουν 50 ζεύγη άρα το συνολικό άθροισmicroαείναι 50 sdot 101 = 5050

Παράδειγmicroα 422 Εϕαρmicroογές του τύπου του αθροίσmicroατος των πρώτων n ακεραίων

α Βρείτε το 2 + 4 + 6 +⋯+ 500

β Βρείτε το 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50

γ Για οποιονδήποτε ακέραιο h ge 2 βρείτε το 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1)Λύση

α 2 + 4 + 6 +⋯+ 500 = 2 sdot (1 + 2 + 3 +⋯+ 250)= 2 sdot (250 sdot 251

2) εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroα

των πρώτων n ακεραίων για n = 250

= 62750

β 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50 = (1 + 2 + 3 +⋯+ 50) minus (1 + 2 + 3 + 4)=50 sdot 51

2minus 10

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroατων πρώτων n ακεραίων για n = 50

= 1265

γ 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1) = (h minus 1) sdot [(h minus 1) + 1]2

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροι-σmicroα των πρώτων n ακεραίων γιαn = h minus 1

=(h minus 1) sdot h

2αϕού (h minus 1) + 1 = h n

Στο επόmicroενο παράδειγmicroα ζητείται να αποδειχθεί ένας άλλος διάσηmicroος microαθηmicroατικόςτύποςmdashο τύπος του αθροίσmicroατος της γεωmicroετρικής προόδου Σε microια γεωmicroετρικήπρόοδοκάθε όρος ισούται microε τον προηγούmicroενο επί ένα σταθερό παράγοντα Αν ο πρώτος όροςείναι 1 και ο σταθερός παράγοντας είναι r τότε η ακολουθία είναι 1 r r2 r3 rn Το άθροισmicroα των πρώτων n όρων αυτής της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

για όλους τους ακεραίους n ge 0 και τους πραγmicroατικούς αριθmicroούς r που δεν είναι ίσοι microε1 Η αναπτυγmicroένη microορϕή αυτού του τύπου είναι η

r0 + r1 + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

και επειδή r0 = 1 και r1 = r ο τύπος για n ge 1 microπορεί να ξαναγραϕεί ως

1 + r + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

244 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παράδειγmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Αποδείξτε ότιnsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 για κάθε ακέραιο n ge 0 και για όλους τους πραγmicroατικούς

αριθmicroούς r διάϕορους του 1

Λύση Σε αυτό το παράδειγmicroα η ιδιότητα P(n) είναι πάλι microια εξίσωση αν και σε αυτή τηνπερίπτωση περιλαmicroβάνει microια πραγmicroατική microεταβλητή r

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 larr η ιδιότητα (P(n))

Αϕού το r microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός εκτός του 1 ξεκινάmicroε τηναπόδειξη υποθέτοντας ότι ο r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγ-microατικός αριθmicroός διάϕορος του 1 Έπειτα συνεχίζουmicroε την απόδειξη microε microαθηmicroατική επα-γωγή στο n αρχίζοντας microε το n = 0 Στο αρχικό βήmicroα πρέπει να δείξουmicroε ότι η P(0) είναιαληθής δηλαδή να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 0 Οπότε αντικαθιστούmicroε0 για κάθε n στην P(n)

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1 larr αρχική (P(0))

Στο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής δηλαδή υποθέτουmicroε ότι ηιδιότητα είναι αληθής για n = k Οπότε αντικαθιστούmicroε k για κάθε n στην P(n)

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Μετά δείχνουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής δηλαδή δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αλη-θής για n = k + 1 Έτσι αντικαθιστούmicroε k + 1 για κάθε n στην P(n)

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1

ή εναλλακτικά

k+1sumi=0

r i =rk+2 minus 1

r minus 1sdot larr για να δείξουmicroε την (P(k + 1))

Θεώρηmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό r εκτός του 1 και για κάθε ακέραιο n ge 0

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Απόδειξη

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Υποθέτουmicroε ότι το r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγmicroατικόςαριθmicroός διάϕορος του 1 Πρέπει να δείξουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους n ge 0

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 245

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Θα το δείξουmicroε microε microαθηmicroατική επαγωγή στο n

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0 Για n = 0 πρέπει να δείξουmicroε ότι

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1

Το αριστερό σκέλος αυτής της εξίσωσης είναι το r0 = 1 Το δεξιό σκέλος είναι

r1 minus 1

r minus 1=r minus 1

r minus 1= 1

ξανά αϕού r1 = r και r ne 1 [Οπότε η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0]

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 0 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1είναι αληϑής όταν ένας αϰέραιος k ge 0

αντιϰατασταϑεί στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 για k ge 0 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση]

[Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1 422

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος αυτής της εξίσωσης ισούται microε το δεξιό]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (422) είναι το

k+1sumi=0

r i =ksumi=0

r i + rk+1 γράϕουmicroε τον (k + 1) όρο ξεχωριστά απότους πρώτους k όρους

=rk+1 minus 1

r minus 1+ rk+1 microε αντικατάσταση από

την επαγωγική υπόθεση

=rk+1 minus 1

r minus 1+rk+1(r minus 1)

r minus 1

πολλαπλασιάζουmicroε τον αριθmicroητή και τονπαρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε (r minus 1)για να έχουmicroε κοινό παρονοmicroαστή

=(rk+1 minus 1) + rk+1(r minus 1)

r minus 1πρόσθεση κλασmicroάτων

=rk+1 minus 1 + rk+2 minus rk+1

r minus 1πολλαπλασιασmicroός και χρήση του

rk+1 sdot r = rk+1 sdot r1 = rk+2

=rk+2 minus 1

r minus 1διαγραϕή των rk+1

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (4 2 2) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

Περιεχόmicroενα 7

62 ∆έντραδυνατώναποτελεσmicroάτων και ο κανόνας τουπολλαπλασιασmicroού 329∆έντρα δυνατών αποτελεσmicroάτων Ο κανόνας του πολλαπλασιασmicroού Πότε είναι δύ-σκολη ή αδύνατη η εϕαρmicroογή του κανόνα πολλαπλασιασmicroού Μεταθέσεις Μεταθέ-σεις επιλεγmicroένων στοιχείων

63 Καταmicroέτρηση των στοιχείων ξένων συνόλωνΟ κανόνας της πρόσθεσης 344Ο κανόνας της πρόσθεσης Ο κανόνας της διαϕοράς Η αρχή εγκλεισmicroούαποκλει-σmicroού

64 Καταmicroέτρηση υποσυνόλων ενός συνόλου Συνδυασmicroοί 358r-συνδυασmicroοί ∆ιατεταγmicroένες και microη διατεταγmicroένες επιλογές Σχέσεις microεταξύ microετα-θέσεων και συνδυασmicroών Μεταθέσεις συνόλων microε επαναλαmicroβανόmicroενα στοιχεία Με-ρικές συmicroβουλές καταmicroέτρησης

65 r-συνδυασmicroοί microε επανάληψη 373Συνδυασmicroοί microε επανάληψη και τρόπος microέτρησής τους Ποιον τύπο χρησιmicroοποιούmicroε

66 Η άλγεβρα των συνδυασmicroών 380Συνδυαστικοί τύποι Το τρίγωνο του Pascal Αλγεβρικές και συνδυαστικές αποδείξειςτου τύπου του Pascal

67 Το διωνυmicroικό θεώρηmicroα 386∆ιατύπωση του θεωρήmicroατος Αλγεβρικές και συνδυαστικές αποδείξεις Εϕαρmicroογές

68 Τα αξιώmicroατα των πιθανοτήτων και η αναmicroενόmicroενη τιmicroή 394Αξιώmicroατα πιθανοτήτων Παραγωγή επιπλέον πιθανοθεωρητικών τύπων Αναmicroενόmicroε-νη τιmicroή

69 ∆εσmicroευmicroένηπιθανότητα τύπος τουBayes και ανεξάρτητα ενδεχόmicroενα 399∆εσmicroευmicroένη πιθανότητα Το θεώρηmicroα Bayes Ανεξάρτητα ενδεχόmicroενα

Κεφάλαιο 7 Συναρτήσεις 413

71 Συναρτήσεις που ορίζονται σε ένα γενικό σύνολο 413Ορισmicroός της συνάρτησης ∆ιαγράmicromicroατα του Venn Η συνάρτηση ως microηχανή Παρα-δείγmicroατα συναρτήσεων Συναρτήσεις Boole Έλεγχος της επάρκειας του ορισmicroού microιαςσυνάρτησης

72 Ένα προς ένα και επί αντίστροφες συναρτήσεις 426Συναρτήσεις ένα προς ένα Συναρτήσεις ένα προς ένα σε άπειρα σύνολα Εϕαρmicroο-γή Συναρτήσεις hash Συναρτήσεις επί Συναρτήσεις επί σε άπειρα σύνολα Ιδιότητεςεκθετικών και λογαριθmicroικών συναρτήσεων Αντιστοιχίες ένα προς ένα και επί Αντί-στροϕες συναρτήσεις

73 Εφαρmicroογή Η αρχή του περιστερώνα 444∆ιατύπωση και ανάλυση της αρχής Εϕαρmicroογή στο δεκαδικό ανάπτυγmicroα κλασmicroάτωνΓενικευmicroένη αρχή του περιστερώνα Απόδειξη της αρχής του περιστερώνα

8 Περιεχόmicroενα

74 Σύνθεση συναρτήσεων 456Ορισmicroοί και παραδείγmicroατα Σύνθεση συναρτήσεων ένα προς ένα Σύνθεση συναρτή-σεων επί

75 Πληθικότητα microε εφαρmicroογές στην υπολογισιmicroότητα 467Ισοδύναmicroες πληθικότητες Αριθmicroήσιmicroα σύνολα Αναζήτηση microεγαλύτερων απείρων Ηδιαδικασία διαγωνιοποίησης του Cantor Εϕαρmicroογή Πληθικότητα και υπολογισιmicroό-τητα

Κεφάλαιο 8 Αναδροmicroικοί ορισmicroοί 481

81 Ακολουθίες που ορίζονται αναδροmicroικά 481Ορισmicroός αναδροmicroικής σχέσης Παραδείγmicroατα ακολουθιών που ορίζονται microε αναδρο-microικό τρόπο Το πλήθος των διαmicroερίσεων ενός συνόλου σε r υποσύνολα

82 Επίλυση αναδροmicroικών σχέσεων microε επαναλήψεις 499Η microέθοδος της επανάληψης Χρήση τύπων για την απλοποίηση λύσεων που προκύ-πτουν microε τη microέθοδο των επαναλήψεων Έλεγχος της ορθότητας ενός τύπου microε microαθη-microατική επαγωγή Εντοπισmicroός σϕάλmicroατος σε έναν τύπο

83 Γραmicromicroικές οmicroογενείς αναδροmicroικές σχέσειςδεύτερου βαθmicroού microε σταθερούς συντελεστές 511Προσδιορισmicroός της τεχνικής επίλυσης αυτών των σχέσεων Η περίπτωση των διακρι-τών ριζών Η περίπτωση της microίας ρίζας

84 Γενικοί αναδροmicroικοί ορισmicroοί 523Αναδροmicroικά ορισmicroένα σύνολα Απόδειξη ιδιοτήτων αναδροmicroικά ορισmicroένων συνόλωνΑναδροmicroικός ορισmicroός του αθροίσmicroατος του γινοmicroένου της ένωσης και της τοmicroήςΑναδροmicroικά ορισmicroένες συναρτήσεις

Κεφάλαιο 9 Ηαποδοτικότητα των αλγορίθmicroων 534

91 Πραγmicroατικές συναρτήσεις microιας πραγmicroατικής microεταβλητήςκαι τα γραφήmicroατά τους 534Γραϕήmicroατα συναρτήσεων Συναρτήσεις δυνάmicroεων Η συνάρτηση κάτω ακέραιου microέ-ρους Σχεδίαση συναρτήσεων που ορίζονται σε σύνολα ακεραίων Το γράϕηmicroα ενόςπολλαπλασίου microιας συνάρτησης Αύξουσες και ϕθίνουσες συναρτήσεις

92 Τα σύmicroβολαOΩ καιΘ 542Ορισmicroοί και γενικές ιδιότητες των συmicroβολισmicroώνOΩ καιΘ Τάξεις συναρτήσεων δυ-νάmicroεων Οι τάξεις των πολυωνυmicroικών συναρτήσεων Τάξεις συναρτήσεων ακέραιωνmicroεταβλητών Επέκταση σε συναρτήσεις που προέρχονται από σύνθεση ρητών δυνά-microεων

93 Εφαρmicroογή Αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων Ι 555Η χρονική αποδοτικότητα ενός αλγορίθmicroου Υπολογισmicroός τάξης απλών αλγορίθmicroωνΟ αλγόριθmicroος σειριακής αναζήτησης Αλγόριθmicroος ταξινόmicroησης microε παρεmicroβολή

Περιεχόmicroενα 9

94 Εκθετικές και λογαριθmicroικές συναρτήσεις Γραφήmicroατα και τάξεις 568Γραϕήmicroατα εκθετικών και λογαριθmicroικών συναρτήσεων Εϕαρmicroογή Το πλήθος τωνδυαδικών ψηϕίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση ενός ακεραίου σε δυαδικήmicroορϕή Εϕαρmicroογή Χρήση λογαρίθmicroων για την επίλυση αναδροmicroικών σχέσεων Εκ-θετικές και λογαριθmicroικές τάξεις

95 Εφαρmicroογή Αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων ΙΙ 581Αλγόριθmicroοι laquoδιαίρει και βασίλευεraquo Η αποδοτικότητα του αλγορίθmicroου δυαδικής ανα-ζήτησης Ταξινόmicroηση microε συγχώνευση Ανιχνεύσιmicroα και microη ανιχνεύσιmicroα προβλήmicroαταΈνα τελικό σχόλιο σχετικά microε την αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων

Κεφάλαιο 10 Σχέσεις 596

101 Σχέσεις σε σύνολα 596Ορισmicroός διmicroελούς σχέσης Το διάγραmicromicroα microιας σχέσης Σχέσεις και συναρτήσεις Ηαντίστροϕη microιας σχέσης Το κατευθυνόmicroενο γράϕηmicroα microιας σχέσης Ν-microελείς σχέσειςκαι σχεσιακές βάσεις δεδοmicroένων

102 Ανακλαστικότητα συmicromicroετρία και microεταβατικότητα 609Οι ιδιότητες ανακλαστικότητας συmicromicroετρίας και microεταβατικότητας Η microεταβατικήκλειστότητα microιας σχέσης Ιδιότητες των σχέσεων σε άπειρα σύνολα

103 Σχέσεις ισοδυναmicroίας 619Η σχέση που επάγεται από microια διαmicroέριση Ορισmicroός της σχέσης ισοδυναmicroίας Κλάσειςισοδυναmicroίας microιας σχέσης ισοδυναmicroίας

104 Η αριθmicroητική των υπολοίπων microε εφαρmicroογές στην κρυπτογραφία 636Ιδιότητες της ισοτιmicroίας modulo n Αριθmicroητική των υπολοίπων Προσδιορισmicroός τουαντιστρόϕουmodulo n Το λήmicromicroα του Ευκλείδη Το microικρό θεώρηmicroα του Fermat καιτο κινέζικο θεώρηmicroα υπολοίπου Γιατί είναι αποτελεσmicroατικός ο κώδικας RSA

105 Σχέσεις microερικής διάταξης 657Αντισυmicromicroετρία Σχέσεις microερικής διάταξης Λεξικογραϕική σειρά ∆ιαγράmicromicroαταHasseΜερικώς και ολικώς διατεταγmicroένα σύνολα Τοπολογική ταξινόmicroηση Μια εϕαρmicroογήPERT και CPM

Κεφάλαιο 11 Γραφήmicroατα και δέντρα 675

111 Γραφήmicroατα Εισαγωγή 675Βασική ορολογία και παραδείγmicroατα Ειδικά γραϕήmicroατα Η έννοια του βαθmicroού

112 Μονοπάτια και κυκλώmicroατα 691Ορισmicroοί Κυκλώmicroατα Euler Χαmicroιλτονιανά κυκλώmicroατα

113 Αναπαράσταση των γραφηmicroάτων microε πίνακες 710Πίνακες Πίνακες και κατευθυνόmicroενα γραϕήmicroατα Πίνακες και (microη κατευθυνόmicroενα)γραϕήmicroατα Πίνακες και συνεκτικές συνιστώσες Πολλαπλασιασmicroός πινάκων Υπο-λογισmicroός περιπάτων microήκους Ν

10 Περιεχόmicroενα

114 Ισοmicroορφισmicroοί γραφηmicroάτων 724Ορισmicroός ισοmicroορϕισmicroού γραϕηmicroάτωνκαι παραδείγmicroατα Ισοmicroορϕικά αναλλοίωτες πο-σότητες Ισοmicroορϕισmicroός γραϕηmicroάτων για απλά γραϕήmicroατα

115 ∆έντρα 732Ορισmicroοί και παραδείγmicroατα δέντρων Χαρακτηρισmicroός δέντρων ∆έντρα microε ρίζα ∆υα-δικά δέντρα

116 ∆έντρα επικάλυψης 750Ορισmicroός δέντρου επικάλυψης Ελάχιστα δέντρα επικάλυψης Ο αλγόριθmicroος του Kru-skal Ο αλγόριθmicroος του Prim

Κεφάλαιο 12 Κανονικές εκφράσεις και πεπερασmicroένα αυτόmicroατα 761

121 Τυπικές γλώσσες και κανονικές εκφράσεις 762Ορισmicroοί και παραδείγmicroατα τυπικών γλωσσών και κανονικών εκϕράσεων Πρακτικέςχρήσεις των κανονικών εκϕράσεων

122 Αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων 773Ορισmicroός του αυτοmicroάτου πεπερασmicroένων καταστάσεωνΗ γλώσσα που αποδέχεται ένααυτόmicroατο Η συνάρτηση καταληκτικής κατάστασης Σχεδίαση ενός αυτοmicroάτου πεπε-ρασmicroένων καταστάσεων Προσοmicroοίωση αυτοmicroάτου πεπερασmicroένων καταστάσεων microεχρήση λογισmicroικού Αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων και κανονικές εκϕράσειςΚανονικές γλώσσες

123 Απλοποίηση αυτοmicroάτων πεπερασmicroένων καταστάσεων 791lowast ισοδυναmicroία καταστάσεων k ισοδυναmicroία καταστάσεων Προσδιορισmicroός των κλά-σεων της lowast ισοδυναmicroίας Το αυτόmicroατο πηλίκου Κατασκευή του αυτοmicroάτου πηλίκουΙσοδύναmicroα αυτόmicroατα

Παράρτηmicroα Α Ιδιότητες των πραγmicroατικών αριθmicroών 805

Παράρτηmicroα Β Λύσεις και υποδείξεις επιλεγmicroένων ασκήσεων 808

Πίνακας συmicroβόλων 921

Ευρετήριο 927

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Ο σκοπός microου microε αυτό το βιβλίο ήταν να δώσω microια σαϕή και προσιτή παρουσίαση τωνδιακριτών microαθηmicroατικών για προπτυχιακούς και microεταπτυχιακούς ϕοιτητές που σπουδά-ζουν επιστήmicroη υπολογιστών microαθηmicroατικά εκπαίδευση στα microαθηmicroατικά και microηχανολογίαΣτόχος του βιβλίου είναι να θέσει τις microαθηmicroατικές βάσεις για microαθήmicroατα της επιστήmicroης τωνυπολογιστών όπως δοmicroές δεδοmicroένων αλγόριθmicroοι θεωρία βάσεων δεδοmicroένων θεωρία αυ-τοmicroάτων και τυπικές γλώσσες σχεδιασmicroός microεταγλωττιστών και κρυπτογραϕία αλλά καιγια microαθήmicroατα microαθηmicroατικών όπως γραmicromicroική και αϕηρηmicroένη άλγεβρα συνδυαστική πι-θανότητες λογική και συνολοθεωρία και θεωρία αριθmicroών Συνδυάζοντας τη θεωρία καιτην πράξη προσπάθησα να δείξω ότι τα microαθηmicroατικά εκτός από το ότι είναι αξιαγάπηταενδιαϕέροντα και όmicroορϕα από microόνα τους έχουν σηmicroαντικές εϕαρmicroογές

Το microόνο προαπαιτούmicroενο είναι ένα καλό υπόβαθρο στην απλή άλγεβρα το microάθηmicroαmicroπορεί να διδαχθεί είτε πριν είτε microετά από ένα microάθηmicroα απειροστικού λογισmicroού Προηγού-microενες εκδόσεις του βιβλίου έχουν χρησιmicroοποιηθεί microε επιτυχία σε ιδρύmicroατα της Βόρειαςκαι Νότιας Αmicroερικής της Ευρώπης της Μέσης Ανατολής και της Αυστραλίας

Σύmicroϕωνα microε τις πρόσϕατες προτάσεις του Ινστιτούτου Ηλεκτρολόγων και Ηλεκτρο-νικώνΜηχανικών-Ένωσης Υπολογιστών (Institute for Electrical and Electronic EngineersComputer Society IEEE-CS) και της Ένωσης ΣυσκευώνΥπολογιστών (Association for Co-mputing Machinery ACM) τα διακριτά microαθηmicroατικά πρέπει να αποτελούν το microεγαλύτεροmicroέρος των laquoβασικών γνώσεωνraquo των ϕοιτητών της επιστήmicroης των υπολογιστών ενώ η microε-λέτη του αντικειmicroένου κατά το πρώτο έτος σπουδών τους πρέπει να διαρκεί τουλάχιστονένα εξάmicroηνο ή ακόmicroα και δύο όπου αυτό είναι δυνατόν Αυτό το βιβλίο περιλαmicroβάνει όλατα θέmicroατα που προτείνουν αυτοί οι οργανισmicroοί και microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί αποτελε-σmicroατικά είτε για ένα εξαmicroηνιαίο microάθηmicroα είτε για δύο

Κάποτε τα περισσότερα από τα θέmicroατα των διακριτών microαθηmicroατικών διδάσκονταν microό-νο σε προπτυχιακούς ϕοιτητές κατά το τελευταίο έτος των σπουδών τους Η βασική καιεξαιρετικά ενδιαϕέρουσα πρόκληση της συγγραϕής αυτού του βιβλίου ήταν η εύρεσητου κατάλληλου τρόπου διδασκαλίας αυτών των θεmicroάτων ώστε να γίνουν κατανοητάαπό πρωτοετείς και δευτεροετείς ϕοιτητές Ο τρόπος παρουσίασης αναπτύχθηκε κατάτη διάρκεια microιας microεγάλης περιόδου πειραmicroατισmicroών κατά την οποία οι ϕοιτητές microου ήτανταυτόχρονα από πολλές απόψεις και δάσκαλοί microου Οι ερωτήσεις τους τα σχόλιά τουςκαι τα γραπτά τους microου υποδείκνυαν ποιες έννοιες και τεχνικές τους δυσκόλευαν ενώο τρόπος microε τον οποίο ανταποκρίνονταν στις παρουσιάσεις που τους έκανα microου έδειχνετι ήταν αποτελεσmicroατικό στο χτίσιmicroο της κατανόησης των εννοιών και κινούσε το ενδια-ϕέρον τους Πολλές από τις αλλαγές σε αυτή την έκδοση είναι αποτέλεσmicroα της συνεχούςαλληλεπίδρασης microε τους ϕοιτητές

Τα θέmicroατα ενός microαθήmicroατος διακριτών microαθηmicroατικών

Τα διακριτά microαθηmicroατικά περιγράϕουν διαδικασίες που αποτελούνται από microια ακολουθί-α ξεχωριστών βηmicroάτων Αντίθετα ο απειροστικός λογισmicroός περιγράϕει διαδικασίες πουmicroεταβάλλονται microε συνεχή τρόπο Όπως οι ιδέες του απειροστικού λογισmicroού αποτέλεσαντα θεmicroέλια της επιστήmicroης και της τεχνολογίας κατά τη βιοmicroηχανική επανάσταση έτσι καιοι ιδέες των διακριτών microαθηmicroατικών υποστηρίζουν την επιστήmicroη και την τεχνολογία τηςεποχής των υπολογιστών Τα κύρια θέmicroατα ενός πρώτου microαθήmicroατος διακριτών microαθηmicroα-τικών είναι η λογική και η απόδειξη η επαγωγή και η επανάληψη η συνδυαστική και οιδιακριτές πιθανότητες οι αλγόριθmicroοι και η ανάλυσή τους και οι εϕαρmicroογές στη microοντελο-ποίηση

Λογική και Απόδειξη Ο σπουδαιότερος ίσως στόχος ενός εισαγωγικού microαθήmicroατος σταδιακριτά microαθηmicroατικά είναι να βοηθήσει τους ϕοιτητές να αναπτύξουν την ικανότητα να

12 Πρόλογος

σκέϕτονται αϕηρηmicroένα Αυτό σηmicroαίνει να έχουν τη δυνατότητα να χρησιmicroοποιούν λογικάορθές microορϕές επιχειρηmicroάτων και να αποϕεύγουν κοινά λογικά σϕάλmicroατα να επιχειρηmicroα-τολογούν microε βάση τους ορισmicroούς να χρησιmicroοποιούν ευθεία αλλά και πλάγια επιχειρήmicroαταγια να αποδεικνύουν νέα αποτελέσmicroατα από ήδη γνωστά και να microπορούν να εργάζονταιmicroε συmicroβολικές αναπαραστάσεις σαν να ήταν συγκεκριmicroένα αντικείmicroενα

Επαγωγή και αναδροmicroή Μια ενδιαϕέρουσα εξέλιξη των τελευταίων ετών είναι η εκτί-microηση της δύναmicroης και οmicroορϕιάς της laquoαναδροmicroικής σκέψηςraquo Πρακτικά αυτό σηmicroαίνει ναεξετάσουmicroε ένα πρόβληmicroα υποθέτοντας ότι παρόmicroοια προβλήmicroατα microικρότερης κλίmicroακαςέχουν ήδη λυθεί και να προσπαθούmicroε να συνδυάσουmicroε αυτές τις λύσεις των επιmicroέρουςπροβληmicroάτων για να λύσουmicroε το microεγαλύτερο πρόβληmicroα Αυτή η microέθοδος χρησιmicroοποιεί-ται εκτεταmicroένα στην ανάλυση αλγορίθmicroων όπου αναδροmicroικές σχέσεις που προκύπτουναπό αναδροmicroικού τύπου συλλογισmicroούς δίνουν τύπους που επιβεβαιώνονται microε microαθηmicroα-τική επαγωγή

Συνδυαστική και διακριτές πιθανότητες Η συνδυαστική στα microαθηmicroατικά της απαρίθmicroη-σης της διάταξης αντικειmicroένων και της πιθανότητας είναι η microελέτη των νόmicroων για τιςmicroετρήσεις τυχαίων γεγονότων Η διακριτή πιθανότητα εστιάζει σε καταστάσεις που α-σχολούνται microε διακριτά σύνολα αντικειmicroένων όπως ο προσδιορισmicroός της πιθανότηταςνα έρθει κορώνα συγκεκριmicroένες ϕορές όταν ρίχνουmicroε ένα δίκαιο κέρmicroα αρκετές ϕορές Ε-πιδεξιότητα στη συνδυαστική και τις πιθανότητες χρειάζεται σχεδόν σε κάθε αντικείmicroενοόπου εϕαρmicroόζονται τα microαθηmicroατικά από την οικονοmicroία microέχρι τη βιολογία την επιστήmicroητων υπολογιστών τη χηmicroεία τη ϕυσική και τη διοίκηση επιχειρήσεων

Αλγόριθmicroοι και η ανάλυσή τους Η λέξη αλγόριϑmicroος ήταν γενικά άγνωστη στο microέσο τουεικοστού αιώνα ενώ τώρα είναι microία από τις πρώτες λέξεις που συναντάει κανείς στην ε-πιστήmicroη των υπολογιστών Για να λύσουmicroε ένα πρόβληmicroα microε έναν υπολογιστή είναι απα-ραίτητο να βρούmicroε έναν αλγόριθmicroο ή microια βήmicroα προς βήmicroα ακολουθία οδηγιών τις οποίεςθα ακολουθήσει ο υπολογιστής Ο σχεδιασmicroός ενός αλγορίθmicroου απαιτεί κατανόηση τωνmicroαθηmicroατικών του προβλήmicroατος που πρόκειται να λυθεί Ο προσδιορισmicroός της ορθότηταςή microη ενός αλγορίθmicroου απαιτεί περίπλοκους χειρισmicroούς microε microαθηmicroατική επαγωγή Ο υπο-λογισmicroός του χρόνου ή της microνήmicroης που χρειάζεται ένας αλγόριθmicroος ώστε να microπορεί νασυγκριθεί microε άλλους αλγορίθmicroους που δίνουν την ίδια έξοδο απαιτεί γνώσεις συνδυαστι-κής επαναληπτικών σχέσεων συναρτήσεων και συmicroβολισmicroών O Ω και Θ

∆ιακριτές δοmicroές Οι διακριτές microαθηmicroατικές δοmicroές είναι αϕηρηmicroένες δοmicroές που περιγρά-ϕουν κατηγοριοποιούν και αναδεικνύουν τις κρυϕές σχέσεις microεταξύ διακριτών microαθηmicroα-τικών αντικειmicroένων Οι δοmicroές που microελετάmicroε σε αυτό το βιβλίο είναι τα σύνολα των ακε-ραίων και των ρητών γενικά σύνολα άλγεβρες Boole συναρτήσεις σχέσεις γραϕήmicroατακαι δέντρα τυπικές γλώσσες και κανονικές εκϕράσεις και αυτόmicroατα πεπερασmicroένων κα-ταστάσεων

Εφαρmicroογέςκαιmicroοντελοποίηση Ταmicroαθηmicroατικά αντικείmicroενα γίνονται καλύτερα κατανοη-τά όταν τα εξετάζουmicroε σε microια ποικιλία καταστάσεων και τα χρησιmicroοποιούmicroε για την επί-λυση προβληmicroάτων που συναντώνται σε ένα microεγάλο εύρος εϕαρmicroογών Ένα από τα σπου-δαιότερα microαθήmicroατα των microαθηmicroατικών είναι ότι microας επιτρέπουν να χρησιmicroοποιούmicroε το ίδιοmicroαθηmicroατικό microοντέλο για να λύνουmicroε προβλήmicroατα τα οποία ϕαινοmicroενικά είναι τελείωςανόmicroοια Ένας από τους στόχους αυτού του βιβλίου είναι να δείξει στους ϕοιτητές τηνεκπληκτική πρακτική χρησιmicroότητα microερικών πολύ αϕηρηmicroένων microαθηmicroατικών ιδεών

Ειδικά χαρακτηριστικά αυτού του βιβλίου

Μαθηmicroατική συλλογιστική Το χαρακτηριστικό που κάνει αυτό να βιβλίο να ξεχωρίζει α-πό άλλα βιβλία διακριτών microαθηmicroατικών είναι ότι διδάσκει mdash microε διεξοδικό αλλά εύληπτοτρόπο στους πρωτοετείς και δευτεροετείς ϕοιτητές mdash την κρυϕή λογική και συλλογι-

Πρόλογος 13

στική που αποτελούν τη βάση της microαθηmicroατικής σκέψης Για πολλά χρόνια δίδασκα έναιδιαίτερα διαδραστικό microάθηmicroα microετάβασης στα αϕηρηmicroένα microαθηmicroατικά σε ϕοιτητές τωνmicroαθηmicroατικών και της επιστήmicroης των υπολογιστών Αυτή η εmicroπειρία microου έδειξε ότι αν καιείναι εϕικτό να διδάξεις τους περισσότερους ϕοιτητές να καταλαβαίνουν και να κατα-σκευάζουν σαϕή microαθηmicroατικά επιχειρήmicroατα υπάρχουν κάποια εmicroπόδια που είναι δύσκολονα ξεπεραστούν Για να είναι αποτελεσmicroατικό το βιβλίο ενός τέτοιου microαθήmicroατος πρέπεινα ασχολείται αρκετά microε τις δυσκολίες του ϕοιτητή στη λογική και στη γλώσσα microε άmicroεσοτρόπο Πρέπει επίσης να περιέχει πολλά σαϕή παραδείγmicroατα και ασκήσεις για να δώσει τηδυνατότητα στους ϕοιτητές να αναπτύξουν τα απαραίτητα νοητικά microοντέλα που θα τουςεπιτρέψουν να κατανοήσουν πιο αϕηρηmicroένα προβλήmicroατα Η αντιmicroετώπιση της λογικήςκαι της απόδειξης σε αυτό το βιβλίο συνδυάζει κοινή λογική και αυστηρή προσέγγιση microεένα τρόπο που εξηγεί τα ουσιώδη χωρίς να κουράζει τους ϕοιτητές microε τεχνικές λεπτοmicroέ-ρειες

Ελικοειδής προσέγγιση στην ανάπτυξη των εννοιών Ένας αριθmicroός από έννοιες σε αυτότο βιβλίο εmicroϕανίζεται microε ολοένα και πιο σύνθετες microορϕές στα διαδοχικά κεϕάλαια γιανα βοηθήσει τους ϕοιτητές να αναπτύξουν επίπεδα αϕαίρεσης Για παράδειγmicroα microέχρι νασυναντήσουν το σχετικά προχωρηmicroένο θέmicroα του microικρού θεωρήmicroατος του Fermat και τουκινέζικου θεωρήmicroατος υπολοίπου στην Ενότητα 104 θα έχουν ήδη εισαχθεί στη microαθη-microατική λογική στα Κεϕάλαια 1 και 2 θα έχουν microάθει τις βασικές microεθόδους της απόδειξηςκαι τις έννοιεςmod και div στο Κεϕάλαιο 3 θα έχουν microελετήσει τις διαmicroερίσεις ακεραίωνστο Κεϕάλαιο 5 θα έχουν θεωρήσει τιςmod και div ως συναρτήσεις στο Κεϕάλαιο 7 καιθα έχουν εξοικειωθεί microε τις σχέσεις ισοδυναmicroίας στις Ενότητες 102 και 103 Αυτή η προ-σέγγιση ανακεϕαλαιώνει τα θέmicroατα και αναπτύσσει τη microαθηmicroατική ωριmicroότητα microε ϕυσικότρόπο

Υποστήριξη για τους φοιτητές Οι ϕοιτητές οπωσδήποτε πρέπει να microάθουν πολλά πράγ-microατα microόνοι τους Μαθαίνοντας να microελετούν microόνοι τους κάτι που συχνά είναι δύσκολοπραγmicroατοποιούν ένα σηmicroαντικό βήmicroα προς την εξασϕάλιση microιας επιτυχηmicroένης επαγγελ-microατικής καριέρας Αυτό το βιβλίο διαθέτει ορισmicroένα χαρακτηριστικά που θα βοηθήσουντους ϕοιτητές να microάθουν να διαβάζουν microόνοι τους

Λυmicroένα παραδείγmicroαταΤο βιβλίο περιέχει περισσότερα από 500 λυmicroένα παραδείγmicroατα που είναι γραmicromicroένασε microορϕή εκϕώνησης-λύσης και είναι ανάλογα τόσο σε περιεχόmicroενο όσο και σε δυ-σκολία microε τις ασκήσεις Πολλές λύσεις προβληmicroάτων microε αποδείξεις έχουν γραϕεί σεδύο στάδια πρώτα εξετάζεται ο τρόπος microε τον οποίο είναι δυνατό να πραγmicroατοποιη-θεί η απόδειξη ή η ανασκευή και microετά παρατίθεται η περίληψη της λύσης microέσα σε έναπλαίσιο Αυτός ο τρόπος επιτρέπει στους ϕοιτητές να διαβάσουν το πρόβληmicroα και ανθέλουν να περάσουν κατευθείαν στην περίληψη ή αν δεν κατανοούν την περίληψηνα επιστρέψουν στη συζήτηση Αυτός ο τρόπος εξοικονοmicroεί χρόνο για τους ϕοιτητέςπου ξαναδιαβάζουν το κείmicroενο κατά την προετοιmicroασία τους για τις εξετάσεις

ΑσκήσειςΤο βιβλίο περιέχει περίπου 2500 ασκήσεις Οι ασκήσεις στο τέλος κάθε ενότητας έ-χουν σχεδιαστεί ώστε οι ϕοιτητές διαϕορετικών κλάδων και ποικίλων δυνατοτήτωννα microπορούν να βρούν κάποιες ασκήσεις που θα έχουν τη δυνατότητα να λύσουν σω-στά και κάποιες άλλες που θα τους δυσκολέψουν

Λύσεις ασκήσεωνΤοΠαράρτηmicroα Β περιέχει ένα microεγάλο αριθmicroό πλήρως λυmicroένων ασκήσεων Οι ϕοιτητέςκαλό θα ήταν να συmicroβουλεύονται τις λύσεις αϕού πρώτα έχουν καταβάλει κάθε προ-σπάθεια να λύσουν τις ασκήσεις microόνοι τους Αν προσπαθήσουν πρώτα microόνοι τους καιmicroετά συγκρίνουν τη δική τους λύση microε αυτή που δίνεται θα οδηγηθούν σε καλύτεροεπίπεδο κατανόησης Επιπλέον πολλά προβλήmicroατα συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων microερικώναπό τα πιο δύσκολα δεν έχουν λυθεί πλήρως ή περιλαmicroβάνουν υποδείξεις ώστε οιϕοιτητές να microπορούν να επαληθεύσουν αν ο συλλογισmicroός τους είναι σωστός και να

14 Πρόλογος

κάνουν τις κατάλληλες προσαρmicroογές Επίσης υπάρχουν πολλές ασκήσεις χωρίς λύσηώστε να microάθουν οι ϕοιτητές να ασχολούνται microε προβλήmicroατα σε ρεαλιστικό πλαίσιοεργασίας

Σχήmicroατα και πίνακεςΤα σχήmicroατα και οι πίνακες έχουν προστεθεί σε σηmicroεία που θεωρήσαmicroε ότι θα βοηθή-σουν τον αναγνώστη να κατανοήσει καλύτερα το πρόβληmicroα Στα περισσότερα σχήmicroα-τα γίνεται χρήση και δεύτερου χρώmicroατος για να γίνουν ακόmicroα πιο κατανοητά

ΑναϕορέςΠολλοί ϕοιτητές microού έχουν γράψει ότι το βιβλίο τούς βοήθησε πολύ στα πιο προχω-ρηmicroένα microαθήmicroατα που πήραν στη συνέχεια των σπουδών τους Ένας microου έγραψε ότιχρησιmicroοποίησε την πρώτη έκδοση τόσο πολύ ώστε το βιβλίο διαλύθηκε και αναγκά-στηκε να αγοράσει και τη δεύτερη έκδοση την οποία συνέχισε να χρησιmicroοποιεί καιστο microεταπτυχιακό του Η τακτική microου να τοποθετώ τους ορισmicroούς και τα θεωρήmicroατασε πλαίσια να βάζω τίτλους στις ασκήσεις και να παρέχω λίστες microε τύπους και τις ση-microασίες των συmicroβόλων στα εσώϕυλλα κάνει το βιβλίο εύχρηστο τόσο για microελέτη όσοκαι αργότερα ως βιβλίο αναϕοράς

Υποστήριξη τουκαθηγητή Έχω λάβει πλήθος πολύτιmicroων παρατηρήσεων από καθηγητέςπου έχουν χρησιmicroοποιήσει προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Το βιβλίο έχει βελτιωθείσηmicroαντικά λόγω αυτών των παρατηρήσεων

ΑσκήσειςΗ microεγάλη ποικιλία ασκήσεων όλων των επιπέδων δυσκολίας δίνει στους καθηγητέςmicroεγάλη ελευθερία να οργανώσουν το microάθηmicroά τους ανάλογα microε τις δυνατότητες τωνϕοιτητών τους Οι ασκήσεις microε λύσεις στο τέλος του βιβλίου έχουν γαλάζια αρίθmicroη-ση ενώ εκείνες που οι λύσεις τους παρέχονται σε διαϕορετικό εγχειρίδιο (εγχειρίδιολύσεων) έχουν αριθmicroούς που είναι πολλαπλάσια του τρία Υπάρχουν ασκήσεις κάθετύπου που δεν έχουν απάντηση ούτε σε αυτό το βιβλίο ούτε στο εγχειρίδιο λύσεωνώστε οι καθηγητές να είναι σε θέση να χρησιmicroοποιούν οποιονδήποτε συνδυασmicroό α-σκήσεων microε ή χωρίς λύσεις Ο microεγάλος αριθmicroός ασκήσεων παρέχει στους καθηγητέςσηmicroαντικές δυνατότητες επιλογής προβληmicroάτων για χρήση τόσο σε εξετάσεις όσο καισε επαναληπτικά microαθήmicroατα Οι καθηγητές θα πρέπει να προτιmicroούν τις ασκήσεις πουδιατυπώνονται microε τη microορϕή ερωτήσεων αντί εκείνων που ζητούν να laquoαποδειχθεί ότιraquoώστε να ενθαρρύνεται η συζήτηση στην τάξη σχετικά microε το ρόλο της απόδειξης καιτου αντιπαραδείγmicroατος στην επίλυση προβληmicroάτων

Ελαστικές ενότητεςΟι περισσότερες ενότητες χωρίζονται σε υποενότητες ώστε όταν ο καθηγητής πιέζε-ται από το χρόνο να microπορεί να παραλείψει συγκεκριmicroένες ενότητες ή να τις αϕήσει νατις διαβάσουν microόνοι τους οι ϕοιτητές Ο χωρισmicroός σε υποενότητες βοηθάει τον διδά-σκοντα να χωρίσει σε τmicroήmicroατα microια ενότητα στην περίπτωση που θέλει να αϕιερώσειπερισσότερα από ένα microαθήmicroατα γιrsquo αυτή

Παρουσίαση των αποδεικτικών microεθόδωνΕίναι αναπόϕευκτο οι αποδείξεις και ανασκευές σε αυτό το βιβλίο να ϕαίνονται πολύεύκολες στους καθηγητές Πολλοί ϕοιτητές όmicroως τις βρίσκουν δύσκολες Σε αυτό τοβιβλίο επιχειρώ να δείξω στους ϕοιτητές τον τρόπο σύνταξης και δόmicroησης αποδείξε-ων και ανασκευών περιγράϕοντας τα είδη των προσεγγίσεων που χρησιmicroοποιούν οιmicroαθηmicroατικοί όταν αντιmicroετωπίζουν δύσκολα προβλήmicroατα στην έρευνά τους

Βιβλίο καθηγητήΤο βιβλίο καθηγητή είναι διαθέσιmicroο σε οποιονδήποτε διδάσκει χρησιmicroοποιώντας τοπαρόν βιβλίο Το βιλίο καθηγητή περιέχει προτάσεις για τον τρόπο προσέγγισης τηςύλης κάθε κεϕαλαίου λύσεις για όλες τις ασκήσεις που δεν λύνονται πλήρως στο Πα-ράρτηmicroαΒ διαϕάνειες επαναληπτικό υλικό ιδέες για εργασίες και επιπλέον ασκήσεις

Πρόλογος 15

Τα νέα χαρακτηριστικά της τρίτης έκδοσης

Οι αλλαγές που έγιναν σε αυτή την έκδοση βασίστηκαν σε προτάσεις συναδέλϕων καιάλλων αναγνωστών της πρώτης και της δεύτερης έκδοσης και στη συνεχιζόmicroενη επαϕήmicroε ϕοιτητές microαθηmicroατικών και επιστήmicroης των υπολογιστών

Βελτιωmicroένη παιδαγωγική προσέγγιση

bull Ο αριθmicroός των ασκήσεων αυξήθηκε στις 2500 περίπου Προστέθηκαν περίπου 980νέες ασκήσεις

bull Προστέθηκαν ασκήσεις στα θέmicroατα στα οποία υπήρχε microεγαλύτερη ανάγκη για εξά-σκηση και τροποποιήθηκαν κατάλληλα ώστε να ληϕθούν καλύτερα υπόψη οι δυ-σκολίες των ϕοιτητών

bull Στο Παράρτηmicroα Β προστέθηκαν περισσότερες πλήρεις λύσεις ώστε να βοηθηθούνοι ϕοιτητές στα δύσκολα θέmicroατα

bull Ο τρόπος παρουσίασης των θεmicroάτων επανεξετάστηκε σε όλο το βιβλίο και όπουκρίθηκε σκόπιmicroο αναθεωρήθηκε

bull Έγινε προσεκτική δουλειά για να βελτιωθεί η microορϕή και η παρουσίαση του κειmicroένου

bull Επεκτάθηκαν οι συζητήσεις για ιστορικά θέmicroατα και πρόσϕατα αποτελέσmicroατα καιαυξήθηκαν οι ϕωτογραϕίες των επιστηmicroόνων των οποίων η δουλειά παρουσιάζεταιστο βιβλίο

Λογική

bull Η παρουσίαση των ποσοδεικτών έχει επεκταθεί σηmicroαντικά microε την προσθήκη microιαςνέας ενότητας αϕιερωmicroένης αποκλειστικά στους πολλαπλούς ποσοδείκτες

bull Προστέθηκαν ασκήσεις που χρησιmicroοποιούν τονΚόσmicroο τουTarski ένα υπέροχο παι-δαγωγικό εργαλείο που αναπτύχθηκε από τους Jon Barwise και John Etchemendyτου Πανεπιστηmicroίου του Stanford

bull Προστέθηκαν εϕαρmicroογές για την αναζήτηση στο ∆ιαδίκτυο

bull Απλοποιήθηκαν οι όροι διαϕόρων microορϕών συλλογισmicroών

Εισαγωγή στην απόδειξη

bull Επεκτάθηκαν οι οδηγίες συγγραϕής αποδείξεων

bull Οι περιγραϕές microεθόδων αποδείξεων γράϕτηκαν microε σαϕέστερο τρόπο

bull Οι ασκήσεις έχουν επανελεγχθεί και κάποιες έχουν microεταϕερθεί σε άλλο σηmicroείο ώστενα διευκολυνθεί η κατανόηση από τους ϕοιτητές

Επαγωγή και επανάληψη

bull Βελτιώθηκε η σκιαγράϕηση των αποδείξεων microε microαθηmicroατική επαγωγή

bull Οι υποενότητες της ενότητας των ακολουθιών οργανώθηκαν εκ νέου

bull Οι οmicroάδες ασκήσεων των ενοτήτων της ισχυρής microαθηmicroατικής επαγωγής και της κα-λής διάταξης και των επαγωγικώνεπαναληπτικών ορισmicroών επεκτάθηκαν σηmicroαντι-κά

Θεωρία αριθmicroών

bull Προστέθηκε microια υποενότητα ανοιχτών προβληmicroάτων στη θεωρία αριθmicroών και επε-κτάθηκε η συζήτηση για τις πρόσϕατες εξελίξεις

bull Προστέθηκε microια νέα ενότητα στην αριθmicroητική υπολοίπων και στην κρυπτογραϕίαΠεριλαmicroβάνεται microια συζήτηση για την κρυπτογραϕία RSA το microικρό θεώρηmicroα τουFermat και το κινέζικο θεώρηmicroα υπολοίπου

bull Η συζήτηση για τον έλεγχο αν ένας ακέραιος είναι πρώτος microεταϕέρθηκε αργότεραστο Κεϕάλαιο 3 για να γίνει σαϕής η εξάρτησή του από την έmicromicroεση επιχειρηmicroατο-λογία

16 Πρόλογος

Θεωρία συνόλων

bull ΟΙ ιδιότητες του κενού συνόλου παρουσιάζονται πλέον στην πρώτη ενότητα τουΚεϕαλαίου 5

bull Ηδεύτερη ενότητα του Κεϕαλαίου 5 είναι πλέον αϕιερωmicroένη αποκλειστικά σε απο-δείξεις στοιχείων

bull Οι αλγεβρικές αποδείξεις των συνολοθεωρητικών ιδιοτήτων και η χρήση αντιπαρα-δειγmicroάτων στην ανασκευή ιδιοτήτων συνόλων έχουν microεταϕερθεί στην τρίτη ενότητατου Κεϕαλαίου 5

bull Η παρουσίαση των αλγεβρών Boole έχει επεκταθεί και επισηmicroαίνεται η σχέση ανά-microεσα στις λογικές ισοδυναmicroίες τις ιδιότητες συνόλων και τις άλγεβρες Boole

Συνδυαστική και διακριτές πιθανότητες

bull Προστέθηκαν ασκήσεις στην ενότητα του διωνυmicroικού θεωρήmicroατος

bull Προστέθηκαν δύο νέες ενότητες στις πιθανότητες όπου microεταξύ άλλων καλύπτονταιη αναmicroενόmicroενη τιmicroή η δεσmicroευmicroένη πιθανότητα και η ανεξαρτησία και το θεώρηmicroαBayes

bull Εξηγούνται οι συνδυαστικές πτυχές των διευθύνσεων του διαδικτυακού πρωτοκόλ-λου (Internet Protocol IP)

Συναρτήσεις

bull Οι ασκήσεις για ένα προς ένα και επί συναρτήσεις έχουν βελτιωθεί

bull Έχει επεκταθεί το σύνολο των ασκήσεων στην πληθικότητα microε εϕαρmicroογές στην υ-πολογισιmicroότητα

Αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων

bull Οι Ενότητες 92 και 94 επανεξετάστηκαν και προστέθηκαν οι συmicroβολισmicroοίΘ καιΩ

bull Οι Ενότητες 93 και 95 έχουν αναθεωρηθεί αντίστοιχα microε καλύτερη επεξήγηση τηςέννοιας της διάταξης για έναν αλγόριθmicroο

bull Ηεξέταση της ταξινόmicroησης microε εισαγωγήκαι της ταξινόmicroησης microε επιλογή βελτιώθηκεκαι επεκτάθηκε

Κανονικές εκϕράσεις και αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων

bull Οι προηγούmicroενες διάσπαρτες ενότητες για τις τυπικές γλώσσες και τα αυτόmicroαταπεπερασmicroένων καταστάσεων συνενώθηκαν σε ένα αυτόνοmicroο κεϕάλαιο

bull Προστέθηκε microια νέα ενότητα για τις κανονικές εκϕράσεις καθώς και microια συζήτησηγια τη σχέση ανάmicroεσα στις κανονικές εκϕράσεις και στα αυτόmicroατα πεπερασmicroένωνκαταστάσεων

Ιστοσελίδα

∆ηmicroιουργήθηκε microια ιστοσελίδα γιrsquo αυτό το βιβλίο που περιέχει πληροϕορίες και υλικότόσο για τους ϕοιτητές όσο και για τους διδάσκοντες Περιέχει

bull περιγραϕές και συνδέσmicroους σε πολλές σελίδες στο ∆ιαδίκτυο microε προσβάσιmicroες πλη-ροϕορίες σχετικά microε τα διακριτά microαθηmicroατικά

bull συνδέσmicroους σε microικροεϕαρmicroογές που παρουσιάζουν ή προσϕέρουν εξάσκηση σε θέ-microατα διακριτών microαθηmicroατικών

bull πρόσθετα παραδείγmicroατα και ασκήσεις microε λύσεις

bull οδηγούς επανάληψης για τα κεϕάλαια του βιβλίου

Μια ειδική ενότητα για τους διδάσκοντες περιέχει

bull διαϕάνειες και ηλεκτρονικές διαϕάνειες σε αρχεία τύπου PowerPoint

bull επιπλέον ασκήσεις για εξετάσεις

Πρόλογος 17

Οδηγός για τη χρήση του βιβλίου microε τις λύσεις

Κατά τη συγγραϕή αυτού του βιβλίου προσπάθησα να δώσω αρκετή βοήθεια στους ϕοι-τητές microέσω της παρουσίασης της ύλης των λυmicroένων παραδειγmicroάτων και των λύσεων τωνασκήσεων ώστε να έχουν στη διάθεσή τους ότι χρειάζεται για την πλήρη κατανόηση τουmicroαθήmicroατος Πιστεύω ότι οι ϕοιτητές που θα ολοκληρώσουν τη microελέτη αυτού του βιβλίουκαι θα κατάϕερουν να λύσουν microόνοι τους όλες τις ασκήσεις που έχουν λυθεί στο Παράρ-τηmicroα Β θα κατανοήσουν πολύ καλά το αντικείmicroενο Όmicroως γνωρίζω ότι κάποιοι ϕοιτητέςθα θέλουν να έχουν πρόσβαση σε επιπλέον βοηθητικό υλικό Γιrsquo αυτόν το λόγο έχω γρά-ψει τον οδηγό λύσεων και microελέτης για το ϕοιτητή που διατίθεται ξεχωριστά από αυτότο βιβλίο και περιέχει τις πλήρεις λύσεις των ασκήσεων οι οποίες δεν είναι πλήρως λυmicroέ-νες στο Παράρτηmicroα Β και που ο αριθmicroός τους διαιρείται microε το 3 Αυτός ο οδηγός περιέχειεναλλακτικές επεξηγήσεις για κάποιες έννοιες και ερωτήσεις επανάληψης για κάθε κεϕά-λαιο

Οργάνωση του βιβλίου

Αυτό το βιβλίο microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί αποτελεσmicroατικά για ένα microάθηmicroα ενός ή δύοεξαmicroήνων Κάθε κεϕάλαιο περιέχει κύριες ενότητες ενότητες microε προαιρετικό υλικό καιενότητες microε προαιρετικές εϕαρmicroογές Οι διδάσκοντες έχουν την άνεση να επιλέξουν ό-ποιο υποσύνολο θεωρούν ότι ταιριάζει καλύτερα microε το microάθηmicroα και τους ϕοιτητές τους Οακόλουθος πίνακας δείχνει τη διαίρεση των ενοτήτων σε κατηγορίες

Ενότητες microε προαιρετικό Ενότητες microε προαιρετικές

Κεϕάλαιο Κύρια ενότητα microαθηmicroατικό υλικό εϕαρmicroογές στους υπολογιστές

1 11ndash13 14 15

2 21ndash24 22 23 23

3 31ndash34 36 35 37 38

4 41ndash42 43ndash44 45

5 51 52ndash54 54

6 61ndash64 65ndash69 63

7 71ndash72 73ndash75 71 72 75

8 81 82 83 84 84

9 91 92 94 93 95

10 101ndash103 104 105 104 105

11 111 115 112 113 114 111 112 115 116

12 121 122 123 121ndash123

Το δενδροειδές διάγραmicromicroα που ακολουθεί δείχνει κατά προσέγγιση την αλληλοεξάρ-τηση των κεϕαλαίων Τα κεϕάλαια που βρίσκονται σε διαϕορετικά κλαδιά του δέντρουείναι αρκετά ανεξάρτητα ώστε οι διδάσκοντες να microη χρειάζεται να κάνουν σηmicroαντικέςπροσαρmicroογές αν τα προσπεράσουν και απλώς ακολουθήσουν τις διαδροmicroές κατά microήκοςτων κλαδιών του δέντρου

18 Πρόλογος

1

2

33

4

8

12dagger

11

5

7

9

6 10

lowast dagger

Ευχαριστίες

Χρωστάω ένα microεγάλο ευχαριστώ σε πολλούς ανθρώπους στο Πανεπιστήmicroιο του DePaulγια την υποστήριξή τους όλα αυτά τα χρόνια που δούλευα πάνω στις εκδόσεις αυτού τουβιβλίου Κάποιοι συνάδελϕοι χρησιmicroοποίησαν πρώιmicroες microορϕές και προηγούmicroενες εκδό-σεις του βιβλίου και microου έκαναν εξαιρετικά σχόλια για βελτιώσεις Γιrsquo αυτό ευχαριστώτους Louis Aquila J Marshall Ash Allan Berele Jerey Bergen William Chin BarbaraCortzen Constantine Georgakis Sigrun Goes Jerry Goldman Lawrence Gluck LeonidKrop CarolynNarasimhanWalter Pranger Eric Rieders Ayse Sahin Yuen-FatWong καιειδικότερα την Jeanne LaDuke Οι χιλιάδες ϕοιτητές στους οποίους δίδαξα διακριτά microα-θηmicroατικά είχαν σηmicroαντικότατη επίδραση στη microορϕή του βιβλίου Μοιράζοντας τις σκέ-ψεις τους και τους τρόπους σκέψης τους microαζί microου microε δίδαξαν πώς να διδάσκω καλύτε-ρα Τους οϕείλω ευγνωmicroοσύνη για τη βοήθειά τους Ιδιαίτερες ευχαριστίες οϕείλω στηδιοίκηση του Πανεπιστηmicroίου τουDePaul ιδιαίτερα στον ΚοσmicroήτοραMichael Mezey καιστον πρώην Κοσmicroήτορα Richard Meister που θεώρησαν αξιόλογη ακαδηmicroαϊκή εργασίατη συγγραϕή αυτού του βιβλίου

Ευχαριστώ τους διορθωτές για τις πολύτιmicroες παρατηρήσεις τους γιrsquo αυτή την έκδοσητου βιβλίου τους Pablo Echeverria του Camden County College William Gasarch τουUniversity of Maryland Joseph Kolibal του University of Southern Mississippi Benny Loτου International Technological University George Luger του University of New MexicoNorman Richert τουUniversity of Houston-Clear Lake PeterWilliams τουCalifornia Sta-te University at San Bernardino και τον Jay Zimmerman του Towson University Για τηβοήθειά τους στην πρώτη και δεύτερη έκδοση αυτού του βιβλίου είmicroαι ευγνώmicroων στουςItshak Borosh Texas A ampMUniversity Douglas M Campbell Brigham Young UniversityDavid G Cantor University of California at Los Angeles C Patrick Collier Universityof Wisconsin-Oshkosh Kevan H Croteau Francis Marion University Irinel Drogan Uni-versity of Texas at Arlington Henry A Etlinger Rochester Institute of Technology MelvinJ Friske Wisconsin Lutheran College Ladnor Geissinger University of North CarolinaJerrold R Griggs University of South Carolina Nancy Baxter Hastings Dickinson Colle-ge Lillian Hupert Loyola University Chicago Leonard T Malinowski Finger Lakes Com-munity College John F Morrison Towson State Unviersity Paul Pederson University ofDenver George Peck Arizona State University Roxy Peck California Polytechnic StateUniversity San Luis Obispo Dix Pettey University of Missouri Anthony Ralston State U-niversity of NewYork at Bualo John Roberts University of Louisville καιGeorge Schultz

lowastΟι διδάσκοντες που προτιmicroούν να ορίσουν τη συνάρτηση ως διmicroελή σχέση microπορούν να καλύψουντην Ενότητα 101 πριν την Ενότητα 71daggerΗ Ενότητα 103 χρειάζεται για την Ενότητα 123 αλλά όχι για τις Ενότητες 121 και 122

Πρόλογος 19

St Petersburg Junior College Clearwater Πολλές ευχαριστίες οϕείλω επίσης στους JohnCarroll San Diego State University Dr Joseph S Fulda και Porter G Webster Universityof Southern Mississippi για την απίστευτη επιmicroέλειά τους και την ενθάρρυνση που microουέδωσαν

Επίσης ωϕελήθηκα πάρα πολύ από τις παρατηρήσεις πολλών διδασκόντων που microουπρόσϕεραν γενναιόδωρα τις ιδέες τους για βελτιώσεις βασισmicroένες στις εmicroπειρίες τους α-πό τις προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Είmicroαι ιδιαίτερα ευγνώmicroων στους GoldstinePennsylvania State University David Hecker St Josephrsquos University Tom Jenkyns BrockUniversity Robert Messer Albion College Piotr Rudnicki University of Alberta AnwarShiek Dineacute College Norton Starr Amherst College Είχα επίσης εξαίρετη βοήθεια απότους John Banks Christopher Novak DePaul University και Ian Crewe Ascension Colle-giate School κατά τη διάρκεια της παραγωγής του βιβλίου

Χρωστώ ευγνωmicroοσύνη σε πολλούς ανθρώπους στις εταιρείες Wadsworth and Bro-oksCole Publishing ιδιαίτερα τον εκδότη microου Robert Pirtle για την ικανότητά του ναπραγmicroατοποιεί καλά πράγmicroατα ως δια microαγείας τους προηγούmicroενους εκδότες microου Hea-ther Bennett και Barbara Holland για την ενθάρρυνση και τον ενθουσιασmicroό τους και τηδιευθύντρια παραγωγής Janet Hill για την κατανόησή της και την προθυmicroία της να microουεπιτρέψει να έχω ρόλο σε όλα τα στάδια της παραγωγής ∆εν microπορώ να ϕανταστώ κα-λύτερη διευθύντρια παραγωγής από τη Martha Emry της οποίας τα υψηλής ποιότηταςπρότυπα και η προσοχή της στις λεπτοmicroέρειες ήταν πάντα εmicroπνευσmicroένες Ο σχεδιασmicroόςτης Kathleen Cunningham και η ϕωτοσύνθεση από την Techsetters Inc θα εκτιmicroηθούναπό όλους τους αναγνώστες του βιβλίου

Όσο microεγαλώνω τόσο συνειδητοποιώ το τεράστιο χρέος που οϕείλω στους δικούς microουδασκάλους των microαθηmicroατικών που διαmicroόρϕωσαν τον τρόπο microε τον οποίο βλέπω το αντι-κείmicroενο Τα πρώτα microου ευχαριστώ πρέπει να πάνε στο σύζυγό microουHelmut Epp ο οποίοςσε ένα ραντεβού όταν ακόmicroα ήmicroουν στο Γυmicroνάσιο () microε εισήγαγε στη δύναmicroη και τηνοmicroορϕιά των αξιωmicroάτων των microαθηmicroατικών και την άποψη ότι τα microαθηmicroατικά είναι ένααντικείmicroενο τόσο microε ιδέες όσο και microε τύπους και τεχνικές Όσον αϕορά την εκπαίδευ-σή microου είmicroαι ευγνώmicroων στους Daniel Zelinsky και Ky Fan του Northwestern Universityκαι Izaak Wirszup I N Herstein και Irving Kaplansky του University of Chicago που ό-λοι τους ο καθένας microε το δικό του τρόπο microε βοήθησαν να εκτιmicroήσω την κοmicroψότητα καιαυστηρότητα των microαθηmicroατικών αλλά και τη συγκίνηση που προκαλούν

Στην οικογένειά microου χρωστάω ευχαριστίες πέρα από κάθε όριο Είmicroαι ευγνώmicroων στηmicroητέρα microου που το ευγενικό ενδιαϕέρον της για τα έργα της ανθρώπινης διανόησης microεέβαλαν πριν πολλά χρόνια στο δρόmicroο που οδήγησε σε αυτό το βιβλίο και στον εκλιπόνταπατέρα microου που η αϕοσίωσή του στα βιβλία ήταν σταθερή πηγή έmicroπνευσης Ευχαριστώ ταπαιδιά microου και τα εγγόνια microου για την αγάπη τους και την αποδοχή των απαιτήσεων πουεπέβαλλε η συγγραϕή αυτού του βιβλίου στη ζωή microου Και περισσότερο από κάθε άλλονείναι ευγνώmicroωνστο σύζυγό microου που για πολλά χρόνια microε ενθάρρυνε microε την πίστη του στηναξία αυτής της εργασίας και microε υποστήριξε microε την αγάπη του και τις σοϕές συmicroβουλές του

Susanna Epp

236 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

62 Υποθέστε ότι το a[1] a[2] a[3] a[m] είναι διάνυσmicroακαι θεωρήστε το ακόλουθο τmicroήmicroα αλγορίθmicroου

sum ∶= 0for k ∶= 1 to m

sum ∶= sum + a[k]next k

Συmicroπληρώστε τα κενά παρακάτω ώστε κάθε τmicroήmicroα του αλ-γορίθmicroου να κάνει την ίδια δουλειά microε το παραπάνω

α sum ∶= 0for i ∶= 0 to

sum ∶=next i

β sum ∶= 0for j ∶= 2 to

sum ∶=next j

Χρησιmicroοποιήστε διαδοχικές διαιρέσεις microε το 2 για να microετατρέ-ψετε (microε το χέρι) τους ακεραίους των Ασκήσεων 63ndash65 από τηβάση 10 στη βάση 2

63 90 64 98 65 205

Κατασκευάστε έναν πίνακα για να καταγράψετε όλα τα βήmicroατατου Αλγορίθmicroου 411 microε είσοδο τις Ασκήσεις 66ndash68

66 23 67 28 68 44

69 Γράψτε microια microη τυπική περιγραϕή αλγορίθmicroου (χρησιmicroοποιώ-ντας διαδοχικές διαιρέσεις microε το 16) για να microετατρέψετε έναmicroη αρνητικό ακέραιο από το δεκαδικό στο δεκαεξαδικό σύ-στηmicroα (microε βάση το 16)

Χρησιmicroοποιήστε τον αλγόριθmicroο που αναπτύξατε για την Άσκη-ση 69 για να microετατρέψετε τους ακεραίους των Ασκήσεων 70ndash72στο δεκαεξαδικό σύστηmicroα

70 287 71 693 72 2301

73 Γράψτε microια τυπική περιγραϕή του αλγορίθmicroου που αναπτύ-ξατε στην Άσκηση 69

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι

[Η microαϑηmicroατιϰή επαγωγή είναι] η συνήϑης αποδειϰτιϰή τεχνιϰή στην επιστήmicroη τωνυπολογιστών

mdashAnthony Ralston 1984

Ηmicroαθηmicroατική επαγωγή είναι microία από τις πιο πρόσϕατα ανεπτυγmicroένες αποδεικτικές microεθό-δους στην ιστορία των microαθηmicroατικών Χρησιmicroοποιείται για την επαλήθευση εικασιών πουαϕορούν σε αποτελέσmicroατα διαδικασιών που εmicroϕανίζονται κατrsquo επανάληψη και σύmicroϕωναmicroε καθορισmicroένα microοτίβα Θα παρουσιάσουmicroε αυτή την τεχνική microε ένα παράδειγmicroα

Μερικοί ισχυρίζονται ότι το λεπτό του αmicroερικάνικου δολαρίου είναι τόσο microικρό νόmicroι-σmicroα ώστε πρέπει να αποσυρθεί Λένε ότι αν πέσει από τα χέρια κάποιου αυτός σπανίως θασκύψει να το πάρει Άλλοι ισχυρίζονται ότι αν αποσυρθεί το λεπτό θα υπάρχουν προβλή-microατα microε την ευελιξία στον καθορισmicroό των τιmicroών των αγαθών Ποιες τιmicroές θα microπορούσαννα εξοϕληθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο στην περίπτωση απόσυρσης του λεπτού και αντι-κατάστασής του microε ένα νόmicroισmicroα αξίας 3cent Η απάντηση είναι ότι οι microόνες τιmicroές που δενθα microπορούσαν να πληρωθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο είναι οι 1cent 2cent 4cent και 7cent Με άλλαλόγια

Μπορούmicroε να πάρουmicroε οποιονδήποτε ακέραιο αριθmicroό τουλάχιστον8 λεπτών χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα των 3cent και 5cent

Ποιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 microπορούmicroε να πάρουmicroεn λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5cent

Ακόmicroα πιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 η P(n) είναι αληθής όπου P(n) είναι η πρότασηlaquomicroπορούmicroε να πάρουmicroε n λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5centraquo

Θα microπορούσατε να ελέγξετε ότι η P(n) είναι αληθής για λίγες συγκεκριmicroένες τιmicroές του nόπως κάνουmicroε στον παρακάτω πίνακα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 237

Αριθmicroός λεπτών Πώς λαmicroβάνεται

8cent 3cent + 5cent

9cent 3cent + 3cent + 3cent

10cent 5cent + 5cent

11cent 3cent + 3cent + 5cent

12cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent

13cent 3cent + 5cent + 5cent

14cent 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

15cent 5cent + 5cent + 5cent

16cent 3cent + 3cent + 5cent + 5cent

17cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

Οι περιπτώσεις που ϕαίνονται στον πίνακα microας δίνουν επαγωγικού τύπου στοιχείαγια να υποστηρίξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλα τα n Πράγmicroατι η P(n) είναι αλη-ϑής για όλα τα n ge 8 αν ϰαι microόνο αν είναι εϕιϰτό να συνεχίσουmicroε να συmicroπληρώνουmicroε τονπίναϰα για οσοδήποτε microεγάλες τιmicroές του n

Η k γραmicromicroή του πίνακα δίνει πληροϕορίες για το πώς θα πάρουmicroε kcent χρησιmicroοποιώ-ντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent Για να συνεχίσουmicroε τον πίνακα στην επόmicroενη γραmicromicroήπρέπει να δώσουmicroε οδηγίες για το πώς θα υπολογιστούν τα (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και 5cent Το microυστικό είναι να παρατηρήσουmicroε πρώτα ότι αν microπορούmicroε ναυπολογίσουmicroε kcent χρησιmicroοποιώντας τουλάχιστον ένα κέρmicroα των 5cent τότε microπορούmicroε να υ-πολογίσουmicroε (k + 1)cent αντικαθιστώντας το κέρmicroα των 5cent microε δύο κέρmicroατα των 3cent όπωςϕαίνεται στο Σχήmicroα 421

kcent (k + 1)cent

3cent 3cent5cent

Αντικατάσταση ενός κέρματος των 5cent με δύο

κέρματα των 3cent

Αφαίρεση Προσθήκη

Σχήmicroα 421

Αν από την άλλη microεριά τα kcent λαmicroβάνονται χωρίς χρήση του κέρmicroατος των 5cent τότεχρησιmicroοποιούνται microόνο κέρmicroατα των 3cent Και αϕού το σύνολο είναι τουλάχιστον 8cent πρέπεινα περιλαmicroβάνονται τρία ή περισσότερα κέρmicroατα των 3cent Για να πάρουmicroε ένα σύνολο(k + 1)cent microπορούmicroε να αντικαταστήσουmicroε τρία από τα κέρmicroατα των 3cent microε δύο των 5centόπως ϕαίνεται στο Σχήmicroα 422 της επόmicroενης σελίδας

Η δοmicroή του παραπάνω επιχειρήmicroατος microπορεί να περιγραϕεί συνοπτικά ως εξής Γιανα δείξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8 (1) δείχνουmicroε ότι ηP(8) είναι αληθής και (2) δείχνουmicroε ότι η αλήθεια της P(k + 1) προκύπτει απαραίτητααπό την αλήθεια της P(k) για κάθε k ge 8 Κάθε επιχείρηmicroα αυτής της microορϕής καλείταιεπιχείρηmicroα microαϑηmicroατιϰής επαγωγής

238 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

5cent

kcent (k + 1)cent

Προσθήκη

kcent (k + 1)cent

5cent

3cent 3cent

3cent

Αντικαθιστούμε τρίακέρματα των 3centμε δύο κέρματα

των 5cent

Αφαίρεση

5cent

Σχήmicroα 422

Η αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής

Έστω ότι η P(n) είναι microια ιδιότητα που ορίζεται για ακεραίους n και έστω ότι οa είναι ένας συγκεκριmicroένος ακέραιος Υποθέτουmicroε ότι οι ακόλουθες δυο προτάσειςείναι αληθείς

1 Η P(a) είναι αληθής2 Για όλους τους ακεραίους k ge a αν η P(k) είναι αληθής τότε και η P(k + 1) είναι

αληθής

Τότε ισχύει η πρότασηγια όλους τους ακεραίους n ge a η P(n) είναι αληθής

Η πρώτη γνωστή καταγεγραmicromicroένη microαθηmicroατική επαγωγή βρίσκεται στα γραπτά τουΙταλού επιστήmicroονα Francesco Maurolico το 1575 Την ίδια τεχνική χρησιmicroοποιούσαν κα-τά το δέκατο έβδοmicroο αιώνα και οι Pierre de Fermat και Blaise Pascal Ο Fermat ονόmicroαζετην επαγωγή laquomicroέθοδο της άπειρης καθόδουraquo (laquomethod of innite descentraquo) Το 1883 οAugustus De Morgan (γνωστός από τους κανόνες De Morgan) περιέγραψε προσεκτικάτη διαδικασία και την ονόmicroασε microαϑηmicroατιϰή επαγωγή

Για να πάρετε microια διαισθητική εικόνα για τη microαθηmicroατική επαγωγή ϕανταστείτε microιαάπειρη συλλογή από ντόmicroινο τοποθετηmicroένα το ένα πίσω από το άλλο microε τέτοιο τρόποώστε αν ένα ντόmicroινο πέσει να ρίξει και το επόmicroενο (∆είτε το Σχήmicroα 423) Φανταστείτετώρα ότι πέϕτει το πρώτο ντόmicroινο Τι θα συmicroβεί Θα πέσουν όλα

12

3

4

kk + 1

Σχήmicroα 423 Όταν πέϕτει το k ντόmicroινο ρίχνει και το (k + 1)

Για να δείτε τη σχέση ανάmicroεσα σε αυτή την εικόνα και την αρχή της microαθηmicroατικήςεπαγωγής υποθέστε ότι η P(n) είναι η πρόταση laquoτο n ντόmicroινο πέϕτειraquo Υποθέτουmicroε ότιγια κάθε k ge 1 αν η P(k) είναι αληθής (το k ντόmicroινο πέϕτει) τότε η P(k + 1) είναι επίσηςαληθής (το (k + 1) ντόmicroινο πέϕτει) Υποθέτουmicroε επίσης ότι η P(1) είναι αληθής (το πρώτοντόmicroινο πέϕτει) Έτσι από την αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής η P(n) (το n ντόmicroινοπέϕτει) είναι αληθής για κάθε n ge 1

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 239

Η ισχύς της απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή θεωρείται αξίωmicroα Γιrsquo αυτόν το λόγοαναϕερόmicroαστε σε αυτή ως αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής αντί ως θεώρηmicroα Είναι ισο-δύναmicroη microε την ακόλουθη ιδιότητα των ακεραίων που εύκολα τη δέχεται κανείς ως αληθήmicroε βάση τη διαίσθησή του

Υποθέτουmicroε ότι το S είναι οποιοδήποτε σύνολο ακεραίων που ικανοποιεί (1) a isin Sκαι (2) για όλους τους ακεραίους k αν k isin S τότε k + 1 isin S Τότε το S πρέπει ναπεριέχει κάθε ακέραιο microεγαλύτερο ή ίσο του a

Για να κατανοήσουmicroε την ισοδυναmicroία των δυο διατυπώσεων απλώς ορίζουmicroε ως S τοσύνολο όλων των ακεραίων για τους οποίους η P(n) είναι αληθής

Η απόδειξη ενός επιχειρήmicroατος microε microαθηmicroατική επαγωγή είναι microια διαδικασία δύο βη-microάτων Το πρώτο βήmicroα λέγεται αρχιϰό βήmicroα ή βήmicroα έναρξης και το δεύτερο επαγωγιϰόβήmicroα

Η microέθοδος απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή

Θεωρήστε microια πρόταση της microορϕής laquoγια όλους τους ακεραίους n ge a η ιδιότηταP(n) είναι αληθήςraquo Για να αποδείξουmicroε microια τέτοια πρόταση ακολουθούmicroε τα παρα-κάτω δύο βήmicroατα

Βήmicroα 1 (αρχικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = a

Βήmicroα 2 (επαγωγικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους k ge a αν η ιδιό-τητα είναι αληθής για n = k τότε είναι αληθής για n = k + 1 Για να πραγmicroα-τοποιήσουmicroε αυτό το βήmicroα

υποθέτουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k όπου k είναιοποιοσδήποτε συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος ακέραιοςmicroε k ge a [Αυτή η υπόϑεση ονοmicroάζεται επαγωγική υπόθεση]

Έτσι

δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k + 1

∆ίνουmicroε εδώ την τυπική απόδειξη για τα κέρmicroατα που διατυπώσαmicroε χωρίς τυπικό τρό-πο προηγουmicroένως

Πρόταση 421

Έστω ότι η P(n) είναι η ιδιότητα laquoncent microπορούν να υπολογιστούν microε κέρmicroατα των 3centκαι 5centraquo Τότε η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8

Απόδειξη

∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 8 Η ιδιότητα είναι αληθής για n = 8 ε-πειδή 8cent = 3cent + 5cent

∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 8 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής ϰαι για n = k + 1 Υποθέτουmicroε ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε kcent χρη-σιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent για κάποιο ακέραιο k ge 8 [Αυτή είναι η ε-παγωγιϰή υπόϑεση]Πρέπει να δείξουmicroε τώρα ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε και (k + 1)centχρησιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και 5cent Αν υπάρχει κέρmicroα των 5cent ανάmicroεσα σε αυτάπου απαρτίζουν τα kcent το αντικαθιστούmicroε microε δύο κέρmicroατα των 3cent το αποτέλεσmicroαθα είναι (k + 1)cent Αν δεν υπάρχει κέρmicroα των 5cent σε αυτά που απαρτίζουν τα kcent τότεπρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 3 κέρmicroατα των 3cent αϕού k ge 8 Αϕαιρούmicroε αυτά τατρία κέρmicroατα των 3cent και τα αντικαθιστούmicroε microε δύο των 5cent το αποτέλεσmicroα θα είναι(k + 1)cent Έτσι σε κάθε περίπτωση microπορούmicroε να πάρουmicroε (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και των 5cent [όπως έπρεπε να δειχϑεί]

240 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Το ακόλουθο παράδειγmicroα δείχνει πώς χρησιmicroοποιούmicroε τη microαθηmicroατική επαγωγή γιανα αποδείξουmicroε έναν τύπο που δίνει το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Παράδειγmicroα 421 Άθροισmicroα των n πρώτων ακεραίων

Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να αποδείξετε ότι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2για όλους τους ακεραίους n ge 1

Λύση Για να κατασκευάσετε microια απόδειξη microε επαγωγή πρέπει πρώτα να βρείτε ποια είναι ηιδιότητα P(n) Σε αυτή την περίπτωση η P(n) είναι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2 larr η ιδιότητα (P(n))

[Για να δείτε ότι η P(n) είναι microια πρόταση παρατηρήστε ότι το αντιϰείmicroενό της είναι laquoτοάϑροισmicroα των αϰεραίων από το 1 microέχρι το nraquo ϰαι το ρήmicroα της είναι το laquoισούταιraquo]

Στο αρχικό βήmicroα της απόδειξης πρέπει να δείξετε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 1ή microε άλλα λόγια ότι η P(1) είναι αληθής Τώρα για να βρούmicroε την P(1) αντικαθιστούmicroε1 στη θέση του n στην P(n) Το αριστερό σκέλος της P(1) είναι το άθροισmicroα όλων τωνδιαδοχικών ακεραίων που ξεκινούν microε το 1 και τελειώνουν στο 1 Αυτό είναι απλώς το 1Έτσι η P(1) είναι η

1 =1(1 + 1)

2 larr αρχική (P(1))

Φυσικά αυτή η εξίσωση είναι αληθής διότι το δεξιό σκέλος είναι

1(1 + 1)2

=1 sdot 2

2= 1

που ισούται microε το αριστερό σκέλοςΣτο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής για κάποιον ακέραιο k microε

k ge 1 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση] Πρέπει τώρα να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναιαληθής Ποιες είναι οι P(k) και P(k + 1) Για να βρούmicroε την P(k) αντικαθιστούmicroε k στηθέση κάθε n στην P(n) Έτσι η P(k) είναι η

1 + 2 +⋯+ k =k(k + 1)

2 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Παρόmicroοια για να βρούmicroε την P(k + 1) αντικαθιστούmicroε κάθε n της P(n) microε την ποσότητα(k + 1) Έτσι η P(k + 1) είναι1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2

ή ισοδύναmicroα

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

larr να δειχθεί η (P(k + 1))

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 241

Τώρα η επαγωγική υπόθεση είναι ότι η P(k) είναι αληθής Πώς microπορούmicroε να χρησι-microοποιήσουmicroε αυτή την υπόθεση για να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής Η P(k + 1)είναι microια εξίσωση και η αλήθεια microιας εξίσωσης microπορεί να δειχθεί microε διάϕορους τρόπουςΈνας από τους πιο άmicroεσους είναι να microετασχηmicroατίσουmicroε το αριστερό σκέλος στο δεξιόχρησιmicroοποιώντας άλγεβρα και άλλους γνωστούς κανόνες και έγκυρες υποθέσεις microεταξύτων οποίων και την επαγωγική υπόθεση Σε αυτή την περίπτωση το αριστερό σκέλος τηςP(k + 1) είναι

1 + 2 +⋯+ (k + 1)που ισούται microε

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) προσδιορισmicroός του προτελευταίουόρου και οmicroαδοποίηση

Αλλά microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1)=k(k + 1)

2+ (k + 1) αϕού η επαγωγική υπόθεση λέει

ότι 1 + 2 +⋯ + k =k(k + 1)

2

Τώρα χρησιmicroοποιούmicroε άλγεβρα για να δείξουmicroε ότι αυτή η έκϕραση ισούται microε το δεξιόσκέλος της P(k + 1)

k(k + 1)2

+ (k + 1)

=k(k + 1)

2+2(k + 1)

2

πολλαπλασιάζουmicroε αριθmicroητή και πα-ρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε το2 για να πάρουmicroε κοινό παρονοmicroα-στή

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2microε πρόσθεση κλασmicroάτων

=(k + 2)(k + 1)

2βγάζουmicroε κοινό παράγοντα το (k + 1)

=(k + 1)(k + 2)

2υπολογίζουmicroε τους παράγοντες(k + 1) και (k + 2)

που ισούται microε το δεξιό σκέλος της P(k + 1)Συνοψίζουmicroε την παραπάνω ανάλυση ως εξής

Θεώρηmicroα 422 Άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Για όλους τους ακεραίους n ge 1

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2

Απόδειξη (microε microαθηmicroατική επαγωγή)

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση 1 + 2 +⋯+ n = n(n + 1)2

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1 Για να δείξουmicroε την ιδιότητα για

n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 =1(1 + 1)

2 Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης

είναι 1 και το δεξιό είναι1(1 + 1)

2=2

2= 1 και αυτό Άρα η ιδιότητα είναι αληθής για

n = 1συνεχίζεται στην επόmicroενη σελίδα

242 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2είναι αληϑής για ϰάποιον

αϰέραιο k ge 1 στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ k =

k(k + 1)2

για κάποιον ακέραιο k ge 1

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =

n(n + 1)2

είναι αληϑής όταν

αντιϰαταστήσουmicroε το k + 1 στη ϑέση του n]Πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2 ή ισοδύναmicroα ότι

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

421

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος της εξίσωσης (421) ισούται microε το δεξιόσϰέλος]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (421) είναι το

1 + 2 +⋯+ (k + 1)= (1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) Ο προτελευταίος όρος είναι ο k γιατί οι όροι

είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ο τελευταίος εί-ναι ο k + 1

=k(k + 1)

2+ (k + 1) microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

=k(k + 1)

2+(k + 1) sdot 2

2

=(k + 1)(k + 2)

2

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (421) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού δείξαmicroε ϰαι το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

Λέγεται microια ιστορία για έναν από τους microεγαλύτερους microαθηmicroατικούς όλων των εποχώντον Carl Friedrich Gauss (1777ndash1855) σύmicroϕωνα microε την οποία όταν ήταν microικρό παιδί οδάσκαλος του ζήτησε να προσθέσει τους αριθmicroούς από το 1 microέχρι το 100 Ο δάσκαλοςζήτησε από τους microαθητές να υπολογίσουν το άθροισmicroα ώστε να τους απασχολήσει γιανα microπορέσει εκείνος να διορθώσει γραπτά Αλλά λίγες στιγmicroές αργότερα ο Gauss βρήκετην σωστή απάντηση Είναι περιττό να πούmicroε ότι ο δάσκαλος τα έχασε Πώς microπόρεσε ονεαρός Gauss να υπολογίσει τόσο γρήγορα Τα επόmicroενα χρόνια ο Gauss εξήγησε ότι είχεϕανταστεί τους αριθmicroούς σε ζευγάρια σύmicroϕωνα microε το ακόλουθο σχήmicroα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 243

1 2 3 50 51 98 99 100

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

Το άθροισmicroα κάθε ζεύγους είναι 101 και υπάρχουν 50 ζεύγη άρα το συνολικό άθροισmicroαείναι 50 sdot 101 = 5050

Παράδειγmicroα 422 Εϕαρmicroογές του τύπου του αθροίσmicroατος των πρώτων n ακεραίων

α Βρείτε το 2 + 4 + 6 +⋯+ 500

β Βρείτε το 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50

γ Για οποιονδήποτε ακέραιο h ge 2 βρείτε το 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1)Λύση

α 2 + 4 + 6 +⋯+ 500 = 2 sdot (1 + 2 + 3 +⋯+ 250)= 2 sdot (250 sdot 251

2) εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroα

των πρώτων n ακεραίων για n = 250

= 62750

β 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50 = (1 + 2 + 3 +⋯+ 50) minus (1 + 2 + 3 + 4)=50 sdot 51

2minus 10

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroατων πρώτων n ακεραίων για n = 50

= 1265

γ 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1) = (h minus 1) sdot [(h minus 1) + 1]2

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροι-σmicroα των πρώτων n ακεραίων γιαn = h minus 1

=(h minus 1) sdot h

2αϕού (h minus 1) + 1 = h n

Στο επόmicroενο παράδειγmicroα ζητείται να αποδειχθεί ένας άλλος διάσηmicroος microαθηmicroατικόςτύποςmdashο τύπος του αθροίσmicroατος της γεωmicroετρικής προόδου Σε microια γεωmicroετρικήπρόοδοκάθε όρος ισούται microε τον προηγούmicroενο επί ένα σταθερό παράγοντα Αν ο πρώτος όροςείναι 1 και ο σταθερός παράγοντας είναι r τότε η ακολουθία είναι 1 r r2 r3 rn Το άθροισmicroα των πρώτων n όρων αυτής της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

για όλους τους ακεραίους n ge 0 και τους πραγmicroατικούς αριθmicroούς r που δεν είναι ίσοι microε1 Η αναπτυγmicroένη microορϕή αυτού του τύπου είναι η

r0 + r1 + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

και επειδή r0 = 1 και r1 = r ο τύπος για n ge 1 microπορεί να ξαναγραϕεί ως

1 + r + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

244 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παράδειγmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Αποδείξτε ότιnsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 για κάθε ακέραιο n ge 0 και για όλους τους πραγmicroατικούς

αριθmicroούς r διάϕορους του 1

Λύση Σε αυτό το παράδειγmicroα η ιδιότητα P(n) είναι πάλι microια εξίσωση αν και σε αυτή τηνπερίπτωση περιλαmicroβάνει microια πραγmicroατική microεταβλητή r

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 larr η ιδιότητα (P(n))

Αϕού το r microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός εκτός του 1 ξεκινάmicroε τηναπόδειξη υποθέτοντας ότι ο r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγ-microατικός αριθmicroός διάϕορος του 1 Έπειτα συνεχίζουmicroε την απόδειξη microε microαθηmicroατική επα-γωγή στο n αρχίζοντας microε το n = 0 Στο αρχικό βήmicroα πρέπει να δείξουmicroε ότι η P(0) είναιαληθής δηλαδή να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 0 Οπότε αντικαθιστούmicroε0 για κάθε n στην P(n)

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1 larr αρχική (P(0))

Στο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής δηλαδή υποθέτουmicroε ότι ηιδιότητα είναι αληθής για n = k Οπότε αντικαθιστούmicroε k για κάθε n στην P(n)

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Μετά δείχνουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής δηλαδή δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αλη-θής για n = k + 1 Έτσι αντικαθιστούmicroε k + 1 για κάθε n στην P(n)

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1

ή εναλλακτικά

k+1sumi=0

r i =rk+2 minus 1

r minus 1sdot larr για να δείξουmicroε την (P(k + 1))

Θεώρηmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό r εκτός του 1 και για κάθε ακέραιο n ge 0

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Απόδειξη

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Υποθέτουmicroε ότι το r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγmicroατικόςαριθmicroός διάϕορος του 1 Πρέπει να δείξουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους n ge 0

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 245

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Θα το δείξουmicroε microε microαθηmicroατική επαγωγή στο n

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0 Για n = 0 πρέπει να δείξουmicroε ότι

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1

Το αριστερό σκέλος αυτής της εξίσωσης είναι το r0 = 1 Το δεξιό σκέλος είναι

r1 minus 1

r minus 1=r minus 1

r minus 1= 1

ξανά αϕού r1 = r και r ne 1 [Οπότε η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0]

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 0 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1είναι αληϑής όταν ένας αϰέραιος k ge 0

αντιϰατασταϑεί στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 για k ge 0 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση]

[Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1 422

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος αυτής της εξίσωσης ισούται microε το δεξιό]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (422) είναι το

k+1sumi=0

r i =ksumi=0

r i + rk+1 γράϕουmicroε τον (k + 1) όρο ξεχωριστά απότους πρώτους k όρους

=rk+1 minus 1

r minus 1+ rk+1 microε αντικατάσταση από

την επαγωγική υπόθεση

=rk+1 minus 1

r minus 1+rk+1(r minus 1)

r minus 1

πολλαπλασιάζουmicroε τον αριθmicroητή και τονπαρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε (r minus 1)για να έχουmicroε κοινό παρονοmicroαστή

=(rk+1 minus 1) + rk+1(r minus 1)

r minus 1πρόσθεση κλασmicroάτων

=rk+1 minus 1 + rk+2 minus rk+1

r minus 1πολλαπλασιασmicroός και χρήση του

rk+1 sdot r = rk+1 sdot r1 = rk+2

=rk+2 minus 1

r minus 1διαγραϕή των rk+1

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (4 2 2) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

8 Περιεχόmicroενα

74 Σύνθεση συναρτήσεων 456Ορισmicroοί και παραδείγmicroατα Σύνθεση συναρτήσεων ένα προς ένα Σύνθεση συναρτή-σεων επί

75 Πληθικότητα microε εφαρmicroογές στην υπολογισιmicroότητα 467Ισοδύναmicroες πληθικότητες Αριθmicroήσιmicroα σύνολα Αναζήτηση microεγαλύτερων απείρων Ηδιαδικασία διαγωνιοποίησης του Cantor Εϕαρmicroογή Πληθικότητα και υπολογισιmicroό-τητα

Κεφάλαιο 8 Αναδροmicroικοί ορισmicroοί 481

81 Ακολουθίες που ορίζονται αναδροmicroικά 481Ορισmicroός αναδροmicroικής σχέσης Παραδείγmicroατα ακολουθιών που ορίζονται microε αναδρο-microικό τρόπο Το πλήθος των διαmicroερίσεων ενός συνόλου σε r υποσύνολα

82 Επίλυση αναδροmicroικών σχέσεων microε επαναλήψεις 499Η microέθοδος της επανάληψης Χρήση τύπων για την απλοποίηση λύσεων που προκύ-πτουν microε τη microέθοδο των επαναλήψεων Έλεγχος της ορθότητας ενός τύπου microε microαθη-microατική επαγωγή Εντοπισmicroός σϕάλmicroατος σε έναν τύπο

83 Γραmicromicroικές οmicroογενείς αναδροmicroικές σχέσειςδεύτερου βαθmicroού microε σταθερούς συντελεστές 511Προσδιορισmicroός της τεχνικής επίλυσης αυτών των σχέσεων Η περίπτωση των διακρι-τών ριζών Η περίπτωση της microίας ρίζας

84 Γενικοί αναδροmicroικοί ορισmicroοί 523Αναδροmicroικά ορισmicroένα σύνολα Απόδειξη ιδιοτήτων αναδροmicroικά ορισmicroένων συνόλωνΑναδροmicroικός ορισmicroός του αθροίσmicroατος του γινοmicroένου της ένωσης και της τοmicroήςΑναδροmicroικά ορισmicroένες συναρτήσεις

Κεφάλαιο 9 Ηαποδοτικότητα των αλγορίθmicroων 534

91 Πραγmicroατικές συναρτήσεις microιας πραγmicroατικής microεταβλητήςκαι τα γραφήmicroατά τους 534Γραϕήmicroατα συναρτήσεων Συναρτήσεις δυνάmicroεων Η συνάρτηση κάτω ακέραιου microέ-ρους Σχεδίαση συναρτήσεων που ορίζονται σε σύνολα ακεραίων Το γράϕηmicroα ενόςπολλαπλασίου microιας συνάρτησης Αύξουσες και ϕθίνουσες συναρτήσεις

92 Τα σύmicroβολαOΩ καιΘ 542Ορισmicroοί και γενικές ιδιότητες των συmicroβολισmicroώνOΩ καιΘ Τάξεις συναρτήσεων δυ-νάmicroεων Οι τάξεις των πολυωνυmicroικών συναρτήσεων Τάξεις συναρτήσεων ακέραιωνmicroεταβλητών Επέκταση σε συναρτήσεις που προέρχονται από σύνθεση ρητών δυνά-microεων

93 Εφαρmicroογή Αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων Ι 555Η χρονική αποδοτικότητα ενός αλγορίθmicroου Υπολογισmicroός τάξης απλών αλγορίθmicroωνΟ αλγόριθmicroος σειριακής αναζήτησης Αλγόριθmicroος ταξινόmicroησης microε παρεmicroβολή

Περιεχόmicroενα 9

94 Εκθετικές και λογαριθmicroικές συναρτήσεις Γραφήmicroατα και τάξεις 568Γραϕήmicroατα εκθετικών και λογαριθmicroικών συναρτήσεων Εϕαρmicroογή Το πλήθος τωνδυαδικών ψηϕίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση ενός ακεραίου σε δυαδικήmicroορϕή Εϕαρmicroογή Χρήση λογαρίθmicroων για την επίλυση αναδροmicroικών σχέσεων Εκ-θετικές και λογαριθmicroικές τάξεις

95 Εφαρmicroογή Αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων ΙΙ 581Αλγόριθmicroοι laquoδιαίρει και βασίλευεraquo Η αποδοτικότητα του αλγορίθmicroου δυαδικής ανα-ζήτησης Ταξινόmicroηση microε συγχώνευση Ανιχνεύσιmicroα και microη ανιχνεύσιmicroα προβλήmicroαταΈνα τελικό σχόλιο σχετικά microε την αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων

Κεφάλαιο 10 Σχέσεις 596

101 Σχέσεις σε σύνολα 596Ορισmicroός διmicroελούς σχέσης Το διάγραmicromicroα microιας σχέσης Σχέσεις και συναρτήσεις Ηαντίστροϕη microιας σχέσης Το κατευθυνόmicroενο γράϕηmicroα microιας σχέσης Ν-microελείς σχέσειςκαι σχεσιακές βάσεις δεδοmicroένων

102 Ανακλαστικότητα συmicromicroετρία και microεταβατικότητα 609Οι ιδιότητες ανακλαστικότητας συmicromicroετρίας και microεταβατικότητας Η microεταβατικήκλειστότητα microιας σχέσης Ιδιότητες των σχέσεων σε άπειρα σύνολα

103 Σχέσεις ισοδυναmicroίας 619Η σχέση που επάγεται από microια διαmicroέριση Ορισmicroός της σχέσης ισοδυναmicroίας Κλάσειςισοδυναmicroίας microιας σχέσης ισοδυναmicroίας

104 Η αριθmicroητική των υπολοίπων microε εφαρmicroογές στην κρυπτογραφία 636Ιδιότητες της ισοτιmicroίας modulo n Αριθmicroητική των υπολοίπων Προσδιορισmicroός τουαντιστρόϕουmodulo n Το λήmicromicroα του Ευκλείδη Το microικρό θεώρηmicroα του Fermat καιτο κινέζικο θεώρηmicroα υπολοίπου Γιατί είναι αποτελεσmicroατικός ο κώδικας RSA

105 Σχέσεις microερικής διάταξης 657Αντισυmicromicroετρία Σχέσεις microερικής διάταξης Λεξικογραϕική σειρά ∆ιαγράmicromicroαταHasseΜερικώς και ολικώς διατεταγmicroένα σύνολα Τοπολογική ταξινόmicroηση Μια εϕαρmicroογήPERT και CPM

Κεφάλαιο 11 Γραφήmicroατα και δέντρα 675

111 Γραφήmicroατα Εισαγωγή 675Βασική ορολογία και παραδείγmicroατα Ειδικά γραϕήmicroατα Η έννοια του βαθmicroού

112 Μονοπάτια και κυκλώmicroατα 691Ορισmicroοί Κυκλώmicroατα Euler Χαmicroιλτονιανά κυκλώmicroατα

113 Αναπαράσταση των γραφηmicroάτων microε πίνακες 710Πίνακες Πίνακες και κατευθυνόmicroενα γραϕήmicroατα Πίνακες και (microη κατευθυνόmicroενα)γραϕήmicroατα Πίνακες και συνεκτικές συνιστώσες Πολλαπλασιασmicroός πινάκων Υπο-λογισmicroός περιπάτων microήκους Ν

10 Περιεχόmicroενα

114 Ισοmicroορφισmicroοί γραφηmicroάτων 724Ορισmicroός ισοmicroορϕισmicroού γραϕηmicroάτωνκαι παραδείγmicroατα Ισοmicroορϕικά αναλλοίωτες πο-σότητες Ισοmicroορϕισmicroός γραϕηmicroάτων για απλά γραϕήmicroατα

115 ∆έντρα 732Ορισmicroοί και παραδείγmicroατα δέντρων Χαρακτηρισmicroός δέντρων ∆έντρα microε ρίζα ∆υα-δικά δέντρα

116 ∆έντρα επικάλυψης 750Ορισmicroός δέντρου επικάλυψης Ελάχιστα δέντρα επικάλυψης Ο αλγόριθmicroος του Kru-skal Ο αλγόριθmicroος του Prim

Κεφάλαιο 12 Κανονικές εκφράσεις και πεπερασmicroένα αυτόmicroατα 761

121 Τυπικές γλώσσες και κανονικές εκφράσεις 762Ορισmicroοί και παραδείγmicroατα τυπικών γλωσσών και κανονικών εκϕράσεων Πρακτικέςχρήσεις των κανονικών εκϕράσεων

122 Αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων 773Ορισmicroός του αυτοmicroάτου πεπερασmicroένων καταστάσεωνΗ γλώσσα που αποδέχεται ένααυτόmicroατο Η συνάρτηση καταληκτικής κατάστασης Σχεδίαση ενός αυτοmicroάτου πεπε-ρασmicroένων καταστάσεων Προσοmicroοίωση αυτοmicroάτου πεπερασmicroένων καταστάσεων microεχρήση λογισmicroικού Αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων και κανονικές εκϕράσειςΚανονικές γλώσσες

123 Απλοποίηση αυτοmicroάτων πεπερασmicroένων καταστάσεων 791lowast ισοδυναmicroία καταστάσεων k ισοδυναmicroία καταστάσεων Προσδιορισmicroός των κλά-σεων της lowast ισοδυναmicroίας Το αυτόmicroατο πηλίκου Κατασκευή του αυτοmicroάτου πηλίκουΙσοδύναmicroα αυτόmicroατα

Παράρτηmicroα Α Ιδιότητες των πραγmicroατικών αριθmicroών 805

Παράρτηmicroα Β Λύσεις και υποδείξεις επιλεγmicroένων ασκήσεων 808

Πίνακας συmicroβόλων 921

Ευρετήριο 927

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Ο σκοπός microου microε αυτό το βιβλίο ήταν να δώσω microια σαϕή και προσιτή παρουσίαση τωνδιακριτών microαθηmicroατικών για προπτυχιακούς και microεταπτυχιακούς ϕοιτητές που σπουδά-ζουν επιστήmicroη υπολογιστών microαθηmicroατικά εκπαίδευση στα microαθηmicroατικά και microηχανολογίαΣτόχος του βιβλίου είναι να θέσει τις microαθηmicroατικές βάσεις για microαθήmicroατα της επιστήmicroης τωνυπολογιστών όπως δοmicroές δεδοmicroένων αλγόριθmicroοι θεωρία βάσεων δεδοmicroένων θεωρία αυ-τοmicroάτων και τυπικές γλώσσες σχεδιασmicroός microεταγλωττιστών και κρυπτογραϕία αλλά καιγια microαθήmicroατα microαθηmicroατικών όπως γραmicromicroική και αϕηρηmicroένη άλγεβρα συνδυαστική πι-θανότητες λογική και συνολοθεωρία και θεωρία αριθmicroών Συνδυάζοντας τη θεωρία καιτην πράξη προσπάθησα να δείξω ότι τα microαθηmicroατικά εκτός από το ότι είναι αξιαγάπηταενδιαϕέροντα και όmicroορϕα από microόνα τους έχουν σηmicroαντικές εϕαρmicroογές

Το microόνο προαπαιτούmicroενο είναι ένα καλό υπόβαθρο στην απλή άλγεβρα το microάθηmicroαmicroπορεί να διδαχθεί είτε πριν είτε microετά από ένα microάθηmicroα απειροστικού λογισmicroού Προηγού-microενες εκδόσεις του βιβλίου έχουν χρησιmicroοποιηθεί microε επιτυχία σε ιδρύmicroατα της Βόρειαςκαι Νότιας Αmicroερικής της Ευρώπης της Μέσης Ανατολής και της Αυστραλίας

Σύmicroϕωνα microε τις πρόσϕατες προτάσεις του Ινστιτούτου Ηλεκτρολόγων και Ηλεκτρο-νικώνΜηχανικών-Ένωσης Υπολογιστών (Institute for Electrical and Electronic EngineersComputer Society IEEE-CS) και της Ένωσης ΣυσκευώνΥπολογιστών (Association for Co-mputing Machinery ACM) τα διακριτά microαθηmicroατικά πρέπει να αποτελούν το microεγαλύτεροmicroέρος των laquoβασικών γνώσεωνraquo των ϕοιτητών της επιστήmicroης των υπολογιστών ενώ η microε-λέτη του αντικειmicroένου κατά το πρώτο έτος σπουδών τους πρέπει να διαρκεί τουλάχιστονένα εξάmicroηνο ή ακόmicroα και δύο όπου αυτό είναι δυνατόν Αυτό το βιβλίο περιλαmicroβάνει όλατα θέmicroατα που προτείνουν αυτοί οι οργανισmicroοί και microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί αποτελε-σmicroατικά είτε για ένα εξαmicroηνιαίο microάθηmicroα είτε για δύο

Κάποτε τα περισσότερα από τα θέmicroατα των διακριτών microαθηmicroατικών διδάσκονταν microό-νο σε προπτυχιακούς ϕοιτητές κατά το τελευταίο έτος των σπουδών τους Η βασική καιεξαιρετικά ενδιαϕέρουσα πρόκληση της συγγραϕής αυτού του βιβλίου ήταν η εύρεσητου κατάλληλου τρόπου διδασκαλίας αυτών των θεmicroάτων ώστε να γίνουν κατανοητάαπό πρωτοετείς και δευτεροετείς ϕοιτητές Ο τρόπος παρουσίασης αναπτύχθηκε κατάτη διάρκεια microιας microεγάλης περιόδου πειραmicroατισmicroών κατά την οποία οι ϕοιτητές microου ήτανταυτόχρονα από πολλές απόψεις και δάσκαλοί microου Οι ερωτήσεις τους τα σχόλιά τουςκαι τα γραπτά τους microου υποδείκνυαν ποιες έννοιες και τεχνικές τους δυσκόλευαν ενώο τρόπος microε τον οποίο ανταποκρίνονταν στις παρουσιάσεις που τους έκανα microου έδειχνετι ήταν αποτελεσmicroατικό στο χτίσιmicroο της κατανόησης των εννοιών και κινούσε το ενδια-ϕέρον τους Πολλές από τις αλλαγές σε αυτή την έκδοση είναι αποτέλεσmicroα της συνεχούςαλληλεπίδρασης microε τους ϕοιτητές

Τα θέmicroατα ενός microαθήmicroατος διακριτών microαθηmicroατικών

Τα διακριτά microαθηmicroατικά περιγράϕουν διαδικασίες που αποτελούνται από microια ακολουθί-α ξεχωριστών βηmicroάτων Αντίθετα ο απειροστικός λογισmicroός περιγράϕει διαδικασίες πουmicroεταβάλλονται microε συνεχή τρόπο Όπως οι ιδέες του απειροστικού λογισmicroού αποτέλεσαντα θεmicroέλια της επιστήmicroης και της τεχνολογίας κατά τη βιοmicroηχανική επανάσταση έτσι καιοι ιδέες των διακριτών microαθηmicroατικών υποστηρίζουν την επιστήmicroη και την τεχνολογία τηςεποχής των υπολογιστών Τα κύρια θέmicroατα ενός πρώτου microαθήmicroατος διακριτών microαθηmicroα-τικών είναι η λογική και η απόδειξη η επαγωγή και η επανάληψη η συνδυαστική και οιδιακριτές πιθανότητες οι αλγόριθmicroοι και η ανάλυσή τους και οι εϕαρmicroογές στη microοντελο-ποίηση

Λογική και Απόδειξη Ο σπουδαιότερος ίσως στόχος ενός εισαγωγικού microαθήmicroατος σταδιακριτά microαθηmicroατικά είναι να βοηθήσει τους ϕοιτητές να αναπτύξουν την ικανότητα να

12 Πρόλογος

σκέϕτονται αϕηρηmicroένα Αυτό σηmicroαίνει να έχουν τη δυνατότητα να χρησιmicroοποιούν λογικάορθές microορϕές επιχειρηmicroάτων και να αποϕεύγουν κοινά λογικά σϕάλmicroατα να επιχειρηmicroα-τολογούν microε βάση τους ορισmicroούς να χρησιmicroοποιούν ευθεία αλλά και πλάγια επιχειρήmicroαταγια να αποδεικνύουν νέα αποτελέσmicroατα από ήδη γνωστά και να microπορούν να εργάζονταιmicroε συmicroβολικές αναπαραστάσεις σαν να ήταν συγκεκριmicroένα αντικείmicroενα

Επαγωγή και αναδροmicroή Μια ενδιαϕέρουσα εξέλιξη των τελευταίων ετών είναι η εκτί-microηση της δύναmicroης και οmicroορϕιάς της laquoαναδροmicroικής σκέψηςraquo Πρακτικά αυτό σηmicroαίνει ναεξετάσουmicroε ένα πρόβληmicroα υποθέτοντας ότι παρόmicroοια προβλήmicroατα microικρότερης κλίmicroακαςέχουν ήδη λυθεί και να προσπαθούmicroε να συνδυάσουmicroε αυτές τις λύσεις των επιmicroέρουςπροβληmicroάτων για να λύσουmicroε το microεγαλύτερο πρόβληmicroα Αυτή η microέθοδος χρησιmicroοποιεί-ται εκτεταmicroένα στην ανάλυση αλγορίθmicroων όπου αναδροmicroικές σχέσεις που προκύπτουναπό αναδροmicroικού τύπου συλλογισmicroούς δίνουν τύπους που επιβεβαιώνονται microε microαθηmicroα-τική επαγωγή

Συνδυαστική και διακριτές πιθανότητες Η συνδυαστική στα microαθηmicroατικά της απαρίθmicroη-σης της διάταξης αντικειmicroένων και της πιθανότητας είναι η microελέτη των νόmicroων για τιςmicroετρήσεις τυχαίων γεγονότων Η διακριτή πιθανότητα εστιάζει σε καταστάσεις που α-σχολούνται microε διακριτά σύνολα αντικειmicroένων όπως ο προσδιορισmicroός της πιθανότηταςνα έρθει κορώνα συγκεκριmicroένες ϕορές όταν ρίχνουmicroε ένα δίκαιο κέρmicroα αρκετές ϕορές Ε-πιδεξιότητα στη συνδυαστική και τις πιθανότητες χρειάζεται σχεδόν σε κάθε αντικείmicroενοόπου εϕαρmicroόζονται τα microαθηmicroατικά από την οικονοmicroία microέχρι τη βιολογία την επιστήmicroητων υπολογιστών τη χηmicroεία τη ϕυσική και τη διοίκηση επιχειρήσεων

Αλγόριθmicroοι και η ανάλυσή τους Η λέξη αλγόριϑmicroος ήταν γενικά άγνωστη στο microέσο τουεικοστού αιώνα ενώ τώρα είναι microία από τις πρώτες λέξεις που συναντάει κανείς στην ε-πιστήmicroη των υπολογιστών Για να λύσουmicroε ένα πρόβληmicroα microε έναν υπολογιστή είναι απα-ραίτητο να βρούmicroε έναν αλγόριθmicroο ή microια βήmicroα προς βήmicroα ακολουθία οδηγιών τις οποίεςθα ακολουθήσει ο υπολογιστής Ο σχεδιασmicroός ενός αλγορίθmicroου απαιτεί κατανόηση τωνmicroαθηmicroατικών του προβλήmicroατος που πρόκειται να λυθεί Ο προσδιορισmicroός της ορθότηταςή microη ενός αλγορίθmicroου απαιτεί περίπλοκους χειρισmicroούς microε microαθηmicroατική επαγωγή Ο υπο-λογισmicroός του χρόνου ή της microνήmicroης που χρειάζεται ένας αλγόριθmicroος ώστε να microπορεί νασυγκριθεί microε άλλους αλγορίθmicroους που δίνουν την ίδια έξοδο απαιτεί γνώσεις συνδυαστι-κής επαναληπτικών σχέσεων συναρτήσεων και συmicroβολισmicroών O Ω και Θ

∆ιακριτές δοmicroές Οι διακριτές microαθηmicroατικές δοmicroές είναι αϕηρηmicroένες δοmicroές που περιγρά-ϕουν κατηγοριοποιούν και αναδεικνύουν τις κρυϕές σχέσεις microεταξύ διακριτών microαθηmicroα-τικών αντικειmicroένων Οι δοmicroές που microελετάmicroε σε αυτό το βιβλίο είναι τα σύνολα των ακε-ραίων και των ρητών γενικά σύνολα άλγεβρες Boole συναρτήσεις σχέσεις γραϕήmicroατακαι δέντρα τυπικές γλώσσες και κανονικές εκϕράσεις και αυτόmicroατα πεπερασmicroένων κα-ταστάσεων

Εφαρmicroογέςκαιmicroοντελοποίηση Ταmicroαθηmicroατικά αντικείmicroενα γίνονται καλύτερα κατανοη-τά όταν τα εξετάζουmicroε σε microια ποικιλία καταστάσεων και τα χρησιmicroοποιούmicroε για την επί-λυση προβληmicroάτων που συναντώνται σε ένα microεγάλο εύρος εϕαρmicroογών Ένα από τα σπου-δαιότερα microαθήmicroατα των microαθηmicroατικών είναι ότι microας επιτρέπουν να χρησιmicroοποιούmicroε το ίδιοmicroαθηmicroατικό microοντέλο για να λύνουmicroε προβλήmicroατα τα οποία ϕαινοmicroενικά είναι τελείωςανόmicroοια Ένας από τους στόχους αυτού του βιβλίου είναι να δείξει στους ϕοιτητές τηνεκπληκτική πρακτική χρησιmicroότητα microερικών πολύ αϕηρηmicroένων microαθηmicroατικών ιδεών

Ειδικά χαρακτηριστικά αυτού του βιβλίου

Μαθηmicroατική συλλογιστική Το χαρακτηριστικό που κάνει αυτό να βιβλίο να ξεχωρίζει α-πό άλλα βιβλία διακριτών microαθηmicroατικών είναι ότι διδάσκει mdash microε διεξοδικό αλλά εύληπτοτρόπο στους πρωτοετείς και δευτεροετείς ϕοιτητές mdash την κρυϕή λογική και συλλογι-

