1

1

1

2

2

1

1

2

2

1 2

1 2 1 2??

ou ou

t

Mecânica clássica Partículas discerníveis

Mecânica quântica Partículas indiscerníveis

Mecânica Quântica e Indiscernibilidade

( ) ( ) 2

12

2

21 ,, AAAA ψψ =( ) ( )1221 ,, AAAA ψψ =

( ) ( )1221 ,, AAAA ψψ −=

ou

Bosões

Fermiões

Mesmo estado quântico

( ) ( )1111 ,, AAAA ψψ −= ( ) 0, 11 =AAψ2 fermiões não podem

ocupar o mesmo estado quântico

2

1exp

1

+

−=

kT

nr

r µε1exp

1

−

−=

kT

nr

r µε

Z

kTNn

r

r

−

=

εexp

Estatística clássicaBoltzmann

Estatística quântica

Bose-Einstein Fermi-Dirac

Estatíticas clássica vs. quânticaNúmero médio de partículas no nível de energia εr à temperatura T

f (ε)

1

1/2

ε

Fermi-Dirac

Boltzmann

Bose-Einstein

3

( ) ( ) ( ) ( )21212

2

21

22

2

1

21

22

,,.,

2

,

2xxExxU

x

xx

mx

xx

mψψ

ψψ=

+

∂

∂−

∂

∂−

hh

Equação de Schrödinger para duas partículas idênticas

No caso geral, para N partículas num espaço tridimensional temos uma equação com 3N variáveis:

(x1, y1, z1, x2, y2, z2, …, xN, yN, zN)

4

Bosões (função de onda simétrica por troca: ψ21 = ψ12)partículas com spin inteiro (por exemplo, os fotões, com spin 1)Estatística de Bose-Einstein.

Fermiões (função de onda anti-simétrica por troca: ψ21 = -ψ12)partículas com spin semi-inteiro ( por exemplo, os electrões, osprotões, os neutrões, os neutrinos, …)Estatística de Fermi-Dirac

“Radiação” composta por bosões

“Matéria” composta porfermiões

Carácter ondulatório →

Estatística Quântica: partículas indiscerníveis

5

Princípio de exclusão de Pauli e a Tabela Periódica

Só aplicável aos fermiões

Cada electrão num átomo é “rotulado” com quatro númerosquânticos (n, l, m e ms )

Num átomo com vários electrões, só um electrão pode estarno estado quântico descrito por cada conjunto (n, l, m e ms )

Tabela Periódica dos elementos

6

Sequência de preenchimentodas orbitaisatómicas

Tabela periódica e orbitais atómicas

7

8

Molécula formada por ligação covalente

Átomos de hidrogénio (H)

Electrões atraídos pelos protões um do outro

Molécula de hidrogénio (H2)formada por ligação covalente

9

Estrutura do NaCl

• Formados por forças de Coulomb entre iões(por ex. Na+ Cl-)

• Energias de coesão elevadas (2 - 4 eV/ átomo)– temperaturas de fusão e evaporação

elevadas

• Baixas condutividades eléctricas– ausência de electrões livres

• “Transparentes” à luz visível – energia dos fotões muito baixa para

libertar electrões

• Solúveis em líquidos polares, como a água– dipolos da água atraem os iões

Sólidos iónicos - propriedades

10

• Energia potencial: Utot = Uatract (+,–) + Urepuls (–, –)

Potencial repulsivo ∝ 1/rm

Potencial atractivo(Coulomb) ∝ -1/r

Potencial total

Energia potencial

11

Cúbica simples Cúbica de corpo centrado Cúbica de faces centradas

Estrutura CFC:NaCl

Na+

Cl-

Sólidos iónicos – exemplos de estruturas cristalinas

12

• Exemplos incluem elementos dos grupos IV (C, Si) e dos grupos III-V (GaAs, InSb) da tabela periódica

• Formados por ligações fortes e localizadas, com estruturas estáveis.

• Energias de coesão maiores do que as dos sólidos iónicos (4-7 eV/átomo)– temperaturas de fusão e evaporação

mais elevadas.

• Baixas condutividades eléctricas– os portadores de carga têm de vencer

uma diferença de bandas de energia (gap).

