Aula 4 Derivadas 1ª parte - Professor Luciano Nóbrega · A ideia inicial da DERIVADA é a...

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de Sistemas _ TADS

Aula 4

Derivadas _ 1ª parteProfessor Luciano Nóbrega

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2www.professorlucianonobrega.wordpress.com

CONHECIMENTOS PRÉVIOS

INCLINAÇÃO DA RETA

A inclinação de uma reta ou, em outras palavras, o coeficiente angular de

uma reta é dado por:

x

y

x0 x1

y0

y1

01

01

xx

yytg

Θ

Passando o denominador para o outro lado e fazendo tg Θ = m, temos:

EXEMPLO: Suponha que as coordenadas dos

ponto P e Q sejam: P(4,6) e Q(5,-3). Determine:

a) A inclinação da reta;

b) A equação da reta.

RELAÇÃO ENTRE LIMITES e DERIVADAS

A ideia inicial da DERIVADA é a ilustrada por retas secantes

tendendo “no limite” a uma reta tangente.

A palavra tangente vem do latim e significa “tocando”.Para um círculo, poderíamos dizer que a tangente é uma reta

que intercepta o círculo uma única vez.

DERIVADA2

Para as curvas, essa definição é inadequada.


A DERIVADA

O PROBLEMA DA RETA TANGENTEEncontre a equação da reta tangente à parábola y = x2 no ponto P (1,1).

Vamos completar a tabela com valores

que se aproximam de 1:

x mPQ

2

1,5

1,1

1,01

x mPQ

0

0,5

0,9

0,99

3


A DERIVADA

A sequência de figuras a seguir ilustra o processo de limite que

ocorreu no exemplo anterior.

x0x1

f(x0)

f(x1)

P

Q

y=f(x)

f(x1) - f(x0)

x1 - x0

reta secante

x

y

reta tangente

30 – Encontre a equação da reta tangente à parábola y = 3x2 no ponto P (2,12).

31 – Encontre a equação da reta tangente à função y = 2x3 no

ponto P (1, 2).

GABARITO: 30) y = 12x –12 31) y = 6x –4

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A DERIVADA

A reta tangente a uma curva y = f(x) em um ponto P (a, f(a)) é

a reta que passa por P que tem a inclinação

Há outra expressão para a inclinação da reta tangente, às vezes mais

fácil de ser usada.

DEMONSTRAÇÃO:

32 – Encontre a equação da reta tangente à

hipérbole y = 3/x no ponto (3, 1).

GABARITO: 32) x + 3y –6 = 0 33) a) y = –x + 5 b) y = (x+1)/2

33 – Encontre a equação da reta

tangente à curva f(x) no ponto

dado: a) y = (x – 1)/(x – 2) ; (3, 2)

b) y = √x ; (1, 1)

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A DERIVADA

Os limites do tipo surgem sempre que

calculamos uma taxa de variação em uma das ciências ou engenharias.

Como esse tipo de limite sempre ocorre amplamente em vários

segmentos, ele recebe nome e notação especiais.

A DERIVADA

A derivada de uma função f(x) em um número a, denotada por f’(a), é:

OU

EXEMPLO: Seja y = x2+1. Determine a taxa de variação no ponto x = – 4

34 – Determine a taxa de variação da função y = x2 + 1 no ponto:

a) x = 3 b) x = –2 c) x = 1 d) x = x0

GA

BA

RIT

O: 3

4) a

) 6 b

) –4

c) 2

d) 2

.x0

35

) y =

4x

–3

36

) 2a

–8

35 – Determine a equação da reta tangente ao gráfico y = x2 + 1 no

ponto (2, 5), utilizando a fórmula em que h ⟶ 0

36 – Determine a derivada da função f(x) = x2 –8x + 9 em um número “a”

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A DERIVADA

NOTAÇÃO PARA A DERIVADA

Algumas notações usadas para a derivada são as seguintes:

REGRAS DE DERIVAÇÃO

As regras de derivação nos permitem calcular com relativa facilidade as

derivadas de:

Polinômios; Funções Racionais; Funções Algébricas; Funções

Exponenciais e Logarítmicas e Funções Trigonométricas.

1ª) A DERIVADA DE UMA CONSTANTE “k” É IGUAL À ZERO.

f(x) = k f ’(x) =

Exs: Se g(x) = 7, então g’(x) = Se h(x) = –7, então h’(x) =

2ª) A DERIVADA DAS POTÊNCIAS DE “ x ”.

Seja f(x) = xn, então f ’(x) =

Exs: Se f(x) = x5, então f ’(x) =

Se g(x) = 7x3, então g’(x) =

Se h(x) = –3x –7 , então h’(x) =

7


REGRAS DE DERIVAÇÃO

3ª) A DERIVADA DA SOMA (e da diferença).

A derivada de uma soma é igual à soma das derivadas.

Seja h(x) = f(x) + g(x), então h’(x) =

Exs: Se f(x) = x4 + 3x, então f ’(x) =

Se g(x) = x3 – 2x2, então g’(x) =

Se h(x) = –3x –7 –5x –2 + 3 , então h’(x) =

37 – Determine a derivada das funções abaixo:

a) f(x) = 773,2

b) f(x) = √7

c) f(x) = 5x – 1

d) f(x) = –3x7

e) f(x) = –2x3 + 3x2 – 1

f) f(t) = (1/2)t6 – (3/2)t

4

g) f(t) = (1/4).(t4 + 8t)

h) f(x) = (x – 2).(2x + 3)

i) y = x –2/5

j) y = (4/3).π.r3

k) y = 5t –3/5 L ) y = √7/x7

38– Determine a derivada das funções abaixo:

a) f(x) = √x – 1/√x

b) f(x) = 3√x

c) f(x) = √x.(x – 1)

d) f(x) = (√2)x + √(3x)

e) f(x) = [√x + 1/(3√x)]

f) y = (x2 – 2√x)/x

Para conferir o GABARITO,

some os coeficientes com os

expoentes das variáveis.

GABARITO: 37) a) 0 b) 0 c) 5

d) –15 e) 3 f) 5 g) 6 h) 4

i) –9/5j) 4”pi” + 2 k) –23/

5

L) –7.√7 –8 38)a) –1 b) –1/3

c) 0 d)(√2) +1 e) –1/3f) ½

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