Πρόλογος 13

στική που αποτελούν τη βάση της microαθηmicroατικής σκέψης Για πολλά χρόνια δίδασκα έναιδιαίτερα διαδραστικό microάθηmicroα microετάβασης στα αϕηρηmicroένα microαθηmicroατικά σε ϕοιτητές τωνmicroαθηmicroατικών και της επιστήmicroης των υπολογιστών Αυτή η εmicroπειρία microου έδειξε ότι αν καιείναι εϕικτό να διδάξεις τους περισσότερους ϕοιτητές να καταλαβαίνουν και να κατα-σκευάζουν σαϕή microαθηmicroατικά επιχειρήmicroατα υπάρχουν κάποια εmicroπόδια που είναι δύσκολονα ξεπεραστούν Για να είναι αποτελεσmicroατικό το βιβλίο ενός τέτοιου microαθήmicroατος πρέπεινα ασχολείται αρκετά microε τις δυσκολίες του ϕοιτητή στη λογική και στη γλώσσα microε άmicroεσοτρόπο Πρέπει επίσης να περιέχει πολλά σαϕή παραδείγmicroατα και ασκήσεις για να δώσει τηδυνατότητα στους ϕοιτητές να αναπτύξουν τα απαραίτητα νοητικά microοντέλα που θα τουςεπιτρέψουν να κατανοήσουν πιο αϕηρηmicroένα προβλήmicroατα Η αντιmicroετώπιση της λογικήςκαι της απόδειξης σε αυτό το βιβλίο συνδυάζει κοινή λογική και αυστηρή προσέγγιση microεένα τρόπο που εξηγεί τα ουσιώδη χωρίς να κουράζει τους ϕοιτητές microε τεχνικές λεπτοmicroέ-ρειες

Ελικοειδής προσέγγιση στην ανάπτυξη των εννοιών Ένας αριθmicroός από έννοιες σε αυτότο βιβλίο εmicroϕανίζεται microε ολοένα και πιο σύνθετες microορϕές στα διαδοχικά κεϕάλαια γιανα βοηθήσει τους ϕοιτητές να αναπτύξουν επίπεδα αϕαίρεσης Για παράδειγmicroα microέχρι νασυναντήσουν το σχετικά προχωρηmicroένο θέmicroα του microικρού θεωρήmicroατος του Fermat και τουκινέζικου θεωρήmicroατος υπολοίπου στην Ενότητα 104 θα έχουν ήδη εισαχθεί στη microαθη-microατική λογική στα Κεϕάλαια 1 και 2 θα έχουν microάθει τις βασικές microεθόδους της απόδειξηςκαι τις έννοιεςmod και div στο Κεϕάλαιο 3 θα έχουν microελετήσει τις διαmicroερίσεις ακεραίωνστο Κεϕάλαιο 5 θα έχουν θεωρήσει τιςmod και div ως συναρτήσεις στο Κεϕάλαιο 7 καιθα έχουν εξοικειωθεί microε τις σχέσεις ισοδυναmicroίας στις Ενότητες 102 και 103 Αυτή η προ-σέγγιση ανακεϕαλαιώνει τα θέmicroατα και αναπτύσσει τη microαθηmicroατική ωριmicroότητα microε ϕυσικότρόπο

Υποστήριξη για τους φοιτητές Οι ϕοιτητές οπωσδήποτε πρέπει να microάθουν πολλά πράγ-microατα microόνοι τους Μαθαίνοντας να microελετούν microόνοι τους κάτι που συχνά είναι δύσκολοπραγmicroατοποιούν ένα σηmicroαντικό βήmicroα προς την εξασϕάλιση microιας επιτυχηmicroένης επαγγελ-microατικής καριέρας Αυτό το βιβλίο διαθέτει ορισmicroένα χαρακτηριστικά που θα βοηθήσουντους ϕοιτητές να microάθουν να διαβάζουν microόνοι τους

Λυmicroένα παραδείγmicroαταΤο βιβλίο περιέχει περισσότερα από 500 λυmicroένα παραδείγmicroατα που είναι γραmicromicroένασε microορϕή εκϕώνησης-λύσης και είναι ανάλογα τόσο σε περιεχόmicroενο όσο και σε δυ-σκολία microε τις ασκήσεις Πολλές λύσεις προβληmicroάτων microε αποδείξεις έχουν γραϕεί σεδύο στάδια πρώτα εξετάζεται ο τρόπος microε τον οποίο είναι δυνατό να πραγmicroατοποιη-θεί η απόδειξη ή η ανασκευή και microετά παρατίθεται η περίληψη της λύσης microέσα σε έναπλαίσιο Αυτός ο τρόπος επιτρέπει στους ϕοιτητές να διαβάσουν το πρόβληmicroα και ανθέλουν να περάσουν κατευθείαν στην περίληψη ή αν δεν κατανοούν την περίληψηνα επιστρέψουν στη συζήτηση Αυτός ο τρόπος εξοικονοmicroεί χρόνο για τους ϕοιτητέςπου ξαναδιαβάζουν το κείmicroενο κατά την προετοιmicroασία τους για τις εξετάσεις

ΑσκήσειςΤο βιβλίο περιέχει περίπου 2500 ασκήσεις Οι ασκήσεις στο τέλος κάθε ενότητας έ-χουν σχεδιαστεί ώστε οι ϕοιτητές διαϕορετικών κλάδων και ποικίλων δυνατοτήτωννα microπορούν να βρούν κάποιες ασκήσεις που θα έχουν τη δυνατότητα να λύσουν σω-στά και κάποιες άλλες που θα τους δυσκολέψουν

Λύσεις ασκήσεωνΤοΠαράρτηmicroα Β περιέχει ένα microεγάλο αριθmicroό πλήρως λυmicroένων ασκήσεων Οι ϕοιτητέςκαλό θα ήταν να συmicroβουλεύονται τις λύσεις αϕού πρώτα έχουν καταβάλει κάθε προ-σπάθεια να λύσουν τις ασκήσεις microόνοι τους Αν προσπαθήσουν πρώτα microόνοι τους καιmicroετά συγκρίνουν τη δική τους λύση microε αυτή που δίνεται θα οδηγηθούν σε καλύτεροεπίπεδο κατανόησης Επιπλέον πολλά προβλήmicroατα συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων microερικώναπό τα πιο δύσκολα δεν έχουν λυθεί πλήρως ή περιλαmicroβάνουν υποδείξεις ώστε οιϕοιτητές να microπορούν να επαληθεύσουν αν ο συλλογισmicroός τους είναι σωστός και να

14 Πρόλογος

κάνουν τις κατάλληλες προσαρmicroογές Επίσης υπάρχουν πολλές ασκήσεις χωρίς λύσηώστε να microάθουν οι ϕοιτητές να ασχολούνται microε προβλήmicroατα σε ρεαλιστικό πλαίσιοεργασίας

Σχήmicroατα και πίνακεςΤα σχήmicroατα και οι πίνακες έχουν προστεθεί σε σηmicroεία που θεωρήσαmicroε ότι θα βοηθή-σουν τον αναγνώστη να κατανοήσει καλύτερα το πρόβληmicroα Στα περισσότερα σχήmicroα-τα γίνεται χρήση και δεύτερου χρώmicroατος για να γίνουν ακόmicroα πιο κατανοητά

ΑναϕορέςΠολλοί ϕοιτητές microού έχουν γράψει ότι το βιβλίο τούς βοήθησε πολύ στα πιο προχω-ρηmicroένα microαθήmicroατα που πήραν στη συνέχεια των σπουδών τους Ένας microου έγραψε ότιχρησιmicroοποίησε την πρώτη έκδοση τόσο πολύ ώστε το βιβλίο διαλύθηκε και αναγκά-στηκε να αγοράσει και τη δεύτερη έκδοση την οποία συνέχισε να χρησιmicroοποιεί καιστο microεταπτυχιακό του Η τακτική microου να τοποθετώ τους ορισmicroούς και τα θεωρήmicroατασε πλαίσια να βάζω τίτλους στις ασκήσεις και να παρέχω λίστες microε τύπους και τις ση-microασίες των συmicroβόλων στα εσώϕυλλα κάνει το βιβλίο εύχρηστο τόσο για microελέτη όσοκαι αργότερα ως βιβλίο αναϕοράς

Υποστήριξη τουκαθηγητή Έχω λάβει πλήθος πολύτιmicroων παρατηρήσεων από καθηγητέςπου έχουν χρησιmicroοποιήσει προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Το βιβλίο έχει βελτιωθείσηmicroαντικά λόγω αυτών των παρατηρήσεων

ΑσκήσειςΗ microεγάλη ποικιλία ασκήσεων όλων των επιπέδων δυσκολίας δίνει στους καθηγητέςmicroεγάλη ελευθερία να οργανώσουν το microάθηmicroά τους ανάλογα microε τις δυνατότητες τωνϕοιτητών τους Οι ασκήσεις microε λύσεις στο τέλος του βιβλίου έχουν γαλάζια αρίθmicroη-ση ενώ εκείνες που οι λύσεις τους παρέχονται σε διαϕορετικό εγχειρίδιο (εγχειρίδιολύσεων) έχουν αριθmicroούς που είναι πολλαπλάσια του τρία Υπάρχουν ασκήσεις κάθετύπου που δεν έχουν απάντηση ούτε σε αυτό το βιβλίο ούτε στο εγχειρίδιο λύσεωνώστε οι καθηγητές να είναι σε θέση να χρησιmicroοποιούν οποιονδήποτε συνδυασmicroό α-σκήσεων microε ή χωρίς λύσεις Ο microεγάλος αριθmicroός ασκήσεων παρέχει στους καθηγητέςσηmicroαντικές δυνατότητες επιλογής προβληmicroάτων για χρήση τόσο σε εξετάσεις όσο καισε επαναληπτικά microαθήmicroατα Οι καθηγητές θα πρέπει να προτιmicroούν τις ασκήσεις πουδιατυπώνονται microε τη microορϕή ερωτήσεων αντί εκείνων που ζητούν να laquoαποδειχθεί ότιraquoώστε να ενθαρρύνεται η συζήτηση στην τάξη σχετικά microε το ρόλο της απόδειξης καιτου αντιπαραδείγmicroατος στην επίλυση προβληmicroάτων

Ελαστικές ενότητεςΟι περισσότερες ενότητες χωρίζονται σε υποενότητες ώστε όταν ο καθηγητής πιέζε-ται από το χρόνο να microπορεί να παραλείψει συγκεκριmicroένες ενότητες ή να τις αϕήσει νατις διαβάσουν microόνοι τους οι ϕοιτητές Ο χωρισmicroός σε υποενότητες βοηθάει τον διδά-σκοντα να χωρίσει σε τmicroήmicroατα microια ενότητα στην περίπτωση που θέλει να αϕιερώσειπερισσότερα από ένα microαθήmicroατα γιrsquo αυτή

Παρουσίαση των αποδεικτικών microεθόδωνΕίναι αναπόϕευκτο οι αποδείξεις και ανασκευές σε αυτό το βιβλίο να ϕαίνονται πολύεύκολες στους καθηγητές Πολλοί ϕοιτητές όmicroως τις βρίσκουν δύσκολες Σε αυτό τοβιβλίο επιχειρώ να δείξω στους ϕοιτητές τον τρόπο σύνταξης και δόmicroησης αποδείξε-ων και ανασκευών περιγράϕοντας τα είδη των προσεγγίσεων που χρησιmicroοποιούν οιmicroαθηmicroατικοί όταν αντιmicroετωπίζουν δύσκολα προβλήmicroατα στην έρευνά τους

Βιβλίο καθηγητήΤο βιβλίο καθηγητή είναι διαθέσιmicroο σε οποιονδήποτε διδάσκει χρησιmicroοποιώντας τοπαρόν βιβλίο Το βιλίο καθηγητή περιέχει προτάσεις για τον τρόπο προσέγγισης τηςύλης κάθε κεϕαλαίου λύσεις για όλες τις ασκήσεις που δεν λύνονται πλήρως στο Πα-ράρτηmicroαΒ διαϕάνειες επαναληπτικό υλικό ιδέες για εργασίες και επιπλέον ασκήσεις

Πρόλογος 15

Τα νέα χαρακτηριστικά της τρίτης έκδοσης

Οι αλλαγές που έγιναν σε αυτή την έκδοση βασίστηκαν σε προτάσεις συναδέλϕων καιάλλων αναγνωστών της πρώτης και της δεύτερης έκδοσης και στη συνεχιζόmicroενη επαϕήmicroε ϕοιτητές microαθηmicroατικών και επιστήmicroης των υπολογιστών

Βελτιωmicroένη παιδαγωγική προσέγγιση

bull Ο αριθmicroός των ασκήσεων αυξήθηκε στις 2500 περίπου Προστέθηκαν περίπου 980νέες ασκήσεις

bull Προστέθηκαν ασκήσεις στα θέmicroατα στα οποία υπήρχε microεγαλύτερη ανάγκη για εξά-σκηση και τροποποιήθηκαν κατάλληλα ώστε να ληϕθούν καλύτερα υπόψη οι δυ-σκολίες των ϕοιτητών

bull Στο Παράρτηmicroα Β προστέθηκαν περισσότερες πλήρεις λύσεις ώστε να βοηθηθούνοι ϕοιτητές στα δύσκολα θέmicroατα

bull Ο τρόπος παρουσίασης των θεmicroάτων επανεξετάστηκε σε όλο το βιβλίο και όπουκρίθηκε σκόπιmicroο αναθεωρήθηκε

bull Έγινε προσεκτική δουλειά για να βελτιωθεί η microορϕή και η παρουσίαση του κειmicroένου

bull Επεκτάθηκαν οι συζητήσεις για ιστορικά θέmicroατα και πρόσϕατα αποτελέσmicroατα καιαυξήθηκαν οι ϕωτογραϕίες των επιστηmicroόνων των οποίων η δουλειά παρουσιάζεταιστο βιβλίο

Λογική

bull Η παρουσίαση των ποσοδεικτών έχει επεκταθεί σηmicroαντικά microε την προσθήκη microιαςνέας ενότητας αϕιερωmicroένης αποκλειστικά στους πολλαπλούς ποσοδείκτες

bull Προστέθηκαν ασκήσεις που χρησιmicroοποιούν τονΚόσmicroο τουTarski ένα υπέροχο παι-δαγωγικό εργαλείο που αναπτύχθηκε από τους Jon Barwise και John Etchemendyτου Πανεπιστηmicroίου του Stanford

bull Προστέθηκαν εϕαρmicroογές για την αναζήτηση στο ∆ιαδίκτυο

bull Απλοποιήθηκαν οι όροι διαϕόρων microορϕών συλλογισmicroών

Εισαγωγή στην απόδειξη

bull Επεκτάθηκαν οι οδηγίες συγγραϕής αποδείξεων

bull Οι περιγραϕές microεθόδων αποδείξεων γράϕτηκαν microε σαϕέστερο τρόπο

bull Οι ασκήσεις έχουν επανελεγχθεί και κάποιες έχουν microεταϕερθεί σε άλλο σηmicroείο ώστενα διευκολυνθεί η κατανόηση από τους ϕοιτητές

Επαγωγή και επανάληψη

bull Βελτιώθηκε η σκιαγράϕηση των αποδείξεων microε microαθηmicroατική επαγωγή

bull Οι υποενότητες της ενότητας των ακολουθιών οργανώθηκαν εκ νέου

bull Οι οmicroάδες ασκήσεων των ενοτήτων της ισχυρής microαθηmicroατικής επαγωγής και της κα-λής διάταξης και των επαγωγικώνεπαναληπτικών ορισmicroών επεκτάθηκαν σηmicroαντι-κά

Θεωρία αριθmicroών

bull Προστέθηκε microια υποενότητα ανοιχτών προβληmicroάτων στη θεωρία αριθmicroών και επε-κτάθηκε η συζήτηση για τις πρόσϕατες εξελίξεις

bull Προστέθηκε microια νέα ενότητα στην αριθmicroητική υπολοίπων και στην κρυπτογραϕίαΠεριλαmicroβάνεται microια συζήτηση για την κρυπτογραϕία RSA το microικρό θεώρηmicroα τουFermat και το κινέζικο θεώρηmicroα υπολοίπου

bull Η συζήτηση για τον έλεγχο αν ένας ακέραιος είναι πρώτος microεταϕέρθηκε αργότεραστο Κεϕάλαιο 3 για να γίνει σαϕής η εξάρτησή του από την έmicromicroεση επιχειρηmicroατο-λογία

16 Πρόλογος

Θεωρία συνόλων

bull ΟΙ ιδιότητες του κενού συνόλου παρουσιάζονται πλέον στην πρώτη ενότητα τουΚεϕαλαίου 5

bull Ηδεύτερη ενότητα του Κεϕαλαίου 5 είναι πλέον αϕιερωmicroένη αποκλειστικά σε απο-δείξεις στοιχείων

bull Οι αλγεβρικές αποδείξεις των συνολοθεωρητικών ιδιοτήτων και η χρήση αντιπαρα-δειγmicroάτων στην ανασκευή ιδιοτήτων συνόλων έχουν microεταϕερθεί στην τρίτη ενότητατου Κεϕαλαίου 5

bull Η παρουσίαση των αλγεβρών Boole έχει επεκταθεί και επισηmicroαίνεται η σχέση ανά-microεσα στις λογικές ισοδυναmicroίες τις ιδιότητες συνόλων και τις άλγεβρες Boole

Συνδυαστική και διακριτές πιθανότητες

bull Προστέθηκαν ασκήσεις στην ενότητα του διωνυmicroικού θεωρήmicroατος

bull Προστέθηκαν δύο νέες ενότητες στις πιθανότητες όπου microεταξύ άλλων καλύπτονταιη αναmicroενόmicroενη τιmicroή η δεσmicroευmicroένη πιθανότητα και η ανεξαρτησία και το θεώρηmicroαBayes

bull Εξηγούνται οι συνδυαστικές πτυχές των διευθύνσεων του διαδικτυακού πρωτοκόλ-λου (Internet Protocol IP)

Συναρτήσεις

bull Οι ασκήσεις για ένα προς ένα και επί συναρτήσεις έχουν βελτιωθεί

bull Έχει επεκταθεί το σύνολο των ασκήσεων στην πληθικότητα microε εϕαρmicroογές στην υ-πολογισιmicroότητα

Αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων

bull Οι Ενότητες 92 και 94 επανεξετάστηκαν και προστέθηκαν οι συmicroβολισmicroοίΘ καιΩ

bull Οι Ενότητες 93 και 95 έχουν αναθεωρηθεί αντίστοιχα microε καλύτερη επεξήγηση τηςέννοιας της διάταξης για έναν αλγόριθmicroο

bull Ηεξέταση της ταξινόmicroησης microε εισαγωγήκαι της ταξινόmicroησης microε επιλογή βελτιώθηκεκαι επεκτάθηκε

Κανονικές εκϕράσεις και αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων

bull Οι προηγούmicroενες διάσπαρτες ενότητες για τις τυπικές γλώσσες και τα αυτόmicroαταπεπερασmicroένων καταστάσεων συνενώθηκαν σε ένα αυτόνοmicroο κεϕάλαιο

bull Προστέθηκε microια νέα ενότητα για τις κανονικές εκϕράσεις καθώς και microια συζήτησηγια τη σχέση ανάmicroεσα στις κανονικές εκϕράσεις και στα αυτόmicroατα πεπερασmicroένωνκαταστάσεων

Ιστοσελίδα

∆ηmicroιουργήθηκε microια ιστοσελίδα γιrsquo αυτό το βιβλίο που περιέχει πληροϕορίες και υλικότόσο για τους ϕοιτητές όσο και για τους διδάσκοντες Περιέχει

bull περιγραϕές και συνδέσmicroους σε πολλές σελίδες στο ∆ιαδίκτυο microε προσβάσιmicroες πλη-ροϕορίες σχετικά microε τα διακριτά microαθηmicroατικά

bull συνδέσmicroους σε microικροεϕαρmicroογές που παρουσιάζουν ή προσϕέρουν εξάσκηση σε θέ-microατα διακριτών microαθηmicroατικών

bull πρόσθετα παραδείγmicroατα και ασκήσεις microε λύσεις

bull οδηγούς επανάληψης για τα κεϕάλαια του βιβλίου

Μια ειδική ενότητα για τους διδάσκοντες περιέχει

bull διαϕάνειες και ηλεκτρονικές διαϕάνειες σε αρχεία τύπου PowerPoint

bull επιπλέον ασκήσεις για εξετάσεις

Πρόλογος 17

Οδηγός για τη χρήση του βιβλίου microε τις λύσεις

Κατά τη συγγραϕή αυτού του βιβλίου προσπάθησα να δώσω αρκετή βοήθεια στους ϕοι-τητές microέσω της παρουσίασης της ύλης των λυmicroένων παραδειγmicroάτων και των λύσεων τωνασκήσεων ώστε να έχουν στη διάθεσή τους ότι χρειάζεται για την πλήρη κατανόηση τουmicroαθήmicroατος Πιστεύω ότι οι ϕοιτητές που θα ολοκληρώσουν τη microελέτη αυτού του βιβλίουκαι θα κατάϕερουν να λύσουν microόνοι τους όλες τις ασκήσεις που έχουν λυθεί στο Παράρ-τηmicroα Β θα κατανοήσουν πολύ καλά το αντικείmicroενο Όmicroως γνωρίζω ότι κάποιοι ϕοιτητέςθα θέλουν να έχουν πρόσβαση σε επιπλέον βοηθητικό υλικό Γιrsquo αυτόν το λόγο έχω γρά-ψει τον οδηγό λύσεων και microελέτης για το ϕοιτητή που διατίθεται ξεχωριστά από αυτότο βιβλίο και περιέχει τις πλήρεις λύσεις των ασκήσεων οι οποίες δεν είναι πλήρως λυmicroέ-νες στο Παράρτηmicroα Β και που ο αριθmicroός τους διαιρείται microε το 3 Αυτός ο οδηγός περιέχειεναλλακτικές επεξηγήσεις για κάποιες έννοιες και ερωτήσεις επανάληψης για κάθε κεϕά-λαιο

Οργάνωση του βιβλίου

Αυτό το βιβλίο microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί αποτελεσmicroατικά για ένα microάθηmicroα ενός ή δύοεξαmicroήνων Κάθε κεϕάλαιο περιέχει κύριες ενότητες ενότητες microε προαιρετικό υλικό καιενότητες microε προαιρετικές εϕαρmicroογές Οι διδάσκοντες έχουν την άνεση να επιλέξουν ό-ποιο υποσύνολο θεωρούν ότι ταιριάζει καλύτερα microε το microάθηmicroα και τους ϕοιτητές τους Οακόλουθος πίνακας δείχνει τη διαίρεση των ενοτήτων σε κατηγορίες

Ενότητες microε προαιρετικό Ενότητες microε προαιρετικές

Κεϕάλαιο Κύρια ενότητα microαθηmicroατικό υλικό εϕαρmicroογές στους υπολογιστές

1 11ndash13 14 15

2 21ndash24 22 23 23

3 31ndash34 36 35 37 38

4 41ndash42 43ndash44 45

5 51 52ndash54 54

6 61ndash64 65ndash69 63

7 71ndash72 73ndash75 71 72 75

8 81 82 83 84 84

9 91 92 94 93 95

10 101ndash103 104 105 104 105

11 111 115 112 113 114 111 112 115 116

12 121 122 123 121ndash123

Το δενδροειδές διάγραmicromicroα που ακολουθεί δείχνει κατά προσέγγιση την αλληλοεξάρ-τηση των κεϕαλαίων Τα κεϕάλαια που βρίσκονται σε διαϕορετικά κλαδιά του δέντρουείναι αρκετά ανεξάρτητα ώστε οι διδάσκοντες να microη χρειάζεται να κάνουν σηmicroαντικέςπροσαρmicroογές αν τα προσπεράσουν και απλώς ακολουθήσουν τις διαδροmicroές κατά microήκοςτων κλαδιών του δέντρου

18 Πρόλογος

1

2

33

4

8

12dagger

11

5

7

9

6 10

lowast dagger

Ευχαριστίες

Χρωστάω ένα microεγάλο ευχαριστώ σε πολλούς ανθρώπους στο Πανεπιστήmicroιο του DePaulγια την υποστήριξή τους όλα αυτά τα χρόνια που δούλευα πάνω στις εκδόσεις αυτού τουβιβλίου Κάποιοι συνάδελϕοι χρησιmicroοποίησαν πρώιmicroες microορϕές και προηγούmicroενες εκδό-σεις του βιβλίου και microου έκαναν εξαιρετικά σχόλια για βελτιώσεις Γιrsquo αυτό ευχαριστώτους Louis Aquila J Marshall Ash Allan Berele Jerey Bergen William Chin BarbaraCortzen Constantine Georgakis Sigrun Goes Jerry Goldman Lawrence Gluck LeonidKrop CarolynNarasimhanWalter Pranger Eric Rieders Ayse Sahin Yuen-FatWong καιειδικότερα την Jeanne LaDuke Οι χιλιάδες ϕοιτητές στους οποίους δίδαξα διακριτά microα-θηmicroατικά είχαν σηmicroαντικότατη επίδραση στη microορϕή του βιβλίου Μοιράζοντας τις σκέ-ψεις τους και τους τρόπους σκέψης τους microαζί microου microε δίδαξαν πώς να διδάσκω καλύτε-ρα Τους οϕείλω ευγνωmicroοσύνη για τη βοήθειά τους Ιδιαίτερες ευχαριστίες οϕείλω στηδιοίκηση του Πανεπιστηmicroίου τουDePaul ιδιαίτερα στον ΚοσmicroήτοραMichael Mezey καιστον πρώην Κοσmicroήτορα Richard Meister που θεώρησαν αξιόλογη ακαδηmicroαϊκή εργασίατη συγγραϕή αυτού του βιβλίου

Ευχαριστώ τους διορθωτές για τις πολύτιmicroες παρατηρήσεις τους γιrsquo αυτή την έκδοσητου βιβλίου τους Pablo Echeverria του Camden County College William Gasarch τουUniversity of Maryland Joseph Kolibal του University of Southern Mississippi Benny Loτου International Technological University George Luger του University of New MexicoNorman Richert τουUniversity of Houston-Clear Lake PeterWilliams τουCalifornia Sta-te University at San Bernardino και τον Jay Zimmerman του Towson University Για τηβοήθειά τους στην πρώτη και δεύτερη έκδοση αυτού του βιβλίου είmicroαι ευγνώmicroων στουςItshak Borosh Texas A ampMUniversity Douglas M Campbell Brigham Young UniversityDavid G Cantor University of California at Los Angeles C Patrick Collier Universityof Wisconsin-Oshkosh Kevan H Croteau Francis Marion University Irinel Drogan Uni-versity of Texas at Arlington Henry A Etlinger Rochester Institute of Technology MelvinJ Friske Wisconsin Lutheran College Ladnor Geissinger University of North CarolinaJerrold R Griggs University of South Carolina Nancy Baxter Hastings Dickinson Colle-ge Lillian Hupert Loyola University Chicago Leonard T Malinowski Finger Lakes Com-munity College John F Morrison Towson State Unviersity Paul Pederson University ofDenver George Peck Arizona State University Roxy Peck California Polytechnic StateUniversity San Luis Obispo Dix Pettey University of Missouri Anthony Ralston State U-niversity of NewYork at Bualo John Roberts University of Louisville καιGeorge Schultz

lowastΟι διδάσκοντες που προτιmicroούν να ορίσουν τη συνάρτηση ως διmicroελή σχέση microπορούν να καλύψουντην Ενότητα 101 πριν την Ενότητα 71daggerΗ Ενότητα 103 χρειάζεται για την Ενότητα 123 αλλά όχι για τις Ενότητες 121 και 122

Πρόλογος 19

St Petersburg Junior College Clearwater Πολλές ευχαριστίες οϕείλω επίσης στους JohnCarroll San Diego State University Dr Joseph S Fulda και Porter G Webster Universityof Southern Mississippi για την απίστευτη επιmicroέλειά τους και την ενθάρρυνση που microουέδωσαν

Επίσης ωϕελήθηκα πάρα πολύ από τις παρατηρήσεις πολλών διδασκόντων που microουπρόσϕεραν γενναιόδωρα τις ιδέες τους για βελτιώσεις βασισmicroένες στις εmicroπειρίες τους α-πό τις προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Είmicroαι ιδιαίτερα ευγνώmicroων στους GoldstinePennsylvania State University David Hecker St Josephrsquos University Tom Jenkyns BrockUniversity Robert Messer Albion College Piotr Rudnicki University of Alberta AnwarShiek Dineacute College Norton Starr Amherst College Είχα επίσης εξαίρετη βοήθεια απότους John Banks Christopher Novak DePaul University και Ian Crewe Ascension Colle-giate School κατά τη διάρκεια της παραγωγής του βιβλίου

Χρωστώ ευγνωmicroοσύνη σε πολλούς ανθρώπους στις εταιρείες Wadsworth and Bro-oksCole Publishing ιδιαίτερα τον εκδότη microου Robert Pirtle για την ικανότητά του ναπραγmicroατοποιεί καλά πράγmicroατα ως δια microαγείας τους προηγούmicroενους εκδότες microου Hea-ther Bennett και Barbara Holland για την ενθάρρυνση και τον ενθουσιασmicroό τους και τηδιευθύντρια παραγωγής Janet Hill για την κατανόησή της και την προθυmicroία της να microουεπιτρέψει να έχω ρόλο σε όλα τα στάδια της παραγωγής ∆εν microπορώ να ϕανταστώ κα-λύτερη διευθύντρια παραγωγής από τη Martha Emry της οποίας τα υψηλής ποιότηταςπρότυπα και η προσοχή της στις λεπτοmicroέρειες ήταν πάντα εmicroπνευσmicroένες Ο σχεδιασmicroόςτης Kathleen Cunningham και η ϕωτοσύνθεση από την Techsetters Inc θα εκτιmicroηθούναπό όλους τους αναγνώστες του βιβλίου

Όσο microεγαλώνω τόσο συνειδητοποιώ το τεράστιο χρέος που οϕείλω στους δικούς microουδασκάλους των microαθηmicroατικών που διαmicroόρϕωσαν τον τρόπο microε τον οποίο βλέπω το αντι-κείmicroενο Τα πρώτα microου ευχαριστώ πρέπει να πάνε στο σύζυγό microουHelmut Epp ο οποίοςσε ένα ραντεβού όταν ακόmicroα ήmicroουν στο Γυmicroνάσιο () microε εισήγαγε στη δύναmicroη και τηνοmicroορϕιά των αξιωmicroάτων των microαθηmicroατικών και την άποψη ότι τα microαθηmicroατικά είναι ένααντικείmicroενο τόσο microε ιδέες όσο και microε τύπους και τεχνικές Όσον αϕορά την εκπαίδευ-σή microου είmicroαι ευγνώmicroων στους Daniel Zelinsky και Ky Fan του Northwestern Universityκαι Izaak Wirszup I N Herstein και Irving Kaplansky του University of Chicago που ό-λοι τους ο καθένας microε το δικό του τρόπο microε βοήθησαν να εκτιmicroήσω την κοmicroψότητα καιαυστηρότητα των microαθηmicroατικών αλλά και τη συγκίνηση που προκαλούν

Στην οικογένειά microου χρωστάω ευχαριστίες πέρα από κάθε όριο Είmicroαι ευγνώmicroων στηmicroητέρα microου που το ευγενικό ενδιαϕέρον της για τα έργα της ανθρώπινης διανόησης microεέβαλαν πριν πολλά χρόνια στο δρόmicroο που οδήγησε σε αυτό το βιβλίο και στον εκλιπόνταπατέρα microου που η αϕοσίωσή του στα βιβλία ήταν σταθερή πηγή έmicroπνευσης Ευχαριστώ ταπαιδιά microου και τα εγγόνια microου για την αγάπη τους και την αποδοχή των απαιτήσεων πουεπέβαλλε η συγγραϕή αυτού του βιβλίου στη ζωή microου Και περισσότερο από κάθε άλλονείναι ευγνώmicroωνστο σύζυγό microου που για πολλά χρόνια microε ενθάρρυνε microε την πίστη του στηναξία αυτής της εργασίας και microε υποστήριξε microε την αγάπη του και τις σοϕές συmicroβουλές του

Susanna Epp

236 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

62 Υποθέστε ότι το a[1] a[2] a[3] a[m] είναι διάνυσmicroακαι θεωρήστε το ακόλουθο τmicroήmicroα αλγορίθmicroου

sum ∶= 0for k ∶= 1 to m

sum ∶= sum + a[k]next k

Συmicroπληρώστε τα κενά παρακάτω ώστε κάθε τmicroήmicroα του αλ-γορίθmicroου να κάνει την ίδια δουλειά microε το παραπάνω

α sum ∶= 0for i ∶= 0 to

sum ∶=next i

β sum ∶= 0for j ∶= 2 to

sum ∶=next j

Χρησιmicroοποιήστε διαδοχικές διαιρέσεις microε το 2 για να microετατρέ-ψετε (microε το χέρι) τους ακεραίους των Ασκήσεων 63ndash65 από τηβάση 10 στη βάση 2

63 90 64 98 65 205

Κατασκευάστε έναν πίνακα για να καταγράψετε όλα τα βήmicroατατου Αλγορίθmicroου 411 microε είσοδο τις Ασκήσεις 66ndash68

66 23 67 28 68 44

69 Γράψτε microια microη τυπική περιγραϕή αλγορίθmicroου (χρησιmicroοποιώ-ντας διαδοχικές διαιρέσεις microε το 16) για να microετατρέψετε έναmicroη αρνητικό ακέραιο από το δεκαδικό στο δεκαεξαδικό σύ-στηmicroα (microε βάση το 16)

Χρησιmicroοποιήστε τον αλγόριθmicroο που αναπτύξατε για την Άσκη-ση 69 για να microετατρέψετε τους ακεραίους των Ασκήσεων 70ndash72στο δεκαεξαδικό σύστηmicroα

70 287 71 693 72 2301

73 Γράψτε microια τυπική περιγραϕή του αλγορίθmicroου που αναπτύ-ξατε στην Άσκηση 69

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι

[Η microαϑηmicroατιϰή επαγωγή είναι] η συνήϑης αποδειϰτιϰή τεχνιϰή στην επιστήmicroη τωνυπολογιστών

mdashAnthony Ralston 1984

Ηmicroαθηmicroατική επαγωγή είναι microία από τις πιο πρόσϕατα ανεπτυγmicroένες αποδεικτικές microεθό-δους στην ιστορία των microαθηmicroατικών Χρησιmicroοποιείται για την επαλήθευση εικασιών πουαϕορούν σε αποτελέσmicroατα διαδικασιών που εmicroϕανίζονται κατrsquo επανάληψη και σύmicroϕωναmicroε καθορισmicroένα microοτίβα Θα παρουσιάσουmicroε αυτή την τεχνική microε ένα παράδειγmicroα

Μερικοί ισχυρίζονται ότι το λεπτό του αmicroερικάνικου δολαρίου είναι τόσο microικρό νόmicroι-σmicroα ώστε πρέπει να αποσυρθεί Λένε ότι αν πέσει από τα χέρια κάποιου αυτός σπανίως θασκύψει να το πάρει Άλλοι ισχυρίζονται ότι αν αποσυρθεί το λεπτό θα υπάρχουν προβλή-microατα microε την ευελιξία στον καθορισmicroό των τιmicroών των αγαθών Ποιες τιmicroές θα microπορούσαννα εξοϕληθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο στην περίπτωση απόσυρσης του λεπτού και αντι-κατάστασής του microε ένα νόmicroισmicroα αξίας 3cent Η απάντηση είναι ότι οι microόνες τιmicroές που δενθα microπορούσαν να πληρωθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο είναι οι 1cent 2cent 4cent και 7cent Με άλλαλόγια

Μπορούmicroε να πάρουmicroε οποιονδήποτε ακέραιο αριθmicroό τουλάχιστον8 λεπτών χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα των 3cent και 5cent

Ποιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 microπορούmicroε να πάρουmicroεn λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5cent

Ακόmicroα πιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 η P(n) είναι αληθής όπου P(n) είναι η πρότασηlaquomicroπορούmicroε να πάρουmicroε n λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5centraquo

Θα microπορούσατε να ελέγξετε ότι η P(n) είναι αληθής για λίγες συγκεκριmicroένες τιmicroές του nόπως κάνουmicroε στον παρακάτω πίνακα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 237

Αριθmicroός λεπτών Πώς λαmicroβάνεται

8cent 3cent + 5cent

9cent 3cent + 3cent + 3cent

10cent 5cent + 5cent

11cent 3cent + 3cent + 5cent

12cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent

13cent 3cent + 5cent + 5cent

14cent 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

15cent 5cent + 5cent + 5cent

16cent 3cent + 3cent + 5cent + 5cent

17cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

Οι περιπτώσεις που ϕαίνονται στον πίνακα microας δίνουν επαγωγικού τύπου στοιχείαγια να υποστηρίξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλα τα n Πράγmicroατι η P(n) είναι αλη-ϑής για όλα τα n ge 8 αν ϰαι microόνο αν είναι εϕιϰτό να συνεχίσουmicroε να συmicroπληρώνουmicroε τονπίναϰα για οσοδήποτε microεγάλες τιmicroές του n

Η k γραmicromicroή του πίνακα δίνει πληροϕορίες για το πώς θα πάρουmicroε kcent χρησιmicroοποιώ-ντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent Για να συνεχίσουmicroε τον πίνακα στην επόmicroενη γραmicromicroήπρέπει να δώσουmicroε οδηγίες για το πώς θα υπολογιστούν τα (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και 5cent Το microυστικό είναι να παρατηρήσουmicroε πρώτα ότι αν microπορούmicroε ναυπολογίσουmicroε kcent χρησιmicroοποιώντας τουλάχιστον ένα κέρmicroα των 5cent τότε microπορούmicroε να υ-πολογίσουmicroε (k + 1)cent αντικαθιστώντας το κέρmicroα των 5cent microε δύο κέρmicroατα των 3cent όπωςϕαίνεται στο Σχήmicroα 421

kcent (k + 1)cent

3cent 3cent5cent

Αντικατάσταση ενός κέρματος των 5cent με δύο

κέρματα των 3cent

Αφαίρεση Προσθήκη

Σχήmicroα 421

Αν από την άλλη microεριά τα kcent λαmicroβάνονται χωρίς χρήση του κέρmicroατος των 5cent τότεχρησιmicroοποιούνται microόνο κέρmicroατα των 3cent Και αϕού το σύνολο είναι τουλάχιστον 8cent πρέπεινα περιλαmicroβάνονται τρία ή περισσότερα κέρmicroατα των 3cent Για να πάρουmicroε ένα σύνολο(k + 1)cent microπορούmicroε να αντικαταστήσουmicroε τρία από τα κέρmicroατα των 3cent microε δύο των 5centόπως ϕαίνεται στο Σχήmicroα 422 της επόmicroενης σελίδας

Η δοmicroή του παραπάνω επιχειρήmicroατος microπορεί να περιγραϕεί συνοπτικά ως εξής Γιανα δείξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8 (1) δείχνουmicroε ότι ηP(8) είναι αληθής και (2) δείχνουmicroε ότι η αλήθεια της P(k + 1) προκύπτει απαραίτητααπό την αλήθεια της P(k) για κάθε k ge 8 Κάθε επιχείρηmicroα αυτής της microορϕής καλείταιεπιχείρηmicroα microαϑηmicroατιϰής επαγωγής

238 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

5cent

kcent (k + 1)cent

Προσθήκη

kcent (k + 1)cent

5cent

3cent 3cent

3cent

Αντικαθιστούμε τρίακέρματα των 3centμε δύο κέρματα

των 5cent

Αφαίρεση

5cent

Σχήmicroα 422

Η αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής

Έστω ότι η P(n) είναι microια ιδιότητα που ορίζεται για ακεραίους n και έστω ότι οa είναι ένας συγκεκριmicroένος ακέραιος Υποθέτουmicroε ότι οι ακόλουθες δυο προτάσειςείναι αληθείς

1 Η P(a) είναι αληθής2 Για όλους τους ακεραίους k ge a αν η P(k) είναι αληθής τότε και η P(k + 1) είναι

αληθής

Τότε ισχύει η πρότασηγια όλους τους ακεραίους n ge a η P(n) είναι αληθής

Η πρώτη γνωστή καταγεγραmicromicroένη microαθηmicroατική επαγωγή βρίσκεται στα γραπτά τουΙταλού επιστήmicroονα Francesco Maurolico το 1575 Την ίδια τεχνική χρησιmicroοποιούσαν κα-τά το δέκατο έβδοmicroο αιώνα και οι Pierre de Fermat και Blaise Pascal Ο Fermat ονόmicroαζετην επαγωγή laquomicroέθοδο της άπειρης καθόδουraquo (laquomethod of innite descentraquo) Το 1883 οAugustus De Morgan (γνωστός από τους κανόνες De Morgan) περιέγραψε προσεκτικάτη διαδικασία και την ονόmicroασε microαϑηmicroατιϰή επαγωγή

Για να πάρετε microια διαισθητική εικόνα για τη microαθηmicroατική επαγωγή ϕανταστείτε microιαάπειρη συλλογή από ντόmicroινο τοποθετηmicroένα το ένα πίσω από το άλλο microε τέτοιο τρόποώστε αν ένα ντόmicroινο πέσει να ρίξει και το επόmicroενο (∆είτε το Σχήmicroα 423) Φανταστείτετώρα ότι πέϕτει το πρώτο ντόmicroινο Τι θα συmicroβεί Θα πέσουν όλα

12

3

4

kk + 1

Σχήmicroα 423 Όταν πέϕτει το k ντόmicroινο ρίχνει και το (k + 1)

Για να δείτε τη σχέση ανάmicroεσα σε αυτή την εικόνα και την αρχή της microαθηmicroατικήςεπαγωγής υποθέστε ότι η P(n) είναι η πρόταση laquoτο n ντόmicroινο πέϕτειraquo Υποθέτουmicroε ότιγια κάθε k ge 1 αν η P(k) είναι αληθής (το k ντόmicroινο πέϕτει) τότε η P(k + 1) είναι επίσηςαληθής (το (k + 1) ντόmicroινο πέϕτει) Υποθέτουmicroε επίσης ότι η P(1) είναι αληθής (το πρώτοντόmicroινο πέϕτει) Έτσι από την αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής η P(n) (το n ντόmicroινοπέϕτει) είναι αληθής για κάθε n ge 1

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 239

Η ισχύς της απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή θεωρείται αξίωmicroα Γιrsquo αυτόν το λόγοαναϕερόmicroαστε σε αυτή ως αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής αντί ως θεώρηmicroα Είναι ισο-δύναmicroη microε την ακόλουθη ιδιότητα των ακεραίων που εύκολα τη δέχεται κανείς ως αληθήmicroε βάση τη διαίσθησή του

Υποθέτουmicroε ότι το S είναι οποιοδήποτε σύνολο ακεραίων που ικανοποιεί (1) a isin Sκαι (2) για όλους τους ακεραίους k αν k isin S τότε k + 1 isin S Τότε το S πρέπει ναπεριέχει κάθε ακέραιο microεγαλύτερο ή ίσο του a

Για να κατανοήσουmicroε την ισοδυναmicroία των δυο διατυπώσεων απλώς ορίζουmicroε ως S τοσύνολο όλων των ακεραίων για τους οποίους η P(n) είναι αληθής

Η απόδειξη ενός επιχειρήmicroατος microε microαθηmicroατική επαγωγή είναι microια διαδικασία δύο βη-microάτων Το πρώτο βήmicroα λέγεται αρχιϰό βήmicroα ή βήmicroα έναρξης και το δεύτερο επαγωγιϰόβήmicroα

Η microέθοδος απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή

Θεωρήστε microια πρόταση της microορϕής laquoγια όλους τους ακεραίους n ge a η ιδιότηταP(n) είναι αληθήςraquo Για να αποδείξουmicroε microια τέτοια πρόταση ακολουθούmicroε τα παρα-κάτω δύο βήmicroατα

Βήmicroα 1 (αρχικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = a

Βήmicroα 2 (επαγωγικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους k ge a αν η ιδιό-τητα είναι αληθής για n = k τότε είναι αληθής για n = k + 1 Για να πραγmicroα-τοποιήσουmicroε αυτό το βήmicroα

υποθέτουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k όπου k είναιοποιοσδήποτε συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος ακέραιοςmicroε k ge a [Αυτή η υπόϑεση ονοmicroάζεται επαγωγική υπόθεση]

Έτσι

δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k + 1

∆ίνουmicroε εδώ την τυπική απόδειξη για τα κέρmicroατα που διατυπώσαmicroε χωρίς τυπικό τρό-πο προηγουmicroένως

Πρόταση 421

Έστω ότι η P(n) είναι η ιδιότητα laquoncent microπορούν να υπολογιστούν microε κέρmicroατα των 3centκαι 5centraquo Τότε η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8

Απόδειξη

∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 8 Η ιδιότητα είναι αληθής για n = 8 ε-πειδή 8cent = 3cent + 5cent

∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 8 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής ϰαι για n = k + 1 Υποθέτουmicroε ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε kcent χρη-σιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent για κάποιο ακέραιο k ge 8 [Αυτή είναι η ε-παγωγιϰή υπόϑεση]Πρέπει να δείξουmicroε τώρα ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε και (k + 1)centχρησιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και 5cent Αν υπάρχει κέρmicroα των 5cent ανάmicroεσα σε αυτάπου απαρτίζουν τα kcent το αντικαθιστούmicroε microε δύο κέρmicroατα των 3cent το αποτέλεσmicroαθα είναι (k + 1)cent Αν δεν υπάρχει κέρmicroα των 5cent σε αυτά που απαρτίζουν τα kcent τότεπρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 3 κέρmicroατα των 3cent αϕού k ge 8 Αϕαιρούmicroε αυτά τατρία κέρmicroατα των 3cent και τα αντικαθιστούmicroε microε δύο των 5cent το αποτέλεσmicroα θα είναι(k + 1)cent Έτσι σε κάθε περίπτωση microπορούmicroε να πάρουmicroε (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και των 5cent [όπως έπρεπε να δειχϑεί]

240 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Το ακόλουθο παράδειγmicroα δείχνει πώς χρησιmicroοποιούmicroε τη microαθηmicroατική επαγωγή γιανα αποδείξουmicroε έναν τύπο που δίνει το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Παράδειγmicroα 421 Άθροισmicroα των n πρώτων ακεραίων

Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να αποδείξετε ότι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2για όλους τους ακεραίους n ge 1

Λύση Για να κατασκευάσετε microια απόδειξη microε επαγωγή πρέπει πρώτα να βρείτε ποια είναι ηιδιότητα P(n) Σε αυτή την περίπτωση η P(n) είναι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2 larr η ιδιότητα (P(n))

[Για να δείτε ότι η P(n) είναι microια πρόταση παρατηρήστε ότι το αντιϰείmicroενό της είναι laquoτοάϑροισmicroα των αϰεραίων από το 1 microέχρι το nraquo ϰαι το ρήmicroα της είναι το laquoισούταιraquo]

Στο αρχικό βήmicroα της απόδειξης πρέπει να δείξετε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 1ή microε άλλα λόγια ότι η P(1) είναι αληθής Τώρα για να βρούmicroε την P(1) αντικαθιστούmicroε1 στη θέση του n στην P(n) Το αριστερό σκέλος της P(1) είναι το άθροισmicroα όλων τωνδιαδοχικών ακεραίων που ξεκινούν microε το 1 και τελειώνουν στο 1 Αυτό είναι απλώς το 1Έτσι η P(1) είναι η

1 =1(1 + 1)

2 larr αρχική (P(1))

Φυσικά αυτή η εξίσωση είναι αληθής διότι το δεξιό σκέλος είναι

1(1 + 1)2

=1 sdot 2

2= 1

που ισούται microε το αριστερό σκέλοςΣτο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής για κάποιον ακέραιο k microε

k ge 1 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση] Πρέπει τώρα να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναιαληθής Ποιες είναι οι P(k) και P(k + 1) Για να βρούmicroε την P(k) αντικαθιστούmicroε k στηθέση κάθε n στην P(n) Έτσι η P(k) είναι η

1 + 2 +⋯+ k =k(k + 1)

2 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Παρόmicroοια για να βρούmicroε την P(k + 1) αντικαθιστούmicroε κάθε n της P(n) microε την ποσότητα(k + 1) Έτσι η P(k + 1) είναι1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2

ή ισοδύναmicroα

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

larr να δειχθεί η (P(k + 1))

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 241

Τώρα η επαγωγική υπόθεση είναι ότι η P(k) είναι αληθής Πώς microπορούmicroε να χρησι-microοποιήσουmicroε αυτή την υπόθεση για να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής Η P(k + 1)είναι microια εξίσωση και η αλήθεια microιας εξίσωσης microπορεί να δειχθεί microε διάϕορους τρόπουςΈνας από τους πιο άmicroεσους είναι να microετασχηmicroατίσουmicroε το αριστερό σκέλος στο δεξιόχρησιmicroοποιώντας άλγεβρα και άλλους γνωστούς κανόνες και έγκυρες υποθέσεις microεταξύτων οποίων και την επαγωγική υπόθεση Σε αυτή την περίπτωση το αριστερό σκέλος τηςP(k + 1) είναι

1 + 2 +⋯+ (k + 1)που ισούται microε

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) προσδιορισmicroός του προτελευταίουόρου και οmicroαδοποίηση

Αλλά microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1)=k(k + 1)

2+ (k + 1) αϕού η επαγωγική υπόθεση λέει

ότι 1 + 2 +⋯ + k =k(k + 1)

2

Τώρα χρησιmicroοποιούmicroε άλγεβρα για να δείξουmicroε ότι αυτή η έκϕραση ισούται microε το δεξιόσκέλος της P(k + 1)

k(k + 1)2

+ (k + 1)

=k(k + 1)

2+2(k + 1)

2

πολλαπλασιάζουmicroε αριθmicroητή και πα-ρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε το2 για να πάρουmicroε κοινό παρονοmicroα-στή

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2microε πρόσθεση κλασmicroάτων

=(k + 2)(k + 1)

2βγάζουmicroε κοινό παράγοντα το (k + 1)

=(k + 1)(k + 2)

2υπολογίζουmicroε τους παράγοντες(k + 1) και (k + 2)

που ισούται microε το δεξιό σκέλος της P(k + 1)Συνοψίζουmicroε την παραπάνω ανάλυση ως εξής

Θεώρηmicroα 422 Άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Για όλους τους ακεραίους n ge 1

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2

Απόδειξη (microε microαθηmicroατική επαγωγή)

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση 1 + 2 +⋯+ n = n(n + 1)2

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1 Για να δείξουmicroε την ιδιότητα για

n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 =1(1 + 1)

2 Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης

είναι 1 και το δεξιό είναι1(1 + 1)

2=2

2= 1 και αυτό Άρα η ιδιότητα είναι αληθής για

n = 1συνεχίζεται στην επόmicroενη σελίδα

242 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2είναι αληϑής για ϰάποιον

αϰέραιο k ge 1 στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ k =

k(k + 1)2

για κάποιον ακέραιο k ge 1

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =

n(n + 1)2

είναι αληϑής όταν

αντιϰαταστήσουmicroε το k + 1 στη ϑέση του n]Πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2 ή ισοδύναmicroα ότι

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

421

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος της εξίσωσης (421) ισούται microε το δεξιόσϰέλος]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (421) είναι το

1 + 2 +⋯+ (k + 1)= (1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) Ο προτελευταίος όρος είναι ο k γιατί οι όροι

είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ο τελευταίος εί-ναι ο k + 1

=k(k + 1)

2+ (k + 1) microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

=k(k + 1)

2+(k + 1) sdot 2

2

=(k + 1)(k + 2)

2

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (421) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού δείξαmicroε ϰαι το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

Λέγεται microια ιστορία για έναν από τους microεγαλύτερους microαθηmicroατικούς όλων των εποχώντον Carl Friedrich Gauss (1777ndash1855) σύmicroϕωνα microε την οποία όταν ήταν microικρό παιδί οδάσκαλος του ζήτησε να προσθέσει τους αριθmicroούς από το 1 microέχρι το 100 Ο δάσκαλοςζήτησε από τους microαθητές να υπολογίσουν το άθροισmicroα ώστε να τους απασχολήσει γιανα microπορέσει εκείνος να διορθώσει γραπτά Αλλά λίγες στιγmicroές αργότερα ο Gauss βρήκετην σωστή απάντηση Είναι περιττό να πούmicroε ότι ο δάσκαλος τα έχασε Πώς microπόρεσε ονεαρός Gauss να υπολογίσει τόσο γρήγορα Τα επόmicroενα χρόνια ο Gauss εξήγησε ότι είχεϕανταστεί τους αριθmicroούς σε ζευγάρια σύmicroϕωνα microε το ακόλουθο σχήmicroα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 243

1 2 3 50 51 98 99 100

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

Το άθροισmicroα κάθε ζεύγους είναι 101 και υπάρχουν 50 ζεύγη άρα το συνολικό άθροισmicroαείναι 50 sdot 101 = 5050

Παράδειγmicroα 422 Εϕαρmicroογές του τύπου του αθροίσmicroατος των πρώτων n ακεραίων

α Βρείτε το 2 + 4 + 6 +⋯+ 500

β Βρείτε το 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50

γ Για οποιονδήποτε ακέραιο h ge 2 βρείτε το 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1)Λύση

α 2 + 4 + 6 +⋯+ 500 = 2 sdot (1 + 2 + 3 +⋯+ 250)= 2 sdot (250 sdot 251

2) εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroα

των πρώτων n ακεραίων για n = 250

= 62750

β 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50 = (1 + 2 + 3 +⋯+ 50) minus (1 + 2 + 3 + 4)=50 sdot 51

2minus 10

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroατων πρώτων n ακεραίων για n = 50

= 1265

γ 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1) = (h minus 1) sdot [(h minus 1) + 1]2

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροι-σmicroα των πρώτων n ακεραίων γιαn = h minus 1

=(h minus 1) sdot h

2αϕού (h minus 1) + 1 = h n

Στο επόmicroενο παράδειγmicroα ζητείται να αποδειχθεί ένας άλλος διάσηmicroος microαθηmicroατικόςτύποςmdashο τύπος του αθροίσmicroατος της γεωmicroετρικής προόδου Σε microια γεωmicroετρικήπρόοδοκάθε όρος ισούται microε τον προηγούmicroενο επί ένα σταθερό παράγοντα Αν ο πρώτος όροςείναι 1 και ο σταθερός παράγοντας είναι r τότε η ακολουθία είναι 1 r r2 r3 rn Το άθροισmicroα των πρώτων n όρων αυτής της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

για όλους τους ακεραίους n ge 0 και τους πραγmicroατικούς αριθmicroούς r που δεν είναι ίσοι microε1 Η αναπτυγmicroένη microορϕή αυτού του τύπου είναι η

r0 + r1 + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

και επειδή r0 = 1 και r1 = r ο τύπος για n ge 1 microπορεί να ξαναγραϕεί ως

1 + r + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

244 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παράδειγmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Αποδείξτε ότιnsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 για κάθε ακέραιο n ge 0 και για όλους τους πραγmicroατικούς

αριθmicroούς r διάϕορους του 1

Λύση Σε αυτό το παράδειγmicroα η ιδιότητα P(n) είναι πάλι microια εξίσωση αν και σε αυτή τηνπερίπτωση περιλαmicroβάνει microια πραγmicroατική microεταβλητή r

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 larr η ιδιότητα (P(n))

Αϕού το r microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός εκτός του 1 ξεκινάmicroε τηναπόδειξη υποθέτοντας ότι ο r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγ-microατικός αριθmicroός διάϕορος του 1 Έπειτα συνεχίζουmicroε την απόδειξη microε microαθηmicroατική επα-γωγή στο n αρχίζοντας microε το n = 0 Στο αρχικό βήmicroα πρέπει να δείξουmicroε ότι η P(0) είναιαληθής δηλαδή να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 0 Οπότε αντικαθιστούmicroε0 για κάθε n στην P(n)

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1 larr αρχική (P(0))

Στο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής δηλαδή υποθέτουmicroε ότι ηιδιότητα είναι αληθής για n = k Οπότε αντικαθιστούmicroε k για κάθε n στην P(n)

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Μετά δείχνουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής δηλαδή δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αλη-θής για n = k + 1 Έτσι αντικαθιστούmicroε k + 1 για κάθε n στην P(n)

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1

ή εναλλακτικά

k+1sumi=0

r i =rk+2 minus 1

r minus 1sdot larr για να δείξουmicroε την (P(k + 1))

Θεώρηmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό r εκτός του 1 και για κάθε ακέραιο n ge 0

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Απόδειξη

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Υποθέτουmicroε ότι το r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγmicroατικόςαριθmicroός διάϕορος του 1 Πρέπει να δείξουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους n ge 0

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 245

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Θα το δείξουmicroε microε microαθηmicroατική επαγωγή στο n

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0 Για n = 0 πρέπει να δείξουmicroε ότι

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1

Το αριστερό σκέλος αυτής της εξίσωσης είναι το r0 = 1 Το δεξιό σκέλος είναι

r1 minus 1

r minus 1=r minus 1

r minus 1= 1

ξανά αϕού r1 = r και r ne 1 [Οπότε η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0]

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 0 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1είναι αληϑής όταν ένας αϰέραιος k ge 0

αντιϰατασταϑεί στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 για k ge 0 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση]

[Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1 422

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος αυτής της εξίσωσης ισούται microε το δεξιό]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (422) είναι το

k+1sumi=0

r i =ksumi=0

r i + rk+1 γράϕουmicroε τον (k + 1) όρο ξεχωριστά απότους πρώτους k όρους

=rk+1 minus 1

r minus 1+ rk+1 microε αντικατάσταση από

την επαγωγική υπόθεση

=rk+1 minus 1

r minus 1+rk+1(r minus 1)

r minus 1

πολλαπλασιάζουmicroε τον αριθmicroητή και τονπαρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε (r minus 1)για να έχουmicroε κοινό παρονοmicroαστή

=(rk+1 minus 1) + rk+1(r minus 1)

r minus 1πρόσθεση κλασmicroάτων

=rk+1 minus 1 + rk+2 minus rk+1

r minus 1πολλαπλασιασmicroός και χρήση του

rk+1 sdot r = rk+1 sdot r1 = rk+2

=rk+2 minus 1

r minus 1διαγραϕή των rk+1

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (4 2 2) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

Περιεχόmicroενα 9

94 Εκθετικές και λογαριθmicroικές συναρτήσεις Γραφήmicroατα και τάξεις 568Γραϕήmicroατα εκθετικών και λογαριθmicroικών συναρτήσεων Εϕαρmicroογή Το πλήθος τωνδυαδικών ψηϕίων που απαιτούνται για την αναπαράσταση ενός ακεραίου σε δυαδικήmicroορϕή Εϕαρmicroογή Χρήση λογαρίθmicroων για την επίλυση αναδροmicroικών σχέσεων Εκ-θετικές και λογαριθmicroικές τάξεις

95 Εφαρmicroογή Αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων ΙΙ 581Αλγόριθmicroοι laquoδιαίρει και βασίλευεraquo Η αποδοτικότητα του αλγορίθmicroου δυαδικής ανα-ζήτησης Ταξινόmicroηση microε συγχώνευση Ανιχνεύσιmicroα και microη ανιχνεύσιmicroα προβλήmicroαταΈνα τελικό σχόλιο σχετικά microε την αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων

Κεφάλαιο 10 Σχέσεις 596

101 Σχέσεις σε σύνολα 596Ορισmicroός διmicroελούς σχέσης Το διάγραmicromicroα microιας σχέσης Σχέσεις και συναρτήσεις Ηαντίστροϕη microιας σχέσης Το κατευθυνόmicroενο γράϕηmicroα microιας σχέσης Ν-microελείς σχέσειςκαι σχεσιακές βάσεις δεδοmicroένων

102 Ανακλαστικότητα συmicromicroετρία και microεταβατικότητα 609Οι ιδιότητες ανακλαστικότητας συmicromicroετρίας και microεταβατικότητας Η microεταβατικήκλειστότητα microιας σχέσης Ιδιότητες των σχέσεων σε άπειρα σύνολα

103 Σχέσεις ισοδυναmicroίας 619Η σχέση που επάγεται από microια διαmicroέριση Ορισmicroός της σχέσης ισοδυναmicroίας Κλάσειςισοδυναmicroίας microιας σχέσης ισοδυναmicroίας

104 Η αριθmicroητική των υπολοίπων microε εφαρmicroογές στην κρυπτογραφία 636Ιδιότητες της ισοτιmicroίας modulo n Αριθmicroητική των υπολοίπων Προσδιορισmicroός τουαντιστρόϕουmodulo n Το λήmicromicroα του Ευκλείδη Το microικρό θεώρηmicroα του Fermat καιτο κινέζικο θεώρηmicroα υπολοίπου Γιατί είναι αποτελεσmicroατικός ο κώδικας RSA

105 Σχέσεις microερικής διάταξης 657Αντισυmicromicroετρία Σχέσεις microερικής διάταξης Λεξικογραϕική σειρά ∆ιαγράmicromicroαταHasseΜερικώς και ολικώς διατεταγmicroένα σύνολα Τοπολογική ταξινόmicroηση Μια εϕαρmicroογήPERT και CPM

Κεφάλαιο 11 Γραφήmicroατα και δέντρα 675

111 Γραφήmicroατα Εισαγωγή 675Βασική ορολογία και παραδείγmicroατα Ειδικά γραϕήmicroατα Η έννοια του βαθmicroού

112 Μονοπάτια και κυκλώmicroατα 691Ορισmicroοί Κυκλώmicroατα Euler Χαmicroιλτονιανά κυκλώmicroατα

113 Αναπαράσταση των γραφηmicroάτων microε πίνακες 710Πίνακες Πίνακες και κατευθυνόmicroενα γραϕήmicroατα Πίνακες και (microη κατευθυνόmicroενα)γραϕήmicroατα Πίνακες και συνεκτικές συνιστώσες Πολλαπλασιασmicroός πινάκων Υπο-λογισmicroός περιπάτων microήκους Ν

10 Περιεχόmicroενα

114 Ισοmicroορφισmicroοί γραφηmicroάτων 724Ορισmicroός ισοmicroορϕισmicroού γραϕηmicroάτωνκαι παραδείγmicroατα Ισοmicroορϕικά αναλλοίωτες πο-σότητες Ισοmicroορϕισmicroός γραϕηmicroάτων για απλά γραϕήmicroατα

115 ∆έντρα 732Ορισmicroοί και παραδείγmicroατα δέντρων Χαρακτηρισmicroός δέντρων ∆έντρα microε ρίζα ∆υα-δικά δέντρα

116 ∆έντρα επικάλυψης 750Ορισmicroός δέντρου επικάλυψης Ελάχιστα δέντρα επικάλυψης Ο αλγόριθmicroος του Kru-skal Ο αλγόριθmicroος του Prim

Κεφάλαιο 12 Κανονικές εκφράσεις και πεπερασmicroένα αυτόmicroατα 761

121 Τυπικές γλώσσες και κανονικές εκφράσεις 762Ορισmicroοί και παραδείγmicroατα τυπικών γλωσσών και κανονικών εκϕράσεων Πρακτικέςχρήσεις των κανονικών εκϕράσεων

122 Αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων 773Ορισmicroός του αυτοmicroάτου πεπερασmicroένων καταστάσεωνΗ γλώσσα που αποδέχεται ένααυτόmicroατο Η συνάρτηση καταληκτικής κατάστασης Σχεδίαση ενός αυτοmicroάτου πεπε-ρασmicroένων καταστάσεων Προσοmicroοίωση αυτοmicroάτου πεπερασmicroένων καταστάσεων microεχρήση λογισmicroικού Αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων και κανονικές εκϕράσειςΚανονικές γλώσσες

123 Απλοποίηση αυτοmicroάτων πεπερασmicroένων καταστάσεων 791lowast ισοδυναmicroία καταστάσεων k ισοδυναmicroία καταστάσεων Προσδιορισmicroός των κλά-σεων της lowast ισοδυναmicroίας Το αυτόmicroατο πηλίκου Κατασκευή του αυτοmicroάτου πηλίκουΙσοδύναmicroα αυτόmicroατα

Παράρτηmicroα Α Ιδιότητες των πραγmicroατικών αριθmicroών 805

Παράρτηmicroα Β Λύσεις και υποδείξεις επιλεγmicroένων ασκήσεων 808

Πίνακας συmicroβόλων 921

Ευρετήριο 927

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Ο σκοπός microου microε αυτό το βιβλίο ήταν να δώσω microια σαϕή και προσιτή παρουσίαση τωνδιακριτών microαθηmicroατικών για προπτυχιακούς και microεταπτυχιακούς ϕοιτητές που σπουδά-ζουν επιστήmicroη υπολογιστών microαθηmicroατικά εκπαίδευση στα microαθηmicroατικά και microηχανολογίαΣτόχος του βιβλίου είναι να θέσει τις microαθηmicroατικές βάσεις για microαθήmicroατα της επιστήmicroης τωνυπολογιστών όπως δοmicroές δεδοmicroένων αλγόριθmicroοι θεωρία βάσεων δεδοmicroένων θεωρία αυ-τοmicroάτων και τυπικές γλώσσες σχεδιασmicroός microεταγλωττιστών και κρυπτογραϕία αλλά καιγια microαθήmicroατα microαθηmicroατικών όπως γραmicromicroική και αϕηρηmicroένη άλγεβρα συνδυαστική πι-θανότητες λογική και συνολοθεωρία και θεωρία αριθmicroών Συνδυάζοντας τη θεωρία καιτην πράξη προσπάθησα να δείξω ότι τα microαθηmicroατικά εκτός από το ότι είναι αξιαγάπηταενδιαϕέροντα και όmicroορϕα από microόνα τους έχουν σηmicroαντικές εϕαρmicroογές

Το microόνο προαπαιτούmicroενο είναι ένα καλό υπόβαθρο στην απλή άλγεβρα το microάθηmicroαmicroπορεί να διδαχθεί είτε πριν είτε microετά από ένα microάθηmicroα απειροστικού λογισmicroού Προηγού-microενες εκδόσεις του βιβλίου έχουν χρησιmicroοποιηθεί microε επιτυχία σε ιδρύmicroατα της Βόρειαςκαι Νότιας Αmicroερικής της Ευρώπης της Μέσης Ανατολής και της Αυστραλίας

Σύmicroϕωνα microε τις πρόσϕατες προτάσεις του Ινστιτούτου Ηλεκτρολόγων και Ηλεκτρο-νικώνΜηχανικών-Ένωσης Υπολογιστών (Institute for Electrical and Electronic EngineersComputer Society IEEE-CS) και της Ένωσης ΣυσκευώνΥπολογιστών (Association for Co-mputing Machinery ACM) τα διακριτά microαθηmicroατικά πρέπει να αποτελούν το microεγαλύτεροmicroέρος των laquoβασικών γνώσεωνraquo των ϕοιτητών της επιστήmicroης των υπολογιστών ενώ η microε-λέτη του αντικειmicroένου κατά το πρώτο έτος σπουδών τους πρέπει να διαρκεί τουλάχιστονένα εξάmicroηνο ή ακόmicroα και δύο όπου αυτό είναι δυνατόν Αυτό το βιβλίο περιλαmicroβάνει όλατα θέmicroατα που προτείνουν αυτοί οι οργανισmicroοί και microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί αποτελε-σmicroατικά είτε για ένα εξαmicroηνιαίο microάθηmicroα είτε για δύο

Κάποτε τα περισσότερα από τα θέmicroατα των διακριτών microαθηmicroατικών διδάσκονταν microό-νο σε προπτυχιακούς ϕοιτητές κατά το τελευταίο έτος των σπουδών τους Η βασική καιεξαιρετικά ενδιαϕέρουσα πρόκληση της συγγραϕής αυτού του βιβλίου ήταν η εύρεσητου κατάλληλου τρόπου διδασκαλίας αυτών των θεmicroάτων ώστε να γίνουν κατανοητάαπό πρωτοετείς και δευτεροετείς ϕοιτητές Ο τρόπος παρουσίασης αναπτύχθηκε κατάτη διάρκεια microιας microεγάλης περιόδου πειραmicroατισmicroών κατά την οποία οι ϕοιτητές microου ήτανταυτόχρονα από πολλές απόψεις και δάσκαλοί microου Οι ερωτήσεις τους τα σχόλιά τουςκαι τα γραπτά τους microου υποδείκνυαν ποιες έννοιες και τεχνικές τους δυσκόλευαν ενώο τρόπος microε τον οποίο ανταποκρίνονταν στις παρουσιάσεις που τους έκανα microου έδειχνετι ήταν αποτελεσmicroατικό στο χτίσιmicroο της κατανόησης των εννοιών και κινούσε το ενδια-ϕέρον τους Πολλές από τις αλλαγές σε αυτή την έκδοση είναι αποτέλεσmicroα της συνεχούςαλληλεπίδρασης microε τους ϕοιτητές

Τα θέmicroατα ενός microαθήmicroατος διακριτών microαθηmicroατικών

Τα διακριτά microαθηmicroατικά περιγράϕουν διαδικασίες που αποτελούνται από microια ακολουθί-α ξεχωριστών βηmicroάτων Αντίθετα ο απειροστικός λογισmicroός περιγράϕει διαδικασίες πουmicroεταβάλλονται microε συνεχή τρόπο Όπως οι ιδέες του απειροστικού λογισmicroού αποτέλεσαντα θεmicroέλια της επιστήmicroης και της τεχνολογίας κατά τη βιοmicroηχανική επανάσταση έτσι καιοι ιδέες των διακριτών microαθηmicroατικών υποστηρίζουν την επιστήmicroη και την τεχνολογία τηςεποχής των υπολογιστών Τα κύρια θέmicroατα ενός πρώτου microαθήmicroατος διακριτών microαθηmicroα-τικών είναι η λογική και η απόδειξη η επαγωγή και η επανάληψη η συνδυαστική και οιδιακριτές πιθανότητες οι αλγόριθmicroοι και η ανάλυσή τους και οι εϕαρmicroογές στη microοντελο-ποίηση

Λογική και Απόδειξη Ο σπουδαιότερος ίσως στόχος ενός εισαγωγικού microαθήmicroατος σταδιακριτά microαθηmicroατικά είναι να βοηθήσει τους ϕοιτητές να αναπτύξουν την ικανότητα να

12 Πρόλογος

σκέϕτονται αϕηρηmicroένα Αυτό σηmicroαίνει να έχουν τη δυνατότητα να χρησιmicroοποιούν λογικάορθές microορϕές επιχειρηmicroάτων και να αποϕεύγουν κοινά λογικά σϕάλmicroατα να επιχειρηmicroα-τολογούν microε βάση τους ορισmicroούς να χρησιmicroοποιούν ευθεία αλλά και πλάγια επιχειρήmicroαταγια να αποδεικνύουν νέα αποτελέσmicroατα από ήδη γνωστά και να microπορούν να εργάζονταιmicroε συmicroβολικές αναπαραστάσεις σαν να ήταν συγκεκριmicroένα αντικείmicroενα

Επαγωγή και αναδροmicroή Μια ενδιαϕέρουσα εξέλιξη των τελευταίων ετών είναι η εκτί-microηση της δύναmicroης και οmicroορϕιάς της laquoαναδροmicroικής σκέψηςraquo Πρακτικά αυτό σηmicroαίνει ναεξετάσουmicroε ένα πρόβληmicroα υποθέτοντας ότι παρόmicroοια προβλήmicroατα microικρότερης κλίmicroακαςέχουν ήδη λυθεί και να προσπαθούmicroε να συνδυάσουmicroε αυτές τις λύσεις των επιmicroέρουςπροβληmicroάτων για να λύσουmicroε το microεγαλύτερο πρόβληmicroα Αυτή η microέθοδος χρησιmicroοποιεί-ται εκτεταmicroένα στην ανάλυση αλγορίθmicroων όπου αναδροmicroικές σχέσεις που προκύπτουναπό αναδροmicroικού τύπου συλλογισmicroούς δίνουν τύπους που επιβεβαιώνονται microε microαθηmicroα-τική επαγωγή

Συνδυαστική και διακριτές πιθανότητες Η συνδυαστική στα microαθηmicroατικά της απαρίθmicroη-σης της διάταξης αντικειmicroένων και της πιθανότητας είναι η microελέτη των νόmicroων για τιςmicroετρήσεις τυχαίων γεγονότων Η διακριτή πιθανότητα εστιάζει σε καταστάσεις που α-σχολούνται microε διακριτά σύνολα αντικειmicroένων όπως ο προσδιορισmicroός της πιθανότηταςνα έρθει κορώνα συγκεκριmicroένες ϕορές όταν ρίχνουmicroε ένα δίκαιο κέρmicroα αρκετές ϕορές Ε-πιδεξιότητα στη συνδυαστική και τις πιθανότητες χρειάζεται σχεδόν σε κάθε αντικείmicroενοόπου εϕαρmicroόζονται τα microαθηmicroατικά από την οικονοmicroία microέχρι τη βιολογία την επιστήmicroητων υπολογιστών τη χηmicroεία τη ϕυσική και τη διοίκηση επιχειρήσεων

Αλγόριθmicroοι και η ανάλυσή τους Η λέξη αλγόριϑmicroος ήταν γενικά άγνωστη στο microέσο τουεικοστού αιώνα ενώ τώρα είναι microία από τις πρώτες λέξεις που συναντάει κανείς στην ε-πιστήmicroη των υπολογιστών Για να λύσουmicroε ένα πρόβληmicroα microε έναν υπολογιστή είναι απα-ραίτητο να βρούmicroε έναν αλγόριθmicroο ή microια βήmicroα προς βήmicroα ακολουθία οδηγιών τις οποίεςθα ακολουθήσει ο υπολογιστής Ο σχεδιασmicroός ενός αλγορίθmicroου απαιτεί κατανόηση τωνmicroαθηmicroατικών του προβλήmicroατος που πρόκειται να λυθεί Ο προσδιορισmicroός της ορθότηταςή microη ενός αλγορίθmicroου απαιτεί περίπλοκους χειρισmicroούς microε microαθηmicroατική επαγωγή Ο υπο-λογισmicroός του χρόνου ή της microνήmicroης που χρειάζεται ένας αλγόριθmicroος ώστε να microπορεί νασυγκριθεί microε άλλους αλγορίθmicroους που δίνουν την ίδια έξοδο απαιτεί γνώσεις συνδυαστι-κής επαναληπτικών σχέσεων συναρτήσεων και συmicroβολισmicroών O Ω και Θ

∆ιακριτές δοmicroές Οι διακριτές microαθηmicroατικές δοmicroές είναι αϕηρηmicroένες δοmicroές που περιγρά-ϕουν κατηγοριοποιούν και αναδεικνύουν τις κρυϕές σχέσεις microεταξύ διακριτών microαθηmicroα-τικών αντικειmicroένων Οι δοmicroές που microελετάmicroε σε αυτό το βιβλίο είναι τα σύνολα των ακε-ραίων και των ρητών γενικά σύνολα άλγεβρες Boole συναρτήσεις σχέσεις γραϕήmicroατακαι δέντρα τυπικές γλώσσες και κανονικές εκϕράσεις και αυτόmicroατα πεπερασmicroένων κα-ταστάσεων

Εφαρmicroογέςκαιmicroοντελοποίηση Ταmicroαθηmicroατικά αντικείmicroενα γίνονται καλύτερα κατανοη-τά όταν τα εξετάζουmicroε σε microια ποικιλία καταστάσεων και τα χρησιmicroοποιούmicroε για την επί-λυση προβληmicroάτων που συναντώνται σε ένα microεγάλο εύρος εϕαρmicroογών Ένα από τα σπου-δαιότερα microαθήmicroατα των microαθηmicroατικών είναι ότι microας επιτρέπουν να χρησιmicroοποιούmicroε το ίδιοmicroαθηmicroατικό microοντέλο για να λύνουmicroε προβλήmicroατα τα οποία ϕαινοmicroενικά είναι τελείωςανόmicroοια Ένας από τους στόχους αυτού του βιβλίου είναι να δείξει στους ϕοιτητές τηνεκπληκτική πρακτική χρησιmicroότητα microερικών πολύ αϕηρηmicroένων microαθηmicroατικών ιδεών

Ειδικά χαρακτηριστικά αυτού του βιβλίου

Μαθηmicroατική συλλογιστική Το χαρακτηριστικό που κάνει αυτό να βιβλίο να ξεχωρίζει α-πό άλλα βιβλία διακριτών microαθηmicroατικών είναι ότι διδάσκει mdash microε διεξοδικό αλλά εύληπτοτρόπο στους πρωτοετείς και δευτεροετείς ϕοιτητές mdash την κρυϕή λογική και συλλογι-

Πρόλογος 13

στική που αποτελούν τη βάση της microαθηmicroατικής σκέψης Για πολλά χρόνια δίδασκα έναιδιαίτερα διαδραστικό microάθηmicroα microετάβασης στα αϕηρηmicroένα microαθηmicroατικά σε ϕοιτητές τωνmicroαθηmicroατικών και της επιστήmicroης των υπολογιστών Αυτή η εmicroπειρία microου έδειξε ότι αν καιείναι εϕικτό να διδάξεις τους περισσότερους ϕοιτητές να καταλαβαίνουν και να κατα-σκευάζουν σαϕή microαθηmicroατικά επιχειρήmicroατα υπάρχουν κάποια εmicroπόδια που είναι δύσκολονα ξεπεραστούν Για να είναι αποτελεσmicroατικό το βιβλίο ενός τέτοιου microαθήmicroατος πρέπεινα ασχολείται αρκετά microε τις δυσκολίες του ϕοιτητή στη λογική και στη γλώσσα microε άmicroεσοτρόπο Πρέπει επίσης να περιέχει πολλά σαϕή παραδείγmicroατα και ασκήσεις για να δώσει τηδυνατότητα στους ϕοιτητές να αναπτύξουν τα απαραίτητα νοητικά microοντέλα που θα τουςεπιτρέψουν να κατανοήσουν πιο αϕηρηmicroένα προβλήmicroατα Η αντιmicroετώπιση της λογικήςκαι της απόδειξης σε αυτό το βιβλίο συνδυάζει κοινή λογική και αυστηρή προσέγγιση microεένα τρόπο που εξηγεί τα ουσιώδη χωρίς να κουράζει τους ϕοιτητές microε τεχνικές λεπτοmicroέ-ρειες

Ελικοειδής προσέγγιση στην ανάπτυξη των εννοιών Ένας αριθmicroός από έννοιες σε αυτότο βιβλίο εmicroϕανίζεται microε ολοένα και πιο σύνθετες microορϕές στα διαδοχικά κεϕάλαια γιανα βοηθήσει τους ϕοιτητές να αναπτύξουν επίπεδα αϕαίρεσης Για παράδειγmicroα microέχρι νασυναντήσουν το σχετικά προχωρηmicroένο θέmicroα του microικρού θεωρήmicroατος του Fermat και τουκινέζικου θεωρήmicroατος υπολοίπου στην Ενότητα 104 θα έχουν ήδη εισαχθεί στη microαθη-microατική λογική στα Κεϕάλαια 1 και 2 θα έχουν microάθει τις βασικές microεθόδους της απόδειξηςκαι τις έννοιεςmod και div στο Κεϕάλαιο 3 θα έχουν microελετήσει τις διαmicroερίσεις ακεραίωνστο Κεϕάλαιο 5 θα έχουν θεωρήσει τιςmod και div ως συναρτήσεις στο Κεϕάλαιο 7 καιθα έχουν εξοικειωθεί microε τις σχέσεις ισοδυναmicroίας στις Ενότητες 102 και 103 Αυτή η προ-σέγγιση ανακεϕαλαιώνει τα θέmicroατα και αναπτύσσει τη microαθηmicroατική ωριmicroότητα microε ϕυσικότρόπο

Υποστήριξη για τους φοιτητές Οι ϕοιτητές οπωσδήποτε πρέπει να microάθουν πολλά πράγ-microατα microόνοι τους Μαθαίνοντας να microελετούν microόνοι τους κάτι που συχνά είναι δύσκολοπραγmicroατοποιούν ένα σηmicroαντικό βήmicroα προς την εξασϕάλιση microιας επιτυχηmicroένης επαγγελ-microατικής καριέρας Αυτό το βιβλίο διαθέτει ορισmicroένα χαρακτηριστικά που θα βοηθήσουντους ϕοιτητές να microάθουν να διαβάζουν microόνοι τους

Λυmicroένα παραδείγmicroαταΤο βιβλίο περιέχει περισσότερα από 500 λυmicroένα παραδείγmicroατα που είναι γραmicromicroένασε microορϕή εκϕώνησης-λύσης και είναι ανάλογα τόσο σε περιεχόmicroενο όσο και σε δυ-σκολία microε τις ασκήσεις Πολλές λύσεις προβληmicroάτων microε αποδείξεις έχουν γραϕεί σεδύο στάδια πρώτα εξετάζεται ο τρόπος microε τον οποίο είναι δυνατό να πραγmicroατοποιη-θεί η απόδειξη ή η ανασκευή και microετά παρατίθεται η περίληψη της λύσης microέσα σε έναπλαίσιο Αυτός ο τρόπος επιτρέπει στους ϕοιτητές να διαβάσουν το πρόβληmicroα και ανθέλουν να περάσουν κατευθείαν στην περίληψη ή αν δεν κατανοούν την περίληψηνα επιστρέψουν στη συζήτηση Αυτός ο τρόπος εξοικονοmicroεί χρόνο για τους ϕοιτητέςπου ξαναδιαβάζουν το κείmicroενο κατά την προετοιmicroασία τους για τις εξετάσεις

ΑσκήσειςΤο βιβλίο περιέχει περίπου 2500 ασκήσεις Οι ασκήσεις στο τέλος κάθε ενότητας έ-χουν σχεδιαστεί ώστε οι ϕοιτητές διαϕορετικών κλάδων και ποικίλων δυνατοτήτωννα microπορούν να βρούν κάποιες ασκήσεις που θα έχουν τη δυνατότητα να λύσουν σω-στά και κάποιες άλλες που θα τους δυσκολέψουν

Λύσεις ασκήσεωνΤοΠαράρτηmicroα Β περιέχει ένα microεγάλο αριθmicroό πλήρως λυmicroένων ασκήσεων Οι ϕοιτητέςκαλό θα ήταν να συmicroβουλεύονται τις λύσεις αϕού πρώτα έχουν καταβάλει κάθε προ-σπάθεια να λύσουν τις ασκήσεις microόνοι τους Αν προσπαθήσουν πρώτα microόνοι τους καιmicroετά συγκρίνουν τη δική τους λύση microε αυτή που δίνεται θα οδηγηθούν σε καλύτεροεπίπεδο κατανόησης Επιπλέον πολλά προβλήmicroατα συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων microερικώναπό τα πιο δύσκολα δεν έχουν λυθεί πλήρως ή περιλαmicroβάνουν υποδείξεις ώστε οιϕοιτητές να microπορούν να επαληθεύσουν αν ο συλλογισmicroός τους είναι σωστός και να

14 Πρόλογος

κάνουν τις κατάλληλες προσαρmicroογές Επίσης υπάρχουν πολλές ασκήσεις χωρίς λύσηώστε να microάθουν οι ϕοιτητές να ασχολούνται microε προβλήmicroατα σε ρεαλιστικό πλαίσιοεργασίας

Σχήmicroατα και πίνακεςΤα σχήmicroατα και οι πίνακες έχουν προστεθεί σε σηmicroεία που θεωρήσαmicroε ότι θα βοηθή-σουν τον αναγνώστη να κατανοήσει καλύτερα το πρόβληmicroα Στα περισσότερα σχήmicroα-τα γίνεται χρήση και δεύτερου χρώmicroατος για να γίνουν ακόmicroα πιο κατανοητά

ΑναϕορέςΠολλοί ϕοιτητές microού έχουν γράψει ότι το βιβλίο τούς βοήθησε πολύ στα πιο προχω-ρηmicroένα microαθήmicroατα που πήραν στη συνέχεια των σπουδών τους Ένας microου έγραψε ότιχρησιmicroοποίησε την πρώτη έκδοση τόσο πολύ ώστε το βιβλίο διαλύθηκε και αναγκά-στηκε να αγοράσει και τη δεύτερη έκδοση την οποία συνέχισε να χρησιmicroοποιεί καιστο microεταπτυχιακό του Η τακτική microου να τοποθετώ τους ορισmicroούς και τα θεωρήmicroατασε πλαίσια να βάζω τίτλους στις ασκήσεις και να παρέχω λίστες microε τύπους και τις ση-microασίες των συmicroβόλων στα εσώϕυλλα κάνει το βιβλίο εύχρηστο τόσο για microελέτη όσοκαι αργότερα ως βιβλίο αναϕοράς

Υποστήριξη τουκαθηγητή Έχω λάβει πλήθος πολύτιmicroων παρατηρήσεων από καθηγητέςπου έχουν χρησιmicroοποιήσει προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Το βιβλίο έχει βελτιωθείσηmicroαντικά λόγω αυτών των παρατηρήσεων

ΑσκήσειςΗ microεγάλη ποικιλία ασκήσεων όλων των επιπέδων δυσκολίας δίνει στους καθηγητέςmicroεγάλη ελευθερία να οργανώσουν το microάθηmicroά τους ανάλογα microε τις δυνατότητες τωνϕοιτητών τους Οι ασκήσεις microε λύσεις στο τέλος του βιβλίου έχουν γαλάζια αρίθmicroη-ση ενώ εκείνες που οι λύσεις τους παρέχονται σε διαϕορετικό εγχειρίδιο (εγχειρίδιολύσεων) έχουν αριθmicroούς που είναι πολλαπλάσια του τρία Υπάρχουν ασκήσεις κάθετύπου που δεν έχουν απάντηση ούτε σε αυτό το βιβλίο ούτε στο εγχειρίδιο λύσεωνώστε οι καθηγητές να είναι σε θέση να χρησιmicroοποιούν οποιονδήποτε συνδυασmicroό α-σκήσεων microε ή χωρίς λύσεις Ο microεγάλος αριθmicroός ασκήσεων παρέχει στους καθηγητέςσηmicroαντικές δυνατότητες επιλογής προβληmicroάτων για χρήση τόσο σε εξετάσεις όσο καισε επαναληπτικά microαθήmicroατα Οι καθηγητές θα πρέπει να προτιmicroούν τις ασκήσεις πουδιατυπώνονται microε τη microορϕή ερωτήσεων αντί εκείνων που ζητούν να laquoαποδειχθεί ότιraquoώστε να ενθαρρύνεται η συζήτηση στην τάξη σχετικά microε το ρόλο της απόδειξης καιτου αντιπαραδείγmicroατος στην επίλυση προβληmicroάτων

Ελαστικές ενότητεςΟι περισσότερες ενότητες χωρίζονται σε υποενότητες ώστε όταν ο καθηγητής πιέζε-ται από το χρόνο να microπορεί να παραλείψει συγκεκριmicroένες ενότητες ή να τις αϕήσει νατις διαβάσουν microόνοι τους οι ϕοιτητές Ο χωρισmicroός σε υποενότητες βοηθάει τον διδά-σκοντα να χωρίσει σε τmicroήmicroατα microια ενότητα στην περίπτωση που θέλει να αϕιερώσειπερισσότερα από ένα microαθήmicroατα γιrsquo αυτή

Παρουσίαση των αποδεικτικών microεθόδωνΕίναι αναπόϕευκτο οι αποδείξεις και ανασκευές σε αυτό το βιβλίο να ϕαίνονται πολύεύκολες στους καθηγητές Πολλοί ϕοιτητές όmicroως τις βρίσκουν δύσκολες Σε αυτό τοβιβλίο επιχειρώ να δείξω στους ϕοιτητές τον τρόπο σύνταξης και δόmicroησης αποδείξε-ων και ανασκευών περιγράϕοντας τα είδη των προσεγγίσεων που χρησιmicroοποιούν οιmicroαθηmicroατικοί όταν αντιmicroετωπίζουν δύσκολα προβλήmicroατα στην έρευνά τους

Βιβλίο καθηγητήΤο βιβλίο καθηγητή είναι διαθέσιmicroο σε οποιονδήποτε διδάσκει χρησιmicroοποιώντας τοπαρόν βιβλίο Το βιλίο καθηγητή περιέχει προτάσεις για τον τρόπο προσέγγισης τηςύλης κάθε κεϕαλαίου λύσεις για όλες τις ασκήσεις που δεν λύνονται πλήρως στο Πα-ράρτηmicroαΒ διαϕάνειες επαναληπτικό υλικό ιδέες για εργασίες και επιπλέον ασκήσεις

Πρόλογος 15

Τα νέα χαρακτηριστικά της τρίτης έκδοσης

Οι αλλαγές που έγιναν σε αυτή την έκδοση βασίστηκαν σε προτάσεις συναδέλϕων καιάλλων αναγνωστών της πρώτης και της δεύτερης έκδοσης και στη συνεχιζόmicroενη επαϕήmicroε ϕοιτητές microαθηmicroατικών και επιστήmicroης των υπολογιστών

Βελτιωmicroένη παιδαγωγική προσέγγιση

bull Ο αριθmicroός των ασκήσεων αυξήθηκε στις 2500 περίπου Προστέθηκαν περίπου 980νέες ασκήσεις

bull Προστέθηκαν ασκήσεις στα θέmicroατα στα οποία υπήρχε microεγαλύτερη ανάγκη για εξά-σκηση και τροποποιήθηκαν κατάλληλα ώστε να ληϕθούν καλύτερα υπόψη οι δυ-σκολίες των ϕοιτητών

bull Στο Παράρτηmicroα Β προστέθηκαν περισσότερες πλήρεις λύσεις ώστε να βοηθηθούνοι ϕοιτητές στα δύσκολα θέmicroατα

bull Ο τρόπος παρουσίασης των θεmicroάτων επανεξετάστηκε σε όλο το βιβλίο και όπουκρίθηκε σκόπιmicroο αναθεωρήθηκε

bull Έγινε προσεκτική δουλειά για να βελτιωθεί η microορϕή και η παρουσίαση του κειmicroένου

bull Επεκτάθηκαν οι συζητήσεις για ιστορικά θέmicroατα και πρόσϕατα αποτελέσmicroατα καιαυξήθηκαν οι ϕωτογραϕίες των επιστηmicroόνων των οποίων η δουλειά παρουσιάζεταιστο βιβλίο

Λογική

bull Η παρουσίαση των ποσοδεικτών έχει επεκταθεί σηmicroαντικά microε την προσθήκη microιαςνέας ενότητας αϕιερωmicroένης αποκλειστικά στους πολλαπλούς ποσοδείκτες

bull Προστέθηκαν ασκήσεις που χρησιmicroοποιούν τονΚόσmicroο τουTarski ένα υπέροχο παι-δαγωγικό εργαλείο που αναπτύχθηκε από τους Jon Barwise και John Etchemendyτου Πανεπιστηmicroίου του Stanford

bull Προστέθηκαν εϕαρmicroογές για την αναζήτηση στο ∆ιαδίκτυο

bull Απλοποιήθηκαν οι όροι διαϕόρων microορϕών συλλογισmicroών

Εισαγωγή στην απόδειξη

bull Επεκτάθηκαν οι οδηγίες συγγραϕής αποδείξεων

bull Οι περιγραϕές microεθόδων αποδείξεων γράϕτηκαν microε σαϕέστερο τρόπο

bull Οι ασκήσεις έχουν επανελεγχθεί και κάποιες έχουν microεταϕερθεί σε άλλο σηmicroείο ώστενα διευκολυνθεί η κατανόηση από τους ϕοιτητές

Επαγωγή και επανάληψη

bull Βελτιώθηκε η σκιαγράϕηση των αποδείξεων microε microαθηmicroατική επαγωγή

bull Οι υποενότητες της ενότητας των ακολουθιών οργανώθηκαν εκ νέου

bull Οι οmicroάδες ασκήσεων των ενοτήτων της ισχυρής microαθηmicroατικής επαγωγής και της κα-λής διάταξης και των επαγωγικώνεπαναληπτικών ορισmicroών επεκτάθηκαν σηmicroαντι-κά

Θεωρία αριθmicroών

bull Προστέθηκε microια υποενότητα ανοιχτών προβληmicroάτων στη θεωρία αριθmicroών και επε-κτάθηκε η συζήτηση για τις πρόσϕατες εξελίξεις

bull Προστέθηκε microια νέα ενότητα στην αριθmicroητική υπολοίπων και στην κρυπτογραϕίαΠεριλαmicroβάνεται microια συζήτηση για την κρυπτογραϕία RSA το microικρό θεώρηmicroα τουFermat και το κινέζικο θεώρηmicroα υπολοίπου

bull Η συζήτηση για τον έλεγχο αν ένας ακέραιος είναι πρώτος microεταϕέρθηκε αργότεραστο Κεϕάλαιο 3 για να γίνει σαϕής η εξάρτησή του από την έmicromicroεση επιχειρηmicroατο-λογία

16 Πρόλογος

Θεωρία συνόλων

bull ΟΙ ιδιότητες του κενού συνόλου παρουσιάζονται πλέον στην πρώτη ενότητα τουΚεϕαλαίου 5

bull Ηδεύτερη ενότητα του Κεϕαλαίου 5 είναι πλέον αϕιερωmicroένη αποκλειστικά σε απο-δείξεις στοιχείων

bull Οι αλγεβρικές αποδείξεις των συνολοθεωρητικών ιδιοτήτων και η χρήση αντιπαρα-δειγmicroάτων στην ανασκευή ιδιοτήτων συνόλων έχουν microεταϕερθεί στην τρίτη ενότητατου Κεϕαλαίου 5

bull Η παρουσίαση των αλγεβρών Boole έχει επεκταθεί και επισηmicroαίνεται η σχέση ανά-microεσα στις λογικές ισοδυναmicroίες τις ιδιότητες συνόλων και τις άλγεβρες Boole

Συνδυαστική και διακριτές πιθανότητες

bull Προστέθηκαν ασκήσεις στην ενότητα του διωνυmicroικού θεωρήmicroατος

bull Προστέθηκαν δύο νέες ενότητες στις πιθανότητες όπου microεταξύ άλλων καλύπτονταιη αναmicroενόmicroενη τιmicroή η δεσmicroευmicroένη πιθανότητα και η ανεξαρτησία και το θεώρηmicroαBayes

bull Εξηγούνται οι συνδυαστικές πτυχές των διευθύνσεων του διαδικτυακού πρωτοκόλ-λου (Internet Protocol IP)

Συναρτήσεις

bull Οι ασκήσεις για ένα προς ένα και επί συναρτήσεις έχουν βελτιωθεί

bull Έχει επεκταθεί το σύνολο των ασκήσεων στην πληθικότητα microε εϕαρmicroογές στην υ-πολογισιmicroότητα

Αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων

bull Οι Ενότητες 92 και 94 επανεξετάστηκαν και προστέθηκαν οι συmicroβολισmicroοίΘ καιΩ

bull Οι Ενότητες 93 και 95 έχουν αναθεωρηθεί αντίστοιχα microε καλύτερη επεξήγηση τηςέννοιας της διάταξης για έναν αλγόριθmicroο

bull Ηεξέταση της ταξινόmicroησης microε εισαγωγήκαι της ταξινόmicroησης microε επιλογή βελτιώθηκεκαι επεκτάθηκε

Κανονικές εκϕράσεις και αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων

bull Οι προηγούmicroενες διάσπαρτες ενότητες για τις τυπικές γλώσσες και τα αυτόmicroαταπεπερασmicroένων καταστάσεων συνενώθηκαν σε ένα αυτόνοmicroο κεϕάλαιο

bull Προστέθηκε microια νέα ενότητα για τις κανονικές εκϕράσεις καθώς και microια συζήτησηγια τη σχέση ανάmicroεσα στις κανονικές εκϕράσεις και στα αυτόmicroατα πεπερασmicroένωνκαταστάσεων

Ιστοσελίδα

∆ηmicroιουργήθηκε microια ιστοσελίδα γιrsquo αυτό το βιβλίο που περιέχει πληροϕορίες και υλικότόσο για τους ϕοιτητές όσο και για τους διδάσκοντες Περιέχει

bull περιγραϕές και συνδέσmicroους σε πολλές σελίδες στο ∆ιαδίκτυο microε προσβάσιmicroες πλη-ροϕορίες σχετικά microε τα διακριτά microαθηmicroατικά

bull συνδέσmicroους σε microικροεϕαρmicroογές που παρουσιάζουν ή προσϕέρουν εξάσκηση σε θέ-microατα διακριτών microαθηmicroατικών

bull πρόσθετα παραδείγmicroατα και ασκήσεις microε λύσεις

bull οδηγούς επανάληψης για τα κεϕάλαια του βιβλίου

Μια ειδική ενότητα για τους διδάσκοντες περιέχει

bull διαϕάνειες και ηλεκτρονικές διαϕάνειες σε αρχεία τύπου PowerPoint

bull επιπλέον ασκήσεις για εξετάσεις

Πρόλογος 17

Οδηγός για τη χρήση του βιβλίου microε τις λύσεις

Κατά τη συγγραϕή αυτού του βιβλίου προσπάθησα να δώσω αρκετή βοήθεια στους ϕοι-τητές microέσω της παρουσίασης της ύλης των λυmicroένων παραδειγmicroάτων και των λύσεων τωνασκήσεων ώστε να έχουν στη διάθεσή τους ότι χρειάζεται για την πλήρη κατανόηση τουmicroαθήmicroατος Πιστεύω ότι οι ϕοιτητές που θα ολοκληρώσουν τη microελέτη αυτού του βιβλίουκαι θα κατάϕερουν να λύσουν microόνοι τους όλες τις ασκήσεις που έχουν λυθεί στο Παράρ-τηmicroα Β θα κατανοήσουν πολύ καλά το αντικείmicroενο Όmicroως γνωρίζω ότι κάποιοι ϕοιτητέςθα θέλουν να έχουν πρόσβαση σε επιπλέον βοηθητικό υλικό Γιrsquo αυτόν το λόγο έχω γρά-ψει τον οδηγό λύσεων και microελέτης για το ϕοιτητή που διατίθεται ξεχωριστά από αυτότο βιβλίο και περιέχει τις πλήρεις λύσεις των ασκήσεων οι οποίες δεν είναι πλήρως λυmicroέ-νες στο Παράρτηmicroα Β και που ο αριθmicroός τους διαιρείται microε το 3 Αυτός ο οδηγός περιέχειεναλλακτικές επεξηγήσεις για κάποιες έννοιες και ερωτήσεις επανάληψης για κάθε κεϕά-λαιο

Οργάνωση του βιβλίου

Αυτό το βιβλίο microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί αποτελεσmicroατικά για ένα microάθηmicroα ενός ή δύοεξαmicroήνων Κάθε κεϕάλαιο περιέχει κύριες ενότητες ενότητες microε προαιρετικό υλικό καιενότητες microε προαιρετικές εϕαρmicroογές Οι διδάσκοντες έχουν την άνεση να επιλέξουν ό-ποιο υποσύνολο θεωρούν ότι ταιριάζει καλύτερα microε το microάθηmicroα και τους ϕοιτητές τους Οακόλουθος πίνακας δείχνει τη διαίρεση των ενοτήτων σε κατηγορίες

Ενότητες microε προαιρετικό Ενότητες microε προαιρετικές

Κεϕάλαιο Κύρια ενότητα microαθηmicroατικό υλικό εϕαρmicroογές στους υπολογιστές

1 11ndash13 14 15

2 21ndash24 22 23 23

3 31ndash34 36 35 37 38

4 41ndash42 43ndash44 45

5 51 52ndash54 54

6 61ndash64 65ndash69 63

7 71ndash72 73ndash75 71 72 75

8 81 82 83 84 84

9 91 92 94 93 95

10 101ndash103 104 105 104 105

11 111 115 112 113 114 111 112 115 116

12 121 122 123 121ndash123

Το δενδροειδές διάγραmicromicroα που ακολουθεί δείχνει κατά προσέγγιση την αλληλοεξάρ-τηση των κεϕαλαίων Τα κεϕάλαια που βρίσκονται σε διαϕορετικά κλαδιά του δέντρουείναι αρκετά ανεξάρτητα ώστε οι διδάσκοντες να microη χρειάζεται να κάνουν σηmicroαντικέςπροσαρmicroογές αν τα προσπεράσουν και απλώς ακολουθήσουν τις διαδροmicroές κατά microήκοςτων κλαδιών του δέντρου

18 Πρόλογος

1

2

33

4

8

12dagger

11

5

7

9

6 10

lowast dagger

Ευχαριστίες

Χρωστάω ένα microεγάλο ευχαριστώ σε πολλούς ανθρώπους στο Πανεπιστήmicroιο του DePaulγια την υποστήριξή τους όλα αυτά τα χρόνια που δούλευα πάνω στις εκδόσεις αυτού τουβιβλίου Κάποιοι συνάδελϕοι χρησιmicroοποίησαν πρώιmicroες microορϕές και προηγούmicroενες εκδό-σεις του βιβλίου και microου έκαναν εξαιρετικά σχόλια για βελτιώσεις Γιrsquo αυτό ευχαριστώτους Louis Aquila J Marshall Ash Allan Berele Jerey Bergen William Chin BarbaraCortzen Constantine Georgakis Sigrun Goes Jerry Goldman Lawrence Gluck LeonidKrop CarolynNarasimhanWalter Pranger Eric Rieders Ayse Sahin Yuen-FatWong καιειδικότερα την Jeanne LaDuke Οι χιλιάδες ϕοιτητές στους οποίους δίδαξα διακριτά microα-θηmicroατικά είχαν σηmicroαντικότατη επίδραση στη microορϕή του βιβλίου Μοιράζοντας τις σκέ-ψεις τους και τους τρόπους σκέψης τους microαζί microου microε δίδαξαν πώς να διδάσκω καλύτε-ρα Τους οϕείλω ευγνωmicroοσύνη για τη βοήθειά τους Ιδιαίτερες ευχαριστίες οϕείλω στηδιοίκηση του Πανεπιστηmicroίου τουDePaul ιδιαίτερα στον ΚοσmicroήτοραMichael Mezey καιστον πρώην Κοσmicroήτορα Richard Meister που θεώρησαν αξιόλογη ακαδηmicroαϊκή εργασίατη συγγραϕή αυτού του βιβλίου

Ευχαριστώ τους διορθωτές για τις πολύτιmicroες παρατηρήσεις τους γιrsquo αυτή την έκδοσητου βιβλίου τους Pablo Echeverria του Camden County College William Gasarch τουUniversity of Maryland Joseph Kolibal του University of Southern Mississippi Benny Loτου International Technological University George Luger του University of New MexicoNorman Richert τουUniversity of Houston-Clear Lake PeterWilliams τουCalifornia Sta-te University at San Bernardino και τον Jay Zimmerman του Towson University Για τηβοήθειά τους στην πρώτη και δεύτερη έκδοση αυτού του βιβλίου είmicroαι ευγνώmicroων στουςItshak Borosh Texas A ampMUniversity Douglas M Campbell Brigham Young UniversityDavid G Cantor University of California at Los Angeles C Patrick Collier Universityof Wisconsin-Oshkosh Kevan H Croteau Francis Marion University Irinel Drogan Uni-versity of Texas at Arlington Henry A Etlinger Rochester Institute of Technology MelvinJ Friske Wisconsin Lutheran College Ladnor Geissinger University of North CarolinaJerrold R Griggs University of South Carolina Nancy Baxter Hastings Dickinson Colle-ge Lillian Hupert Loyola University Chicago Leonard T Malinowski Finger Lakes Com-munity College John F Morrison Towson State Unviersity Paul Pederson University ofDenver George Peck Arizona State University Roxy Peck California Polytechnic StateUniversity San Luis Obispo Dix Pettey University of Missouri Anthony Ralston State U-niversity of NewYork at Bualo John Roberts University of Louisville καιGeorge Schultz

lowastΟι διδάσκοντες που προτιmicroούν να ορίσουν τη συνάρτηση ως διmicroελή σχέση microπορούν να καλύψουντην Ενότητα 101 πριν την Ενότητα 71daggerΗ Ενότητα 103 χρειάζεται για την Ενότητα 123 αλλά όχι για τις Ενότητες 121 και 122

Πρόλογος 19

St Petersburg Junior College Clearwater Πολλές ευχαριστίες οϕείλω επίσης στους JohnCarroll San Diego State University Dr Joseph S Fulda και Porter G Webster Universityof Southern Mississippi για την απίστευτη επιmicroέλειά τους και την ενθάρρυνση που microουέδωσαν

Επίσης ωϕελήθηκα πάρα πολύ από τις παρατηρήσεις πολλών διδασκόντων που microουπρόσϕεραν γενναιόδωρα τις ιδέες τους για βελτιώσεις βασισmicroένες στις εmicroπειρίες τους α-πό τις προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Είmicroαι ιδιαίτερα ευγνώmicroων στους GoldstinePennsylvania State University David Hecker St Josephrsquos University Tom Jenkyns BrockUniversity Robert Messer Albion College Piotr Rudnicki University of Alberta AnwarShiek Dineacute College Norton Starr Amherst College Είχα επίσης εξαίρετη βοήθεια απότους John Banks Christopher Novak DePaul University και Ian Crewe Ascension Colle-giate School κατά τη διάρκεια της παραγωγής του βιβλίου

Χρωστώ ευγνωmicroοσύνη σε πολλούς ανθρώπους στις εταιρείες Wadsworth and Bro-oksCole Publishing ιδιαίτερα τον εκδότη microου Robert Pirtle για την ικανότητά του ναπραγmicroατοποιεί καλά πράγmicroατα ως δια microαγείας τους προηγούmicroενους εκδότες microου Hea-ther Bennett και Barbara Holland για την ενθάρρυνση και τον ενθουσιασmicroό τους και τηδιευθύντρια παραγωγής Janet Hill για την κατανόησή της και την προθυmicroία της να microουεπιτρέψει να έχω ρόλο σε όλα τα στάδια της παραγωγής ∆εν microπορώ να ϕανταστώ κα-λύτερη διευθύντρια παραγωγής από τη Martha Emry της οποίας τα υψηλής ποιότηταςπρότυπα και η προσοχή της στις λεπτοmicroέρειες ήταν πάντα εmicroπνευσmicroένες Ο σχεδιασmicroόςτης Kathleen Cunningham και η ϕωτοσύνθεση από την Techsetters Inc θα εκτιmicroηθούναπό όλους τους αναγνώστες του βιβλίου

Όσο microεγαλώνω τόσο συνειδητοποιώ το τεράστιο χρέος που οϕείλω στους δικούς microουδασκάλους των microαθηmicroατικών που διαmicroόρϕωσαν τον τρόπο microε τον οποίο βλέπω το αντι-κείmicroενο Τα πρώτα microου ευχαριστώ πρέπει να πάνε στο σύζυγό microουHelmut Epp ο οποίοςσε ένα ραντεβού όταν ακόmicroα ήmicroουν στο Γυmicroνάσιο () microε εισήγαγε στη δύναmicroη και τηνοmicroορϕιά των αξιωmicroάτων των microαθηmicroατικών και την άποψη ότι τα microαθηmicroατικά είναι ένααντικείmicroενο τόσο microε ιδέες όσο και microε τύπους και τεχνικές Όσον αϕορά την εκπαίδευ-σή microου είmicroαι ευγνώmicroων στους Daniel Zelinsky και Ky Fan του Northwestern Universityκαι Izaak Wirszup I N Herstein και Irving Kaplansky του University of Chicago που ό-λοι τους ο καθένας microε το δικό του τρόπο microε βοήθησαν να εκτιmicroήσω την κοmicroψότητα καιαυστηρότητα των microαθηmicroατικών αλλά και τη συγκίνηση που προκαλούν

Στην οικογένειά microου χρωστάω ευχαριστίες πέρα από κάθε όριο Είmicroαι ευγνώmicroων στηmicroητέρα microου που το ευγενικό ενδιαϕέρον της για τα έργα της ανθρώπινης διανόησης microεέβαλαν πριν πολλά χρόνια στο δρόmicroο που οδήγησε σε αυτό το βιβλίο και στον εκλιπόνταπατέρα microου που η αϕοσίωσή του στα βιβλία ήταν σταθερή πηγή έmicroπνευσης Ευχαριστώ ταπαιδιά microου και τα εγγόνια microου για την αγάπη τους και την αποδοχή των απαιτήσεων πουεπέβαλλε η συγγραϕή αυτού του βιβλίου στη ζωή microου Και περισσότερο από κάθε άλλονείναι ευγνώmicroωνστο σύζυγό microου που για πολλά χρόνια microε ενθάρρυνε microε την πίστη του στηναξία αυτής της εργασίας και microε υποστήριξε microε την αγάπη του και τις σοϕές συmicroβουλές του

Susanna Epp

236 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

62 Υποθέστε ότι το a[1] a[2] a[3] a[m] είναι διάνυσmicroακαι θεωρήστε το ακόλουθο τmicroήmicroα αλγορίθmicroου

sum ∶= 0for k ∶= 1 to m

sum ∶= sum + a[k]next k

Συmicroπληρώστε τα κενά παρακάτω ώστε κάθε τmicroήmicroα του αλ-γορίθmicroου να κάνει την ίδια δουλειά microε το παραπάνω

α sum ∶= 0for i ∶= 0 to

sum ∶=next i

β sum ∶= 0for j ∶= 2 to

sum ∶=next j

Χρησιmicroοποιήστε διαδοχικές διαιρέσεις microε το 2 για να microετατρέ-ψετε (microε το χέρι) τους ακεραίους των Ασκήσεων 63ndash65 από τηβάση 10 στη βάση 2

63 90 64 98 65 205

Κατασκευάστε έναν πίνακα για να καταγράψετε όλα τα βήmicroατατου Αλγορίθmicroου 411 microε είσοδο τις Ασκήσεις 66ndash68

66 23 67 28 68 44

69 Γράψτε microια microη τυπική περιγραϕή αλγορίθmicroου (χρησιmicroοποιώ-ντας διαδοχικές διαιρέσεις microε το 16) για να microετατρέψετε έναmicroη αρνητικό ακέραιο από το δεκαδικό στο δεκαεξαδικό σύ-στηmicroα (microε βάση το 16)

Χρησιmicroοποιήστε τον αλγόριθmicroο που αναπτύξατε για την Άσκη-ση 69 για να microετατρέψετε τους ακεραίους των Ασκήσεων 70ndash72στο δεκαεξαδικό σύστηmicroα

70 287 71 693 72 2301

73 Γράψτε microια τυπική περιγραϕή του αλγορίθmicroου που αναπτύ-ξατε στην Άσκηση 69

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι

[Η microαϑηmicroατιϰή επαγωγή είναι] η συνήϑης αποδειϰτιϰή τεχνιϰή στην επιστήmicroη τωνυπολογιστών

mdashAnthony Ralston 1984

Ηmicroαθηmicroατική επαγωγή είναι microία από τις πιο πρόσϕατα ανεπτυγmicroένες αποδεικτικές microεθό-δους στην ιστορία των microαθηmicroατικών Χρησιmicroοποιείται για την επαλήθευση εικασιών πουαϕορούν σε αποτελέσmicroατα διαδικασιών που εmicroϕανίζονται κατrsquo επανάληψη και σύmicroϕωναmicroε καθορισmicroένα microοτίβα Θα παρουσιάσουmicroε αυτή την τεχνική microε ένα παράδειγmicroα

Μερικοί ισχυρίζονται ότι το λεπτό του αmicroερικάνικου δολαρίου είναι τόσο microικρό νόmicroι-σmicroα ώστε πρέπει να αποσυρθεί Λένε ότι αν πέσει από τα χέρια κάποιου αυτός σπανίως θασκύψει να το πάρει Άλλοι ισχυρίζονται ότι αν αποσυρθεί το λεπτό θα υπάρχουν προβλή-microατα microε την ευελιξία στον καθορισmicroό των τιmicroών των αγαθών Ποιες τιmicroές θα microπορούσαννα εξοϕληθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο στην περίπτωση απόσυρσης του λεπτού και αντι-κατάστασής του microε ένα νόmicroισmicroα αξίας 3cent Η απάντηση είναι ότι οι microόνες τιmicroές που δενθα microπορούσαν να πληρωθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο είναι οι 1cent 2cent 4cent και 7cent Με άλλαλόγια