Sólidos covalentes - propriedades

Estrutura da grafite em camadas formadas por ligação covalente

13

DiamanteLigação tetrahédrica sp3

(elevada dureza)

GrafiteLigação planar sp2(bom lubrificante)

Ângulo de ligação = 109.5º

Sólidos covalentes – exemplos de estruturas cristalinas

14

Átomos de um metal densamente agregados

• Formados pela atracção de Coulomb entre os iões da rede cristalina (+) e o “gás” de electrões (-)

• Energias de coesão mais baixas (1-4 eV/átomo)– as ligações metálicas permitem que os

electrões se movam livremente através da rede cristalina

• Absorvem a luz visível – são opacos, brilhantes devido à re-emissão

• Boa formação de ligas metálicas– as ligações metálicas não são direccionais

Sólidos metálicos - propriedades

15

Existem duas aproximações para determinar as energias dos electrões associadas com os átomos da rede cristalina:

• 1) electrões ligados• Os átomos isolados “ligam-se” para formar o sólido.

• 2) electrões desligados ou livres (E = p2/2m)• Os electrões livres ficam sujeitos a um potencial periódico(por ex., criado pelos iões da rede).

Ambas as aproximações têm como resultado níveis de energiaagrupados, com regiões de energia permitidas e proibidas:

• para os metais as bandas de energia sobrepõem-se

• para os semicondutores não se sobrepõem (ou existe um gap entre elas).

16

Sólido com N átomosDois átomos Seisátomos

• Para um sólido com um número N de átomos ( 1023 cm-3 ), existem N níveis de energia separados por ∆E.⇒ aparecimento de bandas de energia para cada nível de energia

atómico inicial (por ex., uma banda 1s para um nível de energia 1s).

Os electrões ocupam níveis de energiadiferentes (Princípio de Exclusão de Pauli)

17

(((( ))))(((( ))))

1

1

F

FD E

k

E

T

f E

e

−−−−====

++++

Probabilidade dos electrões (fermiões) serem encontrados emvários níveis de energia:

Dependência da função de Fermi-Dirac com a temperatura:

• Para uma dada temperatura:E – EF = 0,05 eV ⇒ f (E) = 0,12E – EF = 7,5 eV ⇒ f (E) = 10 –129

Função de Fermi - Dirac

18

• Para T = 0 K, todos os níveis na banda de condução abaixo do nível de Fermi EF estão preenchidos com electrões; acima de EFestão vazios.

• Os electrões podem deslocar-se para os estados vazios da banda de condução apenas com a aplicação de um campo eléctrico pequeno ⇒ condutividade eléctrica elevada

• Para T > 0 K, existe uma certa probabilidade dos electrões serem termicamente excitados para níveis acima do de Fermi.

EF

EC,V

Banda de condução(parcialmente preenchida)

T > 0

Função de Fermi-Dirac

Banda de energia a preencher

E = 0

Condutores

19

• Para T = 0, a banda de valência está preenchida e a banda de condução está vazia ⇒ condutividade eléctrica nula– o nível de energia de Fermi EF está entre as bandas de

valência e de condução (2-10 eV).• Para T > 0, os electrões não são termicamente excitados da

banda de valência para a de condução ⇒ condutividade eléctrica nula.

EF

EC

EV

Banda de condução(vazia)

Banda de valência(preenchida)

Egap

T > 0

Dieléctricos

20

EFEC

EV

Banda de condução(parcialmente preenchida)

Banda de valência(parcialmente vazia)

T > 0

• Para T = 0, a banda de valência está preenchida e a banda de condução está vazia ⇒ condutividade eléctrica nula– o nível de energia de Fermi EF está entre as bandas de

valência e de condução (<1 eV).• Para T > 0, os electrões são termicamente excitados da banda

de valência para a de condução ⇒ alguma condutividadeeléctrica.

Semicondutores (sem impurezas)

21

• Para o Si (grupo IV), pode-se adicionar um electrão extra adicionando um elemento do grupo V ⇒ Si tipo n

• Esse electrão “extra” está fracamenteligado, num nível de energia dador EDimediatamente abaixo do nível de condução EC

– Os electrões dopantes passamfacilmente para a banda de condução⇒ aumento da condutividade eléctrica(por aumento da densidade de portadores)

Aumento da condutividade por adição duma pequena quantidade de outro material (dopante)

EC

EV

EF

ED

Egap~ 1 eV

Si tipo n

• O nível de Fermi EF está mais próximo de EC .

Semicondutores (com impurezas dadoras)

22

• Adicionando ao Si um elemento do grupo III, este “aceita” um electrãoe o Si torna-se do tipo p (maisportadores positivos – lacunas)

• O electrão em falta é o mesmo queuma lacuna extra, com um nível de energia dos aceitadores EAimediatamente acima da banda de valência EV .

– As lacunas na banda de valênciaaumentam bastante a condutividade eléctrica.

• O nível de Fermi EF aproxima-se de EV .

EA

EC

EV

EF

Si tipo p

Semicondutores (com impurezas dadoras)