GeometriaUma breve introdução

Etimologia

Geometria, em grego antigo γεωμετρία,

geo- "terra", -metria "medida“

Origem (lazer ou necessidade?)

Geometria Euclidiana

Euclides de Alexandria, matemático grego dos séculos IV e III a.C. é um dos mais importantes da antiguidade. A maior de todas as contribuições de Euclides à Matemática, bem como à ciência em geral, foi o tratado Elementos, obra na qual expôs, sistematicamente, os conhecimentos de Geometria Plana de seu tempo – doravante rotulada de Euclidiana –, alguns dos quais frutos de seu próprio trabalho.

A importância dos Elementos se deve ao fato deste ser a primeira obra em que se considera um corpo de conhecimento matemático como parte de um sistema lógico dedutivo bem definido.

Conceitos Primitivos

• São representados por letras maiúsculas do nosso alfabeto: A, B, C, ...PONTO

• São representadas por letras minúsculas do nosso alfabeto: a, b, c, ...RETA

• São representados por letras minúsculas do alfabeto grego: α, β, γ, ...PLANO

Axiomas ou postulados

São proposições primitivas aceitas sem demonstração. São elas: Em uma reta, bem como fora dela, há infinitos pontos. Em um plano há infinitos pontos.Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa

por eles. Três pontos não colineares determinam um único plano que

passa por eles. Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta

está contida nesse mesmo plano.

Julgue os itens abaixo:

1) Por um ponto passam infinitas retas.2) Por dois pontos distintos passa uma reta.3) Uma reta contém dois pontos distintos.4) Dois pontos distintos determinam uma e só uma reta.5) Por três pontos dados passa uma só reta.6) Três pontos distintos são sempre colineares.7) Três pontos pertencentes a um plano são sempre colineares.8) Quatro pontos distintos determinam um único plano.

RETA, SEMIRRETA E SEGMENTO DE RETA

Segmento de reta 𝐴𝐴𝐴𝐴.

Semirreta 𝐴𝐴𝐴𝐴.

Reta 𝐴𝐴𝐴𝐴.

Medida de um segmento de reta

Denotamos a medida do segmento 𝐴𝐴𝐴𝐴, ou a distância do ponto A ao ponto B, por 𝐴𝐴𝐴𝐴 (ou 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝐴𝐴𝐴𝐴)).

Um ponto M é ponto médio do segmento 𝐴𝐴𝐴𝐴 se, e somente se, M está entre A e B, de tal forma que 𝐴𝐴𝐴𝐴 ≡ 𝐴𝐴𝐴𝐴.

1) Determine o número de retas, semirretas e segmentos de reta que podem ser formados com três pontos A, B e C, não colineares.

2) Os segmentos 𝐴𝐴𝐴𝐴 e 𝐴𝐴𝐶𝐶, 𝐴𝐴𝐶𝐶 e 𝐶𝐶𝐶𝐶 são adjacentes, de tal maneira que 𝐴𝐴𝐴𝐴 é o triplo de 𝐴𝐴𝐶𝐶, 𝐴𝐴𝐶𝐶 é o dobro de 𝐶𝐶𝐶𝐶 e 𝐴𝐴𝐶𝐶 = 36 𝑐𝑐𝑚𝑚. Determine as medidas dos segmentos 𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐶𝐶 e 𝐶𝐶𝐶𝐶.

3) Cinco pontos pertencem a uma circunferência. Quantas retas, semirretas e segmentos de reta são determinados ligando esses pontos dois a dois?

4) Determine a medida de cada uma das partes de um segmento de 136 cm que foi dividido em partes diretamente proporcionais a 3 e 14.

5) Determine a medida de cada uma das partes de um segmento de 80 cm que foi dividido em partes inversamente proporcionais a 4 e 6.

6) Três cidades A, B e C situam-se ao longo de uma estrada reta; B situa-se entre A e C e a distância de B e C é igual a dois terços da distância de A a B. Um encontro foi marcado por 3 moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada, localizado entre as cidades B e C e à distância de 210 km de A. Sabendo que P está 20 km mais próximo de C do que de B, determinar a distância que o morador de B deverá percorrer até o ponto de encontro.