Μπορούmicroε να πάρουmicroε οποιονδήποτε ακέραιο αριθmicroό τουλάχιστον8 λεπτών χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα των 3cent και 5cent

Ποιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 microπορούmicroε να πάρουmicroεn λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5cent

Ακόmicroα πιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 η P(n) είναι αληθής όπου P(n) είναι η πρότασηlaquomicroπορούmicroε να πάρουmicroε n λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5centraquo

Θα microπορούσατε να ελέγξετε ότι η P(n) είναι αληθής για λίγες συγκεκριmicroένες τιmicroές του nόπως κάνουmicroε στον παρακάτω πίνακα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 237

Αριθmicroός λεπτών Πώς λαmicroβάνεται

8cent 3cent + 5cent

9cent 3cent + 3cent + 3cent

10cent 5cent + 5cent

11cent 3cent + 3cent + 5cent

12cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent

13cent 3cent + 5cent + 5cent

14cent 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

15cent 5cent + 5cent + 5cent

16cent 3cent + 3cent + 5cent + 5cent

17cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

Οι περιπτώσεις που ϕαίνονται στον πίνακα microας δίνουν επαγωγικού τύπου στοιχείαγια να υποστηρίξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλα τα n Πράγmicroατι η P(n) είναι αλη-ϑής για όλα τα n ge 8 αν ϰαι microόνο αν είναι εϕιϰτό να συνεχίσουmicroε να συmicroπληρώνουmicroε τονπίναϰα για οσοδήποτε microεγάλες τιmicroές του n

Η k γραmicromicroή του πίνακα δίνει πληροϕορίες για το πώς θα πάρουmicroε kcent χρησιmicroοποιώ-ντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent Για να συνεχίσουmicroε τον πίνακα στην επόmicroενη γραmicromicroήπρέπει να δώσουmicroε οδηγίες για το πώς θα υπολογιστούν τα (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και 5cent Το microυστικό είναι να παρατηρήσουmicroε πρώτα ότι αν microπορούmicroε ναυπολογίσουmicroε kcent χρησιmicroοποιώντας τουλάχιστον ένα κέρmicroα των 5cent τότε microπορούmicroε να υ-πολογίσουmicroε (k + 1)cent αντικαθιστώντας το κέρmicroα των 5cent microε δύο κέρmicroατα των 3cent όπωςϕαίνεται στο Σχήmicroα 421

kcent (k + 1)cent

3cent 3cent5cent

Αντικατάσταση ενός κέρματος των 5cent με δύο

κέρματα των 3cent

Αφαίρεση Προσθήκη

Σχήmicroα 421

Αν από την άλλη microεριά τα kcent λαmicroβάνονται χωρίς χρήση του κέρmicroατος των 5cent τότεχρησιmicroοποιούνται microόνο κέρmicroατα των 3cent Και αϕού το σύνολο είναι τουλάχιστον 8cent πρέπεινα περιλαmicroβάνονται τρία ή περισσότερα κέρmicroατα των 3cent Για να πάρουmicroε ένα σύνολο(k + 1)cent microπορούmicroε να αντικαταστήσουmicroε τρία από τα κέρmicroατα των 3cent microε δύο των 5centόπως ϕαίνεται στο Σχήmicroα 422 της επόmicroενης σελίδας

Η δοmicroή του παραπάνω επιχειρήmicroατος microπορεί να περιγραϕεί συνοπτικά ως εξής Γιανα δείξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8 (1) δείχνουmicroε ότι ηP(8) είναι αληθής και (2) δείχνουmicroε ότι η αλήθεια της P(k + 1) προκύπτει απαραίτητααπό την αλήθεια της P(k) για κάθε k ge 8 Κάθε επιχείρηmicroα αυτής της microορϕής καλείταιεπιχείρηmicroα microαϑηmicroατιϰής επαγωγής

238 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

5cent

kcent (k + 1)cent

Προσθήκη

kcent (k + 1)cent

5cent

3cent 3cent

3cent

Αντικαθιστούμε τρίακέρματα των 3centμε δύο κέρματα

των 5cent

Αφαίρεση

5cent

Σχήmicroα 422

Η αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής

Έστω ότι η P(n) είναι microια ιδιότητα που ορίζεται για ακεραίους n και έστω ότι οa είναι ένας συγκεκριmicroένος ακέραιος Υποθέτουmicroε ότι οι ακόλουθες δυο προτάσειςείναι αληθείς

1 Η P(a) είναι αληθής2 Για όλους τους ακεραίους k ge a αν η P(k) είναι αληθής τότε και η P(k + 1) είναι

αληθής

Τότε ισχύει η πρότασηγια όλους τους ακεραίους n ge a η P(n) είναι αληθής

Η πρώτη γνωστή καταγεγραmicromicroένη microαθηmicroατική επαγωγή βρίσκεται στα γραπτά τουΙταλού επιστήmicroονα Francesco Maurolico το 1575 Την ίδια τεχνική χρησιmicroοποιούσαν κα-τά το δέκατο έβδοmicroο αιώνα και οι Pierre de Fermat και Blaise Pascal Ο Fermat ονόmicroαζετην επαγωγή laquomicroέθοδο της άπειρης καθόδουraquo (laquomethod of innite descentraquo) Το 1883 οAugustus De Morgan (γνωστός από τους κανόνες De Morgan) περιέγραψε προσεκτικάτη διαδικασία και την ονόmicroασε microαϑηmicroατιϰή επαγωγή

Για να πάρετε microια διαισθητική εικόνα για τη microαθηmicroατική επαγωγή ϕανταστείτε microιαάπειρη συλλογή από ντόmicroινο τοποθετηmicroένα το ένα πίσω από το άλλο microε τέτοιο τρόποώστε αν ένα ντόmicroινο πέσει να ρίξει και το επόmicroενο (∆είτε το Σχήmicroα 423) Φανταστείτετώρα ότι πέϕτει το πρώτο ντόmicroινο Τι θα συmicroβεί Θα πέσουν όλα

12

3

4

kk + 1

Σχήmicroα 423 Όταν πέϕτει το k ντόmicroινο ρίχνει και το (k + 1)

Για να δείτε τη σχέση ανάmicroεσα σε αυτή την εικόνα και την αρχή της microαθηmicroατικήςεπαγωγής υποθέστε ότι η P(n) είναι η πρόταση laquoτο n ντόmicroινο πέϕτειraquo Υποθέτουmicroε ότιγια κάθε k ge 1 αν η P(k) είναι αληθής (το k ντόmicroινο πέϕτει) τότε η P(k + 1) είναι επίσηςαληθής (το (k + 1) ντόmicroινο πέϕτει) Υποθέτουmicroε επίσης ότι η P(1) είναι αληθής (το πρώτοντόmicroινο πέϕτει) Έτσι από την αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής η P(n) (το n ντόmicroινοπέϕτει) είναι αληθής για κάθε n ge 1

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 239

Η ισχύς της απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή θεωρείται αξίωmicroα Γιrsquo αυτόν το λόγοαναϕερόmicroαστε σε αυτή ως αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής αντί ως θεώρηmicroα Είναι ισο-δύναmicroη microε την ακόλουθη ιδιότητα των ακεραίων που εύκολα τη δέχεται κανείς ως αληθήmicroε βάση τη διαίσθησή του

Υποθέτουmicroε ότι το S είναι οποιοδήποτε σύνολο ακεραίων που ικανοποιεί (1) a isin Sκαι (2) για όλους τους ακεραίους k αν k isin S τότε k + 1 isin S Τότε το S πρέπει ναπεριέχει κάθε ακέραιο microεγαλύτερο ή ίσο του a

Για να κατανοήσουmicroε την ισοδυναmicroία των δυο διατυπώσεων απλώς ορίζουmicroε ως S τοσύνολο όλων των ακεραίων για τους οποίους η P(n) είναι αληθής

Η απόδειξη ενός επιχειρήmicroατος microε microαθηmicroατική επαγωγή είναι microια διαδικασία δύο βη-microάτων Το πρώτο βήmicroα λέγεται αρχιϰό βήmicroα ή βήmicroα έναρξης και το δεύτερο επαγωγιϰόβήmicroα

Η microέθοδος απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή

Θεωρήστε microια πρόταση της microορϕής laquoγια όλους τους ακεραίους n ge a η ιδιότηταP(n) είναι αληθήςraquo Για να αποδείξουmicroε microια τέτοια πρόταση ακολουθούmicroε τα παρα-κάτω δύο βήmicroατα

Βήmicroα 1 (αρχικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = a

Βήmicroα 2 (επαγωγικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους k ge a αν η ιδιό-τητα είναι αληθής για n = k τότε είναι αληθής για n = k + 1 Για να πραγmicroα-τοποιήσουmicroε αυτό το βήmicroα

υποθέτουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k όπου k είναιοποιοσδήποτε συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος ακέραιοςmicroε k ge a [Αυτή η υπόϑεση ονοmicroάζεται επαγωγική υπόθεση]

Έτσι

δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k + 1

∆ίνουmicroε εδώ την τυπική απόδειξη για τα κέρmicroατα που διατυπώσαmicroε χωρίς τυπικό τρό-πο προηγουmicroένως

Πρόταση 421

Έστω ότι η P(n) είναι η ιδιότητα laquoncent microπορούν να υπολογιστούν microε κέρmicroατα των 3centκαι 5centraquo Τότε η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8

Απόδειξη

∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 8 Η ιδιότητα είναι αληθής για n = 8 ε-πειδή 8cent = 3cent + 5cent

∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 8 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής ϰαι για n = k + 1 Υποθέτουmicroε ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε kcent χρη-σιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent για κάποιο ακέραιο k ge 8 [Αυτή είναι η ε-παγωγιϰή υπόϑεση]Πρέπει να δείξουmicroε τώρα ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε και (k + 1)centχρησιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και 5cent Αν υπάρχει κέρmicroα των 5cent ανάmicroεσα σε αυτάπου απαρτίζουν τα kcent το αντικαθιστούmicroε microε δύο κέρmicroατα των 3cent το αποτέλεσmicroαθα είναι (k + 1)cent Αν δεν υπάρχει κέρmicroα των 5cent σε αυτά που απαρτίζουν τα kcent τότεπρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 3 κέρmicroατα των 3cent αϕού k ge 8 Αϕαιρούmicroε αυτά τατρία κέρmicroατα των 3cent και τα αντικαθιστούmicroε microε δύο των 5cent το αποτέλεσmicroα θα είναι(k + 1)cent Έτσι σε κάθε περίπτωση microπορούmicroε να πάρουmicroε (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και των 5cent [όπως έπρεπε να δειχϑεί]

240 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Το ακόλουθο παράδειγmicroα δείχνει πώς χρησιmicroοποιούmicroε τη microαθηmicroατική επαγωγή γιανα αποδείξουmicroε έναν τύπο που δίνει το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Παράδειγmicroα 421 Άθροισmicroα των n πρώτων ακεραίων

Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να αποδείξετε ότι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2για όλους τους ακεραίους n ge 1

Λύση Για να κατασκευάσετε microια απόδειξη microε επαγωγή πρέπει πρώτα να βρείτε ποια είναι ηιδιότητα P(n) Σε αυτή την περίπτωση η P(n) είναι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2 larr η ιδιότητα (P(n))

[Για να δείτε ότι η P(n) είναι microια πρόταση παρατηρήστε ότι το αντιϰείmicroενό της είναι laquoτοάϑροισmicroα των αϰεραίων από το 1 microέχρι το nraquo ϰαι το ρήmicroα της είναι το laquoισούταιraquo]

Στο αρχικό βήmicroα της απόδειξης πρέπει να δείξετε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 1ή microε άλλα λόγια ότι η P(1) είναι αληθής Τώρα για να βρούmicroε την P(1) αντικαθιστούmicroε1 στη θέση του n στην P(n) Το αριστερό σκέλος της P(1) είναι το άθροισmicroα όλων τωνδιαδοχικών ακεραίων που ξεκινούν microε το 1 και τελειώνουν στο 1 Αυτό είναι απλώς το 1Έτσι η P(1) είναι η

1 =1(1 + 1)

2 larr αρχική (P(1))

Φυσικά αυτή η εξίσωση είναι αληθής διότι το δεξιό σκέλος είναι

1(1 + 1)2

=1 sdot 2

2= 1

που ισούται microε το αριστερό σκέλοςΣτο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής για κάποιον ακέραιο k microε

k ge 1 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση] Πρέπει τώρα να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναιαληθής Ποιες είναι οι P(k) και P(k + 1) Για να βρούmicroε την P(k) αντικαθιστούmicroε k στηθέση κάθε n στην P(n) Έτσι η P(k) είναι η

1 + 2 +⋯+ k =k(k + 1)

2 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Παρόmicroοια για να βρούmicroε την P(k + 1) αντικαθιστούmicroε κάθε n της P(n) microε την ποσότητα(k + 1) Έτσι η P(k + 1) είναι1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2

ή ισοδύναmicroα

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

larr να δειχθεί η (P(k + 1))

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 241

Τώρα η επαγωγική υπόθεση είναι ότι η P(k) είναι αληθής Πώς microπορούmicroε να χρησι-microοποιήσουmicroε αυτή την υπόθεση για να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής Η P(k + 1)είναι microια εξίσωση και η αλήθεια microιας εξίσωσης microπορεί να δειχθεί microε διάϕορους τρόπουςΈνας από τους πιο άmicroεσους είναι να microετασχηmicroατίσουmicroε το αριστερό σκέλος στο δεξιόχρησιmicroοποιώντας άλγεβρα και άλλους γνωστούς κανόνες και έγκυρες υποθέσεις microεταξύτων οποίων και την επαγωγική υπόθεση Σε αυτή την περίπτωση το αριστερό σκέλος τηςP(k + 1) είναι

1 + 2 +⋯+ (k + 1)που ισούται microε

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) προσδιορισmicroός του προτελευταίουόρου και οmicroαδοποίηση

Αλλά microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1)=k(k + 1)

2+ (k + 1) αϕού η επαγωγική υπόθεση λέει

ότι 1 + 2 +⋯ + k =k(k + 1)

2

Τώρα χρησιmicroοποιούmicroε άλγεβρα για να δείξουmicroε ότι αυτή η έκϕραση ισούται microε το δεξιόσκέλος της P(k + 1)

k(k + 1)2

+ (k + 1)

=k(k + 1)

2+2(k + 1)

2

πολλαπλασιάζουmicroε αριθmicroητή και πα-ρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε το2 για να πάρουmicroε κοινό παρονοmicroα-στή

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2microε πρόσθεση κλασmicroάτων

=(k + 2)(k + 1)

2βγάζουmicroε κοινό παράγοντα το (k + 1)

=(k + 1)(k + 2)

2υπολογίζουmicroε τους παράγοντες(k + 1) και (k + 2)

που ισούται microε το δεξιό σκέλος της P(k + 1)Συνοψίζουmicroε την παραπάνω ανάλυση ως εξής

Θεώρηmicroα 422 Άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Για όλους τους ακεραίους n ge 1

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2

Απόδειξη (microε microαθηmicroατική επαγωγή)

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση 1 + 2 +⋯+ n = n(n + 1)2

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1 Για να δείξουmicroε την ιδιότητα για

n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 =1(1 + 1)

2 Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης

είναι 1 και το δεξιό είναι1(1 + 1)

2=2

2= 1 και αυτό Άρα η ιδιότητα είναι αληθής για

n = 1συνεχίζεται στην επόmicroενη σελίδα

242 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2είναι αληϑής για ϰάποιον

αϰέραιο k ge 1 στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ k =

k(k + 1)2

για κάποιον ακέραιο k ge 1

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =

n(n + 1)2

είναι αληϑής όταν

αντιϰαταστήσουmicroε το k + 1 στη ϑέση του n]Πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2 ή ισοδύναmicroα ότι

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

421

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος της εξίσωσης (421) ισούται microε το δεξιόσϰέλος]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (421) είναι το

1 + 2 +⋯+ (k + 1)= (1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) Ο προτελευταίος όρος είναι ο k γιατί οι όροι

είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ο τελευταίος εί-ναι ο k + 1

=k(k + 1)

2+ (k + 1) microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

=k(k + 1)

2+(k + 1) sdot 2

2

=(k + 1)(k + 2)

2

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (421) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού δείξαmicroε ϰαι το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

Λέγεται microια ιστορία για έναν από τους microεγαλύτερους microαθηmicroατικούς όλων των εποχώντον Carl Friedrich Gauss (1777ndash1855) σύmicroϕωνα microε την οποία όταν ήταν microικρό παιδί οδάσκαλος του ζήτησε να προσθέσει τους αριθmicroούς από το 1 microέχρι το 100 Ο δάσκαλοςζήτησε από τους microαθητές να υπολογίσουν το άθροισmicroα ώστε να τους απασχολήσει γιανα microπορέσει εκείνος να διορθώσει γραπτά Αλλά λίγες στιγmicroές αργότερα ο Gauss βρήκετην σωστή απάντηση Είναι περιττό να πούmicroε ότι ο δάσκαλος τα έχασε Πώς microπόρεσε ονεαρός Gauss να υπολογίσει τόσο γρήγορα Τα επόmicroενα χρόνια ο Gauss εξήγησε ότι είχεϕανταστεί τους αριθmicroούς σε ζευγάρια σύmicroϕωνα microε το ακόλουθο σχήmicroα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 243

1 2 3 50 51 98 99 100

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

Το άθροισmicroα κάθε ζεύγους είναι 101 και υπάρχουν 50 ζεύγη άρα το συνολικό άθροισmicroαείναι 50 sdot 101 = 5050

Παράδειγmicroα 422 Εϕαρmicroογές του τύπου του αθροίσmicroατος των πρώτων n ακεραίων

α Βρείτε το 2 + 4 + 6 +⋯+ 500

β Βρείτε το 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50

γ Για οποιονδήποτε ακέραιο h ge 2 βρείτε το 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1)Λύση

α 2 + 4 + 6 +⋯+ 500 = 2 sdot (1 + 2 + 3 +⋯+ 250)= 2 sdot (250 sdot 251

2) εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroα

των πρώτων n ακεραίων για n = 250

= 62750

β 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50 = (1 + 2 + 3 +⋯+ 50) minus (1 + 2 + 3 + 4)=50 sdot 51

2minus 10

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroατων πρώτων n ακεραίων για n = 50

= 1265

γ 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1) = (h minus 1) sdot [(h minus 1) + 1]2

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροι-σmicroα των πρώτων n ακεραίων γιαn = h minus 1

=(h minus 1) sdot h

2αϕού (h minus 1) + 1 = h n

Στο επόmicroενο παράδειγmicroα ζητείται να αποδειχθεί ένας άλλος διάσηmicroος microαθηmicroατικόςτύποςmdashο τύπος του αθροίσmicroατος της γεωmicroετρικής προόδου Σε microια γεωmicroετρικήπρόοδοκάθε όρος ισούται microε τον προηγούmicroενο επί ένα σταθερό παράγοντα Αν ο πρώτος όροςείναι 1 και ο σταθερός παράγοντας είναι r τότε η ακολουθία είναι 1 r r2 r3 rn Το άθροισmicroα των πρώτων n όρων αυτής της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

για όλους τους ακεραίους n ge 0 και τους πραγmicroατικούς αριθmicroούς r που δεν είναι ίσοι microε1 Η αναπτυγmicroένη microορϕή αυτού του τύπου είναι η

r0 + r1 + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

και επειδή r0 = 1 και r1 = r ο τύπος για n ge 1 microπορεί να ξαναγραϕεί ως

1 + r + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

244 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παράδειγmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Αποδείξτε ότιnsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 για κάθε ακέραιο n ge 0 και για όλους τους πραγmicroατικούς

αριθmicroούς r διάϕορους του 1

Λύση Σε αυτό το παράδειγmicroα η ιδιότητα P(n) είναι πάλι microια εξίσωση αν και σε αυτή τηνπερίπτωση περιλαmicroβάνει microια πραγmicroατική microεταβλητή r

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 larr η ιδιότητα (P(n))

Αϕού το r microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός εκτός του 1 ξεκινάmicroε τηναπόδειξη υποθέτοντας ότι ο r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγ-microατικός αριθmicroός διάϕορος του 1 Έπειτα συνεχίζουmicroε την απόδειξη microε microαθηmicroατική επα-γωγή στο n αρχίζοντας microε το n = 0 Στο αρχικό βήmicroα πρέπει να δείξουmicroε ότι η P(0) είναιαληθής δηλαδή να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 0 Οπότε αντικαθιστούmicroε0 για κάθε n στην P(n)

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1 larr αρχική (P(0))

Στο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής δηλαδή υποθέτουmicroε ότι ηιδιότητα είναι αληθής για n = k Οπότε αντικαθιστούmicroε k για κάθε n στην P(n)

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Μετά δείχνουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής δηλαδή δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αλη-θής για n = k + 1 Έτσι αντικαθιστούmicroε k + 1 για κάθε n στην P(n)

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1

ή εναλλακτικά

k+1sumi=0

r i =rk+2 minus 1

r minus 1sdot larr για να δείξουmicroε την (P(k + 1))

Θεώρηmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό r εκτός του 1 και για κάθε ακέραιο n ge 0

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Απόδειξη

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Υποθέτουmicroε ότι το r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγmicroατικόςαριθmicroός διάϕορος του 1 Πρέπει να δείξουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους n ge 0

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 245

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Θα το δείξουmicroε microε microαθηmicroατική επαγωγή στο n

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0 Για n = 0 πρέπει να δείξουmicroε ότι

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1

Το αριστερό σκέλος αυτής της εξίσωσης είναι το r0 = 1 Το δεξιό σκέλος είναι

r1 minus 1

r minus 1=r minus 1

r minus 1= 1

ξανά αϕού r1 = r και r ne 1 [Οπότε η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0]

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 0 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1είναι αληϑής όταν ένας αϰέραιος k ge 0

αντιϰατασταϑεί στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 για k ge 0 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση]

[Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1 422

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος αυτής της εξίσωσης ισούται microε το δεξιό]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (422) είναι το

k+1sumi=0

r i =ksumi=0

r i + rk+1 γράϕουmicroε τον (k + 1) όρο ξεχωριστά απότους πρώτους k όρους

=rk+1 minus 1

r minus 1+ rk+1 microε αντικατάσταση από

την επαγωγική υπόθεση

=rk+1 minus 1

r minus 1+rk+1(r minus 1)

r minus 1

πολλαπλασιάζουmicroε τον αριθmicroητή και τονπαρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε (r minus 1)για να έχουmicroε κοινό παρονοmicroαστή

=(rk+1 minus 1) + rk+1(r minus 1)

r minus 1πρόσθεση κλασmicroάτων

=rk+1 minus 1 + rk+2 minus rk+1

r minus 1πολλαπλασιασmicroός και χρήση του

rk+1 sdot r = rk+1 sdot r1 = rk+2

=rk+2 minus 1

r minus 1διαγραϕή των rk+1

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (4 2 2) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

10 Περιεχόmicroενα

114 Ισοmicroορφισmicroοί γραφηmicroάτων 724Ορισmicroός ισοmicroορϕισmicroού γραϕηmicroάτωνκαι παραδείγmicroατα Ισοmicroορϕικά αναλλοίωτες πο-σότητες Ισοmicroορϕισmicroός γραϕηmicroάτων για απλά γραϕήmicroατα

115 ∆έντρα 732Ορισmicroοί και παραδείγmicroατα δέντρων Χαρακτηρισmicroός δέντρων ∆έντρα microε ρίζα ∆υα-δικά δέντρα

116 ∆έντρα επικάλυψης 750Ορισmicroός δέντρου επικάλυψης Ελάχιστα δέντρα επικάλυψης Ο αλγόριθmicroος του Kru-skal Ο αλγόριθmicroος του Prim

Κεφάλαιο 12 Κανονικές εκφράσεις και πεπερασmicroένα αυτόmicroατα 761

121 Τυπικές γλώσσες και κανονικές εκφράσεις 762Ορισmicroοί και παραδείγmicroατα τυπικών γλωσσών και κανονικών εκϕράσεων Πρακτικέςχρήσεις των κανονικών εκϕράσεων

122 Αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων 773Ορισmicroός του αυτοmicroάτου πεπερασmicroένων καταστάσεωνΗ γλώσσα που αποδέχεται ένααυτόmicroατο Η συνάρτηση καταληκτικής κατάστασης Σχεδίαση ενός αυτοmicroάτου πεπε-ρασmicroένων καταστάσεων Προσοmicroοίωση αυτοmicroάτου πεπερασmicroένων καταστάσεων microεχρήση λογισmicroικού Αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων και κανονικές εκϕράσειςΚανονικές γλώσσες

123 Απλοποίηση αυτοmicroάτων πεπερασmicroένων καταστάσεων 791lowast ισοδυναmicroία καταστάσεων k ισοδυναmicroία καταστάσεων Προσδιορισmicroός των κλά-σεων της lowast ισοδυναmicroίας Το αυτόmicroατο πηλίκου Κατασκευή του αυτοmicroάτου πηλίκουΙσοδύναmicroα αυτόmicroατα

Παράρτηmicroα Α Ιδιότητες των πραγmicroατικών αριθmicroών 805

Παράρτηmicroα Β Λύσεις και υποδείξεις επιλεγmicroένων ασκήσεων 808

Πίνακας συmicroβόλων 921

Ευρετήριο 927

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Ο σκοπός microου microε αυτό το βιβλίο ήταν να δώσω microια σαϕή και προσιτή παρουσίαση τωνδιακριτών microαθηmicroατικών για προπτυχιακούς και microεταπτυχιακούς ϕοιτητές που σπουδά-ζουν επιστήmicroη υπολογιστών microαθηmicroατικά εκπαίδευση στα microαθηmicroατικά και microηχανολογίαΣτόχος του βιβλίου είναι να θέσει τις microαθηmicroατικές βάσεις για microαθήmicroατα της επιστήmicroης τωνυπολογιστών όπως δοmicroές δεδοmicroένων αλγόριθmicroοι θεωρία βάσεων δεδοmicroένων θεωρία αυ-τοmicroάτων και τυπικές γλώσσες σχεδιασmicroός microεταγλωττιστών και κρυπτογραϕία αλλά καιγια microαθήmicroατα microαθηmicroατικών όπως γραmicromicroική και αϕηρηmicroένη άλγεβρα συνδυαστική πι-θανότητες λογική και συνολοθεωρία και θεωρία αριθmicroών Συνδυάζοντας τη θεωρία καιτην πράξη προσπάθησα να δείξω ότι τα microαθηmicroατικά εκτός από το ότι είναι αξιαγάπηταενδιαϕέροντα και όmicroορϕα από microόνα τους έχουν σηmicroαντικές εϕαρmicroογές

Το microόνο προαπαιτούmicroενο είναι ένα καλό υπόβαθρο στην απλή άλγεβρα το microάθηmicroαmicroπορεί να διδαχθεί είτε πριν είτε microετά από ένα microάθηmicroα απειροστικού λογισmicroού Προηγού-microενες εκδόσεις του βιβλίου έχουν χρησιmicroοποιηθεί microε επιτυχία σε ιδρύmicroατα της Βόρειαςκαι Νότιας Αmicroερικής της Ευρώπης της Μέσης Ανατολής και της Αυστραλίας

Σύmicroϕωνα microε τις πρόσϕατες προτάσεις του Ινστιτούτου Ηλεκτρολόγων και Ηλεκτρο-νικώνΜηχανικών-Ένωσης Υπολογιστών (Institute for Electrical and Electronic EngineersComputer Society IEEE-CS) και της Ένωσης ΣυσκευώνΥπολογιστών (Association for Co-mputing Machinery ACM) τα διακριτά microαθηmicroατικά πρέπει να αποτελούν το microεγαλύτεροmicroέρος των laquoβασικών γνώσεωνraquo των ϕοιτητών της επιστήmicroης των υπολογιστών ενώ η microε-λέτη του αντικειmicroένου κατά το πρώτο έτος σπουδών τους πρέπει να διαρκεί τουλάχιστονένα εξάmicroηνο ή ακόmicroα και δύο όπου αυτό είναι δυνατόν Αυτό το βιβλίο περιλαmicroβάνει όλατα θέmicroατα που προτείνουν αυτοί οι οργανισmicroοί και microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί αποτελε-σmicroατικά είτε για ένα εξαmicroηνιαίο microάθηmicroα είτε για δύο

Κάποτε τα περισσότερα από τα θέmicroατα των διακριτών microαθηmicroατικών διδάσκονταν microό-νο σε προπτυχιακούς ϕοιτητές κατά το τελευταίο έτος των σπουδών τους Η βασική καιεξαιρετικά ενδιαϕέρουσα πρόκληση της συγγραϕής αυτού του βιβλίου ήταν η εύρεσητου κατάλληλου τρόπου διδασκαλίας αυτών των θεmicroάτων ώστε να γίνουν κατανοητάαπό πρωτοετείς και δευτεροετείς ϕοιτητές Ο τρόπος παρουσίασης αναπτύχθηκε κατάτη διάρκεια microιας microεγάλης περιόδου πειραmicroατισmicroών κατά την οποία οι ϕοιτητές microου ήτανταυτόχρονα από πολλές απόψεις και δάσκαλοί microου Οι ερωτήσεις τους τα σχόλιά τουςκαι τα γραπτά τους microου υποδείκνυαν ποιες έννοιες και τεχνικές τους δυσκόλευαν ενώο τρόπος microε τον οποίο ανταποκρίνονταν στις παρουσιάσεις που τους έκανα microου έδειχνετι ήταν αποτελεσmicroατικό στο χτίσιmicroο της κατανόησης των εννοιών και κινούσε το ενδια-ϕέρον τους Πολλές από τις αλλαγές σε αυτή την έκδοση είναι αποτέλεσmicroα της συνεχούςαλληλεπίδρασης microε τους ϕοιτητές

Τα θέmicroατα ενός microαθήmicroατος διακριτών microαθηmicroατικών

Τα διακριτά microαθηmicroατικά περιγράϕουν διαδικασίες που αποτελούνται από microια ακολουθί-α ξεχωριστών βηmicroάτων Αντίθετα ο απειροστικός λογισmicroός περιγράϕει διαδικασίες πουmicroεταβάλλονται microε συνεχή τρόπο Όπως οι ιδέες του απειροστικού λογισmicroού αποτέλεσαντα θεmicroέλια της επιστήmicroης και της τεχνολογίας κατά τη βιοmicroηχανική επανάσταση έτσι καιοι ιδέες των διακριτών microαθηmicroατικών υποστηρίζουν την επιστήmicroη και την τεχνολογία τηςεποχής των υπολογιστών Τα κύρια θέmicroατα ενός πρώτου microαθήmicroατος διακριτών microαθηmicroα-τικών είναι η λογική και η απόδειξη η επαγωγή και η επανάληψη η συνδυαστική και οιδιακριτές πιθανότητες οι αλγόριθmicroοι και η ανάλυσή τους και οι εϕαρmicroογές στη microοντελο-ποίηση

Λογική και Απόδειξη Ο σπουδαιότερος ίσως στόχος ενός εισαγωγικού microαθήmicroατος σταδιακριτά microαθηmicroατικά είναι να βοηθήσει τους ϕοιτητές να αναπτύξουν την ικανότητα να

12 Πρόλογος

σκέϕτονται αϕηρηmicroένα Αυτό σηmicroαίνει να έχουν τη δυνατότητα να χρησιmicroοποιούν λογικάορθές microορϕές επιχειρηmicroάτων και να αποϕεύγουν κοινά λογικά σϕάλmicroατα να επιχειρηmicroα-τολογούν microε βάση τους ορισmicroούς να χρησιmicroοποιούν ευθεία αλλά και πλάγια επιχειρήmicroαταγια να αποδεικνύουν νέα αποτελέσmicroατα από ήδη γνωστά και να microπορούν να εργάζονταιmicroε συmicroβολικές αναπαραστάσεις σαν να ήταν συγκεκριmicroένα αντικείmicroενα

Επαγωγή και αναδροmicroή Μια ενδιαϕέρουσα εξέλιξη των τελευταίων ετών είναι η εκτί-microηση της δύναmicroης και οmicroορϕιάς της laquoαναδροmicroικής σκέψηςraquo Πρακτικά αυτό σηmicroαίνει ναεξετάσουmicroε ένα πρόβληmicroα υποθέτοντας ότι παρόmicroοια προβλήmicroατα microικρότερης κλίmicroακαςέχουν ήδη λυθεί και να προσπαθούmicroε να συνδυάσουmicroε αυτές τις λύσεις των επιmicroέρουςπροβληmicroάτων για να λύσουmicroε το microεγαλύτερο πρόβληmicroα Αυτή η microέθοδος χρησιmicroοποιεί-ται εκτεταmicroένα στην ανάλυση αλγορίθmicroων όπου αναδροmicroικές σχέσεις που προκύπτουναπό αναδροmicroικού τύπου συλλογισmicroούς δίνουν τύπους που επιβεβαιώνονται microε microαθηmicroα-τική επαγωγή

Συνδυαστική και διακριτές πιθανότητες Η συνδυαστική στα microαθηmicroατικά της απαρίθmicroη-σης της διάταξης αντικειmicroένων και της πιθανότητας είναι η microελέτη των νόmicroων για τιςmicroετρήσεις τυχαίων γεγονότων Η διακριτή πιθανότητα εστιάζει σε καταστάσεις που α-σχολούνται microε διακριτά σύνολα αντικειmicroένων όπως ο προσδιορισmicroός της πιθανότηταςνα έρθει κορώνα συγκεκριmicroένες ϕορές όταν ρίχνουmicroε ένα δίκαιο κέρmicroα αρκετές ϕορές Ε-πιδεξιότητα στη συνδυαστική και τις πιθανότητες χρειάζεται σχεδόν σε κάθε αντικείmicroενοόπου εϕαρmicroόζονται τα microαθηmicroατικά από την οικονοmicroία microέχρι τη βιολογία την επιστήmicroητων υπολογιστών τη χηmicroεία τη ϕυσική και τη διοίκηση επιχειρήσεων

Αλγόριθmicroοι και η ανάλυσή τους Η λέξη αλγόριϑmicroος ήταν γενικά άγνωστη στο microέσο τουεικοστού αιώνα ενώ τώρα είναι microία από τις πρώτες λέξεις που συναντάει κανείς στην ε-πιστήmicroη των υπολογιστών Για να λύσουmicroε ένα πρόβληmicroα microε έναν υπολογιστή είναι απα-ραίτητο να βρούmicroε έναν αλγόριθmicroο ή microια βήmicroα προς βήmicroα ακολουθία οδηγιών τις οποίεςθα ακολουθήσει ο υπολογιστής Ο σχεδιασmicroός ενός αλγορίθmicroου απαιτεί κατανόηση τωνmicroαθηmicroατικών του προβλήmicroατος που πρόκειται να λυθεί Ο προσδιορισmicroός της ορθότηταςή microη ενός αλγορίθmicroου απαιτεί περίπλοκους χειρισmicroούς microε microαθηmicroατική επαγωγή Ο υπο-λογισmicroός του χρόνου ή της microνήmicroης που χρειάζεται ένας αλγόριθmicroος ώστε να microπορεί νασυγκριθεί microε άλλους αλγορίθmicroους που δίνουν την ίδια έξοδο απαιτεί γνώσεις συνδυαστι-κής επαναληπτικών σχέσεων συναρτήσεων και συmicroβολισmicroών O Ω και Θ

∆ιακριτές δοmicroές Οι διακριτές microαθηmicroατικές δοmicroές είναι αϕηρηmicroένες δοmicroές που περιγρά-ϕουν κατηγοριοποιούν και αναδεικνύουν τις κρυϕές σχέσεις microεταξύ διακριτών microαθηmicroα-τικών αντικειmicroένων Οι δοmicroές που microελετάmicroε σε αυτό το βιβλίο είναι τα σύνολα των ακε-ραίων και των ρητών γενικά σύνολα άλγεβρες Boole συναρτήσεις σχέσεις γραϕήmicroατακαι δέντρα τυπικές γλώσσες και κανονικές εκϕράσεις και αυτόmicroατα πεπερασmicroένων κα-ταστάσεων

Εφαρmicroογέςκαιmicroοντελοποίηση Ταmicroαθηmicroατικά αντικείmicroενα γίνονται καλύτερα κατανοη-τά όταν τα εξετάζουmicroε σε microια ποικιλία καταστάσεων και τα χρησιmicroοποιούmicroε για την επί-λυση προβληmicroάτων που συναντώνται σε ένα microεγάλο εύρος εϕαρmicroογών Ένα από τα σπου-δαιότερα microαθήmicroατα των microαθηmicroατικών είναι ότι microας επιτρέπουν να χρησιmicroοποιούmicroε το ίδιοmicroαθηmicroατικό microοντέλο για να λύνουmicroε προβλήmicroατα τα οποία ϕαινοmicroενικά είναι τελείωςανόmicroοια Ένας από τους στόχους αυτού του βιβλίου είναι να δείξει στους ϕοιτητές τηνεκπληκτική πρακτική χρησιmicroότητα microερικών πολύ αϕηρηmicroένων microαθηmicroατικών ιδεών

Ειδικά χαρακτηριστικά αυτού του βιβλίου

Μαθηmicroατική συλλογιστική Το χαρακτηριστικό που κάνει αυτό να βιβλίο να ξεχωρίζει α-πό άλλα βιβλία διακριτών microαθηmicroατικών είναι ότι διδάσκει mdash microε διεξοδικό αλλά εύληπτοτρόπο στους πρωτοετείς και δευτεροετείς ϕοιτητές mdash την κρυϕή λογική και συλλογι-

Πρόλογος 13

στική που αποτελούν τη βάση της microαθηmicroατικής σκέψης Για πολλά χρόνια δίδασκα έναιδιαίτερα διαδραστικό microάθηmicroα microετάβασης στα αϕηρηmicroένα microαθηmicroατικά σε ϕοιτητές τωνmicroαθηmicroατικών και της επιστήmicroης των υπολογιστών Αυτή η εmicroπειρία microου έδειξε ότι αν καιείναι εϕικτό να διδάξεις τους περισσότερους ϕοιτητές να καταλαβαίνουν και να κατα-σκευάζουν σαϕή microαθηmicroατικά επιχειρήmicroατα υπάρχουν κάποια εmicroπόδια που είναι δύσκολονα ξεπεραστούν Για να είναι αποτελεσmicroατικό το βιβλίο ενός τέτοιου microαθήmicroατος πρέπεινα ασχολείται αρκετά microε τις δυσκολίες του ϕοιτητή στη λογική και στη γλώσσα microε άmicroεσοτρόπο Πρέπει επίσης να περιέχει πολλά σαϕή παραδείγmicroατα και ασκήσεις για να δώσει τηδυνατότητα στους ϕοιτητές να αναπτύξουν τα απαραίτητα νοητικά microοντέλα που θα τουςεπιτρέψουν να κατανοήσουν πιο αϕηρηmicroένα προβλήmicroατα Η αντιmicroετώπιση της λογικήςκαι της απόδειξης σε αυτό το βιβλίο συνδυάζει κοινή λογική και αυστηρή προσέγγιση microεένα τρόπο που εξηγεί τα ουσιώδη χωρίς να κουράζει τους ϕοιτητές microε τεχνικές λεπτοmicroέ-ρειες

Ελικοειδής προσέγγιση στην ανάπτυξη των εννοιών Ένας αριθmicroός από έννοιες σε αυτότο βιβλίο εmicroϕανίζεται microε ολοένα και πιο σύνθετες microορϕές στα διαδοχικά κεϕάλαια γιανα βοηθήσει τους ϕοιτητές να αναπτύξουν επίπεδα αϕαίρεσης Για παράδειγmicroα microέχρι νασυναντήσουν το σχετικά προχωρηmicroένο θέmicroα του microικρού θεωρήmicroατος του Fermat και τουκινέζικου θεωρήmicroατος υπολοίπου στην Ενότητα 104 θα έχουν ήδη εισαχθεί στη microαθη-microατική λογική στα Κεϕάλαια 1 και 2 θα έχουν microάθει τις βασικές microεθόδους της απόδειξηςκαι τις έννοιεςmod και div στο Κεϕάλαιο 3 θα έχουν microελετήσει τις διαmicroερίσεις ακεραίωνστο Κεϕάλαιο 5 θα έχουν θεωρήσει τιςmod και div ως συναρτήσεις στο Κεϕάλαιο 7 καιθα έχουν εξοικειωθεί microε τις σχέσεις ισοδυναmicroίας στις Ενότητες 102 και 103 Αυτή η προ-σέγγιση ανακεϕαλαιώνει τα θέmicroατα και αναπτύσσει τη microαθηmicroατική ωριmicroότητα microε ϕυσικότρόπο

Υποστήριξη για τους φοιτητές Οι ϕοιτητές οπωσδήποτε πρέπει να microάθουν πολλά πράγ-microατα microόνοι τους Μαθαίνοντας να microελετούν microόνοι τους κάτι που συχνά είναι δύσκολοπραγmicroατοποιούν ένα σηmicroαντικό βήmicroα προς την εξασϕάλιση microιας επιτυχηmicroένης επαγγελ-microατικής καριέρας Αυτό το βιβλίο διαθέτει ορισmicroένα χαρακτηριστικά που θα βοηθήσουντους ϕοιτητές να microάθουν να διαβάζουν microόνοι τους

Λυmicroένα παραδείγmicroαταΤο βιβλίο περιέχει περισσότερα από 500 λυmicroένα παραδείγmicroατα που είναι γραmicromicroένασε microορϕή εκϕώνησης-λύσης και είναι ανάλογα τόσο σε περιεχόmicroενο όσο και σε δυ-σκολία microε τις ασκήσεις Πολλές λύσεις προβληmicroάτων microε αποδείξεις έχουν γραϕεί σεδύο στάδια πρώτα εξετάζεται ο τρόπος microε τον οποίο είναι δυνατό να πραγmicroατοποιη-θεί η απόδειξη ή η ανασκευή και microετά παρατίθεται η περίληψη της λύσης microέσα σε έναπλαίσιο Αυτός ο τρόπος επιτρέπει στους ϕοιτητές να διαβάσουν το πρόβληmicroα και ανθέλουν να περάσουν κατευθείαν στην περίληψη ή αν δεν κατανοούν την περίληψηνα επιστρέψουν στη συζήτηση Αυτός ο τρόπος εξοικονοmicroεί χρόνο για τους ϕοιτητέςπου ξαναδιαβάζουν το κείmicroενο κατά την προετοιmicroασία τους για τις εξετάσεις

ΑσκήσειςΤο βιβλίο περιέχει περίπου 2500 ασκήσεις Οι ασκήσεις στο τέλος κάθε ενότητας έ-χουν σχεδιαστεί ώστε οι ϕοιτητές διαϕορετικών κλάδων και ποικίλων δυνατοτήτωννα microπορούν να βρούν κάποιες ασκήσεις που θα έχουν τη δυνατότητα να λύσουν σω-στά και κάποιες άλλες που θα τους δυσκολέψουν

Λύσεις ασκήσεωνΤοΠαράρτηmicroα Β περιέχει ένα microεγάλο αριθmicroό πλήρως λυmicroένων ασκήσεων Οι ϕοιτητέςκαλό θα ήταν να συmicroβουλεύονται τις λύσεις αϕού πρώτα έχουν καταβάλει κάθε προ-σπάθεια να λύσουν τις ασκήσεις microόνοι τους Αν προσπαθήσουν πρώτα microόνοι τους καιmicroετά συγκρίνουν τη δική τους λύση microε αυτή που δίνεται θα οδηγηθούν σε καλύτεροεπίπεδο κατανόησης Επιπλέον πολλά προβλήmicroατα συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων microερικώναπό τα πιο δύσκολα δεν έχουν λυθεί πλήρως ή περιλαmicroβάνουν υποδείξεις ώστε οιϕοιτητές να microπορούν να επαληθεύσουν αν ο συλλογισmicroός τους είναι σωστός και να

14 Πρόλογος

κάνουν τις κατάλληλες προσαρmicroογές Επίσης υπάρχουν πολλές ασκήσεις χωρίς λύσηώστε να microάθουν οι ϕοιτητές να ασχολούνται microε προβλήmicroατα σε ρεαλιστικό πλαίσιοεργασίας

Σχήmicroατα και πίνακεςΤα σχήmicroατα και οι πίνακες έχουν προστεθεί σε σηmicroεία που θεωρήσαmicroε ότι θα βοηθή-σουν τον αναγνώστη να κατανοήσει καλύτερα το πρόβληmicroα Στα περισσότερα σχήmicroα-τα γίνεται χρήση και δεύτερου χρώmicroατος για να γίνουν ακόmicroα πιο κατανοητά

ΑναϕορέςΠολλοί ϕοιτητές microού έχουν γράψει ότι το βιβλίο τούς βοήθησε πολύ στα πιο προχω-ρηmicroένα microαθήmicroατα που πήραν στη συνέχεια των σπουδών τους Ένας microου έγραψε ότιχρησιmicroοποίησε την πρώτη έκδοση τόσο πολύ ώστε το βιβλίο διαλύθηκε και αναγκά-στηκε να αγοράσει και τη δεύτερη έκδοση την οποία συνέχισε να χρησιmicroοποιεί καιστο microεταπτυχιακό του Η τακτική microου να τοποθετώ τους ορισmicroούς και τα θεωρήmicroατασε πλαίσια να βάζω τίτλους στις ασκήσεις και να παρέχω λίστες microε τύπους και τις ση-microασίες των συmicroβόλων στα εσώϕυλλα κάνει το βιβλίο εύχρηστο τόσο για microελέτη όσοκαι αργότερα ως βιβλίο αναϕοράς

Υποστήριξη τουκαθηγητή Έχω λάβει πλήθος πολύτιmicroων παρατηρήσεων από καθηγητέςπου έχουν χρησιmicroοποιήσει προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Το βιβλίο έχει βελτιωθείσηmicroαντικά λόγω αυτών των παρατηρήσεων

ΑσκήσειςΗ microεγάλη ποικιλία ασκήσεων όλων των επιπέδων δυσκολίας δίνει στους καθηγητέςmicroεγάλη ελευθερία να οργανώσουν το microάθηmicroά τους ανάλογα microε τις δυνατότητες τωνϕοιτητών τους Οι ασκήσεις microε λύσεις στο τέλος του βιβλίου έχουν γαλάζια αρίθmicroη-ση ενώ εκείνες που οι λύσεις τους παρέχονται σε διαϕορετικό εγχειρίδιο (εγχειρίδιολύσεων) έχουν αριθmicroούς που είναι πολλαπλάσια του τρία Υπάρχουν ασκήσεις κάθετύπου που δεν έχουν απάντηση ούτε σε αυτό το βιβλίο ούτε στο εγχειρίδιο λύσεωνώστε οι καθηγητές να είναι σε θέση να χρησιmicroοποιούν οποιονδήποτε συνδυασmicroό α-σκήσεων microε ή χωρίς λύσεις Ο microεγάλος αριθmicroός ασκήσεων παρέχει στους καθηγητέςσηmicroαντικές δυνατότητες επιλογής προβληmicroάτων για χρήση τόσο σε εξετάσεις όσο καισε επαναληπτικά microαθήmicroατα Οι καθηγητές θα πρέπει να προτιmicroούν τις ασκήσεις πουδιατυπώνονται microε τη microορϕή ερωτήσεων αντί εκείνων που ζητούν να laquoαποδειχθεί ότιraquoώστε να ενθαρρύνεται η συζήτηση στην τάξη σχετικά microε το ρόλο της απόδειξης καιτου αντιπαραδείγmicroατος στην επίλυση προβληmicroάτων

Ελαστικές ενότητεςΟι περισσότερες ενότητες χωρίζονται σε υποενότητες ώστε όταν ο καθηγητής πιέζε-ται από το χρόνο να microπορεί να παραλείψει συγκεκριmicroένες ενότητες ή να τις αϕήσει νατις διαβάσουν microόνοι τους οι ϕοιτητές Ο χωρισmicroός σε υποενότητες βοηθάει τον διδά-σκοντα να χωρίσει σε τmicroήmicroατα microια ενότητα στην περίπτωση που θέλει να αϕιερώσειπερισσότερα από ένα microαθήmicroατα γιrsquo αυτή

Παρουσίαση των αποδεικτικών microεθόδωνΕίναι αναπόϕευκτο οι αποδείξεις και ανασκευές σε αυτό το βιβλίο να ϕαίνονται πολύεύκολες στους καθηγητές Πολλοί ϕοιτητές όmicroως τις βρίσκουν δύσκολες Σε αυτό τοβιβλίο επιχειρώ να δείξω στους ϕοιτητές τον τρόπο σύνταξης και δόmicroησης αποδείξε-ων και ανασκευών περιγράϕοντας τα είδη των προσεγγίσεων που χρησιmicroοποιούν οιmicroαθηmicroατικοί όταν αντιmicroετωπίζουν δύσκολα προβλήmicroατα στην έρευνά τους

Βιβλίο καθηγητήΤο βιβλίο καθηγητή είναι διαθέσιmicroο σε οποιονδήποτε διδάσκει χρησιmicroοποιώντας τοπαρόν βιβλίο Το βιλίο καθηγητή περιέχει προτάσεις για τον τρόπο προσέγγισης τηςύλης κάθε κεϕαλαίου λύσεις για όλες τις ασκήσεις που δεν λύνονται πλήρως στο Πα-ράρτηmicroαΒ διαϕάνειες επαναληπτικό υλικό ιδέες για εργασίες και επιπλέον ασκήσεις

Πρόλογος 15

Τα νέα χαρακτηριστικά της τρίτης έκδοσης

Οι αλλαγές που έγιναν σε αυτή την έκδοση βασίστηκαν σε προτάσεις συναδέλϕων καιάλλων αναγνωστών της πρώτης και της δεύτερης έκδοσης και στη συνεχιζόmicroενη επαϕήmicroε ϕοιτητές microαθηmicroατικών και επιστήmicroης των υπολογιστών

Βελτιωmicroένη παιδαγωγική προσέγγιση

bull Ο αριθmicroός των ασκήσεων αυξήθηκε στις 2500 περίπου Προστέθηκαν περίπου 980νέες ασκήσεις

bull Προστέθηκαν ασκήσεις στα θέmicroατα στα οποία υπήρχε microεγαλύτερη ανάγκη για εξά-σκηση και τροποποιήθηκαν κατάλληλα ώστε να ληϕθούν καλύτερα υπόψη οι δυ-σκολίες των ϕοιτητών

bull Στο Παράρτηmicroα Β προστέθηκαν περισσότερες πλήρεις λύσεις ώστε να βοηθηθούνοι ϕοιτητές στα δύσκολα θέmicroατα

bull Ο τρόπος παρουσίασης των θεmicroάτων επανεξετάστηκε σε όλο το βιβλίο και όπουκρίθηκε σκόπιmicroο αναθεωρήθηκε

bull Έγινε προσεκτική δουλειά για να βελτιωθεί η microορϕή και η παρουσίαση του κειmicroένου

bull Επεκτάθηκαν οι συζητήσεις για ιστορικά θέmicroατα και πρόσϕατα αποτελέσmicroατα καιαυξήθηκαν οι ϕωτογραϕίες των επιστηmicroόνων των οποίων η δουλειά παρουσιάζεταιστο βιβλίο

Λογική

bull Η παρουσίαση των ποσοδεικτών έχει επεκταθεί σηmicroαντικά microε την προσθήκη microιαςνέας ενότητας αϕιερωmicroένης αποκλειστικά στους πολλαπλούς ποσοδείκτες

bull Προστέθηκαν ασκήσεις που χρησιmicroοποιούν τονΚόσmicroο τουTarski ένα υπέροχο παι-δαγωγικό εργαλείο που αναπτύχθηκε από τους Jon Barwise και John Etchemendyτου Πανεπιστηmicroίου του Stanford

bull Προστέθηκαν εϕαρmicroογές για την αναζήτηση στο ∆ιαδίκτυο

bull Απλοποιήθηκαν οι όροι διαϕόρων microορϕών συλλογισmicroών

Εισαγωγή στην απόδειξη

bull Επεκτάθηκαν οι οδηγίες συγγραϕής αποδείξεων

bull Οι περιγραϕές microεθόδων αποδείξεων γράϕτηκαν microε σαϕέστερο τρόπο

bull Οι ασκήσεις έχουν επανελεγχθεί και κάποιες έχουν microεταϕερθεί σε άλλο σηmicroείο ώστενα διευκολυνθεί η κατανόηση από τους ϕοιτητές

Επαγωγή και επανάληψη

bull Βελτιώθηκε η σκιαγράϕηση των αποδείξεων microε microαθηmicroατική επαγωγή

bull Οι υποενότητες της ενότητας των ακολουθιών οργανώθηκαν εκ νέου

bull Οι οmicroάδες ασκήσεων των ενοτήτων της ισχυρής microαθηmicroατικής επαγωγής και της κα-λής διάταξης και των επαγωγικώνεπαναληπτικών ορισmicroών επεκτάθηκαν σηmicroαντι-κά

Θεωρία αριθmicroών

bull Προστέθηκε microια υποενότητα ανοιχτών προβληmicroάτων στη θεωρία αριθmicroών και επε-κτάθηκε η συζήτηση για τις πρόσϕατες εξελίξεις

bull Προστέθηκε microια νέα ενότητα στην αριθmicroητική υπολοίπων και στην κρυπτογραϕίαΠεριλαmicroβάνεται microια συζήτηση για την κρυπτογραϕία RSA το microικρό θεώρηmicroα τουFermat και το κινέζικο θεώρηmicroα υπολοίπου

bull Η συζήτηση για τον έλεγχο αν ένας ακέραιος είναι πρώτος microεταϕέρθηκε αργότεραστο Κεϕάλαιο 3 για να γίνει σαϕής η εξάρτησή του από την έmicromicroεση επιχειρηmicroατο-λογία

16 Πρόλογος

Θεωρία συνόλων

bull ΟΙ ιδιότητες του κενού συνόλου παρουσιάζονται πλέον στην πρώτη ενότητα τουΚεϕαλαίου 5

bull Ηδεύτερη ενότητα του Κεϕαλαίου 5 είναι πλέον αϕιερωmicroένη αποκλειστικά σε απο-δείξεις στοιχείων

bull Οι αλγεβρικές αποδείξεις των συνολοθεωρητικών ιδιοτήτων και η χρήση αντιπαρα-δειγmicroάτων στην ανασκευή ιδιοτήτων συνόλων έχουν microεταϕερθεί στην τρίτη ενότητατου Κεϕαλαίου 5

bull Η παρουσίαση των αλγεβρών Boole έχει επεκταθεί και επισηmicroαίνεται η σχέση ανά-microεσα στις λογικές ισοδυναmicroίες τις ιδιότητες συνόλων και τις άλγεβρες Boole

Συνδυαστική και διακριτές πιθανότητες

bull Προστέθηκαν ασκήσεις στην ενότητα του διωνυmicroικού θεωρήmicroατος

bull Προστέθηκαν δύο νέες ενότητες στις πιθανότητες όπου microεταξύ άλλων καλύπτονταιη αναmicroενόmicroενη τιmicroή η δεσmicroευmicroένη πιθανότητα και η ανεξαρτησία και το θεώρηmicroαBayes

bull Εξηγούνται οι συνδυαστικές πτυχές των διευθύνσεων του διαδικτυακού πρωτοκόλ-λου (Internet Protocol IP)

Συναρτήσεις

bull Οι ασκήσεις για ένα προς ένα και επί συναρτήσεις έχουν βελτιωθεί

bull Έχει επεκταθεί το σύνολο των ασκήσεων στην πληθικότητα microε εϕαρmicroογές στην υ-πολογισιmicroότητα

Αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων

bull Οι Ενότητες 92 και 94 επανεξετάστηκαν και προστέθηκαν οι συmicroβολισmicroοίΘ καιΩ

bull Οι Ενότητες 93 και 95 έχουν αναθεωρηθεί αντίστοιχα microε καλύτερη επεξήγηση τηςέννοιας της διάταξης για έναν αλγόριθmicroο

bull Ηεξέταση της ταξινόmicroησης microε εισαγωγήκαι της ταξινόmicroησης microε επιλογή βελτιώθηκεκαι επεκτάθηκε

Κανονικές εκϕράσεις και αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων

bull Οι προηγούmicroενες διάσπαρτες ενότητες για τις τυπικές γλώσσες και τα αυτόmicroαταπεπερασmicroένων καταστάσεων συνενώθηκαν σε ένα αυτόνοmicroο κεϕάλαιο

bull Προστέθηκε microια νέα ενότητα για τις κανονικές εκϕράσεις καθώς και microια συζήτησηγια τη σχέση ανάmicroεσα στις κανονικές εκϕράσεις και στα αυτόmicroατα πεπερασmicroένωνκαταστάσεων

Ιστοσελίδα

∆ηmicroιουργήθηκε microια ιστοσελίδα γιrsquo αυτό το βιβλίο που περιέχει πληροϕορίες και υλικότόσο για τους ϕοιτητές όσο και για τους διδάσκοντες Περιέχει

bull περιγραϕές και συνδέσmicroους σε πολλές σελίδες στο ∆ιαδίκτυο microε προσβάσιmicroες πλη-ροϕορίες σχετικά microε τα διακριτά microαθηmicroατικά

bull συνδέσmicroους σε microικροεϕαρmicroογές που παρουσιάζουν ή προσϕέρουν εξάσκηση σε θέ-microατα διακριτών microαθηmicroατικών

bull πρόσθετα παραδείγmicroατα και ασκήσεις microε λύσεις

bull οδηγούς επανάληψης για τα κεϕάλαια του βιβλίου

Μια ειδική ενότητα για τους διδάσκοντες περιέχει

bull διαϕάνειες και ηλεκτρονικές διαϕάνειες σε αρχεία τύπου PowerPoint

bull επιπλέον ασκήσεις για εξετάσεις

Πρόλογος 17

Οδηγός για τη χρήση του βιβλίου microε τις λύσεις

Κατά τη συγγραϕή αυτού του βιβλίου προσπάθησα να δώσω αρκετή βοήθεια στους ϕοι-τητές microέσω της παρουσίασης της ύλης των λυmicroένων παραδειγmicroάτων και των λύσεων τωνασκήσεων ώστε να έχουν στη διάθεσή τους ότι χρειάζεται για την πλήρη κατανόηση τουmicroαθήmicroατος Πιστεύω ότι οι ϕοιτητές που θα ολοκληρώσουν τη microελέτη αυτού του βιβλίουκαι θα κατάϕερουν να λύσουν microόνοι τους όλες τις ασκήσεις που έχουν λυθεί στο Παράρ-τηmicroα Β θα κατανοήσουν πολύ καλά το αντικείmicroενο Όmicroως γνωρίζω ότι κάποιοι ϕοιτητέςθα θέλουν να έχουν πρόσβαση σε επιπλέον βοηθητικό υλικό Γιrsquo αυτόν το λόγο έχω γρά-ψει τον οδηγό λύσεων και microελέτης για το ϕοιτητή που διατίθεται ξεχωριστά από αυτότο βιβλίο και περιέχει τις πλήρεις λύσεις των ασκήσεων οι οποίες δεν είναι πλήρως λυmicroέ-νες στο Παράρτηmicroα Β και που ο αριθmicroός τους διαιρείται microε το 3 Αυτός ο οδηγός περιέχειεναλλακτικές επεξηγήσεις για κάποιες έννοιες και ερωτήσεις επανάληψης για κάθε κεϕά-λαιο

Οργάνωση του βιβλίου

Αυτό το βιβλίο microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί αποτελεσmicroατικά για ένα microάθηmicroα ενός ή δύοεξαmicroήνων Κάθε κεϕάλαιο περιέχει κύριες ενότητες ενότητες microε προαιρετικό υλικό καιενότητες microε προαιρετικές εϕαρmicroογές Οι διδάσκοντες έχουν την άνεση να επιλέξουν ό-ποιο υποσύνολο θεωρούν ότι ταιριάζει καλύτερα microε το microάθηmicroα και τους ϕοιτητές τους Οακόλουθος πίνακας δείχνει τη διαίρεση των ενοτήτων σε κατηγορίες

Ενότητες microε προαιρετικό Ενότητες microε προαιρετικές

Κεϕάλαιο Κύρια ενότητα microαθηmicroατικό υλικό εϕαρmicroογές στους υπολογιστές

1 11ndash13 14 15

2 21ndash24 22 23 23

3 31ndash34 36 35 37 38

4 41ndash42 43ndash44 45

5 51 52ndash54 54

6 61ndash64 65ndash69 63

7 71ndash72 73ndash75 71 72 75

8 81 82 83 84 84

9 91 92 94 93 95

10 101ndash103 104 105 104 105

11 111 115 112 113 114 111 112 115 116

12 121 122 123 121ndash123

Το δενδροειδές διάγραmicromicroα που ακολουθεί δείχνει κατά προσέγγιση την αλληλοεξάρ-τηση των κεϕαλαίων Τα κεϕάλαια που βρίσκονται σε διαϕορετικά κλαδιά του δέντρουείναι αρκετά ανεξάρτητα ώστε οι διδάσκοντες να microη χρειάζεται να κάνουν σηmicroαντικέςπροσαρmicroογές αν τα προσπεράσουν και απλώς ακολουθήσουν τις διαδροmicroές κατά microήκοςτων κλαδιών του δέντρου

18 Πρόλογος

1

2

33

4

8

12dagger

11

5

7

9

6 10

lowast dagger

Ευχαριστίες

Χρωστάω ένα microεγάλο ευχαριστώ σε πολλούς ανθρώπους στο Πανεπιστήmicroιο του DePaulγια την υποστήριξή τους όλα αυτά τα χρόνια που δούλευα πάνω στις εκδόσεις αυτού τουβιβλίου Κάποιοι συνάδελϕοι χρησιmicroοποίησαν πρώιmicroες microορϕές και προηγούmicroενες εκδό-σεις του βιβλίου και microου έκαναν εξαιρετικά σχόλια για βελτιώσεις Γιrsquo αυτό ευχαριστώτους Louis Aquila J Marshall Ash Allan Berele Jerey Bergen William Chin BarbaraCortzen Constantine Georgakis Sigrun Goes Jerry Goldman Lawrence Gluck LeonidKrop CarolynNarasimhanWalter Pranger Eric Rieders Ayse Sahin Yuen-FatWong καιειδικότερα την Jeanne LaDuke Οι χιλιάδες ϕοιτητές στους οποίους δίδαξα διακριτά microα-θηmicroατικά είχαν σηmicroαντικότατη επίδραση στη microορϕή του βιβλίου Μοιράζοντας τις σκέ-ψεις τους και τους τρόπους σκέψης τους microαζί microου microε δίδαξαν πώς να διδάσκω καλύτε-ρα Τους οϕείλω ευγνωmicroοσύνη για τη βοήθειά τους Ιδιαίτερες ευχαριστίες οϕείλω στηδιοίκηση του Πανεπιστηmicroίου τουDePaul ιδιαίτερα στον ΚοσmicroήτοραMichael Mezey καιστον πρώην Κοσmicroήτορα Richard Meister που θεώρησαν αξιόλογη ακαδηmicroαϊκή εργασίατη συγγραϕή αυτού του βιβλίου

Ευχαριστώ τους διορθωτές για τις πολύτιmicroες παρατηρήσεις τους γιrsquo αυτή την έκδοσητου βιβλίου τους Pablo Echeverria του Camden County College William Gasarch τουUniversity of Maryland Joseph Kolibal του University of Southern Mississippi Benny Loτου International Technological University George Luger του University of New MexicoNorman Richert τουUniversity of Houston-Clear Lake PeterWilliams τουCalifornia Sta-te University at San Bernardino και τον Jay Zimmerman του Towson University Για τηβοήθειά τους στην πρώτη και δεύτερη έκδοση αυτού του βιβλίου είmicroαι ευγνώmicroων στουςItshak Borosh Texas A ampMUniversity Douglas M Campbell Brigham Young UniversityDavid G Cantor University of California at Los Angeles C Patrick Collier Universityof Wisconsin-Oshkosh Kevan H Croteau Francis Marion University Irinel Drogan Uni-versity of Texas at Arlington Henry A Etlinger Rochester Institute of Technology MelvinJ Friske Wisconsin Lutheran College Ladnor Geissinger University of North CarolinaJerrold R Griggs University of South Carolina Nancy Baxter Hastings Dickinson Colle-ge Lillian Hupert Loyola University Chicago Leonard T Malinowski Finger Lakes Com-munity College John F Morrison Towson State Unviersity Paul Pederson University ofDenver George Peck Arizona State University Roxy Peck California Polytechnic StateUniversity San Luis Obispo Dix Pettey University of Missouri Anthony Ralston State U-niversity of NewYork at Bualo John Roberts University of Louisville καιGeorge Schultz

lowastΟι διδάσκοντες που προτιmicroούν να ορίσουν τη συνάρτηση ως διmicroελή σχέση microπορούν να καλύψουντην Ενότητα 101 πριν την Ενότητα 71daggerΗ Ενότητα 103 χρειάζεται για την Ενότητα 123 αλλά όχι για τις Ενότητες 121 και 122

Πρόλογος 19

St Petersburg Junior College Clearwater Πολλές ευχαριστίες οϕείλω επίσης στους JohnCarroll San Diego State University Dr Joseph S Fulda και Porter G Webster Universityof Southern Mississippi για την απίστευτη επιmicroέλειά τους και την ενθάρρυνση που microουέδωσαν

Επίσης ωϕελήθηκα πάρα πολύ από τις παρατηρήσεις πολλών διδασκόντων που microουπρόσϕεραν γενναιόδωρα τις ιδέες τους για βελτιώσεις βασισmicroένες στις εmicroπειρίες τους α-πό τις προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Είmicroαι ιδιαίτερα ευγνώmicroων στους GoldstinePennsylvania State University David Hecker St Josephrsquos University Tom Jenkyns BrockUniversity Robert Messer Albion College Piotr Rudnicki University of Alberta AnwarShiek Dineacute College Norton Starr Amherst College Είχα επίσης εξαίρετη βοήθεια απότους John Banks Christopher Novak DePaul University και Ian Crewe Ascension Colle-giate School κατά τη διάρκεια της παραγωγής του βιβλίου

Χρωστώ ευγνωmicroοσύνη σε πολλούς ανθρώπους στις εταιρείες Wadsworth and Bro-oksCole Publishing ιδιαίτερα τον εκδότη microου Robert Pirtle για την ικανότητά του ναπραγmicroατοποιεί καλά πράγmicroατα ως δια microαγείας τους προηγούmicroενους εκδότες microου Hea-ther Bennett και Barbara Holland για την ενθάρρυνση και τον ενθουσιασmicroό τους και τηδιευθύντρια παραγωγής Janet Hill για την κατανόησή της και την προθυmicroία της να microουεπιτρέψει να έχω ρόλο σε όλα τα στάδια της παραγωγής ∆εν microπορώ να ϕανταστώ κα-λύτερη διευθύντρια παραγωγής από τη Martha Emry της οποίας τα υψηλής ποιότηταςπρότυπα και η προσοχή της στις λεπτοmicroέρειες ήταν πάντα εmicroπνευσmicroένες Ο σχεδιασmicroόςτης Kathleen Cunningham και η ϕωτοσύνθεση από την Techsetters Inc θα εκτιmicroηθούναπό όλους τους αναγνώστες του βιβλίου

Όσο microεγαλώνω τόσο συνειδητοποιώ το τεράστιο χρέος που οϕείλω στους δικούς microουδασκάλους των microαθηmicroατικών που διαmicroόρϕωσαν τον τρόπο microε τον οποίο βλέπω το αντι-κείmicroενο Τα πρώτα microου ευχαριστώ πρέπει να πάνε στο σύζυγό microουHelmut Epp ο οποίοςσε ένα ραντεβού όταν ακόmicroα ήmicroουν στο Γυmicroνάσιο () microε εισήγαγε στη δύναmicroη και τηνοmicroορϕιά των αξιωmicroάτων των microαθηmicroατικών και την άποψη ότι τα microαθηmicroατικά είναι ένααντικείmicroενο τόσο microε ιδέες όσο και microε τύπους και τεχνικές Όσον αϕορά την εκπαίδευ-σή microου είmicroαι ευγνώmicroων στους Daniel Zelinsky και Ky Fan του Northwestern Universityκαι Izaak Wirszup I N Herstein και Irving Kaplansky του University of Chicago που ό-λοι τους ο καθένας microε το δικό του τρόπο microε βοήθησαν να εκτιmicroήσω την κοmicroψότητα καιαυστηρότητα των microαθηmicroατικών αλλά και τη συγκίνηση που προκαλούν

Στην οικογένειά microου χρωστάω ευχαριστίες πέρα από κάθε όριο Είmicroαι ευγνώmicroων στηmicroητέρα microου που το ευγενικό ενδιαϕέρον της για τα έργα της ανθρώπινης διανόησης microεέβαλαν πριν πολλά χρόνια στο δρόmicroο που οδήγησε σε αυτό το βιβλίο και στον εκλιπόνταπατέρα microου που η αϕοσίωσή του στα βιβλία ήταν σταθερή πηγή έmicroπνευσης Ευχαριστώ ταπαιδιά microου και τα εγγόνια microου για την αγάπη τους και την αποδοχή των απαιτήσεων πουεπέβαλλε η συγγραϕή αυτού του βιβλίου στη ζωή microου Και περισσότερο από κάθε άλλονείναι ευγνώmicroωνστο σύζυγό microου που για πολλά χρόνια microε ενθάρρυνε microε την πίστη του στηναξία αυτής της εργασίας και microε υποστήριξε microε την αγάπη του και τις σοϕές συmicroβουλές του

Susanna Epp

236 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

62 Υποθέστε ότι το a[1] a[2] a[3] a[m] είναι διάνυσmicroακαι θεωρήστε το ακόλουθο τmicroήmicroα αλγορίθmicroου

sum ∶= 0for k ∶= 1 to m

sum ∶= sum + a[k]next k

Συmicroπληρώστε τα κενά παρακάτω ώστε κάθε τmicroήmicroα του αλ-γορίθmicroου να κάνει την ίδια δουλειά microε το παραπάνω

α sum ∶= 0for i ∶= 0 to

sum ∶=next i

β sum ∶= 0for j ∶= 2 to

sum ∶=next j

Χρησιmicroοποιήστε διαδοχικές διαιρέσεις microε το 2 για να microετατρέ-ψετε (microε το χέρι) τους ακεραίους των Ασκήσεων 63ndash65 από τηβάση 10 στη βάση 2

63 90 64 98 65 205

Κατασκευάστε έναν πίνακα για να καταγράψετε όλα τα βήmicroατατου Αλγορίθmicroου 411 microε είσοδο τις Ασκήσεις 66ndash68

66 23 67 28 68 44

69 Γράψτε microια microη τυπική περιγραϕή αλγορίθmicroου (χρησιmicroοποιώ-ντας διαδοχικές διαιρέσεις microε το 16) για να microετατρέψετε έναmicroη αρνητικό ακέραιο από το δεκαδικό στο δεκαεξαδικό σύ-στηmicroα (microε βάση το 16)

Χρησιmicroοποιήστε τον αλγόριθmicroο που αναπτύξατε για την Άσκη-ση 69 για να microετατρέψετε τους ακεραίους των Ασκήσεων 70ndash72στο δεκαεξαδικό σύστηmicroα

70 287 71 693 72 2301

73 Γράψτε microια τυπική περιγραϕή του αλγορίθmicroου που αναπτύ-ξατε στην Άσκηση 69

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι

[Η microαϑηmicroατιϰή επαγωγή είναι] η συνήϑης αποδειϰτιϰή τεχνιϰή στην επιστήmicroη τωνυπολογιστών

mdashAnthony Ralston 1984

Ηmicroαθηmicroατική επαγωγή είναι microία από τις πιο πρόσϕατα ανεπτυγmicroένες αποδεικτικές microεθό-δους στην ιστορία των microαθηmicroατικών Χρησιmicroοποιείται για την επαλήθευση εικασιών πουαϕορούν σε αποτελέσmicroατα διαδικασιών που εmicroϕανίζονται κατrsquo επανάληψη και σύmicroϕωναmicroε καθορισmicroένα microοτίβα Θα παρουσιάσουmicroε αυτή την τεχνική microε ένα παράδειγmicroα

Μερικοί ισχυρίζονται ότι το λεπτό του αmicroερικάνικου δολαρίου είναι τόσο microικρό νόmicroι-σmicroα ώστε πρέπει να αποσυρθεί Λένε ότι αν πέσει από τα χέρια κάποιου αυτός σπανίως θασκύψει να το πάρει Άλλοι ισχυρίζονται ότι αν αποσυρθεί το λεπτό θα υπάρχουν προβλή-microατα microε την ευελιξία στον καθορισmicroό των τιmicroών των αγαθών Ποιες τιmicroές θα microπορούσαννα εξοϕληθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο στην περίπτωση απόσυρσης του λεπτού και αντι-κατάστασής του microε ένα νόmicroισmicroα αξίας 3cent Η απάντηση είναι ότι οι microόνες τιmicroές που δενθα microπορούσαν να πληρωθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο είναι οι 1cent 2cent 4cent και 7cent Με άλλαλόγια

Μπορούmicroε να πάρουmicroε οποιονδήποτε ακέραιο αριθmicroό τουλάχιστον8 λεπτών χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα των 3cent και 5cent

Ποιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 microπορούmicroε να πάρουmicroεn λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5cent

Ακόmicroα πιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 η P(n) είναι αληθής όπου P(n) είναι η πρότασηlaquomicroπορούmicroε να πάρουmicroε n λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5centraquo

Θα microπορούσατε να ελέγξετε ότι η P(n) είναι αληθής για λίγες συγκεκριmicroένες τιmicroές του nόπως κάνουmicroε στον παρακάτω πίνακα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 237

Αριθmicroός λεπτών Πώς λαmicroβάνεται

8cent 3cent + 5cent

9cent 3cent + 3cent + 3cent

10cent 5cent + 5cent

11cent 3cent + 3cent + 5cent

12cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent

13cent 3cent + 5cent + 5cent

14cent 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

15cent 5cent + 5cent + 5cent

16cent 3cent + 3cent + 5cent + 5cent

17cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

Οι περιπτώσεις που ϕαίνονται στον πίνακα microας δίνουν επαγωγικού τύπου στοιχείαγια να υποστηρίξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλα τα n Πράγmicroατι η P(n) είναι αλη-ϑής για όλα τα n ge 8 αν ϰαι microόνο αν είναι εϕιϰτό να συνεχίσουmicroε να συmicroπληρώνουmicroε τονπίναϰα για οσοδήποτε microεγάλες τιmicroές του n

Η k γραmicromicroή του πίνακα δίνει πληροϕορίες για το πώς θα πάρουmicroε kcent χρησιmicroοποιώ-ντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent Για να συνεχίσουmicroε τον πίνακα στην επόmicroενη γραmicromicroήπρέπει να δώσουmicroε οδηγίες για το πώς θα υπολογιστούν τα (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και 5cent Το microυστικό είναι να παρατηρήσουmicroε πρώτα ότι αν microπορούmicroε ναυπολογίσουmicroε kcent χρησιmicroοποιώντας τουλάχιστον ένα κέρmicroα των 5cent τότε microπορούmicroε να υ-πολογίσουmicroε (k + 1)cent αντικαθιστώντας το κέρmicroα των 5cent microε δύο κέρmicroατα των 3cent όπωςϕαίνεται στο Σχήmicroα 421

kcent (k + 1)cent

3cent 3cent5cent

Αντικατάσταση ενός κέρματος των 5cent με δύο

κέρματα των 3cent

Αφαίρεση Προσθήκη

Σχήmicroα 421

Αν από την άλλη microεριά τα kcent λαmicroβάνονται χωρίς χρήση του κέρmicroατος των 5cent τότεχρησιmicroοποιούνται microόνο κέρmicroατα των 3cent Και αϕού το σύνολο είναι τουλάχιστον 8cent πρέπεινα περιλαmicroβάνονται τρία ή περισσότερα κέρmicroατα των 3cent Για να πάρουmicroε ένα σύνολο(k + 1)cent microπορούmicroε να αντικαταστήσουmicroε τρία από τα κέρmicroατα των 3cent microε δύο των 5centόπως ϕαίνεται στο Σχήmicroα 422 της επόmicroενης σελίδας

Η δοmicroή του παραπάνω επιχειρήmicroατος microπορεί να περιγραϕεί συνοπτικά ως εξής Γιανα δείξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8 (1) δείχνουmicroε ότι ηP(8) είναι αληθής και (2) δείχνουmicroε ότι η αλήθεια της P(k + 1) προκύπτει απαραίτητααπό την αλήθεια της P(k) για κάθε k ge 8 Κάθε επιχείρηmicroα αυτής της microορϕής καλείταιεπιχείρηmicroα microαϑηmicroατιϰής επαγωγής

238 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

5cent

kcent (k + 1)cent

Προσθήκη

kcent (k + 1)cent

5cent

3cent 3cent

3cent

Αντικαθιστούμε τρίακέρματα των 3centμε δύο κέρματα

των 5cent

Αφαίρεση

5cent

Σχήmicroα 422

Η αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής

Έστω ότι η P(n) είναι microια ιδιότητα που ορίζεται για ακεραίους n και έστω ότι οa είναι ένας συγκεκριmicroένος ακέραιος Υποθέτουmicroε ότι οι ακόλουθες δυο προτάσειςείναι αληθείς

1 Η P(a) είναι αληθής2 Για όλους τους ακεραίους k ge a αν η P(k) είναι αληθής τότε και η P(k + 1) είναι

αληθής

Τότε ισχύει η πρότασηγια όλους τους ακεραίους n ge a η P(n) είναι αληθής

Η πρώτη γνωστή καταγεγραmicromicroένη microαθηmicroατική επαγωγή βρίσκεται στα γραπτά τουΙταλού επιστήmicroονα Francesco Maurolico το 1575 Την ίδια τεχνική χρησιmicroοποιούσαν κα-τά το δέκατο έβδοmicroο αιώνα και οι Pierre de Fermat και Blaise Pascal Ο Fermat ονόmicroαζετην επαγωγή laquomicroέθοδο της άπειρης καθόδουraquo (laquomethod of innite descentraquo) Το 1883 οAugustus De Morgan (γνωστός από τους κανόνες De Morgan) περιέγραψε προσεκτικάτη διαδικασία και την ονόmicroασε microαϑηmicroατιϰή επαγωγή

Για να πάρετε microια διαισθητική εικόνα για τη microαθηmicroατική επαγωγή ϕανταστείτε microιαάπειρη συλλογή από ντόmicroινο τοποθετηmicroένα το ένα πίσω από το άλλο microε τέτοιο τρόποώστε αν ένα ντόmicroινο πέσει να ρίξει και το επόmicroενο (∆είτε το Σχήmicroα 423) Φανταστείτετώρα ότι πέϕτει το πρώτο ντόmicroινο Τι θα συmicroβεί Θα πέσουν όλα

12

3

4

kk + 1

Σχήmicroα 423 Όταν πέϕτει το k ντόmicroινο ρίχνει και το (k + 1)

Για να δείτε τη σχέση ανάmicroεσα σε αυτή την εικόνα και την αρχή της microαθηmicroατικήςεπαγωγής υποθέστε ότι η P(n) είναι η πρόταση laquoτο n ντόmicroινο πέϕτειraquo Υποθέτουmicroε ότιγια κάθε k ge 1 αν η P(k) είναι αληθής (το k ντόmicroινο πέϕτει) τότε η P(k + 1) είναι επίσηςαληθής (το (k + 1) ντόmicroινο πέϕτει) Υποθέτουmicroε επίσης ότι η P(1) είναι αληθής (το πρώτοντόmicroινο πέϕτει) Έτσι από την αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής η P(n) (το n ντόmicroινοπέϕτει) είναι αληθής για κάθε n ge 1

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 239

Η ισχύς της απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή θεωρείται αξίωmicroα Γιrsquo αυτόν το λόγοαναϕερόmicroαστε σε αυτή ως αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής αντί ως θεώρηmicroα Είναι ισο-δύναmicroη microε την ακόλουθη ιδιότητα των ακεραίων που εύκολα τη δέχεται κανείς ως αληθήmicroε βάση τη διαίσθησή του

Υποθέτουmicroε ότι το S είναι οποιοδήποτε σύνολο ακεραίων που ικανοποιεί (1) a isin Sκαι (2) για όλους τους ακεραίους k αν k isin S τότε k + 1 isin S Τότε το S πρέπει ναπεριέχει κάθε ακέραιο microεγαλύτερο ή ίσο του a

Για να κατανοήσουmicroε την ισοδυναmicroία των δυο διατυπώσεων απλώς ορίζουmicroε ως S τοσύνολο όλων των ακεραίων για τους οποίους η P(n) είναι αληθής

Η απόδειξη ενός επιχειρήmicroατος microε microαθηmicroατική επαγωγή είναι microια διαδικασία δύο βη-microάτων Το πρώτο βήmicroα λέγεται αρχιϰό βήmicroα ή βήmicroα έναρξης και το δεύτερο επαγωγιϰόβήmicroα

Η microέθοδος απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή

Θεωρήστε microια πρόταση της microορϕής laquoγια όλους τους ακεραίους n ge a η ιδιότηταP(n) είναι αληθήςraquo Για να αποδείξουmicroε microια τέτοια πρόταση ακολουθούmicroε τα παρα-κάτω δύο βήmicroατα

Βήmicroα 1 (αρχικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = a

Βήmicroα 2 (επαγωγικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους k ge a αν η ιδιό-τητα είναι αληθής για n = k τότε είναι αληθής για n = k + 1 Για να πραγmicroα-τοποιήσουmicroε αυτό το βήmicroα

υποθέτουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k όπου k είναιοποιοσδήποτε συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος ακέραιοςmicroε k ge a [Αυτή η υπόϑεση ονοmicroάζεται επαγωγική υπόθεση]

Έτσι

δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k + 1

∆ίνουmicroε εδώ την τυπική απόδειξη για τα κέρmicroατα που διατυπώσαmicroε χωρίς τυπικό τρό-πο προηγουmicroένως

Πρόταση 421

Έστω ότι η P(n) είναι η ιδιότητα laquoncent microπορούν να υπολογιστούν microε κέρmicroατα των 3centκαι 5centraquo Τότε η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8

Απόδειξη

∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 8 Η ιδιότητα είναι αληθής για n = 8 ε-πειδή 8cent = 3cent + 5cent

∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 8 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής ϰαι για n = k + 1 Υποθέτουmicroε ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε kcent χρη-σιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent για κάποιο ακέραιο k ge 8 [Αυτή είναι η ε-παγωγιϰή υπόϑεση]Πρέπει να δείξουmicroε τώρα ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε και (k + 1)centχρησιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και 5cent Αν υπάρχει κέρmicroα των 5cent ανάmicroεσα σε αυτάπου απαρτίζουν τα kcent το αντικαθιστούmicroε microε δύο κέρmicroατα των 3cent το αποτέλεσmicroαθα είναι (k + 1)cent Αν δεν υπάρχει κέρmicroα των 5cent σε αυτά που απαρτίζουν τα kcent τότεπρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 3 κέρmicroατα των 3cent αϕού k ge 8 Αϕαιρούmicroε αυτά τατρία κέρmicroατα των 3cent και τα αντικαθιστούmicroε microε δύο των 5cent το αποτέλεσmicroα θα είναι(k + 1)cent Έτσι σε κάθε περίπτωση microπορούmicroε να πάρουmicroε (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και των 5cent [όπως έπρεπε να δειχϑεί]

240 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Το ακόλουθο παράδειγmicroα δείχνει πώς χρησιmicroοποιούmicroε τη microαθηmicroατική επαγωγή γιανα αποδείξουmicroε έναν τύπο που δίνει το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Παράδειγmicroα 421 Άθροισmicroα των n πρώτων ακεραίων

Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να αποδείξετε ότι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2για όλους τους ακεραίους n ge 1

Λύση Για να κατασκευάσετε microια απόδειξη microε επαγωγή πρέπει πρώτα να βρείτε ποια είναι ηιδιότητα P(n) Σε αυτή την περίπτωση η P(n) είναι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2 larr η ιδιότητα (P(n))

[Για να δείτε ότι η P(n) είναι microια πρόταση παρατηρήστε ότι το αντιϰείmicroενό της είναι laquoτοάϑροισmicroα των αϰεραίων από το 1 microέχρι το nraquo ϰαι το ρήmicroα της είναι το laquoισούταιraquo]

Στο αρχικό βήmicroα της απόδειξης πρέπει να δείξετε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 1ή microε άλλα λόγια ότι η P(1) είναι αληθής Τώρα για να βρούmicroε την P(1) αντικαθιστούmicroε1 στη θέση του n στην P(n) Το αριστερό σκέλος της P(1) είναι το άθροισmicroα όλων τωνδιαδοχικών ακεραίων που ξεκινούν microε το 1 και τελειώνουν στο 1 Αυτό είναι απλώς το 1Έτσι η P(1) είναι η

1 =1(1 + 1)

2 larr αρχική (P(1))

Φυσικά αυτή η εξίσωση είναι αληθής διότι το δεξιό σκέλος είναι

1(1 + 1)2

=1 sdot 2

2= 1

που ισούται microε το αριστερό σκέλοςΣτο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής για κάποιον ακέραιο k microε

k ge 1 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση] Πρέπει τώρα να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναιαληθής Ποιες είναι οι P(k) και P(k + 1) Για να βρούmicroε την P(k) αντικαθιστούmicroε k στηθέση κάθε n στην P(n) Έτσι η P(k) είναι η

1 + 2 +⋯+ k =k(k + 1)

2 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Παρόmicroοια για να βρούmicroε την P(k + 1) αντικαθιστούmicroε κάθε n της P(n) microε την ποσότητα(k + 1) Έτσι η P(k + 1) είναι1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2

ή ισοδύναmicroα

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

larr να δειχθεί η (P(k + 1))

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 241

Τώρα η επαγωγική υπόθεση είναι ότι η P(k) είναι αληθής Πώς microπορούmicroε να χρησι-microοποιήσουmicroε αυτή την υπόθεση για να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής Η P(k + 1)είναι microια εξίσωση και η αλήθεια microιας εξίσωσης microπορεί να δειχθεί microε διάϕορους τρόπουςΈνας από τους πιο άmicroεσους είναι να microετασχηmicroατίσουmicroε το αριστερό σκέλος στο δεξιόχρησιmicroοποιώντας άλγεβρα και άλλους γνωστούς κανόνες και έγκυρες υποθέσεις microεταξύτων οποίων και την επαγωγική υπόθεση Σε αυτή την περίπτωση το αριστερό σκέλος τηςP(k + 1) είναι

1 + 2 +⋯+ (k + 1)που ισούται microε

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) προσδιορισmicroός του προτελευταίουόρου και οmicroαδοποίηση

Αλλά microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1)=k(k + 1)

2+ (k + 1) αϕού η επαγωγική υπόθεση λέει

ότι 1 + 2 +⋯ + k =k(k + 1)

2

Τώρα χρησιmicroοποιούmicroε άλγεβρα για να δείξουmicroε ότι αυτή η έκϕραση ισούται microε το δεξιόσκέλος της P(k + 1)

k(k + 1)2

+ (k + 1)

=k(k + 1)

2+2(k + 1)

2

πολλαπλασιάζουmicroε αριθmicroητή και πα-ρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε το2 για να πάρουmicroε κοινό παρονοmicroα-στή

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2microε πρόσθεση κλασmicroάτων

=(k + 2)(k + 1)

2βγάζουmicroε κοινό παράγοντα το (k + 1)

=(k + 1)(k + 2)

2υπολογίζουmicroε τους παράγοντες(k + 1) και (k + 2)

που ισούται microε το δεξιό σκέλος της P(k + 1)Συνοψίζουmicroε την παραπάνω ανάλυση ως εξής

Θεώρηmicroα 422 Άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Για όλους τους ακεραίους n ge 1

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2

Απόδειξη (microε microαθηmicroατική επαγωγή)

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση 1 + 2 +⋯+ n = n(n + 1)2

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1 Για να δείξουmicroε την ιδιότητα για

n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 =1(1 + 1)

2 Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης

είναι 1 και το δεξιό είναι1(1 + 1)

2=2

2= 1 και αυτό Άρα η ιδιότητα είναι αληθής για

n = 1συνεχίζεται στην επόmicroενη σελίδα

242 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2είναι αληϑής για ϰάποιον

αϰέραιο k ge 1 στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ k =

k(k + 1)2

για κάποιον ακέραιο k ge 1

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =

n(n + 1)2

είναι αληϑής όταν

αντιϰαταστήσουmicroε το k + 1 στη ϑέση του n]Πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2 ή ισοδύναmicroα ότι

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

421

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος της εξίσωσης (421) ισούται microε το δεξιόσϰέλος]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (421) είναι το

1 + 2 +⋯+ (k + 1)= (1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) Ο προτελευταίος όρος είναι ο k γιατί οι όροι

είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ο τελευταίος εί-ναι ο k + 1

=k(k + 1)

2+ (k + 1) microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

=k(k + 1)

2+(k + 1) sdot 2

2

=(k + 1)(k + 2)

2

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (421) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού δείξαmicroε ϰαι το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

Λέγεται microια ιστορία για έναν από τους microεγαλύτερους microαθηmicroατικούς όλων των εποχώντον Carl Friedrich Gauss (1777ndash1855) σύmicroϕωνα microε την οποία όταν ήταν microικρό παιδί οδάσκαλος του ζήτησε να προσθέσει τους αριθmicroούς από το 1 microέχρι το 100 Ο δάσκαλοςζήτησε από τους microαθητές να υπολογίσουν το άθροισmicroα ώστε να τους απασχολήσει γιανα microπορέσει εκείνος να διορθώσει γραπτά Αλλά λίγες στιγmicroές αργότερα ο Gauss βρήκετην σωστή απάντηση Είναι περιττό να πούmicroε ότι ο δάσκαλος τα έχασε Πώς microπόρεσε ονεαρός Gauss να υπολογίσει τόσο γρήγορα Τα επόmicroενα χρόνια ο Gauss εξήγησε ότι είχεϕανταστεί τους αριθmicroούς σε ζευγάρια σύmicroϕωνα microε το ακόλουθο σχήmicroα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 243

1 2 3 50 51 98 99 100

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

Το άθροισmicroα κάθε ζεύγους είναι 101 και υπάρχουν 50 ζεύγη άρα το συνολικό άθροισmicroαείναι 50 sdot 101 = 5050

Παράδειγmicroα 422 Εϕαρmicroογές του τύπου του αθροίσmicroατος των πρώτων n ακεραίων

α Βρείτε το 2 + 4 + 6 +⋯+ 500

β Βρείτε το 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50

γ Για οποιονδήποτε ακέραιο h ge 2 βρείτε το 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1)Λύση

α 2 + 4 + 6 +⋯+ 500 = 2 sdot (1 + 2 + 3 +⋯+ 250)= 2 sdot (250 sdot 251

2) εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroα

των πρώτων n ακεραίων για n = 250

= 62750

β 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50 = (1 + 2 + 3 +⋯+ 50) minus (1 + 2 + 3 + 4)=50 sdot 51

2minus 10

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroατων πρώτων n ακεραίων για n = 50

= 1265

γ 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1) = (h minus 1) sdot [(h minus 1) + 1]2

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροι-σmicroα των πρώτων n ακεραίων γιαn = h minus 1

=(h minus 1) sdot h

2αϕού (h minus 1) + 1 = h n

Στο επόmicroενο παράδειγmicroα ζητείται να αποδειχθεί ένας άλλος διάσηmicroος microαθηmicroατικόςτύποςmdashο τύπος του αθροίσmicroατος της γεωmicroετρικής προόδου Σε microια γεωmicroετρικήπρόοδοκάθε όρος ισούται microε τον προηγούmicroενο επί ένα σταθερό παράγοντα Αν ο πρώτος όροςείναι 1 και ο σταθερός παράγοντας είναι r τότε η ακολουθία είναι 1 r r2 r3 rn Το άθροισmicroα των πρώτων n όρων αυτής της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

για όλους τους ακεραίους n ge 0 και τους πραγmicroατικούς αριθmicroούς r που δεν είναι ίσοι microε1 Η αναπτυγmicroένη microορϕή αυτού του τύπου είναι η

r0 + r1 + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

και επειδή r0 = 1 και r1 = r ο τύπος για n ge 1 microπορεί να ξαναγραϕεί ως

1 + r + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

244 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παράδειγmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Αποδείξτε ότιnsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 για κάθε ακέραιο n ge 0 και για όλους τους πραγmicroατικούς

αριθmicroούς r διάϕορους του 1

Λύση Σε αυτό το παράδειγmicroα η ιδιότητα P(n) είναι πάλι microια εξίσωση αν και σε αυτή τηνπερίπτωση περιλαmicroβάνει microια πραγmicroατική microεταβλητή r

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 larr η ιδιότητα (P(n))

Αϕού το r microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός εκτός του 1 ξεκινάmicroε τηναπόδειξη υποθέτοντας ότι ο r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγ-microατικός αριθmicroός διάϕορος του 1 Έπειτα συνεχίζουmicroε την απόδειξη microε microαθηmicroατική επα-γωγή στο n αρχίζοντας microε το n = 0 Στο αρχικό βήmicroα πρέπει να δείξουmicroε ότι η P(0) είναιαληθής δηλαδή να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 0 Οπότε αντικαθιστούmicroε0 για κάθε n στην P(n)

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1 larr αρχική (P(0))

Στο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής δηλαδή υποθέτουmicroε ότι ηιδιότητα είναι αληθής για n = k Οπότε αντικαθιστούmicroε k για κάθε n στην P(n)

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Μετά δείχνουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής δηλαδή δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αλη-θής για n = k + 1 Έτσι αντικαθιστούmicroε k + 1 για κάθε n στην P(n)

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1

ή εναλλακτικά

k+1sumi=0

r i =rk+2 minus 1

r minus 1sdot larr για να δείξουmicroε την (P(k + 1))

Θεώρηmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό r εκτός του 1 και για κάθε ακέραιο n ge 0

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Απόδειξη

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Υποθέτουmicroε ότι το r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγmicroατικόςαριθmicroός διάϕορος του 1 Πρέπει να δείξουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους n ge 0

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 245

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Θα το δείξουmicroε microε microαθηmicroατική επαγωγή στο n

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0 Για n = 0 πρέπει να δείξουmicroε ότι

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1

Το αριστερό σκέλος αυτής της εξίσωσης είναι το r0 = 1 Το δεξιό σκέλος είναι

r1 minus 1

r minus 1=r minus 1

r minus 1= 1

ξανά αϕού r1 = r και r ne 1 [Οπότε η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0]

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 0 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1είναι αληϑής όταν ένας αϰέραιος k ge 0

αντιϰατασταϑεί στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 για k ge 0 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση]

[Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1 422

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος αυτής της εξίσωσης ισούται microε το δεξιό]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (422) είναι το

k+1sumi=0

r i =ksumi=0

r i + rk+1 γράϕουmicroε τον (k + 1) όρο ξεχωριστά απότους πρώτους k όρους

=rk+1 minus 1

r minus 1+ rk+1 microε αντικατάσταση από

την επαγωγική υπόθεση

=rk+1 minus 1

r minus 1+rk+1(r minus 1)

r minus 1

πολλαπλασιάζουmicroε τον αριθmicroητή και τονπαρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε (r minus 1)για να έχουmicroε κοινό παρονοmicroαστή

=(rk+1 minus 1) + rk+1(r minus 1)

r minus 1πρόσθεση κλασmicroάτων

=rk+1 minus 1 + rk+2 minus rk+1

r minus 1πολλαπλασιασmicroός και χρήση του

rk+1 sdot r = rk+1 sdot r1 = rk+2

=rk+2 minus 1

r minus 1διαγραϕή των rk+1

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (4 2 2) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Ο σκοπός microου microε αυτό το βιβλίο ήταν να δώσω microια σαϕή και προσιτή παρουσίαση τωνδιακριτών microαθηmicroατικών για προπτυχιακούς και microεταπτυχιακούς ϕοιτητές που σπουδά-ζουν επιστήmicroη υπολογιστών microαθηmicroατικά εκπαίδευση στα microαθηmicroατικά και microηχανολογίαΣτόχος του βιβλίου είναι να θέσει τις microαθηmicroατικές βάσεις για microαθήmicroατα της επιστήmicroης τωνυπολογιστών όπως δοmicroές δεδοmicroένων αλγόριθmicroοι θεωρία βάσεων δεδοmicroένων θεωρία αυ-τοmicroάτων και τυπικές γλώσσες σχεδιασmicroός microεταγλωττιστών και κρυπτογραϕία αλλά καιγια microαθήmicroατα microαθηmicroατικών όπως γραmicromicroική και αϕηρηmicroένη άλγεβρα συνδυαστική πι-θανότητες λογική και συνολοθεωρία και θεωρία αριθmicroών Συνδυάζοντας τη θεωρία καιτην πράξη προσπάθησα να δείξω ότι τα microαθηmicroατικά εκτός από το ότι είναι αξιαγάπηταενδιαϕέροντα και όmicroορϕα από microόνα τους έχουν σηmicroαντικές εϕαρmicroογές

Το microόνο προαπαιτούmicroενο είναι ένα καλό υπόβαθρο στην απλή άλγεβρα το microάθηmicroαmicroπορεί να διδαχθεί είτε πριν είτε microετά από ένα microάθηmicroα απειροστικού λογισmicroού Προηγού-microενες εκδόσεις του βιβλίου έχουν χρησιmicroοποιηθεί microε επιτυχία σε ιδρύmicroατα της Βόρειαςκαι Νότιας Αmicroερικής της Ευρώπης της Μέσης Ανατολής και της Αυστραλίας

Σύmicroϕωνα microε τις πρόσϕατες προτάσεις του Ινστιτούτου Ηλεκτρολόγων και Ηλεκτρο-νικώνΜηχανικών-Ένωσης Υπολογιστών (Institute for Electrical and Electronic EngineersComputer Society IEEE-CS) και της Ένωσης ΣυσκευώνΥπολογιστών (Association for Co-mputing Machinery ACM) τα διακριτά microαθηmicroατικά πρέπει να αποτελούν το microεγαλύτεροmicroέρος των laquoβασικών γνώσεωνraquo των ϕοιτητών της επιστήmicroης των υπολογιστών ενώ η microε-λέτη του αντικειmicroένου κατά το πρώτο έτος σπουδών τους πρέπει να διαρκεί τουλάχιστονένα εξάmicroηνο ή ακόmicroα και δύο όπου αυτό είναι δυνατόν Αυτό το βιβλίο περιλαmicroβάνει όλατα θέmicroατα που προτείνουν αυτοί οι οργανισmicroοί και microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί αποτελε-σmicroατικά είτε για ένα εξαmicroηνιαίο microάθηmicroα είτε για δύο

Κάποτε τα περισσότερα από τα θέmicroατα των διακριτών microαθηmicroατικών διδάσκονταν microό-νο σε προπτυχιακούς ϕοιτητές κατά το τελευταίο έτος των σπουδών τους Η βασική καιεξαιρετικά ενδιαϕέρουσα πρόκληση της συγγραϕής αυτού του βιβλίου ήταν η εύρεσητου κατάλληλου τρόπου διδασκαλίας αυτών των θεmicroάτων ώστε να γίνουν κατανοητάαπό πρωτοετείς και δευτεροετείς ϕοιτητές Ο τρόπος παρουσίασης αναπτύχθηκε κατάτη διάρκεια microιας microεγάλης περιόδου πειραmicroατισmicroών κατά την οποία οι ϕοιτητές microου ήτανταυτόχρονα από πολλές απόψεις και δάσκαλοί microου Οι ερωτήσεις τους τα σχόλιά τουςκαι τα γραπτά τους microου υποδείκνυαν ποιες έννοιες και τεχνικές τους δυσκόλευαν ενώο τρόπος microε τον οποίο ανταποκρίνονταν στις παρουσιάσεις που τους έκανα microου έδειχνετι ήταν αποτελεσmicroατικό στο χτίσιmicroο της κατανόησης των εννοιών και κινούσε το ενδια-ϕέρον τους Πολλές από τις αλλαγές σε αυτή την έκδοση είναι αποτέλεσmicroα της συνεχούςαλληλεπίδρασης microε τους ϕοιτητές

Τα θέmicroατα ενός microαθήmicroατος διακριτών microαθηmicroατικών

Τα διακριτά microαθηmicroατικά περιγράϕουν διαδικασίες που αποτελούνται από microια ακολουθί-α ξεχωριστών βηmicroάτων Αντίθετα ο απειροστικός λογισmicroός περιγράϕει διαδικασίες πουmicroεταβάλλονται microε συνεχή τρόπο Όπως οι ιδέες του απειροστικού λογισmicroού αποτέλεσαντα θεmicroέλια της επιστήmicroης και της τεχνολογίας κατά τη βιοmicroηχανική επανάσταση έτσι καιοι ιδέες των διακριτών microαθηmicroατικών υποστηρίζουν την επιστήmicroη και την τεχνολογία τηςεποχής των υπολογιστών Τα κύρια θέmicroατα ενός πρώτου microαθήmicroατος διακριτών microαθηmicroα-τικών είναι η λογική και η απόδειξη η επαγωγή και η επανάληψη η συνδυαστική και οιδιακριτές πιθανότητες οι αλγόριθmicroοι και η ανάλυσή τους και οι εϕαρmicroογές στη microοντελο-ποίηση

Λογική και Απόδειξη Ο σπουδαιότερος ίσως στόχος ενός εισαγωγικού microαθήmicroατος σταδιακριτά microαθηmicroατικά είναι να βοηθήσει τους ϕοιτητές να αναπτύξουν την ικανότητα να

12 Πρόλογος

σκέϕτονται αϕηρηmicroένα Αυτό σηmicroαίνει να έχουν τη δυνατότητα να χρησιmicroοποιούν λογικάορθές microορϕές επιχειρηmicroάτων και να αποϕεύγουν κοινά λογικά σϕάλmicroατα να επιχειρηmicroα-τολογούν microε βάση τους ορισmicroούς να χρησιmicroοποιούν ευθεία αλλά και πλάγια επιχειρήmicroαταγια να αποδεικνύουν νέα αποτελέσmicroατα από ήδη γνωστά και να microπορούν να εργάζονταιmicroε συmicroβολικές αναπαραστάσεις σαν να ήταν συγκεκριmicroένα αντικείmicroενα

Επαγωγή και αναδροmicroή Μια ενδιαϕέρουσα εξέλιξη των τελευταίων ετών είναι η εκτί-microηση της δύναmicroης και οmicroορϕιάς της laquoαναδροmicroικής σκέψηςraquo Πρακτικά αυτό σηmicroαίνει ναεξετάσουmicroε ένα πρόβληmicroα υποθέτοντας ότι παρόmicroοια προβλήmicroατα microικρότερης κλίmicroακαςέχουν ήδη λυθεί και να προσπαθούmicroε να συνδυάσουmicroε αυτές τις λύσεις των επιmicroέρουςπροβληmicroάτων για να λύσουmicroε το microεγαλύτερο πρόβληmicroα Αυτή η microέθοδος χρησιmicroοποιεί-ται εκτεταmicroένα στην ανάλυση αλγορίθmicroων όπου αναδροmicroικές σχέσεις που προκύπτουναπό αναδροmicroικού τύπου συλλογισmicroούς δίνουν τύπους που επιβεβαιώνονται microε microαθηmicroα-τική επαγωγή

Συνδυαστική και διακριτές πιθανότητες Η συνδυαστική στα microαθηmicroατικά της απαρίθmicroη-σης της διάταξης αντικειmicroένων και της πιθανότητας είναι η microελέτη των νόmicroων για τιςmicroετρήσεις τυχαίων γεγονότων Η διακριτή πιθανότητα εστιάζει σε καταστάσεις που α-σχολούνται microε διακριτά σύνολα αντικειmicroένων όπως ο προσδιορισmicroός της πιθανότηταςνα έρθει κορώνα συγκεκριmicroένες ϕορές όταν ρίχνουmicroε ένα δίκαιο κέρmicroα αρκετές ϕορές Ε-πιδεξιότητα στη συνδυαστική και τις πιθανότητες χρειάζεται σχεδόν σε κάθε αντικείmicroενοόπου εϕαρmicroόζονται τα microαθηmicroατικά από την οικονοmicroία microέχρι τη βιολογία την επιστήmicroητων υπολογιστών τη χηmicroεία τη ϕυσική και τη διοίκηση επιχειρήσεων

Αλγόριθmicroοι και η ανάλυσή τους Η λέξη αλγόριϑmicroος ήταν γενικά άγνωστη στο microέσο τουεικοστού αιώνα ενώ τώρα είναι microία από τις πρώτες λέξεις που συναντάει κανείς στην ε-πιστήmicroη των υπολογιστών Για να λύσουmicroε ένα πρόβληmicroα microε έναν υπολογιστή είναι απα-ραίτητο να βρούmicroε έναν αλγόριθmicroο ή microια βήmicroα προς βήmicroα ακολουθία οδηγιών τις οποίεςθα ακολουθήσει ο υπολογιστής Ο σχεδιασmicroός ενός αλγορίθmicroου απαιτεί κατανόηση τωνmicroαθηmicroατικών του προβλήmicroατος που πρόκειται να λυθεί Ο προσδιορισmicroός της ορθότηταςή microη ενός αλγορίθmicroου απαιτεί περίπλοκους χειρισmicroούς microε microαθηmicroατική επαγωγή Ο υπο-λογισmicroός του χρόνου ή της microνήmicroης που χρειάζεται ένας αλγόριθmicroος ώστε να microπορεί νασυγκριθεί microε άλλους αλγορίθmicroους που δίνουν την ίδια έξοδο απαιτεί γνώσεις συνδυαστι-κής επαναληπτικών σχέσεων συναρτήσεων και συmicroβολισmicroών O Ω και Θ

∆ιακριτές δοmicroές Οι διακριτές microαθηmicroατικές δοmicroές είναι αϕηρηmicroένες δοmicroές που περιγρά-ϕουν κατηγοριοποιούν και αναδεικνύουν τις κρυϕές σχέσεις microεταξύ διακριτών microαθηmicroα-τικών αντικειmicroένων Οι δοmicroές που microελετάmicroε σε αυτό το βιβλίο είναι τα σύνολα των ακε-ραίων και των ρητών γενικά σύνολα άλγεβρες Boole συναρτήσεις σχέσεις γραϕήmicroατακαι δέντρα τυπικές γλώσσες και κανονικές εκϕράσεις και αυτόmicroατα πεπερασmicroένων κα-ταστάσεων

Εφαρmicroογέςκαιmicroοντελοποίηση Ταmicroαθηmicroατικά αντικείmicroενα γίνονται καλύτερα κατανοη-τά όταν τα εξετάζουmicroε σε microια ποικιλία καταστάσεων και τα χρησιmicroοποιούmicroε για την επί-λυση προβληmicroάτων που συναντώνται σε ένα microεγάλο εύρος εϕαρmicroογών Ένα από τα σπου-δαιότερα microαθήmicroατα των microαθηmicroατικών είναι ότι microας επιτρέπουν να χρησιmicroοποιούmicroε το ίδιοmicroαθηmicroατικό microοντέλο για να λύνουmicroε προβλήmicroατα τα οποία ϕαινοmicroενικά είναι τελείωςανόmicroοια Ένας από τους στόχους αυτού του βιβλίου είναι να δείξει στους ϕοιτητές τηνεκπληκτική πρακτική χρησιmicroότητα microερικών πολύ αϕηρηmicroένων microαθηmicroατικών ιδεών

Ειδικά χαρακτηριστικά αυτού του βιβλίου

Μαθηmicroατική συλλογιστική Το χαρακτηριστικό που κάνει αυτό να βιβλίο να ξεχωρίζει α-πό άλλα βιβλία διακριτών microαθηmicroατικών είναι ότι διδάσκει mdash microε διεξοδικό αλλά εύληπτοτρόπο στους πρωτοετείς και δευτεροετείς ϕοιτητές mdash την κρυϕή λογική και συλλογι-

Πρόλογος 13

στική που αποτελούν τη βάση της microαθηmicroατικής σκέψης Για πολλά χρόνια δίδασκα έναιδιαίτερα διαδραστικό microάθηmicroα microετάβασης στα αϕηρηmicroένα microαθηmicroατικά σε ϕοιτητές τωνmicroαθηmicroατικών και της επιστήmicroης των υπολογιστών Αυτή η εmicroπειρία microου έδειξε ότι αν καιείναι εϕικτό να διδάξεις τους περισσότερους ϕοιτητές να καταλαβαίνουν και να κατα-σκευάζουν σαϕή microαθηmicroατικά επιχειρήmicroατα υπάρχουν κάποια εmicroπόδια που είναι δύσκολονα ξεπεραστούν Για να είναι αποτελεσmicroατικό το βιβλίο ενός τέτοιου microαθήmicroατος πρέπεινα ασχολείται αρκετά microε τις δυσκολίες του ϕοιτητή στη λογική και στη γλώσσα microε άmicroεσοτρόπο Πρέπει επίσης να περιέχει πολλά σαϕή παραδείγmicroατα και ασκήσεις για να δώσει τηδυνατότητα στους ϕοιτητές να αναπτύξουν τα απαραίτητα νοητικά microοντέλα που θα τουςεπιτρέψουν να κατανοήσουν πιο αϕηρηmicroένα προβλήmicroατα Η αντιmicroετώπιση της λογικήςκαι της απόδειξης σε αυτό το βιβλίο συνδυάζει κοινή λογική και αυστηρή προσέγγιση microεένα τρόπο που εξηγεί τα ουσιώδη χωρίς να κουράζει τους ϕοιτητές microε τεχνικές λεπτοmicroέ-ρειες

Ελικοειδής προσέγγιση στην ανάπτυξη των εννοιών Ένας αριθmicroός από έννοιες σε αυτότο βιβλίο εmicroϕανίζεται microε ολοένα και πιο σύνθετες microορϕές στα διαδοχικά κεϕάλαια γιανα βοηθήσει τους ϕοιτητές να αναπτύξουν επίπεδα αϕαίρεσης Για παράδειγmicroα microέχρι νασυναντήσουν το σχετικά προχωρηmicroένο θέmicroα του microικρού θεωρήmicroατος του Fermat και τουκινέζικου θεωρήmicroατος υπολοίπου στην Ενότητα 104 θα έχουν ήδη εισαχθεί στη microαθη-microατική λογική στα Κεϕάλαια 1 και 2 θα έχουν microάθει τις βασικές microεθόδους της απόδειξηςκαι τις έννοιεςmod και div στο Κεϕάλαιο 3 θα έχουν microελετήσει τις διαmicroερίσεις ακεραίωνστο Κεϕάλαιο 5 θα έχουν θεωρήσει τιςmod και div ως συναρτήσεις στο Κεϕάλαιο 7 καιθα έχουν εξοικειωθεί microε τις σχέσεις ισοδυναmicroίας στις Ενότητες 102 και 103 Αυτή η προ-σέγγιση ανακεϕαλαιώνει τα θέmicroατα και αναπτύσσει τη microαθηmicroατική ωριmicroότητα microε ϕυσικότρόπο

