2.3. Respuesta en vibración libre

2.3.1 Sistema no amortiguado

2.3.1 Sistema no amortiguado

ω = frecuencia en radianes/seg (rad/s)

f = ω/2π = frecuencia en ciclos/seg (Hertz)

T = 2π/ω = 1/f = período en segundos (s)

2.3.1 Sistema no amortiguado

2.3.1 Sistema no amortiguado

2.3.1 Sistema no amortiguado

Movimiento de oscilador no amortiguado

2.3.1 Sistema no amortiguado

Movimiento de oscilador no amortiguado

En la parte superior se aprecia el objeto oscilando hacia adelante y atrás a lo largo del eje x-x.En la parte inferior se presenta la posición x(t) y la velocidad v(t) como función del tiempo t en un mismo gráfico.Los puntos negro y rojo nos muestran como la posición y la velocidad se alternan entre valores positivos y negativos, conforme el sistema oscila.Cuando la posición es máxima la velocidad es cero, y viceversa.A derecha se muestra la fase que existe entre la posición y la velocidad.

2.3.1 Sistema no amortiguado

Movimiento de oscilador no amortiguado

La estructura vibra si se le da un desplazamiento u0 o velocidad inicial v0

Frecuencia natural del sistema:

Para este caso con c = 0, y P(t) = 0

2.3.1 Sistema no amortiguado

 - Desplazamiento inicial

- Velocidad inicial

Se plantea una ecuación diferencial:

La solución es

Dadas las condiciones iniciales

2.3.1 Sistema no amortiguado

Ejemplo:

Masa

Frecuencia natural Período del sistema

2.3.1 Sistema no amortiguado

Períodos de vibración de estructuras comunes de diferentes alturas

20 pisos con pórticos resistentes a momentos T = 2.2 seg.

10 pisos con pórticos resistentes a momentos T = 1.4 seg.

1 piso con pórticos resistentes a momentos T = 0.2 seg.

 

20 pisos con pórticos arriostrados T = 1.6 seg.

10 pisos con pórticos arriostrados T = 0.9 seg.

1 piso con pórticos arriostrados T = 0.1 seg.

2.3.1 Sistema no amortiguado

El trabajo hecho por una fuerza a lo largo de una distancia recorrida es:

Trabajo y Energía

2.3.1 Sistema no amortiguado

Trabajo y Energía

2.3.1 Sistema no amortiguado

Trabajo y Energía

2.3.1 Sistema no amortiguado

Energía en la respuesta dinámica

2.3.1 Sistema no amortiguado

DISIPACION DE ENERGIA

• Los movimientos/oscilaciones tienden a decrecer con el tiempo.

• Esta reducción es asociada con la pérdida de energía presente en el sistema.

• La energía, cinética o potencial, se transforma en otras formas de energía, como sonido, calor, etc.

• En los sistemas dinámicos esta pérdida de energía es conocida como:

amortiguamiento

2.3.2 Sistema amortiguado

AMORTIGUAMIENTO

Existen varios tipos de amortiguamientos:

 

• Viscoso.- Proporcional a la velocidad del movimiento.

 

• Coulomb.- Causado por fricción.

• Histerético.- Para los materiales que trabajan en el rango inelástico, donde la curva de carga difiere de la curva de descarga.

2.3.2 Sistema amortiguado

AMORTIGUAMIENTO

2.3.2 Sistema amortiguado

AMORTIGUAMIENTO VISCOSO

El amortiguamiento viscoso es proporcional a la magnitud de la velocidad y actúa opuesto a la dirección del movimiento.

Se genera un amortiguamiento viscoso mediante:

• Fricción interna de los materiales.

• Cuerpos moviéndose a través de fluidos, como el aire a bajas velocidades.

2.3.2 Sistema amortiguado

2.3.2 Sistema amortiguado

2.3.2 Sistema amortiguado

2.3.2 Sistema amortiguado

2.3.2 Sistema amortiguado

Amortiguamiento crítico

2.3.2 Sistema amortiguado

2.3.2 Sistema amortiguado

Amortiguamiento crítico (ξ = 1)

2.3.2 Sistema amortiguado

Amortiguamiento mayor que el crítico (ξ > 1)

2.3.2 Sistema amortiguado

Amortiguamiento menor que el crítico (ξ < 1)

2.3.2 Sistema amortiguado

Amortiguamiento menor que el crítico (ξ < 1)

2.3.2 Sistema amortiguado

2.3.2 Sistema amortiguado

2.3.2 Sistema amortiguado

Movimiento de oscilador amortiguado

2.3.2 Sistema amortiguado

Movimiento de oscilador amortiguado

Cuando el sistema está amortiguado, se pierde energía en cada ciclo y así ambos desplazamiento y velocidad decrecen en el tiempo.

El desplazamiento y velocidad describen una envolvente que decrece exponencialmente.

El diagrama de fase entre desplazamiento y velocidad también muestra la pérdida de energía, así como un diagrama en espiral hacia el interior, llamado “a tractor” en mecánica.

2.3.2 Sistema amortiguado

Movimiento de oscilador amortiguado

2.3.2 Sistema amortiguado

2.3.2 Sistema amortiguado

Respuesta para sistemas de 1 gdl

2.3.2 Sistema amortiguado

Medida del amortiguamiento a partir de un ensayo de vibracion libre Metodología:

1. Dar un desplazamiento inicial al sistema

2. Registrar el movimiento

3. Medir el periodo T

4. Medir ui y ui+k

5. Con las expresiones dadas hallar ξ

2

ln1

i

i

u

u

1

1

2

i

ii

u

uu

solo para

valores muy pequeños de ξ

Para cualquier valor de ξ

2.3.2 Sistema amortiguado

Amortiguamiento inherente

ξ es una propiedad estructural del material, independiente de la masa y la rigidez del sistema.

ξinherente = 0.5% a 8% del crítico

Amortiguamiento agregado

ξ es una propiedad estructural dependiente de la masa, rigidez y constante de amortiguamiento c del dispositivo

ξagregado = 10% a 30% del crítico

2.3.2 Sistema amortiguado