ÂngulosUma breve revisão

Classificação quanto à medida

Considere um ângulo 𝐴𝐴 �𝐴𝐴𝐶𝐶 de medida 𝒙𝒙. Se

a) 𝒙𝒙 = 𝟎𝟎, então 𝐴𝐴 �𝐴𝐴𝐶𝐶 é nulo.

b) 𝟎𝟎 < 𝒙𝒙 < 𝟗𝟗𝟎𝟎𝟗, então 𝐴𝐴 �𝐴𝐴𝐶𝐶 é agudo.

c) 𝒙𝒙 = 𝟗𝟗𝟎𝟎𝟗, então 𝐴𝐴 �𝐴𝐴𝐶𝐶 é reto.

d) 𝟗𝟗𝟎𝟎𝟗 < 𝒙𝒙 < 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟗, então 𝐴𝐴 �𝐴𝐴𝐶𝐶 é obtuso.

e) 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟗, então 𝐴𝐴 �𝐴𝐴𝐶𝐶 é raso.

Ângulos complementares, suplementares e replementares

Dois ângulos são

a) COMPLEMENTARES se a soma de suas medidas é igual a 90°.

b) SUPLEMENTARES se a soma de suas medidas é igual a 180°.

c) REPLEMENTARES se a soma de suas medidas é igual a 360°.

Um ângulo Seu complemento Seu suplemento Seu replemento

𝑥𝑥 90𝟗 − 𝑥𝑥 180𝟗 − 𝑥𝑥 360𝟗 − 𝑥𝑥

Ângulos congruentes e OPV

Dois ângulos, 𝐴𝐴 �𝐴𝐴𝐶𝐶 e 𝑃𝑃 �𝑂𝑂𝑄𝑄, são denominados CONGRUENTES se as suas medidas são iguais. Ou seja,

Dois ângulos são Opostos Pelo Vértice (OPV) se os lados de um são semirretas opostas aos lados do outro.

𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝑨𝑨�𝑩𝑩𝑪𝑪 = 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎(𝑷𝑷�𝑶𝑶𝑸𝑸) ⇔ 𝑨𝑨�𝑩𝑩𝑪𝑪 ≡ 𝑷𝑷�𝑶𝑶𝑸𝑸

a

b

c

d

OBS.: Ângulos OPV são sempre congruentes, assima = c e b = d

Bissetriz de um ângulo

A bissetriz de um ângulo é a semirreta, com origem no vértice do ângulo, que o divide em dois ângulos congruentes.

A

O B

C

Se 𝐴𝐴 �𝑂𝑂𝐶𝐶 ≡ 𝐶𝐶 �𝑂𝑂𝐴𝐴, então 𝑂𝑂𝐶𝐶 é a bissetriz de 𝐴𝐴 �𝑂𝑂𝐴𝐴.

EXERCÍCIOS

Resolvidos: p.32 e p.33, números 1, 3 e 6.

Exercícios de aula: p.45, nº 2 (b, d, e) e 4.

Tarefão: p.47 a p.51, nº 1, 2, 11, 12 e 22.

Paralelismo

Considere duas retas, r e s, paralelas e t uma reta transversal. Ficam determinados os oito ângulos assinalados a seguir

Dois a dois, dizemos que os ângulos a e e, b e f, c e g, d e h são correspondentes.

a b

cd

ef

gh

r

s

t

Propriedade fundamental do paralelismo e suas consequências

Pela propriedade fundamental do paralelismo, “ângulos correspondentes são congruentes”, então:

a b

cd

ab

cd

r

s

t

a b

ab

ab

ab

r

s

t

⇒

Já que ângulos OPV são congruentes

EXERCÍCIOS

Resolvidos: p.32, nº 2.

Exercícios de aula: p.46 e p.47, nº 5, 6, 7 e 8.

Tarefão: p.47 a p.51, nº 3 a 10.