Υποστήριξη για τους φοιτητές Οι ϕοιτητές οπωσδήποτε πρέπει να microάθουν πολλά πράγ-microατα microόνοι τους Μαθαίνοντας να microελετούν microόνοι τους κάτι που συχνά είναι δύσκολοπραγmicroατοποιούν ένα σηmicroαντικό βήmicroα προς την εξασϕάλιση microιας επιτυχηmicroένης επαγγελ-microατικής καριέρας Αυτό το βιβλίο διαθέτει ορισmicroένα χαρακτηριστικά που θα βοηθήσουντους ϕοιτητές να microάθουν να διαβάζουν microόνοι τους

Λυmicroένα παραδείγmicroαταΤο βιβλίο περιέχει περισσότερα από 500 λυmicroένα παραδείγmicroατα που είναι γραmicromicroένασε microορϕή εκϕώνησης-λύσης και είναι ανάλογα τόσο σε περιεχόmicroενο όσο και σε δυ-σκολία microε τις ασκήσεις Πολλές λύσεις προβληmicroάτων microε αποδείξεις έχουν γραϕεί σεδύο στάδια πρώτα εξετάζεται ο τρόπος microε τον οποίο είναι δυνατό να πραγmicroατοποιη-θεί η απόδειξη ή η ανασκευή και microετά παρατίθεται η περίληψη της λύσης microέσα σε έναπλαίσιο Αυτός ο τρόπος επιτρέπει στους ϕοιτητές να διαβάσουν το πρόβληmicroα και ανθέλουν να περάσουν κατευθείαν στην περίληψη ή αν δεν κατανοούν την περίληψηνα επιστρέψουν στη συζήτηση Αυτός ο τρόπος εξοικονοmicroεί χρόνο για τους ϕοιτητέςπου ξαναδιαβάζουν το κείmicroενο κατά την προετοιmicroασία τους για τις εξετάσεις

ΑσκήσειςΤο βιβλίο περιέχει περίπου 2500 ασκήσεις Οι ασκήσεις στο τέλος κάθε ενότητας έ-χουν σχεδιαστεί ώστε οι ϕοιτητές διαϕορετικών κλάδων και ποικίλων δυνατοτήτωννα microπορούν να βρούν κάποιες ασκήσεις που θα έχουν τη δυνατότητα να λύσουν σω-στά και κάποιες άλλες που θα τους δυσκολέψουν

Λύσεις ασκήσεωνΤοΠαράρτηmicroα Β περιέχει ένα microεγάλο αριθmicroό πλήρως λυmicroένων ασκήσεων Οι ϕοιτητέςκαλό θα ήταν να συmicroβουλεύονται τις λύσεις αϕού πρώτα έχουν καταβάλει κάθε προ-σπάθεια να λύσουν τις ασκήσεις microόνοι τους Αν προσπαθήσουν πρώτα microόνοι τους καιmicroετά συγκρίνουν τη δική τους λύση microε αυτή που δίνεται θα οδηγηθούν σε καλύτεροεπίπεδο κατανόησης Επιπλέον πολλά προβλήmicroατα συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων microερικώναπό τα πιο δύσκολα δεν έχουν λυθεί πλήρως ή περιλαmicroβάνουν υποδείξεις ώστε οιϕοιτητές να microπορούν να επαληθεύσουν αν ο συλλογισmicroός τους είναι σωστός και να

14 Πρόλογος

κάνουν τις κατάλληλες προσαρmicroογές Επίσης υπάρχουν πολλές ασκήσεις χωρίς λύσηώστε να microάθουν οι ϕοιτητές να ασχολούνται microε προβλήmicroατα σε ρεαλιστικό πλαίσιοεργασίας

Σχήmicroατα και πίνακεςΤα σχήmicroατα και οι πίνακες έχουν προστεθεί σε σηmicroεία που θεωρήσαmicroε ότι θα βοηθή-σουν τον αναγνώστη να κατανοήσει καλύτερα το πρόβληmicroα Στα περισσότερα σχήmicroα-τα γίνεται χρήση και δεύτερου χρώmicroατος για να γίνουν ακόmicroα πιο κατανοητά

ΑναϕορέςΠολλοί ϕοιτητές microού έχουν γράψει ότι το βιβλίο τούς βοήθησε πολύ στα πιο προχω-ρηmicroένα microαθήmicroατα που πήραν στη συνέχεια των σπουδών τους Ένας microου έγραψε ότιχρησιmicroοποίησε την πρώτη έκδοση τόσο πολύ ώστε το βιβλίο διαλύθηκε και αναγκά-στηκε να αγοράσει και τη δεύτερη έκδοση την οποία συνέχισε να χρησιmicroοποιεί καιστο microεταπτυχιακό του Η τακτική microου να τοποθετώ τους ορισmicroούς και τα θεωρήmicroατασε πλαίσια να βάζω τίτλους στις ασκήσεις και να παρέχω λίστες microε τύπους και τις ση-microασίες των συmicroβόλων στα εσώϕυλλα κάνει το βιβλίο εύχρηστο τόσο για microελέτη όσοκαι αργότερα ως βιβλίο αναϕοράς

Υποστήριξη τουκαθηγητή Έχω λάβει πλήθος πολύτιmicroων παρατηρήσεων από καθηγητέςπου έχουν χρησιmicroοποιήσει προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Το βιβλίο έχει βελτιωθείσηmicroαντικά λόγω αυτών των παρατηρήσεων

ΑσκήσειςΗ microεγάλη ποικιλία ασκήσεων όλων των επιπέδων δυσκολίας δίνει στους καθηγητέςmicroεγάλη ελευθερία να οργανώσουν το microάθηmicroά τους ανάλογα microε τις δυνατότητες τωνϕοιτητών τους Οι ασκήσεις microε λύσεις στο τέλος του βιβλίου έχουν γαλάζια αρίθmicroη-ση ενώ εκείνες που οι λύσεις τους παρέχονται σε διαϕορετικό εγχειρίδιο (εγχειρίδιολύσεων) έχουν αριθmicroούς που είναι πολλαπλάσια του τρία Υπάρχουν ασκήσεις κάθετύπου που δεν έχουν απάντηση ούτε σε αυτό το βιβλίο ούτε στο εγχειρίδιο λύσεωνώστε οι καθηγητές να είναι σε θέση να χρησιmicroοποιούν οποιονδήποτε συνδυασmicroό α-σκήσεων microε ή χωρίς λύσεις Ο microεγάλος αριθmicroός ασκήσεων παρέχει στους καθηγητέςσηmicroαντικές δυνατότητες επιλογής προβληmicroάτων για χρήση τόσο σε εξετάσεις όσο καισε επαναληπτικά microαθήmicroατα Οι καθηγητές θα πρέπει να προτιmicroούν τις ασκήσεις πουδιατυπώνονται microε τη microορϕή ερωτήσεων αντί εκείνων που ζητούν να laquoαποδειχθεί ότιraquoώστε να ενθαρρύνεται η συζήτηση στην τάξη σχετικά microε το ρόλο της απόδειξης καιτου αντιπαραδείγmicroατος στην επίλυση προβληmicroάτων

Ελαστικές ενότητεςΟι περισσότερες ενότητες χωρίζονται σε υποενότητες ώστε όταν ο καθηγητής πιέζε-ται από το χρόνο να microπορεί να παραλείψει συγκεκριmicroένες ενότητες ή να τις αϕήσει νατις διαβάσουν microόνοι τους οι ϕοιτητές Ο χωρισmicroός σε υποενότητες βοηθάει τον διδά-σκοντα να χωρίσει σε τmicroήmicroατα microια ενότητα στην περίπτωση που θέλει να αϕιερώσειπερισσότερα από ένα microαθήmicroατα γιrsquo αυτή

Παρουσίαση των αποδεικτικών microεθόδωνΕίναι αναπόϕευκτο οι αποδείξεις και ανασκευές σε αυτό το βιβλίο να ϕαίνονται πολύεύκολες στους καθηγητές Πολλοί ϕοιτητές όmicroως τις βρίσκουν δύσκολες Σε αυτό τοβιβλίο επιχειρώ να δείξω στους ϕοιτητές τον τρόπο σύνταξης και δόmicroησης αποδείξε-ων και ανασκευών περιγράϕοντας τα είδη των προσεγγίσεων που χρησιmicroοποιούν οιmicroαθηmicroατικοί όταν αντιmicroετωπίζουν δύσκολα προβλήmicroατα στην έρευνά τους

Βιβλίο καθηγητήΤο βιβλίο καθηγητή είναι διαθέσιmicroο σε οποιονδήποτε διδάσκει χρησιmicroοποιώντας τοπαρόν βιβλίο Το βιλίο καθηγητή περιέχει προτάσεις για τον τρόπο προσέγγισης τηςύλης κάθε κεϕαλαίου λύσεις για όλες τις ασκήσεις που δεν λύνονται πλήρως στο Πα-ράρτηmicroαΒ διαϕάνειες επαναληπτικό υλικό ιδέες για εργασίες και επιπλέον ασκήσεις

Πρόλογος 15

Τα νέα χαρακτηριστικά της τρίτης έκδοσης

Οι αλλαγές που έγιναν σε αυτή την έκδοση βασίστηκαν σε προτάσεις συναδέλϕων καιάλλων αναγνωστών της πρώτης και της δεύτερης έκδοσης και στη συνεχιζόmicroενη επαϕήmicroε ϕοιτητές microαθηmicroατικών και επιστήmicroης των υπολογιστών

Βελτιωmicroένη παιδαγωγική προσέγγιση

bull Ο αριθmicroός των ασκήσεων αυξήθηκε στις 2500 περίπου Προστέθηκαν περίπου 980νέες ασκήσεις

bull Προστέθηκαν ασκήσεις στα θέmicroατα στα οποία υπήρχε microεγαλύτερη ανάγκη για εξά-σκηση και τροποποιήθηκαν κατάλληλα ώστε να ληϕθούν καλύτερα υπόψη οι δυ-σκολίες των ϕοιτητών

bull Στο Παράρτηmicroα Β προστέθηκαν περισσότερες πλήρεις λύσεις ώστε να βοηθηθούνοι ϕοιτητές στα δύσκολα θέmicroατα

bull Ο τρόπος παρουσίασης των θεmicroάτων επανεξετάστηκε σε όλο το βιβλίο και όπουκρίθηκε σκόπιmicroο αναθεωρήθηκε

bull Έγινε προσεκτική δουλειά για να βελτιωθεί η microορϕή και η παρουσίαση του κειmicroένου

bull Επεκτάθηκαν οι συζητήσεις για ιστορικά θέmicroατα και πρόσϕατα αποτελέσmicroατα καιαυξήθηκαν οι ϕωτογραϕίες των επιστηmicroόνων των οποίων η δουλειά παρουσιάζεταιστο βιβλίο

Λογική

bull Η παρουσίαση των ποσοδεικτών έχει επεκταθεί σηmicroαντικά microε την προσθήκη microιαςνέας ενότητας αϕιερωmicroένης αποκλειστικά στους πολλαπλούς ποσοδείκτες

bull Προστέθηκαν ασκήσεις που χρησιmicroοποιούν τονΚόσmicroο τουTarski ένα υπέροχο παι-δαγωγικό εργαλείο που αναπτύχθηκε από τους Jon Barwise και John Etchemendyτου Πανεπιστηmicroίου του Stanford

bull Προστέθηκαν εϕαρmicroογές για την αναζήτηση στο ∆ιαδίκτυο

bull Απλοποιήθηκαν οι όροι διαϕόρων microορϕών συλλογισmicroών

Εισαγωγή στην απόδειξη

bull Επεκτάθηκαν οι οδηγίες συγγραϕής αποδείξεων

bull Οι περιγραϕές microεθόδων αποδείξεων γράϕτηκαν microε σαϕέστερο τρόπο

bull Οι ασκήσεις έχουν επανελεγχθεί και κάποιες έχουν microεταϕερθεί σε άλλο σηmicroείο ώστενα διευκολυνθεί η κατανόηση από τους ϕοιτητές

Επαγωγή και επανάληψη

bull Βελτιώθηκε η σκιαγράϕηση των αποδείξεων microε microαθηmicroατική επαγωγή

bull Οι υποενότητες της ενότητας των ακολουθιών οργανώθηκαν εκ νέου

bull Οι οmicroάδες ασκήσεων των ενοτήτων της ισχυρής microαθηmicroατικής επαγωγής και της κα-λής διάταξης και των επαγωγικώνεπαναληπτικών ορισmicroών επεκτάθηκαν σηmicroαντι-κά

Θεωρία αριθmicroών

bull Προστέθηκε microια υποενότητα ανοιχτών προβληmicroάτων στη θεωρία αριθmicroών και επε-κτάθηκε η συζήτηση για τις πρόσϕατες εξελίξεις

bull Προστέθηκε microια νέα ενότητα στην αριθmicroητική υπολοίπων και στην κρυπτογραϕίαΠεριλαmicroβάνεται microια συζήτηση για την κρυπτογραϕία RSA το microικρό θεώρηmicroα τουFermat και το κινέζικο θεώρηmicroα υπολοίπου

bull Η συζήτηση για τον έλεγχο αν ένας ακέραιος είναι πρώτος microεταϕέρθηκε αργότεραστο Κεϕάλαιο 3 για να γίνει σαϕής η εξάρτησή του από την έmicromicroεση επιχειρηmicroατο-λογία

16 Πρόλογος

Θεωρία συνόλων

bull ΟΙ ιδιότητες του κενού συνόλου παρουσιάζονται πλέον στην πρώτη ενότητα τουΚεϕαλαίου 5

bull Ηδεύτερη ενότητα του Κεϕαλαίου 5 είναι πλέον αϕιερωmicroένη αποκλειστικά σε απο-δείξεις στοιχείων

bull Οι αλγεβρικές αποδείξεις των συνολοθεωρητικών ιδιοτήτων και η χρήση αντιπαρα-δειγmicroάτων στην ανασκευή ιδιοτήτων συνόλων έχουν microεταϕερθεί στην τρίτη ενότητατου Κεϕαλαίου 5

bull Η παρουσίαση των αλγεβρών Boole έχει επεκταθεί και επισηmicroαίνεται η σχέση ανά-microεσα στις λογικές ισοδυναmicroίες τις ιδιότητες συνόλων και τις άλγεβρες Boole

Συνδυαστική και διακριτές πιθανότητες

bull Προστέθηκαν ασκήσεις στην ενότητα του διωνυmicroικού θεωρήmicroατος

bull Προστέθηκαν δύο νέες ενότητες στις πιθανότητες όπου microεταξύ άλλων καλύπτονταιη αναmicroενόmicroενη τιmicroή η δεσmicroευmicroένη πιθανότητα και η ανεξαρτησία και το θεώρηmicroαBayes

bull Εξηγούνται οι συνδυαστικές πτυχές των διευθύνσεων του διαδικτυακού πρωτοκόλ-λου (Internet Protocol IP)

Συναρτήσεις

bull Οι ασκήσεις για ένα προς ένα και επί συναρτήσεις έχουν βελτιωθεί

bull Έχει επεκταθεί το σύνολο των ασκήσεων στην πληθικότητα microε εϕαρmicroογές στην υ-πολογισιmicroότητα

Αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων

bull Οι Ενότητες 92 και 94 επανεξετάστηκαν και προστέθηκαν οι συmicroβολισmicroοίΘ καιΩ

bull Οι Ενότητες 93 και 95 έχουν αναθεωρηθεί αντίστοιχα microε καλύτερη επεξήγηση τηςέννοιας της διάταξης για έναν αλγόριθmicroο

bull Ηεξέταση της ταξινόmicroησης microε εισαγωγήκαι της ταξινόmicroησης microε επιλογή βελτιώθηκεκαι επεκτάθηκε

Κανονικές εκϕράσεις και αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων

bull Οι προηγούmicroενες διάσπαρτες ενότητες για τις τυπικές γλώσσες και τα αυτόmicroαταπεπερασmicroένων καταστάσεων συνενώθηκαν σε ένα αυτόνοmicroο κεϕάλαιο

bull Προστέθηκε microια νέα ενότητα για τις κανονικές εκϕράσεις καθώς και microια συζήτησηγια τη σχέση ανάmicroεσα στις κανονικές εκϕράσεις και στα αυτόmicroατα πεπερασmicroένωνκαταστάσεων

Ιστοσελίδα

∆ηmicroιουργήθηκε microια ιστοσελίδα γιrsquo αυτό το βιβλίο που περιέχει πληροϕορίες και υλικότόσο για τους ϕοιτητές όσο και για τους διδάσκοντες Περιέχει

bull περιγραϕές και συνδέσmicroους σε πολλές σελίδες στο ∆ιαδίκτυο microε προσβάσιmicroες πλη-ροϕορίες σχετικά microε τα διακριτά microαθηmicroατικά

bull συνδέσmicroους σε microικροεϕαρmicroογές που παρουσιάζουν ή προσϕέρουν εξάσκηση σε θέ-microατα διακριτών microαθηmicroατικών

bull πρόσθετα παραδείγmicroατα και ασκήσεις microε λύσεις

bull οδηγούς επανάληψης για τα κεϕάλαια του βιβλίου

Μια ειδική ενότητα για τους διδάσκοντες περιέχει

bull διαϕάνειες και ηλεκτρονικές διαϕάνειες σε αρχεία τύπου PowerPoint

bull επιπλέον ασκήσεις για εξετάσεις

Πρόλογος 17

Οδηγός για τη χρήση του βιβλίου microε τις λύσεις

Κατά τη συγγραϕή αυτού του βιβλίου προσπάθησα να δώσω αρκετή βοήθεια στους ϕοι-τητές microέσω της παρουσίασης της ύλης των λυmicroένων παραδειγmicroάτων και των λύσεων τωνασκήσεων ώστε να έχουν στη διάθεσή τους ότι χρειάζεται για την πλήρη κατανόηση τουmicroαθήmicroατος Πιστεύω ότι οι ϕοιτητές που θα ολοκληρώσουν τη microελέτη αυτού του βιβλίουκαι θα κατάϕερουν να λύσουν microόνοι τους όλες τις ασκήσεις που έχουν λυθεί στο Παράρ-τηmicroα Β θα κατανοήσουν πολύ καλά το αντικείmicroενο Όmicroως γνωρίζω ότι κάποιοι ϕοιτητέςθα θέλουν να έχουν πρόσβαση σε επιπλέον βοηθητικό υλικό Γιrsquo αυτόν το λόγο έχω γρά-ψει τον οδηγό λύσεων και microελέτης για το ϕοιτητή που διατίθεται ξεχωριστά από αυτότο βιβλίο και περιέχει τις πλήρεις λύσεις των ασκήσεων οι οποίες δεν είναι πλήρως λυmicroέ-νες στο Παράρτηmicroα Β και που ο αριθmicroός τους διαιρείται microε το 3 Αυτός ο οδηγός περιέχειεναλλακτικές επεξηγήσεις για κάποιες έννοιες και ερωτήσεις επανάληψης για κάθε κεϕά-λαιο

Οργάνωση του βιβλίου

Αυτό το βιβλίο microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί αποτελεσmicroατικά για ένα microάθηmicroα ενός ή δύοεξαmicroήνων Κάθε κεϕάλαιο περιέχει κύριες ενότητες ενότητες microε προαιρετικό υλικό καιενότητες microε προαιρετικές εϕαρmicroογές Οι διδάσκοντες έχουν την άνεση να επιλέξουν ό-ποιο υποσύνολο θεωρούν ότι ταιριάζει καλύτερα microε το microάθηmicroα και τους ϕοιτητές τους Οακόλουθος πίνακας δείχνει τη διαίρεση των ενοτήτων σε κατηγορίες

Ενότητες microε προαιρετικό Ενότητες microε προαιρετικές

Κεϕάλαιο Κύρια ενότητα microαθηmicroατικό υλικό εϕαρmicroογές στους υπολογιστές

1 11ndash13 14 15

2 21ndash24 22 23 23

3 31ndash34 36 35 37 38

4 41ndash42 43ndash44 45

5 51 52ndash54 54

6 61ndash64 65ndash69 63

7 71ndash72 73ndash75 71 72 75

8 81 82 83 84 84

9 91 92 94 93 95

10 101ndash103 104 105 104 105

11 111 115 112 113 114 111 112 115 116

12 121 122 123 121ndash123

Το δενδροειδές διάγραmicromicroα που ακολουθεί δείχνει κατά προσέγγιση την αλληλοεξάρ-τηση των κεϕαλαίων Τα κεϕάλαια που βρίσκονται σε διαϕορετικά κλαδιά του δέντρουείναι αρκετά ανεξάρτητα ώστε οι διδάσκοντες να microη χρειάζεται να κάνουν σηmicroαντικέςπροσαρmicroογές αν τα προσπεράσουν και απλώς ακολουθήσουν τις διαδροmicroές κατά microήκοςτων κλαδιών του δέντρου

18 Πρόλογος

1

2

33

4

8

12dagger

11

5

7

9

6 10

lowast dagger

Ευχαριστίες

Χρωστάω ένα microεγάλο ευχαριστώ σε πολλούς ανθρώπους στο Πανεπιστήmicroιο του DePaulγια την υποστήριξή τους όλα αυτά τα χρόνια που δούλευα πάνω στις εκδόσεις αυτού τουβιβλίου Κάποιοι συνάδελϕοι χρησιmicroοποίησαν πρώιmicroες microορϕές και προηγούmicroενες εκδό-σεις του βιβλίου και microου έκαναν εξαιρετικά σχόλια για βελτιώσεις Γιrsquo αυτό ευχαριστώτους Louis Aquila J Marshall Ash Allan Berele Jerey Bergen William Chin BarbaraCortzen Constantine Georgakis Sigrun Goes Jerry Goldman Lawrence Gluck LeonidKrop CarolynNarasimhanWalter Pranger Eric Rieders Ayse Sahin Yuen-FatWong καιειδικότερα την Jeanne LaDuke Οι χιλιάδες ϕοιτητές στους οποίους δίδαξα διακριτά microα-θηmicroατικά είχαν σηmicroαντικότατη επίδραση στη microορϕή του βιβλίου Μοιράζοντας τις σκέ-ψεις τους και τους τρόπους σκέψης τους microαζί microου microε δίδαξαν πώς να διδάσκω καλύτε-ρα Τους οϕείλω ευγνωmicroοσύνη για τη βοήθειά τους Ιδιαίτερες ευχαριστίες οϕείλω στηδιοίκηση του Πανεπιστηmicroίου τουDePaul ιδιαίτερα στον ΚοσmicroήτοραMichael Mezey καιστον πρώην Κοσmicroήτορα Richard Meister που θεώρησαν αξιόλογη ακαδηmicroαϊκή εργασίατη συγγραϕή αυτού του βιβλίου

Ευχαριστώ τους διορθωτές για τις πολύτιmicroες παρατηρήσεις τους γιrsquo αυτή την έκδοσητου βιβλίου τους Pablo Echeverria του Camden County College William Gasarch τουUniversity of Maryland Joseph Kolibal του University of Southern Mississippi Benny Loτου International Technological University George Luger του University of New MexicoNorman Richert τουUniversity of Houston-Clear Lake PeterWilliams τουCalifornia Sta-te University at San Bernardino και τον Jay Zimmerman του Towson University Για τηβοήθειά τους στην πρώτη και δεύτερη έκδοση αυτού του βιβλίου είmicroαι ευγνώmicroων στουςItshak Borosh Texas A ampMUniversity Douglas M Campbell Brigham Young UniversityDavid G Cantor University of California at Los Angeles C Patrick Collier Universityof Wisconsin-Oshkosh Kevan H Croteau Francis Marion University Irinel Drogan Uni-versity of Texas at Arlington Henry A Etlinger Rochester Institute of Technology MelvinJ Friske Wisconsin Lutheran College Ladnor Geissinger University of North CarolinaJerrold R Griggs University of South Carolina Nancy Baxter Hastings Dickinson Colle-ge Lillian Hupert Loyola University Chicago Leonard T Malinowski Finger Lakes Com-munity College John F Morrison Towson State Unviersity Paul Pederson University ofDenver George Peck Arizona State University Roxy Peck California Polytechnic StateUniversity San Luis Obispo Dix Pettey University of Missouri Anthony Ralston State U-niversity of NewYork at Bualo John Roberts University of Louisville καιGeorge Schultz

lowastΟι διδάσκοντες που προτιmicroούν να ορίσουν τη συνάρτηση ως διmicroελή σχέση microπορούν να καλύψουντην Ενότητα 101 πριν την Ενότητα 71daggerΗ Ενότητα 103 χρειάζεται για την Ενότητα 123 αλλά όχι για τις Ενότητες 121 και 122

Πρόλογος 19

St Petersburg Junior College Clearwater Πολλές ευχαριστίες οϕείλω επίσης στους JohnCarroll San Diego State University Dr Joseph S Fulda και Porter G Webster Universityof Southern Mississippi για την απίστευτη επιmicroέλειά τους και την ενθάρρυνση που microουέδωσαν

Επίσης ωϕελήθηκα πάρα πολύ από τις παρατηρήσεις πολλών διδασκόντων που microουπρόσϕεραν γενναιόδωρα τις ιδέες τους για βελτιώσεις βασισmicroένες στις εmicroπειρίες τους α-πό τις προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Είmicroαι ιδιαίτερα ευγνώmicroων στους GoldstinePennsylvania State University David Hecker St Josephrsquos University Tom Jenkyns BrockUniversity Robert Messer Albion College Piotr Rudnicki University of Alberta AnwarShiek Dineacute College Norton Starr Amherst College Είχα επίσης εξαίρετη βοήθεια απότους John Banks Christopher Novak DePaul University και Ian Crewe Ascension Colle-giate School κατά τη διάρκεια της παραγωγής του βιβλίου

Χρωστώ ευγνωmicroοσύνη σε πολλούς ανθρώπους στις εταιρείες Wadsworth and Bro-oksCole Publishing ιδιαίτερα τον εκδότη microου Robert Pirtle για την ικανότητά του ναπραγmicroατοποιεί καλά πράγmicroατα ως δια microαγείας τους προηγούmicroενους εκδότες microου Hea-ther Bennett και Barbara Holland για την ενθάρρυνση και τον ενθουσιασmicroό τους και τηδιευθύντρια παραγωγής Janet Hill για την κατανόησή της και την προθυmicroία της να microουεπιτρέψει να έχω ρόλο σε όλα τα στάδια της παραγωγής ∆εν microπορώ να ϕανταστώ κα-λύτερη διευθύντρια παραγωγής από τη Martha Emry της οποίας τα υψηλής ποιότηταςπρότυπα και η προσοχή της στις λεπτοmicroέρειες ήταν πάντα εmicroπνευσmicroένες Ο σχεδιασmicroόςτης Kathleen Cunningham και η ϕωτοσύνθεση από την Techsetters Inc θα εκτιmicroηθούναπό όλους τους αναγνώστες του βιβλίου

Όσο microεγαλώνω τόσο συνειδητοποιώ το τεράστιο χρέος που οϕείλω στους δικούς microουδασκάλους των microαθηmicroατικών που διαmicroόρϕωσαν τον τρόπο microε τον οποίο βλέπω το αντι-κείmicroενο Τα πρώτα microου ευχαριστώ πρέπει να πάνε στο σύζυγό microουHelmut Epp ο οποίοςσε ένα ραντεβού όταν ακόmicroα ήmicroουν στο Γυmicroνάσιο () microε εισήγαγε στη δύναmicroη και τηνοmicroορϕιά των αξιωmicroάτων των microαθηmicroατικών και την άποψη ότι τα microαθηmicroατικά είναι ένααντικείmicroενο τόσο microε ιδέες όσο και microε τύπους και τεχνικές Όσον αϕορά την εκπαίδευ-σή microου είmicroαι ευγνώmicroων στους Daniel Zelinsky και Ky Fan του Northwestern Universityκαι Izaak Wirszup I N Herstein και Irving Kaplansky του University of Chicago που ό-λοι τους ο καθένας microε το δικό του τρόπο microε βοήθησαν να εκτιmicroήσω την κοmicroψότητα καιαυστηρότητα των microαθηmicroατικών αλλά και τη συγκίνηση που προκαλούν

Στην οικογένειά microου χρωστάω ευχαριστίες πέρα από κάθε όριο Είmicroαι ευγνώmicroων στηmicroητέρα microου που το ευγενικό ενδιαϕέρον της για τα έργα της ανθρώπινης διανόησης microεέβαλαν πριν πολλά χρόνια στο δρόmicroο που οδήγησε σε αυτό το βιβλίο και στον εκλιπόνταπατέρα microου που η αϕοσίωσή του στα βιβλία ήταν σταθερή πηγή έmicroπνευσης Ευχαριστώ ταπαιδιά microου και τα εγγόνια microου για την αγάπη τους και την αποδοχή των απαιτήσεων πουεπέβαλλε η συγγραϕή αυτού του βιβλίου στη ζωή microου Και περισσότερο από κάθε άλλονείναι ευγνώmicroωνστο σύζυγό microου που για πολλά χρόνια microε ενθάρρυνε microε την πίστη του στηναξία αυτής της εργασίας και microε υποστήριξε microε την αγάπη του και τις σοϕές συmicroβουλές του

Susanna Epp

236 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

62 Υποθέστε ότι το a[1] a[2] a[3] a[m] είναι διάνυσmicroακαι θεωρήστε το ακόλουθο τmicroήmicroα αλγορίθmicroου

sum ∶= 0for k ∶= 1 to m

sum ∶= sum + a[k]next k

Συmicroπληρώστε τα κενά παρακάτω ώστε κάθε τmicroήmicroα του αλ-γορίθmicroου να κάνει την ίδια δουλειά microε το παραπάνω

α sum ∶= 0for i ∶= 0 to

sum ∶=next i

β sum ∶= 0for j ∶= 2 to

sum ∶=next j

Χρησιmicroοποιήστε διαδοχικές διαιρέσεις microε το 2 για να microετατρέ-ψετε (microε το χέρι) τους ακεραίους των Ασκήσεων 63ndash65 από τηβάση 10 στη βάση 2

63 90 64 98 65 205

Κατασκευάστε έναν πίνακα για να καταγράψετε όλα τα βήmicroατατου Αλγορίθmicroου 411 microε είσοδο τις Ασκήσεις 66ndash68

66 23 67 28 68 44

69 Γράψτε microια microη τυπική περιγραϕή αλγορίθmicroου (χρησιmicroοποιώ-ντας διαδοχικές διαιρέσεις microε το 16) για να microετατρέψετε έναmicroη αρνητικό ακέραιο από το δεκαδικό στο δεκαεξαδικό σύ-στηmicroα (microε βάση το 16)

Χρησιmicroοποιήστε τον αλγόριθmicroο που αναπτύξατε για την Άσκη-ση 69 για να microετατρέψετε τους ακεραίους των Ασκήσεων 70ndash72στο δεκαεξαδικό σύστηmicroα

70 287 71 693 72 2301

73 Γράψτε microια τυπική περιγραϕή του αλγορίθmicroου που αναπτύ-ξατε στην Άσκηση 69

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι

[Η microαϑηmicroατιϰή επαγωγή είναι] η συνήϑης αποδειϰτιϰή τεχνιϰή στην επιστήmicroη τωνυπολογιστών

mdashAnthony Ralston 1984

Ηmicroαθηmicroατική επαγωγή είναι microία από τις πιο πρόσϕατα ανεπτυγmicroένες αποδεικτικές microεθό-δους στην ιστορία των microαθηmicroατικών Χρησιmicroοποιείται για την επαλήθευση εικασιών πουαϕορούν σε αποτελέσmicroατα διαδικασιών που εmicroϕανίζονται κατrsquo επανάληψη και σύmicroϕωναmicroε καθορισmicroένα microοτίβα Θα παρουσιάσουmicroε αυτή την τεχνική microε ένα παράδειγmicroα

Μερικοί ισχυρίζονται ότι το λεπτό του αmicroερικάνικου δολαρίου είναι τόσο microικρό νόmicroι-σmicroα ώστε πρέπει να αποσυρθεί Λένε ότι αν πέσει από τα χέρια κάποιου αυτός σπανίως θασκύψει να το πάρει Άλλοι ισχυρίζονται ότι αν αποσυρθεί το λεπτό θα υπάρχουν προβλή-microατα microε την ευελιξία στον καθορισmicroό των τιmicroών των αγαθών Ποιες τιmicroές θα microπορούσαννα εξοϕληθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο στην περίπτωση απόσυρσης του λεπτού και αντι-κατάστασής του microε ένα νόmicroισmicroα αξίας 3cent Η απάντηση είναι ότι οι microόνες τιmicroές που δενθα microπορούσαν να πληρωθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο είναι οι 1cent 2cent 4cent και 7cent Με άλλαλόγια

Μπορούmicroε να πάρουmicroε οποιονδήποτε ακέραιο αριθmicroό τουλάχιστον8 λεπτών χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα των 3cent και 5cent

Ποιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 microπορούmicroε να πάρουmicroεn λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5cent

Ακόmicroα πιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 η P(n) είναι αληθής όπου P(n) είναι η πρότασηlaquomicroπορούmicroε να πάρουmicroε n λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5centraquo

Θα microπορούσατε να ελέγξετε ότι η P(n) είναι αληθής για λίγες συγκεκριmicroένες τιmicroές του nόπως κάνουmicroε στον παρακάτω πίνακα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 237

Αριθmicroός λεπτών Πώς λαmicroβάνεται

8cent 3cent + 5cent

9cent 3cent + 3cent + 3cent

10cent 5cent + 5cent

11cent 3cent + 3cent + 5cent

12cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent

13cent 3cent + 5cent + 5cent

14cent 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

15cent 5cent + 5cent + 5cent

16cent 3cent + 3cent + 5cent + 5cent

17cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

Οι περιπτώσεις που ϕαίνονται στον πίνακα microας δίνουν επαγωγικού τύπου στοιχείαγια να υποστηρίξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλα τα n Πράγmicroατι η P(n) είναι αλη-ϑής για όλα τα n ge 8 αν ϰαι microόνο αν είναι εϕιϰτό να συνεχίσουmicroε να συmicroπληρώνουmicroε τονπίναϰα για οσοδήποτε microεγάλες τιmicroές του n

Η k γραmicromicroή του πίνακα δίνει πληροϕορίες για το πώς θα πάρουmicroε kcent χρησιmicroοποιώ-ντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent Για να συνεχίσουmicroε τον πίνακα στην επόmicroενη γραmicromicroήπρέπει να δώσουmicroε οδηγίες για το πώς θα υπολογιστούν τα (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και 5cent Το microυστικό είναι να παρατηρήσουmicroε πρώτα ότι αν microπορούmicroε ναυπολογίσουmicroε kcent χρησιmicroοποιώντας τουλάχιστον ένα κέρmicroα των 5cent τότε microπορούmicroε να υ-πολογίσουmicroε (k + 1)cent αντικαθιστώντας το κέρmicroα των 5cent microε δύο κέρmicroατα των 3cent όπωςϕαίνεται στο Σχήmicroα 421

kcent (k + 1)cent

3cent 3cent5cent

Αντικατάσταση ενός κέρματος των 5cent με δύο

κέρματα των 3cent

Αφαίρεση Προσθήκη

Σχήmicroα 421

Αν από την άλλη microεριά τα kcent λαmicroβάνονται χωρίς χρήση του κέρmicroατος των 5cent τότεχρησιmicroοποιούνται microόνο κέρmicroατα των 3cent Και αϕού το σύνολο είναι τουλάχιστον 8cent πρέπεινα περιλαmicroβάνονται τρία ή περισσότερα κέρmicroατα των 3cent Για να πάρουmicroε ένα σύνολο(k + 1)cent microπορούmicroε να αντικαταστήσουmicroε τρία από τα κέρmicroατα των 3cent microε δύο των 5centόπως ϕαίνεται στο Σχήmicroα 422 της επόmicroενης σελίδας

Η δοmicroή του παραπάνω επιχειρήmicroατος microπορεί να περιγραϕεί συνοπτικά ως εξής Γιανα δείξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8 (1) δείχνουmicroε ότι ηP(8) είναι αληθής και (2) δείχνουmicroε ότι η αλήθεια της P(k + 1) προκύπτει απαραίτητααπό την αλήθεια της P(k) για κάθε k ge 8 Κάθε επιχείρηmicroα αυτής της microορϕής καλείταιεπιχείρηmicroα microαϑηmicroατιϰής επαγωγής

238 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

5cent

kcent (k + 1)cent

Προσθήκη

kcent (k + 1)cent

5cent

3cent 3cent

3cent

Αντικαθιστούμε τρίακέρματα των 3centμε δύο κέρματα

των 5cent

Αφαίρεση

5cent

Σχήmicroα 422

Η αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής

Έστω ότι η P(n) είναι microια ιδιότητα που ορίζεται για ακεραίους n και έστω ότι οa είναι ένας συγκεκριmicroένος ακέραιος Υποθέτουmicroε ότι οι ακόλουθες δυο προτάσειςείναι αληθείς

1 Η P(a) είναι αληθής2 Για όλους τους ακεραίους k ge a αν η P(k) είναι αληθής τότε και η P(k + 1) είναι

αληθής

Τότε ισχύει η πρότασηγια όλους τους ακεραίους n ge a η P(n) είναι αληθής

Η πρώτη γνωστή καταγεγραmicromicroένη microαθηmicroατική επαγωγή βρίσκεται στα γραπτά τουΙταλού επιστήmicroονα Francesco Maurolico το 1575 Την ίδια τεχνική χρησιmicroοποιούσαν κα-τά το δέκατο έβδοmicroο αιώνα και οι Pierre de Fermat και Blaise Pascal Ο Fermat ονόmicroαζετην επαγωγή laquomicroέθοδο της άπειρης καθόδουraquo (laquomethod of innite descentraquo) Το 1883 οAugustus De Morgan (γνωστός από τους κανόνες De Morgan) περιέγραψε προσεκτικάτη διαδικασία και την ονόmicroασε microαϑηmicroατιϰή επαγωγή

Για να πάρετε microια διαισθητική εικόνα για τη microαθηmicroατική επαγωγή ϕανταστείτε microιαάπειρη συλλογή από ντόmicroινο τοποθετηmicroένα το ένα πίσω από το άλλο microε τέτοιο τρόποώστε αν ένα ντόmicroινο πέσει να ρίξει και το επόmicroενο (∆είτε το Σχήmicroα 423) Φανταστείτετώρα ότι πέϕτει το πρώτο ντόmicroινο Τι θα συmicroβεί Θα πέσουν όλα

12

3

4

kk + 1

Σχήmicroα 423 Όταν πέϕτει το k ντόmicroινο ρίχνει και το (k + 1)

Για να δείτε τη σχέση ανάmicroεσα σε αυτή την εικόνα και την αρχή της microαθηmicroατικήςεπαγωγής υποθέστε ότι η P(n) είναι η πρόταση laquoτο n ντόmicroινο πέϕτειraquo Υποθέτουmicroε ότιγια κάθε k ge 1 αν η P(k) είναι αληθής (το k ντόmicroινο πέϕτει) τότε η P(k + 1) είναι επίσηςαληθής (το (k + 1) ντόmicroινο πέϕτει) Υποθέτουmicroε επίσης ότι η P(1) είναι αληθής (το πρώτοντόmicroινο πέϕτει) Έτσι από την αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής η P(n) (το n ντόmicroινοπέϕτει) είναι αληθής για κάθε n ge 1

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 239

Η ισχύς της απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή θεωρείται αξίωmicroα Γιrsquo αυτόν το λόγοαναϕερόmicroαστε σε αυτή ως αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής αντί ως θεώρηmicroα Είναι ισο-δύναmicroη microε την ακόλουθη ιδιότητα των ακεραίων που εύκολα τη δέχεται κανείς ως αληθήmicroε βάση τη διαίσθησή του

Υποθέτουmicroε ότι το S είναι οποιοδήποτε σύνολο ακεραίων που ικανοποιεί (1) a isin Sκαι (2) για όλους τους ακεραίους k αν k isin S τότε k + 1 isin S Τότε το S πρέπει ναπεριέχει κάθε ακέραιο microεγαλύτερο ή ίσο του a

Για να κατανοήσουmicroε την ισοδυναmicroία των δυο διατυπώσεων απλώς ορίζουmicroε ως S τοσύνολο όλων των ακεραίων για τους οποίους η P(n) είναι αληθής

Η απόδειξη ενός επιχειρήmicroατος microε microαθηmicroατική επαγωγή είναι microια διαδικασία δύο βη-microάτων Το πρώτο βήmicroα λέγεται αρχιϰό βήmicroα ή βήmicroα έναρξης και το δεύτερο επαγωγιϰόβήmicroα

Η microέθοδος απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή

Θεωρήστε microια πρόταση της microορϕής laquoγια όλους τους ακεραίους n ge a η ιδιότηταP(n) είναι αληθήςraquo Για να αποδείξουmicroε microια τέτοια πρόταση ακολουθούmicroε τα παρα-κάτω δύο βήmicroατα

Βήmicroα 1 (αρχικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = a

Βήmicroα 2 (επαγωγικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους k ge a αν η ιδιό-τητα είναι αληθής για n = k τότε είναι αληθής για n = k + 1 Για να πραγmicroα-τοποιήσουmicroε αυτό το βήmicroα

υποθέτουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k όπου k είναιοποιοσδήποτε συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος ακέραιοςmicroε k ge a [Αυτή η υπόϑεση ονοmicroάζεται επαγωγική υπόθεση]

Έτσι

δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k + 1

∆ίνουmicroε εδώ την τυπική απόδειξη για τα κέρmicroατα που διατυπώσαmicroε χωρίς τυπικό τρό-πο προηγουmicroένως

Πρόταση 421

Έστω ότι η P(n) είναι η ιδιότητα laquoncent microπορούν να υπολογιστούν microε κέρmicroατα των 3centκαι 5centraquo Τότε η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8

Απόδειξη

∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 8 Η ιδιότητα είναι αληθής για n = 8 ε-πειδή 8cent = 3cent + 5cent

∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 8 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής ϰαι για n = k + 1 Υποθέτουmicroε ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε kcent χρη-σιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent για κάποιο ακέραιο k ge 8 [Αυτή είναι η ε-παγωγιϰή υπόϑεση]Πρέπει να δείξουmicroε τώρα ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε και (k + 1)centχρησιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και 5cent Αν υπάρχει κέρmicroα των 5cent ανάmicroεσα σε αυτάπου απαρτίζουν τα kcent το αντικαθιστούmicroε microε δύο κέρmicroατα των 3cent το αποτέλεσmicroαθα είναι (k + 1)cent Αν δεν υπάρχει κέρmicroα των 5cent σε αυτά που απαρτίζουν τα kcent τότεπρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 3 κέρmicroατα των 3cent αϕού k ge 8 Αϕαιρούmicroε αυτά τατρία κέρmicroατα των 3cent και τα αντικαθιστούmicroε microε δύο των 5cent το αποτέλεσmicroα θα είναι(k + 1)cent Έτσι σε κάθε περίπτωση microπορούmicroε να πάρουmicroε (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και των 5cent [όπως έπρεπε να δειχϑεί]

240 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Το ακόλουθο παράδειγmicroα δείχνει πώς χρησιmicroοποιούmicroε τη microαθηmicroατική επαγωγή γιανα αποδείξουmicroε έναν τύπο που δίνει το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Παράδειγmicroα 421 Άθροισmicroα των n πρώτων ακεραίων

Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να αποδείξετε ότι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2για όλους τους ακεραίους n ge 1

Λύση Για να κατασκευάσετε microια απόδειξη microε επαγωγή πρέπει πρώτα να βρείτε ποια είναι ηιδιότητα P(n) Σε αυτή την περίπτωση η P(n) είναι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2 larr η ιδιότητα (P(n))

[Για να δείτε ότι η P(n) είναι microια πρόταση παρατηρήστε ότι το αντιϰείmicroενό της είναι laquoτοάϑροισmicroα των αϰεραίων από το 1 microέχρι το nraquo ϰαι το ρήmicroα της είναι το laquoισούταιraquo]

Στο αρχικό βήmicroα της απόδειξης πρέπει να δείξετε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 1ή microε άλλα λόγια ότι η P(1) είναι αληθής Τώρα για να βρούmicroε την P(1) αντικαθιστούmicroε1 στη θέση του n στην P(n) Το αριστερό σκέλος της P(1) είναι το άθροισmicroα όλων τωνδιαδοχικών ακεραίων που ξεκινούν microε το 1 και τελειώνουν στο 1 Αυτό είναι απλώς το 1Έτσι η P(1) είναι η

1 =1(1 + 1)

2 larr αρχική (P(1))

Φυσικά αυτή η εξίσωση είναι αληθής διότι το δεξιό σκέλος είναι

1(1 + 1)2

=1 sdot 2

2= 1

που ισούται microε το αριστερό σκέλοςΣτο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής για κάποιον ακέραιο k microε

k ge 1 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση] Πρέπει τώρα να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναιαληθής Ποιες είναι οι P(k) και P(k + 1) Για να βρούmicroε την P(k) αντικαθιστούmicroε k στηθέση κάθε n στην P(n) Έτσι η P(k) είναι η

1 + 2 +⋯+ k =k(k + 1)

2 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Παρόmicroοια για να βρούmicroε την P(k + 1) αντικαθιστούmicroε κάθε n της P(n) microε την ποσότητα(k + 1) Έτσι η P(k + 1) είναι1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2

ή ισοδύναmicroα

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

larr να δειχθεί η (P(k + 1))

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 241

Τώρα η επαγωγική υπόθεση είναι ότι η P(k) είναι αληθής Πώς microπορούmicroε να χρησι-microοποιήσουmicroε αυτή την υπόθεση για να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής Η P(k + 1)είναι microια εξίσωση και η αλήθεια microιας εξίσωσης microπορεί να δειχθεί microε διάϕορους τρόπουςΈνας από τους πιο άmicroεσους είναι να microετασχηmicroατίσουmicroε το αριστερό σκέλος στο δεξιόχρησιmicroοποιώντας άλγεβρα και άλλους γνωστούς κανόνες και έγκυρες υποθέσεις microεταξύτων οποίων και την επαγωγική υπόθεση Σε αυτή την περίπτωση το αριστερό σκέλος τηςP(k + 1) είναι

1 + 2 +⋯+ (k + 1)που ισούται microε

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) προσδιορισmicroός του προτελευταίουόρου και οmicroαδοποίηση

Αλλά microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1)=k(k + 1)

2+ (k + 1) αϕού η επαγωγική υπόθεση λέει

ότι 1 + 2 +⋯ + k =k(k + 1)

2

Τώρα χρησιmicroοποιούmicroε άλγεβρα για να δείξουmicroε ότι αυτή η έκϕραση ισούται microε το δεξιόσκέλος της P(k + 1)

k(k + 1)2

+ (k + 1)

=k(k + 1)

2+2(k + 1)

2

πολλαπλασιάζουmicroε αριθmicroητή και πα-ρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε το2 για να πάρουmicroε κοινό παρονοmicroα-στή

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2microε πρόσθεση κλασmicroάτων

=(k + 2)(k + 1)

2βγάζουmicroε κοινό παράγοντα το (k + 1)

=(k + 1)(k + 2)

2υπολογίζουmicroε τους παράγοντες(k + 1) και (k + 2)

που ισούται microε το δεξιό σκέλος της P(k + 1)Συνοψίζουmicroε την παραπάνω ανάλυση ως εξής

Θεώρηmicroα 422 Άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Για όλους τους ακεραίους n ge 1

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2

Απόδειξη (microε microαθηmicroατική επαγωγή)

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση 1 + 2 +⋯+ n = n(n + 1)2

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1 Για να δείξουmicroε την ιδιότητα για

n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 =1(1 + 1)

2 Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης

είναι 1 και το δεξιό είναι1(1 + 1)

2=2

2= 1 και αυτό Άρα η ιδιότητα είναι αληθής για

n = 1συνεχίζεται στην επόmicroενη σελίδα

242 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2είναι αληϑής για ϰάποιον

αϰέραιο k ge 1 στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ k =

k(k + 1)2

για κάποιον ακέραιο k ge 1

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =

n(n + 1)2

είναι αληϑής όταν

αντιϰαταστήσουmicroε το k + 1 στη ϑέση του n]Πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2 ή ισοδύναmicroα ότι

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

421

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος της εξίσωσης (421) ισούται microε το δεξιόσϰέλος]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (421) είναι το

1 + 2 +⋯+ (k + 1)= (1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) Ο προτελευταίος όρος είναι ο k γιατί οι όροι

είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ο τελευταίος εί-ναι ο k + 1

=k(k + 1)

2+ (k + 1) microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

=k(k + 1)

2+(k + 1) sdot 2

2

=(k + 1)(k + 2)

2

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (421) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού δείξαmicroε ϰαι το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

Λέγεται microια ιστορία για έναν από τους microεγαλύτερους microαθηmicroατικούς όλων των εποχώντον Carl Friedrich Gauss (1777ndash1855) σύmicroϕωνα microε την οποία όταν ήταν microικρό παιδί οδάσκαλος του ζήτησε να προσθέσει τους αριθmicroούς από το 1 microέχρι το 100 Ο δάσκαλοςζήτησε από τους microαθητές να υπολογίσουν το άθροισmicroα ώστε να τους απασχολήσει γιανα microπορέσει εκείνος να διορθώσει γραπτά Αλλά λίγες στιγmicroές αργότερα ο Gauss βρήκετην σωστή απάντηση Είναι περιττό να πούmicroε ότι ο δάσκαλος τα έχασε Πώς microπόρεσε ονεαρός Gauss να υπολογίσει τόσο γρήγορα Τα επόmicroενα χρόνια ο Gauss εξήγησε ότι είχεϕανταστεί τους αριθmicroούς σε ζευγάρια σύmicroϕωνα microε το ακόλουθο σχήmicroα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 243

1 2 3 50 51 98 99 100

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

Το άθροισmicroα κάθε ζεύγους είναι 101 και υπάρχουν 50 ζεύγη άρα το συνολικό άθροισmicroαείναι 50 sdot 101 = 5050

Παράδειγmicroα 422 Εϕαρmicroογές του τύπου του αθροίσmicroατος των πρώτων n ακεραίων

α Βρείτε το 2 + 4 + 6 +⋯+ 500

β Βρείτε το 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50

γ Για οποιονδήποτε ακέραιο h ge 2 βρείτε το 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1)Λύση

α 2 + 4 + 6 +⋯+ 500 = 2 sdot (1 + 2 + 3 +⋯+ 250)= 2 sdot (250 sdot 251

2) εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroα

των πρώτων n ακεραίων για n = 250

= 62750

β 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50 = (1 + 2 + 3 +⋯+ 50) minus (1 + 2 + 3 + 4)=50 sdot 51

2minus 10

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroατων πρώτων n ακεραίων για n = 50

= 1265

γ 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1) = (h minus 1) sdot [(h minus 1) + 1]2

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροι-σmicroα των πρώτων n ακεραίων γιαn = h minus 1

=(h minus 1) sdot h

2αϕού (h minus 1) + 1 = h n

Στο επόmicroενο παράδειγmicroα ζητείται να αποδειχθεί ένας άλλος διάσηmicroος microαθηmicroατικόςτύποςmdashο τύπος του αθροίσmicroατος της γεωmicroετρικής προόδου Σε microια γεωmicroετρικήπρόοδοκάθε όρος ισούται microε τον προηγούmicroενο επί ένα σταθερό παράγοντα Αν ο πρώτος όροςείναι 1 και ο σταθερός παράγοντας είναι r τότε η ακολουθία είναι 1 r r2 r3 rn Το άθροισmicroα των πρώτων n όρων αυτής της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

για όλους τους ακεραίους n ge 0 και τους πραγmicroατικούς αριθmicroούς r που δεν είναι ίσοι microε1 Η αναπτυγmicroένη microορϕή αυτού του τύπου είναι η

r0 + r1 + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

και επειδή r0 = 1 και r1 = r ο τύπος για n ge 1 microπορεί να ξαναγραϕεί ως

1 + r + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

244 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παράδειγmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Αποδείξτε ότιnsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 για κάθε ακέραιο n ge 0 και για όλους τους πραγmicroατικούς

αριθmicroούς r διάϕορους του 1

Λύση Σε αυτό το παράδειγmicroα η ιδιότητα P(n) είναι πάλι microια εξίσωση αν και σε αυτή τηνπερίπτωση περιλαmicroβάνει microια πραγmicroατική microεταβλητή r

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 larr η ιδιότητα (P(n))

Αϕού το r microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός εκτός του 1 ξεκινάmicroε τηναπόδειξη υποθέτοντας ότι ο r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγ-microατικός αριθmicroός διάϕορος του 1 Έπειτα συνεχίζουmicroε την απόδειξη microε microαθηmicroατική επα-γωγή στο n αρχίζοντας microε το n = 0 Στο αρχικό βήmicroα πρέπει να δείξουmicroε ότι η P(0) είναιαληθής δηλαδή να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 0 Οπότε αντικαθιστούmicroε0 για κάθε n στην P(n)

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1 larr αρχική (P(0))

Στο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής δηλαδή υποθέτουmicroε ότι ηιδιότητα είναι αληθής για n = k Οπότε αντικαθιστούmicroε k για κάθε n στην P(n)

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Μετά δείχνουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής δηλαδή δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αλη-θής για n = k + 1 Έτσι αντικαθιστούmicroε k + 1 για κάθε n στην P(n)

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1

ή εναλλακτικά

k+1sumi=0

r i =rk+2 minus 1

r minus 1sdot larr για να δείξουmicroε την (P(k + 1))

Θεώρηmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό r εκτός του 1 και για κάθε ακέραιο n ge 0

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Απόδειξη

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Υποθέτουmicroε ότι το r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγmicroατικόςαριθmicroός διάϕορος του 1 Πρέπει να δείξουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους n ge 0

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 245

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Θα το δείξουmicroε microε microαθηmicroατική επαγωγή στο n

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0 Για n = 0 πρέπει να δείξουmicroε ότι

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1

Το αριστερό σκέλος αυτής της εξίσωσης είναι το r0 = 1 Το δεξιό σκέλος είναι

r1 minus 1

r minus 1=r minus 1

r minus 1= 1

ξανά αϕού r1 = r και r ne 1 [Οπότε η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0]

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 0 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1είναι αληϑής όταν ένας αϰέραιος k ge 0

αντιϰατασταϑεί στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 για k ge 0 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση]

[Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1 422

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος αυτής της εξίσωσης ισούται microε το δεξιό]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (422) είναι το

k+1sumi=0

r i =ksumi=0

r i + rk+1 γράϕουmicroε τον (k + 1) όρο ξεχωριστά απότους πρώτους k όρους

=rk+1 minus 1

r minus 1+ rk+1 microε αντικατάσταση από

την επαγωγική υπόθεση

=rk+1 minus 1

r minus 1+rk+1(r minus 1)

r minus 1

πολλαπλασιάζουmicroε τον αριθmicroητή και τονπαρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε (r minus 1)για να έχουmicroε κοινό παρονοmicroαστή

=(rk+1 minus 1) + rk+1(r minus 1)

r minus 1πρόσθεση κλασmicroάτων

=rk+1 minus 1 + rk+2 minus rk+1

r minus 1πολλαπλασιασmicroός και χρήση του

rk+1 sdot r = rk+1 sdot r1 = rk+2

=rk+2 minus 1

r minus 1διαγραϕή των rk+1

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (4 2 2) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

12 Πρόλογος

σκέϕτονται αϕηρηmicroένα Αυτό σηmicroαίνει να έχουν τη δυνατότητα να χρησιmicroοποιούν λογικάορθές microορϕές επιχειρηmicroάτων και να αποϕεύγουν κοινά λογικά σϕάλmicroατα να επιχειρηmicroα-τολογούν microε βάση τους ορισmicroούς να χρησιmicroοποιούν ευθεία αλλά και πλάγια επιχειρήmicroαταγια να αποδεικνύουν νέα αποτελέσmicroατα από ήδη γνωστά και να microπορούν να εργάζονταιmicroε συmicroβολικές αναπαραστάσεις σαν να ήταν συγκεκριmicroένα αντικείmicroενα

Επαγωγή και αναδροmicroή Μια ενδιαϕέρουσα εξέλιξη των τελευταίων ετών είναι η εκτί-microηση της δύναmicroης και οmicroορϕιάς της laquoαναδροmicroικής σκέψηςraquo Πρακτικά αυτό σηmicroαίνει ναεξετάσουmicroε ένα πρόβληmicroα υποθέτοντας ότι παρόmicroοια προβλήmicroατα microικρότερης κλίmicroακαςέχουν ήδη λυθεί και να προσπαθούmicroε να συνδυάσουmicroε αυτές τις λύσεις των επιmicroέρουςπροβληmicroάτων για να λύσουmicroε το microεγαλύτερο πρόβληmicroα Αυτή η microέθοδος χρησιmicroοποιεί-ται εκτεταmicroένα στην ανάλυση αλγορίθmicroων όπου αναδροmicroικές σχέσεις που προκύπτουναπό αναδροmicroικού τύπου συλλογισmicroούς δίνουν τύπους που επιβεβαιώνονται microε microαθηmicroα-τική επαγωγή

Συνδυαστική και διακριτές πιθανότητες Η συνδυαστική στα microαθηmicroατικά της απαρίθmicroη-σης της διάταξης αντικειmicroένων και της πιθανότητας είναι η microελέτη των νόmicroων για τιςmicroετρήσεις τυχαίων γεγονότων Η διακριτή πιθανότητα εστιάζει σε καταστάσεις που α-σχολούνται microε διακριτά σύνολα αντικειmicroένων όπως ο προσδιορισmicroός της πιθανότηταςνα έρθει κορώνα συγκεκριmicroένες ϕορές όταν ρίχνουmicroε ένα δίκαιο κέρmicroα αρκετές ϕορές Ε-πιδεξιότητα στη συνδυαστική και τις πιθανότητες χρειάζεται σχεδόν σε κάθε αντικείmicroενοόπου εϕαρmicroόζονται τα microαθηmicroατικά από την οικονοmicroία microέχρι τη βιολογία την επιστήmicroητων υπολογιστών τη χηmicroεία τη ϕυσική και τη διοίκηση επιχειρήσεων

Αλγόριθmicroοι και η ανάλυσή τους Η λέξη αλγόριϑmicroος ήταν γενικά άγνωστη στο microέσο τουεικοστού αιώνα ενώ τώρα είναι microία από τις πρώτες λέξεις που συναντάει κανείς στην ε-πιστήmicroη των υπολογιστών Για να λύσουmicroε ένα πρόβληmicroα microε έναν υπολογιστή είναι απα-ραίτητο να βρούmicroε έναν αλγόριθmicroο ή microια βήmicroα προς βήmicroα ακολουθία οδηγιών τις οποίεςθα ακολουθήσει ο υπολογιστής Ο σχεδιασmicroός ενός αλγορίθmicroου απαιτεί κατανόηση τωνmicroαθηmicroατικών του προβλήmicroατος που πρόκειται να λυθεί Ο προσδιορισmicroός της ορθότηταςή microη ενός αλγορίθmicroου απαιτεί περίπλοκους χειρισmicroούς microε microαθηmicroατική επαγωγή Ο υπο-λογισmicroός του χρόνου ή της microνήmicroης που χρειάζεται ένας αλγόριθmicroος ώστε να microπορεί νασυγκριθεί microε άλλους αλγορίθmicroους που δίνουν την ίδια έξοδο απαιτεί γνώσεις συνδυαστι-κής επαναληπτικών σχέσεων συναρτήσεων και συmicroβολισmicroών O Ω και Θ

∆ιακριτές δοmicroές Οι διακριτές microαθηmicroατικές δοmicroές είναι αϕηρηmicroένες δοmicroές που περιγρά-ϕουν κατηγοριοποιούν και αναδεικνύουν τις κρυϕές σχέσεις microεταξύ διακριτών microαθηmicroα-τικών αντικειmicroένων Οι δοmicroές που microελετάmicroε σε αυτό το βιβλίο είναι τα σύνολα των ακε-ραίων και των ρητών γενικά σύνολα άλγεβρες Boole συναρτήσεις σχέσεις γραϕήmicroατακαι δέντρα τυπικές γλώσσες και κανονικές εκϕράσεις και αυτόmicroατα πεπερασmicroένων κα-ταστάσεων

Εφαρmicroογέςκαιmicroοντελοποίηση Ταmicroαθηmicroατικά αντικείmicroενα γίνονται καλύτερα κατανοη-τά όταν τα εξετάζουmicroε σε microια ποικιλία καταστάσεων και τα χρησιmicroοποιούmicroε για την επί-λυση προβληmicroάτων που συναντώνται σε ένα microεγάλο εύρος εϕαρmicroογών Ένα από τα σπου-δαιότερα microαθήmicroατα των microαθηmicroατικών είναι ότι microας επιτρέπουν να χρησιmicroοποιούmicroε το ίδιοmicroαθηmicroατικό microοντέλο για να λύνουmicroε προβλήmicroατα τα οποία ϕαινοmicroενικά είναι τελείωςανόmicroοια Ένας από τους στόχους αυτού του βιβλίου είναι να δείξει στους ϕοιτητές τηνεκπληκτική πρακτική χρησιmicroότητα microερικών πολύ αϕηρηmicroένων microαθηmicroατικών ιδεών

Ειδικά χαρακτηριστικά αυτού του βιβλίου

Μαθηmicroατική συλλογιστική Το χαρακτηριστικό που κάνει αυτό να βιβλίο να ξεχωρίζει α-πό άλλα βιβλία διακριτών microαθηmicroατικών είναι ότι διδάσκει mdash microε διεξοδικό αλλά εύληπτοτρόπο στους πρωτοετείς και δευτεροετείς ϕοιτητές mdash την κρυϕή λογική και συλλογι-

Πρόλογος 13

στική που αποτελούν τη βάση της microαθηmicroατικής σκέψης Για πολλά χρόνια δίδασκα έναιδιαίτερα διαδραστικό microάθηmicroα microετάβασης στα αϕηρηmicroένα microαθηmicroατικά σε ϕοιτητές τωνmicroαθηmicroατικών και της επιστήmicroης των υπολογιστών Αυτή η εmicroπειρία microου έδειξε ότι αν καιείναι εϕικτό να διδάξεις τους περισσότερους ϕοιτητές να καταλαβαίνουν και να κατα-σκευάζουν σαϕή microαθηmicroατικά επιχειρήmicroατα υπάρχουν κάποια εmicroπόδια που είναι δύσκολονα ξεπεραστούν Για να είναι αποτελεσmicroατικό το βιβλίο ενός τέτοιου microαθήmicroατος πρέπεινα ασχολείται αρκετά microε τις δυσκολίες του ϕοιτητή στη λογική και στη γλώσσα microε άmicroεσοτρόπο Πρέπει επίσης να περιέχει πολλά σαϕή παραδείγmicroατα και ασκήσεις για να δώσει τηδυνατότητα στους ϕοιτητές να αναπτύξουν τα απαραίτητα νοητικά microοντέλα που θα τουςεπιτρέψουν να κατανοήσουν πιο αϕηρηmicroένα προβλήmicroατα Η αντιmicroετώπιση της λογικήςκαι της απόδειξης σε αυτό το βιβλίο συνδυάζει κοινή λογική και αυστηρή προσέγγιση microεένα τρόπο που εξηγεί τα ουσιώδη χωρίς να κουράζει τους ϕοιτητές microε τεχνικές λεπτοmicroέ-ρειες

Ελικοειδής προσέγγιση στην ανάπτυξη των εννοιών Ένας αριθmicroός από έννοιες σε αυτότο βιβλίο εmicroϕανίζεται microε ολοένα και πιο σύνθετες microορϕές στα διαδοχικά κεϕάλαια γιανα βοηθήσει τους ϕοιτητές να αναπτύξουν επίπεδα αϕαίρεσης Για παράδειγmicroα microέχρι νασυναντήσουν το σχετικά προχωρηmicroένο θέmicroα του microικρού θεωρήmicroατος του Fermat και τουκινέζικου θεωρήmicroατος υπολοίπου στην Ενότητα 104 θα έχουν ήδη εισαχθεί στη microαθη-microατική λογική στα Κεϕάλαια 1 και 2 θα έχουν microάθει τις βασικές microεθόδους της απόδειξηςκαι τις έννοιεςmod και div στο Κεϕάλαιο 3 θα έχουν microελετήσει τις διαmicroερίσεις ακεραίωνστο Κεϕάλαιο 5 θα έχουν θεωρήσει τιςmod και div ως συναρτήσεις στο Κεϕάλαιο 7 καιθα έχουν εξοικειωθεί microε τις σχέσεις ισοδυναmicroίας στις Ενότητες 102 και 103 Αυτή η προ-σέγγιση ανακεϕαλαιώνει τα θέmicroατα και αναπτύσσει τη microαθηmicroατική ωριmicroότητα microε ϕυσικότρόπο

Υποστήριξη για τους φοιτητές Οι ϕοιτητές οπωσδήποτε πρέπει να microάθουν πολλά πράγ-microατα microόνοι τους Μαθαίνοντας να microελετούν microόνοι τους κάτι που συχνά είναι δύσκολοπραγmicroατοποιούν ένα σηmicroαντικό βήmicroα προς την εξασϕάλιση microιας επιτυχηmicroένης επαγγελ-microατικής καριέρας Αυτό το βιβλίο διαθέτει ορισmicroένα χαρακτηριστικά που θα βοηθήσουντους ϕοιτητές να microάθουν να διαβάζουν microόνοι τους

Λυmicroένα παραδείγmicroαταΤο βιβλίο περιέχει περισσότερα από 500 λυmicroένα παραδείγmicroατα που είναι γραmicromicroένασε microορϕή εκϕώνησης-λύσης και είναι ανάλογα τόσο σε περιεχόmicroενο όσο και σε δυ-σκολία microε τις ασκήσεις Πολλές λύσεις προβληmicroάτων microε αποδείξεις έχουν γραϕεί σεδύο στάδια πρώτα εξετάζεται ο τρόπος microε τον οποίο είναι δυνατό να πραγmicroατοποιη-θεί η απόδειξη ή η ανασκευή και microετά παρατίθεται η περίληψη της λύσης microέσα σε έναπλαίσιο Αυτός ο τρόπος επιτρέπει στους ϕοιτητές να διαβάσουν το πρόβληmicroα και ανθέλουν να περάσουν κατευθείαν στην περίληψη ή αν δεν κατανοούν την περίληψηνα επιστρέψουν στη συζήτηση Αυτός ο τρόπος εξοικονοmicroεί χρόνο για τους ϕοιτητέςπου ξαναδιαβάζουν το κείmicroενο κατά την προετοιmicroασία τους για τις εξετάσεις

ΑσκήσειςΤο βιβλίο περιέχει περίπου 2500 ασκήσεις Οι ασκήσεις στο τέλος κάθε ενότητας έ-χουν σχεδιαστεί ώστε οι ϕοιτητές διαϕορετικών κλάδων και ποικίλων δυνατοτήτωννα microπορούν να βρούν κάποιες ασκήσεις που θα έχουν τη δυνατότητα να λύσουν σω-στά και κάποιες άλλες που θα τους δυσκολέψουν

Λύσεις ασκήσεωνΤοΠαράρτηmicroα Β περιέχει ένα microεγάλο αριθmicroό πλήρως λυmicroένων ασκήσεων Οι ϕοιτητέςκαλό θα ήταν να συmicroβουλεύονται τις λύσεις αϕού πρώτα έχουν καταβάλει κάθε προ-σπάθεια να λύσουν τις ασκήσεις microόνοι τους Αν προσπαθήσουν πρώτα microόνοι τους καιmicroετά συγκρίνουν τη δική τους λύση microε αυτή που δίνεται θα οδηγηθούν σε καλύτεροεπίπεδο κατανόησης Επιπλέον πολλά προβλήmicroατα συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων microερικώναπό τα πιο δύσκολα δεν έχουν λυθεί πλήρως ή περιλαmicroβάνουν υποδείξεις ώστε οιϕοιτητές να microπορούν να επαληθεύσουν αν ο συλλογισmicroός τους είναι σωστός και να

14 Πρόλογος

κάνουν τις κατάλληλες προσαρmicroογές Επίσης υπάρχουν πολλές ασκήσεις χωρίς λύσηώστε να microάθουν οι ϕοιτητές να ασχολούνται microε προβλήmicroατα σε ρεαλιστικό πλαίσιοεργασίας

Σχήmicroατα και πίνακεςΤα σχήmicroατα και οι πίνακες έχουν προστεθεί σε σηmicroεία που θεωρήσαmicroε ότι θα βοηθή-σουν τον αναγνώστη να κατανοήσει καλύτερα το πρόβληmicroα Στα περισσότερα σχήmicroα-τα γίνεται χρήση και δεύτερου χρώmicroατος για να γίνουν ακόmicroα πιο κατανοητά

ΑναϕορέςΠολλοί ϕοιτητές microού έχουν γράψει ότι το βιβλίο τούς βοήθησε πολύ στα πιο προχω-ρηmicroένα microαθήmicroατα που πήραν στη συνέχεια των σπουδών τους Ένας microου έγραψε ότιχρησιmicroοποίησε την πρώτη έκδοση τόσο πολύ ώστε το βιβλίο διαλύθηκε και αναγκά-στηκε να αγοράσει και τη δεύτερη έκδοση την οποία συνέχισε να χρησιmicroοποιεί καιστο microεταπτυχιακό του Η τακτική microου να τοποθετώ τους ορισmicroούς και τα θεωρήmicroατασε πλαίσια να βάζω τίτλους στις ασκήσεις και να παρέχω λίστες microε τύπους και τις ση-microασίες των συmicroβόλων στα εσώϕυλλα κάνει το βιβλίο εύχρηστο τόσο για microελέτη όσοκαι αργότερα ως βιβλίο αναϕοράς

Υποστήριξη τουκαθηγητή Έχω λάβει πλήθος πολύτιmicroων παρατηρήσεων από καθηγητέςπου έχουν χρησιmicroοποιήσει προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Το βιβλίο έχει βελτιωθείσηmicroαντικά λόγω αυτών των παρατηρήσεων

ΑσκήσειςΗ microεγάλη ποικιλία ασκήσεων όλων των επιπέδων δυσκολίας δίνει στους καθηγητέςmicroεγάλη ελευθερία να οργανώσουν το microάθηmicroά τους ανάλογα microε τις δυνατότητες τωνϕοιτητών τους Οι ασκήσεις microε λύσεις στο τέλος του βιβλίου έχουν γαλάζια αρίθmicroη-ση ενώ εκείνες που οι λύσεις τους παρέχονται σε διαϕορετικό εγχειρίδιο (εγχειρίδιολύσεων) έχουν αριθmicroούς που είναι πολλαπλάσια του τρία Υπάρχουν ασκήσεις κάθετύπου που δεν έχουν απάντηση ούτε σε αυτό το βιβλίο ούτε στο εγχειρίδιο λύσεωνώστε οι καθηγητές να είναι σε θέση να χρησιmicroοποιούν οποιονδήποτε συνδυασmicroό α-σκήσεων microε ή χωρίς λύσεις Ο microεγάλος αριθmicroός ασκήσεων παρέχει στους καθηγητέςσηmicroαντικές δυνατότητες επιλογής προβληmicroάτων για χρήση τόσο σε εξετάσεις όσο καισε επαναληπτικά microαθήmicroατα Οι καθηγητές θα πρέπει να προτιmicroούν τις ασκήσεις πουδιατυπώνονται microε τη microορϕή ερωτήσεων αντί εκείνων που ζητούν να laquoαποδειχθεί ότιraquoώστε να ενθαρρύνεται η συζήτηση στην τάξη σχετικά microε το ρόλο της απόδειξης καιτου αντιπαραδείγmicroατος στην επίλυση προβληmicroάτων

Ελαστικές ενότητεςΟι περισσότερες ενότητες χωρίζονται σε υποενότητες ώστε όταν ο καθηγητής πιέζε-ται από το χρόνο να microπορεί να παραλείψει συγκεκριmicroένες ενότητες ή να τις αϕήσει νατις διαβάσουν microόνοι τους οι ϕοιτητές Ο χωρισmicroός σε υποενότητες βοηθάει τον διδά-σκοντα να χωρίσει σε τmicroήmicroατα microια ενότητα στην περίπτωση που θέλει να αϕιερώσειπερισσότερα από ένα microαθήmicroατα γιrsquo αυτή

Παρουσίαση των αποδεικτικών microεθόδωνΕίναι αναπόϕευκτο οι αποδείξεις και ανασκευές σε αυτό το βιβλίο να ϕαίνονται πολύεύκολες στους καθηγητές Πολλοί ϕοιτητές όmicroως τις βρίσκουν δύσκολες Σε αυτό τοβιβλίο επιχειρώ να δείξω στους ϕοιτητές τον τρόπο σύνταξης και δόmicroησης αποδείξε-ων και ανασκευών περιγράϕοντας τα είδη των προσεγγίσεων που χρησιmicroοποιούν οιmicroαθηmicroατικοί όταν αντιmicroετωπίζουν δύσκολα προβλήmicroατα στην έρευνά τους

Βιβλίο καθηγητήΤο βιβλίο καθηγητή είναι διαθέσιmicroο σε οποιονδήποτε διδάσκει χρησιmicroοποιώντας τοπαρόν βιβλίο Το βιλίο καθηγητή περιέχει προτάσεις για τον τρόπο προσέγγισης τηςύλης κάθε κεϕαλαίου λύσεις για όλες τις ασκήσεις που δεν λύνονται πλήρως στο Πα-ράρτηmicroαΒ διαϕάνειες επαναληπτικό υλικό ιδέες για εργασίες και επιπλέον ασκήσεις

Πρόλογος 15

Τα νέα χαρακτηριστικά της τρίτης έκδοσης

Οι αλλαγές που έγιναν σε αυτή την έκδοση βασίστηκαν σε προτάσεις συναδέλϕων καιάλλων αναγνωστών της πρώτης και της δεύτερης έκδοσης και στη συνεχιζόmicroενη επαϕήmicroε ϕοιτητές microαθηmicroατικών και επιστήmicroης των υπολογιστών

Βελτιωmicroένη παιδαγωγική προσέγγιση

bull Ο αριθmicroός των ασκήσεων αυξήθηκε στις 2500 περίπου Προστέθηκαν περίπου 980νέες ασκήσεις

bull Προστέθηκαν ασκήσεις στα θέmicroατα στα οποία υπήρχε microεγαλύτερη ανάγκη για εξά-σκηση και τροποποιήθηκαν κατάλληλα ώστε να ληϕθούν καλύτερα υπόψη οι δυ-σκολίες των ϕοιτητών

bull Στο Παράρτηmicroα Β προστέθηκαν περισσότερες πλήρεις λύσεις ώστε να βοηθηθούνοι ϕοιτητές στα δύσκολα θέmicroατα

bull Ο τρόπος παρουσίασης των θεmicroάτων επανεξετάστηκε σε όλο το βιβλίο και όπουκρίθηκε σκόπιmicroο αναθεωρήθηκε

bull Έγινε προσεκτική δουλειά για να βελτιωθεί η microορϕή και η παρουσίαση του κειmicroένου

bull Επεκτάθηκαν οι συζητήσεις για ιστορικά θέmicroατα και πρόσϕατα αποτελέσmicroατα καιαυξήθηκαν οι ϕωτογραϕίες των επιστηmicroόνων των οποίων η δουλειά παρουσιάζεταιστο βιβλίο

Λογική

bull Η παρουσίαση των ποσοδεικτών έχει επεκταθεί σηmicroαντικά microε την προσθήκη microιαςνέας ενότητας αϕιερωmicroένης αποκλειστικά στους πολλαπλούς ποσοδείκτες

bull Προστέθηκαν ασκήσεις που χρησιmicroοποιούν τονΚόσmicroο τουTarski ένα υπέροχο παι-δαγωγικό εργαλείο που αναπτύχθηκε από τους Jon Barwise και John Etchemendyτου Πανεπιστηmicroίου του Stanford

bull Προστέθηκαν εϕαρmicroογές για την αναζήτηση στο ∆ιαδίκτυο

bull Απλοποιήθηκαν οι όροι διαϕόρων microορϕών συλλογισmicroών

Εισαγωγή στην απόδειξη

bull Επεκτάθηκαν οι οδηγίες συγγραϕής αποδείξεων

bull Οι περιγραϕές microεθόδων αποδείξεων γράϕτηκαν microε σαϕέστερο τρόπο

bull Οι ασκήσεις έχουν επανελεγχθεί και κάποιες έχουν microεταϕερθεί σε άλλο σηmicroείο ώστενα διευκολυνθεί η κατανόηση από τους ϕοιτητές

Επαγωγή και επανάληψη

bull Βελτιώθηκε η σκιαγράϕηση των αποδείξεων microε microαθηmicroατική επαγωγή

bull Οι υποενότητες της ενότητας των ακολουθιών οργανώθηκαν εκ νέου

bull Οι οmicroάδες ασκήσεων των ενοτήτων της ισχυρής microαθηmicroατικής επαγωγής και της κα-λής διάταξης και των επαγωγικώνεπαναληπτικών ορισmicroών επεκτάθηκαν σηmicroαντι-κά

Θεωρία αριθmicroών

bull Προστέθηκε microια υποενότητα ανοιχτών προβληmicroάτων στη θεωρία αριθmicroών και επε-κτάθηκε η συζήτηση για τις πρόσϕατες εξελίξεις

bull Προστέθηκε microια νέα ενότητα στην αριθmicroητική υπολοίπων και στην κρυπτογραϕίαΠεριλαmicroβάνεται microια συζήτηση για την κρυπτογραϕία RSA το microικρό θεώρηmicroα τουFermat και το κινέζικο θεώρηmicroα υπολοίπου

bull Η συζήτηση για τον έλεγχο αν ένας ακέραιος είναι πρώτος microεταϕέρθηκε αργότεραστο Κεϕάλαιο 3 για να γίνει σαϕής η εξάρτησή του από την έmicromicroεση επιχειρηmicroατο-λογία

16 Πρόλογος

Θεωρία συνόλων

bull ΟΙ ιδιότητες του κενού συνόλου παρουσιάζονται πλέον στην πρώτη ενότητα τουΚεϕαλαίου 5

bull Ηδεύτερη ενότητα του Κεϕαλαίου 5 είναι πλέον αϕιερωmicroένη αποκλειστικά σε απο-δείξεις στοιχείων

bull Οι αλγεβρικές αποδείξεις των συνολοθεωρητικών ιδιοτήτων και η χρήση αντιπαρα-δειγmicroάτων στην ανασκευή ιδιοτήτων συνόλων έχουν microεταϕερθεί στην τρίτη ενότητατου Κεϕαλαίου 5

bull Η παρουσίαση των αλγεβρών Boole έχει επεκταθεί και επισηmicroαίνεται η σχέση ανά-microεσα στις λογικές ισοδυναmicroίες τις ιδιότητες συνόλων και τις άλγεβρες Boole

Συνδυαστική και διακριτές πιθανότητες

bull Προστέθηκαν ασκήσεις στην ενότητα του διωνυmicroικού θεωρήmicroατος

bull Προστέθηκαν δύο νέες ενότητες στις πιθανότητες όπου microεταξύ άλλων καλύπτονταιη αναmicroενόmicroενη τιmicroή η δεσmicroευmicroένη πιθανότητα και η ανεξαρτησία και το θεώρηmicroαBayes

bull Εξηγούνται οι συνδυαστικές πτυχές των διευθύνσεων του διαδικτυακού πρωτοκόλ-λου (Internet Protocol IP)

Συναρτήσεις

bull Οι ασκήσεις για ένα προς ένα και επί συναρτήσεις έχουν βελτιωθεί

bull Έχει επεκταθεί το σύνολο των ασκήσεων στην πληθικότητα microε εϕαρmicroογές στην υ-πολογισιmicroότητα

Αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων

bull Οι Ενότητες 92 και 94 επανεξετάστηκαν και προστέθηκαν οι συmicroβολισmicroοίΘ καιΩ

bull Οι Ενότητες 93 και 95 έχουν αναθεωρηθεί αντίστοιχα microε καλύτερη επεξήγηση τηςέννοιας της διάταξης για έναν αλγόριθmicroο

bull Ηεξέταση της ταξινόmicroησης microε εισαγωγήκαι της ταξινόmicroησης microε επιλογή βελτιώθηκεκαι επεκτάθηκε

Κανονικές εκϕράσεις και αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων

bull Οι προηγούmicroενες διάσπαρτες ενότητες για τις τυπικές γλώσσες και τα αυτόmicroαταπεπερασmicroένων καταστάσεων συνενώθηκαν σε ένα αυτόνοmicroο κεϕάλαιο

bull Προστέθηκε microια νέα ενότητα για τις κανονικές εκϕράσεις καθώς και microια συζήτησηγια τη σχέση ανάmicroεσα στις κανονικές εκϕράσεις και στα αυτόmicroατα πεπερασmicroένωνκαταστάσεων

Ιστοσελίδα

∆ηmicroιουργήθηκε microια ιστοσελίδα γιrsquo αυτό το βιβλίο που περιέχει πληροϕορίες και υλικότόσο για τους ϕοιτητές όσο και για τους διδάσκοντες Περιέχει

bull περιγραϕές και συνδέσmicroους σε πολλές σελίδες στο ∆ιαδίκτυο microε προσβάσιmicroες πλη-ροϕορίες σχετικά microε τα διακριτά microαθηmicroατικά

bull συνδέσmicroους σε microικροεϕαρmicroογές που παρουσιάζουν ή προσϕέρουν εξάσκηση σε θέ-microατα διακριτών microαθηmicroατικών

bull πρόσθετα παραδείγmicroατα και ασκήσεις microε λύσεις

bull οδηγούς επανάληψης για τα κεϕάλαια του βιβλίου

Μια ειδική ενότητα για τους διδάσκοντες περιέχει

bull διαϕάνειες και ηλεκτρονικές διαϕάνειες σε αρχεία τύπου PowerPoint

bull επιπλέον ασκήσεις για εξετάσεις

Πρόλογος 17

Οδηγός για τη χρήση του βιβλίου microε τις λύσεις

Κατά τη συγγραϕή αυτού του βιβλίου προσπάθησα να δώσω αρκετή βοήθεια στους ϕοι-τητές microέσω της παρουσίασης της ύλης των λυmicroένων παραδειγmicroάτων και των λύσεων τωνασκήσεων ώστε να έχουν στη διάθεσή τους ότι χρειάζεται για την πλήρη κατανόηση τουmicroαθήmicroατος Πιστεύω ότι οι ϕοιτητές που θα ολοκληρώσουν τη microελέτη αυτού του βιβλίουκαι θα κατάϕερουν να λύσουν microόνοι τους όλες τις ασκήσεις που έχουν λυθεί στο Παράρ-τηmicroα Β θα κατανοήσουν πολύ καλά το αντικείmicroενο Όmicroως γνωρίζω ότι κάποιοι ϕοιτητέςθα θέλουν να έχουν πρόσβαση σε επιπλέον βοηθητικό υλικό Γιrsquo αυτόν το λόγο έχω γρά-ψει τον οδηγό λύσεων και microελέτης για το ϕοιτητή που διατίθεται ξεχωριστά από αυτότο βιβλίο και περιέχει τις πλήρεις λύσεις των ασκήσεων οι οποίες δεν είναι πλήρως λυmicroέ-νες στο Παράρτηmicroα Β και που ο αριθmicroός τους διαιρείται microε το 3 Αυτός ο οδηγός περιέχειεναλλακτικές επεξηγήσεις για κάποιες έννοιες και ερωτήσεις επανάληψης για κάθε κεϕά-λαιο

Οργάνωση του βιβλίου

Αυτό το βιβλίο microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί αποτελεσmicroατικά για ένα microάθηmicroα ενός ή δύοεξαmicroήνων Κάθε κεϕάλαιο περιέχει κύριες ενότητες ενότητες microε προαιρετικό υλικό καιενότητες microε προαιρετικές εϕαρmicroογές Οι διδάσκοντες έχουν την άνεση να επιλέξουν ό-ποιο υποσύνολο θεωρούν ότι ταιριάζει καλύτερα microε το microάθηmicroα και τους ϕοιτητές τους Οακόλουθος πίνακας δείχνει τη διαίρεση των ενοτήτων σε κατηγορίες

Ενότητες microε προαιρετικό Ενότητες microε προαιρετικές

Κεϕάλαιο Κύρια ενότητα microαθηmicroατικό υλικό εϕαρmicroογές στους υπολογιστές

1 11ndash13 14 15

2 21ndash24 22 23 23

3 31ndash34 36 35 37 38

4 41ndash42 43ndash44 45

5 51 52ndash54 54

6 61ndash64 65ndash69 63

7 71ndash72 73ndash75 71 72 75

8 81 82 83 84 84

9 91 92 94 93 95

10 101ndash103 104 105 104 105

11 111 115 112 113 114 111 112 115 116

12 121 122 123 121ndash123

Το δενδροειδές διάγραmicromicroα που ακολουθεί δείχνει κατά προσέγγιση την αλληλοεξάρ-τηση των κεϕαλαίων Τα κεϕάλαια που βρίσκονται σε διαϕορετικά κλαδιά του δέντρουείναι αρκετά ανεξάρτητα ώστε οι διδάσκοντες να microη χρειάζεται να κάνουν σηmicroαντικέςπροσαρmicroογές αν τα προσπεράσουν και απλώς ακολουθήσουν τις διαδροmicroές κατά microήκοςτων κλαδιών του δέντρου

18 Πρόλογος

1

2

33

4

8

12dagger

11

5

7

9

6 10

lowast dagger

Ευχαριστίες

Χρωστάω ένα microεγάλο ευχαριστώ σε πολλούς ανθρώπους στο Πανεπιστήmicroιο του DePaulγια την υποστήριξή τους όλα αυτά τα χρόνια που δούλευα πάνω στις εκδόσεις αυτού τουβιβλίου Κάποιοι συνάδελϕοι χρησιmicroοποίησαν πρώιmicroες microορϕές και προηγούmicroενες εκδό-σεις του βιβλίου και microου έκαναν εξαιρετικά σχόλια για βελτιώσεις Γιrsquo αυτό ευχαριστώτους Louis Aquila J Marshall Ash Allan Berele Jerey Bergen William Chin BarbaraCortzen Constantine Georgakis Sigrun Goes Jerry Goldman Lawrence Gluck LeonidKrop CarolynNarasimhanWalter Pranger Eric Rieders Ayse Sahin Yuen-FatWong καιειδικότερα την Jeanne LaDuke Οι χιλιάδες ϕοιτητές στους οποίους δίδαξα διακριτά microα-θηmicroατικά είχαν σηmicroαντικότατη επίδραση στη microορϕή του βιβλίου Μοιράζοντας τις σκέ-ψεις τους και τους τρόπους σκέψης τους microαζί microου microε δίδαξαν πώς να διδάσκω καλύτε-ρα Τους οϕείλω ευγνωmicroοσύνη για τη βοήθειά τους Ιδιαίτερες ευχαριστίες οϕείλω στηδιοίκηση του Πανεπιστηmicroίου τουDePaul ιδιαίτερα στον ΚοσmicroήτοραMichael Mezey καιστον πρώην Κοσmicroήτορα Richard Meister που θεώρησαν αξιόλογη ακαδηmicroαϊκή εργασίατη συγγραϕή αυτού του βιβλίου

Ευχαριστώ τους διορθωτές για τις πολύτιmicroες παρατηρήσεις τους γιrsquo αυτή την έκδοσητου βιβλίου τους Pablo Echeverria του Camden County College William Gasarch τουUniversity of Maryland Joseph Kolibal του University of Southern Mississippi Benny Loτου International Technological University George Luger του University of New MexicoNorman Richert τουUniversity of Houston-Clear Lake PeterWilliams τουCalifornia Sta-te University at San Bernardino και τον Jay Zimmerman του Towson University Για τηβοήθειά τους στην πρώτη και δεύτερη έκδοση αυτού του βιβλίου είmicroαι ευγνώmicroων στουςItshak Borosh Texas A ampMUniversity Douglas M Campbell Brigham Young UniversityDavid G Cantor University of California at Los Angeles C Patrick Collier Universityof Wisconsin-Oshkosh Kevan H Croteau Francis Marion University Irinel Drogan Uni-versity of Texas at Arlington Henry A Etlinger Rochester Institute of Technology MelvinJ Friske Wisconsin Lutheran College Ladnor Geissinger University of North CarolinaJerrold R Griggs University of South Carolina Nancy Baxter Hastings Dickinson Colle-ge Lillian Hupert Loyola University Chicago Leonard T Malinowski Finger Lakes Com-munity College John F Morrison Towson State Unviersity Paul Pederson University ofDenver George Peck Arizona State University Roxy Peck California Polytechnic StateUniversity San Luis Obispo Dix Pettey University of Missouri Anthony Ralston State U-niversity of NewYork at Bualo John Roberts University of Louisville καιGeorge Schultz

lowastΟι διδάσκοντες που προτιmicroούν να ορίσουν τη συνάρτηση ως διmicroελή σχέση microπορούν να καλύψουντην Ενότητα 101 πριν την Ενότητα 71daggerΗ Ενότητα 103 χρειάζεται για την Ενότητα 123 αλλά όχι για τις Ενότητες 121 και 122

Πρόλογος 19

St Petersburg Junior College Clearwater Πολλές ευχαριστίες οϕείλω επίσης στους JohnCarroll San Diego State University Dr Joseph S Fulda και Porter G Webster Universityof Southern Mississippi για την απίστευτη επιmicroέλειά τους και την ενθάρρυνση που microουέδωσαν

Επίσης ωϕελήθηκα πάρα πολύ από τις παρατηρήσεις πολλών διδασκόντων που microουπρόσϕεραν γενναιόδωρα τις ιδέες τους για βελτιώσεις βασισmicroένες στις εmicroπειρίες τους α-πό τις προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Είmicroαι ιδιαίτερα ευγνώmicroων στους GoldstinePennsylvania State University David Hecker St Josephrsquos University Tom Jenkyns BrockUniversity Robert Messer Albion College Piotr Rudnicki University of Alberta AnwarShiek Dineacute College Norton Starr Amherst College Είχα επίσης εξαίρετη βοήθεια απότους John Banks Christopher Novak DePaul University και Ian Crewe Ascension Colle-giate School κατά τη διάρκεια της παραγωγής του βιβλίου

Χρωστώ ευγνωmicroοσύνη σε πολλούς ανθρώπους στις εταιρείες Wadsworth and Bro-oksCole Publishing ιδιαίτερα τον εκδότη microου Robert Pirtle για την ικανότητά του ναπραγmicroατοποιεί καλά πράγmicroατα ως δια microαγείας τους προηγούmicroενους εκδότες microου Hea-ther Bennett και Barbara Holland για την ενθάρρυνση και τον ενθουσιασmicroό τους και τηδιευθύντρια παραγωγής Janet Hill για την κατανόησή της και την προθυmicroία της να microουεπιτρέψει να έχω ρόλο σε όλα τα στάδια της παραγωγής ∆εν microπορώ να ϕανταστώ κα-λύτερη διευθύντρια παραγωγής από τη Martha Emry της οποίας τα υψηλής ποιότηταςπρότυπα και η προσοχή της στις λεπτοmicroέρειες ήταν πάντα εmicroπνευσmicroένες Ο σχεδιασmicroόςτης Kathleen Cunningham και η ϕωτοσύνθεση από την Techsetters Inc θα εκτιmicroηθούναπό όλους τους αναγνώστες του βιβλίου

Όσο microεγαλώνω τόσο συνειδητοποιώ το τεράστιο χρέος που οϕείλω στους δικούς microουδασκάλους των microαθηmicroατικών που διαmicroόρϕωσαν τον τρόπο microε τον οποίο βλέπω το αντι-κείmicroενο Τα πρώτα microου ευχαριστώ πρέπει να πάνε στο σύζυγό microουHelmut Epp ο οποίοςσε ένα ραντεβού όταν ακόmicroα ήmicroουν στο Γυmicroνάσιο () microε εισήγαγε στη δύναmicroη και τηνοmicroορϕιά των αξιωmicroάτων των microαθηmicroατικών και την άποψη ότι τα microαθηmicroατικά είναι ένααντικείmicroενο τόσο microε ιδέες όσο και microε τύπους και τεχνικές Όσον αϕορά την εκπαίδευ-σή microου είmicroαι ευγνώmicroων στους Daniel Zelinsky και Ky Fan του Northwestern Universityκαι Izaak Wirszup I N Herstein και Irving Kaplansky του University of Chicago που ό-λοι τους ο καθένας microε το δικό του τρόπο microε βοήθησαν να εκτιmicroήσω την κοmicroψότητα καιαυστηρότητα των microαθηmicroατικών αλλά και τη συγκίνηση που προκαλούν

Στην οικογένειά microου χρωστάω ευχαριστίες πέρα από κάθε όριο Είmicroαι ευγνώmicroων στηmicroητέρα microου που το ευγενικό ενδιαϕέρον της για τα έργα της ανθρώπινης διανόησης microεέβαλαν πριν πολλά χρόνια στο δρόmicroο που οδήγησε σε αυτό το βιβλίο και στον εκλιπόνταπατέρα microου που η αϕοσίωσή του στα βιβλία ήταν σταθερή πηγή έmicroπνευσης Ευχαριστώ ταπαιδιά microου και τα εγγόνια microου για την αγάπη τους και την αποδοχή των απαιτήσεων πουεπέβαλλε η συγγραϕή αυτού του βιβλίου στη ζωή microου Και περισσότερο από κάθε άλλονείναι ευγνώmicroωνστο σύζυγό microου που για πολλά χρόνια microε ενθάρρυνε microε την πίστη του στηναξία αυτής της εργασίας και microε υποστήριξε microε την αγάπη του και τις σοϕές συmicroβουλές του

Susanna Epp

236 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

62 Υποθέστε ότι το a[1] a[2] a[3] a[m] είναι διάνυσmicroακαι θεωρήστε το ακόλουθο τmicroήmicroα αλγορίθmicroου

sum ∶= 0for k ∶= 1 to m

sum ∶= sum + a[k]next k

Συmicroπληρώστε τα κενά παρακάτω ώστε κάθε τmicroήmicroα του αλ-γορίθmicroου να κάνει την ίδια δουλειά microε το παραπάνω

α sum ∶= 0for i ∶= 0 to

sum ∶=next i

β sum ∶= 0for j ∶= 2 to

sum ∶=next j

Χρησιmicroοποιήστε διαδοχικές διαιρέσεις microε το 2 για να microετατρέ-ψετε (microε το χέρι) τους ακεραίους των Ασκήσεων 63ndash65 από τηβάση 10 στη βάση 2

63 90 64 98 65 205

Κατασκευάστε έναν πίνακα για να καταγράψετε όλα τα βήmicroατατου Αλγορίθmicroου 411 microε είσοδο τις Ασκήσεις 66ndash68

66 23 67 28 68 44

69 Γράψτε microια microη τυπική περιγραϕή αλγορίθmicroου (χρησιmicroοποιώ-ντας διαδοχικές διαιρέσεις microε το 16) για να microετατρέψετε έναmicroη αρνητικό ακέραιο από το δεκαδικό στο δεκαεξαδικό σύ-στηmicroα (microε βάση το 16)

Χρησιmicroοποιήστε τον αλγόριθmicroο που αναπτύξατε για την Άσκη-ση 69 για να microετατρέψετε τους ακεραίους των Ασκήσεων 70ndash72στο δεκαεξαδικό σύστηmicroα

70 287 71 693 72 2301

73 Γράψτε microια τυπική περιγραϕή του αλγορίθmicroου που αναπτύ-ξατε στην Άσκηση 69

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι

[Η microαϑηmicroατιϰή επαγωγή είναι] η συνήϑης αποδειϰτιϰή τεχνιϰή στην επιστήmicroη τωνυπολογιστών

mdashAnthony Ralston 1984

Ηmicroαθηmicroατική επαγωγή είναι microία από τις πιο πρόσϕατα ανεπτυγmicroένες αποδεικτικές microεθό-δους στην ιστορία των microαθηmicroατικών Χρησιmicroοποιείται για την επαλήθευση εικασιών πουαϕορούν σε αποτελέσmicroατα διαδικασιών που εmicroϕανίζονται κατrsquo επανάληψη και σύmicroϕωναmicroε καθορισmicroένα microοτίβα Θα παρουσιάσουmicroε αυτή την τεχνική microε ένα παράδειγmicroα

Μερικοί ισχυρίζονται ότι το λεπτό του αmicroερικάνικου δολαρίου είναι τόσο microικρό νόmicroι-σmicroα ώστε πρέπει να αποσυρθεί Λένε ότι αν πέσει από τα χέρια κάποιου αυτός σπανίως θασκύψει να το πάρει Άλλοι ισχυρίζονται ότι αν αποσυρθεί το λεπτό θα υπάρχουν προβλή-microατα microε την ευελιξία στον καθορισmicroό των τιmicroών των αγαθών Ποιες τιmicroές θα microπορούσαννα εξοϕληθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο στην περίπτωση απόσυρσης του λεπτού και αντι-κατάστασής του microε ένα νόmicroισmicroα αξίας 3cent Η απάντηση είναι ότι οι microόνες τιmicroές που δενθα microπορούσαν να πληρωθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο είναι οι 1cent 2cent 4cent και 7cent Με άλλαλόγια

Μπορούmicroε να πάρουmicroε οποιονδήποτε ακέραιο αριθmicroό τουλάχιστον8 λεπτών χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα των 3cent και 5cent

Ποιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 microπορούmicroε να πάρουmicroεn λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5cent

Ακόmicroα πιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 η P(n) είναι αληθής όπου P(n) είναι η πρότασηlaquomicroπορούmicroε να πάρουmicroε n λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5centraquo

Θα microπορούσατε να ελέγξετε ότι η P(n) είναι αληθής για λίγες συγκεκριmicroένες τιmicroές του nόπως κάνουmicroε στον παρακάτω πίνακα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 237

Αριθmicroός λεπτών Πώς λαmicroβάνεται

8cent 3cent + 5cent

9cent 3cent + 3cent + 3cent

10cent 5cent + 5cent

11cent 3cent + 3cent + 5cent

12cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent

13cent 3cent + 5cent + 5cent

14cent 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

15cent 5cent + 5cent + 5cent

16cent 3cent + 3cent + 5cent + 5cent

17cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

Οι περιπτώσεις που ϕαίνονται στον πίνακα microας δίνουν επαγωγικού τύπου στοιχείαγια να υποστηρίξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλα τα n Πράγmicroατι η P(n) είναι αλη-ϑής για όλα τα n ge 8 αν ϰαι microόνο αν είναι εϕιϰτό να συνεχίσουmicroε να συmicroπληρώνουmicroε τονπίναϰα για οσοδήποτε microεγάλες τιmicroές του n

Η k γραmicromicroή του πίνακα δίνει πληροϕορίες για το πώς θα πάρουmicroε kcent χρησιmicroοποιώ-ντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent Για να συνεχίσουmicroε τον πίνακα στην επόmicroενη γραmicromicroήπρέπει να δώσουmicroε οδηγίες για το πώς θα υπολογιστούν τα (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και 5cent Το microυστικό είναι να παρατηρήσουmicroε πρώτα ότι αν microπορούmicroε ναυπολογίσουmicroε kcent χρησιmicroοποιώντας τουλάχιστον ένα κέρmicroα των 5cent τότε microπορούmicroε να υ-πολογίσουmicroε (k + 1)cent αντικαθιστώντας το κέρmicroα των 5cent microε δύο κέρmicroατα των 3cent όπωςϕαίνεται στο Σχήmicroα 421

kcent (k + 1)cent

3cent 3cent5cent

Αντικατάσταση ενός κέρματος των 5cent με δύο

κέρματα των 3cent

Αφαίρεση Προσθήκη

Σχήmicroα 421

Αν από την άλλη microεριά τα kcent λαmicroβάνονται χωρίς χρήση του κέρmicroατος των 5cent τότεχρησιmicroοποιούνται microόνο κέρmicroατα των 3cent Και αϕού το σύνολο είναι τουλάχιστον 8cent πρέπεινα περιλαmicroβάνονται τρία ή περισσότερα κέρmicroατα των 3cent Για να πάρουmicroε ένα σύνολο(k + 1)cent microπορούmicroε να αντικαταστήσουmicroε τρία από τα κέρmicroατα των 3cent microε δύο των 5centόπως ϕαίνεται στο Σχήmicroα 422 της επόmicroενης σελίδας

Η δοmicroή του παραπάνω επιχειρήmicroατος microπορεί να περιγραϕεί συνοπτικά ως εξής Γιανα δείξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8 (1) δείχνουmicroε ότι ηP(8) είναι αληθής και (2) δείχνουmicroε ότι η αλήθεια της P(k + 1) προκύπτει απαραίτητααπό την αλήθεια της P(k) για κάθε k ge 8 Κάθε επιχείρηmicroα αυτής της microορϕής καλείταιεπιχείρηmicroα microαϑηmicroατιϰής επαγωγής

238 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

5cent

kcent (k + 1)cent

Προσθήκη

kcent (k + 1)cent

5cent

3cent 3cent

3cent

Αντικαθιστούμε τρίακέρματα των 3centμε δύο κέρματα

των 5cent

Αφαίρεση

5cent

Σχήmicroα 422

Η αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής

Έστω ότι η P(n) είναι microια ιδιότητα που ορίζεται για ακεραίους n και έστω ότι οa είναι ένας συγκεκριmicroένος ακέραιος Υποθέτουmicroε ότι οι ακόλουθες δυο προτάσειςείναι αληθείς

1 Η P(a) είναι αληθής2 Για όλους τους ακεραίους k ge a αν η P(k) είναι αληθής τότε και η P(k + 1) είναι

αληθής

Τότε ισχύει η πρότασηγια όλους τους ακεραίους n ge a η P(n) είναι αληθής

Η πρώτη γνωστή καταγεγραmicromicroένη microαθηmicroατική επαγωγή βρίσκεται στα γραπτά τουΙταλού επιστήmicroονα Francesco Maurolico το 1575 Την ίδια τεχνική χρησιmicroοποιούσαν κα-τά το δέκατο έβδοmicroο αιώνα και οι Pierre de Fermat και Blaise Pascal Ο Fermat ονόmicroαζετην επαγωγή laquomicroέθοδο της άπειρης καθόδουraquo (laquomethod of innite descentraquo) Το 1883 οAugustus De Morgan (γνωστός από τους κανόνες De Morgan) περιέγραψε προσεκτικάτη διαδικασία και την ονόmicroασε microαϑηmicroατιϰή επαγωγή

Για να πάρετε microια διαισθητική εικόνα για τη microαθηmicroατική επαγωγή ϕανταστείτε microιαάπειρη συλλογή από ντόmicroινο τοποθετηmicroένα το ένα πίσω από το άλλο microε τέτοιο τρόποώστε αν ένα ντόmicroινο πέσει να ρίξει και το επόmicroενο (∆είτε το Σχήmicroα 423) Φανταστείτετώρα ότι πέϕτει το πρώτο ντόmicroινο Τι θα συmicroβεί Θα πέσουν όλα

12

3

4

kk + 1

Σχήmicroα 423 Όταν πέϕτει το k ντόmicroινο ρίχνει και το (k + 1)

Για να δείτε τη σχέση ανάmicroεσα σε αυτή την εικόνα και την αρχή της microαθηmicroατικήςεπαγωγής υποθέστε ότι η P(n) είναι η πρόταση laquoτο n ντόmicroινο πέϕτειraquo Υποθέτουmicroε ότιγια κάθε k ge 1 αν η P(k) είναι αληθής (το k ντόmicroινο πέϕτει) τότε η P(k + 1) είναι επίσηςαληθής (το (k + 1) ντόmicroινο πέϕτει) Υποθέτουmicroε επίσης ότι η P(1) είναι αληθής (το πρώτοντόmicroινο πέϕτει) Έτσι από την αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής η P(n) (το n ντόmicroινοπέϕτει) είναι αληθής για κάθε n ge 1

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 239

Η ισχύς της απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή θεωρείται αξίωmicroα Γιrsquo αυτόν το λόγοαναϕερόmicroαστε σε αυτή ως αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής αντί ως θεώρηmicroα Είναι ισο-δύναmicroη microε την ακόλουθη ιδιότητα των ακεραίων που εύκολα τη δέχεται κανείς ως αληθήmicroε βάση τη διαίσθησή του

Υποθέτουmicroε ότι το S είναι οποιοδήποτε σύνολο ακεραίων που ικανοποιεί (1) a isin Sκαι (2) για όλους τους ακεραίους k αν k isin S τότε k + 1 isin S Τότε το S πρέπει ναπεριέχει κάθε ακέραιο microεγαλύτερο ή ίσο του a

Για να κατανοήσουmicroε την ισοδυναmicroία των δυο διατυπώσεων απλώς ορίζουmicroε ως S τοσύνολο όλων των ακεραίων για τους οποίους η P(n) είναι αληθής

Η απόδειξη ενός επιχειρήmicroατος microε microαθηmicroατική επαγωγή είναι microια διαδικασία δύο βη-microάτων Το πρώτο βήmicroα λέγεται αρχιϰό βήmicroα ή βήmicroα έναρξης και το δεύτερο επαγωγιϰόβήmicroα

Η microέθοδος απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή

Θεωρήστε microια πρόταση της microορϕής laquoγια όλους τους ακεραίους n ge a η ιδιότηταP(n) είναι αληθήςraquo Για να αποδείξουmicroε microια τέτοια πρόταση ακολουθούmicroε τα παρα-κάτω δύο βήmicroατα

Βήmicroα 1 (αρχικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = a

Βήmicroα 2 (επαγωγικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους k ge a αν η ιδιό-τητα είναι αληθής για n = k τότε είναι αληθής για n = k + 1 Για να πραγmicroα-τοποιήσουmicroε αυτό το βήmicroα

υποθέτουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k όπου k είναιοποιοσδήποτε συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος ακέραιοςmicroε k ge a [Αυτή η υπόϑεση ονοmicroάζεται επαγωγική υπόθεση]

Έτσι

δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k + 1

∆ίνουmicroε εδώ την τυπική απόδειξη για τα κέρmicroατα που διατυπώσαmicroε χωρίς τυπικό τρό-πο προηγουmicroένως

Πρόταση 421

Έστω ότι η P(n) είναι η ιδιότητα laquoncent microπορούν να υπολογιστούν microε κέρmicroατα των 3centκαι 5centraquo Τότε η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8

Απόδειξη

∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 8 Η ιδιότητα είναι αληθής για n = 8 ε-πειδή 8cent = 3cent + 5cent

∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 8 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής ϰαι για n = k + 1 Υποθέτουmicroε ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε kcent χρη-σιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent για κάποιο ακέραιο k ge 8 [Αυτή είναι η ε-παγωγιϰή υπόϑεση]Πρέπει να δείξουmicroε τώρα ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε και (k + 1)centχρησιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και 5cent Αν υπάρχει κέρmicroα των 5cent ανάmicroεσα σε αυτάπου απαρτίζουν τα kcent το αντικαθιστούmicroε microε δύο κέρmicroατα των 3cent το αποτέλεσmicroαθα είναι (k + 1)cent Αν δεν υπάρχει κέρmicroα των 5cent σε αυτά που απαρτίζουν τα kcent τότεπρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 3 κέρmicroατα των 3cent αϕού k ge 8 Αϕαιρούmicroε αυτά τατρία κέρmicroατα των 3cent και τα αντικαθιστούmicroε microε δύο των 5cent το αποτέλεσmicroα θα είναι(k + 1)cent Έτσι σε κάθε περίπτωση microπορούmicroε να πάρουmicroε (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και των 5cent [όπως έπρεπε να δειχϑεί]

240 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Το ακόλουθο παράδειγmicroα δείχνει πώς χρησιmicroοποιούmicroε τη microαθηmicroατική επαγωγή γιανα αποδείξουmicroε έναν τύπο που δίνει το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Παράδειγmicroα 421 Άθροισmicroα των n πρώτων ακεραίων

Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να αποδείξετε ότι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2για όλους τους ακεραίους n ge 1

Λύση Για να κατασκευάσετε microια απόδειξη microε επαγωγή πρέπει πρώτα να βρείτε ποια είναι ηιδιότητα P(n) Σε αυτή την περίπτωση η P(n) είναι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2 larr η ιδιότητα (P(n))

[Για να δείτε ότι η P(n) είναι microια πρόταση παρατηρήστε ότι το αντιϰείmicroενό της είναι laquoτοάϑροισmicroα των αϰεραίων από το 1 microέχρι το nraquo ϰαι το ρήmicroα της είναι το laquoισούταιraquo]

Στο αρχικό βήmicroα της απόδειξης πρέπει να δείξετε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 1ή microε άλλα λόγια ότι η P(1) είναι αληθής Τώρα για να βρούmicroε την P(1) αντικαθιστούmicroε1 στη θέση του n στην P(n) Το αριστερό σκέλος της P(1) είναι το άθροισmicroα όλων τωνδιαδοχικών ακεραίων που ξεκινούν microε το 1 και τελειώνουν στο 1 Αυτό είναι απλώς το 1Έτσι η P(1) είναι η

1 =1(1 + 1)

2 larr αρχική (P(1))

Φυσικά αυτή η εξίσωση είναι αληθής διότι το δεξιό σκέλος είναι

1(1 + 1)2

=1 sdot 2

2= 1

που ισούται microε το αριστερό σκέλοςΣτο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής για κάποιον ακέραιο k microε

k ge 1 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση] Πρέπει τώρα να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναιαληθής Ποιες είναι οι P(k) και P(k + 1) Για να βρούmicroε την P(k) αντικαθιστούmicroε k στηθέση κάθε n στην P(n) Έτσι η P(k) είναι η

1 + 2 +⋯+ k =k(k + 1)

2 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Παρόmicroοια για να βρούmicroε την P(k + 1) αντικαθιστούmicroε κάθε n της P(n) microε την ποσότητα(k + 1) Έτσι η P(k + 1) είναι1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2

ή ισοδύναmicroα

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

larr να δειχθεί η (P(k + 1))

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 241

Τώρα η επαγωγική υπόθεση είναι ότι η P(k) είναι αληθής Πώς microπορούmicroε να χρησι-microοποιήσουmicroε αυτή την υπόθεση για να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής Η P(k + 1)είναι microια εξίσωση και η αλήθεια microιας εξίσωσης microπορεί να δειχθεί microε διάϕορους τρόπουςΈνας από τους πιο άmicroεσους είναι να microετασχηmicroατίσουmicroε το αριστερό σκέλος στο δεξιόχρησιmicroοποιώντας άλγεβρα και άλλους γνωστούς κανόνες και έγκυρες υποθέσεις microεταξύτων οποίων και την επαγωγική υπόθεση Σε αυτή την περίπτωση το αριστερό σκέλος τηςP(k + 1) είναι

1 + 2 +⋯+ (k + 1)που ισούται microε

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) προσδιορισmicroός του προτελευταίουόρου και οmicroαδοποίηση

Αλλά microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1)=k(k + 1)

2+ (k + 1) αϕού η επαγωγική υπόθεση λέει

ότι 1 + 2 +⋯ + k =k(k + 1)

2

Τώρα χρησιmicroοποιούmicroε άλγεβρα για να δείξουmicroε ότι αυτή η έκϕραση ισούται microε το δεξιόσκέλος της P(k + 1)

k(k + 1)2

+ (k + 1)

=k(k + 1)

2+2(k + 1)

2

πολλαπλασιάζουmicroε αριθmicroητή και πα-ρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε το2 για να πάρουmicroε κοινό παρονοmicroα-στή

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2microε πρόσθεση κλασmicroάτων

=(k + 2)(k + 1)

2βγάζουmicroε κοινό παράγοντα το (k + 1)

=(k + 1)(k + 2)

2υπολογίζουmicroε τους παράγοντες(k + 1) και (k + 2)

που ισούται microε το δεξιό σκέλος της P(k + 1)Συνοψίζουmicroε την παραπάνω ανάλυση ως εξής

Θεώρηmicroα 422 Άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Για όλους τους ακεραίους n ge 1

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2

Απόδειξη (microε microαθηmicroατική επαγωγή)

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση 1 + 2 +⋯+ n = n(n + 1)2

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1 Για να δείξουmicroε την ιδιότητα για

n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 =1(1 + 1)

2 Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης

είναι 1 και το δεξιό είναι1(1 + 1)

2=2

2= 1 και αυτό Άρα η ιδιότητα είναι αληθής για

n = 1συνεχίζεται στην επόmicroενη σελίδα

242 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2είναι αληϑής για ϰάποιον

αϰέραιο k ge 1 στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ k =

k(k + 1)2

για κάποιον ακέραιο k ge 1

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =

n(n + 1)2

είναι αληϑής όταν

αντιϰαταστήσουmicroε το k + 1 στη ϑέση του n]Πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2 ή ισοδύναmicroα ότι

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

421

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος της εξίσωσης (421) ισούται microε το δεξιόσϰέλος]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (421) είναι το

1 + 2 +⋯+ (k + 1)= (1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) Ο προτελευταίος όρος είναι ο k γιατί οι όροι

είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ο τελευταίος εί-ναι ο k + 1

=k(k + 1)

2+ (k + 1) microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

=k(k + 1)

2+(k + 1) sdot 2

2

=(k + 1)(k + 2)

2

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (421) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού δείξαmicroε ϰαι το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

Λέγεται microια ιστορία για έναν από τους microεγαλύτερους microαθηmicroατικούς όλων των εποχώντον Carl Friedrich Gauss (1777ndash1855) σύmicroϕωνα microε την οποία όταν ήταν microικρό παιδί οδάσκαλος του ζήτησε να προσθέσει τους αριθmicroούς από το 1 microέχρι το 100 Ο δάσκαλοςζήτησε από τους microαθητές να υπολογίσουν το άθροισmicroα ώστε να τους απασχολήσει γιανα microπορέσει εκείνος να διορθώσει γραπτά Αλλά λίγες στιγmicroές αργότερα ο Gauss βρήκετην σωστή απάντηση Είναι περιττό να πούmicroε ότι ο δάσκαλος τα έχασε Πώς microπόρεσε ονεαρός Gauss να υπολογίσει τόσο γρήγορα Τα επόmicroενα χρόνια ο Gauss εξήγησε ότι είχεϕανταστεί τους αριθmicroούς σε ζευγάρια σύmicroϕωνα microε το ακόλουθο σχήmicroα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 243

1 2 3 50 51 98 99 100

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

Το άθροισmicroα κάθε ζεύγους είναι 101 και υπάρχουν 50 ζεύγη άρα το συνολικό άθροισmicroαείναι 50 sdot 101 = 5050

Παράδειγmicroα 422 Εϕαρmicroογές του τύπου του αθροίσmicroατος των πρώτων n ακεραίων

α Βρείτε το 2 + 4 + 6 +⋯+ 500

β Βρείτε το 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50

γ Για οποιονδήποτε ακέραιο h ge 2 βρείτε το 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1)Λύση

α 2 + 4 + 6 +⋯+ 500 = 2 sdot (1 + 2 + 3 +⋯+ 250)= 2 sdot (250 sdot 251

2) εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroα

των πρώτων n ακεραίων για n = 250

= 62750

β 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50 = (1 + 2 + 3 +⋯+ 50) minus (1 + 2 + 3 + 4)=50 sdot 51

2minus 10

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroατων πρώτων n ακεραίων για n = 50

= 1265

γ 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1) = (h minus 1) sdot [(h minus 1) + 1]2

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροι-σmicroα των πρώτων n ακεραίων γιαn = h minus 1

=(h minus 1) sdot h

2αϕού (h minus 1) + 1 = h n

Στο επόmicroενο παράδειγmicroα ζητείται να αποδειχθεί ένας άλλος διάσηmicroος microαθηmicroατικόςτύποςmdashο τύπος του αθροίσmicroατος της γεωmicroετρικής προόδου Σε microια γεωmicroετρικήπρόοδοκάθε όρος ισούται microε τον προηγούmicroενο επί ένα σταθερό παράγοντα Αν ο πρώτος όροςείναι 1 και ο σταθερός παράγοντας είναι r τότε η ακολουθία είναι 1 r r2 r3 rn Το άθροισmicroα των πρώτων n όρων αυτής της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

για όλους τους ακεραίους n ge 0 και τους πραγmicroατικούς αριθmicroούς r που δεν είναι ίσοι microε1 Η αναπτυγmicroένη microορϕή αυτού του τύπου είναι η

r0 + r1 + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

και επειδή r0 = 1 και r1 = r ο τύπος για n ge 1 microπορεί να ξαναγραϕεί ως

1 + r + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

244 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παράδειγmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Αποδείξτε ότιnsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 για κάθε ακέραιο n ge 0 και για όλους τους πραγmicroατικούς

αριθmicroούς r διάϕορους του 1

Λύση Σε αυτό το παράδειγmicroα η ιδιότητα P(n) είναι πάλι microια εξίσωση αν και σε αυτή τηνπερίπτωση περιλαmicroβάνει microια πραγmicroατική microεταβλητή r

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 larr η ιδιότητα (P(n))

Αϕού το r microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός εκτός του 1 ξεκινάmicroε τηναπόδειξη υποθέτοντας ότι ο r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγ-microατικός αριθmicroός διάϕορος του 1 Έπειτα συνεχίζουmicroε την απόδειξη microε microαθηmicroατική επα-γωγή στο n αρχίζοντας microε το n = 0 Στο αρχικό βήmicroα πρέπει να δείξουmicroε ότι η P(0) είναιαληθής δηλαδή να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 0 Οπότε αντικαθιστούmicroε0 για κάθε n στην P(n)

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1 larr αρχική (P(0))

Στο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής δηλαδή υποθέτουmicroε ότι ηιδιότητα είναι αληθής για n = k Οπότε αντικαθιστούmicroε k για κάθε n στην P(n)

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Μετά δείχνουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής δηλαδή δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αλη-θής για n = k + 1 Έτσι αντικαθιστούmicroε k + 1 για κάθε n στην P(n)

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1

ή εναλλακτικά

k+1sumi=0

r i =rk+2 minus 1

r minus 1sdot larr για να δείξουmicroε την (P(k + 1))

Θεώρηmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό r εκτός του 1 και για κάθε ακέραιο n ge 0

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Απόδειξη

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Υποθέτουmicroε ότι το r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγmicroατικόςαριθmicroός διάϕορος του 1 Πρέπει να δείξουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους n ge 0

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 245

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Θα το δείξουmicroε microε microαθηmicroατική επαγωγή στο n

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0 Για n = 0 πρέπει να δείξουmicroε ότι

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1

Το αριστερό σκέλος αυτής της εξίσωσης είναι το r0 = 1 Το δεξιό σκέλος είναι

r1 minus 1

r minus 1=r minus 1

r minus 1= 1

ξανά αϕού r1 = r και r ne 1 [Οπότε η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0]

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 0 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1είναι αληϑής όταν ένας αϰέραιος k ge 0

αντιϰατασταϑεί στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 για k ge 0 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση]

[Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1 422

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος αυτής της εξίσωσης ισούται microε το δεξιό]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (422) είναι το

k+1sumi=0

r i =ksumi=0

r i + rk+1 γράϕουmicroε τον (k + 1) όρο ξεχωριστά απότους πρώτους k όρους

=rk+1 minus 1

r minus 1+ rk+1 microε αντικατάσταση από

την επαγωγική υπόθεση

=rk+1 minus 1

r minus 1+rk+1(r minus 1)

r minus 1

πολλαπλασιάζουmicroε τον αριθmicroητή και τονπαρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε (r minus 1)για να έχουmicroε κοινό παρονοmicroαστή

=(rk+1 minus 1) + rk+1(r minus 1)

r minus 1πρόσθεση κλασmicroάτων

=rk+1 minus 1 + rk+2 minus rk+1

r minus 1πολλαπλασιασmicroός και χρήση του

rk+1 sdot r = rk+1 sdot r1 = rk+2

=rk+2 minus 1

r minus 1διαγραϕή των rk+1

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (4 2 2) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

Πρόλογος 13

στική που αποτελούν τη βάση της microαθηmicroατικής σκέψης Για πολλά χρόνια δίδασκα έναιδιαίτερα διαδραστικό microάθηmicroα microετάβασης στα αϕηρηmicroένα microαθηmicroατικά σε ϕοιτητές τωνmicroαθηmicroατικών και της επιστήmicroης των υπολογιστών Αυτή η εmicroπειρία microου έδειξε ότι αν καιείναι εϕικτό να διδάξεις τους περισσότερους ϕοιτητές να καταλαβαίνουν και να κατα-σκευάζουν σαϕή microαθηmicroατικά επιχειρήmicroατα υπάρχουν κάποια εmicroπόδια που είναι δύσκολονα ξεπεραστούν Για να είναι αποτελεσmicroατικό το βιβλίο ενός τέτοιου microαθήmicroατος πρέπεινα ασχολείται αρκετά microε τις δυσκολίες του ϕοιτητή στη λογική και στη γλώσσα microε άmicroεσοτρόπο Πρέπει επίσης να περιέχει πολλά σαϕή παραδείγmicroατα και ασκήσεις για να δώσει τηδυνατότητα στους ϕοιτητές να αναπτύξουν τα απαραίτητα νοητικά microοντέλα που θα τουςεπιτρέψουν να κατανοήσουν πιο αϕηρηmicroένα προβλήmicroατα Η αντιmicroετώπιση της λογικήςκαι της απόδειξης σε αυτό το βιβλίο συνδυάζει κοινή λογική και αυστηρή προσέγγιση microεένα τρόπο που εξηγεί τα ουσιώδη χωρίς να κουράζει τους ϕοιτητές microε τεχνικές λεπτοmicroέ-ρειες

Ελικοειδής προσέγγιση στην ανάπτυξη των εννοιών Ένας αριθmicroός από έννοιες σε αυτότο βιβλίο εmicroϕανίζεται microε ολοένα και πιο σύνθετες microορϕές στα διαδοχικά κεϕάλαια γιανα βοηθήσει τους ϕοιτητές να αναπτύξουν επίπεδα αϕαίρεσης Για παράδειγmicroα microέχρι νασυναντήσουν το σχετικά προχωρηmicroένο θέmicroα του microικρού θεωρήmicroατος του Fermat και τουκινέζικου θεωρήmicroατος υπολοίπου στην Ενότητα 104 θα έχουν ήδη εισαχθεί στη microαθη-microατική λογική στα Κεϕάλαια 1 και 2 θα έχουν microάθει τις βασικές microεθόδους της απόδειξηςκαι τις έννοιεςmod και div στο Κεϕάλαιο 3 θα έχουν microελετήσει τις διαmicroερίσεις ακεραίωνστο Κεϕάλαιο 5 θα έχουν θεωρήσει τιςmod και div ως συναρτήσεις στο Κεϕάλαιο 7 καιθα έχουν εξοικειωθεί microε τις σχέσεις ισοδυναmicroίας στις Ενότητες 102 και 103 Αυτή η προ-σέγγιση ανακεϕαλαιώνει τα θέmicroατα και αναπτύσσει τη microαθηmicroατική ωριmicroότητα microε ϕυσικότρόπο

Υποστήριξη για τους φοιτητές Οι ϕοιτητές οπωσδήποτε πρέπει να microάθουν πολλά πράγ-microατα microόνοι τους Μαθαίνοντας να microελετούν microόνοι τους κάτι που συχνά είναι δύσκολοπραγmicroατοποιούν ένα σηmicroαντικό βήmicroα προς την εξασϕάλιση microιας επιτυχηmicroένης επαγγελ-microατικής καριέρας Αυτό το βιβλίο διαθέτει ορισmicroένα χαρακτηριστικά που θα βοηθήσουντους ϕοιτητές να microάθουν να διαβάζουν microόνοι τους

Λυmicroένα παραδείγmicroαταΤο βιβλίο περιέχει περισσότερα από 500 λυmicroένα παραδείγmicroατα που είναι γραmicromicroένασε microορϕή εκϕώνησης-λύσης και είναι ανάλογα τόσο σε περιεχόmicroενο όσο και σε δυ-σκολία microε τις ασκήσεις Πολλές λύσεις προβληmicroάτων microε αποδείξεις έχουν γραϕεί σεδύο στάδια πρώτα εξετάζεται ο τρόπος microε τον οποίο είναι δυνατό να πραγmicroατοποιη-θεί η απόδειξη ή η ανασκευή και microετά παρατίθεται η περίληψη της λύσης microέσα σε έναπλαίσιο Αυτός ο τρόπος επιτρέπει στους ϕοιτητές να διαβάσουν το πρόβληmicroα και ανθέλουν να περάσουν κατευθείαν στην περίληψη ή αν δεν κατανοούν την περίληψηνα επιστρέψουν στη συζήτηση Αυτός ο τρόπος εξοικονοmicroεί χρόνο για τους ϕοιτητέςπου ξαναδιαβάζουν το κείmicroενο κατά την προετοιmicroασία τους για τις εξετάσεις

ΑσκήσειςΤο βιβλίο περιέχει περίπου 2500 ασκήσεις Οι ασκήσεις στο τέλος κάθε ενότητας έ-χουν σχεδιαστεί ώστε οι ϕοιτητές διαϕορετικών κλάδων και ποικίλων δυνατοτήτωννα microπορούν να βρούν κάποιες ασκήσεις που θα έχουν τη δυνατότητα να λύσουν σω-στά και κάποιες άλλες που θα τους δυσκολέψουν

Λύσεις ασκήσεωνΤοΠαράρτηmicroα Β περιέχει ένα microεγάλο αριθmicroό πλήρως λυmicroένων ασκήσεων Οι ϕοιτητέςκαλό θα ήταν να συmicroβουλεύονται τις λύσεις αϕού πρώτα έχουν καταβάλει κάθε προ-σπάθεια να λύσουν τις ασκήσεις microόνοι τους Αν προσπαθήσουν πρώτα microόνοι τους καιmicroετά συγκρίνουν τη δική τους λύση microε αυτή που δίνεται θα οδηγηθούν σε καλύτεροεπίπεδο κατανόησης Επιπλέον πολλά προβλήmicroατα συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων microερικώναπό τα πιο δύσκολα δεν έχουν λυθεί πλήρως ή περιλαmicroβάνουν υποδείξεις ώστε οιϕοιτητές να microπορούν να επαληθεύσουν αν ο συλλογισmicroός τους είναι σωστός και να

14 Πρόλογος

κάνουν τις κατάλληλες προσαρmicroογές Επίσης υπάρχουν πολλές ασκήσεις χωρίς λύσηώστε να microάθουν οι ϕοιτητές να ασχολούνται microε προβλήmicroατα σε ρεαλιστικό πλαίσιοεργασίας

Σχήmicroατα και πίνακεςΤα σχήmicroατα και οι πίνακες έχουν προστεθεί σε σηmicroεία που θεωρήσαmicroε ότι θα βοηθή-σουν τον αναγνώστη να κατανοήσει καλύτερα το πρόβληmicroα Στα περισσότερα σχήmicroα-τα γίνεται χρήση και δεύτερου χρώmicroατος για να γίνουν ακόmicroα πιο κατανοητά

ΑναϕορέςΠολλοί ϕοιτητές microού έχουν γράψει ότι το βιβλίο τούς βοήθησε πολύ στα πιο προχω-ρηmicroένα microαθήmicroατα που πήραν στη συνέχεια των σπουδών τους Ένας microου έγραψε ότιχρησιmicroοποίησε την πρώτη έκδοση τόσο πολύ ώστε το βιβλίο διαλύθηκε και αναγκά-στηκε να αγοράσει και τη δεύτερη έκδοση την οποία συνέχισε να χρησιmicroοποιεί καιστο microεταπτυχιακό του Η τακτική microου να τοποθετώ τους ορισmicroούς και τα θεωρήmicroατασε πλαίσια να βάζω τίτλους στις ασκήσεις και να παρέχω λίστες microε τύπους και τις ση-microασίες των συmicroβόλων στα εσώϕυλλα κάνει το βιβλίο εύχρηστο τόσο για microελέτη όσοκαι αργότερα ως βιβλίο αναϕοράς

Υποστήριξη τουκαθηγητή Έχω λάβει πλήθος πολύτιmicroων παρατηρήσεων από καθηγητέςπου έχουν χρησιmicroοποιήσει προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Το βιβλίο έχει βελτιωθείσηmicroαντικά λόγω αυτών των παρατηρήσεων

ΑσκήσειςΗ microεγάλη ποικιλία ασκήσεων όλων των επιπέδων δυσκολίας δίνει στους καθηγητέςmicroεγάλη ελευθερία να οργανώσουν το microάθηmicroά τους ανάλογα microε τις δυνατότητες τωνϕοιτητών τους Οι ασκήσεις microε λύσεις στο τέλος του βιβλίου έχουν γαλάζια αρίθmicroη-ση ενώ εκείνες που οι λύσεις τους παρέχονται σε διαϕορετικό εγχειρίδιο (εγχειρίδιολύσεων) έχουν αριθmicroούς που είναι πολλαπλάσια του τρία Υπάρχουν ασκήσεις κάθετύπου που δεν έχουν απάντηση ούτε σε αυτό το βιβλίο ούτε στο εγχειρίδιο λύσεωνώστε οι καθηγητές να είναι σε θέση να χρησιmicroοποιούν οποιονδήποτε συνδυασmicroό α-σκήσεων microε ή χωρίς λύσεις Ο microεγάλος αριθmicroός ασκήσεων παρέχει στους καθηγητέςσηmicroαντικές δυνατότητες επιλογής προβληmicroάτων για χρήση τόσο σε εξετάσεις όσο καισε επαναληπτικά microαθήmicroατα Οι καθηγητές θα πρέπει να προτιmicroούν τις ασκήσεις πουδιατυπώνονται microε τη microορϕή ερωτήσεων αντί εκείνων που ζητούν να laquoαποδειχθεί ότιraquoώστε να ενθαρρύνεται η συζήτηση στην τάξη σχετικά microε το ρόλο της απόδειξης καιτου αντιπαραδείγmicroατος στην επίλυση προβληmicroάτων

Ελαστικές ενότητεςΟι περισσότερες ενότητες χωρίζονται σε υποενότητες ώστε όταν ο καθηγητής πιέζε-ται από το χρόνο να microπορεί να παραλείψει συγκεκριmicroένες ενότητες ή να τις αϕήσει νατις διαβάσουν microόνοι τους οι ϕοιτητές Ο χωρισmicroός σε υποενότητες βοηθάει τον διδά-σκοντα να χωρίσει σε τmicroήmicroατα microια ενότητα στην περίπτωση που θέλει να αϕιερώσειπερισσότερα από ένα microαθήmicroατα γιrsquo αυτή

Παρουσίαση των αποδεικτικών microεθόδωνΕίναι αναπόϕευκτο οι αποδείξεις και ανασκευές σε αυτό το βιβλίο να ϕαίνονται πολύεύκολες στους καθηγητές Πολλοί ϕοιτητές όmicroως τις βρίσκουν δύσκολες Σε αυτό τοβιβλίο επιχειρώ να δείξω στους ϕοιτητές τον τρόπο σύνταξης και δόmicroησης αποδείξε-ων και ανασκευών περιγράϕοντας τα είδη των προσεγγίσεων που χρησιmicroοποιούν οιmicroαθηmicroατικοί όταν αντιmicroετωπίζουν δύσκολα προβλήmicroατα στην έρευνά τους

Βιβλίο καθηγητήΤο βιβλίο καθηγητή είναι διαθέσιmicroο σε οποιονδήποτε διδάσκει χρησιmicroοποιώντας τοπαρόν βιβλίο Το βιλίο καθηγητή περιέχει προτάσεις για τον τρόπο προσέγγισης τηςύλης κάθε κεϕαλαίου λύσεις για όλες τις ασκήσεις που δεν λύνονται πλήρως στο Πα-ράρτηmicroαΒ διαϕάνειες επαναληπτικό υλικό ιδέες για εργασίες και επιπλέον ασκήσεις

Πρόλογος 15

Τα νέα χαρακτηριστικά της τρίτης έκδοσης

Οι αλλαγές που έγιναν σε αυτή την έκδοση βασίστηκαν σε προτάσεις συναδέλϕων καιάλλων αναγνωστών της πρώτης και της δεύτερης έκδοσης και στη συνεχιζόmicroενη επαϕήmicroε ϕοιτητές microαθηmicroατικών και επιστήmicroης των υπολογιστών

Βελτιωmicroένη παιδαγωγική προσέγγιση

bull Ο αριθmicroός των ασκήσεων αυξήθηκε στις 2500 περίπου Προστέθηκαν περίπου 980νέες ασκήσεις

bull Προστέθηκαν ασκήσεις στα θέmicroατα στα οποία υπήρχε microεγαλύτερη ανάγκη για εξά-σκηση και τροποποιήθηκαν κατάλληλα ώστε να ληϕθούν καλύτερα υπόψη οι δυ-σκολίες των ϕοιτητών

bull Στο Παράρτηmicroα Β προστέθηκαν περισσότερες πλήρεις λύσεις ώστε να βοηθηθούνοι ϕοιτητές στα δύσκολα θέmicroατα

bull Ο τρόπος παρουσίασης των θεmicroάτων επανεξετάστηκε σε όλο το βιβλίο και όπουκρίθηκε σκόπιmicroο αναθεωρήθηκε

bull Έγινε προσεκτική δουλειά για να βελτιωθεί η microορϕή και η παρουσίαση του κειmicroένου

bull Επεκτάθηκαν οι συζητήσεις για ιστορικά θέmicroατα και πρόσϕατα αποτελέσmicroατα καιαυξήθηκαν οι ϕωτογραϕίες των επιστηmicroόνων των οποίων η δουλειά παρουσιάζεταιστο βιβλίο

Λογική

bull Η παρουσίαση των ποσοδεικτών έχει επεκταθεί σηmicroαντικά microε την προσθήκη microιαςνέας ενότητας αϕιερωmicroένης αποκλειστικά στους πολλαπλούς ποσοδείκτες

bull Προστέθηκαν ασκήσεις που χρησιmicroοποιούν τονΚόσmicroο τουTarski ένα υπέροχο παι-δαγωγικό εργαλείο που αναπτύχθηκε από τους Jon Barwise και John Etchemendyτου Πανεπιστηmicroίου του Stanford

bull Προστέθηκαν εϕαρmicroογές για την αναζήτηση στο ∆ιαδίκτυο

bull Απλοποιήθηκαν οι όροι διαϕόρων microορϕών συλλογισmicroών

Εισαγωγή στην απόδειξη

bull Επεκτάθηκαν οι οδηγίες συγγραϕής αποδείξεων

bull Οι περιγραϕές microεθόδων αποδείξεων γράϕτηκαν microε σαϕέστερο τρόπο

bull Οι ασκήσεις έχουν επανελεγχθεί και κάποιες έχουν microεταϕερθεί σε άλλο σηmicroείο ώστενα διευκολυνθεί η κατανόηση από τους ϕοιτητές

Επαγωγή και επανάληψη

bull Βελτιώθηκε η σκιαγράϕηση των αποδείξεων microε microαθηmicroατική επαγωγή

bull Οι υποενότητες της ενότητας των ακολουθιών οργανώθηκαν εκ νέου

bull Οι οmicroάδες ασκήσεων των ενοτήτων της ισχυρής microαθηmicroατικής επαγωγής και της κα-λής διάταξης και των επαγωγικώνεπαναληπτικών ορισmicroών επεκτάθηκαν σηmicroαντι-κά

Θεωρία αριθmicroών

bull Προστέθηκε microια υποενότητα ανοιχτών προβληmicroάτων στη θεωρία αριθmicroών και επε-κτάθηκε η συζήτηση για τις πρόσϕατες εξελίξεις

bull Προστέθηκε microια νέα ενότητα στην αριθmicroητική υπολοίπων και στην κρυπτογραϕίαΠεριλαmicroβάνεται microια συζήτηση για την κρυπτογραϕία RSA το microικρό θεώρηmicroα τουFermat και το κινέζικο θεώρηmicroα υπολοίπου

bull Η συζήτηση για τον έλεγχο αν ένας ακέραιος είναι πρώτος microεταϕέρθηκε αργότεραστο Κεϕάλαιο 3 για να γίνει σαϕής η εξάρτησή του από την έmicromicroεση επιχειρηmicroατο-λογία

16 Πρόλογος

Θεωρία συνόλων

bull ΟΙ ιδιότητες του κενού συνόλου παρουσιάζονται πλέον στην πρώτη ενότητα τουΚεϕαλαίου 5

bull Ηδεύτερη ενότητα του Κεϕαλαίου 5 είναι πλέον αϕιερωmicroένη αποκλειστικά σε απο-δείξεις στοιχείων

bull Οι αλγεβρικές αποδείξεις των συνολοθεωρητικών ιδιοτήτων και η χρήση αντιπαρα-δειγmicroάτων στην ανασκευή ιδιοτήτων συνόλων έχουν microεταϕερθεί στην τρίτη ενότητατου Κεϕαλαίου 5

bull Η παρουσίαση των αλγεβρών Boole έχει επεκταθεί και επισηmicroαίνεται η σχέση ανά-microεσα στις λογικές ισοδυναmicroίες τις ιδιότητες συνόλων και τις άλγεβρες Boole

Συνδυαστική και διακριτές πιθανότητες

bull Προστέθηκαν ασκήσεις στην ενότητα του διωνυmicroικού θεωρήmicroατος

bull Προστέθηκαν δύο νέες ενότητες στις πιθανότητες όπου microεταξύ άλλων καλύπτονταιη αναmicroενόmicroενη τιmicroή η δεσmicroευmicroένη πιθανότητα και η ανεξαρτησία και το θεώρηmicroαBayes

bull Εξηγούνται οι συνδυαστικές πτυχές των διευθύνσεων του διαδικτυακού πρωτοκόλ-λου (Internet Protocol IP)

Συναρτήσεις

bull Οι ασκήσεις για ένα προς ένα και επί συναρτήσεις έχουν βελτιωθεί

bull Έχει επεκταθεί το σύνολο των ασκήσεων στην πληθικότητα microε εϕαρmicroογές στην υ-πολογισιmicroότητα

Αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων

bull Οι Ενότητες 92 και 94 επανεξετάστηκαν και προστέθηκαν οι συmicroβολισmicroοίΘ καιΩ

bull Οι Ενότητες 93 και 95 έχουν αναθεωρηθεί αντίστοιχα microε καλύτερη επεξήγηση τηςέννοιας της διάταξης για έναν αλγόριθmicroο

bull Ηεξέταση της ταξινόmicroησης microε εισαγωγήκαι της ταξινόmicroησης microε επιλογή βελτιώθηκεκαι επεκτάθηκε

Κανονικές εκϕράσεις και αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων

bull Οι προηγούmicroενες διάσπαρτες ενότητες για τις τυπικές γλώσσες και τα αυτόmicroαταπεπερασmicroένων καταστάσεων συνενώθηκαν σε ένα αυτόνοmicroο κεϕάλαιο

bull Προστέθηκε microια νέα ενότητα για τις κανονικές εκϕράσεις καθώς και microια συζήτησηγια τη σχέση ανάmicroεσα στις κανονικές εκϕράσεις και στα αυτόmicroατα πεπερασmicroένωνκαταστάσεων

Ιστοσελίδα

∆ηmicroιουργήθηκε microια ιστοσελίδα γιrsquo αυτό το βιβλίο που περιέχει πληροϕορίες και υλικότόσο για τους ϕοιτητές όσο και για τους διδάσκοντες Περιέχει

bull περιγραϕές και συνδέσmicroους σε πολλές σελίδες στο ∆ιαδίκτυο microε προσβάσιmicroες πλη-ροϕορίες σχετικά microε τα διακριτά microαθηmicroατικά

bull συνδέσmicroους σε microικροεϕαρmicroογές που παρουσιάζουν ή προσϕέρουν εξάσκηση σε θέ-microατα διακριτών microαθηmicroατικών

bull πρόσθετα παραδείγmicroατα και ασκήσεις microε λύσεις

bull οδηγούς επανάληψης για τα κεϕάλαια του βιβλίου

Μια ειδική ενότητα για τους διδάσκοντες περιέχει

bull διαϕάνειες και ηλεκτρονικές διαϕάνειες σε αρχεία τύπου PowerPoint

bull επιπλέον ασκήσεις για εξετάσεις

Πρόλογος 17

Οδηγός για τη χρήση του βιβλίου microε τις λύσεις

Κατά τη συγγραϕή αυτού του βιβλίου προσπάθησα να δώσω αρκετή βοήθεια στους ϕοι-τητές microέσω της παρουσίασης της ύλης των λυmicroένων παραδειγmicroάτων και των λύσεων τωνασκήσεων ώστε να έχουν στη διάθεσή τους ότι χρειάζεται για την πλήρη κατανόηση τουmicroαθήmicroατος Πιστεύω ότι οι ϕοιτητές που θα ολοκληρώσουν τη microελέτη αυτού του βιβλίουκαι θα κατάϕερουν να λύσουν microόνοι τους όλες τις ασκήσεις που έχουν λυθεί στο Παράρ-τηmicroα Β θα κατανοήσουν πολύ καλά το αντικείmicroενο Όmicroως γνωρίζω ότι κάποιοι ϕοιτητέςθα θέλουν να έχουν πρόσβαση σε επιπλέον βοηθητικό υλικό Γιrsquo αυτόν το λόγο έχω γρά-ψει τον οδηγό λύσεων και microελέτης για το ϕοιτητή που διατίθεται ξεχωριστά από αυτότο βιβλίο και περιέχει τις πλήρεις λύσεις των ασκήσεων οι οποίες δεν είναι πλήρως λυmicroέ-νες στο Παράρτηmicroα Β και που ο αριθmicroός τους διαιρείται microε το 3 Αυτός ο οδηγός περιέχειεναλλακτικές επεξηγήσεις για κάποιες έννοιες και ερωτήσεις επανάληψης για κάθε κεϕά-λαιο

Οργάνωση του βιβλίου

Αυτό το βιβλίο microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί αποτελεσmicroατικά για ένα microάθηmicroα ενός ή δύοεξαmicroήνων Κάθε κεϕάλαιο περιέχει κύριες ενότητες ενότητες microε προαιρετικό υλικό καιενότητες microε προαιρετικές εϕαρmicroογές Οι διδάσκοντες έχουν την άνεση να επιλέξουν ό-ποιο υποσύνολο θεωρούν ότι ταιριάζει καλύτερα microε το microάθηmicroα και τους ϕοιτητές τους Οακόλουθος πίνακας δείχνει τη διαίρεση των ενοτήτων σε κατηγορίες

Ενότητες microε προαιρετικό Ενότητες microε προαιρετικές

Κεϕάλαιο Κύρια ενότητα microαθηmicroατικό υλικό εϕαρmicroογές στους υπολογιστές

1 11ndash13 14 15

2 21ndash24 22 23 23

3 31ndash34 36 35 37 38

4 41ndash42 43ndash44 45

5 51 52ndash54 54

6 61ndash64 65ndash69 63

7 71ndash72 73ndash75 71 72 75

8 81 82 83 84 84

9 91 92 94 93 95

10 101ndash103 104 105 104 105

11 111 115 112 113 114 111 112 115 116

12 121 122 123 121ndash123

Το δενδροειδές διάγραmicromicroα που ακολουθεί δείχνει κατά προσέγγιση την αλληλοεξάρ-τηση των κεϕαλαίων Τα κεϕάλαια που βρίσκονται σε διαϕορετικά κλαδιά του δέντρουείναι αρκετά ανεξάρτητα ώστε οι διδάσκοντες να microη χρειάζεται να κάνουν σηmicroαντικέςπροσαρmicroογές αν τα προσπεράσουν και απλώς ακολουθήσουν τις διαδροmicroές κατά microήκοςτων κλαδιών του δέντρου

18 Πρόλογος

1

2

33

4

8

12dagger

11

5

7

9

6 10

lowast dagger

Ευχαριστίες

Χρωστάω ένα microεγάλο ευχαριστώ σε πολλούς ανθρώπους στο Πανεπιστήmicroιο του DePaulγια την υποστήριξή τους όλα αυτά τα χρόνια που δούλευα πάνω στις εκδόσεις αυτού τουβιβλίου Κάποιοι συνάδελϕοι χρησιmicroοποίησαν πρώιmicroες microορϕές και προηγούmicroενες εκδό-σεις του βιβλίου και microου έκαναν εξαιρετικά σχόλια για βελτιώσεις Γιrsquo αυτό ευχαριστώτους Louis Aquila J Marshall Ash Allan Berele Jerey Bergen William Chin BarbaraCortzen Constantine Georgakis Sigrun Goes Jerry Goldman Lawrence Gluck LeonidKrop CarolynNarasimhanWalter Pranger Eric Rieders Ayse Sahin Yuen-FatWong καιειδικότερα την Jeanne LaDuke Οι χιλιάδες ϕοιτητές στους οποίους δίδαξα διακριτά microα-θηmicroατικά είχαν σηmicroαντικότατη επίδραση στη microορϕή του βιβλίου Μοιράζοντας τις σκέ-ψεις τους και τους τρόπους σκέψης τους microαζί microου microε δίδαξαν πώς να διδάσκω καλύτε-ρα Τους οϕείλω ευγνωmicroοσύνη για τη βοήθειά τους Ιδιαίτερες ευχαριστίες οϕείλω στηδιοίκηση του Πανεπιστηmicroίου τουDePaul ιδιαίτερα στον ΚοσmicroήτοραMichael Mezey καιστον πρώην Κοσmicroήτορα Richard Meister που θεώρησαν αξιόλογη ακαδηmicroαϊκή εργασίατη συγγραϕή αυτού του βιβλίου

Ευχαριστώ τους διορθωτές για τις πολύτιmicroες παρατηρήσεις τους γιrsquo αυτή την έκδοσητου βιβλίου τους Pablo Echeverria του Camden County College William Gasarch τουUniversity of Maryland Joseph Kolibal του University of Southern Mississippi Benny Loτου International Technological University George Luger του University of New MexicoNorman Richert τουUniversity of Houston-Clear Lake PeterWilliams τουCalifornia Sta-te University at San Bernardino και τον Jay Zimmerman του Towson University Για τηβοήθειά τους στην πρώτη και δεύτερη έκδοση αυτού του βιβλίου είmicroαι ευγνώmicroων στουςItshak Borosh Texas A ampMUniversity Douglas M Campbell Brigham Young UniversityDavid G Cantor University of California at Los Angeles C Patrick Collier Universityof Wisconsin-Oshkosh Kevan H Croteau Francis Marion University Irinel Drogan Uni-versity of Texas at Arlington Henry A Etlinger Rochester Institute of Technology MelvinJ Friske Wisconsin Lutheran College Ladnor Geissinger University of North CarolinaJerrold R Griggs University of South Carolina Nancy Baxter Hastings Dickinson Colle-ge Lillian Hupert Loyola University Chicago Leonard T Malinowski Finger Lakes Com-munity College John F Morrison Towson State Unviersity Paul Pederson University ofDenver George Peck Arizona State University Roxy Peck California Polytechnic StateUniversity San Luis Obispo Dix Pettey University of Missouri Anthony Ralston State U-niversity of NewYork at Bualo John Roberts University of Louisville καιGeorge Schultz

lowastΟι διδάσκοντες που προτιmicroούν να ορίσουν τη συνάρτηση ως διmicroελή σχέση microπορούν να καλύψουντην Ενότητα 101 πριν την Ενότητα 71daggerΗ Ενότητα 103 χρειάζεται για την Ενότητα 123 αλλά όχι για τις Ενότητες 121 και 122

Πρόλογος 19

St Petersburg Junior College Clearwater Πολλές ευχαριστίες οϕείλω επίσης στους JohnCarroll San Diego State University Dr Joseph S Fulda και Porter G Webster Universityof Southern Mississippi για την απίστευτη επιmicroέλειά τους και την ενθάρρυνση που microουέδωσαν

Επίσης ωϕελήθηκα πάρα πολύ από τις παρατηρήσεις πολλών διδασκόντων που microουπρόσϕεραν γενναιόδωρα τις ιδέες τους για βελτιώσεις βασισmicroένες στις εmicroπειρίες τους α-πό τις προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Είmicroαι ιδιαίτερα ευγνώmicroων στους GoldstinePennsylvania State University David Hecker St Josephrsquos University Tom Jenkyns BrockUniversity Robert Messer Albion College Piotr Rudnicki University of Alberta AnwarShiek Dineacute College Norton Starr Amherst College Είχα επίσης εξαίρετη βοήθεια απότους John Banks Christopher Novak DePaul University και Ian Crewe Ascension Colle-giate School κατά τη διάρκεια της παραγωγής του βιβλίου

Χρωστώ ευγνωmicroοσύνη σε πολλούς ανθρώπους στις εταιρείες Wadsworth and Bro-oksCole Publishing ιδιαίτερα τον εκδότη microου Robert Pirtle για την ικανότητά του ναπραγmicroατοποιεί καλά πράγmicroατα ως δια microαγείας τους προηγούmicroενους εκδότες microου Hea-ther Bennett και Barbara Holland για την ενθάρρυνση και τον ενθουσιασmicroό τους και τηδιευθύντρια παραγωγής Janet Hill για την κατανόησή της και την προθυmicroία της να microουεπιτρέψει να έχω ρόλο σε όλα τα στάδια της παραγωγής ∆εν microπορώ να ϕανταστώ κα-λύτερη διευθύντρια παραγωγής από τη Martha Emry της οποίας τα υψηλής ποιότηταςπρότυπα και η προσοχή της στις λεπτοmicroέρειες ήταν πάντα εmicroπνευσmicroένες Ο σχεδιασmicroόςτης Kathleen Cunningham και η ϕωτοσύνθεση από την Techsetters Inc θα εκτιmicroηθούναπό όλους τους αναγνώστες του βιβλίου

Όσο microεγαλώνω τόσο συνειδητοποιώ το τεράστιο χρέος που οϕείλω στους δικούς microουδασκάλους των microαθηmicroατικών που διαmicroόρϕωσαν τον τρόπο microε τον οποίο βλέπω το αντι-κείmicroενο Τα πρώτα microου ευχαριστώ πρέπει να πάνε στο σύζυγό microουHelmut Epp ο οποίοςσε ένα ραντεβού όταν ακόmicroα ήmicroουν στο Γυmicroνάσιο () microε εισήγαγε στη δύναmicroη και τηνοmicroορϕιά των αξιωmicroάτων των microαθηmicroατικών και την άποψη ότι τα microαθηmicroατικά είναι ένααντικείmicroενο τόσο microε ιδέες όσο και microε τύπους και τεχνικές Όσον αϕορά την εκπαίδευ-σή microου είmicroαι ευγνώmicroων στους Daniel Zelinsky και Ky Fan του Northwestern Universityκαι Izaak Wirszup I N Herstein και Irving Kaplansky του University of Chicago που ό-λοι τους ο καθένας microε το δικό του τρόπο microε βοήθησαν να εκτιmicroήσω την κοmicroψότητα καιαυστηρότητα των microαθηmicroατικών αλλά και τη συγκίνηση που προκαλούν

Στην οικογένειά microου χρωστάω ευχαριστίες πέρα από κάθε όριο Είmicroαι ευγνώmicroων στηmicroητέρα microου που το ευγενικό ενδιαϕέρον της για τα έργα της ανθρώπινης διανόησης microεέβαλαν πριν πολλά χρόνια στο δρόmicroο που οδήγησε σε αυτό το βιβλίο και στον εκλιπόνταπατέρα microου που η αϕοσίωσή του στα βιβλία ήταν σταθερή πηγή έmicroπνευσης Ευχαριστώ ταπαιδιά microου και τα εγγόνια microου για την αγάπη τους και την αποδοχή των απαιτήσεων πουεπέβαλλε η συγγραϕή αυτού του βιβλίου στη ζωή microου Και περισσότερο από κάθε άλλονείναι ευγνώmicroωνστο σύζυγό microου που για πολλά χρόνια microε ενθάρρυνε microε την πίστη του στηναξία αυτής της εργασίας και microε υποστήριξε microε την αγάπη του και τις σοϕές συmicroβουλές του

Susanna Epp

236 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

62 Υποθέστε ότι το a[1] a[2] a[3] a[m] είναι διάνυσmicroακαι θεωρήστε το ακόλουθο τmicroήmicroα αλγορίθmicroου

sum ∶= 0for k ∶= 1 to m

sum ∶= sum + a[k]next k

Συmicroπληρώστε τα κενά παρακάτω ώστε κάθε τmicroήmicroα του αλ-γορίθmicroου να κάνει την ίδια δουλειά microε το παραπάνω

α sum ∶= 0for i ∶= 0 to

sum ∶=next i

β sum ∶= 0for j ∶= 2 to

sum ∶=next j

Χρησιmicroοποιήστε διαδοχικές διαιρέσεις microε το 2 για να microετατρέ-ψετε (microε το χέρι) τους ακεραίους των Ασκήσεων 63ndash65 από τηβάση 10 στη βάση 2

63 90 64 98 65 205

Κατασκευάστε έναν πίνακα για να καταγράψετε όλα τα βήmicroατατου Αλγορίθmicroου 411 microε είσοδο τις Ασκήσεις 66ndash68

66 23 67 28 68 44

69 Γράψτε microια microη τυπική περιγραϕή αλγορίθmicroου (χρησιmicroοποιώ-ντας διαδοχικές διαιρέσεις microε το 16) για να microετατρέψετε έναmicroη αρνητικό ακέραιο από το δεκαδικό στο δεκαεξαδικό σύ-στηmicroα (microε βάση το 16)

Χρησιmicroοποιήστε τον αλγόριθmicroο που αναπτύξατε για την Άσκη-ση 69 για να microετατρέψετε τους ακεραίους των Ασκήσεων 70ndash72στο δεκαεξαδικό σύστηmicroα

70 287 71 693 72 2301

73 Γράψτε microια τυπική περιγραϕή του αλγορίθmicroου που αναπτύ-ξατε στην Άσκηση 69

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι

[Η microαϑηmicroατιϰή επαγωγή είναι] η συνήϑης αποδειϰτιϰή τεχνιϰή στην επιστήmicroη τωνυπολογιστών

mdashAnthony Ralston 1984

Ηmicroαθηmicroατική επαγωγή είναι microία από τις πιο πρόσϕατα ανεπτυγmicroένες αποδεικτικές microεθό-δους στην ιστορία των microαθηmicroατικών Χρησιmicroοποιείται για την επαλήθευση εικασιών πουαϕορούν σε αποτελέσmicroατα διαδικασιών που εmicroϕανίζονται κατrsquo επανάληψη και σύmicroϕωναmicroε καθορισmicroένα microοτίβα Θα παρουσιάσουmicroε αυτή την τεχνική microε ένα παράδειγmicroα

Μερικοί ισχυρίζονται ότι το λεπτό του αmicroερικάνικου δολαρίου είναι τόσο microικρό νόmicroι-σmicroα ώστε πρέπει να αποσυρθεί Λένε ότι αν πέσει από τα χέρια κάποιου αυτός σπανίως θασκύψει να το πάρει Άλλοι ισχυρίζονται ότι αν αποσυρθεί το λεπτό θα υπάρχουν προβλή-microατα microε την ευελιξία στον καθορισmicroό των τιmicroών των αγαθών Ποιες τιmicroές θα microπορούσαννα εξοϕληθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο στην περίπτωση απόσυρσης του λεπτού και αντι-κατάστασής του microε ένα νόmicroισmicroα αξίας 3cent Η απάντηση είναι ότι οι microόνες τιmicroές που δενθα microπορούσαν να πληρωθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο είναι οι 1cent 2cent 4cent και 7cent Με άλλαλόγια

Μπορούmicroε να πάρουmicroε οποιονδήποτε ακέραιο αριθmicroό τουλάχιστον8 λεπτών χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα των 3cent και 5cent

Ποιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 microπορούmicroε να πάρουmicroεn λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5cent

Ακόmicroα πιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 η P(n) είναι αληθής όπου P(n) είναι η πρότασηlaquomicroπορούmicroε να πάρουmicroε n λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5centraquo

Θα microπορούσατε να ελέγξετε ότι η P(n) είναι αληθής για λίγες συγκεκριmicroένες τιmicroές του nόπως κάνουmicroε στον παρακάτω πίνακα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 237

Αριθmicroός λεπτών Πώς λαmicroβάνεται

8cent 3cent + 5cent

9cent 3cent + 3cent + 3cent

10cent 5cent + 5cent

11cent 3cent + 3cent + 5cent

12cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent

13cent 3cent + 5cent + 5cent

14cent 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

15cent 5cent + 5cent + 5cent

16cent 3cent + 3cent + 5cent + 5cent

17cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

Οι περιπτώσεις που ϕαίνονται στον πίνακα microας δίνουν επαγωγικού τύπου στοιχείαγια να υποστηρίξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλα τα n Πράγmicroατι η P(n) είναι αλη-ϑής για όλα τα n ge 8 αν ϰαι microόνο αν είναι εϕιϰτό να συνεχίσουmicroε να συmicroπληρώνουmicroε τονπίναϰα για οσοδήποτε microεγάλες τιmicroές του n

Η k γραmicromicroή του πίνακα δίνει πληροϕορίες για το πώς θα πάρουmicroε kcent χρησιmicroοποιώ-ντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent Για να συνεχίσουmicroε τον πίνακα στην επόmicroενη γραmicromicroήπρέπει να δώσουmicroε οδηγίες για το πώς θα υπολογιστούν τα (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και 5cent Το microυστικό είναι να παρατηρήσουmicroε πρώτα ότι αν microπορούmicroε ναυπολογίσουmicroε kcent χρησιmicroοποιώντας τουλάχιστον ένα κέρmicroα των 5cent τότε microπορούmicroε να υ-πολογίσουmicroε (k + 1)cent αντικαθιστώντας το κέρmicroα των 5cent microε δύο κέρmicroατα των 3cent όπωςϕαίνεται στο Σχήmicroα 421

kcent (k + 1)cent

3cent 3cent5cent

Αντικατάσταση ενός κέρματος των 5cent με δύο

κέρματα των 3cent

Αφαίρεση Προσθήκη

Σχήmicroα 421

Αν από την άλλη microεριά τα kcent λαmicroβάνονται χωρίς χρήση του κέρmicroατος των 5cent τότεχρησιmicroοποιούνται microόνο κέρmicroατα των 3cent Και αϕού το σύνολο είναι τουλάχιστον 8cent πρέπεινα περιλαmicroβάνονται τρία ή περισσότερα κέρmicroατα των 3cent Για να πάρουmicroε ένα σύνολο(k + 1)cent microπορούmicroε να αντικαταστήσουmicroε τρία από τα κέρmicroατα των 3cent microε δύο των 5centόπως ϕαίνεται στο Σχήmicroα 422 της επόmicroενης σελίδας

Η δοmicroή του παραπάνω επιχειρήmicroατος microπορεί να περιγραϕεί συνοπτικά ως εξής Γιανα δείξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8 (1) δείχνουmicroε ότι ηP(8) είναι αληθής και (2) δείχνουmicroε ότι η αλήθεια της P(k + 1) προκύπτει απαραίτητααπό την αλήθεια της P(k) για κάθε k ge 8 Κάθε επιχείρηmicroα αυτής της microορϕής καλείταιεπιχείρηmicroα microαϑηmicroατιϰής επαγωγής

238 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

5cent

kcent (k + 1)cent

Προσθήκη

kcent (k + 1)cent

5cent

3cent 3cent

3cent

Αντικαθιστούμε τρίακέρματα των 3centμε δύο κέρματα

των 5cent

Αφαίρεση

5cent

Σχήmicroα 422

Η αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής

Έστω ότι η P(n) είναι microια ιδιότητα που ορίζεται για ακεραίους n και έστω ότι οa είναι ένας συγκεκριmicroένος ακέραιος Υποθέτουmicroε ότι οι ακόλουθες δυο προτάσειςείναι αληθείς

1 Η P(a) είναι αληθής2 Για όλους τους ακεραίους k ge a αν η P(k) είναι αληθής τότε και η P(k + 1) είναι

αληθής

Τότε ισχύει η πρότασηγια όλους τους ακεραίους n ge a η P(n) είναι αληθής

Η πρώτη γνωστή καταγεγραmicromicroένη microαθηmicroατική επαγωγή βρίσκεται στα γραπτά τουΙταλού επιστήmicroονα Francesco Maurolico το 1575 Την ίδια τεχνική χρησιmicroοποιούσαν κα-τά το δέκατο έβδοmicroο αιώνα και οι Pierre de Fermat και Blaise Pascal Ο Fermat ονόmicroαζετην επαγωγή laquomicroέθοδο της άπειρης καθόδουraquo (laquomethod of innite descentraquo) Το 1883 οAugustus De Morgan (γνωστός από τους κανόνες De Morgan) περιέγραψε προσεκτικάτη διαδικασία και την ονόmicroασε microαϑηmicroατιϰή επαγωγή

Για να πάρετε microια διαισθητική εικόνα για τη microαθηmicroατική επαγωγή ϕανταστείτε microιαάπειρη συλλογή από ντόmicroινο τοποθετηmicroένα το ένα πίσω από το άλλο microε τέτοιο τρόποώστε αν ένα ντόmicroινο πέσει να ρίξει και το επόmicroενο (∆είτε το Σχήmicroα 423) Φανταστείτετώρα ότι πέϕτει το πρώτο ντόmicroινο Τι θα συmicroβεί Θα πέσουν όλα

12

3

4

kk + 1

Σχήmicroα 423 Όταν πέϕτει το k ντόmicroινο ρίχνει και το (k + 1)

Για να δείτε τη σχέση ανάmicroεσα σε αυτή την εικόνα και την αρχή της microαθηmicroατικήςεπαγωγής υποθέστε ότι η P(n) είναι η πρόταση laquoτο n ντόmicroινο πέϕτειraquo Υποθέτουmicroε ότιγια κάθε k ge 1 αν η P(k) είναι αληθής (το k ντόmicroινο πέϕτει) τότε η P(k + 1) είναι επίσηςαληθής (το (k + 1) ντόmicroινο πέϕτει) Υποθέτουmicroε επίσης ότι η P(1) είναι αληθής (το πρώτοντόmicroινο πέϕτει) Έτσι από την αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής η P(n) (το n ντόmicroινοπέϕτει) είναι αληθής για κάθε n ge 1

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 239

Η ισχύς της απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή θεωρείται αξίωmicroα Γιrsquo αυτόν το λόγοαναϕερόmicroαστε σε αυτή ως αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής αντί ως θεώρηmicroα Είναι ισο-δύναmicroη microε την ακόλουθη ιδιότητα των ακεραίων που εύκολα τη δέχεται κανείς ως αληθήmicroε βάση τη διαίσθησή του

Υποθέτουmicroε ότι το S είναι οποιοδήποτε σύνολο ακεραίων που ικανοποιεί (1) a isin Sκαι (2) για όλους τους ακεραίους k αν k isin S τότε k + 1 isin S Τότε το S πρέπει ναπεριέχει κάθε ακέραιο microεγαλύτερο ή ίσο του a

Για να κατανοήσουmicroε την ισοδυναmicroία των δυο διατυπώσεων απλώς ορίζουmicroε ως S τοσύνολο όλων των ακεραίων για τους οποίους η P(n) είναι αληθής

Η απόδειξη ενός επιχειρήmicroατος microε microαθηmicroατική επαγωγή είναι microια διαδικασία δύο βη-microάτων Το πρώτο βήmicroα λέγεται αρχιϰό βήmicroα ή βήmicroα έναρξης και το δεύτερο επαγωγιϰόβήmicroα

Η microέθοδος απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή

Θεωρήστε microια πρόταση της microορϕής laquoγια όλους τους ακεραίους n ge a η ιδιότηταP(n) είναι αληθήςraquo Για να αποδείξουmicroε microια τέτοια πρόταση ακολουθούmicroε τα παρα-κάτω δύο βήmicroατα

Βήmicroα 1 (αρχικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = a

Βήmicroα 2 (επαγωγικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους k ge a αν η ιδιό-τητα είναι αληθής για n = k τότε είναι αληθής για n = k + 1 Για να πραγmicroα-τοποιήσουmicroε αυτό το βήmicroα

υποθέτουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k όπου k είναιοποιοσδήποτε συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος ακέραιοςmicroε k ge a [Αυτή η υπόϑεση ονοmicroάζεται επαγωγική υπόθεση]

Έτσι

δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k + 1

∆ίνουmicroε εδώ την τυπική απόδειξη για τα κέρmicroατα που διατυπώσαmicroε χωρίς τυπικό τρό-πο προηγουmicroένως

Πρόταση 421

Έστω ότι η P(n) είναι η ιδιότητα laquoncent microπορούν να υπολογιστούν microε κέρmicroατα των 3centκαι 5centraquo Τότε η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8

Απόδειξη

∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 8 Η ιδιότητα είναι αληθής για n = 8 ε-πειδή 8cent = 3cent + 5cent

∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 8 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής ϰαι για n = k + 1 Υποθέτουmicroε ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε kcent χρη-σιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent για κάποιο ακέραιο k ge 8 [Αυτή είναι η ε-παγωγιϰή υπόϑεση]Πρέπει να δείξουmicroε τώρα ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε και (k + 1)centχρησιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και 5cent Αν υπάρχει κέρmicroα των 5cent ανάmicroεσα σε αυτάπου απαρτίζουν τα kcent το αντικαθιστούmicroε microε δύο κέρmicroατα των 3cent το αποτέλεσmicroαθα είναι (k + 1)cent Αν δεν υπάρχει κέρmicroα των 5cent σε αυτά που απαρτίζουν τα kcent τότεπρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 3 κέρmicroατα των 3cent αϕού k ge 8 Αϕαιρούmicroε αυτά τατρία κέρmicroατα των 3cent και τα αντικαθιστούmicroε microε δύο των 5cent το αποτέλεσmicroα θα είναι(k + 1)cent Έτσι σε κάθε περίπτωση microπορούmicroε να πάρουmicroε (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και των 5cent [όπως έπρεπε να δειχϑεί]

240 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Το ακόλουθο παράδειγmicroα δείχνει πώς χρησιmicroοποιούmicroε τη microαθηmicroατική επαγωγή γιανα αποδείξουmicroε έναν τύπο που δίνει το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Παράδειγmicroα 421 Άθροισmicroα των n πρώτων ακεραίων

Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να αποδείξετε ότι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2για όλους τους ακεραίους n ge 1

Λύση Για να κατασκευάσετε microια απόδειξη microε επαγωγή πρέπει πρώτα να βρείτε ποια είναι ηιδιότητα P(n) Σε αυτή την περίπτωση η P(n) είναι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2 larr η ιδιότητα (P(n))

[Για να δείτε ότι η P(n) είναι microια πρόταση παρατηρήστε ότι το αντιϰείmicroενό της είναι laquoτοάϑροισmicroα των αϰεραίων από το 1 microέχρι το nraquo ϰαι το ρήmicroα της είναι το laquoισούταιraquo]

Στο αρχικό βήmicroα της απόδειξης πρέπει να δείξετε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 1ή microε άλλα λόγια ότι η P(1) είναι αληθής Τώρα για να βρούmicroε την P(1) αντικαθιστούmicroε1 στη θέση του n στην P(n) Το αριστερό σκέλος της P(1) είναι το άθροισmicroα όλων τωνδιαδοχικών ακεραίων που ξεκινούν microε το 1 και τελειώνουν στο 1 Αυτό είναι απλώς το 1Έτσι η P(1) είναι η

1 =1(1 + 1)

2 larr αρχική (P(1))

Φυσικά αυτή η εξίσωση είναι αληθής διότι το δεξιό σκέλος είναι

1(1 + 1)2

=1 sdot 2

2= 1

που ισούται microε το αριστερό σκέλοςΣτο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής για κάποιον ακέραιο k microε

k ge 1 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση] Πρέπει τώρα να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναιαληθής Ποιες είναι οι P(k) και P(k + 1) Για να βρούmicroε την P(k) αντικαθιστούmicroε k στηθέση κάθε n στην P(n) Έτσι η P(k) είναι η

1 + 2 +⋯+ k =k(k + 1)

2 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Παρόmicroοια για να βρούmicroε την P(k + 1) αντικαθιστούmicroε κάθε n της P(n) microε την ποσότητα(k + 1) Έτσι η P(k + 1) είναι1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2

ή ισοδύναmicroα

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

larr να δειχθεί η (P(k + 1))

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 241

Τώρα η επαγωγική υπόθεση είναι ότι η P(k) είναι αληθής Πώς microπορούmicroε να χρησι-microοποιήσουmicroε αυτή την υπόθεση για να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής Η P(k + 1)είναι microια εξίσωση και η αλήθεια microιας εξίσωσης microπορεί να δειχθεί microε διάϕορους τρόπουςΈνας από τους πιο άmicroεσους είναι να microετασχηmicroατίσουmicroε το αριστερό σκέλος στο δεξιόχρησιmicroοποιώντας άλγεβρα και άλλους γνωστούς κανόνες και έγκυρες υποθέσεις microεταξύτων οποίων και την επαγωγική υπόθεση Σε αυτή την περίπτωση το αριστερό σκέλος τηςP(k + 1) είναι

1 + 2 +⋯+ (k + 1)που ισούται microε

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) προσδιορισmicroός του προτελευταίουόρου και οmicroαδοποίηση

Αλλά microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1)=k(k + 1)

2+ (k + 1) αϕού η επαγωγική υπόθεση λέει

ότι 1 + 2 +⋯ + k =k(k + 1)

2

Τώρα χρησιmicroοποιούmicroε άλγεβρα για να δείξουmicroε ότι αυτή η έκϕραση ισούται microε το δεξιόσκέλος της P(k + 1)

k(k + 1)2

+ (k + 1)

=k(k + 1)

2+2(k + 1)

2

πολλαπλασιάζουmicroε αριθmicroητή και πα-ρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε το2 για να πάρουmicroε κοινό παρονοmicroα-στή

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2microε πρόσθεση κλασmicroάτων

=(k + 2)(k + 1)

2βγάζουmicroε κοινό παράγοντα το (k + 1)

=(k + 1)(k + 2)

2υπολογίζουmicroε τους παράγοντες(k + 1) και (k + 2)

που ισούται microε το δεξιό σκέλος της P(k + 1)Συνοψίζουmicroε την παραπάνω ανάλυση ως εξής

Θεώρηmicroα 422 Άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Για όλους τους ακεραίους n ge 1

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2

Απόδειξη (microε microαθηmicroατική επαγωγή)

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση 1 + 2 +⋯+ n = n(n + 1)2

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1 Για να δείξουmicroε την ιδιότητα για

n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 =1(1 + 1)

2 Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης

είναι 1 και το δεξιό είναι1(1 + 1)

2=2

2= 1 και αυτό Άρα η ιδιότητα είναι αληθής για

n = 1συνεχίζεται στην επόmicroενη σελίδα

242 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2είναι αληϑής για ϰάποιον

αϰέραιο k ge 1 στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ k =

k(k + 1)2

για κάποιον ακέραιο k ge 1

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =

n(n + 1)2

είναι αληϑής όταν

αντιϰαταστήσουmicroε το k + 1 στη ϑέση του n]Πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2 ή ισοδύναmicroα ότι

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

421

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος της εξίσωσης (421) ισούται microε το δεξιόσϰέλος]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (421) είναι το

1 + 2 +⋯+ (k + 1)= (1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) Ο προτελευταίος όρος είναι ο k γιατί οι όροι

είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ο τελευταίος εί-ναι ο k + 1

=k(k + 1)

2+ (k + 1) microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

=k(k + 1)

2+(k + 1) sdot 2

2

=(k + 1)(k + 2)

2

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (421) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού δείξαmicroε ϰαι το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

Λέγεται microια ιστορία για έναν από τους microεγαλύτερους microαθηmicroατικούς όλων των εποχώντον Carl Friedrich Gauss (1777ndash1855) σύmicroϕωνα microε την οποία όταν ήταν microικρό παιδί οδάσκαλος του ζήτησε να προσθέσει τους αριθmicroούς από το 1 microέχρι το 100 Ο δάσκαλοςζήτησε από τους microαθητές να υπολογίσουν το άθροισmicroα ώστε να τους απασχολήσει γιανα microπορέσει εκείνος να διορθώσει γραπτά Αλλά λίγες στιγmicroές αργότερα ο Gauss βρήκετην σωστή απάντηση Είναι περιττό να πούmicroε ότι ο δάσκαλος τα έχασε Πώς microπόρεσε ονεαρός Gauss να υπολογίσει τόσο γρήγορα Τα επόmicroενα χρόνια ο Gauss εξήγησε ότι είχεϕανταστεί τους αριθmicroούς σε ζευγάρια σύmicroϕωνα microε το ακόλουθο σχήmicroα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 243

1 2 3 50 51 98 99 100

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

Το άθροισmicroα κάθε ζεύγους είναι 101 και υπάρχουν 50 ζεύγη άρα το συνολικό άθροισmicroαείναι 50 sdot 101 = 5050

Παράδειγmicroα 422 Εϕαρmicroογές του τύπου του αθροίσmicroατος των πρώτων n ακεραίων

α Βρείτε το 2 + 4 + 6 +⋯+ 500

β Βρείτε το 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50

γ Για οποιονδήποτε ακέραιο h ge 2 βρείτε το 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1)Λύση

α 2 + 4 + 6 +⋯+ 500 = 2 sdot (1 + 2 + 3 +⋯+ 250)= 2 sdot (250 sdot 251

2) εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroα

των πρώτων n ακεραίων για n = 250

= 62750

β 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50 = (1 + 2 + 3 +⋯+ 50) minus (1 + 2 + 3 + 4)=50 sdot 51

2minus 10

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroατων πρώτων n ακεραίων για n = 50

= 1265

γ 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1) = (h minus 1) sdot [(h minus 1) + 1]2

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροι-σmicroα των πρώτων n ακεραίων γιαn = h minus 1

=(h minus 1) sdot h

2αϕού (h minus 1) + 1 = h n

Στο επόmicroενο παράδειγmicroα ζητείται να αποδειχθεί ένας άλλος διάσηmicroος microαθηmicroατικόςτύποςmdashο τύπος του αθροίσmicroατος της γεωmicroετρικής προόδου Σε microια γεωmicroετρικήπρόοδοκάθε όρος ισούται microε τον προηγούmicroενο επί ένα σταθερό παράγοντα Αν ο πρώτος όροςείναι 1 και ο σταθερός παράγοντας είναι r τότε η ακολουθία είναι 1 r r2 r3 rn Το άθροισmicroα των πρώτων n όρων αυτής της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

για όλους τους ακεραίους n ge 0 και τους πραγmicroατικούς αριθmicroούς r που δεν είναι ίσοι microε1 Η αναπτυγmicroένη microορϕή αυτού του τύπου είναι η

r0 + r1 + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

και επειδή r0 = 1 και r1 = r ο τύπος για n ge 1 microπορεί να ξαναγραϕεί ως

1 + r + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

244 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παράδειγmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Αποδείξτε ότιnsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 για κάθε ακέραιο n ge 0 και για όλους τους πραγmicroατικούς

αριθmicroούς r διάϕορους του 1

Λύση Σε αυτό το παράδειγmicroα η ιδιότητα P(n) είναι πάλι microια εξίσωση αν και σε αυτή τηνπερίπτωση περιλαmicroβάνει microια πραγmicroατική microεταβλητή r

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 larr η ιδιότητα (P(n))

Αϕού το r microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός εκτός του 1 ξεκινάmicroε τηναπόδειξη υποθέτοντας ότι ο r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγ-microατικός αριθmicroός διάϕορος του 1 Έπειτα συνεχίζουmicroε την απόδειξη microε microαθηmicroατική επα-γωγή στο n αρχίζοντας microε το n = 0 Στο αρχικό βήmicroα πρέπει να δείξουmicroε ότι η P(0) είναιαληθής δηλαδή να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 0 Οπότε αντικαθιστούmicroε0 για κάθε n στην P(n)

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1 larr αρχική (P(0))

Στο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής δηλαδή υποθέτουmicroε ότι ηιδιότητα είναι αληθής για n = k Οπότε αντικαθιστούmicroε k για κάθε n στην P(n)

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Μετά δείχνουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής δηλαδή δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αλη-θής για n = k + 1 Έτσι αντικαθιστούmicroε k + 1 για κάθε n στην P(n)

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1

ή εναλλακτικά

k+1sumi=0

r i =rk+2 minus 1

r minus 1sdot larr για να δείξουmicroε την (P(k + 1))

Θεώρηmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό r εκτός του 1 και για κάθε ακέραιο n ge 0

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Απόδειξη

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Υποθέτουmicroε ότι το r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγmicroατικόςαριθmicroός διάϕορος του 1 Πρέπει να δείξουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους n ge 0

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 245

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Θα το δείξουmicroε microε microαθηmicroατική επαγωγή στο n

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0 Για n = 0 πρέπει να δείξουmicroε ότι

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1

Το αριστερό σκέλος αυτής της εξίσωσης είναι το r0 = 1 Το δεξιό σκέλος είναι

r1 minus 1

r minus 1=r minus 1

r minus 1= 1

ξανά αϕού r1 = r και r ne 1 [Οπότε η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0]

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 0 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1είναι αληϑής όταν ένας αϰέραιος k ge 0

αντιϰατασταϑεί στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 για k ge 0 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση]

[Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1 422

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος αυτής της εξίσωσης ισούται microε το δεξιό]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (422) είναι το

k+1sumi=0

r i =ksumi=0

r i + rk+1 γράϕουmicroε τον (k + 1) όρο ξεχωριστά απότους πρώτους k όρους

=rk+1 minus 1

r minus 1+ rk+1 microε αντικατάσταση από

την επαγωγική υπόθεση

=rk+1 minus 1

r minus 1+rk+1(r minus 1)

r minus 1

πολλαπλασιάζουmicroε τον αριθmicroητή και τονπαρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε (r minus 1)για να έχουmicroε κοινό παρονοmicroαστή

=(rk+1 minus 1) + rk+1(r minus 1)

r minus 1πρόσθεση κλασmicroάτων

=rk+1 minus 1 + rk+2 minus rk+1

r minus 1πολλαπλασιασmicroός και χρήση του

rk+1 sdot r = rk+1 sdot r1 = rk+2

=rk+2 minus 1

r minus 1διαγραϕή των rk+1

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (4 2 2) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

14 Πρόλογος

κάνουν τις κατάλληλες προσαρmicroογές Επίσης υπάρχουν πολλές ασκήσεις χωρίς λύσηώστε να microάθουν οι ϕοιτητές να ασχολούνται microε προβλήmicroατα σε ρεαλιστικό πλαίσιοεργασίας

Σχήmicroατα και πίνακεςΤα σχήmicroατα και οι πίνακες έχουν προστεθεί σε σηmicroεία που θεωρήσαmicroε ότι θα βοηθή-σουν τον αναγνώστη να κατανοήσει καλύτερα το πρόβληmicroα Στα περισσότερα σχήmicroα-τα γίνεται χρήση και δεύτερου χρώmicroατος για να γίνουν ακόmicroα πιο κατανοητά

ΑναϕορέςΠολλοί ϕοιτητές microού έχουν γράψει ότι το βιβλίο τούς βοήθησε πολύ στα πιο προχω-ρηmicroένα microαθήmicroατα που πήραν στη συνέχεια των σπουδών τους Ένας microου έγραψε ότιχρησιmicroοποίησε την πρώτη έκδοση τόσο πολύ ώστε το βιβλίο διαλύθηκε και αναγκά-στηκε να αγοράσει και τη δεύτερη έκδοση την οποία συνέχισε να χρησιmicroοποιεί καιστο microεταπτυχιακό του Η τακτική microου να τοποθετώ τους ορισmicroούς και τα θεωρήmicroατασε πλαίσια να βάζω τίτλους στις ασκήσεις και να παρέχω λίστες microε τύπους και τις ση-microασίες των συmicroβόλων στα εσώϕυλλα κάνει το βιβλίο εύχρηστο τόσο για microελέτη όσοκαι αργότερα ως βιβλίο αναϕοράς

Υποστήριξη τουκαθηγητή Έχω λάβει πλήθος πολύτιmicroων παρατηρήσεων από καθηγητέςπου έχουν χρησιmicroοποιήσει προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Το βιβλίο έχει βελτιωθείσηmicroαντικά λόγω αυτών των παρατηρήσεων

ΑσκήσειςΗ microεγάλη ποικιλία ασκήσεων όλων των επιπέδων δυσκολίας δίνει στους καθηγητέςmicroεγάλη ελευθερία να οργανώσουν το microάθηmicroά τους ανάλογα microε τις δυνατότητες τωνϕοιτητών τους Οι ασκήσεις microε λύσεις στο τέλος του βιβλίου έχουν γαλάζια αρίθmicroη-ση ενώ εκείνες που οι λύσεις τους παρέχονται σε διαϕορετικό εγχειρίδιο (εγχειρίδιολύσεων) έχουν αριθmicroούς που είναι πολλαπλάσια του τρία Υπάρχουν ασκήσεις κάθετύπου που δεν έχουν απάντηση ούτε σε αυτό το βιβλίο ούτε στο εγχειρίδιο λύσεωνώστε οι καθηγητές να είναι σε θέση να χρησιmicroοποιούν οποιονδήποτε συνδυασmicroό α-σκήσεων microε ή χωρίς λύσεις Ο microεγάλος αριθmicroός ασκήσεων παρέχει στους καθηγητέςσηmicroαντικές δυνατότητες επιλογής προβληmicroάτων για χρήση τόσο σε εξετάσεις όσο καισε επαναληπτικά microαθήmicroατα Οι καθηγητές θα πρέπει να προτιmicroούν τις ασκήσεις πουδιατυπώνονται microε τη microορϕή ερωτήσεων αντί εκείνων που ζητούν να laquoαποδειχθεί ότιraquoώστε να ενθαρρύνεται η συζήτηση στην τάξη σχετικά microε το ρόλο της απόδειξης καιτου αντιπαραδείγmicroατος στην επίλυση προβληmicroάτων

Ελαστικές ενότητεςΟι περισσότερες ενότητες χωρίζονται σε υποενότητες ώστε όταν ο καθηγητής πιέζε-ται από το χρόνο να microπορεί να παραλείψει συγκεκριmicroένες ενότητες ή να τις αϕήσει νατις διαβάσουν microόνοι τους οι ϕοιτητές Ο χωρισmicroός σε υποενότητες βοηθάει τον διδά-σκοντα να χωρίσει σε τmicroήmicroατα microια ενότητα στην περίπτωση που θέλει να αϕιερώσειπερισσότερα από ένα microαθήmicroατα γιrsquo αυτή

Παρουσίαση των αποδεικτικών microεθόδωνΕίναι αναπόϕευκτο οι αποδείξεις και ανασκευές σε αυτό το βιβλίο να ϕαίνονται πολύεύκολες στους καθηγητές Πολλοί ϕοιτητές όmicroως τις βρίσκουν δύσκολες Σε αυτό τοβιβλίο επιχειρώ να δείξω στους ϕοιτητές τον τρόπο σύνταξης και δόmicroησης αποδείξε-ων και ανασκευών περιγράϕοντας τα είδη των προσεγγίσεων που χρησιmicroοποιούν οιmicroαθηmicroατικοί όταν αντιmicroετωπίζουν δύσκολα προβλήmicroατα στην έρευνά τους

Βιβλίο καθηγητήΤο βιβλίο καθηγητή είναι διαθέσιmicroο σε οποιονδήποτε διδάσκει χρησιmicroοποιώντας τοπαρόν βιβλίο Το βιλίο καθηγητή περιέχει προτάσεις για τον τρόπο προσέγγισης τηςύλης κάθε κεϕαλαίου λύσεις για όλες τις ασκήσεις που δεν λύνονται πλήρως στο Πα-ράρτηmicroαΒ διαϕάνειες επαναληπτικό υλικό ιδέες για εργασίες και επιπλέον ασκήσεις

Πρόλογος 15

Τα νέα χαρακτηριστικά της τρίτης έκδοσης

Οι αλλαγές που έγιναν σε αυτή την έκδοση βασίστηκαν σε προτάσεις συναδέλϕων καιάλλων αναγνωστών της πρώτης και της δεύτερης έκδοσης και στη συνεχιζόmicroενη επαϕήmicroε ϕοιτητές microαθηmicroατικών και επιστήmicroης των υπολογιστών

Βελτιωmicroένη παιδαγωγική προσέγγιση

bull Ο αριθmicroός των ασκήσεων αυξήθηκε στις 2500 περίπου Προστέθηκαν περίπου 980νέες ασκήσεις

bull Προστέθηκαν ασκήσεις στα θέmicroατα στα οποία υπήρχε microεγαλύτερη ανάγκη για εξά-σκηση και τροποποιήθηκαν κατάλληλα ώστε να ληϕθούν καλύτερα υπόψη οι δυ-σκολίες των ϕοιτητών

bull Στο Παράρτηmicroα Β προστέθηκαν περισσότερες πλήρεις λύσεις ώστε να βοηθηθούνοι ϕοιτητές στα δύσκολα θέmicroατα

bull Ο τρόπος παρουσίασης των θεmicroάτων επανεξετάστηκε σε όλο το βιβλίο και όπουκρίθηκε σκόπιmicroο αναθεωρήθηκε

bull Έγινε προσεκτική δουλειά για να βελτιωθεί η microορϕή και η παρουσίαση του κειmicroένου

bull Επεκτάθηκαν οι συζητήσεις για ιστορικά θέmicroατα και πρόσϕατα αποτελέσmicroατα καιαυξήθηκαν οι ϕωτογραϕίες των επιστηmicroόνων των οποίων η δουλειά παρουσιάζεταιστο βιβλίο

Λογική

bull Η παρουσίαση των ποσοδεικτών έχει επεκταθεί σηmicroαντικά microε την προσθήκη microιαςνέας ενότητας αϕιερωmicroένης αποκλειστικά στους πολλαπλούς ποσοδείκτες

bull Προστέθηκαν ασκήσεις που χρησιmicroοποιούν τονΚόσmicroο τουTarski ένα υπέροχο παι-δαγωγικό εργαλείο που αναπτύχθηκε από τους Jon Barwise και John Etchemendyτου Πανεπιστηmicroίου του Stanford

bull Προστέθηκαν εϕαρmicroογές για την αναζήτηση στο ∆ιαδίκτυο

bull Απλοποιήθηκαν οι όροι διαϕόρων microορϕών συλλογισmicroών

Εισαγωγή στην απόδειξη

bull Επεκτάθηκαν οι οδηγίες συγγραϕής αποδείξεων

bull Οι περιγραϕές microεθόδων αποδείξεων γράϕτηκαν microε σαϕέστερο τρόπο

bull Οι ασκήσεις έχουν επανελεγχθεί και κάποιες έχουν microεταϕερθεί σε άλλο σηmicroείο ώστενα διευκολυνθεί η κατανόηση από τους ϕοιτητές

Επαγωγή και επανάληψη

bull Βελτιώθηκε η σκιαγράϕηση των αποδείξεων microε microαθηmicroατική επαγωγή

bull Οι υποενότητες της ενότητας των ακολουθιών οργανώθηκαν εκ νέου

bull Οι οmicroάδες ασκήσεων των ενοτήτων της ισχυρής microαθηmicroατικής επαγωγής και της κα-λής διάταξης και των επαγωγικώνεπαναληπτικών ορισmicroών επεκτάθηκαν σηmicroαντι-κά

Θεωρία αριθmicroών

bull Προστέθηκε microια υποενότητα ανοιχτών προβληmicroάτων στη θεωρία αριθmicroών και επε-κτάθηκε η συζήτηση για τις πρόσϕατες εξελίξεις

bull Προστέθηκε microια νέα ενότητα στην αριθmicroητική υπολοίπων και στην κρυπτογραϕίαΠεριλαmicroβάνεται microια συζήτηση για την κρυπτογραϕία RSA το microικρό θεώρηmicroα τουFermat και το κινέζικο θεώρηmicroα υπολοίπου

bull Η συζήτηση για τον έλεγχο αν ένας ακέραιος είναι πρώτος microεταϕέρθηκε αργότεραστο Κεϕάλαιο 3 για να γίνει σαϕής η εξάρτησή του από την έmicromicroεση επιχειρηmicroατο-λογία

16 Πρόλογος

Θεωρία συνόλων

bull ΟΙ ιδιότητες του κενού συνόλου παρουσιάζονται πλέον στην πρώτη ενότητα τουΚεϕαλαίου 5

bull Ηδεύτερη ενότητα του Κεϕαλαίου 5 είναι πλέον αϕιερωmicroένη αποκλειστικά σε απο-δείξεις στοιχείων

bull Οι αλγεβρικές αποδείξεις των συνολοθεωρητικών ιδιοτήτων και η χρήση αντιπαρα-δειγmicroάτων στην ανασκευή ιδιοτήτων συνόλων έχουν microεταϕερθεί στην τρίτη ενότητατου Κεϕαλαίου 5

bull Η παρουσίαση των αλγεβρών Boole έχει επεκταθεί και επισηmicroαίνεται η σχέση ανά-microεσα στις λογικές ισοδυναmicroίες τις ιδιότητες συνόλων και τις άλγεβρες Boole

Συνδυαστική και διακριτές πιθανότητες

bull Προστέθηκαν ασκήσεις στην ενότητα του διωνυmicroικού θεωρήmicroατος

bull Προστέθηκαν δύο νέες ενότητες στις πιθανότητες όπου microεταξύ άλλων καλύπτονταιη αναmicroενόmicroενη τιmicroή η δεσmicroευmicroένη πιθανότητα και η ανεξαρτησία και το θεώρηmicroαBayes

bull Εξηγούνται οι συνδυαστικές πτυχές των διευθύνσεων του διαδικτυακού πρωτοκόλ-λου (Internet Protocol IP)

Συναρτήσεις

bull Οι ασκήσεις για ένα προς ένα και επί συναρτήσεις έχουν βελτιωθεί

bull Έχει επεκταθεί το σύνολο των ασκήσεων στην πληθικότητα microε εϕαρmicroογές στην υ-πολογισιmicroότητα

Αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων

bull Οι Ενότητες 92 και 94 επανεξετάστηκαν και προστέθηκαν οι συmicroβολισmicroοίΘ καιΩ

bull Οι Ενότητες 93 και 95 έχουν αναθεωρηθεί αντίστοιχα microε καλύτερη επεξήγηση τηςέννοιας της διάταξης για έναν αλγόριθmicroο

bull Ηεξέταση της ταξινόmicroησης microε εισαγωγήκαι της ταξινόmicroησης microε επιλογή βελτιώθηκεκαι επεκτάθηκε

Κανονικές εκϕράσεις και αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων

bull Οι προηγούmicroενες διάσπαρτες ενότητες για τις τυπικές γλώσσες και τα αυτόmicroαταπεπερασmicroένων καταστάσεων συνενώθηκαν σε ένα αυτόνοmicroο κεϕάλαιο

bull Προστέθηκε microια νέα ενότητα για τις κανονικές εκϕράσεις καθώς και microια συζήτησηγια τη σχέση ανάmicroεσα στις κανονικές εκϕράσεις και στα αυτόmicroατα πεπερασmicroένωνκαταστάσεων

Ιστοσελίδα

∆ηmicroιουργήθηκε microια ιστοσελίδα γιrsquo αυτό το βιβλίο που περιέχει πληροϕορίες και υλικότόσο για τους ϕοιτητές όσο και για τους διδάσκοντες Περιέχει

bull περιγραϕές και συνδέσmicroους σε πολλές σελίδες στο ∆ιαδίκτυο microε προσβάσιmicroες πλη-ροϕορίες σχετικά microε τα διακριτά microαθηmicroατικά

bull συνδέσmicroους σε microικροεϕαρmicroογές που παρουσιάζουν ή προσϕέρουν εξάσκηση σε θέ-microατα διακριτών microαθηmicroατικών

bull πρόσθετα παραδείγmicroατα και ασκήσεις microε λύσεις

bull οδηγούς επανάληψης για τα κεϕάλαια του βιβλίου

Μια ειδική ενότητα για τους διδάσκοντες περιέχει

bull διαϕάνειες και ηλεκτρονικές διαϕάνειες σε αρχεία τύπου PowerPoint

bull επιπλέον ασκήσεις για εξετάσεις

Πρόλογος 17

Οδηγός για τη χρήση του βιβλίου microε τις λύσεις

Κατά τη συγγραϕή αυτού του βιβλίου προσπάθησα να δώσω αρκετή βοήθεια στους ϕοι-τητές microέσω της παρουσίασης της ύλης των λυmicroένων παραδειγmicroάτων και των λύσεων τωνασκήσεων ώστε να έχουν στη διάθεσή τους ότι χρειάζεται για την πλήρη κατανόηση τουmicroαθήmicroατος Πιστεύω ότι οι ϕοιτητές που θα ολοκληρώσουν τη microελέτη αυτού του βιβλίουκαι θα κατάϕερουν να λύσουν microόνοι τους όλες τις ασκήσεις που έχουν λυθεί στο Παράρ-τηmicroα Β θα κατανοήσουν πολύ καλά το αντικείmicroενο Όmicroως γνωρίζω ότι κάποιοι ϕοιτητέςθα θέλουν να έχουν πρόσβαση σε επιπλέον βοηθητικό υλικό Γιrsquo αυτόν το λόγο έχω γρά-ψει τον οδηγό λύσεων και microελέτης για το ϕοιτητή που διατίθεται ξεχωριστά από αυτότο βιβλίο και περιέχει τις πλήρεις λύσεις των ασκήσεων οι οποίες δεν είναι πλήρως λυmicroέ-νες στο Παράρτηmicroα Β και που ο αριθmicroός τους διαιρείται microε το 3 Αυτός ο οδηγός περιέχειεναλλακτικές επεξηγήσεις για κάποιες έννοιες και ερωτήσεις επανάληψης για κάθε κεϕά-λαιο

Οργάνωση του βιβλίου

Αυτό το βιβλίο microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί αποτελεσmicroατικά για ένα microάθηmicroα ενός ή δύοεξαmicroήνων Κάθε κεϕάλαιο περιέχει κύριες ενότητες ενότητες microε προαιρετικό υλικό καιενότητες microε προαιρετικές εϕαρmicroογές Οι διδάσκοντες έχουν την άνεση να επιλέξουν ό-ποιο υποσύνολο θεωρούν ότι ταιριάζει καλύτερα microε το microάθηmicroα και τους ϕοιτητές τους Οακόλουθος πίνακας δείχνει τη διαίρεση των ενοτήτων σε κατηγορίες

Ενότητες microε προαιρετικό Ενότητες microε προαιρετικές

Κεϕάλαιο Κύρια ενότητα microαθηmicroατικό υλικό εϕαρmicroογές στους υπολογιστές

1 11ndash13 14 15

2 21ndash24 22 23 23

3 31ndash34 36 35 37 38

4 41ndash42 43ndash44 45

5 51 52ndash54 54

6 61ndash64 65ndash69 63

7 71ndash72 73ndash75 71 72 75

8 81 82 83 84 84

9 91 92 94 93 95

10 101ndash103 104 105 104 105

11 111 115 112 113 114 111 112 115 116

12 121 122 123 121ndash123

Το δενδροειδές διάγραmicromicroα που ακολουθεί δείχνει κατά προσέγγιση την αλληλοεξάρ-τηση των κεϕαλαίων Τα κεϕάλαια που βρίσκονται σε διαϕορετικά κλαδιά του δέντρουείναι αρκετά ανεξάρτητα ώστε οι διδάσκοντες να microη χρειάζεται να κάνουν σηmicroαντικέςπροσαρmicroογές αν τα προσπεράσουν και απλώς ακολουθήσουν τις διαδροmicroές κατά microήκοςτων κλαδιών του δέντρου

18 Πρόλογος

1

2

33

4

8

12dagger

11

5

7

9

6 10

lowast dagger

Ευχαριστίες

Χρωστάω ένα microεγάλο ευχαριστώ σε πολλούς ανθρώπους στο Πανεπιστήmicroιο του DePaulγια την υποστήριξή τους όλα αυτά τα χρόνια που δούλευα πάνω στις εκδόσεις αυτού τουβιβλίου Κάποιοι συνάδελϕοι χρησιmicroοποίησαν πρώιmicroες microορϕές και προηγούmicroενες εκδό-σεις του βιβλίου και microου έκαναν εξαιρετικά σχόλια για βελτιώσεις Γιrsquo αυτό ευχαριστώτους Louis Aquila J Marshall Ash Allan Berele Jerey Bergen William Chin BarbaraCortzen Constantine Georgakis Sigrun Goes Jerry Goldman Lawrence Gluck LeonidKrop CarolynNarasimhanWalter Pranger Eric Rieders Ayse Sahin Yuen-FatWong καιειδικότερα την Jeanne LaDuke Οι χιλιάδες ϕοιτητές στους οποίους δίδαξα διακριτά microα-θηmicroατικά είχαν σηmicroαντικότατη επίδραση στη microορϕή του βιβλίου Μοιράζοντας τις σκέ-ψεις τους και τους τρόπους σκέψης τους microαζί microου microε δίδαξαν πώς να διδάσκω καλύτε-ρα Τους οϕείλω ευγνωmicroοσύνη για τη βοήθειά τους Ιδιαίτερες ευχαριστίες οϕείλω στηδιοίκηση του Πανεπιστηmicroίου τουDePaul ιδιαίτερα στον ΚοσmicroήτοραMichael Mezey καιστον πρώην Κοσmicroήτορα Richard Meister που θεώρησαν αξιόλογη ακαδηmicroαϊκή εργασίατη συγγραϕή αυτού του βιβλίου

Ευχαριστώ τους διορθωτές για τις πολύτιmicroες παρατηρήσεις τους γιrsquo αυτή την έκδοσητου βιβλίου τους Pablo Echeverria του Camden County College William Gasarch τουUniversity of Maryland Joseph Kolibal του University of Southern Mississippi Benny Loτου International Technological University George Luger του University of New MexicoNorman Richert τουUniversity of Houston-Clear Lake PeterWilliams τουCalifornia Sta-te University at San Bernardino και τον Jay Zimmerman του Towson University Για τηβοήθειά τους στην πρώτη και δεύτερη έκδοση αυτού του βιβλίου είmicroαι ευγνώmicroων στουςItshak Borosh Texas A ampMUniversity Douglas M Campbell Brigham Young UniversityDavid G Cantor University of California at Los Angeles C Patrick Collier Universityof Wisconsin-Oshkosh Kevan H Croteau Francis Marion University Irinel Drogan Uni-versity of Texas at Arlington Henry A Etlinger Rochester Institute of Technology MelvinJ Friske Wisconsin Lutheran College Ladnor Geissinger University of North CarolinaJerrold R Griggs University of South Carolina Nancy Baxter Hastings Dickinson Colle-ge Lillian Hupert Loyola University Chicago Leonard T Malinowski Finger Lakes Com-munity College John F Morrison Towson State Unviersity Paul Pederson University ofDenver George Peck Arizona State University Roxy Peck California Polytechnic StateUniversity San Luis Obispo Dix Pettey University of Missouri Anthony Ralston State U-niversity of NewYork at Bualo John Roberts University of Louisville καιGeorge Schultz

lowastΟι διδάσκοντες που προτιmicroούν να ορίσουν τη συνάρτηση ως διmicroελή σχέση microπορούν να καλύψουντην Ενότητα 101 πριν την Ενότητα 71daggerΗ Ενότητα 103 χρειάζεται για την Ενότητα 123 αλλά όχι για τις Ενότητες 121 και 122

Πρόλογος 19

St Petersburg Junior College Clearwater Πολλές ευχαριστίες οϕείλω επίσης στους JohnCarroll San Diego State University Dr Joseph S Fulda και Porter G Webster Universityof Southern Mississippi για την απίστευτη επιmicroέλειά τους και την ενθάρρυνση που microουέδωσαν

Επίσης ωϕελήθηκα πάρα πολύ από τις παρατηρήσεις πολλών διδασκόντων που microουπρόσϕεραν γενναιόδωρα τις ιδέες τους για βελτιώσεις βασισmicroένες στις εmicroπειρίες τους α-πό τις προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Είmicroαι ιδιαίτερα ευγνώmicroων στους GoldstinePennsylvania State University David Hecker St Josephrsquos University Tom Jenkyns BrockUniversity Robert Messer Albion College Piotr Rudnicki University of Alberta AnwarShiek Dineacute College Norton Starr Amherst College Είχα επίσης εξαίρετη βοήθεια απότους John Banks Christopher Novak DePaul University και Ian Crewe Ascension Colle-giate School κατά τη διάρκεια της παραγωγής του βιβλίου

Χρωστώ ευγνωmicroοσύνη σε πολλούς ανθρώπους στις εταιρείες Wadsworth and Bro-oksCole Publishing ιδιαίτερα τον εκδότη microου Robert Pirtle για την ικανότητά του ναπραγmicroατοποιεί καλά πράγmicroατα ως δια microαγείας τους προηγούmicroενους εκδότες microου Hea-ther Bennett και Barbara Holland για την ενθάρρυνση και τον ενθουσιασmicroό τους και τηδιευθύντρια παραγωγής Janet Hill για την κατανόησή της και την προθυmicroία της να microουεπιτρέψει να έχω ρόλο σε όλα τα στάδια της παραγωγής ∆εν microπορώ να ϕανταστώ κα-λύτερη διευθύντρια παραγωγής από τη Martha Emry της οποίας τα υψηλής ποιότηταςπρότυπα και η προσοχή της στις λεπτοmicroέρειες ήταν πάντα εmicroπνευσmicroένες Ο σχεδιασmicroόςτης Kathleen Cunningham και η ϕωτοσύνθεση από την Techsetters Inc θα εκτιmicroηθούναπό όλους τους αναγνώστες του βιβλίου

Όσο microεγαλώνω τόσο συνειδητοποιώ το τεράστιο χρέος που οϕείλω στους δικούς microουδασκάλους των microαθηmicroατικών που διαmicroόρϕωσαν τον τρόπο microε τον οποίο βλέπω το αντι-κείmicroενο Τα πρώτα microου ευχαριστώ πρέπει να πάνε στο σύζυγό microουHelmut Epp ο οποίοςσε ένα ραντεβού όταν ακόmicroα ήmicroουν στο Γυmicroνάσιο () microε εισήγαγε στη δύναmicroη και τηνοmicroορϕιά των αξιωmicroάτων των microαθηmicroατικών και την άποψη ότι τα microαθηmicroατικά είναι ένααντικείmicroενο τόσο microε ιδέες όσο και microε τύπους και τεχνικές Όσον αϕορά την εκπαίδευ-σή microου είmicroαι ευγνώmicroων στους Daniel Zelinsky και Ky Fan του Northwestern Universityκαι Izaak Wirszup I N Herstein και Irving Kaplansky του University of Chicago που ό-λοι τους ο καθένας microε το δικό του τρόπο microε βοήθησαν να εκτιmicroήσω την κοmicroψότητα καιαυστηρότητα των microαθηmicroατικών αλλά και τη συγκίνηση που προκαλούν

Στην οικογένειά microου χρωστάω ευχαριστίες πέρα από κάθε όριο Είmicroαι ευγνώmicroων στηmicroητέρα microου που το ευγενικό ενδιαϕέρον της για τα έργα της ανθρώπινης διανόησης microεέβαλαν πριν πολλά χρόνια στο δρόmicroο που οδήγησε σε αυτό το βιβλίο και στον εκλιπόνταπατέρα microου που η αϕοσίωσή του στα βιβλία ήταν σταθερή πηγή έmicroπνευσης Ευχαριστώ ταπαιδιά microου και τα εγγόνια microου για την αγάπη τους και την αποδοχή των απαιτήσεων πουεπέβαλλε η συγγραϕή αυτού του βιβλίου στη ζωή microου Και περισσότερο από κάθε άλλονείναι ευγνώmicroωνστο σύζυγό microου που για πολλά χρόνια microε ενθάρρυνε microε την πίστη του στηναξία αυτής της εργασίας και microε υποστήριξε microε την αγάπη του και τις σοϕές συmicroβουλές του

Susanna Epp

236 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

62 Υποθέστε ότι το a[1] a[2] a[3] a[m] είναι διάνυσmicroακαι θεωρήστε το ακόλουθο τmicroήmicroα αλγορίθmicroου

sum ∶= 0for k ∶= 1 to m

sum ∶= sum + a[k]next k

Συmicroπληρώστε τα κενά παρακάτω ώστε κάθε τmicroήmicroα του αλ-γορίθmicroου να κάνει την ίδια δουλειά microε το παραπάνω

α sum ∶= 0for i ∶= 0 to

sum ∶=next i

β sum ∶= 0for j ∶= 2 to

sum ∶=next j

Χρησιmicroοποιήστε διαδοχικές διαιρέσεις microε το 2 για να microετατρέ-ψετε (microε το χέρι) τους ακεραίους των Ασκήσεων 63ndash65 από τηβάση 10 στη βάση 2

63 90 64 98 65 205

Κατασκευάστε έναν πίνακα για να καταγράψετε όλα τα βήmicroατατου Αλγορίθmicroου 411 microε είσοδο τις Ασκήσεις 66ndash68

66 23 67 28 68 44

69 Γράψτε microια microη τυπική περιγραϕή αλγορίθmicroου (χρησιmicroοποιώ-ντας διαδοχικές διαιρέσεις microε το 16) για να microετατρέψετε έναmicroη αρνητικό ακέραιο από το δεκαδικό στο δεκαεξαδικό σύ-στηmicroα (microε βάση το 16)

Χρησιmicroοποιήστε τον αλγόριθmicroο που αναπτύξατε για την Άσκη-ση 69 για να microετατρέψετε τους ακεραίους των Ασκήσεων 70ndash72στο δεκαεξαδικό σύστηmicroα

70 287 71 693 72 2301

73 Γράψτε microια τυπική περιγραϕή του αλγορίθmicroου που αναπτύ-ξατε στην Άσκηση 69

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι

[Η microαϑηmicroατιϰή επαγωγή είναι] η συνήϑης αποδειϰτιϰή τεχνιϰή στην επιστήmicroη τωνυπολογιστών

mdashAnthony Ralston 1984

Ηmicroαθηmicroατική επαγωγή είναι microία από τις πιο πρόσϕατα ανεπτυγmicroένες αποδεικτικές microεθό-δους στην ιστορία των microαθηmicroατικών Χρησιmicroοποιείται για την επαλήθευση εικασιών πουαϕορούν σε αποτελέσmicroατα διαδικασιών που εmicroϕανίζονται κατrsquo επανάληψη και σύmicroϕωναmicroε καθορισmicroένα microοτίβα Θα παρουσιάσουmicroε αυτή την τεχνική microε ένα παράδειγmicroα

Μερικοί ισχυρίζονται ότι το λεπτό του αmicroερικάνικου δολαρίου είναι τόσο microικρό νόmicroι-σmicroα ώστε πρέπει να αποσυρθεί Λένε ότι αν πέσει από τα χέρια κάποιου αυτός σπανίως θασκύψει να το πάρει Άλλοι ισχυρίζονται ότι αν αποσυρθεί το λεπτό θα υπάρχουν προβλή-microατα microε την ευελιξία στον καθορισmicroό των τιmicroών των αγαθών Ποιες τιmicroές θα microπορούσαννα εξοϕληθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο στην περίπτωση απόσυρσης του λεπτού και αντι-κατάστασής του microε ένα νόmicroισmicroα αξίας 3cent Η απάντηση είναι ότι οι microόνες τιmicroές που δενθα microπορούσαν να πληρωθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο είναι οι 1cent 2cent 4cent και 7cent Με άλλαλόγια

Μπορούmicroε να πάρουmicroε οποιονδήποτε ακέραιο αριθmicroό τουλάχιστον8 λεπτών χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα των 3cent και 5cent

Ποιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 microπορούmicroε να πάρουmicroεn λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5cent

Ακόmicroα πιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 η P(n) είναι αληθής όπου P(n) είναι η πρότασηlaquomicroπορούmicroε να πάρουmicroε n λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5centraquo

Θα microπορούσατε να ελέγξετε ότι η P(n) είναι αληθής για λίγες συγκεκριmicroένες τιmicroές του nόπως κάνουmicroε στον παρακάτω πίνακα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 237

Αριθmicroός λεπτών Πώς λαmicroβάνεται

8cent 3cent + 5cent

9cent 3cent + 3cent + 3cent

10cent 5cent + 5cent

11cent 3cent + 3cent + 5cent

12cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent

13cent 3cent + 5cent + 5cent

14cent 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

15cent 5cent + 5cent + 5cent

16cent 3cent + 3cent + 5cent + 5cent

17cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

Οι περιπτώσεις που ϕαίνονται στον πίνακα microας δίνουν επαγωγικού τύπου στοιχείαγια να υποστηρίξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλα τα n Πράγmicroατι η P(n) είναι αλη-ϑής για όλα τα n ge 8 αν ϰαι microόνο αν είναι εϕιϰτό να συνεχίσουmicroε να συmicroπληρώνουmicroε τονπίναϰα για οσοδήποτε microεγάλες τιmicroές του n

Η k γραmicromicroή του πίνακα δίνει πληροϕορίες για το πώς θα πάρουmicroε kcent χρησιmicroοποιώ-ντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent Για να συνεχίσουmicroε τον πίνακα στην επόmicroενη γραmicromicroήπρέπει να δώσουmicroε οδηγίες για το πώς θα υπολογιστούν τα (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και 5cent Το microυστικό είναι να παρατηρήσουmicroε πρώτα ότι αν microπορούmicroε ναυπολογίσουmicroε kcent χρησιmicroοποιώντας τουλάχιστον ένα κέρmicroα των 5cent τότε microπορούmicroε να υ-πολογίσουmicroε (k + 1)cent αντικαθιστώντας το κέρmicroα των 5cent microε δύο κέρmicroατα των 3cent όπωςϕαίνεται στο Σχήmicroα 421

kcent (k + 1)cent

3cent 3cent5cent

Αντικατάσταση ενός κέρματος των 5cent με δύο

κέρματα των 3cent

Αφαίρεση Προσθήκη

Σχήmicroα 421

Αν από την άλλη microεριά τα kcent λαmicroβάνονται χωρίς χρήση του κέρmicroατος των 5cent τότεχρησιmicroοποιούνται microόνο κέρmicroατα των 3cent Και αϕού το σύνολο είναι τουλάχιστον 8cent πρέπεινα περιλαmicroβάνονται τρία ή περισσότερα κέρmicroατα των 3cent Για να πάρουmicroε ένα σύνολο(k + 1)cent microπορούmicroε να αντικαταστήσουmicroε τρία από τα κέρmicroατα των 3cent microε δύο των 5centόπως ϕαίνεται στο Σχήmicroα 422 της επόmicroενης σελίδας

Η δοmicroή του παραπάνω επιχειρήmicroατος microπορεί να περιγραϕεί συνοπτικά ως εξής Γιανα δείξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8 (1) δείχνουmicroε ότι ηP(8) είναι αληθής και (2) δείχνουmicroε ότι η αλήθεια της P(k + 1) προκύπτει απαραίτητααπό την αλήθεια της P(k) για κάθε k ge 8 Κάθε επιχείρηmicroα αυτής της microορϕής καλείταιεπιχείρηmicroα microαϑηmicroατιϰής επαγωγής

238 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

5cent

kcent (k + 1)cent

Προσθήκη

kcent (k + 1)cent

5cent

3cent 3cent

3cent

Αντικαθιστούμε τρίακέρματα των 3centμε δύο κέρματα

των 5cent

Αφαίρεση

5cent

Σχήmicroα 422

Η αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής

Έστω ότι η P(n) είναι microια ιδιότητα που ορίζεται για ακεραίους n και έστω ότι οa είναι ένας συγκεκριmicroένος ακέραιος Υποθέτουmicroε ότι οι ακόλουθες δυο προτάσειςείναι αληθείς

1 Η P(a) είναι αληθής2 Για όλους τους ακεραίους k ge a αν η P(k) είναι αληθής τότε και η P(k + 1) είναι

αληθής

Τότε ισχύει η πρότασηγια όλους τους ακεραίους n ge a η P(n) είναι αληθής

Η πρώτη γνωστή καταγεγραmicromicroένη microαθηmicroατική επαγωγή βρίσκεται στα γραπτά τουΙταλού επιστήmicroονα Francesco Maurolico το 1575 Την ίδια τεχνική χρησιmicroοποιούσαν κα-τά το δέκατο έβδοmicroο αιώνα και οι Pierre de Fermat και Blaise Pascal Ο Fermat ονόmicroαζετην επαγωγή laquomicroέθοδο της άπειρης καθόδουraquo (laquomethod of innite descentraquo) Το 1883 οAugustus De Morgan (γνωστός από τους κανόνες De Morgan) περιέγραψε προσεκτικάτη διαδικασία και την ονόmicroασε microαϑηmicroατιϰή επαγωγή

Για να πάρετε microια διαισθητική εικόνα για τη microαθηmicroατική επαγωγή ϕανταστείτε microιαάπειρη συλλογή από ντόmicroινο τοποθετηmicroένα το ένα πίσω από το άλλο microε τέτοιο τρόποώστε αν ένα ντόmicroινο πέσει να ρίξει και το επόmicroενο (∆είτε το Σχήmicroα 423) Φανταστείτετώρα ότι πέϕτει το πρώτο ντόmicroινο Τι θα συmicroβεί Θα πέσουν όλα

12

3

4

kk + 1

Σχήmicroα 423 Όταν πέϕτει το k ντόmicroινο ρίχνει και το (k + 1)

Για να δείτε τη σχέση ανάmicroεσα σε αυτή την εικόνα και την αρχή της microαθηmicroατικήςεπαγωγής υποθέστε ότι η P(n) είναι η πρόταση laquoτο n ντόmicroινο πέϕτειraquo Υποθέτουmicroε ότιγια κάθε k ge 1 αν η P(k) είναι αληθής (το k ντόmicroινο πέϕτει) τότε η P(k + 1) είναι επίσηςαληθής (το (k + 1) ντόmicroινο πέϕτει) Υποθέτουmicroε επίσης ότι η P(1) είναι αληθής (το πρώτοντόmicroινο πέϕτει) Έτσι από την αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής η P(n) (το n ντόmicroινοπέϕτει) είναι αληθής για κάθε n ge 1

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 239

Η ισχύς της απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή θεωρείται αξίωmicroα Γιrsquo αυτόν το λόγοαναϕερόmicroαστε σε αυτή ως αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής αντί ως θεώρηmicroα Είναι ισο-δύναmicroη microε την ακόλουθη ιδιότητα των ακεραίων που εύκολα τη δέχεται κανείς ως αληθήmicroε βάση τη διαίσθησή του

Υποθέτουmicroε ότι το S είναι οποιοδήποτε σύνολο ακεραίων που ικανοποιεί (1) a isin Sκαι (2) για όλους τους ακεραίους k αν k isin S τότε k + 1 isin S Τότε το S πρέπει ναπεριέχει κάθε ακέραιο microεγαλύτερο ή ίσο του a

Για να κατανοήσουmicroε την ισοδυναmicroία των δυο διατυπώσεων απλώς ορίζουmicroε ως S τοσύνολο όλων των ακεραίων για τους οποίους η P(n) είναι αληθής

Η απόδειξη ενός επιχειρήmicroατος microε microαθηmicroατική επαγωγή είναι microια διαδικασία δύο βη-microάτων Το πρώτο βήmicroα λέγεται αρχιϰό βήmicroα ή βήmicroα έναρξης και το δεύτερο επαγωγιϰόβήmicroα

Η microέθοδος απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή

Θεωρήστε microια πρόταση της microορϕής laquoγια όλους τους ακεραίους n ge a η ιδιότηταP(n) είναι αληθήςraquo Για να αποδείξουmicroε microια τέτοια πρόταση ακολουθούmicroε τα παρα-κάτω δύο βήmicroατα

Βήmicroα 1 (αρχικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = a

Βήmicroα 2 (επαγωγικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους k ge a αν η ιδιό-τητα είναι αληθής για n = k τότε είναι αληθής για n = k + 1 Για να πραγmicroα-τοποιήσουmicroε αυτό το βήmicroα

υποθέτουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k όπου k είναιοποιοσδήποτε συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος ακέραιοςmicroε k ge a [Αυτή η υπόϑεση ονοmicroάζεται επαγωγική υπόθεση]

Έτσι

δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k + 1

∆ίνουmicroε εδώ την τυπική απόδειξη για τα κέρmicroατα που διατυπώσαmicroε χωρίς τυπικό τρό-πο προηγουmicroένως

Πρόταση 421

Έστω ότι η P(n) είναι η ιδιότητα laquoncent microπορούν να υπολογιστούν microε κέρmicroατα των 3centκαι 5centraquo Τότε η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8

Απόδειξη

∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 8 Η ιδιότητα είναι αληθής για n = 8 ε-πειδή 8cent = 3cent + 5cent

∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 8 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής ϰαι για n = k + 1 Υποθέτουmicroε ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε kcent χρη-σιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent για κάποιο ακέραιο k ge 8 [Αυτή είναι η ε-παγωγιϰή υπόϑεση]Πρέπει να δείξουmicroε τώρα ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε και (k + 1)centχρησιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και 5cent Αν υπάρχει κέρmicroα των 5cent ανάmicroεσα σε αυτάπου απαρτίζουν τα kcent το αντικαθιστούmicroε microε δύο κέρmicroατα των 3cent το αποτέλεσmicroαθα είναι (k + 1)cent Αν δεν υπάρχει κέρmicroα των 5cent σε αυτά που απαρτίζουν τα kcent τότεπρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 3 κέρmicroατα των 3cent αϕού k ge 8 Αϕαιρούmicroε αυτά τατρία κέρmicroατα των 3cent και τα αντικαθιστούmicroε microε δύο των 5cent το αποτέλεσmicroα θα είναι(k + 1)cent Έτσι σε κάθε περίπτωση microπορούmicroε να πάρουmicroε (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και των 5cent [όπως έπρεπε να δειχϑεί]

240 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Το ακόλουθο παράδειγmicroα δείχνει πώς χρησιmicroοποιούmicroε τη microαθηmicroατική επαγωγή γιανα αποδείξουmicroε έναν τύπο που δίνει το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Παράδειγmicroα 421 Άθροισmicroα των n πρώτων ακεραίων

Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να αποδείξετε ότι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2για όλους τους ακεραίους n ge 1

Λύση Για να κατασκευάσετε microια απόδειξη microε επαγωγή πρέπει πρώτα να βρείτε ποια είναι ηιδιότητα P(n) Σε αυτή την περίπτωση η P(n) είναι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2 larr η ιδιότητα (P(n))

[Για να δείτε ότι η P(n) είναι microια πρόταση παρατηρήστε ότι το αντιϰείmicroενό της είναι laquoτοάϑροισmicroα των αϰεραίων από το 1 microέχρι το nraquo ϰαι το ρήmicroα της είναι το laquoισούταιraquo]

Στο αρχικό βήmicroα της απόδειξης πρέπει να δείξετε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 1ή microε άλλα λόγια ότι η P(1) είναι αληθής Τώρα για να βρούmicroε την P(1) αντικαθιστούmicroε1 στη θέση του n στην P(n) Το αριστερό σκέλος της P(1) είναι το άθροισmicroα όλων τωνδιαδοχικών ακεραίων που ξεκινούν microε το 1 και τελειώνουν στο 1 Αυτό είναι απλώς το 1Έτσι η P(1) είναι η

1 =1(1 + 1)

2 larr αρχική (P(1))

Φυσικά αυτή η εξίσωση είναι αληθής διότι το δεξιό σκέλος είναι

1(1 + 1)2

=1 sdot 2

2= 1

που ισούται microε το αριστερό σκέλοςΣτο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής για κάποιον ακέραιο k microε

k ge 1 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση] Πρέπει τώρα να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναιαληθής Ποιες είναι οι P(k) και P(k + 1) Για να βρούmicroε την P(k) αντικαθιστούmicroε k στηθέση κάθε n στην P(n) Έτσι η P(k) είναι η

1 + 2 +⋯+ k =k(k + 1)

2 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Παρόmicroοια για να βρούmicroε την P(k + 1) αντικαθιστούmicroε κάθε n της P(n) microε την ποσότητα(k + 1) Έτσι η P(k + 1) είναι1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2

ή ισοδύναmicroα

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

larr να δειχθεί η (P(k + 1))

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 241

Τώρα η επαγωγική υπόθεση είναι ότι η P(k) είναι αληθής Πώς microπορούmicroε να χρησι-microοποιήσουmicroε αυτή την υπόθεση για να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής Η P(k + 1)είναι microια εξίσωση και η αλήθεια microιας εξίσωσης microπορεί να δειχθεί microε διάϕορους τρόπουςΈνας από τους πιο άmicroεσους είναι να microετασχηmicroατίσουmicroε το αριστερό σκέλος στο δεξιόχρησιmicroοποιώντας άλγεβρα και άλλους γνωστούς κανόνες και έγκυρες υποθέσεις microεταξύτων οποίων και την επαγωγική υπόθεση Σε αυτή την περίπτωση το αριστερό σκέλος τηςP(k + 1) είναι

1 + 2 +⋯+ (k + 1)που ισούται microε

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) προσδιορισmicroός του προτελευταίουόρου και οmicroαδοποίηση

Αλλά microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1)=k(k + 1)

2+ (k + 1) αϕού η επαγωγική υπόθεση λέει

ότι 1 + 2 +⋯ + k =k(k + 1)

2

Τώρα χρησιmicroοποιούmicroε άλγεβρα για να δείξουmicroε ότι αυτή η έκϕραση ισούται microε το δεξιόσκέλος της P(k + 1)

k(k + 1)2

+ (k + 1)

=k(k + 1)

2+2(k + 1)

2

πολλαπλασιάζουmicroε αριθmicroητή και πα-ρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε το2 για να πάρουmicroε κοινό παρονοmicroα-στή

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2microε πρόσθεση κλασmicroάτων

=(k + 2)(k + 1)

2βγάζουmicroε κοινό παράγοντα το (k + 1)

=(k + 1)(k + 2)

2υπολογίζουmicroε τους παράγοντες(k + 1) και (k + 2)

που ισούται microε το δεξιό σκέλος της P(k + 1)Συνοψίζουmicroε την παραπάνω ανάλυση ως εξής

Θεώρηmicroα 422 Άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Για όλους τους ακεραίους n ge 1

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2

Απόδειξη (microε microαθηmicroατική επαγωγή)

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση 1 + 2 +⋯+ n = n(n + 1)2

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1 Για να δείξουmicroε την ιδιότητα για

n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 =1(1 + 1)

2 Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης

είναι 1 και το δεξιό είναι1(1 + 1)

2=2

2= 1 και αυτό Άρα η ιδιότητα είναι αληθής για

n = 1συνεχίζεται στην επόmicroενη σελίδα

242 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2είναι αληϑής για ϰάποιον

αϰέραιο k ge 1 στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ k =

k(k + 1)2

για κάποιον ακέραιο k ge 1

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =

n(n + 1)2

είναι αληϑής όταν

αντιϰαταστήσουmicroε το k + 1 στη ϑέση του n]Πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2 ή ισοδύναmicroα ότι

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

421

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος της εξίσωσης (421) ισούται microε το δεξιόσϰέλος]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (421) είναι το

1 + 2 +⋯+ (k + 1)= (1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) Ο προτελευταίος όρος είναι ο k γιατί οι όροι

είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ο τελευταίος εί-ναι ο k + 1

=k(k + 1)

2+ (k + 1) microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

=k(k + 1)

2+(k + 1) sdot 2

2

=(k + 1)(k + 2)

2

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (421) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού δείξαmicroε ϰαι το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

Λέγεται microια ιστορία για έναν από τους microεγαλύτερους microαθηmicroατικούς όλων των εποχώντον Carl Friedrich Gauss (1777ndash1855) σύmicroϕωνα microε την οποία όταν ήταν microικρό παιδί οδάσκαλος του ζήτησε να προσθέσει τους αριθmicroούς από το 1 microέχρι το 100 Ο δάσκαλοςζήτησε από τους microαθητές να υπολογίσουν το άθροισmicroα ώστε να τους απασχολήσει γιανα microπορέσει εκείνος να διορθώσει γραπτά Αλλά λίγες στιγmicroές αργότερα ο Gauss βρήκετην σωστή απάντηση Είναι περιττό να πούmicroε ότι ο δάσκαλος τα έχασε Πώς microπόρεσε ονεαρός Gauss να υπολογίσει τόσο γρήγορα Τα επόmicroενα χρόνια ο Gauss εξήγησε ότι είχεϕανταστεί τους αριθmicroούς σε ζευγάρια σύmicroϕωνα microε το ακόλουθο σχήmicroα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 243

1 2 3 50 51 98 99 100

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

Το άθροισmicroα κάθε ζεύγους είναι 101 και υπάρχουν 50 ζεύγη άρα το συνολικό άθροισmicroαείναι 50 sdot 101 = 5050

Παράδειγmicroα 422 Εϕαρmicroογές του τύπου του αθροίσmicroατος των πρώτων n ακεραίων

α Βρείτε το 2 + 4 + 6 +⋯+ 500

β Βρείτε το 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50

γ Για οποιονδήποτε ακέραιο h ge 2 βρείτε το 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1)Λύση

α 2 + 4 + 6 +⋯+ 500 = 2 sdot (1 + 2 + 3 +⋯+ 250)= 2 sdot (250 sdot 251

2) εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroα

των πρώτων n ακεραίων για n = 250

= 62750

β 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50 = (1 + 2 + 3 +⋯+ 50) minus (1 + 2 + 3 + 4)=50 sdot 51

2minus 10

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroατων πρώτων n ακεραίων για n = 50

= 1265

γ 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1) = (h minus 1) sdot [(h minus 1) + 1]2

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροι-σmicroα των πρώτων n ακεραίων γιαn = h minus 1

=(h minus 1) sdot h

2αϕού (h minus 1) + 1 = h n

Στο επόmicroενο παράδειγmicroα ζητείται να αποδειχθεί ένας άλλος διάσηmicroος microαθηmicroατικόςτύποςmdashο τύπος του αθροίσmicroατος της γεωmicroετρικής προόδου Σε microια γεωmicroετρικήπρόοδοκάθε όρος ισούται microε τον προηγούmicroενο επί ένα σταθερό παράγοντα Αν ο πρώτος όροςείναι 1 και ο σταθερός παράγοντας είναι r τότε η ακολουθία είναι 1 r r2 r3 rn Το άθροισmicroα των πρώτων n όρων αυτής της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

για όλους τους ακεραίους n ge 0 και τους πραγmicroατικούς αριθmicroούς r που δεν είναι ίσοι microε1 Η αναπτυγmicroένη microορϕή αυτού του τύπου είναι η

r0 + r1 + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

και επειδή r0 = 1 και r1 = r ο τύπος για n ge 1 microπορεί να ξαναγραϕεί ως

1 + r + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

244 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παράδειγmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Αποδείξτε ότιnsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 για κάθε ακέραιο n ge 0 και για όλους τους πραγmicroατικούς

αριθmicroούς r διάϕορους του 1

Λύση Σε αυτό το παράδειγmicroα η ιδιότητα P(n) είναι πάλι microια εξίσωση αν και σε αυτή τηνπερίπτωση περιλαmicroβάνει microια πραγmicroατική microεταβλητή r

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 larr η ιδιότητα (P(n))

Αϕού το r microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός εκτός του 1 ξεκινάmicroε τηναπόδειξη υποθέτοντας ότι ο r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγ-microατικός αριθmicroός διάϕορος του 1 Έπειτα συνεχίζουmicroε την απόδειξη microε microαθηmicroατική επα-γωγή στο n αρχίζοντας microε το n = 0 Στο αρχικό βήmicroα πρέπει να δείξουmicroε ότι η P(0) είναιαληθής δηλαδή να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 0 Οπότε αντικαθιστούmicroε0 για κάθε n στην P(n)

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1 larr αρχική (P(0))

Στο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής δηλαδή υποθέτουmicroε ότι ηιδιότητα είναι αληθής για n = k Οπότε αντικαθιστούmicroε k για κάθε n στην P(n)

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Μετά δείχνουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής δηλαδή δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αλη-θής για n = k + 1 Έτσι αντικαθιστούmicroε k + 1 για κάθε n στην P(n)

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1

ή εναλλακτικά

k+1sumi=0

r i =rk+2 minus 1

r minus 1sdot larr για να δείξουmicroε την (P(k + 1))

Θεώρηmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό r εκτός του 1 και για κάθε ακέραιο n ge 0

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Απόδειξη

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Υποθέτουmicroε ότι το r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγmicroατικόςαριθmicroός διάϕορος του 1 Πρέπει να δείξουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους n ge 0

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 245

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Θα το δείξουmicroε microε microαθηmicroατική επαγωγή στο n

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0 Για n = 0 πρέπει να δείξουmicroε ότι

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1

Το αριστερό σκέλος αυτής της εξίσωσης είναι το r0 = 1 Το δεξιό σκέλος είναι

r1 minus 1

r minus 1=r minus 1

r minus 1= 1

ξανά αϕού r1 = r και r ne 1 [Οπότε η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0]

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 0 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1είναι αληϑής όταν ένας αϰέραιος k ge 0

αντιϰατασταϑεί στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 για k ge 0 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση]

[Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1 422

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος αυτής της εξίσωσης ισούται microε το δεξιό]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (422) είναι το

k+1sumi=0

r i =ksumi=0

r i + rk+1 γράϕουmicroε τον (k + 1) όρο ξεχωριστά απότους πρώτους k όρους

=rk+1 minus 1

r minus 1+ rk+1 microε αντικατάσταση από

την επαγωγική υπόθεση

=rk+1 minus 1

r minus 1+rk+1(r minus 1)

r minus 1

πολλαπλασιάζουmicroε τον αριθmicroητή και τονπαρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε (r minus 1)για να έχουmicroε κοινό παρονοmicroαστή

=(rk+1 minus 1) + rk+1(r minus 1)

r minus 1πρόσθεση κλασmicroάτων

=rk+1 minus 1 + rk+2 minus rk+1

r minus 1πολλαπλασιασmicroός και χρήση του

rk+1 sdot r = rk+1 sdot r1 = rk+2

=rk+2 minus 1

r minus 1διαγραϕή των rk+1

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (4 2 2) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

Πρόλογος 15

Τα νέα χαρακτηριστικά της τρίτης έκδοσης

Οι αλλαγές που έγιναν σε αυτή την έκδοση βασίστηκαν σε προτάσεις συναδέλϕων καιάλλων αναγνωστών της πρώτης και της δεύτερης έκδοσης και στη συνεχιζόmicroενη επαϕήmicroε ϕοιτητές microαθηmicroατικών και επιστήmicroης των υπολογιστών

Βελτιωmicroένη παιδαγωγική προσέγγιση

bull Ο αριθmicroός των ασκήσεων αυξήθηκε στις 2500 περίπου Προστέθηκαν περίπου 980νέες ασκήσεις

bull Προστέθηκαν ασκήσεις στα θέmicroατα στα οποία υπήρχε microεγαλύτερη ανάγκη για εξά-σκηση και τροποποιήθηκαν κατάλληλα ώστε να ληϕθούν καλύτερα υπόψη οι δυ-σκολίες των ϕοιτητών

bull Στο Παράρτηmicroα Β προστέθηκαν περισσότερες πλήρεις λύσεις ώστε να βοηθηθούνοι ϕοιτητές στα δύσκολα θέmicroατα

bull Ο τρόπος παρουσίασης των θεmicroάτων επανεξετάστηκε σε όλο το βιβλίο και όπουκρίθηκε σκόπιmicroο αναθεωρήθηκε

bull Έγινε προσεκτική δουλειά για να βελτιωθεί η microορϕή και η παρουσίαση του κειmicroένου

bull Επεκτάθηκαν οι συζητήσεις για ιστορικά θέmicroατα και πρόσϕατα αποτελέσmicroατα καιαυξήθηκαν οι ϕωτογραϕίες των επιστηmicroόνων των οποίων η δουλειά παρουσιάζεταιστο βιβλίο

Λογική

bull Η παρουσίαση των ποσοδεικτών έχει επεκταθεί σηmicroαντικά microε την προσθήκη microιαςνέας ενότητας αϕιερωmicroένης αποκλειστικά στους πολλαπλούς ποσοδείκτες

bull Προστέθηκαν ασκήσεις που χρησιmicroοποιούν τονΚόσmicroο τουTarski ένα υπέροχο παι-δαγωγικό εργαλείο που αναπτύχθηκε από τους Jon Barwise και John Etchemendyτου Πανεπιστηmicroίου του Stanford

bull Προστέθηκαν εϕαρmicroογές για την αναζήτηση στο ∆ιαδίκτυο

bull Απλοποιήθηκαν οι όροι διαϕόρων microορϕών συλλογισmicroών

Εισαγωγή στην απόδειξη

bull Επεκτάθηκαν οι οδηγίες συγγραϕής αποδείξεων

bull Οι περιγραϕές microεθόδων αποδείξεων γράϕτηκαν microε σαϕέστερο τρόπο

bull Οι ασκήσεις έχουν επανελεγχθεί και κάποιες έχουν microεταϕερθεί σε άλλο σηmicroείο ώστενα διευκολυνθεί η κατανόηση από τους ϕοιτητές

Επαγωγή και επανάληψη

bull Βελτιώθηκε η σκιαγράϕηση των αποδείξεων microε microαθηmicroατική επαγωγή

bull Οι υποενότητες της ενότητας των ακολουθιών οργανώθηκαν εκ νέου

bull Οι οmicroάδες ασκήσεων των ενοτήτων της ισχυρής microαθηmicroατικής επαγωγής και της κα-λής διάταξης και των επαγωγικώνεπαναληπτικών ορισmicroών επεκτάθηκαν σηmicroαντι-κά

Θεωρία αριθmicroών

bull Προστέθηκε microια υποενότητα ανοιχτών προβληmicroάτων στη θεωρία αριθmicroών και επε-κτάθηκε η συζήτηση για τις πρόσϕατες εξελίξεις

bull Προστέθηκε microια νέα ενότητα στην αριθmicroητική υπολοίπων και στην κρυπτογραϕίαΠεριλαmicroβάνεται microια συζήτηση για την κρυπτογραϕία RSA το microικρό θεώρηmicroα τουFermat και το κινέζικο θεώρηmicroα υπολοίπου

bull Η συζήτηση για τον έλεγχο αν ένας ακέραιος είναι πρώτος microεταϕέρθηκε αργότεραστο Κεϕάλαιο 3 για να γίνει σαϕής η εξάρτησή του από την έmicromicroεση επιχειρηmicroατο-λογία

16 Πρόλογος

Θεωρία συνόλων

bull ΟΙ ιδιότητες του κενού συνόλου παρουσιάζονται πλέον στην πρώτη ενότητα τουΚεϕαλαίου 5

bull Ηδεύτερη ενότητα του Κεϕαλαίου 5 είναι πλέον αϕιερωmicroένη αποκλειστικά σε απο-δείξεις στοιχείων

bull Οι αλγεβρικές αποδείξεις των συνολοθεωρητικών ιδιοτήτων και η χρήση αντιπαρα-δειγmicroάτων στην ανασκευή ιδιοτήτων συνόλων έχουν microεταϕερθεί στην τρίτη ενότητατου Κεϕαλαίου 5

bull Η παρουσίαση των αλγεβρών Boole έχει επεκταθεί και επισηmicroαίνεται η σχέση ανά-microεσα στις λογικές ισοδυναmicroίες τις ιδιότητες συνόλων και τις άλγεβρες Boole

Συνδυαστική και διακριτές πιθανότητες

bull Προστέθηκαν ασκήσεις στην ενότητα του διωνυmicroικού θεωρήmicroατος

bull Προστέθηκαν δύο νέες ενότητες στις πιθανότητες όπου microεταξύ άλλων καλύπτονταιη αναmicroενόmicroενη τιmicroή η δεσmicroευmicroένη πιθανότητα και η ανεξαρτησία και το θεώρηmicroαBayes

bull Εξηγούνται οι συνδυαστικές πτυχές των διευθύνσεων του διαδικτυακού πρωτοκόλ-λου (Internet Protocol IP)

Συναρτήσεις

bull Οι ασκήσεις για ένα προς ένα και επί συναρτήσεις έχουν βελτιωθεί

bull Έχει επεκταθεί το σύνολο των ασκήσεων στην πληθικότητα microε εϕαρmicroογές στην υ-πολογισιmicroότητα

Αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων

bull Οι Ενότητες 92 και 94 επανεξετάστηκαν και προστέθηκαν οι συmicroβολισmicroοίΘ καιΩ

bull Οι Ενότητες 93 και 95 έχουν αναθεωρηθεί αντίστοιχα microε καλύτερη επεξήγηση τηςέννοιας της διάταξης για έναν αλγόριθmicroο

bull Ηεξέταση της ταξινόmicroησης microε εισαγωγήκαι της ταξινόmicroησης microε επιλογή βελτιώθηκεκαι επεκτάθηκε

Κανονικές εκϕράσεις και αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων

bull Οι προηγούmicroενες διάσπαρτες ενότητες για τις τυπικές γλώσσες και τα αυτόmicroαταπεπερασmicroένων καταστάσεων συνενώθηκαν σε ένα αυτόνοmicroο κεϕάλαιο

bull Προστέθηκε microια νέα ενότητα για τις κανονικές εκϕράσεις καθώς και microια συζήτησηγια τη σχέση ανάmicroεσα στις κανονικές εκϕράσεις και στα αυτόmicroατα πεπερασmicroένωνκαταστάσεων

Ιστοσελίδα

∆ηmicroιουργήθηκε microια ιστοσελίδα γιrsquo αυτό το βιβλίο που περιέχει πληροϕορίες και υλικότόσο για τους ϕοιτητές όσο και για τους διδάσκοντες Περιέχει

bull περιγραϕές και συνδέσmicroους σε πολλές σελίδες στο ∆ιαδίκτυο microε προσβάσιmicroες πλη-ροϕορίες σχετικά microε τα διακριτά microαθηmicroατικά

bull συνδέσmicroους σε microικροεϕαρmicroογές που παρουσιάζουν ή προσϕέρουν εξάσκηση σε θέ-microατα διακριτών microαθηmicroατικών

bull πρόσθετα παραδείγmicroατα και ασκήσεις microε λύσεις

bull οδηγούς επανάληψης για τα κεϕάλαια του βιβλίου

Μια ειδική ενότητα για τους διδάσκοντες περιέχει

bull διαϕάνειες και ηλεκτρονικές διαϕάνειες σε αρχεία τύπου PowerPoint

bull επιπλέον ασκήσεις για εξετάσεις

Πρόλογος 17

Οδηγός για τη χρήση του βιβλίου microε τις λύσεις

Κατά τη συγγραϕή αυτού του βιβλίου προσπάθησα να δώσω αρκετή βοήθεια στους ϕοι-τητές microέσω της παρουσίασης της ύλης των λυmicroένων παραδειγmicroάτων και των λύσεων τωνασκήσεων ώστε να έχουν στη διάθεσή τους ότι χρειάζεται για την πλήρη κατανόηση τουmicroαθήmicroατος Πιστεύω ότι οι ϕοιτητές που θα ολοκληρώσουν τη microελέτη αυτού του βιβλίουκαι θα κατάϕερουν να λύσουν microόνοι τους όλες τις ασκήσεις που έχουν λυθεί στο Παράρ-τηmicroα Β θα κατανοήσουν πολύ καλά το αντικείmicroενο Όmicroως γνωρίζω ότι κάποιοι ϕοιτητέςθα θέλουν να έχουν πρόσβαση σε επιπλέον βοηθητικό υλικό Γιrsquo αυτόν το λόγο έχω γρά-ψει τον οδηγό λύσεων και microελέτης για το ϕοιτητή που διατίθεται ξεχωριστά από αυτότο βιβλίο και περιέχει τις πλήρεις λύσεις των ασκήσεων οι οποίες δεν είναι πλήρως λυmicroέ-νες στο Παράρτηmicroα Β και που ο αριθmicroός τους διαιρείται microε το 3 Αυτός ο οδηγός περιέχειεναλλακτικές επεξηγήσεις για κάποιες έννοιες και ερωτήσεις επανάληψης για κάθε κεϕά-λαιο

Οργάνωση του βιβλίου

Αυτό το βιβλίο microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί αποτελεσmicroατικά για ένα microάθηmicroα ενός ή δύοεξαmicroήνων Κάθε κεϕάλαιο περιέχει κύριες ενότητες ενότητες microε προαιρετικό υλικό καιενότητες microε προαιρετικές εϕαρmicroογές Οι διδάσκοντες έχουν την άνεση να επιλέξουν ό-ποιο υποσύνολο θεωρούν ότι ταιριάζει καλύτερα microε το microάθηmicroα και τους ϕοιτητές τους Οακόλουθος πίνακας δείχνει τη διαίρεση των ενοτήτων σε κατηγορίες

Ενότητες microε προαιρετικό Ενότητες microε προαιρετικές

Κεϕάλαιο Κύρια ενότητα microαθηmicroατικό υλικό εϕαρmicroογές στους υπολογιστές

1 11ndash13 14 15

2 21ndash24 22 23 23

3 31ndash34 36 35 37 38

4 41ndash42 43ndash44 45

5 51 52ndash54 54

6 61ndash64 65ndash69 63

7 71ndash72 73ndash75 71 72 75

8 81 82 83 84 84

9 91 92 94 93 95

10 101ndash103 104 105 104 105

11 111 115 112 113 114 111 112 115 116

12 121 122 123 121ndash123

Το δενδροειδές διάγραmicromicroα που ακολουθεί δείχνει κατά προσέγγιση την αλληλοεξάρ-τηση των κεϕαλαίων Τα κεϕάλαια που βρίσκονται σε διαϕορετικά κλαδιά του δέντρουείναι αρκετά ανεξάρτητα ώστε οι διδάσκοντες να microη χρειάζεται να κάνουν σηmicroαντικέςπροσαρmicroογές αν τα προσπεράσουν και απλώς ακολουθήσουν τις διαδροmicroές κατά microήκοςτων κλαδιών του δέντρου

18 Πρόλογος

1

2

33

4

8

12dagger

11

5

7

9

6 10

lowast dagger

Ευχαριστίες

Χρωστάω ένα microεγάλο ευχαριστώ σε πολλούς ανθρώπους στο Πανεπιστήmicroιο του DePaulγια την υποστήριξή τους όλα αυτά τα χρόνια που δούλευα πάνω στις εκδόσεις αυτού τουβιβλίου Κάποιοι συνάδελϕοι χρησιmicroοποίησαν πρώιmicroες microορϕές και προηγούmicroενες εκδό-σεις του βιβλίου και microου έκαναν εξαιρετικά σχόλια για βελτιώσεις Γιrsquo αυτό ευχαριστώτους Louis Aquila J Marshall Ash Allan Berele Jerey Bergen William Chin BarbaraCortzen Constantine Georgakis Sigrun Goes Jerry Goldman Lawrence Gluck LeonidKrop CarolynNarasimhanWalter Pranger Eric Rieders Ayse Sahin Yuen-FatWong καιειδικότερα την Jeanne LaDuke Οι χιλιάδες ϕοιτητές στους οποίους δίδαξα διακριτά microα-θηmicroατικά είχαν σηmicroαντικότατη επίδραση στη microορϕή του βιβλίου Μοιράζοντας τις σκέ-ψεις τους και τους τρόπους σκέψης τους microαζί microου microε δίδαξαν πώς να διδάσκω καλύτε-ρα Τους οϕείλω ευγνωmicroοσύνη για τη βοήθειά τους Ιδιαίτερες ευχαριστίες οϕείλω στηδιοίκηση του Πανεπιστηmicroίου τουDePaul ιδιαίτερα στον ΚοσmicroήτοραMichael Mezey καιστον πρώην Κοσmicroήτορα Richard Meister που θεώρησαν αξιόλογη ακαδηmicroαϊκή εργασίατη συγγραϕή αυτού του βιβλίου

Ευχαριστώ τους διορθωτές για τις πολύτιmicroες παρατηρήσεις τους γιrsquo αυτή την έκδοσητου βιβλίου τους Pablo Echeverria του Camden County College William Gasarch τουUniversity of Maryland Joseph Kolibal του University of Southern Mississippi Benny Loτου International Technological University George Luger του University of New MexicoNorman Richert τουUniversity of Houston-Clear Lake PeterWilliams τουCalifornia Sta-te University at San Bernardino και τον Jay Zimmerman του Towson University Για τηβοήθειά τους στην πρώτη και δεύτερη έκδοση αυτού του βιβλίου είmicroαι ευγνώmicroων στουςItshak Borosh Texas A ampMUniversity Douglas M Campbell Brigham Young UniversityDavid G Cantor University of California at Los Angeles C Patrick Collier Universityof Wisconsin-Oshkosh Kevan H Croteau Francis Marion University Irinel Drogan Uni-versity of Texas at Arlington Henry A Etlinger Rochester Institute of Technology MelvinJ Friske Wisconsin Lutheran College Ladnor Geissinger University of North CarolinaJerrold R Griggs University of South Carolina Nancy Baxter Hastings Dickinson Colle-ge Lillian Hupert Loyola University Chicago Leonard T Malinowski Finger Lakes Com-munity College John F Morrison Towson State Unviersity Paul Pederson University ofDenver George Peck Arizona State University Roxy Peck California Polytechnic StateUniversity San Luis Obispo Dix Pettey University of Missouri Anthony Ralston State U-niversity of NewYork at Bualo John Roberts University of Louisville καιGeorge Schultz

lowastΟι διδάσκοντες που προτιmicroούν να ορίσουν τη συνάρτηση ως διmicroελή σχέση microπορούν να καλύψουντην Ενότητα 101 πριν την Ενότητα 71daggerΗ Ενότητα 103 χρειάζεται για την Ενότητα 123 αλλά όχι για τις Ενότητες 121 και 122

Πρόλογος 19

St Petersburg Junior College Clearwater Πολλές ευχαριστίες οϕείλω επίσης στους JohnCarroll San Diego State University Dr Joseph S Fulda και Porter G Webster Universityof Southern Mississippi για την απίστευτη επιmicroέλειά τους και την ενθάρρυνση που microουέδωσαν

Επίσης ωϕελήθηκα πάρα πολύ από τις παρατηρήσεις πολλών διδασκόντων που microουπρόσϕεραν γενναιόδωρα τις ιδέες τους για βελτιώσεις βασισmicroένες στις εmicroπειρίες τους α-πό τις προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Είmicroαι ιδιαίτερα ευγνώmicroων στους GoldstinePennsylvania State University David Hecker St Josephrsquos University Tom Jenkyns BrockUniversity Robert Messer Albion College Piotr Rudnicki University of Alberta AnwarShiek Dineacute College Norton Starr Amherst College Είχα επίσης εξαίρετη βοήθεια απότους John Banks Christopher Novak DePaul University και Ian Crewe Ascension Colle-giate School κατά τη διάρκεια της παραγωγής του βιβλίου

Χρωστώ ευγνωmicroοσύνη σε πολλούς ανθρώπους στις εταιρείες Wadsworth and Bro-oksCole Publishing ιδιαίτερα τον εκδότη microου Robert Pirtle για την ικανότητά του ναπραγmicroατοποιεί καλά πράγmicroατα ως δια microαγείας τους προηγούmicroενους εκδότες microου Hea-ther Bennett και Barbara Holland για την ενθάρρυνση και τον ενθουσιασmicroό τους και τηδιευθύντρια παραγωγής Janet Hill για την κατανόησή της και την προθυmicroία της να microουεπιτρέψει να έχω ρόλο σε όλα τα στάδια της παραγωγής ∆εν microπορώ να ϕανταστώ κα-λύτερη διευθύντρια παραγωγής από τη Martha Emry της οποίας τα υψηλής ποιότηταςπρότυπα και η προσοχή της στις λεπτοmicroέρειες ήταν πάντα εmicroπνευσmicroένες Ο σχεδιασmicroόςτης Kathleen Cunningham και η ϕωτοσύνθεση από την Techsetters Inc θα εκτιmicroηθούναπό όλους τους αναγνώστες του βιβλίου

Όσο microεγαλώνω τόσο συνειδητοποιώ το τεράστιο χρέος που οϕείλω στους δικούς microουδασκάλους των microαθηmicroατικών που διαmicroόρϕωσαν τον τρόπο microε τον οποίο βλέπω το αντι-κείmicroενο Τα πρώτα microου ευχαριστώ πρέπει να πάνε στο σύζυγό microουHelmut Epp ο οποίοςσε ένα ραντεβού όταν ακόmicroα ήmicroουν στο Γυmicroνάσιο () microε εισήγαγε στη δύναmicroη και τηνοmicroορϕιά των αξιωmicroάτων των microαθηmicroατικών και την άποψη ότι τα microαθηmicroατικά είναι ένααντικείmicroενο τόσο microε ιδέες όσο και microε τύπους και τεχνικές Όσον αϕορά την εκπαίδευ-σή microου είmicroαι ευγνώmicroων στους Daniel Zelinsky και Ky Fan του Northwestern Universityκαι Izaak Wirszup I N Herstein και Irving Kaplansky του University of Chicago που ό-λοι τους ο καθένας microε το δικό του τρόπο microε βοήθησαν να εκτιmicroήσω την κοmicroψότητα καιαυστηρότητα των microαθηmicroατικών αλλά και τη συγκίνηση που προκαλούν

Στην οικογένειά microου χρωστάω ευχαριστίες πέρα από κάθε όριο Είmicroαι ευγνώmicroων στηmicroητέρα microου που το ευγενικό ενδιαϕέρον της για τα έργα της ανθρώπινης διανόησης microεέβαλαν πριν πολλά χρόνια στο δρόmicroο που οδήγησε σε αυτό το βιβλίο και στον εκλιπόνταπατέρα microου που η αϕοσίωσή του στα βιβλία ήταν σταθερή πηγή έmicroπνευσης Ευχαριστώ ταπαιδιά microου και τα εγγόνια microου για την αγάπη τους και την αποδοχή των απαιτήσεων πουεπέβαλλε η συγγραϕή αυτού του βιβλίου στη ζωή microου Και περισσότερο από κάθε άλλονείναι ευγνώmicroωνστο σύζυγό microου που για πολλά χρόνια microε ενθάρρυνε microε την πίστη του στηναξία αυτής της εργασίας και microε υποστήριξε microε την αγάπη του και τις σοϕές συmicroβουλές του

Susanna Epp

236 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

62 Υποθέστε ότι το a[1] a[2] a[3] a[m] είναι διάνυσmicroακαι θεωρήστε το ακόλουθο τmicroήmicroα αλγορίθmicroου

sum ∶= 0for k ∶= 1 to m

sum ∶= sum + a[k]next k

Συmicroπληρώστε τα κενά παρακάτω ώστε κάθε τmicroήmicroα του αλ-γορίθmicroου να κάνει την ίδια δουλειά microε το παραπάνω

α sum ∶= 0for i ∶= 0 to

sum ∶=next i

β sum ∶= 0for j ∶= 2 to

sum ∶=next j

Χρησιmicroοποιήστε διαδοχικές διαιρέσεις microε το 2 για να microετατρέ-ψετε (microε το χέρι) τους ακεραίους των Ασκήσεων 63ndash65 από τηβάση 10 στη βάση 2

63 90 64 98 65 205

Κατασκευάστε έναν πίνακα για να καταγράψετε όλα τα βήmicroατατου Αλγορίθmicroου 411 microε είσοδο τις Ασκήσεις 66ndash68

66 23 67 28 68 44

69 Γράψτε microια microη τυπική περιγραϕή αλγορίθmicroου (χρησιmicroοποιώ-ντας διαδοχικές διαιρέσεις microε το 16) για να microετατρέψετε έναmicroη αρνητικό ακέραιο από το δεκαδικό στο δεκαεξαδικό σύ-στηmicroα (microε βάση το 16)

Χρησιmicroοποιήστε τον αλγόριθmicroο που αναπτύξατε για την Άσκη-ση 69 για να microετατρέψετε τους ακεραίους των Ασκήσεων 70ndash72στο δεκαεξαδικό σύστηmicroα

70 287 71 693 72 2301

73 Γράψτε microια τυπική περιγραϕή του αλγορίθmicroου που αναπτύ-ξατε στην Άσκηση 69

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι

[Η microαϑηmicroατιϰή επαγωγή είναι] η συνήϑης αποδειϰτιϰή τεχνιϰή στην επιστήmicroη τωνυπολογιστών

mdashAnthony Ralston 1984

Ηmicroαθηmicroατική επαγωγή είναι microία από τις πιο πρόσϕατα ανεπτυγmicroένες αποδεικτικές microεθό-δους στην ιστορία των microαθηmicroατικών Χρησιmicroοποιείται για την επαλήθευση εικασιών πουαϕορούν σε αποτελέσmicroατα διαδικασιών που εmicroϕανίζονται κατrsquo επανάληψη και σύmicroϕωναmicroε καθορισmicroένα microοτίβα Θα παρουσιάσουmicroε αυτή την τεχνική microε ένα παράδειγmicroα

Μερικοί ισχυρίζονται ότι το λεπτό του αmicroερικάνικου δολαρίου είναι τόσο microικρό νόmicroι-σmicroα ώστε πρέπει να αποσυρθεί Λένε ότι αν πέσει από τα χέρια κάποιου αυτός σπανίως θασκύψει να το πάρει Άλλοι ισχυρίζονται ότι αν αποσυρθεί το λεπτό θα υπάρχουν προβλή-microατα microε την ευελιξία στον καθορισmicroό των τιmicroών των αγαθών Ποιες τιmicroές θα microπορούσαννα εξοϕληθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο στην περίπτωση απόσυρσης του λεπτού και αντι-κατάστασής του microε ένα νόmicroισmicroα αξίας 3cent Η απάντηση είναι ότι οι microόνες τιmicroές που δενθα microπορούσαν να πληρωθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο είναι οι 1cent 2cent 4cent και 7cent Με άλλαλόγια

Μπορούmicroε να πάρουmicroε οποιονδήποτε ακέραιο αριθmicroό τουλάχιστον8 λεπτών χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα των 3cent και 5cent

Ποιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 microπορούmicroε να πάρουmicroεn λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5cent

Ακόmicroα πιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 η P(n) είναι αληθής όπου P(n) είναι η πρότασηlaquomicroπορούmicroε να πάρουmicroε n λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5centraquo

Θα microπορούσατε να ελέγξετε ότι η P(n) είναι αληθής για λίγες συγκεκριmicroένες τιmicroές του nόπως κάνουmicroε στον παρακάτω πίνακα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 237

Αριθmicroός λεπτών Πώς λαmicroβάνεται

8cent 3cent + 5cent

9cent 3cent + 3cent + 3cent

10cent 5cent + 5cent

11cent 3cent + 3cent + 5cent

12cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent

13cent 3cent + 5cent + 5cent

14cent 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

15cent 5cent + 5cent + 5cent

16cent 3cent + 3cent + 5cent + 5cent

17cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

Οι περιπτώσεις που ϕαίνονται στον πίνακα microας δίνουν επαγωγικού τύπου στοιχείαγια να υποστηρίξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλα τα n Πράγmicroατι η P(n) είναι αλη-ϑής για όλα τα n ge 8 αν ϰαι microόνο αν είναι εϕιϰτό να συνεχίσουmicroε να συmicroπληρώνουmicroε τονπίναϰα για οσοδήποτε microεγάλες τιmicroές του n

Η k γραmicromicroή του πίνακα δίνει πληροϕορίες για το πώς θα πάρουmicroε kcent χρησιmicroοποιώ-ντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent Για να συνεχίσουmicroε τον πίνακα στην επόmicroενη γραmicromicroήπρέπει να δώσουmicroε οδηγίες για το πώς θα υπολογιστούν τα (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και 5cent Το microυστικό είναι να παρατηρήσουmicroε πρώτα ότι αν microπορούmicroε ναυπολογίσουmicroε kcent χρησιmicroοποιώντας τουλάχιστον ένα κέρmicroα των 5cent τότε microπορούmicroε να υ-πολογίσουmicroε (k + 1)cent αντικαθιστώντας το κέρmicroα των 5cent microε δύο κέρmicroατα των 3cent όπωςϕαίνεται στο Σχήmicroα 421

kcent (k + 1)cent

3cent 3cent5cent

Αντικατάσταση ενός κέρματος των 5cent με δύο

κέρματα των 3cent

Αφαίρεση Προσθήκη

Σχήmicroα 421

Αν από την άλλη microεριά τα kcent λαmicroβάνονται χωρίς χρήση του κέρmicroατος των 5cent τότεχρησιmicroοποιούνται microόνο κέρmicroατα των 3cent Και αϕού το σύνολο είναι τουλάχιστον 8cent πρέπεινα περιλαmicroβάνονται τρία ή περισσότερα κέρmicroατα των 3cent Για να πάρουmicroε ένα σύνολο(k + 1)cent microπορούmicroε να αντικαταστήσουmicroε τρία από τα κέρmicroατα των 3cent microε δύο των 5centόπως ϕαίνεται στο Σχήmicroα 422 της επόmicroενης σελίδας

Η δοmicroή του παραπάνω επιχειρήmicroατος microπορεί να περιγραϕεί συνοπτικά ως εξής Γιανα δείξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8 (1) δείχνουmicroε ότι ηP(8) είναι αληθής και (2) δείχνουmicroε ότι η αλήθεια της P(k + 1) προκύπτει απαραίτητααπό την αλήθεια της P(k) για κάθε k ge 8 Κάθε επιχείρηmicroα αυτής της microορϕής καλείταιεπιχείρηmicroα microαϑηmicroατιϰής επαγωγής

238 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

5cent

kcent (k + 1)cent

Προσθήκη

kcent (k + 1)cent

5cent

3cent 3cent

3cent

Αντικαθιστούμε τρίακέρματα των 3centμε δύο κέρματα

των 5cent

Αφαίρεση

5cent

Σχήmicroα 422

Η αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής

Έστω ότι η P(n) είναι microια ιδιότητα που ορίζεται για ακεραίους n και έστω ότι οa είναι ένας συγκεκριmicroένος ακέραιος Υποθέτουmicroε ότι οι ακόλουθες δυο προτάσειςείναι αληθείς

1 Η P(a) είναι αληθής2 Για όλους τους ακεραίους k ge a αν η P(k) είναι αληθής τότε και η P(k + 1) είναι

αληθής

Τότε ισχύει η πρότασηγια όλους τους ακεραίους n ge a η P(n) είναι αληθής

Η πρώτη γνωστή καταγεγραmicromicroένη microαθηmicroατική επαγωγή βρίσκεται στα γραπτά τουΙταλού επιστήmicroονα Francesco Maurolico το 1575 Την ίδια τεχνική χρησιmicroοποιούσαν κα-τά το δέκατο έβδοmicroο αιώνα και οι Pierre de Fermat και Blaise Pascal Ο Fermat ονόmicroαζετην επαγωγή laquomicroέθοδο της άπειρης καθόδουraquo (laquomethod of innite descentraquo) Το 1883 οAugustus De Morgan (γνωστός από τους κανόνες De Morgan) περιέγραψε προσεκτικάτη διαδικασία και την ονόmicroασε microαϑηmicroατιϰή επαγωγή

Για να πάρετε microια διαισθητική εικόνα για τη microαθηmicroατική επαγωγή ϕανταστείτε microιαάπειρη συλλογή από ντόmicroινο τοποθετηmicroένα το ένα πίσω από το άλλο microε τέτοιο τρόποώστε αν ένα ντόmicroινο πέσει να ρίξει και το επόmicroενο (∆είτε το Σχήmicroα 423) Φανταστείτετώρα ότι πέϕτει το πρώτο ντόmicroινο Τι θα συmicroβεί Θα πέσουν όλα

12

3

4

kk + 1

Σχήmicroα 423 Όταν πέϕτει το k ντόmicroινο ρίχνει και το (k + 1)

Για να δείτε τη σχέση ανάmicroεσα σε αυτή την εικόνα και την αρχή της microαθηmicroατικήςεπαγωγής υποθέστε ότι η P(n) είναι η πρόταση laquoτο n ντόmicroινο πέϕτειraquo Υποθέτουmicroε ότιγια κάθε k ge 1 αν η P(k) είναι αληθής (το k ντόmicroινο πέϕτει) τότε η P(k + 1) είναι επίσηςαληθής (το (k + 1) ντόmicroινο πέϕτει) Υποθέτουmicroε επίσης ότι η P(1) είναι αληθής (το πρώτοντόmicroινο πέϕτει) Έτσι από την αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής η P(n) (το n ντόmicroινοπέϕτει) είναι αληθής για κάθε n ge 1

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 239

Η ισχύς της απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή θεωρείται αξίωmicroα Γιrsquo αυτόν το λόγοαναϕερόmicroαστε σε αυτή ως αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής αντί ως θεώρηmicroα Είναι ισο-δύναmicroη microε την ακόλουθη ιδιότητα των ακεραίων που εύκολα τη δέχεται κανείς ως αληθήmicroε βάση τη διαίσθησή του

Υποθέτουmicroε ότι το S είναι οποιοδήποτε σύνολο ακεραίων που ικανοποιεί (1) a isin Sκαι (2) για όλους τους ακεραίους k αν k isin S τότε k + 1 isin S Τότε το S πρέπει ναπεριέχει κάθε ακέραιο microεγαλύτερο ή ίσο του a

Για να κατανοήσουmicroε την ισοδυναmicroία των δυο διατυπώσεων απλώς ορίζουmicroε ως S τοσύνολο όλων των ακεραίων για τους οποίους η P(n) είναι αληθής

Η απόδειξη ενός επιχειρήmicroατος microε microαθηmicroατική επαγωγή είναι microια διαδικασία δύο βη-microάτων Το πρώτο βήmicroα λέγεται αρχιϰό βήmicroα ή βήmicroα έναρξης και το δεύτερο επαγωγιϰόβήmicroα

Η microέθοδος απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή

Θεωρήστε microια πρόταση της microορϕής laquoγια όλους τους ακεραίους n ge a η ιδιότηταP(n) είναι αληθήςraquo Για να αποδείξουmicroε microια τέτοια πρόταση ακολουθούmicroε τα παρα-κάτω δύο βήmicroατα

Βήmicroα 1 (αρχικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = a

Βήmicroα 2 (επαγωγικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους k ge a αν η ιδιό-τητα είναι αληθής για n = k τότε είναι αληθής για n = k + 1 Για να πραγmicroα-τοποιήσουmicroε αυτό το βήmicroα

υποθέτουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k όπου k είναιοποιοσδήποτε συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος ακέραιοςmicroε k ge a [Αυτή η υπόϑεση ονοmicroάζεται επαγωγική υπόθεση]

Έτσι

δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k + 1

∆ίνουmicroε εδώ την τυπική απόδειξη για τα κέρmicroατα που διατυπώσαmicroε χωρίς τυπικό τρό-πο προηγουmicroένως

Πρόταση 421

Έστω ότι η P(n) είναι η ιδιότητα laquoncent microπορούν να υπολογιστούν microε κέρmicroατα των 3centκαι 5centraquo Τότε η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8

Απόδειξη

∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 8 Η ιδιότητα είναι αληθής για n = 8 ε-πειδή 8cent = 3cent + 5cent

∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 8 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής ϰαι για n = k + 1 Υποθέτουmicroε ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε kcent χρη-σιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent για κάποιο ακέραιο k ge 8 [Αυτή είναι η ε-παγωγιϰή υπόϑεση]Πρέπει να δείξουmicroε τώρα ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε και (k + 1)centχρησιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και 5cent Αν υπάρχει κέρmicroα των 5cent ανάmicroεσα σε αυτάπου απαρτίζουν τα kcent το αντικαθιστούmicroε microε δύο κέρmicroατα των 3cent το αποτέλεσmicroαθα είναι (k + 1)cent Αν δεν υπάρχει κέρmicroα των 5cent σε αυτά που απαρτίζουν τα kcent τότεπρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 3 κέρmicroατα των 3cent αϕού k ge 8 Αϕαιρούmicroε αυτά τατρία κέρmicroατα των 3cent και τα αντικαθιστούmicroε microε δύο των 5cent το αποτέλεσmicroα θα είναι(k + 1)cent Έτσι σε κάθε περίπτωση microπορούmicroε να πάρουmicroε (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και των 5cent [όπως έπρεπε να δειχϑεί]

240 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Το ακόλουθο παράδειγmicroα δείχνει πώς χρησιmicroοποιούmicroε τη microαθηmicroατική επαγωγή γιανα αποδείξουmicroε έναν τύπο που δίνει το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Παράδειγmicroα 421 Άθροισmicroα των n πρώτων ακεραίων

Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να αποδείξετε ότι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2για όλους τους ακεραίους n ge 1

Λύση Για να κατασκευάσετε microια απόδειξη microε επαγωγή πρέπει πρώτα να βρείτε ποια είναι ηιδιότητα P(n) Σε αυτή την περίπτωση η P(n) είναι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2 larr η ιδιότητα (P(n))

[Για να δείτε ότι η P(n) είναι microια πρόταση παρατηρήστε ότι το αντιϰείmicroενό της είναι laquoτοάϑροισmicroα των αϰεραίων από το 1 microέχρι το nraquo ϰαι το ρήmicroα της είναι το laquoισούταιraquo]

Στο αρχικό βήmicroα της απόδειξης πρέπει να δείξετε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 1ή microε άλλα λόγια ότι η P(1) είναι αληθής Τώρα για να βρούmicroε την P(1) αντικαθιστούmicroε1 στη θέση του n στην P(n) Το αριστερό σκέλος της P(1) είναι το άθροισmicroα όλων τωνδιαδοχικών ακεραίων που ξεκινούν microε το 1 και τελειώνουν στο 1 Αυτό είναι απλώς το 1Έτσι η P(1) είναι η

1 =1(1 + 1)

2 larr αρχική (P(1))

Φυσικά αυτή η εξίσωση είναι αληθής διότι το δεξιό σκέλος είναι

1(1 + 1)2

=1 sdot 2

2= 1

που ισούται microε το αριστερό σκέλοςΣτο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής για κάποιον ακέραιο k microε

k ge 1 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση] Πρέπει τώρα να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναιαληθής Ποιες είναι οι P(k) και P(k + 1) Για να βρούmicroε την P(k) αντικαθιστούmicroε k στηθέση κάθε n στην P(n) Έτσι η P(k) είναι η

1 + 2 +⋯+ k =k(k + 1)

2 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Παρόmicroοια για να βρούmicroε την P(k + 1) αντικαθιστούmicroε κάθε n της P(n) microε την ποσότητα(k + 1) Έτσι η P(k + 1) είναι1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2

ή ισοδύναmicroα

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

larr να δειχθεί η (P(k + 1))

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 241

Τώρα η επαγωγική υπόθεση είναι ότι η P(k) είναι αληθής Πώς microπορούmicroε να χρησι-microοποιήσουmicroε αυτή την υπόθεση για να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής Η P(k + 1)είναι microια εξίσωση και η αλήθεια microιας εξίσωσης microπορεί να δειχθεί microε διάϕορους τρόπουςΈνας από τους πιο άmicroεσους είναι να microετασχηmicroατίσουmicroε το αριστερό σκέλος στο δεξιόχρησιmicroοποιώντας άλγεβρα και άλλους γνωστούς κανόνες και έγκυρες υποθέσεις microεταξύτων οποίων και την επαγωγική υπόθεση Σε αυτή την περίπτωση το αριστερό σκέλος τηςP(k + 1) είναι

1 + 2 +⋯+ (k + 1)που ισούται microε

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) προσδιορισmicroός του προτελευταίουόρου και οmicroαδοποίηση

Αλλά microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1)=k(k + 1)

2+ (k + 1) αϕού η επαγωγική υπόθεση λέει

ότι 1 + 2 +⋯ + k =k(k + 1)

2

Τώρα χρησιmicroοποιούmicroε άλγεβρα για να δείξουmicroε ότι αυτή η έκϕραση ισούται microε το δεξιόσκέλος της P(k + 1)

k(k + 1)2

+ (k + 1)

=k(k + 1)

2+2(k + 1)

2

πολλαπλασιάζουmicroε αριθmicroητή και πα-ρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε το2 για να πάρουmicroε κοινό παρονοmicroα-στή

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2microε πρόσθεση κλασmicroάτων

=(k + 2)(k + 1)

2βγάζουmicroε κοινό παράγοντα το (k + 1)

=(k + 1)(k + 2)

2υπολογίζουmicroε τους παράγοντες(k + 1) και (k + 2)

που ισούται microε το δεξιό σκέλος της P(k + 1)Συνοψίζουmicroε την παραπάνω ανάλυση ως εξής

Θεώρηmicroα 422 Άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Για όλους τους ακεραίους n ge 1

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2

Απόδειξη (microε microαθηmicroατική επαγωγή)

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση 1 + 2 +⋯+ n = n(n + 1)2

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1 Για να δείξουmicroε την ιδιότητα για

n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 =1(1 + 1)

2 Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης

είναι 1 και το δεξιό είναι1(1 + 1)

2=2

2= 1 και αυτό Άρα η ιδιότητα είναι αληθής για

n = 1συνεχίζεται στην επόmicroενη σελίδα

242 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2είναι αληϑής για ϰάποιον

αϰέραιο k ge 1 στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ k =

k(k + 1)2

για κάποιον ακέραιο k ge 1

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =

n(n + 1)2

είναι αληϑής όταν

αντιϰαταστήσουmicroε το k + 1 στη ϑέση του n]Πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2 ή ισοδύναmicroα ότι

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

421

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος της εξίσωσης (421) ισούται microε το δεξιόσϰέλος]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (421) είναι το

1 + 2 +⋯+ (k + 1)= (1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) Ο προτελευταίος όρος είναι ο k γιατί οι όροι

είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ο τελευταίος εί-ναι ο k + 1

=k(k + 1)

2+ (k + 1) microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

=k(k + 1)

2+(k + 1) sdot 2

2

=(k + 1)(k + 2)

2

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (421) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού δείξαmicroε ϰαι το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

Λέγεται microια ιστορία για έναν από τους microεγαλύτερους microαθηmicroατικούς όλων των εποχώντον Carl Friedrich Gauss (1777ndash1855) σύmicroϕωνα microε την οποία όταν ήταν microικρό παιδί οδάσκαλος του ζήτησε να προσθέσει τους αριθmicroούς από το 1 microέχρι το 100 Ο δάσκαλοςζήτησε από τους microαθητές να υπολογίσουν το άθροισmicroα ώστε να τους απασχολήσει γιανα microπορέσει εκείνος να διορθώσει γραπτά Αλλά λίγες στιγmicroές αργότερα ο Gauss βρήκετην σωστή απάντηση Είναι περιττό να πούmicroε ότι ο δάσκαλος τα έχασε Πώς microπόρεσε ονεαρός Gauss να υπολογίσει τόσο γρήγορα Τα επόmicroενα χρόνια ο Gauss εξήγησε ότι είχεϕανταστεί τους αριθmicroούς σε ζευγάρια σύmicroϕωνα microε το ακόλουθο σχήmicroα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 243

1 2 3 50 51 98 99 100

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

Το άθροισmicroα κάθε ζεύγους είναι 101 και υπάρχουν 50 ζεύγη άρα το συνολικό άθροισmicroαείναι 50 sdot 101 = 5050

Παράδειγmicroα 422 Εϕαρmicroογές του τύπου του αθροίσmicroατος των πρώτων n ακεραίων

α Βρείτε το 2 + 4 + 6 +⋯+ 500

β Βρείτε το 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50

γ Για οποιονδήποτε ακέραιο h ge 2 βρείτε το 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1)Λύση

α 2 + 4 + 6 +⋯+ 500 = 2 sdot (1 + 2 + 3 +⋯+ 250)= 2 sdot (250 sdot 251

2) εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroα

των πρώτων n ακεραίων για n = 250

= 62750

β 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50 = (1 + 2 + 3 +⋯+ 50) minus (1 + 2 + 3 + 4)=50 sdot 51

2minus 10

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroατων πρώτων n ακεραίων για n = 50

= 1265

γ 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1) = (h minus 1) sdot [(h minus 1) + 1]2

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροι-σmicroα των πρώτων n ακεραίων γιαn = h minus 1

=(h minus 1) sdot h

2αϕού (h minus 1) + 1 = h n

Στο επόmicroενο παράδειγmicroα ζητείται να αποδειχθεί ένας άλλος διάσηmicroος microαθηmicroατικόςτύποςmdashο τύπος του αθροίσmicroατος της γεωmicroετρικής προόδου Σε microια γεωmicroετρικήπρόοδοκάθε όρος ισούται microε τον προηγούmicroενο επί ένα σταθερό παράγοντα Αν ο πρώτος όροςείναι 1 και ο σταθερός παράγοντας είναι r τότε η ακολουθία είναι 1 r r2 r3 rn Το άθροισmicroα των πρώτων n όρων αυτής της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

για όλους τους ακεραίους n ge 0 και τους πραγmicroατικούς αριθmicroούς r που δεν είναι ίσοι microε1 Η αναπτυγmicroένη microορϕή αυτού του τύπου είναι η

r0 + r1 + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

και επειδή r0 = 1 και r1 = r ο τύπος για n ge 1 microπορεί να ξαναγραϕεί ως

1 + r + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

244 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παράδειγmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Αποδείξτε ότιnsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 για κάθε ακέραιο n ge 0 και για όλους τους πραγmicroατικούς

αριθmicroούς r διάϕορους του 1

Λύση Σε αυτό το παράδειγmicroα η ιδιότητα P(n) είναι πάλι microια εξίσωση αν και σε αυτή τηνπερίπτωση περιλαmicroβάνει microια πραγmicroατική microεταβλητή r

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 larr η ιδιότητα (P(n))

Αϕού το r microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός εκτός του 1 ξεκινάmicroε τηναπόδειξη υποθέτοντας ότι ο r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγ-microατικός αριθmicroός διάϕορος του 1 Έπειτα συνεχίζουmicroε την απόδειξη microε microαθηmicroατική επα-γωγή στο n αρχίζοντας microε το n = 0 Στο αρχικό βήmicroα πρέπει να δείξουmicroε ότι η P(0) είναιαληθής δηλαδή να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 0 Οπότε αντικαθιστούmicroε0 για κάθε n στην P(n)

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1 larr αρχική (P(0))

Στο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής δηλαδή υποθέτουmicroε ότι ηιδιότητα είναι αληθής για n = k Οπότε αντικαθιστούmicroε k για κάθε n στην P(n)

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Μετά δείχνουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής δηλαδή δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αλη-θής για n = k + 1 Έτσι αντικαθιστούmicroε k + 1 για κάθε n στην P(n)

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1

ή εναλλακτικά

k+1sumi=0

r i =rk+2 minus 1

r minus 1sdot larr για να δείξουmicroε την (P(k + 1))

Θεώρηmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό r εκτός του 1 και για κάθε ακέραιο n ge 0

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Απόδειξη

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Υποθέτουmicroε ότι το r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγmicroατικόςαριθmicroός διάϕορος του 1 Πρέπει να δείξουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους n ge 0

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 245

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Θα το δείξουmicroε microε microαθηmicroατική επαγωγή στο n

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0 Για n = 0 πρέπει να δείξουmicroε ότι

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1

Το αριστερό σκέλος αυτής της εξίσωσης είναι το r0 = 1 Το δεξιό σκέλος είναι

r1 minus 1

r minus 1=r minus 1

r minus 1= 1

ξανά αϕού r1 = r και r ne 1 [Οπότε η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0]

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 0 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1είναι αληϑής όταν ένας αϰέραιος k ge 0

αντιϰατασταϑεί στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 για k ge 0 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση]

[Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1 422

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος αυτής της εξίσωσης ισούται microε το δεξιό]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (422) είναι το

k+1sumi=0

r i =ksumi=0

r i + rk+1 γράϕουmicroε τον (k + 1) όρο ξεχωριστά απότους πρώτους k όρους

=rk+1 minus 1

r minus 1+ rk+1 microε αντικατάσταση από

την επαγωγική υπόθεση

=rk+1 minus 1

r minus 1+rk+1(r minus 1)

r minus 1

πολλαπλασιάζουmicroε τον αριθmicroητή και τονπαρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε (r minus 1)για να έχουmicroε κοινό παρονοmicroαστή

=(rk+1 minus 1) + rk+1(r minus 1)

r minus 1πρόσθεση κλασmicroάτων

=rk+1 minus 1 + rk+2 minus rk+1

r minus 1πολλαπλασιασmicroός και χρήση του

rk+1 sdot r = rk+1 sdot r1 = rk+2

=rk+2 minus 1

r minus 1διαγραϕή των rk+1

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (4 2 2) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

16 Πρόλογος

Θεωρία συνόλων

bull ΟΙ ιδιότητες του κενού συνόλου παρουσιάζονται πλέον στην πρώτη ενότητα τουΚεϕαλαίου 5

bull Ηδεύτερη ενότητα του Κεϕαλαίου 5 είναι πλέον αϕιερωmicroένη αποκλειστικά σε απο-δείξεις στοιχείων

bull Οι αλγεβρικές αποδείξεις των συνολοθεωρητικών ιδιοτήτων και η χρήση αντιπαρα-δειγmicroάτων στην ανασκευή ιδιοτήτων συνόλων έχουν microεταϕερθεί στην τρίτη ενότητατου Κεϕαλαίου 5

bull Η παρουσίαση των αλγεβρών Boole έχει επεκταθεί και επισηmicroαίνεται η σχέση ανά-microεσα στις λογικές ισοδυναmicroίες τις ιδιότητες συνόλων και τις άλγεβρες Boole

Συνδυαστική και διακριτές πιθανότητες

bull Προστέθηκαν ασκήσεις στην ενότητα του διωνυmicroικού θεωρήmicroατος

bull Προστέθηκαν δύο νέες ενότητες στις πιθανότητες όπου microεταξύ άλλων καλύπτονταιη αναmicroενόmicroενη τιmicroή η δεσmicroευmicroένη πιθανότητα και η ανεξαρτησία και το θεώρηmicroαBayes

bull Εξηγούνται οι συνδυαστικές πτυχές των διευθύνσεων του διαδικτυακού πρωτοκόλ-λου (Internet Protocol IP)

Συναρτήσεις

bull Οι ασκήσεις για ένα προς ένα και επί συναρτήσεις έχουν βελτιωθεί

bull Έχει επεκταθεί το σύνολο των ασκήσεων στην πληθικότητα microε εϕαρmicroογές στην υ-πολογισιmicroότητα

Αποδοτικότητα των αλγορίθmicroων

bull Οι Ενότητες 92 και 94 επανεξετάστηκαν και προστέθηκαν οι συmicroβολισmicroοίΘ καιΩ

bull Οι Ενότητες 93 και 95 έχουν αναθεωρηθεί αντίστοιχα microε καλύτερη επεξήγηση τηςέννοιας της διάταξης για έναν αλγόριθmicroο

bull Ηεξέταση της ταξινόmicroησης microε εισαγωγήκαι της ταξινόmicroησης microε επιλογή βελτιώθηκεκαι επεκτάθηκε

Κανονικές εκϕράσεις και αυτόmicroατα πεπερασmicroένων καταστάσεων

bull Οι προηγούmicroενες διάσπαρτες ενότητες για τις τυπικές γλώσσες και τα αυτόmicroαταπεπερασmicroένων καταστάσεων συνενώθηκαν σε ένα αυτόνοmicroο κεϕάλαιο

bull Προστέθηκε microια νέα ενότητα για τις κανονικές εκϕράσεις καθώς και microια συζήτησηγια τη σχέση ανάmicroεσα στις κανονικές εκϕράσεις και στα αυτόmicroατα πεπερασmicroένωνκαταστάσεων

Ιστοσελίδα

∆ηmicroιουργήθηκε microια ιστοσελίδα γιrsquo αυτό το βιβλίο που περιέχει πληροϕορίες και υλικότόσο για τους ϕοιτητές όσο και για τους διδάσκοντες Περιέχει

bull περιγραϕές και συνδέσmicroους σε πολλές σελίδες στο ∆ιαδίκτυο microε προσβάσιmicroες πλη-ροϕορίες σχετικά microε τα διακριτά microαθηmicroατικά

bull συνδέσmicroους σε microικροεϕαρmicroογές που παρουσιάζουν ή προσϕέρουν εξάσκηση σε θέ-microατα διακριτών microαθηmicroατικών

bull πρόσθετα παραδείγmicroατα και ασκήσεις microε λύσεις

bull οδηγούς επανάληψης για τα κεϕάλαια του βιβλίου

Μια ειδική ενότητα για τους διδάσκοντες περιέχει

bull διαϕάνειες και ηλεκτρονικές διαϕάνειες σε αρχεία τύπου PowerPoint

bull επιπλέον ασκήσεις για εξετάσεις

Πρόλογος 17

Οδηγός για τη χρήση του βιβλίου microε τις λύσεις

Κατά τη συγγραϕή αυτού του βιβλίου προσπάθησα να δώσω αρκετή βοήθεια στους ϕοι-τητές microέσω της παρουσίασης της ύλης των λυmicroένων παραδειγmicroάτων και των λύσεων τωνασκήσεων ώστε να έχουν στη διάθεσή τους ότι χρειάζεται για την πλήρη κατανόηση τουmicroαθήmicroατος Πιστεύω ότι οι ϕοιτητές που θα ολοκληρώσουν τη microελέτη αυτού του βιβλίουκαι θα κατάϕερουν να λύσουν microόνοι τους όλες τις ασκήσεις που έχουν λυθεί στο Παράρ-τηmicroα Β θα κατανοήσουν πολύ καλά το αντικείmicroενο Όmicroως γνωρίζω ότι κάποιοι ϕοιτητέςθα θέλουν να έχουν πρόσβαση σε επιπλέον βοηθητικό υλικό Γιrsquo αυτόν το λόγο έχω γρά-ψει τον οδηγό λύσεων και microελέτης για το ϕοιτητή που διατίθεται ξεχωριστά από αυτότο βιβλίο και περιέχει τις πλήρεις λύσεις των ασκήσεων οι οποίες δεν είναι πλήρως λυmicroέ-νες στο Παράρτηmicroα Β και που ο αριθmicroός τους διαιρείται microε το 3 Αυτός ο οδηγός περιέχειεναλλακτικές επεξηγήσεις για κάποιες έννοιες και ερωτήσεις επανάληψης για κάθε κεϕά-λαιο

Οργάνωση του βιβλίου

Αυτό το βιβλίο microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί αποτελεσmicroατικά για ένα microάθηmicroα ενός ή δύοεξαmicroήνων Κάθε κεϕάλαιο περιέχει κύριες ενότητες ενότητες microε προαιρετικό υλικό καιενότητες microε προαιρετικές εϕαρmicroογές Οι διδάσκοντες έχουν την άνεση να επιλέξουν ό-ποιο υποσύνολο θεωρούν ότι ταιριάζει καλύτερα microε το microάθηmicroα και τους ϕοιτητές τους Οακόλουθος πίνακας δείχνει τη διαίρεση των ενοτήτων σε κατηγορίες

Ενότητες microε προαιρετικό Ενότητες microε προαιρετικές

Κεϕάλαιο Κύρια ενότητα microαθηmicroατικό υλικό εϕαρmicroογές στους υπολογιστές

1 11ndash13 14 15

2 21ndash24 22 23 23

3 31ndash34 36 35 37 38

4 41ndash42 43ndash44 45

5 51 52ndash54 54

6 61ndash64 65ndash69 63

7 71ndash72 73ndash75 71 72 75

8 81 82 83 84 84

9 91 92 94 93 95

10 101ndash103 104 105 104 105

11 111 115 112 113 114 111 112 115 116

12 121 122 123 121ndash123

Το δενδροειδές διάγραmicromicroα που ακολουθεί δείχνει κατά προσέγγιση την αλληλοεξάρ-τηση των κεϕαλαίων Τα κεϕάλαια που βρίσκονται σε διαϕορετικά κλαδιά του δέντρουείναι αρκετά ανεξάρτητα ώστε οι διδάσκοντες να microη χρειάζεται να κάνουν σηmicroαντικέςπροσαρmicroογές αν τα προσπεράσουν και απλώς ακολουθήσουν τις διαδροmicroές κατά microήκοςτων κλαδιών του δέντρου

18 Πρόλογος

1

2

33

4

8

12dagger

11

5

7

9

6 10

lowast dagger

Ευχαριστίες

Χρωστάω ένα microεγάλο ευχαριστώ σε πολλούς ανθρώπους στο Πανεπιστήmicroιο του DePaulγια την υποστήριξή τους όλα αυτά τα χρόνια που δούλευα πάνω στις εκδόσεις αυτού τουβιβλίου Κάποιοι συνάδελϕοι χρησιmicroοποίησαν πρώιmicroες microορϕές και προηγούmicroενες εκδό-σεις του βιβλίου και microου έκαναν εξαιρετικά σχόλια για βελτιώσεις Γιrsquo αυτό ευχαριστώτους Louis Aquila J Marshall Ash Allan Berele Jerey Bergen William Chin BarbaraCortzen Constantine Georgakis Sigrun Goes Jerry Goldman Lawrence Gluck LeonidKrop CarolynNarasimhanWalter Pranger Eric Rieders Ayse Sahin Yuen-FatWong καιειδικότερα την Jeanne LaDuke Οι χιλιάδες ϕοιτητές στους οποίους δίδαξα διακριτά microα-θηmicroατικά είχαν σηmicroαντικότατη επίδραση στη microορϕή του βιβλίου Μοιράζοντας τις σκέ-ψεις τους και τους τρόπους σκέψης τους microαζί microου microε δίδαξαν πώς να διδάσκω καλύτε-ρα Τους οϕείλω ευγνωmicroοσύνη για τη βοήθειά τους Ιδιαίτερες ευχαριστίες οϕείλω στηδιοίκηση του Πανεπιστηmicroίου τουDePaul ιδιαίτερα στον ΚοσmicroήτοραMichael Mezey καιστον πρώην Κοσmicroήτορα Richard Meister που θεώρησαν αξιόλογη ακαδηmicroαϊκή εργασίατη συγγραϕή αυτού του βιβλίου

Ευχαριστώ τους διορθωτές για τις πολύτιmicroες παρατηρήσεις τους γιrsquo αυτή την έκδοσητου βιβλίου τους Pablo Echeverria του Camden County College William Gasarch τουUniversity of Maryland Joseph Kolibal του University of Southern Mississippi Benny Loτου International Technological University George Luger του University of New MexicoNorman Richert τουUniversity of Houston-Clear Lake PeterWilliams τουCalifornia Sta-te University at San Bernardino και τον Jay Zimmerman του Towson University Για τηβοήθειά τους στην πρώτη και δεύτερη έκδοση αυτού του βιβλίου είmicroαι ευγνώmicroων στουςItshak Borosh Texas A ampMUniversity Douglas M Campbell Brigham Young UniversityDavid G Cantor University of California at Los Angeles C Patrick Collier Universityof Wisconsin-Oshkosh Kevan H Croteau Francis Marion University Irinel Drogan Uni-versity of Texas at Arlington Henry A Etlinger Rochester Institute of Technology MelvinJ Friske Wisconsin Lutheran College Ladnor Geissinger University of North CarolinaJerrold R Griggs University of South Carolina Nancy Baxter Hastings Dickinson Colle-ge Lillian Hupert Loyola University Chicago Leonard T Malinowski Finger Lakes Com-munity College John F Morrison Towson State Unviersity Paul Pederson University ofDenver George Peck Arizona State University Roxy Peck California Polytechnic StateUniversity San Luis Obispo Dix Pettey University of Missouri Anthony Ralston State U-niversity of NewYork at Bualo John Roberts University of Louisville καιGeorge Schultz

lowastΟι διδάσκοντες που προτιmicroούν να ορίσουν τη συνάρτηση ως διmicroελή σχέση microπορούν να καλύψουντην Ενότητα 101 πριν την Ενότητα 71daggerΗ Ενότητα 103 χρειάζεται για την Ενότητα 123 αλλά όχι για τις Ενότητες 121 και 122

Πρόλογος 19

St Petersburg Junior College Clearwater Πολλές ευχαριστίες οϕείλω επίσης στους JohnCarroll San Diego State University Dr Joseph S Fulda και Porter G Webster Universityof Southern Mississippi για την απίστευτη επιmicroέλειά τους και την ενθάρρυνση που microουέδωσαν

Επίσης ωϕελήθηκα πάρα πολύ από τις παρατηρήσεις πολλών διδασκόντων που microουπρόσϕεραν γενναιόδωρα τις ιδέες τους για βελτιώσεις βασισmicroένες στις εmicroπειρίες τους α-πό τις προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Είmicroαι ιδιαίτερα ευγνώmicroων στους GoldstinePennsylvania State University David Hecker St Josephrsquos University Tom Jenkyns BrockUniversity Robert Messer Albion College Piotr Rudnicki University of Alberta AnwarShiek Dineacute College Norton Starr Amherst College Είχα επίσης εξαίρετη βοήθεια απότους John Banks Christopher Novak DePaul University και Ian Crewe Ascension Colle-giate School κατά τη διάρκεια της παραγωγής του βιβλίου

Χρωστώ ευγνωmicroοσύνη σε πολλούς ανθρώπους στις εταιρείες Wadsworth and Bro-oksCole Publishing ιδιαίτερα τον εκδότη microου Robert Pirtle για την ικανότητά του ναπραγmicroατοποιεί καλά πράγmicroατα ως δια microαγείας τους προηγούmicroενους εκδότες microου Hea-ther Bennett και Barbara Holland για την ενθάρρυνση και τον ενθουσιασmicroό τους και τηδιευθύντρια παραγωγής Janet Hill για την κατανόησή της και την προθυmicroία της να microουεπιτρέψει να έχω ρόλο σε όλα τα στάδια της παραγωγής ∆εν microπορώ να ϕανταστώ κα-λύτερη διευθύντρια παραγωγής από τη Martha Emry της οποίας τα υψηλής ποιότηταςπρότυπα και η προσοχή της στις λεπτοmicroέρειες ήταν πάντα εmicroπνευσmicroένες Ο σχεδιασmicroόςτης Kathleen Cunningham και η ϕωτοσύνθεση από την Techsetters Inc θα εκτιmicroηθούναπό όλους τους αναγνώστες του βιβλίου

Όσο microεγαλώνω τόσο συνειδητοποιώ το τεράστιο χρέος που οϕείλω στους δικούς microουδασκάλους των microαθηmicroατικών που διαmicroόρϕωσαν τον τρόπο microε τον οποίο βλέπω το αντι-κείmicroενο Τα πρώτα microου ευχαριστώ πρέπει να πάνε στο σύζυγό microουHelmut Epp ο οποίοςσε ένα ραντεβού όταν ακόmicroα ήmicroουν στο Γυmicroνάσιο () microε εισήγαγε στη δύναmicroη και τηνοmicroορϕιά των αξιωmicroάτων των microαθηmicroατικών και την άποψη ότι τα microαθηmicroατικά είναι ένααντικείmicroενο τόσο microε ιδέες όσο και microε τύπους και τεχνικές Όσον αϕορά την εκπαίδευ-σή microου είmicroαι ευγνώmicroων στους Daniel Zelinsky και Ky Fan του Northwestern Universityκαι Izaak Wirszup I N Herstein και Irving Kaplansky του University of Chicago που ό-λοι τους ο καθένας microε το δικό του τρόπο microε βοήθησαν να εκτιmicroήσω την κοmicroψότητα καιαυστηρότητα των microαθηmicroατικών αλλά και τη συγκίνηση που προκαλούν

Στην οικογένειά microου χρωστάω ευχαριστίες πέρα από κάθε όριο Είmicroαι ευγνώmicroων στηmicroητέρα microου που το ευγενικό ενδιαϕέρον της για τα έργα της ανθρώπινης διανόησης microεέβαλαν πριν πολλά χρόνια στο δρόmicroο που οδήγησε σε αυτό το βιβλίο και στον εκλιπόνταπατέρα microου που η αϕοσίωσή του στα βιβλία ήταν σταθερή πηγή έmicroπνευσης Ευχαριστώ ταπαιδιά microου και τα εγγόνια microου για την αγάπη τους και την αποδοχή των απαιτήσεων πουεπέβαλλε η συγγραϕή αυτού του βιβλίου στη ζωή microου Και περισσότερο από κάθε άλλονείναι ευγνώmicroωνστο σύζυγό microου που για πολλά χρόνια microε ενθάρρυνε microε την πίστη του στηναξία αυτής της εργασίας και microε υποστήριξε microε την αγάπη του και τις σοϕές συmicroβουλές του

Susanna Epp

236 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

62 Υποθέστε ότι το a[1] a[2] a[3] a[m] είναι διάνυσmicroακαι θεωρήστε το ακόλουθο τmicroήmicroα αλγορίθmicroου

sum ∶= 0for k ∶= 1 to m

sum ∶= sum + a[k]next k

Συmicroπληρώστε τα κενά παρακάτω ώστε κάθε τmicroήmicroα του αλ-γορίθmicroου να κάνει την ίδια δουλειά microε το παραπάνω

α sum ∶= 0for i ∶= 0 to

sum ∶=next i

β sum ∶= 0for j ∶= 2 to

sum ∶=next j

Χρησιmicroοποιήστε διαδοχικές διαιρέσεις microε το 2 για να microετατρέ-ψετε (microε το χέρι) τους ακεραίους των Ασκήσεων 63ndash65 από τηβάση 10 στη βάση 2

63 90 64 98 65 205

Κατασκευάστε έναν πίνακα για να καταγράψετε όλα τα βήmicroατατου Αλγορίθmicroου 411 microε είσοδο τις Ασκήσεις 66ndash68

66 23 67 28 68 44

69 Γράψτε microια microη τυπική περιγραϕή αλγορίθmicroου (χρησιmicroοποιώ-ντας διαδοχικές διαιρέσεις microε το 16) για να microετατρέψετε έναmicroη αρνητικό ακέραιο από το δεκαδικό στο δεκαεξαδικό σύ-στηmicroα (microε βάση το 16)

Χρησιmicroοποιήστε τον αλγόριθmicroο που αναπτύξατε για την Άσκη-ση 69 για να microετατρέψετε τους ακεραίους των Ασκήσεων 70ndash72στο δεκαεξαδικό σύστηmicroα

70 287 71 693 72 2301

73 Γράψτε microια τυπική περιγραϕή του αλγορίθmicroου που αναπτύ-ξατε στην Άσκηση 69

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι

[Η microαϑηmicroατιϰή επαγωγή είναι] η συνήϑης αποδειϰτιϰή τεχνιϰή στην επιστήmicroη τωνυπολογιστών

mdashAnthony Ralston 1984

Ηmicroαθηmicroατική επαγωγή είναι microία από τις πιο πρόσϕατα ανεπτυγmicroένες αποδεικτικές microεθό-δους στην ιστορία των microαθηmicroατικών Χρησιmicroοποιείται για την επαλήθευση εικασιών πουαϕορούν σε αποτελέσmicroατα διαδικασιών που εmicroϕανίζονται κατrsquo επανάληψη και σύmicroϕωναmicroε καθορισmicroένα microοτίβα Θα παρουσιάσουmicroε αυτή την τεχνική microε ένα παράδειγmicroα

Μερικοί ισχυρίζονται ότι το λεπτό του αmicroερικάνικου δολαρίου είναι τόσο microικρό νόmicroι-σmicroα ώστε πρέπει να αποσυρθεί Λένε ότι αν πέσει από τα χέρια κάποιου αυτός σπανίως θασκύψει να το πάρει Άλλοι ισχυρίζονται ότι αν αποσυρθεί το λεπτό θα υπάρχουν προβλή-microατα microε την ευελιξία στον καθορισmicroό των τιmicroών των αγαθών Ποιες τιmicroές θα microπορούσαννα εξοϕληθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο στην περίπτωση απόσυρσης του λεπτού και αντι-κατάστασής του microε ένα νόmicroισmicroα αξίας 3cent Η απάντηση είναι ότι οι microόνες τιmicroές που δενθα microπορούσαν να πληρωθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο είναι οι 1cent 2cent 4cent και 7cent Με άλλαλόγια

Μπορούmicroε να πάρουmicroε οποιονδήποτε ακέραιο αριθmicroό τουλάχιστον8 λεπτών χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα των 3cent και 5cent

Ποιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 microπορούmicroε να πάρουmicroεn λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5cent

Ακόmicroα πιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 η P(n) είναι αληθής όπου P(n) είναι η πρότασηlaquomicroπορούmicroε να πάρουmicroε n λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5centraquo

Θα microπορούσατε να ελέγξετε ότι η P(n) είναι αληθής για λίγες συγκεκριmicroένες τιmicroές του nόπως κάνουmicroε στον παρακάτω πίνακα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 237

Αριθmicroός λεπτών Πώς λαmicroβάνεται

8cent 3cent + 5cent

9cent 3cent + 3cent + 3cent

10cent 5cent + 5cent

11cent 3cent + 3cent + 5cent

12cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent

13cent 3cent + 5cent + 5cent

14cent 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

15cent 5cent + 5cent + 5cent

16cent 3cent + 3cent + 5cent + 5cent

17cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

Οι περιπτώσεις που ϕαίνονται στον πίνακα microας δίνουν επαγωγικού τύπου στοιχείαγια να υποστηρίξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλα τα n Πράγmicroατι η P(n) είναι αλη-ϑής για όλα τα n ge 8 αν ϰαι microόνο αν είναι εϕιϰτό να συνεχίσουmicroε να συmicroπληρώνουmicroε τονπίναϰα για οσοδήποτε microεγάλες τιmicroές του n

Η k γραmicromicroή του πίνακα δίνει πληροϕορίες για το πώς θα πάρουmicroε kcent χρησιmicroοποιώ-ντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent Για να συνεχίσουmicroε τον πίνακα στην επόmicroενη γραmicromicroήπρέπει να δώσουmicroε οδηγίες για το πώς θα υπολογιστούν τα (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και 5cent Το microυστικό είναι να παρατηρήσουmicroε πρώτα ότι αν microπορούmicroε ναυπολογίσουmicroε kcent χρησιmicroοποιώντας τουλάχιστον ένα κέρmicroα των 5cent τότε microπορούmicroε να υ-πολογίσουmicroε (k + 1)cent αντικαθιστώντας το κέρmicroα των 5cent microε δύο κέρmicroατα των 3cent όπωςϕαίνεται στο Σχήmicroα 421

kcent (k + 1)cent

3cent 3cent5cent

Αντικατάσταση ενός κέρματος των 5cent με δύο

κέρματα των 3cent

Αφαίρεση Προσθήκη

Σχήmicroα 421

Αν από την άλλη microεριά τα kcent λαmicroβάνονται χωρίς χρήση του κέρmicroατος των 5cent τότεχρησιmicroοποιούνται microόνο κέρmicroατα των 3cent Και αϕού το σύνολο είναι τουλάχιστον 8cent πρέπεινα περιλαmicroβάνονται τρία ή περισσότερα κέρmicroατα των 3cent Για να πάρουmicroε ένα σύνολο(k + 1)cent microπορούmicroε να αντικαταστήσουmicroε τρία από τα κέρmicroατα των 3cent microε δύο των 5centόπως ϕαίνεται στο Σχήmicroα 422 της επόmicroενης σελίδας

Η δοmicroή του παραπάνω επιχειρήmicroατος microπορεί να περιγραϕεί συνοπτικά ως εξής Γιανα δείξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8 (1) δείχνουmicroε ότι ηP(8) είναι αληθής και (2) δείχνουmicroε ότι η αλήθεια της P(k + 1) προκύπτει απαραίτητααπό την αλήθεια της P(k) για κάθε k ge 8 Κάθε επιχείρηmicroα αυτής της microορϕής καλείταιεπιχείρηmicroα microαϑηmicroατιϰής επαγωγής

238 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

5cent

kcent (k + 1)cent

Προσθήκη

kcent (k + 1)cent

5cent

3cent 3cent

3cent

Αντικαθιστούμε τρίακέρματα των 3centμε δύο κέρματα

των 5cent

Αφαίρεση

5cent

Σχήmicroα 422

Η αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής

Έστω ότι η P(n) είναι microια ιδιότητα που ορίζεται για ακεραίους n και έστω ότι οa είναι ένας συγκεκριmicroένος ακέραιος Υποθέτουmicroε ότι οι ακόλουθες δυο προτάσειςείναι αληθείς

1 Η P(a) είναι αληθής2 Για όλους τους ακεραίους k ge a αν η P(k) είναι αληθής τότε και η P(k + 1) είναι

αληθής

Τότε ισχύει η πρότασηγια όλους τους ακεραίους n ge a η P(n) είναι αληθής

Η πρώτη γνωστή καταγεγραmicromicroένη microαθηmicroατική επαγωγή βρίσκεται στα γραπτά τουΙταλού επιστήmicroονα Francesco Maurolico το 1575 Την ίδια τεχνική χρησιmicroοποιούσαν κα-τά το δέκατο έβδοmicroο αιώνα και οι Pierre de Fermat και Blaise Pascal Ο Fermat ονόmicroαζετην επαγωγή laquomicroέθοδο της άπειρης καθόδουraquo (laquomethod of innite descentraquo) Το 1883 οAugustus De Morgan (γνωστός από τους κανόνες De Morgan) περιέγραψε προσεκτικάτη διαδικασία και την ονόmicroασε microαϑηmicroατιϰή επαγωγή

Για να πάρετε microια διαισθητική εικόνα για τη microαθηmicroατική επαγωγή ϕανταστείτε microιαάπειρη συλλογή από ντόmicroινο τοποθετηmicroένα το ένα πίσω από το άλλο microε τέτοιο τρόποώστε αν ένα ντόmicroινο πέσει να ρίξει και το επόmicroενο (∆είτε το Σχήmicroα 423) Φανταστείτετώρα ότι πέϕτει το πρώτο ντόmicroινο Τι θα συmicroβεί Θα πέσουν όλα

12

3

4

kk + 1

Σχήmicroα 423 Όταν πέϕτει το k ντόmicroινο ρίχνει και το (k + 1)

Για να δείτε τη σχέση ανάmicroεσα σε αυτή την εικόνα και την αρχή της microαθηmicroατικήςεπαγωγής υποθέστε ότι η P(n) είναι η πρόταση laquoτο n ντόmicroινο πέϕτειraquo Υποθέτουmicroε ότιγια κάθε k ge 1 αν η P(k) είναι αληθής (το k ντόmicroινο πέϕτει) τότε η P(k + 1) είναι επίσηςαληθής (το (k + 1) ντόmicroινο πέϕτει) Υποθέτουmicroε επίσης ότι η P(1) είναι αληθής (το πρώτοντόmicroινο πέϕτει) Έτσι από την αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής η P(n) (το n ντόmicroινοπέϕτει) είναι αληθής για κάθε n ge 1

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 239

Η ισχύς της απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή θεωρείται αξίωmicroα Γιrsquo αυτόν το λόγοαναϕερόmicroαστε σε αυτή ως αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής αντί ως θεώρηmicroα Είναι ισο-δύναmicroη microε την ακόλουθη ιδιότητα των ακεραίων που εύκολα τη δέχεται κανείς ως αληθήmicroε βάση τη διαίσθησή του

Υποθέτουmicroε ότι το S είναι οποιοδήποτε σύνολο ακεραίων που ικανοποιεί (1) a isin Sκαι (2) για όλους τους ακεραίους k αν k isin S τότε k + 1 isin S Τότε το S πρέπει ναπεριέχει κάθε ακέραιο microεγαλύτερο ή ίσο του a

Για να κατανοήσουmicroε την ισοδυναmicroία των δυο διατυπώσεων απλώς ορίζουmicroε ως S τοσύνολο όλων των ακεραίων για τους οποίους η P(n) είναι αληθής

Η απόδειξη ενός επιχειρήmicroατος microε microαθηmicroατική επαγωγή είναι microια διαδικασία δύο βη-microάτων Το πρώτο βήmicroα λέγεται αρχιϰό βήmicroα ή βήmicroα έναρξης και το δεύτερο επαγωγιϰόβήmicroα

Η microέθοδος απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή

Θεωρήστε microια πρόταση της microορϕής laquoγια όλους τους ακεραίους n ge a η ιδιότηταP(n) είναι αληθήςraquo Για να αποδείξουmicroε microια τέτοια πρόταση ακολουθούmicroε τα παρα-κάτω δύο βήmicroατα

Βήmicroα 1 (αρχικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = a

Βήmicroα 2 (επαγωγικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους k ge a αν η ιδιό-τητα είναι αληθής για n = k τότε είναι αληθής για n = k + 1 Για να πραγmicroα-τοποιήσουmicroε αυτό το βήmicroα

υποθέτουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k όπου k είναιοποιοσδήποτε συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος ακέραιοςmicroε k ge a [Αυτή η υπόϑεση ονοmicroάζεται επαγωγική υπόθεση]

Έτσι

δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k + 1

∆ίνουmicroε εδώ την τυπική απόδειξη για τα κέρmicroατα που διατυπώσαmicroε χωρίς τυπικό τρό-πο προηγουmicroένως

Πρόταση 421

Έστω ότι η P(n) είναι η ιδιότητα laquoncent microπορούν να υπολογιστούν microε κέρmicroατα των 3centκαι 5centraquo Τότε η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8

Απόδειξη

∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 8 Η ιδιότητα είναι αληθής για n = 8 ε-πειδή 8cent = 3cent + 5cent

∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 8 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής ϰαι για n = k + 1 Υποθέτουmicroε ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε kcent χρη-σιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent για κάποιο ακέραιο k ge 8 [Αυτή είναι η ε-παγωγιϰή υπόϑεση]Πρέπει να δείξουmicroε τώρα ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε και (k + 1)centχρησιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και 5cent Αν υπάρχει κέρmicroα των 5cent ανάmicroεσα σε αυτάπου απαρτίζουν τα kcent το αντικαθιστούmicroε microε δύο κέρmicroατα των 3cent το αποτέλεσmicroαθα είναι (k + 1)cent Αν δεν υπάρχει κέρmicroα των 5cent σε αυτά που απαρτίζουν τα kcent τότεπρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 3 κέρmicroατα των 3cent αϕού k ge 8 Αϕαιρούmicroε αυτά τατρία κέρmicroατα των 3cent και τα αντικαθιστούmicroε microε δύο των 5cent το αποτέλεσmicroα θα είναι(k + 1)cent Έτσι σε κάθε περίπτωση microπορούmicroε να πάρουmicroε (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και των 5cent [όπως έπρεπε να δειχϑεί]

240 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Το ακόλουθο παράδειγmicroα δείχνει πώς χρησιmicroοποιούmicroε τη microαθηmicroατική επαγωγή γιανα αποδείξουmicroε έναν τύπο που δίνει το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Παράδειγmicroα 421 Άθροισmicroα των n πρώτων ακεραίων

Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να αποδείξετε ότι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2για όλους τους ακεραίους n ge 1

Λύση Για να κατασκευάσετε microια απόδειξη microε επαγωγή πρέπει πρώτα να βρείτε ποια είναι ηιδιότητα P(n) Σε αυτή την περίπτωση η P(n) είναι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2 larr η ιδιότητα (P(n))

[Για να δείτε ότι η P(n) είναι microια πρόταση παρατηρήστε ότι το αντιϰείmicroενό της είναι laquoτοάϑροισmicroα των αϰεραίων από το 1 microέχρι το nraquo ϰαι το ρήmicroα της είναι το laquoισούταιraquo]

Στο αρχικό βήmicroα της απόδειξης πρέπει να δείξετε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 1ή microε άλλα λόγια ότι η P(1) είναι αληθής Τώρα για να βρούmicroε την P(1) αντικαθιστούmicroε1 στη θέση του n στην P(n) Το αριστερό σκέλος της P(1) είναι το άθροισmicroα όλων τωνδιαδοχικών ακεραίων που ξεκινούν microε το 1 και τελειώνουν στο 1 Αυτό είναι απλώς το 1Έτσι η P(1) είναι η

1 =1(1 + 1)

2 larr αρχική (P(1))

Φυσικά αυτή η εξίσωση είναι αληθής διότι το δεξιό σκέλος είναι

1(1 + 1)2

=1 sdot 2

2= 1

που ισούται microε το αριστερό σκέλοςΣτο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής για κάποιον ακέραιο k microε

k ge 1 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση] Πρέπει τώρα να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναιαληθής Ποιες είναι οι P(k) και P(k + 1) Για να βρούmicroε την P(k) αντικαθιστούmicroε k στηθέση κάθε n στην P(n) Έτσι η P(k) είναι η

1 + 2 +⋯+ k =k(k + 1)

2 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Παρόmicroοια για να βρούmicroε την P(k + 1) αντικαθιστούmicroε κάθε n της P(n) microε την ποσότητα(k + 1) Έτσι η P(k + 1) είναι1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2

ή ισοδύναmicroα

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

larr να δειχθεί η (P(k + 1))

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 241

Τώρα η επαγωγική υπόθεση είναι ότι η P(k) είναι αληθής Πώς microπορούmicroε να χρησι-microοποιήσουmicroε αυτή την υπόθεση για να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής Η P(k + 1)είναι microια εξίσωση και η αλήθεια microιας εξίσωσης microπορεί να δειχθεί microε διάϕορους τρόπουςΈνας από τους πιο άmicroεσους είναι να microετασχηmicroατίσουmicroε το αριστερό σκέλος στο δεξιόχρησιmicroοποιώντας άλγεβρα και άλλους γνωστούς κανόνες και έγκυρες υποθέσεις microεταξύτων οποίων και την επαγωγική υπόθεση Σε αυτή την περίπτωση το αριστερό σκέλος τηςP(k + 1) είναι

1 + 2 +⋯+ (k + 1)που ισούται microε

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) προσδιορισmicroός του προτελευταίουόρου και οmicroαδοποίηση

Αλλά microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1)=k(k + 1)

2+ (k + 1) αϕού η επαγωγική υπόθεση λέει

ότι 1 + 2 +⋯ + k =k(k + 1)

2

Τώρα χρησιmicroοποιούmicroε άλγεβρα για να δείξουmicroε ότι αυτή η έκϕραση ισούται microε το δεξιόσκέλος της P(k + 1)

k(k + 1)2

+ (k + 1)

=k(k + 1)

2+2(k + 1)

2

πολλαπλασιάζουmicroε αριθmicroητή και πα-ρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε το2 για να πάρουmicroε κοινό παρονοmicroα-στή

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2microε πρόσθεση κλασmicroάτων

=(k + 2)(k + 1)

2βγάζουmicroε κοινό παράγοντα το (k + 1)

=(k + 1)(k + 2)

2υπολογίζουmicroε τους παράγοντες(k + 1) και (k + 2)

που ισούται microε το δεξιό σκέλος της P(k + 1)Συνοψίζουmicroε την παραπάνω ανάλυση ως εξής

Θεώρηmicroα 422 Άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Για όλους τους ακεραίους n ge 1

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2

Απόδειξη (microε microαθηmicroατική επαγωγή)

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση 1 + 2 +⋯+ n = n(n + 1)2

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1 Για να δείξουmicroε την ιδιότητα για

n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 =1(1 + 1)

2 Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης

είναι 1 και το δεξιό είναι1(1 + 1)

2=2

2= 1 και αυτό Άρα η ιδιότητα είναι αληθής για

n = 1συνεχίζεται στην επόmicroενη σελίδα

242 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2είναι αληϑής για ϰάποιον

αϰέραιο k ge 1 στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ k =

k(k + 1)2

για κάποιον ακέραιο k ge 1

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =

n(n + 1)2

είναι αληϑής όταν

αντιϰαταστήσουmicroε το k + 1 στη ϑέση του n]Πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2 ή ισοδύναmicroα ότι

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

421

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος της εξίσωσης (421) ισούται microε το δεξιόσϰέλος]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (421) είναι το

1 + 2 +⋯+ (k + 1)= (1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) Ο προτελευταίος όρος είναι ο k γιατί οι όροι

είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ο τελευταίος εί-ναι ο k + 1

=k(k + 1)

2+ (k + 1) microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

=k(k + 1)

2+(k + 1) sdot 2

2

=(k + 1)(k + 2)

2

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (421) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού δείξαmicroε ϰαι το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

Λέγεται microια ιστορία για έναν από τους microεγαλύτερους microαθηmicroατικούς όλων των εποχώντον Carl Friedrich Gauss (1777ndash1855) σύmicroϕωνα microε την οποία όταν ήταν microικρό παιδί οδάσκαλος του ζήτησε να προσθέσει τους αριθmicroούς από το 1 microέχρι το 100 Ο δάσκαλοςζήτησε από τους microαθητές να υπολογίσουν το άθροισmicroα ώστε να τους απασχολήσει γιανα microπορέσει εκείνος να διορθώσει γραπτά Αλλά λίγες στιγmicroές αργότερα ο Gauss βρήκετην σωστή απάντηση Είναι περιττό να πούmicroε ότι ο δάσκαλος τα έχασε Πώς microπόρεσε ονεαρός Gauss να υπολογίσει τόσο γρήγορα Τα επόmicroενα χρόνια ο Gauss εξήγησε ότι είχεϕανταστεί τους αριθmicroούς σε ζευγάρια σύmicroϕωνα microε το ακόλουθο σχήmicroα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 243

1 2 3 50 51 98 99 100

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

Το άθροισmicroα κάθε ζεύγους είναι 101 και υπάρχουν 50 ζεύγη άρα το συνολικό άθροισmicroαείναι 50 sdot 101 = 5050

Παράδειγmicroα 422 Εϕαρmicroογές του τύπου του αθροίσmicroατος των πρώτων n ακεραίων

α Βρείτε το 2 + 4 + 6 +⋯+ 500

β Βρείτε το 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50

γ Για οποιονδήποτε ακέραιο h ge 2 βρείτε το 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1)Λύση

α 2 + 4 + 6 +⋯+ 500 = 2 sdot (1 + 2 + 3 +⋯+ 250)= 2 sdot (250 sdot 251

2) εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroα

των πρώτων n ακεραίων για n = 250

= 62750

β 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50 = (1 + 2 + 3 +⋯+ 50) minus (1 + 2 + 3 + 4)=50 sdot 51

2minus 10

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroατων πρώτων n ακεραίων για n = 50

= 1265

γ 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1) = (h minus 1) sdot [(h minus 1) + 1]2

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροι-σmicroα των πρώτων n ακεραίων γιαn = h minus 1

=(h minus 1) sdot h

2αϕού (h minus 1) + 1 = h n

Στο επόmicroενο παράδειγmicroα ζητείται να αποδειχθεί ένας άλλος διάσηmicroος microαθηmicroατικόςτύποςmdashο τύπος του αθροίσmicroατος της γεωmicroετρικής προόδου Σε microια γεωmicroετρικήπρόοδοκάθε όρος ισούται microε τον προηγούmicroενο επί ένα σταθερό παράγοντα Αν ο πρώτος όροςείναι 1 και ο σταθερός παράγοντας είναι r τότε η ακολουθία είναι 1 r r2 r3 rn Το άθροισmicroα των πρώτων n όρων αυτής της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

για όλους τους ακεραίους n ge 0 και τους πραγmicroατικούς αριθmicroούς r που δεν είναι ίσοι microε1 Η αναπτυγmicroένη microορϕή αυτού του τύπου είναι η

r0 + r1 + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

και επειδή r0 = 1 και r1 = r ο τύπος για n ge 1 microπορεί να ξαναγραϕεί ως

1 + r + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

244 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παράδειγmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Αποδείξτε ότιnsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 για κάθε ακέραιο n ge 0 και για όλους τους πραγmicroατικούς

αριθmicroούς r διάϕορους του 1

Λύση Σε αυτό το παράδειγmicroα η ιδιότητα P(n) είναι πάλι microια εξίσωση αν και σε αυτή τηνπερίπτωση περιλαmicroβάνει microια πραγmicroατική microεταβλητή r

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 larr η ιδιότητα (P(n))

Αϕού το r microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός εκτός του 1 ξεκινάmicroε τηναπόδειξη υποθέτοντας ότι ο r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγ-microατικός αριθmicroός διάϕορος του 1 Έπειτα συνεχίζουmicroε την απόδειξη microε microαθηmicroατική επα-γωγή στο n αρχίζοντας microε το n = 0 Στο αρχικό βήmicroα πρέπει να δείξουmicroε ότι η P(0) είναιαληθής δηλαδή να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 0 Οπότε αντικαθιστούmicroε0 για κάθε n στην P(n)

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1 larr αρχική (P(0))

Στο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής δηλαδή υποθέτουmicroε ότι ηιδιότητα είναι αληθής για n = k Οπότε αντικαθιστούmicroε k για κάθε n στην P(n)

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Μετά δείχνουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής δηλαδή δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αλη-θής για n = k + 1 Έτσι αντικαθιστούmicroε k + 1 για κάθε n στην P(n)

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1

ή εναλλακτικά

k+1sumi=0

r i =rk+2 minus 1

r minus 1sdot larr για να δείξουmicroε την (P(k + 1))

Θεώρηmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό r εκτός του 1 και για κάθε ακέραιο n ge 0

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Απόδειξη

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Υποθέτουmicroε ότι το r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγmicroατικόςαριθmicroός διάϕορος του 1 Πρέπει να δείξουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους n ge 0

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 245

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Θα το δείξουmicroε microε microαθηmicroατική επαγωγή στο n

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0 Για n = 0 πρέπει να δείξουmicroε ότι

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1

Το αριστερό σκέλος αυτής της εξίσωσης είναι το r0 = 1 Το δεξιό σκέλος είναι

r1 minus 1

r minus 1=r minus 1

r minus 1= 1

ξανά αϕού r1 = r και r ne 1 [Οπότε η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0]

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 0 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1είναι αληϑής όταν ένας αϰέραιος k ge 0

αντιϰατασταϑεί στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 για k ge 0 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση]

[Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1 422

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος αυτής της εξίσωσης ισούται microε το δεξιό]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (422) είναι το

k+1sumi=0

r i =ksumi=0

r i + rk+1 γράϕουmicroε τον (k + 1) όρο ξεχωριστά απότους πρώτους k όρους

=rk+1 minus 1

r minus 1+ rk+1 microε αντικατάσταση από

την επαγωγική υπόθεση

=rk+1 minus 1

r minus 1+rk+1(r minus 1)

r minus 1

πολλαπλασιάζουmicroε τον αριθmicroητή και τονπαρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε (r minus 1)για να έχουmicroε κοινό παρονοmicroαστή

=(rk+1 minus 1) + rk+1(r minus 1)

r minus 1πρόσθεση κλασmicroάτων

=rk+1 minus 1 + rk+2 minus rk+1

r minus 1πολλαπλασιασmicroός και χρήση του

rk+1 sdot r = rk+1 sdot r1 = rk+2

=rk+2 minus 1

r minus 1διαγραϕή των rk+1

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (4 2 2) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

Πρόλογος 17

Οδηγός για τη χρήση του βιβλίου microε τις λύσεις

Κατά τη συγγραϕή αυτού του βιβλίου προσπάθησα να δώσω αρκετή βοήθεια στους ϕοι-τητές microέσω της παρουσίασης της ύλης των λυmicroένων παραδειγmicroάτων και των λύσεων τωνασκήσεων ώστε να έχουν στη διάθεσή τους ότι χρειάζεται για την πλήρη κατανόηση τουmicroαθήmicroατος Πιστεύω ότι οι ϕοιτητές που θα ολοκληρώσουν τη microελέτη αυτού του βιβλίουκαι θα κατάϕερουν να λύσουν microόνοι τους όλες τις ασκήσεις που έχουν λυθεί στο Παράρ-τηmicroα Β θα κατανοήσουν πολύ καλά το αντικείmicroενο Όmicroως γνωρίζω ότι κάποιοι ϕοιτητέςθα θέλουν να έχουν πρόσβαση σε επιπλέον βοηθητικό υλικό Γιrsquo αυτόν το λόγο έχω γρά-ψει τον οδηγό λύσεων και microελέτης για το ϕοιτητή που διατίθεται ξεχωριστά από αυτότο βιβλίο και περιέχει τις πλήρεις λύσεις των ασκήσεων οι οποίες δεν είναι πλήρως λυmicroέ-νες στο Παράρτηmicroα Β και που ο αριθmicroός τους διαιρείται microε το 3 Αυτός ο οδηγός περιέχειεναλλακτικές επεξηγήσεις για κάποιες έννοιες και ερωτήσεις επανάληψης για κάθε κεϕά-λαιο

Οργάνωση του βιβλίου

Αυτό το βιβλίο microπορεί να χρησιmicroοποιηθεί αποτελεσmicroατικά για ένα microάθηmicroα ενός ή δύοεξαmicroήνων Κάθε κεϕάλαιο περιέχει κύριες ενότητες ενότητες microε προαιρετικό υλικό καιενότητες microε προαιρετικές εϕαρmicroογές Οι διδάσκοντες έχουν την άνεση να επιλέξουν ό-ποιο υποσύνολο θεωρούν ότι ταιριάζει καλύτερα microε το microάθηmicroα και τους ϕοιτητές τους Οακόλουθος πίνακας δείχνει τη διαίρεση των ενοτήτων σε κατηγορίες

Ενότητες microε προαιρετικό Ενότητες microε προαιρετικές

Κεϕάλαιο Κύρια ενότητα microαθηmicroατικό υλικό εϕαρmicroογές στους υπολογιστές

1 11ndash13 14 15

2 21ndash24 22 23 23

3 31ndash34 36 35 37 38

4 41ndash42 43ndash44 45

5 51 52ndash54 54

6 61ndash64 65ndash69 63

7 71ndash72 73ndash75 71 72 75

8 81 82 83 84 84

9 91 92 94 93 95

10 101ndash103 104 105 104 105

11 111 115 112 113 114 111 112 115 116

12 121 122 123 121ndash123

Το δενδροειδές διάγραmicromicroα που ακολουθεί δείχνει κατά προσέγγιση την αλληλοεξάρ-τηση των κεϕαλαίων Τα κεϕάλαια που βρίσκονται σε διαϕορετικά κλαδιά του δέντρουείναι αρκετά ανεξάρτητα ώστε οι διδάσκοντες να microη χρειάζεται να κάνουν σηmicroαντικέςπροσαρmicroογές αν τα προσπεράσουν και απλώς ακολουθήσουν τις διαδροmicroές κατά microήκοςτων κλαδιών του δέντρου

18 Πρόλογος

1

2

33

4

8

12dagger

11

5

7

9

6 10

lowast dagger

Ευχαριστίες

Χρωστάω ένα microεγάλο ευχαριστώ σε πολλούς ανθρώπους στο Πανεπιστήmicroιο του DePaulγια την υποστήριξή τους όλα αυτά τα χρόνια που δούλευα πάνω στις εκδόσεις αυτού τουβιβλίου Κάποιοι συνάδελϕοι χρησιmicroοποίησαν πρώιmicroες microορϕές και προηγούmicroενες εκδό-σεις του βιβλίου και microου έκαναν εξαιρετικά σχόλια για βελτιώσεις Γιrsquo αυτό ευχαριστώτους Louis Aquila J Marshall Ash Allan Berele Jerey Bergen William Chin BarbaraCortzen Constantine Georgakis Sigrun Goes Jerry Goldman Lawrence Gluck LeonidKrop CarolynNarasimhanWalter Pranger Eric Rieders Ayse Sahin Yuen-FatWong καιειδικότερα την Jeanne LaDuke Οι χιλιάδες ϕοιτητές στους οποίους δίδαξα διακριτά microα-θηmicroατικά είχαν σηmicroαντικότατη επίδραση στη microορϕή του βιβλίου Μοιράζοντας τις σκέ-ψεις τους και τους τρόπους σκέψης τους microαζί microου microε δίδαξαν πώς να διδάσκω καλύτε-ρα Τους οϕείλω ευγνωmicroοσύνη για τη βοήθειά τους Ιδιαίτερες ευχαριστίες οϕείλω στηδιοίκηση του Πανεπιστηmicroίου τουDePaul ιδιαίτερα στον ΚοσmicroήτοραMichael Mezey καιστον πρώην Κοσmicroήτορα Richard Meister που θεώρησαν αξιόλογη ακαδηmicroαϊκή εργασίατη συγγραϕή αυτού του βιβλίου

Ευχαριστώ τους διορθωτές για τις πολύτιmicroες παρατηρήσεις τους γιrsquo αυτή την έκδοσητου βιβλίου τους Pablo Echeverria του Camden County College William Gasarch τουUniversity of Maryland Joseph Kolibal του University of Southern Mississippi Benny Loτου International Technological University George Luger του University of New MexicoNorman Richert τουUniversity of Houston-Clear Lake PeterWilliams τουCalifornia Sta-te University at San Bernardino και τον Jay Zimmerman του Towson University Για τηβοήθειά τους στην πρώτη και δεύτερη έκδοση αυτού του βιβλίου είmicroαι ευγνώmicroων στουςItshak Borosh Texas A ampMUniversity Douglas M Campbell Brigham Young UniversityDavid G Cantor University of California at Los Angeles C Patrick Collier Universityof Wisconsin-Oshkosh Kevan H Croteau Francis Marion University Irinel Drogan Uni-versity of Texas at Arlington Henry A Etlinger Rochester Institute of Technology MelvinJ Friske Wisconsin Lutheran College Ladnor Geissinger University of North CarolinaJerrold R Griggs University of South Carolina Nancy Baxter Hastings Dickinson Colle-ge Lillian Hupert Loyola University Chicago Leonard T Malinowski Finger Lakes Com-munity College John F Morrison Towson State Unviersity Paul Pederson University ofDenver George Peck Arizona State University Roxy Peck California Polytechnic StateUniversity San Luis Obispo Dix Pettey University of Missouri Anthony Ralston State U-niversity of NewYork at Bualo John Roberts University of Louisville καιGeorge Schultz

lowastΟι διδάσκοντες που προτιmicroούν να ορίσουν τη συνάρτηση ως διmicroελή σχέση microπορούν να καλύψουντην Ενότητα 101 πριν την Ενότητα 71daggerΗ Ενότητα 103 χρειάζεται για την Ενότητα 123 αλλά όχι για τις Ενότητες 121 και 122

Πρόλογος 19

St Petersburg Junior College Clearwater Πολλές ευχαριστίες οϕείλω επίσης στους JohnCarroll San Diego State University Dr Joseph S Fulda και Porter G Webster Universityof Southern Mississippi για την απίστευτη επιmicroέλειά τους και την ενθάρρυνση που microουέδωσαν

Επίσης ωϕελήθηκα πάρα πολύ από τις παρατηρήσεις πολλών διδασκόντων που microουπρόσϕεραν γενναιόδωρα τις ιδέες τους για βελτιώσεις βασισmicroένες στις εmicroπειρίες τους α-πό τις προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Είmicroαι ιδιαίτερα ευγνώmicroων στους GoldstinePennsylvania State University David Hecker St Josephrsquos University Tom Jenkyns BrockUniversity Robert Messer Albion College Piotr Rudnicki University of Alberta AnwarShiek Dineacute College Norton Starr Amherst College Είχα επίσης εξαίρετη βοήθεια απότους John Banks Christopher Novak DePaul University και Ian Crewe Ascension Colle-giate School κατά τη διάρκεια της παραγωγής του βιβλίου

Χρωστώ ευγνωmicroοσύνη σε πολλούς ανθρώπους στις εταιρείες Wadsworth and Bro-oksCole Publishing ιδιαίτερα τον εκδότη microου Robert Pirtle για την ικανότητά του ναπραγmicroατοποιεί καλά πράγmicroατα ως δια microαγείας τους προηγούmicroενους εκδότες microου Hea-ther Bennett και Barbara Holland για την ενθάρρυνση και τον ενθουσιασmicroό τους και τηδιευθύντρια παραγωγής Janet Hill για την κατανόησή της και την προθυmicroία της να microουεπιτρέψει να έχω ρόλο σε όλα τα στάδια της παραγωγής ∆εν microπορώ να ϕανταστώ κα-λύτερη διευθύντρια παραγωγής από τη Martha Emry της οποίας τα υψηλής ποιότηταςπρότυπα και η προσοχή της στις λεπτοmicroέρειες ήταν πάντα εmicroπνευσmicroένες Ο σχεδιασmicroόςτης Kathleen Cunningham και η ϕωτοσύνθεση από την Techsetters Inc θα εκτιmicroηθούναπό όλους τους αναγνώστες του βιβλίου

Όσο microεγαλώνω τόσο συνειδητοποιώ το τεράστιο χρέος που οϕείλω στους δικούς microουδασκάλους των microαθηmicroατικών που διαmicroόρϕωσαν τον τρόπο microε τον οποίο βλέπω το αντι-κείmicroενο Τα πρώτα microου ευχαριστώ πρέπει να πάνε στο σύζυγό microουHelmut Epp ο οποίοςσε ένα ραντεβού όταν ακόmicroα ήmicroουν στο Γυmicroνάσιο () microε εισήγαγε στη δύναmicroη και τηνοmicroορϕιά των αξιωmicroάτων των microαθηmicroατικών και την άποψη ότι τα microαθηmicroατικά είναι ένααντικείmicroενο τόσο microε ιδέες όσο και microε τύπους και τεχνικές Όσον αϕορά την εκπαίδευ-σή microου είmicroαι ευγνώmicroων στους Daniel Zelinsky και Ky Fan του Northwestern Universityκαι Izaak Wirszup I N Herstein και Irving Kaplansky του University of Chicago που ό-λοι τους ο καθένας microε το δικό του τρόπο microε βοήθησαν να εκτιmicroήσω την κοmicroψότητα καιαυστηρότητα των microαθηmicroατικών αλλά και τη συγκίνηση που προκαλούν

Στην οικογένειά microου χρωστάω ευχαριστίες πέρα από κάθε όριο Είmicroαι ευγνώmicroων στηmicroητέρα microου που το ευγενικό ενδιαϕέρον της για τα έργα της ανθρώπινης διανόησης microεέβαλαν πριν πολλά χρόνια στο δρόmicroο που οδήγησε σε αυτό το βιβλίο και στον εκλιπόνταπατέρα microου που η αϕοσίωσή του στα βιβλία ήταν σταθερή πηγή έmicroπνευσης Ευχαριστώ ταπαιδιά microου και τα εγγόνια microου για την αγάπη τους και την αποδοχή των απαιτήσεων πουεπέβαλλε η συγγραϕή αυτού του βιβλίου στη ζωή microου Και περισσότερο από κάθε άλλονείναι ευγνώmicroωνστο σύζυγό microου που για πολλά χρόνια microε ενθάρρυνε microε την πίστη του στηναξία αυτής της εργασίας και microε υποστήριξε microε την αγάπη του και τις σοϕές συmicroβουλές του

Susanna Epp

236 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

62 Υποθέστε ότι το a[1] a[2] a[3] a[m] είναι διάνυσmicroακαι θεωρήστε το ακόλουθο τmicroήmicroα αλγορίθmicroου

sum ∶= 0for k ∶= 1 to m

sum ∶= sum + a[k]next k

Συmicroπληρώστε τα κενά παρακάτω ώστε κάθε τmicroήmicroα του αλ-γορίθmicroου να κάνει την ίδια δουλειά microε το παραπάνω

α sum ∶= 0for i ∶= 0 to

sum ∶=next i

β sum ∶= 0for j ∶= 2 to

sum ∶=next j

Χρησιmicroοποιήστε διαδοχικές διαιρέσεις microε το 2 για να microετατρέ-ψετε (microε το χέρι) τους ακεραίους των Ασκήσεων 63ndash65 από τηβάση 10 στη βάση 2

63 90 64 98 65 205

Κατασκευάστε έναν πίνακα για να καταγράψετε όλα τα βήmicroατατου Αλγορίθmicroου 411 microε είσοδο τις Ασκήσεις 66ndash68

66 23 67 28 68 44

69 Γράψτε microια microη τυπική περιγραϕή αλγορίθmicroου (χρησιmicroοποιώ-ντας διαδοχικές διαιρέσεις microε το 16) για να microετατρέψετε έναmicroη αρνητικό ακέραιο από το δεκαδικό στο δεκαεξαδικό σύ-στηmicroα (microε βάση το 16)

Χρησιmicroοποιήστε τον αλγόριθmicroο που αναπτύξατε για την Άσκη-ση 69 για να microετατρέψετε τους ακεραίους των Ασκήσεων 70ndash72στο δεκαεξαδικό σύστηmicroα

70 287 71 693 72 2301

73 Γράψτε microια τυπική περιγραϕή του αλγορίθmicroου που αναπτύ-ξατε στην Άσκηση 69

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι

[Η microαϑηmicroατιϰή επαγωγή είναι] η συνήϑης αποδειϰτιϰή τεχνιϰή στην επιστήmicroη τωνυπολογιστών

mdashAnthony Ralston 1984

Ηmicroαθηmicroατική επαγωγή είναι microία από τις πιο πρόσϕατα ανεπτυγmicroένες αποδεικτικές microεθό-δους στην ιστορία των microαθηmicroατικών Χρησιmicroοποιείται για την επαλήθευση εικασιών πουαϕορούν σε αποτελέσmicroατα διαδικασιών που εmicroϕανίζονται κατrsquo επανάληψη και σύmicroϕωναmicroε καθορισmicroένα microοτίβα Θα παρουσιάσουmicroε αυτή την τεχνική microε ένα παράδειγmicroα

Μερικοί ισχυρίζονται ότι το λεπτό του αmicroερικάνικου δολαρίου είναι τόσο microικρό νόmicroι-σmicroα ώστε πρέπει να αποσυρθεί Λένε ότι αν πέσει από τα χέρια κάποιου αυτός σπανίως θασκύψει να το πάρει Άλλοι ισχυρίζονται ότι αν αποσυρθεί το λεπτό θα υπάρχουν προβλή-microατα microε την ευελιξία στον καθορισmicroό των τιmicroών των αγαθών Ποιες τιmicroές θα microπορούσαννα εξοϕληθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο στην περίπτωση απόσυρσης του λεπτού και αντι-κατάστασής του microε ένα νόmicroισmicroα αξίας 3cent Η απάντηση είναι ότι οι microόνες τιmicroές που δενθα microπορούσαν να πληρωθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο είναι οι 1cent 2cent 4cent και 7cent Με άλλαλόγια

Μπορούmicroε να πάρουmicroε οποιονδήποτε ακέραιο αριθmicroό τουλάχιστον8 λεπτών χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα των 3cent και 5cent

Ποιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 microπορούmicroε να πάρουmicroεn λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5cent

Ακόmicroα πιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 η P(n) είναι αληθής όπου P(n) είναι η πρότασηlaquomicroπορούmicroε να πάρουmicroε n λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5centraquo

Θα microπορούσατε να ελέγξετε ότι η P(n) είναι αληθής για λίγες συγκεκριmicroένες τιmicroές του nόπως κάνουmicroε στον παρακάτω πίνακα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 237

Αριθmicroός λεπτών Πώς λαmicroβάνεται

8cent 3cent + 5cent

9cent 3cent + 3cent + 3cent

10cent 5cent + 5cent

11cent 3cent + 3cent + 5cent

12cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent

13cent 3cent + 5cent + 5cent

14cent 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

15cent 5cent + 5cent + 5cent

16cent 3cent + 3cent + 5cent + 5cent

17cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

Οι περιπτώσεις που ϕαίνονται στον πίνακα microας δίνουν επαγωγικού τύπου στοιχείαγια να υποστηρίξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλα τα n Πράγmicroατι η P(n) είναι αλη-ϑής για όλα τα n ge 8 αν ϰαι microόνο αν είναι εϕιϰτό να συνεχίσουmicroε να συmicroπληρώνουmicroε τονπίναϰα για οσοδήποτε microεγάλες τιmicroές του n

Η k γραmicromicroή του πίνακα δίνει πληροϕορίες για το πώς θα πάρουmicroε kcent χρησιmicroοποιώ-ντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent Για να συνεχίσουmicroε τον πίνακα στην επόmicroενη γραmicromicroήπρέπει να δώσουmicroε οδηγίες για το πώς θα υπολογιστούν τα (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και 5cent Το microυστικό είναι να παρατηρήσουmicroε πρώτα ότι αν microπορούmicroε ναυπολογίσουmicroε kcent χρησιmicroοποιώντας τουλάχιστον ένα κέρmicroα των 5cent τότε microπορούmicroε να υ-πολογίσουmicroε (k + 1)cent αντικαθιστώντας το κέρmicroα των 5cent microε δύο κέρmicroατα των 3cent όπωςϕαίνεται στο Σχήmicroα 421

kcent (k + 1)cent

3cent 3cent5cent

Αντικατάσταση ενός κέρματος των 5cent με δύο

κέρματα των 3cent

Αφαίρεση Προσθήκη

Σχήmicroα 421

Αν από την άλλη microεριά τα kcent λαmicroβάνονται χωρίς χρήση του κέρmicroατος των 5cent τότεχρησιmicroοποιούνται microόνο κέρmicroατα των 3cent Και αϕού το σύνολο είναι τουλάχιστον 8cent πρέπεινα περιλαmicroβάνονται τρία ή περισσότερα κέρmicroατα των 3cent Για να πάρουmicroε ένα σύνολο(k + 1)cent microπορούmicroε να αντικαταστήσουmicroε τρία από τα κέρmicroατα των 3cent microε δύο των 5centόπως ϕαίνεται στο Σχήmicroα 422 της επόmicroενης σελίδας

Η δοmicroή του παραπάνω επιχειρήmicroατος microπορεί να περιγραϕεί συνοπτικά ως εξής Γιανα δείξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8 (1) δείχνουmicroε ότι ηP(8) είναι αληθής και (2) δείχνουmicroε ότι η αλήθεια της P(k + 1) προκύπτει απαραίτητααπό την αλήθεια της P(k) για κάθε k ge 8 Κάθε επιχείρηmicroα αυτής της microορϕής καλείταιεπιχείρηmicroα microαϑηmicroατιϰής επαγωγής

238 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

5cent

kcent (k + 1)cent

Προσθήκη

kcent (k + 1)cent

5cent

3cent 3cent

3cent

Αντικαθιστούμε τρίακέρματα των 3centμε δύο κέρματα

των 5cent

Αφαίρεση

5cent

Σχήmicroα 422

Η αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής

Έστω ότι η P(n) είναι microια ιδιότητα που ορίζεται για ακεραίους n και έστω ότι οa είναι ένας συγκεκριmicroένος ακέραιος Υποθέτουmicroε ότι οι ακόλουθες δυο προτάσειςείναι αληθείς

1 Η P(a) είναι αληθής2 Για όλους τους ακεραίους k ge a αν η P(k) είναι αληθής τότε και η P(k + 1) είναι

αληθής

Τότε ισχύει η πρότασηγια όλους τους ακεραίους n ge a η P(n) είναι αληθής

Η πρώτη γνωστή καταγεγραmicromicroένη microαθηmicroατική επαγωγή βρίσκεται στα γραπτά τουΙταλού επιστήmicroονα Francesco Maurolico το 1575 Την ίδια τεχνική χρησιmicroοποιούσαν κα-τά το δέκατο έβδοmicroο αιώνα και οι Pierre de Fermat και Blaise Pascal Ο Fermat ονόmicroαζετην επαγωγή laquomicroέθοδο της άπειρης καθόδουraquo (laquomethod of innite descentraquo) Το 1883 οAugustus De Morgan (γνωστός από τους κανόνες De Morgan) περιέγραψε προσεκτικάτη διαδικασία και την ονόmicroασε microαϑηmicroατιϰή επαγωγή

Για να πάρετε microια διαισθητική εικόνα για τη microαθηmicroατική επαγωγή ϕανταστείτε microιαάπειρη συλλογή από ντόmicroινο τοποθετηmicroένα το ένα πίσω από το άλλο microε τέτοιο τρόποώστε αν ένα ντόmicroινο πέσει να ρίξει και το επόmicroενο (∆είτε το Σχήmicroα 423) Φανταστείτετώρα ότι πέϕτει το πρώτο ντόmicroινο Τι θα συmicroβεί Θα πέσουν όλα

12

3

4

kk + 1

Σχήmicroα 423 Όταν πέϕτει το k ντόmicroινο ρίχνει και το (k + 1)

Για να δείτε τη σχέση ανάmicroεσα σε αυτή την εικόνα και την αρχή της microαθηmicroατικήςεπαγωγής υποθέστε ότι η P(n) είναι η πρόταση laquoτο n ντόmicroινο πέϕτειraquo Υποθέτουmicroε ότιγια κάθε k ge 1 αν η P(k) είναι αληθής (το k ντόmicroινο πέϕτει) τότε η P(k + 1) είναι επίσηςαληθής (το (k + 1) ντόmicroινο πέϕτει) Υποθέτουmicroε επίσης ότι η P(1) είναι αληθής (το πρώτοντόmicroινο πέϕτει) Έτσι από την αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής η P(n) (το n ντόmicroινοπέϕτει) είναι αληθής για κάθε n ge 1

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 239

Η ισχύς της απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή θεωρείται αξίωmicroα Γιrsquo αυτόν το λόγοαναϕερόmicroαστε σε αυτή ως αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής αντί ως θεώρηmicroα Είναι ισο-δύναmicroη microε την ακόλουθη ιδιότητα των ακεραίων που εύκολα τη δέχεται κανείς ως αληθήmicroε βάση τη διαίσθησή του

Υποθέτουmicroε ότι το S είναι οποιοδήποτε σύνολο ακεραίων που ικανοποιεί (1) a isin Sκαι (2) για όλους τους ακεραίους k αν k isin S τότε k + 1 isin S Τότε το S πρέπει ναπεριέχει κάθε ακέραιο microεγαλύτερο ή ίσο του a

Για να κατανοήσουmicroε την ισοδυναmicroία των δυο διατυπώσεων απλώς ορίζουmicroε ως S τοσύνολο όλων των ακεραίων για τους οποίους η P(n) είναι αληθής

Η απόδειξη ενός επιχειρήmicroατος microε microαθηmicroατική επαγωγή είναι microια διαδικασία δύο βη-microάτων Το πρώτο βήmicroα λέγεται αρχιϰό βήmicroα ή βήmicroα έναρξης και το δεύτερο επαγωγιϰόβήmicroα

Η microέθοδος απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή

Θεωρήστε microια πρόταση της microορϕής laquoγια όλους τους ακεραίους n ge a η ιδιότηταP(n) είναι αληθήςraquo Για να αποδείξουmicroε microια τέτοια πρόταση ακολουθούmicroε τα παρα-κάτω δύο βήmicroατα

Βήmicroα 1 (αρχικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = a

Βήmicroα 2 (επαγωγικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους k ge a αν η ιδιό-τητα είναι αληθής για n = k τότε είναι αληθής για n = k + 1 Για να πραγmicroα-τοποιήσουmicroε αυτό το βήmicroα

υποθέτουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k όπου k είναιοποιοσδήποτε συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος ακέραιοςmicroε k ge a [Αυτή η υπόϑεση ονοmicroάζεται επαγωγική υπόθεση]

Έτσι

δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k + 1

∆ίνουmicroε εδώ την τυπική απόδειξη για τα κέρmicroατα που διατυπώσαmicroε χωρίς τυπικό τρό-πο προηγουmicroένως

Πρόταση 421

Έστω ότι η P(n) είναι η ιδιότητα laquoncent microπορούν να υπολογιστούν microε κέρmicroατα των 3centκαι 5centraquo Τότε η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8

Απόδειξη

∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 8 Η ιδιότητα είναι αληθής για n = 8 ε-πειδή 8cent = 3cent + 5cent

∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 8 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής ϰαι για n = k + 1 Υποθέτουmicroε ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε kcent χρη-σιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent για κάποιο ακέραιο k ge 8 [Αυτή είναι η ε-παγωγιϰή υπόϑεση]Πρέπει να δείξουmicroε τώρα ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε και (k + 1)centχρησιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και 5cent Αν υπάρχει κέρmicroα των 5cent ανάmicroεσα σε αυτάπου απαρτίζουν τα kcent το αντικαθιστούmicroε microε δύο κέρmicroατα των 3cent το αποτέλεσmicroαθα είναι (k + 1)cent Αν δεν υπάρχει κέρmicroα των 5cent σε αυτά που απαρτίζουν τα kcent τότεπρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 3 κέρmicroατα των 3cent αϕού k ge 8 Αϕαιρούmicroε αυτά τατρία κέρmicroατα των 3cent και τα αντικαθιστούmicroε microε δύο των 5cent το αποτέλεσmicroα θα είναι(k + 1)cent Έτσι σε κάθε περίπτωση microπορούmicroε να πάρουmicroε (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και των 5cent [όπως έπρεπε να δειχϑεί]

240 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Το ακόλουθο παράδειγmicroα δείχνει πώς χρησιmicroοποιούmicroε τη microαθηmicroατική επαγωγή γιανα αποδείξουmicroε έναν τύπο που δίνει το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Παράδειγmicroα 421 Άθροισmicroα των n πρώτων ακεραίων

Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να αποδείξετε ότι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2για όλους τους ακεραίους n ge 1

Λύση Για να κατασκευάσετε microια απόδειξη microε επαγωγή πρέπει πρώτα να βρείτε ποια είναι ηιδιότητα P(n) Σε αυτή την περίπτωση η P(n) είναι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2 larr η ιδιότητα (P(n))

[Για να δείτε ότι η P(n) είναι microια πρόταση παρατηρήστε ότι το αντιϰείmicroενό της είναι laquoτοάϑροισmicroα των αϰεραίων από το 1 microέχρι το nraquo ϰαι το ρήmicroα της είναι το laquoισούταιraquo]

Στο αρχικό βήmicroα της απόδειξης πρέπει να δείξετε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 1ή microε άλλα λόγια ότι η P(1) είναι αληθής Τώρα για να βρούmicroε την P(1) αντικαθιστούmicroε1 στη θέση του n στην P(n) Το αριστερό σκέλος της P(1) είναι το άθροισmicroα όλων τωνδιαδοχικών ακεραίων που ξεκινούν microε το 1 και τελειώνουν στο 1 Αυτό είναι απλώς το 1Έτσι η P(1) είναι η

1 =1(1 + 1)

2 larr αρχική (P(1))

Φυσικά αυτή η εξίσωση είναι αληθής διότι το δεξιό σκέλος είναι

1(1 + 1)2

=1 sdot 2

2= 1

που ισούται microε το αριστερό σκέλοςΣτο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής για κάποιον ακέραιο k microε

k ge 1 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση] Πρέπει τώρα να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναιαληθής Ποιες είναι οι P(k) και P(k + 1) Για να βρούmicroε την P(k) αντικαθιστούmicroε k στηθέση κάθε n στην P(n) Έτσι η P(k) είναι η

1 + 2 +⋯+ k =k(k + 1)

2 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Παρόmicroοια για να βρούmicroε την P(k + 1) αντικαθιστούmicroε κάθε n της P(n) microε την ποσότητα(k + 1) Έτσι η P(k + 1) είναι1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2

ή ισοδύναmicroα

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

larr να δειχθεί η (P(k + 1))

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 241

Τώρα η επαγωγική υπόθεση είναι ότι η P(k) είναι αληθής Πώς microπορούmicroε να χρησι-microοποιήσουmicroε αυτή την υπόθεση για να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής Η P(k + 1)είναι microια εξίσωση και η αλήθεια microιας εξίσωσης microπορεί να δειχθεί microε διάϕορους τρόπουςΈνας από τους πιο άmicroεσους είναι να microετασχηmicroατίσουmicroε το αριστερό σκέλος στο δεξιόχρησιmicroοποιώντας άλγεβρα και άλλους γνωστούς κανόνες και έγκυρες υποθέσεις microεταξύτων οποίων και την επαγωγική υπόθεση Σε αυτή την περίπτωση το αριστερό σκέλος τηςP(k + 1) είναι

1 + 2 +⋯+ (k + 1)που ισούται microε

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) προσδιορισmicroός του προτελευταίουόρου και οmicroαδοποίηση

Αλλά microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1)=k(k + 1)

2+ (k + 1) αϕού η επαγωγική υπόθεση λέει

ότι 1 + 2 +⋯ + k =k(k + 1)

2

Τώρα χρησιmicroοποιούmicroε άλγεβρα για να δείξουmicroε ότι αυτή η έκϕραση ισούται microε το δεξιόσκέλος της P(k + 1)

k(k + 1)2

+ (k + 1)

=k(k + 1)

2+2(k + 1)

2

πολλαπλασιάζουmicroε αριθmicroητή και πα-ρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε το2 για να πάρουmicroε κοινό παρονοmicroα-στή

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2microε πρόσθεση κλασmicroάτων

=(k + 2)(k + 1)

2βγάζουmicroε κοινό παράγοντα το (k + 1)

=(k + 1)(k + 2)

2υπολογίζουmicroε τους παράγοντες(k + 1) και (k + 2)

που ισούται microε το δεξιό σκέλος της P(k + 1)Συνοψίζουmicroε την παραπάνω ανάλυση ως εξής

Θεώρηmicroα 422 Άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Για όλους τους ακεραίους n ge 1

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2

Απόδειξη (microε microαθηmicroατική επαγωγή)

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση 1 + 2 +⋯+ n = n(n + 1)2

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1 Για να δείξουmicroε την ιδιότητα για

n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 =1(1 + 1)

2 Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης

είναι 1 και το δεξιό είναι1(1 + 1)

2=2

2= 1 και αυτό Άρα η ιδιότητα είναι αληθής για

n = 1συνεχίζεται στην επόmicroενη σελίδα

242 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2είναι αληϑής για ϰάποιον

αϰέραιο k ge 1 στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ k =

k(k + 1)2

για κάποιον ακέραιο k ge 1

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =

n(n + 1)2

είναι αληϑής όταν

αντιϰαταστήσουmicroε το k + 1 στη ϑέση του n]Πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2 ή ισοδύναmicroα ότι

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

421

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος της εξίσωσης (421) ισούται microε το δεξιόσϰέλος]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (421) είναι το

1 + 2 +⋯+ (k + 1)= (1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) Ο προτελευταίος όρος είναι ο k γιατί οι όροι

είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ο τελευταίος εί-ναι ο k + 1

=k(k + 1)

2+ (k + 1) microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

=k(k + 1)

2+(k + 1) sdot 2

2

=(k + 1)(k + 2)

2

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (421) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού δείξαmicroε ϰαι το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

Λέγεται microια ιστορία για έναν από τους microεγαλύτερους microαθηmicroατικούς όλων των εποχώντον Carl Friedrich Gauss (1777ndash1855) σύmicroϕωνα microε την οποία όταν ήταν microικρό παιδί οδάσκαλος του ζήτησε να προσθέσει τους αριθmicroούς από το 1 microέχρι το 100 Ο δάσκαλοςζήτησε από τους microαθητές να υπολογίσουν το άθροισmicroα ώστε να τους απασχολήσει γιανα microπορέσει εκείνος να διορθώσει γραπτά Αλλά λίγες στιγmicroές αργότερα ο Gauss βρήκετην σωστή απάντηση Είναι περιττό να πούmicroε ότι ο δάσκαλος τα έχασε Πώς microπόρεσε ονεαρός Gauss να υπολογίσει τόσο γρήγορα Τα επόmicroενα χρόνια ο Gauss εξήγησε ότι είχεϕανταστεί τους αριθmicroούς σε ζευγάρια σύmicroϕωνα microε το ακόλουθο σχήmicroα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 243

1 2 3 50 51 98 99 100

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

Το άθροισmicroα κάθε ζεύγους είναι 101 και υπάρχουν 50 ζεύγη άρα το συνολικό άθροισmicroαείναι 50 sdot 101 = 5050

Παράδειγmicroα 422 Εϕαρmicroογές του τύπου του αθροίσmicroατος των πρώτων n ακεραίων

α Βρείτε το 2 + 4 + 6 +⋯+ 500

β Βρείτε το 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50

γ Για οποιονδήποτε ακέραιο h ge 2 βρείτε το 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1)Λύση

α 2 + 4 + 6 +⋯+ 500 = 2 sdot (1 + 2 + 3 +⋯+ 250)= 2 sdot (250 sdot 251

2) εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroα

των πρώτων n ακεραίων για n = 250

= 62750

β 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50 = (1 + 2 + 3 +⋯+ 50) minus (1 + 2 + 3 + 4)=50 sdot 51

2minus 10

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroατων πρώτων n ακεραίων για n = 50

= 1265

γ 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1) = (h minus 1) sdot [(h minus 1) + 1]2

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροι-σmicroα των πρώτων n ακεραίων γιαn = h minus 1

=(h minus 1) sdot h

2αϕού (h minus 1) + 1 = h n

Στο επόmicroενο παράδειγmicroα ζητείται να αποδειχθεί ένας άλλος διάσηmicroος microαθηmicroατικόςτύποςmdashο τύπος του αθροίσmicroατος της γεωmicroετρικής προόδου Σε microια γεωmicroετρικήπρόοδοκάθε όρος ισούται microε τον προηγούmicroενο επί ένα σταθερό παράγοντα Αν ο πρώτος όροςείναι 1 και ο σταθερός παράγοντας είναι r τότε η ακολουθία είναι 1 r r2 r3 rn Το άθροισmicroα των πρώτων n όρων αυτής της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

για όλους τους ακεραίους n ge 0 και τους πραγmicroατικούς αριθmicroούς r που δεν είναι ίσοι microε1 Η αναπτυγmicroένη microορϕή αυτού του τύπου είναι η

r0 + r1 + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

και επειδή r0 = 1 και r1 = r ο τύπος για n ge 1 microπορεί να ξαναγραϕεί ως

1 + r + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

244 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παράδειγmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Αποδείξτε ότιnsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 για κάθε ακέραιο n ge 0 και για όλους τους πραγmicroατικούς

αριθmicroούς r διάϕορους του 1

Λύση Σε αυτό το παράδειγmicroα η ιδιότητα P(n) είναι πάλι microια εξίσωση αν και σε αυτή τηνπερίπτωση περιλαmicroβάνει microια πραγmicroατική microεταβλητή r

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 larr η ιδιότητα (P(n))

Αϕού το r microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός εκτός του 1 ξεκινάmicroε τηναπόδειξη υποθέτοντας ότι ο r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγ-microατικός αριθmicroός διάϕορος του 1 Έπειτα συνεχίζουmicroε την απόδειξη microε microαθηmicroατική επα-γωγή στο n αρχίζοντας microε το n = 0 Στο αρχικό βήmicroα πρέπει να δείξουmicroε ότι η P(0) είναιαληθής δηλαδή να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 0 Οπότε αντικαθιστούmicroε0 για κάθε n στην P(n)

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1 larr αρχική (P(0))

Στο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής δηλαδή υποθέτουmicroε ότι ηιδιότητα είναι αληθής για n = k Οπότε αντικαθιστούmicroε k για κάθε n στην P(n)

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Μετά δείχνουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής δηλαδή δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αλη-θής για n = k + 1 Έτσι αντικαθιστούmicroε k + 1 για κάθε n στην P(n)

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1

ή εναλλακτικά

k+1sumi=0

r i =rk+2 minus 1

r minus 1sdot larr για να δείξουmicroε την (P(k + 1))

Θεώρηmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό r εκτός του 1 και για κάθε ακέραιο n ge 0

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Απόδειξη

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Υποθέτουmicroε ότι το r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγmicroατικόςαριθmicroός διάϕορος του 1 Πρέπει να δείξουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους n ge 0

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 245

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Θα το δείξουmicroε microε microαθηmicroατική επαγωγή στο n

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0 Για n = 0 πρέπει να δείξουmicroε ότι

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1

Το αριστερό σκέλος αυτής της εξίσωσης είναι το r0 = 1 Το δεξιό σκέλος είναι

r1 minus 1

r minus 1=r minus 1

r minus 1= 1

ξανά αϕού r1 = r και r ne 1 [Οπότε η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0]

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 0 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1είναι αληϑής όταν ένας αϰέραιος k ge 0

αντιϰατασταϑεί στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 για k ge 0 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση]

[Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1 422

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος αυτής της εξίσωσης ισούται microε το δεξιό]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (422) είναι το

k+1sumi=0

r i =ksumi=0

r i + rk+1 γράϕουmicroε τον (k + 1) όρο ξεχωριστά απότους πρώτους k όρους

=rk+1 minus 1

r minus 1+ rk+1 microε αντικατάσταση από

την επαγωγική υπόθεση

=rk+1 minus 1

r minus 1+rk+1(r minus 1)

r minus 1

πολλαπλασιάζουmicroε τον αριθmicroητή και τονπαρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε (r minus 1)για να έχουmicroε κοινό παρονοmicroαστή

=(rk+1 minus 1) + rk+1(r minus 1)

r minus 1πρόσθεση κλασmicroάτων

=rk+1 minus 1 + rk+2 minus rk+1

r minus 1πολλαπλασιασmicroός και χρήση του

rk+1 sdot r = rk+1 sdot r1 = rk+2

=rk+2 minus 1

r minus 1διαγραϕή των rk+1

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (4 2 2) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

18 Πρόλογος

1

2

33

4

8

12dagger

11

5

7

9

6 10

lowast dagger

Ευχαριστίες

Χρωστάω ένα microεγάλο ευχαριστώ σε πολλούς ανθρώπους στο Πανεπιστήmicroιο του DePaulγια την υποστήριξή τους όλα αυτά τα χρόνια που δούλευα πάνω στις εκδόσεις αυτού τουβιβλίου Κάποιοι συνάδελϕοι χρησιmicroοποίησαν πρώιmicroες microορϕές και προηγούmicroενες εκδό-σεις του βιβλίου και microου έκαναν εξαιρετικά σχόλια για βελτιώσεις Γιrsquo αυτό ευχαριστώτους Louis Aquila J Marshall Ash Allan Berele Jerey Bergen William Chin BarbaraCortzen Constantine Georgakis Sigrun Goes Jerry Goldman Lawrence Gluck LeonidKrop CarolynNarasimhanWalter Pranger Eric Rieders Ayse Sahin Yuen-FatWong καιειδικότερα την Jeanne LaDuke Οι χιλιάδες ϕοιτητές στους οποίους δίδαξα διακριτά microα-θηmicroατικά είχαν σηmicroαντικότατη επίδραση στη microορϕή του βιβλίου Μοιράζοντας τις σκέ-ψεις τους και τους τρόπους σκέψης τους microαζί microου microε δίδαξαν πώς να διδάσκω καλύτε-ρα Τους οϕείλω ευγνωmicroοσύνη για τη βοήθειά τους Ιδιαίτερες ευχαριστίες οϕείλω στηδιοίκηση του Πανεπιστηmicroίου τουDePaul ιδιαίτερα στον ΚοσmicroήτοραMichael Mezey καιστον πρώην Κοσmicroήτορα Richard Meister που θεώρησαν αξιόλογη ακαδηmicroαϊκή εργασίατη συγγραϕή αυτού του βιβλίου

Ευχαριστώ τους διορθωτές για τις πολύτιmicroες παρατηρήσεις τους γιrsquo αυτή την έκδοσητου βιβλίου τους Pablo Echeverria του Camden County College William Gasarch τουUniversity of Maryland Joseph Kolibal του University of Southern Mississippi Benny Loτου International Technological University George Luger του University of New MexicoNorman Richert τουUniversity of Houston-Clear Lake PeterWilliams τουCalifornia Sta-te University at San Bernardino και τον Jay Zimmerman του Towson University Για τηβοήθειά τους στην πρώτη και δεύτερη έκδοση αυτού του βιβλίου είmicroαι ευγνώmicroων στουςItshak Borosh Texas A ampMUniversity Douglas M Campbell Brigham Young UniversityDavid G Cantor University of California at Los Angeles C Patrick Collier Universityof Wisconsin-Oshkosh Kevan H Croteau Francis Marion University Irinel Drogan Uni-versity of Texas at Arlington Henry A Etlinger Rochester Institute of Technology MelvinJ Friske Wisconsin Lutheran College Ladnor Geissinger University of North CarolinaJerrold R Griggs University of South Carolina Nancy Baxter Hastings Dickinson Colle-ge Lillian Hupert Loyola University Chicago Leonard T Malinowski Finger Lakes Com-munity College John F Morrison Towson State Unviersity Paul Pederson University ofDenver George Peck Arizona State University Roxy Peck California Polytechnic StateUniversity San Luis Obispo Dix Pettey University of Missouri Anthony Ralston State U-niversity of NewYork at Bualo John Roberts University of Louisville καιGeorge Schultz

lowastΟι διδάσκοντες που προτιmicroούν να ορίσουν τη συνάρτηση ως διmicroελή σχέση microπορούν να καλύψουντην Ενότητα 101 πριν την Ενότητα 71daggerΗ Ενότητα 103 χρειάζεται για την Ενότητα 123 αλλά όχι για τις Ενότητες 121 και 122

Πρόλογος 19

St Petersburg Junior College Clearwater Πολλές ευχαριστίες οϕείλω επίσης στους JohnCarroll San Diego State University Dr Joseph S Fulda και Porter G Webster Universityof Southern Mississippi για την απίστευτη επιmicroέλειά τους και την ενθάρρυνση που microουέδωσαν

Επίσης ωϕελήθηκα πάρα πολύ από τις παρατηρήσεις πολλών διδασκόντων που microουπρόσϕεραν γενναιόδωρα τις ιδέες τους για βελτιώσεις βασισmicroένες στις εmicroπειρίες τους α-πό τις προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Είmicroαι ιδιαίτερα ευγνώmicroων στους GoldstinePennsylvania State University David Hecker St Josephrsquos University Tom Jenkyns BrockUniversity Robert Messer Albion College Piotr Rudnicki University of Alberta AnwarShiek Dineacute College Norton Starr Amherst College Είχα επίσης εξαίρετη βοήθεια απότους John Banks Christopher Novak DePaul University και Ian Crewe Ascension Colle-giate School κατά τη διάρκεια της παραγωγής του βιβλίου

Χρωστώ ευγνωmicroοσύνη σε πολλούς ανθρώπους στις εταιρείες Wadsworth and Bro-oksCole Publishing ιδιαίτερα τον εκδότη microου Robert Pirtle για την ικανότητά του ναπραγmicroατοποιεί καλά πράγmicroατα ως δια microαγείας τους προηγούmicroενους εκδότες microου Hea-ther Bennett και Barbara Holland για την ενθάρρυνση και τον ενθουσιασmicroό τους και τηδιευθύντρια παραγωγής Janet Hill για την κατανόησή της και την προθυmicroία της να microουεπιτρέψει να έχω ρόλο σε όλα τα στάδια της παραγωγής ∆εν microπορώ να ϕανταστώ κα-λύτερη διευθύντρια παραγωγής από τη Martha Emry της οποίας τα υψηλής ποιότηταςπρότυπα και η προσοχή της στις λεπτοmicroέρειες ήταν πάντα εmicroπνευσmicroένες Ο σχεδιασmicroόςτης Kathleen Cunningham και η ϕωτοσύνθεση από την Techsetters Inc θα εκτιmicroηθούναπό όλους τους αναγνώστες του βιβλίου

Όσο microεγαλώνω τόσο συνειδητοποιώ το τεράστιο χρέος που οϕείλω στους δικούς microουδασκάλους των microαθηmicroατικών που διαmicroόρϕωσαν τον τρόπο microε τον οποίο βλέπω το αντι-κείmicroενο Τα πρώτα microου ευχαριστώ πρέπει να πάνε στο σύζυγό microουHelmut Epp ο οποίοςσε ένα ραντεβού όταν ακόmicroα ήmicroουν στο Γυmicroνάσιο () microε εισήγαγε στη δύναmicroη και τηνοmicroορϕιά των αξιωmicroάτων των microαθηmicroατικών και την άποψη ότι τα microαθηmicroατικά είναι ένααντικείmicroενο τόσο microε ιδέες όσο και microε τύπους και τεχνικές Όσον αϕορά την εκπαίδευ-σή microου είmicroαι ευγνώmicroων στους Daniel Zelinsky και Ky Fan του Northwestern Universityκαι Izaak Wirszup I N Herstein και Irving Kaplansky του University of Chicago που ό-λοι τους ο καθένας microε το δικό του τρόπο microε βοήθησαν να εκτιmicroήσω την κοmicroψότητα καιαυστηρότητα των microαθηmicroατικών αλλά και τη συγκίνηση που προκαλούν

Στην οικογένειά microου χρωστάω ευχαριστίες πέρα από κάθε όριο Είmicroαι ευγνώmicroων στηmicroητέρα microου που το ευγενικό ενδιαϕέρον της για τα έργα της ανθρώπινης διανόησης microεέβαλαν πριν πολλά χρόνια στο δρόmicroο που οδήγησε σε αυτό το βιβλίο και στον εκλιπόνταπατέρα microου που η αϕοσίωσή του στα βιβλία ήταν σταθερή πηγή έmicroπνευσης Ευχαριστώ ταπαιδιά microου και τα εγγόνια microου για την αγάπη τους και την αποδοχή των απαιτήσεων πουεπέβαλλε η συγγραϕή αυτού του βιβλίου στη ζωή microου Και περισσότερο από κάθε άλλονείναι ευγνώmicroωνστο σύζυγό microου που για πολλά χρόνια microε ενθάρρυνε microε την πίστη του στηναξία αυτής της εργασίας και microε υποστήριξε microε την αγάπη του και τις σοϕές συmicroβουλές του

Susanna Epp

236 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

62 Υποθέστε ότι το a[1] a[2] a[3] a[m] είναι διάνυσmicroακαι θεωρήστε το ακόλουθο τmicroήmicroα αλγορίθmicroου

sum ∶= 0for k ∶= 1 to m

sum ∶= sum + a[k]next k

Συmicroπληρώστε τα κενά παρακάτω ώστε κάθε τmicroήmicroα του αλ-γορίθmicroου να κάνει την ίδια δουλειά microε το παραπάνω

α sum ∶= 0for i ∶= 0 to

sum ∶=next i

β sum ∶= 0for j ∶= 2 to

sum ∶=next j

Χρησιmicroοποιήστε διαδοχικές διαιρέσεις microε το 2 για να microετατρέ-ψετε (microε το χέρι) τους ακεραίους των Ασκήσεων 63ndash65 από τηβάση 10 στη βάση 2

63 90 64 98 65 205

Κατασκευάστε έναν πίνακα για να καταγράψετε όλα τα βήmicroατατου Αλγορίθmicroου 411 microε είσοδο τις Ασκήσεις 66ndash68

66 23 67 28 68 44

69 Γράψτε microια microη τυπική περιγραϕή αλγορίθmicroου (χρησιmicroοποιώ-ντας διαδοχικές διαιρέσεις microε το 16) για να microετατρέψετε έναmicroη αρνητικό ακέραιο από το δεκαδικό στο δεκαεξαδικό σύ-στηmicroα (microε βάση το 16)

Χρησιmicroοποιήστε τον αλγόριθmicroο που αναπτύξατε για την Άσκη-ση 69 για να microετατρέψετε τους ακεραίους των Ασκήσεων 70ndash72στο δεκαεξαδικό σύστηmicroα

70 287 71 693 72 2301

73 Γράψτε microια τυπική περιγραϕή του αλγορίθmicroου που αναπτύ-ξατε στην Άσκηση 69

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι

[Η microαϑηmicroατιϰή επαγωγή είναι] η συνήϑης αποδειϰτιϰή τεχνιϰή στην επιστήmicroη τωνυπολογιστών

mdashAnthony Ralston 1984

Ηmicroαθηmicroατική επαγωγή είναι microία από τις πιο πρόσϕατα ανεπτυγmicroένες αποδεικτικές microεθό-δους στην ιστορία των microαθηmicroατικών Χρησιmicroοποιείται για την επαλήθευση εικασιών πουαϕορούν σε αποτελέσmicroατα διαδικασιών που εmicroϕανίζονται κατrsquo επανάληψη και σύmicroϕωναmicroε καθορισmicroένα microοτίβα Θα παρουσιάσουmicroε αυτή την τεχνική microε ένα παράδειγmicroα

Μερικοί ισχυρίζονται ότι το λεπτό του αmicroερικάνικου δολαρίου είναι τόσο microικρό νόmicroι-σmicroα ώστε πρέπει να αποσυρθεί Λένε ότι αν πέσει από τα χέρια κάποιου αυτός σπανίως θασκύψει να το πάρει Άλλοι ισχυρίζονται ότι αν αποσυρθεί το λεπτό θα υπάρχουν προβλή-microατα microε την ευελιξία στον καθορισmicroό των τιmicroών των αγαθών Ποιες τιmicroές θα microπορούσαννα εξοϕληθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο στην περίπτωση απόσυρσης του λεπτού και αντι-κατάστασής του microε ένα νόmicroισmicroα αξίας 3cent Η απάντηση είναι ότι οι microόνες τιmicroές που δενθα microπορούσαν να πληρωθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο είναι οι 1cent 2cent 4cent και 7cent Με άλλαλόγια

Μπορούmicroε να πάρουmicroε οποιονδήποτε ακέραιο αριθmicroό τουλάχιστον8 λεπτών χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα των 3cent και 5cent

Ποιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 microπορούmicroε να πάρουmicroεn λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5cent

Ακόmicroα πιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 η P(n) είναι αληθής όπου P(n) είναι η πρότασηlaquomicroπορούmicroε να πάρουmicroε n λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5centraquo

Θα microπορούσατε να ελέγξετε ότι η P(n) είναι αληθής για λίγες συγκεκριmicroένες τιmicroές του nόπως κάνουmicroε στον παρακάτω πίνακα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 237

Αριθmicroός λεπτών Πώς λαmicroβάνεται

8cent 3cent + 5cent

9cent 3cent + 3cent + 3cent

10cent 5cent + 5cent

11cent 3cent + 3cent + 5cent

12cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent

13cent 3cent + 5cent + 5cent

14cent 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

15cent 5cent + 5cent + 5cent

16cent 3cent + 3cent + 5cent + 5cent

17cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

Οι περιπτώσεις που ϕαίνονται στον πίνακα microας δίνουν επαγωγικού τύπου στοιχείαγια να υποστηρίξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλα τα n Πράγmicroατι η P(n) είναι αλη-ϑής για όλα τα n ge 8 αν ϰαι microόνο αν είναι εϕιϰτό να συνεχίσουmicroε να συmicroπληρώνουmicroε τονπίναϰα για οσοδήποτε microεγάλες τιmicroές του n

Η k γραmicromicroή του πίνακα δίνει πληροϕορίες για το πώς θα πάρουmicroε kcent χρησιmicroοποιώ-ντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent Για να συνεχίσουmicroε τον πίνακα στην επόmicroενη γραmicromicroήπρέπει να δώσουmicroε οδηγίες για το πώς θα υπολογιστούν τα (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και 5cent Το microυστικό είναι να παρατηρήσουmicroε πρώτα ότι αν microπορούmicroε ναυπολογίσουmicroε kcent χρησιmicroοποιώντας τουλάχιστον ένα κέρmicroα των 5cent τότε microπορούmicroε να υ-πολογίσουmicroε (k + 1)cent αντικαθιστώντας το κέρmicroα των 5cent microε δύο κέρmicroατα των 3cent όπωςϕαίνεται στο Σχήmicroα 421

kcent (k + 1)cent

3cent 3cent5cent

Αντικατάσταση ενός κέρματος των 5cent με δύο

κέρματα των 3cent

Αφαίρεση Προσθήκη

Σχήmicroα 421

Αν από την άλλη microεριά τα kcent λαmicroβάνονται χωρίς χρήση του κέρmicroατος των 5cent τότεχρησιmicroοποιούνται microόνο κέρmicroατα των 3cent Και αϕού το σύνολο είναι τουλάχιστον 8cent πρέπεινα περιλαmicroβάνονται τρία ή περισσότερα κέρmicroατα των 3cent Για να πάρουmicroε ένα σύνολο(k + 1)cent microπορούmicroε να αντικαταστήσουmicroε τρία από τα κέρmicroατα των 3cent microε δύο των 5centόπως ϕαίνεται στο Σχήmicroα 422 της επόmicroενης σελίδας

Η δοmicroή του παραπάνω επιχειρήmicroατος microπορεί να περιγραϕεί συνοπτικά ως εξής Γιανα δείξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8 (1) δείχνουmicroε ότι ηP(8) είναι αληθής και (2) δείχνουmicroε ότι η αλήθεια της P(k + 1) προκύπτει απαραίτητααπό την αλήθεια της P(k) για κάθε k ge 8 Κάθε επιχείρηmicroα αυτής της microορϕής καλείταιεπιχείρηmicroα microαϑηmicroατιϰής επαγωγής

238 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

5cent

kcent (k + 1)cent

Προσθήκη

kcent (k + 1)cent

5cent

3cent 3cent

3cent

Αντικαθιστούμε τρίακέρματα των 3centμε δύο κέρματα

των 5cent

Αφαίρεση

5cent

Σχήmicroα 422

Η αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής

Έστω ότι η P(n) είναι microια ιδιότητα που ορίζεται για ακεραίους n και έστω ότι οa είναι ένας συγκεκριmicroένος ακέραιος Υποθέτουmicroε ότι οι ακόλουθες δυο προτάσειςείναι αληθείς

1 Η P(a) είναι αληθής2 Για όλους τους ακεραίους k ge a αν η P(k) είναι αληθής τότε και η P(k + 1) είναι

αληθής

Τότε ισχύει η πρότασηγια όλους τους ακεραίους n ge a η P(n) είναι αληθής

Η πρώτη γνωστή καταγεγραmicromicroένη microαθηmicroατική επαγωγή βρίσκεται στα γραπτά τουΙταλού επιστήmicroονα Francesco Maurolico το 1575 Την ίδια τεχνική χρησιmicroοποιούσαν κα-τά το δέκατο έβδοmicroο αιώνα και οι Pierre de Fermat και Blaise Pascal Ο Fermat ονόmicroαζετην επαγωγή laquomicroέθοδο της άπειρης καθόδουraquo (laquomethod of innite descentraquo) Το 1883 οAugustus De Morgan (γνωστός από τους κανόνες De Morgan) περιέγραψε προσεκτικάτη διαδικασία και την ονόmicroασε microαϑηmicroατιϰή επαγωγή

Για να πάρετε microια διαισθητική εικόνα για τη microαθηmicroατική επαγωγή ϕανταστείτε microιαάπειρη συλλογή από ντόmicroινο τοποθετηmicroένα το ένα πίσω από το άλλο microε τέτοιο τρόποώστε αν ένα ντόmicroινο πέσει να ρίξει και το επόmicroενο (∆είτε το Σχήmicroα 423) Φανταστείτετώρα ότι πέϕτει το πρώτο ντόmicroινο Τι θα συmicroβεί Θα πέσουν όλα

12

3

4

kk + 1

Σχήmicroα 423 Όταν πέϕτει το k ντόmicroινο ρίχνει και το (k + 1)

Για να δείτε τη σχέση ανάmicroεσα σε αυτή την εικόνα και την αρχή της microαθηmicroατικήςεπαγωγής υποθέστε ότι η P(n) είναι η πρόταση laquoτο n ντόmicroινο πέϕτειraquo Υποθέτουmicroε ότιγια κάθε k ge 1 αν η P(k) είναι αληθής (το k ντόmicroινο πέϕτει) τότε η P(k + 1) είναι επίσηςαληθής (το (k + 1) ντόmicroινο πέϕτει) Υποθέτουmicroε επίσης ότι η P(1) είναι αληθής (το πρώτοντόmicroινο πέϕτει) Έτσι από την αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής η P(n) (το n ντόmicroινοπέϕτει) είναι αληθής για κάθε n ge 1

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 239

Η ισχύς της απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή θεωρείται αξίωmicroα Γιrsquo αυτόν το λόγοαναϕερόmicroαστε σε αυτή ως αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής αντί ως θεώρηmicroα Είναι ισο-δύναmicroη microε την ακόλουθη ιδιότητα των ακεραίων που εύκολα τη δέχεται κανείς ως αληθήmicroε βάση τη διαίσθησή του

Υποθέτουmicroε ότι το S είναι οποιοδήποτε σύνολο ακεραίων που ικανοποιεί (1) a isin Sκαι (2) για όλους τους ακεραίους k αν k isin S τότε k + 1 isin S Τότε το S πρέπει ναπεριέχει κάθε ακέραιο microεγαλύτερο ή ίσο του a

Για να κατανοήσουmicroε την ισοδυναmicroία των δυο διατυπώσεων απλώς ορίζουmicroε ως S τοσύνολο όλων των ακεραίων για τους οποίους η P(n) είναι αληθής

Η απόδειξη ενός επιχειρήmicroατος microε microαθηmicroατική επαγωγή είναι microια διαδικασία δύο βη-microάτων Το πρώτο βήmicroα λέγεται αρχιϰό βήmicroα ή βήmicroα έναρξης και το δεύτερο επαγωγιϰόβήmicroα

Η microέθοδος απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή

Θεωρήστε microια πρόταση της microορϕής laquoγια όλους τους ακεραίους n ge a η ιδιότηταP(n) είναι αληθήςraquo Για να αποδείξουmicroε microια τέτοια πρόταση ακολουθούmicroε τα παρα-κάτω δύο βήmicroατα

Βήmicroα 1 (αρχικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = a

Βήmicroα 2 (επαγωγικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους k ge a αν η ιδιό-τητα είναι αληθής για n = k τότε είναι αληθής για n = k + 1 Για να πραγmicroα-τοποιήσουmicroε αυτό το βήmicroα

υποθέτουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k όπου k είναιοποιοσδήποτε συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος ακέραιοςmicroε k ge a [Αυτή η υπόϑεση ονοmicroάζεται επαγωγική υπόθεση]

Έτσι

δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k + 1

∆ίνουmicroε εδώ την τυπική απόδειξη για τα κέρmicroατα που διατυπώσαmicroε χωρίς τυπικό τρό-πο προηγουmicroένως

Πρόταση 421

Έστω ότι η P(n) είναι η ιδιότητα laquoncent microπορούν να υπολογιστούν microε κέρmicroατα των 3centκαι 5centraquo Τότε η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8

Απόδειξη

∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 8 Η ιδιότητα είναι αληθής για n = 8 ε-πειδή 8cent = 3cent + 5cent

∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 8 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής ϰαι για n = k + 1 Υποθέτουmicroε ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε kcent χρη-σιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent για κάποιο ακέραιο k ge 8 [Αυτή είναι η ε-παγωγιϰή υπόϑεση]Πρέπει να δείξουmicroε τώρα ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε και (k + 1)centχρησιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και 5cent Αν υπάρχει κέρmicroα των 5cent ανάmicroεσα σε αυτάπου απαρτίζουν τα kcent το αντικαθιστούmicroε microε δύο κέρmicroατα των 3cent το αποτέλεσmicroαθα είναι (k + 1)cent Αν δεν υπάρχει κέρmicroα των 5cent σε αυτά που απαρτίζουν τα kcent τότεπρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 3 κέρmicroατα των 3cent αϕού k ge 8 Αϕαιρούmicroε αυτά τατρία κέρmicroατα των 3cent και τα αντικαθιστούmicroε microε δύο των 5cent το αποτέλεσmicroα θα είναι(k + 1)cent Έτσι σε κάθε περίπτωση microπορούmicroε να πάρουmicroε (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και των 5cent [όπως έπρεπε να δειχϑεί]

240 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Το ακόλουθο παράδειγmicroα δείχνει πώς χρησιmicroοποιούmicroε τη microαθηmicroατική επαγωγή γιανα αποδείξουmicroε έναν τύπο που δίνει το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Παράδειγmicroα 421 Άθροισmicroα των n πρώτων ακεραίων

Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να αποδείξετε ότι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2για όλους τους ακεραίους n ge 1

Λύση Για να κατασκευάσετε microια απόδειξη microε επαγωγή πρέπει πρώτα να βρείτε ποια είναι ηιδιότητα P(n) Σε αυτή την περίπτωση η P(n) είναι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2 larr η ιδιότητα (P(n))

[Για να δείτε ότι η P(n) είναι microια πρόταση παρατηρήστε ότι το αντιϰείmicroενό της είναι laquoτοάϑροισmicroα των αϰεραίων από το 1 microέχρι το nraquo ϰαι το ρήmicroα της είναι το laquoισούταιraquo]

Στο αρχικό βήmicroα της απόδειξης πρέπει να δείξετε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 1ή microε άλλα λόγια ότι η P(1) είναι αληθής Τώρα για να βρούmicroε την P(1) αντικαθιστούmicroε1 στη θέση του n στην P(n) Το αριστερό σκέλος της P(1) είναι το άθροισmicroα όλων τωνδιαδοχικών ακεραίων που ξεκινούν microε το 1 και τελειώνουν στο 1 Αυτό είναι απλώς το 1Έτσι η P(1) είναι η

1 =1(1 + 1)

2 larr αρχική (P(1))

Φυσικά αυτή η εξίσωση είναι αληθής διότι το δεξιό σκέλος είναι

1(1 + 1)2

=1 sdot 2

2= 1

που ισούται microε το αριστερό σκέλοςΣτο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής για κάποιον ακέραιο k microε

k ge 1 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση] Πρέπει τώρα να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναιαληθής Ποιες είναι οι P(k) και P(k + 1) Για να βρούmicroε την P(k) αντικαθιστούmicroε k στηθέση κάθε n στην P(n) Έτσι η P(k) είναι η

1 + 2 +⋯+ k =k(k + 1)

2 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Παρόmicroοια για να βρούmicroε την P(k + 1) αντικαθιστούmicroε κάθε n της P(n) microε την ποσότητα(k + 1) Έτσι η P(k + 1) είναι1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2

ή ισοδύναmicroα

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

larr να δειχθεί η (P(k + 1))

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 241

Τώρα η επαγωγική υπόθεση είναι ότι η P(k) είναι αληθής Πώς microπορούmicroε να χρησι-microοποιήσουmicroε αυτή την υπόθεση για να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής Η P(k + 1)είναι microια εξίσωση και η αλήθεια microιας εξίσωσης microπορεί να δειχθεί microε διάϕορους τρόπουςΈνας από τους πιο άmicroεσους είναι να microετασχηmicroατίσουmicroε το αριστερό σκέλος στο δεξιόχρησιmicroοποιώντας άλγεβρα και άλλους γνωστούς κανόνες και έγκυρες υποθέσεις microεταξύτων οποίων και την επαγωγική υπόθεση Σε αυτή την περίπτωση το αριστερό σκέλος τηςP(k + 1) είναι

1 + 2 +⋯+ (k + 1)που ισούται microε

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) προσδιορισmicroός του προτελευταίουόρου και οmicroαδοποίηση

Αλλά microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1)=k(k + 1)

2+ (k + 1) αϕού η επαγωγική υπόθεση λέει

ότι 1 + 2 +⋯ + k =k(k + 1)

2

Τώρα χρησιmicroοποιούmicroε άλγεβρα για να δείξουmicroε ότι αυτή η έκϕραση ισούται microε το δεξιόσκέλος της P(k + 1)

k(k + 1)2

+ (k + 1)

=k(k + 1)

2+2(k + 1)

2

πολλαπλασιάζουmicroε αριθmicroητή και πα-ρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε το2 για να πάρουmicroε κοινό παρονοmicroα-στή

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2microε πρόσθεση κλασmicroάτων

=(k + 2)(k + 1)

2βγάζουmicroε κοινό παράγοντα το (k + 1)

=(k + 1)(k + 2)

2υπολογίζουmicroε τους παράγοντες(k + 1) και (k + 2)

που ισούται microε το δεξιό σκέλος της P(k + 1)Συνοψίζουmicroε την παραπάνω ανάλυση ως εξής

Θεώρηmicroα 422 Άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Για όλους τους ακεραίους n ge 1

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2

Απόδειξη (microε microαθηmicroατική επαγωγή)

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση 1 + 2 +⋯+ n = n(n + 1)2

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1 Για να δείξουmicroε την ιδιότητα για

n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 =1(1 + 1)

2 Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης

είναι 1 και το δεξιό είναι1(1 + 1)

2=2

2= 1 και αυτό Άρα η ιδιότητα είναι αληθής για

n = 1συνεχίζεται στην επόmicroενη σελίδα

242 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2είναι αληϑής για ϰάποιον

αϰέραιο k ge 1 στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ k =

k(k + 1)2

για κάποιον ακέραιο k ge 1

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =

n(n + 1)2

είναι αληϑής όταν

αντιϰαταστήσουmicroε το k + 1 στη ϑέση του n]Πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2 ή ισοδύναmicroα ότι

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

421

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος της εξίσωσης (421) ισούται microε το δεξιόσϰέλος]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (421) είναι το

1 + 2 +⋯+ (k + 1)= (1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) Ο προτελευταίος όρος είναι ο k γιατί οι όροι

είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ο τελευταίος εί-ναι ο k + 1

=k(k + 1)

2+ (k + 1) microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

=k(k + 1)

2+(k + 1) sdot 2

2

=(k + 1)(k + 2)

2

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (421) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού δείξαmicroε ϰαι το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

Λέγεται microια ιστορία για έναν από τους microεγαλύτερους microαθηmicroατικούς όλων των εποχώντον Carl Friedrich Gauss (1777ndash1855) σύmicroϕωνα microε την οποία όταν ήταν microικρό παιδί οδάσκαλος του ζήτησε να προσθέσει τους αριθmicroούς από το 1 microέχρι το 100 Ο δάσκαλοςζήτησε από τους microαθητές να υπολογίσουν το άθροισmicroα ώστε να τους απασχολήσει γιανα microπορέσει εκείνος να διορθώσει γραπτά Αλλά λίγες στιγmicroές αργότερα ο Gauss βρήκετην σωστή απάντηση Είναι περιττό να πούmicroε ότι ο δάσκαλος τα έχασε Πώς microπόρεσε ονεαρός Gauss να υπολογίσει τόσο γρήγορα Τα επόmicroενα χρόνια ο Gauss εξήγησε ότι είχεϕανταστεί τους αριθmicroούς σε ζευγάρια σύmicroϕωνα microε το ακόλουθο σχήmicroα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 243

1 2 3 50 51 98 99 100

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

Το άθροισmicroα κάθε ζεύγους είναι 101 και υπάρχουν 50 ζεύγη άρα το συνολικό άθροισmicroαείναι 50 sdot 101 = 5050

Παράδειγmicroα 422 Εϕαρmicroογές του τύπου του αθροίσmicroατος των πρώτων n ακεραίων

α Βρείτε το 2 + 4 + 6 +⋯+ 500

β Βρείτε το 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50

γ Για οποιονδήποτε ακέραιο h ge 2 βρείτε το 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1)Λύση

α 2 + 4 + 6 +⋯+ 500 = 2 sdot (1 + 2 + 3 +⋯+ 250)= 2 sdot (250 sdot 251

2) εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroα

των πρώτων n ακεραίων για n = 250

= 62750

β 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50 = (1 + 2 + 3 +⋯+ 50) minus (1 + 2 + 3 + 4)=50 sdot 51

2minus 10

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroατων πρώτων n ακεραίων για n = 50

= 1265

γ 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1) = (h minus 1) sdot [(h minus 1) + 1]2

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροι-σmicroα των πρώτων n ακεραίων γιαn = h minus 1

=(h minus 1) sdot h

2αϕού (h minus 1) + 1 = h n

Στο επόmicroενο παράδειγmicroα ζητείται να αποδειχθεί ένας άλλος διάσηmicroος microαθηmicroατικόςτύποςmdashο τύπος του αθροίσmicroατος της γεωmicroετρικής προόδου Σε microια γεωmicroετρικήπρόοδοκάθε όρος ισούται microε τον προηγούmicroενο επί ένα σταθερό παράγοντα Αν ο πρώτος όροςείναι 1 και ο σταθερός παράγοντας είναι r τότε η ακολουθία είναι 1 r r2 r3 rn Το άθροισmicroα των πρώτων n όρων αυτής της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

για όλους τους ακεραίους n ge 0 και τους πραγmicroατικούς αριθmicroούς r που δεν είναι ίσοι microε1 Η αναπτυγmicroένη microορϕή αυτού του τύπου είναι η

r0 + r1 + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

και επειδή r0 = 1 και r1 = r ο τύπος για n ge 1 microπορεί να ξαναγραϕεί ως

1 + r + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

244 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παράδειγmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Αποδείξτε ότιnsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 για κάθε ακέραιο n ge 0 και για όλους τους πραγmicroατικούς

αριθmicroούς r διάϕορους του 1

Λύση Σε αυτό το παράδειγmicroα η ιδιότητα P(n) είναι πάλι microια εξίσωση αν και σε αυτή τηνπερίπτωση περιλαmicroβάνει microια πραγmicroατική microεταβλητή r

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 larr η ιδιότητα (P(n))

Αϕού το r microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός εκτός του 1 ξεκινάmicroε τηναπόδειξη υποθέτοντας ότι ο r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγ-microατικός αριθmicroός διάϕορος του 1 Έπειτα συνεχίζουmicroε την απόδειξη microε microαθηmicroατική επα-γωγή στο n αρχίζοντας microε το n = 0 Στο αρχικό βήmicroα πρέπει να δείξουmicroε ότι η P(0) είναιαληθής δηλαδή να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 0 Οπότε αντικαθιστούmicroε0 για κάθε n στην P(n)

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1 larr αρχική (P(0))

Στο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής δηλαδή υποθέτουmicroε ότι ηιδιότητα είναι αληθής για n = k Οπότε αντικαθιστούmicroε k για κάθε n στην P(n)

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Μετά δείχνουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής δηλαδή δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αλη-θής για n = k + 1 Έτσι αντικαθιστούmicroε k + 1 για κάθε n στην P(n)

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1

ή εναλλακτικά

k+1sumi=0

r i =rk+2 minus 1

r minus 1sdot larr για να δείξουmicroε την (P(k + 1))

Θεώρηmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό r εκτός του 1 και για κάθε ακέραιο n ge 0

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Απόδειξη

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Υποθέτουmicroε ότι το r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγmicroατικόςαριθmicroός διάϕορος του 1 Πρέπει να δείξουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους n ge 0

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 245

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Θα το δείξουmicroε microε microαθηmicroατική επαγωγή στο n

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0 Για n = 0 πρέπει να δείξουmicroε ότι

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1

Το αριστερό σκέλος αυτής της εξίσωσης είναι το r0 = 1 Το δεξιό σκέλος είναι

r1 minus 1

r minus 1=r minus 1

r minus 1= 1

ξανά αϕού r1 = r και r ne 1 [Οπότε η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0]

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 0 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1είναι αληϑής όταν ένας αϰέραιος k ge 0

αντιϰατασταϑεί στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 για k ge 0 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση]

[Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1 422

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος αυτής της εξίσωσης ισούται microε το δεξιό]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (422) είναι το

k+1sumi=0

r i =ksumi=0

r i + rk+1 γράϕουmicroε τον (k + 1) όρο ξεχωριστά απότους πρώτους k όρους

=rk+1 minus 1

r minus 1+ rk+1 microε αντικατάσταση από

την επαγωγική υπόθεση

=rk+1 minus 1

r minus 1+rk+1(r minus 1)

r minus 1

πολλαπλασιάζουmicroε τον αριθmicroητή και τονπαρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε (r minus 1)για να έχουmicroε κοινό παρονοmicroαστή

=(rk+1 minus 1) + rk+1(r minus 1)

r minus 1πρόσθεση κλασmicroάτων

=rk+1 minus 1 + rk+2 minus rk+1

r minus 1πολλαπλασιασmicroός και χρήση του

rk+1 sdot r = rk+1 sdot r1 = rk+2

=rk+2 minus 1

r minus 1διαγραϕή των rk+1

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (4 2 2) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

Πρόλογος 19

St Petersburg Junior College Clearwater Πολλές ευχαριστίες οϕείλω επίσης στους JohnCarroll San Diego State University Dr Joseph S Fulda και Porter G Webster Universityof Southern Mississippi για την απίστευτη επιmicroέλειά τους και την ενθάρρυνση που microουέδωσαν

Επίσης ωϕελήθηκα πάρα πολύ από τις παρατηρήσεις πολλών διδασκόντων που microουπρόσϕεραν γενναιόδωρα τις ιδέες τους για βελτιώσεις βασισmicroένες στις εmicroπειρίες τους α-πό τις προηγούmicroενες εκδόσεις του βιβλίου Είmicroαι ιδιαίτερα ευγνώmicroων στους GoldstinePennsylvania State University David Hecker St Josephrsquos University Tom Jenkyns BrockUniversity Robert Messer Albion College Piotr Rudnicki University of Alberta AnwarShiek Dineacute College Norton Starr Amherst College Είχα επίσης εξαίρετη βοήθεια απότους John Banks Christopher Novak DePaul University και Ian Crewe Ascension Colle-giate School κατά τη διάρκεια της παραγωγής του βιβλίου

Χρωστώ ευγνωmicroοσύνη σε πολλούς ανθρώπους στις εταιρείες Wadsworth and Bro-oksCole Publishing ιδιαίτερα τον εκδότη microου Robert Pirtle για την ικανότητά του ναπραγmicroατοποιεί καλά πράγmicroατα ως δια microαγείας τους προηγούmicroενους εκδότες microου Hea-ther Bennett και Barbara Holland για την ενθάρρυνση και τον ενθουσιασmicroό τους και τηδιευθύντρια παραγωγής Janet Hill για την κατανόησή της και την προθυmicroία της να microουεπιτρέψει να έχω ρόλο σε όλα τα στάδια της παραγωγής ∆εν microπορώ να ϕανταστώ κα-λύτερη διευθύντρια παραγωγής από τη Martha Emry της οποίας τα υψηλής ποιότηταςπρότυπα και η προσοχή της στις λεπτοmicroέρειες ήταν πάντα εmicroπνευσmicroένες Ο σχεδιασmicroόςτης Kathleen Cunningham και η ϕωτοσύνθεση από την Techsetters Inc θα εκτιmicroηθούναπό όλους τους αναγνώστες του βιβλίου

Όσο microεγαλώνω τόσο συνειδητοποιώ το τεράστιο χρέος που οϕείλω στους δικούς microουδασκάλους των microαθηmicroατικών που διαmicroόρϕωσαν τον τρόπο microε τον οποίο βλέπω το αντι-κείmicroενο Τα πρώτα microου ευχαριστώ πρέπει να πάνε στο σύζυγό microουHelmut Epp ο οποίοςσε ένα ραντεβού όταν ακόmicroα ήmicroουν στο Γυmicroνάσιο () microε εισήγαγε στη δύναmicroη και τηνοmicroορϕιά των αξιωmicroάτων των microαθηmicroατικών και την άποψη ότι τα microαθηmicroατικά είναι ένααντικείmicroενο τόσο microε ιδέες όσο και microε τύπους και τεχνικές Όσον αϕορά την εκπαίδευ-σή microου είmicroαι ευγνώmicroων στους Daniel Zelinsky και Ky Fan του Northwestern Universityκαι Izaak Wirszup I N Herstein και Irving Kaplansky του University of Chicago που ό-λοι τους ο καθένας microε το δικό του τρόπο microε βοήθησαν να εκτιmicroήσω την κοmicroψότητα καιαυστηρότητα των microαθηmicroατικών αλλά και τη συγκίνηση που προκαλούν

Στην οικογένειά microου χρωστάω ευχαριστίες πέρα από κάθε όριο Είmicroαι ευγνώmicroων στηmicroητέρα microου που το ευγενικό ενδιαϕέρον της για τα έργα της ανθρώπινης διανόησης microεέβαλαν πριν πολλά χρόνια στο δρόmicroο που οδήγησε σε αυτό το βιβλίο και στον εκλιπόνταπατέρα microου που η αϕοσίωσή του στα βιβλία ήταν σταθερή πηγή έmicroπνευσης Ευχαριστώ ταπαιδιά microου και τα εγγόνια microου για την αγάπη τους και την αποδοχή των απαιτήσεων πουεπέβαλλε η συγγραϕή αυτού του βιβλίου στη ζωή microου Και περισσότερο από κάθε άλλονείναι ευγνώmicroωνστο σύζυγό microου που για πολλά χρόνια microε ενθάρρυνε microε την πίστη του στηναξία αυτής της εργασίας και microε υποστήριξε microε την αγάπη του και τις σοϕές συmicroβουλές του

Susanna Epp

236 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

62 Υποθέστε ότι το a[1] a[2] a[3] a[m] είναι διάνυσmicroακαι θεωρήστε το ακόλουθο τmicroήmicroα αλγορίθmicroου

sum ∶= 0for k ∶= 1 to m

sum ∶= sum + a[k]next k

Συmicroπληρώστε τα κενά παρακάτω ώστε κάθε τmicroήmicroα του αλ-γορίθmicroου να κάνει την ίδια δουλειά microε το παραπάνω

α sum ∶= 0for i ∶= 0 to

sum ∶=next i

β sum ∶= 0for j ∶= 2 to

sum ∶=next j

Χρησιmicroοποιήστε διαδοχικές διαιρέσεις microε το 2 για να microετατρέ-ψετε (microε το χέρι) τους ακεραίους των Ασκήσεων 63ndash65 από τηβάση 10 στη βάση 2

63 90 64 98 65 205

Κατασκευάστε έναν πίνακα για να καταγράψετε όλα τα βήmicroατατου Αλγορίθmicroου 411 microε είσοδο τις Ασκήσεις 66ndash68

66 23 67 28 68 44

69 Γράψτε microια microη τυπική περιγραϕή αλγορίθmicroου (χρησιmicroοποιώ-ντας διαδοχικές διαιρέσεις microε το 16) για να microετατρέψετε έναmicroη αρνητικό ακέραιο από το δεκαδικό στο δεκαεξαδικό σύ-στηmicroα (microε βάση το 16)

Χρησιmicroοποιήστε τον αλγόριθmicroο που αναπτύξατε για την Άσκη-ση 69 για να microετατρέψετε τους ακεραίους των Ασκήσεων 70ndash72στο δεκαεξαδικό σύστηmicroα

70 287 71 693 72 2301

73 Γράψτε microια τυπική περιγραϕή του αλγορίθmicroου που αναπτύ-ξατε στην Άσκηση 69

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι

[Η microαϑηmicroατιϰή επαγωγή είναι] η συνήϑης αποδειϰτιϰή τεχνιϰή στην επιστήmicroη τωνυπολογιστών

mdashAnthony Ralston 1984

Ηmicroαθηmicroατική επαγωγή είναι microία από τις πιο πρόσϕατα ανεπτυγmicroένες αποδεικτικές microεθό-δους στην ιστορία των microαθηmicroατικών Χρησιmicroοποιείται για την επαλήθευση εικασιών πουαϕορούν σε αποτελέσmicroατα διαδικασιών που εmicroϕανίζονται κατrsquo επανάληψη και σύmicroϕωναmicroε καθορισmicroένα microοτίβα Θα παρουσιάσουmicroε αυτή την τεχνική microε ένα παράδειγmicroα

Μερικοί ισχυρίζονται ότι το λεπτό του αmicroερικάνικου δολαρίου είναι τόσο microικρό νόmicroι-σmicroα ώστε πρέπει να αποσυρθεί Λένε ότι αν πέσει από τα χέρια κάποιου αυτός σπανίως θασκύψει να το πάρει Άλλοι ισχυρίζονται ότι αν αποσυρθεί το λεπτό θα υπάρχουν προβλή-microατα microε την ευελιξία στον καθορισmicroό των τιmicroών των αγαθών Ποιες τιmicroές θα microπορούσαννα εξοϕληθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο στην περίπτωση απόσυρσης του λεπτού και αντι-κατάστασής του microε ένα νόmicroισmicroα αξίας 3cent Η απάντηση είναι ότι οι microόνες τιmicroές που δενθα microπορούσαν να πληρωθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο είναι οι 1cent 2cent 4cent και 7cent Με άλλαλόγια

Μπορούmicroε να πάρουmicroε οποιονδήποτε ακέραιο αριθmicroό τουλάχιστον8 λεπτών χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα των 3cent και 5cent

Ποιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 microπορούmicroε να πάρουmicroεn λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5cent

Ακόmicroα πιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 η P(n) είναι αληθής όπου P(n) είναι η πρότασηlaquomicroπορούmicroε να πάρουmicroε n λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5centraquo

Θα microπορούσατε να ελέγξετε ότι η P(n) είναι αληθής για λίγες συγκεκριmicroένες τιmicroές του nόπως κάνουmicroε στον παρακάτω πίνακα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 237

Αριθmicroός λεπτών Πώς λαmicroβάνεται

8cent 3cent + 5cent

9cent 3cent + 3cent + 3cent

10cent 5cent + 5cent

11cent 3cent + 3cent + 5cent

12cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent

13cent 3cent + 5cent + 5cent

14cent 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

15cent 5cent + 5cent + 5cent

16cent 3cent + 3cent + 5cent + 5cent

17cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

Οι περιπτώσεις που ϕαίνονται στον πίνακα microας δίνουν επαγωγικού τύπου στοιχείαγια να υποστηρίξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλα τα n Πράγmicroατι η P(n) είναι αλη-ϑής για όλα τα n ge 8 αν ϰαι microόνο αν είναι εϕιϰτό να συνεχίσουmicroε να συmicroπληρώνουmicroε τονπίναϰα για οσοδήποτε microεγάλες τιmicroές του n

Η k γραmicromicroή του πίνακα δίνει πληροϕορίες για το πώς θα πάρουmicroε kcent χρησιmicroοποιώ-ντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent Για να συνεχίσουmicroε τον πίνακα στην επόmicroενη γραmicromicroήπρέπει να δώσουmicroε οδηγίες για το πώς θα υπολογιστούν τα (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και 5cent Το microυστικό είναι να παρατηρήσουmicroε πρώτα ότι αν microπορούmicroε ναυπολογίσουmicroε kcent χρησιmicroοποιώντας τουλάχιστον ένα κέρmicroα των 5cent τότε microπορούmicroε να υ-πολογίσουmicroε (k + 1)cent αντικαθιστώντας το κέρmicroα των 5cent microε δύο κέρmicroατα των 3cent όπωςϕαίνεται στο Σχήmicroα 421

kcent (k + 1)cent

3cent 3cent5cent

Αντικατάσταση ενός κέρματος των 5cent με δύο

κέρματα των 3cent

Αφαίρεση Προσθήκη

Σχήmicroα 421

Αν από την άλλη microεριά τα kcent λαmicroβάνονται χωρίς χρήση του κέρmicroατος των 5cent τότεχρησιmicroοποιούνται microόνο κέρmicroατα των 3cent Και αϕού το σύνολο είναι τουλάχιστον 8cent πρέπεινα περιλαmicroβάνονται τρία ή περισσότερα κέρmicroατα των 3cent Για να πάρουmicroε ένα σύνολο(k + 1)cent microπορούmicroε να αντικαταστήσουmicroε τρία από τα κέρmicroατα των 3cent microε δύο των 5centόπως ϕαίνεται στο Σχήmicroα 422 της επόmicroενης σελίδας

Η δοmicroή του παραπάνω επιχειρήmicroατος microπορεί να περιγραϕεί συνοπτικά ως εξής Γιανα δείξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8 (1) δείχνουmicroε ότι ηP(8) είναι αληθής και (2) δείχνουmicroε ότι η αλήθεια της P(k + 1) προκύπτει απαραίτητααπό την αλήθεια της P(k) για κάθε k ge 8 Κάθε επιχείρηmicroα αυτής της microορϕής καλείταιεπιχείρηmicroα microαϑηmicroατιϰής επαγωγής

238 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

5cent

kcent (k + 1)cent

Προσθήκη

kcent (k + 1)cent

5cent

3cent 3cent

3cent

Αντικαθιστούμε τρίακέρματα των 3centμε δύο κέρματα

των 5cent

Αφαίρεση

5cent

Σχήmicroα 422

Η αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής

Έστω ότι η P(n) είναι microια ιδιότητα που ορίζεται για ακεραίους n και έστω ότι οa είναι ένας συγκεκριmicroένος ακέραιος Υποθέτουmicroε ότι οι ακόλουθες δυο προτάσειςείναι αληθείς

1 Η P(a) είναι αληθής2 Για όλους τους ακεραίους k ge a αν η P(k) είναι αληθής τότε και η P(k + 1) είναι

αληθής

Τότε ισχύει η πρότασηγια όλους τους ακεραίους n ge a η P(n) είναι αληθής

Η πρώτη γνωστή καταγεγραmicromicroένη microαθηmicroατική επαγωγή βρίσκεται στα γραπτά τουΙταλού επιστήmicroονα Francesco Maurolico το 1575 Την ίδια τεχνική χρησιmicroοποιούσαν κα-τά το δέκατο έβδοmicroο αιώνα και οι Pierre de Fermat και Blaise Pascal Ο Fermat ονόmicroαζετην επαγωγή laquomicroέθοδο της άπειρης καθόδουraquo (laquomethod of innite descentraquo) Το 1883 οAugustus De Morgan (γνωστός από τους κανόνες De Morgan) περιέγραψε προσεκτικάτη διαδικασία και την ονόmicroασε microαϑηmicroατιϰή επαγωγή

Για να πάρετε microια διαισθητική εικόνα για τη microαθηmicroατική επαγωγή ϕανταστείτε microιαάπειρη συλλογή από ντόmicroινο τοποθετηmicroένα το ένα πίσω από το άλλο microε τέτοιο τρόποώστε αν ένα ντόmicroινο πέσει να ρίξει και το επόmicroενο (∆είτε το Σχήmicroα 423) Φανταστείτετώρα ότι πέϕτει το πρώτο ντόmicroινο Τι θα συmicroβεί Θα πέσουν όλα

12

3

4

kk + 1

Σχήmicroα 423 Όταν πέϕτει το k ντόmicroινο ρίχνει και το (k + 1)

Για να δείτε τη σχέση ανάmicroεσα σε αυτή την εικόνα και την αρχή της microαθηmicroατικήςεπαγωγής υποθέστε ότι η P(n) είναι η πρόταση laquoτο n ντόmicroινο πέϕτειraquo Υποθέτουmicroε ότιγια κάθε k ge 1 αν η P(k) είναι αληθής (το k ντόmicroινο πέϕτει) τότε η P(k + 1) είναι επίσηςαληθής (το (k + 1) ντόmicroινο πέϕτει) Υποθέτουmicroε επίσης ότι η P(1) είναι αληθής (το πρώτοντόmicroινο πέϕτει) Έτσι από την αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής η P(n) (το n ντόmicroινοπέϕτει) είναι αληθής για κάθε n ge 1

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 239

Η ισχύς της απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή θεωρείται αξίωmicroα Γιrsquo αυτόν το λόγοαναϕερόmicroαστε σε αυτή ως αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής αντί ως θεώρηmicroα Είναι ισο-δύναmicroη microε την ακόλουθη ιδιότητα των ακεραίων που εύκολα τη δέχεται κανείς ως αληθήmicroε βάση τη διαίσθησή του

Υποθέτουmicroε ότι το S είναι οποιοδήποτε σύνολο ακεραίων που ικανοποιεί (1) a isin Sκαι (2) για όλους τους ακεραίους k αν k isin S τότε k + 1 isin S Τότε το S πρέπει ναπεριέχει κάθε ακέραιο microεγαλύτερο ή ίσο του a

Για να κατανοήσουmicroε την ισοδυναmicroία των δυο διατυπώσεων απλώς ορίζουmicroε ως S τοσύνολο όλων των ακεραίων για τους οποίους η P(n) είναι αληθής

Η απόδειξη ενός επιχειρήmicroατος microε microαθηmicroατική επαγωγή είναι microια διαδικασία δύο βη-microάτων Το πρώτο βήmicroα λέγεται αρχιϰό βήmicroα ή βήmicroα έναρξης και το δεύτερο επαγωγιϰόβήmicroα

Η microέθοδος απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή

Θεωρήστε microια πρόταση της microορϕής laquoγια όλους τους ακεραίους n ge a η ιδιότηταP(n) είναι αληθήςraquo Για να αποδείξουmicroε microια τέτοια πρόταση ακολουθούmicroε τα παρα-κάτω δύο βήmicroατα

Βήmicroα 1 (αρχικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = a

Βήmicroα 2 (επαγωγικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους k ge a αν η ιδιό-τητα είναι αληθής για n = k τότε είναι αληθής για n = k + 1 Για να πραγmicroα-τοποιήσουmicroε αυτό το βήmicroα

υποθέτουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k όπου k είναιοποιοσδήποτε συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος ακέραιοςmicroε k ge a [Αυτή η υπόϑεση ονοmicroάζεται επαγωγική υπόθεση]

Έτσι

δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k + 1

∆ίνουmicroε εδώ την τυπική απόδειξη για τα κέρmicroατα που διατυπώσαmicroε χωρίς τυπικό τρό-πο προηγουmicroένως

Πρόταση 421

Έστω ότι η P(n) είναι η ιδιότητα laquoncent microπορούν να υπολογιστούν microε κέρmicroατα των 3centκαι 5centraquo Τότε η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8

Απόδειξη

∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 8 Η ιδιότητα είναι αληθής για n = 8 ε-πειδή 8cent = 3cent + 5cent

∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 8 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής ϰαι για n = k + 1 Υποθέτουmicroε ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε kcent χρη-σιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent για κάποιο ακέραιο k ge 8 [Αυτή είναι η ε-παγωγιϰή υπόϑεση]Πρέπει να δείξουmicroε τώρα ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε και (k + 1)centχρησιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και 5cent Αν υπάρχει κέρmicroα των 5cent ανάmicroεσα σε αυτάπου απαρτίζουν τα kcent το αντικαθιστούmicroε microε δύο κέρmicroατα των 3cent το αποτέλεσmicroαθα είναι (k + 1)cent Αν δεν υπάρχει κέρmicroα των 5cent σε αυτά που απαρτίζουν τα kcent τότεπρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 3 κέρmicroατα των 3cent αϕού k ge 8 Αϕαιρούmicroε αυτά τατρία κέρmicroατα των 3cent και τα αντικαθιστούmicroε microε δύο των 5cent το αποτέλεσmicroα θα είναι(k + 1)cent Έτσι σε κάθε περίπτωση microπορούmicroε να πάρουmicroε (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και των 5cent [όπως έπρεπε να δειχϑεί]

240 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Το ακόλουθο παράδειγmicroα δείχνει πώς χρησιmicroοποιούmicroε τη microαθηmicroατική επαγωγή γιανα αποδείξουmicroε έναν τύπο που δίνει το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Παράδειγmicroα 421 Άθροισmicroα των n πρώτων ακεραίων

Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να αποδείξετε ότι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2για όλους τους ακεραίους n ge 1

Λύση Για να κατασκευάσετε microια απόδειξη microε επαγωγή πρέπει πρώτα να βρείτε ποια είναι ηιδιότητα P(n) Σε αυτή την περίπτωση η P(n) είναι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2 larr η ιδιότητα (P(n))

[Για να δείτε ότι η P(n) είναι microια πρόταση παρατηρήστε ότι το αντιϰείmicroενό της είναι laquoτοάϑροισmicroα των αϰεραίων από το 1 microέχρι το nraquo ϰαι το ρήmicroα της είναι το laquoισούταιraquo]

Στο αρχικό βήmicroα της απόδειξης πρέπει να δείξετε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 1ή microε άλλα λόγια ότι η P(1) είναι αληθής Τώρα για να βρούmicroε την P(1) αντικαθιστούmicroε1 στη θέση του n στην P(n) Το αριστερό σκέλος της P(1) είναι το άθροισmicroα όλων τωνδιαδοχικών ακεραίων που ξεκινούν microε το 1 και τελειώνουν στο 1 Αυτό είναι απλώς το 1Έτσι η P(1) είναι η

1 =1(1 + 1)

2 larr αρχική (P(1))

Φυσικά αυτή η εξίσωση είναι αληθής διότι το δεξιό σκέλος είναι

1(1 + 1)2

=1 sdot 2

2= 1

που ισούται microε το αριστερό σκέλοςΣτο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής για κάποιον ακέραιο k microε

k ge 1 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση] Πρέπει τώρα να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναιαληθής Ποιες είναι οι P(k) και P(k + 1) Για να βρούmicroε την P(k) αντικαθιστούmicroε k στηθέση κάθε n στην P(n) Έτσι η P(k) είναι η

1 + 2 +⋯+ k =k(k + 1)

2 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Παρόmicroοια για να βρούmicroε την P(k + 1) αντικαθιστούmicroε κάθε n της P(n) microε την ποσότητα(k + 1) Έτσι η P(k + 1) είναι1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2

ή ισοδύναmicroα

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

larr να δειχθεί η (P(k + 1))

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 241

Τώρα η επαγωγική υπόθεση είναι ότι η P(k) είναι αληθής Πώς microπορούmicroε να χρησι-microοποιήσουmicroε αυτή την υπόθεση για να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής Η P(k + 1)είναι microια εξίσωση και η αλήθεια microιας εξίσωσης microπορεί να δειχθεί microε διάϕορους τρόπουςΈνας από τους πιο άmicroεσους είναι να microετασχηmicroατίσουmicroε το αριστερό σκέλος στο δεξιόχρησιmicroοποιώντας άλγεβρα και άλλους γνωστούς κανόνες και έγκυρες υποθέσεις microεταξύτων οποίων και την επαγωγική υπόθεση Σε αυτή την περίπτωση το αριστερό σκέλος τηςP(k + 1) είναι

1 + 2 +⋯+ (k + 1)που ισούται microε

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) προσδιορισmicroός του προτελευταίουόρου και οmicroαδοποίηση

Αλλά microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1)=k(k + 1)

2+ (k + 1) αϕού η επαγωγική υπόθεση λέει

ότι 1 + 2 +⋯ + k =k(k + 1)

2

Τώρα χρησιmicroοποιούmicroε άλγεβρα για να δείξουmicroε ότι αυτή η έκϕραση ισούται microε το δεξιόσκέλος της P(k + 1)

k(k + 1)2

+ (k + 1)

=k(k + 1)

2+2(k + 1)

2

πολλαπλασιάζουmicroε αριθmicroητή και πα-ρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε το2 για να πάρουmicroε κοινό παρονοmicroα-στή

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2microε πρόσθεση κλασmicroάτων

=(k + 2)(k + 1)

2βγάζουmicroε κοινό παράγοντα το (k + 1)

=(k + 1)(k + 2)

2υπολογίζουmicroε τους παράγοντες(k + 1) και (k + 2)

που ισούται microε το δεξιό σκέλος της P(k + 1)Συνοψίζουmicroε την παραπάνω ανάλυση ως εξής

Θεώρηmicroα 422 Άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Για όλους τους ακεραίους n ge 1

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2

Απόδειξη (microε microαθηmicroατική επαγωγή)

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση 1 + 2 +⋯+ n = n(n + 1)2

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1 Για να δείξουmicroε την ιδιότητα για

n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 =1(1 + 1)

2 Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης

είναι 1 και το δεξιό είναι1(1 + 1)

2=2

2= 1 και αυτό Άρα η ιδιότητα είναι αληθής για

n = 1συνεχίζεται στην επόmicroενη σελίδα

242 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2είναι αληϑής για ϰάποιον

αϰέραιο k ge 1 στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ k =

k(k + 1)2

για κάποιον ακέραιο k ge 1

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =

n(n + 1)2

είναι αληϑής όταν

αντιϰαταστήσουmicroε το k + 1 στη ϑέση του n]Πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2 ή ισοδύναmicroα ότι

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

421

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος της εξίσωσης (421) ισούται microε το δεξιόσϰέλος]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (421) είναι το

1 + 2 +⋯+ (k + 1)= (1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) Ο προτελευταίος όρος είναι ο k γιατί οι όροι

είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ο τελευταίος εί-ναι ο k + 1

=k(k + 1)

2+ (k + 1) microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

=k(k + 1)

2+(k + 1) sdot 2

2

=(k + 1)(k + 2)

2

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (421) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού δείξαmicroε ϰαι το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

Λέγεται microια ιστορία για έναν από τους microεγαλύτερους microαθηmicroατικούς όλων των εποχώντον Carl Friedrich Gauss (1777ndash1855) σύmicroϕωνα microε την οποία όταν ήταν microικρό παιδί οδάσκαλος του ζήτησε να προσθέσει τους αριθmicroούς από το 1 microέχρι το 100 Ο δάσκαλοςζήτησε από τους microαθητές να υπολογίσουν το άθροισmicroα ώστε να τους απασχολήσει γιανα microπορέσει εκείνος να διορθώσει γραπτά Αλλά λίγες στιγmicroές αργότερα ο Gauss βρήκετην σωστή απάντηση Είναι περιττό να πούmicroε ότι ο δάσκαλος τα έχασε Πώς microπόρεσε ονεαρός Gauss να υπολογίσει τόσο γρήγορα Τα επόmicroενα χρόνια ο Gauss εξήγησε ότι είχεϕανταστεί τους αριθmicroούς σε ζευγάρια σύmicroϕωνα microε το ακόλουθο σχήmicroα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 243

1 2 3 50 51 98 99 100

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

Το άθροισmicroα κάθε ζεύγους είναι 101 και υπάρχουν 50 ζεύγη άρα το συνολικό άθροισmicroαείναι 50 sdot 101 = 5050

Παράδειγmicroα 422 Εϕαρmicroογές του τύπου του αθροίσmicroατος των πρώτων n ακεραίων

α Βρείτε το 2 + 4 + 6 +⋯+ 500

β Βρείτε το 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50

γ Για οποιονδήποτε ακέραιο h ge 2 βρείτε το 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1)Λύση

α 2 + 4 + 6 +⋯+ 500 = 2 sdot (1 + 2 + 3 +⋯+ 250)= 2 sdot (250 sdot 251

2) εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroα

των πρώτων n ακεραίων για n = 250

= 62750

β 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50 = (1 + 2 + 3 +⋯+ 50) minus (1 + 2 + 3 + 4)=50 sdot 51

2minus 10

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroατων πρώτων n ακεραίων για n = 50

= 1265

γ 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1) = (h minus 1) sdot [(h minus 1) + 1]2

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροι-σmicroα των πρώτων n ακεραίων γιαn = h minus 1

=(h minus 1) sdot h

2αϕού (h minus 1) + 1 = h n

Στο επόmicroενο παράδειγmicroα ζητείται να αποδειχθεί ένας άλλος διάσηmicroος microαθηmicroατικόςτύποςmdashο τύπος του αθροίσmicroατος της γεωmicroετρικής προόδου Σε microια γεωmicroετρικήπρόοδοκάθε όρος ισούται microε τον προηγούmicroενο επί ένα σταθερό παράγοντα Αν ο πρώτος όροςείναι 1 και ο σταθερός παράγοντας είναι r τότε η ακολουθία είναι 1 r r2 r3 rn Το άθροισmicroα των πρώτων n όρων αυτής της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

για όλους τους ακεραίους n ge 0 και τους πραγmicroατικούς αριθmicroούς r που δεν είναι ίσοι microε1 Η αναπτυγmicroένη microορϕή αυτού του τύπου είναι η

r0 + r1 + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

και επειδή r0 = 1 και r1 = r ο τύπος για n ge 1 microπορεί να ξαναγραϕεί ως

1 + r + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

244 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παράδειγmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Αποδείξτε ότιnsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 για κάθε ακέραιο n ge 0 και για όλους τους πραγmicroατικούς

αριθmicroούς r διάϕορους του 1

Λύση Σε αυτό το παράδειγmicroα η ιδιότητα P(n) είναι πάλι microια εξίσωση αν και σε αυτή τηνπερίπτωση περιλαmicroβάνει microια πραγmicroατική microεταβλητή r

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 larr η ιδιότητα (P(n))

Αϕού το r microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός εκτός του 1 ξεκινάmicroε τηναπόδειξη υποθέτοντας ότι ο r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγ-microατικός αριθmicroός διάϕορος του 1 Έπειτα συνεχίζουmicroε την απόδειξη microε microαθηmicroατική επα-γωγή στο n αρχίζοντας microε το n = 0 Στο αρχικό βήmicroα πρέπει να δείξουmicroε ότι η P(0) είναιαληθής δηλαδή να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 0 Οπότε αντικαθιστούmicroε0 για κάθε n στην P(n)

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1 larr αρχική (P(0))

Στο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής δηλαδή υποθέτουmicroε ότι ηιδιότητα είναι αληθής για n = k Οπότε αντικαθιστούmicroε k για κάθε n στην P(n)

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Μετά δείχνουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής δηλαδή δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αλη-θής για n = k + 1 Έτσι αντικαθιστούmicroε k + 1 για κάθε n στην P(n)

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1

ή εναλλακτικά

k+1sumi=0

r i =rk+2 minus 1

r minus 1sdot larr για να δείξουmicroε την (P(k + 1))

Θεώρηmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό r εκτός του 1 και για κάθε ακέραιο n ge 0

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Απόδειξη

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Υποθέτουmicroε ότι το r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγmicroατικόςαριθmicroός διάϕορος του 1 Πρέπει να δείξουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους n ge 0

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 245

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Θα το δείξουmicroε microε microαθηmicroατική επαγωγή στο n

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0 Για n = 0 πρέπει να δείξουmicroε ότι

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1

Το αριστερό σκέλος αυτής της εξίσωσης είναι το r0 = 1 Το δεξιό σκέλος είναι

r1 minus 1

r minus 1=r minus 1

r minus 1= 1

ξανά αϕού r1 = r και r ne 1 [Οπότε η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0]

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 0 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1είναι αληϑής όταν ένας αϰέραιος k ge 0

αντιϰατασταϑεί στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 για k ge 0 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση]

[Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1 422

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος αυτής της εξίσωσης ισούται microε το δεξιό]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (422) είναι το

k+1sumi=0

r i =ksumi=0

r i + rk+1 γράϕουmicroε τον (k + 1) όρο ξεχωριστά απότους πρώτους k όρους

=rk+1 minus 1

r minus 1+ rk+1 microε αντικατάσταση από

την επαγωγική υπόθεση

=rk+1 minus 1

r minus 1+rk+1(r minus 1)

r minus 1

πολλαπλασιάζουmicroε τον αριθmicroητή και τονπαρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε (r minus 1)για να έχουmicroε κοινό παρονοmicroαστή

=(rk+1 minus 1) + rk+1(r minus 1)

r minus 1πρόσθεση κλασmicroάτων

=rk+1 minus 1 + rk+2 minus rk+1

r minus 1πολλαπλασιασmicroός και χρήση του

rk+1 sdot r = rk+1 sdot r1 = rk+2

=rk+2 minus 1

r minus 1διαγραϕή των rk+1

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (4 2 2) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

236 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

62 Υποθέστε ότι το a[1] a[2] a[3] a[m] είναι διάνυσmicroακαι θεωρήστε το ακόλουθο τmicroήmicroα αλγορίθmicroου

sum ∶= 0for k ∶= 1 to m

sum ∶= sum + a[k]next k

Συmicroπληρώστε τα κενά παρακάτω ώστε κάθε τmicroήmicroα του αλ-γορίθmicroου να κάνει την ίδια δουλειά microε το παραπάνω

α sum ∶= 0for i ∶= 0 to

sum ∶=next i

β sum ∶= 0for j ∶= 2 to

sum ∶=next j

Χρησιmicroοποιήστε διαδοχικές διαιρέσεις microε το 2 για να microετατρέ-ψετε (microε το χέρι) τους ακεραίους των Ασκήσεων 63ndash65 από τηβάση 10 στη βάση 2

63 90 64 98 65 205

Κατασκευάστε έναν πίνακα για να καταγράψετε όλα τα βήmicroατατου Αλγορίθmicroου 411 microε είσοδο τις Ασκήσεις 66ndash68

66 23 67 28 68 44

69 Γράψτε microια microη τυπική περιγραϕή αλγορίθmicroου (χρησιmicroοποιώ-ντας διαδοχικές διαιρέσεις microε το 16) για να microετατρέψετε έναmicroη αρνητικό ακέραιο από το δεκαδικό στο δεκαεξαδικό σύ-στηmicroα (microε βάση το 16)

Χρησιmicroοποιήστε τον αλγόριθmicroο που αναπτύξατε για την Άσκη-ση 69 για να microετατρέψετε τους ακεραίους των Ασκήσεων 70ndash72στο δεκαεξαδικό σύστηmicroα

70 287 71 693 72 2301

73 Γράψτε microια τυπική περιγραϕή του αλγορίθmicroου που αναπτύ-ξατε στην Άσκηση 69

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι

[Η microαϑηmicroατιϰή επαγωγή είναι] η συνήϑης αποδειϰτιϰή τεχνιϰή στην επιστήmicroη τωνυπολογιστών

mdashAnthony Ralston 1984

Ηmicroαθηmicroατική επαγωγή είναι microία από τις πιο πρόσϕατα ανεπτυγmicroένες αποδεικτικές microεθό-δους στην ιστορία των microαθηmicroατικών Χρησιmicroοποιείται για την επαλήθευση εικασιών πουαϕορούν σε αποτελέσmicroατα διαδικασιών που εmicroϕανίζονται κατrsquo επανάληψη και σύmicroϕωναmicroε καθορισmicroένα microοτίβα Θα παρουσιάσουmicroε αυτή την τεχνική microε ένα παράδειγmicroα

Μερικοί ισχυρίζονται ότι το λεπτό του αmicroερικάνικου δολαρίου είναι τόσο microικρό νόmicroι-σmicroα ώστε πρέπει να αποσυρθεί Λένε ότι αν πέσει από τα χέρια κάποιου αυτός σπανίως θασκύψει να το πάρει Άλλοι ισχυρίζονται ότι αν αποσυρθεί το λεπτό θα υπάρχουν προβλή-microατα microε την ευελιξία στον καθορισmicroό των τιmicroών των αγαθών Ποιες τιmicroές θα microπορούσαννα εξοϕληθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο στην περίπτωση απόσυρσης του λεπτού και αντι-κατάστασής του microε ένα νόmicroισmicroα αξίας 3cent Η απάντηση είναι ότι οι microόνες τιmicroές που δενθα microπορούσαν να πληρωθούν microε το ακριβές αντίτιmicroο είναι οι 1cent 2cent 4cent και 7cent Με άλλαλόγια

Μπορούmicroε να πάρουmicroε οποιονδήποτε ακέραιο αριθmicroό τουλάχιστον8 λεπτών χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα των 3cent και 5cent

Ποιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 microπορούmicroε να πάρουmicroεn λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5cent

Ακόmicroα πιο τυπικά

Για όλους τους ακεραίους n ge 8 η P(n) είναι αληθής όπου P(n) είναι η πρότασηlaquomicroπορούmicroε να πάρουmicroε n λεπτά χρησιmicroοποιώντας νοmicroίσmicroατα αξίας 3cent και 5centraquo

Θα microπορούσατε να ελέγξετε ότι η P(n) είναι αληθής για λίγες συγκεκριmicroένες τιmicroές του nόπως κάνουmicroε στον παρακάτω πίνακα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 237

Αριθmicroός λεπτών Πώς λαmicroβάνεται

8cent 3cent + 5cent

9cent 3cent + 3cent + 3cent

10cent 5cent + 5cent

11cent 3cent + 3cent + 5cent

12cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent

13cent 3cent + 5cent + 5cent

14cent 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

15cent 5cent + 5cent + 5cent

16cent 3cent + 3cent + 5cent + 5cent

17cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

Οι περιπτώσεις που ϕαίνονται στον πίνακα microας δίνουν επαγωγικού τύπου στοιχείαγια να υποστηρίξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλα τα n Πράγmicroατι η P(n) είναι αλη-ϑής για όλα τα n ge 8 αν ϰαι microόνο αν είναι εϕιϰτό να συνεχίσουmicroε να συmicroπληρώνουmicroε τονπίναϰα για οσοδήποτε microεγάλες τιmicroές του n

Η k γραmicromicroή του πίνακα δίνει πληροϕορίες για το πώς θα πάρουmicroε kcent χρησιmicroοποιώ-ντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent Για να συνεχίσουmicroε τον πίνακα στην επόmicroενη γραmicromicroήπρέπει να δώσουmicroε οδηγίες για το πώς θα υπολογιστούν τα (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και 5cent Το microυστικό είναι να παρατηρήσουmicroε πρώτα ότι αν microπορούmicroε ναυπολογίσουmicroε kcent χρησιmicroοποιώντας τουλάχιστον ένα κέρmicroα των 5cent τότε microπορούmicroε να υ-πολογίσουmicroε (k + 1)cent αντικαθιστώντας το κέρmicroα των 5cent microε δύο κέρmicroατα των 3cent όπωςϕαίνεται στο Σχήmicroα 421

kcent (k + 1)cent

3cent 3cent5cent

Αντικατάσταση ενός κέρματος των 5cent με δύο

κέρματα των 3cent

Αφαίρεση Προσθήκη

Σχήmicroα 421

Αν από την άλλη microεριά τα kcent λαmicroβάνονται χωρίς χρήση του κέρmicroατος των 5cent τότεχρησιmicroοποιούνται microόνο κέρmicroατα των 3cent Και αϕού το σύνολο είναι τουλάχιστον 8cent πρέπεινα περιλαmicroβάνονται τρία ή περισσότερα κέρmicroατα των 3cent Για να πάρουmicroε ένα σύνολο(k + 1)cent microπορούmicroε να αντικαταστήσουmicroε τρία από τα κέρmicroατα των 3cent microε δύο των 5centόπως ϕαίνεται στο Σχήmicroα 422 της επόmicroενης σελίδας

Η δοmicroή του παραπάνω επιχειρήmicroατος microπορεί να περιγραϕεί συνοπτικά ως εξής Γιανα δείξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8 (1) δείχνουmicroε ότι ηP(8) είναι αληθής και (2) δείχνουmicroε ότι η αλήθεια της P(k + 1) προκύπτει απαραίτητααπό την αλήθεια της P(k) για κάθε k ge 8 Κάθε επιχείρηmicroα αυτής της microορϕής καλείταιεπιχείρηmicroα microαϑηmicroατιϰής επαγωγής

238 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

5cent

kcent (k + 1)cent

Προσθήκη

kcent (k + 1)cent

5cent

3cent 3cent

3cent

Αντικαθιστούμε τρίακέρματα των 3centμε δύο κέρματα

των 5cent

Αφαίρεση

5cent

Σχήmicroα 422

Η αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής

Έστω ότι η P(n) είναι microια ιδιότητα που ορίζεται για ακεραίους n και έστω ότι οa είναι ένας συγκεκριmicroένος ακέραιος Υποθέτουmicroε ότι οι ακόλουθες δυο προτάσειςείναι αληθείς

1 Η P(a) είναι αληθής2 Για όλους τους ακεραίους k ge a αν η P(k) είναι αληθής τότε και η P(k + 1) είναι

αληθής

Τότε ισχύει η πρότασηγια όλους τους ακεραίους n ge a η P(n) είναι αληθής

Η πρώτη γνωστή καταγεγραmicromicroένη microαθηmicroατική επαγωγή βρίσκεται στα γραπτά τουΙταλού επιστήmicroονα Francesco Maurolico το 1575 Την ίδια τεχνική χρησιmicroοποιούσαν κα-τά το δέκατο έβδοmicroο αιώνα και οι Pierre de Fermat και Blaise Pascal Ο Fermat ονόmicroαζετην επαγωγή laquomicroέθοδο της άπειρης καθόδουraquo (laquomethod of innite descentraquo) Το 1883 οAugustus De Morgan (γνωστός από τους κανόνες De Morgan) περιέγραψε προσεκτικάτη διαδικασία και την ονόmicroασε microαϑηmicroατιϰή επαγωγή

Για να πάρετε microια διαισθητική εικόνα για τη microαθηmicroατική επαγωγή ϕανταστείτε microιαάπειρη συλλογή από ντόmicroινο τοποθετηmicroένα το ένα πίσω από το άλλο microε τέτοιο τρόποώστε αν ένα ντόmicroινο πέσει να ρίξει και το επόmicroενο (∆είτε το Σχήmicroα 423) Φανταστείτετώρα ότι πέϕτει το πρώτο ντόmicroινο Τι θα συmicroβεί Θα πέσουν όλα

12

3

4

kk + 1

Σχήmicroα 423 Όταν πέϕτει το k ντόmicroινο ρίχνει και το (k + 1)

Για να δείτε τη σχέση ανάmicroεσα σε αυτή την εικόνα και την αρχή της microαθηmicroατικήςεπαγωγής υποθέστε ότι η P(n) είναι η πρόταση laquoτο n ντόmicroινο πέϕτειraquo Υποθέτουmicroε ότιγια κάθε k ge 1 αν η P(k) είναι αληθής (το k ντόmicroινο πέϕτει) τότε η P(k + 1) είναι επίσηςαληθής (το (k + 1) ντόmicroινο πέϕτει) Υποθέτουmicroε επίσης ότι η P(1) είναι αληθής (το πρώτοντόmicroινο πέϕτει) Έτσι από την αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής η P(n) (το n ντόmicroινοπέϕτει) είναι αληθής για κάθε n ge 1

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 239

Η ισχύς της απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή θεωρείται αξίωmicroα Γιrsquo αυτόν το λόγοαναϕερόmicroαστε σε αυτή ως αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής αντί ως θεώρηmicroα Είναι ισο-δύναmicroη microε την ακόλουθη ιδιότητα των ακεραίων που εύκολα τη δέχεται κανείς ως αληθήmicroε βάση τη διαίσθησή του

Υποθέτουmicroε ότι το S είναι οποιοδήποτε σύνολο ακεραίων που ικανοποιεί (1) a isin Sκαι (2) για όλους τους ακεραίους k αν k isin S τότε k + 1 isin S Τότε το S πρέπει ναπεριέχει κάθε ακέραιο microεγαλύτερο ή ίσο του a

Για να κατανοήσουmicroε την ισοδυναmicroία των δυο διατυπώσεων απλώς ορίζουmicroε ως S τοσύνολο όλων των ακεραίων για τους οποίους η P(n) είναι αληθής

Η απόδειξη ενός επιχειρήmicroατος microε microαθηmicroατική επαγωγή είναι microια διαδικασία δύο βη-microάτων Το πρώτο βήmicroα λέγεται αρχιϰό βήmicroα ή βήmicroα έναρξης και το δεύτερο επαγωγιϰόβήmicroα

Η microέθοδος απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή

Θεωρήστε microια πρόταση της microορϕής laquoγια όλους τους ακεραίους n ge a η ιδιότηταP(n) είναι αληθήςraquo Για να αποδείξουmicroε microια τέτοια πρόταση ακολουθούmicroε τα παρα-κάτω δύο βήmicroατα

Βήmicroα 1 (αρχικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = a

Βήmicroα 2 (επαγωγικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους k ge a αν η ιδιό-τητα είναι αληθής για n = k τότε είναι αληθής για n = k + 1 Για να πραγmicroα-τοποιήσουmicroε αυτό το βήmicroα

υποθέτουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k όπου k είναιοποιοσδήποτε συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος ακέραιοςmicroε k ge a [Αυτή η υπόϑεση ονοmicroάζεται επαγωγική υπόθεση]

Έτσι

δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k + 1

∆ίνουmicroε εδώ την τυπική απόδειξη για τα κέρmicroατα που διατυπώσαmicroε χωρίς τυπικό τρό-πο προηγουmicroένως

Πρόταση 421

Έστω ότι η P(n) είναι η ιδιότητα laquoncent microπορούν να υπολογιστούν microε κέρmicroατα των 3centκαι 5centraquo Τότε η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8

Απόδειξη

∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 8 Η ιδιότητα είναι αληθής για n = 8 ε-πειδή 8cent = 3cent + 5cent

∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 8 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής ϰαι για n = k + 1 Υποθέτουmicroε ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε kcent χρη-σιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent για κάποιο ακέραιο k ge 8 [Αυτή είναι η ε-παγωγιϰή υπόϑεση]Πρέπει να δείξουmicroε τώρα ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε και (k + 1)centχρησιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και 5cent Αν υπάρχει κέρmicroα των 5cent ανάmicroεσα σε αυτάπου απαρτίζουν τα kcent το αντικαθιστούmicroε microε δύο κέρmicroατα των 3cent το αποτέλεσmicroαθα είναι (k + 1)cent Αν δεν υπάρχει κέρmicroα των 5cent σε αυτά που απαρτίζουν τα kcent τότεπρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 3 κέρmicroατα των 3cent αϕού k ge 8 Αϕαιρούmicroε αυτά τατρία κέρmicroατα των 3cent και τα αντικαθιστούmicroε microε δύο των 5cent το αποτέλεσmicroα θα είναι(k + 1)cent Έτσι σε κάθε περίπτωση microπορούmicroε να πάρουmicroε (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και των 5cent [όπως έπρεπε να δειχϑεί]

240 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Το ακόλουθο παράδειγmicroα δείχνει πώς χρησιmicroοποιούmicroε τη microαθηmicroατική επαγωγή γιανα αποδείξουmicroε έναν τύπο που δίνει το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Παράδειγmicroα 421 Άθροισmicroα των n πρώτων ακεραίων

Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να αποδείξετε ότι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2για όλους τους ακεραίους n ge 1

Λύση Για να κατασκευάσετε microια απόδειξη microε επαγωγή πρέπει πρώτα να βρείτε ποια είναι ηιδιότητα P(n) Σε αυτή την περίπτωση η P(n) είναι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2 larr η ιδιότητα (P(n))

[Για να δείτε ότι η P(n) είναι microια πρόταση παρατηρήστε ότι το αντιϰείmicroενό της είναι laquoτοάϑροισmicroα των αϰεραίων από το 1 microέχρι το nraquo ϰαι το ρήmicroα της είναι το laquoισούταιraquo]

Στο αρχικό βήmicroα της απόδειξης πρέπει να δείξετε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 1ή microε άλλα λόγια ότι η P(1) είναι αληθής Τώρα για να βρούmicroε την P(1) αντικαθιστούmicroε1 στη θέση του n στην P(n) Το αριστερό σκέλος της P(1) είναι το άθροισmicroα όλων τωνδιαδοχικών ακεραίων που ξεκινούν microε το 1 και τελειώνουν στο 1 Αυτό είναι απλώς το 1Έτσι η P(1) είναι η

1 =1(1 + 1)

2 larr αρχική (P(1))

Φυσικά αυτή η εξίσωση είναι αληθής διότι το δεξιό σκέλος είναι

1(1 + 1)2

=1 sdot 2

2= 1

που ισούται microε το αριστερό σκέλοςΣτο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής για κάποιον ακέραιο k microε

k ge 1 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση] Πρέπει τώρα να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναιαληθής Ποιες είναι οι P(k) και P(k + 1) Για να βρούmicroε την P(k) αντικαθιστούmicroε k στηθέση κάθε n στην P(n) Έτσι η P(k) είναι η

1 + 2 +⋯+ k =k(k + 1)

2 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Παρόmicroοια για να βρούmicroε την P(k + 1) αντικαθιστούmicroε κάθε n της P(n) microε την ποσότητα(k + 1) Έτσι η P(k + 1) είναι1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2

ή ισοδύναmicroα

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

larr να δειχθεί η (P(k + 1))

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 241

Τώρα η επαγωγική υπόθεση είναι ότι η P(k) είναι αληθής Πώς microπορούmicroε να χρησι-microοποιήσουmicroε αυτή την υπόθεση για να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής Η P(k + 1)είναι microια εξίσωση και η αλήθεια microιας εξίσωσης microπορεί να δειχθεί microε διάϕορους τρόπουςΈνας από τους πιο άmicroεσους είναι να microετασχηmicroατίσουmicroε το αριστερό σκέλος στο δεξιόχρησιmicroοποιώντας άλγεβρα και άλλους γνωστούς κανόνες και έγκυρες υποθέσεις microεταξύτων οποίων και την επαγωγική υπόθεση Σε αυτή την περίπτωση το αριστερό σκέλος τηςP(k + 1) είναι

1 + 2 +⋯+ (k + 1)που ισούται microε

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) προσδιορισmicroός του προτελευταίουόρου και οmicroαδοποίηση

Αλλά microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1)=k(k + 1)

2+ (k + 1) αϕού η επαγωγική υπόθεση λέει

ότι 1 + 2 +⋯ + k =k(k + 1)

2

Τώρα χρησιmicroοποιούmicroε άλγεβρα για να δείξουmicroε ότι αυτή η έκϕραση ισούται microε το δεξιόσκέλος της P(k + 1)

k(k + 1)2

+ (k + 1)

=k(k + 1)

2+2(k + 1)

2

πολλαπλασιάζουmicroε αριθmicroητή και πα-ρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε το2 για να πάρουmicroε κοινό παρονοmicroα-στή

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2microε πρόσθεση κλασmicroάτων

=(k + 2)(k + 1)

2βγάζουmicroε κοινό παράγοντα το (k + 1)

=(k + 1)(k + 2)

2υπολογίζουmicroε τους παράγοντες(k + 1) και (k + 2)

που ισούται microε το δεξιό σκέλος της P(k + 1)Συνοψίζουmicroε την παραπάνω ανάλυση ως εξής

Θεώρηmicroα 422 Άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Για όλους τους ακεραίους n ge 1

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2

Απόδειξη (microε microαθηmicroατική επαγωγή)

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση 1 + 2 +⋯+ n = n(n + 1)2

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1 Για να δείξουmicroε την ιδιότητα για

n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 =1(1 + 1)

2 Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης

είναι 1 και το δεξιό είναι1(1 + 1)

2=2

2= 1 και αυτό Άρα η ιδιότητα είναι αληθής για

n = 1συνεχίζεται στην επόmicroενη σελίδα

242 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2είναι αληϑής για ϰάποιον

αϰέραιο k ge 1 στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ k =

k(k + 1)2

για κάποιον ακέραιο k ge 1

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =

n(n + 1)2

είναι αληϑής όταν

αντιϰαταστήσουmicroε το k + 1 στη ϑέση του n]Πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2 ή ισοδύναmicroα ότι

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

421

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος της εξίσωσης (421) ισούται microε το δεξιόσϰέλος]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (421) είναι το

1 + 2 +⋯+ (k + 1)= (1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) Ο προτελευταίος όρος είναι ο k γιατί οι όροι

είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ο τελευταίος εί-ναι ο k + 1

=k(k + 1)

2+ (k + 1) microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

=k(k + 1)

2+(k + 1) sdot 2

2

=(k + 1)(k + 2)

2

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (421) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού δείξαmicroε ϰαι το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

Λέγεται microια ιστορία για έναν από τους microεγαλύτερους microαθηmicroατικούς όλων των εποχώντον Carl Friedrich Gauss (1777ndash1855) σύmicroϕωνα microε την οποία όταν ήταν microικρό παιδί οδάσκαλος του ζήτησε να προσθέσει τους αριθmicroούς από το 1 microέχρι το 100 Ο δάσκαλοςζήτησε από τους microαθητές να υπολογίσουν το άθροισmicroα ώστε να τους απασχολήσει γιανα microπορέσει εκείνος να διορθώσει γραπτά Αλλά λίγες στιγmicroές αργότερα ο Gauss βρήκετην σωστή απάντηση Είναι περιττό να πούmicroε ότι ο δάσκαλος τα έχασε Πώς microπόρεσε ονεαρός Gauss να υπολογίσει τόσο γρήγορα Τα επόmicroενα χρόνια ο Gauss εξήγησε ότι είχεϕανταστεί τους αριθmicroούς σε ζευγάρια σύmicroϕωνα microε το ακόλουθο σχήmicroα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 243

1 2 3 50 51 98 99 100

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

Το άθροισmicroα κάθε ζεύγους είναι 101 και υπάρχουν 50 ζεύγη άρα το συνολικό άθροισmicroαείναι 50 sdot 101 = 5050

Παράδειγmicroα 422 Εϕαρmicroογές του τύπου του αθροίσmicroατος των πρώτων n ακεραίων

α Βρείτε το 2 + 4 + 6 +⋯+ 500

β Βρείτε το 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50

γ Για οποιονδήποτε ακέραιο h ge 2 βρείτε το 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1)Λύση

α 2 + 4 + 6 +⋯+ 500 = 2 sdot (1 + 2 + 3 +⋯+ 250)= 2 sdot (250 sdot 251

2) εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroα

των πρώτων n ακεραίων για n = 250

= 62750

β 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50 = (1 + 2 + 3 +⋯+ 50) minus (1 + 2 + 3 + 4)=50 sdot 51

2minus 10

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroατων πρώτων n ακεραίων για n = 50

= 1265

γ 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1) = (h minus 1) sdot [(h minus 1) + 1]2

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροι-σmicroα των πρώτων n ακεραίων γιαn = h minus 1

=(h minus 1) sdot h

2αϕού (h minus 1) + 1 = h n

Στο επόmicroενο παράδειγmicroα ζητείται να αποδειχθεί ένας άλλος διάσηmicroος microαθηmicroατικόςτύποςmdashο τύπος του αθροίσmicroατος της γεωmicroετρικής προόδου Σε microια γεωmicroετρικήπρόοδοκάθε όρος ισούται microε τον προηγούmicroενο επί ένα σταθερό παράγοντα Αν ο πρώτος όροςείναι 1 και ο σταθερός παράγοντας είναι r τότε η ακολουθία είναι 1 r r2 r3 rn Το άθροισmicroα των πρώτων n όρων αυτής της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

για όλους τους ακεραίους n ge 0 και τους πραγmicroατικούς αριθmicroούς r που δεν είναι ίσοι microε1 Η αναπτυγmicroένη microορϕή αυτού του τύπου είναι η

r0 + r1 + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

και επειδή r0 = 1 και r1 = r ο τύπος για n ge 1 microπορεί να ξαναγραϕεί ως

1 + r + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

244 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παράδειγmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Αποδείξτε ότιnsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 για κάθε ακέραιο n ge 0 και για όλους τους πραγmicroατικούς

αριθmicroούς r διάϕορους του 1

Λύση Σε αυτό το παράδειγmicroα η ιδιότητα P(n) είναι πάλι microια εξίσωση αν και σε αυτή τηνπερίπτωση περιλαmicroβάνει microια πραγmicroατική microεταβλητή r

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 larr η ιδιότητα (P(n))

Αϕού το r microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός εκτός του 1 ξεκινάmicroε τηναπόδειξη υποθέτοντας ότι ο r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγ-microατικός αριθmicroός διάϕορος του 1 Έπειτα συνεχίζουmicroε την απόδειξη microε microαθηmicroατική επα-γωγή στο n αρχίζοντας microε το n = 0 Στο αρχικό βήmicroα πρέπει να δείξουmicroε ότι η P(0) είναιαληθής δηλαδή να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 0 Οπότε αντικαθιστούmicroε0 για κάθε n στην P(n)

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1 larr αρχική (P(0))

Στο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής δηλαδή υποθέτουmicroε ότι ηιδιότητα είναι αληθής για n = k Οπότε αντικαθιστούmicroε k για κάθε n στην P(n)

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Μετά δείχνουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής δηλαδή δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αλη-θής για n = k + 1 Έτσι αντικαθιστούmicroε k + 1 για κάθε n στην P(n)

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1

ή εναλλακτικά

k+1sumi=0

r i =rk+2 minus 1

r minus 1sdot larr για να δείξουmicroε την (P(k + 1))

Θεώρηmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό r εκτός του 1 και για κάθε ακέραιο n ge 0

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Απόδειξη

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Υποθέτουmicroε ότι το r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγmicroατικόςαριθmicroός διάϕορος του 1 Πρέπει να δείξουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους n ge 0

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 245

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Θα το δείξουmicroε microε microαθηmicroατική επαγωγή στο n

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0 Για n = 0 πρέπει να δείξουmicroε ότι

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1

Το αριστερό σκέλος αυτής της εξίσωσης είναι το r0 = 1 Το δεξιό σκέλος είναι

r1 minus 1

r minus 1=r minus 1

r minus 1= 1

ξανά αϕού r1 = r και r ne 1 [Οπότε η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0]

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 0 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1είναι αληϑής όταν ένας αϰέραιος k ge 0

αντιϰατασταϑεί στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 για k ge 0 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση]

[Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1 422

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος αυτής της εξίσωσης ισούται microε το δεξιό]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (422) είναι το

k+1sumi=0

r i =ksumi=0

r i + rk+1 γράϕουmicroε τον (k + 1) όρο ξεχωριστά απότους πρώτους k όρους

=rk+1 minus 1

r minus 1+ rk+1 microε αντικατάσταση από

την επαγωγική υπόθεση

=rk+1 minus 1

r minus 1+rk+1(r minus 1)

r minus 1

πολλαπλασιάζουmicroε τον αριθmicroητή και τονπαρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε (r minus 1)για να έχουmicroε κοινό παρονοmicroαστή

=(rk+1 minus 1) + rk+1(r minus 1)

r minus 1πρόσθεση κλασmicroάτων

=rk+1 minus 1 + rk+2 minus rk+1

r minus 1πολλαπλασιασmicroός και χρήση του

rk+1 sdot r = rk+1 sdot r1 = rk+2

=rk+2 minus 1

r minus 1διαγραϕή των rk+1

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (4 2 2) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 237

Αριθmicroός λεπτών Πώς λαmicroβάνεται

8cent 3cent + 5cent

9cent 3cent + 3cent + 3cent

10cent 5cent + 5cent

11cent 3cent + 3cent + 5cent

12cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent

13cent 3cent + 5cent + 5cent

14cent 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

15cent 5cent + 5cent + 5cent

16cent 3cent + 3cent + 5cent + 5cent

17cent 3cent + 3cent + 3cent + 3cent + 5cent

Οι περιπτώσεις που ϕαίνονται στον πίνακα microας δίνουν επαγωγικού τύπου στοιχείαγια να υποστηρίξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλα τα n Πράγmicroατι η P(n) είναι αλη-ϑής για όλα τα n ge 8 αν ϰαι microόνο αν είναι εϕιϰτό να συνεχίσουmicroε να συmicroπληρώνουmicroε τονπίναϰα για οσοδήποτε microεγάλες τιmicroές του n

Η k γραmicromicroή του πίνακα δίνει πληροϕορίες για το πώς θα πάρουmicroε kcent χρησιmicroοποιώ-ντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent Για να συνεχίσουmicroε τον πίνακα στην επόmicroενη γραmicromicroήπρέπει να δώσουmicroε οδηγίες για το πώς θα υπολογιστούν τα (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και 5cent Το microυστικό είναι να παρατηρήσουmicroε πρώτα ότι αν microπορούmicroε ναυπολογίσουmicroε kcent χρησιmicroοποιώντας τουλάχιστον ένα κέρmicroα των 5cent τότε microπορούmicroε να υ-πολογίσουmicroε (k + 1)cent αντικαθιστώντας το κέρmicroα των 5cent microε δύο κέρmicroατα των 3cent όπωςϕαίνεται στο Σχήmicroα 421

kcent (k + 1)cent

3cent 3cent5cent

Αντικατάσταση ενός κέρματος των 5cent με δύο

κέρματα των 3cent

Αφαίρεση Προσθήκη

Σχήmicroα 421

Αν από την άλλη microεριά τα kcent λαmicroβάνονται χωρίς χρήση του κέρmicroατος των 5cent τότεχρησιmicroοποιούνται microόνο κέρmicroατα των 3cent Και αϕού το σύνολο είναι τουλάχιστον 8cent πρέπεινα περιλαmicroβάνονται τρία ή περισσότερα κέρmicroατα των 3cent Για να πάρουmicroε ένα σύνολο(k + 1)cent microπορούmicroε να αντικαταστήσουmicroε τρία από τα κέρmicroατα των 3cent microε δύο των 5centόπως ϕαίνεται στο Σχήmicroα 422 της επόmicroενης σελίδας

Η δοmicroή του παραπάνω επιχειρήmicroατος microπορεί να περιγραϕεί συνοπτικά ως εξής Γιανα δείξουmicroε ότι η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8 (1) δείχνουmicroε ότι ηP(8) είναι αληθής και (2) δείχνουmicroε ότι η αλήθεια της P(k + 1) προκύπτει απαραίτητααπό την αλήθεια της P(k) για κάθε k ge 8 Κάθε επιχείρηmicroα αυτής της microορϕής καλείταιεπιχείρηmicroα microαϑηmicroατιϰής επαγωγής

238 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

5cent

kcent (k + 1)cent

Προσθήκη

kcent (k + 1)cent

5cent

3cent 3cent

3cent

Αντικαθιστούμε τρίακέρματα των 3centμε δύο κέρματα

των 5cent

Αφαίρεση

5cent

Σχήmicroα 422

Η αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής

Έστω ότι η P(n) είναι microια ιδιότητα που ορίζεται για ακεραίους n και έστω ότι οa είναι ένας συγκεκριmicroένος ακέραιος Υποθέτουmicroε ότι οι ακόλουθες δυο προτάσειςείναι αληθείς

1 Η P(a) είναι αληθής2 Για όλους τους ακεραίους k ge a αν η P(k) είναι αληθής τότε και η P(k + 1) είναι

αληθής

Τότε ισχύει η πρότασηγια όλους τους ακεραίους n ge a η P(n) είναι αληθής

Η πρώτη γνωστή καταγεγραmicromicroένη microαθηmicroατική επαγωγή βρίσκεται στα γραπτά τουΙταλού επιστήmicroονα Francesco Maurolico το 1575 Την ίδια τεχνική χρησιmicroοποιούσαν κα-τά το δέκατο έβδοmicroο αιώνα και οι Pierre de Fermat και Blaise Pascal Ο Fermat ονόmicroαζετην επαγωγή laquomicroέθοδο της άπειρης καθόδουraquo (laquomethod of innite descentraquo) Το 1883 οAugustus De Morgan (γνωστός από τους κανόνες De Morgan) περιέγραψε προσεκτικάτη διαδικασία και την ονόmicroασε microαϑηmicroατιϰή επαγωγή

Για να πάρετε microια διαισθητική εικόνα για τη microαθηmicroατική επαγωγή ϕανταστείτε microιαάπειρη συλλογή από ντόmicroινο τοποθετηmicroένα το ένα πίσω από το άλλο microε τέτοιο τρόποώστε αν ένα ντόmicroινο πέσει να ρίξει και το επόmicroενο (∆είτε το Σχήmicroα 423) Φανταστείτετώρα ότι πέϕτει το πρώτο ντόmicroινο Τι θα συmicroβεί Θα πέσουν όλα

12

3

4

kk + 1

Σχήmicroα 423 Όταν πέϕτει το k ντόmicroινο ρίχνει και το (k + 1)

Για να δείτε τη σχέση ανάmicroεσα σε αυτή την εικόνα και την αρχή της microαθηmicroατικήςεπαγωγής υποθέστε ότι η P(n) είναι η πρόταση laquoτο n ντόmicroινο πέϕτειraquo Υποθέτουmicroε ότιγια κάθε k ge 1 αν η P(k) είναι αληθής (το k ντόmicroινο πέϕτει) τότε η P(k + 1) είναι επίσηςαληθής (το (k + 1) ντόmicroινο πέϕτει) Υποθέτουmicroε επίσης ότι η P(1) είναι αληθής (το πρώτοντόmicroινο πέϕτει) Έτσι από την αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής η P(n) (το n ντόmicroινοπέϕτει) είναι αληθής για κάθε n ge 1

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 239

Η ισχύς της απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή θεωρείται αξίωmicroα Γιrsquo αυτόν το λόγοαναϕερόmicroαστε σε αυτή ως αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής αντί ως θεώρηmicroα Είναι ισο-δύναmicroη microε την ακόλουθη ιδιότητα των ακεραίων που εύκολα τη δέχεται κανείς ως αληθήmicroε βάση τη διαίσθησή του

Υποθέτουmicroε ότι το S είναι οποιοδήποτε σύνολο ακεραίων που ικανοποιεί (1) a isin Sκαι (2) για όλους τους ακεραίους k αν k isin S τότε k + 1 isin S Τότε το S πρέπει ναπεριέχει κάθε ακέραιο microεγαλύτερο ή ίσο του a

Για να κατανοήσουmicroε την ισοδυναmicroία των δυο διατυπώσεων απλώς ορίζουmicroε ως S τοσύνολο όλων των ακεραίων για τους οποίους η P(n) είναι αληθής

Η απόδειξη ενός επιχειρήmicroατος microε microαθηmicroατική επαγωγή είναι microια διαδικασία δύο βη-microάτων Το πρώτο βήmicroα λέγεται αρχιϰό βήmicroα ή βήmicroα έναρξης και το δεύτερο επαγωγιϰόβήmicroα

Η microέθοδος απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή

Θεωρήστε microια πρόταση της microορϕής laquoγια όλους τους ακεραίους n ge a η ιδιότηταP(n) είναι αληθήςraquo Για να αποδείξουmicroε microια τέτοια πρόταση ακολουθούmicroε τα παρα-κάτω δύο βήmicroατα

Βήmicroα 1 (αρχικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = a

Βήmicroα 2 (επαγωγικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους k ge a αν η ιδιό-τητα είναι αληθής για n = k τότε είναι αληθής για n = k + 1 Για να πραγmicroα-τοποιήσουmicroε αυτό το βήmicroα

υποθέτουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k όπου k είναιοποιοσδήποτε συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος ακέραιοςmicroε k ge a [Αυτή η υπόϑεση ονοmicroάζεται επαγωγική υπόθεση]

Έτσι

δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k + 1

∆ίνουmicroε εδώ την τυπική απόδειξη για τα κέρmicroατα που διατυπώσαmicroε χωρίς τυπικό τρό-πο προηγουmicroένως

Πρόταση 421

Έστω ότι η P(n) είναι η ιδιότητα laquoncent microπορούν να υπολογιστούν microε κέρmicroατα των 3centκαι 5centraquo Τότε η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8

Απόδειξη

∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 8 Η ιδιότητα είναι αληθής για n = 8 ε-πειδή 8cent = 3cent + 5cent

∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 8 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής ϰαι για n = k + 1 Υποθέτουmicroε ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε kcent χρη-σιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent για κάποιο ακέραιο k ge 8 [Αυτή είναι η ε-παγωγιϰή υπόϑεση]Πρέπει να δείξουmicroε τώρα ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε και (k + 1)centχρησιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και 5cent Αν υπάρχει κέρmicroα των 5cent ανάmicroεσα σε αυτάπου απαρτίζουν τα kcent το αντικαθιστούmicroε microε δύο κέρmicroατα των 3cent το αποτέλεσmicroαθα είναι (k + 1)cent Αν δεν υπάρχει κέρmicroα των 5cent σε αυτά που απαρτίζουν τα kcent τότεπρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 3 κέρmicroατα των 3cent αϕού k ge 8 Αϕαιρούmicroε αυτά τατρία κέρmicroατα των 3cent και τα αντικαθιστούmicroε microε δύο των 5cent το αποτέλεσmicroα θα είναι(k + 1)cent Έτσι σε κάθε περίπτωση microπορούmicroε να πάρουmicroε (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και των 5cent [όπως έπρεπε να δειχϑεί]

240 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Το ακόλουθο παράδειγmicroα δείχνει πώς χρησιmicroοποιούmicroε τη microαθηmicroατική επαγωγή γιανα αποδείξουmicroε έναν τύπο που δίνει το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Παράδειγmicroα 421 Άθροισmicroα των n πρώτων ακεραίων

Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να αποδείξετε ότι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2για όλους τους ακεραίους n ge 1

Λύση Για να κατασκευάσετε microια απόδειξη microε επαγωγή πρέπει πρώτα να βρείτε ποια είναι ηιδιότητα P(n) Σε αυτή την περίπτωση η P(n) είναι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2 larr η ιδιότητα (P(n))

[Για να δείτε ότι η P(n) είναι microια πρόταση παρατηρήστε ότι το αντιϰείmicroενό της είναι laquoτοάϑροισmicroα των αϰεραίων από το 1 microέχρι το nraquo ϰαι το ρήmicroα της είναι το laquoισούταιraquo]

Στο αρχικό βήmicroα της απόδειξης πρέπει να δείξετε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 1ή microε άλλα λόγια ότι η P(1) είναι αληθής Τώρα για να βρούmicroε την P(1) αντικαθιστούmicroε1 στη θέση του n στην P(n) Το αριστερό σκέλος της P(1) είναι το άθροισmicroα όλων τωνδιαδοχικών ακεραίων που ξεκινούν microε το 1 και τελειώνουν στο 1 Αυτό είναι απλώς το 1Έτσι η P(1) είναι η

1 =1(1 + 1)

2 larr αρχική (P(1))

Φυσικά αυτή η εξίσωση είναι αληθής διότι το δεξιό σκέλος είναι

1(1 + 1)2

=1 sdot 2

2= 1

που ισούται microε το αριστερό σκέλοςΣτο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής για κάποιον ακέραιο k microε

k ge 1 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση] Πρέπει τώρα να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναιαληθής Ποιες είναι οι P(k) και P(k + 1) Για να βρούmicroε την P(k) αντικαθιστούmicroε k στηθέση κάθε n στην P(n) Έτσι η P(k) είναι η

1 + 2 +⋯+ k =k(k + 1)

2 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Παρόmicroοια για να βρούmicroε την P(k + 1) αντικαθιστούmicroε κάθε n της P(n) microε την ποσότητα(k + 1) Έτσι η P(k + 1) είναι1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2

ή ισοδύναmicroα

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

larr να δειχθεί η (P(k + 1))

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 241

Τώρα η επαγωγική υπόθεση είναι ότι η P(k) είναι αληθής Πώς microπορούmicroε να χρησι-microοποιήσουmicroε αυτή την υπόθεση για να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής Η P(k + 1)είναι microια εξίσωση και η αλήθεια microιας εξίσωσης microπορεί να δειχθεί microε διάϕορους τρόπουςΈνας από τους πιο άmicroεσους είναι να microετασχηmicroατίσουmicroε το αριστερό σκέλος στο δεξιόχρησιmicroοποιώντας άλγεβρα και άλλους γνωστούς κανόνες και έγκυρες υποθέσεις microεταξύτων οποίων και την επαγωγική υπόθεση Σε αυτή την περίπτωση το αριστερό σκέλος τηςP(k + 1) είναι

1 + 2 +⋯+ (k + 1)που ισούται microε

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) προσδιορισmicroός του προτελευταίουόρου και οmicroαδοποίηση

Αλλά microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1)=k(k + 1)

2+ (k + 1) αϕού η επαγωγική υπόθεση λέει

ότι 1 + 2 +⋯ + k =k(k + 1)

2

Τώρα χρησιmicroοποιούmicroε άλγεβρα για να δείξουmicroε ότι αυτή η έκϕραση ισούται microε το δεξιόσκέλος της P(k + 1)

k(k + 1)2

+ (k + 1)

=k(k + 1)

2+2(k + 1)

2

πολλαπλασιάζουmicroε αριθmicroητή και πα-ρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε το2 για να πάρουmicroε κοινό παρονοmicroα-στή

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2microε πρόσθεση κλασmicroάτων

=(k + 2)(k + 1)

2βγάζουmicroε κοινό παράγοντα το (k + 1)

=(k + 1)(k + 2)

2υπολογίζουmicroε τους παράγοντες(k + 1) και (k + 2)

που ισούται microε το δεξιό σκέλος της P(k + 1)Συνοψίζουmicroε την παραπάνω ανάλυση ως εξής

Θεώρηmicroα 422 Άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Για όλους τους ακεραίους n ge 1

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2

Απόδειξη (microε microαθηmicroατική επαγωγή)

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση 1 + 2 +⋯+ n = n(n + 1)2

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1 Για να δείξουmicroε την ιδιότητα για

n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 =1(1 + 1)

2 Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης

είναι 1 και το δεξιό είναι1(1 + 1)

2=2

2= 1 και αυτό Άρα η ιδιότητα είναι αληθής για

n = 1συνεχίζεται στην επόmicroενη σελίδα

242 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2είναι αληϑής για ϰάποιον

αϰέραιο k ge 1 στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ k =

k(k + 1)2

για κάποιον ακέραιο k ge 1

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =

n(n + 1)2

είναι αληϑής όταν

αντιϰαταστήσουmicroε το k + 1 στη ϑέση του n]Πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2 ή ισοδύναmicroα ότι

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

421

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος της εξίσωσης (421) ισούται microε το δεξιόσϰέλος]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (421) είναι το

1 + 2 +⋯+ (k + 1)= (1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) Ο προτελευταίος όρος είναι ο k γιατί οι όροι

είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ο τελευταίος εί-ναι ο k + 1

=k(k + 1)

2+ (k + 1) microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

=k(k + 1)

2+(k + 1) sdot 2

2

=(k + 1)(k + 2)

2

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (421) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού δείξαmicroε ϰαι το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

Λέγεται microια ιστορία για έναν από τους microεγαλύτερους microαθηmicroατικούς όλων των εποχώντον Carl Friedrich Gauss (1777ndash1855) σύmicroϕωνα microε την οποία όταν ήταν microικρό παιδί οδάσκαλος του ζήτησε να προσθέσει τους αριθmicroούς από το 1 microέχρι το 100 Ο δάσκαλοςζήτησε από τους microαθητές να υπολογίσουν το άθροισmicroα ώστε να τους απασχολήσει γιανα microπορέσει εκείνος να διορθώσει γραπτά Αλλά λίγες στιγmicroές αργότερα ο Gauss βρήκετην σωστή απάντηση Είναι περιττό να πούmicroε ότι ο δάσκαλος τα έχασε Πώς microπόρεσε ονεαρός Gauss να υπολογίσει τόσο γρήγορα Τα επόmicroενα χρόνια ο Gauss εξήγησε ότι είχεϕανταστεί τους αριθmicroούς σε ζευγάρια σύmicroϕωνα microε το ακόλουθο σχήmicroα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 243

1 2 3 50 51 98 99 100

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

Το άθροισmicroα κάθε ζεύγους είναι 101 και υπάρχουν 50 ζεύγη άρα το συνολικό άθροισmicroαείναι 50 sdot 101 = 5050

Παράδειγmicroα 422 Εϕαρmicroογές του τύπου του αθροίσmicroατος των πρώτων n ακεραίων

α Βρείτε το 2 + 4 + 6 +⋯+ 500

β Βρείτε το 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50

γ Για οποιονδήποτε ακέραιο h ge 2 βρείτε το 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1)Λύση

α 2 + 4 + 6 +⋯+ 500 = 2 sdot (1 + 2 + 3 +⋯+ 250)= 2 sdot (250 sdot 251

2) εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroα

των πρώτων n ακεραίων για n = 250

= 62750

β 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50 = (1 + 2 + 3 +⋯+ 50) minus (1 + 2 + 3 + 4)=50 sdot 51

2minus 10

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroατων πρώτων n ακεραίων για n = 50

= 1265

γ 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1) = (h minus 1) sdot [(h minus 1) + 1]2

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροι-σmicroα των πρώτων n ακεραίων γιαn = h minus 1

=(h minus 1) sdot h

2αϕού (h minus 1) + 1 = h n

Στο επόmicroενο παράδειγmicroα ζητείται να αποδειχθεί ένας άλλος διάσηmicroος microαθηmicroατικόςτύποςmdashο τύπος του αθροίσmicroατος της γεωmicroετρικής προόδου Σε microια γεωmicroετρικήπρόοδοκάθε όρος ισούται microε τον προηγούmicroενο επί ένα σταθερό παράγοντα Αν ο πρώτος όροςείναι 1 και ο σταθερός παράγοντας είναι r τότε η ακολουθία είναι 1 r r2 r3 rn Το άθροισmicroα των πρώτων n όρων αυτής της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

για όλους τους ακεραίους n ge 0 και τους πραγmicroατικούς αριθmicroούς r που δεν είναι ίσοι microε1 Η αναπτυγmicroένη microορϕή αυτού του τύπου είναι η

r0 + r1 + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

και επειδή r0 = 1 και r1 = r ο τύπος για n ge 1 microπορεί να ξαναγραϕεί ως

1 + r + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

244 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παράδειγmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Αποδείξτε ότιnsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 για κάθε ακέραιο n ge 0 και για όλους τους πραγmicroατικούς

αριθmicroούς r διάϕορους του 1

Λύση Σε αυτό το παράδειγmicroα η ιδιότητα P(n) είναι πάλι microια εξίσωση αν και σε αυτή τηνπερίπτωση περιλαmicroβάνει microια πραγmicroατική microεταβλητή r

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 larr η ιδιότητα (P(n))

Αϕού το r microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός εκτός του 1 ξεκινάmicroε τηναπόδειξη υποθέτοντας ότι ο r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγ-microατικός αριθmicroός διάϕορος του 1 Έπειτα συνεχίζουmicroε την απόδειξη microε microαθηmicroατική επα-γωγή στο n αρχίζοντας microε το n = 0 Στο αρχικό βήmicroα πρέπει να δείξουmicroε ότι η P(0) είναιαληθής δηλαδή να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 0 Οπότε αντικαθιστούmicroε0 για κάθε n στην P(n)

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1 larr αρχική (P(0))

Στο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής δηλαδή υποθέτουmicroε ότι ηιδιότητα είναι αληθής για n = k Οπότε αντικαθιστούmicroε k για κάθε n στην P(n)

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Μετά δείχνουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής δηλαδή δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αλη-θής για n = k + 1 Έτσι αντικαθιστούmicroε k + 1 για κάθε n στην P(n)

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1

ή εναλλακτικά

k+1sumi=0

r i =rk+2 minus 1

r minus 1sdot larr για να δείξουmicroε την (P(k + 1))

Θεώρηmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό r εκτός του 1 και για κάθε ακέραιο n ge 0

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Απόδειξη

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Υποθέτουmicroε ότι το r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγmicroατικόςαριθmicroός διάϕορος του 1 Πρέπει να δείξουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους n ge 0

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 245

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Θα το δείξουmicroε microε microαθηmicroατική επαγωγή στο n

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0 Για n = 0 πρέπει να δείξουmicroε ότι

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1

Το αριστερό σκέλος αυτής της εξίσωσης είναι το r0 = 1 Το δεξιό σκέλος είναι

r1 minus 1

r minus 1=r minus 1

r minus 1= 1

ξανά αϕού r1 = r και r ne 1 [Οπότε η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0]

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 0 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1είναι αληϑής όταν ένας αϰέραιος k ge 0

αντιϰατασταϑεί στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 για k ge 0 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση]

[Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1 422

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος αυτής της εξίσωσης ισούται microε το δεξιό]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (422) είναι το

k+1sumi=0

r i =ksumi=0

r i + rk+1 γράϕουmicroε τον (k + 1) όρο ξεχωριστά απότους πρώτους k όρους

=rk+1 minus 1

r minus 1+ rk+1 microε αντικατάσταση από

την επαγωγική υπόθεση

=rk+1 minus 1

r minus 1+rk+1(r minus 1)

r minus 1

πολλαπλασιάζουmicroε τον αριθmicroητή και τονπαρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε (r minus 1)για να έχουmicroε κοινό παρονοmicroαστή

=(rk+1 minus 1) + rk+1(r minus 1)

r minus 1πρόσθεση κλασmicroάτων

=rk+1 minus 1 + rk+2 minus rk+1

r minus 1πολλαπλασιασmicroός και χρήση του

rk+1 sdot r = rk+1 sdot r1 = rk+2

=rk+2 minus 1

r minus 1διαγραϕή των rk+1

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (4 2 2) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

238 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

5cent

kcent (k + 1)cent

Προσθήκη

kcent (k + 1)cent

5cent

3cent 3cent

3cent

Αντικαθιστούμε τρίακέρματα των 3centμε δύο κέρματα

των 5cent

Αφαίρεση

5cent

Σχήmicroα 422

Η αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής

Έστω ότι η P(n) είναι microια ιδιότητα που ορίζεται για ακεραίους n και έστω ότι οa είναι ένας συγκεκριmicroένος ακέραιος Υποθέτουmicroε ότι οι ακόλουθες δυο προτάσειςείναι αληθείς

1 Η P(a) είναι αληθής2 Για όλους τους ακεραίους k ge a αν η P(k) είναι αληθής τότε και η P(k + 1) είναι

αληθής

Τότε ισχύει η πρότασηγια όλους τους ακεραίους n ge a η P(n) είναι αληθής

Η πρώτη γνωστή καταγεγραmicromicroένη microαθηmicroατική επαγωγή βρίσκεται στα γραπτά τουΙταλού επιστήmicroονα Francesco Maurolico το 1575 Την ίδια τεχνική χρησιmicroοποιούσαν κα-τά το δέκατο έβδοmicroο αιώνα και οι Pierre de Fermat και Blaise Pascal Ο Fermat ονόmicroαζετην επαγωγή laquomicroέθοδο της άπειρης καθόδουraquo (laquomethod of innite descentraquo) Το 1883 οAugustus De Morgan (γνωστός από τους κανόνες De Morgan) περιέγραψε προσεκτικάτη διαδικασία και την ονόmicroασε microαϑηmicroατιϰή επαγωγή

Για να πάρετε microια διαισθητική εικόνα για τη microαθηmicroατική επαγωγή ϕανταστείτε microιαάπειρη συλλογή από ντόmicroινο τοποθετηmicroένα το ένα πίσω από το άλλο microε τέτοιο τρόποώστε αν ένα ντόmicroινο πέσει να ρίξει και το επόmicroενο (∆είτε το Σχήmicroα 423) Φανταστείτετώρα ότι πέϕτει το πρώτο ντόmicroινο Τι θα συmicroβεί Θα πέσουν όλα

12

3

4

kk + 1

Σχήmicroα 423 Όταν πέϕτει το k ντόmicroινο ρίχνει και το (k + 1)

Για να δείτε τη σχέση ανάmicroεσα σε αυτή την εικόνα και την αρχή της microαθηmicroατικήςεπαγωγής υποθέστε ότι η P(n) είναι η πρόταση laquoτο n ντόmicroινο πέϕτειraquo Υποθέτουmicroε ότιγια κάθε k ge 1 αν η P(k) είναι αληθής (το k ντόmicroινο πέϕτει) τότε η P(k + 1) είναι επίσηςαληθής (το (k + 1) ντόmicroινο πέϕτει) Υποθέτουmicroε επίσης ότι η P(1) είναι αληθής (το πρώτοντόmicroινο πέϕτει) Έτσι από την αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής η P(n) (το n ντόmicroινοπέϕτει) είναι αληθής για κάθε n ge 1

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 239

Η ισχύς της απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή θεωρείται αξίωmicroα Γιrsquo αυτόν το λόγοαναϕερόmicroαστε σε αυτή ως αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής αντί ως θεώρηmicroα Είναι ισο-δύναmicroη microε την ακόλουθη ιδιότητα των ακεραίων που εύκολα τη δέχεται κανείς ως αληθήmicroε βάση τη διαίσθησή του

Υποθέτουmicroε ότι το S είναι οποιοδήποτε σύνολο ακεραίων που ικανοποιεί (1) a isin Sκαι (2) για όλους τους ακεραίους k αν k isin S τότε k + 1 isin S Τότε το S πρέπει ναπεριέχει κάθε ακέραιο microεγαλύτερο ή ίσο του a

Για να κατανοήσουmicroε την ισοδυναmicroία των δυο διατυπώσεων απλώς ορίζουmicroε ως S τοσύνολο όλων των ακεραίων για τους οποίους η P(n) είναι αληθής

Η απόδειξη ενός επιχειρήmicroατος microε microαθηmicroατική επαγωγή είναι microια διαδικασία δύο βη-microάτων Το πρώτο βήmicroα λέγεται αρχιϰό βήmicroα ή βήmicroα έναρξης και το δεύτερο επαγωγιϰόβήmicroα

Η microέθοδος απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή

Θεωρήστε microια πρόταση της microορϕής laquoγια όλους τους ακεραίους n ge a η ιδιότηταP(n) είναι αληθήςraquo Για να αποδείξουmicroε microια τέτοια πρόταση ακολουθούmicroε τα παρα-κάτω δύο βήmicroατα

Βήmicroα 1 (αρχικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = a

Βήmicroα 2 (επαγωγικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους k ge a αν η ιδιό-τητα είναι αληθής για n = k τότε είναι αληθής για n = k + 1 Για να πραγmicroα-τοποιήσουmicroε αυτό το βήmicroα

υποθέτουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k όπου k είναιοποιοσδήποτε συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος ακέραιοςmicroε k ge a [Αυτή η υπόϑεση ονοmicroάζεται επαγωγική υπόθεση]

Έτσι

δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k + 1

∆ίνουmicroε εδώ την τυπική απόδειξη για τα κέρmicroατα που διατυπώσαmicroε χωρίς τυπικό τρό-πο προηγουmicroένως

Πρόταση 421

Έστω ότι η P(n) είναι η ιδιότητα laquoncent microπορούν να υπολογιστούν microε κέρmicroατα των 3centκαι 5centraquo Τότε η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8

Απόδειξη

∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 8 Η ιδιότητα είναι αληθής για n = 8 ε-πειδή 8cent = 3cent + 5cent

∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 8 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής ϰαι για n = k + 1 Υποθέτουmicroε ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε kcent χρη-σιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent για κάποιο ακέραιο k ge 8 [Αυτή είναι η ε-παγωγιϰή υπόϑεση]Πρέπει να δείξουmicroε τώρα ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε και (k + 1)centχρησιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και 5cent Αν υπάρχει κέρmicroα των 5cent ανάmicroεσα σε αυτάπου απαρτίζουν τα kcent το αντικαθιστούmicroε microε δύο κέρmicroατα των 3cent το αποτέλεσmicroαθα είναι (k + 1)cent Αν δεν υπάρχει κέρmicroα των 5cent σε αυτά που απαρτίζουν τα kcent τότεπρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 3 κέρmicroατα των 3cent αϕού k ge 8 Αϕαιρούmicroε αυτά τατρία κέρmicroατα των 3cent και τα αντικαθιστούmicroε microε δύο των 5cent το αποτέλεσmicroα θα είναι(k + 1)cent Έτσι σε κάθε περίπτωση microπορούmicroε να πάρουmicroε (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και των 5cent [όπως έπρεπε να δειχϑεί]

240 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Το ακόλουθο παράδειγmicroα δείχνει πώς χρησιmicroοποιούmicroε τη microαθηmicroατική επαγωγή γιανα αποδείξουmicroε έναν τύπο που δίνει το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Παράδειγmicroα 421 Άθροισmicroα των n πρώτων ακεραίων

Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να αποδείξετε ότι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2για όλους τους ακεραίους n ge 1

Λύση Για να κατασκευάσετε microια απόδειξη microε επαγωγή πρέπει πρώτα να βρείτε ποια είναι ηιδιότητα P(n) Σε αυτή την περίπτωση η P(n) είναι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2 larr η ιδιότητα (P(n))

[Για να δείτε ότι η P(n) είναι microια πρόταση παρατηρήστε ότι το αντιϰείmicroενό της είναι laquoτοάϑροισmicroα των αϰεραίων από το 1 microέχρι το nraquo ϰαι το ρήmicroα της είναι το laquoισούταιraquo]

Στο αρχικό βήmicroα της απόδειξης πρέπει να δείξετε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 1ή microε άλλα λόγια ότι η P(1) είναι αληθής Τώρα για να βρούmicroε την P(1) αντικαθιστούmicroε1 στη θέση του n στην P(n) Το αριστερό σκέλος της P(1) είναι το άθροισmicroα όλων τωνδιαδοχικών ακεραίων που ξεκινούν microε το 1 και τελειώνουν στο 1 Αυτό είναι απλώς το 1Έτσι η P(1) είναι η

1 =1(1 + 1)

2 larr αρχική (P(1))

Φυσικά αυτή η εξίσωση είναι αληθής διότι το δεξιό σκέλος είναι

1(1 + 1)2

=1 sdot 2

2= 1

που ισούται microε το αριστερό σκέλοςΣτο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής για κάποιον ακέραιο k microε

k ge 1 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση] Πρέπει τώρα να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναιαληθής Ποιες είναι οι P(k) και P(k + 1) Για να βρούmicroε την P(k) αντικαθιστούmicroε k στηθέση κάθε n στην P(n) Έτσι η P(k) είναι η

1 + 2 +⋯+ k =k(k + 1)

2 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Παρόmicroοια για να βρούmicroε την P(k + 1) αντικαθιστούmicroε κάθε n της P(n) microε την ποσότητα(k + 1) Έτσι η P(k + 1) είναι1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2

ή ισοδύναmicroα

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

larr να δειχθεί η (P(k + 1))

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 241

Τώρα η επαγωγική υπόθεση είναι ότι η P(k) είναι αληθής Πώς microπορούmicroε να χρησι-microοποιήσουmicroε αυτή την υπόθεση για να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής Η P(k + 1)είναι microια εξίσωση και η αλήθεια microιας εξίσωσης microπορεί να δειχθεί microε διάϕορους τρόπουςΈνας από τους πιο άmicroεσους είναι να microετασχηmicroατίσουmicroε το αριστερό σκέλος στο δεξιόχρησιmicroοποιώντας άλγεβρα και άλλους γνωστούς κανόνες και έγκυρες υποθέσεις microεταξύτων οποίων και την επαγωγική υπόθεση Σε αυτή την περίπτωση το αριστερό σκέλος τηςP(k + 1) είναι

1 + 2 +⋯+ (k + 1)που ισούται microε

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) προσδιορισmicroός του προτελευταίουόρου και οmicroαδοποίηση

Αλλά microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1)=k(k + 1)

2+ (k + 1) αϕού η επαγωγική υπόθεση λέει

ότι 1 + 2 +⋯ + k =k(k + 1)

2

Τώρα χρησιmicroοποιούmicroε άλγεβρα για να δείξουmicroε ότι αυτή η έκϕραση ισούται microε το δεξιόσκέλος της P(k + 1)

k(k + 1)2

+ (k + 1)

=k(k + 1)

2+2(k + 1)

2

πολλαπλασιάζουmicroε αριθmicroητή και πα-ρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε το2 για να πάρουmicroε κοινό παρονοmicroα-στή

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2microε πρόσθεση κλασmicroάτων

=(k + 2)(k + 1)

2βγάζουmicroε κοινό παράγοντα το (k + 1)

=(k + 1)(k + 2)

2υπολογίζουmicroε τους παράγοντες(k + 1) και (k + 2)

που ισούται microε το δεξιό σκέλος της P(k + 1)Συνοψίζουmicroε την παραπάνω ανάλυση ως εξής

Θεώρηmicroα 422 Άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Για όλους τους ακεραίους n ge 1

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2

Απόδειξη (microε microαθηmicroατική επαγωγή)

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση 1 + 2 +⋯+ n = n(n + 1)2

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1 Για να δείξουmicroε την ιδιότητα για

n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 =1(1 + 1)

2 Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης

είναι 1 και το δεξιό είναι1(1 + 1)

2=2

2= 1 και αυτό Άρα η ιδιότητα είναι αληθής για

n = 1συνεχίζεται στην επόmicroενη σελίδα

242 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2είναι αληϑής για ϰάποιον

αϰέραιο k ge 1 στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ k =

k(k + 1)2

για κάποιον ακέραιο k ge 1

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =

n(n + 1)2

είναι αληϑής όταν

αντιϰαταστήσουmicroε το k + 1 στη ϑέση του n]Πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2 ή ισοδύναmicroα ότι

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

421

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος της εξίσωσης (421) ισούται microε το δεξιόσϰέλος]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (421) είναι το

1 + 2 +⋯+ (k + 1)= (1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) Ο προτελευταίος όρος είναι ο k γιατί οι όροι

είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ο τελευταίος εί-ναι ο k + 1

=k(k + 1)

2+ (k + 1) microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

=k(k + 1)

2+(k + 1) sdot 2

2

=(k + 1)(k + 2)

2

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (421) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού δείξαmicroε ϰαι το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

Λέγεται microια ιστορία για έναν από τους microεγαλύτερους microαθηmicroατικούς όλων των εποχώντον Carl Friedrich Gauss (1777ndash1855) σύmicroϕωνα microε την οποία όταν ήταν microικρό παιδί οδάσκαλος του ζήτησε να προσθέσει τους αριθmicroούς από το 1 microέχρι το 100 Ο δάσκαλοςζήτησε από τους microαθητές να υπολογίσουν το άθροισmicroα ώστε να τους απασχολήσει γιανα microπορέσει εκείνος να διορθώσει γραπτά Αλλά λίγες στιγmicroές αργότερα ο Gauss βρήκετην σωστή απάντηση Είναι περιττό να πούmicroε ότι ο δάσκαλος τα έχασε Πώς microπόρεσε ονεαρός Gauss να υπολογίσει τόσο γρήγορα Τα επόmicroενα χρόνια ο Gauss εξήγησε ότι είχεϕανταστεί τους αριθmicroούς σε ζευγάρια σύmicroϕωνα microε το ακόλουθο σχήmicroα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 243

1 2 3 50 51 98 99 100

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

Το άθροισmicroα κάθε ζεύγους είναι 101 και υπάρχουν 50 ζεύγη άρα το συνολικό άθροισmicroαείναι 50 sdot 101 = 5050

Παράδειγmicroα 422 Εϕαρmicroογές του τύπου του αθροίσmicroατος των πρώτων n ακεραίων

α Βρείτε το 2 + 4 + 6 +⋯+ 500

β Βρείτε το 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50

γ Για οποιονδήποτε ακέραιο h ge 2 βρείτε το 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1)Λύση

α 2 + 4 + 6 +⋯+ 500 = 2 sdot (1 + 2 + 3 +⋯+ 250)= 2 sdot (250 sdot 251

2) εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroα

των πρώτων n ακεραίων για n = 250

= 62750

β 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50 = (1 + 2 + 3 +⋯+ 50) minus (1 + 2 + 3 + 4)=50 sdot 51

2minus 10

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroατων πρώτων n ακεραίων για n = 50

= 1265

γ 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1) = (h minus 1) sdot [(h minus 1) + 1]2

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροι-σmicroα των πρώτων n ακεραίων γιαn = h minus 1

=(h minus 1) sdot h

2αϕού (h minus 1) + 1 = h n

Στο επόmicroενο παράδειγmicroα ζητείται να αποδειχθεί ένας άλλος διάσηmicroος microαθηmicroατικόςτύποςmdashο τύπος του αθροίσmicroατος της γεωmicroετρικής προόδου Σε microια γεωmicroετρικήπρόοδοκάθε όρος ισούται microε τον προηγούmicroενο επί ένα σταθερό παράγοντα Αν ο πρώτος όροςείναι 1 και ο σταθερός παράγοντας είναι r τότε η ακολουθία είναι 1 r r2 r3 rn Το άθροισmicroα των πρώτων n όρων αυτής της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

για όλους τους ακεραίους n ge 0 και τους πραγmicroατικούς αριθmicroούς r που δεν είναι ίσοι microε1 Η αναπτυγmicroένη microορϕή αυτού του τύπου είναι η

r0 + r1 + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

και επειδή r0 = 1 και r1 = r ο τύπος για n ge 1 microπορεί να ξαναγραϕεί ως

1 + r + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

244 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παράδειγmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Αποδείξτε ότιnsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 για κάθε ακέραιο n ge 0 και για όλους τους πραγmicroατικούς

αριθmicroούς r διάϕορους του 1

Λύση Σε αυτό το παράδειγmicroα η ιδιότητα P(n) είναι πάλι microια εξίσωση αν και σε αυτή τηνπερίπτωση περιλαmicroβάνει microια πραγmicroατική microεταβλητή r

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 larr η ιδιότητα (P(n))

Αϕού το r microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός εκτός του 1 ξεκινάmicroε τηναπόδειξη υποθέτοντας ότι ο r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγ-microατικός αριθmicroός διάϕορος του 1 Έπειτα συνεχίζουmicroε την απόδειξη microε microαθηmicroατική επα-γωγή στο n αρχίζοντας microε το n = 0 Στο αρχικό βήmicroα πρέπει να δείξουmicroε ότι η P(0) είναιαληθής δηλαδή να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 0 Οπότε αντικαθιστούmicroε0 για κάθε n στην P(n)

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1 larr αρχική (P(0))

Στο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής δηλαδή υποθέτουmicroε ότι ηιδιότητα είναι αληθής για n = k Οπότε αντικαθιστούmicroε k για κάθε n στην P(n)

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Μετά δείχνουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής δηλαδή δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αλη-θής για n = k + 1 Έτσι αντικαθιστούmicroε k + 1 για κάθε n στην P(n)

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1

ή εναλλακτικά

k+1sumi=0

r i =rk+2 minus 1

r minus 1sdot larr για να δείξουmicroε την (P(k + 1))

Θεώρηmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό r εκτός του 1 και για κάθε ακέραιο n ge 0

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Απόδειξη

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Υποθέτουmicroε ότι το r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγmicroατικόςαριθmicroός διάϕορος του 1 Πρέπει να δείξουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους n ge 0

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 245

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Θα το δείξουmicroε microε microαθηmicroατική επαγωγή στο n

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0 Για n = 0 πρέπει να δείξουmicroε ότι

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1

Το αριστερό σκέλος αυτής της εξίσωσης είναι το r0 = 1 Το δεξιό σκέλος είναι

r1 minus 1

r minus 1=r minus 1

r minus 1= 1

ξανά αϕού r1 = r και r ne 1 [Οπότε η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0]

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 0 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1είναι αληϑής όταν ένας αϰέραιος k ge 0

αντιϰατασταϑεί στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 για k ge 0 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση]

[Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1 422

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος αυτής της εξίσωσης ισούται microε το δεξιό]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (422) είναι το

k+1sumi=0

r i =ksumi=0

r i + rk+1 γράϕουmicroε τον (k + 1) όρο ξεχωριστά απότους πρώτους k όρους

=rk+1 minus 1

r minus 1+ rk+1 microε αντικατάσταση από

την επαγωγική υπόθεση

=rk+1 minus 1

r minus 1+rk+1(r minus 1)

r minus 1

πολλαπλασιάζουmicroε τον αριθmicroητή και τονπαρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε (r minus 1)για να έχουmicroε κοινό παρονοmicroαστή

=(rk+1 minus 1) + rk+1(r minus 1)

r minus 1πρόσθεση κλασmicroάτων

=rk+1 minus 1 + rk+2 minus rk+1

r minus 1πολλαπλασιασmicroός και χρήση του

rk+1 sdot r = rk+1 sdot r1 = rk+2

=rk+2 minus 1

r minus 1διαγραϕή των rk+1

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (4 2 2) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 239

Η ισχύς της απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή θεωρείται αξίωmicroα Γιrsquo αυτόν το λόγοαναϕερόmicroαστε σε αυτή ως αρχή της microαθηmicroατικής επαγωγής αντί ως θεώρηmicroα Είναι ισο-δύναmicroη microε την ακόλουθη ιδιότητα των ακεραίων που εύκολα τη δέχεται κανείς ως αληθήmicroε βάση τη διαίσθησή του

Υποθέτουmicroε ότι το S είναι οποιοδήποτε σύνολο ακεραίων που ικανοποιεί (1) a isin Sκαι (2) για όλους τους ακεραίους k αν k isin S τότε k + 1 isin S Τότε το S πρέπει ναπεριέχει κάθε ακέραιο microεγαλύτερο ή ίσο του a

Για να κατανοήσουmicroε την ισοδυναmicroία των δυο διατυπώσεων απλώς ορίζουmicroε ως S τοσύνολο όλων των ακεραίων για τους οποίους η P(n) είναι αληθής

Η απόδειξη ενός επιχειρήmicroατος microε microαθηmicroατική επαγωγή είναι microια διαδικασία δύο βη-microάτων Το πρώτο βήmicroα λέγεται αρχιϰό βήmicroα ή βήmicroα έναρξης και το δεύτερο επαγωγιϰόβήmicroα

Η microέθοδος απόδειξης microε microαθηmicroατική επαγωγή

Θεωρήστε microια πρόταση της microορϕής laquoγια όλους τους ακεραίους n ge a η ιδιότηταP(n) είναι αληθήςraquo Για να αποδείξουmicroε microια τέτοια πρόταση ακολουθούmicroε τα παρα-κάτω δύο βήmicroατα

Βήmicroα 1 (αρχικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = a

Βήmicroα 2 (επαγωγικό βήmicroα) ∆είχνουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους k ge a αν η ιδιό-τητα είναι αληθής για n = k τότε είναι αληθής για n = k + 1 Για να πραγmicroα-τοποιήσουmicroε αυτό το βήmicroα

υποθέτουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k όπου k είναιοποιοσδήποτε συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος ακέραιοςmicroε k ge a [Αυτή η υπόϑεση ονοmicroάζεται επαγωγική υπόθεση]

Έτσι

δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = k + 1

∆ίνουmicroε εδώ την τυπική απόδειξη για τα κέρmicroατα που διατυπώσαmicroε χωρίς τυπικό τρό-πο προηγουmicroένως

Πρόταση 421

Έστω ότι η P(n) είναι η ιδιότητα laquoncent microπορούν να υπολογιστούν microε κέρmicroατα των 3centκαι 5centraquo Τότε η P(n) είναι αληθής για όλους τους ακεραίους n ge 8

Απόδειξη

∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 8 Η ιδιότητα είναι αληθής για n = 8 ε-πειδή 8cent = 3cent + 5cent

∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 8 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής ϰαι για n = k + 1 Υποθέτουmicroε ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε kcent χρη-σιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και των 5cent για κάποιο ακέραιο k ge 8 [Αυτή είναι η ε-παγωγιϰή υπόϑεση]Πρέπει να δείξουmicroε τώρα ότι microπορούmicroε να πάρουmicroε και (k + 1)centχρησιmicroοποιώντας κέρmicroατα των 3cent και 5cent Αν υπάρχει κέρmicroα των 5cent ανάmicroεσα σε αυτάπου απαρτίζουν τα kcent το αντικαθιστούmicroε microε δύο κέρmicroατα των 3cent το αποτέλεσmicroαθα είναι (k + 1)cent Αν δεν υπάρχει κέρmicroα των 5cent σε αυτά που απαρτίζουν τα kcent τότεπρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 3 κέρmicroατα των 3cent αϕού k ge 8 Αϕαιρούmicroε αυτά τατρία κέρmicroατα των 3cent και τα αντικαθιστούmicroε microε δύο των 5cent το αποτέλεσmicroα θα είναι(k + 1)cent Έτσι σε κάθε περίπτωση microπορούmicroε να πάρουmicroε (k + 1)cent χρησιmicroοποιώνταςκέρmicroατα των 3cent και των 5cent [όπως έπρεπε να δειχϑεί]

240 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Το ακόλουθο παράδειγmicroα δείχνει πώς χρησιmicroοποιούmicroε τη microαθηmicroατική επαγωγή γιανα αποδείξουmicroε έναν τύπο που δίνει το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Παράδειγmicroα 421 Άθροισmicroα των n πρώτων ακεραίων

Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να αποδείξετε ότι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2για όλους τους ακεραίους n ge 1

Λύση Για να κατασκευάσετε microια απόδειξη microε επαγωγή πρέπει πρώτα να βρείτε ποια είναι ηιδιότητα P(n) Σε αυτή την περίπτωση η P(n) είναι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2 larr η ιδιότητα (P(n))

[Για να δείτε ότι η P(n) είναι microια πρόταση παρατηρήστε ότι το αντιϰείmicroενό της είναι laquoτοάϑροισmicroα των αϰεραίων από το 1 microέχρι το nraquo ϰαι το ρήmicroα της είναι το laquoισούταιraquo]

Στο αρχικό βήmicroα της απόδειξης πρέπει να δείξετε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 1ή microε άλλα λόγια ότι η P(1) είναι αληθής Τώρα για να βρούmicroε την P(1) αντικαθιστούmicroε1 στη θέση του n στην P(n) Το αριστερό σκέλος της P(1) είναι το άθροισmicroα όλων τωνδιαδοχικών ακεραίων που ξεκινούν microε το 1 και τελειώνουν στο 1 Αυτό είναι απλώς το 1Έτσι η P(1) είναι η

1 =1(1 + 1)

2 larr αρχική (P(1))

Φυσικά αυτή η εξίσωση είναι αληθής διότι το δεξιό σκέλος είναι

1(1 + 1)2

=1 sdot 2

2= 1

που ισούται microε το αριστερό σκέλοςΣτο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής για κάποιον ακέραιο k microε

k ge 1 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση] Πρέπει τώρα να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναιαληθής Ποιες είναι οι P(k) και P(k + 1) Για να βρούmicroε την P(k) αντικαθιστούmicroε k στηθέση κάθε n στην P(n) Έτσι η P(k) είναι η

1 + 2 +⋯+ k =k(k + 1)

2 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Παρόmicroοια για να βρούmicroε την P(k + 1) αντικαθιστούmicroε κάθε n της P(n) microε την ποσότητα(k + 1) Έτσι η P(k + 1) είναι1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2

ή ισοδύναmicroα

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

larr να δειχθεί η (P(k + 1))

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 241

Τώρα η επαγωγική υπόθεση είναι ότι η P(k) είναι αληθής Πώς microπορούmicroε να χρησι-microοποιήσουmicroε αυτή την υπόθεση για να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής Η P(k + 1)είναι microια εξίσωση και η αλήθεια microιας εξίσωσης microπορεί να δειχθεί microε διάϕορους τρόπουςΈνας από τους πιο άmicroεσους είναι να microετασχηmicroατίσουmicroε το αριστερό σκέλος στο δεξιόχρησιmicroοποιώντας άλγεβρα και άλλους γνωστούς κανόνες και έγκυρες υποθέσεις microεταξύτων οποίων και την επαγωγική υπόθεση Σε αυτή την περίπτωση το αριστερό σκέλος τηςP(k + 1) είναι

1 + 2 +⋯+ (k + 1)που ισούται microε

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) προσδιορισmicroός του προτελευταίουόρου και οmicroαδοποίηση

Αλλά microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1)=k(k + 1)

2+ (k + 1) αϕού η επαγωγική υπόθεση λέει

ότι 1 + 2 +⋯ + k =k(k + 1)

2

Τώρα χρησιmicroοποιούmicroε άλγεβρα για να δείξουmicroε ότι αυτή η έκϕραση ισούται microε το δεξιόσκέλος της P(k + 1)

k(k + 1)2

+ (k + 1)

=k(k + 1)

2+2(k + 1)

2

πολλαπλασιάζουmicroε αριθmicroητή και πα-ρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε το2 για να πάρουmicroε κοινό παρονοmicroα-στή

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2microε πρόσθεση κλασmicroάτων

=(k + 2)(k + 1)

2βγάζουmicroε κοινό παράγοντα το (k + 1)

=(k + 1)(k + 2)

2υπολογίζουmicroε τους παράγοντες(k + 1) και (k + 2)

που ισούται microε το δεξιό σκέλος της P(k + 1)Συνοψίζουmicroε την παραπάνω ανάλυση ως εξής

Θεώρηmicroα 422 Άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Για όλους τους ακεραίους n ge 1

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2

Απόδειξη (microε microαθηmicroατική επαγωγή)

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση 1 + 2 +⋯+ n = n(n + 1)2

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1 Για να δείξουmicroε την ιδιότητα για

n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 =1(1 + 1)

2 Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης

είναι 1 και το δεξιό είναι1(1 + 1)

2=2

2= 1 και αυτό Άρα η ιδιότητα είναι αληθής για

n = 1συνεχίζεται στην επόmicroενη σελίδα

242 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2είναι αληϑής για ϰάποιον

αϰέραιο k ge 1 στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ k =

k(k + 1)2

για κάποιον ακέραιο k ge 1

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =

n(n + 1)2

είναι αληϑής όταν

αντιϰαταστήσουmicroε το k + 1 στη ϑέση του n]Πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2 ή ισοδύναmicroα ότι

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

421

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος της εξίσωσης (421) ισούται microε το δεξιόσϰέλος]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (421) είναι το

1 + 2 +⋯+ (k + 1)= (1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) Ο προτελευταίος όρος είναι ο k γιατί οι όροι

είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ο τελευταίος εί-ναι ο k + 1

=k(k + 1)

2+ (k + 1) microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

=k(k + 1)

2+(k + 1) sdot 2

2

=(k + 1)(k + 2)

2

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (421) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού δείξαmicroε ϰαι το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

Λέγεται microια ιστορία για έναν από τους microεγαλύτερους microαθηmicroατικούς όλων των εποχώντον Carl Friedrich Gauss (1777ndash1855) σύmicroϕωνα microε την οποία όταν ήταν microικρό παιδί οδάσκαλος του ζήτησε να προσθέσει τους αριθmicroούς από το 1 microέχρι το 100 Ο δάσκαλοςζήτησε από τους microαθητές να υπολογίσουν το άθροισmicroα ώστε να τους απασχολήσει γιανα microπορέσει εκείνος να διορθώσει γραπτά Αλλά λίγες στιγmicroές αργότερα ο Gauss βρήκετην σωστή απάντηση Είναι περιττό να πούmicroε ότι ο δάσκαλος τα έχασε Πώς microπόρεσε ονεαρός Gauss να υπολογίσει τόσο γρήγορα Τα επόmicroενα χρόνια ο Gauss εξήγησε ότι είχεϕανταστεί τους αριθmicroούς σε ζευγάρια σύmicroϕωνα microε το ακόλουθο σχήmicroα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 243

1 2 3 50 51 98 99 100

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

Το άθροισmicroα κάθε ζεύγους είναι 101 και υπάρχουν 50 ζεύγη άρα το συνολικό άθροισmicroαείναι 50 sdot 101 = 5050

Παράδειγmicroα 422 Εϕαρmicroογές του τύπου του αθροίσmicroατος των πρώτων n ακεραίων

α Βρείτε το 2 + 4 + 6 +⋯+ 500

β Βρείτε το 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50

γ Για οποιονδήποτε ακέραιο h ge 2 βρείτε το 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1)Λύση

α 2 + 4 + 6 +⋯+ 500 = 2 sdot (1 + 2 + 3 +⋯+ 250)= 2 sdot (250 sdot 251

2) εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroα

των πρώτων n ακεραίων για n = 250

= 62750

β 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50 = (1 + 2 + 3 +⋯+ 50) minus (1 + 2 + 3 + 4)=50 sdot 51

2minus 10

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroατων πρώτων n ακεραίων για n = 50

= 1265

γ 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1) = (h minus 1) sdot [(h minus 1) + 1]2

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροι-σmicroα των πρώτων n ακεραίων γιαn = h minus 1

=(h minus 1) sdot h

2αϕού (h minus 1) + 1 = h n

Στο επόmicroενο παράδειγmicroα ζητείται να αποδειχθεί ένας άλλος διάσηmicroος microαθηmicroατικόςτύποςmdashο τύπος του αθροίσmicroατος της γεωmicroετρικής προόδου Σε microια γεωmicroετρικήπρόοδοκάθε όρος ισούται microε τον προηγούmicroενο επί ένα σταθερό παράγοντα Αν ο πρώτος όροςείναι 1 και ο σταθερός παράγοντας είναι r τότε η ακολουθία είναι 1 r r2 r3 rn Το άθροισmicroα των πρώτων n όρων αυτής της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

για όλους τους ακεραίους n ge 0 και τους πραγmicroατικούς αριθmicroούς r που δεν είναι ίσοι microε1 Η αναπτυγmicroένη microορϕή αυτού του τύπου είναι η

r0 + r1 + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

και επειδή r0 = 1 και r1 = r ο τύπος για n ge 1 microπορεί να ξαναγραϕεί ως

1 + r + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

244 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παράδειγmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Αποδείξτε ότιnsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 για κάθε ακέραιο n ge 0 και για όλους τους πραγmicroατικούς

αριθmicroούς r διάϕορους του 1

Λύση Σε αυτό το παράδειγmicroα η ιδιότητα P(n) είναι πάλι microια εξίσωση αν και σε αυτή τηνπερίπτωση περιλαmicroβάνει microια πραγmicroατική microεταβλητή r

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 larr η ιδιότητα (P(n))

Αϕού το r microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός εκτός του 1 ξεκινάmicroε τηναπόδειξη υποθέτοντας ότι ο r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγ-microατικός αριθmicroός διάϕορος του 1 Έπειτα συνεχίζουmicroε την απόδειξη microε microαθηmicroατική επα-γωγή στο n αρχίζοντας microε το n = 0 Στο αρχικό βήmicroα πρέπει να δείξουmicroε ότι η P(0) είναιαληθής δηλαδή να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 0 Οπότε αντικαθιστούmicroε0 για κάθε n στην P(n)

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1 larr αρχική (P(0))

Στο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής δηλαδή υποθέτουmicroε ότι ηιδιότητα είναι αληθής για n = k Οπότε αντικαθιστούmicroε k για κάθε n στην P(n)

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Μετά δείχνουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής δηλαδή δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αλη-θής για n = k + 1 Έτσι αντικαθιστούmicroε k + 1 για κάθε n στην P(n)

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1

ή εναλλακτικά

k+1sumi=0

r i =rk+2 minus 1

r minus 1sdot larr για να δείξουmicroε την (P(k + 1))

Θεώρηmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό r εκτός του 1 και για κάθε ακέραιο n ge 0

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Απόδειξη

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Υποθέτουmicroε ότι το r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγmicroατικόςαριθmicroός διάϕορος του 1 Πρέπει να δείξουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους n ge 0

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 245

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Θα το δείξουmicroε microε microαθηmicroατική επαγωγή στο n

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0 Για n = 0 πρέπει να δείξουmicroε ότι

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1

Το αριστερό σκέλος αυτής της εξίσωσης είναι το r0 = 1 Το δεξιό σκέλος είναι

r1 minus 1

r minus 1=r minus 1

r minus 1= 1

ξανά αϕού r1 = r και r ne 1 [Οπότε η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0]

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 0 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1είναι αληϑής όταν ένας αϰέραιος k ge 0

αντιϰατασταϑεί στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 για k ge 0 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση]

[Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1 422

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος αυτής της εξίσωσης ισούται microε το δεξιό]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (422) είναι το

k+1sumi=0

r i =ksumi=0

r i + rk+1 γράϕουmicroε τον (k + 1) όρο ξεχωριστά απότους πρώτους k όρους

=rk+1 minus 1

r minus 1+ rk+1 microε αντικατάσταση από

την επαγωγική υπόθεση

=rk+1 minus 1

r minus 1+rk+1(r minus 1)

r minus 1

πολλαπλασιάζουmicroε τον αριθmicroητή και τονπαρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε (r minus 1)για να έχουmicroε κοινό παρονοmicroαστή

=(rk+1 minus 1) + rk+1(r minus 1)

r minus 1πρόσθεση κλασmicroάτων

=rk+1 minus 1 + rk+2 minus rk+1

r minus 1πολλαπλασιασmicroός και χρήση του

rk+1 sdot r = rk+1 sdot r1 = rk+2

=rk+2 minus 1

r minus 1διαγραϕή των rk+1

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (4 2 2) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

240 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Το ακόλουθο παράδειγmicroα δείχνει πώς χρησιmicroοποιούmicroε τη microαθηmicroατική επαγωγή γιανα αποδείξουmicroε έναν τύπο που δίνει το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Παράδειγmicroα 421 Άθροισmicroα των n πρώτων ακεραίων

Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να αποδείξετε ότι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2για όλους τους ακεραίους n ge 1

Λύση Για να κατασκευάσετε microια απόδειξη microε επαγωγή πρέπει πρώτα να βρείτε ποια είναι ηιδιότητα P(n) Σε αυτή την περίπτωση η P(n) είναι

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2 larr η ιδιότητα (P(n))

[Για να δείτε ότι η P(n) είναι microια πρόταση παρατηρήστε ότι το αντιϰείmicroενό της είναι laquoτοάϑροισmicroα των αϰεραίων από το 1 microέχρι το nraquo ϰαι το ρήmicroα της είναι το laquoισούταιraquo]

Στο αρχικό βήmicroα της απόδειξης πρέπει να δείξετε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 1ή microε άλλα λόγια ότι η P(1) είναι αληθής Τώρα για να βρούmicroε την P(1) αντικαθιστούmicroε1 στη θέση του n στην P(n) Το αριστερό σκέλος της P(1) είναι το άθροισmicroα όλων τωνδιαδοχικών ακεραίων που ξεκινούν microε το 1 και τελειώνουν στο 1 Αυτό είναι απλώς το 1Έτσι η P(1) είναι η

1 =1(1 + 1)

2 larr αρχική (P(1))

Φυσικά αυτή η εξίσωση είναι αληθής διότι το δεξιό σκέλος είναι

1(1 + 1)2

=1 sdot 2

2= 1

που ισούται microε το αριστερό σκέλοςΣτο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής για κάποιον ακέραιο k microε

k ge 1 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση] Πρέπει τώρα να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναιαληθής Ποιες είναι οι P(k) και P(k + 1) Για να βρούmicroε την P(k) αντικαθιστούmicroε k στηθέση κάθε n στην P(n) Έτσι η P(k) είναι η

1 + 2 +⋯+ k =k(k + 1)

2 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Παρόmicroοια για να βρούmicroε την P(k + 1) αντικαθιστούmicroε κάθε n της P(n) microε την ποσότητα(k + 1) Έτσι η P(k + 1) είναι1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2

ή ισοδύναmicroα

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

larr να δειχθεί η (P(k + 1))

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 241

Τώρα η επαγωγική υπόθεση είναι ότι η P(k) είναι αληθής Πώς microπορούmicroε να χρησι-microοποιήσουmicroε αυτή την υπόθεση για να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής Η P(k + 1)είναι microια εξίσωση και η αλήθεια microιας εξίσωσης microπορεί να δειχθεί microε διάϕορους τρόπουςΈνας από τους πιο άmicroεσους είναι να microετασχηmicroατίσουmicroε το αριστερό σκέλος στο δεξιόχρησιmicroοποιώντας άλγεβρα και άλλους γνωστούς κανόνες και έγκυρες υποθέσεις microεταξύτων οποίων και την επαγωγική υπόθεση Σε αυτή την περίπτωση το αριστερό σκέλος τηςP(k + 1) είναι

1 + 2 +⋯+ (k + 1)που ισούται microε

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) προσδιορισmicroός του προτελευταίουόρου και οmicroαδοποίηση

Αλλά microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1)=k(k + 1)

2+ (k + 1) αϕού η επαγωγική υπόθεση λέει

ότι 1 + 2 +⋯ + k =k(k + 1)

2

Τώρα χρησιmicroοποιούmicroε άλγεβρα για να δείξουmicroε ότι αυτή η έκϕραση ισούται microε το δεξιόσκέλος της P(k + 1)

k(k + 1)2

+ (k + 1)

=k(k + 1)

2+2(k + 1)

2

πολλαπλασιάζουmicroε αριθmicroητή και πα-ρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε το2 για να πάρουmicroε κοινό παρονοmicroα-στή

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2microε πρόσθεση κλασmicroάτων

=(k + 2)(k + 1)

2βγάζουmicroε κοινό παράγοντα το (k + 1)

=(k + 1)(k + 2)

2υπολογίζουmicroε τους παράγοντες(k + 1) και (k + 2)

που ισούται microε το δεξιό σκέλος της P(k + 1)Συνοψίζουmicroε την παραπάνω ανάλυση ως εξής

Θεώρηmicroα 422 Άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Για όλους τους ακεραίους n ge 1

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2

Απόδειξη (microε microαθηmicroατική επαγωγή)

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση 1 + 2 +⋯+ n = n(n + 1)2

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1 Για να δείξουmicroε την ιδιότητα για

n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 =1(1 + 1)

2 Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης

είναι 1 και το δεξιό είναι1(1 + 1)

2=2

2= 1 και αυτό Άρα η ιδιότητα είναι αληθής για

n = 1συνεχίζεται στην επόmicroενη σελίδα

242 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2είναι αληϑής για ϰάποιον

αϰέραιο k ge 1 στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ k =

k(k + 1)2

για κάποιον ακέραιο k ge 1

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =

n(n + 1)2

είναι αληϑής όταν

αντιϰαταστήσουmicroε το k + 1 στη ϑέση του n]Πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2 ή ισοδύναmicroα ότι

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

421

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος της εξίσωσης (421) ισούται microε το δεξιόσϰέλος]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (421) είναι το

1 + 2 +⋯+ (k + 1)= (1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) Ο προτελευταίος όρος είναι ο k γιατί οι όροι

είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ο τελευταίος εί-ναι ο k + 1

=k(k + 1)

2+ (k + 1) microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

=k(k + 1)

2+(k + 1) sdot 2

2

=(k + 1)(k + 2)

2

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (421) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού δείξαmicroε ϰαι το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

Λέγεται microια ιστορία για έναν από τους microεγαλύτερους microαθηmicroατικούς όλων των εποχώντον Carl Friedrich Gauss (1777ndash1855) σύmicroϕωνα microε την οποία όταν ήταν microικρό παιδί οδάσκαλος του ζήτησε να προσθέσει τους αριθmicroούς από το 1 microέχρι το 100 Ο δάσκαλοςζήτησε από τους microαθητές να υπολογίσουν το άθροισmicroα ώστε να τους απασχολήσει γιανα microπορέσει εκείνος να διορθώσει γραπτά Αλλά λίγες στιγmicroές αργότερα ο Gauss βρήκετην σωστή απάντηση Είναι περιττό να πούmicroε ότι ο δάσκαλος τα έχασε Πώς microπόρεσε ονεαρός Gauss να υπολογίσει τόσο γρήγορα Τα επόmicroενα χρόνια ο Gauss εξήγησε ότι είχεϕανταστεί τους αριθmicroούς σε ζευγάρια σύmicroϕωνα microε το ακόλουθο σχήmicroα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 243

1 2 3 50 51 98 99 100

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

Το άθροισmicroα κάθε ζεύγους είναι 101 και υπάρχουν 50 ζεύγη άρα το συνολικό άθροισmicroαείναι 50 sdot 101 = 5050

Παράδειγmicroα 422 Εϕαρmicroογές του τύπου του αθροίσmicroατος των πρώτων n ακεραίων

α Βρείτε το 2 + 4 + 6 +⋯+ 500

β Βρείτε το 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50

γ Για οποιονδήποτε ακέραιο h ge 2 βρείτε το 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1)Λύση

α 2 + 4 + 6 +⋯+ 500 = 2 sdot (1 + 2 + 3 +⋯+ 250)= 2 sdot (250 sdot 251

2) εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroα

των πρώτων n ακεραίων για n = 250

= 62750

β 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50 = (1 + 2 + 3 +⋯+ 50) minus (1 + 2 + 3 + 4)=50 sdot 51

2minus 10

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroατων πρώτων n ακεραίων για n = 50

= 1265

γ 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1) = (h minus 1) sdot [(h minus 1) + 1]2

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροι-σmicroα των πρώτων n ακεραίων γιαn = h minus 1

=(h minus 1) sdot h

2αϕού (h minus 1) + 1 = h n

Στο επόmicroενο παράδειγmicroα ζητείται να αποδειχθεί ένας άλλος διάσηmicroος microαθηmicroατικόςτύποςmdashο τύπος του αθροίσmicroατος της γεωmicroετρικής προόδου Σε microια γεωmicroετρικήπρόοδοκάθε όρος ισούται microε τον προηγούmicroενο επί ένα σταθερό παράγοντα Αν ο πρώτος όροςείναι 1 και ο σταθερός παράγοντας είναι r τότε η ακολουθία είναι 1 r r2 r3 rn Το άθροισmicroα των πρώτων n όρων αυτής της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

για όλους τους ακεραίους n ge 0 και τους πραγmicroατικούς αριθmicroούς r που δεν είναι ίσοι microε1 Η αναπτυγmicroένη microορϕή αυτού του τύπου είναι η

r0 + r1 + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

και επειδή r0 = 1 και r1 = r ο τύπος για n ge 1 microπορεί να ξαναγραϕεί ως

1 + r + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

244 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παράδειγmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Αποδείξτε ότιnsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 για κάθε ακέραιο n ge 0 και για όλους τους πραγmicroατικούς

αριθmicroούς r διάϕορους του 1

Λύση Σε αυτό το παράδειγmicroα η ιδιότητα P(n) είναι πάλι microια εξίσωση αν και σε αυτή τηνπερίπτωση περιλαmicroβάνει microια πραγmicroατική microεταβλητή r

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 larr η ιδιότητα (P(n))

Αϕού το r microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός εκτός του 1 ξεκινάmicroε τηναπόδειξη υποθέτοντας ότι ο r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγ-microατικός αριθmicroός διάϕορος του 1 Έπειτα συνεχίζουmicroε την απόδειξη microε microαθηmicroατική επα-γωγή στο n αρχίζοντας microε το n = 0 Στο αρχικό βήmicroα πρέπει να δείξουmicroε ότι η P(0) είναιαληθής δηλαδή να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 0 Οπότε αντικαθιστούmicroε0 για κάθε n στην P(n)

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1 larr αρχική (P(0))

Στο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής δηλαδή υποθέτουmicroε ότι ηιδιότητα είναι αληθής για n = k Οπότε αντικαθιστούmicroε k για κάθε n στην P(n)

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Μετά δείχνουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής δηλαδή δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αλη-θής για n = k + 1 Έτσι αντικαθιστούmicroε k + 1 για κάθε n στην P(n)

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1

ή εναλλακτικά

k+1sumi=0

r i =rk+2 minus 1

r minus 1sdot larr για να δείξουmicroε την (P(k + 1))

Θεώρηmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό r εκτός του 1 και για κάθε ακέραιο n ge 0

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Απόδειξη

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Υποθέτουmicroε ότι το r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγmicroατικόςαριθmicroός διάϕορος του 1 Πρέπει να δείξουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους n ge 0

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 245

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Θα το δείξουmicroε microε microαθηmicroατική επαγωγή στο n

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0 Για n = 0 πρέπει να δείξουmicroε ότι

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1

Το αριστερό σκέλος αυτής της εξίσωσης είναι το r0 = 1 Το δεξιό σκέλος είναι

r1 minus 1

r minus 1=r minus 1

r minus 1= 1

ξανά αϕού r1 = r και r ne 1 [Οπότε η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0]

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 0 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1είναι αληϑής όταν ένας αϰέραιος k ge 0

αντιϰατασταϑεί στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 για k ge 0 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση]

[Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1 422

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος αυτής της εξίσωσης ισούται microε το δεξιό]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (422) είναι το

k+1sumi=0

r i =ksumi=0

r i + rk+1 γράϕουmicroε τον (k + 1) όρο ξεχωριστά απότους πρώτους k όρους

=rk+1 minus 1

r minus 1+ rk+1 microε αντικατάσταση από

την επαγωγική υπόθεση

=rk+1 minus 1

r minus 1+rk+1(r minus 1)

r minus 1

πολλαπλασιάζουmicroε τον αριθmicroητή και τονπαρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε (r minus 1)για να έχουmicroε κοινό παρονοmicroαστή

=(rk+1 minus 1) + rk+1(r minus 1)

r minus 1πρόσθεση κλασmicroάτων

=rk+1 minus 1 + rk+2 minus rk+1

r minus 1πολλαπλασιασmicroός και χρήση του

rk+1 sdot r = rk+1 sdot r1 = rk+2

=rk+2 minus 1

r minus 1διαγραϕή των rk+1

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (4 2 2) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 241

Τώρα η επαγωγική υπόθεση είναι ότι η P(k) είναι αληθής Πώς microπορούmicroε να χρησι-microοποιήσουmicroε αυτή την υπόθεση για να δείξουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής Η P(k + 1)είναι microια εξίσωση και η αλήθεια microιας εξίσωσης microπορεί να δειχθεί microε διάϕορους τρόπουςΈνας από τους πιο άmicroεσους είναι να microετασχηmicroατίσουmicroε το αριστερό σκέλος στο δεξιόχρησιmicroοποιώντας άλγεβρα και άλλους γνωστούς κανόνες και έγκυρες υποθέσεις microεταξύτων οποίων και την επαγωγική υπόθεση Σε αυτή την περίπτωση το αριστερό σκέλος τηςP(k + 1) είναι

1 + 2 +⋯+ (k + 1)που ισούται microε

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) προσδιορισmicroός του προτελευταίουόρου και οmicroαδοποίηση

Αλλά microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

(1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1)=k(k + 1)

2+ (k + 1) αϕού η επαγωγική υπόθεση λέει

ότι 1 + 2 +⋯ + k =k(k + 1)

2

Τώρα χρησιmicroοποιούmicroε άλγεβρα για να δείξουmicroε ότι αυτή η έκϕραση ισούται microε το δεξιόσκέλος της P(k + 1)

k(k + 1)2

+ (k + 1)

=k(k + 1)

2+2(k + 1)

2

πολλαπλασιάζουmicroε αριθmicroητή και πα-ρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε το2 για να πάρουmicroε κοινό παρονοmicroα-στή

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2microε πρόσθεση κλασmicroάτων

=(k + 2)(k + 1)

2βγάζουmicroε κοινό παράγοντα το (k + 1)

=(k + 1)(k + 2)

2υπολογίζουmicroε τους παράγοντες(k + 1) και (k + 2)

που ισούται microε το δεξιό σκέλος της P(k + 1)Συνοψίζουmicroε την παραπάνω ανάλυση ως εξής

Θεώρηmicroα 422 Άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων

Για όλους τους ακεραίους n ge 1

1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2

Απόδειξη (microε microαθηmicroατική επαγωγή)

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση 1 + 2 +⋯+ n = n(n + 1)2

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1 Για να δείξουmicroε την ιδιότητα για

n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 =1(1 + 1)

2 Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης

είναι 1 και το δεξιό είναι1(1 + 1)

2=2

2= 1 και αυτό Άρα η ιδιότητα είναι αληθής για

n = 1συνεχίζεται στην επόmicroενη σελίδα

242 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2είναι αληϑής για ϰάποιον

αϰέραιο k ge 1 στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ k =

k(k + 1)2

για κάποιον ακέραιο k ge 1

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =

n(n + 1)2

είναι αληϑής όταν

αντιϰαταστήσουmicroε το k + 1 στη ϑέση του n]Πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2 ή ισοδύναmicroα ότι

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

421

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος της εξίσωσης (421) ισούται microε το δεξιόσϰέλος]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (421) είναι το

1 + 2 +⋯+ (k + 1)= (1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) Ο προτελευταίος όρος είναι ο k γιατί οι όροι

είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ο τελευταίος εί-ναι ο k + 1

=k(k + 1)

2+ (k + 1) microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

=k(k + 1)

2+(k + 1) sdot 2

2

=(k + 1)(k + 2)

2

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (421) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού δείξαmicroε ϰαι το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

Λέγεται microια ιστορία για έναν από τους microεγαλύτερους microαθηmicroατικούς όλων των εποχώντον Carl Friedrich Gauss (1777ndash1855) σύmicroϕωνα microε την οποία όταν ήταν microικρό παιδί οδάσκαλος του ζήτησε να προσθέσει τους αριθmicroούς από το 1 microέχρι το 100 Ο δάσκαλοςζήτησε από τους microαθητές να υπολογίσουν το άθροισmicroα ώστε να τους απασχολήσει γιανα microπορέσει εκείνος να διορθώσει γραπτά Αλλά λίγες στιγmicroές αργότερα ο Gauss βρήκετην σωστή απάντηση Είναι περιττό να πούmicroε ότι ο δάσκαλος τα έχασε Πώς microπόρεσε ονεαρός Gauss να υπολογίσει τόσο γρήγορα Τα επόmicroενα χρόνια ο Gauss εξήγησε ότι είχεϕανταστεί τους αριθmicroούς σε ζευγάρια σύmicroϕωνα microε το ακόλουθο σχήmicroα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 243

1 2 3 50 51 98 99 100

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

Το άθροισmicroα κάθε ζεύγους είναι 101 και υπάρχουν 50 ζεύγη άρα το συνολικό άθροισmicroαείναι 50 sdot 101 = 5050

Παράδειγmicroα 422 Εϕαρmicroογές του τύπου του αθροίσmicroατος των πρώτων n ακεραίων

α Βρείτε το 2 + 4 + 6 +⋯+ 500

β Βρείτε το 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50

γ Για οποιονδήποτε ακέραιο h ge 2 βρείτε το 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1)Λύση

α 2 + 4 + 6 +⋯+ 500 = 2 sdot (1 + 2 + 3 +⋯+ 250)= 2 sdot (250 sdot 251

2) εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroα

των πρώτων n ακεραίων για n = 250

= 62750

β 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50 = (1 + 2 + 3 +⋯+ 50) minus (1 + 2 + 3 + 4)=50 sdot 51

2minus 10

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroατων πρώτων n ακεραίων για n = 50

= 1265

γ 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1) = (h minus 1) sdot [(h minus 1) + 1]2

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροι-σmicroα των πρώτων n ακεραίων γιαn = h minus 1

=(h minus 1) sdot h

2αϕού (h minus 1) + 1 = h n

Στο επόmicroενο παράδειγmicroα ζητείται να αποδειχθεί ένας άλλος διάσηmicroος microαθηmicroατικόςτύποςmdashο τύπος του αθροίσmicroατος της γεωmicroετρικής προόδου Σε microια γεωmicroετρικήπρόοδοκάθε όρος ισούται microε τον προηγούmicroενο επί ένα σταθερό παράγοντα Αν ο πρώτος όροςείναι 1 και ο σταθερός παράγοντας είναι r τότε η ακολουθία είναι 1 r r2 r3 rn Το άθροισmicroα των πρώτων n όρων αυτής της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

για όλους τους ακεραίους n ge 0 και τους πραγmicroατικούς αριθmicroούς r που δεν είναι ίσοι microε1 Η αναπτυγmicroένη microορϕή αυτού του τύπου είναι η

r0 + r1 + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

και επειδή r0 = 1 και r1 = r ο τύπος για n ge 1 microπορεί να ξαναγραϕεί ως

1 + r + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

244 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παράδειγmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Αποδείξτε ότιnsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 για κάθε ακέραιο n ge 0 και για όλους τους πραγmicroατικούς

αριθmicroούς r διάϕορους του 1

Λύση Σε αυτό το παράδειγmicroα η ιδιότητα P(n) είναι πάλι microια εξίσωση αν και σε αυτή τηνπερίπτωση περιλαmicroβάνει microια πραγmicroατική microεταβλητή r

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 larr η ιδιότητα (P(n))

Αϕού το r microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός εκτός του 1 ξεκινάmicroε τηναπόδειξη υποθέτοντας ότι ο r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγ-microατικός αριθmicroός διάϕορος του 1 Έπειτα συνεχίζουmicroε την απόδειξη microε microαθηmicroατική επα-γωγή στο n αρχίζοντας microε το n = 0 Στο αρχικό βήmicroα πρέπει να δείξουmicroε ότι η P(0) είναιαληθής δηλαδή να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 0 Οπότε αντικαθιστούmicroε0 για κάθε n στην P(n)

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1 larr αρχική (P(0))

Στο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής δηλαδή υποθέτουmicroε ότι ηιδιότητα είναι αληθής για n = k Οπότε αντικαθιστούmicroε k για κάθε n στην P(n)

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Μετά δείχνουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής δηλαδή δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αλη-θής για n = k + 1 Έτσι αντικαθιστούmicroε k + 1 για κάθε n στην P(n)

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1

ή εναλλακτικά

k+1sumi=0

r i =rk+2 minus 1

r minus 1sdot larr για να δείξουmicroε την (P(k + 1))

Θεώρηmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό r εκτός του 1 και για κάθε ακέραιο n ge 0

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Απόδειξη

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Υποθέτουmicroε ότι το r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγmicroατικόςαριθmicroός διάϕορος του 1 Πρέπει να δείξουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους n ge 0

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 245

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Θα το δείξουmicroε microε microαθηmicroατική επαγωγή στο n

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0 Για n = 0 πρέπει να δείξουmicroε ότι

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1

Το αριστερό σκέλος αυτής της εξίσωσης είναι το r0 = 1 Το δεξιό σκέλος είναι

r1 minus 1

r minus 1=r minus 1

r minus 1= 1

ξανά αϕού r1 = r και r ne 1 [Οπότε η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0]

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 0 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1είναι αληϑής όταν ένας αϰέραιος k ge 0

αντιϰατασταϑεί στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 για k ge 0 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση]

[Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1 422

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος αυτής της εξίσωσης ισούται microε το δεξιό]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (422) είναι το

k+1sumi=0

r i =ksumi=0

r i + rk+1 γράϕουmicroε τον (k + 1) όρο ξεχωριστά απότους πρώτους k όρους

=rk+1 minus 1

r minus 1+ rk+1 microε αντικατάσταση από

την επαγωγική υπόθεση

=rk+1 minus 1

r minus 1+rk+1(r minus 1)

r minus 1

πολλαπλασιάζουmicroε τον αριθmicroητή και τονπαρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε (r minus 1)για να έχουmicroε κοινό παρονοmicroαστή

=(rk+1 minus 1) + rk+1(r minus 1)

r minus 1πρόσθεση κλασmicroάτων

=rk+1 minus 1 + rk+2 minus rk+1

r minus 1πολλαπλασιασmicroός και χρήση του

rk+1 sdot r = rk+1 sdot r1 = rk+2

=rk+2 minus 1

r minus 1διαγραϕή των rk+1

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (4 2 2) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

242 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =n(n + 1)

2είναι αληϑής για ϰάποιον

αϰέραιο k ge 1 στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ k =

k(k + 1)2

για κάποιον ακέραιο k ge 1

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα 1 + 2 +⋯+ n =

n(n + 1)2

είναι αληϑής όταν

αντιϰαταστήσουmicroε το k + 1 στη ϑέση του n]Πρέπει να δείξουmicroε ότι 1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)

2 ή ισοδύναmicroα ότι

1 + 2 +⋯+ (k + 1) = (k + 1)(k + 2)2

421

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος της εξίσωσης (421) ισούται microε το δεξιόσϰέλος]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (421) είναι το

1 + 2 +⋯+ (k + 1)= (1 + 2 +⋯+ k) + (k + 1) Ο προτελευταίος όρος είναι ο k γιατί οι όροι

είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ο τελευταίος εί-ναι ο k + 1

=k(k + 1)

2+ (k + 1) microε αντικατάσταση από την επαγωγική υπόθεση

=k(k + 1)

2+(k + 1) sdot 2

2

=(k + 1)(k + 2)

2

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (421) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού δείξαmicroε ϰαι το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

Λέγεται microια ιστορία για έναν από τους microεγαλύτερους microαθηmicroατικούς όλων των εποχώντον Carl Friedrich Gauss (1777ndash1855) σύmicroϕωνα microε την οποία όταν ήταν microικρό παιδί οδάσκαλος του ζήτησε να προσθέσει τους αριθmicroούς από το 1 microέχρι το 100 Ο δάσκαλοςζήτησε από τους microαθητές να υπολογίσουν το άθροισmicroα ώστε να τους απασχολήσει γιανα microπορέσει εκείνος να διορθώσει γραπτά Αλλά λίγες στιγmicroές αργότερα ο Gauss βρήκετην σωστή απάντηση Είναι περιττό να πούmicroε ότι ο δάσκαλος τα έχασε Πώς microπόρεσε ονεαρός Gauss να υπολογίσει τόσο γρήγορα Τα επόmicroενα χρόνια ο Gauss εξήγησε ότι είχεϕανταστεί τους αριθmicroούς σε ζευγάρια σύmicroϕωνα microε το ακόλουθο σχήmicroα

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 243

1 2 3 50 51 98 99 100

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

Το άθροισmicroα κάθε ζεύγους είναι 101 και υπάρχουν 50 ζεύγη άρα το συνολικό άθροισmicroαείναι 50 sdot 101 = 5050

Παράδειγmicroα 422 Εϕαρmicroογές του τύπου του αθροίσmicroατος των πρώτων n ακεραίων

α Βρείτε το 2 + 4 + 6 +⋯+ 500

β Βρείτε το 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50

γ Για οποιονδήποτε ακέραιο h ge 2 βρείτε το 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1)Λύση

α 2 + 4 + 6 +⋯+ 500 = 2 sdot (1 + 2 + 3 +⋯+ 250)= 2 sdot (250 sdot 251

2) εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroα

των πρώτων n ακεραίων για n = 250

= 62750

β 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50 = (1 + 2 + 3 +⋯+ 50) minus (1 + 2 + 3 + 4)=50 sdot 51

2minus 10

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroατων πρώτων n ακεραίων για n = 50

= 1265

γ 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1) = (h minus 1) sdot [(h minus 1) + 1]2

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροι-σmicroα των πρώτων n ακεραίων γιαn = h minus 1

=(h minus 1) sdot h

2αϕού (h minus 1) + 1 = h n

Στο επόmicroενο παράδειγmicroα ζητείται να αποδειχθεί ένας άλλος διάσηmicroος microαθηmicroατικόςτύποςmdashο τύπος του αθροίσmicroατος της γεωmicroετρικής προόδου Σε microια γεωmicroετρικήπρόοδοκάθε όρος ισούται microε τον προηγούmicroενο επί ένα σταθερό παράγοντα Αν ο πρώτος όροςείναι 1 και ο σταθερός παράγοντας είναι r τότε η ακολουθία είναι 1 r r2 r3 rn Το άθροισmicroα των πρώτων n όρων αυτής της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

για όλους τους ακεραίους n ge 0 και τους πραγmicroατικούς αριθmicroούς r που δεν είναι ίσοι microε1 Η αναπτυγmicroένη microορϕή αυτού του τύπου είναι η

r0 + r1 + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

και επειδή r0 = 1 και r1 = r ο τύπος για n ge 1 microπορεί να ξαναγραϕεί ως

1 + r + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

244 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παράδειγmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Αποδείξτε ότιnsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 για κάθε ακέραιο n ge 0 και για όλους τους πραγmicroατικούς

αριθmicroούς r διάϕορους του 1

Λύση Σε αυτό το παράδειγmicroα η ιδιότητα P(n) είναι πάλι microια εξίσωση αν και σε αυτή τηνπερίπτωση περιλαmicroβάνει microια πραγmicroατική microεταβλητή r

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 larr η ιδιότητα (P(n))

Αϕού το r microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός εκτός του 1 ξεκινάmicroε τηναπόδειξη υποθέτοντας ότι ο r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγ-microατικός αριθmicroός διάϕορος του 1 Έπειτα συνεχίζουmicroε την απόδειξη microε microαθηmicroατική επα-γωγή στο n αρχίζοντας microε το n = 0 Στο αρχικό βήmicroα πρέπει να δείξουmicroε ότι η P(0) είναιαληθής δηλαδή να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 0 Οπότε αντικαθιστούmicroε0 για κάθε n στην P(n)

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1 larr αρχική (P(0))

Στο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής δηλαδή υποθέτουmicroε ότι ηιδιότητα είναι αληθής για n = k Οπότε αντικαθιστούmicroε k για κάθε n στην P(n)

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Μετά δείχνουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής δηλαδή δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αλη-θής για n = k + 1 Έτσι αντικαθιστούmicroε k + 1 για κάθε n στην P(n)

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1

ή εναλλακτικά

k+1sumi=0

r i =rk+2 minus 1

r minus 1sdot larr για να δείξουmicroε την (P(k + 1))

Θεώρηmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό r εκτός του 1 και για κάθε ακέραιο n ge 0

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Απόδειξη

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Υποθέτουmicroε ότι το r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγmicroατικόςαριθmicroός διάϕορος του 1 Πρέπει να δείξουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους n ge 0

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 245

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Θα το δείξουmicroε microε microαθηmicroατική επαγωγή στο n

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0 Για n = 0 πρέπει να δείξουmicroε ότι

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1

Το αριστερό σκέλος αυτής της εξίσωσης είναι το r0 = 1 Το δεξιό σκέλος είναι

r1 minus 1

r minus 1=r minus 1

r minus 1= 1

ξανά αϕού r1 = r και r ne 1 [Οπότε η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0]

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 0 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1είναι αληϑής όταν ένας αϰέραιος k ge 0

αντιϰατασταϑεί στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 για k ge 0 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση]

[Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1 422

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος αυτής της εξίσωσης ισούται microε το δεξιό]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (422) είναι το

k+1sumi=0

r i =ksumi=0

r i + rk+1 γράϕουmicroε τον (k + 1) όρο ξεχωριστά απότους πρώτους k όρους

=rk+1 minus 1

r minus 1+ rk+1 microε αντικατάσταση από

την επαγωγική υπόθεση

=rk+1 minus 1

r minus 1+rk+1(r minus 1)

r minus 1

πολλαπλασιάζουmicroε τον αριθmicroητή και τονπαρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε (r minus 1)για να έχουmicroε κοινό παρονοmicroαστή

=(rk+1 minus 1) + rk+1(r minus 1)

r minus 1πρόσθεση κλασmicroάτων

=rk+1 minus 1 + rk+2 minus rk+1

r minus 1πολλαπλασιασmicroός και χρήση του

rk+1 sdot r = rk+1 sdot r1 = rk+2

=rk+2 minus 1

r minus 1διαγραϕή των rk+1

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (4 2 2) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 243

1 2 3 50 51 98 99 100

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

rarr rarr

το άθροισmicroα είναι 101

Το άθροισmicroα κάθε ζεύγους είναι 101 και υπάρχουν 50 ζεύγη άρα το συνολικό άθροισmicroαείναι 50 sdot 101 = 5050

Παράδειγmicroα 422 Εϕαρmicroογές του τύπου του αθροίσmicroατος των πρώτων n ακεραίων

α Βρείτε το 2 + 4 + 6 +⋯+ 500

β Βρείτε το 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50

γ Για οποιονδήποτε ακέραιο h ge 2 βρείτε το 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1)Λύση

α 2 + 4 + 6 +⋯+ 500 = 2 sdot (1 + 2 + 3 +⋯+ 250)= 2 sdot (250 sdot 251

2) εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroα

των πρώτων n ακεραίων για n = 250

= 62750

β 5 + 6 + 7 + 8 +⋯+ 50 = (1 + 2 + 3 +⋯+ 50) minus (1 + 2 + 3 + 4)=50 sdot 51

2minus 10

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροισmicroατων πρώτων n ακεραίων για n = 50

= 1265

γ 1 + 2 + 3 +⋯+ (h minus 1) = (h minus 1) sdot [(h minus 1) + 1]2

εϕαρmicroογή του τύπου για το άθροι-σmicroα των πρώτων n ακεραίων γιαn = h minus 1

=(h minus 1) sdot h

2αϕού (h minus 1) + 1 = h n

Στο επόmicroενο παράδειγmicroα ζητείται να αποδειχθεί ένας άλλος διάσηmicroος microαθηmicroατικόςτύποςmdashο τύπος του αθροίσmicroατος της γεωmicroετρικής προόδου Σε microια γεωmicroετρικήπρόοδοκάθε όρος ισούται microε τον προηγούmicroενο επί ένα σταθερό παράγοντα Αν ο πρώτος όροςείναι 1 και ο σταθερός παράγοντας είναι r τότε η ακολουθία είναι 1 r r2 r3 rn Το άθροισmicroα των πρώτων n όρων αυτής της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

για όλους τους ακεραίους n ge 0 και τους πραγmicroατικούς αριθmicroούς r που δεν είναι ίσοι microε1 Η αναπτυγmicroένη microορϕή αυτού του τύπου είναι η

r0 + r1 + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

και επειδή r0 = 1 και r1 = r ο τύπος για n ge 1 microπορεί να ξαναγραϕεί ως

1 + r + r2 +⋯+ rn =rn+1 minus 1

r minus 1

244 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παράδειγmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Αποδείξτε ότιnsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 για κάθε ακέραιο n ge 0 και για όλους τους πραγmicroατικούς

αριθmicroούς r διάϕορους του 1

Λύση Σε αυτό το παράδειγmicroα η ιδιότητα P(n) είναι πάλι microια εξίσωση αν και σε αυτή τηνπερίπτωση περιλαmicroβάνει microια πραγmicroατική microεταβλητή r

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 larr η ιδιότητα (P(n))

Αϕού το r microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός εκτός του 1 ξεκινάmicroε τηναπόδειξη υποθέτοντας ότι ο r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγ-microατικός αριθmicroός διάϕορος του 1 Έπειτα συνεχίζουmicroε την απόδειξη microε microαθηmicroατική επα-γωγή στο n αρχίζοντας microε το n = 0 Στο αρχικό βήmicroα πρέπει να δείξουmicroε ότι η P(0) είναιαληθής δηλαδή να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 0 Οπότε αντικαθιστούmicroε0 για κάθε n στην P(n)

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1 larr αρχική (P(0))

Στο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής δηλαδή υποθέτουmicroε ότι ηιδιότητα είναι αληθής για n = k Οπότε αντικαθιστούmicroε k για κάθε n στην P(n)

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Μετά δείχνουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής δηλαδή δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αλη-θής για n = k + 1 Έτσι αντικαθιστούmicroε k + 1 για κάθε n στην P(n)

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1

ή εναλλακτικά

k+1sumi=0

r i =rk+2 minus 1

r minus 1sdot larr για να δείξουmicroε την (P(k + 1))

Θεώρηmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό r εκτός του 1 και για κάθε ακέραιο n ge 0

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Απόδειξη

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Υποθέτουmicroε ότι το r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγmicroατικόςαριθmicroός διάϕορος του 1 Πρέπει να δείξουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους n ge 0

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 245

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Θα το δείξουmicroε microε microαθηmicroατική επαγωγή στο n

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0 Για n = 0 πρέπει να δείξουmicroε ότι

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1

Το αριστερό σκέλος αυτής της εξίσωσης είναι το r0 = 1 Το δεξιό σκέλος είναι

r1 minus 1

r minus 1=r minus 1

r minus 1= 1

ξανά αϕού r1 = r και r ne 1 [Οπότε η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0]

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 0 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1είναι αληϑής όταν ένας αϰέραιος k ge 0

αντιϰατασταϑεί στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 για k ge 0 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση]

[Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1 422

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος αυτής της εξίσωσης ισούται microε το δεξιό]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (422) είναι το

k+1sumi=0

r i =ksumi=0

r i + rk+1 γράϕουmicroε τον (k + 1) όρο ξεχωριστά απότους πρώτους k όρους

=rk+1 minus 1

r minus 1+ rk+1 microε αντικατάσταση από

την επαγωγική υπόθεση

=rk+1 minus 1

r minus 1+rk+1(r minus 1)

r minus 1

πολλαπλασιάζουmicroε τον αριθmicroητή και τονπαρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε (r minus 1)για να έχουmicroε κοινό παρονοmicroαστή

=(rk+1 minus 1) + rk+1(r minus 1)

r minus 1πρόσθεση κλασmicroάτων

=rk+1 minus 1 + rk+2 minus rk+1

r minus 1πολλαπλασιασmicroός και χρήση του

rk+1 sdot r = rk+1 sdot r1 = rk+2

=rk+2 minus 1

r minus 1διαγραϕή των rk+1

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (4 2 2) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

244 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παράδειγmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Αποδείξτε ότιnsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 για κάθε ακέραιο n ge 0 και για όλους τους πραγmicroατικούς

αριθmicroούς r διάϕορους του 1

Λύση Σε αυτό το παράδειγmicroα η ιδιότητα P(n) είναι πάλι microια εξίσωση αν και σε αυτή τηνπερίπτωση περιλαmicroβάνει microια πραγmicroατική microεταβλητή r

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1 larr η ιδιότητα (P(n))

Αϕού το r microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός εκτός του 1 ξεκινάmicroε τηναπόδειξη υποθέτοντας ότι ο r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγ-microατικός αριθmicroός διάϕορος του 1 Έπειτα συνεχίζουmicroε την απόδειξη microε microαθηmicroατική επα-γωγή στο n αρχίζοντας microε το n = 0 Στο αρχικό βήmicroα πρέπει να δείξουmicroε ότι η P(0) είναιαληθής δηλαδή να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληθής για n = 0 Οπότε αντικαθιστούmicroε0 για κάθε n στην P(n)

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1 larr αρχική (P(0))

Στο επαγωγικό βήmicroα υποθέτουmicroε ότι η P(k) είναι αληθής δηλαδή υποθέτουmicroε ότι ηιδιότητα είναι αληθής για n = k Οπότε αντικαθιστούmicroε k για κάθε n στην P(n)

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 larr επαγωγική υπόθεση (P(k))

Μετά δείχνουmicroε ότι η P(k + 1) είναι αληθής δηλαδή δείχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αλη-θής για n = k + 1 Έτσι αντικαθιστούmicroε k + 1 για κάθε n στην P(n)

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1

ή εναλλακτικά

k+1sumi=0

r i =rk+2 minus 1

r minus 1sdot larr για να δείξουmicroε την (P(k + 1))

Θεώρηmicroα 423 Άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου

Για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό r εκτός του 1 και για κάθε ακέραιο n ge 0

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Απόδειξη

Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Υποθέτουmicroε ότι το r είναι ένας συγκεκριmicroένος αλλά τυχαία επιλεγmicroένος πραγmicroατικόςαριθmicroός διάϕορος του 1 Πρέπει να δείξουmicroε ότι για όλους τους ακεραίους n ge 0

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 245

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Θα το δείξουmicroε microε microαθηmicroατική επαγωγή στο n

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0 Για n = 0 πρέπει να δείξουmicroε ότι

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1

Το αριστερό σκέλος αυτής της εξίσωσης είναι το r0 = 1 Το δεξιό σκέλος είναι

r1 minus 1

r minus 1=r minus 1

r minus 1= 1

ξανά αϕού r1 = r και r ne 1 [Οπότε η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0]

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 0 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1είναι αληϑής όταν ένας αϰέραιος k ge 0

αντιϰατασταϑεί στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 για k ge 0 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση]

[Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1 422

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος αυτής της εξίσωσης ισούται microε το δεξιό]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (422) είναι το

k+1sumi=0

r i =ksumi=0

r i + rk+1 γράϕουmicroε τον (k + 1) όρο ξεχωριστά απότους πρώτους k όρους

=rk+1 minus 1

r minus 1+ rk+1 microε αντικατάσταση από

την επαγωγική υπόθεση

=rk+1 minus 1

r minus 1+rk+1(r minus 1)

r minus 1

πολλαπλασιάζουmicroε τον αριθmicroητή και τονπαρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε (r minus 1)για να έχουmicroε κοινό παρονοmicroαστή

=(rk+1 minus 1) + rk+1(r minus 1)

r minus 1πρόσθεση κλασmicroάτων

=rk+1 minus 1 + rk+2 minus rk+1

r minus 1πολλαπλασιασmicroός και χρήση του

rk+1 sdot r = rk+1 sdot r1 = rk+2

=rk+2 minus 1

r minus 1διαγραϕή των rk+1

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (4 2 2) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 245

nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1

Θα το δείξουmicroε microε microαθηmicroατική επαγωγή στο n

∆είχνουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0 Για n = 0 πρέπει να δείξουmicroε ότι

0sumi=0

r i =r0+1 minus 1

r minus 1

Το αριστερό σκέλος αυτής της εξίσωσης είναι το r0 = 1 Το δεξιό σκέλος είναι

r1 minus 1

r minus 1=r minus 1

r minus 1= 1

ξανά αϕού r1 = r και r ne 1 [Οπότε η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 0]

∆είχνουmicroε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 0 αν η ιδιότητα είναι αληϑής για n = kτότε είναι αληϑής για n = k + 1

[Υποϑέτουmicroε ότι η ιδιότητα nsumi=0

r i =rn+1 minus 1

r minus 1είναι αληϑής όταν ένας αϰέραιος k ge 0

αντιϰατασταϑεί στη ϑέση του n]Υποθέτουmicroε ότι

ksumi=0

r i =rk+1 minus 1

r minus 1 για k ge 0 [Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση]

[Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

k+1sumi=0

r i =r(k+1)+1 minus 1

r minus 1 422

[Θα δείξουmicroε ότι το αριστερό σϰέλος αυτής της εξίσωσης ισούται microε το δεξιό]Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (422) είναι το

k+1sumi=0

r i =ksumi=0

r i + rk+1 γράϕουmicroε τον (k + 1) όρο ξεχωριστά απότους πρώτους k όρους

=rk+1 minus 1

r minus 1+ rk+1 microε αντικατάσταση από

την επαγωγική υπόθεση

=rk+1 minus 1

r minus 1+rk+1(r minus 1)

r minus 1

πολλαπλασιάζουmicroε τον αριθmicroητή και τονπαρονοmicroαστή του δεύτερου όρου microε (r minus 1)για να έχουmicroε κοινό παρονοmicroαστή

=(rk+1 minus 1) + rk+1(r minus 1)

r minus 1πρόσθεση κλασmicroάτων

=rk+1 minus 1 + rk+2 minus rk+1

r minus 1πολλαπλασιασmicroός και χρήση του

rk+1 sdot r = rk+1 sdot r1 = rk+2

=rk+2 minus 1

r minus 1διαγραϕή των rk+1

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (4 2 2) [όπως έπρεπε να δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συmicroπεραίνουmicroε ότι το ϑεώ-

ρηmicroα είναι αληϑές]n

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

246 Κεφάλαιο 4 Ακολουθίες και microαθηmicroατική επαγωγή

Παρατηρήστε ότι ο τύπος για το άθροισmicroα γεωmicroετρικής προόδου microπορεί να θεωρηθείως microια οικογένεια διαϕορετικών τύπων για κάθε r εκτός του 1

Παράδειγmicroα 424 Εϕαρmicroογή του τύπου του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου

Σε καθένα από τα (α) και (β) παρακάτω υποθέστε ότι οm είναι ένας ακέραιος microεγαλύτε-ρος ή ίσος του 3

α Βρείτε το 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2

β Βρείτε το 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m

Λύση

α 1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2 =3(mminus2)+1 minus 1

3 minus 1

εϕαρmicroόζουmicroε τον τύπο του αθροίσmicroατοςγεωmicroετρικής προόδου για r = 3 και n = m minus 2

=3mminus1 minus 1

2

β 32 + 33 + 34 +⋯+ 3m = 32 sdot (1 + 3 + 32 +⋯+ 3mminus2) κοινός παράγοντας το 32

= 9 sdot (3mminus1 minus 12

) από το (α) n

Όπως και στον τύπο για το άθροισmicroα των πρώτων n ακεραίων υπάρχει τρόπος να σκε-ϕτεί κανείς τον τύπο του αθροίσmicroατος γεωmicroετρικής προόδου που τον κάνει να ϕαίνεταιαπλός και διαισθητικά κατανοητός Έστω ότι

Sn = 1 + r + r2+⋯+ rn

Τότε

rSn = r + r2+ r3 +⋯+ rn+1

και άρα

rSn minus Sn = (r + r2 + r3 +⋯+ rn+1) minus (1 + r + r2 +⋯+ rn)= rn+1 minus 1 423

Αλλά

rSn minus Sn = (r minus 1)Sn 424

Εξισώνοντας τα δεξιά σκέλη των εξισώσεων (423) και (424) και διαιρώντας microε το r minus 1παίρνουmicroε

Sn =rn+1 minus 1

r minus 1

Αυτός ο τρόπος παραγωγής του τύπου είναι ελκυστικός και πειστικός Όmicroως δεν είναιτόσο αυστηρά λογικός όπως η απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή Για να πάmicroε από τοένα βήmicroα στο άλλο στους παραπάνω υπολογισmicroούς υποθέτουmicroε ότι οι όροι microεταξύ τωναποσιωπητικών ( ) έχουν συγκεκριmicroένη εmicroϕάνιση και όταν απαλείϕονται συmicroβαίνουναυτά που θέλουmicroε να συmicroβούν Αλλά είναι αδύνατον να εξετάσουmicroε κάθε έναν από αυτούςτους όρους και κάθε υπολογισmicroό και έτσι η ακρίβεια αυτών των ισχυρισmicroών δεν microπορείνα ελεγχθεί πλήρως Η microαθηmicroατική επαγωγή microας επιτρέπει να εστιάσουmicroε στο τι ακριβώςσυmicroβαίνει microεταξύ των αποσιωπητικών και να επαληθεύσουmicroε χωρίς καmicroία αmicroϕιβολία ότιοι υπολογισmicroοί είναι αληθείς

Οmicroάδα ασκήσεων 42

1 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή (και την απόδειξητης Πρότασης 421 ως microοντέλο) για να δείξετε ότι οποιαδή-ποτε ποσότητα χρηmicroάτων microεγαλύτερη ή ίση των 14cent microπορείνα υπολογιστεί microε νοmicroίσmicroατα των 3cent και των 8cent

2 Χρησιmicroοποιήστε microαθηmicroατική επαγωγή για να δείξετε ότι ταταχυδροmicroικά τέλη 12cent ή παραπάνω microπορούν να υπολογι-στούν microε γραmicromicroατόσηmicroα των 3cent και των 7cent

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x

42 Μαθηmicroατική επαγωγή Ι 247

3 Για κάθε θετικό ακέραιο n έστω P(n) ο τύπος12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

α Γράψτε την P(1) Είναι η P(1) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 1 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

4 Για κάθε ακέραιο n microε n ge 2 έστω P(n) ο τύποςnminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

α Γράψτε την P(2) Είναι η P(2) αληθήςβ Γράψτε την P(k)γ Γράψτε την P(k + 1)δ Σε microια απόδειξη microε microαθηmicroατική επαγωγή του τύπου για

όλους τους ακεραίους n ge 2 τι πρέπει να δειχθεί στο ε-παγωγικό βήmicroα

5 Συmicroπληρώστε τα τmicroήmicroατα που λείπουν στην ακόλουθη από-δειξη ότι

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

για κάθε ακέραιο n ge 1Απόδειξη Έστω ότι η ιδιότητα P(n) είναι η εξίσωση

1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n∆είξτε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής για n = 1∶ Για να επιβε-βαιώσουmicroε τον τύπο για n = 1 πρέπει να δείξουmicroε ότι όταναντικαταστήσουmicroε το 1 στη θέση του n το αριστερό σκέλοςισούται microε το δεξιό Αλλά όταν n = 1 το αριστερό σκέλος εί-ναι το άθροισmicroα όλων των περιττών ακεραίων από το 1 έωςτο 2 sdot 1 minus 1 που είναι το άθροισmicroα των περιττών ακεραίωναπό το 1 έως το 1 που είναι απλά 1 Το δεξιό σκέλος είναι(α) που πάλι ισούται microε 1 Έτσι η ιδιότητα είναι αληθής γιαn = 1∆είξτε ότι για όλους τους αϰεραίους k ge 1 αν η ιδιότη-τα είναι αληϑής για n = k τότε είναι αληϑής για n = k +1∶ Έστω k ένας ακέραιος microε k ge 1

[Υποϑέστε ότι η ιδιότητα 1 + 3 + 5 +⋯ + (2n minus 1) = n2

είναι αληϑής όταν αντιϰαταστήσουmicroε το n microε k]

Υποθέστε ότι 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1) = (β)

[Αυτή είναι η επαγωγιϰή υπόϑεση][Πρέπει να δείξουmicroε ότι η ιδιότητα είναι αληϑής όταν α-

ντιϰαταστήσουmicroε το n microε k + 1]Πρέπει να δείξουmicroε ότι

(γ) = (δ) 425

Αλλά το αριστερό σκέλος της εξίσωσης (425) είναι το

1 + 3 + 5 +⋯ + (2(k + 1) minus 1)= 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k + 1) microετά από πράξεις

= [1 + 3 + 5 +⋯ + (2k minus 1)] + (2k + 1)ο προτελευταίος όρος είναι 2k minus 1 διότι (ε)

= k2 + (2k + 1) αϕού (ϝ)

= (k + 1)2 microετά από πράξεις

που είναι το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (425) [όπως έπρεπενα δειχϑεί][Αϕού αποδείξαmicroε το αρχιϰό ϰαι το επαγωγιϰό βήmicroα συ-

microπεραίνουmicroε ότι ο τύπος είναι αληϑής]Η παραπάνω απόδειξη είχε πολλές επεξηγήσεις για να γίνεικατανοητή η λογική ροή της Συνήθως αυτά τα σχόλια πα-ραλείπονται

Αποδείξτε κάθε πρόταση στις Ασκήσεις 6ndash9 χρησιmicroοποιώνταςmicroαθηmicroατική επαγωγή Μην τις αποδείξετε microε το Θεώρηmicroα 422ή το Θεώρηmicroα 423

6 Για όλους τους ακεραίους n ge 12 + 4 + 6 +⋯ + 2n = n2 + n

7 Για όλους τους ακεραίους n ge 11 + 6 + 11 + 16 +⋯ + (5n minus 4) = n(5n minus 3)

2

8 Για όλους τους ακεραίους n ge 01 + 2 + 22 +⋯ + 2n = 2n+1 minus 1

9 Για όλους τους ακεραίους n ge 343 + 44 + 45 +⋯ + 4n = 4(4n minus 16)

3

Αποδείξτε καθέναν από τους τύπους στις Ασκήσεις 10ndash17 χρη-σιmicroοποιώντας microαθηmicroατική επαγωγή

10 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

για όλους τους ακε-

ραίους n ge 111 13 + 23 +⋯ + n3 = [n(n + 1)

2]2

για όλους τους ακεραίους

n ge 112

1

1 sdot 2+

1

2 sdot 3+⋯ +

1

n(n + 1) =n

n + 1 για όλους τους ακε-

ραίους n ge 113

nminus1

sumi=1

i(i + 1) = n(n minus 1)(n + 1)3

για όλους τους ακεραίους

n ge 214

n+1

sumi=1

i sdot 2i = n sdot 2n+2 + 2 για όλους τους ακεραίους n ge 0

15Υn

sumi=1

i(i) = (n + 1) minus 1 για όλους τους ακεραίους n ge 116 (1 minus 1

22) sdot (1 minus 1

32)⋯(1 minus 1

n2) = n + 1

2n για όλους τους α-

κεραίους n ge 217

n

prodi=0

( 1

2i + 1sdot

1

2i + 2) = 1

(2n + 2) για όλους τους ακεραί-

ους n ge 018VΥ Αν ο x είναι ένας πραγmicroατικός αριθmicroός που δεν διαιρείται microε

το π τότε για όλους τους ακεραίους n ge 1sin x + sin 3x + sin 5x +⋯ + sin (2n minus 1)x

= 1 minus cos 2nx2 sin x